MÉTODO DE BOWMAN
Como resultado del estudio de un gran número de marcos en los que son
despreciables los efectos de deformación axiales, resueltos por métodos
exactos, Bowman propuso un método aproximado de acuerdo con las siguientes
hipótesis ( Sutherland y Bowman, 1958):
1.- Los puntos de inflexión en las vigas exteriores se encuentran a 0.55 de
su claro, a partir de su extremo exterior.
En vigas interiores, el punto de inflexión se encuentra en el centro del
claro, excepto en la crujía central cuando el numero de crujías es impar, o
en las dos centrales si es par. En estas crujías la posición de puntos de
inflexión en las vigas está forzada por condiciones de simetría y
equilibrio.
2.- los puntos de inflexión en las columnas del primer entrepiso se
encuentran a 0.60 de su altura, a partir de la base. En marcos de dos o
más, tres o más, o cuatro o más entrepisos, respectivamente, los puntos de
inflexión en las columnas de los entrepisos ultimo, penúltimo y
antepenúltimo, respectivamente se encuentran a 0.65, 0.60 y 0.55 de la
altura correspondiente, a partir del extremo superior. En edificios de
cinco o más entrepisos, los puntos de inflexión en columnas para las cuales
no se ha especificado la posición se encuentran en el centro de su altura.
3.- la fuerza cortante total, V, de cada entrepiso se distribuye en la
forma siguiente:
En el primer entrepiso, una fuerza cortante igual ha Vc=V(N-0.5)/(N+1) Se
reparte directamente entre las columnas del entrepiso proporcionalmente a
sus rigideces. La fuerza cortante restante Vt=V-Vc se divide entre las
crujías proporcionalmente a la rigidez de la vida que las limita en la
parte superior. Luego, la mitad de la cortante de cada crujía se asigna a
sus dos columnas colindantes.
En pisos superiores, una fuerza cortante Vc=V(N-2)/(N+1) se distribuye
directamente entre las columnas. La cortante Vt=V-Vc se reparte entre las
crujías como se hizo para planta baja.
En los párrafos anteriores N es el número de crujías en el entrepiso
considerado. Una variable del método consiste en respetar los puntos 2 y 3,
pero determinar los momentos en las vigas equilibrando en cada nudo la suma
de momentos en los extremos de las columnas con momentos proporcionales a
la rigidez angular natural de cada viga.
MÉTODO DEL PORTAL:
El método aproximado más común para analizar las estructuras de edificios
sujetos a cargas laterales es el del portal. Debido a su sencillez,
probablemente se ha empleado más que cualquier otro procedimiento
aproximado para determinar las fuerzas internas producidas por carga de
viento en estructuras de edificios. Se dice que este método, que fue
expuesto por vez primera por Albert Smith en la publicación denominada
Journal of the Western Society of Engineers (abril, 1915), es satisfactorio
para edificios hasta de 25 pisos.
Deben formularse por lo menos tres hipótesis por cada marco o por cada
trabe. En este método, la estructura se considera dividida en pórticos o
marcos independientes, y se establecen los tres supuestos siguientes:
1. Las columnas se deforman de manera que en su punto medio se forma un
punto de inflexión.
2. Las trabes se deforman de modo que en su punto medio se forma un punto
de inflexión.
3. Las fuerzas cortantes horizontales en cada nivel están distribuidas
arbitrariamente entre las columnas. Una distribución que se emplea
comúnmente consiste en suponer que la fuerza cortante se reparte entre las
columnas según la siguiente relación: una parte para las columnas
exteriores y dos para las interiores.
Cada columna interior forma parte de dos marcos, en tanto que una columna
exterior sirve sólo para uno. Otra distribución común consiste en suponer
que la fuerza cortante V tomada por cada columna es proporcional al área de
piso que soporta. La distribución de cortante realizada mediante ambos
procedimientos sería la misma para un edificio con claros de igual tamaño,
pero en uno con claros desiguales, los resultados diferirían de los del
método del área de piso, dando probablemente resultados más reales.
En esta estructura existen 27 redundantes; para determinar sus valores se
ha formulado una hipótesis relacionada con la posición del punto de
inflexión en cada una de las 21 columnas y trabes. Se establecen, además,
tres supuestos en cada nivel respecto a la distribución de cortante en cada
marco, o sea, que el número de hipótesis para cortante es menor en una
unidad al número de columnas de cada nivel. Para la estructura se formulan
9 hipótesis de cortante, dando así un total de 30 con sólo 27 redundantes.
Se han establecido entonces más hipótesis que las necesarias, pero esto es
congruente con la solución (es decir, si sólo se usaran 27 y los valores
restantes se obtuvieran por estática, los resultados serian idénticos).
METODO DEL VOLADIZO
1..- Determine (en forma aproximada ) las relaciones en la base de las
columnas del marco mostrado en la figura 7-16ª. Suponga que las columnas
tienen áreas transversales iguales. Use para el análisis el método del
voladizo.
SOLUCION
Primero se insertan articulaciones en los puntos medios de las columnas y
trabes. Las posiciones de esos puntos se indican con las letras G a la L en
la figura 7 – 16a. El centroide de las áreas transversales puede
determinarse por inspección, figura 7 – 16b, o analíticamente como sigue:
X = xA = 0(A) +6(A) =3m
A A + A
La fuerza axial en cada columna es entonces proporcional a su distancia a
este punto. Una sección por las articulaciones H y K en el piso superior da
el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 7 – 16c. Note que la
columna a la izquierda del centroide debe estar a tensión y la situada a la
derecha a comprensión. Esto es necesario para contrarrestar el momento
respecto al eje neutro, tenemos que KN. Sumando momentos respecto al eje
neutro, tenemos:
+ M = 0; 30(2) – 3Hy – 3Ky = 0
Las incógnitas pueden relacionarse por triángulos semejantes, figura7 –
16c.
Hy = Ky o Hy = Ky
3 3
entonces: Hy = Ky =10 KN
Usando una sección del marco por las articulaciones en G y L, en la figura
7 – 16d.
+M = 0; 30 (6) +15(2) – 3Gy – 3L y = 0
Gy = Ly o Gy = Ly
como : 3 3
.
. . Gy = Ly = 35 KN
Cada parte del marco puede ahora analizarse usando los resultados
anteriores. Comenzamos en la esquina superior donde se aplica la carga ,
esto es en el segmento HCI, figura 7- 16ª. Aplicando las tres ecuaciones de
equilibrio. MI = 0, Fx = 0, Fy = 0, se obtienen los resultados para Hx, Ix
e Iy mostrados sobre el diagrama de cuerpo libre en la figura / -16f; HJG,
fiura7 –16g; KJL, figura 7 –16h; y finalmente las porciones Interiores de
las columnas, figura 7- 16i.
Líneas de influencia
Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que
se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes
o vivas y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo
dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá
sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto
en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos
variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que
colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos
máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio mas
complejo.
Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con
voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un
momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en
este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la
carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no
corramos el peligro de que nuestra estructura falle.
En este capítulo estudiaremos el método de las líneas de influencia para
colocar la carga viva o variable de tal manera que produzca efectos máximos
de corte, flexión, reacciones y deflexiones tanto para cargas puntuales
como para cargas distribuidas.
La línea de influencia es un grafico que define la variación de un esfuerzo
(corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de
la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella.
La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a
la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo
largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como
varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria
sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición.
La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos
de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la
función especifica simplemente multiplicando el valor de la línea de
influencia por el valor de la carga real.
Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes
grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con
cargas móviles.
Determinación de la línea de influencia:
La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan
una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una
carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre
la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se
encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se
puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la
carga y después se grafica. Otro método es encontrando la ecuación de la
línea de influencia y graficando.
Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente
viga:
Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada
distancia se calcula RA. Otro método es encontrando la ecuación de la
variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se
parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga
P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por
proporciones tenemos:
Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal
para RA.
Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se
multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga.
Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería:
Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del
cortante en A por el método de las secciones:
En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero
las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de
las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la
línea de influencia:
Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0 tenemos:
En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es
igual a la de la reacción en A. Note que la línea de influencia se hacer
para la convención positiva de los esfuerzos internos. Línea de influencia
para la reacción en B:
Línea de influencia para el momento en A:
Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.
Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2
Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego
partimos:
Para x
que en ella no está actuando la carga unitaria:
, de donde
Para x>L/2 se toma la sección A-C para equilibrio: Línea de influencia para
el cortante en C.
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Métodos Aproximados
Análisis de Estructuras
Jose Enriquez Rodriguez
