NORMA CHILENA OFICIAL
NCh42.Of53
Control estadístico de calidad
I Preámbulo 1. La presente norma fue estudiada y preparada por la Especialidad de ESTADISTICA. El Comité estuvo constituido por los señores: Instituto Nacional de Investigaciones Tecnológicas y Normalización (INDITECNOR) Escuela de Economía y Comercio Sociedad Industrial Pizarreño Ing. Jefe del Departamento de Normas Técnicas del INDITECNOR Manufacturas de Cobre S.A. (MADECO) Compañía de Acero del Pacífico (CAP) Ferrocarriles del Estado Director del Instituto de Investigación de Materias Prima de la Universidad de Chile Ing. Jefe del Departamento de Investigaciones del INDITECNOR Corporación de Radio de Chile (RCA) Dirección General de Industrias
Leonardo Bitrán Ismael Cárdenas Juan Cerda José Manuel Eguiguren Antonio Espinoza Alvaro García Juan Knockaert Pablo Krassa Carlos Krumm Jorge Párvex Jesús del Prado
2. El Instituto no ha recibido comentarios sobre la presente norma. 3. En el estudio de la presente norma se han tenido a la vista, entre otros documentos, los siguientes: a) AMERICAN STANDARDS ASSOCIATION, Control Chart Method of Controlling Quality During Production - American War Standard - approved April 1942; b) AMERICAN STANDARDS ASSOCIATION, Guide for Quality Control and Control Chart Method of Analysing Data - American Defense Emergency Standards, Reproduced by courtesy of the American Standards Association, New York, USA, BS 1008: 1942;
I
NCh42 c) AMERICAN SOCIETY FOR TESTING MATERIALS, ASTM, Manual on Quality Control of Materials, enero 1951; d) BRITISH STANDARDS INSTITUTION, British Standard for Fraction Defective Charts for Quality Control, BS 1313-1947; e) DUDDING, B.P. M.B.E., Ph. D., and W.J. Jennett, B. Sc. (Eng.), Quality Control Charts, Being part 1 of a Revision of BS 600: 1935. The Application of Statistical Methods to Industrial Standardization and Quality Control, BS 600: 1942; f) KRUMM, CARLOS, Control de calidad en la Industria, Editorial Universitaria S.A., Santiago, 1949; g) PEARSON, E.S., The Application of Statistical Methods to Industrial Standardization and Quality Control BS 600: 1935; h) SHEWART. Economic Control of Manufactured Product - D. van Nostrand Company Inc., New York, 1931; i)
SIMON, LESLIE E., An Engineers’ Manual of Statistical Methods, John Wiley, New York, 1941.
4. La presente norma contiene referencias a la siguiente norma NCh5.Of48, Símbolos matemáticos. 5. Esta norma ha sido revisada y aprobada por el Director del Instituto Nacional de Investigaciones Tecnológicas y Normalización (INDITECNOR), Ing. Carlos Höerning. Declarada Norma Oficial de la Republica de Chile, por Decreto Nº 1598 (Ministerio de Obras Públicas), del 25 de agosto de 1953.
II OBSERVACIONES 1. La aplicación de métodos estadísticos en la forma en que se prescribe en esta norma permite observar, sistemáticamente, durante el curso de la fabricación, las variaciones de la calidad de un producto, fijar límites económicos permisibles de variación y reducir a un mínimo el número de piezas defectuosas. Se pueden así corregir, oportunamente, los defectos que se producen en la manufactura, ya sea por mal ajuste de la máquina, calidad deficiente de los materiales, errores del operador, etc., cada vez que se traspasan los límites fijados. De esta manera se descubren las causas anormales de variabilidad, llamadas asignables, y se las elimina tan pronto como son localizadas. Cuando una industria usa los métodos certidumbre de vender un producto cuyas límites. Pueden así llegar a suprimirse las puede exhibir sus gráficos que dan fe de
II
estadísticos de control de calidad, tiene la características se mantienen dentro de ciertos pruebas de recepción rutinarias. El fabricante la calidad sin necesidad de ensayos o prueba
NCh42 ulteriores. Donde hay dificultad de producción, los diagramas de control de calidad hacen más difícil a los responsables del proceso ocultar el origen de una falla, ya sea usando argumentos falsos o descargando la responsabilidad en otra persona. Por otra parte, si la manufactura está organizada por secciones y el producto final de una es la materia prima de la siguiente, el uso de los diagramas respectivos de control de calidad deslinda las responsabilidades. Se comprende que esta manera, que podría llamarse automática, de establecer las fallas, conduce a un mejoramiento de las relaciones entre ingenieros, capataces y obreros. Es posible mantener un control de calidad anotando los resultados en forma tabular, pero es preferible usar la forma gráfica que es fácilmente inteligible para los operarios en los cuales produce un efecto psicológico que los estimula al mejoramiento de la calidad. La naturaleza del problema no permite establecer normas rígidas para fijar los límites de control a causa de la diversidad de casos que se presentan en la práctica. Sin embargo, es posible dar algunas recomendaciones generales basadas en la experiencia y que pueden aplicarse a numerosos casos en el uso industrial del diagrama de control. En la práctica se ha encontrado conveniente colocar los límites de control sobre y debajo de la línea central de la estadística que se use ( X , σ , R , p), a distancias de 3 veces cierto valor calculado. Estos límites se designan con el nombre de “3 sigma”. Si las distribuciones son gaussianas existe un 99,73% de probabilidad de que una observación caiga entre los límites + 3 σ y – 3 σ. En otros términos, la proporción de observaciones que queda fuera de estos límites es sólo de 0,27%. Por otra parte el teorema de Tchebychef y la fórmula de Camp y Meidell indican una probabilidad comprendida entre el 88,9% y el 95% para aquel intervalo aún cuando la distribución no sea gaussiana. En la presente norma sólo se consideran los límites externos + 3 σ y – 3 σ. Las normas inglesas consideran además límites internos de advertencia (warning limits) situados a la distancia 1,96 σ sobre y debajo de la línea central. Cuando se adoptan estos límites la proporción de observaciones que tienen un valor menor que X - 1,96 σ mayor que X + 1,96 σ es de 2,5%. En la presente norma no se dan tablas para los límites de advertencia.
III
NCh42 2. La tabla A proporciona factores auxiliares útiles para el cálculo de elementos de diagramas de control. Tabla A Factores auxiliares para el cálculo de los elementos de diagramas de control de muestras de pequeños y diferentes tamaños, cuando no se da especificación
IV
n
1/c 2
1/d 2
n
1/c 2
1/d 2
2
1,7725
0,8865
14
1,0579
0,2935
3
1,3820
0,5907
15
1,0537
0,2880
4
1,2533
0,4857
16
1,0501
0,2831
5
1,1894
0,4299
17
1,0470
0,2787
6
1,1512
0,3946
18
1,0442
0,2747
7
1,1259
0,3698
19
1,0418
0,2711
8
1,1078
0,3512
20
1,0396
0,2677
9
1,0942
0,3367
21
1,0376
0,2647
10
1,0837
0,3249
22
1,0358
0,2618
11
1,0753
0,3152
23
1,0342
0,2592
12
1,0684
0,3069
24
1,0327
0,2567
13
1,0627
0,2998
25
1,0313
0,2544
NORMA CHILENA OFICIAL
NCh42.Of53
Control estadístico de calidad
A) DEFINICION DE ESTA NORMA Artículo 1º Esta norma establece las fórmulas y diagramas que deben usarse para controlar estadísticamente la calidad de la producción industrial.
B) CAMPO DE APLICACION Artículo 2º 1. Las prescripciones de esta norma se aplicarán a la producción en serie de artículos cuyas características de calidad: a) Permiten una inspección de 100% de la producción; b) No permiten una inspección del 100% de la producción. 2. Son artículos del grupo a) aquellos cuyas características de calidad pueden ser estimadas sin ser modificadas, es decir, sin producir inutilización del artículo. Tales características pueden ser, entre otras, las siguientes: Dimensiones, sujetas a la medida de pasa o no pasa; características de rendimiento tales como torque de motores, tiempo de operación de relays; características eléctricas, tales como resistencia, ampliación de audiones; características observables por inspección visual, tales como montaje, terminación, apariencia, defectos materiales, manchas y fallas en tejidos o en el acabado de superficies pintadas o recubiertas con metal.
1
NCh42 3. Son artículos del grupo b) aquellos cuyas características de calidad son modificadas al ser estimadas, es decir, aquellos cuyas características se determinan con pruebas destructoras, inutilizándolos. Tales características pueden ser, entre otras, las siguientes: Pruebas de duración que miden el máximo de vida útil en ampolletas eléctricas y en correas de ventiladores; características de rendimiento que requieran un ensayo destructor tales como poder calorífico, en calorías, de gases, combustibles líquidos y carbón; pruebas eléctricas de conductores revestidos; propiedades físicas tales como resistencia a la tracción de acero y pruebas de ignición de lubricantes.
C) TERMINOLOGIA Artículo 3º Los símbolos matemáticos en NCh5.Of48.
empleados
en
esta
norma
se
encuentran
definidos
Artículo 4º En la presente norma designaremos con X cierta característica de un artículo y con X 1 , X 2 , .... X n , n valores observados de la característica X , ordenados, de modo que
Xi ≤ Xi + 1 Artículo 5º 1. Muestra. Es una porción del material o un grupo de individuos o ejemplares extraídos del conjunto (población), que se usan como información respecto a la calidad del conjunto. 2. Muestra al azar. Es una muestra tomada sin preferencia y al acaso, de manera que cualquier ejemplar tiene igual probabilidad de inclusión. 3. Población, lote o partida. Es un conjunto de ejemplares individuales procedentes de un mismo origen. En la industria se emplean, más generalmente, los términos lote o partida. 4. Subgrupo. Uno de los grupos en que se subdivide la población, con fines de muestreo. 5. Causa asignable. Factor que contribuye a la variación de la calidad y que es posible identificar. 6. Frecuencia de una magnitud. Es el número de veces que se presenta determinada magnitud de una característica en los individuos que componen un lote. 7. Frecuencia relativa de una magnitud. Razón entre la frecuencia de una magnitud y el número total de individuos que componen el lote.
2
NCh42 8. Distribución de la frecuencia. Relación entre la frecuencia y el orden de la magnitud. Generalmente se expresa por una curva o una ecuación. 9. Distribución normal o gaussiana. Es un tipo de distribución con la siguiente ecuación: 2
y =
− x2 1 e 2σ σ 2π
en donde:
x
= X − X;
σ
= desviación típica de la característica X ;
y
= frecuencia relativa de un valor de X .
10. Parámetro estadístico. Es una medida estadística representativa de una característica de calidad de un lote. Son parámetro, entre otros, el promedio, la desviación típica, etc. 11. Nivel de control. El nivel de control especifica cuantitativamente la naturaleza de la variación estadística a que se encuentra sujeta la calidad de un material o de un artículo manufacturado. Se especifica en términos mensurables tales como el promedio, la desviación típica y la fracción defectuosa. En un artículo manufacturado el nivel de control depende de la maestría del productor en el dominio del proceso técnico, de los factores económicos, etc. 12. a) Promedio aritmético X . Está definido por la relación:
X =
X 1 + X 2 + ... + X n 1 = n n
n
∑X i =1
i
b) El promedio aritmético de un parámetro variable se designará por el símbolo respectivo con una tilde, o con dos tildes cuando se trate de promedio de promedios. Así se tendrá: Promedio de la característica
Xi : X
Promedio de las desviaciones típicas
σi : σ
Promedio de los intervalos
Ri : R
Promedio de las fracciones defectuosas
pi : p
Promedio de los promedios
Xi : X
3
NCh42 13. Intervalo R. Es la diferencia entre los valores extremos X n − X 1 . 14. a) Desviación típica (desviación standard). Está definida por la relación:
σ =
=
( X 1 − X ) 2 + ( X 2 − X ) 2 + ... + ( X n − X ) 2 = n 1 n
n
∑
i = 1
X i2 − X
1 n
n
∑(X
i =1
i
− X )2
2
b) La desviación típica de un parámetro variable se designará con el símbolo σ con un sub-índice que indicará el tipo de parámetro que se considere. Así, se tendrá: Desviación típica de las características
X i : σ x (o sólo σ )
Desviación típica de los promedios
X i : σx
Desviación típica de las desviaciones típicas
σi : σσ
Desviación típica de los intervalos
Ri : σ R
Desviación típica de las fracciones defectuosas
pi : σ p , etc.
15. Fracción defectuosa p . La fracción defectuosa es la razón entre el número de unidades que no cumplen con la especificación requerida y el total de unidades inspeccionadas. 16. Número de defectos p × n . El número de defectos es la cantidad de individuos defectuosos que se presentan en una muestra o un lote inspeccionado. Es igual al producto de la fracción defectuosa por el número total de individuos inspeccionados. 17. Diagrama de control. El diagrama de control es un gráfico, construido conforme a los preceptos dados en las especificaciones, que sirve para visualizar, claramente, el comportamiento de la característica observada en las muestras de un lote o de una producción. 18. Línea central, límite superior, límite inferior. La línea central, el límite superior y el límite inferior son elementos de un diagrama de control, que se representan, respectivamente, con los símbolos: LC , LS y LI .
4
NCh42
D) PRESCRIPCIONES I. GENERALIDADES Artículo 6º El método de análisis de los diagramas se usará con los fines siguientes: a) Para efectuar un control respecto a una especificación prefijada, o sea, para averiguar si los valores observados de X , R, σ , p, etc., en las muestras, difieren de los valores normales prefijados X ´ , R ´ , σ ´ , p ´ , etc., en una cantidad superior a la atribuible al azar. b) Para efectuar un control cuando no se da una especificación, o sea, para averiguar si los valores observados de X , R, σ , p, etc., para varias muestras varían entre ellas en una cantidad mayor que la atribuible al azar. Las muestras con las cuales se determinan los valores de los parámetros se denominan “muestras piloto”; los elementos calculados mediante las muestras piloto servirán como datos para el constante control de la calidad del producto. Según cuales sean las características de la producción futura, los elementos ya establecidos podrán ir modificándose a través de nuevas extracciones de muestras piloto.
METODO GENERAL PARA CONSTRUIR LOS DIAGRAMAS Artículo 7º 1. Se dividirá el número total de observaciones en m sub-grupos (muestras) de n1 , n 2 ..., n m unidades respectivamente. Esta división en sub-grupos, denominada “división racional”, se efectuará de tal manera que los individuos dentro de cada sub-grupo tengan entre sí cualidades comunes provenientes de una misma etapa o un mismo proceso de la producción (provengan, por ejemplo, de un mismo lote de materia prima, o de una misma máquina, o hayan sido producidos en determinado intervalo de tiempo). Si fuera posible los sub-grupos se harán de igual tamaño y, preferentemente, de n ≥ 4.
5
NCh42 2. Para cada estadística X, R , σ, o p, que se desee, se construirá un diagrama cuyos límites de control se fijarán de acuerdo con los artículos 8º, 9º, 10º y cuyas características esenciales serán las indicadas en la figura 1.
3. En los diagramas de promedios y desviaciones típicas los puntos representativos del promedio o de la desviación típica de cada muestra se unirán con trozos rectos.
6
NCh42 4. Cuando se lleve simultáneamente, diagramas de los promedios y de las desviaciones típicas, este último irá colocado inmediatamente bajo el primero, separados por un pequeño espacio. Las abscisas deberán ser colocadas en la misma escala, (figura 2).
7
NCh42 5. En los diagramas de los intervalos, desde cada punto, correspondiente a cada medida, se bajará, con trazo continuo, una perpendicular al eje de abscisas, (figura 3).
6. Si uno o más de los valores observados de X , R, σ , p, en algún sub-grupo (muestra), cae fuera de los límites de control, se tomará este hecho como una indicación de la presencia de una causa asignable en ese sub-grupo.
II. CALCULO CONTROL RESPECTO DE UNA ESPECIFICACION Artículo 8º 1. Los elementos de un diagrama de control, cuando existe especificación (es decir, cuando se han dado previamente los valores de x ,σ´ o p' ), se calcularán, para cada parámetro, como se indica en la tabla I. Los valores de las constantes A, c 2 , B2 , B1 , d 2 , D2 y D 1 se
encuentran especificados, para cada valor de n , en la tabla II. 2. Los diagramas del intervalo ( R) , [fórmulas (3), tabla 1], tendrán una precisión y fidelidad satisfactorias solamente cuando el número de individuos de la muestra es igual o inferior a diez ( n ≤ 10 ) . Para muestras de mayor tamaño no se recomienda el empleo de diagramas de este parámetro, pues la precisión de ellos decrece al aumentar el tamaño n de la muestra. 3. Cuando el tamaño n de la muestra es superior a 25, no se llevarán diagramas de control cuyos elementos se calculan mediante los factores d 2 , D1 y D2 . 4. Cuando las muestras tienen tamaños diferentes, los límites del diagrama variarán dentro de él.
8
NCh42 Tabla I Elementos principales de un diagrama de control, dados X' , σ' , p' Parámetros que se desea controlar Elemento del diagrama
Promedio X
σ
R
p' > 0,1
p' ≤ 0,1
p' > 0,1
p' ≤ 0,1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
X'
c 2σ '
d 2σ '
p'
p'
p´n
p´n
X + Aσ '
B2σ '
D 2σ '
LC
LS
Número de defectos np
Fracción defectuosa p
Desviación Intervalo típica
p' + 3
p ' (1 − p ' )
p' + 3
n
LI
X ' − Aσ '
B1σ '
D1σ '
p' − 3
p ' (1 − p ' ) n
p'
p' n + 3
p ' n (1 − p ' )
p' n + 3
p' n
p' n − 3
p ' n (1 − p ' )
p' n + 3
p' n
n
p' − 3
p' n
CONTROL CUANDO NO EXISTE ESPECIFICACION Artículo 9º 1. Los elementos de un diagrama de control, cuando no existe especificación, se calcularán, para cada parámetro, como se indica en la tabla III. Los valores de las constantes A1 , A2 , B4 , B3 , D4 y D3 se encuentran especificados, para cada valor de n ,
en la tabla IV. 2. Los diagramas del intervalo (R) , [fórmulas (II) (3) tabla III], y los diagramas del
promedio ( X ), construidos empleando los parámetros calculados X y R , [fórmulas (II) (1), tabla III], tendrán una fidelidad y precisión satisfactorias solamente cuando el número de individuos de la muestra es igual o inferior a diez ( n ≤ 10 ) . Para muestras de mayor tamaño no se recomienda el empleo de estos diagramas, pues, la precisión de ellos, decrece al aumentar el tamaño n de la muestra.
9
NCh42 Tabla II Factores para calcular los elementos de los diagramas de control, cuando se da una especificación
Número de individuos en la muestra
n
Diagrama promedios
Factores para Factor para límites de control línea central
Factores para límites de control
Diagrama para intervalos Factor para línea central
Factores para límites de control
B2
d2
D1
D2
0
1,843
1,128
0
3,686
0
1,858
1,693
0
4,358
0,7979
0
1,808
2,059
0
4,698
0,8407
0
1,756
2,326
0
4,918
A
c2
2
2,121
0,5642
3
1,732
0,7236
4
1,500
5
1,342
6
1,225
0,8686
0,026
1,711
2,534
0
5,078
7
1,134
0,8882
0,105
1,672
2,704
0,205
5,203
8
1,061
0,9027
0,167
1,638
2,847
0,387
5,307
9
1,000
0,9139
0,219
1,609
2,970
0,546
5,394
10
0,949
0,9227
0,262
1,584
3,078
0,687
5,469
11
0,905
0,9300
0,299
1,561
3,173
0,812
5,534
12
0,866
0,9359
0,331
1,541
3,258
0,924
5,592
13
0,832
0,9410
0,359
1,523
3,323
1,026
5,646
14
0,802
0,9453
0,384
1,507
3,407
1,121
5,693
15
0,775
0,9490
0,406
1,492
3,472
1,207
5,737
16
0,750
0,9523
0,427
1,478
3,532
1,285
5,779
17
0,728
0,9551
0,445
1,465
3,588
1,359
5,817
18
0,707
0,9576
0,461
1,454
3,640
1,426
5,854
19
0,688
0,9599
0,477
1,443
3,689
1,490
5,888
20
0,671
0,9619
0,491
1,433
3,735
1,548
5,922
21
0,655
0,9638
0,504
1,424
3,778
1,606
5,950
22
0,640
0,9655
0,516
1,415
3,819
1,659
5,979
23
0,626
0,9670
0,527
1,407
3,858
1,710
6,006
24
0,612
0,9684
0,538
1,399
3,895
1,759
6,031
25
0,600
0,9696
0,548
1,392
3,931
1,804
6,058
más de 25
3 n
10
Diagrama para desviaciones típicas
1
B1
1−
3 2n
1+
3 2n
NCh42 Tabla III Elementos principales de un diagrama de control sin especificación Parámetro que se desea controlar Elementos
Promedio
del diagrama
X
Parámetro calculado
σ
X
Intervalo
σ
R
(1)
(2)
(3)
X
σ
X + A1 σ
B4 σ
LI
X − A1 σ
B3 σ
LC
X
LC (I)
LS
(II)
LI
Fracción defectuosa
p > 0,1
p < 0,1
p > 0,1
p < 0,1
(4)
(5)
(6)
(7)
D4 R
X − A2 R
D3 R p
p
pn
pn
LC
(III)
p
np
R
X + A2 R
LS
Número de defectos
p
X
LS R
Desviación típica
p + 3
p (1 − p ) n
p+ 3
p
pn + 3 pn ( 1 − p )
p n + 3 pn
n
p − 3
LI
p (1 − p ) n
p− 3
p
pn − 3
pn ( 1 − p )
pn − 3 pn
n
3. Cuando las muestras tienen el mismo tamaño, los parámetros X , σ , R y p se calcularán de cuerdo con lo especificado en el artículo 5º, 12. 4. Cuando las muestras tienen tamaños diferentes, los elementos del diagrama variarán
dentro de él. El cálculo de X , σ , R y p se efectuará de dos maneras distintas: según que el tamaño sea mayor que 25 (muestras grandes) o menor, o igual, que 25 (muestras pequeñas). a) Muestras grandes (n > 25) . Se emplearán las fórmulas indicadas a continuación (promedios ponderados).
X =
n1 x1 + n 2 x 2 + ... + nk x k n1 + n 2 + .... + n k
σ =
n1σ 1 + n 2σ 2 + ... + n k σ k n1 + n2 + ... + nk
R =
n1 R1 + n 2 R2 + ... + n k Rk n1 + n2 + ... + n k
p =
n1 p1 + n2 p 2 + ... + nk p k n1 + n2 + ... + n k
11
NCh42 b) Muestras pequeñas ( n < 25). Para X y p se emplearán las fórmulas indicadas en 4 a). Para los otros parámetros, las que se indican a continuación:
σ i = c 2i
⋅
σe
Ri = d 2i ⋅ Re donde:
1 k
σe =
Re =
c)
σ ⎞ σ ⎛ σ1 + 2 + ... + k ⎟ ⎜ c 22 c2k ⎠ ⎝ c 21
R ⎞ R 1 ⎛ R1 + 2 + ... + k ⎟ ⎜ k ⎝ d 21 d 22 d 2k ⎠
X i σ i Ri y pi son el promedio, la desviación típica, el intervalo y la fracción
defectuosa, respectivamente, de cada muestra de tamaño ni ⋅ c 2i y d 2i
son las
constantes c 2 y d 2 (tabla IV) correspondientes al tamaño ni , de cada muestra. Para facilitar el cálculo de σ e y Re se dan, en la tabla A de las observaciones los valores
de 1 / c 2 y 1 / d 2 . Tabla IV Factores para calcular los elementos de los diagramas de control, cuando no se da una especificación Número de individuos en la muestra
Diagrama de promedios Factores para límites de control
Diagrama para desviaciones típicas Factores para línea central
n
A1
A2
c2
2 3 4 5
3,760 2,394 1,880 1,596
1,880 1,023 0,729 0,577
0,5642 0,7236 0,7979 0,8407
6 7 8 9 10
1,410 1,277 1,175 1,094 1,028
0,483 0,419 0,373 0,337 0,308
0,8686 0,8882 0,9027 0,9193 0,9227
Factores para límites de control B3
Diagrama para intervalos Factor para línea central
Factores para límites de control D3
D4
B4
d2
0 0 0 0
3,267 2,568 2,266 2,089
1,128 1,693 2,059 2,326
0 0 0 0
3,267 2,575 2,282 2,115
0,030 0,118 0,185 0,239 0,284
1,970 1,882 1,815 1,761 1,716
2,534 2,704 2,847 2,970 3,078
0 0,076 0,136 0,184 0,223
2,004 1,924 1,864 1,816 1,777
(continúa)
12
NCh42 Tabla IV Factores para calcular los elementos de los diagramas de control, cuando no se da una especificación
(conclusión) Número de individuos en la muestra
Diagrama de promedios Factores para límites de control
Diagrama para desviaciones típicas Factores para línea central
Factores para límites de control
Diagrama para intervalos Factor para línea central
Factores para límites de control
n
A1
A2
c2
B3
B4
d2
D3
D4
11 12 13 14 15
0,973 0,925 0,884 0,848 0,816
0,285 0,266 0,249 0,235 0,223
0,9300 0,9359 0,9410 0,9453 0,9490
0,321 0,354 0,382 0,406 0,428
1,679 1,646 1,618 1,594 1,572
3,173 3,258 3,336 3,407 3,472
0,256 0,284 0,308 0,329 0,348
1,744 1,716 1,692 1,671 1,652
16 17 18 19 20
0,788 0,762 0,738 0,717 0,697
0,212 0,203 0,194 0,187 0,180
0,9523 0,9551 0,9576 0,9599 0,9619
0,448 0,466 0,482 0,497 0,510
1,552 1,534 1,518 1,503 1,490
3,532 3,588 3,640 3,689 3,735
0,364 0,379 0,392 0,404 0,414
1,636 1,621 1,608 1,596 1,586
21 22 23 24 25
0,679 0,662 0,647 0,632 0,619
0,173 0,167 0,162 0,157 0,153
0,9638 0,9655 0,9670 0,9684 0,9696
0,523 0,534 0,545 0,555 0,565
1,477 1,466 1,455 1,445 1,435
3,778 3,819 3,858 3,895 3,931
0,425 0,434 0,443 0,452 0,459
1,575 1,566 1,557 1,548 1,541
más de 25
3 n
1
1 −
3 2n
1+
3 2n
5. El número k de muestras (muestras piloto) que se elijan deberá ser suficiente para fijar con determinada certeza, los valores de los parámetros que se considerarán comunes a toda la producción bajo control. 6. Cuando el tamaño de la muestra es superior a 25, no se llevarán diagramas de control cuyos elementos se calculan mediante los factores A2 , d 2 , D3 y D4 . Artículo 10º
A los elementos de un diagrama, cuyo cálculo conduzca a una cantidad negativa, se les asignará el valor 0.
13
NCh42
E) ANEXO I. CALCULO DE PARAMETROS 1. Promedio aritmético (artículo 3º, 12).
Se han obtenido las siguientes observaciones de una característica:
X = 12,0; 12,6; 14,4; 14,9; 15,5; 16,2; 16,7; 17,6; 18,0; 18,3. Su promedio será: X = (12,0 + ... + 18,3) /10 = 15,62. 2. Intervalo (artículo 3º, 13).
Con las cifras de las observaciones anteriores tendremos:
R = 18,3 - 12,0 = 6,3. 3. Desviación típica (artículo 3º, 14)
Con las cifras de las observaciones anteriores tendremos:
σ =
(12,0 2 + ... + 18,3 2 ) / 10 − 15,62 2 = 2,06
Existen, prácticamente, otras dos formas de cálculo: método del falso cero en población pequeña y método del falso cero en población numerosa. a) Falso cero en población pequeña: Se pueden deducir, en un mismo cuadro, el promedio y la desviación típica usando un falso cero, aproximadamente igual al promedio, lo que permite operar con cifras más pequeñas. El cálculo se dispondrá como se indica en la tabla a. Promedio respecto del cero verdadero X = 15 + 0,62 = 0,62 = 15,62 Cuadrado de la desviación típica:
σ 2 = 4,636 − (0,62) 2 = 4,636 − 0,3844 = 4,251 6 Desviación típica: σ =
14
4,2516 = 2,06
NCh42 b) Falso cero en población numerosa: Un ejemplo de este cálculo se encuentra indicado en la tabla b. En caso de muchas observaciones ( X 1 , X 2 , ... X n ), se dividirá el intervalo total de variación en 10 a 20 intervalos menores generalmente iguales ( X
ª
− X 1 = X b − X = ... = X n − X p , ª
iguales a 0,3 en nuestro ejemplo). Se llevará entonces a una tabla, en la primera columna, los valores medios de cada intervalo
Xn − X p X a − X1 X b − X a ; ; ⋅ ⋅⋅; y 2 2 2
frente a ellos, en una segunda columna, la frecuencia de las observaciones dentro de cada intervalo (a, b − a, ..., n − p ). Se elegirá, enseguida, un falso cero (F ) aproximadamente igual al promedio. Generalmente se elige como F el valor que corresponde a una máxima frecuencia (2,8 en nuestra tabla). En la columna 3 de la tabla se anotarán las diferencias a partir de 2,8, en intervalos, o sea, referidos a 0,3. Así por ejemplo para 1,6 se tendrá:
1,6 − 2,8 1,2 =− =−4 0,3 0,3 En la columna 4 de la tabla se anotarán los productos de los valores de las columnas 2 y 3 con el signo correspondiente y las sumas de las cantidades negativas y positivas. En la columna 5 se anotarán los productos de los valores de las columnas 3 y 4. La continuación del cálculo y la obtención de los resultados se consignan, en detalle, a continuación de la tabla b. Tabla a Cálculo del promedio y de la desviación típica Valores observados
Diferencias de 15 (Desviaciones del falso cero)
Cuadrados de las diferencias
(X)
( X - 15)
( X - 15)
C1
C2
C3
2
12,0
- 3,0
9,00
12,6
- 2,4
5,76
14,4
- 0,6
0,36
14,9
- 0,1
0,01
15,5
+ 0,5
0,25
16,2
+ 1,2
1,44
16,7
+ 1,7
2,89
17,6
+ 2,6
6,76
18,0
+ 3,0
9,00
18,3
+ 3,3
10,89
Totales Promedios ( n = 10)
12,3 - 6,1 = + 6,2 6,2/10 = 0,62
46,36 46,36/10 = 4,636
15
NCh42 Tabla b Cálculo del promedio y de la desviación típica en el caso de observaciones numerosas Puntos medios de los grupos
Número de observaciones en cada grupo
Distancia de 2,8 en intervalos
C1
C2
C3
C2
⋅
C3
C3
⋅
C4
C5
C4
1,0
2
-6
- 12
72
1,3
29
-5
- 145
725
1,6
62
-4
- 248
992
1,9
106
-3
- 318
954
2,2
153
-2
- 306
612
2,5
186
-1
- 186
186
2,8
193
0
3,1
188
+1
188
188
3,4
151
+2
302
604
3,7
123
+3
369
1 107
4,0
82
+4
328
4,3
48
+5
240
1 312 1 200
4,6
27
+6
162
972
4,9
14
+7
98
686
5,2
5
+8
40
320
5,5
1
+9
9
81
- 1 215
0
+ 1 736 Totales
1 370
1 736 - 1 215 = + 521
10 011
Promedio
Promedio relativo al falso cero (2,8)
= 521/1 370 = 0,38 (en intervalos) = 0,38 x 0,3 (en unidades reales) = 0,114
Promedio verdadero X
= 2,8 + 0,114 = 2,914
16
NCh42 Desviación típica
Cuadrado de la desviación típica relativa al falso cero = 10 011/1 370 = 7,307 Cuadrado de la desviación típica = 7,307 - 0,382 = 7,307 - 0,144 4 = 7,162 6 (en intervalos) Desviación típica
=
7,162 6
= 2,676 (en intervalos) = 2,676 x 0,3 (en unidades reales) σ = 0,803 4. Fracción defectuosa y número de defectos (artículo 3º, 15 y 16)
En la tabla c se consigna el método de cálculo y de ordenación para la fracción defectuosa y el número de defectos en el caso de 3 000 observaciones divididas en 5 grupos de 600 cada uno. Tabla c Fracción defectuosa y número de defectos Sub-grupo
Número de unidades inspeccionadas
Unidades defectuosas (número de defectos)
Nº
n
n1 = n p
n1 / n = p
1
600
25
0,042
4,2
2
600
16
0,027
2,7
3
600
19
0,032
3,2
4
600
37
0,062
6,2
5
600
34
0,023
2,3
Total
3 000
111
Promedio p =
Fracción defectuosa 100 p %
Promedio 3,7%
111 = 0,037 = 3,7% 3 000
La fracción defectuosa se usa en el caso que se consideren los atributos, como por ejemplo, en los casos de piezas calibradas según el sistema de “pasa y no pasa” o bien de defectos tales como manchas, mal acabado u otros defectos inspeccionados visualmente. Se usará de preferencia el diagrama de p cuando n ≥ 50 , o bien, cuando el número de defectos probables por sub-grupo es de 4 o más de 4, o sea cuando: p ⋅ n ≥ 4.
17
NCh42 El diagrama del número de defectos p⋅ n, o sea la fracción defectuosa multiplicada por el tamaño de la muestra, se usará de preferencia cuando todas las muestras son de igual tamaño.
II. EJEMPLOS DE CONTROL RESPECTO DE UNA ESPECIFICACION 1. Ejemplo E1
Un fabricante desea mantener el promedio y la desviación típica de cierta característica de calidad dentro de los límites aceptables de variación que exigen las prescripciones promedio X ´ = 35 kg; desviación típica σ ' = 4,20 kg. Con este propósito toma diariamente muestras iguales de 50 individuos (n = 50) . Los datos que ha obtenido en 10 días consecutivos están consignados en la tabla d. Tabla d
Nº
Tamaño de la muestra n
1
50
35,7
5,35
2
50
34,6
5,03
3
50
32,6
3,43
4
50
35,3
4,55
5
50
33,4
4,10
6
50
35,2
4,30
7
50
33,3
5,18
8
50
33,9
5,30
9
50
32,3
3,09
10
50
33,7
3,67
Σ =
500
340,0
44,00
Muestra
Promedio
Desviación típica
X
σ
Se trata, en este caso, de muestras grandes (n > 25) , iguales.
18
NCh42 a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla II obtiene:
A =
3 = n
3 = 0,424 50
Luego:
LC = X ' = 35
LS = X ' + Aσ ' = 35 + 0,424 ⋅ 4,2 = 36,78 LI = X ' − Aσ ' = 33,22 Con estos valores traza los elementos del diagrama de promedio P1 . b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II obtiene:
c 2 = 1; B2 = 1 +
3 = 1 + 2n
3 = 1, 3; B1 = 1 − 100
3 = 0,7 2n
Luego:
LC = c 2 σ ' = σ ' = 4,2 LS = B2 σ ' = 1,3 ⋅ 4,2 = 5,46 LI = B1 σ ' = 0,7 ⋅ 4,2 = 2,94 Con estos valores traza los elementos del diagrama de desviaciones típicas D1 .
19
NCh42 c) Diagramas En el diagrama P1 coloca, uno a uno, los promedios observados y con el diagrama D1 , las desviaciones típicas observadas. Enseguida une los puntos con trazos rectos. (Diagrama I).
d) Conclusiones Del diagrama de promedios concluye que, en el tercer y noveno días, hubo falta de control o causa asignable de perturbación en algún proceso de la fabricación. 2. Ejemplo E2
Un industrial desea mantener el promedio y la desviación típica de cierta característica de calidad dentro de los límites aceptables de variación que exigen las prescripciones: promedio X ' = 54; desviación típica σ ' = 3,5 .
20
NCh42 Con este propósito toma diariamente muestras de tamaño proporcional al de la producción ( n =50; 100). Los datos que ha obtenido en 10 días consecutivos de control están consignados en la tabla e. Se trata, en este caso, de muestras grandes (n > 25) , desiguales. a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla (II) obtiene: para n = 50
: A =
3 n
=
3 50
para n = 100
: A' =
3 n
=
3 = 0,300 100
= 0,424
Luego: para n = 50
: LC = X ' = 54
LS = X ' + Aσ ′ = 54 + 0,424 ⋅ 3,5 = 55,48 LI = X ' − Aσ ′ = 52,52 para n = 100
: LC = X ' = 54
LS = X ' + Aσ ' = 54 + 0,300 ⋅ 3,5 = 55,05 LI = X ' − Aσ ' = 52,95 Con estos valores traza los elementos del diagrama de promedio P2 . Tabla e Día 1
Tamaño de la muestra
n 50
Promedio
Desviación típica
X
σ
55,7
4,35
2
50
54,6
4,03
3
100
52,6
2,43
4
50
55,0
3,56
5
50
53,4
3,10
6
50
55,2
3,30
7
100
53,3
4,18
8
100
52,3
4,30
9
50
53,7
2,09
10
50
54,3
2,67
21
NCh42 b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II obtiene: para n = 50
para n = 100
:
:
c2 = 1 B2 = 1 +
3 = 1 + 2n
B1 = 1 −
3 2n
3
2 ⋅ 50
= 1,3
= 0,7
c' 2 = 1 B' 2 = 1 +
3 2n
B '1 = 1 −
3 = 0,788 2n
=1+
3 = 1 + 0,212 = 1,212 2 ⋅ 100
Luego: para n =50
:
LC = c 2 σ ' = σ ' = 3,5
LS = B2σ ' = 1,3 ⋅ 3,5 = 4,55 LI = B1σ ' = 0,7 ⋅ 3,5 = 2,45 para n = 100
:
LC = c' 2 σ ' = σ ' = 3,5 LS = B' 2 σ ' = 1,212 ⋅ 3,5 = 4,24 LI = B '1 σ ' = 0,788 ⋅ 3,5 = 2,76
Con estos valores traza los elementos del diagrama de desviaciones típicas D2 .
22
NCh42 c) Diagramas En el diagrama P2 coloca, uno a uno, los promedios observados y en el D2 , las desviaciones típicas observadas. Enseguida une los puntos con trazos rectos (Diagrama II).
d) Conclusiones De ambos diagramas concluye que la calidad de su producción no ha alcanzado los niveles que se había fijado, puesto que repetidas observaciones dan valores que salen fuera de los límites tanto en uno como en otro diagrama. El industrial deberá revisar el proceso de fabricación y verificar si es posible, con los medios de que dispone, llegar a los niveles deseados.
23
NCh42 3. Ejemplo E3
Se están produciendo tubos de vidrio para cuyo diámetro interior el fabricante se ha fijado las especificaciones: X ' = 6,23 mm, σ ' = 0,056 mm. Para los efectos del control, se han tomado siete muestras sucesivas de ocho observaciones cada una, obteniendo los resultados que se consignan en la tabla f. Tabla f Promedio X mm
mm
1
8
6,234
0,055
2
8
6,235
0,053
3
8
6,219
0,032
4
8
6,219
0,071
5
8
6,204
0,050
6
8
6,259
0,049
7
8
6,215
0,053
Nº
Se trata de muestras chicas (n < 25) , iguales. a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla II se obtiene:
A = 1,061 Luego:
LC = X ' = 6,23 LS = X ' + Aσ ' = 6,23 + 1,061 ⋅ 0,056
= 6,23 − 0,059 = 6,29 LI = X ' − Aσ ' = 6,23 − 0,059 = 6,17 (Diagrama P3)
24
Desviación típica σ
Tamaño de la muestra n
Muestra
NCh42 b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II se obtiene:
c2 = 0,9027; B2 = 1,638; B1 = 0,167 Luego:
LC = c 2σ ' = 0 ,902 7 ⋅ 0 ,056 = 0 ,050 6 LS = B2σ ' = 1,638 ⋅ 0,056 = 0,091 7
LI = Bσ ' = 0,167 ⋅ 0,056 = 0,009 3 (Diagrama D3)
25
NCh42 c) Diagramas Ver diagrama III. d) Conclusiones De los diagramas se concluye que la producción está bien controlada, en lo que a estas siete muestras respecta.
4. Ejemplo E4
Un industrial desea controlar la resistencia eléctrica, de ciertos artefactos que produce, después de hacerlos trabajar durante 100 h.
26
NCh42 De cada 10 lotes ha elegido, al azar, una muestra de cinco unidades que somete a la prueba mencionada. Por causas extrañas algunos de los artefactos fallaron, de modo que ciertas muestras quedaron reducidas a tres individuos. Los resultados obtenidos están consignados en la tabla g. El industrial se ha fijado las especificaciones: X ' = 150 ohm; σ ' = 7,5 ohm. Tabla g Muestra
Tamaño n
Promedios
Nº
Desviación típica
1
5
154,6
12,20
2
5
143,4
9,75
3
5
136,0
4,32
4
3
152,7
7,43
5
3
147,3
8,65
6
3
161,7
9,23
7
5
151,0
7,24
8
5
156,2
8,92
X
σ
9
5
153,8
6,85
10
3
138,2
7,38
Se trata, en este caso, de muestras chicas (n < 25) , desiguales. a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla II obtiene: para n = 3
:
A = 1,732
para n = 5
:
A' = 1,342
:
LC = X ' = 150
Luego: para n = 3
LS = X ' + Aσ ' = 150 + 1,732 ⋅ 7,5 = 163,0 LI = X ' − A σ ' = 137,0 para n =5
:
LC = X ' = 150
LS = X ' + A 'σ ' = 150 + 1,342 ⋅ 7,5 = 160,1 LI = X ' − A'σ ' = 139,9 (Diagrama P4)
27
NCh42 b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II obtiene: para n = 3
:
c 2 = 0,7236
B2 = 1,858
B1 = 0
para n = 5
:
c' 2 = 0,8407
B ' 2 = 1,756
:
LC = c 2σ ' = 0,7236 ⋅ 7,5 = 5,43
B '1 = 0
Luego: para n = 3
LS = B2σ ' = 1,858 ⋅ 7,5 = 13,5
LI = B1σ ' = 0 para n = 5
:
LC = c' 2 σ ' = 0,8407 ⋅ 7,5 = 6,31 LS = B' 2 σ ' = 1,756 ⋅ 7,5 = 13,2
LI = B' 2 σ ' = 0 (Diagrama D4)
28
NCh42 c) Diagramas Ver diagrama IV.
d) Conclusiones Salvo la muestra número tres, que denota perturbación apreciable, la producción se mantiene en un nivel más o menos aceptable. Sin embargo, la cercanía de algunos valores a los límites de control hace pensar en la necesidad de ajustar algo más los métodos productivos, con fines de mayor seguridad.
29
NCh42 5. Ejemplo E5
Un fabricante de golillas galvanizadas desea controlar su producción respecto al acabado de las golillas, al nivel de cuatro defectos por cada 1 000 golillas ( p ' = 0,004). Los defectos pueden ser puntos en que el zinc no ha tomado, dejando el acero expuesto, o bien, golillas en las que el galvanizado no es parejo. Con este objeto toma muestras de 400 golillas cada una, correspondientes a lotes sucesivos. Los resultados obtenidos con 10 lotes están consignados en la tabla h. Tabla h Lote Nº
Tamaño de la muestra n
Número de defectos
Fracción defectuosa
p ⋅ n
p
1
400
1
0,0025
2
400
3
0,0075
3
400
0
0
4
400
7
0,0175
5
400
2
0,0050
6
400
0
0
7
400
1
0,0025
8
400
0
0
9
400
8
0,0200
10
400
5
0,0125
Se trata de muestras iguales con p ' < 0,1 . a) Número de defectos [columna (7), tabla I]
LC = p' n = 0,004 ⋅ 400 = 1,6
30
LS = p' n + 3
p' n = 1,6 + 3 1,6 = 1,6 + 3,8 = 5,4
LI = p ' n − 3
p ' n = (negativo) = 0
NCh42 b) Diagrama Ver diagrama V. c) Conclusiones Es evidente la falta de control en los lotes correspondientes a las muestras 4 y 9.
6. Ejemplo E6 En una fabricación se desea controlar la capacidad de un producto al nivel p ' = 0,014, o sea, 14 defectos por mil. Debido al carácter de la fabricación, se toman muestras iguales al 10% de la producción diaria, que es variable, y resultan así muestras de diferentes tamaños; en consecuencia, los límites de control resultan distintos según el tamaño de la muestra.
31
NCh42 Las observaciones obtenidas en 10 lotes se consignan en la tabla i. Tabla i
Nº
Tamaño de la muestra n
1
580
9
0,0155
2
550
7
0,0127
3
580
3
0,0052
4
640
9
0,0141
5
550
10
0,0182
6
580
12
0,0207
7
580
7
0,0121
8
550
5
0,0091
Lote
Número de defectos
Fracción defectuosa
p ⋅ n
p
9
330
4
0,0121
10
330
2
0,0061
Se trata, en este caso, de muestras diferentes, con p ' < 0,1. a) Fracción defectuosa [columna (5), tabla I]
LC = p' = 0,014 LS = p' + 3
p' n
LI = p' − 3
p' n
Con estas fórmulas obtenemos:
32
Muestra Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
LS
0,029
0,029
0,029
0,028
0,029
0,029
0,029
0,029
0,033
0,033
LI
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
NCh42 b) Diagrama Ver diagrama VI.
c) Conclusiones De los límites del diagrama y de las observaciones obtenidas deducimos que la producción se encuentra bajo un control satisfactorio.
33
NCh42
III. EJEMPLOS DE CONTROL SIN ESPECIFICACION 1. Ejemplo E7 Un industrial desea saber si su producción está controlada y averiguar si hay o no causas extrañas de perturbación. Con tal propósito toma muestras diarias de 50 individuos, durante 10 días consecutivos. Los resultados obtenidos se encuentran consignados en la tabla j. Se trata de muestras grandes (n > 25) e iguales. a) Promedios [columna (1) línea (I), tabla III] El industrial ha determinado los valores X = 33,9 y σ = 4,40 de la tabla j. De la tabla IV obtiene:
A1 =
3 3 = = 0,425 50 n
Luego:
LC = X = 33,9 LS = X + A1 σ = 33,9 + 0,425 ⋅ 4,40 = 33,9 + 1,9 = 35,8 LI = X − A1σ = 33,9 − 1,9 = 32,0 Ver diagrama P7. Tabla j
Nº
Tamaño de la muestra n
X
σ
1
50
34,8
5,35
2
50
35,1
4,00
3
50
33,2
4,55
4
50
35,2
3,73
5
50
35,0
4,73
6
50
31,5
3,77
7
50
32,0
5,30
8
50
33,4
4,30
Muestra
Desviaciones típicas
9
50
33,9
4,98
10
50
34,8
3,29
500
338,9
Totales Promedios
34
Promedio
X = 33,9
44,00
σ
= 4,40
NCh42 b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla III] De la tabla IV obtiene:
B4 = 1 +
3 3 =1+ = 1,3 2n 100
B3 = 1 −
3 = 0,7 2n
Luego:
LC = σ = 4,40 LS = B4 σ = 1,3 ⋅ 4 ,40 = 5,72 LI = B3 σ = 0,7 ⋅ 4,40 = 3,08 Ver diagrama D7
35
NCh42 c) Diagramas Ver diagrama VII. d) Conclusiones Los promedios acusan falta de control en la producción de los días 6º y 7º.
2. Ejemplo E8 Un industrial desea averiguar si existen causas asignables a cierta característica de un artículo que produce. Para ello examina 10 lotes sucesivos de los cuales ha tomado muestras de 50 y 100 individuos.
36
NCh42 Las observaciones se encuentran consignadas en la tabla k. Tabla k Tamaño de la muestra n
Lote Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Promedios
Desviación típica
X 55,0 55,2 54,4 53,3 52,3 55,6 53,4 55,7 55,3 54,5
4,36 4,04 2,42 3,55 2,09 4,18 3,56 2,67 2,43 4,03
∑ nX = 40 790
∑ nσ = 2 405
50 50 50 100 100 50 50 100 100 100
Total
∑ n = 750
Promedios ponderados
X =
∑ nX ∑n
=
40 790 750
= 54,4
σ
σ =
∑ nσ ∑n
=
2 405 750
= 3,21
Se trata en este caso de muestras grandes (n > 25), de tamaños diferentes. a) Promedios [columna (1), línea (1), tabla III] Los valores de X y σ los calcula de acuerdo con el artículo 9º, inciso 4 a) y obtiene:
σ = 3,21
X = 54,4 De la tabla IV obtiene:
3 3 = = 0,425 n 50
para n = 50
:
A1 =
para n = 100
:
A´1 =
:
LC = X = 54,4
3 100
= 0 ,3
Luego: para n = 50
LS = X + A1σ = 54,4 + 1,4 = 55,8 LI = X − A1σ = 53,0
37
NCh42 para n = 100
:
LC = X = 54,4 LS = X + A'1 σ = 54,4 + 1,0 = 55,4 LI = X − A'1 σ = 53,4
Ver diagrama P8 b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla III] De la tabla IV obtiene: para n = 50
para n = 100
:
:
B4 = 1 +
3
B3 = 1
3
B' 4 = 1 + B'3 = 1 −
2n
2n
=1 +
3 100
= 1,3
= 0,7
3 200
= 1 + 0,21 = 1,21
3 = 1 − 0,21 = 0,79 200
Luego: para n = 50
:
LC = σ = 3,21 LS = B4σ = 1,3 ⋅ 3,21 = 4,17
LI = B3σ = 0,7 ⋅ 3,21 = 2,25 para n = 100
:
LC = σ = 3,21 LS = B' 4 σ = 1,21 ⋅ 3,21 = 3,89
LI = B '3 σ = 0,79 ⋅ 3,21 = 2,53 Ver diagrama D8
38
NCh42 c) Diagramas Ver diagrama VIII.
d) Conclusiones El diagrama VIII muestra que la producción tiene un bajo nivel de control y que existen causas asignables de perturbación.
39
NCh42 3. Ejemplo E9 Un productor de cables de acero ha tomado muestras de cuatro cables, de cada uno de 10 lotes y los ha sometido a ensayos de tracción. El industrial desea controlar su producción respecto del promedio y el intervalo. Los resultados se encuentran consignados en la tabla I. Tabla I Ensaye de resistencia a la ruptura de cable de acero Ensayos
Lote Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1 3 2 3 3 3 2 2 3 2 3
397,3 971,0 172,8 195,5 045,8 986,8 993,7 023,2 921,0 020,9
x3
x2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3
417,8 946,0 172,8 202,3 057,1 007,3 989,1 025,5 914,2 007,3
3 2 3 3 3 3 2 3 2 2
381,5 959,6 161,4 218,2 075,3 027,7 998,2 007,3 930,1 996,0
x4 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3
392,5 932,4 120,7 191,0 048,1 014,1 016,4 020,9 934,6 005,0
∑ Promedios
∑ / 10
Promedio X 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3
397,3 952,2 156,9 201,8 056,6 009,0 999,4 019,2 925,0 007,3
Intervalo R 36,3 38,6 52,1 27,2 29,5 40,9 27,3 18,2 20,4 24,9
30 724,7
315,4
3 072,5
31,5
Se trata, en este caso, de muestras chicas (n < 25) e iguales. Según el artículo 9º, inciso 2, le resulta satisfactorio el control respecto de R , puesto que n < 10. a) Promedios [columna (1), línea (II), tabla III] Los valores de X y R los obtiene de acuerdo con el artículo 9º, inciso 3 y le resultan:
X = 3 072,5
R = 31,5
De la tabla IV obtiene:
A2 = 0,729 Luego:
LC = X = 3 072,5 LS = X + A2 R = 3 072,5 + 0,729 LI = X − A2 R = 3 049,5 Ver diagrama P9
40
⋅
31,5 = 3 095,5
NCh42 b) Intervalo [columna (3), tabla III] De la tabla IV obtiene:
D4 = 2,282 ;
D3 = 0
Luego:
LC = R = 31,5 LS = D4 R = 2,282 ⋅ 31,5 = 72 LI = D3 R = 0 Ver diagrama R9
41
NCh42 c) Diagramas Ver diagrama IX.
d) Conclusiones De la observación del diagrama P9, deduce que existe anormalidad en la producción.
42
NCh42 4. Ejemplo E10 En un laboratorio hay 16 máquinas de tensión del tipo horizontal. Se hacen ensayos con alambres de igual diámetro en todas las máquinas y se obtienen los resultados apuntados en la tabla m. Debido a causas externas algunos ensayos han debido eliminarse de modo que resultan muestras de cuatro y de cinco ensayos. Tabla m Calibración de máquinas horizontales de tracción Promedio
Valores de los ensayos
Máquina Nº
Nº de ensayos
1
2
3
4
5
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4
73 70 74 70 70 65 72 69 71 71 71 70 73 74 72 75
73 71 74 70 70 65 72 70 71 71 71 71 74 74 72 75
73 71 74 70 70 66 74 71 71 71 72 71 74 75 72 75
75 71 74 72 70 69 76 73 71 71 72 72 75 75 73 76
75 72 75 73 70 70 73 72 72 72 72 75 75 73 -
73,8 71,0 74,2 71,0 70,0 67,0 73,5 71,2 71,2 71,2 71,6 71,2 74,2 74,6 72,4 75,3
78
Sumas Promedio ponderado X
Desviación típica σ
n= 4
n =5
0,44
0,98 0,63 0,40 1,26 0 2,10 1,60 0,40 0,40 0,49 0,75 0,75 0,49 0,49 -
2,10
10,74
1,66
72,03
Se trata, en este caso, de muestras chicas ( n < 25), de tamaños diferentes. a) Promedios [columna (1), línea (I); tabla (II)] Para el cálculo de X se empleará lo prescrito en el artículo 9º, inciso 4 b) y se obtendrá: X = 72,03 . Como lo indica el mismo inciso, el cálculo de σ se realizará de la siguiente manera: De la tabla IV y la A de Observaciones: para n = 4
c 2 = 0,797 9
1 / c 2 = 1,253 3
para n = 5
c´ 2 = 0 ,840 7
1 / c' 2 = 1,189 4
43
NCh42 Puesto que el número de muestras es k = 16 tendremos:
σe =
1 [1,253 3 ⋅ 2,10 + 1,189 4 ⋅ 10,74] 16
σe =
15,4 = 0,96 16
Luego: para n = 4
σ = 0,79 9 ⋅ 0,96 = 0,77
para n = 5
σ ' = 0,840 7 ⋅ 0,96 = 0,81
Ahora bien, de la tabla IV obtenemos: para n = 4
: A1 = 1,880
para n = 5
: A'1 = 1,596
Luego: para n = 4
: LC = X = 72,03
LS = X + A1σ = 72,03 + 1,880 ⋅ 0,77 = 72,03 + 1,45 = 73,48 LI = X − A1σ = 70,58 para n = 5
: LC = X = 72,03
LS = X + A'1 σ ' = 72,03 + 1,596 ⋅ 0,81 = 72,03 + 1,29 = 73,32 LI = X − A'1 σ ' = 70,74 Ver diagrama P10 b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla III] De la tabla IX obtenemos:
44
para n = 4
: B4 = 2,266
B3 = 0
para n = 5
: B ' 4 = 2,089
B'3 = 0
NCh42 Luego: para n = 4
: LC = σ = 0,77
LS = B4σ = 2,266 ⋅ 0,77 = 1,74 LI = B3σ = 0,00 para n = 5
: LC = 0,81
LS = Bσ ' = 2,089 ⋅ 0,81 = 1,69 LI = B '3 σ ' = 0,00 Ver diagrama D10
45
NCh42 c) Diagramas Ver diagrama X.
d) Conclusiones De los diagramas se concluye que hay fuertes variaciones de la calidad de las máquinas unas respecto de las otras (Diagrama P10), y, caída de la calidad en la máquina número 6 (Diagrama D10).
46
NCh42 5. Ejemplo E11 En una fábrica de conductores revestidos, se somete el conductor a una prueba de aislación que consiste en dar al alambre una tensión determinada y hacerlo pasar, en forma continua, a través de la máquina de ensaye. Si el revestimiento es defectuoso el conductor se corta en los puntos débiles. Habrá entonces un cierto número de cortaduras por cada longitud que se haya elegido como unidad. Tabla n - Número de cortaduras en longitudes sucesivas de 3 000 m cada una Longitudes de 3 000 m c/u
Número de cortaduras
Longitudes de 3 000 m c/u
Nº
Número de cortaduras
Longitudes de 3 000 m c/u
Nº
Número de cortaduras
Nº
Longitudes de 3 000 m c/u
Número de cortaduras
Nº
1
1
9
1
17
1
24
7
2
1
10
1
18
6
25
9
3
3
11
10
19
12
26
2
4
7
12
5
20
4
27
3
5
8
13
0
21
5
28
14
6
1
14
19
22
1
29
6
7
2
15
16
23
8
30
8
6
16
20
-
-
-
-
TOTALES
30
187
8
En el caso que tratamos se eligió una longitud de 3 000 m porque se determinó, en ensayos previos, que en longitudes menores el número de defectos era muy pequeño. Los resultados obtenidos en 90 000 m de alambre (30 longitudes de 3 000 m cada una) se consignan en la tabla n. Se trata entonces de llevar un diagrama del número de defectos ( pn) , de muestras iguales (3 000 m). a) Número de defectos [(columna 7), tabla III] Elegimos las fórmulas de las columnas c7 porque; si consideramos la fracción defectuosa, por metro, tendremos:
p=
187 < 0,1 90 000
47
NCh42 Luego:
LC = pn =
187 = 6,23 ≈ 6,2 30
LS = pn + 3
pn = 6,2 + 3 6,23 = 6,2 + 7,5 = 13,7
LI = pn − 3 pn = 6,2 − 7,5 = neg. = 0 b) Diagramas Ver diagrama XI.
c) Conclusiones El diagrama muestra causas asignables en las longitudes números 14, 15, 16 y 28. Estos defectos pueden deberse a mala calidad de la aislación, colocación defectuosa de ella, etc.
48
NCh42 6. Ejemplo E12
Se han examinado 10 lotes de cierto producto en planchas, revestido, y se han encontrado defectos en este revestimiento, según se anota en la tabla p. Se trata en este caso de muestras de tamaños diferentes, por lo tanto, habrá que llevar control del parámetro fracción defectuosa ( p ) . Tabla p Número de piezas defectuosas pn
Lote
Tamaño de la muestra
Nº
n
1
500
9
0,0180
2
500
10
0,0200
3
800
12
0,0150
4
800
14
0,0175
5
500
8
0,0160
6
880
14
0,0159
7
550
10
0,0182
8
500
12
0,0240
9
880
7
0,0080
3
0,0034
10
880
TOTAL
6 790
Fracción defectuosa p
99
a) Fracción defectuosa [columna (5), tabla III] Se han tomado las fórmulas de la columna (5) porque de la tabla p, de datos, obtenemos:
p=
99 = 0,014 6 < 0,1 6 790
Luego:
LC = p = 0,014 6 LS = p + 3
p n
LI = p − 3
p n
49
NCh42 De estas fórmulas se obtienen los valores: Lote Nº LS LI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0308 0,0308 0,0275 0,0275 0,0308 0,0269 0,0302 0,0308 0,0269 0,0269 0
0
0,0017 0,0017
0
0,0023
0
0
0,0023 0,0023
b) Diagramas Ver diagrama XII.
c) Conclusiones El diagrama muestra control satisfactorio y ausencia de causas asignables.
50
10
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