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Teoria12
Appendice a (Matrici)
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DIMOSTRAZIONE DEL METODO DELLE COSTANTI DI TEMPO DI CORT Sheet Music
CIRCUITO (SCTC) E DI CIRCUITO APERTO (OCTC)
Consideriamo una generica rete lineare composta da resistenze, condensatori e ge
comandati. Essa può rappresentare un generico amplificatore di cui si vuole analiz
comportamento in bassa frequenza (in tal caso i condensatori considerati saranno di accoppi
e di bypass), oppure il comportamento in alta frequenza (in questo caso le capacità considera
relative ai modelli validi in un intervallo esteso di frequenze dei dispositivi attivi, più ev
capacità esterne aggiunte con l’intento di limitare la risposta in alta frequenza). E’ da notar
rete è priva di generatori indipendenti, e rappresenta così il circuito a riposo, con ingressi an
Inoltre la rete si considera essere ridotta (i condensatori in serie o in parallelo sono sosti condensatore equivalente) e connessa (esiste una funzione di trasferimento non nulla fra le
sui condensatori e la tensione di uscita dell’amplificatore). Per la necessità di queste ipotesi il documento sugli approfondimenti del metodo delle costanti di tempo.
Le frequenze proprie della rete a riposo rappresentano i poli del sistema e coincidono con l
del polinomio caratteristico della rete (polinomio a denominatore di qualsiasi funz
trasferimento la cui rete a riposo abbia la stessa topologia). Di questa rete si mettano in e
tutte le porte a cui fanno capo i condensatori (supponiamo siano N), così come raffigu figura 1. C i3 +
i Master your semester with Scribd v & The New York Times C
v
-
2
+
-
Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title
Useful
Cancel anytime. iN
R ,G
Special offer for students: Only $4.99/month. i 1
+
Not useful
+
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⎡ R 11 ⎢ ⎢ R 21 R=⎢ ⎢ M ⎢ ⎢⎣ R N1
R 12
L
R 22
L
M
M
L
L
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R 1N ⎤
⎥ L ⎥ ⎥, M ⎥ ⎥ R NN ⎥⎦
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Appendice a (Matrici)
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⎡ G11 ⎢ ⎢ G 21 −1 G=R =⎢ ⎢ M ⎢ ⎢⎣G N1
G12
L
G 22
L
M
M
L
L
G 1N ⎤
⎥ L ⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ G NN ⎥⎦
dove l’invertibilità delle matrici è assicurata dall’ipotesi di rete connessa. Gli elementi delle matrici R e G hanno il seguente significato:
R kh =
v k ih
G kh =
i k vh
, j = 1L N, j ≠ h i j =0
, j = 1L N, j ≠ h v j =0
In particolare, Rkk rappresenta la resistenza vista alla porta k-esima con tutte le altre porte
mentre Gkk rappresenta la conduttanza vista alla porta k-esima con tutte le altre cortocircuitate.
Le equazioni costitutive dei condensatori possono essere raggruppate nella seguente equ matriciale:
i = −C
dv dt
You're Reading a Preview
⇒ − C −1 i =
dv dt
Unlock full access with a free trial.
dove C è una matrice diagonale contenente i valori degli condensatori della rete: Download With FreeNTrial
⎡1 0 ⎡C1 0 L 0 ⎤ ⎢C ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ⎢ 0 C2 L L ⎥ ⎢ 0 −1 C2 C =⎢ C=⎢ ⎥, ⎢M M O M ⎥ ⎢ M M ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 L ⎢0 L C N ⎥⎦ with Scribd Master your semester L ⎢⎣
L L O L
& The New York Times
⎤
0 ⎥
⎥ L⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ 1 ⎥ Foron 30this Days Sign to vote title C NRead ⎥⎦ upFree Useful Not useful Cancel anytime.
e la (4) essere combinate tra loro per ricavare l’equazione differenziale che e Special offerLa for(2) students: Onlypossono $4.99/month. il comportamento delle grandezze della rete a riposo:
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(s + C − G I )v = 0 1
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dove I è la matrice identità (matrice diagonale con tutti uno sulla diagonale principale). Il po caratteristico della rete si ricava dal determinante della matrice det (s R C + I ) = 0 oppure, in modo analogo,
(
−1
)
det sI + C G = 0 Tali matrici sono di seguito riportate:
⎡sR 11C1 + 1 ⎢ ⎢ sR 21C1 sR C + I = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎢⎣ sR N1C1 ⎡ G11 ⎢s + C ⎢ G 1 ⎢ 21 −1 sI + C G = ⎢ C 2 ⎢ M ⎢ ⎢ G N1 ⎢⎣ C N
sR 12 C 2
L
sR 22 C 2 + 1
L
M
M
L
L
G12 C1 G s + 22 C2
L L
M
M
L
L
sR 1N C N ⎤
⎥ L ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ sR NN C N + 1⎥⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ L ⎥ You're Reading a Preview ⎥ M ⎥ UnlockG full access with a free trial. NN ⎥ s+ C N ⎥⎦ G 1N C1
Download With Free Trial
Dimostrazione del metodo delle costanti di tempo di circuito aperto
Il calcolo del determinante della matrice (8.a) dà luogo ad un polinomio caratteristico il cui
noto è unitario, mentre il determinante della matrice (8.b) produce lo stesso polinomio carat
ma espresso in forma monomia, avente cioè il coefficiente del termine in s di grado su
Master your semester with Scribd Read Free For 30this Days Sign up to vote on title unitario. Il determinante di una generica matrice A si può calcolare nel seguente modo (s & Thesecondo New una York Times Useful Not useful riga della matrice): Special offer for students: Only $4.99/month.
( )
N
∑(
) j
i
( )
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sR 12 C 2 sR 13C 3 ⎤ ⎡sR 11C1 + 1 ⎢ ⎥ det (s R C + I ) = ⎢ sR 21C1 sR 22 C 2 + 1 sR 23C 3 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣ sR 31C1 + sR 32 C 2 sR 33C 3 1⎥⎦ = (sR 11C1 + 1)det (T11 ) − sR 12 C 2 det (T12 ) + sR 13C 3 det (T 13 )
⎡sR 22 C 2 + 1
sR 23 C 3 ⎤
det (T 11 ) = det ⎢
⎥ = (sR 22 C 2 + 1)(sR 33 C 3 + 1) − s 2 R 23 R 32 C 2 C 3 sR 33 C 3 + 1⎥⎦ ⎢⎣ sR 32 C 2 = 1 + s (R 22 C 2 + R 33 C 3 ) + s 2 (R 22 R 33 − R 23 R 32 )C 2 C 3
⎡sR 21C1 det (T12 ) = det ⎢ ⎣⎢sR 31C1
sR 23C 3 ⎤
2 ⎥ = sR 21C1 (sR 33C 3 + 1) − s R 23 R 31C1C 3 = sR 33C 3 + 1⎦⎥
= sR 21C1 + s 2 (R 21R 33 − R 23 R 31 )C1C 3
⎡sR 21C1 sR 22C 2 + 1⎤ 2 det (T13 ) = det ⎢ ⎥ = s R 21R 32 C1C 2 − sR 31C1 (sR 22C 2 + 1) = sR 32 C 2 ⎥⎦ ⎢⎣sR 31C1 = −sR 31C1 + s 2 (R 21R 32 − R 22 R 31 )C1C 2
(
)
Reading2 a Preview det (sR C + I ) = (sR 11C1 + 1) 1 + s(R 22 C You're 2 + R 33C 3 ) + s (R 22 R 33 − R 23 R 32 )C 2 C 3 −
C 3 )trial. − sR 12 C 2 (sR 21C1 + s 2 (RUnlock −R + access 21 R 33full 23 R with 31 )Ca1free
+ sR 13C 3 (− sR 31C1 + s 2 (R 21R 32 − R 22 R 31 )C1C 2 )
Download With Free Trial In definitiva, il polinomio caratteristico è, in questo caso, un polinomio del terzo ordin
coefficienti sono dati dalle seguenti espressioni: det (s R C + I ) = 1 + a 1s + a 2 s 2 + a 3s 3 = D(s )
a1 = R 11C1 + R 22C2 + R 33C3
Mastera your Scribd = (R Rsemester − R R )C Cwith + (R R −R R & The aNew (R R Times = [R York − R R ) − R (R R − R 2 3
11
11
22
22
12
33
21
23
1
32
Special offer for students: Only $4.99/month.
2
11
12
33
21
13
33
31
)C1C3 + (R )Ctitle R R3032 −vote 22 R 33to 23on 2 C3 Read Free For Days Sign up this
23 R 31
)+
R (RUseful R 13
Not R 22 R useful 21 Cancel 32 −anytime. 31 )]C1C 2 C3
Come si può osservare, il coefficiente a 1 relativo al termine di grado unitario risulta so
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consideriamo la figura 2, che evidenza due porte della rete di cui una è cortocircuitata, men Sheet Music
le altre porte si considerano aperte. Le equazioni alle due porte danno le seguenti due relazio
⎧v k = R kk i k + R kh i h ⎪ ⎨v = R i + R i = 0 ⇒ i = − R hk i hk k hh h h ⎪⎩ h R hh k Sostituendo la seconda equazione nella prima si ottiene:
⎛ R kk R hh − R kh R hk ⎞ ⎟i k R hh ⎝ ⎠
v k = ⎜
Dalla (20) si osserva che R kk R hh − R kh R hk v k = i k R hh
v h =0
rappresenta la resistenza vista alla porta k-esima con la porta h-esima cortocircuitata e tutte hs
porte aperte. Nel seguito indicheremo tale resistenza con il simbolo R k . In modo analogo: R kk R hh − R hk R kh v h = ih R kk
v k =0
You're Reading rappresenta la resistenza vista alla porta h-esima conalaPreview porta k-esima cortocircuitata e tutte Unlock access with free trial. porte aperte. Confrontando le (21) e (22) si full osserva cheavale la seguente relazione: hs o R kk R hh − R hk R kh = R ok R ks h = R k R h Download With Free Trial
Possiamo, quindi, scrivere: a2 =
N −1 N
∑∑
R io R jis C i C j i =1 j=i +1
N −1 N
= ∑ ∑ R jsi R jo C i C j i =1 j=i +1
Nell’ipotesi di polo dominante in alta frequenza (polo a frequenza minore di tutti gli altri po
funzione di trasferimento valida in alta frequenza), la frequenza di taglio superiore può Masterdella your semester with Scribd Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title dalla seguente espressione: & Theapprossimata New York Times Useful Not useful
ωH Only 1 $4.99/month. 1 Special offer for students: f H =
2π
≈
2πa
=
N
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Dimostrazione del metodo delle costanti di tempo di cortocircuito
Per la dimostrazione del metodo delle costanti di tempo di cortocircuito risulta più semplice dalla matrice (8.b) calcolandone il determinante (caso N = 3): G12 G13 ⎤ ⎡ G11 + s ⎢ C1 C1 C1 ⎥ ⎢ G ⎥ G 22 G 23 −1 21 ⎥= det sI + C G = det ⎢ s+ C2 C2 ⎥ ⎢ C2 ⎢ G 31 G 32 G 33 ⎥ + s ⎢ C ⎥ C3 C3 ⎦ 3 ⎣ G G ⎛ G ⎞ = ⎜ s + 11 ⎟ det (T11 ) − 12 det (T12 ) + 13 det (T13 ) C1 C1 ⎝ C1 ⎠
(
)
G 23 ⎤ ⎡ G 22 + s ⎢ C2 C 2 ⎥ ⎛ G 22 ⎞⎛ G 33 ⎞ G 32 G 23 det (T11 ) = det ⎢ = ⎟⎜ s + ⎟− ⎥ = ⎜s + G 32 G 33 C C C C 2 ⎠⎝ 3 ⎠ 3 2 ⎢ ⎥ ⎝ s+ C 3 ⎥⎦ ⎢⎣ C 3 G ⎞ G G G G ⎛ G = s 2 + s⎜ 22 + 33 ⎟ + 22 33 − 32 23 C 3 ⎠ C 2 C 3 C3 C 2 ⎝ C 2 You're Reading a Preview
⎡ G 21 ⎢C det (T12 ) = det ⎢ 2 ⎢ G 31 ⎣⎢ C 3
G 23 ⎤ Unlock full access with a free trial. ⎥ G C2 ⎛ G ⎞ G G = 21 ⎜ s + 33 ⎟ − 31 23 = ⎥ G C 2 ⎝ C 3 ⎠ With C 3 Free C 2 Trial Download s + 33 ⎥ C 3 ⎦⎥
G G ⎛ G ⎞ G G = s⎜ 21 ⎟ + 21 33 − 31 23 ⎝ C 2 ⎠ C 2 C 3 C 3 C 2 G 22 ⎤ ⎡ G 21 + s ⎢C C 2 ⎥ G 21 G 32 G 31 ⎛ G 22 ⎞ − det (T13 ) = det ⎢ 2 ⎜s + ⎟= ⎥ = Scribd Master your semester G 31 G 32 with C C C C 2 3 3 ⎝ 2 ⎠ ⎢ ⎥ Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title C 3 ⎥⎦ ⎢⎣ C 3 & The New York Times Useful Not useful Cancel anytime. ⎛ G 31 ⎞ G 21 G 32 G 31 G 22 Special offer for students: Only = −s⎜ $4.99/month. − ⎟+ C3 C 2 ⎝ C 3 ⎠ C 2 C 3
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a 1 G 22 G 33 G 32 G 23 G11 ⎛ G 22 G 33 ⎞ G12 G 21 G13 G 31 = − + + − = ⎜ ⎟− a3 C 2 C3 C3 C 2 C1 ⎝ C 2 C 3 ⎠ C1 C 2 C1 C 3 1 1 1 (G11G 22 − G12 G 21 ) + (G11G 33 − G13G 31 ) + (G G − G 32 G 23 ) = C1C 2 C1C 3 C 2 C 3 22 33
b1 =
a 0 G 11 ⎛ G 22 G 33 G 32 G 23 ⎞ G12 ⎛ G 21 G 33 G 31 G 23 ⎞ G 13 ⎛ G 21 G 32 G 31 = − − − ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⎜ a3 C1 ⎝ C 2 C 3 C 3 C 2 ⎠ C1 ⎝ C 2 C 3 C 3 C 2 ⎠ C1 ⎝ C 2 C 3 C3 1 [G (G G − G 32 G 23 ) − G12 (G 21G 33 − G 31G 23 ) + G13 (G 21G 32 − G 31G 22 )] = C1C 2 C 3 11 22 33
b0 =
Osserviamo che il coefficiente b 2 è espresso mediante somma di inversi di costanti di te cortocircuito. In generale risulta: b n−1
a = n−1 = an
N
G ii = C i i =1
∑
N
1
i =1
s i
∑R C
i
s dove con R i si intende la resistenza vista dal condensatore i-esimo con tutti gli altri cortoci
Il coefficiente b1, invece, risulta composto dalla somma di inversi di prodotti di costanti di
Per capire il loro significato si faccia riferimento alla figura 3 che riporta due porte generich You're Reading a Preview rete in cui una è lasciata aperta, mentre tutte le altre sono cortocircuitate. Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial ih=0
ik +
+
vk
vh
-
-
G
Master your semester withFigura Scribd 3 - Rete per il calcoloRead di Gup Free Foron 30this Days Sign to vote title & TheLeNew York Useful Not useful equazioni alle Times due porte risultano, quindi: ho k
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⎧i k = G kk v k + G kh v h ⎪
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rappresenta la conduttanza vista alla porta k-esima con la porta h-esima aperta e tutte le alt Sheet Music
cortocircuitate. Nel seguito indicheremo tale conduttanza con il simbolo G ho k . In modo analo G kk G hh − G hk G kh i = h vh G kk
i k =0
rappresenta la conduttanza vista alla porta h-esima con la porta k-esima aperta e tutte le alt cortocircuitate. Confrontando le (37) e (38) si osserva che vale la seguente relazione: s ko ho s G kk G hh − G hk G kh = G k G h = G k G h
In generale, quindi, il coefficiente bn-2 risulta dato dalla seguente espressione: b n−2
s io N −1 N G jo G s N −1 N a n −2 N −1 N G i G j 1 i j = = = = jo s an C i C j C i C j i =1 j=i +1 i=1 j=i +1 i =1 j=i +1 R i R j C i C j
∑∑
∑∑
∑∑
Nell’ipotesi di polo dominante in bassa frequenza (polo a frequenza maggiore di tutti gli alt
zeri della funzione di trasferimento valida in bassa frequenza), la frequenza di taglio inferi essere approssimata dalla seguente espressione:
ωL b n −1 1 N 1 ≈ = f L = s 2π 2π 2π ∑ i =1 R i C i
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
NOTE: …. Download With Free Trial
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