Novena edición
CAPÍTULO
15
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS: INGENIERO S:
DINÁMICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr Jr.. Notas: J. Walt Oler Texas Tech Universi Un iversity ty
Cinemática de cuerpos rígidos
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Contenido Introducción Traslación Rotación alrededor de un eje fijo: Velocidad Rotación alrededor de un eje fijo: Aceleración Rotación alrededor de un eje fijo: Placa representativa Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo Problema resuelto 15.1 Movimiento plano general Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano Problema resuelto 15.2 Problema resuelto 15.3 Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano Problema resuelto 15.4 Problema resuelto 15.5
Aceleraciones Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro Problema resuelto 15.6 Problema resuelto 15.7 Problema resuelto 15.8 Razón de cambio con respecto a un sistema de referencia en rotación Aceleración de Coriolis Problema resuelto 15.9 Problema resuelto 15.10 Movimiento alrededor de un punto fijo Movimiento general Problema resuelto 15.1 15.111 Movimiento tridimensional. Aceleración de Coriolis Sistema de referencia en movimiento general Problema resuelto 15.15
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Contenido Introducción Traslación Rotación alrededor de un eje fijo: Velocidad Rotación alrededor de un eje fijo: Aceleración Rotación alrededor de un eje fijo: Placa representativa Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo Problema resuelto 15.1 Movimiento plano general Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano Problema resuelto 15.2 Problema resuelto 15.3 Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano Problema resuelto 15.4 Problema resuelto 15.5
Aceleraciones Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro Problema resuelto 15.6 Problema resuelto 15.7 Problema resuelto 15.8 Razón de cambio con respecto a un sistema de referencia en rotación Aceleración de Coriolis Problema resuelto 15.9 Problema resuelto 15.10 Movimiento alrededor de un punto fijo Movimiento general Problema resuelto 15.1 15.111 Movimiento tridimensional. Aceleración de Coriolis Sistema de referencia en movimiento general Problema resuelto 15.15
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Introducción •
•
Cinemática de cuerpos rígidos: relaciones entre el tiempo y las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las partículas que que forman un cuerpo rígido. Clasificación de los diferentes movimientos de cuerpo rígido: - traslación: • traslación rectilínea • traslación curvilínea - rotaci rotación ón alrede alrededor dor de un un eje fijo fijo - movi movimi mien ento to plano plano gen gener eral al - movim movimien iento to alrededo alrededorr de un punto punto fijo fijo - movi movimi mien ento to ge gene nera rall
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Traslación •
Considerar un cuerpo rígido en traslación: - la dirección de cualquier línea recta dentro del cuerpo es constante, - todas las partículas que forman el cuerpo se mueven en líneas paralelas .
•
Para cualquier par de partículas en el cuerpo,
r B r A r B A
•
La diferenciación con respecto al tiempo, r B
r A
v B
v A
r B A
r A
Todas las partículas tienen la misma velocidad. •
La diferenciación con respecto al tiempo de nuevo, r B
r A
a B
a A
r B A
r A
Todas las partículas tienen la misma aceleración.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Rotación alrededor de un eje fijo. Velocidad •
Considerar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo AA’.
•
El vector de velocidad v d r dt de la partícula P es tangente a la trayectoria con magnitud v ds dt
s BP r sen
v
ds dt
•
lím r sen t 0
t
sen r
El mismo resultado se obtiene a partir de
v
d r
r
dt k k velocidad angular
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Rotación alrededor de un eje fijo. Aceleración •
Diferenciación para determinar la aceleración,
a
d v
d
r
dt dt d d r r dt dt d r v dt
•
•
d dt
aceleració n angular
k k k
La aceleración de P es una combinación de dos vectores,
a r r
r componente de la aceleració n tangenci al
r componente de la aceleració n radial
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Rotación alrededor de un eje fijo. Placa representativa •
Considerar la propuesta de una placa representativa en un plano perpendicular al eje de rotación.
•
Velocidad de cualquier punto P de la placa,
v
v
•
r
k r
r
Aceleración de cualquier punto P de la placa, a
r r
2 k r r
•
Resolviendo la aceleración en las componentes tangencial y normal, at k r an 2 r
a t r an r 2
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo •
•
El movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo a menudo es especificado por el tipo de aceleración aceleración angular angular.. Recordando
•
dt 2
d
dt
o
dt
d
2
dt
d
d d
Rotación uniforme, = = 0:
•
d
0 t
Rotación uniformemente acelerada, acelerada, = = constante:
0 0 2
t
0t 2
1 t 2 2
0 2 0
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.1 SOLUCIÓN:
El cable C tiene tiene una aceleración constante de 9 in/s 2 y una velocidad inicial de 12 in/s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determinar a) el número de revoluciones revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s, b) la velocidad y el cambio en la posición de la carga B después de 2 s, y c) la aceleración del punto D sobre el
•
Debido a la acción del cable, la velocidad tangencial tangencial y la aceleración de D son iguales a la velocidad y la aceleración de C . Calcular la velocidad angular inicial y la aceleración.
•
Aplicar las relaciones de la rotación uniformemente acelerada para determinar la velocidad y la posición angular de la polea al cabo de 2 s.
•
Evaluar los primeros componentes tangencial y normal de la aceleración de D.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.1 SOLUCIÓN: •
La velocidad tangencial y la aceleración de D son iguales a la velocidad y la aceleración de C . v D 0 vC 0 12 in. v D 0 r 0 v D 0 12
0
•
r
s
a D t aC 9 in. s a D t r a D t 9
4 rad s
3
3 rad s
2
3
r
Aplicar las relaciones de la rotación uniformemente acelerada para determinar la velocidad y la posición angular angular de la polea al cabo de 2 s. 0 t
0 t
14
4 rad s 3 rad s
2 1 t 2
2
2 s 10 rad s
4 rad s 2 s 12
3 rad s
2
rad
1 rev número de revolucion es rad 2 rad
N 14 rad
y B r 5 in. 14 rad
v B
2 s 2
r 5 in.10 rad
s
N
2.23 rev
v B 50 in.
s
y 70 in.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 5.1 •
Evaluar los primeros componentes tangencial y normal de la aceleración de D. a D t aC 9 in. s
a D n
2
r D 0
a D t 9 in.
s
2
3 in.4 rad s 2
48 in s
a D n 48in.
s
2
2
Magnitud y dirección de la aceleración total, a D
a D t 2 a D 2n
9
tan
2
2
48
a D
48.8 in. s 2
a D n a D t 48 9
79.4
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento plano general
•
El movimiento plano general no es ni una traslación ni una rotación.
•
Un movimiento plano general puede considerarse como la suma de una traslación y una rotación.
•
El desplazamiento de las partículas A y B a A2 y B2 se puede dividir en dos partes: - traslación a A2 y B1 - rotación de B1 alrededor de A2 a B2
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
•
Cualquier movimiento plano puede ser reemplazado por una traslación de un punto de referencia arbitrario A y una rotación simultánea alrededor de A. v B
v A
v B A
v B
k r B
A
v B
v A k r B A
A
v B
A
r
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
•
Suponiendo que la velocidad v A del extremo A es conocida, se desea determinar la velocidad v B del extremo B y la velocidad angular en términos de v A, l y .
•
Las direcciones de v B y v B/A son conocidas. Complete el diagrama de velocidad. v B v A v B
tan v A tan
v A v B
A
v A l
v A l cos
cos
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
•
Seleccionar el punto B como punto de referencia y resolver para la velocidad v A del extremo A, y la velocidad angular lleva a un triángulo de velocidad equivalente.
•
v A/B tiene la misma magnitud,
•
La velocidad angular de la varilla en su rotación alrededor de B es la misma que su rotación alrededor de A. La velocidad angular no depende de la
pero en sentido opuesto a v B/A. El sentido de la velocidad relativa depende de la elección del punto de referencia.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.2 SOLUCIÓN: •
El desplazamiento del centro del engrane en una revolución es igual a la circunferencia exterior. Relacionar los desplazamientos de traslación y angular. Diferenciar las relaciones de las velocidades de traslación y angular.
•
La velocidad de cualquier punto P en el engrane puede escribirse como
Un engrane doble rueda sobre una cremallera estacionaria inferior; la velocidad de su centro es 1.2 m/s. Determinar a) la velocidad angular del engrane, y b) las velocidades de la cremallera superior R y del punto D del engrane.
v P
•
v A
v P A
v A
k r P A
Evaluar las velocidades de los puntos B y D.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.2 SOLUCIÓN: •
El desplazamiento del centro del engrane en una revolución es igual a la circunferencia exterior. Para x A > 0 (moviéndose a la derecha), < 0 (girando en el sentido de las manecillas del reloj).
x A 2 r
y x
2
x A
r 1
Diferenciar la relación de las velocidades de traslación y angular. v A
r 1
v A r 1
1.2 m s
k
0.150 m
8 rad s k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.2 •
Para cualquier punto P sobre el engrane,
La velocidad de la cremallera superior es igual a la velocidad del punto B:
v P v A v P A v A k r P A
Velocidad del punto D:
v D
v A
1.2 m s i 8 rad s k 0.150 mi
k r D A
v R
v B
v A k r B A
1.2 m s i 8 rad s k 0.10 m j 1.2 m s i 0.8 m s i
v R
2 m si
v D
1.2 m s i 1.2 m s j
v D 1.697 m s
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.3 SOLUCIÓN: •
Se determinará la velocidad absoluta del punto D con v D
•
La manivela AB tiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000 rpm. Para la posición indicada de la manivela, determine a) la velocidad angular de la biela BD, y b) la velocidad del pistón P .
v B
v D B
La velocidad v B se obtiene de los datos de la rotación de la manivela.
Las direcciones de la velocidad absoluta v D y la velocidad relativa v D B se determinan a partir de la geometría del problema. • Las incógnitas en la expresión del vector son las magnitudes de velocidad v y v que pueden ser determinadas a partir del triángulo vectorial correspondiente. • La velocidad angular de la biela se calcula a partir de v D B . •
D
D B
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.3 SOLUCIÓN: • Se determinará la velocidad absoluta del punto D con v D
•
v B
v D B
La velocidad v B se obtiene de los datos de la rotación de la manivela.
AB 2000 v B
rev min 2 rad
min 60 s rev
209.4 rad
s
AB AB 3 in.209.4 rad s
La dirección de la velocidad es como se muestra. •
La dirección de la velocidad absoluta v D es horizontal. La dirección de la velocidad relativa es perpendicular a BD. Calcule el ángulo entre la horizontal y la biela por la ley de los senos.
sen 40 8 in.
sen 3 in.
13.95
v D
B
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.3
•
Determinar las magnitudes de las velocidades v y v del triángulo vectorial. D
v D
sen53.95 v D
v D
v B
D B
v D B
sen 50
523.4 in. s
v D B
v D B
BD
v D B
628.3 in. s sen76.05
43.6 ft s
v P
v D
43.6 ft s
495.9 in. s l BD
v D B
495.9 in. s
l
8 in.
62.0 rad s
BD
62.0 rad s k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano El movimiento plano de todas las partículas en una placa siempre puede reemplazarse por la traslación de un punto arbitrario A y una rotación alrededor de A con una velocidad angular que es independiente de la elección de A. • Las mismas velocidades de traslación y rotación en A se obtienen al permitir que la placa gire con la misma velocidad angular respecto al punto C sobre una perpendicular a la velocidad en A. •
•
•
La velocidad de todas las demás partículas en la placa es la misma que se definió originalmente, puesto que la velocidad angular y la velocidad de traslación en A son equivalentes. En lo referente a las velocidades, la placa parece girar alrededor del centro instantáneo de rotación C .
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano •
•
•
•
Si se conoce la velocidad en los puntos A y B, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección perpendicular a los vectores de velocidad a través de A y B. Si los vectores de velocidad son paralelos, el centro instantáneo de rotación es infinito y la velocidad angular es cero. Si los vectores de velocidad en A y B son perpendiculares a la línea AB, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de la línea AB con la línea que une los extremos de los vectores de velocidad en A y B. Si las magnitudes de velocidad son iguales, el centro instantáneo de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Centro instantáneo de rotación en el movimiento plano •
El centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las perpendiculares a los vectores de velocidad a través de A y B.
v A AC
v A l cos
v B
BC l sen
v A l cos
v A tan
•
Las velocidades de todas las partículas en la varilla se comportan como si fueran a girar alrededor de C .
•
La partícula en el centro de rotación tiene velocidad cero .
•
La partícula que coincide con el centro de rotación cambia con el tiempo y la aceleración de la partícula en el centro instantáneo de rotación no es cero.
•
La aceleración de las partículas en la placa no puede determinarse si ésta simplemente gira alrededor de C.
•
El trazo del sitio del centro de rotación en el cuerpo es el centroide cuerpo, y en el espacio es el espacio centroide.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.4 SOLUCIÓN:
Un engrane doble rueda sobre una cremallera estacionaria inferior; la velocidad de su centro es 1.2 m/s. Determinar a) la velocidad angular del engrane, y b) las velocidades de la cremallera superior R y del punto D del engrane.
•
El punto C está en contacto con la cremallera estacionaria inferior y, al instante, tiene una velocidad cero. Debe ser la ubicación del centro instantáneo de rotación.
•
Determine la velocidad angular respecto a C con base en la velocidad dada en A.
•
Evalúe las velocidades en B y D con base en su rotación alrededor de C.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.4 SOLUCIÓN: El punto C está en contacto con la cremallera estacionaria inferior y, al instante, tiene una velocidad cero. Debe ser la ubicación del centro instantáneo de rotación. • Determine la velocidad angular respecto a C con base en la velocidad dada en A. •
v A
•
r A
v A r A
1.2 m s
0.15 m
8 rad s
Evaluar las velocidades en B y D con base en su rotación alrededor de C. v R
v B
r B
0.25 m8 rad s 2 m s i
v R
r D v D
0.15 m 2 0.2121 m r D 0.2121 m 8 rad s
v D 1.697 m s
v D 1 2i 1 2 j m s
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.5 SOLUCIÓN:
La manivela AB tiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000 rpm. Para la posición indicada de la manivela, determine a) la velocidad angular de la biela BD, y b) la velocidad del pistón P .
•
Determinar la velocidad en B de los datos de la rotación de la manivela.
•
La dirección de los vectores de velocidad en B y D son conocidos. El centro instantáneo de rotación está en la intersección de las perpendiculares a las velocidades a través de B y D.
•
Determinar la velocidad angular respecto al centro de rotación basado en la velocidad en B.
•
Calcular la velocidad en D con base en su rotación alrededor del centro instantáneo de rotación.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.5 SOLUCIÓN: • Del problema resuelto 15.3,
v B 403.9i 481.3 j in. s
v B 628.3 in. s
13.95
B
40 53.95
D
90 76.05
BC
sen76.05
BC
CD
sen53 .95
10.14 in.
CD
•
El centro instantáneo de rotación está en la intersección de las perpendiculares a las velocidades a través de B y D.
•
Determine la velocidad angular respecto al centro de rotación basado en la velocidad en B. v B
8 in. sen50
8.44 in.
BD •
BC BD
v B BC
BD 62.0 rad s
628.3 in. s
10.14 in.
Calcular la velocidad en D en función de su rotación alrededor del centro instantáneo de rotación.
v D CD BD 8.44 in. 62.0 rad s
v P vD 523in. s 43 6 ft s
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
•
Aceleración absoluta de una partícula de la placa, a B
•
a A
a B A
La aceleración relativa a B A asociada con la rotación alrededor de A incluye componentes tangencial y normal,
a B
k r B A
A t
a
B A n
2 r B
A
a B
A t
a B A
n
r 2
r
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano •
Dados a A y v A , determinar a y .
B
a B
El vector resultante depende del sentido de las magnitudes relativas de a y a
•
A
•
B A n
Debe conocer también la velocidad .
a A y
de
n a B A t
a A a B A
a A a B A
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
•
Escribir
•
a B
a A
a B
A
componentes x:
componentes y:
Resolver para a B y .
en términos de las dos ecuaciones de componentes, 0 a A l 2sen l cos 2
a B l cos l sen
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro •
En algunos casos esto es ventajoso para determinar la velocidad y la aceleración absoluta de un mecanismo directamente. x A
l sen
y B
l cos
v A
x A
v B
y B
a A
cos l
l cos
x A
l
2
cos sen l
2
l
sen l cos
l sen l sen
a B
y B
sen l 2 cos l
l 2 cos l sen
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.6 SOLUCIÓN: •
•
El centro del engrane doble tiene una velocidad y una aceleración hacia la derecha de 1.2 m/s y 3 m/s 2, respectivamente. La cremallera inferior es estacionaria. Determinar a) la aceleración angular del engrane, y b) la aceleración de los puntos B, C y D.
La expresión de la posición del engrane como una función de se diferencia en dos ocasiones para definir la relación entre las aceleraciones de traslación y angular. La aceleración de cada punto en el engrane se obtiene sumando la aceleración del centro del engrane y las aceleraciones relativas con respecto al centro. Esto último incluye los componentes normal y tangencial de aceleración.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.6 SOLUCIÓN: • La expresión de la posición del engrane como una función de se diferencia en dos ocasiones para definir la relación entre las aceleraciones de traslación y angular. x A
v A
r 1
r 1
a A
r 1
r 1
v A r 1
1.2 m s 0.150 m
8 rad s
r 1
a A r 1
3m s
2
0.150 m
k
20 rad s
2
k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.6 •
La aceleración de cada punto se obtiene sumando la aceleración del centro del engrane y las aceleraciones relativas con respecto al centro. Lo anterior incluye a los componentes de las aceleraciones normal y tangencial.
a B
a A a B A
a A k r B A 2 r B A
a A a B A
a B A
t
n
3 m s i 20 rad s k 0.100 m j 3 m s i 2 m s i 6.40 m s j 2
2
2
2
a B
2
2
8 rad s 2 0.100 m j
2
5 m s i 6.40 m s j
aB 8.12 m s2
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.6
a A k r C A 2r C A
aC a A aC A
3 m s i 20 rad s k 0.150 m j 3 m s i 3 m s i 9.60 m s j 2
2
2
2
2
8 rad s 0.150 m j
8 rad s2 0.150m i
2
2 ac 9.60 m s j
a A k r D A 2r D A
a D
a A a D A
3 m s i 20 rad s k 0.150 mi 3 m s i 3 m s j 9.60 m s i 2
2
2
2
a D
2
12.6 m
2
s i
3m s
2
j
aD 12.95 m
s
2
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.7 SOLUCIÓN: •
La aceleración angular de la biela BD y la aceleración del punto D se determinan a partir de a D
La manivela AG del mecanismo tiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000 rpm. Para la posición que se muestra de la manivela, determinar la aceleración de la biela BD y la aceleración del punto D.
a B a D B a B
a D B
t
a D B
•
La aceleración de B se determina a partir de la velocidad de rotación dada de AB.
•
Las direcciones de las aceleraciones se a D , a D B t y a D B n determinan a partir de la geometría.
•
Las ecuaciones de componentes para la aceleración del punto D se resuelven simultáneamente para la aceleración de D y la aceleración angular de la biela.
n
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.7 SOLUCIÓN: •
La aceleración angular de la biela BD y la aceleración del punto D se determinan a partir de a D a B a D B a B a D B a D B
t
•
n
La aceleración de B se determina a partir de la velocidad de rotación dada de AB. AB
2000 rpm 209.4 rad s constante
AB
0
a B
2 r AB
123 ft 209.4 rad s 2 10,962 ft
a B 10 962 ft
s
2
cos 40i sen40 j
s2
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.7
•
Las direcciones de las aceleraciones determinan a partir de la geometría.
a D
a D , a D B
t
y
a D B
n
se
a Di
Del problema resuelto 15.3, BD = 62.0 rad/s, = 13.95o.
a
D B
n
2 BD BD
ft 62.0 rad s
2
8 12
2563 ft s
a 2563 ft s cos13.95i sen13.95 j a D B BD BD ft BD 0.667 BD t
2
2
D B n
8 12
La dirección de ( a D/B)t es conocida, pero el sentido no se conoce, a D B 0.667 BD sen76.05i cos 76.05 j
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.7
•
Las ecuaciones de componentes para la aceleración del punto D se resuelven simultáneamente. a D
a B
a D B
a B
a D B
a D B
t
n
componentes x: a D 10 962 cos 40 2563 cos13.95 0.667 BDsen13.95
componentes y: 0 10 962sen 40 2563sen13.95 0.667 BD cos13.95
BD
a D
9940 rad s
9290 ft s
2
2
i
k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.8 SOLUCIÓN: •
Las velocidades angulares son determinadas resolviendo simultáneamente las ecuaciones componentes para
v D v B v D B •
En la posición mostrada, la manivela AB tiene una velocidad angular constante de 1 = 20 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determinar las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de la barra acopladora BD y de la manivela DE .
Las aceleraciones angulares son determinadas resolviendo simultáneamente las ecuaciones componentes para a D a B a D B
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.8 SOLUCIÓN: •
Las velocidades angulares son determinadas resolviendo simultáneamente las ecuaciones componentes para v D
v D
DE r D DE k 17i 17 DE i 17 DE j
v B
v D B
v B
r B
AB
i
280
20k 8i
v D B
14
j
160
BDi
3
BD k 12i
3 j
BD j
12
componentes x:
17
componentes y:
17
BD
j
BD r D B
17 j
DE 280 3 BD
DE 160 12 BD
29.33 rad s k
DE
11.29 rad sk
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.8 •
Las aceleraciones angulares son determinadas resolviendo simultáneamente las ecuaciones componentes para
a D a B a D B
a D
2 DE r D DE r D 2 DE k 17i 17 j 11.29 17i 17 j 17 DE i 17 DE j 2170i 2170 j
a B
2
8i
AB r B AB r B 0 20
2
14 j
3200i 5600 j
a D B
r B D
B
B
D i
r B D
BD
D k 12i
3
2
BD
3 j 29.33 12i 2
componentes x: componentes y:
12 B D j
10,320i
3 j
2580 j
17 DE 3 BD 15,690 17 DE 12 BD 6010
BD 645 rad
s
2
k
DE
809 rad s
2
k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Razón de cambio con respecto a un sistema de referencia en rotación •
Respecto al sistema de referencia rotatorio Oxyz ,
Q
Oxyz Q x i Q y j Q z k
Q •
Q x i
Q y j
Q z k
Respecto al sistema de referencia OXYZ ,
Q OXYZ Q x i Q y j Q z k Q x i Q y j Q z k • Q x i Q y j Q z k Q Oxyz razón de
•
•
El sistema de referencia OXYZ es fijo. El sistema de referencia Oxyz gira alrededor del eje fijo OA con velocidad angular
•
La función vectorial Qt varía en dirección y
•
cambio con respecto al sistema de referencia rotatorio. Sí Q está fijado en Oxyz, entonces Q OXYZ es equivalente a la velocidad de un punto en un cuerpo rígido adjunto a Oxyz y
Q x i Q y j Q z k Q
•
Respecto al sistema de referencia OXYZ,
Q OXYZ
Q
Oxyz Q
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleración de Coriolis El sistema de referencia OXY es fijo y el sistema de referencia rotatorio Oxy gira con velocidad angular . • El vector de posición r P para la partícula P es el mismo en ambos sistemas de referencia, pero la razón de cambio depende de la elección del sistema de referencia. • La velocidad absoluta de la partícula P es v P r OXY r r Oxy • Imagine una placa rígida junto al sistema de referencia rotatorio Oxy, o F para abreviar. Sea P’ un punto sobre la placa que corresponde de manera instantánea a la posición de la partícula P . v P F r velocidad de P a lo largo de su Oxy trayectoria en la placa velocidad absoluta del punto P’ sobre la placa v P • La velocidad absoluta de la partícula P puede escribirse como
•
'
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleración de Coriolis •
La aceleración absoluta de la partícula P es a P
r r OXY
d dt
d
r Oxy dt
r
r r OXY Oxy
r
r r Oxy Oxy Oxy
pero
v P r r Oxy v P v P F
r a P r r 2 r Oxy Oxy
•
Utilizando el punto conceptual P’ sobre la placa,
a P r r a P F r Oxy
•
La aceleración absoluta para la partícula P se convierte en
a P F 2 r Oxy a P a P F ac ac 2 r Oxy 2 v P F
a P a P
aceleración de
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleración de Coriolis •
Considerar un collar P hecho para deslizarse a una velocidad relativa constante u a lo largo de la varilla OB. La varilla gira a una velocidad angular constante . El punto A sobre la varilla corresponde a la posición instantánea de P .
•
La aceleración absoluta del collarín es a P a A a P F ac
donde
a A r r
a P F
r
Oxy
2
a A r
0
ac 2 v P F
•
ac 2 u
La aceleración absoluta consiste en los vectores radial y tangencial mostrados.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Aceleración de Coriolis •
El cambio de la velocidad superior a t está representado por la suma de tres vectores v R R T T T T
se debe al cambio en la dirección de la velocidad del punto A en la varilla,
• T T
lím t 0
T T t
lím v A t 0
recordando, at t , at t t ,
v v A u
v v A u
a A
2
r r a A
t r r
a A
2
r
• R R y T T se
derivan de los efectos combinados del movimiento relativo de P y la rotación de la varilla R R T T r lím lím u t 0 t t t 0 t t u u 2 u
recordando, ac
2 v P F
ac
2 u
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.9 SOLUCIÓN: •
La velocidad absoluta del punto P puede escribirse como v P v P v P s
La magnitud y la dirección de la velocidad de v P del pasador P se calculan a partir de la velocidad angular y del radio del disco D. • La dirección de la velocidad v P del punto P ’ en donde S coincide con P es perpendicular al radio OP. • La dirección de la velocidad v P s de P con respecto a S es paralela a la ranura. •
El disco D del mecanismo de Ginebra gira con una velocidad angular constante de D = 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante en que = 150o, determinar a) la velocidad angular del disco S , y b) la velocidad del pasador P
•
Resolver el triángulo vectorial de la velocidad angular de S y velocidad relativa de P .
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.9 SOLUCIÓN: •
La velocidad absoluta del punto P puede escribirse como v P v P v P s
•
La magnitud y la dirección de la velocidad absoluta del pasador P se calculan a partir de la velocidad angular y del radio del disco D. v P R D 50 mm10 rad s 500 mm s
•
La dirección de la velocidad de P con respecto a S es paralela a la ranura. De la ley de los cosenos, 2
2
2
r R l 2 Rl cos 30 0.551 R
2
r 37.1 mm
De la ley de los cosenos, sen R
sen30 r
sen
sen30 0.742
42.4
El ángulo interior del triángulo vectorial es 90 42.4 30 17.6
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.9 •
La dirección de la velocidad del punto P ’ en donde S coincide con P es perpendicular al radio OP. De la velocidad triangular, v P
v P sen
r s
500 mm s sen17.6 151.2 mm s
s
151.2 mm s 37.1 mm
s
4.08 rad s k
v P s v P cos 500 m s cos17.6
v P s 477 m s cos 42.4i sin 42.4 j
v P
500 mm s
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.10 SOLUCIÓN: •
La aceleración absoluta del pasador P puede expresarse como a P a P a P s ac
En el mecanismo de Ginebra, el disco D gira con una velocidad angular constante de 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante en que j = 150o, determinar la aceleración angular del disco S .
•
La velocidad angular instantánea del disco S se determinó como en el problema resuelto 15.9.
•
La única incógnita involucrada en la ecuación de la aceleración es la aceleración angular instantánea del disco S .
•
Resolver cada término de aceleración en la componente paralela a la ranura. Determinar la aceleración angular del disco S .
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.10 SOLUCIÓN: •
La aceleración absoluta del pasador P puede expresarse como a P a P a P s ac
•
Del problema resuelto 15.9, S 4.08 rad
42.4 v P s
•
s
k
477 mm s cos 42.4i sen 42.4 j
Considerando cada término de la ecuación de la aceleración,
500mm 10 rad s 5000 mm s a P 5000 mm s cos 30i sen30 j a P a P n a P t a P n r S cos 42.4i sen42.4 j a P t r S sen42.4i cos 42.4 j a P t S 37.1 mm sen42.4i cos 42.4 j 2
a P R D
2
2
2
2
nota: puede ser positivo o negativo
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.10 •
La dirección de la aceleración de Coriolis se obtiene girando la dirección de la velocidad relativa v P s de 90 en el sentido S.
°
ac
sen 42.4i cos 42.4 j 24.08 rad s 477 mm s sen 42.4i cos 42.4 j 3890 mm s sen 42.4i cos 42.4 j
2 S v P s
2
•
•
La aceleración relativa a P s debe ser paralela a la ranura.
Equiparando los componentes de los términos de aceleración perpendicular a la ranura, 37.1 S 3890 5000 cos17.7 0
S 233 rad
s
S
233rad s k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento alrededor de un punto fijo El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo alrededor de un eje que pasa por O. • Con el eje instantáneo de rotación y velocidad angular la velocidad de una partícula P del cuerpo es
•
,
v
d r dt
r
y la aceleración de la partícula P es d
a
•
r r
•
. dt
La aceleración angular representa la velocidad de la punta de . A medida que el vector se desplaza en el cuerpo y en el espacio, genera un cuerpo y un espacio cónicos que son tangentes a lo largo del eje instantáneo de rotación. Las velocidades angulares tienen magnitud y dirección y obedecen la ley del paralelogramo de adición. Son
•
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento general •
Para las partículas A y B de un cuerpo rígido, v B v A v B A
•
La partícula A está fija dentro del cuerpo, y el movimiento de éste en relación con AX’Y’Z’ es el movimiento de un cuerpo con un punto fijo
v B v A r B A •
De manera similar, la aceleración de la partícula P es a B a A a B A a A r r B A B A
•
La mayor parte del movimiento general de un cuerpo rígido es equivalente a: - una traslación en la que todas las partículas tienen la misma velocidad y la aceleración de una partícula de referencia A, y - a un movimiento en el que la partícula A se supone fija.
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.11 SOLUCIÓN: Con
1 0.30 j
2 0.50k
r 12cos 30i sen30 j
10.39i 6 j •
La grúa gira con una velocidad angular constante 1 = 0.30 rad/s, y la pluma se eleva con una velocidad angular constante 2 = 0.50 rad/s. La longitud de la pluma es l = 12 m. Determinar: • la velocidad angular de la pluma, • la aceleración angular de la pluma, • la velocidad de la punta de la pluma, • la aceleración de la punta de la pluma.
Velocidad angular de la pluma, 1 2
•
Aceleración angular de la pluma, 1 2 2 2
Oxyz
2
1 2
•
Velocidad de la punta de la pluma,
v r •
Aceleración de la punta de la pluma,
a r r r v
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.11 SOLUCIÓN: • Velocidad angular de la pluma, 1 2
0.30 rad s j 0.50 rad s k
•
Aceleración angular de la pluma,
1 2
2
2 Oxyz 2
1 2 0.30 rad s
j 0.50 rad s k
•
v
1 0.30 j
2
r 10.39i
6 j
0.50k
0.15 rad s
2
i
Velocidad de la punta de la pluma,
r
i
j
k
0
0.3
0.5
10.39
6
0
v 3.54 m
s
i 5.20 m s j 3.12 m s k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.11 •
Aceleración de la punta de la pluma,
a r r r v
i
j
k
i
j
k
a 0.15
0
0 0
0.30
0.50
10.39
6
0
5.20
3.12
3
0.90k 0.94i 2.60i 1.50 j 0.90k a 3.54 m
1 0.30 j
2
r 10.39i
6 j
0.50k
s
2
i
1.50 m s
2
j
1.80 m s
2
k
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento tridimensional. Aceleración de Coriolis •
Con respecto al sistema de referencia fijo OXYZ y al sistema de referencia rotatorio Oxyz ,
Q OXYZ •
Q
Oxyz Q
Considérese el movimiento de la partícula P respecto a un sistema de referencia rotatorio Oxyz, o F para abreviar. La velocidad absoluta puede expresarse como v P r r Oxyz v P v P F
•
La aceleración absoluta puede expresarse como
a P
r r 2 r
ac
a p a P F
2 r
ac
Oxyz
Oxyz r Oxyz
2 v P F aceleració n de Coriolis
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Sistema de referencia en movimiento general •
Con respecto a OXYZ y AX’Y’Z’, r P
r A
v P
v A
a P
a A
•
r P A
v P A
a P A
La velocidad y la aceleración de P respecto a AX’Y’Z’ puede encontrarse en función de la velocidad, y la aceleración de P respecto a Axyz . v P v A r P A r P A
Axyz
v P v P F
Considérese: - el sistema de referencia fijo OXYZ , - el sistema de referencia de traslación AX’Y’Z’ , y - el sistema de referencia de traslación y rotación Axyz, F
a P
a A
r P A r P A 2 r P A r P A Axyz Axyz
a P a P F ac
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.15 SOLUCIÓN: •
•
Para el disco montado en el brazo, las velocidades rotatorias angulares indicadas son constantes. Determinar: • la velocidad del punto P , • la aceleración de P , y • la velocidad angular y la aceleración angular del disco.
Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y un sistema de referencia en movimiento Axyz, o F, unidos al brazo en A. Con P’ del sistema de referencia en movimiento que coincide con P , la velocidad del punto P se encuentra desde v P v P v P F
•
La aceleración de P se encuentra desde
a P a P a P F ac •
La velocidad angular y la aceleración angular del disco son
D F
F
e N d o i c v e i ó n n a
Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 15.15 SOLUCIÓN: •
Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y un sistema de referencia en movimiento Axyz, o F, unidos al brazo en A.
r Li R j
r P A
1 j •
D F
R j
2 k
Con P’ del sistema de referencia en movimiento que coincide con P , la velocidad del punto P se encuentra desde
v P v P v P F
v P
v P F
r 1 j Li
R j 1 L k D F r P A 2 k R j 2 R i
v P
2 R i 1 L k
