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PROGRAMACIÓN MATEMATICA I

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Indice

CAPITULO I : Generalidades CAPITULO II : Algebra Lineal

































CAPITULO I Los Orígenes de la Investigación de Operaciones (IO) Análisis de las componente compo nente de la IO Influjo de la IO

































Orígenes de la IO Advenimiento de la Revolución Industrial. Tendencia de los componentes de una organización (autonomía). Asignación de los recursos disponibles de la manera más eficaz (IO). El desarrollo de la IO es debido

































¿ QUÉ ES INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES OPERACIONES ? Es la aplicación de grupos interdisciplinarios del método científico a sistemas a fin de que produzcan soluciones que mejoren los objetivos de la organización. o rganización. a) Un Unaa organ organiza ización ción se pued puedee inter interpre pretar tar com comoo un siste sistema ma.. b) Todo siste sistema ma es es una una estruct estructura ura que que funcion funciona. a. El objetivo es el control yo modificación que se hace a los

































SISTEMA Frontera del sistema en estudio. Universo [Conjunto de todos los Sistemas]

SISTEMA Sistema en estudio

Es un conjunto formado por elementos interconectados de Mundo acuerdo Exterior a a ciertos criterios de ordenamiento u organización, para ello es necesario aislarlo del mundo Mundo Exterior exterior Sub-sistema

Sub-sistema



































Sistema MODELO



































CLASIFICACION DE LOS MODELOS



































a) Mode dellos Descriptivos Expresados por leng. convencional (español, inglés) b) Mo Model delos os Ic Icono onos so

Físicos



































a) Mode dellos Determinísticos Son aquellos que NO incluyen propiedades relacionadas con fenómenos b) Mo Model delos os Estocá Esto cásti sticos cos aleatorios Son aquellos que incluyen variables o relaciones



































f) Mode dellos Dinám ámiico Son aquellos que rpta un sistema en que el tiempo es g) Mo Model delos os Conti Continuo nuo en en el importante Tiempo Se caracteriza por tener var. y funciones continuas en el tiempo





























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































4. Con onddic iciión Laboral x1 + El 1 xtiempo x3 ≤por700 de M.O c/unid. del 2 + 1 modelo I es 2 veces el modelo II y 3 2 el modelo 3 III. La fuerza laboral veces de la 5. Con ondi dici cion ones es de nocompleta nega ne gati tivi vida dad d fáb. puede producir el equiv. de 700 unid. del modelo I

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

































4. Par araa una una ca cafe fete terí ríaa que que tr trab abaj ajaa 24 hrs se requiere las siguientes meseras: HORAS DEL DIA

2 6 10 14 18 22

-

6 10 14 18 22 2

NUMERO MINIMO DE MESERAS

4 8 10 7 12 4

Cada mesera trabaja 8 hrs consecutivas por día. Encontrar el número

































Cantidad de meseras q ´ ingresan en el turno 1

horas 2 Turno 1 2 3 4

6

10

14 18

x1 x2 x1 + x6

x3 ≥ 4 x 4

22

2

































Solución xi = Cantidad Cantidad de meseras que ingresan en el turno i. (i= 1,6)

F.O. : Min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 S. a:

x1 + x6 x1 + x2 x2 + x3

≥ ≥ ≥

4 8 10

































5. Una Cía deb debee elabo elaborar rar 2 prod producto uctoss en det det’’ perío período do (un (un trime trimestre stre)) la la Cía Cía puede pagar por materiales y MO, con dinero obtenido obtenido de 2 fuentes: Fondos de la Cía (propio), y préstamos. La Compañía enfrenta tres decisiones. ¿Cuántas unid debe producir del producto 1 ¿Cuántas unid debe producir del producto 2? ¿Cuánto dinero debe obtener prestado para apoyar la producción de los 2 modelos?



































Producto

Precio de Venta

Costo de Producción

1

14

10

2

11

8

Hor as Disponibles por Trimestre

Horas para Producir una Unidad en el Dpto. A B C 0.5 0.3 0.2 0.3 0.4 0.1 500

4 00

2 00



































Del cuadro anterior, se obtiene: U1 = (14 - 10)x1 U2 = (11 - 8)x2 U = -1.05x



































Se sabe que Kapital= 30000 y préstamo es x 3: 10x1 + 8x2

≤

30,000 + x3

x3 ≤ 20,000

(Fondos de la compañía) (Préstamo)



































6. Un agr agric icul ultor tor re requ quie iere re cul culti tiva varr maíz maíz y tri trigo go en un un terreno de 70 Ha, sabe que una Ha puede rendir 30 quintales de maíz o 25 quintales de trigo c/Ha, requiere un cap. de $ 30 si se cultiva con maíz y de $ 40 si se cultiva con trigo, el cap. total disponible es de $ 2,500, las necesidades y de 650 m3 /Ha de trigo en de agua de riego son de 900 m 3 /Ha de maíz y octubre, y de 1200 m3/Ha y 850 m3/Ha de maíz y trigo respectivamente



































Cuadro obtenido del enunciado Producto Capital x Ha

Maíz 30

Trigo

Disponibilidad

40

2 500









































































7. Un bar barco co tien tienee tres tres bode bodegas gas en la la proa proa,, en la pop popaa y en en el cen centro tro





































Solución:

















































































































































































































































































































































































































































































































































































Solución: x j = Nº Nº de vaso de tipo (1:Cerveza (1:Cerveza , 2:Ginegra, 3: Whisky, Whisky, 4: Martini) Martini) Un químico le dio el Malcoh’ axprecios Zde=las 17dex1las + 15 x2 + 16 x3 + 7 x4 Los cont’ bebidas bebid eran bebidas bebi das por pas or vaso vaso de por El 15, tiempo en beber vaso de 1, 2, 2, 4 17, 16 y 7 Sujeto a:

c/vaso de bebida es soles de: 15, 6, 7, 1 x4’ 1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 10x

6x

7x

4x

≤

50 90

































12. El costo costo del avión avión A es de $6.7 $6.7 millones, millones, el avión B en $5 millone milloness y el avión C de $ 3.5 millones. El directorio autoriza la compra de aviones por valor de 150 millones. El tipo A de mayor capacid. proporcionará una utilidad de $. 420,000 anuales, el avión B una utilidad de $.300,000 y el avión C una utilidad de $. 230,000 anuales. La Fuerza Aérea Peruana sólo le podría proporcionar 30 pilotos debidamente entrenados. Aero-Perú Aero-Perú podra mantener un máximo de 40 unid. Mantener un avión B requiere 1/3 más que el avión C y que el avión A requiere 1 2/3 más que el C.

































F.O. :

S.a:

Max Z =utilidad 420x1 de + $. 30420,000 0x2 + 2anuales, 30x3 el avión B una utilidad de $.300,000 y el avión C una utilidad de $. del + avión es de≤$6.7150 anuales. 6.7x1costo +230,000 5x2 3.5Ax3 mills, el avión B en $5 mills x1 y+el avión x2 +C de x3$ 3.5 mills ≤ls 30 mil

B=11C+C=21C Mantener un avión B requiere 3 que el avión C3 y que 1/3 más Ael=avión 1 2 ACrequiere + C = 122/3 2C más que el C. 3 3 2 2 x + 2 1 x + x ≤ 40

































13. Una Cía Cía de art’ art’ electrónicos produce 3 líneas de prod’que son: Transistores, Micromódulos y Circuitos Armados y el centro de producción produ cción tiene 4 áreas áreas de proce proceso: so: Area Area Area Area 

1 2 3 4

Producción de Transistores Armaduría de circuitos Control de transistores Prueba de circuitos y Embalaje

La producción de transistor requiere:



































La construcción de un micromódulo requiere: 0.4 hrs - hombre en Area 2 0.5 hrs - hombre en Area 3 3.0 Transistores S/. 50.0 en costos directos



La producción de un circuito armado requiere: 0.1 hrs - hombre en Area 2 0.5 hrs - hombre en Area 4 1.0 Transistor 3.0 Micromódulos



































Solución:

x1 = Número de transistores a producir x2 = Número de micromódulos a producir x3 = Número de circuitos armados a producir

El número de horas que se necesita de cada Area para fabricar cada



































Area 1 Area 2 Area 3 Area 4

Transis Transisto tore ress Micro Micromó módul dulo os Circu Circuit itos os Armados Armados Hrs 0.1 0. 1 0.3 0. 3 1.0 1. 0 0.4 0. 4 1.3 1. 3 0.5 0. 5 2.0 2. 0 6.5 6. 5 0.5 0. 5

Del cuadro obtenemos las restricciones:

dis dispo ponib nible less 200 20 0 200 20 0 200 20 0 200 20 0



































14. El Plan A garantiza garantiza que c/dólar c/dólar invertido retornará retornará 70 cent. por año, el plan B garantiza que c/dólar invertido retornará $2.00 en dos años. En el plan B se invierte períodos múltiplos de dos años. ¿Cómo se invertirá $ 100,000 para maximizar los retornos al final de los 3 años? Formule el P.L.



































Gráficamente

En el plan B se invierte períodos múltiplos de dos años

100,000 1

xA1

2

xA2

3

xA3

xB1 4



































F.O :

maximizar los retornos al final de los 3 años

Max Z = 1.7 XA3 + 3 XB2

S.a:









































































•

Despedir un azafata cuesta $1000





































Comienzo de Ene hay: (60 azaf)(150 hrs. Azaf) = 9,000 hrs.

















































































































































































































































































































































































































































































































































































20. Una compañía extrae tres tipos de mineral en tres pozos distintos, para ello cuenta con tres equipos de las siguientes características: E q u ip o s

P1

P2

P3

D ía s d e m a n ten c ió n P o r m e s (3 (3 0 d í a s ) 5

E1

90

70

78

E2

65

80

65

2

E3

50

70

85

2

Se necesita un 4 to equipo ,que está disponible los 30 días del mes, pero no se

































• La empresa que recibe el material admite las capacidades siguientes: • Los costos de operación que tiene cada equipo están en el cuadro adjunto (S/. por día) • Los gastos en salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son: Suponiendo que los pozos deben explotarse los 30 días del mes plantee en forma normal el P.L. de manera que el

































Mineral Pozo P1 .......... 2,500 ton/mes Mineral Pozo P2 .......... 2,300 ton/mes Mineral Pozo P3 .......... 2,500 ton/mes

































Los costos de operación que tiene cada equipo están en el cuadro adjunto ( E q u ip os E1

P1 120

P2 250

P3 220

E2

40

170

200

E3

90

100

210

E4

150

300

250

































L o s g a s t o s e n s a la l a r i o y jo j o r n a le le s d e la m a n o d e o b r a a s o c ia d a a c a d a e q u E q u ip o s

E1

E2

E3

E4

S / . d ía

220

350

300

400



































Solución : Definición de variables

xij = Nº de días del equipo i dedicados a la mina j por mes



































F.O. : Utilidad Util idad = Ingreso Ingresoss -C. -C. de Opera Operación ción -C. -C. de Mano Mano de Obra

Sujeto a:



































Ingresos = 3,500(90x11 + 65x21 + 50x31 + 90x41 + 65x12 + 80x22 + 70x32 + 72x42 + 78x13 + 65x23 + 85x33 + 58x43)



































Por capacidad disponible 90x11 + 65x21 + 50x31 + 90x41

≤

2,500



































Por número de días que trabaja cada equipo:









































































PROGRAMACION





















































































































































































































































































































































































































































































































































































































Existen P.L. que no tienen una solución óptima única, sino que al contrario tiene un número Infinito de soluciones. Tal es el caso del siguiente Problema Lineal. MaxZ =5X +2X 1

2

SOLUCIONES Graficamente : OPTIMAS MULTIPLES s.a :

6X 1 +10 X 2 ≤30

10X

1

+4X

2

≤20

X1 ≥0, X 2 ≥0

X2

(2)

5

(1)

3

A

. . . (1) . . . (2)

































Matemáticamente se tiene que si X A es el vector del punto A y X B es el PROPOSICION ALGORITMO vectoreldel punto Blineal entonces se define lo siguiente: Dado problema en forma canónica, Máx Z=cX, sujeto a AX ≤ b, X ≥ 0 Paso1. Si . Dad Dado o un el probl problema ema ennoforma forma canónico: canón ico: existe vector a que este en la base z k λcuyo ∈[0correspondiente X = λX A + (k 1 − λ) X B ,1 ] Max Z = CX ck = 0, y todas las Y ik > 0, i=1, ..., m entonces el programa lineal tiene s.a : proposición AX ≤ b Es tambiénóptimas óptima.multiples La siguiente da las condiciones que soluciones y la base es óptima. permiten identificar soluciones óptimas X ≥ 0múltiples en un tablero del método simplex. 

Paso2. Apl Aplicar icar el algoritmo algoritmo del método método simple simplexx al programa programa lineal. Paso3. Si existe un vector ak original que no está en la base cuyo correspondiente Z -C = 0 y todos los Y > 0 para todo i=1-m,

































DIAGRAMA DE FLUJO Inicio D ado e l P. L . e n su f o r m a c a n ó n ici c a A p lili c a r e l M é t o d o S i m p lele x V e r i f ic a r v e c t o r e s a o r igig ini n a lel e s

no

E x isi s t e u n v e c t o r o r ig inin a l q u e n o e s t á e n lal a b a s e y s u c o r r e s p o n d ieie n t e

k

si

































EJERCICIO Resuelva por el método simplex el siguiente P.L. Max Z

= 5X 1 + 2 X 2

s.a :

6X 1 +10 X 2 10X 1 + 4X 2 X1

≥ 0,

Z - 5X 1 − 2 X 2

X2

Primera Iteración

Xi

≥ 0,

≤ 20 ≥0

− 0 X 3 − 0 X 4 = 0 :

6X 1 +10 X 2 10X 1 + 4X 2

≤ 30

= 30

+ X 3

+ X 4 = 20 ∀i =1 - 4

































Como Z2-C2=0 y a2 no está en la base B=( a 3-a1) y todas las Y i2>0, i en B se tiene una solución óptima multiple. Sea un punto extremo óptimo el siguiente:

 X1  2  X2  0 X= =    X3 18      X 4   0 



































CONTINUACIÓN... Z

X1

X2

X3

a2

1 0

0 0

0 1

0 5/38

X4 1/2 -38/980

a

0

1

0

0

125/950

Z 10 90/38 20/19



































 x B 

 X 1   2    X 3  18  =  =

Y

 x B 

 X 1  20 / 19    X 2  90 / 38  =  =



































PROBLEMAS DE MINIMIZACION A continuación se verá que tipo de problema se desarrollan en un programa de minimización. Donde de eliminan los problemas triviales que son de la forma siguiente:

PROBLEMAS Min Z = C X



































X2

Punto Optimo



































EJEMPLO Por el Método Simplex conduce a resolver lo siguiente. Min Z = - 3 X1

+

5 X2

El problema se puede reescribir. M ax s. a :

(-Z ) = 3 X1 - 5 X 2













































































































Paso 2 : Efectuaremos Efectuarem os el Algoritmo del Método Penal juntamente con su

















































































































































































































































































































































































































































































































































































Anteriormente se dijo que al existir un Empate para decidir que vector entra a la base esto se decide arbitrariamente sin ningún efecto en el número de iteraciones del método simplex. En cambio un empate en el

































II Fase: Se aplica el M. Simplex para resolver el siguiente sig uiente modelo:

































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