NotasDeClase_IngenieríaEconómica

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ----------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Conceptos básicos

1.1 Definición de ingeniería económica “La ingeniería económica… hace referencia a la determinación de los factores y

criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre una o más alternativas. … es una colección de téc nicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas.”1 1.2 Valor del dinero en el tiempo El dinero2 cambia de valor en el tiempo, por la influencia de ciertos factores económicos, como lo son la inflación, las tasas de interés, la devaluación, entre muchos otros, llevándonos al concepto de equivalencia, es decir que cifras diferentes de dinero en el tiempo se consideran equivalentes. Hoy, un billete de COP$1,000, aunque la denominación será la misma, no tendrá el mismo valor dentro de un año, pues está sometido a esa serie de factores económicos que hacen que cambie de valor.

●--------------------------------------------------------------- ►

Hoy

- Inflación - Tasas de interés - Devaluación - Etcétera

Dentro de un año

1.2.1 La inflación Se define la inflación como el aumento generalizado de los precios de los artículos que componen la canasta familiar, medida a través del IPC o Índice de Precios al Consumidor por el DANE. 1

Blank Leland T. y Tarquin Anthony J.: “Ingeniería Económica”. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta edición. 1999. 2 Según Malagón G. Jonathan: “Glosario económico de Colombia”. PORTAFOLIO, DIARIO DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS. Primera edición. 2006, “ DINERO es el conjunto de activos que cumplen con las siguientes propiedades: reserva de valor, medio de pago y unidad de cuenta. Es decir, todo aquello con lo cual se pueda comprar de los bienes y servicios, medir el valor que poseen y conservarlo durante un periodo de tiempo, e s considerado dinero”.

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El comportamiento gráfico porcentual de la inflación en Colombia entre enero y diciembre de 2009 fue el siguiente: Inflación mensual Colombia año 2009

Fuente: Banco de la República Colombia y autor

Fuente: Diario Portafolio 3 de julio de 2007 En febrero de 2009, el DANE presentó la nueva estructura de la canasta familiar, clasificada por los siguientes grupos de gasto:

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El comportamiento gráfico porcentual de la inflación en Colombia entre enero y diciembre de 2009 fue el siguiente: Inflación mensual Colombia año 2009

Fuente: Banco de la República Colombia y autor

Fuente: Diario Portafolio 3 de julio de 2007 En febrero de 2009, el DANE presentó la nueva estructura de la canasta familiar, clasificada por los siguientes grupos de gasto:

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Grupo Alimentos Vivienda Vestuario Salud Educación Cultura y esparcimiento Transporte y comunicaciones

Transporte Comunicaciones Gastos varios Total

Canasta Vieja Canasta nueva 29,51% 28,35% 29,41% 30,24% 7,31% 5,18% 3,96% 2,45% 4,81% 5,76% 3,60% 3,11% 13,49% 14,78% 3,74% 7,89% 6,38% 99,98% 99,99%

Fuente: PORTAFOLIO, Economía Hoy, 4 de febrero de 2009

“La canasta anterior, que databa de 1998, co ntenía 405 artículos, todos los cuales

se conservaron en la nueva y, además, se le adicionaron 18, los cuales recogen los cambios que en una década ha experimentado el consumo de los hogares y los nuevos productos que hacen parte de la rutina diaria, para un total de 423 productos en la nueva canasta”. (Fuente: PORTAFOLIO, Economía Hoy, 4 de febrero de 2009.) A manera de ejemplo, la BOLSA NACIONAL AGROPECUARIA, reportó un precio promedio por tonelada de maíz blanco a nivel nacional de $1’187,356, cerrando el mes de mayo de 2009. Ese mismo producto, el 30 de junio del mismo año, cerró con un precio de $860,134, por lo cual, tuvo una disminución en su precio del 27.56%EM; entonces, podemos decir que $1’187,356 y $860,134 son cifras equivalentes en el término de un mes, por efecto inflacionario. 1.2.2 Tasas de interés Una definición general de las tasas de interés es: son aquellos porcentajes que se pagan “por el derecho al uso de un capital”. Muy famosas en el Sector Financiero Colombiano, son las tasas de interés de captación y la de colocación. 1.2.2.1

Tasa de interés de captación

La tasa de interés de captación es aquella que pagan los bancos a los ahorradores por sus depósitos en dinero. Se establece semanalmente por el promedio ponderado de las captaciones anticipadas en certificados de Depósitos a Término Fijo (DTF ) a tres meses. Su comportamiento gráfico entre enero 4 y diciembre 27 de 2009, ha sido el siguiente: ----------------------------------------------------------------------------------Página 3 de 62

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------Comportamiento tasa DTF Enero 4 a Diciembre 27 de 2009

A E e j a t n e c r o P

Fuente: Banco de la República y autor

Ejemplo: Si se constituye un CDT a un año por $1’500,000 a la tasa DTF vigente entre el 3 y el 9 de agosto de 2009 (5.06%EA), el valor que se recibirá al vencimiento será: $1’500,000 x 1.0506 = $1’575,900

Por lo cual, podemos decir que $1’500,000 y $1’575,900 son cifras equivalentes en el término de un año, por efecto tasa de interés de captación. 1.2.2.2

Tasa de interés de colocación

La tasa de interés de colocación es aquella a la que prestan los bancos a sus clientes. En Colombia se conoce como TASA DE USURA y es el límite máximo que un particular o una entidad financiera pueden cobrar por intereses sobre un préstamo. Quien fija la tasa de usura no es la Superintendencia financiera como se suele creer, sino el mismo mercado financiero. Hay dos tasas de usura: para Crédito de consumo y ordinario y para Microcréditos, cuyos comportamientos gráficos han sido los siguientes:

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Crédito consumo y ordinario A E e j a t n e c r o P

Periodo

Para microcrédito

A E e j a t n e c r o P

Periodo

Fuente: PORTAFOLIO y autor

Ejemplo: Si se adquiere un préstamo a un año por $1’500,00 0 a la tasa de usura

para Crédito consumo y ordinario vigente entre el julio y septiembre de 2009 (27.98%EA), el valor que se pagará al vencimiento será: $1’500,000 x 1.2798 = $1’919,700 ----------------------------------------------------------------------------------Página 5 de 62


Por lo cual, podemos decir que $1’500,000 y $1’919,700 son cifras e quivalentes

en el término de un año, por efecto tasa de usura para Crédito consumo y ordinario.

La diferencia entre las dos tasas es lo que se conoce como margen de intermediación financiera , que para los dos ejemplos anteriores será: 27.98%EA 5.06%EA = 22.92%EA. 1.2.3 La devaluación La devaluación es la pérdida de valor de una moneda frente a otra moneda. Lo contrario, o sea la ganancia de valor de una moneda frente a otra, recibe el nombre de revaluación. El comportamiento gráfico de la devaluación en Colombia en diciembre de 2009 fue el siguiente: Título del gráfico

Fuente: Banco de la República y autor

A manera de ejemplo, si el 10 de julio de 2009 compramos USD$1,500 a COP$2,105.36 cada dólar (TRM o Tasa representativa del mercado en esa fecha), desembolsamos para la compra $3’158,040. Si el 10 de agosto del mismo año aún tenemos los dólares y la TRM se cotiza ese día en COP$2,022.56 por dólar, el equivalente en pesos colombianos (COP) sería de $3’033,840 . Este es un ejemplo de revaluación donde el tenedor de los dólares perdió en el término de un mes, la suma de $124,200. Por otro lado y para el tema que nos atañe, $3’158,040 y $3’033,840, son cifras equivalentes en el término de un mes por efecto de revaluación. ----------------------------------------------------------------------------------Página 6 de 62


1.3 Concepto de interés (I) El interés lo podemos defin ir como “el reconocimiento monetario por el usufructo 3 de un bien”. En el ejemplo anterior del préstamo de $1’500,000, el interés calculado es: I = $1’500,000 x 0.2798 = $419,700.

El interés debe compensar tres conceptos básicos financieros a saber: la inflación, el riesgo4 y un premio para el dueño del bien. Continuando con el ejemplo del préstamo del $1’500,000, para el cual se

calcularon unos intereses por $419,700, si a julio de 2009 se tiene una inflación anual del 3.28%EA, $49,200 es la compensación por la inflación ($1’500,000 x 0.0328) y el resto, $370,500 ($1’500,000 x 0.247) se reparten para compensar el riesgo y el premio. 1.3.1 Tasa de interés (i, ia, j, ja, d) La tasa de interés es el porcentaje utilizado para calcular los intereses, como el 27.98% que se utilizó para determinar los intereses por $419,700. Es muy importante especificar la efectividad de las tasas de interés, pues mientras no se de ninguna especificación, se entiende que estas son efectivas anuales (EA). En interés simple, las tasas son nominales anuales. Ejemplos de tasas de interés: Efectivas vencidas (i)

Efectivas anticipadas (i a) y de descuento (d)

Nominales vencidas (j)

Nominales anticipadas (j a)

27.98% 13.13%ES 6.36%ET 4.20%EB 2.08%EM

21.86%EAA 11.60%ESA 5.98%ETA 4.03%EBA 2.03%EMA

26.26%NS 25.45%NT 25.18%NB 24.93%NM

23.21%NSA 23.92%NTA 24.17%NBA 24.42%NMA

Léase: ES, efectiva semestral; ETA, efectiva trimestral anticipada; NB, nominal bimensual; NMA, nominal mensual anticipada, y así con las restantes. Las tasas efectivas vencidas (i), son los porcentajes utilizados para calcular los intereses vencidos. 3

Usufructo: (Del lat. usufructus). m. Derecho a disfrutar bienes ajenos con la obligación de conservarlos, salvo que la ley autorice otra cosa. (Diccionario de la real academia Española.) 4 Riesgo: probabilidad de ocurrencia de hechos que no queremos que se nos presenten, como por ejemplo, que no nos cancelen una deuda. (Autor.) ----------------------------------------------------------------------------------Página 7 de 62


Las tasas efectivas anticipadas (ia), son los porcentajes utilizados para calcular los intereses anticipados. Las tasas de descuento (d), son los porcentajes utilizados para calcular los descuentos (D) en las operaciones de descuento, tema que se verá más adelante en este documento. Es de anotar que las tasas de descuento, son iguales a las anticipadas. Las tasas nominales (j y ja) son referenciales anuales. Estas tasas indican la efectividad de los intereses, pero con ellas, estos no se pueden calcular. Por tanto, deberán convertirse a tasas efectivas equivalentes, con ese propósito, mediante las fórmulas:

     

1.3.2 Tiempo (n) Podemos definir el tiempo como la duración de un negocio, trátese de una inversión, un préstamo, etc. Aunque un negocio puede tener una duración inferior o superior a un año, este es el tiempo máximo a tener en cuenta para hacer cálculos de ingeniería económica, por ejemplo en lo concerniente al cálculo de tasas de interés equivalentes, pues en un año se dan varios periodos, como se mencionan a continuación:

Un año. Dos semestres. Cuatro trimestres. Seis bimestres. Doce meses. Veinticuatro quincenas. Cuarentaiocho semanas. Trescientos sesenta, trescientos sesentaicinco o trescientos sesentaiseis días.

Periodos no exactos como 26.0714285714 periodos de catorce días en un año de 365 días. (365/14.)

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En el ejemplo para calcular los intereses, el tiempo utilizado fue de un año pues la efectividad de la tasa fue efectiva anual. Este es un concepto muy importante para hacer operaciones de ingeniería económica: “debe haber concordancia entre la efectividad de la tasa y los periodos”; si la tasa es efectiva mensual, debe trabajarse con periodos mensuales; si la tasa es efectiva trimestral, debe trabajarse con periodos trimestrales, y así sucesivamente. 1.3.3 Capital inicial (P) El capital inicial es el dinero base para calcular los intereses y otros conceptos. Aparte de capital inicial también se conoce con los nombres de valor presente, valor inicial, valor actual, principal, entre otras posibilidades. 1.3.4 Fórmula de interés simple



Fórmula que nos dice que el interés es una función directa del capital inicial, la tasa de interés y del tiempo. 1.3.5 Clases de interés Las clases de interés surgen del siguiente dilema: “¿realizo los cálculos de interés

teniendo en cuenta años de 360, 365 o 366 días? Y con relación a los meses, ¿tengo en cuenta meses de 28, 29, 30 o 31 días?” Este dilema se encuentra resuelto acertadamente por: Baca C. Guillermo: “Ingeniería Económica”. Fondo Educativo Panamericano, Editorial Educativa. Séptima edición. 2002, como se aprecia en el siguiente cuadro:

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Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------1.1 Con tiempo exacto (Trabaja con días calendario.) 1. Ordinario

(Se conoce con el nombre de interés bancario.)

(Todos los años tienen 360 días.)

1.2 Con tiempo aproximado (Todos los meses tienen 30 días.) (Se conoce con el nombre de interés comercial o base 360 días.) 2.1 Con tiempo exacto (Trabaja con días calendario.) (Se conoce con el nombre de interés racional, real, exacto o verdadero.)

2. Exacto

2.2 Con tiempo exacto sin bisiesto

(Trabaja con años de 365 o 366 días.)

(Trabaja con días calendario y ningún año es bisiesto.) (Se conoce con el nombre de interés base 365 días.) 2.3 Con tiempo aproximado (Todos los meses tienen 30 días.) (No tiene nombre.) Fuente: Guillermo Baca C. y autor

Ejemplo: supongamos un préstamo por $2’750,000 , desembolsado el 21 de enero

de 2008 y por el cual se cobrará una tasa de interés del 33%. Calcular los intereses que se pagarán el día de su vencimiento, a saber, 14 de marzo de 2008. Solución: 1. Interés ordinario 1.1 Con tiempo exacto: I =Pin I = $2’750,000 x 0.33 x (53/360) = $133,604.17 Para el cálculo de n existen, entre otros, dos métodos:

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a) Tabla de días:

TABLA DE DÍAS DÍA

ENERO

FEBRERO

MARZO

ABRIL

MAYO

JUNIO

JULIO

1

1

32

60

91

121

152

182

213

244

274

305

335

2

2

33

61

92

122

153

183

214

245

275

306

336

3

3

34

62

93

123

154

184

215

246

276

307

337

4

4

35

63

94

124

155

185

216

247

277

308

338

5

5

36

64

95

125

156

186

217

248

278

309

339

6

6

37

65

96

126

157

187

218

249

279

310

340

7

7

38

66

97

127

158

188

219

250

280

311

341

8

8

39

67

98

128

159

189

220

251

281

312

342

9

9

40

68

99

129

160

190

221

252

282

313

343

10

10

41

69

100

130

161

191

222

253

283

314

344

11

11

42

70

101

131

162

192

223

254

284

315

345

12

12

43

71

102

132

163

193

224

255

285

316

346

13

13

44

72

103

133

164

194

225

256

286

317

347

14

14

45

73

104

134

165

195

226

257

287

318

348

15

15

46

74

105

135

166

196

227

258

288

319

349

16

16

47

75

106

136

167

197

228

259

289

320

350

17

17

48

76

107

137

168

198

229

260

290

321

351

18

18

49

77

108

138

169

199

230

261

291

322

352

19

19

50

78

109

139

170

200

231

262

292

323

353

20

20

51

79

110

140

171

201

232

263

293

324

354

21

21

52

80

111

141

172

202

233

264

294

325

355

22

22

53

81

112

142

173

203

234

265

295

326

356

23

23

54

82

113

143

174

204

235

266

296

327

357

24

24

55

83

114

144

175

205

236

267

297

328

358

25

25

56

84

115

145

176

206

237

268

298

329

359

26

26

57

85

116

146

177

207

238

269

299

330

360

27

27

58

86

117

147

178

208

239

270

300

331

361

28

28

59

87

118

148

179

209

240

271

301

332

362

29

29

88

119

149

180

210

241

272

302

333

363

30

30

89

120

150

181

211

242

273

303

334

364

31

31

90

212

243

151

AGOSTO

SEPTIEMBRE

OCTUBRE

NOVIEMBRE

304

DICIEMBRE

365

Nota: a partir del primero de marzo se adiciona un día para los años bisiestos

Marzo 14 es el día número 73 del año y enero 21 es el día 21 del año para una diferencia de 52 días; pero como el año 2008 fue bisiesto, agregamos un día (29 de febrero), para un total de 53 días.

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b) Cálculo con los días calendario de cada mes:

Mes Días Enero +31 Inicio -21 Febrero +29 Marzo +14 Total días =53 1.2 Con tiempo aproximado: I = $2’750,000 x 0.33 x (53/360) = $133,604.17

Cálculo de los días: Mes Días Enero +30 Inicio -21 Febrero +30 Marzo +14 Total días =53 2. Interés exacto: 2.1 Con tiempo exacto: I = $2’750,000 x 0.33 x (53/36 6) = $131,413.93

2.2 Con tiempo exacto sin bisiesto: I = $2’750,000 x 0.33 x (52/365) = $129,287.67

Cálculo de los días: Mes Días Enero +31 Inicio -21 Febrero +28 Marzo +14 Total días =52 2.3 Con tiempo aproximado: I = $2’750,000 x 0.33 x (53/366) = $131,413.93

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Resumen de los resultados Interés ordinario Con tiempo exacto $133,604.17 Con tiempo aproximado $133,604.17 Interés exacto Con tiempo exacto $131,413.93 Con tiempo exacto sin bisiesto $129,287.67 Con tiempo aproximado $131,413.93 Nota: aunque en el ejemplo algunas respuestas son iguales, no quiere decir que siempre va a ser así. Para todo problema hay que hacer el cálculo de los días, con la tabla de días si la clase de interés trabaja con días calendario o teniendo en cuenta los días que cada mes tiene para los dos (días calendario o todos los meses tienen 30 días). 1.3.6 Gráfica de flujo de caja La gráfica de flujo de caja es aquella que trata de establecer las entradas y salidas de dinero en el tiempo, como consecuencia de las transacciones económicas realizadas por las partes involucradas. Es muy importante elaborarla, pues facilitará la comprensión de los problemas de ingeniería económica, una vez realizado el planteamiento de los mismos.

i, ia, j, ja, d

F

A

n G

P        

La línea horizontal representa el tiempo (n). Los ingresos están representados con flechas hacia arriba (↑). Los egresos están representados con flechas hacia abajo (↓). P, representa un valor presente. F, representa un valor futuro La tasa de interés es la representada con i, ia, j, j a, d. G, es un gradiente aritmético o geométrico. A, es una anualidad.

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1.3.7 Capital final (F) con interés simple

También denominado como monto, valor final, valor futuro, suma, acumulado, entre otros, está dado por la sumatoria del capital inicial y los intereses, obteniéndose las siguientes fórmulas:

  o

Ejemplo:

Si se recibe un préstamo por $1’000,000 el 18 de diciembre de 2009 hasta el 18

de marzo de 2010 a la tasa del 25.92% bancaria, el monto a desembolsar al vencimiento será:

(  )             

De la fórmula de monto, se deducen las siguientes, también para interés simple:

1.3.8 Interés vencido e interés anticipado 1.3.8.1 Interés vencido (Iv) Hablamos de interés vencido, cuando estos de cobran al final de cada periodo, calculándolos con tasas efectivas vencidas. Si por ejemplo, se tiene un préstamo por $100,000 durante 4 meses a la tasa del 1.94%EM comercial, el comportamiento gráfico del préstamo sería:

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P= i = 1.94%EM 0

1

2

3

4

I = $1,940 P = $100,000



Pagando en los meses 1, 2, 3, y 4, $1,940 de intereses respectivamente y devolviendo en el mes 4 los $100,000. 1.3.8.2 Interés anticipado (Ia) Hablamos de interés anticipado, cuando estos de cobran al comienzo de cada periodo, calculándolos con tasas efectivas anticipadas. Para el ejemplo anterior, el cálculo de los intereses se hace con la tasa equivalente al 1.94%EM o 1.90%EMA, teniendo el siguiente comportamiento gráfico:

P = $100,000 ia = 1.90%EM 0

1

2

3

4 M

Ia = $1,900

 ----------------------------------------------------------------------------------Página 15 de 62

P = $100,000


Pagando en los meses 0, 1, 2, y 3, $1,900 de intereses respectivamente y devolviendo en el mes 4 los $100,000. Nótese, en el ejemplo, que con interés vencido, el deudor recibe en el mes 0, $100,000; paga en los meses 1, 2, y 3, $1,940 respectivamente, y en el mes 4, paga $101,940. Mientras que con interés anticipado, el deudor recibe en el mes 0, $98,100 ($100,000 - $1,900); paga en los meses 1, 2 y 3, $1,900 respectivamente, y en el mes 4, paga $100,000. Las dos situaciones son diferentes teniendo en cuenta el concepto del valor del dinero en el tiempo y que las tasas de interés anticipadas son menores que las vencidas (ia
a cabo en instituciones bancarias y otras personas interesadas en estos tipos de negocio, en las que éstas adquieren documentos como pagarés, letras de cambio, títulos valores en general, de cuyo valor futuro se descuenta el equivalente a los intereses que generaría el papel entre su fecha de descuento y la fecha de vencimiento, cobrando una tasa de descuento (d), la cual es igual a la tasa anticipada (ia) correspondiente.”5 En el siguiente gráfico podrá apreciarse en qué consisten los descuentos:

5

Wiquipedia y autor.

----------------------------------------------------------------------------------Página 16 de 62


F VT 0

i

ir d

n-5

nd

D

P

En el puede verse, a manera de ejemplo, que si se constituye un documento P en el tiempo cero a una tasa de interés vencida i con vencimiento en el periodo n, este podrá venderse en el periodo n-5 a una tasa de descuento d. La persona que lo compre, liquidará el descuento D por el tiempo comprendido entre n-5 y n (n d), el cual restará del valor futuro del documento F y entregará al vendedor un valor líquido de transacción VT. En interés simple, la fórmula de descuento será: D = Fdnd El valor líquido de transacción será:



o VT = F(1 – dnd) Y la tasa equivalente vencida (i r) correspondiente a la tasa de descuento se calculará con las siguientes fórmulas: ir = d/(1-dnd) o ir = [(F/VT) -1]/nd Ejemplo: Si se constituye un pagaré por $6’750,000 el 18 de diciembre de 2009 a seis

meses y una tasa del 22% comercial y este se negocia con un banco el 18 de marzo de 2010 a una tasa de descuento del 25%, calcular: a) Fecha de vencimiento del pagaré. ----------------------------------------------------------------------------------Página 17 de 62

n

b) c) d) e)


Valor futuro del pagaré. El descuento. El valor líquido de transacción. La tasa vencida equivalente a la tasa de descuento.

Solución: a) Los seis meses comerciales se cumplen el 18 de junio de 2010, siendo esa la fecha de vencimiento del pagaré. b) Aplicando la fórmula de monto con interés simple, el valor futuro del pagaré será:

( )     ( )   *  +   

c) El descuento:

d) El valor líquido de transacción:

o

e) La tasa vencida equivalente a la tasa de descuento, será:

o

     ( )            2.2 Descuentos en cadena Los descuentos, como su nombre lo indica, registran los descuentos comerciales que otorga un ente económico como una deducción sobre el precio de lista de sus productos, mercancías o servicios, en términos porcentuales, como una estrategia de ventas para atraer y conservar clientes. Estos pueden ser por volumen, por pronto pago, por empaque, por temporada, por fidelidad y financiero, entre otros y están dirigidos a un cliente en ----------------------------------------------------------------------------------Página 18 de 62


especial. Los descuentos hacen que los clientes disminuyan sus costos y que el

vendedor rote más rápidamente los bienes vendidos. 2.2.1 Descuentos por volumen

Dirigido, como su nombre lo indica, a clientes que compran una mayor cantidad de bienes que otros. Con este descuento, se incentiva al comprador a comprar cantidad, pues es directamente proporcional a esta (a mayor volumen, mayor es el descuento). Un ejemplo de este tipo de descuentos, podrá apreciarse en la siguiente tabla: Valor factura $

Descuento %

Menos de 100,000 Entre 100,001 y 200,000 Entre 200,001 y 300,000 Entre 300,001 y 400,000 Entre 400,001 y 500,000 Más de 500,000

0 5 10 15 20 25

2.2.2 Descuentos por pronto pago Dirigido, como su nombre lo indica, a clientes que pagan relativamente más prontamente que otros. Estos descuentos van en proporción inversa al plazo concedido para que el cliente pague sus facturas (a mayor plazo, menor es el descuento). Un ejemplo de este tipo de descuentos, podrá apreciarse en la siguiente tabla: Plazo Contado 30 días 60 días 90 días

Descuento % 15 10 5 0

2.2.3 Descuento por empaque Cuando un artículo sale empacado de fábrica, a los clientes que lo soliciten sin empacar, se le hará un descuento equivalente al costo del empaque.

----------------------------------------------------------------------------------Página 19 de 62


Con empaque $56,700

Sin empaque $50,200

2.2.4 Descuento por temporada El fin de este descuento es incentivar las ventas de bienes estacionales que están pasando por el ciclo de baja temporada o demanda, como por ejemplo adornos navideños, abrigos de invierno, entre otros. Este tipo de descuento también es estratégico implementarlo en épocas de alta temporada para competir con bienes semejantes y/o sustitutos. Abrigos de invierno Demanda Q, Invierno, 10,000

Abrigos de invierno Demanda Q, Primavera, 5,000

Abrigos de invierno Demanda Q, Otoño, 7,000

Baja temporada

Abrigos de invierno Demanda Q, Verano, 500 Invierno

Primavera

Verano

Otoño

2.2.5 Descuento por fidelidad o antigüedad ----------------------------------------------------------------------------------Página 20 de 62


Se otorga a los clientes más leales o que continuamente le compran a la empresa o llevan años haciéndolo.

2.2.6 Descuento financiero Es aquel que se otorga a clientes que cancelan sus facturas antes de la fecha de vencimiento. Un ejemplo podría ser una factura que vence el día 30 del mes, pero si el cliente la paga por tarde el día 15 del mes, se le hace un descuento financiero del 2.5%. Estos seis descuentos y otros más, podrían otorgarse a una misma factura, como por ejemplo, tres de ellos a saber: 10% por volumen, 5% por empaque y 2% por antigüedad sobre una factura con un valor antes de calcular los descuentos de $100,000. Alguien desconocedor del tema, los sumaría y haría un descuento de 17% sobre los $100,000, equivalente a $17,000, recibiendo un valor después de descuentos de $83,000. Por el contrario, los descuentos en cadena se hacen aplicados al saldo que queda de la factura en la medida en que se van calculando, hasta agotarlos todos. El orden en que se apliquen los descuentos no alterará el valor final de la factura o valor a pagar después de descuentos. Veamos: Valor inicial factura $ Tasa de descuento % Descuento $ Valor final factura $ 100.000 10 10.000 90.000 90.000 5 4.500 85.500 85.500 2 1.710 83.790 Total 16.210

Nótese que con los descuentos en cadena, estos sumaron $16,210 para un valor final de la factura después de descuentos de $83,790. En esta forma, el vendedor recibirá $790 de más que si hubiese utilizado una sola base para calcular los descuentos. 2.2.7 Fórmulas de descuentos en cadena



----------------------------------------------------------------------------------Página 21 de 62


Donde:     

                   

D, es el descuento. A, es el valor inicial de la factura. VFF, es el valor final de la factura. D, es la tasa de descuento. dp, es la tasa promedio de descuento.

3. Financiación de deudas con pagos pagos parciales parciales Una deuda puede ser financiada con la modalidad de pagos parciales, según convengan las partes. Cada vez que se haga un pago parcial, se liquidarán los intereses causados a la fecha en que este se haga y el excedente del mismo, se abonará a la deuda. Para las financiaciones de deudas, es muy importante la elaboración de la Tabla de amortización correspondiente, como se detalla a continuación: TABLA DE AMORTIZACIÓN FECHA O CAPITAL PAGO DÍAS PERIODO INSOLUTO $ PARCIAL $ INTERESES $

AMORTIZACIÓN $

TOTALES

Veamos a continuación un ejemplo extractado del libro del profesor Guillermo Baca Currea:

----------------------------------------------------------------------------------Página 22 de 62


Una mercancía vale de contado $430,000. Si el 17 de marzo de 2009 se paga una cuota inicial del 30% y el saldo se cancela con un interés racional del 32% y un plazo máximo de cuatro meses, elaborar la tabla de amortización, con los siguientes pagos parciales acordados: El 25 de abril de 2009, $130,000. El 18 de junio de 2009, $50,000. El 7 de julio de 2009, $94,000. Solución: a) Por ser interés racional, el cálculo de los días de interés se hace según el calendario, así:    

17/03/2009 al 25/04/2009: 39 días. 25/04/2009 al 18/06/2009: 54 días. 18/06/2009 al 07/07/2009: 19 días. 07/07/2009 al 17/07/2009: 10 días.

b) Las fechas se trasladan trasladan a la tabla en orden cronológico. cronológico. c) El capital insoluto el 17/03/2009 se calcula así:

           

De ahí en adelante, el capital insoluto se calcula con la siguiente fórmula:

d) Los pagos parciales se trasladan a la tabla de amortización en el orden en que se pactaron. e) Los intereses se calculan con la fórmula I = Pin. Para el 25/04/2009 el cálculo sería:

(  ) Y así sucesivamente.

f) La amortización o los abonos a capital se calculan con la siguiente fórmula:

     

g) El último pago parcial se calcula con la la siguiente fórmula:

----------------------------------------------------------------------------------Página 23 de 62


           

La tabla de amortización quedaría así: DÍAS

FECHA O PERIODO

39 54 19 10

17/03/2009 25/04/2009 18/06/2009 07/07/2009 17/07/2009

CAPITAL PAGO INSOLUTO $ PARCIAL $ INTERESES $ 301.000,00 181.291,73 139.874,52 48.204,49 0,00 TOTALES

130.000,00 50.000,00 94.000,00 48.627,10 322.627,10

AMORTIZACIÓN $

10.291,73 8.582,80 2.329,96 422,61 21.627,10

119.708,27 41.417,20 91.670,04 48.204,49 301.000,00

Nótese que la suma del total de intereses pagados y del total de las amortizaciones ($21,627.10 + $301,000) es igual al total de pagos parciales efectuados ($322,627.10). 4. Interés compuesto A nivel mundial, la gran mayoría de operaciones financieras se realizan con interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses o en palabras muy sencillas, cobrar intereses sobre intereses, teniendo en cuenta el concepto del valor del dinero en el tiempo. Para entenderlo, vale la pena explicar la diferencia existente entre el interés simple y el interés compuesto. 4.1 Diferencia entre interés simple e interés compuesto La diferencia fundamental entre los dos radica en que en el interés simple, estos no se capitalizan para formar un nuevo monto sobre el cual cobrar nuevos intereses, sino que siempre se liquidan sobre el capital inicial (P), no teniendo en cuenta el concepto del valor del dinero en el tiempo. Lo más razonable, en este caso, sería pagar los intereses cada vez que se liquiden. Para una mayor aclaración, veamos el siguiente ejemplo: Si recibimos un préstamo por $1’000,000 por cuatro meses a la tasa del 1.82%EM

comercial, la solución de este problema, sería la siguiente: a) Solución correcta, pagando los intereses cada mes:

   

Con el siguiente comportamiento gráfico:

----------------------------------------------------------------------------------Página 24 de 62


P = $1’000,000 i = 1.82%EM 0

1

2

3

4

I = $18,200

P = $1’000, Explicación:  



En el mes cero, recibimos $1’000,000.

En los meses uno, dos y tres, pagamos intereses por $18,200 respectivamente. En el mes cuatro, pagamos los últimos intereses ($18,200) más el capital inicial ($1’000,000) para un total de $1’018,200.

b) Interés simple, solución incorrecta, pagando los intereses en el mes cuatro:



Con el siguiente comportamiento gráfico:

----------------------------------------------------------------------------------Página 25 de 62


P = $1’000,000 i = 1.82%EM 0

1

2

3

4 I=

F = P + I = $1’072,800 P

  

En el mes cero, recibimos $1’000,000.

En los meses uno, dos y tres, no pagamos intereses. En el mes cuatro, pagamos cuatro meses de intereses ($72,800) más el capital inicial ($1’000,000) para un total de $1’0 72,800. En otras palabras, el cálculo del monto final a pagar, se hizo con la fórmula:

    

Nótese que tanto en la solución correcta como en la incorrecta, contablemente pagamos $72,800 ($18,200 X 4) de intereses para cada caso, tanto pagando estos cada mes o su total en el mes cuatro, con lo cual concluimos que dejar el pago del total de intereses para el mes cuatro, no tiene sentido. Más sin embargo, el interés simple, bajo esta modalidad, existe y quien quiera utilizarlo, podrá hacerlo, pues al fin de cuentas, es su dinero. c) Interés compuesto, solución correcta, pagando los intereses en el mes cuatro: Los intereses para cada uno de los meses, se calcularían así:

         

Como puede observarse, en la medida en que avanzan los meses, el capital para el cálculo de los intereses en cada vez mayor, pues estos se capitalizaron para conformar una nueva base para liquidarlos: en el mes uno es P = $1’000,000, en ----------------------------------------------------------------------------------Página 26 de 62


el mes dos es P1 = $1’018,200, y as í sucesivamente, haciendo que los intereses sean cada vez mayores por el aumento en la base. Nótese que si en interés simple siempre para los cuatro meses se liquidaron intereses por $18,200, con interés compuesto, estos fueron el aumento: I 1 = $18,200, I2 = $18,531.24, y así sucesivamente, para un total de $74,811.66, $2,011.66 más que en interés simple, cifra que cubre el mayor riesgo incurrido por el dueño de millón de pesos, al no recibir mensualmente los intereses, sino hasta el mes cuatro. El comportamiento gráfico, sería el siguiente:

i = 1.82%EM

P2 =

P = $1’000,000

P1 = $1’018,200

P = $1’000,000

1

0

I3 =

I2 = $18,531.24

I1 = $18,200

3

2

P1 = P + I1 =$1’018,200

I

P2 = P1 + I2 = $1’036,731.24

P3 = P2 + I3 = P3 = F= En el mes cuatro, debemos saldar el préstamo, pagando el capital inicial P = $1’000,000 más los intereses I = $74,811.66, para un total F = $1’074,811.66. F, calculado en esta forma, se conoce como valor futuro con interés compuesto y está dado por la fórmula:

   

De esta fórmula se desprenden:

----------------------------------------------------------------------------------Página 27 de 62


     ()       

4.2 Equivalencia de tasas Son tasas equivalentes, aquellas que aplicadas a un mismo valor inicial y teniendo diferente efectividad, producen el mismo valor final o monto, en el término de un año.

----------------------------------------------------------------------------------Página 28 de 62


F

0

• ¿?%E • • P

• •

A ¿?%E MA ¿?% NT ¿?% NSA Etc.

4.2.1 Deducción de la fórmula de equivalencia de tasas efectivas vencidas Si obtenemos un préstamo por $1’000,000 por un año a la tasa del 1.82%EM, el

monto a pagar al vencimiento sería:

                √            

¿Cuál es la tasa equivalente efectiva trimestral al 1.82%EM?

-1

----------------------------------------------------------------------------------Página 29 de 62

n = 1Año


   

Comprobación:

Por lo tanto:

1.82%EM ≡ 5.56%ET 4.2.1.1 Fórmula de equivalencia de tasas efectivas vencidas

   -1

Donde:

   

iD, es la tasa desconocida. ic, es la tasa conocida. mc, son los periodos que se dan en un año, correspondientes a la tasa conocida. mDC, son los periodos que se dan en un año, correspondientes a la tasa desconocida, los cuales conocemos. 4.2.2. Fórmulas de equivalencia de tasas vencidas y anticipadas

           

4.2.3 Gráfica de equivalencia de tasas La gráfica de equivalencia de tasas que se muestra a continuación, está basada en la expuesta por al profesor Guillermo Baca Currea, en su libro:

----------------------------------------------------------------------------------Página 30 de 62


ia



ja

ja m

ia

i



ia

ia

1 ia

i D



1  iC 

mC mDC

1

i

i

ia  1i



i

j

j  m

j

Tasa con porcentaje y efectividad conocidos

Tasa con porcentaje desconocido y

Nota: la frontera solo se cruza para cambiar de efectividad

Frontera

Ejemplo: Si tenemos una tasa del 21.88%NMA, hallar la tasa NTA equivalente. Debemos ir del punto (5) al (8): De (5) a (6):

De (6) a (2):

   

----------------------------------------------------------------------------------Página 31 de 62


De (2) a (3):

   

         

-1 = 5.675704546%ET

De (3) a (7):

De (7) a (8):

4 = 21.4834793688%NTA o 21.48%NTA

4.3 Concepto de fecha focal La fecha focal (ff) es el punto en el tiempo que se elige para calcular el valor de las diferentes operaciones (tanto ingresos como egresos). Dicho de otra manera, es la fecha que se escoge para la equivalencia de diferentes valores en el tiempo, independientemente si son ingresos o egresos. El trasladando de las cantidades a la fecha focal, deberá hacerse con las fórmulas de valor presente o valor futuro, dependiendo si los valores, con respecto a la fecha focal, son futuros o presentes. Si por ejemplo, se quiere saber cuál es el valor en el mes seis del siguiente flujo de caja, con una tasa de interés del 2%EM, procedemos a calcularlo, de la siguiente manera:

----------------------------------------------------------------------------------Página 32 de 62


$350,000 i = 2%EM

$300,000

$150,000

$39,626.42 0

3

6

7

9

$68,000 $490,000

ff

La sumatoria de los ingresos (I) la calculamos así:

∑    ∑   

La sumatoria de los egresos (E) la calculamos así:

Por lo tanto, el valor del flujo en la fecha focal 6 (V ff6) vendrá dado por la diferencia entre ƩI y ƩE:

 ∑∑  

En otras palabras, el flujo, en la fecha focal 6, equivale a $39,626.42, que por ser un valor positivo, entonces es un ingreso. 4.4 Ecuaciones de valor ----------------------------------------------------------------------------------Página 33 de 62

$2


Una ecuación de valor puede definirse como aquella que establece que la sumatoria de los ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos, ubicados ambos en una fecha focal de la línea de tiempo. Este concepto está dado por la siguiente ecuación:

∑∑   4.4.1 Aplicación de las ecuaciones de valor a la refinanciación de deudas La refinanciación de deudas permite un estiramiento del plazo de reembolso de las deudas por sustitución de un préstamo a largo plazo a un empréstito de corto plazo. En resumen, es crearse más deudas ya que los pagos de nuestro endeudamiento actual son demasiado difíciles de respetar (www.webempresa.com.co/Finanza/Deudas/refinanciacion.htm). Esto hace, que se estén cambiando una o varias obligaciones por otra u otras obligaciones cuyo valor queremos conocer a través de la aplicación de las ecuaciones de valor. Es de entenderse que el valor futuro de las deudas que se están refinanciando, se conoce y que la tasa de refinanciación (iR), por lo general, es mayor que las de deudas originales. Veamos el siguiente ejemplo: Una microempresa tiene dos deudas con un banco así: Deudas $ 1. $1’000,000 2. $2’000,000

Tasa Fecha de adquisición 30% 15/10/2009 31% 02/12/2009

Vencimiento 15/04/2010 02/06/2010

El 15 de febrero de 2010 se presenta al banco para solicitar refinanciamiento por las deudas, llegándose al siguiente acuerdo: la tasa de refinanciación es del 33.75% y se harán tres pagos de igual valor cada uno, así: Pagos refinanciados 1. $x 2. $x 3. $x

Fecha 15/03/2010 02/08/2010 30/11/2010

Solución: a) Cálculo del valor futuro de las deudas: ----------------------------------------------------------------------------------Página 34 de 62


        

b) Gráfica de refinanciación: iR = 33.75%

$2’292,541.21 $1’141,838.53

15/04/2010

02/06/2010

02/08/2010

15/03/2010

$x

$x

ff

En la gráfica observamos que los valores futuros de las deudas se tomaron con flechas hacia arriba y los pagos refinanciados, con flechas hacia abajo, con el fin de diferenciar unos de otros. La respuesta de los tres pagos refinanciados es indiferente de la fecha focal seleccionada, que para nuestro ejemplo es ff 02/08/2010. c) Cálculo de los pagos refinanciados:

∑∑   ----------------------------------------------------------------------------------Página 35 de 62


  ( )

        

Contablemente, el valor futuro de las deudas originales sumaban $3’434,379.74 ($1’141,838.53 + $2’292,541.21) y los pagos refinanciados, $3’622,248.971 ($1’207,416.324 x 3) para una diferencia de $187,869.23 a favor del banco.

4.5 Valor presente neto La sumatoria de los ingresos (ƩI) menos la sumatoria de los egresos (ƩE) en

pesos de hoy o fecha focal cero (ff0), recibe el nombre de valor presente neto (VPN). La fórmula de VPN es:

∑∑   

Utilizando siempre la fórmula:

Si por ejemplo, se quiere saber cuál es el VPN del siguiente flujo de caja, con una tasa de interés del 2%EM, procedemos a calcularlo, de la siguiente manera:

----------------------------------------------------------------------------------Página 36 de 62

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------i = 2%EM

$350,000 $300,000

0

3

$150,000

6

7

9

$68,000 $490,000

ff

    



El VPN tiene tres posibles respuestas: VPN > 0, VPN = 0 ó VPN < 0, donde la respuesta satisfactoria es VPN > 0. 4.5.1 Tasa interna de retorno La tasa interna de retorno (TIR) es aquella tasa de interés “i” con la cual el VPN es

igual a cero.

Si por ejemplo, se quiere saber cuál es la tasa interna de retorno del siguiente flujo de caja, procedemos a calcularlo de la siguiente manera:

----------------------------------------------------------------------------------Página 37 de 62

$2

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------TIR = ¿?%EM

$560,000 $550,000 $350,000

0

1

2

$500,000

3

4

6

5

$100,000 $240,000

$1’000,000

ff

a) Planteamiento de la ecuación de VPN:

                 

b) Método de ensayo error para calcular “i”: VPN $ (en miles de pesos.)

i%

i%EM 10 20 15 14

-141

-4

20

15

0

VPN $ 161,904.10604 -141,010.802469 -4,423.48814483 26,229.9279709

----------------------------------------------------------------------------------Página 38 de 62

26

14

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------



Con las dos primeras tasas, encontramos los siguientes valores para el VPN: un valor mayor que cero (10%EM ≡ $162) y un valor menor que cero (20% EM ≡ $-141), lo que quiere decir que la tasa “i” está entre el 10% EM y el 20%EM. Ahora con las otras dos tasas, las cuales son seguidas, encontramos los siguientes valores para el VPN: un valor mayor que cero (14%EM ≡ $26) y un valor menor que cero (15%EM ≡ $-4), lo que quiere decir que la tasa “i” está entre el 14%EM y el 15%EM, más cerca del 15%EM porque $-4 está más cerca de cero que $26.

c) Interpolación: En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos, siendo el análisis o cálculo numérico el que se encarga de diseñar algoritmos, para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a técnicas del mundo real. En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático persa Al Juarismi) es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a través de pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final, obteniendo una solución. (http://es.wikipedia.org/wiki/ .)

Definido que “i” está entre el 14%EM y el 15%EM, aplicamos la interpolación

lineal, así:

a b

i%EM 14 X 15

VPN $ 26.229,9279709 0 -4.423,48814483 X = TIR

A B

Planteando la siguiente ecuación:

Despejando x, obtenemos:

           

Reemplazando los valores en la ecuación, tenemos:

----------------------------------------------------------------------------------Página 39 de 62


       

Un valor de x mucho más exacto, es el que se calcula con Excel o una calculadora financiera como la HP19BII, que nos arroja el siguiente valor:

   Con la cual el VPN = $2x10 -9

5. Anualidades Una Anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El nombre de anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales o diferentes, a intervalos regulares de tiempo, independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales. i 0

1

2

3

4

5

6

n

Anualidad

Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar un capital, reciben el nombre de Imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una, se llaman amortizaciones. Las anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: las rentas, sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de amortización, alquileres, jubilaciones y otros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y muchas diferencias. (http://es.wikipedia.org/wiki/Anualidad.) Ejemplo: ----------------------------------------------------------------------------------Página 40 de 62


Una persona consigue un préstamo por $1’000,000, para ser cancelado con cuatro

cuotas mensuales vencidas de igual valor en cuatro meses y una tasa de interés del 1.82%EM. Averiguar el valor de la cuota. P = $1’000,000

i = 1.82%EM 0

1

2

3

4

M

Av = ?

ff

Tomando como fecha focal el mes cero, podemos hacer un planteamiento de la ecuación de valor, así:

Reemplazando:

   ∑ 

             

Despejando Av:

Nota: si se hubiese tomado como fecha focal el mes cuatro, se habría obtenido la misma respuesta. 5.1 Elementos de una anualidad ----------------------------------------------------------------------------------Página 41 de 62




Renta: es el pago, depósito o retiro, de igual valor, que se hace periódicamente. i

0

1

2

3

n-1

n

Renta 

Periodo de renta: es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos, como por ejemplo, cada mes, cada trimestre, etcétera. Cada: o o

o

Mes. Trim estre . Etc.

i

0

1

2

3

n-1

n

Periodo de renta 

Plazo (n): Es la duración de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el fin de la anualidad. ----------------------------------------------------------------------------------Página 42 de 62

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------i Plazo

0

1

2

n-1

3

n

5.2 Propiedades de una anualidad Toda anualidad, para ser considerada como tal, cumple con las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4.

Todas las rentas son de igual valor. Todas las rentas se hacen a iguales intervalos de tiempo. A todas las rentas se les aplica la misma tasa de interés. El número de rentas es igual al número de periodos: Av

1

2

3

0

1

1

2

3

4

0

2

1

2

3 3

En las gráficas anteriores:    

La No. 1 no es una anualidad por tener tres rentas versus dos periodos. La No. 2 tampoco es una anualidad, por tener tres rentas versus cuatro periodos. La No. 3, es una anualidad por tener tres rentas versus tres periodos. Esta recibe el nombre de anualidad vencida (Av ). La No. 4, también es una anualidad por tener tres rentas versus tres periodos. Esta recibe el nombre de anualidad anticipada (Aa ). ----------------------------------------------------------------------------------Página 43 de 62


5.3 Anualidad vencida (Av) Una anualidad vencida es aquella que presenta la característica de comenzar con periodo y terminar con renta. En otras palabras, las cuotas son vencidas o al final de cada periodo. Un ejemplo de anualidad vencida es la financiación de automóviles. Las anualidades vencidas se trabajan con tasas vencidas (i).

i 0

1

2

3

n-1

n

Av

----------------------------------------------------------------------------------Página 44 de 62


5.3.1 Valor presente de una anualidad vencida (PAv) PAv

i 0

1

2

3

n-1

n

Av ff0

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal cero, tenemos:

    ∑   [    ]

Resolviendo el corchete del lado derecho de la ecuación, obtenemos:

         

5.3.2 Valor futuro de una anualidad vencida (FAv)

----------------------------------------------------------------------------------Página 45 de 62


FAv

i 0

1

2

n-1

3

n

Av ffn

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal n, tenemos:

    ∑   [       ]


       

5.4 Anualidad anticipada (Aa) Una anualidad anticipada es aquella que presenta la característica de comenzar con renta y terminar con periodo. En otras palabras, las cuotas son anticipadas o al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de anualidad anticipada son los arrendamientos. Las anualidades anticipadas se trabajan con tasas anticipadas (ia).

----------------------------------------------------------------------------------Página 46 de 62


ia 0

1

2

3

n-1

n

Aa

----------------------------------------------------------------------------------Página 47 de 62


5.4.1 Valor presente de una anualidad anticipada (PAa) PAa

ia 0

1

2

3

n-1

n

Aa ff0

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal cero, tenemos:

     ∑    [        ]


       

5.4.2 Valor futuro de una anualidad anticipada (PAa)

----------------------------------------------------------------------------------Página 48 de 62


FAa

ia 0

1

2

n-1

3

n

Aa ffn

Aplicando ecuaciones de valor en fecha focal n, tenemos:

     ∑    [    ]


        

5.5 Amortización de deudas con cuotas fijas La amortización de deudas con cuotas fijas consiste en solventar esta mediante una serie de pagos periódicos iguales, pagando primero los intereses incurridos en el periodo y, después, haciendo abonos al capital o saldo de la deuda. Su comportamiento se visualiza claramente en una tabla de amortización, como se muestra en el siguiente formato: TABLA DE AMORTIZACIÓN FECHA O CAPITAL DÍAS PERIODO INSOLUTO $ INTERESES $ CUOTA $

AMORTIZACIÓN $

----------------------------------------------------------------------------------Página 49 de 62


TOTALES

Ejemplo: Supóngase un préstamo por $1’000,000 a seis meses, el cual se cancelará con

cuotas iguales vencidas y un interés del 1.82%EM comercial. Gráfica de flujo de caja: P = $1’000,000

i = 1.82%EM

0

1

2

3

4

5

6

mes

Av = ?

Lo primero que debemos calcular es el valor de la cuota mediante la fórmula:

   

Haciendo los reemplazos en la ecuación, tenemos:

        Av = $177,442.87

----------------------------------------------------------------------------------Página 50 de 62


La tabla de amortización, sería la siguiente: TABLA DE AMORTIZACIÓN DÍAS

30 30 30 30 30 30

i= 



MES

CAPITAL INSOLUTO $

0 1 2 3

1.000.000,00 840.757,13 678.616,03 513.523,97 345.427,24 174.271,14 0,00 TOTALES

4 5 6

INTERESES $

CUOTA $

AMORTIZACIÓN $

18.200,00 177.442,87 159.242,87 15.301,78 177.442,87 162.141,09 12.350,81 177.442,87 165.092,06 9.346,14 177.442,87 168.096,74 6.286,78 177.442,87 171.156,10 3.171,73 177.442,87 174.271,14 64.657,24 1.064.657,24 1.000.000,00

1,82%

El capital insoluto se calcula: el capital insoluto del periodo inmediatamente anterior menos la amortización. Los intereses se calculan con la fórmula:

    

Que para el mes uno sería: Y para el mes seis:  



La amortización se calcula: la cuota menos los intereses. La sumatoria de la cuota debe dar por resultado: monto del préstamo más el total de intereses pagados. Y la sumatoria de la amortización debe dar por resultado el valor original del préstamo.

En el siguiente gráfico de barras podemos observar lo siguiente:

----------------------------------------------------------------------------------Página 51 de 62

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------Amortización con cuota fija

MES CAPITAL INSOLUTO $ $

INTERESES $ CUOTA $ AMORTIZACIÓN $

  



El capital insoluto desciende, por los abonos que a él se hacen. Los intereses, también descienden, porque el capital insoluto también lo hace. La cuota permanece fija, por ser una amortización de deuda con esta característica. La amortización asciende, porque al disminuir los intereses, el abono a capital de la cuota, es cada vez mayor.

5.6 Capitalización con depósitos fijos La palabra capitalizar, aunque tiene muchos significados, para el tema que nos ocupa significa fijar un capital a determinado interés, al cual se le agregan los intereses devengados, mediante depósitos periódicos. Y al igual que en una amortización, su comportamiento se visualiza claramente en una tabla de capitalización, como se muestra en el siguiente formato:

----------------------------------------------------------------------------------Página 52 de 62

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------TABLA DE CAPITALIZACIÓN DÍAS

FECHA O PERIODO

ACUMULADO $ INTERESES $

CUOTA $

INCREMENTO $

TOTALES

Ejemplo: Supóngase que se quiere reunir un capital por la suma de $1’000,000 en seis

meses, haciéndose depósitos mensuales iguales, por los cuales se reconocerá una tasa de interés del 0.33%EM comercial sobre saldo. Gráfica de flujo de caja: F = $1’000,000 i = 0.33%EM

0

1

2

3

4

5

6

mes

Av = ?

Lo primero que debemos calcular es el valor de la cuota mediante la fórmula:

   

Haciendo los reemplazos en la ecuación, tenemos:

----------------------------------------------------------------------------------Página 53 de 62


      Av = $165,296.95

La tabla de capitalización, sería la siguiente:





DÍAS

MES

30 30 30 30 30

1 2 3 4 5 6

i=

0,33%

TABLA DE CAPITALIZACIÓN INTERESES ACUMULADO $ $

CUOTA $

165.296,95 331.139,38 497.529,09 664.467,89 831.957,59 1.000.000,00 TOTALES

165.296,95 165.296,95 165.296,95 165.842,43 165.296,95 166.389,71 165.296,95 166.938,80 165.296,95 167.489,70 165.296,95 168.042,41 991.781,71 1.000.000,00

545,48 1.092,76 1.641,85 2.192,74 2.745,46 8.218,29

INCREMENTO $

El acumulado se calcula: el acumulado del periodo inmediatamente anterior más los intereses más la cuota. Los intereses se calculan con la fórmula:

    

Que para el mes dos sería: Y para el mes seis: 

El incremento se calcula: el acumulado menos el acumulado del periodo inmediatamente anterior.

En el siguiente gráfico de barras podemos observar lo siguiente:

----------------------------------------------------------------------------------Página 54 de 62

Notas de Clase _ Ingeniería Económica Autor: Carlos Dávila Marenco ---------------------------------------------------------------------------------------------------Capitalización con cuota fija

MES ACUMULADO $ INTERESES $ CUOTA $ INCREMENTO $

  

El acumulado asciende, por la cuota y el crecimiento de los intereses. Los intereses también ascienden, por el crecimiento del acumulado. El incremento igualmente asciende, también, por el crecimiento del acumulado.

6. Gradientes En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente: 1. Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $250 mensuales sin importar su monto). 2. Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual) 6.1.

Gradiente aritmético

Un gradiente uniforme o aritmético, es una serie de flujo de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme (el flujo de efectivo cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo de interés). La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente. Ejemplos 1 y 2 ----------------------------------------------------------------------------------Página 55 de 62


Si un fabricante de automóviles predice que el costo de mantener un robot aumentará en $500 anuales hasta que este haya sido retirado, hay una serie gradiente y la cantidad del gradiente positivo es $500 anuales, como puede observarse en la figura 1. G+

500n 500 n-1 500*3 = 1 500 500*2 = 1 000 500 0

Cantidad base $500

1

2

3

n-1

n

Figura 1

Si el mismo fabricante de automóviles espera que el ingreso disminuya en $3,000 anualmente durante los próximos cinco años, el ingreso decreciente representa un gradiente negativo por la suma de $3,000 anuales, como puede observarse en la figura 2. Podemos ver que en el caso de un gradiente, el flujo de efectivo al final de cada año es diferente y que al final del periodo uno hay una cantidad base que en este caso es el gradiente. G18 000 15 000 12 000 9 000

6 000

3 000 Cantidad base 3 000

0

1

2

3

4

5

Años

Figura 2

----------------------------------------------------------------------------------Página 56 de 62


Ejemplo 3 Si una persona compra un automóvil, al cual se le reconocerá el mantenimiento durante el primer año, pagaría en ese periodo el costo de la gasolina ($900). Después del primer año, tendría que absorber los costos por reparaciones y reemplazos, que con la gasolina aumentarían cada año en $50 hasta que posea el automóvil. Así, pagaría en el segundo año $950, en el tercero $1,000 y así sucesivamente hasta el año n, cuando el costo sería {$900 + $50(n-1)}, como se aprecia en el diagrama de flujo de efectivo siguiente: Aparece el gradiente

0

1

2

3

n-1

n

Años

00 950

Cantidad base

1 000 900 + 50 n-2 900 + 50 n-1

G + = 50 $950 = $900 + $50 $1,000 = $900 + $50*2

Figura 3

Si se ignora la cantidad base, se puede construir el diagrama de flujo de efectivo generalizado de gradientes en forma uniformemente creciente: F P

0

ff

i

1

2

A

3

n-1

n

Años

G 2G n-2 G

n-1 G Figura 4 ----------------------------------------------------------------------------------Página 57 de 62


Como puede apreciarse, un gradiente (G) es el cambio aritmético uniforme en la magnitud de recibos o desembolsos de un periodo al siguiente.

Ejemplo 4 Si una persona espera obtener ingresos por $47,500 el próximo año a partir de la introducción de un nuevo producto y proyecta que las ventas aumentarán uniformemente hasta llegar a un nivel de $100,000 en 8 años, determinar el gradiente y construya el diagrama de flujo de efectivo. G + = 7 500 I8 = $100,000

92 500 62 500 55 000 47 500 0

Años 1

2

3

7

8

Figura 5

De la figura 5 podemos extractar lo siguiente: Cantidad base (CB) = $47,500 Incremento (Icr) en ingresos en 8 años = I n – CB Icr = $100,000 - $47,500 = $52,500

      o

----------------------------------------------------------------------------------Página 58 de 62


         

Se tiene un gradiente aritmético de $7,500 anual. Teniendo en cuenta la figura 4, puede encontrarse el valor presente (P) en el punto 0 de un gradiente aritmético: P = G/(1+i)2 + 2G/(1+i)3 + 3G/(1+i)4 + ··· + (n-2)G/(1+i)n-1 + (n-1)G/(1+i)n Factorizando, nos queda: P = G{1/(1+i)2 + 2/(1+i)3 + 3/(1+i)4 + ··· + (n-2)/(1+i)n-1 + (n-1)/(1+i)n Resolviendo, nos queda que:

        

El valor anual (Anualidad) de un gradiente uniforme o aritmético, está dado por:

    

El valor futuro de un gradiente aritmético. Está dado por:

          

6.2 Gradientes geométricos Son series geométricas o escalonadas aquellas cuyos flujos de efectivo cambian por un porcentaje constante en periodos de pago consecutivos. Ejemplo 5 Si creemos que nuestros ingresos aumentarán un 15% anualmente durante 5 años con base en el año 0, el flujo de efectivo quedaría así: ----------------------------------------------------------------------------------Página 59 de 62


$1,000(1+0.15)5 $1,000(1+0.15)4 3

$1,000(1+0.15) $1,000(1+0.15)2 $1,000(1+0.15)

2 011.36

1 749.01

1 520.88

1 322.50

1 150 1 000 Años 0

1

2

3

4

5

Figura 6

En la figura 6, podemos observar lo siguiente: Año 1: $1,000 * 0.15 = $150 ; $1,000 + $150 = $1,000 * 1.15 Año 2: $1,150 * 1.15 = $1,322.50 Año 3: $1,322.50 * 1.15 = $1,520.875 Año 4: $1,520.875 * 1.15 = $1,749.00625 Año 5: $1,749.00625 * 1.15 = $2,011.3571875 El flujo de un gradiente geométrico es: P

0

i

1

D ff

2

3

n-1

4

n

D 1+E D 1+E

2

D 1+E

3

D 1+E Figura 7

n-2

D 1+E

n-1

En la figura 7: D = Cantidad de dinero en el periodo 1 E = Tasa de crecimiento geométrico en forma decimal. ----------------------------------------------------------------------------------Página 60 de 62


El valor presente de una serie escalonada se calcula: D D(1+E) D(1+E)2 D(1+E)n-2 D(1+E)n-1 P = --------- + ------------- + --------------- + ··· + ---------------- + ---------------(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n Factorizando, quedaría: 1 (1+E) (1+E)2 (1+E)n-2 (1+E)n-1 P = D --------- + ------------- + --------------- + ··· + ---------------- + ---------------(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n Resolviendo, quedaría: para E ≠ i

              y para E = i

Para calcular el valor futuro, se multiplicará PG por (1 + i)n, quedando: para E ≠ i

            Y para E = i

 

Para volver el valor presente en una anualidad, se multiplica PG por i / [1-(1+i) -n], en ambos casos (E ≠ i y E = i) .

----------------------------------------------------------------------------------Página 61 de 62

NotasDeClase_IngenieríaEconómica

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