Métodos Numéricos

Métodos Numéricos

São métodos que podem ser usados para a obtenção de soluções numéricas para problemas, quando por uma qualquer razão não podemos ou não desejamos usar métodos analíticos.

Os métodos numéricos conduzem a soluções aproximadas de um modelo ou sistema exacto.

A náli se N um éri ca

1

Porquê usar métodos numéricos?



Existem situações em que é preferível um método numérico ao método analítico ainda que este exista, por exemplo se a solução para um problema envolve muitos cálculos.



A maior parte dos problemas concretos são, em geral, complexos e envolvem fenómenos não lineares pelo que é comum encontrarmo-nos numa situação em que os nossos conhecimentos de matemática não são suficientes para a descoberta de uma solução para um problema real..



Quando os dados do problema são os de uma tabela de valores, qualquer tratamento (a sua diferenciação ou integração por exemplo) terá de ser feito através de um método numérico


2

Modelos aproximados e soluções aproximadas Modelo matemático real demasiado complexo para ser tratado analiticamente analiticamente



Alterar e simplificar o modelo por por forma a torná-lo tratável, e assim obter uma solução exacta de um sistema ou modelo aproximado. Tal solução é suspeita pelo facto de ocorrerem simplificações do modelo. Terão de se fazer várias experiências para ver se as simplificações são compatíveis com os dados experimentais.



Usar método numéricos e assim produzir soluções aproximadas para o sistema real/exacto. Tais soluções são apenas aproximações que podem ser melhoradas à custa de esforço computacional.


3

Capítulo 1: ERROS Quase todos os cálculos envolvem envolvem erros. Em cálculo numérico numérico lidamos quase exclusivamente com valores aproximados daí que não podemos usar métodos numéricos e ignorar a existência de erros.  Capítulo


1: Teoria dos erros



Definições e regras



Erros de truncatura.



Erro relativo



Propagação de erros



O problema inverso do cálculo de erros

4

Modelos aproximados e soluções aproximadas Modelo matemático real demasiado complexo para ser tratado analiticamente analiticamente



Alterar e simplificar o modelo por por forma a torná-lo tratável, e assim obter uma solução exacta de um sistema ou modelo aproximado. Tal solução é suspeita pelo facto de ocorrerem simplificações do modelo. Terão de se fazer várias experiências para ver se as simplificações são compatíveis com os dados experimentais.



Usar método numéricos e assim produzir soluções aproximadas para o sistema real/exacto. Tais soluções são apenas aproximações que podem ser melhoradas à custa de esforço computacional.


3

Capítulo 1: ERROS Quase todos os cálculos envolvem envolvem erros. Em cálculo numérico numérico lidamos quase exclusivamente com valores aproximados daí que não podemos usar métodos numéricos e ignorar a existência de erros.  Capítulo


1: Teoria dos erros



Definições e regras



Erros de truncatura.



Erro relativo



Propagação de erros



O problema inverso do cálculo de erros

4

Capítulo 2: Interpolação Polinomial e Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados Muitas funções são conhecidas apenas num conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo. 

Neste caso, como não dispomos dispomos da sua forma analítica, podemos substituí-la substituí-la por outra função, que é uma aproximação da função dada e que é deduzida a partir dos dados tabelados. Outras funções têm uma forma analítica muito complexa.



Podemos procurar uma outra função que seja uma aproximação da função dada e cujo manuseio seja bem mais simples.

As funções que substituem as funções dadas podem ser de vários tipos: exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial. polinomial.


5

Capítulo 2: Interpolação Polinomial e Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados 

Capítulo 2: 2:


Interpolação Polinomial e Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados



Polinómio interpolador de Lagrange



Erro de interpolação



Polinómio interpolador de Newton



Interpolação inversa



Interpolação de Hermite



Aproximação polinomial de mínimos quadrados

6

Capítulo 3: Resolução de Equações e Sistemas Não Lineares



Estudaremos alguns métodos de resolução dos problemas seguintes: 

Determinar as raízes da equação f(x)=0



Obter o vector (x1,x2,...,xn) solução do sistema f 1 (x1,x2,...,xn) =0 f 2 (x1,x2,...,xn) =0 ... f n (x1,x2,...,xn) =0


7

Capítulo 3: Resolução de Equações e Sistemas Não Lineares 

Capítulo 3: Resolução de Equações e Sistemas Não Lineares




Localização de estimativas iniciais para a resolução de f(x)=0



Métodos iterativos para a resolução de f(x)=0



Zeros de polinómios



Sistemas de equações não lineares

8

Capítulo 4: Sistemas de Equações Lineares

Duas questões fundamentais em Álgebra Linear Numérica são a resolução de sistemas de equações lineares e o cálculo de valores próprios. Sistemas de equações lineares ocorrem nos mais diversificados domínios da matemática aplicada. Em problemas concretos podem ocorrer sistemas de grandes dimensões cuja resolução obriga à utilização de meios computacionais. portanto essencial conhecer algoritmos eficientes de resolução de sistemas lineares.


9

Capítulo 4: Sistemas de Equações Lineares 

Capítulo 4: Sistemas de Equações Lineares




Métodos directos para resolver sistemas de equações lineares



Métodos iterativos

10

Capítulo 5: Integração e Derivação Numérica

Pretendemos obter fórmulas que nos permitam calcular o integral definido b

∫ f ( x)dx a



Capítulo 5: Integração e Derivação Numérica 

Regra dos trapézios



Regra de Simpson



Fórmulas de integração de Newton Cotes



Fórmulas de integração de Gauss



Derivação numérica-algumas fórmulas


11

Capítulo 6: Equações Diferenciais Ordinárias

As equações que envolvem a derivada de uma função a uma variável ocorrem em muitos ramos da matemática aplicada. Genericamente, qualquer situação que trate a “taxa de variação” de uma variável com respeito a outra conduz a uma equação diferencial Neste capítulo iremos introduzir e descrever alguns métodos numéricos para integrar equações diferenciais ordinárias.


12

Capítulo 6: Equações Diferenciais Ordinárias 

Capítulo 6: Equações Diferenciais Ordinárias 

Método de Euler



Solução usando série de Taylor



Método de Euler modificado






Uma classificação dos método numéricos para a resolução do PVI Métodos de passos simples

13

ERROS

Seja

x o

valor aproximado do valor exacto x.

O erro de x define-se por

ε

=

x − x

| ε | | x =

x

−

erro absoluto de

x

A nál ise N um érica

14

ERRO DE ARREDONDAMENTO

Seja x o valor aproximado do valor exacto x tendo exactamente k dígitos após o ponto decimal. Dizemos que x é o valor aproximado de x arredondado a k casas decimais correctas se − k

| x − x |≤ 0.5 ×10

Regras de arredondamento

1. Se o primeiro dígito a desprezar for maior que 5, ou for 5 seguido não só de zeros, soma-se uma unidade ao último dígito a reter. Caso contrário, o último dígito a reter não será alterado. Se o primeiro e único dígito a desprezar é 5, ou cinco seguido de zeros, o último dígito a reter deverá ser aumentado de uma unidade apenas se esse último dígito for ímpar. 2. Na adição e subtracção, arredonda-se por forma a que o último dígito a reter, na resposta, corresponda ao último algarismo mais significativo nos números a serem somados ou subtraídos entre si.


16

Regras de arredondamento (cont)

3. Na multiplicação e divisão, arredondar por forma a que o número de algarismos significativos no resultado iguale o menor número de algarismos significativos dos números intervenientes na operação em causa. 4. Em combinações das operações aritméticas, as operações dentro dos parentesis são executadas e os resultados respectivos arredondados antes de prosseguir com a outra operação, em vez de arredondar apenas o resultado final.

Erros de truncatura

Ocorrem quando se usam processos aproximados em vez de um processo matemático exacto. São em geral erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor e que por razões práticas são interrompidos em determinada altura.


18

Série de Taylor

A série de Taylor permite-nos calcular o valor de uma função num ponto x a partir do valor da função e das suas sucessivas derivadas num determinado ponto x0.

f ( x) = f ( x0 ) +

( x − x0 ) 1!

f ' ( x0 ) +

( x − x0 ) 2 2!

f ' ' ( x0 ) + ...

Série de Taylor (cont)

f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ' ( x0 ) +

( x − x0 ) 2 2!

f ' ' ( x0 ) + ... +

( x − x0 ) n n!

n

f ( ) ( x0 ) + Rn

Com

Rn

=

( x − x0 ) n

1

+

( n + 1)!

f

( n +1)

(ξ ), x0

<

ξ < x

resto da aproximação de ordem n.


20

Série de Taylor (cont)



h=x-x0

f ( x) = f ( x0 ) + hf ' ( x0 ) +



h2 2!

f ' ' ( x0 ) + ... +

h

n

n!

f

( n)

( x0 ) + Rn

com

R

n

=

h (n

n

+

+

1

1 )!

f

( n

+

1)

( ξ ), x

0

<

ξ

<

x

Erro Relativo

erro

erro relativo = valor exacto Limite superior para o erro relativo:

| r |≤ x

|∆ | x

| x | − | ∆ | x

Se | ∆x | é muito pequeno quando comparado com | x | então

| r |≈ x

| ∆ x | | x |

Ao produto 100 | r | chama-se percentagem de erro do valor aproximado x de x . x


22

Erro Relativo (cont) 

Teorema : Se o primeiro algarismo significativo do valor aproximado é a1≠ 0 e esse valor aproximado tem pelo menos n algarismos significativos correctos, então o seu erro relativo não excede

1 a

1

| r |≤ x

× 10

1

n−

1 1 × 10

a

1

n−


Corolário: À exepção forma (0, a1 00...0) ×10

do caso em que o valor aproximado do número é da em que a1 é o único dígito diferente de zero, o erro relativo é menor ou igual a p

1 2a1 ×10 

Corolário: Se a ≥ 5 1 (0, a1 00 ... 0) × 10 então

1

n−

e o valor aproximado do número x não é da forma

p

1 ≤ 10

r x

n


24


Teorema: Se a1 ≠ 0 é o primeiro algarismo significativo do valor aproximado x

de um número cujo erro relativo não excede

1 2 (a1 então esse valor aproximado

x

+

1)

×

10

n

−

1

tem pelo menos n algarismos significativos

correctos.



Corolário: Se

≤ x

r

1 2 × 10

n

então o correspondente valor aproximado

tem n algarismos significativos correctos.

Propagação de erros 

Fórmula de propagação do erro absoluto

| ∆ f |=| f ( x, y, z ) − f ( x , y , z ) |≤| 

∂ f ∂ x

|| ∆ x | + |

∂ f ∂ y

|| ∆ y | + |

∂ f ∂ z

|| ∆z |

Se para x − | ∆ x |≤ x ≤ x + | ∆ x |, y − | ∆ y |≤ y ≤ y + | ∆ y |, z − | ∆ z |≤ z ≤ z + | ∆ z |

|

∂ f ∂ x

|≤ M 1 , |

∂ f ∂ y

|≤ M 2 , |

∂ f ∂ z

se verificam as desigualdades

|≤ M 3 vem que

| ∆ f |≤ M 1 | ∆ x | + M 2 | ∆ y | + M 3 | ∆z |


26

Propagação de erros 

Fórmula de propagação do erro relativo

∂ f

| r f |=|

∂ f

∂ f

∆ f

∂ y |≤| ∂ x || ∆ x | + | || ∆ y | + | ∂ z || ∆z | f f f f

ou

| r f |≤

M 1 | ∆ x | + M 2 | ∆ y | + M 3 | ∆ z |

| f |

O Problema Inverso do Cálculo dos Erros



Consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados x1 , x2 ,..., xn para que o valor da função f(x1 ,x2 ,...,xn) calculado para xi = xi (i=1,...,n) seja obtido com um erro absoluto que não exceda uma quantidade η > 0 previamente fixada. Escolhem-se os valores aproximados de forma que se tenha ∂ f ∂ x1

∆ x1 =

∂ f ∂ x2

∆ x2 = ... =

∂ f ∂ xn

∆ x1 = ∆ x2 = ... = ∆ xn


∆ xn

Princípio dos efeitos iguais.

Princípio dos erros iguais .

28

ANÁLISE NUMÉRICA Exercícios Práticos – Capítulo I 1.1 Sejam x, y e z três quantidades exactas. Por arredondamento, obtiveram-se as seguintes aproximações: x = 721 z = 72.143 y = 7.21 a) Conte o número de casas decimais correctas nas aproximações e calcule limites superiores para o erro absoluto em cada uma delas. Compare os resultados e comente. b) Conte o número de algarismos significativos correctos nas aproximações e calcule limites superiores para o erro relativo. Compare os resultados e comente. 1.2 Escreva aproximações com três e com cinco algarismos significativos para os números: π

1

1

1

3

11

2

16 −2

e3

1.3 Quantos algarismos significativos correctos pode garantir que existem no resultado do produto de 13.2 por 0.012579, supondo que os algarismos representados nestas aproximações são, todos eles, significativos correctos. Justifique. 1.4 Uma grandeza física x é calculada pela relação 1 x = 2π fc Determine o erro absoluto máximo de x se f = 400 ± 1 e c =10 −7 ± 10 %. 1.5 Um avião faz regularmente a carreira Nova York/S. Francisco, registando aproximadamente 2700 milhas de viagem, mas essa distância pode ser afectada de um erro de ± 200 milhas, devido a acertos de rota em voo. A velocidade do aparelho é de 580 milhas por hora, podendo variar ± 60 milhas/hora devido ao efeito dos ventos. Determine limites inferiores e superiores para o tempo de voo. 1.6 Para determinar a resistência R de uma bobina podemos utilizar a expressão: l Ω R = ρ S Suponha que se consideram os seguintes valores aproximados: s ≈ 50.1 cm 2 l ≈ 49.7 cm ρ ≈ 1.0 Ω cm Qual a percentagem máxima de erro que se deve respeitar em cada um dos valores (grandezas aproximadas) se desejarmos que o valor obtido para R seja preciso pelo menos até à segunda casa decimal.

1.7 A base de um cilindro tem um raio r ≈ 2 m e a altura do cilindro é h ≈ 3 m . Com que erros absolutos deveremos determinar r e h de modo a que o volume V do cilindro seja obtido com uma precisão de 0.1 m 3 . V = π r h 2

1 x

1.8 Usando a expansão em série de Maclaurin para e , calcule e 6 de modo a garantir três casas decimais correctas no resultado. 1.9 Considere os seguintes processos para calcular o valor de 3 (i) Desenvolvimento em série de Maclaurin de f ( x ) = 2 cos x (ii) Desenvolvimento em série de Maclaurin de g ( x) = 2 sen x a) Desenvolva em série de Maclaurin f (x) e g(x). b)Suponha que pretendia utilizar um dos processos acima descritos para calcular 3 Tendo em atenção que o melhor processo será aquele que, usando um mesmo número de termos, obtém uma melhor aproximação e diga qual dos dois processos escolheria. Justifique a sua resposta.

⎛ ⎛ π ⎞ π ⎞ 3 ⎞ ⎜ cos⎜ ⎟ = 3 ; sen⎛ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 6 ⎠ 2 ⎟ 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.10 Considere os seguintes valores “exactos” p e os respectivos valores aproximados p : (i) p = π p = 3.1 (ii) p =

π

1000 1

(iii) p = (iv) p =

3 100

p = 0.0031 p = 0.333

p = 33.3 3 a) Indique, para cada caso, limites superiores para o erro absoluto e para o erro relativo cometidos ao aproximar p por p . b) Ainda para cada caso, quantos dígitos significativos correctos apresenta p de p? Tire conclusões face à resposta dada a esta questão, tendo presente os erros relativos determinados em a).

1.11 O seguinte sistema de equações ⎧ x1 + 2 x 2 = 3

⎨ ⎩1.00001 x1 + 2 x2 = 3.00001

admite a solução exacta x1 = 1 e x 2 = 1. Suponha agora que as componentes do vector de termos independentes do sistema não são exactas, estando cada uma delas afectada de um erro absoluto que não excede 10 −5

a) Obtenha um majorante do erro absoluto, que daí advém, para cada uma das componentes do vector solução, considerando os outros coeficientes do sistema como valores exactos. b) Tire conclusões para uma análise do condicionamento do problema. 1.12 a) Obtenha, para a função f ( x) = ln x, o desenvolvimento em série de Taylor no ponto x = 1. b) Mostre que se desejarmos aproximar ln (1.1) usando a soma até ao termo de ordem n, do desenvolvimento obtido em a), então essa aproximação terá NK casa decimais correctas, sendo

⎛ ⎡⎛ 1 ⎞ n + ⎤ ⎞ NK = int ⎜⎜ log10 ⎢⎜ ⎟(n + 1)10 1 ⎥ ⎟⎟ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎠ ⎝ em que int( x) designa o maior inteiro contido no real x. (Nota: analise só o erro de truncatura) 1.13 Um construtor comprou um terreno à Câmara Municipal com uma área de 2 aproximadamente 150 x 200 m . Na medição de cada um dos lados do terreno, comprimento e largura, tolerou-se um erro de ± 5 cm por cada 10 metros. Resolva as seguintes questões aplicando os conhecimentos que estudou sobre teoria dos erros: a) Calcule a percentagem máxima de erro de que vem afectado o valor da área do terreno, devido ao facto dos seus lados não serem medidos exactamente. b) O construtor deseja dividir o referido terreno em lotes para habitação com aproximadamente 600 m2 cada um, admitindo uma percentagem de erro máxima de 1% em cada um deles. Por este facto não lhe é possível determinar com exactidão o número de lotes que se podem obter com área total do terreno. Determine então o número máximo e o número mínimo de lotes que o construtor pode obter. 1.14 A partir do desenvolvimento em série de Maclaurin de 3 5 x x sin( x) = x + − ... 3! 5! a) Obtenha um valor aproximado da função f ( x) = 1 – sin( x) no ponto x =0.5 (rad) com 5 casas decimais correctas. b) Seja x =

π

4 inferior a 10 ? -4

⎛ π ⎞ ⎟ com um erro ⎝ 4 ⎠

. Com que precisão deverá tomar x por forma a obter f ⎜

⎛ a ⎞ ⎟ ⎜ b ⎟ . Conhecem-se os valores aproximados a ≈ 3.11 e ⎝ ⎠

1.15 Pretende-se calcular z = ln ⎜

b ≈ 3.26 obtidos por arredondamento. Determine um valor aproximado de z indicando uma estimativa do erro relativo cometido nessa aproximação.

1.16 Considere a função E ( x1, x2, x3, ..., xn ) = exp ( x1 + x2 + x3 + ... + xn )

Conhecem-se valores aproximados de xi , i =1,2,..., n, afectados de erros absolutos que não excedem ∆ xi , i = 1,2,..., n. Prove que o erro relativo para E ( x1, x2, x3, ..., xn ) satisfaz : r E ≤ ∆ x1 + ∆ x2 + ∆ x3 + ... + ∆xn

1.17 Admitindo que, no cálculo de A=

os valores de

2 e

3

1

(

2+ 3

)

2

,

estão afectados de iguais erros absolutos, isto é

∆ 3 = ∆ 2 = ∆ε e tendo em consideração que

2 + 3 > 3 , obtenha, em função

de ∆ε , um limite superior do erro relativo que vem para A.

Polinómio interpolador 

Dados n+1 pontos distintos x0, x1, ..., xn a que associamos valores funcionais y1, y2, ..., yn, pretende-se determinar um polinómio de grau menor ou igual a n,

pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x

2

+

... + an x

n

que interpole os dados, isto é tal que

p n ( x i ) 

=

f ( x i )

=

y i , i

=

0 ,1 ,..., n

Ao conjunto dos pares ( xi, yi), i=1,2,...,n chamamos suporte de interpolação.


29

Polinómio interpolador (cont) 

Exercício 2.1: Dada a seguinte tabela de uma função determine o seu polinómio interpolador usando a definição. i

0

1

2

3

xi

-2

-1

0

1

yi

-15

-1

1

3

Polinómio interpolador de Lagrange 

Teorema: (Lagrange) Seja Pn o conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n. Dados n+1 pontos suporte ( xi, f i), i=0,1,...,n , existe um e um só polinómio pn ( x ) ∈ Pn tal que pn ( xi ) = f i , i = 0,1,2,..., n , n   pn ( x) = ∑ f i li ( x) i =0   li ( x) = ∏ ( x − x j )  j ≠ i ( xi − x j )


31

Polinómio interpolador de Lagrange (cont) 

Exercício: Dada a tabela seguinte obtenha o polinómio interpolador de Lagrange. i

0

1

2

3

xi

1

2

3

4

yi

4

15

40

85

Erro de interpolação 

Erro de interpolação, num certo ponto x:

en ( x) = f ( x) − pn ( x) 

Teorema : Seja f uma função real de variável real de classe C n+1 no intervalo I x

=

[ x , x0 , x1 ,..., xn ]

( I designa o menor intervalo fechado que contém os x

pontos x0 , x1 ,..., xn , x ). Então existe um

ξ ∈ I x

en ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) =

tal que

ψ ( x ) ( n + 1)!

f (

n +1)

(ξ ) com

Fórmula para o erro de interpolação

ψ ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn ) A nál ise N um érica

33

Operadores de diferenças finitas 

A expressão do polinómio interpolador foi obtida considerando os polinómios de Lagrange li( x), i = 0,...,n, definidos sobre a partição. A determinação do polinómio interpolador de uma função usando as funções li( x) exige um grande esforço computacional e não permite obter o polinómio interpolador de grau n a partir do conhecimento do polinómio interpolador de grau n - 1. Estes dois factores levam-nos a considerar outro modo de obter o polinómio interpolador.



Operadores de diferenças finitas : 

Diferenças descendentes (ou progressivas) ∆



Diferenças ascendentes (ou regressivas)



Diferenças divididas (usa-se para pontos xi de um suporte ( xi, f i)

∇ (são utilizados quando os pontos xi de um suporte ( xi, f i) são equidistantes.)

Diferenças descendente e ascendentes 

Suporte ( xi , f i) xi) = ∆ f i = f ( x xi+1) - f ( x xi) ∆ f ( x

e, de um modo geral, a diferença de

ordem k ( (k ≥ 2) de f ( x x) para x = xi é dada por

f ( xi ) = ∆ (∆k −1 f ( xi )) = ∆k −1 (∆ f ( xi )) = ∆k −1 f ( xi +1 ) − ∆k −1 f ( xi )

k

∆

xi) = ∇ f i = f ( x xi) - f ( x xi-1) e, de um modo geral, a diferença de ∇ f ( x ordem k ( (k ≥ 2) de f ( x x) para x = xi é dada por ∇

f ( xi ) = ∇(∇ k −1 f ( xi )) = ∇ k −1 (∇ f ( xi )) = ∇ k −1 f ( xi ) − ∇ k −1 f ( xi −1 )

k


35

Diferenças divididas 

Para uma função f ( x x) e um conjunto de pontos distintos { x0, x1,..., xn} temos: 

Diferença dividida de ordem 1 nos pontos { x0, x1} f [ x 0 , x1 ] =



f 1

−

x1

− x 2

Diferença dividida de ordem 2 nos pontos { x0, x1, x2} f [ x 0 , x1 , x 3 ] =



f 0

f [ x1 , x 2 ] − f [ x 0 , x1 ] x 2

− x 0

De um modo geral, usamos a notação k

D f ( x i )

=

f [ x i , x i +1 ,..., x i + k ] para designar a diferença dividida

de ordem k ( (k ≥1) entre os (k +1) +1) pontos { xi, xi+1,..., xi+k }, sendo k

D f ( x i )

=

D

k −1

f ( x i +1 ) − D x i + k − x i

k −1

f ( x i )

Tabela de diferenças divididas

Para n = 3

xi

f ( ( xi)

x0

f ( ( x0)

f [.,.] [.,.]

f [.,.,.] [.,.,.]

f [.,.,.,.] [.,.,.,.]

f ( x1 ) − f ( x0 ) x1 − x0

x1

f [ x1 , x2 ] − f [ x0 , x1 ]

f ( ( x1)

x2 − x0

f ( x2 ) − f ( x1 )

f [ x3] [ x0,.,. x

x2 − x1

x2

f [ x2 , x3 ] − f [ x1 , x2 ]

f ( ( x2)

x3 − x1

f ( x3 ) − f ( x2 ) x3 − x2

x3

f ( ( x3)


37

Tabela de diferenças divididas (cont) 

Exemplo: Considerar uma função da qual se conhecem os valores dados no seguinte quadro xi

1

5/4

3/2

2

5/2

f ( x xi)

-1

0

2

3

1

Construir a tabela de diferenças divididas

Diferenças divididas e derivadas de f 

Lema: Para um suporte de pontos igualmente espaçados, de passo h

( x xi+1- x xi = h , i =0,1,..., n-1), tem-se k

f [ xi , xi +1 ,..., xi + k ] = 

∆

f i

k !h

k

, k ≥ 0

Teorema : Seja f ∈ C n [a,b]. Se { x0, x1, ..., xn} são n +1 pontos distintos de [a,b], então existe pelo menos um ∈ ]a,b[ tal que

ξ

f [ x0 , x1 ,..., xn ] = 

f ( n ) (ξ ) n!

Teorema: Para f ∈ C n e um suporte de n +1 pontos, de passo h, existe pelo menos um ξ tal que n

∆

f ( x) = h n f n (ξ )


39

Polinómio interpolador de Newton nas diferenças divididas 

Suporte ( xi, f i), i =0,1,...,n.

pn ( x ) = f 0 + ∑ f [ x0 ,..., xk ]( x − x0 )...( x − xk −1 ) Uma vez determinado o pn se pretendermos obter pn+1 basta fazer n

pn +1 ( x) = pn ( x) + f [ x0 ,..., xn +1 ]∏ ( x − xi ) i =0

Polinómio interpolador nas diferenças descendentes

pn ( x ) = f ( x0 ) +

n

∑

∆ j f ( x0 ) j −1 (

j =1



j!h

∏ x − x )

j

i

i =0

Efectuando a mudança de variável x → s definida por x = x0 + sh ( s = ( x - x0 )/ h ∈IR+ )

pn ( x ) = f 0

+ s∆ f 0 + s( s − 1)

pn ( x) = f 0 + 

 s     = j  

s ( j )

e

j !

s

s

∆2 f 0 2!

+ ... + s( s − 1)(s − 2)(s − n + 1)

=

s(s

2

− 1 )( s −

2 )...( s

com

− ( j − 1 ))


41

Erro de Interpolação 

n!

s

n      f f ... ∆ + ∆ + + ∆ 0 0  2   n  f 0 1 

s ( j )

∆n f 0

Para o polinómio interpolador de Newton nas diferenças divididas: 

Se apenas conhecermos apenas o suporte ( xi, f ( xi ))

en ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) ≅ ψ ( x ) f [ x , x0 ,..., xn ] 

Ou se conhecemos também f ( x)

en ( x )

≤

( x − x0 )...( x − xn ) ( n + 1)!

max f ( n +1) ( x)

x0 ≤ x ≤ x n

Erro de interpolação 

Paro o polinómio interpolador de Newton nas diferenças descendentes



en ( x) = 

 n+1  ∆ f 0  n +1 s

ou

 s  n+1 ( n+1)  (ξ ), en ( x ) =  h f  n +1

x0

< ξ < xn


43

Polinómio interpolador de Hermite 

Seja f uma função em que são conhecidos f ( xi) e f ‘ ( x ) i para i =0,1,...,n.

H 2 n 1 ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x0 ] + ( x − x0 ) 2 f [ x0 , x0 , x1 ] + +

2

+

( x − x0 ) ( x − x1 ) f [ x0 , x0 , x1 , x1 ] + ... +

+

( x − x0 ) ( x − x1 ) ...( x − xn 1 ) ( x − xn ) f [ x0 , x0 ,..., xn , xn ]

2

2

2

−

Aproximação polinomial de mínimos quadrados

Teoria da Aproximação

A função é dada explicitamente, mas pretende-se aproxima-la por outra mais simples.

(ajuste de funções) Dado um conjunto de pontos, pretende-se determinar a “melhor” função dentro de uma certa classe que possa ser usada para representar os dados.

Se tivermos apenas os valores da função em certos pontos, não vamos exigir que a função “aproximadora “ interpole a função dada nos pontos. Exigimos apenas que essa função “aproximadora” tome valores (nesses pontos) de forma a minimizar a distância aos valores dados, no sentido dos mínimos quadrados. A nál ise N um érica

45

Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados 

Modelo linear simples



( xi, yi ), i =1,..., n 

y = ax + b (recta de regressão)

a ∑ xi 2 + b∑ xi = ∑ xi yi  a ∑ xi + bn = ∑ yi a=

n

∑ x y − ∑ x ∑ y n∑ x − ( ∑ x ) i

i

i

2

2

i

b=

i

∑ y − a(∑ x ) i

i

n

i

Aproximação Polinomial de Mínimos Quadrados Aproximar um conjunto de pontos (xi,yi) i=1,2,...,m por um polinómio de grau n (n≤ m-1), p n ( x ) =

n

∑a

k

x

k

, usando a técnica dos mínimos quadrados.

k = 0

m m m m  m 0 1 2 0 n + + + + = a x a x a x a x y x ... ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 0 1 2 i i i n i i i  i =1 i =1 i =1 i =1  i =1 m m m m  m 1 2 3 1 n +1 a0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi + ... + a n ∑ xi = ∑ yi xi  i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 ...  m m m m  m n 2n n +1 n+2 n a0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi + ... + a n ∑ xi = ∑ yi xi i =1 i =1 i =1 i =1  i =1


47

ANÁLISE NUMÉRICA Exercícios Práticos – Capítulo II 2.1. Dada a seguinte tabela de uma função determine o seu polinómio interpolador, usando a definição. i

0

1

2

3

xi

-2

-1

0

1

yi

-15

-1

1

3

2.2. Encontre, usando a fórmula de Lagrange, o polinómio de grau máximo 3, pn( x), determinado pelos pontos (-3,-1); (-2,2); (1,-1) e (3,10). Calcule pn(0).

2.3. Sabendo que sin(0)=0, sin(

π

4

)=

2 2

e sin(

π

2

)=1, determine, usando a fórmula de

interpolação polinomial de Lagrange, um valor aproximado para sin(

π

3

). Calcule uma

estimativa do erro para este valor aproximado e compare com o valor exacto do erro.

2.4. Seja f ( x) = e x , com 0 ≤ x ≤ 2 . Usando os valores dados na seguinte tabela:

x

0.0

0.5

1.0

2.0

f(x)

1.00000

1.54872

2.71828

7.38906

a) Aproxime f (0.25) usando interpolação linear com x 0 = 0.0 e x1 = 0.5 b) Aproxime f (0.75) usando interpolação linear com x 0 = 0.5 e x1 = 1.0 c) Aproxime f (0.25) e f (0.75) usando interpolação polinomial de 2º grau com x 0 = 0.0; x1 = 1.0; x 2 = 2.0

d) Das duas aproximações obtidas para cada um dos valores interpolados (0.25 e 0.75) qual a melhor? Justifique devidamente a sua resposta.

2.5. Afirma-se que é possível restabelecer na totalidade uma tabela de diferenças finitas conhecida apenas uma entrada em cada uma das suas colunas. Verifique esta afirmação completando a tabela seguinte: x

y

0

--

∆ y

∆2 y

∆3 y

∆4 y

∆5 y

-5

--

0.0013 -0.0888

10

--

--

--

0.002

-15

--

--

--

--

-20

-0.002

0.0017

--

---

25

0.4663

Use uma das fórmulas de Gregory-Newton para o polinómio interpolador de grau 3 para estimar f (12.5) .

2.6. Considere a tabela: x

-2

-1

0

1

2

3

4

y

-11

2

5

4

b+1

3b+2

a

referente a um polinómio do 3º grau. a) Determine a e b . b) Ampliando a tabela, determine o valor do polinómio para o ponto x = −4 . c) Determine o polinómio.

2.7. De uma função conhece-se a tabela

Determine x tal que f(x)=0.

x

1

2

3

f(x)

-2

1

6

Métodos Numéricos

São métodos que podem ser usados para a obtenção de soluções numéricas para problemas, quando por uma qualquer razão não podemos ou não desejamos usar métodos analíticos.

Os métodos numéricos conduzem a soluções aproximadas de um modelo ou sistema exacto.


1

Porquê usar métodos numéricos?



Existem situações em que é preferível um método numérico ao método analítico ainda que este exista, por exemplo se a solução para um problema envolve muitos cálculos.



A maior parte dos problemas concretos são, em geral, complexos e envolvem fenómenos não lineares pelo que é comum encontrarmo-nos numa situação em que os nossos conhecimentos de matemática não são suficientes para a descoberta de uma solução para um problema real..



Quando os dados do problema são os de uma tabela de valores, qualquer tratamento (a sua diferenciação ou integração por exemplo) terá de ser feito através de um método numérico


2

Métodos Numéricos

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