HORMIGON ARMADO II - EJEMPLO MUROS ACOPLADOS
En la figura se muestra un sistema de muros acoplados de 8 pisos de altura, sometido a una distribución lateral uniforme de fuerzas sísmicas equivalentes. Se requiere diseñar el sistema, considerando: Espesor elementos: 20 cm o Hormigón tipo H25; Acero refuerzo o A44-28H Cargas: o Lateral (sismo): 10 [T/piso] Vertical (gravitacional): 50 [T / piso]
Tip 0.5 m
m 5 . 2 @ 8
PROCEDIMIENTO SUGERIDO a)
Análisis lineal:
Modelo estructural: Incluya un esquema del modelo de análisis, incluyendo todos los detalles y nomenclatura que sea necesaria para entender los resultados. Indique el programa de análisis estructural utilizado.
6m
1.5 m
4m
Resultados análisis: Incluya en Anexo listados de archivos de datos y salida de resultados. Los resultados deben incluir desplazamientos nodales, reacciones y fuerzas internas en los elementos, para cada estado de carga y combinación por separado, en listados y dibujos. Incluya todas las combinaciones que sean pertinentes. Dibuje diagramas de momento y corte en la altura para los muros y dinteles, dinteles, para las combinaciones críticas de diseño. El resumen de lo más relevante para el diseño debe ir en el cuerpo del informe. b) Diseño Dinteles: Diseño en flexión según norma. Considere y verifique cuantías máximas y mínimas para este tipo de elementos. Verifique cálculo con doble armadura si es necesario. Recuerde que fuerzas laterales actúan en ambos sentidos. Defina dos o tres tipos tipos de dinteles en la altura, de acuerdo al diseño. diseño. Detalle refuerzo, indicando barras, anclajes, separaciones, etc., en planos de elevación y cortes.
Diseño al corte. Realizar diseño por capacidad. Calcular corte asociado al desarrollo de rótulas plásticas en ambos extremos, considerando resistencia probable a la flexión. Verificar cuantías mínimas y máximas de refuerzo transversal. De ser necesario, utilizar refuerzo diagonal y modificar diseño refuerzo longitudinal. Detallar refuerzo.
1
c) Diseño en Flexión de Muros: Diseño en flexión según norma. Considere y verifique cuantías máximas y mínimas para este tipo de elementos. Detalle claramente el cálculo del refuerzo para cada piso. Recuerde que fuerzas laterales actúan en ambos sentidos. Verifique la necesidad de confinar elementos de borde. Detalle refuerzo, indicando barras, anclajes, traslapos, separaciones, etc. en planos de elevación y cortes.
d) Mecanismo de Colapso: Defina el mecanismo de colapso. Calcule carga última considerando las capacidades en flexión de los dinteles y muros ya diseñados. No olvide que muros están en flexo-compresión. Compare carga de colapso con carga de servicio y carga última de diseño. Comente.
e) Diseño al Corte de Muros: Determine fuerzas de corte en cada muro, en cada piso, asociadas al mecanismo de colapso, considerando resistencias probables. No olvide que algunos muros están comprimidos y otros traccionados, lo que condiciona la distribución de cortes. Recuerde que fuerzas laterales actúan en ambos sentidos. Diseñe los muros considerando el factor φ apropiado. Detalle refuerzo, indicando barras, anclajes, traslapos, separaciones, etc. en planos de elevación y cortes. f)
Estimar la capacidad de deformación del muro.
OBSERVACIONES GENERALES Este es un informe técnico, que debe ser claro y preciso, conteniendo todo lo necesario para entender lo que se hizo sin dejar lugar a dudas.
Lo que no es relevante o pertinente al trabajo es superfluo y debe evitarse. Toda mención a materias de dominio público debe ser eso: mención con la referencia correspondiente. Repetir textos de la norma por ejemplo es una pérdida de tiempo.
NO OLVIDAR: En un trabajo de este tipo, cada valor o consideración tomada debe ser justificada. Por ejemplo : se considera cuantía mínima de refuerzo longitudinal igual a 14/f y según ACI 318, Sección .......... Cada cálculo debe ser claro y posible de reproducir a lo largo del trabajo. Cada afirmación debe tener una base que la respalde, ya sea propia o mediante una referencia. De no cumplirse estas premisas básicas, el trabajo será susceptible de ser rápida y fácilmente cuestionado y rechazado. Por ejemplo, encontrar una afirmación como.”.... El objetivo es diseñar los muros conectados por bisagras a su capacidad última .....” al inicio del trabajo, es razón suficiente para descartarlo sin pasar más allá de la segunda página.
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SOLUCION a) Análisis Lineal a.1) Modelo Estructural Programa de análisis: ETABS 6.20 En las figuras se muestran el modelo de análisis, las cargas distribuidas sobre los muros y las cargas laterales a nivel de piso.
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a.2) Reacciones De acuerdo a la definición de signos que se presenta en la figura, las reacciones para cada estado de carga se presentan en la tabla 1.
Carga Lateral x+ Lateral xVertical
M1 353.2 -353.2 2.8
P1 -63.5 63.5 298.1
V1 52.1 -52.1 0.1
M2 133.8 -133.8 0.6
P2 63.5 -63.5 198.7
V2 27.9 -27.9 0.1
Tabla 1: Reacciones a.3) Desplazamientos En la figura se muestra los desplazamientos debido a la carga lateral.
Desplazamiento al tope = ∆T = 0.00393 m Distorsión Global = ∆T / Altura Distorsión Global = 0.00393 m / 20 m = 0.02 %
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a.4) Combinaciones de Carga Se consideran las combinaciones de carga estipuladas en la Nch 433of96, según ACI 318-99 C9.2.3: U = 1.4 D ± 1.4 E U = 0.9 D ± 1.4 E Donde D representa las cargas verticales (cargas muertas) y E las cargas laterales asimiladas a la acción Sísmica
a.5) Fuerzas Internas Las fuerzas internas para los dos estados carga (cargas verticales y laterales) y las combinaciones de carga analizadas se entregan en el Anexo 1.
a.6) Diagramas de Momento y Corte Se muestran los diagramas para la combinación U = 1.4 (D + E)
Diagrama de Momento
Diagrama de Corte 5
a.7) Resumen de Resultados Muro 1 (izquierdo) Piso 8 7 6 5 4 3 2 1
Vu max (T) 6.1 16.6 26.8 37.0 47.5 58.2 68.2 73.0
Mu max (T-m) Pu max (T) 33.1 56.0 54.7 118.3 55.5 182.1 57.9 247.4 125.6 313.7 219.9 380.1 345.2 445.2 498.4 506.2
Pu min (T) 22.3 46.6 69.5 90.9 111.3 131.6 153.4 179.3
Mu max (T-m) Pu max (T) 23.4 40.0 28.6 84.8 29.4 131.2 24.9 178.9 43.9 227.7 71.5 276.6 113.0 323.9 188.2 367.1
Pu min (T) 12.0 25.1 36.7 46.9 56.0 65.0 75.4 89.9
Muro 2 (derecho) Piso 8 7 6 5 4 3 2 1
Vu max (T) 8.8 12.1 15.9 19.6 23.1 26.3 30.2 39.2
Dinteles Piso 8 7 6 5 4 3 2 1
Mu max (T-m) 6.1 7.1 8.1 9.3 10.1 10.2 9.1 6.1
Mu min (T-m) -6.8 -7.4 -8.5 -9.6 -10.4 -10.5 -9.4 -6.4
Vu max (T) 8.8 9.9 11.3 12.8 13.8 14.0 12.5 8.6
6
b) Diseño Dinteles b.1) Diseño a Flexión ACI 318-99 Materiales: Hormigón H25
→
Acero A44-28H
2
fc’ = 200 (kg/cm )
→
2
fy = 2800 (kg/cm )
Dimensiones: b = 20 cm h = 50 cm rec = 3 cm d = 47 cm Considerando el máximo absoluto de Mu: Piso Mu (T-m) 8 6.8 7 7.4 8.5 6 9.6 5 4 10.4 10.5 3 2 9.4 1 6.4
2
Asu (cm ) 6.06 6.63 7.70 8.78 9.59 9.69 8.58 5.69
2
Asmin (cm ) 4.70 4.70 4.70 4.70 4.70 4.70 4.70 4.70
2
2
Asmax (cm ) As (cm ) Refuerzo Mn (T-m) 25.19 8.04 4Φ16 9.83 25.19 8.04 4Φ16 9.83 25.19 8.04 9.83 4Φ16 25.19 10.18 12.20 4Φ18 25.19 10.18 4Φ18 12.20 25.19 10.18 12.20 4Φ18 25.19 10.18 4Φ18 12.20 25.19 8.04 4Φ16 9.83
ΦMn
(T-m) 8.847 8.847 8.847 10.98 10.98 10.98 10.98 8.847
Obs.: Φ = 0.9 (ACI 9.3.2.1) Refuerzo superior igual a refuerzo superior.
Dintel Tipo 1 = refuerzo 4Φ16 Dintel Tipo 2 = refuerzo 4Φ18 Detalles Recubrimiento = 3 cm Separación barras: horizontal = 10 cm, vertical = 3 cm (ambos tipos) Longitud de las barras embebida en los muros = 50 cm (ambos tipos) Anclajes: gancho normal 90º, extensión = 25 cm (ambos tipos) Traslapos: No se utilizan.
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b.2) Diseño al Corte por Capacidad Dintel Tipo 1 2
Mpr (T-m) 12.29 15.25
ln (m) 1.50 1.50
Dintel Tipo 1 2
Refuerzo Corte EΦ10@10 EΦ12@12
Vu (T) 16.38 20.33
s (cm) 10 12
2
2
2
Avu (cm ) Avmin (cm ) Av (cm ) 1.36 0.25 1.57 2.18 0.3 2.26
Vs (T) 20.66 24.78
Detalles Anclaje amarras: Ganchos 135º, extensión = 8 cm (ambos tipos)
b.3) Refuerzo Diagonal Razón de aspecto = ln/d = 1.5/0.47 = 3.2 Según ACI 21.6.7.2 y 21.6.7.3, se permite pero no de debe utilizar refuerzo diagonal. No se utiliza refuerzo diagonal.
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Vs max (T) 27.92 27.92
c) Diseño a Flexión Muros c.1) Refuerzo Mínimo Según ACI 21.7.2.1 cuantía mínima distribuida en el alma ρmin = 0.0025 Se utiliza en ambos muros 2Φ8@20cm distribuido en el alma y ρ = 0.0015 concentrado en los bordes como mínimo. Luego, refuerzo a flexión mínimo considerado: Muro 1 2
Refuerzo 2Φ8@20 distribuido + 16Φ12 en los bordes 2Φ8@20 distribuido + 12Φ12 en los bordes
Se usa s = 10 cm para los fierros en los bordes.
c.2) Diagramas de Interacción
Diagrama Interacción Muro1 2500
2000
1500
(Mn,Pn)
) T ( 1000 P
Phi (Mn,Pn) (Mu,Pu)
500
0 0
500
1000
1500
2000
2500
-500
M (T-m)
9
Diagrama Interacción Muro2 1800 1600 1400 1200 1000
(Mn,Pn)
) 800 T ( P 600
Phi (Mn,Pn) (Mu,Pu)
400 200 0 0
200
400
600
800
1000
-200 -400
M (T-m)
Se demuestra que el diseño mínimo considerado es suficiente para todos los pisos. Nota: Para todo análisis seccional se utiliza el programa RCCOLA.
c.3) Elementos de Borde Según ACI 21.7.6.2:
ccrit =
Muro 1 2
lw (m) 6 4
hw (m) 2.5 2.5
l w δ 600 u hw
δu (m) 0.00556 0.00556
δ u
hw
δu/hw 0.0003 0.0003
≥ 0.007
δu/hw min 0.007 0.007
Ccrit (m) 1.43 0.95
10
Calculando la distancia del eje neutro (C) para cada muro en el primer piso con las cargas axiales mayoradas de las 4 combinaciones de carga consideradas: Muro1 Pu (kips) 394 722 786 1114
Φu (1/in) 0.0000906 0.0000597 0.0000557 0.0000416
εcu 0.003 0.003 0.003 0.003
C (in) C (m) 33 0.13 50 0.20 54 0.21 72 0.28
Pu (T) Pu (kips) 90 198 268 589 189 416 367 808
Φu (1/in) 0.0001553 0.0000749 0.0000983 0.0000576
εcu 0.003 0.003 0.003 0.003
C (in) C (m) 19 0.08 40 0.16 31 0.12 52 0.21
Pu (T) 179 328 357 506
Muro2
Como en ninguno de los casos C > Crit., no se requiere Elementos Especiales de Borde de acuerdo a ACI-318.
c.4) Detalles Traslapos: Longitud de Traslape = 50 cm para Φ12 y Φ8 Anclajes: Ganchos 90º. Extensión = 20 cm en ambos casos
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d) Mecanismo de Colapso d.1) Definición
Esquema Mecanismo de Colapso En la figura se muestra el mecanismo de colapso del sistema cuando la carga P en cada piso es positiva. Cuando es negativa el mecanismo es similar, pero el valor de Pu es distinto. Se puede demostrar por medio del principio de los trabajos virtuales que: +
Mn1 P u
n
+ Mn 2 + ∑ V di ⋅ (l w2 + l d ) +
i =1
=
n
∑h
P u
>0
P u
<0
i
i =1
Mn1− P u
=
n
+ Mn 2 − + ∑ V di ⋅ (l w1 + l d ) i =1
n
∑h
i
i =1
Donde: Pu = Carga lateral de colapso Mn1 = Momento nominal muro 1 al momento del colapso Mn2 = Momento nominal muro 2 al momento del colapso Vdi = Corte en el dintel “i” al momento del colapso lw1 = Largo muro 1 lw2 = Largo muro 2 ld = Luz libre dinteles. hi = Altura del piso “i” n = Número de pisos 12
Mn1 y Mn2 se obtienen del D.I. de cada muro, conociendo la carga axial al momento del colapso, Nn1 y Nn2, respectivamente para cada sentido de la carga: Nn1
+
n
= Wg 1 − ∑ V di
Nn1
−
i =1
Nn1
+
= Wg 1 + ∑ V di i =1
n
= Wg 2 + ∑ V di
n
−
Nn1
i =1
n
= Wg 2 − ∑ V di i =1
Donde: Wg1 = Carga gravitacional asociada al muro 1 en el instante del colapso Wg2 = Carga gravitacional asociada al muro 2 en el instante del colapso
d.2) Cálculo Carga Última (Pu) Dinteles Tipo 1 2 Total
Vd (T) 13.11 16.27 -
Cantidad 4 4 -
ΣVd (T) 52.43 65.07 117
Muros Caso P>0 P<0
Muro 1 2 1 2
Wg (T) 240 160 240 160
ΣVd (T) 117.49 117.49 117.49 117.49
Nn (T) 122.51 277.49 357.49 42.51
Mn (T-m) 780 625 1060 280
Carga de Colapso Caso Pu > 0 Pu < 0
Mn1 (T-m) 780 1060
Mn2 (T-m) 625 280
ΣVd (T) 117 117
Σhi (m) 90 90
ld (m) 1.5 1.5
lw (m) 4 6
Pu (T) 22.8 -24.7
d.3) Comparación con Cargas de Servicio y Diseño Carga Colapso Servicio Diseño
Valor (T) 22.8 10 14
FS 2.3 1.6
Valor (T) 24.7 10 14
FS 2.5 1.8
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e) Diseño al Corte por Capacidad Muros e.1) Fuerzas de Corte de acuerdo al Mecanismo de Colapso Suponiendo una distribución uniforme de fuerzas axiales en los dinteles, la carga axial en cada uno de los dinteles (N) está dada por:
P u ⋅ N =
n
∑ i =1
hi
n l + l − Mnj − ∑ Vd i ⋅ d wj i =1 2
n
∑h
i
i =1
Donde: Mnj = Momento nominal del muro j lwj = Largo del muro j j = 1 si Pu > 0 y j = 2 si Pu < 0 Vdi = Corte asociado al dintel i considerando Mpr Pu = Carga de colapso considerando Mpr Luego el corte basal de cada muro es:
= n ⋅ (P u − N ) Q 2 = n ⋅ N Q1
Reemplazando valores: Caso Pu > 0 Pu < 0
N (T) 9.8 14.1
Corte Basal Caso P>0 P<0
Muro 1 2 1 2
Pu (T) 24.6 24.6 27.1 27.1
n 8 8 8 8
N (T) 9.8 9.8 14.1 14.1
Q (T) 118.4 78.4 104.0 112.8
14
Corte por Piso Pu > 0 Piso 8 7 6 5 4 3
Q1 (T) 14.8 29.6 44.4 59.2 74.0 88.8
Q2 (T) 9.8 19.6 29.4 39.2 49.0 58.8
2 1
103.6 118.4
68.6 78.4
Pu < 0 Piso 8 7 6 5 4 3
Q1 (T) 13.0 26.0 39.0 52.0 65.0 78.0
Q2 (T) 14.1 28.2 42.3 56.4 70.5 84.6
2 1
91.0 104.0
98.7 112.8
e.2) Diseño Se consideran los cortes máximos en cada muro, independiente de Pu. Muro 1 2
Ve (T) 118.4 112.8
lw (cm) 600 400
Muro 1 2
Ρn 0.00253 0.00393
Muro 1 2
Refuerzo 2Φ8@20cm 2Φ10@20cm
lw (cm) 600 400
b (cm) 20 20 b (cm) 20 20
Φ 0.85 0.85
s (cm) 20 20
Vn (T) 174.8 147.9
2
Avu (cm ) 0.59 1.30
2
Av (cm ) 1.01 1.57
ρn 0.00253 0.00393
Vn max(T) 450 300
Para el Muro 1 el diseño es válido en toda la altura. Para el Muro 2 se utiliza en los primeros 2 pisos; en el resto es suficiente con 2Φ8@20cm
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f) Capacidad de Deformación del Sistema f.1) Estimación del Desplazamiento Último al Tope de Acuerdo al Mecanismo de Colapso El desplazamiento al tope máximo (∆p) se tiene para la condición de colapso con P > 0. Esta se puede estimar de acuerdo a la siguiente relación:
∆ P =
n ⋅ h ⋅ θ pd 1+
l w 2 l d
Donde: n = Número de pisos h = Altura de entrepiso θpd = Rotación última del dintel tipo menos dúctil lw2 = Largo del Muro 2 ld = Luz libre de los dinteles
Para estimar θpd se considera la siguiente distribución de curvatura a lo largo de la luz del dintel:
φ ≈ φ u φ = φ y
0 ≤ x ≤ d
−
φ y ⋅ ( x − d ) l d / 2 − d
d ≤ x ≤ l d / 2
Integrando entre 0 y ld/2 y multiplicando por 2: θ pd
≈ φ u ⋅ 2 ⋅ d + φ y (l d 2 − d )
Calculando el diagrama Momento – Curvatura para cada dintel con la carga axial asociada al mecanismo de colapso N = 9.2 (T), se encuentra Φu y Φy para cada caso. 16
Momento - Curvatura Dintel Tipo 1
35.00
30.00
25.00 ) 20.00 m T ( n M 15.00
10.00
5.00
0.00 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Curvatura (1/m)
Momento - Curvatura Dintel Tipo 2
35.00
30.00
25.00 ) 20.00 m T ( n M 15.00
10.00
5.00 0.00 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Curvatura (1/m)
Dintel Tipo 1 Tipo 2
Φy 0.0043 0.0040
Φu 0.058 0.055
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El dintel más restrictivo es el tipo 2, por lo tanto con este se calcula la rotación máxima. θpd ≈ ∆P ≈
0.05 (rad)
0.27 (m) = 27 (cm)
f.2) Verificación Elementos de Borde
Muro 1 2
lw (m) 6 4
hw (m) 20 20
δu (m) 0.27 0.27
Muro 1 2
δu/hw 0.0135 0.0135
δu/hw min 0.007 0.007
Ccrit (m) 0.74 0.49
C (m) 0.28 0.21
Nuevamente, como se cumple C > Crit, en ambos muros, no se requiere Elementos Especiales de Borde según ACI-318.
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