Licenciatura en Matemáticas. Universidad Abierta y a Distancia Geometría Unidad 4. Actividad 3. Propiedades y teoremas de polígonos y circunferencias Rodrigo Galindo Murillo Usando las propiedades y teoremas del tema 4.2. Polígonos y circunferencia, resuelve los siguientes ejercicios: 1. Determina cuáles polígonos regulares tienen ángulos centrales equivalentes a 24º, 36º, 40º y 120º.
2.
Calcula los ángulos centrales de los polígonos regulares de 5, 8 y 15 lados respectivamente.
Demuestra que el apotema de un triángulo equilátero es equivalente a la mitad de su radio. Dibujando la figura, tenemos que 3.
El punto GH esta es perpendicular a la mitad del radio y se usa para dibujar y colocar los puntos G y H. Uniendo estos con el punto I para formar el triángulo, se comprueba que la apotema es la mitad del radio.
4.
Demuestra que el perímetro de un triángulo equilátero circunscrito mide el doble del perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia.
Si tomamos la figura, el lado FH debe ser tangente a la circunferencia luego el apotema del circunscrito es el doble del apotema del inscrito. El segmento AD mide AD = Rsen(60º) = 2asen(60º) El segmento FI se puede hallar de la misma forma haciendo que el apotema valga el doble FI = 4asen(60º) Luego FI = 2·AD Y el perímetro de ABD es 6·AD y el de FGHes 6FI = 12·AD Luego el perímetro del circunscrito es el doble.
5.
Calcula los valores de los ángulos interiores de los polígonos de 7, 9 y 12 lados respectivamente.
6.
Calcula los valores de los ángulos central e interior de un decágono regular y determina cuánto suman ambos.
¿La suma de los apotemas de un cuadrado a qué son equivalentes? La apotema de cualquier polígono es el segmento que une el punto medio de un lado con el centro. En el caso del cuadrado la apotema es la mitad del lado. 7.
Ap=L/2 La suma de las apotemas es igual a ¼ del perímetro total del cuadrado. 8.
Si r es el radio y l el lado de un polígono regular, demuestra las siguientes fórmulas.
El dodecágono, l = r √2- √3
Uniendo el centro del dodecágono ( o sea polígono de 12 lados ) con 2 vértices consecutivos del dodecágono obtenemos un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son 2 radios consecutivos del dodecágono. El tercer lado del triángulo es un lado L del dodecágono. Calculamos el ángulo central, o sea el ángulo formado por los dos radios: ángulo central = b = 360º / n = 360º / 12 = 30º Ahora, trabajando siempre sobre el triangulo obtenido anteriormente, unimos el centro del dodecagono con el punto medio del lado opuesto. Obtenmos asi la apotema ap. El angulo formado por la apotema ap y uno de los radios r sera igual a la mitad del angulo central b por ser un triangulo isosceles. b / 2 = 30º / 2 = 15º Tambien, por ser el triangulo isoceles, su altura ( en este caso la apotema ap ) divide a la base ( en este caso el lado L del dodecagono ) en dos partes iguales. entonces: sen 15º = ( L / 2 ) / r = L / ( 2 r ) despejando L resulta: L = 2 r sen 15º puesto que 15º = 45º - 30º la ecuacion anterior se escribe: L = 2 r sen ( 45º - 30º ) = = 2 r ( sen 45º cos 30 - cos 45º sen 30º ) =
= r raiz de [ 2 ( √3 - 1 )^2 ] / 2 = desarrollando el cuadrado dentro de la raiz: = r raiz de [ 2 ( 3 - 2√3 + 1 ) ] / 2 =
= r raiz de [ 2 ( 4 - 2√3 ) ] / 2 = sacando factor comun 2: = r raiz de [ 2*2 ( 2 - √3 ) ] / 2 = = r raiz de [ 4( 2 - √3 ) ] / 2 = extrayendo raiz de 4 = 2 r raiz de [ ( 2 - √3 ) ] / 2 = simplificando con el 2 del denominador que siempre estuvo afuera de la raiz: = r raiz de ( 2 - √3 ) = L = lon gitud del lado del dodecagono )
