LICENCIATURA EN MATEMATICAS SEGUNDO CUATRIMESTRE
MATERIA: GEOMETRIA
FACILITADOR: BLANCA NIEVES SUSANA REGINO VELAZQUEZ MT-MGEO-1303.B1-003
ALUMNO: AURELIO RUIZ SALAZAR
UNIDAD II
ACTIVIDAD 3. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS.
México, D.F., a 23 de noviembre de 2013.
Determina si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. En caso de ser verdadero demuestra el enunciado y si es falso da un ejemplo contrario al enunciado (implica buscar un caso en el cual no se cumpla tal enunciado, con un ejemplo basta). 1. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son congruentes a dos lados y un ángulo del otro. La respuesta es Falsa: Justificación: La respuesta es falsa, debido a que dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; asimismo, si están relacionados por un movimiento o existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de translaciones, rotaciones y reflexiones. Es decir, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes, como lo indica la siguiente figura:
Un ejemplo de movimiento o congruencia semejante a ellas, de la figura la última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos. 2. El criterio de congruencia ALL siempre se cumple. La respuesta es Falsa:
Justificación: Los criterios de congruencia de triángulos son las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes, se denominan criterios de congruencia, los cuales son: 1.- '''Criterio LAL''': Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados tienen la misma longitud de sus homólogos, y el ángulo comprendido entre ellos tiene la misma medida de su homólogo. Es decir que, dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. b ≡ b‟ c ≡ c‟ α ≡ α‟ → triáng ABC ≡ triáng A‟B'C‟
2.- '''Criterio ALA''': Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Por ejemplo, dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado. b ≡ b‟ α ≡ α‟ β ≡ β‟ → triáng ABC ≡ triáng A‟B'C‟
3.-'''Criterio LLL''': Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes. Es decir, dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales. a ≡ a‟ b ≡ b‟ c ≡ c‟ → triáng ABC ≡ triáng A‟B'C‟
4.-'''Criterio LLA''': Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. Es decir, que dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes. a ≡ a‟ b ≡ b‟ β ≡ β‟ → triáng ABC ≡ triáng A‟B'C‟
3. Si un triángulo isósceles tiene dos de sus lados congruentes a los lados de otro triángulo isósceles, entonces ambos triángulos isósceles son congruentes. La respuesta es Verdadera: Justificación: Diremos que un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales. Al tercer lado lo llamaremos base. En la siguiente figura, el triángulo isósceles ABC, el cual tiene los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ iguales y desigual la base ̅̅̅̅ , por lo tanto al tener dos de sus lados congruentes a los lados de otro triángulo, entonces son congruente los dos triángulos.
C
A
C
B
A
B
Los dos triángulos isósceles son congruentes.
4. Si dos triángulos tienen sus ángulos externos congruentes, entonces ambos triángulos son congruentes. La respuesta es Falsa: Justificación: Si hay congruencia en los ángulos externos también la hay en los internos pero no en la dimensión de sus lados, debido a que las dimensiones de
los lados pueden ser diferentes y no congruentes, como se observa en la siguiente figura:
C
C
ϴ A
α
B
B
A
β
δ
En la cual se observa, que los ángulos β=δ y los ángulos ϴ=α, lo cual significa que esos ángulos son congruentes entre sí en ambos triángulos, sin embargo los triángulos no son congruentes. 5. Si dos ángulos y un lado que no está entre ellos de un triángulo son congruentes dos ángulos y un lado que no está entre ellos de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes.
La respuesta es Verdadera: Justificación: Si dos ángulos son congruentes, estén o no entre ellos el tercer ángulo lo es ya que los 3 ángulos suman 180°. Entonces si los 3 ángulos son congruentes sólo falta la dimensión. Entonces con que uno de los lados sea congruente los otros lados los son., lo antes expuesto se puede visualizar en la figura siguiente.
α' α ϒ'
β
ϒ
β'
Los ángulos A´B´.
forman el lado AB; asimismo, los ángulos
„forman el lado
Utiliza las definiciones y teoremas de la sección 2.2.1, de la unidad 1 y resuelve los siguientes ejercicios. Es importante que justifiques cada resultado, de lo contrario no se tomará como válido en la actividad.
Sean los triángulos y Demostrar los enunciados del 6 al 8. ∆AEB y ∆BAD.
6. Sean ∆BAD=∆BEA y α=β, entonces ∆AEB = ∆BAD. Por el Teorema 2.12 Criterio de congruencia de triángulos Ángulo-Lado-Ángulo (ALA). Si dos ángulos y el segmento comprendido entre ellos de un triángulo son congruentes a dos ángulos y el segmento entre ellos de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes. HIPOTESIS 1.2.3.- ̅̅̅̅
̅̅̅̅
TESIS ∆AEB=∆BAD DEMOSTRACIÓN Por hipótesis se tiene que y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, por lo tanto basta probar que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , debido a las condiciones del teorema utilizando el criterio de congruencia de triángulos LAl, como 180º asimismo, =180º, por hipótesis 1 y 2 se tiene que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ de donde se sigue que m( ̅̅̅̅ )≠m( ̅̅̅̅ ), luego entonces ocurre que m( ̅̅̅̅ )m( ̅̅̅̅ ), si es el caso que m( ̅̅̅̅ )
posición
por debajo del vértice D, lo que implica que el ángulo m( , esto tendrá como consecuencia que m( , por lo tanto, , no son congruentes, esto contradice la observación derivada de las hipótesis 1 y 2, lo cual es absurdo. Entonces se concluye que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, de esto se sigue por el teorema 2.11 que cumple el criterio de congruencia de triángulos LAL, por lo que tanto ∆AEB=∆BAD, por lo que con esto queda demostrado el teorema. 7. Sean ADB= AEB y α=β, entonces ∆ADC=∆BCE. Dado que dos ángulos son iguales, luego entonces el tercer ángulo lo es, ya que la suma de los tres ángulos suma 180º. Debido a que un lado es igual a ̅̅̅̅, por tanto los 3 lados son congruentes donde ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , como se indica en el ejerció del problema anterior; asimismo, el triángulo ∆ABC, es un triángulo isósceles demostrado en el ejerció posterior(o sea el ejercicio 8), ya que tiene dos ángulos iguales (α y β). Por lo tanto, el segmento de recta ̅̅̅̅ α‟ es igual al complemento de β‟.
̅̅̅̅ ; asi como también, el complemento de
Entonces se tiene dos triángulos con al menos dos lados congruentes y un ángulo congruente; de la misma manera, los lados congruentes ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y el ángulo congruente es el complemento de α o de β. Por lo tanto se comprueba que ∆ADC=∆BCE. 8. Demostrar que el triángulo ∆ABC es isósceles. La afirmación del teorema 2.12 dice: Teorema 2.12.- Criterio de congruencia de triángulos Ángulo-Lado-Ángulo (ALA). Si dos ángulos y el segmento comprendido entre ellos de un triángulo son congruentes a dos ángulos y el segmento entre ellos de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes, lo que nos quiere decir que “todo triángulo isósceles tiene los dos ángulos de la base congruentes”. Lo que nos indica que la base es ̅̅̅̅ y los ángulos de la base del triángulo ∆ABC, son y dado que , entonces el triángulo ∆ABC es un triángulo isósceles. 9. Sea un conjunto de rectas paralelas en un plano tales que cortan a una recta que de forma transversal en segmentos congruentes, entonces cualquier recta que corten de forma transversal será en segmentos congruentes. Toda recta que corte un conjunto de rectas paralelas equidistantes la cortará en el mismo ángulo (a); asimismo, toda recta perpendicular a las paralelas cortará a la recta transversal en un ángulo y la dimensión equidistante entre las paralelas es la misma (pues es equidistante) mA. Luego entonces tenemos triángulos congruentes ya que al menos dos ángulos son iguales (α y β) y un lado es igual
mA y por lo tanto la dimensión de la recta intersectada es la misma, como se observa en las siguientes figuras:
y,
9. Las diagonales de un trapecio no se bisecan entre sí. Para que se bisectaran el ángulo α tendría que ser de 90° β es menor a 90°/2 γ es menor a 90°/2 β es equivalente α γ es equivalente α η+φ es menor a 180°2 Por lo tanto α es mayor a 90° Y por lo tanto, no se bisectan las diagonales, como se observa en la siguiente figura:
10. Las diagonales de un rectángulo son congruentes. Como se indica en la siguiente figura:
Dado que es un rectángulo, sabemos de antemano que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, por lo que sabemos por las reglas de paralelismo que α=β. Luego entonces, tenemos que dos triángulos congruentes porque tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente, por lo tanto los se tiene los triángulos ∆ADB=∆CAB, por lo que implica finalmente que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
