MGEO_U1_A2_ANEA

Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Antonio Espino Alonso Actividad 2. Teoremas y propiedades

1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. 2. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera. 3. Argumenta tu respuesta. a. Sean los planos P 1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R. V de acuerdo a la definición 1.3 si dos planos se cortan entre ellos, (no son paralelos) entonces el conjunto que los une es una recta, de esta forma se determina el siguiente postulado.

b. Dadas tres rectas R 1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las intersecta es el punto de intersección de las paralelas. F porque, dos rectas paralelas nunca se intersectan. c. Todas las rectas de un plano plano tienen un punto central. F porque, las líneas son infinitas y no podríamos saber su inicio y fin para poder determinar su punto central a menos de que pase por dos puntos (este segmentada). d. Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto. V porque, los ángulos agudos son menores de 90°, los ángulos rectos miden 90°, la suma de dos ángulos agudos puede ser 90° y formar un ángulo recto. e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º. V según la definición 1.23 Sean dos ángulos ∡ ABC y ∡CBD tales que m( ∡ ABC)=α y m( ∡CBD)=β y además si α + β = 180°, se denominan a los ángulos ABC y CBD ángulos suplementarios.

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Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Antonio Espino Alonso f. Una línea recta R 1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R 1 se llama una recta perpendicular de R 2. V porque de acuerdo a la definición 1.25: sean las rectas R1 y R2 contenidas en un plano P tales que al intersecarse en un punto O, si los ángulos que se forman alrededor del vértice O son de 90º cada uno, esto implica que las rectas se cortan en ángulos rectos. Estas rectas se definen como rectas perpendiculares. g. Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares. V porque, cuando los dos ángulos son internos, se les llama colaterales internos h. Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios. F los ángulos alternos externos pueden ser distintos de 90°, los ángulos alternos externos son iguales; la afirmación sería verdadera sólo si se formaran ángulos alternos externos de 90°, si las rectas fueran perpendiculares. i. Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios. F porque, en un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos al obtener la bisectriz no suman 90 grados, esta condición sólo se cumple con el ángulo recto de dicho triángulo.


Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Antonio Espino Alonso 4. Realiza las siguientes demostraciones j.

Sean los puntos A, B y C colineales. Si ̅BC no contiene al punto A, entonces dado el

̅ = punto central D de ̅BC se cumple que AD

̅ ̅BD+DC 2

.

Demostración Supuestos: Los puntos A, B, C y D son colineales. ̅ no contienen el punto A. D es el punto medio de  Como D es el punto medio del segmento BC, la distancia de BD = DC = a    

Tesis: ̅BC no contiene al punto A. Desarrollo de la demostración:

̅ = AD

̅ ̅BD+DC

̅ = AD

2

 2

̅ =a AD

Es decir, se debe cumplir con: AD = BC = DC. Para que esta condición se cumpla, A debe estar exactamente sobre B o sobre C; es decir la recta BC debe contener a A.

̅ = Por lo tanto, no se cumple que AD

̅ ̅BD+DC 2


Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Antonio Espino Alonso ̅ . Entonces, si ̅ ̅DE2CD k. Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que AB ̅ ); determinar las medidas de AB ̅ )= y mAB ̅ )=mBC ̅  ̅BC̅CD y ̅DE. m( AE Demostración Hipótesis: Existen 3 segmentos congruentes. La distancia entre un punto y otro es el mismo.  

Tesis: La distancia entre segmentos cambia. Desarrollo de la demostración: Los puntos A, B, C, D y E estan sobre la misma recta pero, sin orden consecutivo debido a que se toma en cuenta las congruencias y el valor proporcionado. AB + BC + CD + DE = 75 AB + AB + 1 + CD + DE = 75 2AB + CD + DE = 75 – 1 2AB + CD + DE = 74 ̅ DE ̅ entonces 2AB + DE = 3AB y queda; AB 3AB + CD = 74 AB = 2CD AB / 2 = CD (7/2)AB = 74 ̅ =148/7  ̅ =  ̅ +1=155/7  ̅=(148/7)(1/2) = 148/14 = 74/7 ̅=148/7 Comprobación: AB + BC + CD + DE = 75 148/7 + 155/7 + 74/7 + 148/7 = 525/7 = 75


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l.

Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes. Demostración Hipótesis: Son dos ángulos Son complementarios. Son ángulos congruentes. Tesis: Ambos ángulos estan juntos y son igual. Desarrollo de la demostración: Ambos ángulos tienen 45 0 por lo tanto al sumarse forman un ángulo total de 90 0 así que, son complementarios y congruentes porque tienen el mismo grado de ángulo (45).   

m. Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta. Demostración Hipótesis: Angulos opuestos son iguales. Tiene bisectriz. Las rectas se cruzan en un punto. Tesis: La recta A, B y C, D tienen una bisectriz que forma ángulos para ambas. Desarrollo de la demostración: La bisectriz es la linea que divide ambas rectas (A,B) y (C,D) la cual, se intersectan en un punto. La bisectriz separa los angulos opuestos de las rectas (se pueden observar de diferente color) sin embargo, los angulos opuestos tienen igualdad.   



̅ se extiende por otro n. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento AC segmento ̅CD, se forma así un ángulo  BCD cuya bisectriz está dada por la recta que contiene al segmento de recta ̅CE. Si los ángulos  CAB=  CBA, entonces los ̅ y ̅CE son paralelos. segmentos AB Demostración Hipótesis: Forman un triángulo. Hsy rectas paralelas. A,B y C forman un triangulo. El punto C es de intersección. ̅ es paralelo a Tesis: La recta A, B y C forman un triángulo y el     

̅

Desarrollo de la demostración: Los puntos A, B y C forman el triángulo. B, C y D forman el angulo que en este caso es de 90 graados y ̅ forman la línea de la ̅ son paralelas. bisectriz. Se puede observar que la linea de la bisectriz ( ̅) y 



o. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un ̅ es una de las diagonales del romboide, entonces los ángulos segmento de recta AC de los vértices B y D son congruentes. Demostración Hipótesis: Paralelogramo. Romboide. Angulos opuestos iguales. Lados opuestos iguales. ̅ . Tesis: El ángulo D y B son iguales, existe el     

Desarrollo de la demostración: El paralelogramo en forma de romboide contiene 4 lados los cuales, cumplen la característica de lados opuestos iguales y ángulos opuestos iguales. Los ángulos del punto A y D son los mismos grados (135 0) y existe ̅ . la linea que une al punto A y C (forman el segmento ( 

5. Cuando concluyas los ejercicios guárdalos en un archivo .doc con el nombre MGEO_U1_A2_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.


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