New.texto.lab.FIS100

FACULTAD DE TECNOLOGÍA

Lab. FÍSICA BÁSICA I

PRACTICA Nº 1 TEORÍA DEL ERROR I PARTE TEÓRICA 1.1 INTRODUCCIÓN

La medición es una técnica por medio del cual se asigna un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. Saber medir, observar y determinar datos, es la base de todo experimento y esto requiere de una práctica, pero también del conocimiento adecuado de los fundamentos de una experiencia, del instrumental que se utiliza y de cuanto puede obtenerse del mismo, es suficiente para que el alumno de física, al intentar verificar verificar lo estudiado o satisfacer una inquietud, pueda llegar a un resultados tan aproximados a los esperados, que no lo desaliente. Para ello se debe debe tomar en cuenta que: en toda medición medición se comete errores, algunos evitables pero otros no, no, errores que pueden ser: mayores mayores o menores según la calidad de los instrumentos y aparatos que se utilice y de la mayor o menor pericia del observador. Lo importante es que se sepa dentro de que limites se encuentra el error cometido, pues de ese modo podrá hacer las comparaciones del caso. ¿Cómo se determina el error de una, medición? Este es el objeto de la TEORÍA DE LOS ERRORES, que se intentara estudiar en esta práctica. También es necesario distinguir entre equivocaciones y errores. El término de equivocación se usara para indicar una falla de medición o de observación, posible de evitar si el observador observador pone cuidado suficiente. suficiente. Ejemplo de equivocación, es escribir un número por otro. En cambio, en la observación más cuidadosa puede aparecer un error, como sería el caso de usar un instrumento que adolece de un error de graduación. No nos interesa aquí la corrección de las equivocaciones, aunque uno de los resultados deseados del adiestramiento en un curso de física experimental, deberá ser la eliminación de los descuidos que dan origen a las equivocaciones. Pero la corrección de las equivocaciones no es inherente al adiestramiento impartido por la física práctica. En cambio forman parte de la física, el estudio de la índole de los errores y su eliminación. 1.2

TEORÍA DEL ERROR PARA MEDICIONES DE UNA SOLA MAGNITUD

1.2.1 ERROR

El resultado de toda medición experimental está afectado por cierto error, es decir, que al realizar una medición experimental sucede que nunca se puede medir exactamente, esto significa que no se conoce el valor verdadero, en consecuencia existe una 1



discrepancia entre el valor medido y el valor verdadero, a esta diferencia se designa con el nombre de ERROR. 1.2.2 CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

Los errores en las mediciones experimentales pueden ser de distinta naturaleza y por esa circunstancia se los clasifica en dos grupos importantes: 1.2.2.1 ERRORES SISTEMÁTICOS O CORREGIBLES

Este tipo de error se caracteriza por mantener invariablemente la magnitud y bajo las mismas condiciones; por ejemplo el retardo del reloj: Los errores sistemáticos o corregibles se clasifican en: a) Errores personales

Se deben a factores humanos y dependen de las limitaciones físicas y también de los hábitos del observador; por ejemplo, una persona puede tener un retardo en la audición o visualización de señales, tendencia a observar las escalas por el lado izquierdo en la estimación de fracciones, etc. b) Errores instrumentales

Estos son efecto de imperfección de construcción o mala calibración de los instrumentos, por ejemplo, las imperfecciones ópticas en un microscopio, uso de baterías agotadas, etc. c) Errores naturales

Estos provienen de fenómenos naturales que inciden directamente en las observaciones o lecturas que se realizan, algunas de estas influencias son por ejemplo, la presión atmosférica, la humedad, etc. 1.2.2.2 ERRORES ACCIDENTALES, CASUALES O FORTUITOS

Hagen desarrolló en 1837, una ley de los errores, conocida como la Ley Normal o Ley de Gauss. Se basa en el supuesto de que en toda medida, el error casual es la suma de un número infinitamente grande de errores pequeños, los cuales tienen igual probabilidad de ser positivos y negativos. La hipótesis de una cantidad muy grande es susceptible de crítica, pues siempre debe aplicarse a un número finito de observaciones; pero el resultado se justifica como una muy buena aproximación. Supongamos que en una serie de observaciones, dN, es el número de veces que los errores tienen valores comprendidos entre x y x+dx. Este numero dN, depende del valor del error, por el cual podemos escribir: dN = f( x)dx

(1.1) 2



esto significa que igualamos el numero dN, a una ordenada media f(x) multiplicada por el intervalo del error

Figura 1.1 Si se representa en forma gráfica N en función de x, el número de errores comprendidos entre los valores OA y OB, quedará representado representado por la superficie superficie sombreado, y f(x), será la ordenada media dentro del intervalo AB. La curva obtenida de esta manera se conoce como curva de distribución o de frecuencia. La determinación de la ley a que obedece el error significa determinar la forma de f(x) y la hipótesis de Hagen conduce al valor de:

∫() 

(1.2)

Dónde: A y h son constantes.

Así mismo la ecuación 1.1, puede escribirse: escribirse:



()

      

() ()

En un caso cualquiera, todos los errores están comprendidos entre positivos como negativos, de suerte que el número total de errores es:

 √  √    √   

  

tanto

Donde el valor de la integral, es:



() 3



Esta es la fracción del número total de errores comprendidos entre los límites x y x+dx; para mayor brevedad, se la denomina probabilidad del error x. En la grafica 1.2, se puede apreciar que los errores cumplen con la ley de Gauss de probabilidades cuya expresión es:

 √  

()

FIG- 1.2

Donde: y=Frecuencia relativa o probabilidad con que ocurre un error “x”

h =Constante que depende del carácter de las determinaciones y es una medida de la precisión. Su valor depende de la magnitud que se representa. x =Valor del error. e =Base de los logaritmos neperianos, i gual a 2.1783……. = Definido como el cociente de la longitud de una circunferencia y su diámetro,



igual a 3.14159……

De la curva representada en la figura 1.2, se deduce que la probabilidad del error nulo es máxima, y que esa probabilidad disminuye rápidamente con la magnitud del error. Existe cierta probabilidad de que aparezcan errores muy grandes, pero es muy reducido. Esto parece contradecir la experiencia, pues en las mediciones físicas, se diría que es imposible incurrir en un error que supere un valor finito. Así por ejemplo al medir una longitud de 10 cm, parece ser absurdo sugerir que exista la probabilidad de registrar 20 cm. Como valor observado. 1.2.3 PREVENCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES SISTEMÁTICOS

Para prevenir estos errores, pueden adoptarse diversas precauciones; por ejemplo:   

Medir la magnitud por distintos métodos. Tratar de invertir el proceso. Cambiar de lugar al observador, etc. 4



Muchos de los cronómetros eléctricos registradores de tiempo han sido diseñados para usarse a frecuencia de 60 Hz., sin embargo, en Bolivia se tiene la frecuencia de 50 Hz... En consecuencia, estos cronómetros se atrasaran continuamente; la corrección se hará multiplicando por 60/50 las lecturas obtenidas. 1.2.4 VALOR MÁS EXACTO Y VALOR MÁS PROBABLE

El valor obtenido en una medición que se aproxima más al valor verdadero, se conoce como el valor más exacto (x’) y depende de la calidad humana, método utilizado e

instrumentos utilizados. La medida aritmética (x), de una serie de mediciones individuales (x i), se conoce como el valor más probable. Si se tiene una serie de valores obtenidos x 1, x 2, x 3,…………….x n, la media aritmética se define como:

  ∑ () ̅         1.2.5 EXACTITUD Y PRECISIÓN

La palabra precisión usualmente tiene el significado de exactitud. En el mundo de las medidas, precisión tiene el significado de inexactitud. En general, los términos exactitud y precisión se aplican a los instrumentos y métodos para caracterizar los resultados números que pueden obtenerse con ellos. a) Exactitud.-

La exactitud se define como la concordancia entre el valor obtenido en una medición (x i) y el valor más exacto. b) Precisión.-

La precisión o incertidumbre de un número, el número de cifras significativas asociadas con la cantidad medida. Por ejemplo, si en una medición se da como 642.5389 ±1%, significa que la incertidumbre es la rededor de 6.4. Entonces, se justifican retener solamente a aquellas cifras en el número que son realmente significativas. En este caso el número debería expresarse como 642 ±1% o 642 ± 6.

5



1.2.6 ERROR ABSOLUTO VERDADERO, ERROR ABSOLUTO APARENTE Y ERROR ABSOLUTO

Si x i, es el resultado de una medición y x’ el valor más exacto de la magnitud medida, se define como error absoluto verdadero de la medición, mediante la siguiente expresión:

 |  | ()

Como no siempre puede conocerse el valor más exacto x’, lo que generalmente se determina es un error absoluto aparente, definido por:

 |  ̅| ()

Se admite como el valor más probable de la magnitud medida, al promedio aritmético de todas las mediciones. El error absoluto de una medición se puede tomar a cualquiera de los dos conceptos definidos anteriormente, con mayor preferencia se considera al error absoluto verdadero como error absoluto si se puede terminar. La definición de error absoluto que más se utiliza en la parte experimental, se define mediante la siguiente expresión.

|̅  |

(1.11)

1.2.7 ERROR RELATIVO VERDADERO, ERROR RELATIVO APARENTE Y ERROR RELATIVO

de una medición se define como la razón del error absoluto y el valor más exacto, sin embargo se puede definir el error relativo aparente como el cociente del error absoluto aparente y el valor más probable, o en su caso el error relativo verdadero como el cociente del error absoluto verdadero y el valor verdadero más exacto y, el error relativo propiamente dicho como el cociente del error absoluto y el valor más probable, es decir: El error relativo “ e’’,

      ()

El error absoluto es una medida de la exactitud; en cambio el error relativo tiene mayor importancia que el error absoluto para juzgar la precisión de una medida. En efecto, afirmar haber cometido un error absoluto de “1 m.” en la medición de una longitud por

ejemplo, nada nos dice respecto al cuidado con que se efectuó si no se aclara cual es el valor de dicha longitud. Un error absoluto de un metro puede estimarse excesivo si la longitud medida es de 10 m. y extraordinariamente pequeña si la longitud medida es de 10 km.

6



El cálculo del error relativo, en cada caso, hará evidente esta conclusión.

    

    

1.2.8 PORCENTAJE DE ERROR RELATIVO

El porcentaje de error relativo o error relativo porcentual es el error relativo multiplicado por cien, es decir:

()

()

1.2.9 DESVIACIONES INDIVIDUALES

Las desviaciones individuales se definen como la diferencia absoluta de los valores observados y el valor más probable, es decir:

 | ̅|

()

1.2.10 DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media de una serie de mediciones, es el cociente de la sumatoria de las desviaciones individuales (di), dividida entre el número de desviaciones.

  ∑ 

()

1.2.11 DESVIACIÓN MEDIA RELATIVA

Se define como la razón entre la desviación media y el valor más probable o media aritmética.

  ̅

()

1.2.12 PORCENTAJE DE LA DESVIACIÓN MEDIA RELATIVA

El porcentaje de la desviación media relativa, es la desviación media multiplicada por cien es decir:

()   ()

7



1.2.13 ERROR PROBABLE O DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Se denomina error probable o desviación estándar al valor cuadrático medio. Para cantidades de observaciones menores que n=30, se define así:

 ∑ ( )      ()

1.2.14 ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARITMÉTICA O ERROR ESTÁNDAR

El error de la media aritmética o error estándar, es igual al error probable dividido por la raíz cuadrada del número de observaciones, esto quiere decir:

 ̅  √ 

()

1.2.15 INTERVALO DE SEGURIDAD

El intervalo de seguridad (Irx ), que debe acompañar a la media aritmética, es el error probable de la media aritmética multiplicada por 3 o 5, y puede ser de dos signos positivo y negativo en razón de que el error estándar lleva estos dos signos. Entonces este será:

  ̅    ̅ ()

El intervalo de seguridad nos indica, entre que limites se encuentra el valor verdadero o también nos señala la desviación de la media respecto del valor verdadero, esto quiere decir:

̅ (    )  ̅    ()

1.3. TEORÍA DE LOS ERRORES PARA MEDICIONES DE UNA SOLA MAGNITUD EN FUNCIÓN DE OTRAS

Se va a realizar este análisis para la determinación del error en que se incurre al calcular una magnitud y que es función otras varias, que se miden. Por ejemplo al, calcular el volumen “V” de un cilindro , midiendo el radio “r” de su base y su altura “h”; o al calcular el perímetro de un triángulo (p= a + b + c), midiendo sus lados “a”,

( )

“b” y “c”.

Sin necesidad de demostración alguna, al menos avisado podrá advertir que si las magnitudes componentes se miden con un cierto error, la magnitud resultante también lo poseerá en mayor o menor grado. ¿Cómo calcularlo?. Es evidente que aquí se deberá considerar una especie de “arrastre” de errores y su estudio, que se emprenderá a 8



continuación, aunque en forma somera y práctica, conduce a la llamada “Le y programación de errores”.

de

1.3.1 LEY DE PROPAGACIÓN DE ERRORES

Dada una función F: F=f( x, y, z……..) Dónde: x, y, z,……….. Son cantidades observadas independientemente. a) Si x, y, z,……………….. son medidos cada cual con un determinado grado de precisión resultante en “F”. b) Si se desea conocer “F” con una determinada precisión. ¿Con que precisión debe medirse cada una de las medidas componente, de modo que el efecto cambiado de todas las desviaciones, no produzca una desviación en “F” mayor el límite

asignado? 1.3.2 DETERMINACIÓN DE LA PRECISIÓN EN EL RESULTADO FINAL CONOCIENDO LA PRECISIÓN DE LAS MEDIDAS COMPONENTES

     

Con relación a la F=f( x, y, z……), sea las funciones de cantidades como x,y, z,.....respectivamente y

los errores estándar de El error en

“F” debido al error de cada componente por separado, es igual a:

Entonces:

            

() () () ()

9



1.4 CUESTIONARIO

1.- Decida cuales de las siguientes mediciones pueden ser clasificadas como directas o indirectas y justifique su decisión; consulte referencias apropiadas para ayudar a la memoria en aquello que sea vago. a) Medición de fuerzas mediante el uso de balanza de resortes. b) Medición del volumen de un líquido mediante una probeta. c) Medición de la presión atmosférica mediante el uso de un barómetro de columna de mercurio. d) Medición de la acidez relativa con papel tornasol. e) Medición de la corriente eléctrica usando un amperímetro f) Medición de una resistencia usando un voltímetro y un amperímetro. g) Medición del diámetro de una moneda usando un calibrador micrométrico del tipo de tornillo. h) Considere cinco mediciones directas y cinco indirectas no mencionadas en este cuestionario.

10



PRACTICA Nº 1 TEORÍA DEL ERROR II PARTE EXPERIMENTAL 1.1 PRUEBA Nº 1 DETERMINACIÓN DE ERRORES EN MEDICIONES DE MAGNITUDES FÍSICAS 1.2 OBJETIVO GENERAL

Determinar el grado de exactitud y precisión de tres instrumentos de medición del tiempo a través de los cronómetros A, B y C, aplicando los conceptos fundamentales de la teoría del error. 1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Tomar 10 lecturas de tiempo para el recorrido de un cuerpo que se mueve una determinada distancia fija, utilizando los cronómetros A, B y C. b) Determinar el valor más probable para cada instrumento de medición del tiempo. c) Aplicar el primer método de la teoría del error, calculando el error absoluto y relativo porcentual, considerando el valor más exacto a aquel valor obtenido de un promedio de lecturas de un cuarto instrumento, para determinar la exactitud de los cronómetros d) Calcular la desviación individual, desviación media y desviación media relativa porcentual para los tres instrumentos de medición y determinar cuál de los tres instrumentos utilizados es el más preciso. Considerar éste procedimiento como el segundo método de la teoría del error. e) Determinar el error más probable, el error más probable de la media aritmética e intervalo de seguridad para acompañar al valor más probable de cada instrumento, y discutir sus cifras significativas para determinar el instrumento más preciso. Considerar éste procedimiento como el tercer método de la teoría del error. f) Tabular los datos y resultados experimentales en las tablas correspondientes. g) Interpretar los resultados y obtener las conclusiones.

11



1.4 ESQUEMA DEL EXPERIMENTO

Figura 1.1 1.5 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA No 1.1 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES C.A. ti( )

Nº

C.B. ti( )

C.C. ti( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

(

)

12



TABLA No 1.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS

t’ = .......................... ( PARÁMETRO

tC.A. =................... (

)

V.M.P.

) V.M.E.

tC.B. =................... (

)

tC.C. =................... (

V.M.P.

)

V.M.P.

Error Absoluto Error Relativo Porcentual e(%) TABLA No 1.3 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS

Nº

di C.A.

di C.B.

di C.C.

(di)2 C.A.

(di)2 C.B.

(di)2 C.C.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

TABLA No 1.4 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS Instrumento

dm

dmr

dmr(%)

C.A. C.B. C.C.

13



TABLA No 1.5 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS Instrumento

r

r

t

r

3

t

t=

t 

3r t

C.A. C.B. C.C.

1.6 DISCUTIR RESULTADOS Y SACAR CONCLUSIONES

14



PRACTICA Nº 2 CINEMÁTICA I PARTE TEÓRICA

La cinemática, es la parte de la mecánica que estudia los aspectos puramente geométricos del movimiento mecánico, entendiendo como movimiento mecánico, al cambio continuo de posición que experimenta un cuerpo con referencia en el tiempo. Sin embargo en la cinemática de partícula, no se toma en cuenta la masa del cuerpo en movimiento ni de las causas que producen dicho movimiento. 2.2 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO Sistema de Referencia: Sistema coordenado respecto al cual se realiza una medición. Móvil: Cuerpo o partícula en movimiento respecto a un sistema de referencia. 2.2.1 TRAYECTORIA

Es aquella línea continua que describe una partícula en movimiento respecto a un sistema de referencia. Si la trayectoria es una línea recta, el movimiento se llama rectilíneo y si es un curva, curvilíneo. 2.2.2 ESPACIO RECORRIDO

Longitud de la trayectoria considerada entre dos puntos. 2.3 DESPLAZAMIENTO ( d )

Es una magnitud vectorial que se define como el cambio de posición efectivo que experimenta una partícula entre dos puntos coincidentes, con respecto a un sistema de referencia. d = r2 – r1

(2.1)

d = ∆r

(2.2)

Donde: r1=Vector posición que ubica la partícula en el punto 1 r2=Vector posición que ubica la partícula en el punto 2 d =Vector desplazamiento. ∆r = Cambio de posición efectivo entre 1 y 2

=d

Fig. 2.1 15



2.4 DISTANCIA (d)

Es una magnitud escalar, que se define como el modulo o tamaño del vector desplazamiento. Su valor no depende de la trayectoria que sigue la partícula, solo es necesario conocer su posición inicial y final. 2.5 ESPACIO RECORRIDO (e)

Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados. 2.6 MEDIDAS DEL MOVIMIENTO 2.7 VELOCIDAD MEDIA ( v )

Es una magnitud física vectorial que se define como el cambio de posición (desplazamiento) que experimenta una partícula, entre el intervalo de tiempo en el que sucedió dicho desplazamiento.

⃗ ⃗ ⃗ 

(2.3)

  

(2.4)

Rapidez de la velocidad media: Se llama rapidez a la magnitud escalar de la velocidad media

2.8 VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad instantánea se define como el límite del cociente ∆ x /∆t, cuando ∆t tiende a

cero, matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

⃗  



RAPIDEZ DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA



2.9 ACELERACIÓN MEDIA ( )

   

Es una magnitud física vectorial, que se define como el incremento (aumento o disminución) de velocidad en el incremento de tiempo.

    

() 16



Dónde:

⃗⃗

= Vector aceleración media. = Incremento de velocidad.

∆t = Incremento de tiempo.

2.10 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA.

El vector de aceleración instantánea, se define como:

⃗ ⃗⃗



        2   ∆t dt dt

()



Esto es, la aceleración de una partícula en un instante cualquiera es igual al tiempo t, es el valor límite de ∆ /∆t, en este tiempo t, cuando ∆t tiende hacia cero. Cuando la aceleración es constante, la aceleración instantánea es igual a la aceleración media. Rapidez de la aceleración instantánea:

()



       

 

 





2.11 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

Es aquel movimiento rectilíneo sobre el cual los espacios recorridos por el móvil son directamente proporcionales a los intervalos de tiempo empleados; es decir, en tiempos iguales recorre espacios iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad constante y aceleración nula. La magnitud de la velocidad en el plano horizontal, se calcula por la  =

ecuación:



t

(2.9)

2.11.1 GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME a) Desplazamiento en función del tiempo

Esta gráfica muestra la posición del móvil en cada instante de tiempo.

Graf.- 2. 2 17



* La pendiente de la recta nos indica la velocidad constante del móvil.



endiente=

o  =

 



(2.9)

(2.10)

* La recta corta con el eje de las ordenadas ( x o), es un punto que nos indica la posición inicial del móvil para un tiempo t o = 0. b) Rapidez en función del tiempo

Graf.- 2. 3 Esta gráfica nos muestra la velocidad del móvil en cada instante de tiempo. * El área bajo la recta de la gráfica 2.3, es igual a la recorrida por el móvil A = Distancia recorrida. 

En general, el área bajo la recta de la gráfica 2.3, es igual al cambio de posición que experimenta el móvil en un intervalo de tiempo en un eje. t1

t2 x

x 1

A = x 2 - x 1

x 2

(2.11)

18



2.12 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

El movimiento rectilíneo uniformemente variado, es aquel movimiento en el cual su velocidad cambia en módulo, aumentando o disminuyendo progresivamente, por lo que los espacios recorridos en tiempos iguales serán diferentes, por consiguiente el móvil se mueve con aceleración constante. Nº

ECUACIÓN

CONTIENE

x

v

a

t

( 2.12 )

v = v 0 + a t

x

√

√

√

( 2.13 )

x = ½(v 0 + v)t

√

√

x

√

( 2.14 )

x = v 0t + ½ a t2

√

√

√

√

( 2.15 )

v 2 = v 2 + 2ax

√

√

√

x

0

2.12.1. GRÁFICAS DEL (M.R.U.V.) a) Desplazamiento en función del tiempo

Esta gráfica, muestra la relación de la posición del móvil en cada instante de tiempo.

Gráf.- 2.4

19



* La curva de la gráfica 2.4 es una parábola, representa a la ecuación ( 2.14 ) que es de segundo grado en la variable t. x = v 0t + ½ a t2

* La pendiente, de la recta tangente trazada en cualquier punto de la curva, es igual a la velocidad de la partícula en un instante de tiempo.





b) Velocidad en función del tiempo



(2.16)

Muestra gráficamente la relación entre la rapidez que tiene el móvil en cada instante de tiempo.

Gráf.- 2. 5

* La pendiente de la recta es igual a la rapidez de la aceleración constante del móvil. a = tg θ

o

 



(2.17)

(2.18)

* El área bajo la recta de la gráfica 2.5, es igual a la distancia recorrida por la partícula en un intervalo de tiempo. * En general, el área bajo la recta de la gráfica 2.5, es igual al cambio de posición que experimenta la partícula, en un intervalo de tiempo, en un eje de coordenadas lineal. t1

t2 x

x 1

A = x 2 - x 1

x 2

(2.19) 20



c) Aceleración en función del tiempo

Se muestra gráficamente la relación, entre la aceleración que tiene el móvil en cada instante.

Gráfica 2.6

* Si la aceleración es constante, la recta de la gráfica aceleración en función del tiempo es paralela al eje de las abscisas. * El área bajo la recta de la gráfica 2.6, es igual al cambio de velocidad que experimenta el móvil en un instante de tiempo. A = v - v 0 = a t

(2.20)

2.13 VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V.

La rapidez media, cuando la aceleración es constante, también se expresa por:





  

2

(2.21)

La rapidez media, es aquella rapidez constante que debe tener un móvil, para recorrer la misma distancia en el mismo intervalo de tiempo, que otro móvil que tiene misma aceleración constante. 2.14 CUESTIONARIO

1. La Velocidad media y la velocidad instantánea en general son cantidades diferentes. Podrían ser iguales para él: a) Movimiento uniformemente variado. b) Movimiento uniformemente acelerado rectilíneo. c) Movimiento uniforme rectilíneo. d) Movimiento uniformemente retardado rectilíneo. e) Ninguno de los anteriores.

21



2. Se observó la posición de un carrito de carreras de madera en diferentes instantes y los resultados se resumen en la siguiente tabla: x (m)

t (s)

0 0

2.3 1.0

9.2 2.0

20.7 3.0

36.8 4.0

57.5 5.0

Encontrar la velocidad media del carrito para: a) El primer segundo. b) Los últimos 3 segundos. c) Todo el intervalo de observación. 3. Con base en la figura, determinar: a) La velocidad media entre t = 2.0 s y t = 4.5 s. b) La velocidad instantánea en t =2.5 s.

4. Un automóvil que viaja con una rapidez inicial v 0, se para en un intervalo de tiempo ∆t. Si la desaceleración durante este intervalo ∆t es constante. ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es correcta para dicho intervalo?. a) La velocidad del automóvil es constante. b) El desplazamiento del automóvil disminuye uniformemente. c) La velocidad del automóvil disminuye uniformemente. d) El movimiento del automóvil corresponde a un movimiento uniforme. e) La aceleración del automóvil es negativa. 22



5. En la figura, se muestra la gráfica velocidad - tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje x . a) Trace una gráfica de la aceleración en función del tiempo; b) Determine la aceleración media del objeto en los intervalos de t = 5 s a t = 15 s y de t = 0 s a t = 20 s.

6. En 1991, Carl Lewis aventajó a Leroy Burrel en los campeonatos mundiales de Tokio, y estableció una nueva marca mundial de los 100 m. planos. En la tabla siguiente aparecen los tiempos parciales parciales de los dos, a intervalos de 10 m. Calcule la velocidad media de Lewis entre 0 y 50 m., 50 y 100 10 0 m. y 0 y 100 m. Distancia (m) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tiempo (s) Lewis 1.88 2.96 3.88 4.77 5.61 6.46 7.30 8.13 9.00 9.86

Burrel 1.83 2.89 3.79 4.68 5.55 6.41 7.28 8.12 9.01 9.88 23



PRACTICA Nº 2 CINEMÁTICA I II PARTE EXPERIMENTAL 2.1.1 PRUEBA Nº 1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 2.1.2 OBJETIVO GENERAL

Verificar que el movimiento de un cuerpo que se mueve sobre una riel, corresponde al movimiento rectilíneo uniforme. 2.1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Encontrar la velocidad media del cuerpo en movimiento, a partir de los datos obtenidos de tiempo y desplazamiento con el sensor de movimiento. mo vimiento. b) Calcular la velocidad media promedio a partir de los resultados obtenidos anteriormente, resultado que viene a ser la velocidad v elocidad media experimental (V.M.P.). c) Graficar el suceso desplazamiento versus tiempo, para encontrar la curva experimental y determinar el tipo de curva. d) Aplicar la regresión lineal a la curva de la gráfica anterior para ajustar y determinar la pendiente de la recta ajustada, la misma que representa la velocidad media analítica (V.M.E.). e) Comparar los resultados de velocidad media experimental y velocidad media analítica a través del error absoluto y relativo porcentual. f) Graficar el suceso velocidad media analítica versus tiempo, calcular el área debajo de la recta el mismo que representa el desplazamiento total analítico realizado por el cuerpo en movimiento. g) Comparar los resultados resultados de desplazamiento total experimental experimental y desplazamiento desplazamiento total analítico a través del error absoluto y relativo porcentual. h) Discutir resultados y sacar conclusiones.

24



2.1.4 ESQUEMA DEL EXPERIMENTO

Figura 2.1 2.1.5 TABULACIÓN DE DATOS, RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA TAB LA No 2.1.1 2.1 .1 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS RESULTADOS EXPERIME EXPERIMENTALES NTALES Tiempo ) ti ( Desplazamiento x i ( ) Velocidad Velocidad ) v i ( 2.1.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS EXPERIMENTALES EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS PARÁMETRO ( (

v x

RESULTADOS EXPERIMENTALES

RESULTADOS ANALÍTICOS

ε

e(%)

) )

2.2.6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

25



PRACTICA Nº 3 CAÍDA LIBRE I PARTE TEÓRICA 3.1 INTRODUCCIÓN Se conoce que todos los objetos al soltarse caen hacia la superficie de la tierra con una aceleración casi constante que es igual a la aceleración de la gravedad.

En el caso ideal, donde la resistencia del aire se desprecia, el movimiento de este tipo, se conoce como caída libre. Si este mismo experimento se llevara a cabo en un buen vacío, donde el rozamiento del aire realmente es despreciable, se observa que dos cuerpos de diferentes pesos, al dejarlo caer simultáneamente desde una misma altura, chocan contra el piso casi al mismo tiempo (prueba de galileo Galilei). La rapidez de la aceleración debido a la gravedad se denotara por medio del símbolo “ g”

cuya magnitud disminuye al aumentar la altitud y presenta ligeras variaciones con la latitud. El vector  dirigido hacia el centro de la Tierra y su magnitud en la superficie de la Tierra es aproximadamente 9.80 m/s2 en el S.I. y Técnico, 980 cm/s 2 en el C.G.S y 32.2 ft/s2 en los sistemas Ingles e Inglés Técnico.



3.2 DEFINICIÓN CONDICIONES PARA EL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE

Un objeto lanzado hacia arriba (o hacia abajo) experimenta la misma aceleración que uno liberado desde el reposo. Una vez que se encuentran en caída libre todos los objetos tendrán una aceleración hacia abajo igual a la aceleración debido a la gravedad. La caída libre de un cuerpo en general, se estudia considerando las siguientes condiciones: a) Se desprecia la resistencia del aire. b) Se efectúa independientemente de la forma, tamaño y peso del cuerpo. c) No actúan fuerzas externas, únicamente la fuerza de la gravedad. d) La aceleración es aproximadamente igual a la gravedad. e) El movimiento es siempre vertical respecto de la superficie de la tierra. a = - g constante

Se aplica a variaciones de altura relativamente pequeñas. 26



3.3 ECUACIONES PARA CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS Las diversas relaciones útiles, válidas para caída libre de los cuerpos son: v = v 0 - g t

(3.1)

y= ½(v 0 + v)t

(3.2)

y = v 0t - ½ g t2

(3.3)

v 2 = v 2 - 2g y

(3.4)

0

Sin embargo se tiene que tomar en cuenta que para aplicar las ecuaciones planteadas, se debe especificar un punto origen, una dirección positiva (hacia arriba) y la asignación de un sistema coordenado adecuado. 3.4 ECUACIONES EMPÍRICAS PARA EL CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

Para la determinación de la aceleración de la gravedad en un cualquier punto de la tierra respecto del nivel del mar, se utiliza la ecuación empírica:

  ( )

(3.5)

Dónde: = Aceleración de la gravedad en función de la altura en un punto de la tierra respecto del nivel del mar. gh

g0

= Aceleración de la gravedad al nivel del mar.

r = Radio promedio terrestre. h= Altura del lugar, considerando como referencia el nivel del mar. La aceleración de la gravedad en cualquier punto de la tierra, se puede determinar considerando la latitud terrestre utilizando la siguiente ecuación:



=978.049 (1+0.005284 sen2 -0.0000059 sen2

gL

Dónde:



)

(3.6)

= Aceleración de la gravedad en función de la latitud del lugar.

gL



Latitud del lugar.

27



3.5 EFECTOS DE LA RESISTENCIA DEL AIRE EN CAÍDA LIBRE

a) Relación de masa, si la masa del cuerpo en caída libre es muy grande comparado con la del aire, la resistencia que ofrece el aire es despreciable. b) Área expuesta, cuanto mayor sea el área expuesta del cuerpo en movimiento, como es el caso de la hoja de papel, mayor es la resistencia del aire. c) Velocidad, todos hemos sentido que el aire nos golpea con mayor fuerza mientras corremos con mayor velocidad en él, entonces, para velocidades bastante elevadas la resistencia del aire ya no es despreciable. 3.5 CUESTIONARIO

1. Se lanza una pelota de futbol en el aire verticalmente hacia arriba. ¿Cuándo es mayor su aceleración: en el momento de lanzarla o una vez lanzada? 2. a) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con la misma rapidez inicial en un mundo en el que la aceleración de la gravedad es el doble que la de la Tierra. ¿Cómo compara la altura a la que sube, respecto de la que subiría en la Tierra? b) ¿Cuál sería el cambio que ocurriría si se duplicara la velocidad inicial? 3. Una piedra se arroja hacia arriba y alcanza una altura H antes de caer de nuevo el piso T segundos después. Su velocidad media durante el intervalo de tiempo es: a) Cero

b) H/2T

c)

H/T

d)

2H/T

4. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba, alcanza su punto más alto y regresa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La aceleración siempre está en la dirección del movimiento. b) La aceleración siempre se opone a la velocidad. c) La aceleración siempre está dirigida hacia abajo. d) La aceleración siempre está dirigida hacia arriba. 5. Un objeto se deja caer desde el reposo. Durante el primer segundo cae una distancia S1 y una distancia adicional S 2 en el siguiente segundo; la relación S2 a S1 es: a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

28



PRACTICA Nº 3 CAÍDA LIBRE II PARTE EXPERIMENTAL 3.1 PRUEBA No. 1 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD 3.2 OBJETIVO GENERAL

Determinación de la aceleración de la gravedad en la ciudad de Sucre a través de tres métodos: experimental, analítica y empírica. 3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Medir experimentalmente, tiempos y desplazamientos de un cuerpo en caída libre. b) Calcular a partir de los datos experimentales, las aceleraciones de la gravedad, velocidades iníciales y velocidades finales, aplicando las ecuaciones de caída libre. c) Calcular la aceleración de la gravedad promedio a partir de los resultados obtenidos anteriormente, resultado que se conocerá como la aceleración de la gravedad media experimental (V.M.P.). d) Graficar el suceso velocidad final versus tiempo, para encontrar la curva experimental y determinar el tipo de curva. e) Aplicar la regresión lineal a la curva de la gráfica anterior para ajustar y determinar la pendiente de la recta ajustada, la misma que representa la aceleración de la gravedad analítica (V.M.P.). f) Determinar la aceleración de la gravedad empírica a través de la ecuación (3.6), tomando en cuenta la latitud del lugar, este resultado representa la aceleración de la gravedad teórica obtenida en el lugar de la prueba (V.M.E.). g) Comparar los resultados de la aceleración de la gravedad experimental respecto a la aceleración de la gravedad teórica y la aceleración de la gravedad analítica respecto a la aceleración de la gravedad teórica a través del error absoluto y relativo porcentual. h) Discutir resultados y sacar conclusiones.

29




Figura 3.1 3.5 TABULACIÓN DE DATOS, RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA No 3.1 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES yi (

ti (

) )

(

)

v i ( v i ( 0

)

f

)

g i

TABLA No 3.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS =……………………...... ( g ) ε Teórica

g Exp.

= ………………..…….. (

)

g Analít.

= …………..………….. (

)

e(%)

3.6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

30



PRACTICA Nº 4 MOVIMIENTO PARABÓLICO I PARTE TEÓRICA 4.1 INTRODUCCIÓN

Una pelota arrojada horizontalmente, una bola disparada hacia un blanco distante y una bomba que se deja caer desde un avión, siguen la trayectoria descrita por galileo como una parábola. Como cada uno de los objetos experimenta una aceleración hacia abajo, solo la componente vertical de la velocidad cambia cuando transcurre el tiempo, la componente horizontal de la velocidad permanece constante. 4.2 DEFINICIÓN

El movimiento parabólico, es aquel movimiento compuesto cuya trayectoria es la de una línea curva de forma parabólica, considerada como la composición de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme, y un movimiento vertical uniformemente variado por la acción de la aceleración de la gravedad (retardado en la primera parte y acelerado en la segunda parte, en el trayecto AB y BC respectivamente). 4.3 CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO

El movimiento parabólico de un cuerpo en general, se estudia considerando las siguientes características como muestra la figura 4.1. a) FORMA DE LA TRAYECTORIA: Parabólica

Figura 4.1 b) VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO HORIZONTAL

El movimiento es: Uniforme Rectilíneo   =  =Constante

(1) 31



De la figura 4.1



  = 

Reemplazar (1) en (2):   = 



(2)



(4.1)



c) VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO VERTICAL: Uniformemente Variado

1) Velocidad vertical inicial: De la fig. 4.1   =  





(1)

Velocidad vertical en un punto cualquiera de la trayectoria parabólica:   =  - t

Reemplazando (1) en (2)   =  

(2)



- t



(4.2)

De la ecuación (4.2), se debe tomar en cuenta, que el valor negativo de  implica que el proyectil está en descenso en la trayectoria parabólica, y para un valor positivo de  , indica que el proyectil esta en ascenso. 



4.3 ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO PARABÓLICO DE LOS CUERPOS a) Desplazamiento horizontal

  

  = 



= Constante (1)

 =  t   = 

Reemplazar (3) en (2)  = 

b) Desplazamiento vertical

(2) (3)





t

(4.3)

Como el movimiento vertical es uniforme variado tenemos: =  t

 

- t

 

 = 



(1) (2) 32



Reemplazando (2) en (1)

 

= 



 

t - t

c) Ecuación de la trayectoria parabólica

(4.4)

De la ecuación (4.3)

=

d) Tiempo de vuelo

(1)

 2

-

= 

t=



 

En la ecuación (4.4),  = 0, se tiene:

Despejando el tiempo t de (1):



   

t=   Reemplazando (1) en (4.4) se tiene:

 

 



 

t - t

   



(4.5)

(1)

(4.6)





e) Alcance horizontal máximo “R” o “x máx”

Remplazando ecuación (4.6) en (4.3) se obtiene:  máx =

 2

  2





(4.7)

f) Altura máxima “h” o “ymáx”

De la ecuación (4.2) v y = 0, se tiene:

    sen

Despejando de la ecuación (1), el tiempo t: t



  sen 



– t

 

(1)

(2)

Reemplazando ecuación (2) en (4.4): máx =

 

 





(4.8) 33



4.4 LIMITACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES

a) Altura a la que se eleva el proyectil no debe ser demasiado elevada, caso contrario es necesario considerar la variación de “ g” con la altura.

b) La velocidad de disparo del proyectil, no debe ser demasiado alta, caso contrario el proyectil gira alrededor de la tierra en una trayectoria elíptica. c) El alcance horizontal debe ser lo suficiente corto para no tomar en cuenta la curvatura de la tierra. d) Cuando el proyectil regrese al plano de lanzamiento, el ángulo que forma con dicho plano es igual al ángulo de lanzamiento. e) La velocidad con que el proyectil regresa al nivel del plano de lanzamiento es igual a la velocidad con que salió de disparo. f) La magnitud del vector velocidad en un instante cualquiera tiene un valor de:

    

 =





(4.9)

El ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal en ese instante está dado por:

 

=

   

(4.10)

4.5 CUESTIONARIO

1. A medida que un proyectil se mueve sobre su trayectoria parabólica existe algún punto a lo largo de su trayectoria en donde la velocidad y la aceleración sean: a) ¿Perpendiculares?; b) ¿Paralelas una a otra? 2. Se dispara un proyectil con un cierto ángulo respecto de la horizontal con una rapidez v 0, despreciando la resistencia del aire. ¿El proyectil es un cuerpo en caída libre?. ¿Cuál es su aceleración en la dirección vertical. ¿Cuál es su aceleración en la dirección horizontal? 3. Se lanza un proyectil sobre la tierra con alguna velocidad inicial. Se lanza otro proyectil sobre la luna con la misma velocidad inicial, despreciando la resistencia del aire en la tierra. ¿Qué proyectil tiene un alcance mayor?. ¿Cuál alcanza una altura mayor?. (Note que la aceleración debida a la gravedad en la luna es de 1.6 m/s 2). 4. A medida que un proyectil se mueve a través de su trayectoria parabólica. ¿Qué cantidad si las hay, permanecen constantes?: a) velocidad; b) aceleración; c) componente horizontal de la velocidad; d) componente vertical de la velocidad.

34



5. Una persona deja caer una cuchara sobre un tren que se mueve con velocidad r constante. ¿Cuál es la aceleración de la cuchara respecto: a) del tren; b) de la, tierra?. 6. Si un saltador puede darse a sí mismo idéntica rapidez inicial, prescindiendo de la dirección en que salta (hacia adelante o recto hacia arriba). ¿En qué relación estará su salto vertical máximo (altura del salto) con su salto horizontal máximo (anchura del salto)?.

̂

35



PRACTICA Nº 4 MOVIMIENTO PARABÓLICO II PARTE EXPERIMENTAL 4.1 PRUEBA Nº 1 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL ALCANCE Y ALTURA MÁXIMA DE UN PROYECTIL 4.2 OBJETIVO GENERAL

Comprobar que, proyectiles lanzados con una misma velocidad, con ángulos de lanzamiento de 30° y 60°, logran el mismo alcance máximo; del mismo modo, verificar que un proyectil lanzado con un ángulo de 45° logra el mayor alcance horizontal y un proyectil lanzado con un ángulo de 60°, logra una altura máxima de tres veces más que otro, lanzado con un ángulo de 30°. 4.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Determinar experimentalmente el alcance máximo horizontal para proyectiles que son lanzados con una velocidad inicial y ángulos de lanzamiento b) Calcular la velocidad inicial para proyectiles que son lanzados con ángulos de 30 o, 45o, 60o, aplicando las ecuaciones correspondientes y determinar el promedio de las mismas. c) Determinar el tiempo de vuelo para ángulos de lanzamiento 30°, 45° y 60°. d) Calcular analíticamente el tiempo de vuelo para los mencionados ángulos de lanzamiento, aplicando la velocidad inicial promedio. e) Calcular con valores de tiempo ti, la velocidad en la dirección horizontal y vertical, la velocidad resultante en cada uno de los nueve puntos y su respectiva dirección, además de la distancia horizontal y vertical. f) Graficar el suceso alcance vertical vs alcance horizontal para los tres ángulos de lanzamiento e interpretar los mismos. g) Graficar el suceso velocidad en la dirección horizontal vs tiempo y velocidad en la dirección vertical vs tiempo y encontrar el área debajo de cada curva e interpretar las mismas. h) Comparar alcances horizontales y alturas máximas obtenidas experimental y analíticamente, para los tres ángulos de lanzamiento. i) Discutir resultados y sacar conclusiones.

36




Figura 4.2 4.5 TABULACIÓN DE DATOS, RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA No 4.1 TABULACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES ngulo de lanzamiento ) 0 ( 30

(

R máx



)

(

máx

)

(

v 0

)

(

t v

)

45 60

37



TABLA No 4.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS 0

= 30

(

s )

(

ti

v x i v yi

(

v i

(

i

(

x i

(

yi

(

v = ……........…….(

º

0

0.058

0.116

0.174

0.232

)

0.290

t v = …….....…….(

0.348

0.406

)

0.464

) ) ) ) ) )


= 45

(

s )

( ( ( ( ( (

v = ……........…….(

º

ti

v x i v yi v i i

x i yi

0

0.082

0.164

0.246

0.328

)

0.410

t v = …….....…….(

0.492

0.574

)

0.656

) ) ) ) ) )

38




= 45

(

s )

( ( ( ( ( (

v = ……........…….(

º

0

ti

v x i v yi v i i

x i yi

0.082

0.164

0.246

0.328

)

0.410

t v = …….....…….(

0.492

0.574

)

0.656

) ) ) ) ) )

TABLA No 4.5 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS (

0

)

(

R Exp.

)

R Analít. ( )

e%

30 45 60

TABLA No 4.6 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS (

0

)

(

yExp.

y Analít. )

(

)

e%

30 45 60

39



PRACTICA Nº 5 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN I PARTE TEÓRICA 5.1 INTRODUCCIÓN

En nuestra vida diaria existe un sin número de cuerpos que poseen movimiento de rotación, algunos ejemplos son movimiento de ejes, poleas, discos, electrones alrededor del núcleo atómico, inclusive el movimiento de los planetas alrededor del sol pueden simplificarse al caso del movimiento rotacional. 5.2 DESPLAZAMIENTO ANGULAR

Figura 5.1

En cinemática circular la partícula, la posición angular se indica mediante el radio R, y el ángulo respecto a un eje. Así la Fig. 5.1 muestra que en un tiempo t1, la posición angular es para un instante posterior t2, la posición es . El modulo del desplazamiento angular entre los tiempos t1 y t2 resulta entonces: = -

(5.1)

Donde se miden en radianes. 5.3 RADIAN

En general el radian se define como el cociente del arco S entre el radio R de la circunferencia, como se observa en la figura 5.2.

40



Figura 5.2

En particular cuando el arco es igual al radio, S = R, el ángulo es igual a un radian. s  = = =1 adián 

(5.2)



Un análisis dimensional, nos indica que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional.

[]   [ ] =

m = m

=dimensional

Finalmente, dado que el perímetro de una circunferencia es 2 R, se concluye que el ángulo de una vuelta completa medido en radianes, es: 360º = 2  rad; =180º y 1 rad= 57.296º 5.4 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA



La magnitud de velocidad angular media , es el cociente del desplazamiento angular neto, =  -  entre el tiempo total trascurrido t= t2 - t1 (ver Fig. 5.1), entonces:



=

 2 -1 = t t2 -t1

(5.3)

   

Consecuentemente, la velocidad angular, es el límite al que tiende la velocidad media cuando el tiempo trascurrido t, tiende a cero.

 [ ]       = lim

Sus unidades de medida en el S.I. son:

=

= lim

 t

=

rad s

 t

(5.4)

= s- 1

Suele emplearse también r.p.m.= revoluciones/minuto como unidad de la velocidad angular. 41



5.5 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

El movimiento circular uniforme es cuando una partícula describe ángulos iguales en tiempos iguales. La ecuación que rige el movimiento circular uniformé, se deduce considerando que para este tipo de movimiento, la velocidad angular media e instantánea son iguales. Eligiendo la posición y tiempos iniciales iguales a cero: Si 1 = 0 ; t1 = 0, los valores finales de entonces la ecuación (5.3) toma la forma:



2

y t2 adoptan valores genéricos de:



= t

y t;

(5.5)



De esta ecuación  = *t, es la ecuación que calcula el ángulo barrido por una partícula que rota con una velocidad angular constante durante un tiempo t.



5.6 MOVIMIENTO CIRCULAR VARIADO

Se presenta cuando la velocidad angular cambia, al trascurrir el tiempo, se dice entonces que existe una aceleración angular. 5.7 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA

Figura 5.3

Sean 1 y 2, velocidades angulares instantáneas para los tiempos t1 y t2 respectivamente (Fig. 5.3), la aceleración angular media se define como el cociente del cambio neto de velocidad angular, =  -  entre el tiempo total trascurrido t= t2 - t1



=





 

  



=

 

(5.6)

42



La aceleración angula instantánea, , es el límite al que tiende la aceleración angular media cuando t tiende a cero.

  

= lim

= lim

 t

(5.7)

En el sistema internacional, las unidades de la aceleración angular son:

=

  

=



rad s

s

=

rad s2

=

s-2



5.8 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

Es aquel movimiento donde la aceleración angular no cambia al trascurrir el tiempo es decir  = cte. Las ecuaciones que describen el movimiento circular uniformemente variado o acelerado tienen una correspondencia entre las variables del movimiento rectilíneo y las del movimiento circular. 5.8.1

CORRESPONDENCIA DE RECTILÍNEO Y CIRCULAR VARIABLES

Desplazamiento Velocidad Aceleración Tiempo

LAS

VARIABLES

DEL

MOVIMIENTO RECTILÍNEO x v a

MOVIMIENTO CIRCULAR

t

t

  

MOVIMIENTO ANALOGÍAS x =R v =R a =R

t

En consecuencia también existirá una correspondencia entre las ecuaciones de ambos tipos de movimiento. 5.8.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAR CON ACELERACIÓN CONSTANTE MOVIMIENTO CIRCULAR

(5.8)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO v = v 0 + a t

(5.9)

x = ½(v 0 + v)t

 = ½( 0 +  )t

(5.10)

x = v 0t + ½ a t2

 = 0 t + ½ t2

(5.11)

v 2 = v 2 + 2ax

2 = 0 2 + 2

Nº

0

 = 0 + t

43



5.9 ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

En el movimiento circular uniforme la magnitud de la velocidad lineal es numéricamente constante, pero no así su vector velocidad, puesto que su dirección se va modificando instante a instante y punto por punto por la presencia de la aceleración, denominada aceleración normal. 5.10 COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR VARIADO

Si el movimiento circular es variado, el vector velocidad v sufre un cambio de dirección y modulo, entonces, la partícula en movimiento experimentara una aceleración y tangencial. 5.10.1 ACELERACIÓN NORMAL

Un cambio de dirección en el vector velocidad v en el movimiento circular, da lugar a la aceleración normal o centrípeta cuya dirección está dirigida al centro de la trayectoria y su magnitud esta dad por la aceleración: = 

(5.12)

 =2 

(5.13)

2

o

5.10.2 ACELERACIÓN TANGENCIAL

La aceleración tangencial en el movimiento circular se debe al cambio en la magnitud del vector velocidad, cuya ecuación es:  = 

(5.14)

La magnitud de la aceleración resultante en el movimiento circular variado se obtiene a través de la ecuación: 5.11 CUESTIONARIO



=√ 2 2

(5.15)

1. En el movimiento circular uniforme ¿Cuál es la velocidad media en una revolución?, ¿y la aceleración media?, de una partícula que se mueve alrededor de un círculo de radio igual a 1 m. 2. En el movimiento circular uniforme la aceleración es perpendicular a la velocidad en cada instante, incluso aunque ambas cambien de dirección continuamente ¿existe 44



algún otro movimiento con esta propiedad, o es el movimiento circular uniforme el único? 3. Una masa pequeña se coloca sobre una tornamesa que gira a 45 r.p.m., la aceleración de la masa es: a) Tanto mayor cuando más cerca está la masa del centro de la mesa b) Tanto mayor cuando más lejos está la masa del centro de la mesa. c) Independientemente de la localización de la mesa. d) Cero. 4. Una rueda está sujeta a la aceleración angular uniforme alrededor de su eje. Inicialmente su velocidad angular es cero. En los primero 2 segundos gira un ángulo 1, en los siguientes 2 segundos gira un ángulo extra 2 La relación 2 / 1, es: a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

5. La velocidad angular de la rotación terrestre sobre su eje es: a) 12/  rad/h

b) 48/  rad/h

c)  rad/h

d) 0.5 grados/min

6. ¿Por qué el lodo sale volando hacia afuera de una rueda que gira rápido?

45



PRACTICA Nº 5 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN II PARTE EXPERIMENTAL 5.1 PRUEBA Nº 1 MOVIMIENTO ROTACIONAL UNIFORME 5.2 OBJETIVO GENERAL

Determinar experimentalmente las relaciones del movimiento rotacional uniforme para un conjunto de poleas relacionadas mediante correas, las mismas que se mueven con velocidades angulares distintas y con movimiento rotacional uniforme, y demostrando la correspondencia existente entre el movimiento traslacional y rotacional. 5.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Determinar tiempos y desplazamiento angular en el equipo de experimentación para calcular la velocidad angular de la primera polea. b) Determinar tiempos y desplazamiento angular en el equipo de experimentación para calcular la velocidad angular de la última polea y considerar este valor como el valor más probable. b) Medir los radios de las diferentes poleas que se tiene en el equipo de experimentación. c) Aplicar las analogías entre el movimiento traslacional y rotacional para calcular velocidades lineales y angulares en cada una de las poleas del equipo de experimentación. d) Calcular la velocidad angular de la polea de radio 6 a partir del cumplimiento del objetivo anterior y considerar a este como el valor más exacto. e) Comparar resultados experimentales y analíticos a través del error absoluto y relativo porcentual y sacar conclusiones.

46




Figura 5.4 TABLA 5.5 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA 5.1. TABULACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES

R1 (

R2 )

(

R3 )

(

R4 )

(

R5 )

(

R6 )

(

)

TABLA 5.1. TABULACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES

t1

1

(

)

(

)

1

(

t6

6

)

(

)

(

)

6

(

)

47



TABLA 5.3 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS VELOCIDAD ANGULAR

6 ex . =………………..….……..( 6, Analít=………………..….……..(

e% ) )


48



PRACTICA Nº 6 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA Y CUERPO RÍGIDO I PARTE TEÓRICA 6.1 INTRODUCCIÓN

Para ganar mayor habilidad en la manipulación de los vectores (fuerzas), estudiaremos ahora la composición de las fuerzas, y en particular el equilibrio de ellas, siendo este un problema de gran aplicación en la ingeniería. Los vectores fuerza deben estar ubicados en el plano coordenado rectangular para su estudio y manejo operacional de los mismos. 6.2 FUERZA

Las fuerzas hacen que un cuerpo se mueva, detenga, cambie de dirección, se alargue, se doble, se rompa o cambie de forma. Por lo señalado se puede decir: que fuerza es una magnitud vectorial capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo, o de producir una deformación. 6.3 VECTOR MOMENTO O TORQUE

El momento de una fuerza o momento de torsión, es una magnitud física vectorial que tiende a hacer girar un cuerpo alrededor de algún eje definido como punto de referencia. La expresión matemática del torque será: Si: y



=r sen

 

(6.1)

=rsen

Entonces: =b

(6.2)

Donde:  = Vector momento o torque. F = Fuerza efectiva aplicada al cuerpo. b = Brazo de momento o brazo de palanca 6.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE O DIAGRAMA DE CUERPOS

Es un gráfico que nos permite identificar todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es decir, identificar el sentido y dirección de las fuerzas que actúan sobre ellas. Cuando 49



un sistema contiene más de un elemento, es importante que se construya un diagrama de cuerpo libre de cada uno de los elementos. Los problemas referidos a estática y dinámica se resuelven realizando un diagrama de cuerpo libre. 6.5 PRIMERA LEY DE NEWTON

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o de movimiento uniforme en una línea recta a menos que se vea forzada al cambio debido a fuerzas que se le apliquen. 6.6 PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

Si varias fuerzas actúan al mismo tiempo, el equilibrio solo requiere que la fuerza neta, esto es, la suma vectorial de las distintas fuerzas sea cero.



(6.3)

  

(6.4)

∑  = 

Cuando las fuerzas se descomponen en sus componentes rectangulares en el espacio se tiene: ∑  =  =  ∑   =  



6.7 SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

Para estar en equilibrio el cuerpo no va existir la tendencia a girar alrededor de ningún eje de giro; por consiguiente, la suma de los momentos será nula, con independencia del eje elegido. ∑  = 

(6.5)

6.8 TERCERA LEY DE NEWTON

A cada acción siempre se opone una reacción, o, las acciones mutuas de dos cuerpos entre si siempre son iguales y se dirigen en sentidos opuestos y de la misma magnitud, esto es: F  = - F

(6.6)

6.9 MASA

Es una propiedad inherente a un cuerpo, y es independiente del medio que lo rodea y del método empleado para medirla, siendo esta una magnitud escalar. 50



6.10 PESO

El peso de un cuerpo es igual a la fuerza gravitacional que actúa sobre él. Cuya relación con la masa es:  =  

(6.7)

6.11 CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto que no siempre está sobre el, donde se supone está actuando la resultante de los pesos de cada partícula del cuerpo. Para el caso de un cuerpo geométrico regular, su centro de gravedad coincide con su centro geométrico, por tanto el peso resultante de un cuerpo. Para determinar el punto de aplicación de la resultante de todos los pesos de cada partícula del cuerpo en el espacio coordenado rectangular respecto del origen está dado por las ecuaciones:

̅

 =

∑∑

     

;

∑  = ∑





  

 

;

6.12 FUERZA DE ROZAMIENTO

̅

 =

∑∑



i  

 

(6.8)

Cuando un cuerpo está en movimiento sobre una superficie, o cuando un objeto se mueve a través de un medio viscoso, existe una resistencia al movimiento debido a la interacción del objeto con el medio que lo rodea. A una fuerza de resistencia de esa naturaleza, se le conoce como fuerza de rozamiento. 6.12.1 FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO

Es la fuerza que evita el movimiento de un cuerpo entre dos superficies que están en contacto, esta fuerza aplicada puede tener los valores de: f s ≤ s*N

(6.9)

Dónde: f s = Magnitud fuerza de rozamiento estático

s= Coeficiente de rozamiento estático N = Magnitud de la fuerza normal entre ambas superficies.

51



6.12.2 FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO

Es la fuerza de rozamiento retardadora, cuando el cuerpo entra en movimiento. La fuerza de rozamiento es opuesta a la dirección del movimiento, y está dado por: f k ≤ k*N

(6.10)

Dónde: f k = Magnitud fuerza de rozamiento cinético. k= Coeficiente de rozamiento cinético. N = Fuerza normal entre ambas superficies. Los valores de k y s dependen de la naturaleza de las superficies, pero k es por lo general menor que s cuyos valores varían entre: 1.5> >0.05 (6.11) 6.13 CUESTIONARIO

1. Puede estar en equilibrio cuando actúa sobre él una sola fuerza? 2. Un globo de helio se mantiene en el aire sin ascender ni descender ¿está en equilibrio?, ¿Qué fuerzas actúan sobre él?. 3. Un objeto se arroja verticalmente hacia arriba. En la cúspide de la trayectoria, el objeto esta: a) En equilibrio instantáneo. b) En reposo instantáneo. c) Instantáneamente en reposo y en equilibrio. d) Ni en reposo, ni en equilibrio. 4. Un bloque de masa m descansa en un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con la horizontal. Cuál de las afirmaciones siguientes sobre la fuerza de fricción estática es verdad: a) f s =m g;

b) f s = m g / tg 30º;

c) f s = m g /tg30º;

d) f s = m g*sen 30º

5. Un bloque permanece sobre un plano inclinado con suficiente rozamiento para impedir que deslice hacia abajo. Para que el bloque comience a moverse. ¿Qué es más sencillo?, ¿empujar hacia arriba?, ¿hacia abajo?, ¿Lateralmente?, ¿Por qué?. 6. ¿Tiene sentido que un objeto posea fuerza?. 52



PRACTICA Nº 6 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA Y CUERPO RÍGIDO II PARTE EXPERIMENTAL 6.1.1 PRUEBA Nº 1 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA 6.1.2 OBJETIVO GENERAL

Demostrar que el sistema que se presenta en la fig.- 6.1, se encuentra en equilibrio estático, aplicar correctamente las leyes de Newton para este caso en particular y comprobar la primera condición de equilibrio. 6.1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Determinar el peso w 1 y medir experimentalmente las tensiones T 1, T 2 y el peso w del cuerpo del sistema que se muestra en la fig.- 6.1. b) Medir las longitudes a,b, c y h del sistema y aplicar los conocimientos de trigonometría para calcular los ángulos , y . c) Realizar el diagrama de fuerzas del sistema de la fig.- 6.1, identificar las partículas que participan del sistema y elaborar los diagramas de cuerpo libre de cada una de ellas. d) Aplicar correctamente la primera condición de equilibrio a cada diagrama de cuerpo libre, para determinar teóricamente las tensiones T 1, T2 y el peso w en el sistema utilizado. e) Comparar resultados experimentales y teóricos a través del cálculo del error absoluto y relativo porcentual. f) Discutir resultados y sacar conclusiones

53




Figura 6.1 6.1.5 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA 6.1.1 TABULACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES a =……….….(

(

w 1

)

b =…..…….(

)

c =…..…….(



)

(

)

h =…….(



)

(

)



)

(

)

TABLA 6.1.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS RESULTADOS

PARÁMETRO EXPERIMENTALES w (

)

T1 (

)

T2 (

)

RESULTADOS TEÓRICOS

e(%)

6.1.6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

54



6.2.1 PRUEBA Nº 2 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Y DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD 6.2.2 OBJETIVO GENERAL

Demostrar que el sistema que se presenta en la fig.-6.2, se encuentra en equilibrio estático, aplicar correctamente las leyes de Newton para este caso en particular y comprobar la primera y segunda condición de equilibrio. 6.2.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Determinar el peso w 1 del cuerpo rígido y medir experimentalmente la tensión T y el peso w del cuerpo del sistema que se muestra en la fig.- 6.2. b) Medir el ángulo  de forma directa, las longitudes a , b , c , los diámetros d 1 y d 2 del cuerpo rígido en el sistema experimental de la fig.- 6.2. c) Determinar el centro de gravedad de un cuerpo rígido aplicando los conceptos teóricos con los datos obtenidos anteriormente. c) Realizar el diagrama de fuerzas del sistema de la fig.- 6.2, identificar las partículas y el cuerpo rígido que participan del sistema y elaborar los diagramas de cuerpo libre de cada uno. d) Aplicar correctamente la primera y segunda condición de equilibrio a cada diagrama de cuerpo libre, determinar teóricamente la tensión T, y el peso w en el sistema utilizado. e) Comparar resultados experimentales y teóricos a través del cálculo del error absoluto y relativo porcentual. f) Discutir resultados y sacar conclusiones.

55




Figura 6.2 6.1.5 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA 6.2.1 TABULACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES a b c d 1 d 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (

TABLA 6.2.2 TABULACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES R w 1 r TExp. ( ) ( ) ( ) ( )

C.G.

(

)

)

w Exp.

(

)

TABLA 6.2.3 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS e(%) RESULTADOS ANALÍTICOS

TTeór.=……………………….….( w Teór. =…………………..….….(

) )

6.2.6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

56



PRACTICA Nº 7 DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA I PARTE TEÓRICA 7.1 INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores, se descubrió el movimiento de las partículas con base en la definición de desplazamiento, velocidad y aceleración. Sin embargo, es muy conveniente poder responder preguntas específicas relacionadas con las causas del movimiento, tales como “¿Qué mecanismos produce el movimiento de los cuerpos?” y “¿or qué algunos objetos se aceleran con mayor velocidad que otros?”.

7.2 DINÁMICA

La dinámica es la parte de la mecánica que estudia juntamente el movimiento y las fuerzas que lo originan. 7.3 INERCIA

Es la resistencia que ofrece un cuerpo a un cambio en su estado de movimiento o reposo. 7.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON odo cuerpo material sometido a la acción de una “fuerza resultante” diferente de cero

adquiere necesariamente una aceleración en la misma dirección y sentido de la fuerza resultante. Este enunciado se expresa matemáticamente por:  =

F



(7.1)

Donde:

a = Aceleración del cuerpo. ∑F= Fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. m = Masa del cuerpo.

57



7.5 CUESTIONARIO

1. Un objeto resbala sobre una superficie horizontal a causa de un empujón que se le impartió con una velocidad inicial en la dirección positiva del eje x. Si el coeficiente de fricción cinético entre el objeto y la superficie es  la aceleración del objeto es; a) a x =-k*m ;

b) a x =-g / m;

c) a x =-k*m *g;

d) f s = a x =-k*g

2. La fuerza necesaria para mantener un objeto en movimiento, es cero, proporcional a su masa, proporcional a su peso, proporcional a su rapidez? 3. ¿Por qué una persona puede lanzarse al agua de cabeza desde una altura de 10 metros sin dañarse, mientras que si salta desde la terraza de un edificio de 10 metros y aterriza sobre el pavimento de una calle probablemente resultará gravemente accidentado? 4. Dos masas m 1 y m 2 se aceleran uniformemente sobre una superficie sin fricción como se muestra en la figura. La relación de las tensiones T 1 / T2 está dada por: a) m 1 / m 2 ;

b) m 2 / m1 ;

c) (m 1 +m 2) / m1 ;

m 1

T1

d) m 1 / (m 1 +m 2) T2 m 2

5. La tensión T en la cuerda está atada a la masa m en la figura, si T=m *g /2, La aceleración de la masa m es: a) g /2 dirigido hacia arriba. b) g /2 dirigida abajo. c) 3g /2 dirigida hacia abajo.

T = m g /2 m 1

d) Ninguna de las anteriores. 6. Si un hombre que está en un elevador suelta sus portafolio y este no cae al suelo. ¿Qué conclusión podrá sacar acerca del movimiento del elevador?.

58



PRACTICA Nº 7 DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA II PARTE EXPERIMENTAL 7.1 PRUEBA Nº 1 DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE PARTÍCULAS 7.2 OBJETIVO GENERAL

Determinar la aceleración de las partículas del sistema mostrado en la fig. 7.1 y el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies en contacto, aplicando respectivamente las ecuaciones de la cinemática y dinámica. 7.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Determinar la masa del cuerpo A y encontrar la masa del cuerpo m , de tal manera que el sistema se mueva a velocidad constante, para calcular el coeficiente cinético de rozamiento entre el cuerpo A y la superficie en contacto. b) Encontrar la masa del cuerpo B que permita que el sistema se mueva con aceleración constante. c) Medir desplazamiento y tiempos para cada partícula y calcular la aceleración experimental de cada una de ellas a través de la aplicación de las ecuaciones de la cinemática. d) Realizar el diagrama de fuerzas del sistema de la fig.- 7.1 e identificar las partículas que participan del mismo, para elaborar los diagramas de cuerpo libre. e) Aplicar correctamente las leyes de Newton en los diagramas de cuerpo libre que permitan calcular teóricamente las aceleraciones de las partículas A y B. f) Comparar resultados experimentales y teóricos a través del cálculo del error absoluto y relativo porcentual. g) Discutir resultados y sacar conclusiones.

59




Figura 7.1 7.5 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA 7.1 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES CUERPO

(

m i

)

x i,1

ti ,1

x i,2

(

)

(

)

(

ti ,2 )

(

)

a i,Exp. (

)

A B TABLA 7.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS ANALÍTICOS ACELERACIÓN TEÓRICA

a A =…………………….….( a B.=…………………….….(

e(%)

) )


60



PRACTICA Nº 8 DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO I PARTE TEÓRICA 8.1 INTRODUCCIÓN

Si bien existe una analogía entre las ecuaciones cinemáticas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y el movimiento rotacional con aceleración angular constante. En dinámica traslacional la aceleración de una partícula se relaciona con la fuerza que actúa sobre ella; en dinámica rotacional la aceleración angular de una partícula se relaciona con la acción motriz o torque (momento). 8.2 TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA ()

Considerado como la medida de la efectividad de la rotación, se define como una magnitud física vectorial, cuya magnitud con respecto a un eje producida por la fuerza F, (Fig. 10.1) está dada por el producto de la magnitud de la fuerza por el brazo de momento, por la magnitud de la fuerza es decir:  = b * F

Interpretación vectorial.

(8.1)

z

F

 

P

r 0

b

x

y

Fig.- 8.1

61



8.3 BRAZO DE MOMENTO

De la figura (8.1 ) el brazo de momento b= r sen θ viene a ser el brazo de momento de la fuerza F, además de ser la componente del vector posición r perpendicular a la línea de acción de F, por lo tanto el brazo de momento de una fuerza es la distancia más corta entre la fuerza y el eje de rotación. 8.4 MOMENTO DE INERCIA

I = ∑ m i ri

(8.2)

SÍ imaginamos un cuerpo subdividido en un gran número de pequeñas partículas de masa m 1,, m 2, m 3 ....... etc., que distan r1, r2, r3 con el eje de rotación, es evidente que cuando el cuerpo tiene un movimiento rotación cada una de las partículas se mueve con una velocidad lineal que depende de su distancia r al eje de rotación. Así una de estas partículas, situadas en el punto P (Fig. 10.1), de masa m y a una distancia de r del eje de rotación, siendo el movimiento de rotación del cuerpo uniforme, la velocidad angular  en el sentido que indica la flecha (Fig. 10.1) de una de las partículas en función de su velocidad lineal y el radio de rotación será:

     

Tomando en cuenta la energía de cada partícula es:  =

 



(8.3)

(8.4)



Pero cuando se considera la totalidad de las partículas, además considerando la ecuación 8.3 la energía cinética total del cuerpo es:  = 12 2

∑

r2

   

(8.5)

A la suma de todas las cantidades   r2 de cada una de las partículas que componen el cuerpo, se define como MOMENTO DE INERCIA del cuerpo respectivo al eje de rotación que pasa por 0, es decir: I=

∑

2

  



(8.6)

Esta magnitud es una propiedad del cuerpo denominado inercia rotacional o momento de inercia que viene a ser la medida que tiene el mismo a ser cambiado de posición o a girar respecto a un eje. Es una magnitud escalar, tiene como dimensiones [ML 2] y se mide en kg*m2. Para una partícula cualquiera el momento de inercia viene dado por: I = m * R2

(8.7) 62



8.5 TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS

El teorema de Steiner o de los ejes paralelos indica, que el momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje es igual a la suma del momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa y que sea paralelo al eje dado y el producto de la masa, m , por el cuadrado de la distancia perpendicular entre los dos ejes. A partir de lo señalado, este teorema puede ser expresado de la siguiente manera:

I = I0+m * h2

(8.8)

Donde: I = Es el momento de inercia del sólido. I0 = Es el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masa m = Masa total del sólido.

h = Distancia entre los dos ejes paralelos. 8.6 RADIO DE GIRO

Se ha definido el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje, como I = m * R2. Si toda la masa del cuerpo estuviese concentrada en un punto distante k del eje tendríamos: I = 2m Donde k es:

 

=

(8.9) (8.10)

k, se denomina radio de giro respecto del eje de rotación adoptado. Tal como el momento de inercia, k tiene distintos valores, según el eje al cual se refiera. Cuando el momento de inercia de un cuerpo no puede calcularse de manera conveniente, se lo puede determinar por vía experimental, impartiéndole una cantidad conocida de energía y observando la rotación resultante. 8.7 MOMENTO DE INERCIA (DISCO DE MAXWELL)

El disco de Maxwell nos sirve para determinar el momento de inercia (Fig. -10.2).

63



Fig.- 8.2

Desde el punto de partida hasta el punto más bajo, el centro del eje se desplaza una altura h, para dicha altura se tiene una velocidad lineal v y teniendo en cuenta que r es el radio del eje. El momento de inercia para este caso viene dado por: t

I= r2 ( 2 -1)

(8.11)

h

8.8 APLICACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON AL MOVIMIENTO ROTACIONAL

Un cuerpo que se encuentra en reposo o con movimiento rotacional uniforme, comienza a girar con aceleración angular constante cuando se le aplica un torque, . La magnitud de dicha aceleración angular es proporcional a la magnitud del torque e inversamente proporcional a la inercia del cuerpo, matemáticamente se expresa de la siguiente forma: 

o

=

 I





(8.12)

Si son varios los torques que actúan sobre un mismo cuerpo, entonces se obtiene la resultante de dichos torques sumando cada uno de los mismos y tomando en cuenta que el torque que provoca movimiento en el sentido de la aceleración angular como positivo, y en el otro sentido será negativo. La ecuación (10.12)se convierte en:



∑ = 

(8.13)

8.9 CUESTIONARIO

1. Puede considerarse la masa de un cuerpo como concentrada en su centro de masa cuando se trata de calcular su momento de inercia? 2. Se puede distinguir entre el huevo crudo y un huevo duro haciéndolos girar en la mesa?. Explique cómo. 64



3. Si dos discos circulares del mismo peso y espesor se hacen de metales de densidades diferentes, ¿Tendrán el mismo momento de inercia?. Si no lo tienen ¿Cuál lo tendrá mayor?.

4. Se trata de determinar el momento de inercia de una cuerpo de forma complicada la forma hace el cálculo matemático de d sea sumamente difícil. Sugiera algunas maneras de determinar experimentales el momento de inercia.

∫

5. En la figura se muestra cinco sólidos en sección transversal. Todas las secciones transversales tienen la misma altura y el mismo ancho máximo. Los ejes de rotación son perpendiculares a las secciones que pasan por los puntos indicados. Los cinco sólidos tienen la misma masa. Cuál de ellos tiene mayor momento de inercia?. ¿Cuál tiene el menor momento de inercia?.

Anillo

Cubo

Cilindro

Prisma

Esfera

6.- Dos discos pesados están unidos por un eje pequeño de radio mucho menor. El sistema se coloca en un plano inclinado de modo que los discos sobre salgan a los lados y el conjunto ruede sobre el eje sin resbalar (ver figura). Cerca de la parte inferior del plano inclinado los discos tocan la cubierta horizontal de la mesa y a partir de ese momento el cuerpo aumenta considerablemente su velocidad. Explique cuidadosamente lo que ocurre.

65



PRACTICA Nº 8 DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO II PARTE EXPERIMENTAL 8.1 PRUEBA Nº 1 DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN ANGULAR Y MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO 8.2. OBJETIVO GENERAL

Determinar la aceleración angular y momento de Inercia, en la polea que gira sin rozamiento en el sistema de la Fig. 8.3, aplicando las Leyes de Newton a partículas y cuerpo rígido. 8.3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Determinar las masas de las partículas y del cuerpo rígido, además del radio de este último. b) Medir los tiempos para cada desplazamiento angular a través de los instrumentos del equipo experimentación. c) Calcular la aceleración angular de la polea y la velocidad angular final para cada desplazamiento, a través de la aplicación de las ecuaciones del movimiento rotacional correspondientes. d) Calcular el valor promedio de la aceleración angular, considerar a esta como la aceleración angular experimental. e) Calcular el valor teórico del momento de inercia del cuerpo rígido aplicando las ecuaciones correspondientes. f) Calcular la aceleración angular del cuerpo rígido, aplicando la segunda Ley de Newton g) Graficar el suceso velocidad angular final en función del tiempo, linearizar dicho seceso para determinar la pendiente de la línea recta y considerar a esta como la aceleración analítica. h) Comparar resultados analíticos y experimentales a través del cálculo del error absoluto y relativo porcentual, discutir resultados y redactar conclusiones.

66



8.4. ESQUEMA DEL EXPERIMENTO

Figura 8.3 8.5 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Y ANALÍTICOS TABLA 8.1 TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES m A =….….( i (

)

t

) m B =….….( 



)

m p =….….( 3

4

)

R =….….( 5

6

) r =….….( 7

) 8

i

(

)

0i (

)

i

( (

f i

) )

TABLA No 8.2 TABULACIÓN DE RESULTADOS ε =……………………...... ( )  Teórica

 Exp.

= ………………..…….. (

)

 Analít.

= …………..………….. (

)

e(%)

8.8. DISCUTIR RESULTADOS Y SACAR CONCLUSIONES 67



ANEXO Nº 1

AJUSTE DE CURVAS Y EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS 1.1 INTRODUCCIÓN

La física es una ciencia de la investigación, de la observación, una ciencia natural con soluciones matemáticas. En el desarrollo de las prácticas experimentales generales nos encontramos con la obtención de datos, de variables dependientes como de variables independientes. El primer problema que se presenta es, como construir la gráfica (de tal manera que se pueda apreciar lo más visible posible de nube de puntos o diagrama de dispersión). Un segundo problema es, determinar a qué tipo de función se aproxima la nube de puntos que tiene. 1.2 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS

Se trata de aprovechar todo el espacio disponible en el papel. De manera de obtener y apreciar la dependencia entre las variables medidas (elección de las escalas adecuadas para realizar las gráficas). Obtenida los pares de coordenadas ( x , y), se utiliza la siguiente relación, para la elección de la escala adecuada. E=

I max E DP

=

intervalo máximo de la magnitud física Longitud d isponible del papel

1.3 AJUSTE DE CURVAS

Para llegar a determinar una ecuación que relacione las variables, un primer paso que no sirve de ayuda es, la colección de datos que muestren la correspondencia, valores de las variables considerados. El próximo paso es representar los puntos ( x 1, y1 ), (x 2, y 2 ) en un sistema de coordenadas rectangulares. El conjunto de puntos resultantes, se llama a veces diagrama de dispersión. Con el diagrama de dispersión, es posible frecuentemente representar una curva que se aproxime a los datos. Tal curva se llama curva de aproximación. En la Fig. 1 por ejemplo, los datos parecen aproximarse bien a una línea recta, y decimos que hay una relación lineal entre las variables. En la Fig. 2, sin embargo, aunque existe una relación entre las variables, no es lineal, y se dice que no es una relación no lineal.

68



y

y

0

x

0

x

Fig. 1

Fig. 2

1.4 ECUACIONES DE CURVAS APROXIMANTES

Varios tipos de curvas aproximantes y sus ecuaciones más usadas se presentan en la lista adjunta, las letras a 1,............. an, representan constantes. Las variables x e y se llaman variables independiente y dependiente respectivamente, aunque estas pueden ser intercambiadas. Línea recta.

y = a 0 + a 1x

Parábola o curva cuadrática

y = a 0 + a 1x + a 2x 2

Curva de grado n

y = a 0 + a 1x + a 2x 2 +......+ a nx n

El lado derecho de las ecuaciones anteriores se llaman polinomios de grado uno, dos... n, respectivamente. He aquí algunas otras de las muchas ecuaciones que se utilizan frecuentemente en la práctica: Línea logarítmica

y = a 0 + a 1 lnx

Curva exponencial

y = a 0 + ea 1x

Curva geométrica

y = a 0 + x a 1

o

log a 0 + a 1*log x

El papel a utilizarse en la elaboración de gráficas debe ser mínimamente papel milimetrado. Teniendo el cuidado de utilizar una escala adecuada. 69



1.4.1 LA RECTA

El tipo más sencillo de curva aproximadamente en una línea recta, cuya ecuación puede escribirse: y = a 0 + a 1x

Donde: a 1 = Es la pendiente de la recta. a 0 = Es el valor de y cuando x = 0, se llama la ordenada en el origen.

Dados cualesquiera de los puntos ( x 1, y1) y (x 2, y 2) sobre la recta, se pueden determinar las constantes a 0 y a 1. La ecuación así obtenida se puede expresar:  –1 =

(2 –1) ( 2 – 1)

( – 1)

O sea:  –1 =m( – 1)

Donde: m=

(2 –1) ( 2 – 1)

Se llama pendiente de la recta y representa el cambio en y dividido por el correspondiente cambio en x . 1.5 EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Al construir rectas, parábolas u otras curvas aproximantes de ajuste de datos es necesario acordar una definición de "rectas ", "Parábola" u otras que sean estas de mayor ajuste. Para ir hacia una tal definición, consideraremos la Fig. 3, en la cual los puntos, viene n datos, dados por (x 1, y1), (x 2, y 2)……………. (x n, y n). Para un valor dado de x , digamos x 1, habrá una diferencia entre el valor y1, y el correspondiente valor deductivo de la curva C. Como enseñanza la figura, denotamos esta diferencia por D, que se llama a veces desviación o error residual, y puede ser positivo, negativo o nulo.

Analógicamente, asociamos a los datos x 2,.........x n, se obtienen desviaciones D2........... Dn. 70



y

(x n, y n) Dn

(x 3, y 3) D3

(x 1, y1) D1

D2

(x 2, y 2)

0

x

Fig.- 3 Una medida de la "bondad del ajuste" de la curva C a los dalos viene proporcionada por la cantidad D12+ D22 …………….. Dn2. Por tanto, obtenemos la siguiente definición: "De todas las curvas que aproximan un conjunto de datos, la que tiene la propiedad de que D12+ D 22 …………….. Dn2, es mínimo y se llama una curva de ajuste óptimo". La mencionada curva, se dice que ajusta los datos en el sentido de mínimo cuadrados. Así pues, una recta con esa propiedad, se llama recta de mínimos cuadrados, una parábola con esa propiedad, se llama parábola de mínimos cuadrados, etc. 1.5.1 RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS.

La recta de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (x 1, y1), (x 2, y 2)……………. (x n, y n), tiene por ecuación: y = a 0 + a 1x

Donde las constantes a0 y a1 quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones: ∑y = na 0 + a 1∑x ∑x y = a 0∑x + a 1∑x 2

Estas ecuaciones denominadas ecuaciones normales para la recta de mínimos cuadrados. Las constantes a 0 y a 1 de las ecuaciones anteriores, se pueden hallar si se desea, de las fórmulas: 71



) (∑ )(∑ ) ( )( ∑ ∑  ∑  (∑ )  ∑ ∑ -(-∑(∑)()∑ )







 -



 -







 

 



n 

La correlación o el grado de interconexión entre las variables, se escribe:

( ) ( ( ∑ ∑ ∑ ) ) r  (∑  (∑ ))(∑  (∑ )) n

 -

  -









-



1.5.2 RELACIONES NO LINEALES LA PARÁBOLA DE MÍNIMOS CUADRADOS

La parábola de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos, ( x 1,y1), (x 2,y 2)……………. (x n, y n), tiene por ecuación: y = a 0 + a 1x + a 2x 2

Donde las constantes a 0, a 1 y a 2, se determinan al resolver simultáneamente las ecuaciones: ∑y = na 0 + a 1∑x+ a 2∑x 2 ∑x y = a 0∑x + a 1∑x 2+ a 2∑x 3 ∑x 2y = a 0∑x 2 + a 1∑x 3+ a 2∑x 4

A estas ecuaciones se denominan, ecuaciones normales de mínimos cuadrados. Ejemplo: Ajustar una recta de mínimos cuadrados a los siguientes datos: Cuadro No 1 x y

1 1

3 2

4 4

6 4

8 5

9 7

11 8

14 9

Tomando en cuenta: a) x como variable independiente. b) y como variable dependiente. 72



Trazar las dos rectas obtenidas en los incisos a) y b). a) La ecuación de la recta es: y = a 0 + a 1x

Las ecuaciones normales son: ∑y = na 0 + a 1∑x ∑x y = a 0∑x + a 1∑x 2

El trabajo exigido para calcular las sumas se puede ordenar en el cuadro Nº 2. Si bien la columna de la derecha no es necesaria para esta parte del problema, la usaremos en la parte b. x

y

x 2

x y

y2

1 3 4 6 8 9 11 14 ∑ x = 56

1 2 4 4 5 7 8 9 ∑y = 40

1 9 16 36 64 81 121 196 ∑x 2 = 524

1 6 16 24 40 63 88 126 ∑x y = 364

1 4 16 16 25 49 64 81 ∑y 2 = 256

Puesto que existen ocho pares de valores de x y y, n = 8, las ecuaciones normales se convierten en: 8 a 0 + 56 a 1 = 40 56 a 0 + 524 a 1 = 364 Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtienen: a 0= 0.545, a 1 = 0.636; y la recta de mínimos cuadrados pedida, es: y = 0.545 + 0.636x

Otro método es: 73



( )( ) ( ) ( )( ) ( )  ( )  ( )  ( ) ( )( ( ∑ ∑ ∑   ) )   ∑  (∑ )  ( )  2 ∑ ∑ - ∑ (∑ )

=



4 524 - 5 (34)

n∑ - ∑ 2

 -



n  -

8524- 5

2 2

8524-



8524- 5



Luego: y = 0.545 + 0.636x

c) Si se considera x como variable dependiente, y a y como variable independiente, la ecuación de los mínimos cuadrados es:

x = b 0 + b 1y

Usando datos de la tabla No. 2: 8 b 0 + 56 b 1 = 40 40 b 0 + 256 b 1 = 364

Donde: b 0 = - 0.5 y b 1 = 1.5. Estos valores pueden deducirse también de:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )  ( )  ( ) ( )( ( )( ∑ ∑ ∑   ) )   ( )  ( )   2 ∑ ∑ - ∑ (∑ )

=



2

n∑

 -

- ∑





n∑ - ∑ 2

2

5 25 - 4 (34) 825- 4

2



834-

825- 4

Luego la ecuación solicitada de la recta de mínimos cuadrados es: x = b 0 + b 1y x = 0.5 + 1.5 y

Las gráficas de las rectas y = 0.545 + 0.636x y x = - 0.5 + 1.5 y, se muestran en la Figura Nº 4. Hagamos notar que en este caso, son casi coincidentes, lo cual indica que los datos están muy bien descritos por una relación lineal.

74

New.texto.lab.FIS100

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