Numerico_Mora_Espinoza

Métodos Numéricos

| CID CID SE SE | Revista Virtual Matemática, Educación e Internet |

> Introducción a Excel > Solución de ecuaciones > Interpolación

>

> Derivación numérica

>

> Integración numérica

>

> Matrices

>

> Ecuaciones diferenciales > MatLab y Mathematica > Carta al Estudiante

>

Introducción El método de bisección El método de Newton Método de punto fijo Sesión de laboratorio con Excel Software Graficador General Newton-Raphson Bisección Falsa Posición Punto Fijo q

r

> Profesores > Revista digital Matemática, Educación e

r r

Internet

r r

Código de los algoritmos en Mathematica 4.2 > Código de los algoritmos en MatLab (archivos m) >

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/index.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/index.htm [04/07/2006 01:55:12 p.m.]

.:Centro de Investigación y de Desarrollo de Software Educativo:.

Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

Revista Digital Alrededor del año 2000 nace ésta publicación con el objetivo de crear un sitio para la divulgación y discusión de las matemáticas. La riqueza visual e interactiva es un gran aporte al proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, permitiendo conceptualizar y visualizar conceptos que algunas veces pueden ser demasiado abstractos como para logar una apropiación adecuada de los mismos. Centro de Recursos Virtuales (CRV) El proyecto Centro de Recursos Virtuales que desarrolla la Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica con el apoyo de la fundación Costa Rica-Estados Unidos (CRUSA) constituye un esfuerzo conjunto por investigar y desarrollar alternativas para apoyar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. Cursos en Línea El objetivo es desarrollar versiones digitales y en línea de nuestros principales cursos, enriquecidos con actividades interactivas, con las cuales el estudiante pueda explorar, visualizar y comprender mejor algunos conceptos.

Web Matemática Web Matemática es una nueva tecnología desarrollada por Wolfram Reseach Inc que permite desarrolllar sitios web dinámicos, con contenido matemático. Esto se logra integrando Mathematica con la tecnología Java Servlets.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ http://www.cidse.itcr.ac.cr/ (1 of 2) [04/07/2006 01:55:21 p.m.]

.:Centro de Investigación y de Desarrollo de Software Educativo:.

CIEMAC Es un escenario en el cual, las personas interesadas y comprometidas con la compleja dinámica de la enseñanza de la matemática, podamos compartir, conocer, analizar y debatir experiencias innovadoras.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ http://www.cidse.itcr.ac.cr/ (2 of 2) [04/07/2006 01:55:21 p.m.]

Programación de macros VBA para Excel M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. José Luis Espinoza B.

| M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. José Luis Espinoza B. | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 archivo.pdf archivo.zip

Revisado: Octubre 28, 2005

Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis Numérico M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. José Luis Espinoza B

.

Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

q q

Introducción Evaluación de funciones Funciones definidas por el usuario Errores comunes Evaluando una función en varios tipos de parámetros Evaluación con argumentos variables Evaluación con argumentos variables y/o constantes Construyendo rangos con un incremento fijo r r r

s s s

q q

Gráficas Programación de macros Introducción Editar y ejecutar macros. Funciones Ejemplo 1: implementar una función. Ejemplo 2: lectura de parámetros en celdas r

s

r

s s

q

Elementos de programación en VBA Flujo secuencial Flujo condicional (If - Else) Flujo repetitivo (For-Next, While-Wend) r r r

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/Excel/index.html (1 of 2) [04/07/2006 01:55:27 p.m.]

Programación de macros VBA para Excel M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. José Luis Espinoza B. r r r r r

q

Manejo de rangos Subrutinas. Edición y ejecución de una subrutina Ejecución de una subrutina mediante un botón Matrices dinámicas Inclusión de procedimientos de borrado

Evaluando expresiones matemáticas escritas en lenguaje matemático común Usando clsMathParser. Sintaxis. Ejemplo: un graficador de funciones 2D y un graficador de superficies 3D Ejemplo: series numéricas y series de potencias Ejemplo: método de Newton-Raphson Ejemplo: método de Romberg para integración Ejemplo: la función Gamma Ejemplo: cuadratura gaussiana e integral doble gaussiana. Cuadratura gaussiana. Integral doble gaussiana. r r r r r r r

s s

q q

Bibliografía archivo.pdf | archivo.zip

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR Derechos Reservadoss.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/Excel/index.html (2 of 2) [04/07/2006 01:55:27 p.m.]

Ecuaciones

> > > >

>

Introducción El método de bisección El método de Newton Método de punto fijo Sesión de laboratorio con Excel Software Graficador General Newton-Raphson Bisección Falsa Posición Punto Fijo q

r r r r r

Código de los algoritmos en Mathematica 4.2 > Código de los algoritmos en MatLab (archivos m) >

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/indexEcuaciones.htm [04/07/2006 01:55:28 p.m.]

Ecuaciones

Introducción > Polinomio interpolante de Lagrange > Interpolación por diferencias divididas de Newton > Algoritmo de Neville. Trazadores cúbicos Un caso particular El caso general >

q

r r

Sesión de laboratorio con MATLAB > Sesión de laboratorio con Excel Implementación del método de diferencias divididas Implementación del polinomio interpolante de Lagrange >

q

r r

>

Bibliografía

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioInterpolacion/indexInterpolacion.htm [04/07/2006 01:55:32 p.m.]

Derivación Numérica

Walter Mora F, José Luis Espinoza B, Inicio


Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange. Fórmulas de tres y cinco puntos

Supongamos que

son

puntos en un intervalo

y que

. Si

es el polinomio interpolador de Lagrange entonces

para alguna

. Al derivar esta expresión y evaluar en algún

(de los

puntos

)

obtenemos

Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de

-puntos para aproximar

. Ahora lo que vamos a

hacer es, a partir de aquí, obtener fórmulas útiles de tres y cinco puntos.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/DerivacionNumerica/index.html (1 of 6) [04/07/2006 01:55:44 p.m.]


En lo que sigue vamos a suponer que los

son igualmente espaciados, es decir suponemos que

Por ejemplo, si

entonces

Fórmulas de tres puntos Supongamos que solo tenemos tres datos

igualmente espaciados,es decir, con

. Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para

respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")

Fórmulas de cinco puntos De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, con obtener la fórmula de cinco puntos

Fórmula para la segunda derivada


, se puede


Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la segunda derivada

EJEMPLO. Consideremos la siguiente tabla de datos

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

Estimar

y

SOLUCIÓN. Para estimar

1.00 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547 1.072508181 1.083287068 1.094174284

.

se puede usar la fórmula de cinco puntos mientras que para estimar

podemos usar una fórmula de tres puntos, para ser exactos, la fórmula apropiada es la fórmula para .

Estimación de

con la fórmula de cinco puntos.

Seleccionamos cinco puntos de tal manera que,



0.00 1 0.01 1.010050167 0.02 1.02020134 0.03 1.030454534 0.04 1.040810774 0.05 1.051271096 0.06 1.061836547 0.07 1.072508181 0.08 1.083287068 0.09 1.094174284 Ahora aplicamos la fórmula, como

como se esperaba ya que

Estimación de

con la fórmula de tres puntos para estimar

.

Seleccionamos tres puntos de tal manera que,

0.00 0.01 0.02 0.03

1.00 1.010050167 1.02020134 1.030454534



0.04 0.05 0.06

1.040810774 1.051271096 1.061836547

0.07

1.072508181

0.08

1.083287068

0.09

1.094174284

Ahora aplicamos la fórmula, como

como se esperaba. Observe que la precisión no es tan buena como la obtenida con la fórmula de cinco puntos.

EJERCICIOS 1. Considere la tabla

i.) En Excel, estimar

1.1

1.042236692

1.2

1.082222055

1.3

1.120140413

1.4

1.156156396

1.5

1.190417757

1.6

1.223057566

1.7

1.254195979

1.8

1.283941742

,

y

y comparar con el valor real.



ii.) En Excel, estimar

,

y

y comparar con el valor real.

2. Implementar una hoja en Excel, con o sin macros, para que poder calcular la aproximación de cada una de las derivadas usando las cinco fórmulas vistas en la teoría.

Bibliografía 1 Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. Ed. Thomson, 6a. ed., 1998. 2 Chapra, S.; Canale, R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Ed. Mc Graw Hill, 4a. ed., 2002. 3 Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000. 4 Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 2nd ed., 1992.

Tabla de contenidos

Este documento fue generado usando

LaTeX2HTML translator Version 99.2beta6 (1.42)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds. Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney


New Page 3

> > > > > > >

Teoría Integral de Riemann Regla del Trapecio Regla de Simpson Romberg Cuadratura Gaussiana Integral definida con Mathematica

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioIntegracion/indexIntegracion.htm [04/07/2006 01:55:45 p.m.]

Revista Virtual Matemática, Educación e Internet

Secciones

Geovani Sanabria B Esteban Meneses, Francisco J. Torres-Rojas Walter Mora F. George Braddock S.

Métodos de Factorización de números naturales Un Problema de Conjuntos en Computación Distribuida Gráficos 3D interactivos con Mathematica y LiveGraphics3D Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométricopolinomiales

>

SoftwareDidáctico

>

Propuestas Didácticas

>

El Mundo de las Matemáticas

>

Aportes Pedagógicos y Material Didáctico Tecnologías de Internet en la Enseñanza Historia de las Matemáticas Mathematica y Educación El Geometra (The Geometer's Sketchpad) Temas de Geometría Olimpiada Matemática Costarricense para la Educación Primaria (OMCEP)

>

> >

Explore

>

> >

Villafuerte, T. et al. Geometría Interactiva (I, II y III Ciclo) Borbón A. et al. Generador de Prácticas y Examen de Bachillerato > >

>

Probabilidad, Curso Virtual MatemáticaGeneral

>

Cálculo Superior

>

Juegos y Entretenimientos Programación de Software Didáctico Ejercicios de Olimpiadas Matemáticas Olimpiada Interna Escuela de Matemática, ITCR

VBA para Excel. Métodos Numéricos Cálculo Diferencial e Integral

>

Álgebra Lineal >

Ecuaciones Diferenciales

>

Tecnologías de Internet en la Enseñanza de la Matemática Donaciones Comentarios | Preguntas | Suscríbase (gratuitamente) | Suscriba a un amigo ¿Cómo publicar en esta revista? Índice Temático | Palabras Claves | Autores

Números Anteriores de la Revista

Buscar en la revista

Buscar

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ (1 of 2) [04/07/2006 01:55:59 p.m.]

Enlaces/Eventos SoftwareDidáctico Donaciones

Revista Virtual Matemática, Educación e Internet Revista digital Matemáticas, Educación e Internet® Volumen 6, número 2, setiembre 2005 Derechos Reservados Teléfono (506)5502225 Fax (506)5502493

Avalada por el Consejo Editorial de la Editorial Tecnológica de Costa Rica Para visualizar todas las componentes de esta publicación, requiere Internet explorer 5.x o superior o Netscape 4.x o superior. Se recomienda el navegador gratuito Mozilla-FireFox o Mozilla. El material interactivo está implementado en Java. Si tiene algún problema, puede descargar Java, para su navegador, de la siguiente dirección: http://www.java.com/es/download/ (la instalación procederá de manera automática)

Diseño y edición: Walter Mora F

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ (2 of 2) [04/07/2006 01:55:59 p.m.]

Introducción

Walter Mora F, José Luis Espinoza B Inicio

Introducción Los métodos numéricos consisten, a grandes rasgos, en técnicas para aproximar las soluciones de problemas expresados mediante modelos matemáticos. Para un mismo problema en ocasiones disponemos de varios métodos y entre uno y otro método hay diferencias, no sólo en la forma en que aproxima dichas soluciones, sino también en la eficiencia del algoritmo, expresada, a grandes rasgos, en la cantidad de operaciones que se deben realizar para obtener una precisión dada. Debido a que por regla general los métodos numéricos realizan una cantidad de cálculos tediosos, desde que se empezaron a usar las computadoras a finales de los años cuarenta se les ha dado un gran impulso y relevancia, dado que al librarnos éstas de los cálculos manuales, podemos centrar nuestro esfuerzo en la una adecuada formulación del problema y en la interpretación de resultados. De esta forma, por medio de la computadora se pierde la dependencia de los métodos analíticos, con los cuales se halla la solución exacta a una cantidad muy limitada de problemas. Al referirse a la precisión de un método numérico no se puede dejar de mencionar el error con que una cantidad calculada por dicho método aproxima a la cantidad verdadera que por lo general es desconocida y que muchas veces es hasta imposible de calcular. Por esto, es normal referirse a un método y paralelamente al error que se espera del mismo.

Tabla de Contenidos

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node2.html [04/07/2006 01:56:01 p.m.]

El método de bisección


Bisección

Software:

4

Bisección

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua

en un intervalo cerrado

toma todos los valores que se hallan entre

. Esto es, que todo valor entre intervalo

. En caso de que

y y

el valor cero sería un valor intermedio entre que cumple de la ecuación

y

es la imagen de al menos un valor en el tengan signos opuestos ( y

),

, por lo que con certeza existe un

en

. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución .

El método consiste en lo siguiente: De antemano debemos estar seguros de la continuidad de la función

en el intervalo

punto medio

del intervalo

. Luego verificamos que . A continuación calculamos

. Calculamos el . En caso de que

sea igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si tiene signo opuesto con o

o con

. Se redefine el intervalo

como

según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de

signo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node3.html (1 of 4) [04/07/2006 01:56:07 p.m.]


En la primera iteración del algoritmo de bisección, es claro que la raíz

se halla a una distancia

menor o igual que

, pues con toda seguridad la raíz se encuentra en alguno de los dos intervalos

de tamaño

, contiguos al punto medio del intervalo

nuevo intervalo mide que

. En la segunda iteración, el

y de nuevo la distancia entre el nuevo punto medio y . Se forman así tres sucesiones de valores

,

es menor o igual y

puede mostrarse fácilmente por inducción que en la n-ésima iteración, al aproximar

,y con

se

tiene que

De esta forma, si queremos estimar el número de iteraciones necesarias para que, al aproximar la solución de la ecuación mediante el punto medio, el error de aproximación sea menor que un parámetro

, de la desigualdad anterior se concluye que deben hacerse al menos



. 1 iteraciones.

Por ejemplo, al aplicar el algoritmo de bisección a una función

en el intervalo

queremos que el error de aproximación sea menor o igual que

, si , el número

de iteraciones debe cumplir

por lo que deben realizarse al menos 16 iteraciones.

Algoritmo Bisección: Entrada:

Una función continua

definida en un intervalo

, con

de signos opuestos.

Parámetros:

= Máximo número de iteraciones. = Nivel de precisión respecto a la solución exacta. . Inicio . Defina . Mientras

:

. Defina

.

. Si

,

. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node3.html (3 of 4) [04/07/2006 01:56:07 p.m.]

y


Salida: m. .

Parar . Si

redefina

. De otra forma, redefina

. . Incremente

.

.

Salida: "El método fracasó después de

iteraciones".

.

Parar.

Tabla de Contenidos


El método de Newton



Software:

Nótese que en el algoritmo se ha usado

4

Newton-Raphson

como estimador del error entre una

iteración y la siguiente. Esto se debe a que

.

El Teorema 1 establece condiciones bajo las cuales puede asegurarse la convergencia del algoritmo de Newton.

Teorema 1 Sea cual existe un cero

una función con segunda derivada continua en un intervalo de

sea la adivinanza inicial

. Si en el intervalo

entonces existe un

tal que cuaquiera que

, la sucesión

método de Newton converge a

en el

.


generada por el


Si

es una función derivable en un intervalo alrededor de una solución

puede formar una sucesión ilustra en la figura 3 para

de aproximaciones de

, cuando se ha calculado una aproximación

se obtiene hallando la intersección con el eje

punto

. Dicha recta tangente tiene la forma:

se despeja el valor de

, obteniendo

, se

de la siguiente forma: Tal y como se

aproximación

Al resolver

de

, la siguiente

de la recta tangente en el

:

Este método algunas veces no converge, pues depende de la escogencia de la aproximación inicial , así como de las condiciones propias de . Por ejemplo, si la derivada de

y

alrededor de la solución de

en la raíz de la ecuación es cero, en caso de que una

aproximación esté suficientemente cerca, no solamente puede producir una división por cero, sino también una nueva aproximación muy lejana. En los casos en que ocurre convergencia puede notarse que el algoritmo es bastante rápido en comparación con los dos métodos presentados previamente. En la sesión de laboratorio se puede notar esta diferencia en la rapidez de convergencia.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/ http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node5.html node5.html (2 of 4) [04/07/2006 01:56:11 p.m.]


Algoritmo Newton:

Entrada:

Una función derivable

.

Parámetros:

= Máximo número de iteraciones. = Nivel de precisión respecto a la solución exacta. = Valor inicial. . Inicio . Defina . Mientras

:

. .



. . . Si

,

. Salida:

.

. Parar . Incremente

.

.

Salida: "El método fracasó después de

iteraciones".

.

Parar.

Tabla de Contenidos


Método de punto fijo



Software:

El método de punto fijo se aplica a una ecuación de la forma inicial

y se aplica la fórmula , si

De esta forma,

es continua en este valor

para

4

Punto Fijo

. Se parte de una adivinanza . En caso de que exista

, se tiene que

sería una solución buscada.



Algoritmo Punto Fijo:

Entrada:

Una función continua

.

Parámetros:

= Máximo número de iteraciones. = Nivel de precisión respecto a la solución exacta. = Valor inicial. . Inicio . Defina . Mientras

:

. . . Si

,

. Salida:

.

. Parar . Incremente

.

. Salida: "El método fracasó después de

iteraciones".

. Parar.

El siguiente teorema (Teorema 1) nos da algunas condiciones suficientes para la convergencia del algoritmo de punto fijo para un valor inicial escogido en un intervalo apropiado. Su demostración puede http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node6.html (2 of 3) [04/07/2006 01:56:14 p.m.]


consultarse con detalle en [1].

Teorema 2 Sea

una función continua en un intervalo , entonces

Si además,

existe en

tal que

, tiene un punto fijo

y es posible hallar una constante , entonces el punto fijo de

Adicionalmente, si

en

es continua en

y

.

tal que en

es único.

, entonces para cualquier valor inicial

, la sucesión definida por

converge a

y

Tabla de Contenidos


Sesión de laboratorio con Excel


Laboratorio con Excel

La hoja electrónica Excel proporciona un ambiente suficientemente poderoso para desarrollar muchos algoritmos de métodos numéricos, con la ventaja de que es muy probable que el usuario de Microsoft Windows lo tenga instalado en su computadora personal o en su oficina, a diferencia de otros ambientes de programación, de cálculo y visualización gráfica. Sin embargo al tratar de evaluar fórmulas definidas por el usuario un poco extensas o complejas, es muy incómodo hacerlo directamente en las celdas de la hoja con las funciones básicas que vienen incluidas en el Excel. Por ejemplo, para evaluar una función como

en el valor que

se encuentra en la celda A1, habría que darle la instrucción:

=+SENO(A1)+(A1*2^(5*A1)+1)/(1+LN(A1))

El problema de esta fórmula no radica sólo en su extensión al momento de escribirla, sino también en que no se presta para su reutilización en otros cálculos. Tampoco es adecuada para hacerle variaciones con el fin de evaluar otras funciones. Una forma alternativa que facilita mucho el trabajo es programando un módulo o función específica que evalúe esta fórmula. En primer lugar, abrimos un archivo Excel, que se llame por ejemplo ecuaciones.xls . Ahora ingresamos al menú y en la opción Herramientas seleccionamos Macros . Luego se elige Editor de Visual Basic .



En el menú Insertar , seleccionamos Módulo y escribimos el siguiente código:

Function g(x) g = Sin(x) + (x * 2 ^ (5 * x) + 1) / (1 + Log(x)) End Function

Note que la función

se escribe diferente en Excel que en el macro hecho con Visual Basic.

Una vez que se ha definido este macro, podemos ahora evaluar

en cualquier número que se encuentre en su

dominio y en particular en el valor que se encuentre en una celda de Excel, por ejemplo, si un valor se encuentra en la celda A1, se puede evaluar

como +g(A1) . También se puede evaluar

en un valor específico, por ejemplo

+g(0.3335) . Otro uso muy importante de las funciones definidas por el usuario se realiza dentro de otras

funciones también definidas por el usuario. Por ejemplo, se le puede agregar al mismo módulo definido previamente una función función

, que al momento de evaluar en valores concretos de

para realizar parte de los cálculos:


, invoca a la


Function g(x) g = Sin(x) + (x * 2 ^ (5 * x) + 1) / (1 + Log(x)) End Function Function h(w) h = 3 * w ^ 2 - g(w) End Function

Algoritmo de bisección Vamos a ilustrar la forma en que se puede implementar en Excel el algoritmo de bisección con la función en el intervalo En la figura que sigue se ilustra la gráfica de

. en dicho intervalo. Al ser

, el algoritmo de bisección es aplicable ya que

una función continua en

tiene signo opuesto en los extremos del intervalo.

Iniciamos entonces la definición de la función

Function f(x) f = Exp(2*x) + x -3 End Function

Al comienzo, nuestra hoja electrónica puede lucir así: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node7.html (3 of 8) [04/07/2006 01:56:22 p.m.]


A B C 1a m b

D f(a)

E

F

f(m)

f(b)

G

2 -2 -0.5 1 -4.981684361 -3.132125.38906 1.50000 3 4 5 donde las celdas A2 y C2 contienen los valores contiene el punto medio

y

del intervalo con que arranca el método. La celda B2

del intervalo, por lo que el valor que le damos a esta celda es +(A2+C2)/2 . Este valor

servirá como aproximación de una raiz de la ecuación exacta y la aproximación

. Debido a ésto, la distancia entre la solución

es menor o igual que

. Así, en la celda G2 se ha calculado el error de

aproximación siguiendo la fórmula +(C2-A2)/2 . En las celdas D2, E2 y F2 se encuentran, respectivamente, los valores

,

y

, calculados como

+f(A2) , +f(B2) y +f(C2) . El momento clave del algoritmo de bisección ocurre en el siguiente paso, al decidir el

nuevo intervalo

, escribiendo en las celdas A3 y C3 las operaciones de decisión:

En la celda A3: +SI(D2*E2<0,B2,A2) En la celda C3: +SI(E2*F2<0,C2,B2) De esta forma, nuestra hoja luce ahora así: A

B C

D

E

F

1 a

m b

f(a)

f(m)

f(b)

G

2 -2 -0.5 1 -4.981684361-3.132125.38906 3 -0.5 1 4 5

1.50000

Ahora se copian los cálculos de la fila 2 que faltan en la fila 3. Finalmente se copia la fila 3 hacia abajo tantas veces como sea necesario hasta lograr la precisión que se quiera.

1

A

B

C

D

E

F

a

m

b

f(a)

f(m)

f(b)

G



2 -2 -0.5 1 -4.981684361 -3.13212 5.38906 1.50000 3 -0.5 0.25 1 -3.132120559 -1.10128 5.38906 0.75000 4 0.25 0.625 1 -1.101278729 1.11534 5.38906 0.37500 5 0.25 0.4375 0.625 -1.101278729 -0.16362 1.11534 0.18750 6 0.4375 0.53125 0.625 -0.163624706 0.42485 1.11534 0.09375 7 0.4375 0.484375 0.53125 -0.163624706 0.11902 0.42485 0.04688 8 0.4375 0.4609375 0.484375 -0.163624706 -0.02506 0.11902 0.02344 9 0.4609375 0.47265625 0.484375 -0.025062777 0.04627 0.11902 0.01172 10 0.4609375 0.466796875 0.47265625 -0.0250627770.01043 0.04627 0.00586 11 0.4609375 0.463867188 0.466796875 -0.025062777 -0.007360.01043 0.00293 12 0.463867188 0.465332031 0.466796875 -0.007359382 0.00152 0.01043 0.00146 13 0.463867188 0.464599609 0.465332031 -0.007359382 -0.00292 0.00152 0.00073 14 0.464599609 0.46496582 0.465332031 -0.002919988 -0.00070 0.00152 0.00037 15 0.46496582 0.465148926 0.465332031 -0.000698254 0.00041 0.00152 0.00018 16 0.46496582 0.465057373 0.465148926 -0.000698254 -0.00014 0.00041 0.00009 17 0.465057373 0.465103149 0.465148926 -0.000142608 0.00014 0.00041 0.00005

Cabe notar que en la fila 17 de la hoja se encuentra la interación número 16 y que una aproxi- mación para la solución de

es

. Al tener un error estimado de

tenemos la seguridad de que esta estimación de la raíz de

tiene 4 decimales de precisión.

Algoritmo de falsa posición El procedimiento para obtener la tabla siguiente es en casi igual al que se siguió para bisección, excepto en la forma de obtener el valor de

en la celda B2, al calcularse como

+A2-D2*(C2-A2)/(F2-D2)

1 2

A

B

C

D

E

F

G

a

q

b

f(a)

f(q)

f(b)

b-a

-2 -0.558921309 1

-4.981684361 -3.23194

H

5.38906 3.00000

En este ejemplo, el mejor criterio de parada es observar el valor de la función.

Método de Newton



Continuando con los experimentos ligados a buscar una solución de la ecuación

pero ahora

no estamos limitados a un intervalo sino que quedamos dependiendo de qué tan adecuada es la escogencia que hagamos de una adivinanza inicial y de las características propias de la función

,

podemos ingresar de nuevo al módulo que habíamos definido en el editor de Visual Basic, para agregarle a la declaración de

y su derivada

, quedando este módulo así:

Function f(x) f = Exp(2*x) + x -3 End Function Function fprima(x) fprima = 2*Exp(2*x) + 1 End Function

La siguiente tabla contiene los cálculos realizados para este problema, partiendo de un valor inicial de En la columna D aparece el término

, que sirve como una estimación del error con que

.

aproxima a la

solución exacta. Puede observarse que, a diferencia de los métodos previos, en este ejemplo se alcanza con solamente 5 iteraciones la precisión que dichos métodos logran con cerca de 17 iteraciones.

AB

C

D

1 2 0 1.5

18.58553692 0.451422205

3 1 1.048577795 6.191552782 0.35818412 4 2 0.690393675 1.668426176 0.186290092 5 3 0.504103583 0.244786601 0.037767748 6 4 0.466335835 0.007625436 0.001253652 7 5 0.465082183 7.98133E-06 1.31491E-06 8 6 0.465080868 8.76588E-12 1.44417E-12




Para implementar el método de punto fijo para resolver el mismo problema a la forma

podemos llevarlo

de varias maneras. Una sería definiendo la función valor inicial de

AB

. Partiendo de un

, se obtiene la tabla de valores:

C

D

1 2 0 -3

2.997521248

3 1 2.997521248 -398.4337428 5.997521248 4 2 -398.4337428 3 53 3

401.4312641

-400.4287935 401.4337428

6 4 -400.4287935 3

403.4287935

Claramente en este caso ha ocurrido un enciclamiento de las iteraciones alrededor de los valores

y

, por lo que no converge.

No obstante, si llevamos la misma ecuación a la forma

y dándole un valor inicial de

esta vez sí nos convege y de forma muy rápida:

AB

C

D

1 2 0 1.1

0.320926943

3 1 0.320926943 0.49273543 0.779073057 4 2 0.49273543 0.459596173 0.171808487 5 3 0.459596173 0.466161528 0.033139257 6 4 0.466161528 0.464867668 0.006565355 7 5 0.464867668 0.465122919 0.00129386 8 6 0.465122919 0.465072574 0.000255251 9 7 0.465072574 0.465082504 5.03453E-05



Como puede verse en la tabla, el método de punto fijo ha funcionado bien al aplicárselo a la función , siendo

una forma diferente de plantear la solución de la ecuación

. En el ejercicio 5 se pide verificar condiciones que aseguran la convergencia del algoritmo para

en un intervalo dado, de acuerdo con el teorema .

Tabla de Contenidos


http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/GraficaGeneral/GraficaFunciones.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/GraficaGeneral/GraficaFunciones.htm [04/07/2006 01:56:25 p.m.]

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/Newton/Newton.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/Newton/Newton.htm [04/07/2006 01:56:25 p.m.]

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/SitioBiseccion/Biseccion.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/SitioBiseccion/Biseccion.htm [04/07/2006 01:56:26 p.m.]

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/RegulaFalsi/RegulaFalse.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/RegulaFalsi/RegulaFalse.htm [04/07/2006 01:56:26 p.m.]

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/PuntoFijo/PuntoFijo.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/PuntoFijo/PuntoFijo.htm [04/07/2006 01:56:26 p.m.]

Programación de macros VBA para Excel M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. José Luis Espinoza B.

| M.Sc. Walter Mora F., M.Sc. José Luis Espinoza B. | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Introducción Microsof Excel® es un software para el manejo de hojas electrónicas agrupadas en libros para cálculos de casi cualquier índole. Entre muchas otras aplicaciones, es utilizado en el tratamiento estadístico de datos, así como para la presentación gráfica de los mismos. La hoja electrónica Excel es ampliamente conocida, en forma generalizada, por profesionales y estudiantes en proceso de formación, pero hay una gran cantidad de usuarios que no conocen a profundidad su gran potencial y adaptabilidad a los diferentes campos del conocimiento. Para científicos e ingenieros, el Excel constituye una herramienta computacional muy poderosa. También tiene gran utilidad para ser utilizado en la enseñanza de las ciencias y la Ingeniería, particularmente, en la enseñanza de los métodos numéricos. Pese a que existen en el mercado programas computacionales muy sofisticados, tales como MathLab, Mathematica, etc., no están tan disponibles como Excel, que usualmente forma parte del paquete básico de software instalado en las computadoras que funcionan bajo el sistema Windows ® de Microsoft. A continuación se brinda al lector una breve introducción a algunas actividades de programación con macros escritos en VBA (una adaptación de Visual Basic para Office de Microsoft), definidos desde una hoja electrónica de Excel. Salvo pequeñas diferencias para versiones en inglés, el material puede ser desarrollado en cualquier versión.

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR Derechos Reservados s.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/Excel/node2.html [04/07/2006 02:08:42 p.m.]

Introducción

Walter Mora F, José Luis Espinoza B, Manuel Calderón S Inicio

Introducción

Otra técnica muy útil para aproximar una función real de variable real

es mediante polinomios de

interpolación. Estos son polinomios que coinciden con la función en un conjunto finito de puntos.

Dada una función

y

puntos de la gráfica de

, existe un único polinomio

,

de grado menor o igual que

puntos. Este se llama el polinomio interpolante de los

En muchas ocasiones no se conoce la función , ...,

,

,..., que pasa por esos

puntos.

, por lo que se dispone de puntos

,

que pertenecen a la gráfica de una función hipotética y lo que se quiere es

determinar de igual forma el polinomio nterpolante que pasa por esos

puntos. En estos casos

dicho polinomio se vuelve todavía más útil, pues ante la ausencia de la función que origina esos datos, nos da una manera de aproximarla en valores distintos de

En el caso elemental de dos puntos

,

,

,...,

.

lo que se busca es el polinomio de grado 1

que pasa por dichos puntos. Esto es lo que siempre se hace manualmente, al determinar la recta que pasa por dichos puntos.

El siguiente ejemplo es tomado de Nakamura: Si tenemos cuatro puntos , interpolación

y

,

, hay que determinar el polinomio de , por los que, teniendo en cuenta que al

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioInterpolacion/node2.html (1 of 2) [04/07/2006 02:09:35 p.m.]

Introducción

evaluarlo en cada una da las abscisas

, tiene que dar la ordenada

, se forma el siguiente sistema de

ecuaciones, cuya solución son los coeficientes del polinomio. Finalmente, se obtiene .

Tabla de contenidos


Polinomio interpolante de Lagrange


Polinomio interpolante de Lagrange En la presente sección se desarrolla una manera de obtener el polinomio interpolante. Para ilustrar la forma en que opera este método, veamos un caso simple, del polinomio interpolante que pasa por tres puntos

,

y

.

Puede verificarse fácilmente que el siguiente polinomio de grado menor o igual que dos:

cumple

,

y

, por lo que es el polinomio de interpolación.

En general, el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por los , ...,

puntos

,

tiene la forma:

Para una cantidad considerable de puntos, si bien es cierto que resulta interesante la determinación del polinomio interpolante, también es cierto que los polinomios de grado alto tienden a tener muchas oscilaciones que al cabo les restan importancia para la aproximación numérica y más todavía para la http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioInterpolacion/node3.html (1 of 2) [04/07/2006 02:09:42 p.m.]

Polinomio interpolante de Lagrange

visualización gráfica. Alternativamente, otra técnica muy valiosa es el uso de splines cúbicos, pero esta forma de hacerlo se deja para la sesión de laboratorio. Tabla de contenidos


Interpolación por diferencias divididas de Newton



Software:4

Diferencias Divididas

El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos,

, obteniéndose la muy

conocida función lineal que une dos puntos:

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función

, la pendiente

, que tiene una forma de diferencias

divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de

, con

variando en el intervalo

.

En el caso de tres puntos

, en principio se busca el polinomio de interpolación de grado

dos de la forma

Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando

,

y

, se obtiene:



Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:

Donde

para

En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores

,

y

.

A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos

,

,

y

en este caso toma la forma específica:

Se concluye entonces que

Tabla de contenidos


. El arreglo triangular


Algoritmo de Neville.

Software:

4

Neville

Aunque no es difícil implementar el polinomio de Lagrange, hay mejores algoritmos para obtener el mismo, único, polinomio interpolante

que pasa por los

nodos

. Por ejemplo está el

método de diferencias divididas de Newton. El algoritmo de Neville no calcula

sino que evalúa varios polinomios

interpolantes de Lagrange en un valor dado. Sea

el polinomio de Lagrange que pasa por los nodos . Por ejemplo

pasa por

, es decir,

.

pasa por

, es decir,

.

pasa por pasa por

Con esta definición de

Aplicando esta relación para un valor

se tiene la siguiente relación

se logra calcular varios polinomios interpolantes de Lagrange en

, como se muestra en la siguiente tabla (para el caso de 5 nodos)

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioInterpolacion/NevilleTeoria/node5b.html (1 of 4) [04/07/2006 02:10:03 p.m.]


EJEMPLO. La función Gamma incompleta se define como

Supogamos que tenemos la siguiente tabla de datos, obtenida con

y

.

0.0 0.00467884 0.01752309 0.03693631 0.06155193

Si queremos estimar

en

debemos usar polinomios que al menos pasen por

y

. Por ejemplo

,

,

etc. Al estimar

usando el algoritmo de Neville (usando la implementación en Java de esta sección), obtenemos la tabla



Las mejores aproximaciones a

se obtienen con los polinomios interpolantes ,

y

ALGORITMO DE NEVILLE ENTRADA: el número a evaluar PASO 1.)

Para

PASO 2.)

Para

y los nodos

Para

PASO 3.) Desplegar la tabla.

EJERCICIOS 1. Complete la fila 6 en la tabla



2. Cuál es le error cometido al estimar

3. Estime

y

con una recta?

.

4. Modifique la macro que se propone en el tema Diferencias Divididas de Newton para implemetar el algoritmo de Neville en una hoja de Excel.

Bibliografía 1 Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. Ed. Thomson, 6a. ed., 1998. 2 Chapra, S.; Canale, R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Ed. Mc Graw Hill, 4a. ed., 2002. 3 Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000. 4 Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 2nd ed., 1992.

Tabla de contenidos

Este documento fue generado usando

LaTeX2HTML translator Version 99.2beta6 (1.42)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds. Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney


Trazadores cúbicos


Trazadores cúbicos

Software:

4

Trazadores cúbicos (frontera normal)

Para un conjunto numeroso de puntos no es muy útil calcular el polinomio interpolante que pasa por estos puntos, pues éste tiende a tener grandes oscilaciones 1 . Más aconsejable es hacer una interpolación secuencial de grado bajo sobre subconjuntos más pequeños del total de puntos, definiendo así una función a trozos. La interpolación a trozos más útil y de uso generalizado en diversos compos tales como el diseño, los gráficos por computadora, la economía, etc., es la que se realiza mediante polinomios de grado tres llamados trazadores o splines cúbicos que se definen en cada uno de los subintervalos definidos por las abscisas de los puntos

de los puntos a interpolar. La idea es construir estos

polinomios cúbicos de tal forma que cualesquiera dos de ellos definidos en intervalos contiguos y

, ambos coincidan en

no solo como función sino también en su

primera y segunda derivada, con el fin de que haya suavidad en los puntos de ambas gráficas.

Subsecciones q

q

Un caso particular El caso general

Tabla de contenidos

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioInterpolacion/node5.html [04/07/2006 02:10:08 p.m.]

de coincidencia

Un caso particular


Un caso particular

Vamos a ilustrar el proceso de construcción con el ejemplo siguiente, en el cual se trata de hallar el trazador cúbico para los puntos ,

,

Como puede observarse, es necesario construir el trazador

y

que se define como


.

en el intervalo

, como

en el intervalo

Un caso particular

y como

Como

en el intervalo

,

Además se define

,

, donde

y

, es claro que

.

En los siguientes pasos se dan condiciones que deben cumplir los coeficientes de los polinomios cúbicos

,

,

y

, para

1. Continuidad. En primer lugar, pedimos que

coincida con

condiciones, junto a la definición que se hizo antes de que

en

. Además,

debe coincidir con

en

. Estas dos

nos conduce a las tres ecuaciones:

(1)


Un caso particular

donde

3. Suavidad. Como

Ahora debe cumplirse que

y que

.Al agregrarle a estas dos condiciones la definición de

, se obtienen las tres ecuaciones:

(2)

4. Coincidencia en concavidad. Calculando la segunda derivada de cada uno de los polinomios

Ahora se le pide la condición

Como

y

:

.

. De manera similar a como se hizo en los anteriores casos, se agrega la definición de


Un caso particular

, se obtienen las ecuaciones:

(3)

5. Despejando

de la ecuación 3 se obtiene

(4)

sustituyendo

en 1 y en 2 se obtienen las relaciones 5 y 6:

(5)

(6)

Despejando

de la ecuación 5


Un caso particular

(7)

y haciendo un corrimiento de índices, se obtiene:

(8)

De igual forma, en la ecuación 6 se hace un corrimiento de índices para obtener

(9)

Al sustituir en esta úlima ecuacin la expresión para

obtenida en (7) y en (8), y haciendo las simplificaciones del caso se obtiene el sistema

de ecuaciones:

Concretamente, es el sistema:


Un caso particular

6. Trazador cúbico con frontera libre Hay varios tipos de trazadores que se pueden obtener, dependiendo de las condiciones de frontera que le pongamos en los extremos

,

en el cual se está haciendo la interpolación. En este material, y continuando con el ejemplo que estamos trabajando, le pedimos al trazador las condiciones:

y

, por lo que se concluye que

y que

en forma matricial:

En nuestro ejemplo el sistema anterior toma la forma:


. De esta manera el sistema anterior puede escribirse

Un caso particular

La solución de este sistema es:

Como ya se sabía desde antes,

De la ecuación 4 calculamos:

De la ecuación 7 se obtiene:


Un caso particular

Finalmente, se concluye que el trazador cúbico con frontera libre es:

Tabla de contenidos http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioInterpolacion/node6.html (8 of 9) [04/07/2006 02:10:23 p.m.]

Un caso particular


El caso general


El caso general Para un conjunto de

puntos

,

del trazador cúbico, se buscan los coeficientes

, ,

,

y

,

,

en el proceso de construcción

, que cumplan las siguientes relaciones:

1.

2.

. Además,

3.

4.

5.

.

6. Se forma un sistema de

ecuaciones con

incógnitas

Al agregarle a este sistema las condiciones de frontera libre

:

, se concluye que

y el sistema resulta con una matriz tridiagonal de coeficientes que tiene solución única(ver [ 1]). Además, esta es una solución explícita, tal y como se nota en el siguiente seudo-código basado en [ 1]. 7. Algoritmo de trazador con frontera libre.

Entrada:

, con

.


El caso general

Salida: [1] Para

: se define

[2] [3] Para

: se define

[4] Se define , ,

, ,

[5] Para

[6] Para

se define

se define

Tabla de contenidos


Sesión de laboratorio con MATLAB


Sesión de laboratorio con MATLAB En primer lugar se espera que el usuario resuelva el sistema de ecuaciones lineales con el que se concluyó la sección introductoria y use los comandos específicos de MATLAB para su solución. En efecto, se puede seguir la siguiente secuencia de instrucciones para determinar la solución del sistema

>> A = [ 1.331 12.167 59.319 132.651 >> b = []; >> b = [ 3.887 ; >> c = A\b c = -0.2015 1.4385 -2.7477

1.21 5.29 15.21 26.01

1.1 2.3 3.9 5.1

1 1 1 1

.

; ; ; ];

4.276 ; 4.651 ; 2.117 ];

5.4370

Con este proceso se han obtenido los coeficientes del polinomio. Otra manera de resolverlo es directamente con comandos específicos del software, como se explica a continuación. MATLAB realiza varias tareas de interpolación mediante el comando INTERP1, el cual, dependiendo de los parámetros con que sea evaluado, ejecuta métodos diferentes de interpolación2 Para hallar los coeficientes del polinomio interpolante podemos recurrir al comando polyfit, que tiene sintaxis polyfit(X,Y,m), el cual retorna el polinomio de mínimos cuadrados de grado

bien sabido que si tenemos

puntos el polinomio de grado

de mejor ajuste a los datos. Es

que mejor se ajusta a esos datos en el sentido de

mínimos cuadrados es precísamente el polinomio interpolante. Por ejemplo, para hallar el resultado del polinomio interpolante que pasa por los cuatro puntos ,

y

al evaluarlo en el valor de

siguiente secuencia de instrucciones:


, , se puede seguir la


>> >> >> >>

X=[1.1, 2.3, 3.9, 5.1]; Y=[3.8870, 4.2760, 4.65110, 2.1170]; P = polyfit(X,Y,3) Resultado=Polyval(P,2.5)

Esto nos da el resultado

>> P = -0.2015

1.4387

-2.7481

5.4372

>> Resultado= 4.4108

El resultado obtenido en la variable

P = -0.2015

1.4385

son los coeficientes del polinomio de interpolación dispuestos en un vector:

-2.7477

5.4370

Estos coeficientes se interpretan como el polinomio:

Note que la instrucción >> Resultado=Polyval(P,2.5) nos permite el valor del polinomio en . Esta función predeterminada de MATLAB permite también evaluar un polinomio en un vector de valores y en este caso retornaría un vector de resultados. Esta adaptabilidad de la función Polyval para evaluarse en un vector de valores la hace muy útil para graficar cualquier polinomio en un intervalo dado, como veremos en el siguiente ejemplo. La siguiente secuencia de instrucciones está orientada al cálculo del polinomio interpolante para los puntos ,

,

,

y

,

. y, alternativamente la aproximación y visualización del trazador

cúbico (splines).



>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>

hold off x=[1 3 4 5 7 10]; y=[5 1 3 -1 4 2]; P = polyfit(x,y,5); t=0:0.1:11; W=polyval(P,t); plot(x,y,'*k') hold on; plot(t,W,'k') z=interp1(x,y,t,'spline'); plot(t,z,'r')

En figura 0 puede compararse el trazador cúbico con el polinomio interpolante para los seis puntos. Como puede notarse, el trazador cúbico se acomoda mejor a los datos y no produce oscilaciones indeseables para efecto de hacer extrapolaciones más apropiadas.

Tabla de contenidos





Para calcular el polinomio interpolante que pasa por un conjunto de puntos

,

en una hoja de Excel, a manera de ejemplo, los digitamos en dos columnas.

q

q

Implementación del método de diferencias divididas Implementación del polinomio interpolante de Lagrange


,

Implementación del método de diferencias divididas



Para implementar el método de diferencias divididas de Newton, a nuestro criterio, podemos seguir dos caminos para obtener los cálculos. Uno de estos caminos se realiza a paso lento y consiste en ir calculando el valor diagonal de cada celda del arreglo triangular y copiarlo hacia abajo. Por ejemplo, para calcular el valor de la celda D6 se hace, en ésta, la operación +(C6-C5)/(B6-B5)

Luego se copia el resultado obtenido,

, en las celdas C7 y C8. De igual forma se calcula la celda E7 como

+(D7-D6)/(B7-B5)

y así sucesivamente hasta completar el arreglo triangular. Otro camino más elegante en términos de programación es un macro o subrutina que llamaremos CalculaDiferencias, cuyo código es el siguiente: Sub CalculaDiferencias() Dim Dim Dim Dim Dim

R As Range n As Integer i As Integer v(1 To 100) As String A(1 To 100) As String

Set R = Selection n = R.Rows.Count For i = 1 To n v(i) = R(i, 2) A(i) = 0 Next i For j = 1 To (n-1) For i = j To (n-1) Cells(i+5, 3+j).Value = (v(i+1) - v(i))/(R(i+1, 1) - R(i+1 - j, 1)) A(i+1) = Cells(i+5, 3+j).Value Next i



For k = j To n v(k) = A(k) Next k Next j End Sub

Para ejecutar este macro, una forma sencilla de invocarlo es dibujando un óvalo mediante la barra de herramientas de dibujo. Seguidamente, con el botón derecho del mouse seleccionamos ``Agregar texto" y escribimos, por ejemplo, "Calcula". Nuevamente con el botón derecho se selecciona "Asignar macro" y se escoge el macro CalculaDiferencias. De esta forma, ya está listo para aplicar el algoritmo, seleccionando el rango en que se encuentran el conjunto de puntos de coordenadas

a interpolar. Una vez seleccionado, le damos click

en el óvalo y se genera todo el arreglo triangular de una sola vez. En la figura 5 se observa el resultado de la aplicación del macro CalculaDiferencias.

Tabla de contenidos


Implementación del polinomio interpolante de Lagrange


Implementación del polinomio interpolante de Lagrange Otro macro de mucho interés es el que calcula de obtener el polinomio interpolante de Lagrange. A continuación se presenta el código del macro Lagrange que retorna el valor del polinomio interpolante en un valor en la hoja electrónica.

y que se calcula con base en la tabla de valores que ha sido seleccionada

Function Lagrange(R Dim Dim Dim Dim Dim

suma prod n As i As j As

As Range, x As Double) As Double

As Double As Double Integer Integer Integer

n=R.EntireRow.Count suma = 0 For j=1 To n prod = R.Cells(j,2) com = R.Cells(j,1) For i=1 To n If i<>j Then prod = prod*(x-R.Cells(i,1))/(R.Cells(j,1)-R.Cells(i,1)) End If Next suma = suma + prod Next Lagrange = suma End Function

En este caso podemos ejecutar esta función en algunos valores que decidamos usar como muestra. Lo más razonable es que dichos valores se encuentren en el rango recorrido por las abscisas de los puntos


Implementación del polinomio interpolante de Lagrange

a interpolar. En aquellos valores que no estén en la lista original de puntos lo que estamos haciendo es extrapolando los posibles valores en la variable dependiente asociados a valores nuevos de la variable independiente. Supongamos que ahora nuestra tabla de puntos se encuenta en el bloque E2:F5 de la hoja. En la columna B, a partir de la fila 8 podemos escribir una lista de valores de , por ejemplo, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5 y 7. Para calcular el polinomio interpolante de Lagrange en el valor de la celda B8 lo hacemos, escribiendo en la celda C8: =+Lagrange($E$2:$F$5,B8)

3

Luego procedemos a copiar hacia abajo para realizar el cálculo en el valor de las celdas B9, B10, etc.

Tabla de contenidos


Bibliography


Bibliografía 1 Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. Ed. Thomson, 6a. ed., 1998. 2 Chapra, S.; Canale, R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Ed. Mc Graw Hill, 4a. ed., 2002. 3 Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000. 4 Nakamura, S. Análisis Numérico y Visualización Gráfica con MATLAB. Pearson Educaci ón. México, 1997 5 Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 2nd ed., 1992.

Parte de este documento fue generado usando LaTeX2HTML translator Version 99.2beta6 (1.42) Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds. Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

Tabla de contenidos


http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioIntegracion/Riemann/RiemannSitio.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioIntegracion/Riemann/RiemannSitio.htm [04/07/2006 02:13:16 p.m.]

Numerico_Mora_Espinoza

Recommend Documents