Notas de entrenamiento Teor´ Teor´ ıa de n´ umeros umeros
Bienvenidos Bienvenidos sean ol´ ol´ımpicos a esta, la tercera edici´ on de las notas complementarias de su entreon namiento de teor´ teor´ıa de n´ umeros umeros.. La clase clase pasada pasada contin continuam uamos os con cosas de diviso divisores res y m´ aximos comunes comunes divisores. Los resultados importantes importantes son los siguientes siguientes:: Cantidad de divisores de un n´ umero: umero: Si la descomposici´ on on can´ onica en primos de un enonica
tero n tero n es es p p a1 · pa2 · pa3 · · · p · pka entonces el n´ umero umero tiene (a (a1 + 1) · (a2 + 1) · (a3 + 1) · · · (ak +1) divisores. 1
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k
Un ejemplo concreto en el cual se utilizan estas ideas es en el siguiente problema, el cual es del primer nacional de la Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas: aticas: Problema: ¿Cu´ antos divisores tiene 20!? 1 antos Soluci´ on: on: Desarrollando
20! y juntando factores primos iguales obtenemos que la descomposici´ on on 18 8 4 2 can´ onica en primos de 20! es 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · onica 11 · 13 13 · · 17 17 · · 19 (verif´ (verif´ıcalo). Por lo tanto 20! tiene 19 19 · · 9 9 · · 5 5 · · 3 3 · · 2 2 · · 2 2 · · 2 2 · · 2 2 = 41040 41 040 divisores diviso res (verif´ (verif´ıcalo). ıcalo ). Y uno m´ as, el cual nos deja una valiosa lecci´ as, on on es el siguiente: Problema: Para Para cada entero positivo positivo se tiene un foco. Todos empiezan apagados. apagados. Igualmente Igualmente,,
para cada entero positivo i se tiene una persona P i cuya ”‘labor”’ consiste en cambiar una vez el estado de cada foco que le corresponda un m´ ultiplo ultiplo de i (Ej. (Ej. a P 2 le toca cambiar a todos los pares) pares).. Cuando Cuando todos acaben sus labores, labores, habr´ habr´ a focos prendidos y focos apagados. ¿Qu´ ¿Qu´e focos quedan prendidos? Soluci´ on: on: Un
foco cambia de estado tantas veces veces como divisores divisores tenga. Como todos empiezan apagad apagados, os, para que un foco aca acabe be prendi prendido do debe de tener tener una cantid cantidad ad impar de diviso divisores res.. A continuaci´ on veremos dos formas de encontrar la respuesta: on Forma orma 1: Si n tiene descomposici´ on on can´ onica onica en primos pa1 · p a2 · p a3 · · · p · pka entonces tiene (a1 + 1) · 1) · ( (a a2 + 1) · 1) · ( (a a3 + 1) · · ·( · (ak + 1) 1) diviso divisores res.. Este Este n´ umero es impar cuando cada uno de sus umero factores factores es impar (¿por qu´ qu´e?), e?), lo cual pasa cuando cuando cada uno de los exponentes exponentes en la factorizaci´ factorizaci´ on en primos es par, y los n´ umeros cuadrados son los que cumplen con esto. umeros Forma 2: Para cada divisor d divisor d de de un n´ umero n umero n tenemos tenemos que n/d que n/d es es un entero que tambi´en en divide a n (¿por qu´e?). e?). As´ As´ı, podem p odemos os agrupar a grupar a los lo s divisores di visores de un n´ umero umero en parejitas. parejit as. As´ As´ı, n ı, n tiene una cantidad par de divisores a menos que una de estas parejitas no tenga dos elementos distintos, es 1
1
N´ otese lo raro que se ve un signo de factorial junto a uno de interrogaci´on. otese
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decir, que d = n/d, n/d, de donde obtenemos que n es un cuadrado perfecto p erfecto (¿por (¿p or qu´ e esto pasa s´ olo olo con una parejita?). Bien, ya convencidos de esto, los unicos u ´ nicos focos que quedar´ an prendidos son los focos a los que an les corresponde un cuadrado perfecto. La valiosa lecci´ on on es que los n´umeros umeros cuadrados son los unicos u´nicos que tienen una cantidad impar de divisores. Me permito refrescarles la memoria de otro problema que conocen en el cual tambi´en en se usa eso y varias cosas que han estado aprendiendo: Problema: ¿A lo m´ as as cu´ antas de las siguientes afirmaciones son v´ antas alidas para un entero positivo alidas
a? • a|210 • a es un cuadrado perfecto • a > 1 • a tiene exactamente 6 divisores Clarament Claramentee s´ı se puede que sean dos, ya que, por ejemplo, ejemplo, el 1 cumple la uno y la dos. Vamos a demostrar que no pueden ser m´as as de dos. Revisa con cuidado cada paso, cada cosa que no aclare totalmente ya la puedes demostrar t´ u f´ acimente. acimente. Lo primero que vemos es que 210 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7. 7. As´ As´ı, cualqu cualquier ier divisor divisor de 210 tiene tiene en su factorizaci´ on en primos puros exponentes menores o iguales que uno y por tanto no puede tener on 6 divisore divisores. s. Por Por lo tanto tanto la uno y la cuatro cuatro no pasan pasan al mismo tiempo. tiempo. Si pasa la uno y la dos, dos, entonces a = 1 y no se cumple la tres. Entonces la uno no puede pasar con otras dos. Finalmente las tres ultimas u ´ ltimas no pasan al mismo tiempo ya que la dos y la cuatro se conflict´ uan uan por la valiosa lecci´ on. on. As´ As´ı, a lo m´ as se cumplen dos de las afirmaciones para un entero positivo a as positivo a.. Soluci´ on: on:
Bueno, esto cubre la parte del n´ umero umero de divisores divisores.. Las siguien siguientes tes pregunt preguntas as a atacar atacar con respecto a los divisores son ¿cu´anto anto suman los divisores de un n´ umero? umero? ¿cu´ ¿cual a´l es el producto de todos los divisores de un n´ umero? umero? Son preguntas para que ustedes intenten, y ya despues, si as´ as´ı lo desean, para que las chequemos. Por ahora aho ra regresamo re gresamoss m´ınimo ınimo com´ un un m´ ultiplo ultiplo y m´ aximo aximo com´ un divisor. Los resultados imporun tantes de la clase fueron: Expresiones para mcm y MCD de dos enteros m y n: Si la descomposici´ on on en primos
extendida (juntando los primos de los dos n´ umeros) umeros) de un entero m entero m es p a1 · pa2 · pa3 · · · p · pka y de de un un b b b b entero n es p es p 1 · p2 · p3 · · · p · pk 1
1
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min( min(a1 ,b1 )
· p2
max( max(a1 ,b1 )
· p2
• [m, n] = p 1
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k
k
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• (m, n) = p 1
2
min( min(a2 ,b2 )
· p3
min( min(a3 ,b3 )
· · · p · pk
max( max(a2 ,b2 )
· p3
min( min(ak ,bk )
max( max(a3 ,b3 )
· · · p · pk
max( max(ak ,bk )
A partir de lo cual probamos que (m, (m, n) · [ · [m, m, n] = m · n · n,, lo cual es un resultado muy muy inter interesa esant nte. e. Ahora Ahora viene un po co de pl´ atica. atica. La pregunta pregunta que pretendo pretendo responder responder es: ¿por qu´e
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dices que X resultado es muy interesante? ¿qu´e debe tener un resultado para que sea interesante? interesante? Pues es como una mezcla de trabajo con est´etica. etica. Si se dan cuenta, este resultado no fue muy f´ acil de probar, sin embargo lo que nos dice es algo muy sencillo y mas o menos impresonante, ya que relaciona relaciona cosas de una forma inesperada. inesperada. Bueno, basta ya, pasemos a ver las recomendaciones recomendaciones de escritura de los problemas que resolvieron esa clase. Problema: Encuentra el mayor entero sin d´ıgitos repetidos tal que el producto de sus d´ıgitos
sea un cuadrado perfecto distinto de cero. Soluci´ on: on: Claramente
el 0 no puede aparecer en el n´ umero. umero. Como queremos queremos que el producto de sus d´ıgitos ıgitos sea un cuadrado perfecto, p erfecto, cada primo debe aparecer una cantidad par de veces. Por lo tanto ni el 5 ni el 7 pueden aparecer. aparecer. Al producto del resto de los d´ıgitos le sobra una cantidad cantidad impar de doses, doses, y la forma de quitar menos es quitar al 2. As´ As´ı, los d´ıgitos ıgitos que es mejor usar son 1,3,4,6,8,9 y el n´ umero umero m´ as grande que se puede formar con ellos es el 986431. as
Problema: Demuestra que para un primo p primo p y 0 < r < p, p, se tiene que p que p|| pr . p
es un n´ umero entero, pero que parece fracci´on. umero o n. Para ara ver ver que p lo divide nos gust gu star´ ar´ıa ıa ver que p que p esta esta en el numerador numerador y que no se ”cancela” ”cancela” con nada del denominador. denominador. Pero Pero esto s´ı sucede, suc ede, ya que en el numerador est´ a p! p ! (y por tanto p tanto p)) pero en el denominador, como 0 < 0 < r < p, p, aparecen puros n´ umeros umeros menores que p que p.. Y como p como p es primo, no tiene t iene ningun divisor menor que ´el el mismo que lo pueda As´ı, p ı, p est´ a en el numerador y no se cancela, por tanto p tanto p est´ a en la p ”cancelar”. As´ factorizaci´ on on de r y por tanto, lo divide. Soluci´ on: on:
r
¿Qu´e pasa cuando cua ndo p p no es primo? Fueron pocos problemas ya que se nos acab´o el tiempo. Adem´ Adem´ as, el tercer problema tard´o un as, poco en llegar, llegar, si lo recuer recuerdan dan.. Como Como ya no fue problema problema,, pues pues a contin continuac uaci´ i´ on tambi´en en lo documento, pero ya como un dato curioso: Dato curioso: Al hacer una suma de fracciones podemos hacerla ”mal” eligiendo un com´ un un
m´ ultiplo ultiplo m´ as as grande que el e l m´ınimo ınimo com com´ un u´n multiplo de los denominador denominadores. es. Demuestr Demuestra a que si hacemos esta suma ”mal” entonces al final siempre se va a tener que simplificar la fracci´ on. on. Esto nos dice que la forma en la que hay menos simplificaciones simplificaciones es cuando cuando elegimos elegimos el m´ınimo com´ un m´ ultiplo ultiplo correctamente. Supongam Supongamos os que las dos fraccion fracciones es que queremos queremos sumar sumar son ac y db . Todo odo m´ ultiplo ultiplo com´ un u n de c y d es un m´ ultiplo ultiplo de su m´ınimo com´ un u n m´ ultiplo ultiplo m. Enton Entonces ces supongsupongamos que elegimos al m´ ultiplo ultiplo com´ un un k · m As´ı, usando que (c, d) · [ · m.. As´ · [c, c, d] = c · d · d obtenemos que: akd/( akd/(c,d)+ c,d)+bkc/ bkc/((c,d) c,d) k(ad/( ad/(c,d)+ c,d)+bc/ bc/((c,d)) c,d)) a b = . Y aq aqu u´ı podemos cancelar cancelar tanto tanto de arriba arriba como de c + d = k·m k·m abajo una k. En el unico u ´ nico caso en que realmente no simplificamos la fracci´on on nada es cuando cancelamos un uno, esto es, cuando el com´ un un m´ ultiplo ultiplo que elegimos elegi mos es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo. ultiplo. Demostraci´ on: on:
A continuaci´ on on la soluci´ on del problema de la semana de la semana pasada (notese que el doble on uso de ”de la semana” es necesario):
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ultimo u ´lt imo d´ıgito ıgi to de a2 y 2a conforme a var´ va r´ıa. a2 cae en el ciclo 1, 4, 9, 6, el ciclo 2, 4, 8, 6. El m´ m´ınimo com´ un m´ u ltiplo de 4 y 10 es 20, por lo ultiplo a 2 tanto cada 20 n´ umeros umeros 2 − a termina termina en el mismo d´ d´ıgito. Como para los primeros 20 n´ umeros a 2 s´ olo olo sucede que 5| 5|2 − a en cuatro casos (basta checar los ultimos u ´ltim os d´ıgitos), ıgito s), entonces cada veinte n´ umeros umeros esto sucede cuatro veces, as´ as´ı que en total sucede 2000 veces entre 1 y 10000 Soluci´ on: on: Analicemos el 5, 6, 9, 4, 1, 0. 2a cae en
Y finalmente, les escribo la tarea y el problema de la semana (de esta semana): Tarea: Dado un punto O punto O dentro dentro del triangulo AB triangulo ABC C , denotamos por A por A1 , B 1 y C y C 1 los respectivos
puntos de intersecci´on on de AO, AO, BO y CO con los lados correspondien correspondientes. tes. Sean a = AAOO , b = BBOO CO y c = C ales son los posibles valores de la terna (a,b,c ales (a,b,c)) si se sabe que a, b y c son enteros O ¿Cu´ positivos? AO BO CO on on de O. Hint: Demuestra que AA + BB + CC no depende de la elecci´ 1
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Tarea: Se tiene un entero a entero a cuyos 2m 2m d´ d´ıgitos ıgito s son unos. Tambi´ Tambi´en en se tiene un entero b entero b cuyos m cuyos m
d´ıgitos ıgito s son cuatros. cuatros . Demuestra que a + b + b + + 1 es un cuadrado perfecto. Problema: Encuentra el primer entero positivo que sea suma de 11 enteros consecutivos, de
12 enteros consecutivos y de 13 enteros consecutivos a la vez.
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