UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS B ASICAS PARA INGENIER´IA. BAIN041 ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES PARA INGENIER´ IA Prueba Prueba Parcia Parciall N◦ 3
1
Lunes 07 de julio de 2014 Nombre:............................ Nombre:.............................................. ..................................... ..............................Grupo.................. ...........Grupo.........................Sala......... .......Sala......... Conteste en forma ordenada identificando la pregunta e ´ıtem que corresponde. Cada soluci´ on debe llevar desarrollo y respuesta. on
1.- (10 pts.) pts.) ........................ ........................ 2.- (10 pts.) pts.) ........................ ........................
Est´ a permitido el uso de de calculadora estandar. estandar. 3.- (20 pts.) pts.) ........................ ........................
No est´ No est´ a permitido el uso de celular de celular..
4.- (20 pts.) pts.) ........................ ........................
Tiempo: 120 Tiempo: 120 minutos.
Problema 1 Utilizando Utilizando el m´ etodo etodo de los coeficien coeficientes tes indeterminad indeterminados, os, determine determine la soluci´ solucion ´ general del
sistema sistema dado: X =
−1 3 1 X + +
−3 5
0
et
Desarrollo:
−1 3 Primero determinamos el polinomio caracter´ caracter´ıstico de la l a matriz : −3 5 1 − λ 3 P λ (A − λI ) = det
−3
= (λ − 2)2 = 0
5 − λ
Luego λ Luego λ = = 2 es un valor propio de multiplicidad 2. ................................................................................................................................0..2 puntos ................................................................................................................................0 Para λ = 2, su vector propio asociado est´a dado por:
−3 3 v 0 1
−3 3
=
v2
Desarrollando el sistema matricial, obtenemos v1 = v = v 2 . Por lo tanto el vector buscado es v = 1 1
0
t
Para calcular el segundo vector propio, resolvemos la ecuaci´on on (A − λI )w = v = v..
−3 3 w 1 1
−3 3
w2
=
1
Desarrollando el sistema matricial, obtenemos −3w1 + 3w 3 w2 = 1. Si tomamos w1 = 0 obtenemos el vector propio w = As´ As´ı la soluci sol uci´ on o´n homog´enea enea asociada asoc iada X h (t) = C 1
1 1
2t
e + C 2
0
1 1
1/3
2t
e t +
t
0 1/3
e2t ,
C 1 , C 2 ∈ R
................................................................................................................................0..3 puntos ................................................................................................................................0 1
PAA/SJC/AMR
Para determinar la soluci´ on on particular utilizaremos el m´etodo etodo de coeficientes indeterminados i ndeterminados
a 1
X p (t) =
et
a2
Derivado y sustituyendo en el sistema obtenemos:
a −1 3 a 1 1
1
et =
a2
−3 5
et +
a2
0
et
Haciendo las correspondientes operaciones tenemos:
a − 1 −1 3 a 1
1
=
a2
−3 5
a2
De donde se obtiene a1 = − 4 y a 2 = − 3 Luego X p (t) =
−4 −3
et
................................................................................................................................0.3 puntos ................................................................................................................................0. Por lo tanto la soluci´ on general del sistema esta dado por: on X (t) = C 1
1 1
e2t + C 2
1 1
e2t t +
0 −4 e2t +
1/3
−3
et ,
C 1 , C 2 ∈ R
................................................................................................................................0..2 puntos ................................................................................................................................0 Problema 2 Utilizando el m´ etodo etodo de variaci´ on de par´ ametros, determine la soluci´ on general del sistema
dado:
X =
1
cos t
−1 1 1
X + +
sen t
Desarrollo:
1 Primero determinamos el polinomio caracter´ caracter´ıstico de la l a matriz 1 1 − λ −1 P λ (A − λI ) = det
−1 1
:
= λ 2 − 2λ 2λ + 2
1 − λ
1
et
Donde los valores propios est´an an dados por λ por λ = = 1 ± i. i. ................................................................................................................................0..2 puntos ................................................................................................................................0 Luego para λ = 1 + i + i,, su vector propio asociado est´ a dado por:
−i
−1 1 −i
v 0 1
=
v2
0
Desarrollando el sistema matricial, obtenemos v2 = − iv1 . Por lo tanto el vector buscado es v =
1 1 0 −i
=
0
+
−1
i
Obteniendo las soluciones del sistema φ1 (t) = e
φ2 (t) = e
t
t
1 0
cos t −
0 −1
0
cos t +
1
sen t
1 0
sen t
As´ı la soluci sol uci´ o´n homogenea va a estar dada por: on t
X ( t) = C 1 e
1 0
cos t −
0 1
t
sen t + C 2 e
0 −1
cos t +
1 0
sen t .
Con C Con C 1 , C 2 ∈
R
X h (t) = e
t
cos t
sen t sen t − cos t
C 1
C 2
................................................................................................................................0.3 puntos ................................................................................................................................0. Aqu´ı cos t sen t Φ(t Φ(t) = e t sen t − cos t
sen t Φ (t) = sen t − cos t e cos t sen t cos t 1 1 (t)F ( F (t) = e = sen t − cos t sen t 0 e 1 t 1
−
cos t 1 t
φ−1
t
t
0
dt = dt =
0
Luego X p (t) = e
t
cos t
sen t sen t − cos t
t t cos t 0
= e t
t sen t
................................................................................................................................0..3 puntos ................................................................................................................................0 Por lo tanto, la soluci´ on general esta dada por: on X (t) = C 1 et
1 0
cos t −
0 1
sen t + C 2 et
0 −1
cos t +
1 t cos t 0
sen t + et
t sen t
................................................................................................................................0..2 puntos ................................................................................................................................0 ´ Problema 3 Debe responder UNO Y S OLO de los siguientes problemas: UNO de
a) Consider Consideremos emos dos tanques, A tanques, A y y B, B , conteniendo 1000 conteniendo 1000 litros litros de agua cada uno de ellos e interconectados. El l´ıquido fluye del tanque tanqu e A A hacia el tanque B B a raz´ on de 30 l/min 30 l/min y y del tanque B B hacia el A A a raz´ on de 20 20 l/min l/min.. Desde una fuente externa ingresa salmuera al tanque A a raz´ on de 20 20 l/min l/min con una concentraci´ on de 2 kg/l de sal, y por otra fuente externa entra agua salada al tanque B a raz´ on de 20 20 l/min l/min con con una concentraci´ on de 2 kg/l de kg/l de sal, manteni´endose endose bien agitado agitad o el l´ıquido contenido en el interior de cada tanque. La soluci´ on diluida fluye hacia el exterior del sistema, desde el tanque A a raz´ on de 10 l/min 10 l/min y y desde el tanque B a raz´ on de 30 30 l/min l/min.. Si inicialmente el tanque A s´ olo contiene agua pura y el tanque B B contiene 200 kg 200 kg de sal. Determine la cantidad de sal que habr´ a en cada tanque al cabo de 10 10 min min..
Desarrollo: Definici´ on de variables x(t): Cantidad de sal en el tanque A en alg´ un instante de tiempo t. y(t): Cantidad de sal en el tanque B en alg´ un instante de tiempo t. ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos Planteamiento del sistema:
dx( dx(t) y( y (t) = 40 + 20 dt 1000
−
40 40x x(t) 1000
dy( dy(t) x( x (t) y( y (t) = 40 + 30 − 50 dt 1000 1000 Luego el sistema escrito en forma matricial esta dado por:
4 −3 X = 100
100
2 100 5 − 100
X + + 4040 ,
X (0) (0) =
0 200
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.6 puntos 4 2 − 100 100 Determinamos Determi namos el polinomio polino mio caracter´ıstico ıstico de la matriz ma triz : 3 5 − 100 100
4 − − λ P (A − λI ) = det 1003 λ
100
2 7 2 100 = ( λ + )(λ )( λ + )=0 5 100 100 − − λ 100
7 2 Luego λ = − 100 y λ = − 100 son los valores propios de la matriz. 7 Para λ = − 100 , su vector propio asociado est´ a dado por:
3 1003 100
2 100 2 100
vv = 00 1 2
Desarrollando Desarrollando el sistema sistema matricial, matricial, obtenemos obtenemos 33v1 + 2v 2 v2 =0. Por lo tanto el vector buscado es t v = −2 3
2 Para λ = − 100 , su vector propio asociado est´ a dado por:
2 − 1003 100
2 100 3 − 100
ww = 00 1 2
Desarrollando Desarrollando el sistema sistema matricial, matricial, obtenemos obtenemos w w1 = w 2 . Por lo tanto el vector buscado es t v = 1 1
As´ı la solu so luci´ ci´ on homog´ hom og´ enea enea asociada asoci ada X h (t) = C 1
−2 3
e
−
7
t 100
+ C 2
1 1
e−
2 100
t
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.4 puntos Para determinar la soluci´ on particular particular utilizaremos utilizaremos el m´ etodo etodo de coeficientes coeficientes indeterminados X p (t) = a =
a 1
a2
Derivado y sustituyendo en el sistema obtenemos:
0 − 1004 = 3 0 100
2 100 5 − 100
aa + 4040 1 2
Haciendo las correspondientes operaciones tenemos:
−40 − 1004 = 3 −40 100
2 100 5 − 100
aa
De donde se obtiene a1 = 2000 y a2 = 2000 Luego X p (t) = a =
2000 2000
1 2
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.4 puntos Por lo tanto la soluci´ on general del sistema esta dado por: X (t) = C 1
−2 3
e
7
t − 100
+ C 2
1 1
2
t − 100
e
+
2000 2000
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos Ahora, utilizando las condiciones iniciales x(0) = 0 y y(0) = 0 obtenemos 0 obtenemos C 1 y C 2 .
0 200
= C 1
−2 3
+ C 2
1 2000 +
1
2000
De donde se obtiene C 1 = 40 y C 2 = 1920. 1920. Luego la cantidad de sal en cualquier instante de tiempo t del tanque A y del tanque B es: x(t) = − 80 80ee− y(t) = 120e 120e−
7
t
+ 1920e 1920e−
t
+ 1920e 1920e−
100
7 100
2
t
+ 2000
t
+ 2000
100
2 100
Por lo tanto podemos concluir que la cantidad de sal al cabo de 10 minutos es de: x(10) = 3532, 3532, 24 kg y(10) = 3631, 3631, 55 kg ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos b) Un edificio consta de dos zonas, A y B . S´ olo la zona A es calentada mediante una caldera que genera 80000 btu/h 80000 btu/h.. La capacidad cal´ orica de la zona A es de 1/4 F F por cada cada 1000 btu. btu. La constante de tiempo para la transferencia de calor entre la zona A y el exterior es de 1/2 hora, entre la zona B no calentada y el exterior es de 1/5 hora y entre las dos zonas es de 1/2 hora. Si la temperatura exterior permanece en 0 ◦ F , F , ¿hasta qu´e temperatura podr´ podr´ a enfriarse la zona B no calentada? o
Desarrollo: Definici´ on de variables x(t): Temperatura en la zona A en alg´ un instante de tiempo t. y(t): Temperatura en la zona B en alg´ un instante de tiempo t. ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ...................... .... 0.2 puntos Planteamiento del sistema: dx( dx(t) = 2(0 − x( x(t)) + 2(y 2(y(t) − x( x(t)) + 20 dt dy( dy(t) = 5(0 − y( y (t)) + 2(x 2(x(t) − y( y (t)) dt ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.6 puntos Luego el sistema escrito en forma matricial esta dado por: X =
−4 2
2 −7
20 X + + 0 −4 2
Determinamos Determi namos el polinomio polino mio caracter´ıstico ıstico de la matriz ma triz P λ (A − λI ) = det
−4 − λ 2
2 −7 − λ
2
−7
:
= λ 2 + 11λ 11λ + 24 = (λ ( λ + 3)(λ 3)(λ + 8) = 0
Luego λ = −3 y λ = − 8 son los valores propios de la matriz.
Para λ = −3, su vector propio asociado est´ a dado por:
−1
2 2 −4
v 0 1
=
v2
0
Desarrollando Desarrollando el sistema sistema matricial, matricial, obtenemos obtenemos −v1 + 2v 2 v2 = 0. Por lo tanto el vector buscado es t v = 2 1
Para λ = −8, su vector propio asociado est´ a dado por:
4 2 w 0 1
2 1
=
w2
0
Desarrollando Desarrollando el sistema sistema matricial, matricial, obtenemos obtenemos 22w1 + w + w2 = 0. Por lo tanto el vector buscado es t w = 1 −2
As´ı la solu so luci´ ci´ on homog´ hom og´ enea enea asociada asoci ada X h (t) = C 1
2 1
e−3t + C 2
1 2
e−8t
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.4 puntos Para determinar la soluci´ on particular particular utilizaremos utilizaremos el m´ etodo etodo de coeficientes coeficientes indeterminados X p (t) = a =
a 1
a2
Derivado y sustituyendo en el sistema obtenemos:
0 −4 0
=
2 −7
2
a 20 1
a2
+
0
Haciendo las correspondientes operaciones tenemos:
−20 −4 =
0
2
35 5 De donde se obtiene a1 = y a2 = 6 3 Por lo tanto X p (t) = a =
2 −7
a 1
a2
35 6 5 3
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.4 puntos Donde la soluci´ on general del sistema esta dado por: X (t) = C 1
2 1
e
3t
−
+ C 2
1 −2
e
8t
−
+
35 6 5 3
................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos l´ım y(t) =
t→∞
5 3
Finalmente la temperatura que puede alcanzar la zona B es de 1, 67◦ F . F . ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos
´ Problema 4 Debe responder UNO Y S OLO de los siguientes problemas: UNO de
a) Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento horizontal en l´ınea ınea recta recta de los resortes acoplados que se muestran en la figura. Resuelva el sistema cuando k1 = k 3 = 1 N/m, N/m , k2 = 4 N/m, N/m , m1 = m = m 2 = 1 kg y x(0) = − 1 m, m, y(0) = 1 m 1 m,, x (0) = 1 m/s 1 m/s,, y (0) = − 1 m/s. m/s.
Soluci´ on:
Definici´ on de variables:
• x(t) : Desplazamiento horizontal de la masa m1 en el instante de tiempo t. • y(t) : Desplazamiento horizontal de la masa m2 en el instante de tiempo t. ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos Planteamiento del sistema diferencial:
Para la masa m1 , se tiene: m1 x = −k1 x + k + k2 (y − x) x) x = −5x + y + y Para la masa m2 , se tiene: m2 y = −k2 (y − x) x) − k3 y y = 4x − 5y 5y ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.6 puntos Matricialme Matricialmente nte se tiene:
X (t) =
−5 4
4 −5
(0) = X (t); X (0)
−1 1
; X (0) =
1 −1
;
Resoluci´ on
Aplicando Transformada de Laplace se tiene: 2
s +5 −4
{x} −4 2 s +5 L{x} L{y } L{x} L{y } L
L{y }
{x}
L
L{y }
L{x} L{y }
= = = =
=
−(s − 1)
(s − 1) 1 s2 + 5 4 2 4 s +5 (s2 + 1) 1) (s2 + 9)) 1 −(s − 1)(s 1)(s2 + 1) (s − 1)(s 1)(s2 + 1) (s2 + 1) 1) (s2 + 9) −(s − 1) s2 + 9 (s − 1) s2 + 9 s 1 − 2 + 2 s +9 s +9 s 1 − 2 2 s +9 s +9
−(s − 1) (s − 1)
................................. .................................................. .................................. ................................... ................................... .................................. .......................... ......... 0.8 puntos
Aplicando la Transformada de Laplace inversa, se obtiene: 1 x(t) = − cos(3t cos(3t) + sen(3t sen(3t) 3 ................................. .................................................. .................................. ................................... ................................... .................................. .......................... ......... 0.2 puntos 1 y(t) = cos(3t cos(3t) − sen(3t sen(3t) 3 ................................. .................................................. .................................. ................................... ................................... .................................. .......................... ......... 0.2 puntos b) Determine un sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes de la red dada en el diagrama esquem´ atico. Suponga que todas las corrientes iniciales se anulan. Determine las corrientes en cada malla de la red.
Definici´ on de variables:
ectrica en el tiempo t • I 1 : Intensidad de la corriente el´ectrica ectrica en el tiempo t • I 2 : Intensidad de la corriente el´ectrica ectrica en el tiempo t • I 3 : Intensidad de la corriente el´ectrica ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos Planteamiento del sistema:
• Malla 1: ABEFA V R + V + V L R1 I 1 + LI + LI 2 10 10I I 1 + 20I 20 I 2 I 1 + 2I 2 I 2
= = = =
E (t) 10 10 1
• Malla 2: ABCDEFA V R + V + V C C 1 R1 I 1 + R + R2 I 3 + q 3 c 1 R1 I 1 + R + R2 I 3 + I 3 c 10 10I I 1 + 5I 5 I 3 + 30I 30 I 3 2I 1 + I + I 3 + 6I 6 I 3
= E (t) = 10 = 0 = 0 = 0
Para eliminar I 2 de la malla 1, usamos I 2 = I 1 − I 3 , luego se obtiene el siguiente sistema : 2I 1 − 2I 2I 3 + I + I 1 = 1, I 1 (0) = 0 2I 1 + I + I 3 + 6I 6 I 3 = 0, I 3 (0) = 0 ................................. .................................................. ................................... ................................... .................................. ................................... .......................... ........ 0.6 puntos
• Resoluci´ on: Aplicando la trasformada de Laplace se tiene: 1 s 2sL{I 1 } + s + sL{I 3 } + 6 L{I 3 } = 0 2sL{I 1 } − 2s 2sL{I 3 } + L{I 1 } =
1 s 2sL{I 1 } + (s ( s + 6)L{I 3 } = 0
(2s (2s + 1)L{I 1 } − 2s 2sL{I 3 } =
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: L{I 1 } =
s + 6 6s(s + 2/ 2/3)(s 3)(s + 3/ 3/2)
Haciendo descomposici´ on en suma de fracciones parciales, se obtiene: L{I 1 } =
1 8/5 3/5 + − s s + 2/ 2 /3 s + 3/ 3 /3
................................. .................................................. ................................... ................................... .................................. ................................... .......................... ........ 0.4 puntos Aplicando la transformada de Laplace inversa se tiene: 8 I 1 (t) = 1 − e− 5 Para I 3 , se tiene: L{I 3 } = −
2 3
t
3 + e− 5
3 2
t
1 3(s 3(s + 2/ 2 /3)(s 3)(s + 3/ 3 /2)
................................. .................................................. ................................... ................................... .................................. ................................... .......................... ........ 0.4 puntos Haciendo descomposici´ on en suma de fracciones parciales, se obtiene: L{I 1 } = −
2/5 2/5 + s + 2/ 2 /3 s + 3/ 3 /2
Aplicando la transformada de Laplace inversa se tiene: 2 I 3 (t) = − e− 5
2 3
t
2 + e− 5
3 2
t
Como I 2 (t) = I 1 (t) − I 3 (t), se obtiene: 6 I 2 (t) = 1 − e− 5
2 3
t
1 + e− 5
3 2
t
Respuesta:
8 3 I 1 (t) = 1 − e− t + e− t 5 5 ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos 6 I 2 (t) = 1 − e− 5
2
3
3
2
2 3
t
1 + e− 5
3 2
t
2 2 I 3 (t) = − e− t + e− t 5 5 ................................... .................................................... ................................... ................................... .................................. ................................... ........................ ...... 0.2 puntos 2
3
3
2
