Procesos Estocásticos Unidad 2 Actividad 2
ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV
18 de agosto de 2015 Autor: Laura Pontón
Unidad 2 Actividad 2
Instrucciones: Analiza cada situación y contesta los siguientes:
1. Un profesor de ingeniería adquiere una computadora nueva cada dos años. El profesor puede elegir de entre tres modelos: M1, M2 y M3. Si el modelo actual es M1, la siguiente computadora puede ser M2 con probabilidad 0.2 o M3 con probabilidad 0.15. Si el modelo actual es M2, las probabilidades de cambiar a M1 y M3 son 0.6 y 0.25, respectivamente. Pero si el modelo actual es M3, entonces las probabilidades de comprar los modelos M1 y M2 son 0.5 y 0.1, respectivamente. Realice:
Defina Xt, S y T Elabore un grafo Matriz estocástica
Distribución inicial
¿Cuál es la probabilidad de que en ocho años tenga una computadora M2?
Determine la probabilidad de la trayectoria muestral M2-M1-M3-M2-M3 Si ahora tiene una computadora M1, ¿cuál será la distribución inicial? Suponga que cuesta comprar una computadora M1 $25,000, M2 $35,000 y M3 $30,000. ¿Cuál será el costo esperado en 10 años, considerando que actualmente tiene una preferencia del 35% por M1 y 25% por M2?
,,
Defina
:{1,1,2,3} {0,0,2,4,6,8…,}
:
Cambio de computadora en el año Cambio
:
:
5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
1
: M1,M2, M3: Discreto.
: Número de año par: Discreto.
Elabore su grafo
Matriz estocástica
0. 2 0. 6 5 0. 1 5 = 0.0.255 0.0.115 0.0.64 Distribución inicial
El enunciado expresa que puede estar en cualquiera de los tres estados, entonces, si son tres estados, puede estar con la misma probabilidad, en cualquier estado de los tres.
= 13 13 13
¿Cuál es la probabilidad de que en ocho años tenga una computadora M2?
=8 =4
Como el periodo es de dos años, eso significa que cada periodo de dos años se considera una unidad, entonces no se considera a sino como
= 4 0. 2 0. 1 62013 0. 2 98106 0. 6 5 0. 1 5 = =[ 0.25 0.15 0.6 ] = 0.0.5539881 0. 1 62019 0. 2 95856 42125 0.5 0.1 0.4 0.540875 0.162513 0.296613 = 0. 1 62013 0. 2 98106 1 3 13 13 0.0.0.55539881 = 0. 0 . 5 4096, 0 . 1 62182, 0 . 2 96858 96858 0. 1 62019 0. 2 95856 42125 40875 0.162513 0.296613∴ = 0.0.54096,0.∴162182,0.296858
Ahora:
La probabilidad de que en 8 años el profesor de Ingeniería tenga una computadora modelo M2 es del 16.21%
5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
2
Determine la probabilid probabilidad ad de la trayectoria muestral M2-M1-M3-M2-M3
Calculando:
222,2,111,1,333,3,222,2,33 = 0.0.1550.0.60.0.1550.0.10.0.255 =0.0003375 La probabilidad de la trayectoria: trayectoria: M2-M1-M3-M2-M3, es del 0.03375%
Si ahora tiene una computadora M1, ¿cuál será la distribución inicial?
Suponga que cuesta comprar una computadora M1 $25,000, M2 $35,000 y M3 $30,000. ¿Cuál será el costo esperado en 10 años, considerando que actualmente tiene una preferencia del 35% por M1 y 25% por M2?
= 1,0,0
Entonces M2 tiene el 40% de preferencia por lo que le vector de d.i. será
= .,.,,
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3
*
0.54047906
0.16208875
0.29743219
0.54081406
0.16231344
0.2968725
0.54050313
0.16221313
0.29728375
54.06%
16.22%
29.72%
54.06%
16.22%
= .,.,,
29.72%
2. En el tiempo 0, tengo $2. En los tiempos 1, 2, … participo en un juego en el que apuesto $2. Con probabilidad 3/5, gano el juego, y con probabilidad 2/5, pierdo el juego. Mi objetivo es incrementar mi capital a $8, y cuando lo logre se termina el juego. El juego también se termina si mi capital se reduce a $0. Defina: Defina Xt, S y T Elabore un grafo
Establezca la matriz estocástica
Establezca la distribución inicial ¿Cuál es la probabilidad de que al cuarto día tenga 4 pesos?
Determine la probabilidad de la trayectoria muestral 2-4-2-4-6-4
= = 1
El problema describe la cantidad de pesos que puede tener el jugador en un instante , estos son 0, 2, 4, 6 , 8 pesos, entonces los estados iniciales y finales, que es cuando se termina el juego, son para 0 u 8 pesos. La terminación del juego es cuando tenga $8 pesos ó $0 pesos, lo que se deduce que
, , :::{,,,,,} : {,,,,,…}… }:
Defina
:
El dinero que se tiene en el tiempo El
: Los pesos que se ganan o pierden en el tiempo : : Discreto El tiempo de juego: Discreto El
Elabore un grafo
Establezca la matriz estocástica
Establezca la distribución inicial
1 0 0 0 0 0. 4 0 0. 6 0 = 00 0.04 0.04 0.06 0.006 ( 0 0 0 0 1)
El problema presenta que el juego inicia con $2 pesos, entonces:
= , , ,, = 0 100 00 , , ,ℎℎ
¿Cuál es la probabilidad de que al cuarto día tenga 4 pesos?
= =
=
=4
∴ = 0 1 0 0 0
5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
4
= 0.496, 0.1152, 0, 0.1728, 0.216 Para el estado “4 pesos” la probabilidad es de 0% al cuarto día.
Determine la probabilidad de la trayectoria muestral 2-4-2-4-6-4
22,2,44,4,22,2,44,4,6−− 6,−6,4−− = −− 1−0.0.60.0−.4=0.0.6..0.0.6%0.0.4 =0.03456 La probabilidad de la trayectoria
3. Las oficinas de admisiones de la Unad sabe que un alumno de matemáticas principiante tiene una probabilidad de 0.8 de pasar al segundo año de estudios y 0.1 de desertar la carrera. También se sabe que un alumno de segundo año puede pasar al tercer año con una probabilidad de 0.8, y con una probabilidad de 0.05 de desertar. Un alumno de tercer año puede desertar con una probabilidad de 0.05 y tiene una probabilidad de graduarse de 0.85. Suponga que una vez que un alumno abandona la escuela ya nunca regresa. Establezca :
Defina Xt, S y T
Elabore Grafo Establezca la matriz estocástica
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5
Establezca la distribución inicial. Si un alumno es principiante ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en cuatro años sea graduado? ¿Cuál es la probabilidad de que en 3 años deserte la escuela? Es la variable aleatoria que define la deserción de los alumnos de matemáticas de la Unad en el tiempo
={ 1,2,3,4,5} 1 = 2 = ññ 3 = ññ 4 = 5=5 = = {1,2,3} t
: El estado de cada alumno de matemáticas. Discreto Tiempo en años de observación. Discreto Tiempo
.
Elabore Grafo
Establezca la matriz estocástica 1
2
3
D
G
0.01 0.0.185 0.08 0.0.015 00 = 00 00 0.01 0.015 0.085 (0 0 0 0 1)
Establezca la distribución inicial.
El análisis no da la condición inicial para un caso particular, entonces:
= 1, 1,0,0,0,0 = 4 0. 1 0. 8 0 0. 1 0 = = 000 0.0105 0.0.081 0.0.00155 0.0085 = (0 0 0 0 1)
Si un alumno es principiante ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en cuatro años sea graduado?
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6
∴ 0. 0 001 0. 2 062 0. 7 344 0. 0 065 0. 0 528 0 0. 1 10694 0. 8 823 0. 0 0050625 0. 0 065 = 1,1,0,0,0,0 ∗ 00 00 0.00001 0.055551 0.944350 (0 0 0 0 1) vP ={0.0001,0.0065,0.0528,0.2062, 0.0.7344}344} = 3 0. 1 0. 8 0 0. 1 0 = = 000 0.0105 0.0.081 0.0.00155 0.0085 ( 0 0 0∴ 0 1 )
La probabilidad de que en 4 años un alumno principiante sea graduado es del 73.44% ¿Cuál es la probabilidad de que en 3 años deserte la escuela?
5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
7
∴
= 1, 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ={0.001,0.038,0.0224,. 224, .,,0.544}
Por lo que la probabilidad de que en tres años deserte es de 19.3%
4. En un bosque hay dos tipos de árbol: los que son de 0 a 5 pies y los que son más altos de 5 pies. Cada año mueren 40% de los arboles con una altura de 0 a 5 pies, 10% se venden a $20 cada uno, 30% se quedan con una altura entre 0 y 5 pies y 20% crecen más de 5 pies. Cada año, 50% de los arboles con más de 5 pies se venden en $50, 20% se venden en $30, y 30% permanecen en el boque.
Para el 4, el grafo es incorrecto, te faltaron bucles. Te falto el valor esperado. En el problema de los siete años debes modificar el vector inicial que este caso sería (1,0,0,..) ( pones el 1 donde es el estado de 0 a 5 pies). Te piden el ingreso esperado de un árbol, debes obtener el vector con la matriz a la sexta potencia y multiplicando el vector inicial de inciso anterior, y de ahí multiplicas las probabilidades con los precios de venta donde se tenga en el vector y lo sumas, es un valor esperado.
Maestra ya hice las correcciones que me indicó, sólo me quedó la duda del grafo, porque me da UNO en todos los casos, pero no entiendo que bucles me están haciendo falta. Gracias Laura
Defina Xt, S y T Es la variable aleatoria que define el destino de los árboles de 0 a 5 ft y >5ft en el tiempo t
={1,2,43,44,=5,6 ,75 }1 =5á 0 5 2 = á > > 5 5 3 = = 20, 6 = 30, 7 = = {0,{0,1,250,2,3 … } :
.
. El estado de cada árbol . Discreto Tiempo Tiempo en años de observación. Discreto Elabore Grafo
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Establezca la matriz estocástica 0-5ft 5ft Muerto Crece V20 V30 V50
0.03 P = 000 ( 00
00.3 0.04 000 100 00 00
0.02 010 00
0.01 0.02 0.05 001 000 000 00 10 01 )
Establezca la distribución inicial?
El análisis no da la condición inicial para un caso particular, entonces:
5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
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= 17 , 17 , 17 , 17 , 17 , 17 , 17 0. 03 0.03 0.04 0.02 0.01 0.02 0.05 = = 000 000 100 010 001 000 000 0( 0 00 00 00 00 10 01 )
¿Cuál es la probabilidad de que en 6 años un árbol sea vendido en 50 pesos?
∴ = {0.000104143, 00104143,0.000104143, 00104143,0.0.224430242 24430242,, 0.0.18364374 83643742,2,0.163250442, 63250442,0.183643742, 83643742, .} } La probabilidad de que un árbol sea vendido en 50 pesos es del 24.48%
¿Cuál es la probabilidad de que en 7 años, un árbol que mide de 0 a 5 pies muera?
0.03 = = 000 0( 0
00.3 0.04 0.02 0.01 0.02 0.05 000 001 010 001 000 000 00 00 00 00 10 01 )
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= 1,1,0,0,0,0,0,0
= {0.0002187, 002187,0, 0.0.571304, 71304,0.285652, 85652,0.142826, 42826,0,0,0}
La probabilidad de que un árbol a los 7 años que mide de 0 a 5 ft muera es del 0%
¿Cuál es el ingreso esperado para un árbol que se planta menor a 5 pies en 6 años?
= 1,1,0,0,0,0,0,0 5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
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{0.000729, 0, 0.571012, 0.285506, 0.142753, 0, 0} Lo multiplicamos por el precio de venta donde se tiene en el vector, tal que
0.142753∙0∙ $ 30=0 $20=2.5506 0∙ $ 50=0
Como los árboles de 0 a 5 ft sólo se venden en 20 pesos significa que el ingreso esperado para este tipo de árboles en 6 años es de 2.5506 pesos 5. Considere el modelo del valor de una acción en el mercado de acciones. Se sabe que si la acción subió los días seguidos (ayer y hoy) la probabilidad de que suba mañana es de 0.9. Si la acción subió hoy pero ayer bajó, la probabilidad de que mañana suba es de 0.6. Si la acción bajó hoy pero ayer subió, entonces la probabilidad de que mañana suba es de 0.5. Por último, si bajó durante los dos días, la probabilidad de que mañana suba es de 0.3. Establezca una cadena que sea de Markov considerando la información anterior. Defina Xt, S y T Elabore un grafo
Establezca la matriz estocástica ¿Cómo será la distribución inicial?
¿Cuál es la probabilidad de que en 4 días la acción baje?
, , = {0,0,,1,2,3}0=ℎ;3= ,,,ℎℎ; 1 ℎ= ,, ℎℎ; 2 = = {1,1,2,3,… }
Defina
La variable aleatoria que describe si las acciones de un mercado bajan o suben en el día
:
: Discreto
: Días de observación: Discreto
Tal que los estados se presentan de la siguiente manera: Estado
condición
0
sube ayer, sube hoy
1
baja ayer, sube hoy hoy
2
sube ayer, baja hoy
3
baja ayer, baja hoy hoy
Elabore grafo
+− ++ +− −−
Característica
Probabilidad. 0.9
+
Probabilidad. 0.1
0.6
0.4
0.5
0.5
0.3
0.7
−
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Establezca la matriz estocástic estocástica: a:
¿Cómo será la distribución inicial:
0. 0.96 00 0.0.14 00 00 0.0.53 00 0.0.57 = 14 14 14 14
El texto del problema no plantea un esto inicial en un principio, entonces: La probabilidad probabilidad inicial sería:
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¿Cuál es la probabilid probabilidad ad de que en 4 días la acción baje?
El vector de distribución sería:
= 1 1 11 = {4 , 4 , 4 , 4}
La condición para que el día actual en los próximos cuatro días es: Como el análisis es para 3 días:
=4
∴ 0. 9 0 0. 1 0 = = 0.006 0.0.053 0.004 0.0.057 =
= 0.0.537 0.1∴28 0.106 0.228 0.106+0.2∴28=0.334 para baje la acción
La probabilidad de que baje la acción al cuarto día es de 33.4% 5 1 0 2 / 8 0 / 8 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
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