Onem2004_f2_sol_nv2

MINISTERIO DE EDUCACION

SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA

Rolando leyó ayer la quinta parte de las páginas de un libro; hoy leyó la mitad de lo que le quedaba por leer y todavía le faltan 80 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Ayer l e quedó por leer las cuatro quintas partes p artes ( 1 -

1

=

4

). El día de hoy leyó la mitad de 5 5 lo que le quedaba por leer, es decir, las dos quintas partes y todavía le quedaron las otras dos quintas partes. Por lo tanto, si x es la cantidad de páginas del libro tenemos la ecuación: 2 x = 80 5 cuya solución es x = 200 .

Una delegación de 36 estudiantes viajará representando a su colegio en una competencia deportiva. Cada estudiante representa a su colegio solo en una disciplina, fútbol, básquet o tenis. Se sabe que la mitad del número de futbolistas más la tercera parte de basquetbolistas es igual a 14. Además, el número de basquetbolistas más el doble del número de tenistas es igual al número de futbolistas. ¿Cuántos tenistas conforman la delegación?

Sean f , b y t variables que representan la cantidad de futbolistas, basquetbolistas y tenistas, respectivamente, en la delegación del colegio. Luego: (1) f + b + t = 36 También, por condición del problema: f

2

+

b

3

b + 2t

= 14

=

(2)

f

(3) Podemos resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por cualquiera de los métodos conocidos o podemos obtener directamente el valor de t multiplicando cada ecuación por algún coeficiente conveniente. Por ejemplo, si multiplicamos por 12 la ecuación (2), le sumamos la ecuación (3) y le restamos 5 veces la ecuación (1) obtenemos:

æ f b ö + ÷ + ( b + 2t ) - 5 ( f + b + t ) = 12 ´14 + è 2 3ø

12 ç Simplificando:

f

f

- 5 ´ 3 6

- 3t = f - 12 t = 4

OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Soluciones - Segunda Fase - Nivel 2

1



Calcula la suma de todos los números que satisfacen la siguiente ecuación:

3 x - 2 - 18 18 =

x

Tenemos:

3 x - 2 = 18 1 8 + x 3 x - 2 = (18 + x )

Ú 3 x - 2 = - (18 + x ) 2 x = 20 Ú 4 x = -16 x = 10 Ú x = -4

Verificando en la ecuación original se confirma que ambos valores son soluciones. Luego, la suma de las soluciones es 10 – 4 = 6.

Factoriza el siguiente polinomio, en el conjunto de polinomios con coeficientes enteros, P ( x)

= x4 + 6 x2 + 25

Indica como respuesta respuesta el número de factores factores primos.

Tenemos: P ( x) P ( x)

= ( x4 + 10 x2 + 25 ) - 4 x2

P ( x) P ( x)

= x4 + 6 x2 + 25 2

= ( x2 + 5 ) - ( 2 x )

2

= ( x2 + 2 x + 5 )( x2 - 2x + 5)

Como el polinomio x2 + 2 x + 5 tiene discriminante negativo: 2

D = ( 2 ) - 4 (1) (5 ) = -16 , 2 no se puede factorizar. Lo mismo sucede con el polinomio x - 2 x + 5 . Por lo tanto, P ( x ) solo tiene dos factores primos.

Sea f una una función definida en los números reales tal que:

=2 f ( x + 1) = f ( x) + 2 x + 4 , para todo valor de Calcula el valor de f (1) + f (-1) . (0) f

x

Si reemplazamos x = 0 en la ecuación obtenemos: f

(1) = f ( 0 ) + 2 ´ 0 + 4

y como f (0) = 2 , se obtiene f (1) = 6 . De otro lado, si reemplazamos x = -1 en la ecuación se obtiene:

( 0 ) = f ( -1) + 2 ´ ( -1) + 4 f ( -1) = 0 . f

(0) = 2 , se obtiene y como f Finalmente:

(-1) f (1) + f

=6


2



Por el vértice B de un triángulo ABC se traza la recta L paralela al lado AC. La bisectriz interior del ángulo A corta a L en el punto M y la bisectriz exterior del ángulo C corta a la recta L en el punto N. Si AB = 24 y BC = 36, calcula MN.

Se tiene la siguiente figura: L

B

M

N

C

A

Como AM es bisectriz, Ð ABM = ÐMAC. Pero como L es paralela a AC, ÐBMA = ÐMAC (ángulos alternos internos). De estas dos igualdades se deduce que Ð ABM = ÐBMA, por lo que BM = AB = 24. De manera similar se concluye que BN = BC = 36. Finalmente, MN = BN – BM = 36 – 24 = 12.

Santiago intercambió los dígitos de un número de tres cifras de modo que ningún dígito quedó en su posición original y obtuvo así otro número de tres cifras. Después restó el primer número menos el segundo y obtuvo como resultado un número cuadrado perfecto de dos dígitos. ¿Cuántos posibles valores tiene este número cuadrado perfecto?

Sea n = a bc el número original. Luego del intercambio de dígitos el número puede ser bca

o cab . Para el primer caso, la diferencia d entre el número original y el nuevo número es:

= a bc - bca = (100a + 10 10b + c ) - (100b + 10c + a ) d

d

= 99 a - 90b - 9 c = 9 (11a - 10 b - c )

d d

Vemos que esta diferencia es múltiplo de 9 y, por condición del problema, debe ser cuadrado perfecto. Entonces, d solo tiene dos posibles valores: 36 y 81. Por ejemplo:

218 - 182 = 36 213 - 132 = 81 En el segundo caso, también la diferencia d resulta múltiplo de 9 y los únicos números posibles son 36 y 81.


3



Encuentra la cantidad de números capicúas de 5 cifras que sean múltiplos de 37. Un número capicúa es aquel que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo, 171, 2002 y 45054.

Un número capicúa n de cinco cifras tiene la siguiente forma descomponiendo el número: n = 1 00 00 a + 1000 b + 10 0c + 10 b + a

= 10001a + 1010b + 100c 1 1c ) n = ( 999 0 a + 11a ) + (9 99 b + 11b ) + (11 1c -11

abcba .

Luego,

n

n

= ( 9990 a + 999b +111c ) + (11a + 11b - 11c ) n

= 37 ( 270a + 27b + 3c ) + 11 ( a + b - c )

De esta última expresión, para que n sea múltiplo de 37 se tiene que cumplir que

11 ( a + b - c ) sea múltiplo de 37. Esto solo es posible cuando

a

+ b - c = 0 , es decir,

cuando a + b = c . Para cada cada valor valor de de c se tienen c soluciones, por ejemplo, para c = 4 las soluciones son a = 4, b = 0 ; a = 3, b = 1 ; a = 2, b = 2 ; y, a = 1, b = 3 . Como c puede tomar valores desde 1 hasta 9, el número de soluciones es 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 = 45.

En una lejano país, existen solamente tres tipos de monedas cada una con un valor entero de soles. Juan tiene cuatro monedas en su bolsillo derecho por un total de 28 soles y tiene cinco monedas en su bolsillo izquierdo por un total de 21 soles, pero en cada bolsillo tiene al menos una moneda de cada tipo. Determina la suma de los valores de los tres tipos de monedas. Sean a , b y c los valores de las monedas, donde 1 £ a < b < c . En el bolsillo derecho tiene una moneda de valor a , una de valor b , una de valor c y una moneda adicional. En el izquierdo tiene también una moneda de valor a , una de valor b , una de valor c pero tiene dos monedas adicionales. La moneda adicional del bolsillo derecho no puede ser la de valor a , pues en este bolsillo tiene más dinero que en el izquierdo, el cual a su vez tiene 5 monedas. Luego, tenemos dos casos: CASO 1: Si la moneda adicional en el bolsillo derecho es una moneda b En este caso las dos monedas adicionales del bolsillo izquierdo son ambas de valor a . Luego, podemos plantear las ecuaciones:

( a + b + c ) + b = 28 ( a + b + c ) + a + a = 21

(1) (2)

Al restar la primera ecuación menos la segunda, segunda, se obtiene: b - 2a = 7 b

= 2a + 7

Eso significa que b vale al menos 9 y c , que es la mayor, vale al menos 10. Pero entonces ya no se puede cumplir la ecuación (1), pues a + 2b + c tendría un valor de al menos 1+18+10=29. Por lo tanto, en este caso no hay solución.


4



CASO 2: Si la moneda adicional en el bolsillo derecho es una moneda c En este caso, las dos monedas adicionales del bolsillo izquierdo pueden ser de valores a y b , ambas de valor b o ambas de valor a . Subcaso 1: Si las dos monedas adicionales del bolsillo derecho son de valores a y b . Tenemos las ecuaciones:

( a + b + c ) + c = 28 ( a + b + c ) + a + b = 21

(3) (4)

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

3a + 3b + 3c = 49 Lo cual no es admisible, pues el lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 3 pero el lado derecho no lo es. Subcaso 2: Si las dos monedas adicionales del bolsillo derecho son ambas de valores b . Tenemos las ecuaciones:

( a + b + c ) + c = 28 ( a + b + c ) + 2b = 21

(5) (6)

Si restamos las dos ecuaciones obtenemos:

c - 2b =

7 c = 2b + 7

Si reemplazamos esta última igualdad en (6) se obtiene:

( a + b + 2b + 7 ) + 2 b = 21 Simplificando:

5b + a = 14

Lo cual significa que b vale 1 ó 2 y a vale por lo menos 4, lo cual no es admisible pues a < b . Subcaso 3: Si las dos monedas adicionales del bolsillo derecho son ambas de valores a . Tenemos las ecuaciones:

( a + b + c ) + c = 28 ( a + b + c ) + 2a = 21

(7) (8)

Si restamos las dos ecuaciones obtenemos: c - 2a = 7 c

= 2a + 7

(9)

Si reemplazamos esta última igualdad en (8) se obtiene:

( a + b + 2 a + 7 ) + 2 a = 21 Simplificando:

5a + b = 14 La cual tiene dos soluciones a = 1; b = 9 y a = 2; b = 4 . Reemplazando la primera de ellas en (9) se obtiene c = 9 , lo cual no se puede aceptar, pues se tendría b = c = 9 . Si consideramos la segunda posibilidad y la reemplazamos en (9) se obtiene: a

= 2; b = 4; c = 11

que es la única solución del problema.


5



Un tablero de 2 x 5, como el mostrado en la figura, debe cubrirse completamente con fichas de colores de los tipos A, B y C mostradas, donde las fichas del tipo A son azules, las del tipo B son rojas y las del tipo C son verdes.

Halla el número de formas posibles de cubrir el tablero. Ten presente que la ficha de tipo B puede usarse tanto en forma horizontal como vertical y que no es obligatorio utilizar los tres tipos de fichas en cada cubrimiento.

Contaremos la cantidad de formas de cubrir el tablero considerando las fichas que se utilizan para ello. Sin embargo, como las fichas B pueden ir de dos formas, denominaremos ficha B v y ficha Bh a la ficha B usada en posición vertical y horizontal, respectivamente, como se muestra en la siguiente figura:

Fichas utilizadas para el cubrimiento 2 fichas C y 1 ficha B v 2 fichas C y 1 ficha B h 2 fichas C y 2 fichas A

Cantidad de formas 3 0 3

Fichas utilizadas para el cubrimiento 1 ficha C y 3 fichas B v 1 ficha C, 2 fichas B v y 1 ficha Bh 1 ficha C, 1 fichas Bv y 2 fichas Bh 1 ficha C y 3 fichas B h 1 ficha C, 2 fichas Bv y 2 fichas A 1 ficha C, 1 fichas B v, 1 ficha Bh y 2 fichas A 1 ficha C, 2 fichas B h y 2 fichas A 1 ficha C, 1 fichas Bv y 4 fichas A 1 ficha C, 1 fichas B h y 4 fichas A 1 ficha C y 6 fichas A

Cantidad de formas 4 0 6 0 12 12 10 12 12 4


6



Fichas utilizadas para el cubrimiento 5 fichas Bv 4 fichas Bv y 1 ficha Bh 3 fichas Bv y 2 fichas Bh 2 fichas Bv y 3 fichas Bh 1 fichas Bv y 4 fichas Bh 5 fichas Bh 4 fichas Bv y 2 fichas A 3 fichas Bv, 1 ficha B h y 2 fichas A 2 fichas Bv, 2 fichas Bh y 2 fichas A 1 ficha Bv, 3 fichas B h y 2 fichas A 4 fichas Bh y 2 fichas A 3 fichas Bv y 4 fichas A 2 fichas Bv, 1 ficha B h y 4 fichas A 1 ficha Bv, 2 fichas B h y 4 fichas A 3 fichas Bh y 4 fichas A 2 fichas Bv y 6 fichas A 1 ficha Bv, 1 ficha Bh y 6 fichas A 2 fichas Bh y 6 fichas A 1 ficha Bv y 8 fichas A 1 ficha Bh y 8 fichas A 10 fichas A

Cantidad de formas 1 0 4 0 3 0 5 8 18 16 9 10 24 36 24 10 24 22 5 8 1

Sumando todas las cantidades de formas obtenemos como resultado 306.


7



Pregunta

Respuesta Respuesta

Pregunta

Respuesta Respuesta

1

200

6

12

2

4

7

2

3

6

8

45

4

2

9

17

5

6

10

306


8

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