MATERI SISTEM PERSAMAAN NIRLANJAR METODE TERBUKA Metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan hanyalah sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Oleh karena itu metodenya dinamakan metode terbuka. Yang termasuk dalam metode terbuka adalah: A. Metode lelaran titik tetap ( fixed-point fixed-point iteration) iteration) B. Metode Newton-Raphson C. Metode secant
A. Metode Lelaran Titik Tetap
Metode ini disebut juga metode lelaran sederhana, metode langsung atau metode sulih beruntun. Pembentukan prosedur prosedur lelarannya adalah sebagai berikut: 1. Menyusun persamaan f(x) persamaan f(x)=0 =0 menjadi bentuk x bentuk x = g(x). g(x). 2. Kemudian membentuk menjadi prosedur lelaran xr+1 = g(xr );r = 1, 2, 3, … dan menebak sebuah nilai awal x0, kemudian menghitung nilai x1 , x2 , x3 , … yang mudah-mudahan konvergen ke akar sejati s sejati s sedemikian sedemikian hingga f(s) = 0 dan s dan s = g(s) 3. Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila
| | ε δ
atau bila menggunakan gelat relatif hampiran
dengan dan telah ditetapkan sebelumnya.
Kriteria Konvergensi Metode Lelaran Titik-Tetap
Diberikan prosedur lelaran
Misalkan x = s adalah solusi f(x) = f(x) = 0 sehingga f(s) = 0 = 0 dan s dan s = g(s). g(s). Selisih antara
dan
dan s dan s adalah
|| ||| ||| ||
Terapkan teorema nilai rata-rata sehingga
yang mana
. Misalkan galat pada lelaran ke-r dan lelaran ke-(r+1)
adalah
dan dapat kita tulis menjadi
atau dalam tanda mutlak
dimana
.
x) dan g '( '( x) x) menerus di dalam selang [a,b [ a,b]] = [ s s-h, TEOREMA 3.2. Misalkan g ( x) s+ s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x awal x0 dipilih dalam selang tersebut.
∊
Jika g |g '( '( x)| x)| < 1 untuk semua x semua x [a [a, b] maka lelaran x lelaran xr +1 xr ) akan konvergen ke s ke s.. +1 = g ( x Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif . Jika g |g '( '( x)| x)| > 1 untuk semua x
∊
[a, b]
maka lelaran x lelaran xr +1 xr ) akan divergen dari s dari s.. +1 = g ( x Teorema 3.2 dapat diringkas sebagai berikut: Di dalam selang I selang I = [ s s-h, s+ s+h], dengan s dengan s titik tetap,
∊ ∊
jika 0 < g < g '( '( x) x) < 1 untuk setiap x setiap x I , maka lelaran konvergen monoton;
jika -1< g -1< g '( '( x) x) < 0 untuk setiap x setiap x I , maka lelaran konvergen bersosilasi;
jika g jika g '( '( x) x) > 1 untuk setiap x setiap x I , maka lelaran divergen monoton;
jika g jika g '( '( x) x) < -1 untuk setiap x setiap x I , maka lelaran divergen berosilasi
∊ ∊
Konvergen monoton: 0 < g’(x) < 1
Konvergen berosilasi: –1 berosilasi: –1 < g’(x) < 0
Divergen monoton: g’(x) > 1
Divergen berosilasi: g’(x) < -1
B. Metode Newton-Raphson
Metode ini paling sering dipakai dan disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. 1. Pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson
Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu: a. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri
Dari gambar grafik gradient garis singgung di xi adalah
Atau
Sehingga prosedur lelaran metode Newton-Raphson adalah
b.
Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor
Menguraikan
di sekitar xr ke dalam deret Taylor:
Yang bila dipotong sampai suku order-2 saja menjadi
Karena mencari akar, maka
Atau
sehingga
Yang merupakan metode Newton-Raphson
Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila:
| | ε δ
Atau bila menggunakan gelat relatif hampiran
Dengan dan
adalah toleransi galat yang diinginkan.
Catatan:
-
Jika terjadi f’(xr ) = 0, diulangi kembali perhitungan lelaran dengan x0 yang lain.
-
Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan x0 yang berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain.
-
Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan (seperti halnya pada metode lelaran titik-tepat).
2. Algoritma Newton-Raphson
a. Definisikan fungsi f(x) dan f ’(x) b. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) c. Tentukan nilai pendekatan awal x 0 d. Hitung f(x0) dan f ’(x0) e. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xr )|> e Hitung f(xr ) dan f ’(xr )
f. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh
3. Kriteria konvergensi metode Newton-Raphson
Bentuk umum prosedur lelaran metode terbuka,
Karena metode Newton-Raphson termasuk metode terbuka, maka dalam hal ini,
Dengan mengingat syarat perlu agar lelaran konvergen adalah
[ ]
[ ]
[ ]
Karena itu, metode Newton-Raphson akan konvergen bila
[]
, dengan syarat
.
C. Orde Konvergensi Metode Terbuka
Prosedur lelaran pada setiap metode terbuka dapat ditulis dalam bentuk: 1. Misalnya pada metode Newton-Raphson
. Misalkan xr adalah
hampiran tetap akar sejati s sehingga s = g(s). maka, berdasarkan konsep galat
dengan
ε
r adalah
galat dari xr .
2. Menguraikan g(s) disekitar xr .
ε
3. Kemudian mengurangi dengan
sehingga diperoleh:
4. Karena s = g(s), maka
5. Misalkan
, sehingga
6. Bilangan pangkat dari
r
menunjukkan orde (atau laju) konvergensi prosedur
lelaran: a.
b.
: Prosedur lelaran orde satu : Prosedur lelaran orde dua
Orde konvergensi metode Newton-Raphson
Pada netode Newton-Raphosn,
. Turunan pertama dari
g(xr ) adalah:
[ ]
Jika xr adalah akar persamaan f(x) = 0, maka f(xr ) = 0, sehingga g'(xr ) = 0 Ini berarti metode Newton-Raphson paling sedikit berorde dua. Turunan kedua dari g(xr ) adalah
⁄
Subtitusikan persamaan di atas dengan persamaan:
Diperoleh hasil:
Persamaan ini mempunyai tiga arti: 1. Galat lelaran sekarang sebanding dengan kuadrat galat lelaran sebelumnya. Jika galat lelaran sekarang misalnya 0.001, maka pada leleran berikutnya galatnya sebanding dengan 0.000001. Hal inilah yang menyebabkan metode NewtonRaphson sangat cepat menemukan akar (jika lelarannya konvergen). 2. Jumlah angka bena akan berlipat dua pada tiap lelaran. Ini merupakan konsekuensi dari hal nomor 1 di atas. 3. Orde konvergensi metode Newton-Raphson adalah kuadratik. sehingga ia dinamakan juga metode kuadratik.
Cara lain untuk menemukan orde konvergensi metode Newton-Raphson adalah dengan meneruskan penurunan rumus Newton-Raphson dari dari deret Taylornya sebagai berikut: Perhatikan persamaan berikut:
Bila
sehingga
, dalam hal ini s adalah akar sejati, maka
didapat:
Kurangi dengan
, didapat:
| | Misalkan
dan
, maka persamaan di atas dapat ditulis
menjadi:
Atau
Pada proses pencarian akar dengan metode Newton-Raphson, muncul kesulitan jika terlalu dekat ke nol, dan kita harus menggunakan bilangan berketelitian ganda
untuk memperoleh f(x) dan f’(x) cukup teliti. Persamaan nirlanjar f(x) = 0 yang mempunyai kasus seperti ini dinamakan kondisi buruk.
D. Metode Secant
Prosedur lelaran metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan pertama fungsi, yaitu f'(x). Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekuivalen. Modifikasi metode NewtonRaphson ini dinamakan Metode Secant.
Berdasarkan grafik di atas dapat dihitung gradien:
Mensubstitusikan persamaan tersebut ke
Sehingga diperoleh
yang merupakan prosedur lelaran metode secant. Dalam hal ini diperlukan dua buah tebakan awal akar, yaitu x0 dan x1. Kondisi berhenti lelaran adalah bila
| |
(galat mutlak)
atau
Dengan
ε δ
(galat hampiran)
adalah toleransi galat.
Algoritma secant
-
Definisikan fungsi f(x)
-
Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
-
Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x 0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendekatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
-
Hitung f(x0) dan f(x1) sebagai y0 dan y1
-
Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|>0 hitung yi+1 = F(xi+1)
-
Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
Perbandingan Metode newton Raphson dengan Metode Secant
Karena kemiripan formulanya, mungkin disini perlu ditinjau secara ringkas beberapa aspek penggunaan dari kedua metode ini. Metode Newton-Raphson
Kelebihan
-
Memerlukan sedikit iterasi
-
Tidak membutuhkan waktu lama untuk mencapai konvergen
Kelemahan
-
Memerlukan fungsi turunan f(x)
-
Lebih banyak komputasi per-langkah iterasi yang dilakukan
Secant
Tidak perlu menghitung fungsi
Membutuhkan
waktu
lama
turunan (f’(x))
untuk mencapai konvergen
E. AKAR GANDA
Akar ganda (multiple roots) terjadi bila kurva fungsi menyinggung sumbu-x, misalnya: a.
memiliki akar ganda dua di
x=1
b.
memiliki
akar ganda tiga di x = 1.
Akar ganda menimbulkan sejumlah kesukaran untuk banyak metode numerik: 1. Kenyataan bahwa fungsi tidak berubah tanda pada akar ganda genap menghalangi penggunaan metode-metode tertutup. Metode terbuka, seperti metode NewtonRaphson, sebenarnya dapat diterapkan di sini. Tetapi, bila digunakan metode Newton Raphson untuk mencari akar ganda, kecepatan konvergensinya berjalan secara linear, tidak lagi kuadratis sebagaimana aslinya. 2. Permasalahan lain yang mungkin berkaitan dengan fakta bahwa tidak hanya f(x) tetapi juga f’(x) menuju ke nol pada akar. Ini menimbulkan masalah untuk metode Newton-Raphson
maupun
metode
secant
(tali
busur),
yang
dua-duanya
mengandung turunan (atau taksirannya) pada penyebut rumus mereka masingmasing. Ini dapat menghasilkan pembagian oleh nol pada waktu penyelesaian konvergen sangat dekat ke akar. Pembagian dengan nol ini dapat dihindari dengan melihat fakta bahwa f(x) lebih dulu nol sebelum f’(x). Ralston dan Rabinowitz (1978) telah menunjukkan bahwa perubahan sedikit dalam perumusan mengembalikannya ke kekonvergenan kuadrat, seperti dalam
dengan m adalah bilangan multiplisitas akar, misalnya m=1 untuk akar tunggal, m=2 untuk akar ganda dua, m=3 untuk akar ganda tiga, dan seterusnya. Tentu saja, ini mungkin merupakan alternative yang tidak memuaskan karena bergantung pada pengetahuan sebelumnya tentang multiplisitas akar. Alternatif lain yang juga disarankan oleh Ralston dan Rabinowitz(1978) adalah mendefinisikan suatu fungsi baru u(x), yaitu rasio (hasil bagi) fungsi terhadap turunannya seperti dalam
Perhatikan, bentuk u(x) ini memiliki akar yang sama dengan f(x), sebab, jika u(x) = 0 maka f(x) = 0. Selanjutnya,
Yang dalam hal ini,
[ ] [ ] [ ] Persamaan (ii) dan (iv) dapat disubstitusikan ke dalam Persamaan (iii) dan hasilnya disederhanakan untuk menghasilkan
[ ]
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Carilah akar persamaan
ε √ √
dengan metode lelaran titik-tetap.
Gunakan = 0.000001. Penyelesaian:
a.
Dalam hal ini,
. Prosedur lelarannya adalah
.
Terkaan awal x0 = 4 Tabel lelarannya: r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4,000000 3,316625 3,103748 3,034385 3,011440 3,003811 3,001270 3,000423 3,000141 3,000047 3,000016 3,000005 3,000002 3,000001 3,000000
-
| | 0,683375 0,212877 0,069362 0,022945 0,007629 0,002541 0,000847 0,000282 0,000094 0,000031 0,000010 0,000003 0,000001 0,000000
Himpunan akar x=3,000000 (konvergen monoton)
b.
Dalam hal ini,
Ambil terkaan awal x 0 = 4
. Prosedur lelarannya adalah
Tabel lelarannya: r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
4,000000 1,500000 -6,000000 -0,375000 -1,263158 -0,919355 -1,027624 -0,990876 -1,003051 -0,998984 -1,000339 -0,999887 -1,000038 -0,999987 -1,000004 -0,999999 -1,000000 -1,000000
| |
2,500000 7,500000 5,625000 0,888158 0,343803 0,108269 0,036748 0,012175 0,004066 0,001355 0,000452 0,000151 0,000050 0,000017 0,000006 0,000002 0,000001
Hampiran akar x = -1,000000 (konvergen berosilasi)
c.
Prosedur lelarannya adalah
. Terkaan awal x 0 = 4
Tabel lelarannya: r
| |
0
4,000000
1
6,500000
2,500000
2
19,625000
13,125000
3
191,070313
171,445313
4
18252,432159
18061,361847
…
…
…
Lelarannya divergen.
ε
2. Hitunglah akar f(x) = e x – 5x2 dengan metode Newton-Raphson. Gunakan = 0.00001. Tebakan awal akar x0 = 1. Penyelesaian:
Prosedur lelaran Newton-Raphson:
Tebakan awal x0 = 1 Tabel lelarannya: r
0 1 2 3 4
xr 0,500000 0,618976 0,605444 0,605267 0,605267
|xr+1 – xr| 0,118976 0,013532 0,000177 0,000000
Hampiran akar x = 0.605267
ε
3. Hitunglah akar f(x) = e x – 5x2 dengan metode secant. Gunakan = 0.0001. Tebakan awal akar x0 = -0.5 dan x 1 = 0. Penyelesaian:
Metode Secant:
Tebakan awal x0 = -0.5 dan x 1 = 0 Tabel lelarannya: r 0 1 2 3 4 5 6
f(x) -0,643469 1,000000 0,274895 -0,222880 0,015304 0,00075 0,00000
xr -0,500000 0,000000 -0,304234 -0,419573 -0,367930 -0,371248 -0,371418
|xr+1-xr|
0,500000 0,304234 0,115338 0,051643 0,003318 0,00017
Hampiran akar x = -0.371418 Ternyata lelarannya mengarah ke akar yang lain, yaitu x= -0.371418.
4. Gunakan baik metode Newton-Raphson yang baku maupun yang dimodifikasi untuk menghitung akar ganda dari awal
Penyelesaian:
, dengan terkaan
a. Dengan metode Newton-Raphson yang baku
b. Dengan metode Newton-Raphson yang dimodifikasi
[ ]
c. Tabel lelarannya adalah: Metode Newton-Raphson Yang
Metode Newton-Raphson Yang
Baku
Dimodifikasi
r
xr
r
xr
0
0.000000000
0
0.000000000
1
0.428571429
1
1.105263158
2
0.685714286
2
1.003081664
3
0.832865400
3
1.000002382
4
0.913328983
5
0.955783293
6
0.977655101
Lelaran konvergen ke akar x = 1. Terlihat dari tabel di atas bahwa metode Newton-Raphson yang dimodifikasi memiliki jumlah lelaran lebih sedikit.
SOAL KELOMPOK 2 1.
Jawab:
-
Menggunakan Newton-Raphson
; toleransi eror = 0,00001; n = 20; tebakan x 0 = -1
no 0 1 2 3 4 5 6
x -1,00000 -0,66981 -0,48033 -0,40191 -0,38778 -0,38734 -0,38734
y 35,00000 9,65336 2,23252 0,29759 0,00865 0,00001 0,00000
y' -106,00000 -50,94500 -28,46898 -21,06238 -19,84441 -19,80741 -19,80738
Hampiran akarnya = -0,38734 -
Menggunakan Metode Secant
toleransi eror = 0,00001; n = 20; tebakan x 0 = 0 dan x1 = 2 no 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
x 0,00000 2,00000 -0,03488 -0,07023 -2,55111 -0,08315 -0,09589 -1,35978 -0,13635 -0,17380 -0,70730 -0,27046 -0,32838 -0,40701 -0,38471 -0,38723 -0,38734 -0,38734
y -3,00000 -175,00000 -2,98786 -2,94589 562,81148 -2,92163 -2,89247 87,45799 -2,76134 -2,58023 11,66014 -1,78231 -1,02633 0,40632 -0,05176 -0,00214 0,00001 0,00000
Hampiran akarnya = -0,3874
2. Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan f ( x) = x3 + 2x2 + 10 x - 20 = 0 dan menemukan x = 1.368808107. Tidak seorang pun yang mengetahui cara Leonardo menemukan nilai ini. Sekarang, rahasia itu dapat dipecahkan. Bentuklah semua kemungkinan prosedur lelaran titik-tetap dari f ( x) = 0, lalu dengan memberikaan sembarang tebakan
awal (misalnya x = 1), tentukan prosedur lelaran mana yang
menghasilkan akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu. Jawab:
x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0
Toleransi eror = 0,00000001; n = 20; x 0 = 1 no 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
x
1 1,7 0,9307 1,746142 0,857797 1,789719 0,786117 1,827823 0,721148 1,858486 0,667291 1,881231 0,62642 1,896939 0,597735 1,907186 0,578816 1,913603 0,566888
Lelerannya divergen
x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0
f(x)
-7 7,693 -8,15442 8,883452 -9,31922 10,03601 -10,4171 11,06675 -11,3734 11,91194 -12,1394 12,54812 -12,7052 12,99204 -13,0945 13,28371 -13,3479 13,46715 -13,5062
Toleransi eror = 0,00000001; n = 30; x 0 = 1 tabel iterasi no 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
x
1 1,538461538 1,295019157 1,401825309 1,354209390 1,375298092 1,365929788 1,370086003 1,368241024 1,369059812 1,368696398 1,368857689 1,368786103 1,368817874 1,368803773 1,368810032 1,368807254 1,368808487 1,368807940 1,368808182 1,368808075 1,368808123 1,368808101 1,368808111 1,368808107 1,368808108 1,368808108 1,368808108
y -7,00000000 3,75967228 -1,52381544 0,70322831 -0,30667827 0,13717110 -0,06067087 0,02696864 -0,01196132 0,00531037 -0,00235658 0,00104598 -0,00046422 0,00020604 -0,00009144 0,00004059 -0,00001801 0,00000799 -0,00000355 0,00000157 -0,00000070 0,00000031 -0,00000014 0,00000006 -0,00000003 0,00000001 -0,00000001 0,00000000
Lelaran akarnya = 1,368808108 Lelaran 1,368808107 sudah terlihat tapi belum sesuai dengan toleransi eror yang ditetapkan.
x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0
Toleransi eror = 0,00000001; n = 50; x 0 = 1 No
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
X
1 1,583333333 1,217519339 1,463220711 1,304862040 1,409884708 1,341480180 1,386577996 1,357077858 1,376475478 1,363763804 1,372112643 1,366637249 1,370231609 1,367873551 1,369421180 1,368405723 1,369072121 1,368634845 1,368921797 1,368733501 1,368857064 1,368775982 1,368829189 1,368794274 1,368817186
Y
No
-7,00000000 4,81655093 -3,05530607 2,04701409 -1,32430686 0,87693027 -0,57197381 0,37680986 -0,24662436 0,16211135 -0,10626008 0,06977966 -0,04576797 0,03004276 -0,01971022 0,01293575 -0,00848779 0,00557008 -0,00365499 0,00239849 -0,00157388 0,00103281 -0,00067773 0,00044473 -0,00029184 0,00019151
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
X
1,368802151 1,368812017 1,368805543 1,368809791 1,368807003 1,368808833 1,368807632 1,368808420 1,368807903 1,368808242 1,368808020 1,368808166 1,368808070 1,368808133 1,368808091 1,368808119 1,368808101 1,368808112 1,368808105 1,368808110 1,368808107 1,368808109 1,368808107 1,368808108
Y
-0,00012567 0,00008246 -0,00005411 0,00003551 -0,00002330 0,00001529 -0,00001003 0,00000658 -0,00000432 0,00000284 -0,00000186 0,00000122 -0,00000080 0,00000053 -0,00000034 0,00000023 -0,00000015 0,00000010 -0,00000006 0,00000004 -0,00000003 0,00000002 -0,00000001 0,00000001
Lelaran akarnya = 1,368808107 Jadi Leonardo Pisa menggunakan
sebagai prosedur lelarannya.
KESIMPULAN A. Kesimpulan
Metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan hanyalah sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Oleh karena itu metodenya dinamakan metode terbuka. Yang termasuk dalam metode terbuka adalah: 1. Metode lelaran titik tetap ( fixed-point iteration) 2. Metode Newton-Raphson 3. Metode secant
Berikut tabel perbandingan berbagai metode terbuka Perbandingan Lelaran TitikMetode
Newton-
Tetap
Secant
Raphson
Modifikasi Newton-Raphson
Tebakan awal
1
1
2
1
Laju konversi
Perlahan
Cepat
Sedang hingga Sedang cepat
bagi
akar
tunggal; cepat bagi akar ganda.
Stabilitas
Bisa divergen
Bisa divergen
Bisa divergen
Bisa divergen
Akurasi
Baik
Baik
Baik
Baik
Luas aplikasi
Umum
Umum,
Umum
Umum,
dibatasi
jika
khusus
f’(x)=0 Komentar
Memerlukan tabel yang
Memerlukan
lelaran evaluasi f’(x) lebih
didesain bagi
akar
ganda Tebakan tak
awal Memerlukan harus evaluasi f’(x) dan
mengurung akar
f”(x)
banyak
B. Saran
Berdasarkan latihan-latihan soal yang penulis lakukan, penulis menyarankan untuk menggunakan metode iterasi titik-tetap karena lebih mudah dan hanya memerlukan rumus-rumus sederhana, meskipun memerlukan tabel lelaran yang lebih banyak.
DAFTAR PUSTAKA
http://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf , diakses pada tanggal 6 Maret 2013. http://abdurrahim65.files.wordpress.com/2008/05/irfan_metode_numerik1.pdf , pada tanggal 28 Februari 2013.
diakses
http://www.balidigest.com/pbw2012/Kelompok11/uploads/BAb%2003%20Solusi%20Persamaan%20Nirlanjar.pdf , diakses tanggal 12 Maret 2013. http://www.mdp.ac.id/materi/2011-2012-1/TI213/052103/TI213-052103-532-6.ppt, diakses tanggal 12 Maret 2013.
