Modelo Lineal del Flujo de Potencia para Representar Óptimamente a la Red de Transmisión Eléctrica
Daniel Javier Cámac Gutiérrez
ÍNDICE Pág. RESUMEN .................................................................................................................iii INTRODUCCIÓN........................................................................................................4 I. MODELO DE LA RED DE TRANSMISIÓN TRANSMISIÓN ELÉCTRICA........................ ELÉCTRICA................................ ..........6 ..6 1.1 MODELo Π DE LA RED DE TRANSMISIÓN................................................6 1.2 EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA NO LINEAL.................................7 1.3 EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA LINEALIZADO............................9 LINEALIZADO............................9
1.3.1 Representación Representación de las Pérdidas........................ Pérdidas..................................................... .............................12 12 II. EL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO..................................... OPTIMO...................................................... ....................... ........... .....14 14 2.1 LA REGIÓN FACTIBLE DE OPERACIÓN ELÉCTRICA............................14 2.2 CONSTRUCCIÓN DE LA REGIÓN DE FACTIBILIDAD ELÉCTRICA.....18 ELÉCTRICA.... .18 2.3 CALCULO DEL PUNTO ÓPTIMO DE OPERACIÓN..................................22 III.
MODELAM MODELAMIENTO IENTO DEL DEL DÉFICIT DÉFICIT DE ENERGÍ ENERGÍA A ELÉCTRICA ELÉCTRICA Y DE LAS LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN.....................................................................25 3.1 MODELO LINEAL PARA EL DÉFICIT........................................................25 3.2 EL EFECTO DE LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN...............................29
CONCLUSIONES......................................................................................................34 RECOMENDACIONES.............................................................................................35 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................36
ii
ÍNDICE Pág. RESUMEN .................................................................................................................iii INTRODUCCIÓN........................................................................................................4 I. MODELO DE LA RED DE TRANSMISIÓN TRANSMISIÓN ELÉCTRICA........................ ELÉCTRICA................................ ..........6 ..6 1.1 MODELo Π DE LA RED DE TRANSMISIÓN................................................6 1.2 EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA NO LINEAL.................................7 1.3 EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA LINEALIZADO............................9 LINEALIZADO............................9
1.3.1 Representación Representación de las Pérdidas........................ Pérdidas..................................................... .............................12 12 II. EL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO..................................... OPTIMO...................................................... ....................... ........... .....14 14 2.1 LA REGIÓN FACTIBLE DE OPERACIÓN ELÉCTRICA............................14 2.2 CONSTRUCCIÓN DE LA REGIÓN DE FACTIBILIDAD ELÉCTRICA.....18 ELÉCTRICA.... .18 2.3 CALCULO DEL PUNTO ÓPTIMO DE OPERACIÓN..................................22 III.
MODELAM MODELAMIENTO IENTO DEL DEL DÉFICIT DÉFICIT DE ENERGÍ ENERGÍA A ELÉCTRICA ELÉCTRICA Y DE LAS LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN.....................................................................25 3.1 MODELO LINEAL PARA EL DÉFICIT........................................................25 3.2 EL EFECTO DE LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN...............................29
CONCLUSIONES......................................................................................................34 RECOMENDACIONES.............................................................................................35 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................36
ii
RESUMEN En el presente informe se describe el modelo linealizado del flujo de potencia óptimo para representar al sistema de transmisión de energía eléctrica. Debido a las simplificaciones adoptadas por el modelo lineal en el cálculo de los flujos de potencia; normalmente, se desprecian las pérdidas, el flujo de potencia reactiva y el análisis de los valores de la tensión en las barras. En este trabajo, se presenta un modelo que incluye las pérdidas de transmisión. Debido a la expresión no lineal de las pérdidas, se requiere la asistencia de un programa de optimización no lineal. El modelo aprovecha las características de esparsidad de la red eléctrica y presenta una formulación eficiente, que requiere menos iteraciones en el proceso de optimizació optimización. n. Por lo general, se acepta que la modelación del flujo linealizado se acerca mucho al comportamiento real del sistema bajo condiciones de estabilidad de tensión y control de reactivos.
iii
INTRODUCCIÓN El constante crecimiento de la demanda de energía eléctrica en el país, ha exigido la expansión compleja de los Sistemas Eléctricos de Potencia, a través, de instalación de nuevas fuentes generadoras e interconexión de los sistemas. Estas interconexiones permiten lograr altos niveles de confiabilidad, garantizando a la vez calidad y continuidad del servicio. Sin embargo, el problema de operación es aún una tarea difícil de ejecutar. La adecuada operación de los sistemas eléctricos tiene un impacto directo en las principales actividades económicas y sociales del país. Tal es así, que el marco legal vigente establece las bases necesarias para el empleo de los costos marginales de operación para un sistema económicamente adaptado, en el cálculo de la tarifas eléctricas. En diversos estudios [2] [6] [7] se han comprobado que un modelo multinodal permite una representación más real del sistema, por lo tanto, los costos marginales, obtenidos como variables duales en las restricciones de balance de potencia asociados a cada nodo, serán también más reales y exactos. El modelo linealizado del flujo de potencia o modelo DC es bastante utilizado como una herramienta rápida para el cálculo aproximado de los flujos de potencia activa en sistemas eléctricos de potencia. Estudios con sistemas internacionales, muestran que los errores en la aproximación son relativamente pequeños (2% a 4%), con énfasis en las líneas más sobrecargadas, justamente aquellas en las que se concentran los estudios de análisis de desempeño del sistema [5]. Es importante observar, sin embargo, que a causa de las hipótesis simplificadoras, existen limitaciones del modelo linealizado. Por ejemplo, el modelo no es capaz de calcular, ni siquiera en forma aproximada, los flujos de potencia reactiva del sistema. Otra limitación del modelo se debe a la hipótesis de operación en la tensión nominal, la cual imposibilita la utilización del modelo linealizado para el análisis de los valores de tensión en las barras.
Sin embargo, a la luz de estas desventajas, el flujo DC es utilizado por excelencia en los modelos de planificación de la operación de los sistemas eléctricos. La estructura del presente informe es la siguiente: El capítulo 1 describe inicialmente el modelo del flujo de potencia. A partir de la modelación no lineal, se adoptan diversas simplificaciones para arribar al modelo lineal del flujo de potencia. Se detallan las expresiones adoptadas para las pérdidas. El capítulo 2 describe el problema de la operación óptima como la búsqueda, dentro de la región de factibilidad de las variables de operación, del punto óptimo. El problema se formula en programación lineal [8] y puede ser resuelto por técnicas lineales, como por ejemplo el método Simplex Revisado. En el capítulo 3, el modelo básico del flujo linealizado es extendido para incluir el déficit en el abastecimiento de la demanda y las pérdidas de transmisión. Se modela al problema con técnicas especiales comprobadas [9] [10] [11] que permiten acelerar la convergencia. Se muestran casos de ejemplo con la finalidad de aclarar las formulaciones matemáticas adoptadas en el trabajo. Finalmente, se presentan las conclusiones y recomendaciones.
I. MODELO DE LA RED DE TRANSMISIÓN ELÉCTRICA La operación eléctrica de un sistema de generación/transmisión de energía eléctrica normalmente se describe a través de cuatro magnitudes asociadas a cada barra i del sistema: •
la magnitud de tensión nodal Vi
•
el ángulo de tensión nodal θi
•
la inyección de potencia activa Pi
•
la inyección de potencia reactiva Q i
La generación y la demanda (carga) total de potencia en cada barra corresponden respectivamente a la inyección de potencia positiva y negativa en la barra. Así, considerando Gi y Li, respectivamente la generación y la demanda de potencia activa en la barra i, la inyección neta P i está dada por: Pi
=G −L i
(1.1)
i
Una expresión análoga puede ser utilizada para la inyección neta de la potencia reactiva.
1.1 MODELO
DE LA RED DE TRANSMISIÓN
Una línea de transmisión conectada a las barras i-k de un sistema de energía eléctrica, puede ser representada por el modelo equivalente π, mostrado en la figura 1.1 y definida por las características físicas de la línea: la conductancia serie Gik , la susceptancia serie Bik y la mitad de la susceptancia shunt (conectada a tierra) B’ ik .
Figura 1.1 Modelo π de una Línea de Transmisión Donde la admitancia serie Yik esta definido por: Yik = G ik + jBik
(1.2)
1.2 EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA NO LINEAL El cálculo del flujo de potencia en un sistema eléctrico corresponde a la determinación de los flujos de potencia activa y reactiva en los circuitos que conforman la red de transmisión. Los flujos de potencia activa P ik y reactiva Qik corresponden respectivamente a las componentes real e imaginaria del flujo de potencia aparente S *ik : S*ik = Pik − jQ ik
(1.3)
los cuales, explícitamente, se pueden expresar respectivamente como:
Pik = − G ik Vi
2
+ VV ( G i
k
ik
cos θ ik + Bik sen θ ik
)
Q ik = ( Bik − Bik ) Vi + Vi Vk ( G ik sen θ ik − Bik cosθ ik ) '
2
(1.4)
(1.5)
donde θik es la diferencia angular de la línea i-k, dada por:
θ =θ −θ ik
i
k
(1.6)
Se sabe que la inyección neta de potencia activa en la barra i es igual a la suma de los flujos de potencia activa de todas las líneas conectadas a dicha barra. Así, la expresión resultante es: N
Pi = Gi Vi + Vi ∑ Vk ( G ki cosθ ik + Bi k senθ ik ) 2
(1.7)
k= 1 k≠ i
donde Gii esta definido por: N
∑ (−G )
G ii =
(1.8)
ik
k= 1 k≠ i
Con el mismo análisis se obtiene la expresión para la inyección neta de potencia reactiva: N
Qi = − B i Vi + Vi ∑ Vk ( G ki senθ ik − Bi k cosθ ik ) 2
(1.9)
k= 1 k≠ i
donde Bii esta definido por: N
Bii =
∑ (B − B ) '
ik
(1.10)
ik
k= 1 k≠ i
La expresión para las pérdidas de potencia en la línea i-k esta dada por:
PERD ik = − G ik ( Vi + Vk ) + Vi Vk ( 2G ik cosθ ik ) 2
2
(1.11)
1.3 EL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA LINEALIZADO Un aproximación muy usada del modelo de flujo de potencia no lineal es el conocido como flujo de potencia linealizado o flujo DC . Este modelo convierte las ecuaciones generales de flujo en ecuaciones lineales simples. Por lo general se acepta que la modelación del flujo DC se acerca mucho al comportamiento real del sistema bajo condiciones de estabilidad de tensión y control de reactivos. De allí, que su uso es muy frecuente en los modelos de planificación de la operación [4] [7]. Por otro lado, una característica importante del modelo linealizado es el hecho de entregar una solución aún a los problemas que no podrían ser resueltos por los métodos convencionales del flujo de potencia no lineal [1]. En los estudios de planificación de la operación, además se requiere rapidez y convergencia para analizar los diversos escenarios [3] [6]. El flujo DC es por excelencia un método muy rápido de converger. Las aproximaciones adoptadas en el flujo linealizado son las siguientes: •
Las tensiones en las barras son iguales al nominal
Vi = Vk = 1 •
(1.12)
Las diferencias angulares θik en las líneas son relativamente pequeñas. Así, se obtienen
•
cos θ ik ≈ 1
(1.13)
sen θ ik ≈ θ ik
(1.14)
Las resistencias en las líneas son muy pequeñas comparadas con las reactancias
>>
X ik
R ik
(1.15)
y consecuentemente: R ik
G ik =
2 2 R ik + Xik
− Xik
Bik =
2
R ik + X ik
2
≈0
≈
(1.16)
−1
X ik
(1.17)
Las susceptancias shunt pueden ser despreciadas '
B ik
≈0
(1.18)
La aplicación de estas hipótesis a la expresión del flujo de potencia activa no lineal resulta en: Pik
=
B ik θ ik
(1.19)
La inyección de potencia activa en la barra es igual a la suma algebraica de los flujos que salen de la barra: N
Pi =
N
∑ ∑Bθ Pik =
k= 1 k≠ i
ik ik
k= 1 k≠ i
(1.20)
El modelo del Flujo de Potencia Lineal , o modelo DC, entonces se puede escribir en forma matricial como: P = B' Θ
donde P
es el vector de inyecciones netas de potencia activa nodales
Θ
es el vector de ángulos nodales
(1.21)
B’
es una matriz que depende de las características físicas de las líneas de transmisión, y sus elementos son:
B 'ik
= N
'
B ii
=∑ k = 1 k≠ i
−1 X ik
(1.22)
1 X ik
(1.23)
La aplicación de las hipótesis simplificadoras en la ecuación de pérdidas de potencia activa (1.11) lleva a despreciarlas. Como no hay pérdidas en el sistema, la suma de las inyecciones netas de potencia es nula, lo que implica en la singularidad de la matriz B’. Este problema se evita adoptando una barra de referencia s, que pasa a ser la referencia angular del sistema. La inyección de potencia en la barra de referencia está dada por el balance total de potencia del sistema: N
Ps =
∑ −P
i
i=1 i≠ s
(1.24)
Las variables P s y θs son retiradas del conjunto de ecuaciones del modelo DC, que se transforma en un nuevo sistema:
P ' = B" Θ '
(1.25)
donde P'
es el vector con dimensión N-1 de las inyecciones netas de potencia activa en todas las barras del sistema, excepto en la barra de referencia s.
Θ'
es el vector con dimensión N-1 de los ángulos de tensión en todas las barras del sistema, excepto en la barra de referencia s.
B”
es una matriz resultante de la exclusión de la fila y columna s de la matriz B’.
1.3.1
Representación de las Pérdidas Las pérdidas eléctricas generadas entre los nodos i-k, en su forma original son
ecuaciones no lineales del modelo. Con la hipótesis de que las tensiones nodales son iguales al nominal, la expresión de pérdidas dada en (1.11), se reduce a:
= − 2G ( 1− cosθ )
PERDik
ik
ik
(1.26)
Esta expresión continua siendo no lineal. Utilizando la expansión de la Serie de Taylor, hasta el segundo orden, en (cos
θik ),
se tiene:
1
cos θik
≈ 1 − θik 2 2
(1.27)
por lo tanto, las pérdidas, en la línea i-k, se pueden aproximar a:
PERDik = − G ikθ ik 2
(1.28)
así, el total de pérdidas en las líneas asociadas al nodo i, esta dado por: N
PERDi =
∑ −G θ
2
(1.29)
ik ik
k= 1 k≠ i
El efecto de las pérdidas se puede aproximar como “cargas adicionales”, obtenidas dividiéndose las pérdidas de cada línea del sistema eléctrico entre sus barras terminales (mitad para cada lado) [12]. De esta forma el modelo DC (ecuación 1.25), pasa a asumir la formula:
P '+ PERD = B" Θ'
(1.30)
donde: PERD =
1 PERD i 2
(1.31)
El procedimiento recursivo de solución de esta “linealización” se basa en el siguiente procedimiento: 1.
calcular la solución temporaria de
Θ’,
sin incluir la expresión PERD
(resolver ecuación 1.25) 2.
calcular las pérdidas aproximadas (ecuación 1.29) a partir de la solución temporaria Θ’.
3.
Resolver el sistema (1.30) incluyendo las perdidas calculadas en 2
4.
Test de convergencia: parar o en caso contrario volver al paso 2 con el nuevo valor de Θ’.
II. EL FLUJO DE POTENCIA OPTIMO En este capitulo el problema de operación óptima es modelado como un problema de optimización. Inicialmente, con el propósito de mostrar los conceptos básicos del método, se presenta una formulación linear básica. Esta formulación, rápida y eficaz, es muy utilizada actualmente por los modelos internacionales [9] [10] [11]. Posteriormente, en el capítulo siguiente se describe una extensión, con la finalidad de incluir la falla y las pérdidas de transmisión.
2.1 LA REGIÓN FACTIBLE DE OPERACIÓN ELÉCTRICA En el capítulo anterior se describió detalladamente las diferentes magnitudes asociadas al sistema eléctrico de potencia y las relaciones físicas y matemáticas entre ellas. El modelo presentado corresponde al Flujo de Potencia Linealizado o Modelo DC, el cual será utilizado a lo largo del presente trabajo para describir a la red de transmisión. Este modelo esta caracterizado por dos magnitudes asociadas a cada barra i, las cuales son: •
la inyección de potencia activa P i
•
el ángulo de tensión θi
La primera es denominada variable de control y la segunda variable de estado. El modelo de Flujo de Potencia Linealizado relaciona las dos variables de la red eléctrica a través de las ecuaciones lineales resumidas a continuación:
[ ]
P ' = B" θ'
(2.1)
N
Ps =
∑ −P
(2.2)
i
i= 1 i≠ s
θs = 0 Pi
(2.3)
=G −L i
i
(2.4)
En la expresión (1.19) del flujo de potencia activa, por conveniencia de notación, se reemplaza P ik con Fik . Así, el flujo se puede escribir como: Fik
= B (θ − θ ) ik
i
(2.5)
k
Para aprovechar la característica esparsa de la red, este flujo se puede expresar como:
Fik
= e θ' t
(2.6)
ik
donde [eik ] es un vector de dimensión N-1, cuyos elementos son ceros, excepto en la posición i, donde vale B ik y en posición k, donde vale -B ik . Dadas las potencias de generación G y las demandas L, los ángulos de las tensiones nodales se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones:
θ ' =[ B"]
− 1
P'
θs = 0
(2.7)
(2.8)
Con la finalidad de expresar el flujo de potencia activa en función de las inyecciones netas de potencia, la ecuación (2.7) se substituye en (2.6):
Fik
= e [ B' '] − t
ik
1
P'
(2.9)
en notación vectorial, se tiene:
F
= E[ B"]
−1
P'
(2.10)
donde F
es el vector de flujos en las líneas (Se considera que F ik es positivo si la potencia fluye desde la barra i hasta la barra k (i →k) y negativo si el flujo de potencia es contrario (k →i).
E
es la matriz cuyas filas corresponden a los vectores e ik t.
La aplicación del flujo de potencia linealizado será ilustrada a través del sistema de la figura 2.1, donde la carga L 3 debe ser atendida por los generadores G 1 y G2. Los valores mostrados en las líneas corresponden a las susceptancias serie. Inicialmente, con la finalidad de mostrar el calculo de los flujos de potencia en función de las potencias generadas, se suponen conocidos los vectores G y L.
Figura 2.1 Sistema Eléctrico Ejemplo de Tres Barras El vector de inyecciones nodales está dado por:
5 P = 5 −10
(2.11)
La matriz B’ se obtiene utilizando las ecuaciones (1.22) y (1.23) 2 B' = −1 −1
−1
−1
3
−2
−2
3
(2.12)
Debido a la singularidad de la matriz B’, existe la necesidad de escoger una barra de referencia. Sea 3 la barra de referencia, eliminando la fila y columna asociadas a ella, y utilizando la ecuación (2.7), se forma el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5 2 − 1 θ 5 = − 1 3 θ 1
(2.13)
2
A partir de (2.7) y (2.8), se calculan los ángulos nodales:
θ θ
− 2 − 1 5 3 1 5 4 = − 1 3 5 = 1 5 1 2 5 = 3 1
1 2
θ3 = 0
(2.14)
(2.15)
Los flujos de potencia activa en las líneas están dados por: F12
= B ( θ − θ ) = 1( 4 − 3) = 1
(2.16)
F13
= B13 ( θ1 − θ3 ) = 1( 4 − 0) = 4
(2.17)
F23
= B23 ( θ2 − θ3 ) = 2( 3 − 0) = 6
(2.18)
12
1
2
La inyección de potencia neta en la barra de referencia corresponde a: P3 = − P1 − P2 = − 10
Los valores obtenidos arriba son presentados en la figura 2.2.
(2.19)
Figura 2.2 Punto de Operación del Sistema Ejemplo de 3 barras
2.2 CONSTRUCCIÓN ELÉCTRICA
DE
LA
REGIÓN
DE
FACTIBILIDAD
Las inyecciones de potencia P definen el punto de operación del sistema eléctrico. Este punto será considerado factible si se cumplen las siguientes restricciones operativas: las ecuaciones de balance de potencia son atendidas:
•
P= G− L
(2.20)
N
∑P = 0
(2.21)
i
i
las generaciones en cada barra i están entre sus límites mínimos y máximos
•
G imin ≤ G i ≤ G imax
i = 1,..., N
(2.22)
o, en forma vectorial G
min
≤G≤G
max
(2.23)
donde Gimin y Gimax son respectivamente los vectores de generaciones nodales mínimos y máximos. Las barras sin generación se representan con límites máximos y mínimos iguales a cero.
los flujos en cada línea i-k (en el sentido(i →k) ó (k →i)) están dentro de sus
•
límites máximos Fik max: Fik
(2.24)
max
≤ Fik
o equivalentemente, F ≤F
(2.25)
max
donde Fmax es el vector de límites de flujos en las líneas. Además, se puede utilizar la expresión (2.10) para obtener las restricciones de flujo máximo en función de las inyecciones nodales de potencia:
E[ B"]
− 1
P' ≤ F
max
(2.26) En resumen, las condiciones de factibilidad de un punto de operación son dadas por:
P= G− L
(2.27)
N
∑P = 0
(2.28)
i
i
G
min
≤G≤G
(2.29)
max
E[ B"]
− 1
P' ≤ F
max
(2.30) Supóngase, que se conocen las demandas a ser atendidas. Por lo tanto, se deben optimizar las generaciones.
Inicialmente, la ecuación (2.27) puede ser desdoblada en:
P' = G'− L'
(2.31)
= G s − Ls
(2.32)
Ps
donde G'
es el vector de las generaciones nodales, excepto la barra s de referencia.
L'
es el vector de las cargas nodales, excepto la barra s de referencia.
Substituyendo las ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) con (2.31) y (2.32), se construye una región factible de operación en función de las variables de generación G: N
∑( G
i
− Li ) = 0
(2.33)
i=1
G
min
≤G≤G
[
(2.34)
max
] − G '−E[ B"] −
E B"
1
1
L'
≤ F max
(2.35)
Utilizando el sistema ejemplo, sean conocidas las demandas:
0 L=0 10
(2.36)
dados los límites operativos de generación:
G1max 10 max = 10 G2
(2.37)
y de flujo:
F F F
max
12 max
13 max
23
2 = 6 10
(2.38)
la región factible de operación del sistema eléctrico se puede construir a partir de las restricciones: •
balance de potencia, ecuación (2.33)
G1 + G 2 − L3 = 0 •
límites de generación, ecuación (2.34)
0 G 0 ≤ G •
(2.39)
1 2
10 ≤ 10
(2.40)
límites de flujo, ecuación (2.35)
1 − 1 2 3 1 0 G 1 1 1 0 − ≤ 6 5 1 2 G 0 2 0 2 10 o equivalentemente como:
(2.41)
− G 2 ≤ 10 2 G 1 − G 2 ≥ − 10 3G 1 + G 2 ≤ 30 3G 1 + G 2 ≥ − 30 2 G 1 + 4 G 2 ≤ 50 2 G 1 + 4G 2 ≥ − 50 2G 1
(2.42)
2.3 CALCULO DEL PUNTO ÓPTIMO DE OPERACIÓN Conocida la región de factibilidad, el operador debe procurar, entre todos los puntos de operación posibles, el más conveniente (óptimo). Si se conocen, por ejemplo, los costos c i asociados a la operación de cada generador i, el operador puede buscar el punto más económico de operación. Este punto debe satisfacer, además de las restricciones hidráulicas, las restricciones de la red de transmisión discutidas en este trabajo. La función objetivo se representa matemáticamente como: N
Min
∑c G i =1
i
(2.43)
i
sujeto a las restricciones operativas del sistema: N
∑( G
i
− Li ) = 0
(2.44)
i=1
(2.45)
G min ≤ G ≤ G max
− 1
E[B"]
− 1
G '− E[B"]
L'
≤ F
max
(2.46)
Considerando el sistema ejemplo de la sección anterior y suponiendo los costos de generación como: c 1=1 y c2=2; el problema de la operación óptima del sistema se puede formular como el siguiente problema de minimización:
Min
G1 + 2G 2
sujeto a G1 + G 2
= 10
0 ≤ G1 ≤ 10 0 ≤ G 2 ≤ 10
(2.47)
− G 2 ≤ 10 2 G 1 − G 2 ≥ − 10 3G 1 + G 2 ≤ 30 3G 1 + G 2 ≥ − 30 2 G 1 + 4 G 2 ≤ 50 2 G 1 + 4G 2 ≥ − 50 2G 1
La representación geométrica de este problema se muestra en la figura 2.3. La determinación del punto óptimo de operación puede entenderse como la búsqueda del costo de operación más económico. Es posible ver que el punto óptimo de operación del sistema en estudio es:
A=(20/3,10/3)
Figura 2.3 Representación Geométrica del Problema de Operación Óptima
El costo asociado a este punto de operación es 40/3. La distribución de flujos de potencia se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.4 Punto de óptimo de operación del Sistema de 3 barras
III. MODELAMIENTO DEL DÉFICIT DE ENERGÍA ELÉCTRICA Y DE LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN En el modelo básico presentado en la sección anterior, el problema de la operación óptima fue formulado a través de un conjunto de ecuaciones lineales, conocidas como el Modelo de flujo de Potencia linealizado. Este modelo debe ser modificado de forma de incluir el déficit de energía y las perdidas de transmisión. Los modelos presentados a continuación son una extensión del modelo original del flujo de potencia linealizado.
3.1 MODELO LINEAL PARA EL DÉFICIT La inclusión del déficit en el atendimiento de la demanda (falla) es una manera alternativa de medir el grado de infactibilidad del sistema eléctrico. Normalmente, el vector déficit es una variable de control adicional al problema y se representa como generadores ficticios en cada barra. En la figura 3.1 se muestra esta representación, R representa el déficit nodal [1].
Figura 3.1 : Representación del déficit como generación ficticia. Este efecto solamente transforma las ecuaciones de balance nodal del modelo básico del Flujo Óptimo Linealizado. En este caso, no es necesario utilizar variables de holgura asociadas a las restricciones de límites de generación y flujo. La ecuación de balance de potencia nodal se transforma en:
(
)
Pi = G i − L i − R i
(3.1)
o equivalentemente en: Pi = G i + R i − L i
(3.2)
donde R i es déficit en la barra i, y está limitado por: 0 ≤ Ri
≤L
(3.3)
i
Así, (Li - R i) es la demanda efectivamente atendida en la barra. El modelo de Flujo de Potencia Linealizado, ahora es formulado como: P= G+ R− L
(3.4)
P' = B" θ '
(3.5)
N
Ps =
∑ −P
(3.6)
i
i= 1 i≠ s
θs = 0
(3.7)
Definiendo R', un vector con dimensión N-1, como los déficits en las barras del sistema, excepto en la barra de referencia s, la expresión de los flujos de potencia activa en la líneas, se transforma en:
[
] ( G '+R '−L')
F = E B"
−1
(3.8)
o equivalentemente:
−1
−1
−1
F = E[ B"] G '+ E[ B"] R '− E [ B"] L'
(3.9)
En la realidad, la variable de falla sólo debería estar asociado a las barras de demanda. Este efecto podrá apreciarse con mayor claridad en el ejemplo práctico. La búsqueda del punto óptimo de operación del sistema eléctrico se transforma en la
∑ ≥ ≤ −
minimización del costo total, el cual contiene el costo de generación más el costo de falla: N
Min
c (
i
i
s
/
a
G
d
i
i
R
i
= 1
G
i
i
i
G
G
min
G
G
max
[[]− ]
E
B "
E
R R
1
B"
1
≥ ≤ 0
L
(3.10) Donde di son los costos de falla unitarios. Este nuevo problema continua siendo lineal, por lo tanto, para resolverlo se pueden utilizar métodos de optimización lineal. Utilizando el mismo ejemplo de la sección anterior, y alterando la capacidad máxima del generador 2 desde 10 a 2 unidades, y además, considerando como costo de falla unitario d3=10; la formulación del flujo de potencia linealizado es:
G'
(
+ 10 R 3 ) G 1 + G 2 + R 3 = 10 G1 ≥ 0 G2 ≥ 0 G 1 ≤ 10 G2 ≤ 2 2 G 1 − G 2 ≤ 10 − 2 G 1 + G 2 ≤ 10 3G 1 + G 2 ≤ 30 − 3G 1 − G 2 ≤ 30 2 G 1 + 4 G 2 ≤ 50 − 2 G 1 − 4 G 2 ≤ 50 0 ≤ R 3 ≤ 10
Min G 1 + 2 G 2 s/a
(3.11)
La solución óptima de este problema corresponde al punto P dado por:
=6 G2 = 2 R 3 = 2 G1
(3.12)
Gráficamente, se tiene la distribución de flujos mostrada en la figura 3.2. Se aprecia que la limitación en la capacidad del generador 2 ocasiona un corte de carga de 2 unidades en la barra 3 y un costo de operación de 30 unidades.
Figura 3.2 Punto de óptimo de operación incluyendo la falla
3.2 EL EFECTO DE LAS PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN La inclusión de las pérdidas de transmisión complica la linealidad del problema. La representación de las pérdidas, tal como se mostró en los capítulos previos, es una expresión no-lineal y al incluirla en el modelo del flujo de potencia linealizado, transforma al problema en uno de programación no-lineal. Por otro lado, para evitar incrementar el número de variables y aprovechar la inversión de la matriz susceptancia fuera del proceso de optimización; se utilizará un procedimiento similar al adoptado en los modelos previos. En el capítulo 1 se definió que el vector PERD representa las pérdidas concentradas en cada barra, así: ∑ −G =≠ PERD = ∑ −G =≠ N
1k
k 1 k 1
N
Nk
k 1 k N
− θ )] [ 1 − cos( θ − θ ) ]
[ 1 − cos( θ
1
N
k
(3.13)
k
Al incluir este vector en la ecuación de balance de potencia se tiene: Pi = G i + PERDi + R i − Li
(3.14)
El nuevo modelo del Flujo de Potencia Linealizado, es formulado como: P = G + PERD + R − L
(3.15)
P' = B" θ '
(3.16)
N
Ps =
∑ −P
i
i= 1 i≠ s
θs = 0
(3.17) (3.18)
Definiendo PERD', un vector con dimensión N-1, como las pérdidas en las barras del sistema, excepto en la barra de referencia, la expresión de los flujos de potencia activa en la líneas, se transforma en:
−1
F = E[ B"]
( G '+PERD '+R '−L') (3.19)
o equivalentemente: F
= E[ B"]
−1
G '+E[ B"]
−1
PERD'+E[ B"]
−1
R'−E[ B
(3.20) Con esta nueva expresión para el flujo de potencia activa, el modelo de optimización contiene tres vectores de variables de control: G’, R’ y el vector θ’, es decir, uno más de los utilizados en los modelos anteriores. Matemáticamente, el nuevo modelo es:
(c G ∑ N
Min
i
i
s / a
i
+ d i Ri
1 =
G ∑ i
)
+ PERD i + Ri − Li = 0 ∑ ∑ ∑
i
i
G
≥ G
min
G
≤ G
max
E[ B"]
1 −
G '+ E[B"]
− E[ B"] R
≥ 0
R
≤ L
i
1 −
1 −
i
PERD' + E[B"]
G '− E[B"]
1 −
1 −
R' − E[B"
PERD' − E[B"]
1 −
(3.21) La solución de este modelo requiere la asistencia de una herramienta no lineal (e.g. MINOS). Últimamente, se ha tomado mucho interés en la reducción de las variables de control del problema anterior [13]. Así, lo ideal sería expresar las pérdidas en función de las variables de generación G’ y de falla R’. En este sentido, siendo que las pérdidas dependen de θ, y esta a su vez dependen de P’, entonces, es posible expresar las pérdidas en función de P’.
Así, utilizando la formulación original, sin perdidas, se tiene:
R' + E[
'= B" θ
− 1
( G '+ R '− L')
(3.22)
o equivalentemente,
θ ' = [ B"]
−1
+
−1
−1
−
G' [ B"] R' [ B"] L'
(3.23)
además,
θs = 0
(3.24)
Luego, es posible expresar el vector PERD’ en función de los vectores G’ y R’, variables iniciales del problema. Cada elemento del nuevo vector, denominado PERD”, estaría representado por : N
∑ [ ({ − } { − } )]
PERD"i = − Gik 1 − cos [ B ]" [ G +' R'− L'] − [ B"] [ G' + R' − L]' 1
k= 1 k≠ i
1
i
(3.25)
k
De esta forma, las pérdidas se representan de forma explícita en el modelo matemático, el cual finalmente es: N
Min
(c G ∑ i
i
s / a
i
d i Ri ) +
1 =
G + PERD ∑ ∑ i
i
+
i
i
i
min
G
G ≥
G
≤ G
max
1 −
E[ B"]
1 −
G '+ E[ B"] − 1
− E[ B"] R
0 ≥
R
≤ L
P − 1
G '− E[ B"]
(3.26)
Como se aprecia, con respecto a la formulación anterior (3.21), el número de restricciones es igual, el número de expresiones individuales en cada restricción aumenta, sin embargo, el número de variables disminuye. Está demostrado que la utilización de este modelo es más rápido y eficaz que el anterior y mucho más rápido y eficaz que la modelación tradicional. Siendo, la idea de utilizar una modelación similar para representar el Sistema de transmisión del Sur, y sabiendo de la necesidad de múltiples simulaciones y rodadas, este método es eficaz en términos de tiempo. Además, es importante notar que solamente una vez, al inicio se utiliza una rutina para formar el modelo matemático con las características mostradas, así solo una vez es invertida la matriz B”. Utilizando los datos del ejemplo de la sección anterior, y siendo las resistencias de las líneas de transmisión 1-2, 1-3 y 2-3 iguales a 0.1, 0.1 y 0.2, respectivamente; la formulación del flujo de potencia linealizado incluyendo las pérdidas de transmisión esta dada en la ecuación (3.27). La solución de este modelo se realiza con un paquete de optimización no lineal. Se sabe que los métodos no lineales parten de un punto inicial, del cual depende el tiempo de solución (tiempo en encontrar el punto óptimo); por lo tanto, una alternativa para abordar este problema está dado por los siguientes pasos: 1.
Resolver el problema sin considerar perdidas (modelo 3.10).
2.
La solución del paso anterior, es el punto inical para el modelo siguiente
3.
resolver el problema de optimización no lineal, inlcuyendo las pérdidas de transmisión. (modelo 3.26)
Estos dos procesos de optimización se pueden realizar sin problemas con el MINOS ó el CPLEX.
(
Min G 1
+ 2 G 2 + 10R 3 )
s/ a G1
1 1 1 2 3 −2 + G 2 + R 3 + 10 cos G 1 − G 2 + 10 cos G 1 + G 2 + 10 cos G 1 + G 2 + 5
1 20 cos G 1 5 G1 ≥ 0
+
5
2 −3 G 2 + 10 cos 5 G 1 5
5
−
5
1 −1 G 2 + 20 cos G 1 5 5
5
−
5
2 G 2 = 90 5
≥0 G 1 ≤ 10 G2 ≤ 2 G2
2G1
1 1 1 2 2 3 −2 1 − G 2 + 20 cos G 1 − G 2 + 20 cos G 1 + G 2 − 10 cos G 1 + G 2 − 20 cos G 1 + G 2 ≤ 20 5
5
5
5
5
5
5
5
2 3 −2 1 1 1 1 2 −2 G 1 + G 2 − 20 cos G 1 − G 2 − 20 cos G 1 + G 2 + 10 cos G 1 + G 2 + 20 cos G 1 + G 2 ≤ 20 5 5 5 5 5 5 5 5 2 3 −2 1 1 1 1 2 3G 1 + G 2 + 30 cos G 1 − G 2 + 30 cos G 1 + G 2 + 10 cos G 1 + G 2 + 20 cos G 1 + G 2 ≤ 120 5 5 5 5 5 5 5 5 2 3 −2 1 1 1 1 2 30 cos G 1 + G 2 − 10 cos G 1 + G 2 − 20 cos G 1 + G 2 ≤ 12 −3G 1 − G 2 − 30 cos G 1 − G 2 − 5 5 5 5 5 5 5 5 2 3 −2 1 1 1 1 2 2 G 1 + 4 G 2 + 20 cos G 1 − G 2 + 20 cos G 1 + G 2 + 40 cos G 1 + G 2 + 80 cos G 1 + G 2 ≤ 21 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 2 2 3 −2 1 20 cos G 1 + G 2 − 40 cos G 1 + G 2 − 80 cos G 1 + G 2 ≤ 2 −2 G 1 − 4 G 2 − 20 cos G 1 − G 2 − 5 5 5 5 5 5 5 5 0 ≤ R 3 ≤ 10 (3.27)
CONCLUSIONES En este trabajo se presenta una metodología eficaz para modelar el sistema de transmisión, se pueden representar el número de líneas y barras que el usuario especifique. El método utilizado corresponde al flujo de potencia linealizado. Se incluyen extensiones con la finalidad de incorporar el costo de falla y las pérdidas de transmisión. La mayor ventaja de éste método es que el modelo se representa solamente en función de las variables de generación y falla. Así, la expresión de las pérdidas, dada usualmente en función de los ángulos de tensión en las barras, es modificada para incluir solo las variables de generación y falla. Lo anterior, permite incluir las restricciones asociadas a la red de transmisión en el modelo hidráulico actualmente desarrollado como parte del perfeccionamiento del calculo de los costos marginales. Esta adición, no pretende alterar la estructura del modelo hidráulico y/o aumentar las variables del problema. Una característica adicional es la forma explícita de representar las restricciones, así, se aprovecha la estructura física de la red de transmisión, representada por la matriz de susceptancias. Esta formulación, permite una rápida convergencia y aceleración en el tiempo del proceso de optimización global.
RECOMENDACIONES Se recomienda aplicar la metodología presentada para representar el sistema eléctrico nacional con el objetivo de determinar los costos marginales. Para su implementación se recomienda seguir lo siguiente: •
codificar una rutina especial que permita construir el modelo matemático presentado, aquí se debe incluir entre otras: la formación delas matrices E, B” y la inversión del matriz B” (podría utilizarse el método de ShipleyColeman para la inversión, por ser muy rápido y eficiente).
El proceso de optimización se puede realizar en dos etapas, esto con la finalidad de acelerar el tiempo de convergencia: 1.
En la primera etapa se debe resolver el modelo lineal del flujo óptimo de potencia. Este modelo no incluye las pérdidas y sólo se utiliza con la finalidad de obtener el punto inicial del método no lineal.
2.
En la segunda etapa se resuelve el modelo completo del flujo de potencia (incluye el costo de falla y las pérdidas de transmisión).
El programa computacional CPLEX es una herramienta flexible y poderosa que resuelve ambos problemas.
BIBLIOGRAFÍA [1]
CÁMAC, D., CORDERO, A., VELLASCO, M. & PACHECO, M. (1995) Modelo Genético para o Fluxo de Potência Ótimo. Remited to Artificial Intelligence Applied to Power System
Computation Conference. Portugal. [2]
PINTO, L. & CAMAC, D. (1998) Computation and Analysis of Marginal Costs: The Camac Model”.. SEPOPE’98. Brasil .
[3]
PEREIRA, M. & PINTO, L. (1983) Application of Decomposition Techniques to the Mid and Short-term Scheduling of Hydrothermal Systems. IEEE Transactions PAS, Vol. 101, No. 11 . USA.
[4]
PEREZ-ARRIAGADA, I., GALAN, A. & RIVIER,M. (1993) Modelo de Explotación Generación/Red. Instituto de Investigación Tecnológica, Universidad Pontifica Comillas. España
[5]
PINTO, L. (1990) Optimización en la Planificación y Operación de Sistemas Eléctricos. Curso
Tutorial, Universidade Católica . Chile. [6]
RIVIER, M., PEREZ-ARRIAGADA, I., SANCHEZ, P., RAMOS A. & GÓMEZ, T. (1994) An Improved Version of the Model JUANAC: Applications to Network Adequacy and Economic Studies in Large Interconnected Power Systems. Probabilistic Methods Applied to Power
System Conferrence PMAPS. Brasil. [7]
RUDNICK, H., PALMA, R. & FERNÁNDEZ, J. (1995) Marginal Pricing and Supplement Cost Allocation in Transmission Open Access. IEEE Transactions PWRS, Vol 10, No 2 . USA.
[8]
SNYDER, W. (1990) Linear Programming Adapted for Optimal Power Flow . IEEE
Transactions PAS, USA. [9]
STOTT, B. & HOBSON, E. (1978) “Power System Security Control Calculations using Linear Programming: Part I”. IEEE Trans. on PAS, Vol 97, No. 5. USA.
[10]
STOTT, B. & HOBSON, E. (1978) “Power System Security Control Calculations using Linear Programming: Part II”. IEEE Trans. on PAS, Vol 97, No. 5. USA.
[11]
STOTT, B. & MARINHO, J. (1979) “Linear Programming for Power System Network Security Applications”. IEEE Trans. on PAS, Vol 98, No. 3. USA
