UnADM
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO
As ig nat ur a:
Matemáticas Discretas
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Unidad 2 Evidencia de Aprendizaje.
AL UMNO
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Linares Ojeda Arturo David.
Matricula: ES1611312069
Unidad 2. Evidencia.
1. Investigue el concepto de árbol de peso mínimo para la solución de problemas reales. Dado un grafo conexo y no dirigido, un árbol de peso mínimo de ese grafo es un subgrafo que tiene que ser un árbol y contener todos los vértices del grafo inicial. Cada arista tiene asignado un peso proporcional entre ellos, que es un número representativo de algún objeto, distancia, etc., y se usa para asignar un peso total al árbol mínimo y es la suma de todos los pesos de las aristas del árbol en cuestión. Un árbol de peso mínimo o un árbol expandido mínimo es un árbol que pesa menos o igual que otros árboles. Cada punto representa un vértice, cada arista está etiquetada con su peso, que en este caso equivale a su longitud. La aplicación se ubica en las redes de comunicación eléctrica, telefónica, carretera, ferroviaria, aérea, marítima, etc. En donde los nodos representan un consumo eléctrico, teléfonos aeropuertos, computadoras, Ejemplo, si la compañía de televisión por cable desea instalar en un vecindario sus cables, pero estos solamente pueden recorrer por patrones o caminos específicos, sería útil saber cuáles caminos son los más cortos para así ahorrar la mayor cantidad de cable posible. Otra aplicación es la de las redes de telecomunicación para o ptimizar las distancias recorridas y asi mismo el material utilizado. Una similar a esta última es utilizada en redes de información entre servidores y computadoras cliente, para disminuir la distancia, aumentar la velocidad de transmisión de información y reducir los costos.
2. Investigue la biografía de Robert C. Prim, VojtechJarnick, Joseph B. Kruskal, OtakarBoruvka. Robert C. Prim Nació el 21 de septiembre de 1921, Sweetwater, Estados Unidos fue un matemático estadounidense y científico de la computación. Recibió su licenciatura en Matemáticas en 1941, y en 1949, recibió su Ph.D. en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Princeton. Trabajó en la Universidad de Princeton desde 1948 hasta 1949 como investigador asociado. Durante el clímax de la Segunda Guerra Mundial (1941-1944), trabajó como ingeniero para General Electric y desde 1944 hasta 1949. Fue contratado por Naval Ordnance Lab como ingeniero y más tarde como un matemático. En los Laboratorios Bell, se desempeñó como director de la investigación matemática desde 1958 hasta 1961. Allí desarrolló el algoritmo de Prim. Junto con un compañero de trabajo Joseph Kruskal, desarrollaron dos algoritmos diferentes para encontrar un árbol de expansión mínimo en un grafo ponderado, un escollo fundamental en el diseño de la red de ordenadores.
Su algoritmo de auto-nombrado desarrollado por él in1957 fue descubierto originalmente en 1930 por el matemático Vojtěch Jarník y más tarde fue r edescubierto por Edsger Dijkstra en 1959. Se refiere a
veces como el algoritmo DJP o el algoritmo Jarnik. Después de los Laboratorios Bell, se convirtió en vicepresidente de investigación de los Laboratorios Nacionales Sandia.
Vojtěch Jarník Nació el 22 de diciembre de 1897 fue un matemático checo. Su principal área de trabajo fue en la teoría de los números y el análisis matemático, demostró una serie de resultados en problemas de puntos de retículos. También descubrió el algoritmo sobre la teoría de grafos conocido como el algoritmo de Prim.
Joseph B. Kruskal Nació en Maplewood, Nueva Jersey, Estados Unidos, el 29 de enero de 1928. Fue un estadounidense matemático, estadístico , científico de la computación y la psicometría . Él era un estudiante de la Universidad de Chicago y en la Universidad de Princeton, donde completó su doctorado en 1954, nominalmente bajo Albert W. Tucker y Lyndon Roger, pero de facto en el Paul E rdős con quien tuvo dos conversaciones muy cortas. Kruskal ha trabajado en bien cuasi-ordenamientos y escalamiento multidimensional. Él era un miembro de la American Statistical Association , ex presidente de la Sociedad de la psicométrica , y ex presidente de la Sociedad de Clasificación de América del Norte . También inició y fue el primer presidente del Consejo de Vivienda Justa de South Orange y Maplewood en 1963, y apoyó activamente los derechos civiles en varias otras organizaciones. En las estadísticas, el trabajo más influyente de Kruskal es su contribución fundamental a la formulación de escalamiento multidimensional. En informática, su trabajo más conocido es el algoritmo de Kruskal para calcular el árbol de expansión mínima (MST) de un grafo ponderado. El algoritmo de las primeras órdenes de los bordes de peso y luego procede a través de la lista ordenada añadir un borde para el MST parcial, siempre que la adición de la nueva arista no crea un ciclo. Árboles de expansión mínimos tienen aplicaciones en la construcción y los precios de las redes de comunicación. En la combinatoria, es conocido por el teorema de árboles de Kruskal (1960).
OtakarBoruvka Nació el 10 de Mayo de 1899 en Uherský Ostroh .Es conocido en la teoría de grafos por el algoritmo de Borůvka es un algoritmo para encontrar el mínimo árbol de expansión en un grafo ponderado en el que todos sus arcos tienen distinto peso. Fue publicado por primera vez en 1926 por Otakar Borůvka como un método eficiente para construir la
red eléctrica de Moravia.
3. Investigue el concepto de árbol de peso mínimo Dado un grafo conexo, no dirigido y con pesos en las aristas, un árbol de expansión mínima es un árbol compuesto por todos los vértices y cuya suma de sus aristas es la de menor peso
4. Investigue el algoritmo de Prim Algoritmo de Prim Consiste en dividir los nodos de un grafo en dos conjuntos: procesados y no procesados. Al principio, hay un nodo en el conjunto procesado que corresponde a el equipo central; en cada interacción se incrementa el grafo de procesados en un nodo (cuyo arco de conexión es mínimo) hasta llegar a establecer la conexión de todos los nodos del grafo a procesar.
5. Investigue el algoritmo de Krunskal El algoritmo se basa en una propiedad clave de los árboles que permite estar seguros de sí un arco debe pertenecer al árbol o no, y usar esta propiedad para seleccionar cada arco. En el algoritmo, que siempre que se añade un arco (u,v), éste será siempre la conexión más corta (menor coste) alcanzable desde el nodo u al resto del grafo G. Así que por definición éste deberá ser parte del árbol.
Este algoritmo es de tipo greedy, ya que, a cada paso, éste selecciona el arco más barato y lo añade al subgrafo. Este tipo de algoritmos pueden no funcionar para resolver otro tipo de problemas, por ejemplo, para encontrar la ruta más corta entre los nodos a y b. Para simplificar, se asumirán que existe un único árbol de coste total mínimo, aunque en muchos problemas puede existir más de una solución óptima de igual valor total mínimo.
6. a. Sea la gráfica asociada al mapa. b. Tome como vértices las ciudades y las distancias como los pesos en las aristas. c. Utilice el algoritmo de Krunskal para encontrar el árbol de peso mínimo. d. Utilice el algoritmo de PRIM para encontrar el árbol de peso mínimo.
Distancia Los
en
Mochis
Kilometro s.
20
Topoloba mbo
80
100
El fuert e
70
90
150
Guasave
120
140
200
50
Mocorito
110
130
190
40
90
Sinaloa de Leyva
110
130
190
40
90
80
Las glorias
Pesos Ordenados Vértice
Peso
Vértice
Peso
Vértice
Peso
Los MochisTopolo.
20
Mocorito-Sinaloa
90
Topolo.-
130
GuasaveSinaloa
40
Guasave-Las glorias
40
GuasaveMocorito
50
Los MochisGuasave
70
Los Mochis-El Fuerte
80
Sinaloa-Las glorias
80
Sinaloa Mocorito-Las
90
Glorias
Topolo.-Las
130
Glorias
Topolobambo-
90
Guasave
Topolo.-
140
Mocorito
Topolobambo-El
100
Fuerte
El
Fuerte-
150
Guasave
Los Mochis-Sinaloa
110
Fuerte-
190
Fuerte-Las
190
El Sinaloa
Los
Mochis-Las
110
Glorias Los Mocorito
El
glorias Mochis-
120
El
Fuerte-
Mocorito
Utilice el algoritmo de Krunskal para encontrar el árbol de peso mínimo. ALGORITMO DE KRUNSKAL
ARISTA
PESO
(M,T) (G,S) (G,L) (G,MC) (M,G) (M,E) (S,L) (MC,S) (MC,L) (T,G) (T,E) (M,S) (M,L) (M,MC) (T,S) (T,L) (T,MC) (E,G) (E,S) (E,L) (E,MC)
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
20 40 40 50 70 80 80 90 90 90 100 110 110 120 130 130 140 150 190 190 200
200
Se selecciona, de entre todas las aristas restantes, la de menor peso siempre que no cree ningún ciclo. Se repite el paso 1 hasta que se hayan seleccionado |V| - 1 aristas. T=300
ALGORITMO DE PRIM
Utilice el algoritmo de PRIM para encontrar el árbol de peso mínimo n-1 aristas donde n es el n úmero de nodos 6 arista debe contener no generar ciclos T *= 20+90+40+80+90+200 = 520
