NTC-ISO 8258

NORMA TÉCNICA COLOMBIANA

NTC-ISO 8258 1995-05-10

GRÁFICOS DE CONTROL DE SHEWHART

E:

SHEWHART CONTROL CHARTS

CORRESPONDENCIA: CORRESPONDENCIA:

esta norma es idéntica a la ISO 8258

DESCRIPTORES:

representación gráfica; análisis estadístico; diagrama; control estadístico de calidad; control de calidad

I.C.S.: 03.120.30 Editada por el Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación (ICONTEC) Apartado Apartado 14237 Bogotá, Bogotá, D.C. Tel. 6078888 6078888 Fax 2221435 2221435

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FIBERGLAS DE COLOMBIA FUNDACIÓN SANTAFÉ JOHNSON Y JOHNSON LABORATORIOS RYMCO LICORERA DE CALDAS MICROPLAST NESTLE DE COLOMBIA PELDAR PRINTER COLOMBIANA RALCO SIEMENS SIEMENS SIKA ANDINA SUDELEC SUPERINTENDENCIA INDUSTRIA COMERCIO UNILEVER ANDINA

Y

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GRÁFICOS DE CONTROL DE SHEWHART

INTRODUCCIÓN El enfoque tradicional respecto a la manufactura consiste en depender de la producción para elaborar el producto y del control de calidad para inspeccionar el producto final y eliminar los productos que no cumplan las especificaciones. Esta estrategia de detección es a menudo desperdiciadora y antieconómica porque implica inspeccionar en forma posterior al hecho, cuando ya ha ocurrido esa producción desperdiciadora. En vez de eso, es mucho más eficiente implantar una estrategia de prevención para evitar el desperdicio mediante la no producción de productos inservibles, en primer lugar. Esto se puede lograr recogiendo información acerca del proceso y analizándola para para así poder actuar sobre el proceso proceso mismo. El gráfico de control como un medio gráfico de aplicar los principios estadísticos de la significancia al control de un proceso de producción, fue propuesto por primera vez por el doctor Walter Shewhart en 1924. La teoría de los gráficos de control reconoce dos clases de variabilidad. La primera clase es la variabilidad aleatoria debida a "causas del azar" (también conocida como "causas comunes"). Esto se debe a la amplia variedad de causas que están presentes continuamente y que no son fácilmente identificables, cada una de las cuales constituye un componente muy pequeño de la variabilidad total pero ninguna de las cuales contribuye con una cantidad significativa. Sin embargo, la suma de las contribuciones de todas estas causas aleatorias aleatorias no identificables es medible medible y se supone que es inherente al proceso. proceso. La eliminación o corrección de las causas comunes requiere una decisión gerencial para asignar recursos que mejoren el proceso y el sistema. La segunda clase de variabilidad representa un cambio real en el proceso. Ese cambio puede ser atribuido a algunas causas identificables que no son parte inherente del proceso y que, al menos teóricamente, se pueden eliminar. Estas causas identificables se denominan "causas asignables" o "causas especiales" de variación. Ellas se pueden atribuir a la falta de uniformidad en el material, a una herramienta rota, a la mano de obra o a los procedimientos o al funcionamiento irregular del equipo de fabricación o de ensayo. Los gráficos de control ayudan en la detección de patrones no naturales de variación en los datos resultantes de los procesos repetitivos y suministran criterios para detectar una falta de control estadístico. Un proceso está bajo control estadístico cuando la variabilidad resulta únicamente por causas aleatorias. Una vez que se determina este nivel de variación aceptable, se supone que cualquier desviación respecto de ese nivel es el resultado de causas asignables que es necesario identificar y eliminar o reducir. 1

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El objeto del control estadístico de procesos es servir para establecer y mantener un proceso a un nivel aceptable y estable, de tal forma que se asegure la conformidad de los productos y de los servicios con requisitos especificados. La principal herramienta estadística utilizada para hacer esto es el gráfico de control, que es un método gráfico de presentar y comparar información basado en una secuencia de muestras que represente el estado actual de un proceso frente a límites establecidos después de considerar la variabilidad inherente del proceso. El método del gráfico de control ayuda, primero a evaluar si un proceso ha alcanzado o no un estado de control estadístico o continúa en ese estado al nivel específico apropiado, y después a obtener y mantener el control y un alto grado de uniformidad en características importantes del producto o del servicio mediante el mantenimiento de un registro continuo de la calidad del producto mientras la producción sigue su curso. El uso de un gráfico de control y su análisis cuidadoso conduce a un mejor entendimiento y mejoramiento del proceso.

1.

OBJETO

Esta norma establece una guía para comprender y utilizar el enfoque de los gráficos de control de Shewhart dentro de los métodos para el control estadístico de un proceso. Esta norma se limita al tratamiento de los métodos de control estadístico de procesos utilizando únicamente el sistema de los gráficos de Shewhart. Se introduce brevemente algún material complementario que es consecuente con el enfoque de Shewhart, tal como el uso de límites de advertencia, análisis de patrones de tendencias y capacidad del proceso. Hay, sin embargo, varios otros tipos de procedimientos de gráficos de control, cuya descripción general se puede encontrar en la norma ISO 7870.

2.

SÍMBOLOS

n

Tamaño del subgrupo; el número de observaciones de muestras por subgrupo.

k

Número de subgrupos.

X

Valor de la característica de calidad que se mide (los valores individuales individuales se expresan como X1, X2, X3, ...). A veces se usa el símbolo Y en vez de X.

_ X

(X barra) valor promedio del subgrupo: x =

∑ xi

n

= X

(X doble barra) barra) valor promedio de los promedios del subgrupo.

µ

Valor medio verdadero del proceso.

Me

Valor de la mediana de un subgrupo. Para un conjunto de n números X 1, X2, ...Xn dispuestos en orden de magnitud ascendente o descendente, la mediana es el valor intermedio del conjunto si n es impar y la media aritmética de los dos números intermedios si n es par.

__ Me

Valor promedio de las medianas de los subgrupos.

R

Rango del subgrupo: diferencia entre las observaciones mayor y menor de un subgrupo. 2


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Nota 1. En el caso de gráficos para valores individuales, R representa el intervalo móvil, que es el valor absoluto de la diferencia entre dos valores sucesivos _ X1 − X2 _ , _ X2 − X3 _, etc.

_ R

Valor promedio de los valores R para todos los subgrupos

s

Desviación estándar de la muestra:

s =

∑( Xi - X )2

n - 1

_ s

Valor promedio de las desviaciones estándar de los subgrupos de muestras.

σ

Valor verdadero de la desviación estándar del proceso dentro del subgrupo.

$ σ

Valor estimado de la desviación estándar del proceso dentro del subgrupo.

p

Proporción o fracción de unidades no conformes en un subgrupo:

_ p

p =

número de unidades no conformes en un subgrupo/tamaño del subgrupo

Valor promedio de la proporción o fracción no conforme: _ p = número de unidades no conformes en todos los subgrupos/número total de unidades inspeccionadas.

np

Número de unidades no conformes en un subgrupo

c _ c

Número de no conformidades en un subgrupo.

u _ u

Número de no conformidades por unidad en un subgrupo.

3.

Valor promedio de los valores c para todos los subgrupos.

Valor promedio de los valores u: _ u = número de no conformidades en todas las unidades/número total de unidades inspeccionadas.

NATURALEZA DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL DE SHEWHART

Un gráfico de control de Shewhart requiere datos obtenidos mediante el muestreo del proceso a intervalos aproximadamente regulares. Los intervalos se pueden definir en términos de tiempo (por ejemplo por horas) o cantidad (cada lote). Generalmente, cada subgrupo consta del mismo producto o servicio con las mismas unidades medibles y el mismo tamaño del subgrupo. A partir de cada subgrupo se deducen una o más características del subgrupo, tal como el promedio del subgrupo, X, y el rango del subgrupo, R, o la desviación estándar, s. Un gráfico de control de Shewhart es un diagrama de los valores de determinada característica del subgrupo frente al número del subgrupo. El gráfico consta de una línea central (LC) localizada en un valor de referencia de la característica representada. Al evaluar si existe o no un estado de control estadístico, el valor de referencia es usualmente el promedio de los datos que se están considerando. Para el control del proceso, el valor de referencia es generalmente el valor de la 3


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característica a largo plazo tal como se estipule en las especificaciones del producto o un valor nominal de la característica que se está representando basado en la experiencia pasada con el proceso o según valores objetivos implícitos del producto o servicio. El gráfico de control tiene dos límites de control determinados estadísticamente, uno a cada lado de la línea central, los cuales se denominan límite superior de control (LSC) y límite inferior de control (LIC) (ver la Figura 1).

Figura 1. Bosquejo de un gráfico de control

Los límites de control en los gráficos de Shewhart están a una distancia de 3 σ a cada lado de la línea central, donde σ es la desviación estándar de la población dentro del subgrupo para el subgrupo que se está representando. La variabilidad dentro del subgrupo se utiliza como medida de la variación aleatoria. Para dar una estimación de σ se calculan desviaciones estándar de muestras o múltiplos adecuados de los rangos de las muestras. Esta medida de σ no incluye variación de subgrupo a subgrupo sino únicamente los componentes dentro del subgrupo. Los límites a 3σ indican que dentro de los límites de control se incluirá aproximadamente el 99,7 % de los valores del subgrupo, siempre que el proceso esté bajo control estadístico. Interpretado en otra forma, hay un riesgo de aproximadamente el 0,3 %, o un promedio de tres veces por mil, de que un punto representado esté por fuera del límite de control superior o del inferior cuando el proceso esté bajo control. Se utiliza la palabra "aproximadamente" porque las desviaciones respecto de los supuestos subyacentes tales como la forma de la distribución de los datos afectará a los valores de la probabilidad. Conviene observar que algunos prefieren utilizar el factor 3,09 en vez de 3 para suministrar un valor de probabilidad nominal de 0,2 % o sea un promedio de una observación falsa por mil, pero Shewhart seleccionó 3 para no llevar a intentos de considerar probabilidades exactas. Análogamente, algunos utilizan valores de probabilidad real para los gráficos, con base en distribuciones no normales tales como las de para rangos y fracciones no conformes. Una vez más, el gráfico de control de Shewhart utilizó límites de ± 3 σ, en vez de los límites probabilísticos, en vista del énfasis en la interpretación empírica. La posibilidad de que una violación de los límites sea realmente un evento casual en vez de una señal real se considera tan pequeña que cuando un punto aparezca por fuera de los límites, se debe emprender alguna acción. Puesto que en este punto se requiere alguna acción, los límites de control de 3σ a veces se denominan "límites de acción". Muchas veces es ventajoso marcar también límites de 2 σ en el gráfico. Entonces, cualquier valor de muestra que caiga más allá de los límites de 2 σ puede servir como una advertencia de una inminente situación de pérdida de control. Como tales, los límites de control de 2 σ a veces se denominan "límites de advertencia".

4


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Cuando se aplican los gráficos de control son posibles dos tipos de error. El primero se denomina error tipo 1, que ocurre cuando el proceso correspondiente permanece bajo control pero un punto cae por fuera de los límites de control debido al azar. Como resultado de esto, se concluye incorrectamente que el proceso está fuera de control y se incurre en un costo para intentar hallar la causa de un problema inexistente. El segundo error se denomina error tipo 2. Este ocurre cuando el proceso correspondiente está fuera de control pero el punto generado cae dentro de los límites de control debido al azar. En este caso se concluye incorrectamente que el proceso está bajo control estadístico y hay un costo relacionado con la falla en detectar un incremento en la producción no conforme. El riesgo de un error tipo 2, sin embargo, es función de tres cosas: el ancho de los límites de control, el grado al cual el proceso está fuera de control y el tamaño de la muestra. La naturaleza de estos puntos es tal que sólo se puede hacer una generalización acerca del tamaño del riesgo de un error tipo 2.

El sistema de Shewhart tiene en cuenta únicamente el error tipo 1 y el tamaño de este error es 0,3 % con límites de 3 σ. Puesto que generalmente no es práctico hacer una estimación significativa de los costos de un error tipo 2 en una situación dada, y puesto que es conveniente seleccionar arbitrariamente un tamaño pequeño de subgrupo, tal como 4 ó 5, es adecuado y factible utilizar los límites de 3 σ y concentrar la atención en controlar y mejorar el funcionamiento del proceso mismo. Cuando un proceso está bajo control estadístico, el gráfico de control suministra un método para probar continuamente una hipótesis estadística nula de que el proceso no ha cambiado y que permanece bajo control estadístico. Puesto que generalmente no se definen por anticipado las desviaciones específicas de las características del proceso respecto del valor objetivo que pueda interesar, junto con el riesgo de un error tipo 2, y no se calcula el tamaño de la muestra para satisfacer niveles de riesgo adecuados, el gráfico de control de Shewhart no se debe considerar en el sentido de una prueba de hipótesis (ver las normas ISO 7966 e ISO 7870). Shewhart destacó la utilidad empírica del gráfico de control para reconocer las desviaciones respecto de un proceso "bajo control" y minimizó la interpretación probabilística. Algunos usuarios examinan las curvas características operativas como medio para hacer una interpretación de ensayo de hipótesis. Cuando un valor representado cae por fuera de alguno de los límites de control o una serie de valores refleja patrones anormales tales como los analizados en el numeral 7, ya no se puede aceptar el estado de control estadístico. Cuando esto ocurre, se inicia una investigación para localizar la causa asignable y el proceso se puede detener o ajustar. Una vez que la causa asignable se determina y se elimina, el proceso está listo para continuar. Como se analizó antes, para un error de tipo 1, sólo en raras ocasiones no se puede encontrar causa asignable y entonces se debe concluir que el punto ubicado fuera de los límites representa la ocurrencia de un evento muy raro; una causa aleatoria que ha ocasionado un valor por fuera de los límites de control inclusive estando el proceso bajo control. Cuando se elaboran gráficos de control por primera vez para un proceso, a menudo se encuentra que el proceso está fuera de control. Los límites de control calculados con base en datos procedentes de un proceso fuera de control conducirían a conclusiones erróneas por no ser pertinentes. En consecuencia, siempre es necesario poner bajo control un proceso que haya estado fuera de control, antes de establecer parámetros permanentes para los gráficos de control. En los siguientes numerales se presentará el procedimiento para establecer gráficos de control para un proceso.

5

NORMA TÉCNICA COLOMBIANA 4.

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TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL

Los gráficos de control de Shewhart son básicamente de dos tipos: gráficos de control de variables y gráficos de control de atributos. Para cada uno de los gráficos de control hay dos situaciones distintas: a)

Cuando no se dan valores estándar

b)

Cuando se dan valores estándar.

Los valores estándar son algunos requisitos especificados o valores objetivos.

4.1

GRÁFICOS DE CONTROL CUANDO NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

El propósito aquí es descubrir si los valores observados de las características representadas, tales como X, R ó cualquier otro estadístico varían entre ellos en una cantidad mayor que la que se puede atribuir al solo azar. Los gráficos de control basados totalmente en los datos reunidos a partir de muestras se utilizan para detectar aquellas variaciones causadas por factores distintos al azar.

4.2

GRÁFICOS DE CONTROL CON RESPECTO A VALORES ESTÁNDAR DADOS

El propósito aquí es identificar si los valores observados de X, etc., para varios subgrupos de n observaciones cada uno, difieren respecto de los valores estándar respectivos X o (ó µo), etc., en cantidades mayores que las atribuibles únicamente a causas aleatorias. La diferencia entre los gráficos con valores estándar dados y los gráficos sin valores estándar dados es el requisito adicional referente a la localización del centro y de la variación del proceso. Los valores especificados se pueden basar en la experiencia obtenida utilizando gráficos de control sin información previa ni valores estándar especificados. También se pueden basar en valores económicos establecidos considerando la necesidad del servicio y el costo de la producción o ser valores nominales designados mediante las especificaciones del producto. Preferiblemente, los valores especificados se deben determinar a través de una investigación de datos preliminares, de los cuales se suponga que son típicos de todos los datos futuros. Para que los gráficos de control funcionen eficazmente, los valores estándar deben ser compatibles con la variabilidad inherente del proceso. Los gráficos de control basados en tales valores estándar se utilizan particularmente durante la fabricación para controlar los procesos y para mantener la uniformidad del producto al nivel deseado.

4.3

TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES Y PARA ATRIBUTOS

Se consideran los siguientes gráficos de control. a)

Gráficos de control de variables: 1)

Gráfico del promedio ( X) y gráfico del rango (R) o de desviación estándar (s)

2)

Gráficos de observaciones individuales (X) y de rango móvil (R) 6

NORMA TÉCNICA COLOMBIANA 3) b)

5.

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Gráfico de mediana (Me) y gráfico de rango (R)

Gráficos de control de atributos: 1)

Gráfico de la fracción no conforme (p) o gráfico del número de unidades no conformes (np)

2)

Gráfico del número de no conformidades (c) o gráfico de no conformidades por unidad (u).

GRÁFICOS DE CONTROL DE VARIABLES

Los datos variables representan observaciones obtenidas midiendo y registrando la magnitud numérica de una característica para cada una de las unidades del subgrupo considerado. Ejemplos de mediciones de variables son la longitud en metros, la resistencia en ohms, el ruido en decibeles, etc. Los gráficos de variables -y especialmente sus formas más habituales, los gráficos de X y de R- representan la aplicación clásica al control de procesos. Los gráficos de control de variables son especialmente útiles por varias razones. a)

La mayoría de los procesos y su producción tienen características que son medibles, por lo cual el potencial de aplicabilidad es amplio.

b)

Un valor de medición contiene más información que una simple afirmación de sí o no.

c)

El desempeño de un proceso se puede analizar sin tener en cuenta la especificación. Los gráficos comienzan con el proceso mismo y dan una imagen independiente de lo que el proceso puede hacer. Después, el proceso se puede comparar o no con la especificación.

d)

Aunque obtener una porción de datos medidos suele ser más costoso que obtener una porción de datos pasa/no pasa, los tamaños de los subgrupos para variables casi siempre son mucho más pequeños que los de atributos y por tanto más eficientes. Esto ayuda a reducir los costos totales de inspección en algunos casos y a acortar el tiempo entre la producción de las partes y la acción correctiva.

Para todas las aplicaciones de gráficos de control de variables considerados en esta norma se supone una distribución normal (de Gauss) para la variabilidad dentro de la muestra; las desviaciones respecto de esta suposición afectarán la representación de los gráficos. Los factores para calcular los límites de control se obtienen utilizando la suposición de normalidad. Puesto que la mayoría de los límites de control se utilizan como guías empíricas en la toma de decisiones, las desviaciones razonablemente pequeñas respecto de la normalidad no deben causar preocupación. En cualquier caso, debido al teorema del límite central, los promedios tienden a estar distribuidos normalmente aún cuando las observaciones individuales no lo estén; por esto es razonable suponer la normalidad para los gráficos de X, inclusive para tamaños de muestra tan pequeños como 4 ó 5 en la evaluación del control. Cuando se trate con observaciones individuales para propósitos de estudio de la capacidad, la forma verdadera de la distribución es importante. Son aconsejables las verificaciones periódicas acerca de la validez 7


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continua de tales supuestos, particularmente para tener seguridad de que únicamente se estén utilizando datos procedentes de una sola población. Se debe observar que la distribución de los rangos y de las desviaciones estándar no son normales, aunque al estimar las constantes para calcular los límites de control se supuso una normalidad aproximada, lo cual es satisfactorio para un procedimiento de decisión empírica. _ 5.1 GRÁFICO DE LA MEDIA ARITMÉTICA (X) Y GRÁFICO DEL RANGO (R) O DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR (s) Los gráficos de variables pueden describir los datos de procesos en términos de dispersión (variabilidad de muestra a muestra) y localización (promedio del proceso). Debido a esto los gráficos de control para variables casi siempre se preparan y se analizan en pares un gráfico para la localización y otro para la dispersión. El par utilizado más comúnmente es el de gráficos de X y de R. En las tablas 1 y 2 se dan las fórmulas de los límites de control y los factores para los gráficos de control de variables respectivamente. Tabla 1. Fórmulas de los límites de control para gráficos de shewhart para control de variables Estadístico

Ningún valor estándar dado

Valores estándar dados

Línea central

LSC y LIC

Línea central

LSC y LIC

_ X

= X

X ± A 2R o X ± A 3 s

X0 ó µ

X0 ± Aσ0

D3 R, D 4R

R0 ó d2σ0

D1σ0, D2σ0

R

_ X

s0 ó c4σ0

B5σ0, B6σ0

B3 s,B4 s s

s

Nota. X0, R0, S0, µ y σ0 son valores estándar dados

8


NTC-ISO 8258 Tabla 2. Factores para calcular líneas de gráficos de control

Observa-ciones en subgrupo n

Factores para límites de control

Factores para línea central

A

A2

A3

B3

B4

B5

B6

D1

D2

D3

D4

c4

1/c4

d2

1/d2

2 3 4 5

2,121 1,732 1,500 1,342

1,880 1,023 0,729 0,577

2,659 1,954 1,628 1,427

0,000 0,000 0,000 0,000

3,267 2,568 2,266 2,089

0,000 0,000 0,000 0,000

2,606 2,276 2,088 1,964

0,000 0,000 0,000 0,000

3,686 4,358 4,698 4,918

0,000 0,000 0,000 0,000

3,267 2,574 2,282 2,114

0,797 9 0,886 2 0,921 3 0,940 0

1,253 3 1,128 4 1,085 4 1,063 8

1,128 1,693 2,059 2,326

0,886 5 0,590 7 0,485 7 0,429 9

6 7 8 9 10

1,225 1,134 1,061 1,000 0,949

0,483 0,419 0,373 0,337 0,308

1,287 1,182 1,099 1,032 0,975

0,030 0,118 0,185 0,239 0,284

1,970 1,882 1,815 1,761 1,716

0,029 0,113 0,179 0,232 0,276

1,874 1,806 1,751 1,707 1,669

0,000 0,204 0,388 0,547 0,687

5,078 5,204 5,306 5,393 5,469

0,000 0,076 0,136 0,184 0,223

2,004 1,924 1,864 1,816 1,777

0,951 5 0,959 4 0,965 0 0,969 3 0,972 7

1,051 0 1,042 3 1,036 3 1,031 7 1,028 1

2,534 2,704 2,847 2,970 3,078

0,394 6 0,369 8 0,351 2 0,336 7 0,324 9

11 12 13 14 15

0,905 0,866 0,832 0,802 0,775

0,285 0,266 0,249 0,235 0,223

0,927 0,886 0,850 0,817 0,789

0,321 0,354 0,382 0,406 0,428

1,679 1,646 1,618 1,594 1,572

0,313 0,346 0,374 0,399 0,421

1,637 1,610 1,585 1,563 1,544

0,811 0,922 1,025 1,118 1,203

5,535 5,594 5,647 5,696 5,741

0,256 0,283 0,307 0,328 0,347

1,744 1,717 1,693 1,672 1,653

0,975 4 0,977 6 0,979 4 0,981 0 0,982 3

1,025 2 1,022 9 1,021 0 1,019 4 1,018 0

3,173 3,258 3,336 3,407 3,472

0,315 2 0,306 9 0,299 8 0,293 5 0,288 0

16 17 18 19 20

0,750 0,728 0,707 0,688 0,671

0,212 0,203 0,194 0,187 0,180

0,763 0,739 0,718 0,698 0,680

0,448 0,466 0,482 0,497 0,510

1,552 1,534 1,518 1,503 1,490

0,440 0,458 0,475 0,490 0,504

1,526 1,511 1,496 1,483 1,470

1,282 1,356 1,424 1,487 1,549

5,782 5,820 5,856 5,891 5,921

0,353 0,378 0,391 0,403 0,415

1,637 1,622 1,608 1,597 1,585

0,983 5 0,984 5 0,985 4 0,986 2 0,986 9

1,016 8 1,015 7 1,014 8 1,014 0 1,013 3

3,532 3,588 3,640 3,689 3,735

0,283 1 0,278 7 0,274 7 0,271 1 0,267 7

21 22 23 24 25

0,655 0,640 0,626 0,612 0,600

0,173 0,167 0,162 0,157 0,153

0,663 0,647 0,633 0,619 0,606

0,523 0,534 0,545 0,555 0,565

1,477 1,466 1,455 1,445 1,435

0,516 0,528 0,539 0,549 0,559

1,459 1,448 1,438 1,429 1,420

1,605 1,659 1,710 1,759 1,806

5,951 5,979 6,006 6,031 6,056

0,425 0,434 0,443 0,451 0,459

1,575 1,566 1,557 1,548 1,541

0,987 6 0,988 2 0,988 7 0,989 2 0,989 6

1,012 6 1,011 9 1,011 4 1,010 9 1,010 5

3,778 3,819 3,858 3,895 3,931

0,264 7 0,261 8 0,259 2 0,256 7 0,254 4

Fuente: ASTM, Filadelfia, E.U.A.

9

NORMA TÉCNICA COLOMBIANA 5.2

NTC-ISO 8258

GRÁFICOS DE CONTROL PARA OBSERVACIONES INDIVIDUALES (X)

En algunas situaciones de control de procesos es imposible o poco práctico tomar subgrupos racionales. El tiempo o el costo requeridos para medir una observación individual son tan grandes que no es factible pensar en observaciones repetidas. Típicamente, esto ocurriría cuando las mediciones son costosas (por ejemplo en un ensayo destructivo) o cuando la producción en cualquier momento es relativamente homogénea. En otras situaciones hay un solo valor posible, por ejemplo una lectura de instrumento o una propiedad de una carga de material de entrada. En tales situaciones el control del proceso se tiene que basar en observaciones individuales. En el caso de gráficos para observaciones individuales, puesto que no hay subgrupos racionales para suministrar una estimación de la variabilidad dentro de la carga, los límites de control se basan en una medida de la variación que se obtiene a partir de rangos móviles de, a menudo, dos observaciones. Un rango móvil es la diferencia absoluta entre pares sucesivos de mediciones en una serie; es decir, la diferencia entre las mediciones primera y segunda; después entre las mediciones segunda y tercera, y así sucesivamente. A partir de los rangos móviles se calcula el rango móvil promedio R y éste se utiliza para la construcción de gráficos de control. Así mismo, a partir de todos los datos, se calcula el promedio global X. La Tabla 3 da las fórmulas del límite de control para gráficos de control de observaciones individuales. Respecto de los gráficos de control de observaciones individuales conviene aplicar algunas precauciones: a)

Los gráficos de control de observaciones individuales no son tan sensibles a los cambios en el proceso como lo son los gráficos de X y de R

b)

Si la distribución del proceso no es normal, los gráficos de control de observaciones individuales se deben interpretar con cuidado

c)

Los gráficos de observaciones individuales no aíslan la repetibilidad de porción a porción del proceso y, por tanto, en algunas aplicaciones puede ser mejor utilizar un gráfico convencional de X y R con tamaños pequeños de muestras del subgrupo. Tabla 3. Fórmulas de límites de control para gráficos de control de valores individuales

Estadístico

Ningún valor estándar dado

Individuo, X

Línea central _X

Rango móvil, R

_ R

LSC y LIC X ± E2 R D4 R, D3 R

Valores estándar dados Línea central X0 ó µ

LSC y LIC X0 ± 3σ0

R0 ó d2σ0

D2σ0, D1σ0

Notas: 1. 2.

X0, R0, µ y σ0 son valores estándar dados _ R denota el rango móvil promedio de n = 2 observaciones

3. Los valores de los factores d2, D1, D2, D3, D4, e indirectamente, E2 (=3/d2) se pueden obtener a partir de la Tabla 2 para n = 2.

10


NTC-ISO 8258

GRÁFICOS DE CONTROL PARA MEDIANAS (Me)

Los gráficos para medianas son alternativas respecto de los gráficos X y R para el control de un proceso con datos medidos; esos gráficos dan conclusiones semejantes y tienen varias ventajas específicas. Son fáciles de utilizar y no requieren tantos cálculos. Esto puede ayudar a que el enfoque de los gráficos de control tenga más aceptación en la planta. Dado que se representan valores individuales (así como medianas), el gráfico de la mediana muestra la dispersión del proceso de producción y da una imagen progresiva de la variación del proceso. Los límites de control para los gráficos de la mediana se calculan en dos formas: utilizando la mediana de los subgrupos de las medianas y la mediana de los rangos; o usando el promedio de las medianas del subgrupo y el promedio de los rangos. En esta norma únicamente se considera el último enfoque, que es más fácil y más conveniente. Los límites de control se calculan como sigue.

5.3.1 Gráfico de la mediana _ Línea central = Me = promedio de las medianas del subgrupo LSCMe = Me + A4 R LICMe = Me - A4 R

El gráfico del rango se construye en la misma forma que para el caso de los gráficos de X y de R mencionados en el numeral 5.1. En la Tabla 4 se dan los valores de la constante A 4. Se debe observar que el gráfico de la mediana con límites de 3 σ da una respuesta más lenta para las condiciones fuera de control que un gráfico de X. Tabla 4. Valores de A 4 n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A4

1,88

1,19

0,80

0,69

0,55

0,51

0,43

0,41

0,36

5.3.2 Gráfico del rango Línea central = R = valor promedio de los valores de R para todos los subgrupos LSCR = D4 R LICR = D3 R En la Tabla 2 se dan los valores de las constantes D 3 y D4.

11

NORMA TÉCNICA COLOMBIANA 6.

NTC-ISO 8258

PROCEDIMIENTO DE CONTROL E INTERPRETACIÓN PARA LOS GRÁFICOS DE CONTROL DE VARIABLES

El sistema de gráficos de Shewhart estipula que si la variabilidad muestra a muestra del proceso y el promedio de proceso permanecieran constantes en sus niveles actuales (según lo estimado mediante R y X respectivamente), los rangos (R) y los promedios (X) del subgrupo individual variarían sólo por azar y raramente irían más allá de los límites de control. Así mismo, no habrían tendencias o patrones obvios en los datos, más allá de lo que probablemente ocurriría debido al azar. El gráfico de X muestra en dónde se centra el promedio del proceso e indica la estabilidad del proceso. El gráfico de X revela variaciones indeseables entre los subgrupos en cuanto se refiere a sus promedios. El gráfico de R revela cualquier variación indeseable dentro de los subgrupos y es un indicador de la magnitud de la variabilidad del proceso sometido a estudio. Es una medida de la consistencia o uniformidad del proceso. El gráfico R permanece bajo control si las variaciones dentro del subgrupo son esencialmente las mismas. Esto sólo sucede si todas las muestras reciben el mismo tratamiento. Si el gráfico R no permanece bajo control, o si su nivel se eleva, esto puede indicar que algunos subgrupos diferentes se están sometiendo a tratamientos diferentes o que en el proceso están incidiendo varios sistemas diferentes de causa-efecto. Los gráficos de X también pueden ser afectados por condiciones fuera de control sobre el gráfico de R. Puesto que la capacidad para interpretar los rangos del subgrupo o los promedios del subgrupo depende de la estimación de la variabilidad de muestra a muestra, el gráfico de R se analiza primero. Se debe seguir el siguiente procedimiento de control.

6.1

Se recogen y se analizan los datos, calculando los promedios y los rangos.

6.2 Se elabora primero el gráfico de R. Se verifican los puntos de los datos contra los límites de control, buscando puntos fuera de control o tendencias o patrones desusados. Para cada indicación de una causa asignable en los datos del intervalo se efectúa un análisis de la operación del proceso para determinar la causa; se corrige esa condición y se evita que vuelva a ocurrir. 6.3 Se excluyen todos los subgrupos afectados por una causa asignable identificada; a continuación se vuelve a calcular y se traza el nuevo rango promedio (R) y los nuevos límites de control. Se confirma que todos los puntos del rango muestren control estadístico al compararlos con los límites nuevos, repitiendo si es necesario la secuencia identificación/corrección/reelaboración de los cálculos. 6.4 Si algunos subgrupos son eliminados del gráfico de R debido a causas asignables identificadas, también se deben excluir del gráfico de X. Los valores revisados de R y de X se utilizarán para reelaborar el cálculo de los límites de control de ensayo para los promedios, X ± A 2R. Nota 2. La exclusión de subgrupos que representen condiciones fuera de control no es sólo "desechar datos malos". Más bien, al excluir los puntos afectados por causas asignables conocidas, tenemos una estimación mejor del nivel de variación subyacente debido a causas aleatorias. Esto, a su vez, da la base más apropiada para los límites de control utilizados para detectar más eficientemente casos futuros de causas asignables de variación.

Cuando los rangos están bajo control estadístico, se considera que es estable la 6.5 dispersión del proceso (variación dentro del subgrupo). Entonces se pueden analizar los promedios para ver si la localización del proceso está cambiando con el tiempo.

12


NTC-ISO 8258

Ahora se representa el gráfico de X y se verifican los puntos de los datos contra los 6.6 límites de control, buscando puntos fuera de control o tendencias o patrones desusados. Como para el gráfico de R, se analiza cualquier condición de fuera de control y se aplican acciones correctivas y preventivas. Se excluyen los puntos fuera de control para los cuales se han encontrado causas asignables; se efectúan de nuevo los cálculos y se representa el nuevo promedio del proceso (X) y los nuevos límites de control. Se comprueba que todos los puntos de los datos muestren control estadístico al compararlos con los límites nuevos, repitiendo si es necesario la secuencia identificación/corrección/reelaboración de los cálculos. Cuando los datos iniciales para establecer valores de referencia de los límites de control 6.7 estén contenidos uniformemente dentro de los límites de prueba, se amplían los límites para cubrir períodos futuros. Estos límites se utilizarán para el control progresivo del proceso, en que las personas responsables del mismo (operador y/o supervisor) reaccionen con prontitud frente a condiciones indicativas de "fuera de control" en el gráfico de X ó en el gráfico de R.

7.

ENSAYOS PATRÓN PARA INTERPRETAR CAUSAS ASIGNABLES DE VARIACIÓN

En la Figura 2 se presenta un conjunto de ocho ensayos suplementarios utilizados para interpretar patrones en los gráficos de Shewhart. Para una presentación más completa de estos ensayos, consúltense las referencias bibliográficas [2] y [3]. Aunque esto se puede considerar como un conjunto básico de ensayos, los analistas deben estar alerta ante cualquier patrón desusado de puntos que pudiera indicar la influencia de causas especiales en sus procesos. Por tanto, estos ensayos se deben considerar sencillamente como reglas prácticas de acción siempre que se indique la presencia de causas asignables. Una indicación de cualquiera de las condiciones estipuladas en estos ensayos señala la presencia de causas asignables de variación que es necesario diagnosticar y corregir. Los límites de control superior e inferior se fijan a una distancia de 3σ por encima y por debajo de la línea central. Para el propósito de aplicar los ensayos, el gráfico de control se divide equitativamente en seis zonas, teniendo cada zona un ancho de 1 σ. Estas zonas se rotulan como A, B, C, C, B, A, con las zonas C colocadas simétricamente respecto de la línea central. Estos ensayos son aplicables a los gráficos de X y a los gráficos de observaciones individuales (X). Se supone que hay una distribución normal.

13


NTC-ISO 8258

Figura 2. Ensayos para causas asignables

8.

CONTROL DEL PROCESO Y CAPACIDAD DEL PROCESO

La función de un sistema de control del proceso es suministrar una señal estadística cuando existen causas asignables de variación. La eliminación sistemática de causas asignables de variación excesiva, a través de esfuerzos determinados continuos, sitúa el proceso en un estado de control estadístico. Una vez que el proceso está operando en condiciones de control estadístico, su desempeño es predecible y se puede evaluar su capacidad para cumplir las especificaciones. La capacidad del proceso se determina mediante la variación total que se debe a causas comunes -la variación mínima que se puede lograr después de haber eliminado todas las causas asignables. La capacidad del proceso representa el desempeño del proceso mismo, según se 14


NTC-ISO 8258

demuestra cuando el proceso opera en un estado de control estadístico. Como tal, el proceso primero tiene que ser puesto bajo control estadístico antes de que se pueda evaluar su capacidad. Así pues, la evaluación de la capacidad del proceso comienza después de que se han resuelto los asuntos del control en los gráficos de X y en los de R; esto es, las causas especiales han sido identificadas, analizadas, corregidas y se ha evitado que ocurran de nuevo; además, los gráficos de control progresivos reflejan un proceso que ha permanecido bajo control estadístico en forma predominante para al menos los 25 subgrupos anteriores. En general, se compara la distribución de la salida del proceso con las especificaciones de ingeniería, para ver si estas especificaciones se pueden cumplir de manera constante. Generalmente, la capacidad del proceso se mide en términos de un índice de capacidad del proceso ICP (ó cp) como sigue:

ICP =

Tolerancia especiifcada LST − LIT Dispersión del proceso

=

)

6σ

Donde LST

límite superior de la tolerancia;

LIT

límite inferior de tolerancia.

$ σ

se estima a partir de la variabilidad promedio dentro del subgrupo y está dada por s /c4 ó R /d2.

Un valor de ICP menor que 1 indica que el proceso no tiene capacidad, mientras que ICP = 1 implica que el proceso apenas tiene capacidad. En la práctica, un valor de ICP de 1,33 generalmente se toma como el valor mínimo aceptable porque siempre hay alguna variación de muestreo y ningún proceso está siempre completamente bajo control estadístico. Sin embargo, se debe observar que el índice ICP mide únicamente la relación de los límites con la dispersión del proceso; no se considera la localización o el centrado del proceso. Sería posible que cualquier porcentaje de valores estuviera por fuera de los límites de la especificación y que hubiera un alto valor de ICP. Por esta razón, es importante considerar la distancia a escala entre el promedio del proceso y el límite de especificación más próximo. El análisis adicional de este tema se sale del ámbito de esta norma. En vista de la discusión anterior, para ilustrar los pasos clave que conducen hacia el control y el mejoramiento del proceso se puede utilizar como guía un procedimiento, tal como se presenta esquemáticamente en la Figura 3.

15


NTC-ISO 8258

Figura 3. Estrategia para el mejoramiento del proceso

9.

GRÁFICOS DE CONTROL DE ATRIBUTOS

Los datos de atributos representan observaciones obtenidas notando la presencia o ausencia de alguna característica (o atributo) en cada una de las unidades del subgrupo considerado, contando después cuántas unidades tienen o no tienen el atributo, o cuántos de tales eventos ocurren en la unidad, en el grupo o en el área. Los datos de atributos generalmente se obtienen en forma rápida y económica, y a menudo no se requieren habilidades especializadas para la recolección de dichos datos. En la Tabla 5 se dan las fórmulas de los límites de control para los gráficos de control de atributos. En el caso de los gráficos de control de variables, se acostumbra mantener un par de gráficos de control; uno para el control del promedio y el otro para el control de la dispersión. Esto es necesario porque la distribución subyacente en los gráficos de control para variables es la distribución normal, que depende de estos dos parámetros. Sin embargo, en el caso de los gráficos de control de atributos, será suficiente un sólo gráfico porque la distribución supuesta tiene únicamente un parámetro independiente, el nivel del promedio. Los gráficos de p y de np se basan en la distribución binomial, mientras que los gráficos de c y u se basan en la distribución de Poisson. 16


NTC-ISO 8258

Los cálculos para estos gráficos son semejantes, excepto en los casos en que la variabilidad en el tamaño del subgrupo afecta a la situación. Cuando el tamaño del subgrupo es constante, se puede utilizar el mismo conjunto de límites de control para cada subgrupo. Sin embargo, si el número de ítems inspeccionados en cada subgrupo varía, se deben calcular límites de control separados para cada subgrupo. Así pues, los gráficos np y c se pueden utilizar razonablemente con un tamaño de muestra constante, mientras que los gráficos de p y u se podrían utilizar en cualquier situación. Tabla 5. Fórmulas de los limites de control para gráficos de shewhart para control de atributos

Estadístico

Ningún valor estándar dado Línea central

Valores estándar dados

Límites de control de 3σ

Línea central

Límites de control 3σ

p0 ± 3 p0 (1- p0 ) / n

p

_ p

p ± 3 p(1- p) / n

p0

np

_ np

np ± 3 np(1- p)

np0

c

_ c

u

_ u

np0 ± 3 np0 (1- p0)

c±3 c c0

u±3 u/n

c0 ± 3 c0 u0 ± 3 U0 / n

u0

Nota. p0, np0, c0, y u0 son valores estándar dados

En los casos en que el tamaño de muestra varía de muestra a muestra, para cada muestra se calculan límites de control separados. Cuanto más pequeño sea el tamaño del subgrupo, más amplias serán las bandas del control y viceversa. Si el tamaño del subgrupo no varía en forma apreciable, entonces se puede utilizar un solo conjunto de límites de control basados en el tamaño promedio del subgrupo. Por razones prácticas, esto se cumple bien para situaciones en las cuales el tamaño del subgrupo está dentro de ± 25 % del tamaño objetivo del subgrupo. Un procedimiento alternativo para situaciones en las cuales el tamaño de la muestra varía grandemente, es usar una variable normalizada. Por ejemplo, en vez de representar p, representar el valor normalizado

Z =

p - po po (1 - po) / n

ó Z =

p - p p(1 - p) / n

17


NTC-ISO 8258

según que el valor estándar para p esté especificado o no. La línea central así como los límites de control se vuelven constantes, independientes del tamaño del subgrupo, y están dados como línea central = 0 LSC = 3 LIC = -3

El gráfico de p se utiliza para determinar el promedio porcentual de los ítems no conformes que se presenta durante un período de tiempo. En el gráfico, el personal del proceso y la gerencia puede detectar cualquier cambio en este promedio. Para juzgar si el proceso está bajo control estadístico, se procede en la misma forma que se hizo para los gráficos de X y de R. Si todos los puntos de la muestra caen dentro de los límites de control de prueba sin mostrar ninguna indicación de una causa asignable, se dice que el proceso está bajo control. En tal caso, la fracción no conforme promedio p, se toma como valor estándar para la fracción no conforme, p0.

10.

CONSIDERACIONES PRELIMINARES ANTES DE COMENZAR UN GRÁFICO DE CONTROL

10.1

SELECCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE CALIDAD

Se seleccionan las características de calidad para el programa de control. Normalmente se considerarán en primer lugar las características que afecten el desempeño del producto o del servicio. Estas pueden ser aspectos del servicio ofrecido o características del material usado, de las partes componentes del producto, así como del producto terminado que se suministra al comprador. Los métodos estadísticos de control se deben introducir primordialmente cuando el gráfico de control ayude a suministrar información acerca de un proceso en forma oportuna, de tal modo que se pueda corregir el proceso y producir así un mejor producto o servicio. Se deben seleccionar características de calidad del producto o servicio que tengan un efecto decisivo en la calidad del producto o servicio y que aseguren la estabilidad de los procesos.

10.2

ANÁLISIS DEL PROCESO DE PRODUCCIÓN

Se debe hacer un análisis detallado del proceso de producción para determinar: a)

La clase y la localización de las causas que pueden originar irregularidades

b)

El efecto de la imposición de especificaciones

c)

El método y la localización de la inspección

d)

Todos los otros factores pertinentes que puedan afectar al proceso de producción.

También se debe efectuar un análisis para determinar la estabilidad de los procesos de producción, la exactitud del equipo de producción y ensayo, la calidad de los productos o servicios producidos, los patrones de correlación entre los tipos y las causas de no conformidades. Si se necesitan convenios para ajustar los procesos de producción y el equipo, 18


NTC-ISO 8258

así como diseñar planes para el control estadístico de los procesos de producción, entonces se requieren las condiciones de las operaciones de producción y de la calidad del producto. Esto ayudará a ubicar en forma precisa el mejor lugar para establecer controles e identificar rápidamente cualquier irregularidad en el desempeño del proceso de producción para prever acción correctiva oportuna.

10.3

SELECCIÓN DE SUBGRUPOS RACIONALES

Los gráficos de control tienen en sus fundamentos la idea central de Shewhart de dividir las observaciones en lo que se llama "subgrupos racionales"; esto es, clasificar las observaciones del caso en subgrupos, dentro de los cuales se puede considerar que las variaciones se deben únicamente a causas del azar, pero entre las cuales cualquier diferencia se puede deber a causas asignables que el gráfico de control busca detectar. Para establecer los subgrupos mencionados se requiere algún conocimiento técnico y familiaridad con las condiciones de producción y las condiciones en las cuales se tomaron los datos. Identificando cada subgrupo con un tiempo o con una fuente, se pueden rastrear y corregir más fácilmente las causas de problemas específicos, si esto es ventajoso. Los registros de inspección y ensayo, tomados en el orden en el cual se hicieron las observaciones, suministran una base para la subagrupación con respecto al tiempo. Esto suele ser útil en la fabricación en que es importante mantener constante en el tiempo el sistema origen de producción. Siempre se debe recordar que el análisis se facilitará grandemente si, al planificar la recolección de datos, se tiene cuidado de seleccionar las muestras de tal modo que los datos correspondientes a cada subgrupo se puedan tratar adecuadamente como un subgrupo racional por separado y que los subgrupos se identifiquen en tal forma que sea posible hacer esto. Así mismo, en cuanto sea posible, el tamaño del subgrupo, n, se debe mantener constante para evitar que los cálculos y la interpretación resulten tediosos. Sin embargo, se debe observar que los principios de los gráficos de Shewhart se pueden aplicar igualmente en situaciones en que n varíe.

10.4

FRECUENCIA Y TAMAÑO DE LAS MUESTRAS

No se pueden establecer reglas generales para la frecuencia de los subgrupos o el tamaño del subgrupo. La frecuencia puede depender del costo de tomar y analizar las muestras, y el tamaño del subgrupo puede depender de consideraciones prácticas. Por ejemplo, los subgrupos grandes tomados a intervalos menos frecuentes pueden detectar en forma más precisa un pequeño cambio en el promedio del proceso, pero los subgrupos pequeños tomados a intervalos más frecuentes detectarán más rápidamente un cambio grande. A menudo, como tamaño del subgrupo se toma 4 ó 5, mientras que la frecuencia de la toma de muestras generalmente es alta al comienzo y es baja una vez que se alcanza un estado de control estadístico. Normalmente, para suministrar estimaciones preliminares se considera que son adecuados 20 a 25 subgrupos de tamaño 4 ó 5. Vale la pena observar que la frecuencia de la toma de muestras, el control estadístico y la capacidad del proceso se tienen que considerar en conjunto. El razonamiento es como sigue. Para estimar la desviación estándar σ, a menudo se utiliza el valor del rango promedio R . El número de fuentes de variación se incrementa a medida que el intervalo de tiempo entre las muestras dentro de un subgrupo también se incrementa. Por tanto, ampliando las muestras dentro de un subgrupo a través del tiempo se incrementará R , se incrementará la estimación de σ, se ampliarán los límites del control y de este modo parecerá que se disminuye el índice de capacidad del proceso. Inversamente, es posible incrementar la capacidad del proceso mediante la toma de muestras consecutiva de porciones, dando un R pequeño y una pequeña estimación de σ, pero será difícil alcanzar el control estadístico. 19


NTC-ISO 8258

RECOLECCIÓN DE DATOS PRELIMINARES

Una vez que se ha decidido la característica de calidad que se va a controlar y la frecuencia y el tamaño del subgrupo que se va a tomar, es necesario recoger y analizar algunos datos o mediciones iniciales de inspección para el propósito de suministrar valores preliminares al gráfico de control, que son necesarios al determinar la línea central y los límites de control que se han de trazar en el gráfico. Los datos preliminares se pueden recoger subgrupo por subgrupo hasta que se hayan obtenido 20 a 25 subgrupos en una corrida continua del proceso de producción. Durante el curso de esta recolección de datos iniciales se debe tener cuidado de que el proceso no sea indebidamente afectado en forma intermitente por factores extraños tales como el cambio en la alimentación de materias primas, en las operaciones, en los ajustes de máquina, etc. Es decir, durante el período en que se estén recolectando los datos preliminares, el proceso debe mostrar un estado de estabilidad.

11.

PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS DE CONTROL

En los numerales 11.1 a 11.5 se describen los pasos necesarios en la construcción del gráfico de X y del gráfico de R, para el caso en que no se dan valores estándar. En el numeral 12.2 se describen dichos pasos en la forma de un ejemplo. En la construcción de otros gráficos de control se seguirán los mismos pasos básicos pero las constantes para los cálculos son diferentes (ver las Tablas 1 y 2). En la Figura 4 se presenta un formato general de un gráfico de control estándar. Este formato puede ser objeto de modificaciones, de acuerdo con los requisitos particulares de una situación de control del proceso.

11.1 Si los datos preliminares no se tomaron en subgrupos de acuerdo con un plan prescrito, el conjunto total de valores observados se desglosa en subgrupos secuenciales, según los criterios para subgrupos racionales que se mencionaron en el numeral 10.3. Los subgrupos deben ser de la misma estructura y tamaño. Los productos de cualquiera de los subgrupos deben tener lo que se crea que es algún factor común importante, por ejemplo unidades producidas durante el mismo corto intervalo de tiempo o unidades procedentes de una entre varias fuentes o localizaciones distintas. Los diferentes subgrupos deben representar diferencias posibles o sospechadas en el proceso que los produjo, por ejemplo intervalos de tiempo diferentes o fuentes o localizaciones diferentes. 11.2

Para cada subgrupo, se calcula el promedio, X , y el rango, R.

11.3

Se calcula el gran promedio de todos los valores observados, X y el rango promedio, R .

11.4 En un formato adecuado o en papel para gráficas,se elabora un gráfico de X y un gráfico de R. La escala vertical de la izquierda se utiliza para X y para R y la escala horizontal para el número del subgrupo. Se representan los valores calculados para X en el gráfico de los promedios y se representan los valores calculados para R en el gráfico de los rangos. 11.5 y R.

En estos gráficos respectivos, se trazan rayas horizontales continuas para representar X

11.6 Se ubican los límites de control en estos gráficos. En el gráfico de X se trazan dos rayas horizontales punteadas en X ± A2 R y, en el gráfico de R, se trazan dos rayas horizontales punteadas en D3 R y D4 R , en donde A2, D3 y D4 se basan en n, el número de observaciones en un subgrupo, y que se dan en la Tabla 2. El LIC en el gráfico de R no se necesita cuando n sea menor de 7 puesto que el valor siguiente de D 3 se considera igual a cero. 20


NTC-ISO 8258

Figura 4. Formato general de un gráfico de control

12.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: GRÁFICOS DE CONTROL DE VARIABLES

12.1

GRÁFICO DE X y GRÁFICO DE R: VALORES ESTÁNDAR DADOS

El gerente de producción de un importador de té desea controlar su proceso de empaque para que el peso promedio de los paquetes sea 100,6 g. La desviación estándar supuesta del proceso es 1,4 g, con base en procesos de empaque semejantes. Puesto que los valores estándar están dados (X 0 = 100,6, σ0 =1,4), se pueden construir de inmediato los gráficos de control para el promedio y el intervalo utilizando las fórmulas dadas en la Tabla 1 y los factores A, d2, D2 y D1 dados en la Tabla 2 para n = 5.

21


NTC-ISO 8258

Gráfico de X Línea central = =

X0 100,6 g

LSC

= =

X0 + Aσ0 100,6 + (1,342 x 1,4) 102,5 g

LIC

= = =

X0 - A σ$0 100,6 - (1,342 x 1,4) 98,7 g

Gráfico de R Línea central = = =

d2σ0 2,326 x 1,4 3,3 g

LSC

= = =

D2σ0 4,918 x 1,4 6,9 g

LIC

= =

D1σ0 0 x 1,4 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

Ahora se seleccionan 25 muestras de tamaño 5; se calculan sus valores del promedio y del rango del subgrupo (ver la Tabla 6) y se representan gráficamente con los límites de control calculados antes (ver la Figura 5). Los gráficos, que aparecen en la Figura 5, indican que el proceso está fuera de control o del nivel deseado, porque hay una secuencia de 13 puntos por debajo de la línea central en el gráfico de X y 16 puntos por encima de la línea central en el gráfico de R. Se debe investigar y eliminar la causa de una secuencia tan larga de valores bajos de la media.

22


NTC-ISO 8258

Tabla 6. Proceso de empaque de té Subgrupo No.

Promedio del subgrupo X

Rango del subgrupo R

1 2 3 4 5

100,6 101,3 99,6 100,5 99,9

3,4 4,0 2,2 4,5 4,8

6 7 8 9 10

99,5 100,4 100,5 101,1 100,3

3,8 4,1 1,7 2,2 4,6

11 12 13 14 15

100,1 99,6 99,2 99,4 99,4

5,0 6,1 3,5 5,1 4,5

16 17 18 19 20

99,6 99,3 99,9 100,5 99,5

4,1 4,7 5,0 3,9 4,7

21 22 23 24 25

100,1 100,4 101,1 99,9 99,7

4,6 4,4 4,9 4,7 3,4

Figura 5. Gráfico de promedio y rango para los datos dados en la Tabla 6

23


GRÁFICO DE

X

NTC-ISO 8258

y GRÁFICO DE R: NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

En la Tabla 7 se dan las mediciones del radio externo de un tapón, cada media hora se toman cuatro mediciones, para un total de 20 muestras. En la Tabla 7 también se dan los promedios y los rangos del subgrupo. Las tolerancias especificadas son 0,219 dm y 0,125 dm. El objetivo es evaluar el desempeño del proceso y controlarlo con respecto a su localización y dispersión de tal modo que el proceso cumpla las especificaciones. Tabla 7. Datos de producción acerca del radio externo de un tapón Subgrupo No.

Radio

Media X

Rango R

X1

X2

X3

X4

1 2 3 4 5

0,189 8 0,201 2 0,221 7 0,183 2 0,169 2

0,172 9 0,191 3 0,219 2 0,181 2 0,226 3

0,206 7 0,187 8 0,207 8 0,196 3 0,206 6

0,189 8 0,192 1 0,198 0 0,180 0 0,209 1

0,189 8 0,193 1 0,211 7 0,185 2 0,203 3

0,033 8 0,013 4 0,023 7 0,016 3 0,057 1

6 7 8 9 10

0,162 1 0,200 1 0,240 1 0,199 6 0,178 3

0,183 2 0,192 7 0,182 5 0,198 0 0,171 5

0,191 4 0,216 9 0,191 0 0,207 6 0,182 9

0,178 3 0,208 2 0,226 4 0,202 3 0,196 1

0,178 8 0,204 5 0,210 0 0,201 9 0,182 2

0,029 3 0,024 2 0,057 6 0,009 6 0,024 6

11 12 13 14 15

0,216 6 0,192 4 0,176 8 0,192 3 0,192 4

0,174 8 0,198 4 0,198 6 0,187 6 0,199 6

0,196 0 0,237 7 0,224 1 0,190 3 0,212 0

0,192 3 0,200 3 0,202 2 0,198 6 0,216 0

0,194 9 0,207 2 0,200 4 0,192 2 0,205 0

0,041 8 0,045 3 0,047 3 0,011 0 0,023 6

16 17 18 19 20

0,172 0 0,182 4 0,181 2 0,170 0 0,169 8

0,194 0 0,179 0 0,158 5 0,156 7 0,166 4

0,211 6 0,187 6 0,169 9 0,169 4 0,170 0

0,232 0 0,182 1 0,168 0 0,170 2 0,160 0

0,204 9 0,182 8 0,169 4 0,166 6 0,166 6

0,060 0 0,008 6 0,022 7 0,013 5 0,010 0

X =

R =

∑ X k

∑ R k

=

=

3,8480 20

0,5734 20

= 0,1924

= 0,0287

El primer paso es trazar un gráfico de R y evaluar su estado de control.

24


NTC-ISO 8258

Gráfico de R línea central LSC LIC

= = = = = = =

R

0,028 7 D4 R 2,282 x 0,028 7 0,065 5 D3 R 0 x 0,028 7 (puesto que n es menor de 7, no se muestra el LIC)

Los valores de los factores multiplicativos D 3 y D4 se toman de la Tabla 2 para n = 4. Puesto que los valores de R en la Tabla 7 están dentro de los límites de control del gráfico de R , el gráfico de R indica un estado de control estadístico. Ahora se puede usar el valor de R para calcular los límites de control del gráfico de X . Gráfico de X Línea central = = LSC = = = LIC = = =

X

0,192 4 X + A2 R 0,192 4 + (0,729 x 0,028 7) 0,213 3 X - A2 R 0,192 4 - (0,729 x 0,028 7) 0,171 5

Figura 6. Gráficos de promedio y rango para los datos dados en la Tabla 7

25


NTC-ISO 8258

El valor del factor A2 se toma de la Tabla 2 para n = 4. En la Figura 6 se representan los gráficos de control para X y R. Un examen del gráfico de X revela que los últimos tres puntos están fuera de control. Esto indica que en el proceso pueden estar influyendo algunas causas asignables de variación. Si los límites se hubieran calculado a partir de los datos anteriores, se hubiera requerido acción en el punto 18. En este punto se toma la acción correctiva adecuada para eliminar las causas asignables y evitar que se presenten de nuevo. Se continúa el procedimiento de representación estableciendo límites de control revisados mediante la eliminación de los puntos fuera de control, es decir, los valores para los números de las muestras 18, 19 y 20. Los valores de X , R y las líneas del gráfico de control se vuelven a calcular como sigue: X revisado =

R revisado =

∑ X k

∑ R k

=

3,3454

=

17

0,5272 17

= 0,1968

= 0,0310

Gráfico de X revisado Línea central = = LSC = = = LIC = = =

X

0,196 8 X + A2 R 0,196 8 + (0,729 x 0,031 0) 0,219 4 X - A2 R 0,196 8 - (0,729 x 0,031 0) 0,174 2

Gráfico de R revisado Línea central = = LSC = = = LIC = =

R

0,0310 D4 R 2,282 X 0,031 0 0,070 7 D3 R 0 x 0,031 0 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

En la Figura 7 se representan los gráficos de control revisados.

26


NTC-ISO 8258

Figura 7. Gráficos revisados de X y R para los datos en la Tabla 7

Con el proceso mostrando un estado de control estadístico en relación con los límites de control revisados, se puede evaluar la capacidad del proceso. Se calcula

ICP =

Tolerancia especificada LST − LIT Dispersión del proceso

=

)

σ

)

donde σ se estima mediante R /d2 = 0,031 0/2,059 = 0,0151. El valor de la constante d 2 se toma de la Tabla 2 para n = 4. Así pues, ICP =

=

0,219 0 - 0,125 0 6 x 0,015 1

0,940 0,0910

= 1,033 0

Puesto que ICP es mayor que 1, se puede considerar que el proceso es capaz. Sin embargo, al examinar en detalle, se puede ver que el proceso no está centrado adecuadamente en relación con la especificación y, por tanto, aproximadamente el 11,8 % de los individuos estarán por fuera del límite superior de especificación. Por tanto, antes de establecer parámetros permanentes del gráfico de control, se debe intentar centrar el proceso adecuadamente mientras se mantiene un estado de control estadístico. 27


NTC-ISO 8258

GRÁFICO DE CONTROL PARA INDIVIDUOS, X, Y RANGO MÓVIL, R: NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

En la Tabla 8 se dan los resultados del análisis de laboratorio de la "humedad porcentual" en muestras procedentes de 10 lotes sucesivos de leche en polvo descremada. Se analizó en el laboratorio una muestra de leche en polvo descremada, representativa de un lote, respecto de diversas características tales como grasa, humedad, acidez, índice de solubilidad, sedimentación, bacterias y proteína del suero. Se buscaba controlar el porcentaje de humedad por debajo del 4 % para este proceso. Se encontró que la variación de muestreo dentro de un lote individual fue insignificante, por lo cual se decidió tomar únicamente una observación por lote y establecer límites de control con base en el rango móvil de lotes sucesivos. Tabla 8. Humedad porcentual para 10 muestras sucesivas de leche en polvo descremada Lote No. X: % humedad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2,9

3,2

3,6

4,3

3,8

3,5

3,0

3,1

3,6

3,5

0,3

0,4

0,7

0,5

0,3

0,5

0,1

0,5

0,1

R: rango móvil

X =

2,9 + 3,2 + ... + 3,5 10 =

R =

34,5 10

= 3,45%

0,3 + 0,4 + ... + 0,1 9

=

3,4 9

= 0,38 %

Líneas del gráfico de control para rangos móviles, R Línea central = = LSC = = = LIC = =

R

0,38 D4 R 3,267 x 0,38 1,24 D3 R 0 x 0,38 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

Los valores de los factores D 3 y D4 se obtienen a partir de la Tabla 2 para n = 2. Puesto que el gráfico del rango muestra un estado de control estadístico, se puede efectuar la representación del gráfico de control para los individuos.

28


NTC-ISO 8258

Líneas del gráfico de control para individuos, X Línea central = LSC = = = LIC = = =

X = 3,45 X + E2 R

3,45 + (2,66 x 0,38) 4,46 X - E2 R 3,45 - (2,66 x 0,38) 2,44

En la Tabla 3 y en la Tabla 4 se dan las fórmulas para los límites de control y el valor del factor E2. En la Figura 8 se representan los gráficos de control. Los gráficos de control indican que el proceso está bajo control estadístico.

Figura 8. Gráficos de control para valores individuales ,X, para los datos dados en la Tabla 8

12.4

GRÁFICO DE LA MEDIANA: NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

Una máquina elabora discos electrónicos con espesor especificado entre 0,007 cm y 0,016 cm. Se extraen muestras de tamaño 5 cada media hora y se registra su espesor en centímetros según se muestra en la Tabla 9. Se decidió instalar un gráfico de la mediana con el propósito de controlar la calidad. En la Tabla 9 también se muestran los valores de las medianas y los rangos.

29


NTC-ISO 8258

Tabla 9. Datos de control para el espesor de discos de mica Subgrupo No.

Espesor

Mediana

Rango

Me

R

X1

X2

X3

X4

X5

1 2 3 4 5

14 11 11 16 15

8 10 12 12 12

12 13 16 17 14

12 8 14 15 10

8 10 9 13 7

12 10 12 15 12

6 5 7 5 8

6 7 8 9 10

13 14 11 14 12

8 12 10 10 10

15 13 8 12 12

15 10 16 9 14

8 16 10 7 10

13 13 10 10 12

7 6 8 7 4

11 12 13 14 15

10 10 8 13 7

12 10 12 8 8

8 8 10 11 14

10 8 8 14 13

12 10 10 12 11

10 10 10 12 11

4 2 4 6 7

Se calcula el promedio de las medianas y los rangos del subgrupo como sigue: Me = promedio de las medianas del subgrupo

=

12 + 10 + 12 + ... + 11 172

=

15

15

=11 ,47

R = rango promedio

=

6 + 5 + 7 + ... + 7 15

El gráfico del rango se calcula como sigue:

30

=

86 15

= 5,73


NTC-ISO 8258

Gráfico de R Línea central = = LSC = = = LIC = =

R

5,73 D4 R 2,114 x 5,73 12,11 D3 R 0 x 5,73 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

Los valores de las constantes D 3 y D4 se toman de la Tabla 2 para n = 5. Como el gráfico del rango muestra un estado de control, se pueden calcular las líneas del gráfico de la mediana.

Gráfico del control de la mediana Línea central = = LSCMe = = = LICMe = = =

Me

11,47 + A4 R 11,47 + (0,69 x 5,73) 15,42 Me - A4 R 11,47 - (0,69 x 5,73) 7,52 Me

El valor de A4 se toma de la Tabla 4 para n = 5. En la Figura 9 se representan los gráficos. Como es evidente por el gráfico, el proceso muestra un estado de control estadístico.

31


NTC-ISO 8258

Figura 9. Gráfico de la mediana y gráfico del rango para los datos dados en la Tabla 9

13.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: GRÁFICOS DE CONTROL DE ATRIBUTOS

13.1

GRÁFICO DE p Y GRÁFICO DE np: NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

Los datos presentados en la Tabla 10 dan el número de unidades no conformes por hora, respecto a malos funcionamientos encontrados mediante inspección del 100 % en interruptores pequeños con dispositivos de inspección automática. Los interruptores se producen en una línea de ensamble automático. Puesto que el mal funcionamiento es serio, el porcentaje no conforme se utiliza para identificar el momento en que la línea de ensamble esté fuera de control. Se elabora un gráfico de p, recogiendo datos de 25 grupos como datos preliminares (ver la Tabla 10).

32


NTC-ISO 8258

Tabla 10. Datos preliminares: interruptores Subgrupo No.

Número de interruptores inspeccionados n

Número de interruptores no conformes np

porcentaje de no conformes p

1 2 3 4 5

4 000 4 000 4 000 4 000 4 000

8 14 10 4 13

0,200 0,350 0,250 0,100 0,325

6 7 8 9 10

4 000 4 000 4 000 4 000 4 000

9 7 11 15 13

0,225 0,175 0,275 0,375 0,325

11 12 13 14 15

4 000 4 000 4 000 4 000 4 000

5 14 12 8 15

0,125 0,350 0,300 0,200 0,375

16 17 18 19 20

4 000 4 000 4 000 4 000 4 000

11 9 18 6 12

0,275 0,225 0,450 0,150 0,300

21 22 23 24 25

4 000 4 000 4 000 4 000 4 000

6 12 8 15 14

0,150 0,300 0,200 0,375 0,350

Total

100 000

269

A continuación, se calcula la línea central y los límites de control y se representan en la Figura 10.

Gráfico de p Línea central = p

=

=

8 + 14 + ... + 14

269 100 000

4 000 x 25

= 0,002 7 = 0,27 %

33


NTC-ISO 8258 LSC = p + 3 p(1 - p ) /n

= 0,002 7 + 3

0,002 7 (1 - 0,002 7) /4 000

= 0,005 2 = 0,52 %

LIC = p - 3 p(1 - p ) /n

= 0,002 7 - 3

0,002 7 (1 - 0,002 7) /4 000

= 0,000 2 = 0,02 %

Figura 10. Gráfico p para los datos dados en la Tabla 10

El gráfico indica que la calidad de los interruptores está bajo control estadístico, aunque el porcentaje no conforme puede ser demasiado grande. Estos límites de control se pueden utilizar ahora para subgrupos futuros hasta aquel momento en que el proceso se altere o en que el proceso se salga de control estadístico. Obsérvese que como el proceso está bajo control estadístico, es improbable que se pueda hacer cualquier mejoramiento sin un cambio del proceso. El hecho de decirles a las personas simplemente que es necesario "ser más cuidadoso" no es suficiente. Si se efectúa un mejoramiento, entonces se tendrán que calcular límites de control diferentes para que los subgrupos futuros reflejen el desempeño alterado del proceso. Si el proceso ha sido mejorado (valor de p más pequeño), se utilizan los límites nuevos, pero si el proceso se ha deteriorado (valor de p más alto), se buscan causas asignables adicionales. Obsérvese que para estos datos habría sido igualmente apropiado un gráfico de np, puesto que todos los tamaños de muestras son iguales. Los cálculos para el gráfico de np se dan a continuación y el gráfico se representa en la Figura 11. 34


NTC-ISO 8258

Gráfico de np Línea central = n p

=

8 + 14 + ... + 14 25

LSC = n p + 3

= 10,76 + 3

n p(1 - p )

10,76 (1 - 0,0027) = 20,59

LIC = n p - 3

= 10,76 - 3

= 10,76

n p(1 - p )

10,76 (1 - 0,002 7) = 0,93

Figura 11. Gráfico np para los datos dados en la Tabla 10

13.2

GRÁFICO DE p: NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

En una empresa manufacturera que produce transistores para radios, se decidió instalar un gráfico de p para la fracción no conforme. Durante un período de un mes se recogieron y se analizaron datos. Para esto, al final de cada día se tomó una muestra aleatoria de la producción correspondiente a cada día y esa muestra se examinó para determinar el número de productos no conformes. En la Tabla 11 se presentan los datos.

35


NTC-ISO 8258

Tabla 11. Transistores para radios: gráfico p, (datos iniciales) Subgrupo No.

Número inspeccionado

Número de no conformes np

Fracción de no conformes p

LSC

LIC

1 2 3 4 5

158 140 140 155 160

11 11 8 6 4

0,070 0,079 0,057 0,039 0,025

0,117 0,120 0,120 0,177 0,116

0,003 0,000 0,000 0,003 0,004

6 7 8 9 10

144 139 151 163 148

7 10 11 9 5

0,049 0,072 0,073 0,055 0,034

0,119 0,120 0,118 0,116 0,119

0,001 0,000 0,002 0,004 0,001

11 12 13 14 15

150 153 149 145 160

2 7 7 8 6

0,013 0,046 0,047 0,055 0,038

0,118 0,118 0,118 0,119 0,116

0,002 0,002 0,002 0,001 0,004

16 17 18 19 20

165 136 153 150 148

15 18 10 9 5

0,091 0,132 0,065 0,060 0,034

0,115 0,121 0,118 0,118 0,119

0,005 0,000 0,002 0,002 0,001

21 22 23 24 25 26

135 165 143 138 144 161

0 12 10 8 14 20

0,000 0,073 0,070 0,058 0,097 0,124

0,121 0,115 0,120 0,121 0,119 0,116

0,000 0,005 0,000 0,000 0,001 0,004

Total

3 893

233

En la Tabla 11 también se dan los valores de la fracción no conforme calculados para cada subgrupo. La fracción no conforme promedio para el mes se calcula como sigue:

P=

número total de no conformes número total inspeccionado

=

233 3 893

= 0,060

Puesto que los tamaños de los subgrupos son diferentes, para cada subgrupo se calculan separadamente los valores de LSC y LIC mediante la fórmula:

p ± 3 p

(1 - p )

Donde n es el tamaño del subgrupo.

36

n


NTC-ISO 8258

Estos valores también se dan en la Tabla 11. Se puede ver que la representación de los valores de LSC y LIC para cada subgrupo es una tarea larga. Sin embargo, en la Tabla 11 se puede observar que las fracciones no conformes para los subgrupos números 17 y 26 están por fuera de sus correspondientes límites de control superiores. Estos dos subgrupos se eliminan de los datos pues se demuestra que están sujetos a variaciones diferentes de las que afectan a los otros subgrupos. El hecho de incluirlos en los cálculos daría como resultado un promedio sobreestimado del proceso y unos límites de control que no reflejarían las variaciones aleatorias verdaderas. Se deben buscar las razones que expliquen estos valores altos, para así poder aplicar acción correctiva encaminada a evitar que se vuelvan a presentar. Con base en los valores de los 24 subgrupos restantes, se calcula una fracción no conforme promedio revisada:

p =

195 359 6

= 0,054

El cálculo de los valores revisados de LSC y LIC para cada subgrupo, usando el valor revisado de p , revelaría que todas las fracciones no conformes están dentro de sus límites de control correspondientes. Por consiguiente, este valor revisado de p se toma como la fracción no conforme estándar para el propósito de la instalación de los gráficos de control. Así pues, p 0 = 0,054. Como se observó antes, la representación gráfica de los límites de control superiores para cada subgrupo de tamaño variable es un proceso largo y tedioso. Sin embargo, puesto que los tamaños de los subgrupos no varían ampliamente respecto del tamaño promedio del subgrupo, que resulta ser 150, el gráfico de p revisado (con p 0 = 0,054) se puede representar con un límite de control superior usando un tamaño de subgrupo de n = 150, como tamaño promedio del subgrupo. Así pues, las líneas revisadas del gráfico de p se calculan como sigue: Gráfico de p revisado Línea central = p 0 = 0,054

p0 (1 - p0 )

LSC = p0 + 3

= 0,054 + 3

n

0,054 x 0,946) 150

LIC = p 0 - 3

37

= 0,109

p 0 (1 - p 0 ) n


NTC-ISO 8258

= 0,054 - 3

0,054 x 0,946) 150

(puesto que los valores negativos no son posibles, el límite inferior no se muestra). En la Figura 12 se representa el gráfico de p revisado. El proceso presenta un estado de control estadístico.

Figura 12. Gráfico p revisado para los datos dados en la Tabla 11

13.3

GRÁFICO c: NO SE DAN VALORES ESTÁNDAR

Un fabricante de cinta de video desea controlar el número de no conformidades, por manchas, en la cinta de video. La cinta de video se fabrica en longitudes de 4 000 m. Los datos siguientes dan el número de no conformidades, por manchas, que se hallaron al examinar sucesivamente la superficie de 20 aros de cinta de video, cada uno con una longitud de 350 m, procedentes de cierto proceso de producción en el cual se investiga un extremo de la cinta de video. Para controlar este proceso, se proyecta aplicar un gráfico de c que represente el número de no conformidades, por manchas. En la Tabla 12 se dan los datos para 20 aros, que se toman como datos preliminares para elaborar un gráfico de c. Tabla 13. Datos preliminares: cinta de video Aro No.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Total

Número de no conformidades, por manchas

7

1

2

5

0

6

2

0

4

4

6

3

3

3

1

6

3

1

5

6

68

A continuación se calcula la línea central y los límites de control y su representación se hace en la Figura 13. 38


NTC-ISO 8258

Gráficode c

lí nea central = C =

7 + 1 + ... + 6 20

=

68 20

= 3,4

LSC = c + 3 c

= 3,4 + 3 3,4 = 8,9

LIC = c - 3 c

= 3,4 - 3 3,4

(puesto que los valores negativos no son posibles, el límite inferior no se muestra). Los datos preliminares indican que el proceso se encuentra en un estado de control estadístico.

Figura 13. Gráfico c para los datos dados en la Tabla 12

13.4

NÚMERO DE NO CONFORMIDADES POR UNIDAD: GRÁFICO u

En una planta de fabricación de llantas se inspeccionaron 15 llantas cada media hora y se registró el número total de no conformidades y el número de no conformidades por unidad. Se decidió instalar un gráfico u para el número de no conformidades por unidad, con el propósito de estudiar el estado de control del proceso. En la Tabla 13 se muestran los datos.

39


NTC-ISO 8258

Tabla 13. Planta de fabricación de llantas: número de no conformidades por unidad (unidades inspeccionadas por subgrupo, n = 15)

Subgrupo No.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Total

c: Número de no conformidad es

4

5

3

6

2

1

5

6

2

4

7

5

2

3

55

u: Número de no conformidad es por unidad

0,27

0,33

0,20

0,40

0,13

0,07

0,33

0,40

0,13

0,27

0,47

0,33

0,13

0,20

El promedio de los valores de u se calcula a partir de la Tabla 13 como sigue. Se divide el número total de no conformidades (de la fila de valores de c) por el número total de unidades inspeccionadas (es decir, 14 x 15): u=

=

∑c ∑n

55 14 x 15

= 0,26

Gráfico u Línea central = u = 0,26

LSC = u + 3 u /n

= 0,26 + 3 0,26 /15 = 0,65

LIC = u − 3 u /n

= 0,26 - 3 0,26 /15

(puesto que los valores negativos no son posibles, el límite inferior no se muestra). En la Figura 14 se representan los datos y las líneas de control. 40


NTC-ISO 8258

El gráfico indica que el proceso se encuentra en un estado de control estadístico. Obsérvese que, como los tamaños de los subgrupos son constantes, también se podría haber usado un gráfico de c.

Figura 14. Gráfico u para los datos dados en la Tabla 13

14.

DOCUMENTO DE REFERENCIA

INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. Shewhart control charts. Geneva, 1991, 29 p. il. (ISO 8258) .

41

NTC-ISO 8258

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