Matemáticas Octavo Semestre
Transformaciones y series
Actividad 3 Series de Fourier Unidad 1. Análisis de las series de Fourier. Lizeth Vargas Vera Al10503732
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier Instrucciones: Con
base a la teoría de Series de Fourier. Desarrolla cada uno de los siguientes ejercicios y
fundamenta el desarrollo. Recuerda cuidar tu ortografía, redacción. Argumenta y justifica el desarrollo de tu evidencia. Simplifica todos tus resultados. 1.- Sea
los coeficientes de la serie de Fourier. Demostrar:
a) Los coeficientes b) Los coeficientes
son todos igual con cero si se tiene una función impar son todos igual con cero si se tiene una función par.
Sugerencia: Considerar la definición de las funciones pares e impares.
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo del dominio se verifica:
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares. Simetría respecto al origen. Función impar
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo del dominio se verifica:
Las funciones simétricas respecto al origen rec iben el nombre de funciones impares. Tanto las funciones pares como las impares presentan simetría. Las funciones impares son simétr icas respecto al origen. Para un intervalo simétrico, en este caso, una función par o impar.
[,] [–,] o
muestra simetría si es intervalo aplicado a
Entonces, el intervalo:
[–,] [–,0][0,] [,] [,0][0,] Por las propiedades de simetría. Partiendo de la demostración de que la integral de una función impar en un intervalo simétrico, es cero:
− 0
UNADM | MAT |MTS
2
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier Pasamos a demostrar que, para este hecho y para el intervalo simétrico tenemos que:
[–,] [–,0][0,]
− − Trabajando con:
− Por propiedades de integrales, si invertimos el se ntido del intervalo, tenemos que:
− − Entonces, sustituyendo en: ∫− ∫− ∫ tenemos que: − − Analizando ahora:
Y como tanto
,
− son mudas, podemos trabajar con otr as variables que nos van a auxiliar.
Para:
Para los intervalos y por el cambio de signo:
0→0
Sustituyendo en
→
∫− − tenemos que:
Pero como estamos trabajando con una
UNADM | MAT |MTS
impar, entonces aplicamos:
3
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
Y ahora tenemos:
,: − ∫− ∫− ∫ − 0
Con lo que tenemos ahora, en términos de
Sustituyendo en
Por lo que tenemos que:
− 0
Cumple y demostrado. Analizando la siguiente proposición (math.rice, 2016):
≤≤
Suponga que y están definidas en un intervalo
Si ambos, y son pares, entonces
Si ambos, y son impares, entonces
Si es par y
Si es par, entonces:
es impar, entonces
entonces:
es par
es par
es impar
− 2 0
Si es impar, entonces:
− 0
Sabemos que:
UNADM | MAT |MTS
4
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
Entonces:
→
es impar.
Y teniendo que:
Entonces:
→
es par.
Fourier:
Analizando se tiene:
,
a) Los coeficientes
son todos igual a cero si se tiene una función impar
:
Para
impar en
Sabemos por la demostración anterior:
UNADM | MAT |MTS
5
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
− 0
Tenemos para:
Y para:
1 − 0 →
es par,
impar,
es impar, por la proposición anterior.
2 1 − Como:
( ) . Entonces:
1 − 0 ∴ 0 0 > 0
,
b) Los coeficientes Para
par en
UNADM | MAT |MTS
son todos igual a cero si se tiene una función par.
:
6
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier Ahora, para: anterior.
es impar,
par, entonces
es impar, por la proposición
2 1 − Como:
( ) . Entonces:
1 − 0 0 ≥ 1 2.- Obtener la serie de Fourier para la función:
< < 2 ∈ℝ Se tiene que la serie de Fourier está dada del modo:
Empezamos calculando
UNADM | MAT |MTS
∞ 1 ∑ cos sin
7
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
1 1 − 1 1 − − [ ]− Por el seno hiperbólico:
− sinh 2 Entonces:
1 2sinh 2sinh 1 1 cos cos Ahora calculamos
Integrando tenemos que:
cos sin − cos cos − sin sin cos − cos cos sin− cos UNADM | MAT |MTS
8
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
− cos cos sin − cos Se anexa
∫ cos
en ambos lados:
− cos − cos cos sin − cos − cos
1− cos cos sin cos sin − cos 1 Entonces tenemos que:
cos sin 1 2 1 cos sin cos sin 1 2 1 2 1 1 1 cos2 1 cos2 1 1 211 21 1 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 2 1 112 1 1121 1
1 1 sin sin Calculando
:
De nuevo integramos por partes:
UNADM | MAT |MTS
9
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
sin cos
− sin sin − cos
cos sin − sin sin cos− sin − sin sin cos − sin Se agrega
∫ sin
nuevamente para cada lado de la e cuación
− sin − sin sin cos − sin − sin
1− sin sin cos sin cos − sin 1 Así que:
sin cos 1 2 1
UNADM | MAT |MTS
10
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
sin cos sin cos 1 2 1 2 1 cos cos 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 12 2 1 1 121
∴
la serie de Fourier es:
1+− − − 1 ∑ 1 cos 1 sin =
UNADM | MAT |MTS
11
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier 3.- Obtener la serie de Fourier de la función
< < 2 Se tiene que para cualquier función elevada a una potencia múltiplo de 2 es par. Entonces tenemos que Se tiene que el periodo
2 :
se verifica si es par;
2 4 2 4. 2 y
, se observa que es una función del tipo:
1. Primero buscamos
∫− 1 2 − 1 1 2 1 1 2 − 2 3 ⌊ 2 3 3 2 3 2. Después encontramos
:
1 −cos 1 − cos
Resolviendo:
UNADM | MAT |MTS
12
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier
sen 2 1 1 − cos | −
Donde:
, cos 2, :
, , , :
2 2 1 | cos 2 2 1 | cos 1 02× cos 2× 0 1 4cos → ∴ 3 4 0
Teniendo que la función es par
es cero.
Sustituyendo:
4cos 3 ∑ cos =
UNADM | MAT |MTS
13
Transformaciones y series Unidad 1. Análisis de las series de Fourier Actividad 3 Series de Fourier 4.- Con base a la serie de Fourier obtenida, calcula el valor de la siguiente serie
1 ∑ =
1 3 4∑ cos∙ = 11 3 4∑ = 1 3 4∑ = 1 3 4∑ =
Obtenemos la serie numérica a partir de
y
,
Despejando tenemos que:
1 ∑ = 1 4∑ 3 = 1 1 1 2 ∑ 4 3 4 3 6 =
UNADM | MAT |MTS
14
