Universidad de Concepción Facultad de Ingeniería Departamento Ingeniería Eléctrica.
Departamento Ingeniería Eléctrica.
TAREA Nº 1
“IDENTIFICAC DENTIFICACIÓN IÓN DE P ARÁM ARÁMETROS ETROS ” “Ajustes de curvas c urvas y regresión”
Alumnos: Héctor A. Mella C. Sebastián O. Mardones M. Profesor: Alejandro Rojas Asignatura: Identificación de parámetros 29 de abril de 2011
1
Introducción:
El ajuste de curvas es un problema ampliamente utilizado en ingeniería y específicamente corresponde a problemas tratados en análisis numérico, área en la que se han estudiado diversos casos. En el mundo que nos rodea existen diversos procesos que nos son de interés analizar, estos están en un plano análogo, pero en la mayoría de los casos es necesario transportarlos al mundo digital de la manera más precisa posible mediante conversores A/D. En ingeniería son muchas las ocasiones en que es necesario proponer funciones y modelos que se ajusten lo más fielmente posible a la realidad. realidad. Para ofrecer una buena solución a estos estos problemas problemas se usan métodos métodos como la Interpolación, Método de Mínimos Cuadrados, Regresión lineal y no lineal, entre otros. En este informe nos centraremos en el Método de Mínimos Cuadrados y Regresión. El objetivo de este informe es estudiar la teoría y también mostrar ejemplos los métodos de Mínimos Cuadrados y Regresión, pero también se tratará el tema de interpolación polinomial.
1.- M é todo to do de los l os M íni mos Cu C u adr ados. El método de mínimos cuadrados es una herramienta que permite dar respuesta al problema de resolver sistemas de ecuaciones lineales sobre-determinados, es decir, sistemas lineales con más ecuaciones que incógnitas. Así, en lugar de resolver las ecuaciones de manera exacta, habitualmente no existe tal solución, se busca minimizar la suma de los cuadrados de los residuos. En específico la aproximación de curvas mediante mínimos cuadrados busca encontrar los coeficientes para la función F(x) función F(x) tal tal que aproxime de la mejor forma posible al un set de datos. Así, dado un conjunto de puntos ( xk , yk ) , con k=1,2,…,n k=1,2,…, n pares de datos y f y f j(x) para (x) para j=1,2,… j=1,2,…m m un conjunto de m funciones linealmente independientes nos proponemos encontrar un F ( xk ) yk es decir:
F ( x)
m
c · f ( x) j
j
j 1
Notar que las funciones bases bases f j(x) pueden (x) pueden ser cualesquiera, cualesquiera, luego se sobreentiende sobreentiende que F(x) es F(x) es una combinación lineal de dichas funciones base. Para el caso particular en que la función F(x) sea un polinomio de orden n se tiene
f ( x) c1 c2 · x ... cn ·x n Usualmente para el set de datos se contempla m>n, m>n, es decir un sistema sobre-determinado de m ecuaciones y n variables, en otras palabras este no tiene solución. Ahora bien, se puede considerar todo lo anterior en un sistema matricial de ecuaciones
A·c y
Donde A R
mxn
matriz rectangular de m filas que es consecuente con el numero de ecuaciones del
que se disponga y n columnas referente al grado de la función o polinomio F(x), F(x), y c R Una alternativa es buscar una solución para el vector c
m
R n tal que el error definido como
ek y k F ( xk )
sea mínimo. Es importante mencionar que existen variadas formas de definir el error, mas aún cuando éste se aplica a un conjunto de puntos y no solo a uno, dicho error podrá ser considerado como: -
Máximo Error Error :
E max max ( F ) max ek
2
m
e
k
-
E m ( F )
Error Medio:
k 1
m m
e
k
-
Error Cuadrático Medio: E cm ( F )
2
k 1
m
Siendo esta última manera de calcular el error la más común y la utilizada por el método de mínimos cuadrados. Luego dado el conjunto de puntos ( x1 , y1 ), ... , ( xm , ym ) se busca que el error m
F ( x ) y i
2 i
i 1
Sea lo menor posible, teniendo en cuenta que se debe encontrar el vector c que mejor aproxime a A·c=y
f 1( x1 ) f 2 ( x1 ) f n ( x1 ) c1 y1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 2 y 2 2 2 n 2 c2 · f ( x ) f ( x ) f ( x ) c y 2 m n m n 1 m m Si atendemos al sistema anterior, entonces se ve claramente que al multiplicar A y c, se pueden generar infinitas combinaciones para los valores de c, por lo demás, el vector y no tiene por qué se una de ellas(si lo hiciera, el sistema Ac=b tendría solución). Lo que se necesita entonces es una combinación lineal de las columnas de A lo más cercana al vector y. Para esto se define el residuo como:
r y A·c
De manera que el mínimo error cuadrático supone minimizar el residuo, quizá pueda hacerse pequeño con una adecuada elección de c, pero en general será distinto de cero, luego
r a algúna combinacio n de la matriz A
Entonces se tiene que un vector c minimiza la norma del residuo r si y solo sí r es ortogonal a la imagen de A, así A ·r 0 donde A es la matriz transpuesta de A. t
t
En consecuencia c debe satisfacer A ( y Ac) 0 A · Ac A · y Finalmente el vector de coeficientes que minimiza el error y en consecuencia proporciona una mejor aproximación está dado por: t
t
t
1
c At · A At ·y A esta ecuación se le llama ecuación normal de Gauss, y es válida para cualquier conjunto de funciones base.
3
Ejemplo método mínimos cuadrados caso lineal :
Se tiene un set de datos los que se desean ajustar en el sentido de Mínimos cuadrados según una aproximación polinomial de tercer orden. Tabla 1.1: “S et de datos aproximación polinomial”
X 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Y 10.500 5.4844 0.0000 -3.6094 -4.5000 -2.9531 0.000 2.9531 4.5000 3.6094 0.0000
Se deben encontrar los coeficientes a, b, c y d para determinar el polinomio p(x)
p( x) a· x3 b· x 2 c· x d Evaluando los valores de x presentes en la Tabla 1.1 según el polinomio anterior se puede obtener un sistema de ecuaciones de la forma A·X=Y , donde en la matriz A cada fila representa a un dato evaluado en las funciones normalizadas f j(x) con j=1,2,3,4 correspondientes al polinomio, el vector c contiene los coeficientes (a determinar) que minimizan el error y el vector y los datos de salida de nuestra función a aproximar.
0.000 0.000 1.000 0.000 10.5000 0 . 125 0 . 250 0 . 500 1 . 000 5 . 4844 1.000 0.0000 1.000 1.000 1.000 3 . 375 2 . 250 1 . 500 1 . 000 3 . 6094 a 8.000 4.000 2.000 1.000 4.5000 b 15.625 6.250 2.500 1.000 · 2.9531 c 27 . 000 9 . 000 3 . 000 1 . 000 d 0.0000 42.875 12.250 3.500 1.000 2.9531 c 64 . 000 16 . 000 4 . 000 1 . 000 4 . 5000 91.125 20.250 4.500 1.000 3.6094 125 . 000 25 . 000 5 . 000 1 . 000 0 . 0000
A
y
Notar que el sistema posee más ecuaciones que incógnitas ( m>n), es decir, es un sistema sobredeterminado. El sistema se puede resolver de forma única con las primeras tres ecuaciones, pero con este resultado no se satisface al resto. Entonces se tiene que para que el error cuadrático medio sea el mínimo
4
m
11
y
ek
2
k 1
E cm ( F )
m
k (a· xk b· x k c· xk d ) 3
2
2
k 1
11
Se debe escoger un vector c tal que:
t
1
1
c At · A At ·y
A · A ·c A ·y
A·c y
t
t
t
Obsérvese que la matriz A · A A es la inversa izquierda de A, también llamada pseudoinversa de A y para que ella exista las ecuaciones que definen a A deben ser linealmente independientes.
0.9583 8.5000 c 20.7917 12.0000
Así resulta un
Finalmente se tiene el polinomio de tercer grado que aproxima el conjunto de datos con el menor error cuadrático medio como
p( x) 0.9583· x 3 8.5· x 2 20.7917 x 12 Aproximación método mínimos c uadrados 14 Aprox. mínimos cuadrados 12
Mediciones
10 8 6 y
4 2 0 -2 -4 -6
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x
3
3.5
4
4.5
5
Figura 1.1:”Aproximación lineal mediante método mínimos cuadrados” %% Minimos cuadrados caso lineal t=(0:0.01:5); X= [0.0; 0.5 ;1.0; 1.5 ;2.0; 2.5 ;3.0; 3.5 ;4.0 ;4.5 ;5.0]; A=[X.^3,X.^2,X.^1,X.^0]; Y=[10.500; 5.4844; 0.0000; -3.6094; -4.5000; -2.9531; 0.000; 2.9531;... 4.5000; 3.6094; 0.0000]; b=(inv(A.'*A))*(A.')*Y; res1=Y-A*b; C=b(4)+b(3)*t.^1+b(2)*t.^2+b(1)*t.^3; figure(1) plot(t,C,'linewidth',2); grid on; xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproximación método mínimos cuadrados'); hold; plot(X,Y,'or','linewidth',2); legend('Aprox. mínimos cuadrados','Mediciones');
5
Ejemplo método mínimos cuadrados caso no lineal reducible a lineal :
Considerando la siguiente tabla de valores Tabla 1.2: “Set de datos aproximación no lineal ”
X 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
Y 3.1437 4.4169 6.0203 8.6512 11.0078 16.2161
f ( x) a·e Se quiere ajustar a la función no lineal del tipo Debido a que el método de mínimos cuadrados no las herramientas necesarias para calcular una buena aproximación para funciones no lineales, en particular para este caso la no linealidad de la función exponencial, se debe transformar el problema a uno lineal. bx
Tomando logaritmo natural a ambos lados el problema se transforma en:
f ( x) a·ebx ln( f ( x)) ln( a) b· x
/ ln( )
Haciendo el cambio de variable z=ln(f(x)) =ln(y) se tiene un nuevo conjunto de datos. Tabla 1.3: “Nuevo Set de datos aproximación no línea”
X 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
Z=ln(Y) 1.1454 1.4854 1.7951 2.1577 2.3986 2.7860
Estos datos se puede establecen seis ecuaciones y dos incógnitas. Entonces se tiene el siguiente sistema sobre-determinado.
1 0.000 1.1454 1 0 . 400 1 . 4854 1 0.800 ln(a) 1.7951 · 1 1.200 b 2.1577 1 1.600 x 2.3986 1 2.000 2.7860 A
z
Resolviendo el problema de mínimos cuadrados
6
1
x At · A At ·y
A · A · x A ·y
A· x z
t
t
Se llega a que
ln(a) 1.1539 Por lo tanto, volviendo al plano original se tiene para los parámetros a y b
a e1.1539 3.1705
y b=0.8075
Y por lo tanto reemplazando en la función original los valores obtenidos se tiene
f ( x) a·ebx 3.1705e 0.8075 x Aproximación método mínimos cuadrados lineal 2.8 Aprox. mínimos cuadrados 2.6
Mediciones
2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.2:”Aproximación lineal mediante método mínimos cuadrados”
%% Minimos cuadrados caso no lineal reducible a lineal Y=[3.1437,4.4169,6.0203,8.6512,11.0078,16.2161]; X=[0.0;0.4;0.8;1.2;1.6;2.0]; A1=[1;1;1;1;1;1]; A=[A1,X]; Z=[1.1454;1.4854;1.7951;2.1577;2.3986;2.7860]; x=(inv(A.'*A))*(A.')*Z; res2=Z-A*x a=exp(x(1)); b=(x(2)); figure(2) plot(X,a*exp(b*X),X,Y,'ok','linewidth',2); grid on; xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproximación método mínimos cuadrados no lineal'); legend('Aprox. mínimos cuadrados 3.17·e^0^.^8^0^7','Mediciones'); figure(3) plot(X,1.1539+b*X,'r',X,Z,'ok','linewidth',2); grid on; title('Aproximación método mínimos cuadrados lineal'); legend('Aprox. mínimos cuadrados','Mediciones');
En definitiva, mediante el cambio de variable z=ln(f(x)) =ln(y) transformamos el problema no lineal a lineal, donde es posible ver gráficamente que los nuevos datos se pueden aproximar de buena 7
manera con una recta, para encontrar los coeficientes de esta se utilizó mínimos cuadrados según el procedimiento anterior, obteniendo el resultado que se muestra en la figura1.2 . Luego para tener la solución real a nuestro problema se aplica la función exponencial obteniéndose los resultados expuestos en la figura1.3.
Aproximación método mínimos cuadrados no lineal 18 Aprox. mínimos cuadrados 3.17·e0.807 16
Mediciones
14 12
y
10 8 6 4 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.3:”Grafica resultado Aproximación no lineal”
Si bien el método de los mínimos cuadrados solo sirve para aproximar modelos lineales, existen otros casos de modelos no lineales reducibles a lineales, como por ejemplo:
f ( x) c·e axbx : 2
f ( x)
f ( x)
Aplicando logaritmo natural
a b x :
Tomando los recíproco
k 0 1 a·e bx :
Con k 0 conocido, se toman los recíprocos, se resta 1 para finalmente se aplica logaritmo natural.
Se puede llegar a una buena aproximación mediante este método. Una observación importante es que este método proporciona una buena estimación cuando se tienen pocos datos (alrededor de diez), o en su defecto, un número mayor de mediciones pero bajo las mismas circunstancias experimentales, ya que si se presentan mediciones atípicas y estas son asimétricas los parámetros estimados pueden estar sesgados por estos valores erróneos, el método de mínimos cuadrados presenta una notoria falta de robustez frente a este problema y en ocasiones 8
las aproximaciones pueden ser ineficientes en extremo debido a la presencia de mediciones atípicas asimétricas. Por otra parte, es reproducible, cada experimentador proporciona igual aproximación para datos iguales, no obstante en el sentido de adquirir la data es irreproducible.
2.- Regresión L ineal y Cuadr áti ca: El método de regresión es ampliamente utilizado para pronosticar funciones. Aunque los casos que veremos en el presente informe, se limita a un número de casos específicos. En otras palabras los puntos dados tienen que tener una proyección en el tiempo, ya sea lineal o cuadrática. Como veremos a continuación el método se basa en reducir el error total en la zona de la interpolación.
Regresi ón L in eal La regresión lineal se utiliza cuando los puntos a tratar siguen una trayectoria de carácter lineal. Entonces se buscara la recta que mejor ajuste a todos los puntos dados. De manera de reducir el error deseado. Como veremos a continuación la deducción del método usado es bastante sencilla.
…
Conocemos n datos ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( , ), y deseamos encontrar la recta que mejor se ajuste a estos n puntos. Como ya sabemos la forma que tendrá la recta será
=
+ ; De acá es fácil ver que debemos encontrar
, .
Tenemos en la figura una serie de puntos distribuidos en el plano y una recta cualquiera que pretende realizar una buena interpolación a todos los puntos dados. puntos dados 6
5
4
y
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x
3
3.5
4
4.5
5
Figura2.1: “Puntos en el plano y una recta que pretende aproximar a la función generadora de estos puntos”
9
Notar que esta es nuestra curva aproximada y debemos minimizar el error. El error es la diferencia entre la recta propuesta y los puntos dados. A cada error lo denotaremos.
− =
(
+ )
Este corresponde al error del punto i. Es fácil notar que el Error total será la suma de todos los errores. Además cabe destacar que el error puede ser positivo o negativo, por lo que al intentar buscar un mínimo nos enfrentaremos a un problema, por ejemplo; un = 10 es menor error que = 2.5. Claramente la afirmación no es del todo correcta, pues si bien en signo = 10 es menor, en magnitud resulta ser un peor error. Para resolver este problema buscamos encontrar el mínimo error al cuadrado así.
−
− ( , )=
2
=
0
{
(
−
2
+ )}
0
Por lo que ahora nos centramos en minimizar la amplitud del error, el cual se producirá cuando . = + . Entonces dada que esta función es la que debemos minimizar en términos de Simplemente derivamos la función y la igualamos a cero.
− − − − − − =
{
}2 =
+
2
0
{
}2 =
+
2
0
+ )}
{
(
+ )}
0
Y despejando nuestras variables de interés tenemos que:
0=
(
0
=
{
− − 2
0
0=
+
0
2
=
0
0
− − +
0
0
=
0
Esto da como resultado un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, donde la solución se puede realizar por simple sustitución como sigue.
− − =
0
0
0
2
0
0 2
10
0
0
− =
1
Una vez obtenida la forma de encontrar la mejor recta, veamos un ejemplo para ilustrar su funcionamiento
Ejemplo Regresión Lineal
Los puntos dados están dados en la siguiente tabla: Tabla 2.1: “Set de datos regresión lineal ” X Y 0
0.8256
0.5000
1.2900
1.0000
1.3185
1.5000
2.0341
2.0000
2.0900
2.5000
2.6117
3.0000
3.1363
3.5000
4.1787
4.0000
4.4952
4.5000
4.6897
5.0000
5.4950
Código solución x=0:0.5:5; y=[ 0.8256 3.1363
1.2900 4.1787
1.3185 4.4952
2.0341 4.6897
2.0900 5.4950];
2.6117...
% Algoritmo de resolución: m=(length(x)*(x*y')-sum(x)*sum(y))/(length(x)*(x*x')-(sum(x))^2); beta=(1/length(x))*(sum(y)-m*sum(x)); figure(1) % Ploteo de puntos y solucion plot(x,y,'ob',x,beta+m*x,'-r');grid on; title('puntos dados') xlabel('x') ylabel('y')
11
Puntos dados y Solución con Regresión Lineal 5.5
5
4.5
4
3.5
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x
3
3.5
4
4.5
5
Figura 2.2: “Set de datos y Aproximación mediante regresión lineal”
La recta encontrada:
= 0.942 + 0.569
Se puede concluir que el proceso de regresión fue exitoso, la recta encontrada claramente ajusta a los puntos dados.
Regresi ón Cuadr áti ca:
…
La idea es igual que en la regresión lineal, tenemos un conjunto de datos ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( , ) y sabemos que esos datos corresponden a una función desconocida. La idea es ajustar aquellos puntos a la parábola que mejor los aproxime. De esta forma la función que obtendrá este método es:
2
=
+
+
Como vemos ahora interesa encontrar tres parámetros a, b y c. Análogo al caso anterior el error total es:
− − − ( , , )=
0
2
=
2
{
}2
0
Entonces derivando cada la función del error por cada parámetro de interés y luego igualando a cero tenemos que.
− − − − − − − =
{
0
2
}2 =
2
{
2
}
0
12
− − − − − − − − − − − − − − =
2
{
}2 =
2
0
=
2
{
}
0
2
{
}2 =
2
2
{
0
}
2
0
2
+
0
+
0
3
0
2
+
0
+
=
0
4
=
3
+
0
0
0
2
+
0
=
0
2
0
Notar que en esta ocasión tenemos un sistema de 3x3, cabe destacar que se pueden realizar métodos básicos de resolución de ecuaciones, pero por simplicidad de resolverá de la forma matricial.
2
0
0
3
0
2
0
4
0
0
=
0
3
0
0
2
0
2
0
Notar que estamos frente a un sistema cuadrado de 3 x3, donde la solución de dicho sistema es el vector de coeficientes
.
13
Ejemplo Regresión Cuadrática
Dados los puntos Tabla 2.2: “Set de datos regresión lineal cuadrática ” X Y 0
0.9629
0.5000
1.9739
1.0000
1.8361
1.5000
4.8110
2.0000
5.2438
2.5000
8.1302
3.0000
11.2159
3.5000
14.2359
4.0000
19.1116
4.5000
21.9506
5.0000
26.0898
Código Solución x=0:0.5:5; y =[ 0.9629 11.2159 A=[(x*x') sum(x.^3) sum(x.^4)
1.9739 14.2359
1.8361 19.1116
4.8110 21.9506
5.2438 26.0898];
8.1302...
sum(x) length(x);... (x*x') sum(x);... sum(x.^3) (x*x')];
b=[sum(y);x*y';y*(x.^2)']; SOL=inv(A)*b; figure(3) plot(x,y,'ob',x,SOL(1)*x.^2+SOL(2)*x+SOL(3),'r');grid on; title('Puntos dados y Solución con Regresión Cuadrática') xlabel('x') ylabel('y')
14
Puntos dados y Solución con Regresión Cuadrática 30
25
20
y
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x
3
3.5
4
4.5
5
Figura2.2: “Set de datos y Aproximación mediante regresión lineal cuadrática”
Del gráfico se concluye que la parábola encontrada si ajusta a los puntos dados. Entonces la solución mediante Regresión Cuadrática es:
= 0.8609
2
+ 0.8261 + 0.9073
Regresión no Lineal
A parte de los métodos de regresión mostrados, específicamente el lineal, se pueden resolver casos no lineales, que son reductibles a lineales. Ejemplo de esto son la función exponencial, potencial y logaritmo. Que son fácilmente reductibles a lineales.
Ajustar un modelo potencial de la forma y uno exponencial de la forma = reduce a una función lineal con sólo tomar logaritmo.
=
, se
Respecto al modelo potencial : Si tomamos los logaritmos obtenemos:
log
= log
= log
+
log( )
Notemos que la ecuación obtenida corresponde a una ecuación de la recta donde: = + y en nuestra ecuación linealizada log .Entonces podemos trabajar = , log = , log = el modelo como uno lineal y luego volver a nuestras variables de interés. Respecto al modelo exponencial : Esta relación entre las variables X e Y se da principalmente en experimentos del tipo biológico. Entonces la nube de puntos dados vienen dados por la forma de curva y = exp (a + bx). Mediante una transformación lineal, en particular el logaritmo natural, transformamos esta regresión en una lineal. En efecto queda.
ln(y) = a + bx
15
Entonces de acá se obtiene
= ln(y), lo que la convierte en una regresión lineal
Respecto al modelo logarítmico: Si nuestro conjunto de puntos sigue un modelo logarítmico tenemos que sería de la forma = a + blog(x), la cual también es una recta, pero ahora esta referida a log(x) y a Y. Es importante notar que el único cambio en este modelo se realiza en el eje de las abscisas pasando de escala lineal a logarítmica, y luego volviendo a lineal.
Ejemplo de Regresión reductible a lineal :
Debido a que la regresión lineal ya se abordo y que todas estas linealizaciones siguen una misma lógica, se opto por mostrar sólo un ejemplo de regresión reductible a lineal. Modelo Logarítmico.
Tabla 2.3: “Set de datos regresión no lineal ”
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y 0.5816 1.2202 1.7831 1.9247 1.7664 2.0636 2.7015 2.5249 2.5641 2.7046 3.1081 2.5082 2.9918 2.8380 3.1434 3.1693 3.2345 3.6499 3.1624 3.9490
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Figura2.3: “Set de datos regresión no lineal”
16
20
Linealizando el problema 4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura2.2: “Set de datos linealizados y Aproximación mediante regresión lineal”
Notemos que si pasamos este problema a lineal, cambiando el eje de las abscisas a escala logarítmica, podemos resolver el problema como se muestra en la figura. 4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura2.2: “Set de datos original y Aproximación mediante regresión no lineal”
Volviendo a la escala inicial tenemos la solución al problema dado. Donde la curva encontrada satisface las condiciones de mínimo.
= 0.5246 + 0.9708log(x)
17
Código solución: X=1:1:20; y=[ 0.5816 1.2202 1.7831 1.9247 1.7664 2.0636 2.7015 2.5641 2.7046 3.1081 2.5082 2.9918 ... 2.8380 3.1434 3.1693 3.2345 3.6499 3.1624 3.9490]; figure(6) plot(X,y,'o');grid on; x=log(X); m=(length(x)*(x*y')-sum(x)*sum(y))/(length(x)*(x*x')-(sum(x))^2); beta=(1/length(x))*(sum(y)-m*sum(x));
2.5249
figure(4) plot(x,y,'o',x,beta+m*x,'-r');grid on; % Volviendo a las variables originales figure(5) plot(X,y,'o',X,beta+m*x);grid on;
3.- La Interpolación Polinomial
Es un método de ajuste de curvas que pretende encontrar un ajuste exacto, en otras palabras que la curva encontrada pase por todos los puntos dados. Entre las más utilizadas tenemos La interpolación polinomial de Lagrange y Splines Cubicas. En este informe presentaremos los polinomios de Lagrange. Interpolación Polinomial: Nuestro objetivo es obtener una función P, cuya curva aproxime a una función desconocida F de la que solo tenemos un limitado número de puntos. Por lo tanto estos puntos son utilizados como requisito para la función P. En otras palabras le exigimos a P que por lo menos pase por los puntos ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( , ).
… ≠ ≠
Entonces tenemos los n+1 puntos dados, y además les pedimos que puedan representar a una función es decir si . Siguiendo con P, éste es un polinomio = 0+ 1 +
⋯
, notemos que tenemos m+1 parámetros independientes, además resulta lógico pensar que
m=n.
Notemos que agregando las condiciones dadas (los puntos de la desconocida función F), obtenemos un sistema de ecuaciones escrito matricialmente por: Problema a solucionar:
− … ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ − … 1
1
1
1
2
2
1
1
1
+1
⋮ 1
1
=
Encontrar la inversa de esta ecuación matricial corresponde a encontrar el polinomio, pero encontrar la inversa de esta ecuación podría ser una tarea titánica. 18
Solución de Lagrange:
Se puede obtener la solución al sistema planteado sin la necesidad de resolverlo, esto se logra a través de los polinomios de lagrange. Dado el set de puntos como el mostrado anteriormente, existe un polinomio de grano menor o igual a n tal que interpola los puntos dados. El polinomio que realiza esto es p(x), el cual es único dentro del conjunto de polinomios menor o igual a n. El polinomio se construye de la siguiente manera:
ℓ ≠ ℓ − − … −− − … − ℓ ≠ ℓ ℓ − − … −− − … − − − ℓ ≔ − …
Primeramente se determina el polinomio ( , ) tal que = 1 e = 0 para todo
=
0
= 0 para todo
Tal que
, de grado menor o igual a n que interpola a los puntos .
1
1
(
+1
)
.
=
Pues de la ecuación es fácil notar que si
0 =>
= 0, si
0
=
=>
= 0.
Ahora si definimos a la constante c como:
=[
0
(
1
1 )(
+1 )
(
)]
1
Por lo tanto tenemos que:
( )
,
≠
= 0,
.
=0
Notemos que estos polinomios satisfacen la relación:
ℓ ≠ … =
ℓ ℓ … ℓ
1 0
=
, = 0,
.
El conjunto de 0 , 1 . es una base del espacio de polinomios de grado menor o igual a n. Dicho esto y con todas las demás definiciones es posible ver:
ℓ ⋯ ℓ =
+
0 0
Este polinomio de grado n (o menor) satisface la condición de Resumiendo:
ℓ
, para todo i.
ℓ =
Donde
=
( )
=0
( ), es la descrita anteriormente.
19
Ejemplo de Polinomios de Lagrange:
A pesar de que Matlab incorpora funciones de polinomios, por ejemplo polyfit y polyvar. A continuación se muestra el algoritmo solución implementado por nosotros, para la resolución de este problema. Además se comentará, por que las funciones polinomiales no son tan frecuentemente usadas como las del tipo de regresión, mínimos cuadrados u otros ajustes. Codigo Solución %% Algorirmo de lagrange x=-5:5; y=1./(1+x.^2); xx=-5:0.1:5; const=zeros; p=zeros; for k=1:length(xx) for h=1:length(x) const(h)=li(h,x,xx(k)); end p(k)=y*const'; end figure(1) plot(x,y,'o',xx,p);grid on; Donde la función li es: li.m function sol=li(i,x,var) sol=1; for j=1:11 if j==i continue end sol=sol*((var-x(j))/(x(i)-x(j))); end
20
2 puntos aproximación polinomial real
1.5
1
0.5
0
-0.5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura3.1: “Aproximación de curva mediante polinomios de Lagrange”
Notar que este algoritmo cruza exactamente a todos los punto, por lo que el error resultante es cero. Lamentablemente se producen variadas oscilaciones especialmente en los extremos de la interpolación, evidentemente esto es un efecto no deseado. A este fenóme no se le conoce como “El Fenómeno de Runge”, métodos como numéricos polinomicos como la spline cubica mejora esto, ya que crea funciones cubicas por tramos, asegurando la suavidad entre cada tramo, pero lamentablemente se sacrifica simplicidad, debido al fuerte trabajo de calculo que requiere la spline.
Conclusiones En esta tarea se han presentado las ideas fundamentales para el ajuste de datos experimentales a polinomios o formas no lineales que forman un sistema lineal de coeficientes. Los métodos tratados son en general métodos propiamente de aproximación gráfica, precisamente es por esta razón, por la cual se debe tener un buen conocimiento sobre el conjunto de datos tratados ya que para tener los resultados deseados, es decir una representación fiable de lo que realmente ocurre en un proceso los datos obtenidos deben cumplir con una serie de requerimientos, entre ellos los más importantes son la ausencia de redundancia y obtención de datos anómalos, estos últimos pueden alterar enormemente las aproximaciones efectuadas por cualquiera los métodos mencionados. También tener en cuenta que no siempre una aproximación optima de los datos experimentales determina una mejor aproximación o modelo para un proceso dado, es sabido que la adquisición de datos posee una cierta incertidumbre y en consecuencia la data se ve alterada por errores de medición o presencia de ruido. Teniendo esto en cuenta la excesiva aproximación (interpolación) de los datos en muchos casos podrían llevarnos a aproximaciones erróneas que por lo demás son mucho más complejas de lo que realmente son los mismos procesos, un ejemplo de esto es la interpolación polinomial como la mostrada en la figura.3.1.
21
