Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
4. METODA SILA Kako je ranije re~eno, stati~ki neodre|eni nosa~i su takvi nosa~i koje nije mogu}e rije{iti isklju~ivo iz jedna~ina ravnote`e. Razlog tome je to {to su kod stati~ki neodre|enih sistema rubni uvjeti postavljeni tako da nije mogu}e za svaki {tap odrediti presje~ne sile bar na jednom kraju {tapa, jer nema dovoljno rubnih uvjeta po silama. Umjesto njih postoje rubni uslovi po pomjeranjima. Metoda sila je metoda kojom se rje{avaju stati~ki neodre|eni nosa~i i u su{tini se zasniva na tome da se odre|eni rubni uvjeti po pomjeranjima izra`avaju eksplicitno posebnim jedna~inama iz kojih se dobivaju sile u vezama koje odgovaraju tim pomjeranjima. Dakle, metoda se zasniva na tome da se dati stati~ki neodre|eni sistem pretvara u stati~ki odre|eni, tako da se odre|eni broj rubnih uvjeta po pomjeranjima ukida na taj na~in {to se veze kojom se obezbje|uju rubni uvjeti zamjenjuju odgovaraju}im silama, koje su nepoznate. Ovako dobiveni sistem naziva se osnovni sistem i to mora biti stati~ki odre|eni nosa~. Jasno je da je broj ukinutih veza, odnosno nepoznatih sila, jednak stepenu stati~ke neodre|enosti, odnosno negativnoj vrijednosti stepena slobode kretanja. Osnovni sistem je, dakle, stati~ki odre|eni nosa~, koji u potpunosti odgovara zadatom stati~ki neodre|enom sistemu, izlo`en je istim uticajima (optere}enje, promjena temperature, slijeganje oslonaca itd.) i optere}en nepoznatim silama koje odgovaraju uklonjenim vezama. Uklonjeni rubni uvjeti za pomjeranja se opisuju jedna~inama, tako da se pomjeranja, koriste}i princip superpozicije, izra`avaju kao zbir pomjeranja uslijed djelovanja datog optere}enja i pomjeranja uslijed djelovanja nepoznatih sila. Ovakvih jedna~ina ima onoliko koliko je bilo suvi{nih rubnih uvjeta po pomjeranjima i nazivaju se jedna~ine kompatibilnosti. Na taj na~in se dobiva sistem od n linearnih algebarskih jedna~ina sa n nepoznatih. Rje{enja ovog sistema jedna~ina su nepoznate sile koje odgovaraju uklonjenim vezama. Sve preostale nepoznate presje~ne sile i reakcije se sada dobivaju iz uvjeta ravnote`e, jer se rje{ava stati~ki odre|en nosa~ optere}en datim optere}enjem i sra~unatim silama uklonjenih veza.
Gornji postupak }e se pojasniti na dva na primjera. Prvi primjer je prikazan na slici 4.1. Radi se o kontinuiranom dva puta stati~ki neodre|enom nosa~u. A
B
X1 X2
Slika 4.1.
Rubni uvjeti po pomjeranjima koje }emo izraziti eksplicitno su:
59
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
1. ugao zaokreta u ta~ki A je jednak nuli (uklje{tenje): Δ1 = 0 2.
vertikalno pomjeranje ta~ke B je jednako nuli: Δ 2 = 0
Umjesto ova dva uvjeta, eksplicitno su se mogla izraziti i neka druga dva rubna uvjeta po pomjeranjima, tj. odabrati druga~iji osnovni sistem. Pri odabiru osnovnog sistema jedini uvjet koji se mora po{tovati je da osnovni sistem mora biti stati~ki odre|en nosa~, tj. preostali rubni uvjeti za pomjeranja moraju obezbijediti nepomjerljivost sistema. Veze kojima su navedena pomjeranja sprije~ena zamjenjujemo odgovaraju}im silama: X 1 i X 2 i tako smo dobili osnovni sistem, koji je ekvivalentan zadatom sistemu. To zna~i da mo`emo navedene rubne uvjete po pomjeranjima izraziti i preko osnovnog sistema. 1. Ugao zaokreta u ta~ki A se mo`e sra~unati kao: Δ1 = Δ1P + Δ11 + Δ12 = 0
gdje je:
⎛ L N N 1 L M M 1 L T T 1 ⎞ ⎟ - ugao zaokreta ta~ke A uslijed Δ1 p = ∑ ⎜⎜ ∫ +∫ + ∫ k ⎟ EI GA ⎠ s =1 ⎝ 0 EA 0 0 S
s
s
s
djelovanja datog optere}enja na osnovnom sistemu - (3.53) Δ11 - ugao zaokreta ta~ke A uslijed djelovanja sile X 1 Δ12 - ugao zaokreta ta~ke A uslijed djelovanja sile X 2
Po{to je odnos sila i pomjeranja linearan mo`e se napisati: Δ11 = δ 11 ⋅ X 1 i
Δ12 = δ 12 ⋅ X 2
gdje su δ 11 ugao zaokreta ta~ke A uslijed djelovanja jedini~ne sile koja djeluje u pravcu i smjeru sile X 1 , a X 1 nepoznati momenat uklje{tenja, δ 12 je ugao zaokreta ta~ke A uslijed djelovanja jedini~ne sile koja djeluje u pravcu i smjeru sile X 2, X 2 je nepoznati intenzitet reakcije — nepoznata sila u uklonjenoj vezi. Sada imamo: Δ1 = δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + Δ1 p = 0
2.
Vertikalno pomjeranje ta~ke B je: Δ 2 = Δ 2 P + Δ 21 + Δ 22 = 0
gdje je:
Δ 2 p - vertikalno pomjeranje ta~ke B uslijed djelovanja datog
optere}enja na osnovnom sistemu Δ 21 - vertikalno pomjeranje ta~ke B uslijed djelovanja sile X 1 Δ 22 - vertikalno pomjeranje ta~ke B uslijed djelovanja sile X 2 Δ 21 = δ 21 ⋅ X 1 i Δ 22 = δ 22 ⋅ X 2
gdje su δ 21 vertikalno pomjeranje ta~ke B uslijed djelovanja jedini~ne sile koja djeluje u pravcu i smjeru sile X 1 , a δ 22 je vertikalno pomjeranje ta~ke B uslijed djelovanja jedini~ne sile koja djeluje u pravcu i smjeru sile X 2. Sada imamo:
60
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
Δ1 = δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + Δ1 p = 0 Δ 2 = δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + Δ 2 p = 0
Koriste}i Maxwell-Mohrov obrazac lako se mogu sra~unati vrijednosti ~lanova matrice metode sila: L L S ⎛ L S ⎛ L ⎛ L N 1 N 1 L M 1 M 1 ⎞ N 1 N 2 M 1 M 2 ⎞ N 2 N 2 M 2 M 2 ⎞ ⎟, δ 12 = δ 21 = ∑ ⎜ ⎟, δ 22 = ∑ ⎜ ⎟ + + + δ 11 = ∑ ⎜ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ EA EI EA EI EA EI s =1 ⎝ 0 s =1 ⎝ 0 s =1 ⎝ 0 s s ⎠ s s ⎠ s s ⎠ 0 0 0 S
s
s
s
s
s
s
Vektori slobodnih ~lanova se dobivaju prema jedna~ini (3.53). Na taj na~in se dobiva sistem od dvije jedna~ine sa dvije nepoznate X 1 i X 2. Nastavak prora~una se sastoji u rje{avanju proste grede optere}ene poznatim optere}enjem. Primjer 4.2.
X3
X3
X1
A1
X2 A2
X2
X1
Slika 4.2.
Na slici 4.2. je prikazan sistem kod kojeg su rubni uvjeti postavljeni tako da je mogu}e na}i reakcije veza sa okolinom i unutra{nje sile u jednom {tapu iz uvjeta ravnote`e. Me|utim, presje~ne sile u preostalim {tapovima nije mogu}e na}i, jer su rubni uvjeti za sve preostale {tapove zadati preko pomjeranja drugih {tapova. U su{tini problem se rje{ava na isti na~in. Jedina razlika je u tome {to se sada radi o unutra{njim vezama i unutra{njim silama. Stepen stati~ke neodre|enosti jednak je 3. Rubni uvjeti za pomjeranja koji }e biti uklonjeni glase: 1. Ugao zaokreta presjeka A 1 je jednak uglu zaokreta presjeka A 2 Δ1 = ϕ A1 − ϕ A2 = 0
2. Horizontalno pomjeranje presjeka A 1 je jednako horizontalnom pomjeranju presjeka A2 Δ 2 = u xA1 − u xA2 = 0
3. Vertikalno pomjeranje presjeka A 1 je jednako vertikalnom pomjeranju presjeka A2 Δ 3 = u yA1 − u yA2 = 0
61
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
Sli~no kao u prethodnom primjeru mogla se odabrati bilo koja ta~ka u kojoj }e se postaviti ovakve jedna~ine. Napominje se da ovdje nije bilo mogu}e uklanjati vanjske veze, jer tada ne bi bila obezbije|ena nepomjerljivost sistema. Veze koje su uklonjene zamijenjene su odgovaraju}im silama. U presjek A 1 Postavljeni su momenat, horizontalna i vertikalna sila, {to odgovara uglu zaokreta ϕ A1 , horizontalnom u xA1 i vertikalnom pomjeranju u yA1, respektivno. U presjek A 2 postavljene su sile istog intenziteta i pravca, ali suprotnog smjera, {to odgovara − A2 ,−u xA2 ,−u yA2 . Postavljanjem sila u parovima dobivaju su relativna pomjeranja: Δ1 , Δ 2 i Δ3 : Δ1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + Δ1P = 0 Δ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + Δ 2 P = 0 Δ 3 = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + Δ3 P = 0
gdje je Δ1 - relativni ugao zaokreta presjeka A 1 u odnosu na presjek A 2. Po{to se radi o krutom uglu ovaj ugao je jednak nuli. δ 11 je relativni ugao zaokreta navedenih presjeka uslijed istovremenog djelovanja para jedini~nih momenata u presjecima oko ta~ke A, δ 12 je relativni ugao zaokreta uslijed djelovanja para jedini~nih horizontalnih sila, δ je 23 relativno horizontalno pomjeranje presjeka A 1 u odnosu na presjek A 2 uslijed djelovanja para jedini~nih vertikalnih sila, itd. X 1 , X 2 , X 3 su nepoznate unutra{nje sile u ta~ki A. Rje{avanjem sistema jedna~ina dobivaje se ove nepoznate i nastavak rada se svodi na rje{avanje konzolnog stati~ki odre|enog nosa~a. Gornji sistem jedna~ina se mo`e napisati i u matri~nom obliku: δ ⋅ X + Δp
= 0
(4.1)
Jedna~ina (4.1) predstavlja op{ti oblik sistema jedna~ina metode sila pri rje{avanju stati~ki neodre|enih nosa~a optere}enih vanjskim optere}enjem. Vektor X je vektor nepoznatih sila, koje mogu biti unutra{nje ili vanjske, a vektor Δ P je vektor slobodnih ~lanova koji su jednaki pomjeranjima u pravcu i na mjestu uklonjenih veza od optere}enja, tj. na mjestu i u pravcu nepoznatih sila. Dimenzije ovih vektora su jednake stepenu stati~ke neodre|enosti nosa~a. Matrica δ naziva se matricom metode sile, koja, isto kao i kompletna jedna~ina (4.1) zavisi od izbora osnovnog sistema.
Po svojoj definiciji oslonci su nepomjerljive ta~ke. Me|utim, poznato je da se sve gra|evinske konstrukcije u stvarnosti temelje na tlu. Uslijed te`ine objekta i korisnog optere}enja neizbje`no dolazi do pomjeranja temelja (naj~e{}e vertikalnog, radi zbijanja tla), tako da se mo`e re}i da u stvarnosti ne postoje oslonci koji su nepomjerljivi. Ukoliko su pomjeranja oslonaca i konfiguracija nosa~a takvi da izazivaju deformacije nosa~a, tada se javljaju se unutra{nje sile. Drugim rije~Ima, ukoliko su pomjeranja takva da izazivaju pomjeranja kompletnog sistema kao krutog tijela, tada se ne pojavljuju sile uslijed slijeganja oslonaca. Takav je slu~aj kod stati~ki odre|enih nosa~a, te kod stati~ki neodre|enih nosa~a gdje svi oslonci u jednom pravcu imaju isto pomjeranje. Ina~e, princip je da su kru}e konstrukcije osjetljivije na pomjeranje oslonaca, jer velika krutost zna~i veliku silu pri malom pomjeranju. Po{to su 62
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
gra|evinske konstrukcije u principu krute, relativno malo pomjeranjr jednog oslonca u odnosu na drugi (diferencijalno slijeganje) mo`e izazvati velike napone u {tapovima. Pri prakti~nom projektovanju konstrukcija cilj projektanta konstrukcije je da oblikovanjem i dimenzioniranjem temeljne konstrukcije onemogu}i pojavu diferencijalnih slijeganja, odnosno da pomjeranja kompletne konstrukcije uslijed neminovnog slijeganja tla ispod objekta budu pribli`no ujedna~ena. Ukoliko se pomjeranja pojedinih oslonaca poznata, prora~un stati~ki neodre|enog nosa~a metodom sila je u osnovi isti. Jedina razlika je u odre|ivanju slobodnih ~lanova sistema jedna~ina metode sila. Pretpostavimo da se ra~una sistem bez optere}enja sa zadatim pomjeranjima oslonaca, kako je prikazano na slici 4.3.
c1
c2
c3
A B
C
X1
R 11
R 13
X2
R 21
R 23
Slika 4.3.
Pretpostavimo da su poznata vertikalna slijeganja oslonaca A, B i C: Sada je ugao zaokreta u ta~ki A jednak:
c1 , c2
i c3.
Δ1 = Δ1S + Δ11 + Δ12 = 0
gdje je prema jedna~ini (3.53):
3
Δ1S = −∑ R1i ci = − R11c1 − R13c3 . i =1
Vertikalno pomjeranje ta~ke B sada nije jednako nula, ve} rubni uvjet za ovo pomjeranje glasi da je vertikalno pomjeranje ta~ke B jednako c 2. Dakle: Δ 2 = Δ11 + Δ12 − R21c1 − R23c3 = c2
Sistem jedna~ina metode sila sada glasi: Δ1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 − Δ1S = 0 Δ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 − Δ 2 S = 0 3
Δ1S = −∑ R1i ci = − R11c1 − R13c3 ,
Δ 2 S = R21c1 + c2 + R23c3
i =1
Dakle, pri rje{avanju stati~ki odre|enih nosa~a uslijed djelovanja slijeganja oslonaca metodom sila postupak se sastoji u slijede}em: 63
Teorija linijskih nosa~a II
1. 2. 3.
4.
Metoda sila
Usvaja se osnovni sistem koji treba biti stati~ki odre|en. Zadata pomjeranja oslonaca nemaju uticaj na izbor osnovnog sistema. Tra`e se reakcije na osnovnom sistemu od djelovanja jedini~nih sila. Slobodni ~lan se ra~una kao rad tih reakcija na zadatim pomjeranjima sa negativnim predznakom. U slu~aju da je osnovni sistem odabran tako da je uklonjena veza koja odgovara zadatom pomjeranju, tada reakcija u toj vezi ne postoji. Zadato pomjeranje se u svom cijelom iznosu, pomno`eno sa -1, pojavljuje jedino u jedna~ini koja se odnosi na to pomjeranje. Dalji postupak je potpuno isti kao kada je sistem izlo`en uticaju optere}enja.
Sli~no kao i za slijeganje oslonaca, jedina razlika pri primjeni metode sila za prora~un presje~nih sila uslijed ravnomjerne ili neravnomjerne promjene temperature jeste prora~un slobodnih ~lanova. Prora~un slobodnih ~lanova se zasniva na MaxwellMohr-ovom obrascu. t0+∆t/2
D
A t0-∆t/2
B
C
Slika 4.4.
Za sistem izlo`en ravnomjernoj i neravnomjernoj promjeni temperature i osnovni sistem prikazan na slici 4.4. imamo: Δ1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + Δ1T = 0 Δ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + Δ 2T = 0 Δ 3 = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + Δ3T = 0 S Ls
Δt
s =1 0
hs
gdje je Δ iT = ∑ ∫ M iα t
ds +
S Ls
∑ ∫ N α t ds; i
t 0
i = 1,2,3
(4.2)
s =1 0
To zna~i da kada primjenjujemo metodu sila za ravnomjernu promjenu temperature, slobodni ~lan se ra~una tako {to se povr{ina dijagrama normalnih sila od djelovanja jedini~ne sile mno`i sa termi~kim koeficijentom i vrijedno{}u promjene temperature. Sile zatezanja i zagrijavanje su pozitivni. Pri neravnomjernoj promjeni temperature, za {tapove konstantne visine, slobodni ~lan se dobiva mno`enjem povr{ine dijagrama momenata uslijed djelovanja jedini~ne sile sa konstantom
α t
Δt h
. Umno`ak je pozitivan kada je deformacija savijanja od
64
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
momenta odgovara deformaciji od temperature (npr. pozitivan momenat odgovara zagrijavanju donje zone nosa~a, jer izaziva istezanje donjih vlakana). Efikasnost metode sila pri njenoj primjeni najvi{e zavisi od dobrog izbora osnovnog sistema. Da bi se sistem rije{io, dovoljno je da osnovni sistem bude stati~ki odre|en nosa~. Me|utim, da bi se dobio sistem jedna~ina metode sila osnovni sistem se mora vi{e puta rije{iti, tako da je jako bitno odabrati jednostavan osnovni sistem. Osnovni sistem se mo`e sastojati iz dva jednostavna nosa~a, {to je ~esto mnogo prakti~nije nego koristiti jedinstveni komplikovan osnovni sistem. U principu, pri izboru osnovnog sistema, treba izbjegavati trozglobne nosa~e i ina~e nosa~e koji u sebi sadr`e nulto polje za neku unutra{nju silu. Primjena metode sila za prora~un stati~ki neodre|enih nosa~a u poslednje vrijeme gubi na va`nosti. Kako je vidljivo iz gore navedenog, metodom sila se posti`e to da se rje{avanje stati~ki neodre|enih nosa~a svede na rje{avanje stati~ki odre|enih nosa~a, {to je u vrijeme ru~nog stati~kog prora~una bilo jako pogodno za mnoge standardne tipove nosa~a, jer su se sva iskustva ste~ena na stati~ki odre|enim nosa~ima mogla koristiti pri prora~unu. Me|utim, ova metoda nije pogodna osnova za razvoja softvera za prora~un, jer ju je te{ko standardizirati. Stoga je danas poznavanje metode deformacija od daleko ve}e va`nosti, jer je ona razvijena na principima koji su sli~ni principima na kojim je razvijena metoda kona~nih elemenata, koja je danas standard za analizu konstrukcija, bez obzira na njihovu slo`enost.
Nakon {to se izra~unaju presje~ne sile metodom sila, prora~un svih ostalih uticaja na stati~ki neodre|enim nosa~ima se mo`e izvr{iti kori{tenjem istog osnovnog sistema. Pomjeranje neke ta~ke se mo`e izra~unati superpozicijom pomjeranja te ta~ke uslijed djelovanja datog uticaja (optere}enja, temperaturne promjene ili slijeganja oslonaca) i sila u uklonjenim vezama koje su izra~unate rje{avanjem sistema jedna~ina metode sila. A
A
X1
X2 X3
Slika 4.5.
Pretpostavimo da je stati~ki neodre|en nosa~ rije{en pomo}u osnovnog sistema kako je prikazano na slici 4.5. i da je potrebno na}i vertikalno pomjeranje ta~ke A, te uticajne linije za presje~ne sile i vertikalno pomjeranje ta~ke A. Vertikalno pomjeranje ta~ke A jednako je: u yA = u yA + δ A1 X 1 + δ A2 X 2 + δ A3 X 3 0
(4.3)
65
Teorija linijskih nosa~a II
gdje je:
0 u yA
Metoda sila
vertikalno pomjeranje ta~ke A na osnovnom sistemu uslijed djelovanja optere}enja
δ A1 , δ A2 , δ A3 -
vertikalno pomjeranje ta~ke A na osnovnom sistemu uslijed djelovanja jedini~nih sila X 1 = 1.0, X 2 = 1.0, X 3 = 1.0 , respektivno
X 1 , X 2 , X 3 - sile u
uklonjenim vezama, sra~unate metodom sila
Na isti na~in se mogu dobiti i svi drugi potrebni uticaji, uklju~uju}i i uticajne linije za presje~ne sile i pomjeranja. Uticajna linija za momenat u ta~ki A se ra~una pomo}u slijede}eg izraza: " M A " =" M A "+ M A1" X 1"+ M A 2 " X 2 "+ M A3 " X 3 " 0
gdje je:
" M A " 0
uticajna linija za momenat u ta~ki A na osnovnom sistemu
M A1 , M A 2 , M A3 -
momenat u ta~ki A na osnovnom sistemu uslijed djelovanja jedini~nih sila X 1 = 1.0, X 2 = 1.0, X 3 = 1.0 , respektivno
" X 1" , " X 2 " , " X 3 " - uticajne linije za
sile u uklonjenim vezama.
Potpuno analogni izrazi se koriste za iznala`enje uticajnih linija za transverzalne i normalne sile. Vidljivo je da se pri ra~unanju uticajnih linija za presje~ne sile problem svodi na odre|ivanje uticajnih linija za sile u uklonjenim vezama. U osnovi postupak je isti kao kada je nosa~ optere}en stalnim optere}enjem. Matrica metode sila se odre|uje na potpuno isti na~in — premno`avanjem dijagrama momenata (i normalnih sila) dobivenih djelovanjem jedini~nih sila u uklonjenim vezama. Jedina razlika je u odre|ivanju vektora slobodnih ~lanova. Δ1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + δ 1P = 0 Δ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + δ 2 P = 0
(4.4)
Δ 3 = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + δ 3 P = 0
^lanovi
δ 1P , δ 2 P , δ 3 P sada
predstavljaju generalisana pomjeranja ta~aka u pravcu sila X 1 , X 2 , X 3 uslijed djelovanja jedini~ne pokretne sile. To zna~i da su ovi ~lanovi u funkciji polo`aja jedini~ne pokretne sile, pa samim tim i nepoznate X 1 , X 2 , X 3, {to zna~i da rje{enja ovog sistema jedna~ina predstavljaju uticajne linije za sile u uklonjenim vezama. Slobodni ~lanovi δ 1P , δ 2 P , δ 3 P se ra~unaju na osnovu Maxwell-ove teoreme o uzajamnosti pomjeranja, odakle slijedi da je pomjeranje u pravcu sile X 1 uslijed djelovanja pokretne jedini~ne sile jednako ugibnoj liniji dijela nosa~a po kojem se sila kre}e od djelovanja jedini~ne sile X 1=1.0 (vidi obja{njenje za uticajne linije za pomjeranja). Uticajne linije za pomjeranja na stati~ki neodre|enim nosa~ima se nalaze na isti na~in kao i uticajne linije za presje~ne sile: " u yA " =" u yA "+δ A1 " X 1"+δ A 2 " X 2 "+δ A3 " X 3 " 0
(4.5)
0 gdje je: " u yA " - uticajna linija za vertikalno pomjeranje ta~ke A na osnovnom sistemu, a zna~enje ostalih parametara je nepromijenjeno u odnosu na gornje jedna~ine.
66
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
Rje{avanje sistema jedna~ina gdje su slobodni ~lanovi promjenjivi predstavlja zahtijevan zadatak, posebno ako se radi o vi{e puta stati~ki neodre|enim nosa~ima. Stoga se u praksi jedino koriste uticajne linije za kontinuirane nosa~e koje se mogu efikasno odrediti pomo}u Klajperonovih jedna~ina.
U prakti~nom prora~unu, stati~ki neodre|eni nosa~i koji se naj~e{}e analiziraju su kontinuirani nosa~i. To posebno va`i ako se konstrukcija analizira na taj na~in da se rastavlja na niz jednostavnijih sistema. Kontinuirani nosa~ je ustvari jedan prav {tap koji se oslanja na vi{e oslonaca. Prema ovoj definiciji i prosta greda, konzola, pridr`ana konzola, te obostrano uklje{tena greda su, tako|e, vrsta kontinuiranih nosa~a, ali se obi~no pod pojmom kontinuirani nosa~ podrazumijevaju nosa~i oslonjeni na vi{e od tri oslonca.
Slika 4.6. Pridr`ana konzola, obostrano uklje{tena greda i kontinuirani nosa~i
Obzirom na u~estalost pojave kontinuiranih nosa~a u prakti~nom prora~unu, in`injeri su se trudili da prora~un kontinuiranih nosa~a na~ine maksimalno efikasnim. Kao najefikasnija metoda se pokazala metoda sila pri ~emu se za osnovni sistem bira niz prostih geda, kako je pokazano na slici 4.7. Posljedica toga je to da su nepoznate sile uvijek momenti savijanja nad osloncima.
L1
X0
1.0
L2
X1
L3
X2
Li
Xi-1
Li+1
Xi
Ln
Xi+1
Ln+1
Xn
M 0
M 1
1.0
67
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
M i−1
1.0
M i
1.0
M i+1
1.0
Slika 4.7. Kontinuirani nosa~ i jedini~ni dijagrami momenata
Matrica metode sila se dobiva na uobi~ajen na~in — premno`avanjem dijagrama momenata uslijed djelovanja jedini~nih sila. Ono {to je specifi~no za ovako odabran osnovni sistem je to {to je dijagram momenata od jedne jedini~ne razli~it od nule na samo dva polja i na tim poljima ima uvijek isti oblik — jedinicu na osloncu gdje jedini~ni momenat djeluju i nulu na ostalim osloncima. Na prikazanom primjeru na lijevom kraju se nalazi uklje{tenje. Nepoznati momenat u uklje{tenju }emo ozna~iti sa X0, kako bi op{te dobivene jedna~ine mogli koristiti i kada na lijevom kraju imamo zglob. Premno`avanjem prikazanih dijagrama momenata na slici 4.7. dobivamo: δ 00 = δ 10 =
L1 3 EI 1
L1 6 EI 1
; δ 01
=
; δ 11
=
L1 6 EI 1
L1 3 EI 1
; δ 02
+
= δ 03 = ... = δ 0i = δ 0 n = 0
L2 3 EI 2
δ 1i = ... = δ (i−2 )i = 0; δ (i−1)i =
; δ 12
Li 6 EI i
=
L2 6 EI 2
; δ ii
=
; δ 13
Li 3 EI i
;
= ... = δ 1i = δ 1n = 0
+
Li +1 3 EI i+1
; δ i( i +1)
=
;
Li +1 6 EI i+1
; δ i( i+ 2)
= ... = δ in = 0
;
M
δ 1n = ... = δ (n−2 )n = 0; δ ( n−1) n =
Ln−1 6 EI n−1
; δ nn
=
Ln−1 3 EI n−1
+
Ln 3 EI n
;
Slobodne ~lanove jedna~Ina metode sila dobivamo premno`avanjem dijagrama momenata od optere}enja sa dijagramima momenata od jedini~nih sila. Dijagram momenata od optere}enja predstavlja niz nezavisnih dijagrama momenata prostih greda. Premno`avanje dijagrama M i sa dijagramom momenata od optere}enja se svodi na premno`avanje samo na rasponima L i i Li+1: Li
Δ iP = ∫ 0
M P M i EI i
Li +1
+
∫ 0
M P M i EI i+1
(4.6)
Prvi integral u jedna~ini (4.6) predstavlja ugao zaokreta presjeka uz desni oslonac proste grede du`ine L i optere}ene datim optere}enjem, a drugi ugao zaokreta presjeka uz lijevi oslonac proste grede du`ine L i+1. Koriste}i Mohr-ovu analogiju uglovi
68
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
zaokreta uz oslonce su na konjugovanom nosa~u fiktivne reakcije, tako da se ~esto u literaturi ovi slobodni ~lanovi izra`avaju kao: Δ iP = Ri L + Ri D = Ri
(4.7)
Ove reakcije zavise jedino od zadatog optere}enja, raspona i momenta inercije, tako da se, za konstan moment inercije, mogu sra~unati za razna optere}enja i izraziti preko du`ine grede. Sada se i-ta jedna~ina metode sila mo`e napisati kao: Li 6 EI i
⎛ Li
X i−1 + ⎜⎜
⎝ 3 EI i
+
Li +1 ⎞ L ⎟⎟ X i + i+1 X i+1 + Ri = 0 3 EI i+1 ⎠ 6 EI i+1
(4.8)
Ukoliko uvedemo pojam fiktivne du`ine polja definisan kao koli~nik stvarne du`ine i proizvoda modula deformacija i momenta inercije grede u tom polju dobivamo op{tu jedna~inu metode sila za kontinuirani nosa~, gdje su nepoznate momenti iznad oslonaca kontinuiranog nosa~a:
(
)
L'i X i −1 + 2 L'i + L'i +1 X i + L'i +1 X i +1 + 6 Ri = 0
(4.9)
Jedna~ina (4.9) se naziva Klajperonova ili tromomentna jedna~ina. Koriste}i ovu jedna~inu direktno se dobivaju jedna~ine ~ijim se rje{avanjem dobivaju momenti u osloncima kontinuiranog nosa~a. U starijoj literaturi postoji veliki broj tablica sa rije{enim kontinuiranim nosa~ima, koje su, do pojave ra~unara, bile osnovno sredstvo za analizu konstrukcija. U dana{njim uslovima, pri prora~unu kontinuiranih nosa~a bitno je odrediti {eme optere}enja uslijed kojih se javljaju maksimalni tra`eni uticaji. Drugim rije~ima, potrebno je odrediti polo`aje zadatog pokretnog optere}enja pri kojem nastaje maksimalni uticaj (momenat u nekom presjeku, reakcija, ugib itd.). Naravno, ovo je mogu}e ustanoviti jedino ako su nam poznati oblici uticajnih linija za pojedine uticaje. Obi~no su kontinuirani nosa~i optere}eni stalnim optere}enjem koje se uniformno rasprostire po cijeloj du`ini nosa~a i pokretnim optere}enjem. Pokretno optere}enje mo`e biti ravnomjerno podijeljeno ili u vidu koncentrisanih sila. Ravnomjerno podijeljeno optere}enje mo`e biti konstantne ili promjenjive du`ine. Na slici 4.8. su prikazani oblici uticajnih linija za reakcije, momenat u polju i momenat nad osloncem za kontinuirani nosa~. Oblik ovih uticajnih linija je poznat svakom gra|evinskom in`injeru. Iz prikazanih uticajnih linija je jasno da je pokretno optere}enje, da bi se dobila maksimalna reakcija u nekom osloncu, potrebno postaviti u polja oko oslonca, a zatim na svako drugo. Istom {emom optere}enja se dobiva i minimalni moment nad osloncem. Za maksimalni moment u polju pokretno optere}enje se postavlja u to polje, a zatim u svako drugo. ”R1”
69
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
”M2” 2 ”MP”
Slika 4.8. Uticajne linije na kontinuiranom nosa~u
Dakle, prilikom prora~una kontinuiranih nosa~a potrebno je izvr{iti prora~un za vi{e {ema optere}enja. Za svaku {emu optere}enja se ra~unaju maksimalni uticaji u svakom presjeku i na taj na~in se dobiva tzv. anvelopa uticaja. Na slici 4.9. je prikazana tipi~na anvelopa momenata za kontinuirani nosa~. Pozitivni momenti su dobiveni preko {ema za maksimalni momenat u polju, a negativni preko {ema za minimalni moment nad osloncem. Donedavno su uticajne linije bile najefikasnije sredstvo za dobivanje pribli`ne anvelope uticaja. Naime, po definiciji anvelopa uticaja predstavlja maksimalni uticaj u svakom presjeku. To zna~i da anvelopa momenata predstavlja maksimalnu pozitivnu i negativnu vrijednost momenta u svakom presjeku od zadatog stalnog i pokretnog optere}enja. Na osnovu oblika uticajnih linija postavljaju se odgovaraju}e {eme optere}enja i vr{e se prora~uni kompletnog nosa~a za te {eme.
Slika 4.9. Anvelopa momenata na kontinuiranom nosa~u
Ukoliko unutar pokretnog optere}enja postoje koncentrisane sile, da bi se dobila ta~na anvelopa momenata potrebno je integrirati uticajne linije za momenat u svakom presjeku, {to je prakti~no nemogu}e izvesti. Razvojem memorije ra~unara, proizvo|a~i softvera za analizu konstrukcija su ovaj problem rije{ili na direktan na~in. Naime, kao ulazni podatak se zadaju vrijednosti intenziteta pokretnog optere}enja (koncentrisane sile ili ravnomjerno optere}enje) i njihov me|usobni polo`aj, koji mo`e biti zadat i trodimenzionalno. Potom se zadaje putanja kojom to optere}enje mo`e pro}i preko konstrukcije. Prora~un se vr{i tako da se zadata {ema pomjera po zadatoj putanji i za svaki polo`aj optere}enja se izvr{i prora~un kompletnog nosa~a. Softver pamti maksimalne pozitivne i negativne uticaje u svakom presjeku nakon svakog polo`aja optere}enja. Rastojanje izme|u prora~unskih polo`aja optere}enja se daje kao ulazni podatak i zavisi od veli~ine modela i memorije ra~unara. Naravno, ovakav postupak ima smisla jedino ako su koncentrisane pokretne sile tako velike da imaju znatan uticaj na dimenzioniranje konstrukcije (objekti preko kojih mogu pre}i te{ka vozila).
70
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
Kako je ranije re~eno, metoda sila je do pojave ra~unara bila naj~e{}e upotrebljavana metoda prora~una konstrukcija. U takvim uslovima najte`a faza prora~una je bila rje{avanje sistema jedna~ina, posebno za vi{estruko stati~ki neodre|ene nosa~e. Radi toga su razvijane metode kojima se rje{avanje sistema jedna~ina ili izbjegavalo ili pojednostavljivalo. METODA ELASTI^NOG TE@I[TA Cilj ove metode je da se formiraju takve jedna~ine metode sila gdje }e svi ~lanovi matrice, osim dijagonalnih, biti jednaki nuli. U op{tem slu~aju ovo se mo`e posti}i tako da se za odabrani osnovni sistem sra~una matrica metode sila i karakteristi~ni polinom te matrice, odnosno sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice. Ovakav pristup mo`e biti jako komplikovan u svojo primjeni. Me|utim, kod tri puta stati~ki neodre|enih nosa~a, koji su uklje{teni ili su dati u zatvorenoj formi bez zglobova, ovaj postupak se mo`e na sprovesti na relativno jednostavan na~in. Osnovni sistem opisanih stati~ki neodre|enih nosa~a se mogu dobiti uklanjanjem veza koje odgovaraju momentu, horizontalnoj i vertikalnoj sili. Ozna~imo horizontalnu silu sa X 1 , vertikalnu sa X 2 i momenat sa X 3, kao na slici 4.10. y X1 α
X3
X1
b
x
X3
X2 a
X2 X2
Slika 4.10.
Za ovakav osnovni sistem dobi}emo sistem jedna~ina: δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + Δ1P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + Δ 2 P = 0
(4.10)
δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + Δ 3 P = 0
Za ovakav sistem mo`emo napisati jedna~ine momentnih linija uslijed djelovanja jedini~nih sila: M 1 = − y; M 2 = x; M 3 = 1.0 . Uvr{tavaju}i ove funkcije u izraze za ~lanove matrice metode sila dobivamo:
∫
∫
∫
∫
∫
δ 11 = y 2 ds; δ 12 = − xyds; δ 13 = − yds; δ 22 = x 2 ds; δ 23 = xds
Cilj je postaviti ove sile na takav na~in da novi sistem jedna~ina bude oblika:
71
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
δ 11 X 1 + Δ1P = 0 δ 22 X 2 + Δ 2 P = 0 δ 33 X 3 + Δ 3 P = 0
To zna~i da polo`aj i nagib jedne od sila moraju biti takvi da budu zadovoljeni uslovi: δ 12 = 0; δ 23 = 0; δ 13 = 0 . Uzimaju}i u obzir oznake na slici 4.10. mo`emo napisati slijede}e jedna~ine za jedini~ne momente kada sile zauzmu `eljeni polo`aj: M 1 = −( y − b ) cos α + ( x − a )sin α ; M 2 = x − a; M 3 = 1.0 gdje su a i b - koordinate polo`aja elasti~nog te`i{ta, tj. ta~ke gdje treba postaviti nepoznate sile kako bi se dobila dijagonalna matrica metode sila, α - ugao djelovanja sile X 1 u odnosu na horizontalu. Ove tri veli~ine se dobivaju iz tri uslova: δ 12 = − ∫ ( x − a )[( x − a )sin α − ( y − b) cos α ]ds = 0;
∫ ( x − a )ds = 0; δ = − ∫ [( x − a )sin α − ( y − b )cos α ]ds =0 δ ( ) 0 − = − = − = ⇒ = x a ds xds a ds a a δ δ ∫ ∫ ∫ δ δ 23 = 13
23
23
33
33
∫
∫
sin α ( x − a )ds − cos α ( y − b )ds
δ 12
= δ 23 sin α − cos α (− δ 13 − bδ 33 ) = 0 ⇒ b = −
δ 13 δ 33
( y − b )( x − a )ds ∫ xyds − b ∫ xds − a ∫ yds + ab∫ ds ∫ = 0 ⇒ tan α = = ( ) − x a ds ∫ ∫ x ds − 2a ∫ xds + a ∫ ds 2
− δ 12 + tan α =
δ 13δ 23 δ 33
+
δ 22 −
δ 13δ 23
δ 33 δ 23δ 23
2
−
2
δ 13δ 23 δ 33
=
δ 13δ 23 − δ 12δ 33 2 δ 22δ 33 − δ 23
δ 33
Primjer 4.3. Pomo}u elasti~nog te`i{ta na}i dijagram momenata za dati sistem: 20 3.0
X1
X3
1.0
X2
3
3.0
3
δ 11 = 9.0, δ 21 = 13.5, δ 22 = 36.0, δ 13 = 4.5, δ 23 = 13.5, δ 33 = 6.0 a=
13.5 6
= 2.25 m; b = −
4 .5 6
= 0.75 m; tan α =
4.5 *13.5 − 13.5 * 6 36 * 6 − 13.5
2
= 0.6
72
Teorija linijskih nosa~a II
0.5145
Metoda sila
90
1.029 0.75
X1
2.25 X2
1.5435
δ 11 =
0.5145
2
3 3
δ 22 =
2.25
+
+
1.029
0.75
3
2
⋅ 2 1.029 2 ⋅1.2 1.54352 ⋅1.8 + + = 2.647 3
3
3
+ 0.75 ⋅ 0.75 ⋅ 3 = 5.625; δ 33 = 6.0 3 3 1.5 ⋅ 90 ⋅ (2 ⋅1.029 + 0,25725) Δ1P = − 90 ⋅ 3 ⋅ 0.25725 = −17.36 ⇒ X 1 6 − 1.5 ⋅ 90 ⋅ 0.25 Δ2P = − 90 ⋅ 3 ⋅ 0.75 = −219.38 ⇒ X 2 = 39 kN 2 90 ⋅ 1.5 Δ3 P = − − 90 ⋅ 3 = −337.5 ⇒ X 3 = 56.25 kNm 2 M A = 56.25 − 39 ⋅ 2.25 + 6.56 ⋅ 0.5145 = −28.13 kNm
= 6.56 kN
M B = 56.25 − 39 ⋅ 0.75 − 6.56 ⋅ 0.257 = 25.31 kNm M C = 56.25 + 39 ⋅ 0.75 − 6.56 ⋅1.029 − 90 = −11.25kNm M D = 56.25 + 39 ⋅ 0.75 + 6.56 ⋅1.5435 − 90 = 5.62 kNm
Kod simetri~nih nosa~a ugao α je jednak nuli, ako se sile zadaju u pravcu i okomito na os simetrije. U prikazanom primjeru to bi se moglo posti}i ako se sile zadaju pod uglom od 45 o, jer se osa simetrije nosa~a nalazi pod tim uglom. Za nesimetri~ne nosa~e postoji mogu}nost da se sile stave u elasti~no te`i{te bez njihovog rotiranja. U tom slu~aju je δ 12 ≠ 0 . DVOJNE SILE Ovim postupkom se sistem jedna~ina metode sila rastavlja na dva sistema sa manjim brojem nepoznatih, {to olak{ava pronala`enje nepoznatih sila. Osnovni uslov za primjenu ovog postupka je da nosa~ mora biti simetri~an. Optere}enje mo`e biti zadato proizvoljno. Su{tina postupka je da se i optere}enje i nepoznate zadaju kao zbir simetri~nih i antimetri~nih komponenti. Posmatrajmo nosa~ dat na slici 4.11. Zadato optere}enje se lako mo`e rastaviti na simetri~no i antimetri~no. Osnovni sistem mora biti tako|er simetri~an. Pri tome se nepoznate sile daju u parovima, tako da jedan par daje simetri~ni, a drugi antimetri~ni dijagram momenata. Na taj na~in se dobivaju samo simetri~ni i antimetri~ni dijagrami, koje treba premno`avati. Jasno je da se 73
Teorija linijskih nosa~a II
Metoda sila
premno`avanjem simetri~nog i antimetri~nog dijagrama dobiva nula, {to za posljedicu ima dva odvojena sistema jedna~ina: u jednom su nepoznate sile koje daju simetri~ne dijagrame momenata, a u drugom sile koje daju antimetri~ne dijagrame. P q H
M
P/2
q2
P/2
H/2
X2
X3
H/2 H/2 P/2
M2
M/2 X3
X1
X2
H/2 q/2
M/2 X6
X5
X1
P/2
q/2
M/2
X5
X4
X4
Simetrične sile
Antimetrične sile
Slika 4.11. Postupak dvojnih sila δ14 = δ15 = δ 16 = δ 24 = δ 25 = δ 26 = δ 34 = δ 35 = δ 36 = 0
⎡δ11 δ12 δ 13 ⎤ ⎧ X 1 ⎫ ⎧ Δ1 P ⎫ ⎢δ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 22 δ 23 ⎨ X 2 ⎬ + ⎨Δ2 P ⎬ = 0 21 ⎢ ⎥ ⎢⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥⎦ ⎩⎪ X 3 ⎪⎭ ⎩⎪ Δ3 P ⎭⎪
⎡δ 44 δ 45 δ 46 ⎤ ⎧ X 4 ⎫ ⎧Δ4 P ⎫ ⎢δ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 55 δ 56 ⎨ X 5 ⎬ + ⎨ Δ5 P ⎬ = 0 54 ⎢ ⎥ ⎢⎣δ 64 δ 65 δ 66 ⎥⎦ ⎪⎩ X 6 ⎪⎭ ⎪⎩Δ6 P ⎭⎪
Sada su reakcije u osloncima A i B jednake: R AV = X 1 + X 4
R BV = X 1 − X 4
R AH = X 2 + X 5
R BH = X 2 − X 5
M A = X 3 + X 6
M B = X 3 − X 6
X6
74
