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Séptima edición
Steven C. Chapra Tufts University
Raymond P. Canale University of Michigan
Revisión técnica Reyna Susana García Ruiz Universidad Iberoamericana, Iberoamericana, Ciudad de México
Víctor Hugo Ibarra Mercado Universidad Anáhuac, México Norte
Enrique Muñoz Díaz Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México
Guillermo Evangelista Benites Universidad Nacional de Trujillo, Perú
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Directora de desarrollo de contenido editorial y digital: Coordinador sponsor: Jesús Mares Chacón Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Sergio M. Sarmiento Ortega
Patricia Ledezma Llaca
Séptima edición
Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni parcial, ni totalmente, ni registrada en/o transmitida por, un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni formato, por ningún medio, sea mecánico, fotocopiado, electrónico, magnético, electroóptico, o cualquier otro, sin el permiso previo y por escrito de la editorial.
DERECHOS RESERV R ESERVADOS ADOS © 2015, 2015, 2011 2011 respecto a la séptima s éptima edición ed ición en español por McGRAW-HILL/I McGRAW-HILL/INTER NTERAMER AMERICANA ICANA EDITORES, S.A. DE C.V C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 16, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Delegación Álvaro Á lvaro Obregón, C.P. 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN: 978-607-15-1294-9
ISBN (de la sexta edición): 978-607-15-0499-9 Traducido de la séptima edición de Numerical Methods for Engineers by Steven C. Chapra and Raymond P. Canale. Copyright © 2015 by The McGraw-Hill Education. All rights reserved. ISBN: 978-0-07-339792-4 JEC 05/15 1234567890
2346789015
Impreso en México
Printed in Mexico
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A Margaret y Gabriel Chapra Helen y Chester Canale
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CONTENIDO
PREFACIO xv ACERCA DE LOS AUTORES xvii
PARTE UNO MODELOS, COMPUTADORAS Y ANÁLISIS DEL ERROR 3 PT1.1 Motivación 3 PT1.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 5 PT1.3 Orientación 7
CAPÍTULO 1 Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería 9 1.1 Un modelo matemático simple 9 1.2 Leyes de conservación e ingeniería 14 Problemas 6
CAPÍTULO 2 Programación y software 21 2.1 Paquetes y programación 21 2.2 Programación Programación estructurada 22 2.3 Programación Programación modular 29 2.4 Excel 30 2.5 MATLAB 33 2.6 Mathcad 37 2.7 Otros lenguajes y bibliotecas 37 Problemas 38
CAPÍTULO 3 Aproximaciones Aproximaciones y errores de redondeo 43 3.1 Cifras Cifras significativas 44 3.2 Exactitud y precisión 45 3.3 Definiciones de error 45 3.4 Errores de redondeo 50 Problemas 62
CAPÍTULO 4 Errores de truncamiento y la serie de Taylor 63 4.1 La serie de Taylor 63 4.2 Propagación del error 75 4.3 Error numérico total 79 4.4 Equivocaciones, errores de formulación e incertidumbre en los datos 82 Problemas 84
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CONTENIDO
EPÍLOGO: PARTE UNO 86 PT1.4 Alternativas 86 PT1.5 Relaciones y fórmulas importantes 88 PT1.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 88
PARTE DOS RAÍCES DE ECUACIONES 91 PT2.1 Motivación 91 PT2.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 93 PT2.3 Orientación 93
CAPÍTULO 5 Métodos cerrados 96 5.1 Métodos Métodos gráficos 96 5.2 El método de bisección 99 5.3 Método de la falsa posición 104 5.4 Búsquedas por incrementos y determinación de valores iniciales 109 Problemas 110
CAPÍTULO 6 Métodos abiertos 113 6.1 Iteración simple de punto fijo 113 6.2 Método de Newton-Raphson 117 6.3 El método de la secante 121 6.4 Método de Brent 125 6.5 Raíces Raíces múltiples 127 6.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 131 Problemas 135
CAPÍTULO 7 Raíces de polinomios 137 7.1 Polinomios en la ciencia y en la ingeniería 137 7.2 Cálculos con polinomios 139 7.3 Métodos Métodos convencionales 142 7.4 Método de Müller 142 7.5 Método de Bairstow 145 7.6 Otros Otros métodos 150 7.7 Localización de raíces con paquetes de software 150 Problemas 158
CAPÍTULO 8 Estudio de casos: raíces de ecuaciones 160 8.1 Leyes de de los gases ideales y no ideales (ingeniería (ingeniería química y bioquímica) bioquímica) 8.2 Los gases gases de invernadero y la lluvia (ingeniería (ingeniería civil civil y ambiental) 162 8.3 Diseño de un circuito eléctrico (ingeniería eléctrica) 165 8.4 Fricción en tubos (ingeniería mecánica y aeroespacial) 166 Problemas 169
EPÍLOGO: PARTE DOS 177 PT2.4 Alternativas 177 PT2.5 Relaciones y fórmulas importantes 178 PT2.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 178 www.full-ebook.com
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CONTENIDO
PARTE TRES ECUACIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAIC AS LINEALES 181 PT3.1 Motivación 181 PT3.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 183 PT3.3 Orientación 189
CAPÍTULO 9 Eliminación de Gauss 191 9.1 Solución de sistemas pequeños de ecuaciones 191 9.2 Eliminación de Gauss simple 196 9.3 Dificultades en los métodos de eliminación 202 9.4 Técnicas Técnicas para mejorar las soluciones 206 9.5 Sistemas complejos 212 9.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 213 9.7 Gauss-Jordan 214 9.8 Resumen 216 Problemas 216
CAPÍTULO 10 Descomposición LU e inversión de matrices 219 10.1 Descomposición LU 219 10.2 La matriz inversa 227 10.3 Análisis del error y condición del sistema 230 Problemas 235
CAPÍTULO 11 Matrices especiales y el método de Gauss-Seidel 237 11.1 Matrices Matrices especiales 237 11.2 Gauss-Seidel 241 11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con paquetes de software 246 Problemas 250
CAPÍTULO 12 Estudio de casos: casos: ecuaciones algebraicas lineales 253 12.1 Análisis en estado estacionario de un sistema de reactores reactores (ingeniería química/bioingeniería) 253 12.2 Análisis de una una armadura armadura estáticamente determinada (ingeniería civil/ambiental) 255 12.3 Corrientes y voltajes voltajes en circuitos con resistores (ingeniería eléctrica) 257 12.4 Sistemas masa-resorte (ingeniería mecánica/aeronáutica) 259 Problemas 261
EPÍLOGO: PARTE TRES 269 PT3.4 Alternativas 269 PT3.5 Relaciones y fórmulas importantes 270 PT3.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 270
PARTE CUATRO CUATRO OPTIMIZACIÓN 273 PT4.1 Motivación 273 PT4.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 276 PT4.3 Orientación 277
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CAPÍTULO 13 Optimización unidimensional sin restricciones restricciones 280 13.1 Búsqueda de la sección dorada 280 13.2 Interpolación Interpolación parabólica 286 13.3 Método de Newton 287 13.4 Método de Brent 289 Problemas 290
CAPÍTULO 14 Optimización multidimensional sin restricciones 292 14.1 Métodos Métodos directos 292 14.2 Métodos con gradiente 295 Problemas 304
CAPÍTULO 15 Optimización con restricciones restricciones 306 15.1 Programación Programación lineal 306 15.2 Optimización no lineal con restricciones 315 15.3 Optimización con paquetes de software 315 Problemas 324
CAPÍTULO 16 Estudio de casos: optimización 326 16.1 Diseño de un tanque con el menor costo costo (ingeniería química/bioingeniería) 326 16.2 Mínimo costo para el tratamiento de aguas residuales (ingeniería civil/ambiental) 329 16.3 Máxima transferencia de potencia potencia en un circuito circuito (ingeniería eléctrica) 333 16.4 Equilibrio y energía potencial mínima (ingeniería mecánica/aeroespacial) 336 Problemas 337
EPÍLOGO: PARTE CUATRO 344 PT4.4 Alternativas 344 PT4.5 Referencias Referencias adicionales 345
PARTE CINCO AJUSTE DE CURVAS 347 PT5.1 Motivación 347 PT5.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 348 PT5.3 Orientación 355
CAPÍTULO 17 Regresión por mínimos cuadrados 358 17.1 Regresión Regresión lineal 358 17.2 Regresión Regresión polinomial 369 17.3 Regresión lineal múltiple 372 17.4 Mínimos cuadrados lineales en general 374 17.5 Regresión no lineal 377 Problemas 381
CAPÍTULO 18 Interpolación 384 18.1 Interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas 384 18.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 392 www.full-ebook.com
CONTENIDO
18.3 Coeficientes de un polinomio de interpolación 395 18.4 Interpolación Interpolación inversa 396 18.5 Comentarios Comentarios adicionales 397 18.6 Interpolación mediante trazadores (splines) 398 18.7 Interpolación Interpolación multidimensional 406 Problemas 408
CAPÍTULO 19 Aproximación de Fourier 410 19.1 Ajuste de curvas con funciones sinusoidales 410 19.2 Serie de Fourier continua 415 19.3 Dominios de la frecuencia y del tiempo 419 19.4 Integral y transformada de Fourier 421 19.5 Transformada Transformada discreta de Fourier (TDF) 422 19.6 Transformada Transformada rápida de Fourier (TRF) 424 19.7 El espectro de potencia 427 19.8 Ajuste de curvas con paquetes de software 429 Problemas 436
CAPÍTULO 20 Estudio de casos: ajuste de curvas 438 20.1 Regresión lineal y modelos de población población (ingeniería química/bioingeniería) 438 20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia transferencia de calor (ingeniería (ingeniería civil/ambiental) civil/ambiental) 441 20.3 Análisis de Fourier (ingeniería eléctrica) 442 20.4 Análisis de datos experimentales (ingeniería mecánica/aeronáutica) mecánica/aeronáutica) 443 Problemas 444
EPÍLOGO: PARTE CINCO 454 PT5.4 Alternativas 454 PT5.5 Relaciones y fórmulas importantes 455 PT5.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 455
PARTE SEIS DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS 459 PT6.1 Motivación 459 PT6.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 466 PT6.3 Orientación 467
CAPÍTULO 21 Fórmulas de integración de Newton-Cotes 471 21.1 La regla del trapecio 472 21.2 Reglas de Simpson 479 21.3 Integración con segmentos desiguales 487 21.4 Fórmulas de integración abierta 488 21.5 Integrales Integrales múltiples 490 Problemas 491
CAPÍTULO 22 Integración de ecuaciones 494 22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 494 22.2 Integración de Romberg 495 22.3 Cuadratura adaptiva 500 www.full-ebook.com
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22.4 Cuadratura de Gauss 502 22.5 Integrales Integrales impropias 507 Problemas 510
CAPÍTULO 23 Diferenciación numérica 511 23.1 Fórmulas de diferenciación con alta exactitud 511 23.2 Extrapolación de Richardson 514 23.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados 515 23.4 Derivadas e integrales para datos con errores 516 23.5 Derivadas Derivadas parciales 517 23.6 Integración/diferenciación Integración/diferenciación numéricas con paquetes de software 518 Problemas 524
CAPÍTULO 24 Estudio de casos: casos: integración integración y diferenciación diferenciación numéricas 526 24.1 Integración para determinar determinar la cantidad total de calor (ingeniería (ingeniería química/bioingeniería) química/bioingeniería) 526 24.2 Fuerza efectiva efectiva sobre el mástil de un bote bote de vela vela de carreras carreras (ingeniería (ingeniería civil/ambiental) civil/ambiental) 527 24.3 Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración integración numérica (ingeniería eléctrica) 529 24.4 Integración numérica para calcular calcular el trabajo (ingeniería (ingeniería mecánica/aeronáutica) 531 Problemas 533
EPÍLOGO: PARTE SEIS 542 PT6.4 Alternativas 542 PT6.5 Relaciones y fórmulas importantes 542 PT6.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 543
PARTE SIETE SIET E ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 545 PT7.1 Motivación 545 PT7.2 Antecedentes Antecedentes matemáticos 547 PT7.3 Orientación 549
CAPÍTULO 25 Métodos de Runge-Kutta 552 25.1 Método de Euler 552 25.2 Mejoras del método de Euler 561 25.3 Métodos de Runge-Kutta 566 25.4 Sistemas de ecuaciones 574 25.5 Métodos adaptativos de Runge-Kutta 578 Problemas 584
CAPÍTULO 26 Métodos rígidos y de pasos múltiples 587 26.1 Rigidez 587 26.2 Métodos de pasos múltiples 590 Problemas 604
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CONTENIDO
CAPÍTULO 27 Problemas de valores en la frontera frontera y de valores propios 606 27.1 Métodos generales para problemas de valores valores en la frontera frontera 606 27.2 Problemas de valores propios 611 27.3 EDO y valores valores propios con paquetes de software 621 Problemas 626
CAPÍTULO 28 Estudio de casos: casos: ecuaciones diferenciales ordinarias 629 28.1 Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria transitoria de un reactor (ingeniería química/bioingeniería) 629 28.2 Modelos depredador-presa depredador-presa y caos (ingeniería civil/ambiental) 634 28.3 Simulación de la corriente transitoria transitoria en un circuito eléctrico (ingeniería eléctrica) 637 28.4 El péndulo oscilante (ingeniería mecánica/aeronáutica) mecánica/aeronáutica) 640 Problemas 643
EPÍLOGO: PARTE SIETE 653 PT7.4 Alternativas 653 PT7.5 Relaciones y fórmulas importantes 654 PT7.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 654
PARTE OCHO OCH O ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCI ALES PARCIALES 657 PT8.1 Motivación 657 PT8.2 Orientación 660
CAPÍTULO 29 Diferencias finitas: ecuaciones elípticas 663 29.1 La ecuación de Laplace 663 29.2 Técnica Técnica de solución 664 29.3 Condiciones en la frontera 669 29.4 El método del volumen de control 673 29.5 Software para resolver ecuaciones elípticas 675 Problemas 676
CAPÍTULO 30 Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas 678 30.1 La ecuación de conducción de calor 678 30.2 Métodos Métodos explícitos 679 30.3 Un método implícito simple 682 30.4 El método de Crank-Nicolson 684 30.5 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones espaciales 686 Problemas 689
CAPÍTULO 31 Método del elemento finito 691 31.1 El enfoque general 692 31.2 Aplicación del elemento finito en una dimensión 694
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CONTENIDO
31.3 Problemas Problemas bidimensionales 702 31.4 Resolución de EDP con paquetes de software 704 Problemas 708
CAPÍTULO 32 Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 710 32.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniería química/bioingeniería) 710 32.2 Deflexiones de una placa (ingeniería civil/ambiental) 714 32.3 Problemas de campo electrostático bidimensional (ingeniería eléctrica) 715 32.4 Solución por elemento elemento finito de una serie de resortes (ingeniería mecánica/aeronáutica) mecánica/aeronáutica) 717 Problemas 720
EPÍLOGO: PARTE OCHO 722 PT8.3 Alternativas 722 PT8.4 Relaciones y fórmulas importantes 722 PT8.5 Métodos avanzados y referencias adicionales 722
APÉNDICE A: LA SERIE DE FOURIER 724 APÉNDICE B: EMPECEMOS CON MATLAB 725 APÉNDICE C: INICIACIÓN INICIACI ÓN A MATHCAD 731 Fundamentos de Mathcad 731 Introducción de texto y operaciones matemáticas 732 Funciones y variables matemáticas 733 Función de métodos numéricos 735 Procedimientos y subprogramas de líneas múltiples 736 Creación de gráficas 736 Matemáticas simbólicas 738 Para aprender más acerca de Mathcad 739
BIBLIOGRAFÍA 741 ÍNDICE ANALÍTICO 745
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PREFACIO
Han pasado veinte años desde que se publicó por primera vez este libro. Durante ese tiempo, nuestro escepticismo acerca de que los métodos numéricos y las computadoras tendrían un papel prominente en el currículo de la ingeniería —particularmente en sus etapas tempranas— ha sido rebasado por mucho. Hoy día, muchas universidades ofrecen cursos para estudiantes de nuevo nuevo ingreso, de segundo año e intermedios, inter medios, tanto de introducción a la computación como de métodos numéricos. Además, muchos de nuestros colegas integran problemas orientados a la computación con otros cursos, en todos los niveles del currículo. Así, esta nueva edición aún se basa en la premisa fundamental de que debe darse a los estudiantes de ingeniería una introducción profunda y temprana a los métodos numéricos. En consecuencia, aunque la nueva edición expande sus alcances, tratamos de mantener muchas de las características que hicieron accesible la primera edición, para estudiantes principiantes como avanzados: •
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Orientado a problemas. Los estudiantes de ingeniería aprenden mejor cuando están mo-
tivados por la solución de problemas, lo cual es especialmente cierto en el caso de las matemáticas y de la computación. Por tal razón, presentamos los métodos numéricos desde la perspectiva de la solución de problemas. Pedagogía enfocada en el estudiante. Hemos presentado varios detalles para lograr que este texto sea tan accesible para el estudiante como sea posible. Estos detalles comprenden la organización general, el uso de introducciones y epílogos para consolidar los temas principales, así como un amplio uso de ejemplos desarrollados y estudios de casos de las áreas principales de la ingeniería. Hemos puesto especial cuidado en que nuestras explicaciones sean claras y en que tengan una orientación práctica. Herramientas de computación. Capacitamos a nuestros estudiantes ayudándoles a utilizar las herramientas numéricas tipo “apunte y dispare” para resolución de problemas que están incluidas en programas como Excel, MATLAB MATLAB y Mathcad. Sin embargo, también se muestra a los estudiantes cómo desarrollar programas sencillos y bien estructurados para extender las capacidades básicas de dichos entornos. Este conocimiento incluye lenguajes de programación estándar tales como Visual Basic, Fortran 90 y C/C++. Creemos que el abandono actual de la programación de computadora representa algo así como una “salida fácil” en los planes de estudios de ingeniería. A fin de cuentas, en la medida que los ingenieros no se conformen con herramientas limitadas, tendrán que escribir sus códigos. Sólo entonces se podrán llamar “macros” o “archivos M”. Este libro está diseñado para darles el poder de hacer eso.
Más allá de estos cinco principios originales, la séptima edición tiene conjuntos de problemas nuevos y expandidos. La mayoría de los problemas se han modificado de manera que tengan soluciones numéricas diferentes de las ediciones anteriores. Además, se han incluido diversos problemas nuevos. nuevos. La séptima edición también incluye Connect® de McGraw-Hill. Esta herramienta de administración de tareas en línea permite la asignación de problemas algorítmicos para tareas en casa, exámenes y pruebas. Conecta a los estudiantes con las herramientas y los recursos que necesitan para lograr el éxito. Como siempre, nuestra intención principal al escribir este libro es dar da r a los estudiantes una introducción a los métodos numéricos. Creemos que los estudiantes motivados que disfrutan de los métodos numéricos, las computadoras y las matemáticas serán, a final de cuentas, mejores www.full-ebook.com
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PREFACIO
ingenieros. Si nuestro texto fomenta el entusiasmo por estos temas, consideraremos que nuestros esfuerzos han tenido buen éxito, Agradecimientos. Nos gustaría agradecer a nuestros amigos de McGraw-Hill. McGraw-Hill. Especialmen-
te, Lorraine Buczek y Bill Stenquist, quienes brindaron una atmósfera positiva de apoyo para crear esta edición. Como de costumbre, Beatrice Sussman hizo un trabajo magistral en el cote jo del manuscrito, y Arpana Ar pana Kumari Kumar i de Aptara también realizó un trabajo excelente excelente en la fase final de producción del libro. Como en ediciones pasadas, David Clough (Universidad (Universidad de Colorado), rado), Mike Gustafson Gusta fson (Universidad de Duke) y Jerry Stedinger (Universi ( Universidad dad Cornell) compartieron generosamente sus observaciones penetrantes y sus sugerencias. También hicieron sugerencias útiles Bill Philpot Phi lpot (Universidad Cornell), Jim Guilkey (Universidad ( Universidad de Utah), DongDongIl Seo (Universidad Nacional Chungnam de Corea), Niall Broekhuizen Broekhui zen (NIW (NI WA, Nueva Zelanda) y Raymundo Cordero y Karim Muci (ITESM, México). La edición actual también ha aprovechado las revisiones y sugerencias de los siguientes colegas: Betty Barr, Bar r, University University of Houston Jalal Behzadi, Shahid Chamran University Jordan Berg, Texas Tech University Jacob Bishop, Utah State University Estelle M. Eke, California State University, Sacramento Yazan A. Hussain, Jordan University of Science & Technology Yogesh Jaluria, Rutgers University S. Graham Kelly, The University of Akron Subha Kumpaty, Milwaukee School of Engineering Eckart Meiburg, University of California-Santa Barbara Prashant Mhaskar, McMaster University Luke Olson, University of Illinois at Urbana-Champaign Richard Pates Jr., Old Dominion Domin ion University Joseph H. Pierluissi, University of Texas Texas at El Paso Juan Perán, Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) Scott A. Socolofsky, Texas A&M University Se debe subrayar que, aunque recibimos consejos consejos útiles de las personas per sonas arriba arr iba mencionadas, somos responsables de cualquier inexactitud o error que usted pudiera detectar en esta edición, Por favor póngase en contacto con Steve Chapra por correo electrónico si detectara cualquier error en esta edición. Finalmente, nos gustaría gustar ía dar las gracias a nuestras familias, fami lias, a nuestros amigos y a nuestros estudiantes por su constante consta nte paciencia y apoyo. apoyo. En especial a Cynthia Chapra, Chapra , Danielle Husley y Claire Canale, quienes están siempre presentes para brindar entendimiento, perspectiva y amor. Steve C. Chapra Medford, Massachusetts Raymond P. Canale Lake Leelanau, Michigan
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ACERCA DE LOS AUTORES
Steven Chapra es profesor en el Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad de Tufts. Entre sus obras publicadas se encuentran Surface Water-Quality Modeling e Introduction to Com puting for Engineers.
El doctor Chapra obtuvo el grado de ingeniero por las universidades de Manhattan y de Michigan. Antes de incorporarse a la Tufts, trabajó para la Agencia de Protección Ambiental y la Administración Nacional del Océano y la Atmósfera, fue profesor asociado en las universidades de Texas A&M y de Colorado. En general, sus investigaciones están relacionadas con la modelación de la calidad del agua superficial y la aplicación de computación avanzada en la ingeniería ambiental. También ha recibido gran cantidad de reconocimientos por sus destacadas contribuciones académicas, incluyendo la medalla Rudolph Hering (ASCE en 1993) y el premio al autor distinguido Meriam-Wiley (por parte de la Sociedad Estadounidense para la Educación en Ingeniería). Se le ha reconocido como profesor emérito en las facultades de ingeniería de las universidades de Texas A&M, de Colorado y Tufts. Raymond P. Canale es profesor emérito de la Universidad de Michigan. En sus más de 20 años
como docente universitario ha impartido impart ido numerosos cursos en las áreas de computación, métodos numéricos e ingeniería ambiental. a mbiental. También También ha dirigido dir igido extensos programas de investigación en el área de modelación matemática y por computadora de ecosistemas acuáticos. Es autor y coautor de varios libros, ha publicado más de 100 artículos e informes científicos. También ha diseñado y desarrollado software para computadoras personales, con la finalidad de facilitar la educación en ingeniería y la solución de problemas en ingeniería. Ha recibido el premio al autor distinguido Meriam-Wiley de la Sociedad Americana para la Educación en Ingeniería por sus libros y el software desarrollado, desar rollado, así como otros reconocimientos por sus publicaciones técnicas. Actualmente, el profesor Canale se dedica a resolver problemas de aplicación, trabajando como consultor y perito en empresas de ingeniería, en la industria e instituciones gubernamentales.
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PARTE UNO
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MODELOS, COMPUTADORAS Y ANÁLISIS DEL ERROR PT1.1 MOTIVACIÓN Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones ar itméticas. Aunque existen existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, rápi das, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años. PT1.1.1 Métodos no computacionales Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad creciente de las computadoras (en especial de las personales) y su asociación aso ciación con los métodos numéricos han influiinf luido de manera muy significativa en el proceso de la solución actual de los problemas en ingeniería. Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la solución de problemas: 1.
2.
3.
Las soluciones de algunos problemas fueron obtenidas usando métodos exactos o analíticos. Dichas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analíticas sólo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. Éstos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tienen una geometría simple y de baja dimensión. En consecuencia, las soluciones analíticas tienen un valor práctico limitado porque la mayoría de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos. Las soluciones gráficas fueron usadas para caracterizar el comportamiento de los sistemas, usualmente gráficas o monogramas, las cuales tomaban la forma de gráficas o monogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Además, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difíciles de implementar. Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas limitadas a los problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. Para implementar los métodos numéricos manualmente se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos. Además, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando se efectúan los numerosos cálculos de esta manera.
Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energía en la técnica misma de solución, en lugar de usarla en la definición del problema y su interpretación inter pretación (figura PT1.1a). Esta situación desafortunada se debía al tiempo y trabajo monótono que se requería para obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban la computadora. compu tadora. En la actualidad, las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una alternativa para los cálculos complicados. Al usar el poder del cómputo se obtienen soluciones directamente, de esta manera se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificación o a técnicas muy lentas. Aunque las soluciones soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para brindar una mayor comprensión, los métodos numéricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. En www.full-ebook.com
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Parte 1
Modelos, computadoras y análisis del error
FORMULACIÓN
FORMULACIÓN
Leyes fundamentales explicadas brevemente
Exposición profunda de la relación del problema con las leyes fundamentales
SOLUCIÓN SOLUCIÓN Métodos muy elaborados y con frecuencia complicados para hacer manejable el problema
Método de la computadora fácil de usar
INTERPRETACIÓN
INTERPRETACIÓN
Análisis profundo limitado por una solución que consume tiempo
La facilidad de calcular permite pensar holísticamente y desarrollar la intuición; es factible estudiar la sensibilidad y el comportamiento del sistema
a)
b)
Figura PT1.1 Las tres fases en la solución de problemas en ingeniería en a) la era anterior a las computadoras y b) la era de las computadoras. Los tamaños de los recuadros indican el nivel de importancia que se presenta en cada fase. Las computadoras facilitan la implementación de técnicas de solución y, así, permiten un mayor interés sobre los aspectos creativos en la formulación de problemas y la interpretación de los resultados.
consecuencia, es posible dar más importancia impor tancia a la formulación de un problema y a la interpretación inter pretación de la solución, así como a su incorporación al sistema total, tot al, o conciencia “holística” (figura PT1.1b). PT1.1.2 Los métodos numéricos y la práctica práctica en ingeniería Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a una verdadera explosión explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al prinpr incipio, cipio, este crecimiento estaba li mitado por el costo de acceso a las grandes computadoras (main frames frame s) , por lo que muchos ingenieros seguían usando simples procedi mientos analíticos en una buena parte de su trabajo. t rabajo. Vale Vale la pena mencionar que la reciente evolución evolución de computadoras per persosonales de bajo costo ha permitido per mitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacidades de cómputo. Además, existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos: 1.
2.
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Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manipular grandes sistemas de ecuaciones, manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. En el transcurso de su carrera, es posible que usted tenga la oportunidad de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas “en caja negra” que contengan métodos numéricos. El uso eficiente de estos programas depende del buen entendimiento de la teoría básica en que se basan tales métodos. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas “en caja negra”. Si usted es conocedor de los métodos numéricos y es hábil en la programación de computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programación consiste en escribir programas de computadora. Debido a que la mayoría de los métodos numéricos numér icos están diseñados para implementarlos en las computadoras, son ideales para tal propósito. Además, son especialmente adecuados para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle en forma www.full-ebook.com
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Antecedentes matemáticos
satisfactoria los métodos numéricos en computadora y los aplique para resolver los problemas que de otra forma resultarían inaccesibles, usted dispondrá de una excelente demostración de cómo las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas, de esta forma se puede profundizar en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta perspectiva dará como resultado un aumento de su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.
PT1.2 ANTECEDENTES MA MATEMÁTICOS TEMÁTICOS Cada parte de este libro requiere de algunos conocimientos matemáticos, por lo que el material introductorio de cada parte comprende una sección que incluye los fundamentos matemáticos. Como la parte uno, que está dedicada a aspectos básicos sobre las matemáticas y la computación, en esta sección no se revisará ningún ningú n tema matemático específico. En vez de ello se presentan los temas del contenido matemático que se cubren en este libro. Éstos se resumen en la figura PT1.2 y son: 1.
Raíces de ecuaciones ecuaciones (figura PT1.2a). Estos problemas se relacionan con el valor de una variable o
de un parámetro que satisface una ecuación no lineal. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería, donde con frecuencia es imposible resolver explícitamente las ecuaciones para los parámetros definidos. 2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (figura PT1.2b). En esencia, se trata de problemas similares a los de raíces de ecuaciones, en el sentido de que están relacionados con valores que satisfacen las ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfacer una sola ecuación, se busca un conjunto de valores que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, l ineales, las cuales surgen en el contexto de una gran variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniería. En particular, se originan a partir de modelos matemáticos de grandes sistemas de elementos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos eléctricos y redes de flujo; aunque también se llegan a encontrar en otras áreas de los métodos numéricos como el ajuste de curvas y las ecuaciones diferenciales. 3. Optimización (figura PT1.2c). En estos problemas se trata de determinar el valor o los valores de una variable independiente que corresponden al “mejor” o al valor óptimo de una función. De manera que, como se observa en la figura PT1.2 c, la optimización considera la identificación de máximos y mínimos. Tales problemas se presentan comúnmente en el contexto del diseño en ingeniería. También También surgen en otros métodos numéricos. Nosotros nos ocuparemos de la optimización tanto para una sola variable sin restricciones como para varias variables sin restricciones. También describiremos la optimización restringida dando especial énfasis a la programación lineal. ). A menudo se tendrá que ajustar curvas a un conjunto de datos 4. Ajuste de curvas (figura PT1.2d ). representados por puntos. Las técnicas desarrolladas para tal propósito se dividen en dos categorías generales: regresión e interpolación. La primera se emplea cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos; con frecuencia los datos experimentales son de este tipo. Para estas situaciones, la estrategia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos, sin necesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpolación se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estén, relativamente, libres de error. Tal Tal es el caso de la información tabulada. En dichas situaciones, la estrategia consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntos obtenidos como datos y usar la curva para predecir valores intermedios. 5. Integración (figura PT1.2e). Como hemos representado gráficamente, la interpretación de la integración numérica es la determinación del área bajo la curva. La integración tiene diversas aplicaciones en la práctica de la ingeniería, que van desde la determinación de los centroides de objetos con formas extrañas, hasta el cálculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas. Además, las fórmulas de integración numérica desempeñan un papel importante en la solución de ecuaciones diferenciales. www.full-ebook.com
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