Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones
OSEFINA HERNÁNDEZ LÓPES Matrícula:
ES1410902923
Actividad 3. Relaciones y funciones Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1)
Una pareja ordenada cumple la siguiente propiedad
si y sólo si y , definimos el producto cartesiano de dos conjuntos y como ⁄ .
Resuelve lo Resuelve lo siguiente: a)
Si
calcula
A×B={a,b,c,d,e,f}X{1,2,3,4,5}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5), (d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5), (f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5)} B×A={1,2,3,4,5}X{a,b,d,e,f}={(1,a),(1,b),(1,d),(1,e),(1,f),(2,a),(2,b),(2,d),(2,e),(2,f), (3,a),(3,b),(3,d),(3,e),(3,f),(4,a),(4,b),(4,d),(4,e),(4,f),(5,a), (5,b),(5,d),(5,e),(5,f)} A×={a,b,d,e,f}X= A×A ={a,b,d,e,f}X{a,b,d,e,f}={(a,a),(a,b),(a,d),(a,e),(a,f), (b,a),(b,b),(b,d),(b,e),(b,f),(d,a),(d,b),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,d), (e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,d),(f,e),(f,f)} B×B={1,2,3,4,5}X{1,2,3,4,5}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)} (AD)×B=({a,b,d,e,f}{a,e,i})X{1,2,3,4,5}={a,b,d,e,f,i}X{1,2,3,4,5} ={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(d,1),(d,2),(d,3), (d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5),(i,1), (i,2),(i,3),(i,4),(i,5)} A×(BC)={a,b,d,e,f}X({1,2,3,4,5}{3,7,9})={a,b,d,e,f}X{1,2,3,4,5,7,9}=
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones ={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,7),(a,9),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,7),(b,9), (d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(d,7),(d,9),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5),(e,7), (e,9),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5),(f,7),(f,9)} 2)
Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de , el dominio de R se define como el subconjunto
⁄ y al conjunto B se
le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface:
⁄ Como notación se suele escribir . Si
A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los siguientes ejercicios: a)
Sea D la relación definida sobre el conjunto
como si
divide a . Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D. b)
Definimos R sobre el conjunto de números enteros como cuando se dividen entre
si y dejan el mismo residuo
. Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación.
A) D={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(3,3),(3,6),(3,9),(3,12),(4,4),(4,8),(4,12),(5,5), (5,10),(6,6),(6,12)} Dominio={2,3,4,5,6} Contradominio={4,6,8,9,10,12} Imagen={4,6,8,10,12} B) R={(1,1),(1,4),(1,7),(2,2),(2,5),(2,8),(3,3),(3,6),(3,9),(4,1),(4,1),(4,7),(5,5),(5,8), (6,3),(6,9),(7,4),(7,7),(8,2),(8,5),(8,8),(9,3),(9,6)} Dominio={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Contradominio={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Imagen={3,4,5,6,7,8,9}
3)
Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si
, se dice que es simétrica si
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones , se dice que es transitiva si . Contesta lo siguiente: a)
Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas.
b)
Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.
Reflexiva
Simetrica:
. Transitiva:
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4)
Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente:
y se denota como , el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: . Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: {((x,y))⁄x,yQ,x^2+y^2=2}
No es una función pues para una x el valor de y no es único pues y=±√(2-x^2 ) Porque ambos puntos (0,√2),(0, -√2) están en la relación {((x,y))⁄x,yZ,x^2=y} Es una función a razón de que x^2=y↔y=x^2 y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis f={…,( -
3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)…} y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los cuadrados perfectos {(x,y)⁄x,yN,y=3x}
Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones y su imagen por lo tanto es todo número natural. Si A={1,2,3,4,5} y B={a,b,c, d}, lista cuatro funciones de A en B. Las cuatro funciones son las siguientes f_1={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_1) = {1,2,3,4,5} C(f_1)= {a,b,c,d} f_2={(1,b),(2,a),(3,d),(4,c),(5,d)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_2) = {1,2,3,4,5} C(f_2)= {a,b,c,d} f_3={(1,d),(2,c),(3,b),(4,b),(5,a)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_3) = {1,2,3,4,5} C(f_3)= {a,b,c,d} f_4={(1,b),(2,c),(3,d),(4,a),(5,b)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_4) = {1,2,3,4,5} C(f_4)= {a,b,c,d}
a)
Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: i) ⁄
⁄ iii) ⁄ Si y , lista cuatro funciones de en . ii)
b) 5)
Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad entre funciones. a)
Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) ii) iii)
. . .
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones iv) b)
.
Si existe una función biyectiva
de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa como , tal que , da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.
c)
Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. i)
Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto.
ii)
Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita
iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita. iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita. d)
Se define la composición de dos funciones
y como la función definida como ⁄ , se denota como y . i)
¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo.
ii)
¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo.
iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. e)
Cuando concluyas los ejercicios guárdalos en un archivo .doc con el nombre MIAS_U1_A3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.
f)
Determina si las siguientes funciones son biyectivas i)
.
No es biyectiva a razón de que 1)
Si es biyectiva
2)
No es suprayectiva
Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones ii)
.
No es biyectiva a razón de que 1)
SI es biyectiva
2)
No es suprayectiva
√ Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero iii)
.
Evidentemente es biyectiva a razón de que
Y además también
es imagen de
A razón de que si iv) . Es biyectiva a razón de que a)
Es inyectiva
g)
Es suprayectiva
h)
Si existe una función biyectiva
de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa como , tal que , da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
i)
Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito.
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Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos, relaciones y funciones i)
Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío:
ii) J K L
(La cardinalidad del conjunto vacío es cero.)
Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita
x| x es el número de un día del mes de junio x| x| x es la cantidad de autos en la ciudad de México iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.
N M Q
,3 ,5 ,7 ,9 ,11 , ,4 ,6 ,8 ,10 ,12 , x| x es la cantidad de puntos en una línea iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.
| | j)
Se define la composición de dos funciones
y como la función definida como ⁄ , se denota como y . i)
¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo.
Si
y si Por demostrar es inyectiva entonces () ( ) Por lo tanto g y f inyectivas ii)
¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo.
Si
y si Por demostrar entonces por medio de la deifiniciones mencionadas queda Por realizando operaciones correspondientes ( ) Por lo tanto y finalmente es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. Sean biyectivas entonces se dividen en dos casos: Caso 1 SI son inyectivas
es inyectiva como se demostró en i)
Caso 2 Si son sobreyectivas Por lo tanto
es sobreyectiva como se demostró en ii)
es biyectiva
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