UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 – 2014 Master d’économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Docume Document nt 1 :
1
Algèbr Algèbree linéai linéaire re
Espaces Espaces Vectoriel ectorielss
Exercice 1
On considère les deux ensembles suivants : E 1 = { (a, 2 a, 2b, b, b − a) | a, b ∈ R} E 2 = { (c, c + d, d) | c, d ∈ R} 1-1 1-1 ) Mont Montre rerr que que E 1 et E 2 sont des sous-espaces vectoriels de R3 . → 1-2 1-2 ) Soit Soit − x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ E 1 . Quelle équation vérifient x1 , x2 et x3 ? Même question dans le cas de E 2 . 1-3) 1-3 ) Détermi Déterminer ner l’ensemb l’ensemble le E 1 ∩ E 2 . Exercice 2
Dans R3 , on considère les sous-ensembles suivants : P = { (x1 , x2 , x3 ) | x1 − 2x2 + x3 = 0} D = { (x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 + x3 = 0 et x 2 − x3 = 0}
2-1 2-1 ) Mont Montre rerr que que P et D sont des sous-espaces vectoriels de R3 . 2-2 ) Déterminer Déterminer une base et la dimension dimension de chacun. chacun. Exercice 3
On considère les trois vecteurs a = (1, (1, m, m) m)
b = (m, 1 m, 1,, m)
c = (m, m, 1) m, 1)..
Déterminer, suivant les valeurs de m, le rang de cette famille de vecteurs. Exercice 4
Si F m est le sous-espace vectoriel de R3 donné par F m = { (x1 , x2 , x3 ) | x2 − 2x3 = 0 et m x2 + 3x 3 x3 = 0}
Déterminer, suivant les valeurs de m, une base et la dimension de F m . Exercice 5
Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel de R4 engendré par → les vecteurs − x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) tels que x1 = x = x 2 = x 3 = x 4 .
1
2
Applic Applicatio ations ns linéair linéaires es
Exercice 6
Si f est une application linéaire de R3 dans R2 , parmi les affirmations suivantes lesquelles sont sûrement fausses : 1. f est est injective 2. f est est surjective 3. f est est bijective Mêmes questions dans le cas où f est est une application linéaire de R2 dans R3 , puis dans le cas où f est est une application linéaire de R2 dans R2 . Exercice 7
Soit u un endomorphisme de R3 défini par u(x1 , x2 , x3 ) = (x ( x1 + x2 + x3 , x1 + λx2 + λx3 , x1 + λx2 )
Déterminer le noyau et l’image de u en fonction des valeurs du paramètre réel λ. Dans chaque cas, donner des bases de ces sous-espaces et préciser le rang de u. Exercice 8
Soit u l’application de R3 dans R3 définie par
x x u x = x 1
8-1 8-1 ) 8-2) 8-2 ) 8-3 8-3 ) 8-4 8-4 )
2
2
3
x3
x1
Mont Montre rerr que que u est linéaire. Détermi Déterminer ner la matrice matrice M associée associée à u dans la base canonique. Calcu Calculer ler M 2 et M 3 puis en déduire M 1 . En dédu déduir iree M n ainsi que M n pour n ∈ N. −
−
Exercice 9
Donner une base du sous-espace de R4 engendré par les vecteurs (x (x1 , x2 , x3 , x4 ) qui vérifient les relations :
−x + 2x2x + 3x3x + x 1
2
3
x1 + x2 + 3x 3 x3 + x4
4
= 0 = 0
Exercice 10
Soit f l’application l’application linéaire de R2 dans R3 définie par les deux relations f (1 f (1,, 1) = (4, (4, 2, 2 , 0) et f (1 f (1,, −1) = (2, (2, 0, 0 , 6) . 10-1 ) Déterminer Déterminer les images par f des des vecteurs de la base canonique de R2 . 10-2 ) Déterminer Déterminer l’image l’image par f d’un d’un vecteur quelconque de R2 . 10-3 ) Déterminer Déterminer le noyau, noyau, l’image l’image et le rang de f . 10-4 10-4 ) Quelle Quelle est est l’imag l’imagee par f de la droite de R2 d’équation x 1 + x + x2 ? Est-ce un sous-espace vectoriel de R3 ? 10-5 ) Quelle est l’image l’image réciproq réciproque ue par par f du du plan de R3 d’équation y1 + y2 + y3 = 0 ? Est-ce un sous-espace vectoriel de R2 ?
2
Exercice 11
On définit une application f de de R4 dans R2 par les relations suivantes : f ( f (x1 , x2 , x3 , x4 ) =
2x − x + x 1
2
3
x1 + 2x 2 x2 − x4
11-1 ) Expliquer Expliquer simplement simplement pourquo pourquoii l’applicatio l’applicationn f est est linéaire. 11-2 11-2 ) Détermi Déterminer ner sans calculs si l’application f est est injective. 11-3 11-3 ) Quel est le noya noyauu de de f ? ? Déterminer une base de ce noyau. 11-4 ) Montrer Montrer que le vecteur vecteur V = (2, (2, 1, −3, 4) appartient au noyau de f . Quelles sont ses coordonnées coordonnées dans la base trouvée à la question question précédente précédente ? 11-5 ) Énoncer Énoncer le théorème des dimensio dimensions ns et calculer le rang de de l’application l’application f . En déduire quelle est l’image de f .
3
Représe Représentat ntation ion matric matriciell iellee
Exercice 12
→ − → L’espace R3 étant muni d’une base { − e1 , → e2 , − e3 }, on définit un endomorphisme u par les relations :
u(−→e ) u(−→e ) u(−→e ) 2
− → → = → e1 + − e2 + − e3 − → = → e + − e
3
→ → = 2u(− e1 ) − u(− e2 )
1
1
2
Déterminer son noyau et son image. Vérifier le théorème des dimensions. L’endomorphisme u est -il injectif injectif ? Est-il surjectif surjectif?? Exercice 13
Soient f : (x, y) −→ (3 x + y, y ) et g : g : (x, y ) −→ ( y, 2x 2 x) de R2 dans R2 . −→ (3x −→ (y, 13-1 13-1 ) Constr Construir uiree f ◦ applications sont-elles sont-elles linéaires ? ◦ g et g ◦ f . Ces deux applications 13-2 ) Donner les matrices matrices représentan représentantt les applicatio applications ns f , g , f ◦ dans la ◦ g et g ◦ f dans base canonique. canonique. Quelle relations existent existent entre ces matrices ? Exercice 14
− → − → − →
Les espaces R3 et R4 sont munis respectivement de bases B 3 = {f 1 , f 2 , f 3 } et → → − → e1 , − e2 , → e3 , − e4 }. On définit une application u : R4 − B 4 = {− → R3 par les relations suivantes : → − − →
u(−→e ) u(−→e ) u(−→e ) u(−→e ) 1
2
3
4
=
f 1 − f 2 → − − → = f 2 + 2 f 3 → − − → − → = f 1 + f 2 + f 3 − → − → − → = 2f 1 + f 2 + 3f 3
14-1 14-1 ) Écrire Écrire la matrice matrice M u associée à u dans les bases B 4 et B 3 . 14-2 14-2 ) Détermi Déterminer ner le rang rang de u. → 14-3 14-3 ) Pou Pourr un vecteu vecteurr − x de R4 de coordonnées (x (x1 , x2 , x3 , x4 ) dans la base B 4 , quelles sont les coordonnées de u( u(x) dans la base B 3 de R3 ?
3
Exercice 15
Soit u un endomorphisme de → → − B = {− e1 , − e2 , → e3 }, par :
dont la matrice M est donnée, dans une base
3
R
0 M = −1
0 0 1 0 −1 −1 2 − → − → − → On définit une autre base B = { e1 , e2 , e3 } au moyen des relations suivantes : − → − → → e1 = → e1 + − e2 + − e3 − → − → e2 = → e2 + − e3 − → − e3 = → e3
15-1 15-1 ) Calculer Calculer la matrice matrice M associée à u dans la base B . 15-2 15-2 ) Calculer Calculer la matrice matrice (M ( M )n avec n entier positif et en déduire M n .
Exercice 16
On considère l’application linéaire h de R3 dans R3 définie par f :
x = (a, b, c) c)
( a + b, b + c, a − c). f ( f (x) = (a
−→
16-1 16-1 ) Calcu Calculer ler f ( f (e1 ), f ( f (e2 ), f ( f (e3 ), où (e (e1 , e2 , e3 ) est la base canonique de R3 . 16-2 16-2 ) Montre Montrerr que les les vecteu vecteurs rs f ( f (e1 ), f ( f (e2 ), f ( f (e3 ) forment un système linéairement dépendant . 16-3 ) Montrer Montrer que l’application l’application f est est de rang 2. 16-4 16-4 ) Chercher Chercher le noy noyau au de de f . 16-5 ) D’une manière générale, générale, si f est une application linéaire de R p dans Rq , à f (e1 ),..., f ( f (e p ) forment un système linéairement quelle condition les vecteurs f ( linéairement indé p pendant de f ( constituent-ils une base ? f (R ) ? Si c’est le cas, constituent-ils Exercice 17
Soit le système d’équations linéaires :
x + 3x3x − x mxx + +3x3xx 1
2
3
2
3
2
3
= = =
0 0 0
Pour quelle valeur de m ce système système peut-il avoir une solution solution autre que nulle ? Interpréter ce résultat en termes de noyau d’une application linéaire. Exercice 18
On considère une matrice par blocs de la forme M =
A B 0
C
où A et C sont sont des
blocs carrés. 18-1 18-1 ) Montre Montrerr que M est est inversible si et seulement si A et C le le sont. 18-2 ) Trouver Trouver l’inverse l’inverse de M sous sous forme d’une matrice par blocs. Exercice 19
Soit M une une matrice par blocs de la forme
A 0
où tous les blocs sont carrés et
I B est un bloc unité. À quelle condition sur A et B peut-on trouver un inverse ayant la I est
même même forme ? 4
4
Diag Diagona onali lisat satio ion n
Exercice 20
Trouver Trouver les valeurs valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes suivantes et indiquer, dans chaque cas, si la matrice est diagonalisable :
2 −1 −6/5 8/5 1 −1 2 1 8/5 6/5 1 1 −1 2 −1 2 2 0 1 1 2 0 4 −6 −3 3 0 0 −1 4 −1 2 −4 −3 2 −3 −2 −8 7 1 2 1 −2 0 −1 2 0 −2/3 3 −4 −1 5 3 0 2 −4/3 2/3 2/3 5 3 3 3 1 −1 −1 7 2 1111 1 −1 0 12 11 31 15 11 −01 01 01 −3 0 −4
1/3
1/3 −2/3
1 1 1 7
0
0
0
Exercice 21
m − 2
m Soit la matrice carrée réelle A = . A = 1 m−2 21-1 21-1 ) Détermi Déterminer ner les les valeurs valeurs de de m pour lesquelles A a une valeur propre nulle.
Déterminer alors la seconde valeur propre. 21-2 21-2 ) Pou Pourr chaque chaque valeu valeurr de m obtenue, déterminer les vecteurs propres associés à la valeur propre 0. Exercice 22
1 On considère la matrice carrée M = −1
−1 2 2 1 . 2 1 −1 On notera λ1 , λ2 et λ3 les valeurs propres de M . 22-1 ) En calculant calculant la somme somme des colonnes colonnes de M , trouver une valeur propre λ1 de
propre associé ? M . Quel est le vecteur propre 22-2 22-2 ) Calculer Calculer la trace trace Tr( Tr(M ). En déduire la valeur de la somme λ2 + λ3 . 22-3 ) Calculer le déterminant déterminant det(M det(M ). En déduire la valeur du produit λ2 λ3 . 22-4 ) En utilisant utilisant les les deux questions questions précédentes, précédentes, calculer calculer λ2 et λ3 . Exercice 23 - Matrices symétriques
Diagonaliser les matrices suivantes dans une base orthonormée :
−1 −6 2 2 0 −2 3 −6 12 2 8 −1 2 0 1 1 7 −1 8 2 1 0 1 13 2
0 2 3 2
2
3 −2
5
1
1 0
5
2 2 1/2 1/2 1/2 1/2
2 −2 1 −4 −2 −4 1
1 0 1 2
5
Décomp Décomposit ositions ions matrici matricielle elless
Exercice 24 - Décomposition en valeurs singulières
Pour chacune des matrices suivantes, trouver une décomposition en valeurs singulières :
1 1 −1 0 −31 1
−1
1 1 11 1
1 3
1
0 0 1
1 1 0 0 1
3/2 − 3/2 3/2 − 1 − 3/2 − 1 3/2 + 1 − 3/2 + 1
Exercice 25 - Décomposition LU
25-1 ) Pour chacune chacune des matrices suiv suivantes, antes, déterminer déterminer,, en examinant examinant les mineurs mineurs principaux, s’il existe une décomposition LU et, si oui, la calculer.
2 3 3 2 b c 6 5 ab ac + b −2 1 3 4 1 2 4 1 2 −5 −1 6 7 4 6 14 6 8 −24 1 −3 −6 2 −4 −10 −3 −2 −7 19 4 2 −3 −1 3 0 −4 −1 −1 −4 −4 5 4 −−159 −−12 215152 65 181 −8 −10 11 15 −12 2 12 7 −4 3 15 −4 −4 12 4 21 −3 −5 12 25-2 ) Pour chacune chacune des matrices matrices d’ordre 3 de la question questionprécédente, préc édente, utiliser utiliser la 1 décomposition LU pour résoudre l’équation AX = b avec b = b = −3. 1 2 3 5 25-3 25-3 ) Monter Monter que que la la matric matricee A = 2 4 5 n’admet n’admet pas de décomposidécomposi−1 3 −2
tion LU mais que si on transpose les lignes d’indices 2 et 3 alors la décomposition A = P P × L × U . existe. Indiquer la matrice de permutation P telle telle que A = Exercice 26 - Décomposition de Cholesky
Vérifier que chacune des matrices suivantes est définie positive et trouver sa décomposition de Cholesky. Cholesky.
1
1
−1 −1 2
1 2
2 8 −1 2
1 −1 2 2 14
4
−1 −1 5 2 5 −1 0
1
−6 −6 10
16 −1 0 −4 6
−4 5 −4 3
6
a −a 1 −1 −4 −1 2 3 −1 4 11 2
a 2 a a +1
2
−1
2
−a2 2 a2
−1 −1 4 2 11 7 7 20
