Descripción: Solucionario de la sexta edicion, Hibbeler. Completo en ingles.!
Hibbeler 8a edDescripción completa
Hibbeler 8a edFull description
Descripción: Mecánica de materiales
Descripción: Mecánica de Materiales - Russell C. Hibbeler
Descripción: Mecánica de mat
Solucionario del Hibberler de Mecanica de materiales Sexta Edición en Inglés. Está completo :)
DE
MECÁNICA MATERIALES
"
MECANICA DE MATERIALES SE XTA
E DI C I ÓN
R. C. Hibbeler TRADUCCIÓN José de la Cera Alonso Profesor Tilul ar, Universidad Autónoma Metropolitana
Virgilio González y POZO Facultad de Qu ímica, Universidad Nacional Autónoma de Méx ico REVISIÓN TÉCNICA Alex Elías Zuñiga Ingenierio ["dl/slrial Mecánico ¡IISI;11110 Tecnológico lle Pacllll cG
Maestría en Ingeniería Mecánica
In srirwo Tecllológico y de Estudios Superiores de MOlllerrey Campus MOlllerrey Doctorado de Ingeniería Mecánica University of Nebraska, Linco/n, EUA Miembro del Sislema Nacional de II/vestigadores - SNI Director de ¡l/gel/ería Mecánica I11$1i11110 Tec nológ ico y de Estudios SI/per iores de Monterrey Campus Afollle ,./"ey
PEARSON
Edueación
®
México' Argentina' Brasil ' ColombIa ' Costa Rln • Chile ' Ecuador Espaiia • Guatemala ' Panamá · Perú · Puerto Rico ' Uruguay ' Venezueb
R. C. Hlbbelcr Mecánica de materiales
PEA RSON EDUCACIÓN. M ~xico. 2006 ISBN: 970·26·0654-3
ISBN 970-26-0654-3 Impreso en M éxicolPril!ted il! M exico.
12 34567890- 080706
-PEARSON
E,IIH'a('lÚn
®
AL ESTUDIANTE Con el deseo de que esta obra estimulará el interés en la ingeniería mecánica y servi rá como una guía aceptable para su compresión.
PREFACIO El propósito principal de este libro es proporcionar al lector una presentación cla ra y minuciosa de la teoría y aplicaciones de la ingeniería mecánica; para esto se basa en la explicación del comportamiento fisico de los materiales sometidos a carga a fi n de realizar un modelo de este comportamiento que sea a su vez,el modelo de la teoría. Se hace énfasis en la importancia de satisfacer los requisitos del eq uilibrio, de la compatibi lidad de la deformación y del comportamien to del material.
Características del texto Las siguientes son las características más importantes del texto. Las secciones "Procedimiento de aná lisis" , "Punto!'; importantes" y " Repaso del capítulo" proporcionan una guía para la resolución de problemas y un resumen de los conceptos. • Fotografías. Se utilizan numerosas fotografías a lo largo de l libro pa ra explicar cómo se aplican los principios de la mecánica de materiales a situaciones de l mundo real. En algunas secciones, se muestran cómo los materiales se deforman o fallan bajo carga para así proporcionar un entendimiento conceptual de los términos y co nceptos. • Problemas. Los problemas propuestos son de aplicación fácil, media y difícil. Algunos de ellos requieren de una solución. con ayuda de la computadora. Se ha puesto un cuidado especial en la presentación y en sus soluciones. éSlas han sido revisadas en su total idad para garantizar su claridad y exactitud numérica. • Ilustraciones. En varias parles del libro se han agregado figuras y fotografías que proporcionan una cla ra referencia a la naturaleza tridimensional de la ingeniería. Hemos tratado de iluslrar conceplO!'; com plicado!'; o ah!';tractos pa ra instruir y poder motivar a los lectores a través de lo visual. •
Resumanés.
Contenido El libro está dividido en 14 capítulos. El capítulo 1 comienza con un repaso de los conceptos importantes de la estática. seguido por definiciones formales de los esfuer.lOS normales y cortantes, así como por un análisis del esfuerzo normal en miembros cargados axialmente y del esfuerzo cortan te promedio causado por el cortan te directo. En el ca pítu lo 2 se definen la deformación unitaria normal y cort ante. yen el capítulo 3 se presenta una descripción de algunas de las propiedades mecánicas de los materiales. Los capítu los 4, 5 Y6 contienen, respectivamente, explicaciones de la carga axial, la torsión y la flexión. En cada uno de esos capítu los se considera el comportamiento tan 10 li neal-c lásti-
vii
viii •
PREFACIO
ca como plástico. También se induyen temas relacionados con concentraciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortan te transversal se describe en el capítulo 7, junto con una descripción de los tubos con pared del gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El capítulo 8 muestra un repaso parcial del material presentado en los capítulos anteriores, y se describe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. En el capítulo 9 se presentan los conceplos de transformación de estados de esfuerzo mulliaxial. En forma parecida, el capítulo 10 describe los métodos de transformación de deformación unitaria, que incluyen la aplicación de varias teorías de la falla. El capítulo 11 es un resumen y repaso más del material anterior, describiendo aplicaciones al diseño de vigas y ejes. En el capítulo 12 se cubren varios métodos para calcular deflexiones de vigas y ejes. También se incluye una descripción del cálculo de las reacciones en esos miembros, cuando son estáticamente indeterminados. El capítulo 13 presenta una descripción del pandeo en columnas y, por último, en el capítulo 14 se reseñan el problema del impacto y la aplicación de varios mélodos de energía para calcular detlexiones. Las secciones del libro que contienen material más avanzado se identifi can con un asterisco (*). Si el tiempo lo permite, se pueden incluir algunos de esos temas en el curso. Además, este material es una referencia adecuada de los principios básicos\ cuando se usen en otros cursos, y se puede usar como base para asignar proyectos especiales. Método alternativo. Algunos profesores prefieren tratar primero las transformaciones de esfuerzos y deformaciones unitarias, antes de estudiar las aplicaciones específicas de la carga axial, la torsión, la flexión, y la fuerza cortante. Una manera posible para hacerlo así es tratar primero el esfuerzo y sus transformaciones que se ven en los capítulos 1 y 9, seguido por la deformación unitaria y sus transformaciones que se ven en el capítulo 2 y en la primera parte del capítulo 10. El análisis y problemas de ejemplo en estos capítulos se han formu lado para hacer esto posible.Además, los conjuntos de problemas se han subdividido de manera que este material pueda ser cubierto sin un conocimiento previo de los capítulos intermedios. Los capítulos 3 al8 pueden ser entonces estudiados sin pérdida de continuidad.
Características especiales Organización y enfoque. El contenido de cada capítulo está organizado en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas específicos, problemas de ejemplo ilustrativos y un conjunto de problemas de tarea. Los temas de cada sección están agrupados en subgrupos definidos por títulos. El propósito de esto es presentar un método estructurado para introducir cada nueva definición o concepto y hacer el libro conveniente para referencias y repasos posteriores. Contenido de los capítulos. Cada capítulo comienza con una ilustración que muestra una aplicación del material del capitulo. Se proporcionan luego los "Objetivos del capítulo" que proporcionan una vista general del tema que será tratado.
PR EfACIO
Procedimientos de análisis. Se presenta al final de varias secciones del libro con el objetivo de dar al lector una revisión o resumen del material, así como un método lógico y ordenado a seguir en el momento de aplicar la teoría. Los ejemplos se resuelven con el método an tes descrito a fin de clarificar su aplicación numérica. Sin embargo, se entiende que una vez que se tiene dominio de los principios relevantes y que se ha obtenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podrá desarrollar sus propios procedimientos para resolver problemas. Fotografías. Se utilizan numerosas fotogra fías a lo largo de todo el libro para explicar cómo se aplican los principios de la mecánica a situaciones del mundo real. Puntos importantes. Aquí se proporciona un repaso o resumen de los conceptos fundamen tales de una sección y se recalcan los temas medulares que deban tomarse en cuenta al aplicar la teoría en la solución de problemas. Entendimiento conceptual. Por medio de fo tografías situadas a lo largo de todo el libro, se aplica la teoría de una manera simplificada a fin de ilustrar algunas de las características conceptuales más importantes que aclaran el significado fís ico de muchos de los términos usados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas incrementan el interés en el tema y preparan mejor al lector para entender los ejemplos y a resolver los problemas. Problemas de tarea. Múltiples problemas de este libro muestran situaciones reales encontradas en la práctica de la ingeniería. Se espera que este realismo estimule el interfts por la ingeniería mecánica y proporcione la habilidad de reducir cualquiera de tales problemas desde su descripción física hasta el modelo O rep resentación simbólica sobre los cuales se aplican los principios de la mecánica . A lo la rgo del texto existe aproximadamente igual número de problemas que utilizan tanto las unidades SI como las FPS. Además, en cada conjunto de problemas se ha intentado presentar éstos de acuerdo con el grado de dificultad en forma creciente. Las respuestas a todos los problemas, excepto cada cuatro, se encuentran listados al final del libro. Para advertir al lector de un problema cuya solución no aparezca en la lista mencionada, se ha colocado un asterisco (*) antes del número del problema. Las respuestas están dadas con tres cifras significativas. aún cuando los datos de las propiedades del material se conozcan con una menor exactitud. Todos los problemas y sus soluciones se han revisado tres veces. Un símbolo "cuadrado" (. ) se usa para identificar problemas que requieren de un análisis numérico o una aplicación de computadora. Repaso del capítulo. Los puntos clave de l capftulo resumen en las nuevas secciones de repaso, a menudo en listas con viñetas. Apéndices . Contienen temas de repaso y lisias de datos tabulados. El apéndice A proporciona información sobre centroides y momentos de inercia de áreas. Los apéndices B y C contienen datos tabulados de perfiles estructurales y la deflexión y la pendiente de varios tipos de vigas y
•
ix
X
•
PREfACIO
flechas. E l apéndice D, llamado " Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería", contiene problemas típicos junto con sus soluciones parciales comúnmente usados en exámenes de ingenieros profesionales. Estos problemas también pueden usarse como práctica y repaso en la preparación de exámenes de clase. Revisión de la exactitud . Esta nueva edición ha sido sometida a un riguroso escrutinio para garantizar la precisión del texto y de las páginas a las que se hace referencia. Además de la revisión del autor de todas las figuras y material de texto, Scotl Hendricks del Instituto Politécnico de Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Técnicos Laurel, examinaron todas las páginas de prueba así como todo el manual de soluciones. Suplementos • Manual de soluciones para el profesor. El autor preparó este manual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en tres ocasiones. • (ourse compass. Caurse compass es una solución en línea ideal para ayudarle a dirigir su clase y a preparar conferencias, cuestionarios y exámenes. Con el uso de course compass, los profesores tienen un rápido acceso a los suplementos electrónicos que le penniten incluir ilustraciones completas e im ágenes para sus presentaciones en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones electrónicas (por segu ridad en archivos individua les), y ayuda a exhibir sólo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor no difunda estas respuestas en niguna dirección electrónica no protegida. Para saber más acerca de Course compass, visi te www,pearsoneducacion.netlcoursecompass o diríjase a su representante local de Peaeson Educación o envíe un mail a [email protected]
Reconocimientos A lo largo de los años este texto ha incorporado muchas de las sugerencias y comentarios de mis colegas en la profesión docente. Su estímulo y buenos deseos de proporcionar una crítica constructiva son muy apreciados y espero que acepten este reconocimiento anónimo. Mi agradecimiento se extiende también a los revisores de las varias ediciones previas.
B. Aa l am~ San Francisco State University R. Alvaeez, Hofstra University C. Ammerman, Colorado Scllool of Mines S. Biggers, C/emson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook , University ofWisconsiT/- MadisoT/ J. Easley, University of Kansas A. Gilat, O/¡io State University 1. Elishakof~ Florida Atlantic Universily H. Huntley, University of Michigan-Dearbom
PREFACIO
1. Kayser, Lalayette Col/ege 1. Ligon, Michigan Technological University A. Marcus, University 01 Rhode lsland G. May, University 01 New Mexico D. Oglesby, University 01 Missouri-Rolla D. Quesnel, University 01 Rochester S. Schiff, Clemson University C. Tsai, Florida Atlantic University P. Kwon, Michigan State University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University T. W. Wu, The University 01 Kentucky 1. Hashemi, Texas Tech University A. Pelegri, Rutgers-The State University 01 New Jersey W. Liddel, Allbllrn University at Montgomery Quisiera dar las gracias particularmente a Scott H endricks del Instituto Politécnico de Virginia quien revisó minuciosamente el texto y el manual de soluciones de este libro. También hago extensiva mi gratitud a todos mis alumnos que han usado la edición previa y han hechos comentarios para mejorar su contenido. Por último quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny) durante todo el tiempo que me ha tomado preparar el manuscrito para su publicación. Apreciaría mucho si usted en cualquier momento tiene comentarios o sugerencias respecto al contenido de esta edición. Russell Charles Hibbeler [email protected]
•
xi
CONTENIDO
1
3.
Esfuerzo 3
Propiedades mecánicas de los materiales 85
1.1
Introducción
1.2
Equili brio de un cuerpo deforma ble 4
1.3
Esfuerzo 22 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 Esfuerzo cortante promedio 32 Esfuerzo permisible 49
1.4
1.5
1.6
3 3.1 3.2 3.3
3.4 3.5 3.6
Pruebas de tensión y compresión 85 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria 87 Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles 91 Ley de Hooke 94 Energía de deformación 96 Relación de Poisson 107
3.7
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante 109 ·3.8 Falla de materiales por flujo plástico y por fatiga 112
,
~
p,. 2
"-
.,'
r ". ~ .
r
.. ..1 .
2.1 2.2
j
•
I '
4 Carga axial 121
Deformación unitaria 69
Deformación 69 Deformación unitaria 70
4.1 4.2
Principio de Saint-Venant 121 Deformación elástica de un miembro cargado axia lmente 124 xiii
xiv
.
COf'ITENIOO
4.3 4.4
Principio de superposición 138 Miembro estáticamente indeterminado ca rgado axialmente 139 4.5 Método de las fuerzas para el análisis de miembros cargados axialmente 145 4.6 Esfuerzo térmico 154 4.7 Concentraciones de esfuerzos 162 "'4.8 Deformación axial inelástica 168 "'4.9 Esfuer.lo residual 173
6.4 6.5 "'6.6 "'6.7 "'6.8
6.9 "'6.10 "'6.11
La fórm ula de la flexión 295 Flexión asimétrica 313 Vigas compuestas 324 Vigas de concreto reforzado 331 Vigas cu rvas 333 Concentraciones de esfuerzos 343 Flexión inelástica 352 Esfuerzo residual 361
5 Torsión 185 Deformaciones por torsión de una flecha circular 185 5.2 La fórmula de la torsión 188 5.3 Transmisión de potencia 197 5.4 Ángulo de torsión 206 5.5 Miembros estáticamente indeterm inados cargados con pares de torsión 221 "'5.6 Flechas sólidas no circulares 228 "'5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 231 5.8 Concentración de esfuerzos 242 "'5.9 Torsión inelástica 245 "'5.10 Esfuerzo residual 252
Esfuerzo cortante en miembros rectos 373 La fÓ rmula del esfuerzo cortante 375 Esfuerzos cortantes en vigas 378 Flujo cortante en miembros compuestos 392 Flujo cortante en miembros de pared delgada 401 "'7.6 Centro de cortante 406
6 Flexión 263 6.1 6.2 6.3
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 263 Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 272 Deformación por flexión de un miembro recto 291
8 Cargas combinadas 423 8.1 8.2
Recipientes de presión de pared delgada 423 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 429
CONTENIDO
9 Transformación del esfuerzo plano 453 Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano 458
9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cort ante máximo en el plano 462 El cfrculo de Mohr (esfuerzo plano) 476 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión 485 Variaciones de esfuerzos a través de una viga
9.4 9.5 9.6
xv
11
Transformación de esfuerzo 453 9.1 9.2
•
Diseño de vigas y ejes 557 11.1 11.2 · 11.3 · ll A
Base para el diseño de vigas 557 Diseño de vigas prismáticas 559 Vigas totalmen te esforzadas 573 Diseño de ejes 577
prismática 486
9.7
Esfuerzo cortan te máximo absoluto 492
12 Deflexión de vigas y ejes 587
10 Transformación de deformáción unitaria 505 10.1
Deformación unitaria plana 505
10.2 Ecuaciones generales de transformación de deformación unitari a plana 507 *10.3 Cfrculo de Mohr (de formación unitaria plana) 514 *10.4 Deformación unitaria cortante máxima absoluta 522 10.5 Rosetas de deformación 525 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales 530 · 10.7 Teorías de la falla 542
12.1 La curva elástica 587 12.2 Pendiente y desplazam ien to por integración 591 ·12.3 Funciones de discontinuidad 609 · 12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área 620 12.5 Método de superposición 634 12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterminados 641 12.7 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de integración) 642 · 12-8 Vigas y ejes estáticamente indeterm inados (método del momento de área) 647 12.9 Vigas y ejes estáticamente indetenninados (método de la superposición) 653
Carga crítica 669 Columna ideal con soportes articulados 672 Columnas con diversos tipos de apoyos 678 La fórmula de la secante 689 Pandeo inelástico 697 Diseño de columnas para carga concéntrica 704 *13.7 Diseño de columnas por carga excéntrica 716
14 Métodos de energía 727 14.1 Trabajo externo y energía de deformación 727 14.2 E nergía de deformación elástica para varias clases de carga 732 14.3 Conservación de la energía 746 14.4 Carga de impacto 752 *14.5 Principio del trabajo virtual 762 *14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras 766 *14.7 Método de las fuerlas virtuales aplicado a vigas 774 *14.8 Teorema de Castigliano 784 *14.9 Teorema de Castigliano aplicado a armaduras 786 *14.10 El teorema de Castigliano aplicado a vigas 790
A. A.I A.2 A.3 AA
Propiedades geométricas de un área 798 Centroide de un área 798 Momento de inercia de un área 801 Producto de inercia de un área 805 Momentos de inercia de un área respecto a ejes inclinados 807 A.5 El círculo de Mohr para momentos de inercia 809 B. Propiedades geométricas de los perfiles estructurales 815 C. Pendientes y deflexiones en vigas 823 D. Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería 825 Respuestas 845 Índice 863
DE
MECÁNICA MATERIALES
Los pernos usados para las conexiones de esta estructura de acero están sometidos a esfuerzos_ En este capftulo veremos cómo los ingenieros diser'\an esas conexiones y sus sujetadores.
CAPiTULO
1
Esfuerzo
OBJETIVOS DEL CAPiTULO
En este capítulo repasaremos algunos principios importantes de la estática y mostraremos cómo se usan para determinar las cargas internas resultantes en un cuerpo. Después. presentaremos los conceptos de esfuerzo normal y esfuerzo cortante y se estudiarán las aplicaciones específicas del análisis y diseño de los miembros sometidos a una carga axial o a un cortante directo.
1.1
Introducción
La mecánica de materiales es una fama de la mecánica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerza in /e mas que actúan dentro del cuerpo. Esta discipli na de estudio implica también calcular las deformaciones del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mismo cuando está sometido a fuerzas externas. En el diseño de cualquier estruct ura o máquina, es necesario primero, usar los principios de la estática para determinar las fuerzas que actúan sobre y dentro de los diversos miembros. El tamaño de los miembros, sus detlexiones y su estabilidad dependen no sólo de las cargas internas, sino también del tipo de material de que están hechos. En consecuencia, una determinación precisa y una compresión básica del comportamiento del material será de importancia vital para desarrollar las ecuaciones necesarias usadas en la mecánica de materiales. Debe ser claro que muchas fórmulas y reglas de diseño, tal como se definen en los códigos de ingeniería y usadas en la práctica, se basan en los fundamentos de la mecánica de materiales, y por esta razón es tan importante entender los principios de esta disciplina.
,
4 • CApiTU LO 1 Esfuerzo
Desarrollo histórico. El origen de la mecánica de materiales data de princi pios del siglo XVII, cuando Galileo llevó a cabo experi mentos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos materiales. Sin embargo. para alcanzar un entendimiento apropiado de tales efectos fue necesario establecer descripciones experimentales precisas de las propiedades mecánicas de un material. Los métodos para hacer esto fueron considerablemente mejorados a principios del siglo XV III. En aquel tiempo el estudio tanto experimental como teórico de esta materia fue emprend ido, pri ncipalmente en Francia, por pe rsonalidades como SaintVenant, Poisson, Lamé y Navier. Debido a que sus investigaciones se basaron en aplicaciones de la mecánica a los cuerpos materiales, llamaron a este estudio "resistencia de materiales". Sin embargo, hoy en día llamamos a lo mismo "mecánica de los cuerpos deformables" o simplemen te, " mecánica de materiales". En el curso de los (lños, y después de q ue muchos de los problemas fundamentales de la mecánica de materi ales han sido resueltos, fue necesario usar m... temáticas avanzadas y técnicas de computación para resolve r problemas más complejos. Como resultado. esta disciplina se extendió a otras áreas de la mecánica moderna como la teoría de la elasticidad y la teoría de la plasticidatl. La investigación en estos campos con ti núa, no sólo para satisfacer las demandas de solución a prot>le mas de ingeniería de vanguardia, sino también para justificar más el uso y las limitaciones en q ue se basa la teoría fundamental de la mecánica de materiales.
1.2
Equilibrio de un cuerpo deformable Debido a que la está tica juega un papel ese ncial tanto en el desarro llo como en la aplicación de la mecánica de materiales, es muy importan te tener un buen conocimiento de sus principios fun damentales. Por esta razón repasaremos algunos de esos principios q ue serán usados a lo largo del texto.
Idealización de una fuena conce ntrad·~'''''''_ _''''L
,
---
-~
~
c·~
G
•• =..;¡ -
t·, ...(s)
Idealización de una carga lillCalmcme disuibuida
Fig.l·l
Fuerza d.
Cargas e xternas . Un cuerpo puede estar sometido a diversos tipos de cargas externas; sin embargo, cualquiera de éstas puede clasificarse como fuerza de supe rfic ie o cómo fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1. Fuerzas de superficie. Como su nombre lo indica, las fuenas de superficie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de o tro. En todos los casos, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos. En particular si esta área es pequeña en comparación con el área tOlal del cuerpo, enlonces la fuerza superficial puede idealizarse como una sola fu ena concentrada, que es aplicada a un pI/litO sobre el cue rpo. Por ejemplo, esto podría hacerse para representar el efeclo del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga sobre ésta. Si la carga superfic ial es aplicada a lo largo de un área estrecha, la carga puede idealizarse como una carga linealmente distribuida, w(s). Aq uí la carga se mide como si tuviese una intensidad de fuerza/longit ud a lo largo del área y se represen ta gráficamente por una serie de flec has a lo largo de la línea s. Lafuena resultante FR de w(s) es equivalente al área bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante actúa a través del centroide e o celltro geométrico de eSla área. La carga a 10 largo de la longitud de una viga es un ejemplo típico en el que es aplicada a menudo esta idealización.
SeCCióN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 5
Fuerza de cuerpo. Una fuerza de cuerpo se desarrolla cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo sin contacto físico directo entre los cuerpos. Ejemplos de esto incluyen los efectos causados por la gravitación de la TIerra o por su campo electromagnético. Aunque las fuer.las de cuerpo afectan cada una de las partículas que fo rman el cuerpo, esas fu erzas se representan normalmente por una sola fuerza concentrada actuando sobre el cuerpo. En el caso de la gravitación, esta fuerza se llama el peso dcl cuerpo y actúa a través del centro de gravedad del mismo. Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarrollan en los soportes o puntos de contacto entre cuerpos se llaman reacciones. En problemas bidimensionales, es decir, en cuerpos sometidos a sistemas de fu erzas coplanares. los soportes más comúnmente encontrados se muestran en la tabla 1-1. Observe cuidadosamente el símbolo usado para representar cada soporte y el tipo de reacciones que ejerce en su miembro asociado. En genera l, siem pre puede determinarse el tipo de reacción de soporte im aginando que el miembro unido a él se traslada O gira en una dirección parliculM. Si el soporre impide la tra...tacilín en una dirección dada, entonces ""a fuerza debe desarrollarse sobre el miembro en esa dirección. Igualmeme, si se impide una rotación, debe ejercerse un momento sobre el miembro. Por ejemplo, un soporte de rodillo sólo puede impedir la traslación en la dirección del contacto, perpendicular o normal a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fu erza normal F sobre el miembro en el punto de contacto. Como el miembro puede girar libremente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un momento sobre el miembro.
Muchos elementos de máquinas son conectados por pasadores para permitir la rotación librc en sus conexiones. Esos soportes ejercen una fuerl.a sobre un miembro, pero • no un momento.
TABLA 1-1 Tipo de conexiún
Cable
Reacción
Una incógnilll: F
Tipo de conexión
Reacción
F~.
FJ
Pa.ador externo
Dos incógnitas:
Pasador intemo
Dus incógnitas: Fr F,
Empotramiento
Tres incógnilas:
,
11
F Rodillo
Una incógnila: F
'1"
F/,J Soporte liso
Una incógnÍla: F
F~.
Fr M
6 • CAPiTULO 1 Esfuerzo
Ecuaciones de equilibrio. El equilibrio de un miembro requiere un balance defuerzas para impedir que el cuerpo se traslade o tenga movimiento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un bafance de momentos para impedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse matemáticamente con las dos ecuaciones vectoriales:
(1-1 )
Aquí, L F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y ¡ Mo es la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistema coordenado x, y , z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y momento pueden resolverse en componentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse en form a escalar como seis ecuaciones, que son :
,
"LF ~ O "LMy = O
( 1-2)
A menudo, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo puede representa rse como un sistema de fuerzas coplanares. Si es éste el caso y las fuerzas se encuentran en el plano x-y, entonces las condiciones para el equi librio del cuerpo pueden especificarse por medio de s6lo tres ecuaciones escalares de equilibrio; éstas son: l:Fx
=
~Fy =
'2.Mo
=
O O
(1-3)
O
En este caso, si el punto O es el origen de coordenadas., en tonces los momentos estarán siempre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicular al plano que contiene las fuerzas. La correcta aplicación de las ecuaciones de equilibrio requiere la especificación completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre el cuerpo. La mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es dibujando el diagrama de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el diagrama de cuerpo libre está dibujado correctamente, los efectos de todas las fuerzas y momentos aplicados serán tomados en cuenta cuando se escriban las ecuaciones de equilibrio.
SECCiÓN 1.2
Equilibrio de un cuerpo deformable •
F,
L sección
F, ("
F, (b)
Fig.1-2
Cargas internas resultantes. Una de las aplicaciones más importantes de la estática en el análisis de problemas de la mecánica de materiales es poder determinar la fuerza y momento resultantes que actúan dentro de un cuerpo y que son necesa rias para mantener unido al cuerpo' cuando éste está some tido a cargas exte rnas. Por ejemplo, considere el cuerpo mostrado en la figura 1-2a, que es mantenido en equilibrio por las cuatro fu erzas externas.* Para obtener las cargas internas que aclúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario usar el método de las secciones. Esto requiere hacer una sección im agina ria o hcorte" a través de la región donde van a determ inarse las cargas internas. Las dos partes del cuerpo son)eparadas y se dibuja un diagrama de cuerpo libre de una de las partes, figu ra 1-2b. Puede verse aquí que existe realmente una distribución de la fuerza interna que actúa sobre el área "expuesta" de la sección. Esas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el material adyacente de la parte inferior. Aunque la distri bución exacta de la carga interna puede ser desconocida , podemos usar las ecuaciones de equilibrio para re lacionar las fuerzas externas sobre el cuerpo c0l11a fucr:.e:a y mumenfU r e:mlWl'lIes de Ip distribución , FR y M Ro. en cualquier plinto específico O sobre el área seccionada, figura 1-2c.Al hacerlo así, note que FR actúa a través del punto O, aunq ue su valor calculado no depende de la localización de este punto. Por otra parte, M Ro' sí depende de esta localización, ya que los brazos de momento deben extenderse de O a la línea de acción de cada fuerza externa sobre el diagrama de cuerpo libre. Se mostrará en partes posteriores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del área seccionada , y así lo consideraremos aquí a menos que se indique otra cosa. Además, si un miembro es largo y delgado, como en el caso de una barra o una viga, la sección por considerarse se loma generalmente perpelUlicufar al eje longitudinal del miembro. A esta sección se le llama sección transversal.
· EI peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeño y. por ta nto. despreciable en comparación con las otras cargas.
F, ("
7
8 • CAP[TULO 1 Esfuerzo
Momento de torsión
T
MRO,~~~~~~-----~l... . . Fuernl :,~ '=~ normal Nr ~~~~
,:
o
:
: Momento nexionante
F,
~~~~~~
,,
.
,R
,,
: Fuerta
(
~
O
M
: cortante
'
!y
F, 'o)
(d)
Fig. 1-2 (cont.)
Tres dimensiones. Veremos después en este texto cómo relacionar las cargas resultantes, FR YMRo' con la distribución de fuerza sobre el área seccionada y desarrollaremos ecuadones que puedan usarse para el análisis y diseño del cuerpo. Sin embargo, para hacer esto deben considerarse las componentes de FR YMRO' actuando normal o perpendicularmente al área seccionada y dentro del plano del área, figura 1-2d. Cuatro tipos diferentes de cargas resultantes pueden entonces definirse como sigue: Fuerza normal, N. Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Ésta se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a empujar o a jalar sobre los dos segmentos del cuerpo. Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos segmentos del cuerpo resbalen uno sobre el otro. Momento torsionante o torca, T. Este efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segmento del cuerpo con respecto al otro. Momento flexionante, M. El momen to fl exionante es causado por las cargas externas que tienden a fl exionar el cuerpo respecto a un eje q ue se encuentra dentro del plano del área. En este texto, advierta que la representación de un momento o una torca se muestra en tres dimensiones como un vector con una flecha curva asociada. Por la regla de la mano derecha, el pulgar da el sentido de la fl echa del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotación (torsión Oflexión). Usando un sistema coordenado x,y,z,cada una de las cargas anteriores puede ser determinada directamente de las seis ecuaciones de equilibrio aplicadas a cualquier segmento del cuerpo.
SECCIÓN 1.2 Equ ilibrio de un cuerpo deformable • 9
sección
F,
F,
.....
~
y
FlIcr.w
Vconnme
_____I
1Q Momento
P~
O.
F, (. )
-"~----_J
r,
nexiolllll1le ... ., N
F~=
~I
(h)
Fig. 1·3
Cargas coplanarcs. Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas caplanares, figura l·3a. entonces sólo existen en la sección camponentes de fuerza normal, de fuerza cortanle y de momento flex ionante. figura 1-3b. Si usamos los ejes coordenados X.y. ¡. con origen en el pu nto O como se muestra en el segme nto izquierdo. entonces una solución directa para N se puede obtener aplicando l: Fx = O. y V se puede obtener directamente de r Fy = O. Finalmente. el momento flexiona n te M o se puede determinar directamente sumando momentos respecto al punto O (el eje z),! Mo = 0, pa ra eliminar los momentos causados por las incógnitas NyV.
PUNTOS IMPORTANTES • La mecánica de materiales es un estudio de la relación entre las cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas internas dentro del cuerpo. • Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como cargas distribuidas o cargas de superficie concemradas, o bien cuma fuerzas de cue/po que actúan sobre todo el volumen del cuerpo. • Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resflltante que tiene una magnitud igual al área bajo el diagrama de carga y una posici6/l que pasa por el cemroide de esa área. • Un soporte produce una fuerza en una dirección particular sobre su miembro correspondiente si ésta impide Iraslaci6n del miembro en esa d irección y él produce un IIIOlllelltO de par sobre el miembro si él impide /lIIa rOlación • Las ecuaciones de equilibrio ~ F = O Y ~ M = O deben ser satisfechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento acelerado o que gire. • Al aplicar las ecuaciones de equ ilibrio. es importante d ibujar primero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder tomar en cuenta todos los térm inos en las ecuaciones. • El método de las secciones se usa para determinar las cargas internas resultantes que actúan sobre la superficie del cuerpo seccionado. En general. esas resultantes consisten en una fuerza normal, una (uerza cortante. un momento torsionante y un momento fIexionante.
Para disci"iar los miembros de este marco de edificio. es necesario primero encontrar las cargas internas en varios punlOS a lo largo de su longitud.
10 • CAPITU LO 1 Esfuerzo
PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS El método de las secciones se usa para detenninar las cargas internas resultantes en un punto localizado sobre la sección de un cuerpo. Para obtener esas resultantes, la aplicación del método de las secciones requiere considera r los sigu ientes pasos. Reacciones en los soportes. • Decida primero qué segmento del cuerpo va a ser considerado. Si el segmento tiene un soporte o conexión a otro cuerpo, entonces ames de que el cuerpo sea seccionado. es necesario determinar las reacciones que actúan sobre el segmento escogido del cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones necesarias de equ ilibrio para obtener esas reacciones. Diagrama de cuerpo libre. • Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de flexi ón, los momentos de torsión y las fuerzas que aclúan sobre el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imaginario por el cuerpo en el punto 'donde van a detenninarse las cargas internas resultantes. • Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o dispositivo mecán ico. la sección es a menudo tomada perpendicularmente al eje longitudinal del miembro. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos "cortados" e indique las resultantes desconocidas N. V. M Y T en la sección. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto que representa el cen tro geométrico o centroide del área seccionada.
• Si el miembro está sometido a un sistema coplanar de fuerzas. sólo N, V Y M actúan en el centroide. • Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroide y muestre las componentes resultantes que actúan a lo largo de los ejes. Ecuaciones de equilibrio. • Los momentos deben sumarse en la sección, respecto a cada uno de los ejes coordenados donde actúan las resultantes. Al hacerlo así se eliminan las fuerzas desconocidas N y V Y es posible entonces determinar directamente M (y T). • Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da un valor negativo para una resultante. el sentülo direccional supuesto de la resultante es 0p"esto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.
Los siguientes ejemplos ilustran numéricamente este procedimiento y también proporcionan un repaso de algunos de los principios impo rt antes de la estática.
SECCiÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
• 11
EJEMPLO Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C de la viga mostrada en la figura 1-4a.
A
B
(., Fig.l-4
Solución Este problema puede ser resuelto de la manera más directa considerando el segmento CB de la viga, ya que entonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas.
Reacciones en el soporte.
Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpendicular al eje longitudinal de la viga, obtenemos el diagrama de cuerpo libre del segmento CB mostrado en la figura 1-4b. Es importante mantener la carga distribuida exactamente donde está sobre el segmento hasta después que el corte se ha hecho. Sólo entonces debe esta carga reemplazar~e por una sola fuerza resultante. Note que la intensidad de la carga distribuida en C se determina por triángulos semejantes, esto es. de la figura 1-4a, w /6 m = (270 N/ m) /9 m, w = 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al área bajo la curva de carga (triángulo) y actúa a través del centroide de esta área. Así. F = t (180 N j m)(6 m) = 540 N, que actúa a 1/3 (6 m) = 2 m de C, como se muestra en la figura 1-4b. Ecuaciones de equilibrio.
540 N
----------
,b,
Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob-
tenemos -Ne = O Ne = O
+1
L F, = O;
Ve - 540N = O
540N -Me - 540N(2m) = O
Resp.
Me = -lOSON'm
Resp.
Ve
L+IMe=O;
135 N 540 N
Resp.
=
El signo negativo indica que Me actúa en dirección opuesta a la mostrada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema usando el segmento AC, obteniendo primero las reacciones en el soporte A, que son dadas en la figura 1-4c.
oo,¡. (t-- - __ ~-- -=,,-
r\c 364SN.m( t LU"m~C+N, i
1215N :
'., m·'·C:0.5
!TI
180N/m
12 •
CApITULO 1 Esfuerzo
EJEMPLO D e term ine las cargas internas resultan tes que actúan sobre la sección transversal en C de la flecha de la máquina mostrada en la figura loSa. La flecha está soportada por chumaceras en A y B, que ejercen sólo fuerzas verticales sobre la flecha.
1-
f---t ----l, ,
!
'.
e 200 mm -+rl-:::-I.,-+-=---i 50 mm
(800N / m)(O.I50m)= J20N
225 N
800 N/m
D
225 N
I
,8
- - 0.275 m
--t-;O~.1~2<'=mcl~
"
50 mm
(b)
(.)
Fig.1-5
Solución Resolveremos este problema usando el segme nto AC de la flecha.
40N "
18.75 N
~!==:zr--H-1;...,!'e A
L
i
O.02~ ~ve..e
0.250 m
(O)
Reacciones en el sopor/e. En la figura l -sb se muestra un diagrama de cuerpo libre de toda la flecha . Como el segmento AC va a ser con· siderado, sólo la reacción en A liene que ser considerada. ¿Por qué? L+ 2. M8 = O;-A y(O.400 m) + 120 N(O.125 m) - 225 N(O.1OO m) = O
A y = -18.75 N
El signo negativ.o para A l' indica que ésta actúa en sentido opuesto al most rado sobre e l diagrama de cuerpo libre.
Diagrama de cuerpo libre. Si realizamos un carie imaginario perpendicu lar al eje de la fl echa por C. obtenemos el diagrama de cuerpo libre del segme nto AC mostrado e n la figura l-5e. Ecuaciones de equilibrio. '±'~F=O· ., ,
+1
~
,
F =
Ne
o·,
=
O
Resp.
- 18.75 N - 40N - Ve = O
Ve = -58.8 N \+~
Me = O;
Me
+ 40 N(0.025 m) + 18.75 N(0.250 m) Me = -5.69N·m
Resp. = O
Resp.
¿Qué indican los signos negativos de Ve y Me? Como ejercicio, calcule la reacción en B y trate de obtener los mismos resultados usando el segmento CBD de la flecha.
SECCiÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
I I
EJEMPLO El montacargas en la figura 1-60 consiste en la viga AB y eñ las poleas unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre ta sección transversal en e si el motor está levantando la carga W de 500 lb con velocidad constante. Desprecie el peso de las poleas y viga.
6 i
(. )
A
.
0.5 pie
500 lb .... N e Me
4,5 Pies----=-!
Ve
Hg. 1-6
500 lb
(b)
Solución La manera más directa de resolver este problema es seccionar el cable y la viga en e y luego considerar todo el segmento izquierdo.
Diagrama de cuerpo libre.
Vea la figura 1-6b.
Ecuaciones de equilibrio.
+ Nc
.±¡. L F.r = O:
500 lb
+1
-500 lb - Ve = O
O; \+ ¡ Me ~ O; ¿ Fy
~
= O
Nc = - 500 lb
500 lb (4.5 pies) - 500 lb (0.5 pies) M e = -2000 lb· pie
Resp.
Ve = -500 lb
+ Me
Resp. = O
Resp.
Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados considerando el segmento de viga AC, es decir, retire la polea en A de la viga y muestre las componentes de la fuerza de 500 lb de la polea actuando sobre el segmento de viga AC.
•
13
l
14 • CAPíTULO 1 Esfuerzo
EJEMPLO Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7a. Suponga que las juntas en A . B. C. D y E están conectadas por pasadores.
i
1500 lb
FSC :=6200lb
: - - --
3 pies
L
L-/--t~:-.o» p;,~
:
6 p;o>
=4
-+- 6200 lb
/' ' t F IJD
/ =4650 lb
("
,
(b)
Solución
B
FBA = 7750 lb
E, '" 2400 lb
!(6 piesX300 lb/pie)" 900 lb
(o)
$
_-,--
1 Ex" 6200 lb
Reacciones en IQs soportes. Consideraremos el segmento AG para el análisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra en la figura l-7b. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En particular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que sólo dos fuerzas actúan en él. Por esta razón la reacción en C debe ser horizontal tal como se muestra. Como BA y BD son también miembros de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas F 8.4 Y F oo. Diagrama de cuerpo libre. Usando el result ado para F 8.4, la sección izquierda AC de la viga se muestra en la fi gura 1-7d.
Aplicando las ecuaciones de equi librio al
Ecuaciones de equilibrio. segmento AG, tenemos
(d)
..:G. ¡ F.r = O;
7750 lb (~) + NG = O Ne = - 6200 lb
+t
- 1500 lb
¡ Fy = O;
+
7750Ib(i) - Ve = O
Ve = 3150 lb
Fíg.l-'
1+ ¡
Me = O;
Me - (7750 Ib)(i) (2 pies) Me
Resp.
=:
6300 lb· pie
Resp.
+ 1500 Ib(2 pies)
= O
Resp.
Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmento CE.
SECCiÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 15
EJEMPLO Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en B de l tubo mostrado en la figura 1-&1. El lubo tiene una masa de 2 kg /m y está sometido a una fuerza vertical de 50 N Y a un par de momento de 70 N . ro en su extremo A . El tubo está empotrado en la pared en C. So lución
El problema se puede resolver considerando el segmento AB. que no implica las reacciones del soporte en C.
D iagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, Z se fijan en B y el diagrama de cuerpo libre del segmento AB se muestra en la figura 1-8b. Las componentes de fuerza y momento resultantes en la sección se supone que actúan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por el cefllroidedel área transversal en B. El peso de cada segmento de tubo se calcula como sigue:
(.)
W' D = (2 kgfm )( O.5 m)(9.81 N/ kg) = 9.81 N WAD = (2 kgfm )(1.25 m )(9.81 N/kg) = 24.525 N Estas fuerzas actúan por el centro de gravedad de cad<1 segmento.
Ecuaciones de equilibrio. equilibrio. obtenemos·
Aplicando las seis ecuaciones escalares de
l:Fx=O;
(F, ), = O
l:Fy=O;
(F,),= O
l:F~=O;
(F,), -" 9.81 N - 24.525 N-50 N = O
Resp. Resp.
( F8 ): = 84.3 N
¿ (M. ), = O, (M,), + 70 N· m-50
Rcsp.
(0.5 m) - 24.525 N (0.5 m) - 9.81 N (0.25 m) = O
(MB).r
=
-30.3 N · m
Resp.
¿(M,), = O, (M. ), + 24.525 N (0.625 m) + 50 N (1.25 m ) = O ¿(M.), = O;
(MB)y = -77.8N·m
Resp.
(M. ), = O
Resp.
¿Qué indican los signos negativos de (M B).r Y(MB)y? Note que la fuerza no rma l N B = (FB)y = O, mientras que la fuerza corta nte es VD = Y(0}2
+
es T B = ( M B ))"
(84.3 )2 = 84.3 N. Además, el momento to rsionante =
77.8 N . m y el mome nto flex ionan te es M B =
V(30.3l'+(0) In = 30.3 N· m. - La magnitud de cada momento respecto a un cjc es igual a la magnitud de cada fue rza por la distancia perpendicular del eje a la linea de acción de la fuerza. La dirección de cada momento es detenninada usando la regla de la mano de recha. con momentos positivos (pulgar) dirigidos a 10 largo de los ejes coordenados posilivos.
(b)
Fig. J·8
16 • CApITULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS 1-1. Determine la fuerza normal interna resullanle que actúa sobre la sect:ión transversal por el punto A en cada columna. En (a),el segmento BC pesa ISO lb/ pie y el segmento CD pesa 250 lb/ pie. En (b). la columna tiene una masa de 200 kg/ m.
1-3. Determine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos B y C.
'kN
5 klb
200 mm
6kN
F1
f
6 kN
3m
200 mm
Prob.I-3
4 .5 kN
I
m
- 1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas resultantes en el miembro en (a) la sección a'a y (b) la seco ción b·b, cada una de las cuales pasa por el punto A. La carga de 500 lb está aplicada a lo largo del eje centroidal del miembro.
!
•
b
JO" / (.)
(b)
Prob.!-I
-1'-
5OOlb ....
-
r-----I
1·2. Determine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos e y D. los cojinetes de soporte en A y B permiten el libre giro de la necha.
b
I
-+ 500lb
,
, Probo 1-4
1-5. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal a través del punto D del miembroAB. 50mm
50mm
-1 [-'\-11-'/11-
-
300 mm
I .150mm ------1-8
70N'm
IS0 mm Prob.I· 2
Prob.I_5
PROBLEMAS
-
1·6. La viga AB está articu lada por un pasador en A y soportada por un cable BG. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto D.
•
17
1-9. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre [a sección transversal por el punto C. La unidad enfriadora tiene un peso total de 52 klb Ysu centro de gravedad en G.
1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas imemas resultantes que actúan en el punto E. F
AB
1
8 pies
1200 lb
D~es
e
D.~~~~;;;;;;~:;::::::::::~~E e
O.2Pi~~
I
A
1-4pies-l-6Pies~
1--- 3 pies -
B
- + - - 3 pies-
-,
Probs. 1-617 Prob.l·9
- 1-8. La viga AB está empotrada en la pared y tiene un peso uniforme de 80 lb/ pie. Si el gancho soporta una carga de 1500 lb, determine las cargas inlemas resultantes que
actúan sobre las secciones transversales por los puntos CyD.
1·10. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura. . 1·11. Determine las cargas in ternas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura.
"'-
del
¡-,~-::--,---20 pies -
A
- - - - + --
l0 PiCS~
,~==~Ir.:;I=_~ B
S pies.., C~
D
T
I
..... D
lB
I~ E
~2 pies-l:-::+-2 pies 1 pie 1 pie
G 1 pi
1500 lb 150 lb
Prob. 1-8
Probs. 1-10111
18 • CAPíTULO 1 Esfuerzo *1-1Z. Detennine las cargas internas resultantes que actúan sobre (a) la sección a-a y (b) la sección boboCada sccción pasa por el centroide en C.
1-15. La carga de 800 lb está siendo izada a velocidad constante usando el motor M que tiene un peso de 90 lb. De termine las cargas inlernas resultantcs que actúan sobre la sección tra nsversal por el punto B e n la viga. La viga tie ne un peso de 40 Ib/pie y está empotrada e n la pared en A. *1·16. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por los puntos e y D en el problema 1-15.
A~~~ 1-"
,;".--1-4 ,;,,-1-3 ,;;'"+-3,;,,+--4 0.25 pie
Probo 1-12
1-13. Dete rmine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección trallsvers.11 pol"'el punto e en la viga. La carga D tie ne una masa de 300 kg Y está siendo i7.ada por el LUotor M con velocidad constante.
P robs. 1·15116
1·14. Dete rmine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto E de la viga en el problema 1-13. 1-17_ Determine las cargas inte rnas resul ta ntes que actúan sobre la sección transversal en el punto B.
f-- 2m - +--2m-+-- 2mi 60 lb/ pie
A
I
8 3 pies+- --
- - 12 pies- - - - - - I
Probo 1-17
Probs.l-J3I14
- --.. .-
PROBLEMAS
:idad )() lb.
!l.
1·18. La viga soporta la carga distribuida mostrada. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. Suponga que las reacciones en los soportes A y B son verticales.
le ac-
1·19. Determine las cargas internas resultantes que ac· túan sobre la sección transversal por el punto D en el problema 1·18.
.,0La a pa-
,.
1.5
·'n AJL
J
~ 3m
•
19
1-21. La perforadora de vástago metálico está sometida a una fuerza de 120 N en su mango. Determine la magni· tud de la fuerza reactiva en el pasador A yen el eslabón corto Be. Determine también las cargas internas resultan· tes que actúan sobre la sección transversal que pasa por D en el mango. 1-22. Resuelva el problema 1·21 para las cargas internas resultantes sobre la sección transversal que pasa por E y en una sección transversal del eslabón corto Be.
kN/m
1¡ j ~~ 3m
B
JL
3m~
300
Probs. J.l.8119
· 1·20. La charola de servicio T usada en un avión está soportada en cada {l/do por un brazo. La charola está conectada por un pasador al brazo en A. y en B tiene un pasador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranura en los braws para poder plegar la charola con tra el asiento del pasajero al frente cuando aq uella no está en uso.) Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección tra n"sversal por el punto C del brazo cuando el brazo de la charola soporta las cargas mostradas.
1·23. El tubo tiene una masa de 12 kg/ m. Considerando que está empotrado en la pared en A. determi ne las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en B. Desprecie el peso de la palanca CD.
12"
'N
e ac-
Probs. ¡.2lJZ2
ISO mm
T
.,
lile
W Prob.I-20
Probo 1·23
20 • CAPITULO 1 Esfuerzo
. 1-24. La viga principalAB soporta la carga sobre el ala del avión. Las cargas consisten en la reacción de la rueda de 35 000 lb en e, el peso de 1200 lb de combustible en el tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de 400 lb del ala con centro de gravedad en E. Si está empotrada al fuselaje en A, determine las cargas internas resultantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a través de la viga.
1-26. La fl echa está soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B Yestá sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas a la flecha. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre [a sección transversal en el punto C. Las fuerzas de 300 N actúan en la dirección - z y las fuerzas de 500 N actúan en la dirección +x. Los cojine· tes en A y B ejercen sólo componentes.\' y z de fuerza sobre la flecha .
x
y Prob. I-26
Probo 1-24
1-25. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto B delletrero. El poste está empGlrado en el suelo y una presión uniforme de 7 lb/piel actúa perpendicularmente sobre la cara del letrero.
1-27. Una manivela de prensa tiene las dimensiones mostradas. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en A si se aplica una fuerzn vertical de 50 lb a la manivela como se muestra. Suponga que la manivela está empotrada a la flecha en B.
J'
Probo )·25
Probo 1·27
PROBLEMAS
"'1 -28. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso.
•
21
1·31. La barra curva AD de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano vertical, determine las carg2S internas resultantes que aclúan sobre la sección transversal por el punto B. SI/gerencia: la distancia del centroide e del segmento A 8 al punto O es OC - [2r sen(8f2)J/ 8. 8 A
8 Ó
I
D
Probo ¡-zg P robo l-31
1·29. El vástago del perno está sometido a una tensión de 80 lb. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto C.
- J-32. La barra curva AD de radio r tiene un peso IV por unidad de longiiud. Si ésta se encuentra en un plano horizontal. determine las cargas internas resultanles que aclúan sobre la sección transversal por el pUnlO 8. SI/gerencia: la distancia del centroidc e del segmenlo A 8 al punto O es CO = 0.9745r.
00-
8
Probo 1-29
1·30. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en los puntos B y e del miembro curvo.
P robo )·32
) -33. Se muestra en la figura un elemento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que dN/dO "" V, dV/ dO= - N, dM/d8 '" - TydT/d8=M.
A
T+dT
)<(' ""'b
Prob.I-30
Prob.1-33
22 • CApiTULO 1 Esfuerzo
1.3
Esfuerzo
F,
,, . / (,)
Fig.I-9
En la sección l.2 mostramos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura }-9. representan los efectos resultantes de la distribllción de fllerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. figura 1-9b. La obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área sombreada de AA mostrada en la figura 1-IOa. Al reducir AA a un tamaño cada vez más pequeño. debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Consideraremos que el material es cOlltilluo. esto cs. que consiste en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos. en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintOS.Además, el material debe ser cohesivo, es decir. que todas sus partes están unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero muy pequeña ~F. actuando sobre su área asociada AA . se muestra en la figura l-lOil. Esta fuerza como todas las otras. tendrá una dirección únic
F,
Hg. 1-10
SECCiÓN 1 .3
Esfuerzo •
Esfuerzo no rmal. La intensidad de fuerzél, o fuerza por área un itaria, actuando normalmente a aA se define como el esfu erzo normal, u(sigma) . Como 6.F= es nom1al al área. entonces. úan
ura rza ten-
0'nenas lOa. ~ace r
¡rarelistriestar Ades esIOnes. área odas
n ge'be la ) que
u _= lím
~A-O
-
6.F~
6.A
(1-4)
Si la fue rza o esfuerzo normal "jala" al elemento de área /lA como se muestra en la figura l-lOa. se le llama esfuerzo de tellsióll , mientras que si "empuja" a dA se le llama esfuerzo de eompresiólI. Esfuerzo cortante. La intensidad de fuerza. o fuerza por área unitaria, act uando tangente a 6.A se llama esfu erzo cortante, T (tau). Aquí tenemos las componentes de esfuerzo cortante. T z.r =
_ /l Fr hm -;--
..I.A-O '-loA
r
T: y
6.F,
= ..I.~~O /lA
(1-5)
El subíndice z en u; se usa para indicar la llirección de la línea normal hacia fue ra, q ue especifica la orientación del área /l A figu ra 1- 11. Para · las componentes del esfuerzo cortante, T,.r Y Tw se usa n dos subíndices. El eje z especifica la orientación del área. y x y y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes. Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos éll plano x-z, figura l-lOb, y al plano y·z. figura l-lOc. pode mos entonces "separa r" un elemento cúbico de volumen de material que represen ta el estado de esfuerzo que actúa alrededor del punto escogido en el cuerpo. figura 1-12. Este estado de esfuerzo es caracte rizado por tres componentes que actúan sobre cada cara de l elemento. Esas componentes de esfuerLo describen el estado de esfuerzo en el pu nto sólo pa ra el elemento orientado a lo largo de los ejesx, y, z. Si el cuerpo fuese seccionado en un cubo con otra orientación. el estado de esfuerzo se definiría usando un conjunto diferente de componentes de esfuerzo. Unida des. En el sislema SI. las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se especi[ican en las unidades básicas de newlons por met ro cuadrado (N /m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/ mI) es algo pequeña y en trabajos de ingenie ría se usan prefijos como kilo- (103). simbolizado por, mega- (10 6), simbolizado por M o giga- (10 9), simbolizado por G, pa ra representar valores mayores del esfuerzo.'" De la misma manera. en el sistema inglés de ul1idades. los ingenieros por lo regular expresan el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgada cuadrada (ksi). donde 1 kilolibra (kip) = 1000 lb.
-,.
Fig.I-11
- Algunas \'ece5 el esfuerzo se expresa en unidades de N/ mmz. donde I mm .. 10-) m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el denominador de una (racción y por tanto es mejor usar el equi>'alente t N/ mm ) "" 1 MN / ml : t MPa.
,. Fig. t· 12
23
24
Esfuerzo
• CAPíTULO 1
1.4
Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
p
¡
p
t
Fuerza interna
11'¡
l
~
Área de la sección transversal
Fuerza externa
* p
p
' o)
(b)
p
Región de dcfonnación unifonne de la barra
p
' o) Fig.H3
Con frecuencia , los miembros estructurales o mecánicos se fabrican largos y delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmente se aplican a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfu erzo promedio que actúa sobre la sección transversal de una barra cargada axialmente como la mostrada en la figura 1-13a, que tiene una forma general. Esta sección define el área de la seccJ6n trallsversal de la barra y como todas esas secciones transversales son iguales, a la barra se le llama barra prismática. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se indica en la figura 1-13b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante que actúa sobre la sección transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en sentido y coli neal con la fuerza externa que actúa en el fondo de la barra. Suposiciones. Antes de determinar la distribución de esfuerzo promedio que actúa sobre el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis simplificatorias relativas a la descripción del material y a la aplicación específica de la carga. 1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que se aplica la carga, y también , la sección transversal debe permanecer plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se deformarán uniformememe cuando la barra esté sometida a la carga, figura 1-13c. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extremos de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede ocasionar distorsiolles localizadas. En cambio. nos fijaremos sólo en la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra. 2. Para que la barra experimente I/IJa (Ieformación I/niforme, es necesario que P se aplique a lo largo del eje centroida! de la sección transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un material homogéneo tiene las mismas propiedades risicas y mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la ingeniería pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en cada milímetro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las aplicaciones este material tiene un tamaño físico que es mucho mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la composición del material es bastante realista. Sin embargo, debe mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del laminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturas subcríticas. Los materiales anisotrópicos tienen propiedades diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso. si la anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra se deformará uniformemente cuando sea sometida a una carga axial. Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material que es homogéneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el siguiente análisis.
I I
•I I
e I
•
I
SECCiÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 25
neao lar· nnalmenras. barras tina remos I transver-
pra 1-130,
Distribución del esfuerzo normal promedio. Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal UCOlIsumle, figura 1-13d. En consecuencia, cada área M sobre la sección transversal está sometida a una fuerza!:lF = u M,y la suma de esas fuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a la fuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que M """'* dA Y por tanto tlF ~ dF, entonces como u es COflSlanle. tenemos
a sección - son ¡guapeso de la onces, por e actúa soh sentido rra. o promehacer dos ya la apliués de que permanepo que la :s las líneas la barra se I a la carga, a los extremas puede F.0s sólo en tte la barra. e. es nece¡ la sección co. Un ma-
k= JUdA A
P=aA
(1-6)
p
(d)
Donde,
Fig. 1·13 (conl.)
a
esfu erzo noona l promedio en cualquier punto sobre el área de la sección transversal P fuerza normal interna resultante, aplicada en el celllroide del área de la sección transversal. P se determina usando e l método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio A = área de la sección transversal de la barra La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transversal ya que la distribución del esfuerzo uniforme genera rá momentos nulos respecto a cualqu ie; eje x o y que pase por este punto, figura }- 13d. Cuando esto ocurre.
r
0= f ydF= f YUdA =af yd A A
f mec~nicas
ras nusmas : la ingenieejemplo, el ada miJíme· lplicaciones ",or que un :ión del matarse que el lado en frío, . Los matedirecciones se orienta a ¡nará uni forejemplo. la ue es hornoguiente aná-
p
A
A
o=-f XdF=-f xadA=-af xdA A
A
A
Estas ecuaciones se satisfacen. ya que por definic ió n del centroidc. = Oy f x dA = O. (Vea el apéndice A.)
f y dA
Equilibrio. Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier elemen to de volumen de material localizado en cada punto sobre la sección transversal de una barra cargada axialmente. Si conside ramos el equ ilibrio vertical del elemento. figura 1-14. entonces al apl icar la ecuación de equili brio de fue rzas. u(~A)
- u' (aA ) = O a = a'
En otras palabras. las dos componentes de esfuerzo normal sobre el elemento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste se le llama esfllerzo IlIIillxiaf.
a
l'
26 • CAPíTULO 1 Esfu erzo
p
¡
9
U
9 t
~p
p
Tensión
Compresión
Fig. I-15
El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a compresión, como se muestra en la figura 1-15. Como interpretación gráfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = u A (volumen = altura x base) . Además.. como consecuencia del equilibrio de momentos, esta resultan te pasa por el centroide de este volumen. Aunq ue hemos desarro llado este análisis para barras prismáticas, esta suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un peque/l o alw sam iento. Po r ejemplo, puede de most rarse, usando un análisis más exacto de la teoría de la elast icidad. que para una barra ahusada de sección transversa l recta ngular,en la cual el ángulo entre dos lados adyacentes es de ISO, el esfuerzo normal promedio. calculado según u = P/ A , es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la elasticidad.
Esta barra dc accro se usa para suspender una porción d~ una escalera. y por ello está sometida a un csfuerlO de tensión.
Esfuerzo normal promedio máximo. En el análisis anterior, tanto la fue rza interna P como el área de la sección transversal se consideraron cOllstantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal q = P/ A también constante. Si n embargo. en ocasiones la barra puede estar sometida a varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un cambio en su área de sección transversal. En consecuencia. el esfuerzo normal dentro de la barra puede ser diferente de sección a sección, y si debe calcularse el esfuerzo normal promedio máximo, tendrá que determinarse la posición en que la razón P/ A sea máxima. Para esto es necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de la barra, lo que se consigue dibujando un diagrama deJuerza normal o axial. Específicamen te, este diagrama es una grá ~ fica de la fuerza normal P cont ra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se considerará positiva si causa tensión en el miembro y negativa si causa compresión . Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá identificarse la razón máxima de P/A
SECCiÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 27
PUNTOS IMPORTANTES • Cuando un cuerpo que está sometido a una carga externa es seccionado. hay una distribución de fuerza que actúa sobre el área seccionada que mantiene cada segmento del cuerpo en equilibrio. La intemidad de esta fuerza interna en un punto del cuerpo se denomina esfuerzo. • El esfueT7.o es el valor límite de la fuerza por área uni taria. al tender a cero el área. Para esta definición, el material en el punto se considero continuo y cohesivo. • En general, hay seis componentes independientes de esfuerzo en cada punto en el cuerpo, que son los esfuerzos lIormales, erx• a,., a z y los esfuerzos cortal1les, Txy- TyZ ' TxZ• • • La magnitud de esas componentes depende del tipo de carga que actúa sobre el cuerpo y de la orientación del elemento en el punto. • Cuando una barra prismática está hecha de material homogéneo e isotrópico. y está sometida a una fuerla axial que actúa por el centroide del área de la sección transversa l, entonces el material dentro de la barra está sometido sólo a esfuerzo normal. Este esfuerlO se supone uniforme o promediado sobre el área de la sección transversal.
PROCEDIMIENTO DE ANALlSIS La ecuación a = PlA da el esfuerzo normal promedio en el área transversal de un miembro cuando la sección está sometida a una fuerza normal interna resultante P. Para miembros axialmente cargados, la aplicación de esta ecuación requiere los siguien tes pasos. Carga interna.
• Seccione el miembro perpendicularmente a su eje longitudinal en el punto donde el esfuerzo normal va a ser determinado y use el diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio de fuerza necesarios para obtener la fuerza axial interna P en la sección. Esfuerzo normal promedio.
• Determine el área transversal del miembro en la sección y calcule el esfuerzo normal promedio a = PIA. • Se sugiere que ase muestre actuando sobre un pequeño elemento de volumen del material localizado en un punto sobre la sección donde el esfuerzo es calculado. Para hacer esto, primero dibuje a sobre la cara del elemento que coincide CaD el área seccionada A. Aquí, q actúa en la misma dirección que la fuerza inte rna P ya que todos los esfuerzos normales sobre la sección transversal actúao en esta dirección para desarrollar esta resultante. El esfuerzo normal a que actúa sobre la cara opuesta del elemento puede ser dibujada en su dirección apropiada.
28 • CAPITULO 1 Esfuerzo
EJEMPLO La barra en la figura 1·16a tiene un ancho constante de 35 mm yun espesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en la barra cuando ella está sometida a las cargas mostradas.
8 12kN
e
9kN
4kN
D
22kN ,...-+
9kN
35 mm
4kN
(,)
P"'B;
12 leN
12 kN
9kN I)¡c ; 30 kN
12 kN
9kN PCD ;
22 leN
(b)
P{kN)
¡~ t
22 leN
,í
, (o)
Solución
~
- 30kN
35rnm~ (d) Fi~.1·16
Carga interna. Por inspección, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD son todas constantes pero tienen dife rentes magnitudes. Usando el método de las secciones, esas cargas son determinadas en la figura 1-16b; y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados gráficamente se muestra en la figura 1-16c. Por inspección, la carga máxima está en la región BC, donde P BC = 30 kN. Como el área transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio también ocurre dentro de esta región de la barra. Esfuerzo normal promedio.
Aplicando la ecuación 1-6, obtenemos
30(10' )N (0.035 m)(O.OlO m) ~ 85.7 MPa
Resp.
La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección transversal arbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura 1-16d. Gráficamente el volumen (o "bloque") representado por esta distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN;o sea, 30 kN ~ (85.7 MPa)(35 mm)(lO mm) .
1 SECCiÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 29
EJEMPLO La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y Be como se muestra en la figura 1·17a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y Be tiene un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada barra.
J
---'--if1.'---- - - - - .,
80(9.81) '" 784.8 N (.)
(b)
Fig. 1.¡7
Solución
Carga interna. Debemos primero determinar la fuerza axial en cada ba rra. En la figu ra 1 ~17b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando las ecuaciones de equillbrio de fuerzas. obtenemos
';'LF=O' , ,
,
+)LF=O''
FBC(~) - FBA F8C
(!)
F BC =
+
COS
60° = O
FBA sen60o -784.8N =
395.2 N,
F BA =
O
632.4 N
Por la tercera ley de Newton, la acción es igua l pero opuesta a la reacción, estas fue rzas someten a las barras a tensión en toda su longitud.
Esfuerzo normal promedio. (T BC
Fse = -Ase
~
(T BA
=
=
_F_BA _ ABA
Aplicando la ecuación 1·6, tenemos = 7.86 MPa
Resp.
632.4 N = 8.05 MPa 1T(0.OO5 m)2
Resp.
395.2 N 1T(O.OO4 m)2
La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección transversal de la barra AH se muestra en la figura l-17c, y en un punto sobre esta sección transversal , un elemento de material está esforzado como se muestra en la figura 1.17d.
8.05 MPa 8.05 MPa
~ 632.4 N (d)
(,)
30 • CAPíTULO 1 Esfuerzo
EJEMPLO La pieza fundida mostrada en la figura 1-18a está hecha de acero con peso específico de Yac = 490 Ibj pie 3• Determine el esfuerzo de compresión promedio que actúa en los puntos A y B.
w.
1
1
2.75 pies
::r A
0.75 pie
p~
,
A
P
(b)
(a)
8 ~
9
9.361b/pulg 2
«)
Fig. !-l8
Solución
Carga interna. En la figura l-18b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento superior de la pieza fundida donde la sección pasa porlos puntos A y B. El peso de este segmento es W ac = YacVac ' La fuerza axial interna P en la sección es entonces
+jLF¡=O; P
~
P - Wac=O P - (490 Ibj pie 3 )(2.75 pies)1f(0.75 pief = O
2381 lb
Esfuerzo de compresi6n promedio. El área transversal en la sección es A = 1T(O.75 pie)2. y e l es fu erzo de compresión promedio es entonces (T
2381 lb A 1T (O.75 pie)2 = 1347.5Ibj pie 2 = I347.5lbj pie 2 (1 pie 2j l44 pulg 2) = 9.36lbj pulg2 P = - =
Resp.
El esfuerzo mostrado en el elemento de vol umen de material en la figura l-18e es representativo de las condiciones en A o B. Note que este esfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo O cara sombreada del elemento ya que esta cara forma parte del área de la superficie del fondo de la sección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P empuja hacia arriba .
SECCiÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axial mente
EJEMPLO El miembro AC mostrado en la figura 1-19a está sometido a una fuerza vertical de 3 kN. Determine la posición x de esta fuerza de modo que el esfuerzo de compresión promedio en el soporte liso e sea igual al esfuerzo de tensión promedio en el tirante AB. El tirante tiene un área en su sección transversal de 400 mm 2 y el área de contacto en C es de 650mm2 . B
3kN
3 kN
A
A
(b)
(' j
Fig.1-19
Solución
Carga inlema. Las fuerzas en A y C pueden ser relacionadas considerando el diagrama de cuerpo libre del miembro AC, figura 1-19b. Se tienen tres incógnitas que son FAS, Fe Yx. En la solución de este problema usaremos unidádes de newtons y milímetros. + tZFy =O; 1+ ¿ M A = O;
+ Fe - 3000 N = O -3000 N(x ) + Fc( 200 mm) ~ O F AB
(1)
(2)
Esfuerzo normal promedio. Puede escribirse una tercera ecuación necesaria que requiere que el esfuerzo de tensión en la barra AB y el esfuerzo de compresión en e sean equivalentes, es decir, FAS a
~
400 mm
Fe 2
650 mm 2
Fe = 1.625FAS
Sustituyendo esto en la ecuación 1, despejando FAB y Fe, obtenemos FAB
=
1143 N
Fe "" 1857 N
La posición de la carga aplicada se determina con la ecuación 2,
x = 124 mm Note que O< x < 200 mm, tal como se requiere.
Resp.
Fe
• 31
32 • CAPiTULO 1 Esfuerzo
1.5
Esfuerzo cortante promedio El esfuerzo cortante se definió en la sección 1.3 como la componente del esfuerzo que actúa en el plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo, consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura 1-20a. Si los soportes se consideran rígi· dos y F es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planosAB y CD . Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la barra, figura 1·20b, indica que una fuerza cortante V = Ff2 debe aplicarse a cada sección pa· ra mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo corlante prom edio dis· tribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se define por:
,.,
(1-7) Donde, = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mis· mo en todo punto localizado sobre la sección V = fuerza cortante interna resultante en la sección; se determina con
Tprom
v
'b'
v
F
,,' Fig. 1·20
las ecuaciones de equilibrio A = área en la sección
La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando so· bre la sección derecha en la figu ra 1·2Oc. Observe que 'rprom tiene la mis· ma dirección que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asociadas que contribuyen en conjunto a generarla fuerza interna resultante V en la sección. El caso de carga analizado en la figura 1-20 es un ejemplo de cortante simp le o corlante directo, ya que el cortante es causado por la acción di· recta de la carga aplicada F. Este tipo de cartante suele ocurrir en varios tipos de conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Sin embargo, en todos esos casos, la aplicación de la ecuación 1-7 es s610 aproximada. Una investigación más precisa de la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección crítica revela que esfuerzos cortan tes mucho mayores ocurren en el material que los predichos por esta ecuación. Si bien éste puede ser el caso, la aplicación de la ecuación 1·7 es generalmente aceptable para muchos problemas de análisis y diseño. Por ejemplo, los manuales de ingeniería permiten su uso al considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernos o para obtener la resistencia por adherencia de juntas sometidas a cargas cortantes. Con respecto a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, que merecen tratamientos separados.
.
•
SECCiÓN 1.5 Esfuerzo cortante promedio • 33
(,)
(b)
F
(,)
(d)
Fig. 1-21
Cortante simple. Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 1-21a y 1-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortante simple y se conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-210 no está demasiado apretada de modo que la fricción entre los miembros puede despreciarse. Pasando una sección entre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre mostrados en las figuras 1-21b y 1-21d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección transversal del perno en la figura 1-21b y la superficie de contacto entre los miembros en la figura 1-21d están sometidos sólo a unafuen.a cortante V "" F. Esta fuerza se usa en la ecuación 1-7 para determinar el esfuerzo cortante promedio que actúa en la sección de la figura 1-21d. Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 1-22a o 1-22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son como se muestra en las figuras 1-22b y 1-22d. Tenemos aquí una condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V "" F fl. actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debe considerarse al aplicar Tpenn "" V lA.
El pasador en este tractor está sometido a cortante doble.
SECCIÓN 1.5 Esfuerzo cortante promedio • 33
(.)
(b)
F
(,)
(d)
Ag. 1-21
Cortante simple. Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 1-21a y 1-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortante simple y se conocen como juntos traslapadas. Supondremos aquí que los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-2 1a no está demasiado apretada de modo que la fri cción entre los miembros puede despreciarse. Pasando una sección entre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre mostrados en las figuras 1-21b y 1-21d. Como los miem bros son delgados, podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección transversal del perno en la fi gura 1-21b y la superficie de contacto en tre los miembros en la figura 1-21d están sometidos sólo a unafuerl.a cortante V "" F. Esta fuerza se usa en la ecuación 1-7 para determinar el esfuerzo cortante promedio que actúa en la sección de la fi gura 1·21d. Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 1·220 o 1·22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno de los mi embros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son como se muestra en las figuras 1-22b y 1-22d. Tenemos aquí una condición de cortante doble. En consecuencia, una fue rza cortante V = Ffl actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debe considerarse al aplicar Tperm "" V lA.
Ag. J ·22
El pasador en este tractor está sometido a cortante doble.
34 •
CAPiTULO 1
Esfuerzo
Conante puro Fig.I·2J
Equilibrio. Consideremos un elemento de volumen de material tomado en un punto localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la que actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 1-230. Si consideramos el equilibrio de fu erzas en la dirección y , entonces
M
esfñrzo~ 'T"z,( ~X ~y ) - 'T"~y ~x h. y = 'T Zy
O
= 'T ~y
De manera similar, el equ ilibrio de fuerzas en la dirección z nos da 'T"yz =
r,;z. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x, momenlO
,----,
por lo que 'T zy
= 'T"~y =
'T yz
= 'T"~:¡ =
'T
En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté acompañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras, fi gura 1-23b. Aquf, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro en caras con un borde común. A esto se le llama propiedad complementaria del cortante, y bajo las condiciones mostradas en la figura 1-23, el material está sometido a cortante puro. Aunque hemos considerado aquí un caso de corta nte simple causado por la acción directa de una carga, en eapftulos posteriores veremos que el esfuerzo cortan te puede también generarse indirectamente por la acción de otros tipos de cargas.
SeCCióN 1.5
PUNTOS IMPORTANTES • Si dos partes delgadas o pequeñas se unen entre sí, las cargas aplicadas pueden causar cortante del material con flexión despreciable. Si éste es el caso, es generalmente conveniente en el análisis suponer que un esfuerzo cortallle promedio actúa sobre el área de la sección transversal. • A menudo los sujetadores, como clavos y pernos.. están sometidos a cargas cortantes. La magnitud de una fuerza conante sob r~ e l sujetador es máxima a lo largo de un plano que pasa por las superficies que son conectadas. Un diagrama de cuerpo libre cuidadosamente dibujado de un segmento del sujetador pennitirá obtener la magnitud y dirección de esta fuerza.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La ecuación 'l'prom = V l A se usa para calcular sólo el esfuerzo cortante promedio en el material. Su aplicación requiere dar los siguientes
pasos. Cortante interno. • Seccione el miembro en el punto donde el esfuerzo cortante pro· medio va a ser determinado. • Dibuje el diagrama de cuerpo libre necesario y calcule la fuerza cortante interna y que actúa en la sección que es necesaria para mantener la parte en equilibrio. Esfuerzo cortante promedio. • Determine el área seccionada A, y calcule el esfuerzo cortante promedio "'prom = V l A. • Se sugiere que "'prom sea mostrado sobre un pequeño elemento de volumen de mate rial localizado en un punto sobre la sección donde él es determinado. Para hacer esto, dibuje primero 'l'prom sobre la cara del elemento que coincide con el área seccionada A. Este esfuerzo cortante actúa en la misma dirección que V. Los esfuerzos cortantes que actúan sobre los tres planos adyacentes pueden entonces ser dibujados en sus direcciones apropiadas siguiendo el esquema mostrado en la figura 1-23.
Esfuerzo corta nte promedio •
35
36 • cAPfr UlO 1 Esfuerzo
EJEMPLO La barra mostrada en la fig ura 1-240 tiene una sección transversal cua· drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje centroidal del área transversal de la barra , determine el esfu erLo normal promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el material a lo largo (a) del plano a·a y (b) del plano b·b.
800 N
(.,
----1~I__--;.~ ~
800 N ...
p '" 800 l'\
(o, Fig. 1·24
Solución
Parte (a) Carga intem a. La barra es seccionada, fig ura 1·24b, y la carga inter· na resultan te consiste sólo en una fuerza axial P = 800 N.
Esf uerzo prom edio. la ecuación 1-6.
El esfuerLo normal promedio se determina con
P
a = -
A
=
BOON (0.04 m)(O.04 q»
500 kPa
Resp.
No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante en la sección es cero. Tprom
= O
Resp.
La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la sección transo versal se muestra en la figural-24c.
SECCiÓN 1.5 Esfuerzo cortante promedio • 37
cu,-
~, r
800 N
800 N
(d)
Parte (b) Carga inrerna. Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo es como se muestra en la figur a 1-24d. Aquí actúan una fue rza normal (N) y una fuerza cortante (V) sobre el área seccionada. Usando ejes x, y, se requiere
-800 N
+1
~
, o·
F ~ '
+ Nsen60o +
Vcos60° = O
Vsen6Qo - Ncos60° = O
o más directamente, usando ejes X,
y:
+'\¡¿ Fr = O:
N - 800 N cos30° = O
+.l'¿ F,. = O;
V - 800 N sen 30° = O
Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones, N
~
692.8 N
V~400N
Esfuerzos promedio. En este caso el área seccionada tiene un espesor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/ sen 60° = 46.19, respecti· vamen te, figura 1-24a. El esfuerzo noonal promedio es entonces N
Tp,~ ~ A ~ (0.04 m)(0.04619 m) ~ 217 \
Resp. 375 kPa (.)
38 • CAPITULO 1 Esfuerzo
EJEMPLO El puntal de madera mostrado en la figura 1-25a está suspendido de una barra de acero de diámetro de 10 mm , que está empotrada a la pared. Si el punta l soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planos sombreados del punta l. uno de los cuales está indicado como abcd. Solución Co rtanle interno. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 1-25b, la barra resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella está empotrada a la pared. En la figura 1-25c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento seccionado del puntal que está en contacto con la barra. Aquí la fuerza cortante que actúa a lo largo de cada plano sombreado es de 2.5 kN. 5kN
Esfuerzo cortante promedio.
(.)
Para la barra,
v 5000N = 63.7 MPa prom = A = rr(O.OO5 m)2
"T
Resp.
Para el puntal, fuena del puntal sobre la barra
V
'Jr (b)
Tprom
= A =
2500 N
(0.04 m)(0.02 m)
2..5 kN
, kN
~
63.7 MPa
'kN ~ (e)
.
. a
Resp.
La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra seccionada y el segmento de puntal se muest ran en las figuras 1-25d y }-25e, respectivamente. Se muestra también con esas figuras un elemento de volumen típico del material en un punto localizado sobre la superficie de cada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo cortante debe actuar sobre cada cara sombreada de esos elementos y sobre las caras adyacentes de los mismos.
V~2 ..5kN
fuena de la barra sobre el puntal
~312MP
(,)
(d)
Fig. 1-25
SECCiÓN 1.5 Esiuerzo cortante promedio • 39
EJEMPLO
do de la pauerzo oS plaabcd.
El miembro inclinado en la figura 1-200 está sometido a una fuer¿a de compresión de 600 lb. Determine el esfuerzo de compresión promedio a lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por AB y BC, y el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por
EDB.
, libre londe iagra1 con1e caF;\B
Resp. Fig. 1-26
Solución Resp.
sec25d y n elebre la uerzo ]tos y
11
Cargas internas. El diagrama de cuerpo libre de l miembro inclinado se muestra en la figura 1-26b. Las fuerzas de compresión que actúan sobre las áreas de contacto son
.
. , = 0·.
"'~F=O·
FAS -
O
FAR = 360 lb
+l~F
Fsc - 600 Ib(l) = O
Fse = 480 lb
600 Ib(l)
=
,
!iiiíJY v
,,)
También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del miembro del fondo, figura 1-2&, la fuerza cortan te q ue actúa soun:. d planu horizontal seccionado EDB es
"'~F=O· • •
v
= 360 lb
Esfuerzo promedio.
Los esfuerzos de compresión promedio a lo largo de los planos horizontal y vertical del miembro inclinado son erAR =
360 lb = 240 lbfpulg2 ( 1 pulg)(1.5 pulg)
480 lb
Use = (2 pulg)(1.5 pulg) = 160 Ib jpulg2
Resp.
(d)
Resp.
Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la fi gura 1-26d. E l esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal definido por ED B es 360 lb Tprom
= (3 pulg)(1.5 pulg) = 80 Ibf pulg
2
Resp.
Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figura 1-26e:
,.)
3M lb
40 • CAPíTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS 1-34. La columna está sometida a una fuerza axial de 8 kN en su parte superior. Si el área de su sección transversal tiene las dimensiones mostradas en la figura, determine el esfuerzo normal promedio que actúa en la sección a-a. Muestre esta distribución del esfuerzo actuando sobre la sección transversal de la columna.
· 1-36. Al correr, el pie de un hombre de 150 lb está momentáneamente sometido a una fuerza que es 5 veces su peso. Detennine el esfuerzo normal promedio desarrollado en la tibia T de su pierna en la sección media a-a. la sección transversal puede suponerse circular eon diámetro exterior de 1.75 pulg y un diámetro interior de I pulg. Suponga que el peroné F no soporta carga.
I'HIH-- F
,
,
150 lb
Prob.l·J4
1-35. El grillete de anclaje soporta la fuerza del cable de 600 lb. Si el pasador tiene un diámetro de 0.25 pulg, determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador.
Plob.l-36
1-37. El pequeño bloque tiene un espesor de 0.5 pulg. Si la distribución de esfuerl.oen el soporte desarrollado por la carga varía como se muestra, determine la fuerza F aplicada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.
!
600 lb
Prob.I-35
Prob.1-37
P ROBLEMAS
mo:ssu
1·38. El pequeño bloque liene un espesor de 5 mm. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varía como se muestra, determine la fuerza F aplicada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.
ollar. La lme-
•
41
*1-40. La rueda de soporte se mantiene en su lugar bajo la pala de un andamio por medio de un pasador de 4 mm de diámetro como se muestra en la figu ra. Si la rueda está sometida a una fuerza normal de 3 kN, dete rmine el esfuerzo cortante promedio generado en el pasador. Desprecie la fricción entre la pata del andamio y el tubo sobre la rueda.
)ulg.
1-1 _
~
(~ 40MPa
) kN
Prob.I-40
Prob. l·38
medio de 1m pasador cónico que tiene un diámetro medio
1-41. Una mujer con peso de 175 lb está de pie sobre un piso vinílico co n zapatos de tacón puntiagudo. Si el tacón tiene las dimensiones mostradas, dete rmi ne el esfuerzo normal promedio que ella ejerce sobre el piso y compárelo con el esfuerzo normal promedio generado cuando un hombre del mismo peso lleva zapatos de tacones planos.
t:~
Suponga que la carga se aplica IcntauJO.;IIIt: ue mallera '-tu..:
fuerzo cortante promedio en el pasador, entre el pasador
puedan ignorarse los efectos dinámicos. Suponga también q ue todo el peso es soportado s610 por el lacón de un zapato.
1-39. La palanca está unida a la flecha empotrada por de 6 mm . Si se aplica un par a la ¡Jalalll;a, ut:lt:rmillt: t:l
dg.Si
y la palanca.
por [a
. apli-
250 mm
-----l-
20N
250 mm
!.2 pulg
0.3 pUlg - @]
---ll- o. t pulg
H 0.5 pulg
Prob. 1-39
Probo 1-41
42
•
CAPITULO 1 Esfuerzo
1-42. La lámpara con un peso de 50 lb está soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A. Determine cuál barra está sometida al mayor esfuerl.o normal promedio y calcule su valor. Considere 8 = 30°. El diámetro de cada barra se da en la figura. 1-43.
1-46. Los dos miembros de acero están unidos entre sí por medio de una soldadura a tope a 60°. Determine los esfuerzos normal y cortante promedio resistidos en el piano de la soldadura.
Rcsuelva el problema 1-42 para 0 = 45°.
"'1-44. La lámpara con un peso de 50 lb está soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo enA. Determine el ángulo de orientación Ode AC tal que el esfuerl.O normal producido en la barra AC sea el doble del esfuerzo normal promedio en la barra AD. ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo en cada barra? El diámetro de cada barra se da en la figura.
1
25mm
8kN_(::=2::;;,d~~~==3t--8
kN
60"
30mm
Prob.l-46
1-47. La flecha compuesta consiste en un tubo AB y en una barra sólida Be. El tubo tiene un diámetro interior de 20 mm y un diámetro exterior de 28 mm. La barra tiene un diámetro de 12 mm. Determine el esfuerzo normal promedio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre un elemento de volumen localizado en cada uno de esos puntos.
Probs. 1-42/43144
1-45. El pedestal tiene una sección transversal triangular como se muestra. Si está sometido a una fUerl.3 compresiva de 500 Ib,especifique las coordenadas x y y del punto P(x, y) en que debe aplicarse la carga sobre la seCCión transversal para que el esfuerzo normal sea uniforme. Calcule el esfuerzo y esboce su distribución sobre una sección transversal en una sección alejada del punto de aplicación de la carga. oo,
,.
,'1fiIIii'
Prob.I-45
4 kN,
A (r
8
i'o
!
, OkN (
e ,
'kN
OkN E Prob.I-47
"'1-48. La pieza de madera está sometida a una fuerza de tensión de 85 lb. Determine lo~ esfuerzos normal y cortante promedio desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15° con respecto el eje de la pieza.
y
Prob.l-48
PROBLEMAS
e sí
''''
,Ia-
1-49. El bloque de plástico está sometido a una fuerza axial de compresión de 600 N. Suponiendo que las lapas arriba y en el fondo distribuyen la carga uniformemente a través del bloque, determine los esfuerzos normal y cortante promedio que actúan a lo largo de la sección a-a.
•
43
· 1-52_ La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 5 kN. Determine el esfuerzo normal promedio que actúa en las secciones AB y Be. Suponga que el miembro es liso y que tiene 50 mm de espesor.
5kN
,en ~ de
Prob.1-52
fun
p'o-
¡xue
1-53. La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 6 klb. Determine el esCuerzo normal promedio que actúa sobre las secciones AB y Be. Suponga que el miembro es liso y que tiene 1.5 pulg de espesor.
600 N Prob.I-49
1-50. El espécimen falló en una prueba de tensión a un ángulo de 520 cuando la carga axial era de 19.80 klb. Si el diámetro del esptcimen es de 0.5 pulg, determine los esfuerzos normal y cortante promedio que actúan sobre el plano indinado de falla. Además, ¿cuál fue el esfuerzo normal promedio que actuaba sobre la secci6n tranSlJersa/ cuando ocurrió la falla?
tena ¡ corklera
Prob. 1-53 Probo 1-50
.,
1-51. Un espécimen a tensión con área A en su sección transversal está sometido a una fuerza axial P . Determine el esfuerzo cortante máximo promedio en el esptcimen e indique la orienlación fJ de la secciÓn en que éste ocurre.
---
1-54. Los dos miembros usados en la construcción del fuselaje de un avión están unidos entre sí usando una soldadura de boca de pescado a 30". Determine los esCuerzos normal y cortante promedio sobre el plano de cada soldadura. Suponga que cada plano inclinado soporta una fuerza horizontal de 400 libras.
85 lb
' -..... P
Prob.l·51
80010
Prob. 1·54
44 • CAPITULO 1 Esfuerzo
1·55. El conductor de un aulo deportivo aplica los frenos traseros, lo que ocasiona que los ncumáticos se deslicen. Si la fucl7.a normal en cada neumático trasero es de 400 lb Yel coeficiente de fricción ciné tica entre los ncumáticos y el pavimento es de Ilk = 0.5, determine el esfuerzo
cortante promedio desarrollado por la fuerza de fricción sobre los neumáticos. Suponga que el caucho de los neumáticos es tlexible y que cada neumático tiene una presión de 321bjpulg 2,
1·58. Las barras de la armadura tienen cada una un área transversal de 1.25 pulg 2. Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra debido a la carga P - 8 klb.lndi· que si el esfuerzo es de tensión o de compresión. 1-59. Las barras de la armadura tiencn cada una un área transversal de 1.25 pulg 2• Si el esfue rzo normal promedio máximo en cualquier barra no debe ser mayor de 20 klbj pulg 2, dc termine la magnitud máxima P de las caro gas que pucden aplicarse a la armadura.
e •
8
I
3 pies
~':~:4~P:;~~:E~::::4:P.:,~JD~I!f Prob.l·55
O.751?
p
Probs. 1·58159
*]·56. Las barras AB y Be tienen diámetros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga de 8 kN se aplica al anillo en B, determine el esfuerzo normal promedio en cada barra si 8 = 60°, ; 1·57. Las barras AB y BC tienen diámetros de 4 mm y 6 mm, respe<:tivamente. Si la carga vertical de 8 kN se aplica al anillo en B, determine el ángulo Ode la barra BC de manera que el esfuer,w normal promedio en ambas barras sea el mismo. ¿Qué valor tiene este esfuerzo?
· 1-60. La armadura está formada por tres miembros conectados por pasadores; las áreas transversales de los miembros se muestran en la figura . Determine el esfuerzo normal promedio generado en cada barra cuando la armadura está sometida a la carga mostrada. Indique si el esfuerzo es de tensión O de compresión.
"'" lb
e
3 pies
r . :;,
Ase'" 0.8 pulg 2
~
~
Q
,<•u
A
8
"N Probs.l·56I57
T
•"
8
,
~'
~
A
Prob.1·6O
'"
PROBLEMAS
1-61. La viga uniforme está soportada por dos barrasAB y CD cuyas áreas transversales son de 12 rnm 2 y 8 rnm 2, respectivamente. Si d:= 1 m, determine el esfuerzo normal promedio e n cada barra. 1-62. La viga uniforme está soportada por dos barras AB y CD cuyas áreas de sección transversal son de 12 rnm 2 y 8 rnm2 , respectivamente. Determine la posición d de la caro ga de 6 kN para que el esfueno normal promedio en ambas barras sea el mismo.
8
•
45
1-65. El bastidor de dos miembros está sometido a la carga distri buida mostrada. Determine la intensidad w de la carga uniforme máxima que puede aplicarse al bastidor sin que los esfuerzos normal y cortante promedios en la sección b-b excedan los valores q:s 15 MPa y T = 16 MPa, respectivamente. El miembro CH tiene una sección transversal cuadrada de 35 mm de lado.
I
D
6kN
4m
e
A
Probs. 1-6VÓ2
8
1-63. La lámpara usada para iluminar el enganche de vagones de ferrocarril está soportada por e l pasador de pulg de diámetro en A. Si la lámpara pesa 4 lb Yel brazo tiene un peso de 0.5 lb/pie, determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador necesario para soportar la lámpara. Sugerencia: la fuerza cortaulc: en el pasador es causada por el par requerido para el equilibrio en A.
t
3
Pi:s - - - - - ---II 8
&
Probs. 1-64165
.1-66. Considere el problema general de una barra hecha de ni segrnentos,cada uno con área transversal constante Am y longitud Lm. Si se lienen n cargas sobre la barra como se muestra, escriba un programa de computadora que pueda usarse para detenninar el esfuer,lO nonnal promedio en cualquier posición específica x. Muestre una aplicación del programa usando los valores L 1 = 4 pies, di = 2 pies, PI '" 4oolb, A 1 '" 3~UI,¿.L2 = 2pies.d1 = 6 pies, Pl = -300 Ib,A 2 = 1 pulg.
Prob.I-63
*1 -64. El bastidor de dos miembros está sometido a la carga distribuida que se muestra en la siguiente figura . Dete rmine los esfuerzos nonnal y cortante promedio que ac· túan en las secciones a-a y b·b. El miembro CH tie ne una sección transversal cuadrada de 35 mm de lado. Canside· rew=8kNf m.
Prob.l-66
46 • CAPITULO 1 Esfuerzo
1-67. La viga está soportada por un pasador en A y un eslabón cono BC.Si P = 15 kN.determine el esfuerzocortante promedio desarrollado por los pasadores en A, B Y C. Todos los pasado res están en cOrlante doble, como se muestra y cada uno tiene un diámetro de 18 mm, · 1--68. La viga está soportada por un pasador en A y un eslabón corto BC Determine la magnitud máxima P de las cargas que la viga soportará si el esfuerzo cortante promedio en cada pasador no debe ser mayor de 80 MPa. Todos los pasadores están en cortante doble y cada uno tiene un diámetro de 18 mm.
1-70. La grúa pescante está sostenida por un pasador en A y soporta un elevador de cadena que puede viajar a lo largo del patín inferior de la viga, I pie .:s :c.:s 12 pies. Si el elevador puede soportar una carga máxima de 1500 lb, determine el esfuerzo normal máximo promedio en el tirante Be de diámetro i pulg y el esfuerzo cortante máximo promedio en el pasador de diámetro de pulg en B.
i
r15mt 15m- .Ij--J
Tp4P
05mt
4P
2P
~m
~['m . 8
A
"
--,
Probs. 1-67168
I - -. -
-j ISOO lb
1 - - - - - iOpics - - - -- j
1-69. Cuando la mano sostiene una piedra de 5 lb, el húmero H. que se supone liso, ejj!rce las fuerzas normales Fe y FA sobre el radio e y el cúbito A. respectivamen te, comase muestra. Si la menor área de sección transversal del ligamento en B es de 0.30 pulg2, determine el máximo esfuerzo de tensión promedio a que estará sometido.
Prob. 1·70
1-71. Determine el esfuerzo normal promedio desarrollado en los eslabones AH y CU de las tenazas que soportan el tronco con masa de 3 Mg. El área de la sección transversal de cada eslabón es de 400 mm l .
8
F,
~75~C~
r
F,_~ O.8pulg - ~ F,
1
PJ1 14pulg - - -- I
Prob. I-69
Prob.I-71
P ROBUMA5
· 1-72. Detennine el esfuerzo eortante promedio desarrollado en los pasadores A y B de las tenazas que soportan el tronco con masa de 3 Mg. Cada pasador tiene un diámetro de 25 mm y está sujeto a un cortante doble.
2"
•
47
1-74. El pedestal en forma de tronco cónico está heeho de concreto con peso especifico de 150 lb/pie). Determine el esfuerzo normal promedio que actúa a media altura del pedestal. esto es. a z = 4 pies. SI/gerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = 7I'T 2h.
t
e
A o o
8 pies
!'-+;oi:\ T :4pi
Prob.l·72
Prob. I·74
1-73. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho de concreto con peso especifico de 150 lb/piel. Determine el esfuerzo normal promedio que actúa en la base del pedestal. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = j- 7I'r1b .
1-75. La columna está hecha de concreto con densidad de 2.30 Mgj m3 . En su parte superior B está sometida a una fuerLa de compresión axial de 15 kN. Determine el esfuer· zo normal promedio en la columna en funció n de la distancia z medida desde su base. Nota: el resultado será útil solamente para determinar el esfuerzo normal promedio en una sección alejada de los extremos de la columna, debido a la deformación localizada en los extremos.
1 pie
~¡¡-----, J5kN
8 pies
B
180mm
T
z=4pies
1.5 pies
4m
, Probo 1-73
Prob. I-7S
48 • CApITULO 1 Esfuerzo
*1-76. La pila está hecha de material con peso especffi. ca y. Si tiene una sección transversal cuadrada, determine su ancho w en funCIón de z, de manera que el esfuerw normal promedio en la pila permanezca constante. La pila soporta una carga constante P e n su parte superior, donde su ancho es w¡.
1-78.
El radio del pedestal está definido por r =
(O.5e - O.08yl ) m, donde y está dada en metros. Si el material
tiene una densidad de 2.5 Mg/ml , determine el esfuerzo normal promedio en el soporte.
p
• O.5 t -O,0Ii'
Prob.I.78 Prob.1-76
1-77. El pedestal soporta una carga P en su centro. Si el material tiene una densidad de masa p, determine la dimensión radial, en función dé z,de manera que el esfuerzo normal promedio permanezca constante. La sección transversal es circular.
p
Prob.l-n
1-79. Determine la velocidad angular máxima constante w del volante de manera que el esfuerzo normal promedio en su pestaña no sea mayor que q = 15 MPa. Suponga que la pestaña es un anillo delgado CQn espesor de 3 mm, ancho de 20 mm y masa de 30 kgfm. La rotación tiene lugar en un plano horizontal. Desprecie el efecto de los rayos en el análisis. SI/gerencia: considere un diagrama de cuerpo libre de una porción semicircular del anillo. El centro de masa de un segmento semicircula r está en ;: = 2r¡1T desde el diámetro.
Prob.I-79
SEcctON 1.6 Esfuerzo permisible • 49
1.6
Esfuerzo permisible
Un ingeniero a cargo del diselio de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerLo en el material a un nivel que sea seguro.Además. una estructura o máquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver qué carga adicional pueden soportar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro. Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo pennisible que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro pueda soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejemplo,la carga para la cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él. Las medidas previstas para una est ructura o máquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricació n o en el montaje de las partes componentes. Pueden ocurrir vibraciones desconocidas. impacto o cargas accidentales que no se hayan tomado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, el decaim iento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante e l servicio. Finalmente, algunos materiales, como la madera, el concreto o los compuestos reforzados con fib ras, pueden mostrar alta va riabilidad en sus propiedades mecánicas. Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad . Elfaclorde seguridad ( FS) es la razón de la carga de falla, F faUa , dividida entre la carga permisible, Fpcrm' La FfaUa se determina por medio de ensayos experimentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuen ta cua'ldo el miembro se use en condiciones similares de carga y simetrfa. Expresado matemáticamente, .
(I·S) Si la carga aplicada al miembro está Iinea/mellle re/acionada al esfuerzo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar a = Pl A Y "Tprom = V l A, entonces podemos expresar el factor de seguridad como la razón del esfuerzo de fa lla afalla (o "T(alla) al esfuerzo permisible u pcrm (o "Tpcrm);* esto es.
FS
""
Ufalla <7".~
( 1·9)
o FS =
"TfalLa T".~
(1- 10)
*En algunas capas.como en las columnas. la carga apl icada no cstá relacionada linealmente a la tensiÓn y por lo lanlo SÓlo la ecuaciÓn 1-8 puede usarse paTa determinar el factor de seguridad. Vea el cap[tulo 13.
Factores apropiados de seguridad deben ser considerados al diseñar grúas y cables usados para transferir cargas pesadas.
50
• CAPITULO 1 Esfuerzo
En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge mayor que 1 para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen de los tipos de materiales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o máquina. Por ejemplo, el FS usado en el diseño de componentes de ae ronaves o vehículos espaciales puede ser cercano a I para reducir el peso del vehículo. Por otra parte, en el caso de una planta nuclear, el factor de seguridad para algunos de sus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre en el comportamiento de la carga o del material. Sin e mbargo, en general, los factores de seguridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para elementos estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que sus indeterminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien. Sus valores, que pueden encontrarse e n los códigos de diseño y manuales de ingeniería,pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y para el público junto con una solución económica razona ble para el diseño.
1.7
Diseño de conexiones simples Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportam iento del material, las ecuaciones u = P/A Y 'J'prom = V!A pueden usarse para analizar O diseñar una conexión simple o un elemento mecánico. En particula r, si un miembro está sometido a una fuerza normal e n una sección, su área requerida en la sección se determina con p
A
(1·11)
Por ot ra parte, si la sección está sometida a una fuerza COrlanle, e ntonces el área requerida en la sección es:
A
v
(1·12)
Como vimos en la sección 1.6,el esfuerzo permisible usado e n cada una de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a un esfuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos directamente en un código apropiado de diseño. Ahora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales las ecuaciones pueden usarse en el diseño.
Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área de la sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuerza de tensión puede determinarse si la fuerza lie ne una línea de acción que pasa por el centroide de la sección transversal. Por ejemplo, conside-
-
SECCIÓN 1.7 Diseí'lo de con exiones simples
p:ma-
,--- a_
Esfuerzo nonnal unifonne
•
p
p
~Dden
p
para la
r;~~~
("
fig. 1-27
~eser
t
indebien. uales y paño.
Ao _P01"""
(b)
"" nu-
%:~;
re la barra con perforación en sus extremos mostrada en la figura 1-270. En la sección intermedia a-a, la distribución de esfuerlos es unifonne sobre toda la sección y se determina el área sombreada A ,como se muestra en la figura 1-27b.
("
Fil:. 1-28
(b)
("
nto del
fa ~na
r rt¡cutión, su
(1-11)
(1- 12)
ida una a un esrlOS dis cuales
El área a fueracción nside-
• 51
Área de la sección transversal de un conector sometido a cortante. A menudo los pe rnos o pasadores se usan para conectar placas, tablones o varios miembros en tre sí. Po r ejemplo, considere la junta traslapada mostrada en la figura 1-280. Si el perno está suelto o la fuerza de agarre del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de fricción elltre las placas es despreciable:. El rJiagnulla rJe cuerpo libre de una sección que pasa ellfre las placas y a través del perno se muestra en la fi gura 1-28b. El perno está sometido a una fuerza cortante interna resultante de V = P en esta sección transversal. Supon iendo que el esfuerzo cortante que causa esta fuerza está dist ribuido IIl1ifo rmemem e sobre la sección transversal,el área A de la sección transversal de l perno se determina como se muestra en la figura 1-2&. Área requerida para resistir aplastamiento. Un esfuerzo nonnal producido por la compresión de una superficie contra otra se denomina esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es demasiado grande, puede aplastar o deformar localmente una o ambas superficies. Por tanto, para impedir una fa lla es necesario determinar el área apropiada de apoyo para el material. usando un esfuerzo de aplastamien to pennisi ble. Por ejemplo, el área A de la placa B de base de la columna mostrada en la figura 1-29 se determina a partir del esfu erzo perm isible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación A = P!(Ub)perm' Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de aplastamiento para el concreto es menor que el del material de la placa de base y además q ue el esfuerzo está uniformemente distribuido en tre la placa y el concreto. como se muestra en la fi gura.
Área requerida para resistir el cortante causado por carga axial. Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una barra de acero cuyo extremo esté empotrado en concreto y se encuentre cargado como se muestra en la figura 1-30a. Un diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 1-30b, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es (7Td)l, donde d es el diámetro de la barra y 1es la longitud del empotramiento. Si bien la distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar A = V jTperm pa~ ra calcular 1, siempre que conozcamos d y Tperm, figura 1-30b.
PUNTOS IMPORTANTES
c.) Esfuerzo cortante uniforme .::;.""",
Tpenn
,"-S$~ " ~ Tperm trd
""'1IIIIIIII
eb)
p
• El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de un esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga propuesta . Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en el esfuerzo real en un miembro y entonces, depend i en~ do de los usos propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para obtener la carga admisible que el miembro pue~ de soportar. • Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuer~ zas normal y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en ingen iería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplica~ das, debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone uniformemente dislribuida o "promediada" sobre la sección.
Fig.l-JO
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal promedio y del esfuerzo cortante promedio, debe primero considerarse cuidadosamen te sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Una vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñar~ se con suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella. Para determinar esta área. se requieren los siguientes pasos. Carga interna.
• Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cue r~ po libre de un segmento del miembro. La fu erza interna resultante en la sección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio. Area requerida.
• Si se conoce o puede determina rse el esfuerzo permisible, el área requerida para soportar la carga en la sección se calcula entonces con A = P jUperm o A = V j 'Tperm'
SECCiÓN 1.7 Diseño de conexiones simples • 53
EJEMPLO
I
I
Los dos miembros están unidos por pasadores en B como se muestra en la figura 1-31a. Se muestran también en la figura dos vistas superiores de las conexiones por pasador en A y B. Si los pasadores tienen un esfuerzo cortante permisible 1'" ,,= = 12.5 klb jpulg2 y el esfuerzo permisible de tensión de la barra CB es (ur)perm = 16.2 klb/ pulg2, determine el diámetro más pequeño, con una aproximación a pulg, de los pasadores A y n y el diámetro de la b:ura CS. necesarios para soportar la carga.
-k
A
3 ~b
~ A, =;;!~~~O~~ B ~ 4 pies
B
2Pies----i
e" Ag • • -3 1
Solución
La barra C8 es un miembro de dos fuerzas; el diagrama de cuerpo libre del miembro AB,junto con las reacciones calculadas en A y B, se muestran en la fig ura 1-31b. Como ejercicio, verifique los cálculos y note que lafuer1. Q resultante en A debe usarse para el diseño del pasador A , ya que ésta es la fuerza cortante que el pasador resiste.
3.33 klb
2.85 klb
I
3klb
~b
eb' Comimía
54 • CAPITULO 1 Esfuerzo
285~
..
~~42m Pasador en A
Pasador en B
(ol
Diámetro de los pasadores. De la figura 1-31a y los diagramas de cuerpo libre de la porción seccionada de cada pasador en contacto con el miembro AB, (igura 1-31c, vemos que el pasador A está sometido a corlante doble, mientras que el pasador B está sometido a cortante simple. Entonces, AA = ~ T p
1.425 klb = 0.1139 pulg2 = 12.5 klb/pulg2
As = ~ T perm
3.333 klb = 0.2667 ul 2 = 12.5 klb/ pulg2 p g
'7T
(df
2
11"( d~ 4
dA = 0.381 pulg
)
)
d s = 0.583 pulg
Aunque estos valores representan los diámetros más peqlleiios permisibles para los pasadores, deberá escogerse un tamaño de pasador comercial. Escogeremos un tamaño mayor con una aproximación a ~ pulg como se requiere.
dA
=
do =
f¿ pulg =
0.4375 pulg
Resp.
i pulg = 0.625 pulg
Resp.
Díámetro de la barra. El diámetro requerido pa ra la barra en su sección media es entonces: p ABe =
(a-,)peml
3.333 klb cc'?"C'-'=, 16.2 klb/ pu lg2
=
0.2058 pulg2 =
1T
(die) 4
d Be = 0.512 pulg
Escogeremos d se = --& pulg = 0.5625 pulg
Resp.
SECCiÓN 1. 7 Diseño de conexiones simples •
EJEMPLO El brazo de control está sometido a la carga mostrada en la figura 1-32a. Determine el diámetro requerido, con una aproximación de ~ pulg, para el pasador de acero en e si el esfuerzo cortante permisible para el acero es Tperm = 8Ib/pulg2 . Advierta en la figura que el pasador está sometido a cortante doble. F"
lT f=!,,",t 8 pulg
8 pulg
,.)
Cy
3klb
, ,' 5klb
3 klb ,b)
Solución
Fuerza cortante interna. Un diagrama de cuerpo libre del brazo se muestra en la figura 1-32b. Por equilibrio tenemos, ¡+ l: Me = O; FAB(8 pulg ) - 3 klb(3 pulg) - 5 klp(!)(5 pulg) = O F AB =3 klb
.±,. ¡ Fx = O;
-:,3 klb -
ex + 5 klb(i)
C y - 3 klb - 5 kl b (~)
= O
ex =
1 klb
=
O C y ~ 6 klb
El pasador en e resiste la fuerza resultante en
e Por lo tanto,
+t¡ Fy= O;
Fe
=
\/(1 klb)'
6.082 klb
~04'k1b 3.041 klb
Pasador en
,,'
+ (6 klb)' - 6.082 klb
Como el pasador está sometido a cortante doble, una fuerza cortante de 3.041 klb actóa sobre su área transversal elllre el brazo y cada hoja de soporte para el pasador, figura 1-32c. A rea reqllerida.
A=
Tenemos
v
3.04l klb 8 klb jpulg'
7T(~y = d
=
=
0.3802 pulg 2
0.3802 pulg 2 0.696 pulg
Usaremos un pasador con diámetro de d = f pulg = O.750pulg
Resp.
. ·ig. I -32
e
55
56 • cAPiru LO 1 Esfuerzo
EJEMPLO La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular empotrado a ella, como se muestra en la figura 1-33a. Si la barra pasa por un aguje ro con diámetro de 40 mm, determine el diámetro mÍnimo requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario para soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es uperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es "Tpenn = 35 MPa.
v· ¡20kN
(b)
(.)
Fig.l.J3
Solución Diámetro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20 kN. El área transversal requerida para la barra es entonces A ~ -
P
-
. "",,=
20(103 ) N
=
60(106 ) N/ m'
= 0.3333(10- 3 ) m2
Ue manera que A =
11"( ~2)
= 0.3333( 10- 2) m2
ti = 0.0206 m = 20.6 mm
Resp.
Esp esor del disco. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo del disco, figura 1-33b, el material en el área seccionada debe resistir esfuerzos cortantes para impedir el movimiento del disco a través del agujero. Si se SlIpone que este esfuerzo cortan· te está uniformemente distribuido sobre el área seccionada , entonces, como V = 20 kN, tenemos: V A ~ -- ~ "Tperm
20(103 ) N 35(106 ) N/ m2
Como el área seccionada A disco es:
=
0.571(10-3 )
m'
2n(0.02 m)(l), el espesor requerido del
_ 0.5714(10- 3 ) m l _ -3_ 211"(0.02 m) - 4.55(10 ) m - 4.55 mm
l -
Resp.
es
>re 'ea
:0m-
'es,
del
~sp.
SECCIÓN 1.7 Diseño de conexiones simples • 57
EJEMPLO Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 1-340 es resistida por el coHarín en e que está unido a la Oecha y localizado a la derecha del cojinete en B. Determine el máximo valor de P para las dos fuerzas axiales en E y F. de manera que el esfuerzo en el collarín no exceda un esfuerzo de aplastamiento permisible en e de (Ub)pcrm = 75 MPa y que el esfuerzo normal promedio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensión permisible de (a¡)perm = 55 MPa.
60 mm
A
8€lI20 mm
2p ..-~i""¡¡¡¡¡¡¡""~¡¡¡E.P:;'~I...¡¡¡l IT80 F J&..
-
mm
e
2P
I •
« (b)
(,)
Carga axial
Fig. ' ·34
l~ ~t=;:::::==L
Pooi"',
(o)
Solución Para resolver el problema determinaremos P para cada condición po-
sible de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué?
Esfuerzo normal. Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro dé la región FE de la flecha es 2P, mientras que la carga axial máxima, 3P, ocurre dentro de la región EC, figura 1-34b. La variación de la carga interna se ve claramente en el diagrama de fuerza normal, figura 1-34c. Como el área transversal de toda la flecha es constante, la región EC estará sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Aplicando la ecuación 1-11, tenemos; p
uperm = -
A
55(10') N/m2
~
3P 11(0.03 m )2
P ~ 51.8 kN Esfuerzo de aplastamiento. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figu ra 1-34d, el collarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área de apoyo de Ab = [11(0.04 m)2 - 11(0.03 m)2] = 2.1 99(10- 3) m2. Entonces, P
A~ -- '
O'perm'
_
6
2
7,(10 ) N/ m P
3P
~ 2.199(10-3) m2 ~
55 .0kN
En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la fl echa es p = 51.8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el
esfuerzo normal permisible en la !lecha se exceda.
.
3P-f§ e (d)
3P
58 • CApíTULO 1 Esfuerzo
EJEMPLO La barra rígida AB mostrada en la figura 1-35aestá soportada por una barra de aceroAC que tiene un diámetro de 20 mm y por bloque de aluminio que tiene un área transversal de 1800 mm 2, Los pasadores de diámetro de 18 mm en A y e están sometidos a corlanre simple, Si el esfuerzo de falJa para el acero y el aluminio son (Uac)faua = 680 MPa y ( O"al)falla = 70 MPa, respectivamente. y el esfuerzo cortante de falla para cada pasador es 7fall~ = 900 MPa. determine la carga máxima P que puede aplicarse a la barra . Apl iyue un factor de seguridad FS de 2, Soludón Usando las ecuaciones 1-9 y 1-10, los esfucrzos permisibles son _ (Uac)ralla _ ( (Tac ) falla -
680 MPa _ 340 MP a 2
_ ( (Tal ) faUa -
70 MPa _ 35 MP
FS
«(TaJ)ralla _
FS
7falla
= FS =
7raUa
2
-
a
900 MPa _ 2 = 4,0 MPa
El diagrama de cuerpo libre para la barra se muestra e n la fig ura 1-35b . Se tienen tres incógnitas. Aplicaremos aquí las ecuaciones de
equ ilibrio para expresar FAC Y FB en té rminos de la carga P aplicada, Tenemos ¡+¡;M8~O;
L+ ¿ M A
=
P(1.25 m) - FA d2 m) F8 (2 m ) - P(0.75 m )
O;
~ ~
O O
(1 ) (2)
Determinaremos ahora cada valor de P que genera el esfuerzo permisible e n la barra, bloque y pasadores,. respectivamente.
Barra AC. Se requiere FAC ~ (
(106.8 kN) (2 m ) 25 =171 kN 1. m En este caso, p
Bloque B.
F B = (U.I)permAS = 35(106) NJ m2 (1800mm 2 (I04i) m2Jmm 2] = 63.0 kN Usando la ecuación 2, P
Pasador A o C.
~
(63.0 kN) (2 m ) 0.75 m
~
168 kN
Aquí
V = FAC = 7permA = 450( 106 ) NJm2[1T(0.009 m)2] = 114.5 kN De la ecuación 1, 114.5 kN(2 m) p ~ ~ 183 kN 1.25 m Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), se gencra el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por consiguiente, p ~ 168kN Resp.
PROBLEMAS
•
59
PROBLEMAS - 1-80. El miembro B está sometido a una fu erza de compresión de 800 lb. Si A Y B están hechos de madera y lienen pulg de espesor, determine con una aproximación de t pulg la dimensión h más pequeña del soporte para
1
que el esfuerzo corta nte promedio no sea mayor que Tpenn =: 300 Ibfpulg?
1-82. La junta está conectada por medio de dos pernos. Determine el diámetro requerido de los pernos si el esfuerzo cortante permisible en los pernos es Tpcrm =< 110 MPa. Suponga que eada perno soporta una porción igual de la carga.
"'~",mm , 40kN 4Qlr:N
Prob.l-80 Prob.1-82
'.
1-81. El poste de roblede60 x 60 rnm está soportado por el :'loque de pino. Si los csfucr.lOS permisibles por aplastamiento en
eso~
rnll leril'lles son U,<>bIc: "" 43 MPa y <7",...,
-
25 MPa, determine la carga máxima P que puede ser soportada. Si se usa una placa r!gida de apoyo entre los dos materiales, determine su área requerida de manera que la carga máxima P pueda ser soportada. ¿Qué valor tiene esta carga?
l-83. La palanca está. unida a la flec ha A por medio de una chaveta de ancho d y longitud de 25 mm. Si la flecha está empolrada y se aplica una fuerza vertical de 200 N perpendicular al mango, determine la dimensión d si el esfuerzo cortante pcnnislble en la chaveta es Tpcrm :o 35 MPa.
d
"
A 20 mm
1----- 500 mm - - - -- 1 200 N
p. Prob.1-81
Prob.I-83
60
•
CApITULO 1 Esfuerzo
*1·84. El tamaño a del filete se determina calculando el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano sombreado que tenga la menor sección transversal. Determine el tamHño a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P = 20 klb. E l esfu erzo cortante permisible para e l material de la soldadura es T~rm "" 14 klbj pulg2.
1-87. El manguito de un eslabón giratorio en el control elevador de un avión se mantiene en posición usando una tuerca y una arandela como se muestra en la figura (a). La falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de empuje se separe como se muestra en la figura (b). Si el esfuerzo normal promedio maximo para la arandela es Um,1~ - 60 kl b j puli y el esfuerzo cortante promedio máximoes T m.1x ,.. 21 klbj pulg1, determine la fuerza F que debe aplicarse al manguito para que ocurra la falla . La arandela tiene -f¡ pulg de espesor.
f ..-
Prob.l-84
A
1·85. El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg. Si se supone que ¡ajunta ralla por cortante en ambos lados del bloque a 10 largo del plano sombreado. el cual tiene la sección transversal más pequeña, determine la fu erza máxima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortante permisible para el material de la soldadura es Tperm "" 14 klbjpulg2.
'bl
'" Probo 1·87
*.-88. Los dos alambres de acero AB y AC se usan para soportar la carga. Si ambos alamb res tienen un esfuerzo de tensión permisible de O'perm = 200 MPa, determine el diámetro requerido de cada alambre si la carga aplicada es P "" 5 kN. 1·89. Los dos e~ bl es ele acero AB y AC se usan para soportar la carga. Si ambos ala mb res tienen un esfuerzo de tensión permisible de O'perm : ISO MPa. y el alambre AB tiene un d iámetro de 6 mm y AC tie ne un diámetro de 4 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a la cadena antes de que falle uno de los alambres.
Prob.I-85
1-86. El miembro a tensión está ensamblado por medio de dos pernos, uno a cada lado del miembro como se muestra. Cada perno tiene un diámetro de 0.3 pulg. Determine la carga máxima P que puede aplicarse al miembro si el esfuerzo conante permisible para los pernos es TpeTl'O .. 12 klbj pulg2 y el esfuerzo normal promedio permisible es 2 O'perm "" 20 klbfpulg •
p
• p
•
p
Prob.I-86
Probs.. 1-88189
60 • CAP[TULO 1 Esfuerzo
"' 1-84. El (amaño a del filete se determina calculando el esfuerzo conante promedio a lo largo del plano sombreado que tenga la menor sección transversal. Determine el tamaño a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P = 20 klb. El esfuerzo cortante perm isi ble ¡ara el mate rial de la soldadura es Tpc .m ~ 14 klb / pulg .
1-87. El manguito de un eslabón giratorio en el control elevador de un avión se mantiene en posición usando una luerca y una arandela como se mueSlra en la figura (o). La falta de la arandela A puede ocasionar que la barra de empuje se separe como se muestra en [a figura (b). Si el esfuerzo normal promedio mliximo para la arande la es Umb - 60 klb/pu[g2 y e[ esfuerzo cortante promedio máximoes TIIIÚ = 21 klb/ pu[g'-, determine la fuena Fque debe aplicarse al manguito para que ocurra la falla. La arandela tiene pulg de espesor.
-k
..
Prob. l ·84
(.)
1-85. El tamaño del cordón de soldadura es a "" 0.25 pulg. Si se supone que la junta falla por cortante en ambos lados del bloque a lo largo del plano sombreado. el cual tiene la sección transversal más pequeña, determine la fuerza máxima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortante permisible para el material de la soldadura es "rpcrm == 14 klb/ pulg2.
Prob.l-87
"'1-88. Los dos alambres de aceroAB y ACse usan para soportar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerlo de tensión permisible de upcrm == 200 MPa, determine el diámetro requerido de cada alambre si [a carga aplicada esP "S kN. 1-89. Los dos cables de acero AH y AC se usan para soportar [a carga. Si ambos alambres tienen un esfu erzo de tensión permisible de upc .... '" 180 MPa, y el alambre AB tiene un diámetro de 6 mm y AC tiene un diámetro de 4 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a la cadena antes de que falle uno de los alambres.
Prob. I-85
1-86. El miembro a tensión está ensamblado por medio de dos pernos. uno a cada lado del miembro como se muestra. Cada perno tiene un diámetro de 0.3 pulg. Determine la carga máxima P que puede aplicarse al miembro si el esfuerzo cortante permisible para los pernos es "rpcrm == 12 klb /pulg2 y el esfuerlo normal promedio permisible es upe .... = 20 klb /pu[gl.
,
p •
p
p
Probo 1.86
(b)
Probs. t ·88189
P ROBLEMAS
1·90. El brazo de la grúa está soportado por el cable de un malacate que tiene un diámetro de 0.25 pulg y un es· fuerzo normal permisible de O"p<'nn = 24 klbj pulg 2 . Determine la carga máxima que puede ser soportada sin que el cable fa lle cuando 8 = 30~ y cp == 45°. Desprecie cllamaño del malacate. )-91 . El brazo está soportado por el cable del malacate que tiene un esfuerzo normal permisible de O"pe Tm = 24 klb /pulg2 . Si se requiere que el cable levante lentamen-
•
61
La viga está hecha de pino del sur y está soportada por placas de base que descansan en mampostería. Si los esfuerzos permisibles de aplastamiento para los materiales son (Upi nn)p.r m = 2.81 klb j pulg1, (um. mp)perm = 6.70 klb jpulg2 , determine la longitud requerida para las placas de apoyo en A y B,con una aproximación de pulg, para soportar la carga mostrada. Las placas tienen 3 pulg de ancho. 1-93.
t
te 5000 lb, de O - 20 a O - 50 determine el diámetro más Q
Q
,
16
pequeiío del cable con una aproximación de pulg. El brazo A B tiene una longitud de 20 pies. Desprecie el tamaño del malacate.
Prob.1-93
, ,
"
,
Probs. 1·90191
t
,.
, 8 ,
,
1-94. Si el esfuerzo permisible de aplastamiento para el material bajo los soportes A y B es (Ub)perm = 400 lbj pulg2, de termine el ta maño de las placas cuadradas de apoyo A' Y B' reque ridas para soportar la carga. Considere P = 1.5 klb. D imensione las placas con una aproximación de pulg. Las reacciones en los soportes son verticales.
*1-92. La armadura se usa para soportar la carga mostrada. Determine el área requerida de la sección transversal del miembro Be si el esfuerzo normal permisible es 2 u pe rm = 24 klbJpulg .
}-95. Si el esfuerzo permisible por aplastamiento para el material bajo los soportes A y B es (Ub)ptnn = 400 Ibj pulg 2, determine la carga P máxima que puede aplicarse a la viga. Las placas de apoyo A' y'S' tienen sección cuadrada de 2 X 2 pulg Y4 x 4 pulg, respectivamente.
800 lb 3kJb
2 klb
2 kJb
2klb
p
:-5 pics- - 5 pics- 1- 5 pies- f - 7.5 pies-
O'
A
Probo }·92
B
Probs. 1-94J95
62
•
CAP[TULO 1 Esfuerzo
· 1·96. Determine el área transversal requerida en el miembro BC y el diámetro de los pasadores en A y B si el esfuerzo normal permisible es u po rm = 3 klbj pulg2 y el esfuerzo conante permisible es Tperm = 4 klb jpulg2.
1·98. Las dos barras de aluminio AB y AC tienen diá· metros de 10 mm y 8 mm, respectivamente. Determine la fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es uperm 150 MPa.
e 1500 lb
B
1500 lb
e
4 ¡Jies - - - 2 Piesj \
p
B
A
Prob. 1·91
Prob.l·96
1·97. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza ver· lical de P = 20 kN. Determine sus diámetros requeridos si el csfueJ"2O permisible de tensión para el aluminio es de upenn = 150 MPa.
1·99. Las ménsulas soportan uniformemente la viga, por lo que se supone que los cuatro cl.1vos en cada ménsula so· portan una porción igual de la carga. Si la viga está sorne· tida a la carga mostrada, determine el esfuerzo cortante promedio en cada clavo de la ménsula en los extremos A y B. Cada clavo tiene un diámetro de 0.25 pulg. Las ménsulas soportan sólo cargas verticales. • • -100. Las ménsulas soportan uniformemente la viga. por lo que se supone que los cuatro clavos de cada ménsula soportan porciones iguales de la carga. Determine el diámetro más pequeño de los clavos en A y B si el esfuerzo cortante permisible para los clavos es Tperm = 4 klbj pulg2. Las ménsulas soportan sólo c.1rgas verticales.
B
40 IbJpie 30 Ib/pie
e
A
p
Prob. l -97
.~ lA '--'
1\
III -
18 pies
Probs. 1-991100
j
1J
P ROBLEMAS
1-101. La viga atirantada se usa para soportar una carga distribuida de w = 0.8 klb /pie. Determine el esfuerzo cortante promedio en el perno en A de 0.40 pulg de diámetro y el esfuert;o de tensión promedio en el tirante AB que tiene un diámetro de 0.5 pulg. Si el esfuerzo de fluencia en cortante para el perno es 'l"y = 25 klb/ pulg2 y el esfuerlo de fluencia en tensión para el tirante es O"y = 38 klb/ pulg2, determine el facto r de seguridad con respecto a la fluencia en cada caso.
•
63
*1-104. Si el esfuerzo cortante permisible para cada uno de los pasadores de acero de 0.3 pulg de diámetro en A , B 2 Y C es 'l"pe rm = 12.5 klb /pulg y el esfuerzo normal permisible para la barra de 0.40 pulg de diámetro es O"perm = 22 klb /pulg 2, determine la intensidad w máxima de la carga uniformemente distribuida que puede colgarse de la viga.
1-102. Determine la intensidad IV máxima de la carga distribuida que puede ser soportada por la viga atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo cortante permisible 2 'l"perm = 13.5 klb /pulg en los pernos de 0.40 pulg de diámetro en A y B, ni que se exceda tampoco un esfuerzo permisible de tensión uperm = 22 klb /pulg2 en el tirante AH de 0.5 pulg de diámetro.
r
I
Probs. l·l 0J/104
Probs. l -lOlJl 02
1-103. La viga atirantada se usa para soportar la carga distribuida de w = 500 lb /pie. D etermine el factor de seguridad con respecto a la fluencia en el tirante de acero BC y en los pasadores en B y C si el esfuerLO de flue ncia para el acero en tensión es O"y = 36 klb /pulg2 y en cortante es 'l"y = 18 klb / pulg2 • El tirante tiene un diámetro de 0.4 pulg y los pasadores tienen cada uno un diámetro de 0.30 pulg.
1-105. Las dos partes de la viga de madera están conectadas entre sí por un perno en B. Suponiendo que las conexiones en A, B, Cy D ejercen sólo fuerzas verticales sobre la viga, determine el diámetro requerido del perno en B y el diámetro exterior requerido de sus arandelas si el esfuerzo permisible de tensión para el perno es (O",)perm = 150 MPa y el esfuerzo permisible por aplastamiento para la madera es ( O"b)perm = 28 MPa. Suponga que el agujero en las arandelas tiene el mismo diámetro que el perno.
Prob.l-105
64 •
CAPITULO 1 Esfuerzo
1·106. La barra se mantiene en equilibrio por los sopor· tes de pasador en A ':! en B. Observe que el soporte en A tiene una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido a cortante simple. mientras que el soporte en B tiene dos hojas y su pasador está sometido a cortante doble. El esfuerw cortante permisible para ambos pasadores es 'Tpcnn = 150 MPa. Si se coloca sobre la barra una carga uniformemente distribuida w - 8 kN j m, determine su posición mínima permisible x medida desde 8. Los pasadores en A y en B tienen cada uno un diámetro de 8 mm. Desprecie cualquier fuerza axial en la barra.
1·110. El pasador está somet ido a cortante doble ya que se usa para conectar los lres eslabones entre sí. Debido al desgaste, la carga está distribuida sobre las partes superior e inferior del pasador como se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Determine la máxima carga P que la conexión puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para el material es 'Tpcnn = 8 klbjpulg2 y el diámelro del pasador es de 0.5 pulg. Determine también las intensidades de carga W1 Y1\12
1-107. La barra se mantiene en equilibrio por los soportes de pasador en A y en B. Note que el soporte en A tiene una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos hojas y su pasador está sometido a cortante doble. El esfu erzo cortante permisible para ambos pasadores es 'Tpcrm = 125 MPa. Si I "" I m, determine la carga w distribuida máxima que la barra puede soportar. Los pasadores A y B tienen cada uno un diámetro de 8 mm. Desprecie cualquier fuerza axial en la barra . • 1·108. La barra se mantiene en equilibrio por los soportes de pasador en A yen B. Note que el soporte en A tiene una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos ha· jas y su pasador está sometido a cortante doble. El esfuer· zo cortante permisible para ambos pasadores es 'Tpcrm = 125 MPa. Si x = I m y w :: 12 kN 1m, dete rmine el menor diámetro requerido para los pasadores A y B. Desprecie cualquier fuerza axial en la barra.
¡¡¡¡IItL, Probs. 1-I09/HO
1- lil. El eojinete de empuje consiste en un collarín circular A fijo a la flecha B. Determine la fuerLa axial P máxima que puede aplicarse a la fl echa de manera que el esfuerLo cortante a lo largo de la superficie cilíndrica {/ o b no sea mayor que el esfuerzo cortante permisible 'Tpcnn '" 170 MPa. Prom. 1-1061107/ 108
•
1-109. El'pasador está sometido a cortante doble ya que se usa para conectar los tres eslabones entre sí. Debido al desgaste, la carga está dis tribuida sobre las partes superior e inferior del pasador como se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Determine el diámetro d del pasador si el esfu erzo cortante permisible es 'Tpc.m = 10 klb / pulg2 y la carga P = 8 klb. Determine también las intensidades de carga WL YW2'
Probo ¡-IU
REPASO OEl CAP[TUlO
REPASO DEL CAPíTULO • Las cargas internas en un cuerpo consisten en una fuerza normal. una fuerza cortante. un momento flexionante y un momento torsionante. Estas cargas internas representan las resultantes de las distribuciones de esfuerzos norma les y de esfuerzos corta ntes que actúan sobre la sección transversaL Para obtener esas resultantes, use el método de las secciones y las ecuaciones de equi librio. • Si una barra está he,-=ha lit: materia l uUlllogéneo isolrópico y está sometida a una serie de cargas axiales externas que pasan por el centroide de la sección transversal, entonces una distribución uniforme de esfuerzo normal actuará sobre la sección transversaL Este esfuerzo normal promedio puede ser determinado de CT = PIA , donde P es la carga axial interna en la sección. • El esfuerzo cortante promedio puede ser determinado usando "T V lA, donde Ves la fuerza cortan te resultante sobre el área de la sección transversal A. Esta fórmula se usa a menudo para encontrar el esfuerzo cortante promedio en sujetadores o en partes usadas para conexiones. • El diseño de cualqu ier conexión simple requiere que el esfuerzo promedio a lo largo de cualquier sección transversal no exceda un factor de segu ridad o un valor permisible de CTpenn o Tperm' Esos valores se dan en códigos o reglamentos y se consideran seguros con base en experimentos o experiencia .
•
65
66 • CAPITULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS DE REPASO *l-Ul. Un pernoalraviesa una placa de 30 mm de espesor. Si la fuerza en el vástago del perno es de 8 kN, determine el esfucrzo normal promedio en el vástago, el esfuerzo cortante promedio a lo largo del área ciHndrica de la placa definida por las líneas a-a y el esfuerzo cortante promedio en la cabeza del perno a lo largo del área cilíndrica definida por las líneas bobo
1-114. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los punlOs D y E de la estructura.
t50 lb/pie
kN
T
T 1-- 3 pies -
+-- - 5 pi~s---I
Prob.l-1U Prob.I-114
1·113. La estructura de dos miembros está sometida a la carga mostrada. Determine el esfuerzo qormal promedio yel esfuerzo cortante promedio que actúan en las secciones a-a y bobo El miembro CE tiene una sección transversal cuadrada de 2 pulg por lado.
"_-1
1-115. La barra BC está hecha de acero cuyo esfuerzo permisible de tensión es O"ptIttl "" 155 MPa. Determine su diámetro más pequeño para que pueda soportar la carga mostrada. Suponga que la viga está conectada por un pasador en A .
300 lb· pie
[:A___
B
~ 4PieS +4 Pies
80 lb
Prob.1-113
Prob.l-U5
PROBLEMAS DE REPASO
- 1·116. La columna tiene un área transversal de 12(103) mm 2• Está sometida a una fuerza axial de 50 kN. Si la placa de base a la cual la columna está unida tiene una longitud de 250 mm, determine su ancho d de manera que el esfuerzo de aplastamiento promedio en el suelo bajo la placa sea la tercen parte del esfuerzo de compresión promedio en la columna. Esboce la distribución de esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la columna y en el fondo de la placa de base.
•
67
1-118. La potea se mantiene fija a la fl echa de 20 mm de diámetro por medio de una chaveta que se inserta en una ranura de la polea y de la flecha. Si la carga suspendida tiene una masa de 50 kg, determine el esfuerzo cortante promedio en la chaveta a lo largo de la sección {I·a. La chao veta liene una sección transversal cuadrada de 5 mm por 5 mm y 12 mm de longitud.
,
•
Prob.l·116
1·117. La viga AB está soportada por un pasador en A y por un cable Be. O'rQ cable ce se usa para sostener la estructura. Si AB pesa 120 lb/pie y la columna FC pesa ISO Ib/ pie, determine las caJ"ga~ int~mas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos D y E. Desprecie los anchos de la viga y de la columna en el cálculo.
Prob.l·1l8
1-119. La conexiÓn de barra y grillete está sometida a una fuerza de tensiÓn de 5 kN. Determine el esfuerLO normal promedio en cada barra y el esfuerzo cortante promedio en el pasador A entre los miembros.
5
G
5kN
1---12pies---I Prob.l·1l7
Prob.1-1l9
Esfuerzos excesivos en materiales frágiles, como en este estribo de concreto, generan deformaciones que terminan fracturándolo. Por medio de mediciones de la deformación unitaria, los ingenieros pueden predecir el esfuerzo en el material.
CAPiTULO
2
Deformación unitaria
En ingen iería. la deformación de un cuerpo se especifica usa ndo el concepto de deformación unita ria tanto normal como cortan te. En este capítulo definiremos esas cantidades y mostraremos cómo pueden evaluarse en diversos tipos de pro~ blemas.
2.1
Deformación Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar la forma y tamaño del cuerpo. A esos cambios se les llama deformación y ésta puede ser visible o prácticamente inadvertida si na se emplea el equipo apropiado para hacer mediciones precisas. Por ejemplo, una banda de hule expe ri mentará una defo rmación muy grande cuando se estira. En cambio, en un edificio s6lo ocurrirán deformaciones ligeras en sus
miembros estructurales debido a la carga de sus ocupantes. Un cuerpo también puede deformarse cuando la temperatura del cuerpo cambia. Un ejem plo com ún es la expansión o la contracción térmica de un techo causada por el cl ima.
69
70
CAPiTULO 2 Deformación unitaria
Observe las posiciones antes y después de tres segmentos de Unea diierentes sobre esta membrana de hule sometida a tensión. La lfnea vertical se alarga. la línea horizontal se acorta y la linea inclinada c..1mbia de longitud y gira.
En sentido general, la deformación de un cuerpo no será uniforme a través de su volumen, por lo que el cambio en la geometría de un segmento de linea dentro del cuerpo puede variar a lo largo de su longitud. Por ejemplo, una porción de la línea puede alargarse, mientras que otra porción puede contraerse. Sin embargo, según se consideran segmentos de línea cada vez más cortos. éstos permanecerán también cada vez más rectos después de la deformación, y así, para estudiar los cambios por deformación de manera más ordenada, consideraremos que las líneas son muy cortas y están localizadas en la vecindad de tln punto. Al hacerlo así, debe ser claro que cualquier segmento de línea localizado en un punto del cuerpo cambiará en una cantidad diferente respecto a otro localizado en algún otro punto. Además, estos cambios dependerán también de la orientación del segmento de Ifnea en el punto. Por ejemplo, un segmento de línea puede alargarse si está orientado en una dirección, mientras que puede contraerse si está orientado en otra dirección.
2.2
Deformación unitaria
Con objeto de describir la deformación por cambios en la longitud de segmentos de líneas y los cambios en los ángulos entre ellos, desarrollaremos el concepto de deformación unitaria. Las mediciones de deformación unitaria se hacen en realidad por medio de experimentos, y una vez que las deformaciones unitarias han sido obtenidas, se mostrará, más adelante en este texto, cómo pueden relacionarse con las cargas aplicadas, o esfuerzos, que actúan dentro del cuerpo. Cuerpo no defonnado (.)
Deformación unitaria normal. El alargamiento o contracción de un segmento de línea por unidad de longitud se llama deformacidn ,mitaria nonnal. Para desarrollar una definición formal de la deformación unitaria normal, consideremos la línea AB que está contenida dentro del cuerpo no deformado mostrado en la figura 2-10. Esta línea está situada a lo largo del eje n y tiene una longitud inicial tJ.s. Después de la deformación, los puntos A y B se desplazan a los pu ntos A' y D' y la línea recta se convierte en curva con longitud tJ. s', figura 2- 1b. El cambio en longitud de la línea es entonces tJ.s' - tJ.s. Si definimos la deformación l/nitaria normal promedio usando el símbolo Eprom (épsilon), entonces: Eprom =
Cuerpo deformado
.s
As' - tJ. s
(2-1)
A med ida que el punto D se escoge cada vez más cercano al punto A , la longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo que tJ.s ~ O. Igualmente, esto causa que D' se aproxime a A', de modo que tJ.s' ~ O. Por consiguiente, la deformación unitaria normal en el pllnlO A yen la dirección de ti , es en el límite:
~)
Fig.2-1
E
=
lím
B.... Aalolargode ..
.s
tJ.S' - tJ.s
(2-2)
Si se conoce la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecuación para obtener la longitud fina l aproximada de un segmento corto de línea en la dirección de n, después de que ha sido defonnado.
SECCIÓN 2.2 Deformación unitaria
a tra;nento ejemo pue• cada !Spués le maestán ;o que obiará punto. gmenrgarse si está
le segremos ,ación !z que lielan.. o esde un
un;ralación o del silUala deI línea oio en IOci6n onces:
Te ne mos; (2-3)
Por tanto, cuando E es posil iva, la línea inicial se alargará, mientras que si E es negativa, la Unea se contraerá . Unidades. Note que la deformación unitaria normal es una camüJad adimemional, ya que es una relación entre dos longitudes. Aunque éste es el caso. es una práctica común establece rla en términos de un a relación de un idades de longitud. Si se usa el sistema SI. e ntonces las unidades básicas serán metro/ metro (m/ m). Ordinari a me nte, en la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, E será muy peque ña, así que las mediciones del alargamiento son micrómetros por metro (~m fm) , d o nde 1 ~m = 10- 6 m. E n el sistema pie-libra-segundo, la deformación unitaria puede ser establecida en unidades de pulgadas por pulgadas (pulg/ pulg). En trabajos e xpe rime ntales, a veces se e xpresa el alargamiento como un porcentaje, es decir, 0.001 m / m = 0. 1%. Como ejemplo, un alargamiento normal de 480(10- 6) puede ser reportado como 480(10- 6) pulg/ pulg, 480 ¡.Lm /m o como 0.0480% . También se puede establecer esta respuesta simplemente como 480 ¡.L (480 " micras"). Deformación unitaria cortante. El cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea inicialmente p erp endiculares e ntre sf se llama deformación unitaria cortante. Este ángulo se denota por "Y (gamma) y se mide e n radianes. Para mostrar cómo se desarrolla, consideremos los segme ntos de línea AB y AC partiendo desde el mismo punto A e n un cuerpo, y dirigidos a lo largo de los ejes perpendiculares n y t , figura 2-2a. Después de la defonnación, los extremos de las líneas se desplazan , y las líneas mismas se vuelve n curvas, de modo que el ángulo e ntre e llas e n A es 0', fi gura 2-2b. D e aquí definimos la deformación unitaria cortante en el punto A que está asociada con los ejes ti y 1 como: "V
1111
=.!. 2 -
lím
9'
(24)
B ..... Aa to largoden C-Aalolargodel
Note que si e' es menor que n/l, la deformación unitaria corta nte es positi va, mie ntras que si 6' es mayor que n/l, la deformación unitaria cortante es negativa.
(2-1 )
eto A,
"
1fl1 odo
laque plinto
(2-2) Cuerpo defonnlldo
Cuerpo no defonnado
ecuarto de
,.)
(b)
Fif:.2·2
• 71
74
•
CAPíTULO 2 Deformación unitaria
E J EMPLO La barra esbelta mostrada en la figura 2-4 está sometida a un incremento de temperatura a lo largo de su eje, que genera una deformación unitaria normal en la barra de EZ = 40(1O- 3) ZI/ 2, donde z está dada en metros. Determine (a) el desplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de temperatura, y (b) la deformación unitaria normal promedio en la barra.
Fig.24
Solución
Parte (a). Como la deformación unitaria normal está dada en cada punto a lo largo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado en la posición z, figura 2-4, tiene una longitud deformada que puede determinarse con la ecuación 2-3; o sea,
La suma total de esos segmentos a lo la rgo del eje da la longitud deformada de la barra, esto es, Z' ~ =
r'.2m
J,
[1
+ 'O( 1O-3}z'/2) dz
z + 40(1O- 3 )(j z3/2) j8.2m
= 0.20239 m
Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es 118 = 0.20239 m - 0.2 m
=
0.00239 m = 2.39 mm
!
Resp.
Parte (h). La deformación unitaria normal promedio en la barra se determina con la ecuación 2-1 , que supone que la barra o "segmento de línea" tiene una longitud original de 200 mm y un cambio de longitud de 2.39 mm. Por consiguiente, Eprom
=
115' - 115 2.39 mm l1s = 200 mm "" 0.0119 mm /mm Resp.
.r
SECCiÓN 2.2 Deformación unitaria
EJEMPLO Una fuerza que actúa sobre el mango de la palanca mostrada en la figura 2-5a ocasiona que el brazo gire en sentido horario un ángulo de (J = 0.002 rad. Determine la deformación unitaria normal promedio desarrollada en el alambre Be.
,c
B
1m
T .1 O.5m
A'
,.)
>L-'lI
~I------- Im ------~~-, C
..................B,
8'
,,
B-l
0.5 m
A
~
'b)
Fig.2-S
Solució n
Como (J "" 0.002 rad es pequeño, el alargamiento en el alambre CB, figura 2-5b, es BB' = 8(0.5 m):::: (0.002 rad)(0.5 m) = 0.001 m. La deformación unitaria normal promedio en el alambre es en tonces, Eprom
=
BB' -e B
~
-O.OO! 1m
=
0.001 m/ m
Resp.
•
75
76
•
CApITULO 2 Deformación unitaria
EJEMPLO La placa es deformada y adquiere la fonna mostrada con líneas punteadas en la figura 2-00. Si en esta configuración deformada las líneas horizontales sobre la placa pennanecen horizontales y no cambian su longítud, determine (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AB, y (b) la deformación unitaria cortante promedio en la placa relativa a Jos ejes x y y.
¡'
3 mm
8
T
250mm
--1---.CL
r------------------ --!~ I
f f
'
11 f----A
300 mm
1
----------1 e
"
A
(.)
(b)
Fig.2-6
Solución
,
J 1'T ~: :----------------r-
'mm
2jO mm:
¡
lmm
Parte (a). La línea AB. que coincide con el eje y, se convierte en la línea AB' después de la defomlación, como se muestra en la figura 2-6b. La longilud de esta línea es AB' = V(250
2)' + (3)' = 248.018 mm
La deformación unita ria nonnal promedio para AB es por lo tanto , ) = AB' - AB = 248.018 mm - 250 mm ( A8 prom AH 250mm
Q'
¡-' o'
= -7.93(10- 3 ) mm/ mm (, )
Resp.
El signo negativo indica que la defonnación unitaria causa una contracción deAB.
Parte (b). Como se ve en la figura 2-&-, el ángulo 90° BAC originalmente recto entre Jos lados de la placa y medido desde los ejes x, y, cambia a 8' debido al desplazamiento de B a B'. Como 'Yxy = 1T / 2 - 8', entonces -y x)' es el ángulo mostrado en la figura. Así,
_ -I(
'Yxl' -
tan
3 mm
250 mm
2 mm
)_
- 0.0121 rad
Resp.
SECCiÓN 2.2
EJEMPLO ¡tealOri-
¡ngi>del laca
La placa mostrada en la figura 2-7a está emporrada a lo largo de AS y se mantiene en las guías ñgidas horizontales en sus partes superior e inferior AD y BC Si su lado derecho CD recibe un desplazamiento horizontal uniforme de 2 mm, determine (a) la deformación unitaria normal promedio a 10 largo de la diagonal AC, y (b) la deformación unitaria cortante en E relativa a los ejes x , y.
nm
-
150mm ---l1-2mm ("
Fig.2·7
Solución Parle (a). Cuando la placa se deforma, la diagonal AC se convierte en la AC' . figura 2-7b. La longitud de las diagonales AC y AC' se halla con el teorema de Pitágoras. Tenemos, AC = \/(0.150)' AC' = \/(0.150)'
la IíQ-6b.
+ (0.150)' 0.21213 m + (0.152 )' - 0.21355 m
Por tanto, la deforrnl)ción unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal es (
,) AC prom
= AC' - AC = 0.21355 m - 0.21213 m AC 0,21213 m = 0.00669 mm/ mm
Resp.
Parte (b). Para e ncontrar la deformación unitaria cortante cn E relativa a los ejes x y y, es necesario primero encontrar el ángulo O', que especifica el ángulo entre esos ejes después de la deformación, figura 2-7b. Tenemos Resp.
ltrac-
,an(O') 2
=
76 mm 75mm
'"
O' = 90.759° = 1800 (90.759°) = 1.58404 ,ad
ginalcam", en-
Aplicando la ecuación 2-4. la deformación unitaria cortante e n E es por tanto, Resp. 'Yx)' = ~ - 1.58404 rad = - 0.0132 rad
Resp.
De acuerdo con la convención de signos,elsigno negarivo indica que el ángulo fI es mayor que 90°. Advierta que si los ejes x y y fuese n horizontal y vertical. entonces debido a la deformación, 'Yx)' = Oen el punto E.
Deformación unitaria
•
77
78
CAPíTULO 2 Deformación unitaria
PROBLEMAS 2-1. Una pelota de hule llena de aire tiene un diámetro de 6 pulg. Si la presión del aire dentro de ella se aumenta hasta que el diámetro de la pelota sea de 7 pulg, determine la deformación unitaria nonnal promedio en el hule.
2-5. El alambre AB no está estirado cuando (J = 45°. Si la aplicación de una carga a la barra AC; genera que el ángulo (J ~ 47°, determine la deformación unitaria normal cn el alambre.
Una franja delgada de caucho tiene una longitud no estirada de 15 pulg. Si se estira alrededor de un tubo cuyo di:'i metro exterior es de 5 pulg, determine la deformación unitaria normal promedio en la franja.
2-6. Si una carga aplicada a la barraAC ocasiona que el punto A se despince hacia la derecha uml cantidad .o. L, determine la deformaciÓn unitaria normal en el alambre AB. Inicialmente. (J = 45°.
2-2.
2-~
La viga rigida está soportada por un pasador en A y por los alambres BD y CE. Si la carga P sobre la viga ocasiona que el extremo C se desplace 10 mm hacia abajo. determine la deformación unitaria nonnal desarrollada en los alambres
CEyBD.
8
í 1 L
E
D
I 1 4m
p
e
8
'm - + - 'm ---l Prob. l -J
Probs. 2-516
2-7. Los dos alambres están coneclados en A. Si la fuerza P ocasioJla que el punto A se desplace horizontalmente 2 mm, determine la deformación unitaria normal desarrollada en cada alambre.
Bandas de nylon están adheridas por fusión a placas de vidrio. Con un calentamiento moderado el nylon se ablanda mientras que el vidrio permanece aproximadamente rigido. Determine la deformación unitaria cortante promedio en el nylon debido a la carga P cuando el conjunto se deforma como se indica.
*2-4.
'mm
H
¡+-I
3mm 'mm
T
3mm 'mm 3mm
1
r-
~I
Prob.2-4
Prob.2-7
PROBLEMAS
"'2-8. Parte de la palanca de mando de un avión consiste en un miembro ñgido CBD y en un cable flexible AB. Si se aplica una fuelZ3 al extremo D del miembro y hace girar a éste fJ = 0.3°, dctcnnine la defonnación unitaria nonnal en el cable. Inicialmente, el cable no está estirado. 2-9. Parte de la palanca de mando de un avión consiste en un miembro ñgido CBD y en un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y gencra una deformación unitaria normal en el cable de 0.0035 mmlmm,determine el desplazamiento del punto D. Inicialmente el cable no está estirado.
O
79
*2-12 La placa triangular está fija en su base y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Detennine la deformación unitaria cortante "Y.. y en A. 2-13. La placa triangular está fija en su base, y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la deformación unitaria nonnal promedio f .. a 10 largo del eje x. 2-14. La placa triangular está fija en su base, y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Detennine la deformación unita ria normal promedio f ;r' a lo largo del eje x'.
r'-! P
300 mm
1-1 ,
mm
300 mm
~
A
Pro M. 2·12/13114
Probs. 2-819
2-10. El alambre AB no está estirado cuando fJ - 45°. Si se aplica una carga vertical a la barra AC, lo que ocasiona que 8 = 47° ,determine la deformación unitaria normal en el alambre. 2-11. Si una carga aplicada a la barra AC ocasiona que el punto A se desplace hacia la izquierda una cantidad .6.L. detennine la deformación unitaria nonnal en el alambre AB. Inicialmente. fJ = 45°.
2-15. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los desplazamientos indicados.Detennine las deformaciones unitarias nonnal promedio f~ y fya 10 largo de los ejes x y y.
y
8
P
T L
~A
r~L
It±::-:-C
I
--L----~--L
Probs. 2.tO/U
pulg
Prob.2-15
80
CAPITULO 2 Deformación unitaria
k:1-1
*2-16. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los desplazamientos indicados. Determine la deformación uni taria cortante a 10 largo dc los bordes de la placa en A y B.
D
e
8
2-17. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los desplazamientos indicados. Determine las deformaciones unitarias normal promedio a lo largo del lado A 8 Y de las diago-
D
I
I
I I
nalesACyD8.
I I I
L
I I I I I I I I
I
I
I
I
I
I
/1 JI A
Prob. 2-18 y
2-19. LAs tres cuerdas están unidas al anillo en 8. Cuando se aplica una fuerLa al anillo, éste se mueve al punto 8'. de modo que la deformación unitaria normal en AB es €A8 y la deformación unitaria normal en CB es €CB' Considerando que esas deformaciones unitarias son pequeñas, determine la deformación unitaria nomlal en DB. Observe que AB y CB permanecen horizontal y vertical. respectivamente. debido a las guías de los rodillos en A y C.
0.3 pulg
pulg
Probs.2-16/17
A'
8' --------------~~
, ,
A
2-18. LA cuerda de nylon tiene una longitud inicial L y está unida a un perno fijo en A ya un rodillo en B. Si se aplica una fuerza P al rodillo. determine la deformación unitaria normal en la cuerda cuando el rodillo está en C, €c Y en D, En. Si la cuerda no estaba estirada inicialmente en la posición C, determine la deformación unitaria normal Ecn cuando el rodillo se mueve a D. Demuestre que si los desplazamientos ;le Y f. n son pequeilos, entonces €cn == €D - €e.
8',, , , , , , , , e'
e
D
Prob. 2-19
PR08lEMAS
*2-20. U. placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determine las deformaciones unitarias cortantes rx, y Yx'.rI desarrolladas en el punto A.
81
2-23. La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determine la deformación unitaria cortante promedio Yx, de la placa.
. 2-24. La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determine las deformaciones unitarias normales promedio a lo largo de la diagonal ACydelladoAB .
...!..L- ~~;,=j~:;;DUI~ 1- 0.02 pulg < Prob.2-20
3 mm
Probs. 2-23124
2-21. Un alambre delgado situado a lo largo del ejex es deformado en modo tal que cada punto del alambre se desplaza 6x = kx 2 a lo largo del eje x. Si k es constante, ¿cuál es la defonnación unitaria normal en cualquier punto P a lo largo del alambre.
p
Prob.2-21
2-25. La pieza de caucho es inicialmente rectangular. Determine la deformación unitaria cortante promedio rx, si las esquinas B y D están sometidas a los desplazamientos que ocasionan que el caucho se deforme como se muestra con las líneas punteadas. 2-26. La pieza de caucho es inicialmente rectangular y está sometida a la deformación mostrada por las lineas punteadas. Determine la deformación unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal DB y delladoAD.
2-22. El alambre está sometido a una defonnaci6n unitaria normal definida por f : (xIL )e--{x/Ll' donde x esté en milímetros. Si el alambre tiene una longitud inicial L , determine el incremento en su longitud.
<~ ~------ L -------Prob.2-22
Probs. 2-25126
82
CAPíTULO 2 Deformación u nitaria
2-27. El material se distorsiona y toma la posición p unteada mostrada. Determine (a) las deformaciones uni tarias normales promedio fE. :n €, Yla de:ormación unitaria cortante "Ix,! en A, Y(b) la deformación umtaria normal promedio a 10 la rgo de la línea BE.
· 2-28. El material se deforma según las !fneas punteadas
Prob.2-30
mostradas en la figura, Determine la deformación unitaria normal promedio que se presenta a lo largo de las diagonalesA D y CF.
2-31. El tubo curvo tie ne un radio original de 2 pies. Si se calienta no uniformemente, de manera que la deformación unitaria normal a lo la rgo de su longitud es € '" 0.05 cos 8, determine el incremento en longitud del tubo. • 2-32.
Resuelva e l proble ma 2-31 si
fE.
= 0.08 sen 8.
Probs. 2-27/UJ
Prom. 2·31/32
2-29, La carga no uniforme genera una'deformación unitaria normal en la fl echa que puede expresarse por Ex = kx 2 , donde k es una conslame. Determine el desplazamienlO del extremo B.Además,¿cuál esla deformación unitaria normal promedio en la flecha?
.r------- L ------~
)
:;.:;:;;~-~.~-;-;.~_.~-~. B A ~;:;::;;.::;:;::--
_.
_
~--
--
2-33, El bloque de polisulfona está unido con pegamento e n sus partes superior e inferior a placas rfgidas. Si una fuerza tangencial aplicada a la placa superior ocasiona que el material se deforme de modo tal que sus lados quedan descritos por la ecuación y = 3.S6x l / 4, determine la deformación unitaria cortante en e l material en sus esquinas A y B.
--
Prob.2·29
y
2-30. La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la flecha que puede expresarse por fE..
= k sen
(fx).
donde k es una constante. Determine el desplazamiento del centro e y la deformación unitaria normal promedio en toda la flecha.
Prob. 2-33
PROBLEMAS
2-34.
La fibra AB tiene una longitud L y orientación O. Si
sus extremos A y B experimentan desplazamientos muy pequeños II A y vs, respectivamente, determine la deformación unitaria normal en la fibra cuando ella está en la posición A 'B'.
,
//; P 7'\' L
A
r',\
..-
; -_---1 _ _ _ _ _ _ ., A'
Prob.2-34
83
Si la deformaciÓn unitaria normal se define con res· pecto a la longitud final, como
2-35.
E'
n
=
lím p"'p'
(65'65'~ 6S)
en lugar de definirla con respecto a la longitud inicial, ecua· ción 2-2, demuestre que la diferencia en esas deformaciones unitarias se representa como un término de segundo orden, esto es, En - E~ = E .. E ~.
Deben conocerse las propiedades mecánicas de un material a fin de que los ingenieros puedan asociar las mediciones de defonnación unitaria al esfuerzo. Aqul se determinan las propiedades mecánicas del hueso a partir de una prueba de compresión.
Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unitaria. en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con las deformaciones unitarias usando métodos experimentales para determinar el diagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará el comportamiento descrito por este diagrama. para los materiales usados comúnmente en ingeniería . Se examinarán también las propiedades mecánicas y otras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.
3.1
Pruebas de' tensión y compresión La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga sin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inherente al material mismo y debe dete rminarse por experimentación . Entre las pruebas más importantes están las pruebas de tensión o compresión. Aunque con estas pruebas pueden determinarse muchas propiedades mecánicas importantes de un material , se utilizan principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normal promedio y la deformación normal unitaria en muchos materiales utilizados en ingeniería, sean de metal, cerámica, polímeros o compuestos.
85
86
CAPíTULO 3 Propiedades mecánicas de los materia les
Fig. J ·I
Espécimen típico dc acero con una galga cxtensométrica cementada sobre éste.
cabeza
Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de forma y tamaño "estándar". Antes de la prueba, se imprimen con un punzón a la probeta dos marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas marcas se colocan lejos de los ext.remos del espécimen porque la distri bución del esfuerzo en los extremos es un tanto compleja debido al agarre de las conexiones cuando se aplica una carga. Se toman mediciones tanto del área de la sección transversa l inicial del espécimen, AQ, como de la distancia Lo de la longitud calibrada entre las marcas del punzón. Por ejemplo. cuando se usa un espécimen de metal en una prueba de tensión, generalmente éste tiene un diámetro inicial de do = 0.5 pulg (13 mm) y una longitud calibrada de Lo = 2 pulg (50 mm), figura 3-1. Con objeto de aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el espécimen, por 10 regular los extremos se asientan sobre juntas de rótula. Luego se usa una máquina de prueba similar a la mostrada en la figura 3-2 para estirar el espéci men a un régimen constante muy lento, hasta alcanzar el punto de ruptura. La máquina se diseña para que se pueda leer la carga requerida para man tener este alargamiento uniforme. Durante la prueba, y a intervalos frec uentes. se registran los datos de la carga apl icada P, a medida que se leen en la carátula de la máq uina o en un dispositivo digital. También puede medirse el alargamiento S = L - Lo en tre las marcas que se hicieron en el espécimen con el punzón, usando ya sea una galga o un dispositivo óptico o mecánico llamado extensÓmetro. Este valor de S se usa luego para determinar la deformación unitaria normal promedio en el espécimen o muestra. Sin embargo, a veces no se toma esta medición, puesto que también es posible leer la deformación unitaria directamente usando una galga eXlensomélrica de resistencia eléclrica, que se parece al mostrado e n la figura 3-3. La operación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctrica de un alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida a deformación. En esencia. la galga está cementada o pegada al espécimen en una dirección específica. Si el pegamenTO e" muy fuerTe en comparación con la galga. entonces ésta es., en efecto, una parte integra l del espécimen. de modo que cuando éste se alargue en la dirección de la galga. el alambre y el espécimen experimentarán la misma deformación unitaria. Mid iendo la resistencia eléctrica del alambre, la galgn puede graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normal directamente.
superior _~."""_'
móvil
carátula indicadorn de la carga
"""".- fjJ--
11 leocióo
. ---
,
Galga extensométrica de resistencia eltctrica
fig. ).].
Fig.J-J
SECCiÓN 3.2 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
.."
3.2
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posible calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria en el espécimen y luego graficar los result ados. La curva resultante se llama diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay dos maneras de describirlo.
Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usando los datos registrados, podemos determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería dividiendo la carga P aplicada entre el área Ao de la sección transversal original del espécimen. Este cá lculo supone que el esfuerzo es constante en la sección transversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos
(3-1) D.
De la misma manera, la deformación nominal o de ingeniería se determina directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada 8, entre la longitud calibrada original del espécimen Lo. Aquí se supone que la deformación unitaria es constante en la región entre los puntos calibrados. Entonces, (3-2)
mI
Si se ~rafican los valores correspondientes de (T y fE, con los esfu erzos como ordenadas y las deformaciones uni tarias como abscisas, la curva resultante se llama diagrama convencional de esftleno-defonnación unitaria. Este diagrama es muy importante en la ingeniería ya que proporciona los medios pa ra obtener datos sobre la resistencia a tensión (o a compresión) de un material sin considerar el tamaño o forma geométrica del material. Sin embargo, debe ser claro que nunca serán exactamente iguales dos diagramas de esfuerzo-deformación unitaria para un material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, de imperfecciones microscópicas, de la manera en que esté fabricado, de la velocidad de carga y de la tempera tura durante la prueba. Veremos ahora las características de la curva convencional esfuerzo defonnación unitaria del acero, material comúnmente usado para la fabricación de miembros estruclUrales y elementos mecánicos. En la figura 3-4 se muestra el diagrama característico de esfuerzo-deformación unitaria de una probeta de acero, usando el método antes descrito. En esta curva podemos identificar cuatro maneras diferentes en que el material se comporta, dependiendo de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.
•
87
88
CApiTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
esfuerm de frrtura real
esfueroo de fractura
componamiemo pl;!stico
Diagramas esfuerm.ddormaciÓn unitaria. convencional y real. plU1l un material dúctil (acero) (10 a escala).
Fig.3-4
Comportamiento elástico. Este comportamiento elástico ocurre cuando las deformaciones unitarias en el modelo están dentro de la región ligeramente sombreada que se muestra en la figura 3-4. Puede verse que la curva es en realidad una línea recta a través de toda esta región, así que el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. En otras palabras, se dice que el material es linealmente eláslico. El límite superior del esfuerzo en esla relación lineal se llama límite de proporciooalidad. (Tlp' Si el esfuerzo excede un poco el límite de proporcionalidad, el material puede todavía responder elásticamente; sin embargo. la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor de la deformación unitaria con el correspondiente incremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite t!lál"lico. Para determi nar este punto en cua lquier espécimen. debemos aplicar, y luego retirar, una carga creciente hasta que se detecte una deformación permanente en el mismo. Sin embargo. en el acero rara vez se determina el límite elástico. puesto que está muy cerca del límite de proporcionalidad y. por tanto. su detección es bastante difícil. Fluencia. Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocará un colapso del material y causará que se deforme permanentememe. Este comportamiento se lIamafluencia, y está indicado por la región más oscura de la curva, figu ra 3-4. El esfuerzo que origina la Huencia se llama esfuerzo defluencia o pUnlO defluencia, (Ty, y la deformación que ocurre se llama deformación p láslica. Aunque no se muestra en la fi gura 3-4, en los aceros con bajo contenido de carbono o en aquellos que sean laminados o rolados en caliente, se distinguen dos valores para el punto de Ouencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto inferior defluencia. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado el punto infe-
SECCIÓN 3.2 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
89
rior de tluencia, como se muestra en la figura 3-4,entonces la muestra continuará alargándose sil1l1ingún incremento de carga. Observe que la figura 3-4 no está trazada a escala. Si lo estuviera. las deformaciones unitarias inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40 veces más grandes que las producidas hasta el límite elástico. Cuando el material está en este estado, suele decirse que es perfectamente p lástico. Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, puede aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva continuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo, llamado esfuerzo último, U w La elevación en la curva de esta manera se llama endurecimiento por deformación , y se identifica en la figura 3-4 como la región ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba. y mientras el espécimen se está alargando, el área de su sección transversaJ disminuirá. Esta disminución de área es bastante l/niforme en toda la longitud calibrada del espécimen. incluso hasta la deformación unitaria que corresponde al esfuerzo último. Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes (vea la sección 10.7). Como resultado, tiende a desarrollarse un "cuello" en esta zona a medida que el espécimen se alarga cada vez más, figura 3-5a. Puesto que el área de la sección transversal en esta zona está decreciendo continuamente, el área más pequeña puede soportar sólo una carga siempre decreciente. De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria tienda a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el punto del esfuerzo defrllctura. Uf' figura 3-jb. Esta región de la curva debida a la formación del cuello está representada con color oscuro en la figura 3-4.
Palrón típico de cstricción que ocurrió cn este espécimen de acero justo antes de la fractura.
Dia grama rea l de e sfue rzo-deformació n unitaria. En lugar de usar siempre el área de la sección transversal y la longitud originales de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformación unitaria (de ingeniería), podríamos haber usado el área de la sección transversal y la longitud reales del espécimen en el ¡lis/alife en que la carga se está midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformación unitaria calculados a partir de es· tas mediciones se llaman esfuerzo real y deformación l//Jitaria real, y un trazo de sus valores se llama diagrama real de esfuerzo-defo rmación unitaria. Cuando se traza este diagrama, vemos que tiene la forma mostrada por la línea que forma la cu rva en la figura 3-4. Advierta que ambos diagramas (el convencional y el real) prácticamente coinciden cuando la deformación unitaria es pequeña. Las diferencias entre los diagramas comienzan a aparecer en la zona de endurecimiento por deformación , donde la magnitud de la deformación unitaria es más significativa. En particular, note la gran divergencia dentro de la zona de fo rmación del cuello. Aquí podemos ver que. según el diagrama u - e convencional, la probeta de ensayo ell realidad soporta una carga decreciellle, puesto que Ao es constante cuando se calcula el esfuerzo nominal. u = P IAo. Sin embargo, según el diagrama u - € real, el área real A dentro de la región de formación del cuello está siempre decreciendo hasta que ocurre la falla UF' y así el material realmente soporta un esfuerzo creciente. puesto que u = PlA.
"mm
; Encuellamien to
,,)
Falla de un
material ducliL lb)
Hg. 3·5
.\\1)
90
•
CApITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Aunque los diagramas de esfuerzo·deformación real y convenciona l son diferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general no es severa dentro de este intervalo. Siempre que el material sea "rígido", como son la mayoría de los metales. la deformación unitaria hasta el límite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los valores nomina les de (T y de 10 será muy pequeño (alrededor de 0.1 %) comparado con sus valores verdaderos. Ésta es una de las razones primordiales para usar diagramas de esfuerzo-deformación convencionales. Los conceptos anteriores pueden resumirse haciendo referencia a la figura 3·6, la cual muestra un diagrama de esfuerzo-deformación convencional de una probeta de un acero dulce ..Con objeto de resaltar los detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala de deformación exagerada. Siguiendo el comportam iento, el límite de proporcionalidad se alcanza en (T¡p = 35 klb/pulg 2 (241 MPa), cuando €¡p = 0.0012 pulg jpulg. Éste es seguido por un punto superior de f1uencia de (Uy)" = 38 klb/puli (262 MPa) , luego súbitamente por un punto- inferior de fluencia de (Uy)¡ = 36 klbjpulg2 (248 MPa). El final de la f1uencia ocurre con una deformación unitaria de €y = 0.030 pulglpulg, la cual es 25 veces más grande que la deforma ción unitaria en el límite de proporciona lidad. Continuando, la probeta de ensayo se endurece hasta que alcanza un esfuerzo último de (T" = 63 klb/pulg 2 (435 MPa), y luego comienza la estricción hasta que ocurre la falla , uf= 47 klb/pulg2 (324 MPa) . En com paración, la deformación unitaria en el punto de falla , €¡ = 0.380 pulg jpulg, es 317 veces mayor que €{p.
Diagrama de esfuerzo·dc foTn13ción unitaria para acero dulce
Fig.3·6
l'
(pulgj pu lg)
SECCIÓN 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles
cional cabo eneral 1 "rígihasta de los 0.1%) lzones encio-
I
ia a la
1
con~
lar los deforroporElp =
cia de )- infe· (\uena cual e prota que go coMPa). 0.380
:/pulg)
3.3
91
Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles
Los materiales pueden clasificarse como dúctiles o frágiles dependiendo de sus características esfuerzo-deformación unitaria. Trataremos a cada uno por separado. Materiales dúctiles. Todo material que pueda estar sometido a deformaciones unitarias grandes antes de su rOLUra se llama marerial dúcril. El acero dulce (de bajo contenido de carbono) , del que hemos hablado antes, es un ejemplo típico. Los ingenieros a menudo eligen materiales dúctiles para el diseño, ya que estos materiales son capaces de absorber impactos o energía y, si sufren sobrecarga , exhibirán norma lmente una deformación grande antes de su falla. Una manera de especificar la ductilidad de un material es reportar su porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área (estric· cióo) en el momento de la frac lura. El porcentaje de elongación es la deformación unitaria del espécimen en la fractura expresada en porcenlaje. Así, si la longitud original entre las marcas calibradas de un probe· ta es Lo Y su longitud durante la ruptura es Lf, entonces Porcentaje de elongación =
L¡ - Lo
Lo
(100%)
(3~3)
Como se aprecia en la figura 3-6, puesto que Ef = 0.380, este valor sería de 38% para una probeta de ensayo de acero dulce. El porcentaje de reducción del área es otra manera de especificar la ductilidad. Está definida dentro de la región de formac ión del cuello como sigue: Porcentaje de reducción del área
Ao - A¡ =
Ao
(100%)
(3-4)
Aquí Ao es el área de la sección transversal original y A¡ es el área en la fractura. Un acero dulce tiene un valor típico de 60 por ciento. Además del acero, otros materiales como el latón, el molibdeno y el zinc pueden también exhibir características de esfuerzo-deformación u (klb/pu~gZ) dúctiles similares al acero, por lo cual ellos experimentan un comporta- 60 O"ys =51 miento esfuerzo-deformación unitaria elástico, fluyen a esfuerzo constante, se endurecen por deformación y, finalmente , sufren estricción has- 50 r - - - - , ? '- ta la ruptura. Sin embargo, en la mayoría de los metales, no ocurrirá una 40 fluenc ia constante más allá del rango elástico. Un metal para el cual éste es el caso es el aluminio. En realidad, este metal a menudo no tiene 30 un punto de fluencia bien definido, y en consecuencia es práctica común 20 definir en él una resistencia a lafluencia usando un procedimiento gráfico llamado el método de la desviación. Normalmente se escoge una deformación unitaria de 0.2% (0.002 pulgj pulg) y desde este punto so~~'-'~",,;;,-~~~-s. l (pulg/pulg) 0.005 0.010 bre el eje E, se traza una línea paralela a la porción inicial recta del dia1 . 0 002 grama de esfuerzo-deformación unitaria. El punto donde esta línea in- (dcsviaci lin terseca la curva define la resistencia a la nuencia. Un ejemplo de la de 0.2%) construcción para determinar la resistencia a la Iluencia para una aleaRcsis:encia a la Oucncia para una aleación de aluminio ción de aluminio se muestra en la fifura 3-7. De la gráfica, la resistencia a la nuencia es Uys = 51 klb/pulg (352 MPa). Hg. 3-7
92
CAPITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Observe que la resistencia de fluencia no es una propiedad física del material, puesto que es un esfuerzo que causó una deformación unitaria permanente especificada en el material. Sin embargo, en este texto supondremos que la resistencia de fluencia , el punto de fluencia, ellímite elástico y el límite de proporciona lidad coinciden todos ellos, a no ser que se establezca de otra manera. El hule natural sería una excepción, ya que de hecho ni siquiera tiene un límite de proporcionalidad, puesto que el esfuerzo y la deformación unitaria no están linea lmente relacionados, figura 3-8. En cambio, este material, que se conoce como un polímero, exhibe un comportamiento elástico no lineal. La madera es a menudo un material moderadamente dúctil, y como resultado se diseña por lo general para responder sólo a cargas elásticas. Las características de resistencia de la madera varían mucho de una especie a otra, y para cada especie dependen del contenido de humedad, la edad y el tamaño o la localización de los nudos en la madera. Puesto que la madera es un material fibroso, sus características de tensión o de compresión difieren mucho cuando recibe carga paralela o perpendicular a su grano. Específicamente, la madera se abre con facilidad cuando se carga en tensión pe rpendicularmente a su grano y, por consiguiente, las cargas de tensión suelen casi siempre aplicarse paralelas al grano de los miembros de madera.
SECCIÓN 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles
:a del unilatexto t límino ser pción , lUesto :laciom p o-
como elástile un a 1edad, 'uesto n o de odicuuando liente, mode
Materiales frágiles. Los materiales que exhiben poca o ninguna fluencia antes de su rotura se llaman materialesfrágiles. Un ejemplo es el hierro colado, o hierro gris, cuyo diagrama de esfuerzo-deformación bajo tensión se muestra por la porción A8 de la cu rva en la figura 3-9. Aquí la fractura a CTI = 22 klb jpulg 2 (152 MPa) tiene lugar inicialmente en una imperfección o una grieta microscópica y luego se extiende rápidamente a través de la muestra, ocasionando una fractura completa. Como resultado de este tipo de falla, los materiales frágiles no ticnen un esfuerzo de ruptura bajo tensión bien definido, puesto que la aparición de grietas en una muestra es bastante aleatoria. En cambio, suele reportarse el esfuerzo de ruptura promedio de un grupo de pruebas observadas. En la figura 3-100 se muestra una probeta típica en la que ha ocurrido la falla. Comparados con su comportamiento bajo tensión, los materiales frágiles como el hierro colªdo exhiben una resistencia mucho más elevada a la compresión axial , como se evidencia por la porción AC de la curva en la figura 3-9. En este caso cualqu ier grieta o imperfección en la probeta tiende a cerrarse, y conforme la carga aumenta el material por lo general se abombará o adquirirá forma de barril a medida que las deformaciones unitarias van siendo más grandes, figura 3-10b. Al igual que el hierro colado, el concreto se clasifica también como material frágil y tiene baja capacidad de resistencia a la tensión. Las características de su diagrama de esfuerzo-deformación dependen primordialmente de la mezcla del concreto (agua, arena, grava y cemento) y del tiempo y temperatura del curado. En la figura 3-11 se muestra un ejemplo típico de un diagrama de esfuerzo-deformación "completo" para el concreto. Por inspección, su resistencia máxima a la compresión es de casi 12.5 veces mayor que su resistencia a la tensión, (CT(')m.1% = 5 klbj pulg 2 (34.5 MPa) contra (U,)máx = 0.40 klbj pulg 2 (2.76 MPa). Por esta razón, el concreto casi siempre se refuerza con barras de acero cuando está diseñado para soportar cargas de tensión. Puede afirmarse, por lo general, que la mayoría de los materiales exhiben un comportamiento tanto dúctil como frág il. Por ejemplo, el acero tiene un comportamiento frágil cuando tiene un contenido de carbono alto, y es dúctil cuando el contenido de carbono es reducido. También los materiales se vuelven más duros y frágiles a temperaturas bajas, mientras que cuando la temperatura se eleva, se vuelven más blandos y dúctiles. Este efecto se muestra en la figura 3-12 para un plástico metacrilático.
El acero pierde rápidamente su resistencia al ser c2.lentado. Por esta razón los ingt:nieros requieren a menudo que los miembros estructurales principales sean aislados contra el fuego.
Diagramas (7'( para un plistico metacri l4tico Fig.3-11
94
3.4
• CAPiTULO 3 Propiedades mecánicas de 105 materiales
Ley de Hooke Como se observó en la sección anterior, los diagramas de esfuerzo-defo rmación para la mayoría de los materiales de ingeniería exhiben una relación Ii/Jeal entre el esfuerzo y la deformación unitaria den tro de la región elástica. Por consiguiente, un aumento en el esfuerzo causa un aumento proporcional en la deformación unitaria. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en 1676 en los resortes, y se conoce como ley de Hooke. Puede expresarse matem át icamente como: (3-5)
Aquí E representa la constante de proporcionalidad , que se ll ama módulo de elaslicidad o m ódulo de Young , en honor de Thomas Young, quien publicó en 1807 un trabajo sobre el tema. La ecuación 3-5 representa en realidad la ecuación de la porción inicial reera del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria hasta el límite de proporcionalidad. Además, el módulo de elasticidad representa la pendiente de esta línea. Puesto que la deformación unitaria no tiene dimensiones, según la ecuación 3-5, E tendrá unidades de esfuerzo, tales como Ibj pulg2 , klb jpulg2 o pascales. Como ejemplo de su cálculo, consideremos el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el acero mostrado en la figura 3-6. Aquí, alp = 35 klbjpulg 2 y Elp = 0.0012 pulg jpulg, de modo que:
E
(1
(klbjpulgl)
180
acero para resortes ( 1% de ,arbono)
lOO 14ll 120
lOO 80
w:ero cndu~cido tratado térmkamentc (0.6'" de arbono) acero m3ql.Ínado (0.6% de "tbono)
Como se muestra en la figura 3-13, el límite de proporcion alidad para un tipo particular de acero depende de su contenido de aleación; sin embargo, la mayoría de los grados de acero, desde el acero rolado más suave hasta el acero de herramientas más duro, tienen aproximadamente el mismo módulo de elasticidad, que generalmente se acepta igual a E.e = 29( 103) klb jpulg2 o 200 GPa. Los valores comunes de E para otros materiales de ingeniería están a menudo tabulados en códigos de ingeniería y en libros de referencia. Valores representativos se dan también en el forro interior de la cubierta de este libro. Debe observarse que el módulo de elasticidad es una propiedad mecánica que indica la rigidez de un material . Los materiales que son muy rígidos, como el acero, tienen valores grandes de E [Eae = 29( 103) klb jpulg2 o 200 GPa], mientras que los materiales esponj osos, como el hule vulcanizado, pueden tener valores bajos [Eh = 0.10(103) klbjpulg 2 o 0.70 MPa]. El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más importan tes usadas en el desarrollo de las ecuaciones presentadas en este texto. Por tanto, deberá siempre recordarse que E puede usarse sólo si un material tiene un comportam ien to elástico lineal. También , si el esfuerzo en el materi al es mayor que el límite de proporcionalidad, el diagrama de esfuerzo deformaci ón uni taria deja de ser una línea recta y la ecuación 3-5 ya no es vá lida.
SECCIÓN 3.4 Ley de Hooke
95
Endurecimiento por deformación . Si una probeta de material dúctil,
Je-
""la
como el acero, es cargada dentro de la zona plástica y luego descargada , la deformación elástica se recupera cuando el material retorna a su esta~ do de equilibrio. Sin embargo, la deformaci6n plástica permanece y, como resullado, el material queda some tido a una deformación permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla (plásticamente) , resorteará un poco (elásticamente) cuando se quita la carga; si n embargo, no retornará por completo a su posición original. Este comportamiento puede ilustrarse por medio de un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria como se
-;)
muestra en la figura 3-140. Aquí, la probeta es cargada, primero, más aná de su punto de fluenc ia A hasta el punto A '. Puesto que las fuerzas interatómicas tienen que vencerse para alargar al espécimen elásticamente, entonces estas mismas fuerzas hacen que los átomos permanezcan juntos cuando se retira la carga, figura 3-140. Por consiguiente, el módulo de elasticidad E es el mismo, y la pendiente de la línea O ' A tiene la misma pendiente que la línea DA. Si se aplica de nuevo la carga, los átomos del material serán nuevamente desplazados hasta que ocurra la fluencia en o cerca del esfuerzo A' , y el diagrama de esfuerzo-deformación continúa a lo largo de la misma trayectoria como antes, figura 3-14b. Sin embargo, conviene señalar que este nuevo diagrama de esfuerzo-deformación definido por O' A ' B' tiene ahora un punto de fluencia mayor CA '), como consecuencia del endurecimiento por deformación. En otras palabras, el material tiene ahora una región elástica mayor; sin embargo, tiene menos ductilidad, esto es, una menor región plástica, que cuando estaba en su estado original. Debe señalarse que en realidad puede perderse algo de calor o energía cuando el espécimen es descargado desde A ' Y luego cargado de nuevo hasta este mismo esfuerzo. Como resultado, se tendrán ligeras curvas en las trayectorias de A' a O' y de O' a A ' durante un ciclo de carga medido cuidadosamente. Esto se muestra por medio de las curvas con rayas en la figura 3-14b. El área sombreada entre estas curvas representa energía perdida y se llama hisléresis mecánica. Se convierte en una consideración importante cuando se seleccionan materiales que van a servir como amortiguadores de vibraciones en estructuras o en equipos mecánicos, aunque en este texto no la consideraremos. I
,.>le
,..-
'"'
lIS
..a
"'"
., ".-
""d
región elástica
región plástica
región elástica
región plástica
__--" 8
"'..,
A'
A'
/,' ,,,, ,, ,,, ,,, ,,, , , histéresis mecánica
"
""
//
~--Lf.-------L_0defonnaci6n O' re<:upe=ión I permanente I elástIca
"
,
o
(,)
O' (b)
Hg. 3-14
.,..
96
•
3.5
CApITU LO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Energía de deformación
Flg.3-15
U n material tiende a almacenar energfa internamente en todo su volumen al ser deformado por una carga exte rna. Puesto que esta energía está relacionada con las deformaciones del material, recibe el nombre de energía de deformaci6n unitaria. Por ejemplo, cuando una probeta de prueba a tensión está sometida a una carga axial, un elemento de volumen del material está sometido a esfuerzo uniaxial como se muestra en la figura 3-15. Este esfuerzo desarrolla una fuerza t::.F .. CT t::.A - CT (t::.x .6.y) sobre las caras superior e inferior del elemen to después que el elemento sufre un desplazamiento vertical E 6. z. Por definición, el trabajo se determina por el producto de la fuerza y el desplazamiento en la dirección de la fuerza. Puesto que la fuerza 6.F aumenta uniformemente desde cero hasta su magnitud fin al 6.F cuando se alcanza el desplazamiento E 6. z, el trabajo efectuado en el elemento por la fuerza es igual a la magnitud de la fuerza promedio (6.F/2) por el desplazamiento E .6.z. Este "trabajo externo" es equivalente al " trabajo interno" o energía de deformación unitaria almacenada en el elemento (suponiendo que no se pierda energía en forma de calor). En consecuencia, la energía de deformación unitaria 6. U es 6.V = (1/2 il.F) E 6. z = (1/2 u.lx il.Y)E 6.z. Como el volumen del elemento es 6. V = Ax 6.y A.z, entonces AV = 1/2 (TE AV. A veces es conveniente formular la energía de deformación unitaria por unidad de volumen de material. Esto se llama densidad de energía de deformación unitaria, y puede expresarse como .. U 1 u = = - UE .. V 2
(3·6)
Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces es aplicable la ley de Hooke, u = El!, Ypor tanto podemos expresar la densidad de energía de deformación unitaria en términos del esfuerz.o uniaxial como:
1.,.'
/1
= 2E
(3-7)
Módulo de resiliencia. En particular,cuando el esfuerzo ualcanza el límite de proporcionalidad, a la densidad de la energía de deformación unitaria, calculada con la ecuación 3-6 o la 3-7, se le llama módulo de resiliencia, esto es,
o
(3-S)
'.
MOdulo de resilicncia u,
(.)
Fig. )·16
En la región elástica del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria, figura 3-160, advierta que /ir es equivalente al área triangular sombreada bajo el diagrama. La resiliencia de un material representa físicamente la capacidad de éste de absorber energía sin ningún daño permanente en el material. Módulo de tenacidad. Otra propiedad importante de un material es el módulo de tenacidad, u/. Esta cantidad representa el área total dentro del diagrama de esfuerlo-deformación, (igura 3-16b, y por consiguiente in-
dica la e cisamen do se di! material debido. con un' fractu,.. La ale. nacidad Jiagr4II cómopt tres alel
PU
SECCIÓN 3.5 Energía de deformación
alu!rgfa obre
lade
Jolu:a en
¡ (
di· Icnte
dica la densidad de la energía de deformación unitaria del material precisamente antes de que se rompa. Esta propiedad resulta importante cuando se diseñan miembros que pueden sobrecargarse accidentalmente. Los materiales con un módulo de te nacidad elevado se distorsionarán mucho debido a una sobrecarga; sin embargo, pueden ser preferibles a aquellos con un valor bajo, puesto que los materiales que tienen un u, bajo pueden fracturarse de manera repentina si n indicio alguno de una falla próxima. La aleación de los metales pueden también cambiar su resiliencia y tenacidad. Por ej emplo, al cambiar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-deformación resultantes en la figura 3-17 indican cómo pueden cambiar a su vez los grados de resiliencia y de tenacidad en tres aleaciones.
Módulo de tenacidad u,
,b,
!3
¡lazagua1
r 6.z. €
ía de no se jetor-
:omo E
6.v.
j (ar~a ~r.tla
(3-6) ¡plica~d de ;;0010:
(3-7)
zael rlación de re-
(3-8)
tita ria,
ueada !nte la
nle en !rial es dentro ¡ole in-
PUNTOS IMPORTANTES • Un diagrama de esfuerzo-deformación convenciollal es importante en la ingeniería ya que proporciona un medio para obtener datos sobre la resistencia a tensión o compresión del material sin importar el tamaño o forma física del material. • E l esfuer;;o y la deformaciólI unitaria de ingeniería se calculan usando el área original de la sección transversal y la longitud calibrada del espécimen. • Un material dúclil, como el acero dulce. tiene cuatro comportamientos distin tos al ser cargado. Ellos son el comportamiento elástico, la jluellcia o cedencia, el endurecimiento por deformación y la estricciÓII. • Un material es linealmellle elástico si el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria dentro de la región elástica . A esto se le llama ley de /-Iooke, y la pendiente de la curva se llama módulo de elasticidad, E.' • Puntos importantes sobre el d iagrama de esfuerzo-deformación un itaria son el limite de proporcionalidad, el limite eláslico, el esfller'l.o de jlllencia, el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura. • La ductilidad de un material puede ser especificada por el porcentaje de elollgación del espécimen o por el porcentaje de reducción en área. • Si un material no tiene un distinto punto de nuencia. puede especificarse un esfuerzo de jlllencia usando un procedimiento gráfico tal como el método de /(, desviaciólI. • Los materiales frágiles, como el hierro colado gris. tienen muy poca o ninguna nuencia y se fracturan repentinamente. • El endurecimietllo por deformación se usa para establecer un punto de nuencia más alto en un material. Esto se logra deformando el material más allá del límite elástico y luego liberando la carga. El módulo de elasticidad permanece igual: sin embargo, la ductilidad del material decrece. • La energía de deformació" unitaria es energía almacenada en un material debido a su deformación. Esta energía por volumen unitario se llama densidad de energía por deformación unitaria. Si ell a se mide hasta el límite de proporcionalidad se llama módulo de resiliencia, y si se mide hasta el punto de fractura , se l1ama módll/o de tenacidad.
97
1'¡g.3-16 (co nt.)
a resistencia m.ts alta del acero endurecido (0.6% de carbono)
acero estructural muy 1enaz
...-_ _L..--.j(0.2~ de carbono) acero suave muy dúctil
(0.1 % de carbono)
Fig.3- 17
Este espécimen de ny lon exhibe un alto grado de tenacidad evidencia· do por la gran cantidad de estric· ción que ha sufrido justo antes de su fractura.
98
•
CApiTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
EJEMPLO
E Una prueba de tensión para una aleación de acero da como resultado el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en la figura 3-18. Calcule el módulo de elasticidad y el esfuerzo de fluenc ia con base en una desviación de 0.2%. Identifique sobre la gráfica el esfuerl.o último y el esfuerzo de fractura. (1 (klblpul g2)
B
lJ,
108 100 (1¡ =90
80
50 II--------J:A,<" 30 20
, ,-
d
__~A ~ '. '
,-
40
O
tu
f--~.L-----------"" c
77'0~~A~ ' . ________-=~=ayS'" ()g -:' 60
10
..
"" ro
50
120 110
(1~ '"
...so'
El
<1
te
,,,
'"
"
,E~/
,,/
f¡ =0.23
IL"=-",~."-±"";"'"""o+,",,"=";'~,",,,,,,,,, f (pulg/pulg) 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 O. 40.160.180.200.220.24
I otOOs0.0012 I 0.~ 10.0020 6 I 0.~24
0.0C04
Fig.3.18
~
0.2%
Solución
Módulo de elasticidad. Debemos calcular la pendiente de la porción inicial recta de la gráfica. Usando la curva amplificada y la escala mostrada, esta línea se extiende del punto O a un punto estimado A, que tiene coordenadas de aproximadamente (0.0016 pulglpulg. 50 klb jpulg 2 ). Por consiguiente, 50 = klbj pulg2 E ~ 0.0016 pulgJpulg ~ 31.2(10') klb jpulg2 Advierta que la ecuación de la línea
DA
s
es entonces
fT
Resp.
= 31.2(103 )€.
Resistencia a la fluencia. Para una desviación de 0.2% , comenzamos con una deformación unitaria de 0.2%, o 0.0020 plllglPlllg Y extendemos gráficamen te una línea (punteada) paralela a OA hasta que interseca a la curva fT·€ en A'. La resistencia a la fluencia es aproximadamente: fTyS :: 68 klb jpulg 2 Resp. Esfuerzo último. Éste se define por la ordenada máxima de la gráfica U-E, esto es, por el punto B en la figura 3-18. u" :: 108 klbjpulg2
Resp.
Esfuerzo de fractura. Cuando el espécimen se deforma a su máximo de €f = 0.23 pulgjpulg, se fractura en el punto C. Entonces, 2 Uf = 90 klbjpulg Resp.
I
•
•
SECCIÓN 3.5 Energla de def ormación
•
99
EJEMPLO
lafi-
cia el
En la figura 3-19 se muestra el diagrama de esfuer.lo-deformación un itaria para una aleación de aluminio usada para fa bricar partes de avión.
Si un espécimen de este material se somete a un esfuerzo de 600 MPa, determine la deformación unitaria permanente que queda en el espécimen cuando la carga se retira. Calcule también el módulo de resiliencia antes y después de la aplicación de la carga. Solución
¡)
, )C-
:a00 50
¡, :a-
:x-
Deformad6n unitaria p ermanente. Cuando el espécimen está sometido a la ca rga, se endurece hasta que se alcanza el punto B sobre el diagrama U-E, figu ra 3-19. La deformación unitaria en este punto es aproximadamente 0.023 mm/ mm. Cuando se retira la carga, el ma- cr(MPa) terial se comporta siguiendo la línea reCia BC, que es paralela a la lí~ nea OA. Como ambas líneas tienen la misma pendiente, la deforma- 750 ción unitaria en el punto C puede determinarse analíticamente. La ___-:o.; 8_--- F pendiente de la línea OA es el módulo de elasticidad, esto es, 600 450MPa / _ =;s"='i'-__ ~ 75.0GPa ay .. 450 - - A E 0.006 mm/ mm 300 I ~elas Según el triángulo CBD: í "BD 600( 106 ) Pa E ~ ~ ~ 75.0(10') Pa '50
CD
CD
CD = 00.008 mm/ mm Esta deformación unitaria representa la cantidad de deformación/miraria elástica recuperada. La deformación unitaria permanente, EOC, es ; entonces EOC = 0.023 mm/ mm - 0.008 mm/ mm = 0.0150 mm/ mm Resp.
Nota: si las marcas de calibración sobre el espécimen estaban originalmente separadas 50 mm, entonces, después de retirar la carga, esas marcas estarán a 50 mm + (0.0150)(50 mm) = 50.75 mm separadas.
M6du/o de resiliencia. A plicando la ecuación 3-8, tenemos· 1 1 (Il,)inicial • '2UlpElp '" "2 (450 MPa )(O.OO6 mm/ mm)
ue ,
= 1.35 MJ/ m3 1
(U,)final ,. '2UlpElp :: =
Resp.
2(600 MPa )(O.OO8 mm/ mm ) 2.40 MJ/ m3
Resp.
El efecto del endurecimiento del material ha causado un incremenla en el módulo de resiliencia, como se advierte por comparación de las respuestas; sin embargo, note que el módulo de tenacidad del material ha decrecido, ya que el área bajo la curva OABF es mayor que el área bajo la curva CBF. ;p.
- El trabajo en el sistema SI de unidades se mide en joules. donde 1 J - t N . m.
CApITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
EJEMPLO La barra de aluminio mostrada en la figura 3-200 tiene una sección transversal circular y está sometida a una carga axial de 10 kN. Una porción del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el material se muestra en la figura 3-20b; determine el alargamiento aproximado de la barra cuando se le aplica la carga. Si se retira la carga, ¿cuál es el alargamien to permanente de la barra? Considere Ea! =
Solución En el análisis despreciaremos las deformaciones localizadas en el punto de aplicación de la carga y donde el área de la sección transversal de la barra cambia bruscamente. (Esos efectos se estudiarán en las secciones 4.1 y 4.7.) En toda la sección media de cada segmento, el esfuerzo nonnal y la deConnación son uniCormes.
SECCIÓN 3.5 Energra de deformación
Para estudiar la deformación de la barra, debemos obtener la deformación unitaria. Hacemos esto calculando primero e l esfuerzo y luego usamos el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para obtener la deformación unitaria. El esfuerzo nOfmal dentro de cada segmento es: 10(10') N
p (TAB -
(TBe
A
1T
2 (0.01 m)
31.83MPa
10(10') N = 56.59 MPa 7T (0.0075 m)2
p = - =
A
Según el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria. el material en la región AB se deforma elásticamente ya que Uy = 40 MPa > 31.83 MPa. Usando la ley de Hooke, UA,B
~AB = - -
E.,
=
31.83(106) Pa 9
70(10 ) Pa
= 0.0004547 mm/ mm
El material dentro de la región Be se deforma plásticamente, ya que = 40 MPa < 56.59 MPa. De la gráfica, para UBe = 56.59 MPa,
O'y
EBe ::::::
0.045 mm/ mm
E l alargamiento aproximado de la barra es entonces
8 = ¡,L = 0.0Ó04547 (600 mm) + 0.045 (400 mm ) = 18.3 mm mm)
Resp.
Cuando se retira la carga de 10 kN, el segmento AB de la barra re· cupera su longitud original. ¿Por qué? Por otra parte, el material en el segmento B e se recupera elásticamente a lo largo de la línea FG, figura 3·20b. Como la pendiente de FG es Eah la recuperación elástica de la deformación es: U
Ere<:
= -
se
E. l
=
56.59( 106 ) Pa 70( 109 ) Pa
= 0.000808 mm/ mm
La deformación plástica que permanece en el segmento
Be es entonces:
EOG = 0.0450 - 0.000808 = 0.0442 mm/ mm
Por tanto, cuando la carga se retira, la barra permanece con un alarga· miento dado por: l)' = EOGLBC =
0.0442 (400 mm ) = 17.7 mm
Resp.
•
101
102
CAP[TULO 3 Propiedades mecánicas de tos materiales
PROB L EMAS 3-1. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una probeta de ensayo de acero que tenfa un diámetro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los dalas se muestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y determine aproximadamente el módulo de elasticidad, el esfuerzo I1ltimo y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 1 pulg = 15 klb/ pulg2 y l pulg '" 0.05 pulg/ pulg. Dibuje de nuevo la región elástica lineal, usando la misma escala de esfuerzos, pero una escala de defonnaciones unitarias de 1 pulg '" 0.001 pulg. 3-1. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una probeta de ensayo de 'acero que tenfa un diámetro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Con los datos proporcionados en la tabla, trace el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y determine aproximadamente el módulo de tenacidad.
· J-4. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una probeta de ensayo de acero que te nfa un diámetro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los datos se muestran en la labia. Trace el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y determine aproximadamente el módulo de elasticidad, el esfuerzo de f1uencia. el esfuerzo último y eJ esfllcrm rte mptura. Use una escala de 1 pulg "" 20 klb/ pulg 2 Y I pulg :< 0.05 pulg/ pulg. Dibuje de nuevo la región elás tica, usando la misma escala de esfuerzos pero una escala de defonnaciones unitarias de I pulg '" 0.001 pulg/pulg.
3·J. Se dan en la tabla los datos de un ensayo de esfuerzo-deformación unitaria de un material cerámico. La eUfva es lineal entre el origen y el primer punto. Trace la curva y determine el módulo de elasticidad y el módulo de resiliencia.
a (MPa) ( mm / mm) O 229 314 341 355
368
O 0.0008 0.0012 0.0016 0.0020 0.0024
Prob.3-3
J-5. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria dc una aleación de acero con un diámetro original de 0.5 pulg y una longillld calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el módulo de elasticidad del material. la carga sobre el espécimen que genera la f1uencia y la carga última que el espécimen soportará.
3-6. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si el espécimen se carga hasta que se alcanza en él un esfuerzo de 70 klb /pulg2, determine la cantidad aproximada de recuperación elástica y el incremento en la longitud calibrada después de que se desclITga. 3-7. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de ace ro con un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el módulo de resilicncia y el módulo de tenacidad para el material.
PROBLEMAS
(1 (klb/ pulg2)
1/
60
1\ •
50
,
(1{lbJpulg2)
k-
40
~ ------------¡
"
/
30
2.
,
10 O O
o.IW 0.08 0.12 0.16 ú.2O 0.24 0.28
103
3-9. Se muestra en la figura el diagrama U-E para las fibras elásticas que fonnan la piel y músculos humanos. Determine el módulo de elasticidad de las fibras y estime sus módulos de tenacidad y de rcsiliencia.
.,
7.
•
r (pulgfplllg)
O 0.00)5 0.0010.0015 OJIP. 0.0025 0.0030.0035
11
t=;;;;;:;::~====:/~~ 2 2.25
E
(pulg/pulg)
Prob.3-9
Probs. 3-Sf617
• 3-8. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzodeformación unitaria para una barra de acero. DClermioc aproximadamente el módulo de elasticidad, el límite de proporcionalidad, el esfuerzo último y el módulo de resiliencia. Si la barra se carga hasta un esfuerzo de 450 MPa, determine la cantidad de deformación unitaria elástica recu¡Y.:rablc y la defonnaci6n unitaria permanente en la barra cuando ésta se descarga.
_3-10. Se muestra el diagrama de esfuer.lo-deformaciÓn unitaria para un hueso que puede describirse por la ecuación E:: 0.45(10- 6 )0' + 0.36(10- 12)if. donde O'está en kPa. Determine el esfuer.lo de [Juencia suponiendo una desviación de 0.3 por ciento.
L-_ _ _ _ __
____ ,
Prob.l- lO u ( MPa) ,~
e~
g. ,d l.
.,. .~
co ,Si :r~
de ;~
"'00•
oe~
Ig.
Iy
\,
'50
400
"•
_.
300
I
250
200 '50
'00 ,,~
po-
_3· 11. Se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para un hueso que puede describirse por la ecuación E = 0.45(10- 6)0'+ 0.36(1O- 12)O'l,donde O'está en kPa. Determine el módulo de tenacidad y el alargamiento en una región de 200 mm de longitud justo antes de que se fract ure si la falla ocurre en E '" 0.12 mm/mm.
,• / ••
/
V
(mm/ mm)
O. JO 0.00 10
0 .20 0.0020
Prob. 3-8
0.30 0.0030
L-_______________ , Prob.l-Il
104
•
CAPITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
*3-U. La fibra de vidrio tiene un diagrama de esfuer· zo-deformación unitaria como el mostrado. Si una barra de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud hecha de este material está sometida a una carga axial de tensión de 60 kN, determine su alargamiento.
*3-16. El poste está soportado por un pasador en e y por un alambre AB de acero A-36. Si el alambre tiene un diámetro de 0.2 pulg, determine cuánto se alarga éste cuando una fuerza horizontal de 2.5 klb actúa sobre el poste.
B
u (Pa)
J pies 2.5 klb
'-------------------------€ (mm/mm) Probo J_12
3-13. El plástico acetal tiene un diagrama de esfuerzodeformación unitaria como el mostrado. Si una barra de este material tiene una longitud de 3 pies y un área transversal de 0.875 pulg2 y está sometido a una carga axial de 2.5 klb, detennine su alargamiento.
Prob.3-16
3-17. La barra DA es rígida)' se mantiene originalmente en posición horizontal cuando el peso Westá soportado en Si el peso ocasiona que B se desplace hacia abajo 0.025 pulg, determine la deformación unitaria en los alambres D E YBe. Además, si los alambres están hechos ut: ao,;t:ro A-36 y tienen ULl área transversal de 0.002 puli, determine el peso W.
a(lb /pulg1)
e
L ______________________ (pulg /pulg) Prob.3-13
T
E
Un espécimen tiene originalmente 1 pie de longitud, un diámetro de 0.5 pulg y está sometido a una fuerza de 500 lb. Cuando la fuerza se incrementa a 1800 lb, el espécimen se alarga 0.9 pulg. Determine el módulo de elasticidad del material si éste permanece elástico. 3-14.
3-15. Un miembro estructural de un reactor nuclear está hecho de una aleación de zjrconio. Si debe soportar una carga axial de 4 klb, determine su área transversal requerida. Use un factor de seguridad de 3 con respecto a la Iluencia. ¿Cuál es la carga sobre el miembro si éste tiene 3 pies de longitud y su alargamiento es de 0.02 pulg? E.. = 14(103 ) klb/pulg1, Uy = 57.5 klb/pulg2 • El material tiene comportamiento elástico.
T D
2 pies + -3 pies---1 B
A
w Prob.3-17
PROBLEMAS
y n
" "
3·18. Se muestra el diagrama a-f de un haz de fibra colágena de la que se compone un tendón humano. Si un segmento dellendón de Aquiles en A .tiene una longitud de 6.5 pulg y un área transversal aproximada de 0.229 pulg2, detennine su alargamiento si el pie soporta una carga de 125 lb, que causa una tensión en el tendón de 343.75 lb.
C1 (klb /pulg~)
25
--------------------------
20
" " 5
'---_ _ _-~ 'compresión
tensión
00!'--"7~---:-';::----:-'o-~~;;--- (pulgjpulg)
0.20
0.40
0.80
Prob.3-19
"37,o
/
300
,.,, L'O
,
0 .7
"
/
/ /
125 lb
/1 0.10
0.05
( (pulg/ pulg)
. 3-20. Las dos barras están hechas de polieSlireno, que tiene el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado. Determine el área transversal de cada barra de manera que las barras se rompen simultáneamente cuando la carga P = 3 klb. Suponga que no se presenta ningún pandeo.
Prob.3-18 p
t---4Pies----!
,.
T
"
"
0.60
q(klb/pulg 2)
,. ,.
,
105
3·19. Las dos barras están hechas de poliestireno. que tiene el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado. Si el área transversal de la barra AB es de 1.5 pulg2 y el de la Be es de 4 pulg 2, detcnnine la fuerza P máxima que puede soportarse antes de que uno de los miembros se rompa. Suponga que no ocurre ningún pandeo.
CAPITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3-2J. El diagrama de esfuerw-deformación unitaria para una resina de poliestireno está dado en la figura. Si la viga rígida está soportada por un puntal AB y un poste CD, ambos hechos de este material,y sometida a unacarga de P - 80 kN, determine el ángulo de inclinación de la viga cuando se aplica la carga. El diámetro del puntal es de 40 mm y el diámetro del poste es de 80 mm.
. 3-24. El tubo está soportado por un pasador en e y un alambre AB de acero A-3ó. Si el alambre tiene un diá· metro de 0.2 pulg, determine la carga w distribuida si el extremo B se desplaza 0.75 pulg hacia abajo.
3-22. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para una resina poliestérica está dado en la figura. Si la viga rígida está soportada por un puntal AB y un poste CD, ambos hechos de este material, determine la carga P máxima que puede aplicarse a la viga antes de que falle. El diámetro del puntal es de 12 mm y el diámetro del poste es de 40 mm.
• 8
2m
1 A
p
P robs. 3-23124
e
,
~
0.7j m 0.75 m
0.5 m
..!! --'-
u(MPa)
""" 80
compresión
70
60
3-25. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para muchas aleaciones metálicas puede describirse analíticamente usando la ecuación de tres parámetros de Rambcrg-Osgood E = u /E + ka", donde E, k Y n se determinan por mediciones en el diagrama. Usando el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en la figura, considere E =- 30( I(3) klb/ pulg2 y determine los otros dos parámetros k y n y obtenga luego una expresión analftica para la curva.
/ 3-23. El tubo está soportado por un pasador en e y un alambre AS de acero A-3ó. Si el alambre tiene un diámetro de 0.2 pulg. determine su alargamiento cuando una carga distribuida de w = 100 lb/pie actúa sobre la viga. El material permanece elástico.
.'
20
/ 0.1
"'" 0.2 0.3 0.4 Prob.3-25
0..5
SECCION 3.6 Relación de Poisson
'"kel
3.6
107
Relación de Poisson
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no s610 se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por ejemplo, si una tira de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la lira disminuyen. Igualmente, una fuerla de compresión que actúa sobre un cuerpo ocasiona que éste se con traiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente. Estos dos casos se ilustran en la figura 3-2'1 para una barra con radio r y lUllgitu¡J L iniciales. Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una cantidad lj y su radio una cantidad lj'. Las deformaciones unitarias en la dirección axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son, respectivamente, 5
El ong
=
L
y
Eta¡
5'
,
= -
A principios del siglo XIX, el científico francés S.o. Poisson descubrió que dentro de l rango elástico. la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya que las deformaciones 1) y 1)' son proporcionales. A esta constante se le llama razón de Poisson, 1.1 (nu), y tiene un valor numérico que es único para un material particular que sea homogéneo e isolrópico. Expresado matemáticamente,
(3-9) El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación unitaria positiva) ocasiona una cOlIlracción lateral (deformación un itaria negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la misma en todas las direcciones laterales (o radiales). Ademós, esta deformación unitaria es causada sólu pur la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección. La razón de Poisson es adimerrsional y para la mayoría de los sólidos no porosos tiene un valor generalmente entre y En la cubierta posterior del libro se dan valores típicos de v para materiales comunes. En particular, un material ideal si n movimiento lateral cuando se alargue o con traiga, tendrá 1.1 = O. Veremos en la sección 10.6 que el va lor máximo posible para la razón de Poisson es 0.5. Por tanto, 0:5 1.1::5 0.5.
t t.
Cuando el hlO<'Jue de hule es comprimido (defonnación unitaria negativa) sus lados se expanden (dcfonnación unitaria ¡x:.sitiva). La relación de esas dcfonnaciones unitarias cs constante.
final final
108
•
CAPITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
EJEMPLO Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 3-22. Si se aplica una fuerza axial P "" 80 kN a la barra, determine el cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la carga. El material se comporta elásticamente.
y
P",80kN IOOmm
~ l.
Fig. 3-22
Solución
El esfu erzo normal en la barra es
<7, :
p 80(10') N , A : (0.1 m)(0.05 m) : 16.0( 10 ) Pa
De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, Eac = 200 OPa, por lo que la deformación unitaria en la dirección :c; es:
El alargamien to axial de la barra es entonces:
S, : ' , L, : [80(10-6))(1.5 m) : 120 "m
Resp.
Usando la ecuación 3-9, donde "RC = 0.32 según la tabla en el forro posterior, las con tracciones en las di recciones x y y son: IEx "" lEy = -v",,"2 "" -0.32[80(10-6)] = -25.6.um/ m Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:
Ox = lE.t Lx = -l25.6(1O-6»)(0.1 m) = -2.56.um
Resp.
S,: ' , L,: -[25.6(10-6»)(0.05 m) : - 1.28 "m
Resp.
SECCiÓN 3.7 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
3.7 uca
e el
:ión lás-
En la sección 1.5 se mostró que cuando un elemento de material está sometido a cortante pllro , el equilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos deben estar dirigidos hacia O desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, fi gura 3-230. Además, si el material es homogéneo e isotrópico, entonces el esfuerzo cortante distorsionará al elemen-
y
-'~
(.,
elemento con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x y y. El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser estudiado en un laboratorio usando muestras en fo rma de tubos delgados y sometiéndolos a una carga de torsión. Si se hacen mediciones del par aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, según los métodos que se explicarán en el capítulo 5, los datos pueden usarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria cortan te, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación cortante unitaria. En la figura 3-24 se muestra un ejem plo de este diagrama para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión , este material exhibirá un comportamien to elástico lineal cuando se le somete a corte, y tendrá un límite de proporcionalidad Tlp definido. También ocurrirá un endurecimiento por deformación hasta que se llegue al esfuerzo cortante último Tu. Finalmente, el material comenzará a perder su resistencia al cortante hasta que se alcance un punto en que se fracture , 'rl_ En la mayoría de los materiales de ingeniería, como el que acabamos de describir, el comportam iento elástico es lineal, de modo que la ley de Hooke para el cortante puede escribirse como:
(3-10)
3 Pa,
y
fu 1
(b)
Fig.3-23
, '.
'1
Aquí G se llama módulo de elasticidad PQr CQrtante o módulo de rigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el diagrama T--Y, esto es, G = Tlplrlp- En el forro interior de la cubierta de este libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes de ingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa o Ib/pulg2) , puesto que g se mide en radianes, una cantidad adimensional. En la sección 10.6 se demostrará que las tres constantes del material, E, lo' Y G están relacionadas por la ecuaciÓn:
forro (3-11)
Resp.
109
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
to de manera uniforme, figu ra 3-23b. Como se mencionó en la secció n 2.2, la deformación unitaria cortante rxy mide la distorsión angular del
Resp.
•
Siempre que E y G se conozcan, el valor de lo' podrá determinarse por medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones experimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac. = 29(103) klb/ pulg2 Y G ac = 11.0(103) klb/pulg 2, de modo que, según la ecuación 3-11 , Io'ac = 0.32.
"
/
G
>,
r. Fig.3-24
y,
r
11 0
•
CAP[TULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J EMPLO
E Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el diagrama de esfuerzo de cortante·deformación angular unitaria que resulta se muestra en la figura 3-250. Determine el módulo cortante G, el límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. Determine también la distancia d máxima que la parte superior de un blo· que de este material, mostrado en la figura 3-25b, podría desplazarse horizontalmente si el material se comporta elásticamente al actuar sobre él la fuerza cortante V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar es: te desplazamiento?
T (klblpulg 2)
90 80V"~ =73
~ ~/"II' 50 40
B
E
•
z
d d
• J
Solución
52
Módulo cortante. Este valor representa la pendiente de la porción recta OA del diagrama T-")'. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52 klb jpulg 2) . Entonces,
A
30 20 10
G ~ 52 klb/pulg' ~ 6500 ,Ibl l ' 0.008 rad pu g
o ~",~.LO;;-.OO;;;;;;8---,~"~.~0<.54'''0~.7''3 y(md) (,)
La ecuación de la línea OA es por lo tanto de Hooke para cortante. L imite de proporcionalidad. lineal en el punto A. Así, Tlp
T =
Resp.
6500")', que es la ley (
Por inspección, la gráfica deja de ser = 52 klb/pulg 2
Resp.
Esf uerzo último.
v
(b)
Fig. 3·25
• (
Este valor representa el esfuerzo cortante máximo, punto B. De la gráfica, 1"" = 73 klbjpulg 2 Resp.
p
Desplazamiento elástico máximo y fu erza cortanre. Como la deformación unitaria cortan te elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo muy pequeño, la parte superior del bloque en la figura 3-25b se desplazará horizontalmente: (
d
tan(0.008 rad) = 0.008 rad = -2- 1pu g d ~ 0.016 pulg
Resp.
El esfuerzo cortante p romedio correspondiente en el bloque es Tlp = 52 klbjpulg2 . Así, la fuerza cortan te V necesaria para causar el desplazamiento es V
52 k lb Ipu Ig' •
3:-p-u,gl lg-é 4 -pu-I'-C j (:7
0:(
V '" 624 klp jpulg2
Resp.
SECCIÓN 3.7 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
EJEMPLO yel que 3nte
:terbla-
a"e r so-, r es-
El espécimen de aluminio mostrado en la figura 3-26 tiene un diámetro do = 25 mm y una longi tud calibrada Lo = 250 mm. Si una fuerza de 165 kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determine el módulo de e lasticidad. Determine también cuánto se reduce el d iámetro debido a esta fuerza. Considere G al = 26 GPa y O'y = 440 MPa.
165kN
t
Solución
Módu lo de elanicidad.
E l esfuerzo normal promedio en el espé-
cimen es 'ción
=
O'
).008
P
165(103 ) N
A
(,,(4)(0.025 m)'
~ =
do
336.1 MPa
y la deformación un itaria normal promedio es 'lesp.
S
E
a ley
e ser
= -
L
=
1.20rnm 250mm
Como u < ay "" 440 MPa, el material se comporta elásticamente. El módulo de elasticidad es 165 kN
336. ) (lO') Pa
Eal = -; =
Resp.
De la
0.00480 mm/ mm
0.00480
= 70.0 CPa
Resp.
Conlracción dt!l diámelro. Primero determinamos la relación de Poisson para el material usando la ecuación 3-11. E G=2(I+v)
Resp.
26 CPa = 70.0 C Pa 2(1 + v)
Jefor-
ngulo ~ des-
/1
Como
€long
= 0.346
= 0.00480 mm / mm, entonces por la ecuación 3-9, Ela!
Resp.
; 'flp =
v= - Elong
0.346 =
El a !
0.00480 mm/ mm
1 desEla!
= -0.00166 mm/ mm
La contracción del diámetro es por 10 tanto S' = (0.00166)(25 mm )
Resp. = 0.0415 mm
Resp.
Fig.3-26
•
111
112
CAPITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
*3.8
Falla de materiales por flujo plástico y por fatiga Hasta ahora hemos eSlUdiado las propiedades mecánicas de un material sólo para una carga estática o aplicada lentamente a una temperatura constante. Sin embargo, en ciertos casos, un miembro puede tener que usarse en un ambiente para el cual las cargas deben ser sostenidas por periodos largos a temperaturas elevadas, o en otros casos la carga puede ser repetida o ciclica. No consideraremos tales efectos en este libro, aunque brevemente mencionaremos cómo se puede determinar la resistencia de los materiales en estas condiciones, puesto que reciben un tratamiento especial en el diseño.
La aplicación de largo plazo de la carga del cable sobre este poste ha causado su defonnación debido al flujo plástico.
(1
(klbfpulg 2)
40 J()
20 ~ _.::::::=====-
__
\O
o L---co,*'oo,----c... =---,OOO=---,soo=---,,"ooo=Oiagrama (1-' para acero inoxidable a 1200"F 'j deformación unitaria por flujo plásti~de 1%
fig.3-27
t(h)
Flujo plástico. Cuando un material tiene que soportar una carga por un periodo muy largo. puede continuar deformándose hasta que ocurre una fractura súbita o su utilidad se ve amenazada. Esta deformación permanente dependiente del tiempo se llama flujo plástico. Normalmente el flujo plástico es tomado en cuenta cuando se usan metales o cerámicos como miembros estructurales o partes mecán icas sometidos a temperaturas elevadas. Sin embargo. en algunos materiales, como los polímeros y los materiales compuestos (incluyendo la madera y el concreto), si bien la temperatura no es un factor importan.te, el flujo puede presentarse para aplicaciones estrictamente a largo plazo de la carga. Como ejemplo típico, consideremos el hecho de que una banda de hule no retorna a su forma original después de haber sido liberada de una posición estirada en la cual se mantuvo durante un periodo muy largo. En sentido general, tan10 el esfuerzo y /o la temperatura juegan un papel importante en la velocidad del flujo plástico. Para efectos prácticos, cuando el flujo plástico resulta importante, el material se diseña por lo común para diseñar una deformación unitaria por fl uj o plástico especificado para un periodo determinado. A este respecto, una propiedad mecánica importante que se considera en el diseño de miembros sometidos a fluj o plástico es la resistencia por flujo plástico. Este valor represen ta el esfuerzo inicial más alto que el material puede soportar durante un tiempo especificado sin causar una cantidad determinada de deformación uni taria por flujo plástico. La resistencia por fluj o plástico variará con la temperatura y, para efectos de diseño. deberán especificarse la temperatura, la duración de la carga, y la deformación unitaria por flujo plástico permisibles. Por ejemplo, se ha sugerido una deformación unitaria por flujo plástico de 0.1 % anual para el acero en pernos y en tuberías, y de 0.25% anual para el forro de plomo en cables. Existen varios métodos para determinar la resistencia por flujo plástico permisible para un material en particular. Uno de los más sencillos implica ensayar varias muestras simultáneamente a una temperatura constante, pero estando cada una sometida a un esfuerzo axial diferente. Midiendo el tiempo necesario para producir ya sea una deformación unitaria permisible o la deformación unitaria de ruptura para cada espécimen, se puede establecer una curva de esfuerzo contra tiempo. Normalmente estas pruebas se efectúan para un periodo máximo de 1000 horas. En la figura 3-27 se presenta un ejemplo de los resultados para un acero inoxidable a una temperatura de 1200 °F Y una deformación unitaria por fluj o plástico prescrita de 1 %. Este material tiene una resistencia
SECCiÓN 3.8
rial ura que
poc ede
lunrenatar un una rna-
e el ¡coa tuos y :n la )ara típifor:n la tanloei·
e, el :aria res1ise'lláserial ¡dad ncia eño, !foru gera el
amo
:>Iás:illos .tura ?ren_ción :l esNorJhaa un nita!ncia
FaUa de materiales por flujo plástico y por fatiga
113
de fluencia de 40 klbj pulg 2 (276 MPa) a la temperatura ambiente (con 0.2% de desviación), y la resistencia por flujo plástico a 1000 horas se encuentra que es aproximadamente u, = 20 klbjpuli (138 MPa). En general, la resistencia por flujo plástico disminuirá para temperal/Iras más elevadas o para esfuerzos aplicados más elevados. Para periodos más largos, deberán hacerse extrapolaciones de las curvas. Pa ra ello se requiere un cierto grado de experiencia con el comportamiento del fl ujo plástico, y cierto conocimiento suplementario del uso de las propiedades del material bajo flujo plástico. Sin embargo, una vez que la resistencia por flujo plástico de un material se ha determinado, se aplica un facto r de seguridad para obtener un esfuerzo permisible apropiado para el disei\o.
Fatiga. Cuando un metal se somete a ciclos de esfu erzo o de deformación repetidos, ello ocasiona que su estructura se colapse, y, finalmente se fracture. Este comportamiento se Ilamafaliga , y por lo regula r es la causa de un gran porcentaje de fallas en bielas y cigüei\ales de máquinas, álabes de turbinas de gas o de vapor, conexiones o soportes de puentes, ruedas y ejes de ferrocarril, así como otras partes sometidas a cargas cfclicas. En todos estos casos ocurrirá una fractura bajo un esfuerzo menor que el esfuerzo de fluencia del material. La natural eza de esta falla resulta del hecho de que existen regiones microscópicas, normalmente en la superficie del miembro, donde el esfuerzo local es mucho más grande que el esfuerzo promedio que actúa en la sección t'Tansversal. Cuando esie esfuerzo más grande se aplica en forma cíclica , conduce a la formació n de grietas d imi nutas. La presencia de estas grietas provoca un aumento posterior del esfuerzo en sus puntas o fronte ras, lo cual a su vez ocasiona una extensión posterior de las grietas en el material cuando el esfuérzo continúa ejerciendo su acción. Con el tiempo el área de la sección transversal del miembro se reduce a un punto en que la carga ya no puede ser soportada, y como resultado ocurre la fractura súbita. El material, aunque sea dúctil, se comporta como si fuera frágil. Con objeto de especificar una resistencia segura para un material metálico bajo carga repetida , es necesario determinar un límite por debajo del cual no pueda ser detectada una evidencia de falla después de haber aplicado una carga durante un número determinado de ciclos. Este esfuerzo limitante se llama límite de faliga o, más propiamente, IfmiLe de resistencia a la [mjga. Usando una máquina de ensayos para este propósito. una serie de muestras son sometidas a un esfuer.m específico aplicado cíclicamente hasta su falla. Los resultados se trazan en una gráfica que represente el esfu erzo S (o u) como ordenada y el número de ciclos N a la falla como abscisa. Esta gráfica se llama diagrama S-N, o diagrama esfuerzos-ciclos, y a menudo los valores de N se trazan en una escala logarítmica, puesto que generalmente son bastante grandes. En la figura 3-28 se muestran ejemplos de diagramas S-N de dos metales comunes en ingen iería. El límite de resistencia a la fat iga es aquel esfuerzo para el cual la gráfica S-N se vuelve horizontal o asintótica. Como ya hemos indicado, existe un valor bien definido de (St/)ac = 27 klbj pulg 2 (186 MPa) para el acero. Sin embargo, para el alumin io el límite de resistencia a la fatiga no está bien definido, por lo que se le especifica normalmente como el esfuerzo que tiene un límite de 500 millones de ciclos, (S~I)al = 19 klbJpulg 2 (131 MPa). Los valores típicos de
Et diseño de tos juegos mecánicos de un parque de diversión. requiere una consideración cuidadosa de las cargas que pueden provocar fatiga.
114
•
CAP[TULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
p
S (kl b/pulg 2) 50
40
aluminio
lOA-_~_--"..--':"'" L ":"_
(Su'l.. _ 27
20)}-------------~~r_
(Su) .. '" 19
JO
o0.1 !c.----T------,';c---"',,""'=,---N (106) 10 100 500 1000 Diagrama S-N para alellCiones de acero y aluminio (el eje N ¡iene una escala logarflmica)
Fig. ],,28
los límites de resistencia a la fatiga para diversos materiales de ingeniería aparecen con frecuencia en los manuales. Una vez obtenido un valor determinado, se supone que para cualquier esfuerzo por debajo de este valor la vida bajo fatiga es infinita , y por consiguiente el número de ciclos para que la falla ocurra ya no merece consideración.
PUNTOS IMPORTANTES • La relación de Poissoll, v. es una medida de la deformación unitaria lateral de un material homogéneo e isotrópico versus su deformación unitaria longitudinal. Esas deformaciones unitarias son generalmente de signos opuestos, o sea, si una es un alargamiento. la otra será una contracción. • El diagrama de esfuerzo corlante-{leformaci6n unitaria cortante es una gráfica del esfuerzo cortante versus la deformación unitaria cortante. Si el material es homogéneo e isolrópico y también elástico lineal, la pendiente de la curva dentro de la región elástica se llama módulo de rigidez o módulo cortante. G. • Existe una relación matemática e ntre G, E Y v. • El flujo plástico es la deformación dependiente del tiempo de un material para el cual el esfuerzo y/o la temperatura juegan un papel importante. Los miembros son diseñados para resistir los efectos del flujo plástico con base en su resistencia al flujo plástico. que es el esfuerzo inicial más grande que un material puede resistir durante un tiempo específico si n que genere una deformación unitaria específica por flujo plástico. • La faliga ocurre en metales cuando el material es sometido a ciclos de esfuerzo y deformación unitaria. Los miembros son diseñados para resistir la fatiga garantizando que el esfuerzo en el miembro no excede su límite por faliga. Este valor se determina en un diagrama S-N como el máximo esfuerzo que el miembro puede resistir al estar sometido a un número específico de ciclos de carga.
•
PROBLEMAS
115
PROBLEMAS 3-26. Una barra de plástico acrflico tiene una longitud de 200 mm }' un diámetro de 15 mm. Si se le aplica una carga axial de 300 N, determine el cambio en su longitud yen su diámetro. Ep = 2.70 OPa, v p = 0.4.
300IN -
El soporte consta de tres placas rígidas conecta· das entre sí por medio de dos cojinetes de hule situados simétricamente. Si se aplica una fuerza vertical de 50 N a la placa A, determine el desplazamiento vertical aproximado de esta placa debido a las deformaciones unitarias cortantes en el hule. Cada cojinete tiene dimensiones de 30 llllll Y 20 mm. G r = 0.20 MPa. 3-29.
~;;;::;;;;;;::;;;::;;;::~::::_~~::::_;;_;;_;;_~It---;N e----- 200 mm . Prob. 3-26
~nieO
vade
~o
de
1
nije-
3-27. Un bloque cilíndrico ,?OrlO de aluminio 2014·T6. que tiene inicialmente un diámetro de 0.5 pulg y una longitud de 1.5 pulg, se sitúa entre las mordazas lisas de un tornillo de banco y se comprime hasta que la carga axial aplicada es de 800 lb. Determine (a) la disminución de su longitud y (b) su nuevo diámetro.
Prob.3·29
,on
en3-30. Se construye un resorte de cortante con dos bloques de hule. cada uno de altura 11, ancho b y espesor a. Los bloques se adhieren a tres placas como se muestra. Si las placas son rígidas y el módulo cortante del hule es G, determine el desplazamiento de la placa A si se aplica una carga P vertical a esta placa. Suponga que el desplazamiento es pequeño de modo que o::: a tan y= ay.
'es
Ida iás-
ica
un ~an
stir ujo dal JOa
Prob.3-27
C>-
¡se-
el tina bw :108
1
"'3-28. Un bloque COrlO cilíndrico de bronce C861oocon diámetro original de 1.5 pulg y longitud de 3 pulg,se coloca en una máquina de compresión y se comprime hasta que su longitud es de 2.98 pulg. Determine el nuevo diámetro del bloque.
Prob.3·3O
116
CApiTU LO 3 I'fepied~de$ me,~nicu de les materia les
3-ll. Se «,,"""yo un r<:"",e dc """3n,0 adhiri<:ndo un anillQ de huk. un .nillo ri~ido empCllrodo y. un mano guito. Cl11.ndo "" «>Iora una cargo l' >Qbr. d m.ngui'o. ~I ¡>II"to y del hule .. II)'l dr - -,an 1 - -,.,,(P/Z,,¡,Gr)). Para ángulo:! ""que· ~o:! ¡>odemu> c.mb" dy I dr _ P/(2"',O r ). Integre CIl" ••", ..;(00, Y.""hle" ccn$IOnt. de in'.g:odÓfl u.,,,,do lo """"i<:;oo d~ quo y - O en r - r~ Del ..,ul'odo... leul. la
demue"r<: que la pendiente en
*3-ll.
Un bloque de alumin", ,iene una
=,ón ".n"
,.",,1 ,""'ang .. I")·,,, sorne'. a"fIlI fuerzo de romprc· sioo .. i.1 de S klb. Si cll.do de 1.5 pulg cambia iU Ion· g""'" 1.500132 pulg.de,ermine la razón d< Poi.."" Yl.
3-3.l. Un buje Uene un dij"",uo d. 30 nlm y enea", den· "o. de un mangu"" rigodo con un diámxi.1 p que d.be .piico"". l. parle 'uperior del buje po'" h.cer <1"" (O. «>0'><10 con 10$ ro
gi''''' o,.
'o.
neu ..... >to? El buje ..,,¡ keeno de un m31eri.1 p.r. el ",al E _ 5 MP•.• _ 0.45.
3-301. Un bloq"" ",,,óc.al.. reciben Un. ind;n>dÓfl ,al que 11 "' 89.3·. De,erm;oe Iu do· formaciO uni .. nas '" ' . y 1,.~ Considere ". ~ 11.5,
n".~' longi, .. d del la"" de 2 pulS- t:~ _ 10( HI') ~Ib lp .. lg'.
,
I
REPASO Del CAPiTULO • Una de las pruebas más importantes eo la resistencia de materiales es la prueba de tensión. l.o$ resulla· dos. ~ncontrados al jalar un espécimen de tamaño conocido. !iOn graficados como esfu~rl!o nonnal sobre el eje venical y deformadón u"itaria nOnTIa! sobre el eje hori1.ontal. Mucbos materiales de la ingeniería e~hibcn un componamiento elá.tico lineal inicial. donde el csrucI?.o ~s proporcional a la deformación unitaria definido por la ley de Hooke." .. E .. Aquí E. llamado módu· lo de cl"~l ici:a " contraerse. forma"do un eueno. Es aquf dt,"d ~ OCurr~ In fraelura. Los materiales ductile$. oomo la mayoda de los metale$. nhibcn oompor1I,miento ol.$lioo y plá$lico. La madera 1>$ moderadamente dUctil. La dUClilidad es usualmente especificada por el alargamiento pennanente en h falla o por la reducción pem'ancntc en el área tr3nsversal. • Los malcriaks frágil~s exhiben poca O ninguna nucneia antCS de la falla. El hierro col.do y cl vidrio son ejemplO'! típicos. El ooncrelO también es frágil en tensión. • El punto de nuene;a de un material se puede increm~mar po' endwrecimiento por defom,ación. lo que se logra aplicando una carga suficientemente grande para causar un incremento.n el esfucno tal que cause nuencia. y luego liberando la carga. El mayor esfueno producido resulta el nu~vo punto de nueneia del material. • Cuando se aplica una carga. las ddormadoncs ocasionan que energro de dcfonnaeión se almacene en el material. La energía por deformación unitaria por volumen unitario o densidad de energia de deforma. ción es equivalente al área bajo la curv" de csfucno-ddonnación ulLilaria. Esta :irea. hasta el PUnto de nucneia. se llama módulo de re.ilienda. El área tOlal bajo el diagrama de eSflLcrro-deformación unitaria se llama módulu de tenacidad . La relación de Poisson v es un~ propiedad adimensional del male,ial que mide la defonnación unilaria lateral respe<:to a la deformación unitaria longitudinal. Su \-alor Se encuentra entre O < vS 0.5. • T~mbién pueden establecen;e diagramas de e.fueno COr1ante VUSrlS defonnaeión unilaria cortante.Den. tro de la región elástica. T - Oy. donde G es el módulo cortante. que se encuentra de la pendiente de la linea dentro de l. región ehhlka. El valor de O lambi~n puede hallarse de la relación que existe entre 0.Eyl •. o,caO"E~2(1 + v)]. Cuando los materiales están en servicio por penodos largos. las considcJ"'dcioLl"'i de nujo plástico y fati · ga resultan importantes. El nujo plástico e, la velocidad de la de/onnación. que ocurre a altos esfuerzos y/o ahas temperaturas. El diseño requiere que el esfuerzo en el mmcrial no exceda un esfueno predeter· min ado llamado resistencia al nujo plástico. La fatig" puede ocurrir cuando el material experimenta un gran n~mcro de ciclos de carga. Este efecto ocasiona la fonnación de microgrieta$.lu que oonduc<: a una fractura frágil. Para prevenir la fatiga. el esfuerzo en el malerial no debe exceder un limite especificado de fatiga.
118
CAPITULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
PROBLEMAS
DE
REPASO
]·35. Se muestra en [a figura [a porción elástica del dia· grama de esfuerzo..J:Ieformación unitaria a tensión para una aleación de aluminio. El espécimen usado para la prueba tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un diámetro de 0.5 pulg. Cuando la carga aplicada es de 9 klb, el nuevo diámetro del espécimen es de 0.49935 pulg. Calcule el módulo cortante G al para el aluminio. *3-36. Se muestra en la figura la porción elástica del dia· grama de esfuerzo-deformación unitaria en tensión para una aleación de aluminio. El espécimen usado en la prue· ba tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un diámetro de 0.5 pulg. Si la carga aplicada es de 10 klb, determine el nuevo diámetro del espécimen. El módulo cortante es G al '" 3.8{HY) klbj pulg2.
cr {k tbj pl.Ilg2) ,,
3·38. Un bloque cilíndrico corto de aluminio 6061·T6 con diámetro original dc 20 mm y longitud de 75 mm se coloca en una máquina de compresión y se comprime hasta que la carga axial aplicada es dc 5 kN. Detennine (a) el decremento en su longitud y (b) su nuevo diámetro. 3-39. El alambre AB de aceroA·36 tiene un área transversal de 10 mm 2 y no está estirado cuando 8"" 45.0°. Determine la carga P necesaria para que (J = 44.9°.
~¡
,
70
€
(pulgjpulg)
0.0061 4 P robs. 3-35f36
3·37. Una viga rígida reposa en una posición horizontal sobre dos cilindros de aluminio 20I4·T6 que tienen las longitudes sin carg'l que se muestran en la figura. Si cada cilindro tiene un diámetro de 30 mm, determine la co· locación x de la carga de 80 kN de modo que la viga permanezca horizontal. ¿Cuál es el nuevo diámetro del cilindro A después de haberse aplicado la carga? Val = 0.35 .
p
Prob.3-39
SOkN
220
TilA
BIIT 2
¡mil
11 ¡Omm
11---
3m
I
-------1
Prob.3-37
· 3-40. Mientras experimenta una prueba de tensión, un espécimen de aleación de cobre con longitud calibrada de 2 pulg es sometido a una deformación unitaria de 0.40 pulg jpulg cuando el esfuerzo es de 70 klb/pulg2. Si 2 O"y '" 45 klb /pulg cuando €y '" 0.0025 pulglpulg, determine la distancia entre los puntOS de calibración cuando se retira la carga.
'"
"
"Si ,-
PROBLEMAS De REPASO
3-41. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el polietileno, que se usa para revestir cables coaxiales, se determina con un espécimen que tiene un a longitud calibrada de 10 pulg. Si una carga P sobre el espécimen desarrolla una ' deformadón unitaria de € ::= 0.024 pulg/pulg, determine la longitud aproximada del espécimen, medida entre los puntos de calibración, cuando se retira la carga.
119
3·43. Se efectuó una prueba de tensión en un espécimen de acero que teníl. un diámetro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Usando los datos en la tabla, trace el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y dete rmi ne en fonna aproximada el módulo de tenacidad. Use una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm '" 0.05 mm / mm.
(j (klblpulg 2) p
5 4
V
3
.
o
/' Carga (kN) Alargamiento (mm)
o
I ¡
2 l
p
í O
o
0.008 0.016 0,024 0.032
0.040 0.048
( (pulg! pulg)
0.0 175
31.9 37.8 40.9 43.6 53.4
00600
. 62.3 64.5 62.3 58.8
Prob. 3·41
o
IU
3-42. Una prueba de tensión se llevó a cabo en un espécimen de acero que tenía un diámetro original de 12.5 mm
y una longitud calibrada de 50 mm. Los datos resultantes se muestran en la tabla siguiente. Trace el diagrama de esfuerzo-deformación uni taria y determine en forma aproximada el módulo de elasticidad, el esfuerzo úl timo y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm '" 0.05 mm/ mm. Vuelva a dibujar la región elástica lineal usando la misma escala de esfuerzos pero con una escala de deformaciones unitarias de 20 mm = 0.001 mm /mm.
Carga (kN) Alargamiento (mm)
o
o
IU
0.0175
31.9 37.8
0.0600
"".9 43.6 53.4 62.3 64.5 62.3 58.8
*3-44. Una barra de latón de 8 mm de diámetro tiene un mód ulo de elasticidad de El al6~ = 100 O Pa. Si su longitud es de 3 m y se somete a una carga axial de 2 kN. determine su alargamiento. ¿Cuál sería su alargamiento bajo la misma carga si su diámetro fuera de 6 mm?
0.1020 0.1650 0.2490
1.0160 3.0480
6.3500 8.8900 11.9380
e--:-..-
_ \ c= 2kN
'¡1====~3l,~,,====rí
lo Prob. 3·42
Prob.3-44
2kN
La garrucha de esta torre petrolera esta suspendida de cables sometidos a cargas y deformaciones extremadamente grandes.
CAP i TULO
4
Carga axial
En el capítulo 1 analizamos el método para de terminar el esfuerzo normal en miembros cargarlos axialmente. Ahora. en este capítulo. estudiaremos cómo determinar la deformación de estos miembros y además un método para encontrar las reacciones en los soportes cuando tales reacciones no se detenninan estrictamente a partir de las ecuaciones de equilibrio. Se presen tará también un análisis de los efectos del esfuerzo térmico. de las concentraciones de esfuerzos. de las deformacio nes ¡nelásticas y del esfuerzo residual.
4.1
Principio dé Saint-Venant En los capítulos anteriores planteamos el concepto de eSJ1¡erzo como un medio para medir la dist ribución de fue rza dentro de un cuerpo y la deformación unjwria como un medio para medir la deformación de un cuerpo. Mostramos también que la relación matemática entre el esfuerzo y la deformación unitaria depende del tipo de material de que está hecho el cuerpo. En particular, si el esfuerzo genera una respuesta lineal elástica en el material, entonces la ley de Hooke es aplicable y se tendrá una relación proporcional entre el esfuerzo y la defomladón unitaria .
121
122
CAPiTULO 4 Carga axial
La carga distorsiona las 1í~eas situadas cerca de ella
g
,
,--
Las líneas que están lejos de la carga y del soporte penn~ne<:en
re
La carga distorsiona las líneas situadas ecrca del soporte
,., Fig.4.1
Por ejemplo, considere la manera en que una barra rectangular se d e~ forma elásticamente cuando está sometida a una tuerza P aplicada a lo largo de su eje centroidal , figura 4~la. La barra está aquí empotrada en un extremo con la fuerza aplicada a través de un agujero en su otro ex~ tremo. D ebido a la carga, la barra se deforma como se indica por las dis~ torsiones de las líneas reticuladas, originalmente horizontales y verticales dibujadas sobre la barra. Advierta la deformación localizada que ocurre en cada extremo. Este efecto tiende a disminuir al medirlo en regiones ca~ da vez más alejadas de los extremos. Además, las deformaciones se "e m ~ parejan " y se igua lan en la sección media de la barra. Como la deformación está relacionada con el esfuerzo dentro de la ba~ rra. podemos establecer que el esfuerzo se distribuirá más uniformemente a través de la sección transversal si la sección se toma cada vez más lejos del punto en que se aplica la carga externa . Para mostrar esto, considere ~ mas un perfil de la variación de la distribución del esfuerzo que actúa en las secciones a-a, b-b y e-e, cada una de las cuales se muestra en la figura 4~lb . Comparando estas distribuciones se ve que el esfuerzo casi alcanza un valor uniforme en la sección c-c, la cual está su[¡cientemente alejada del extremo. En otras palabras, la sección c-c está lo bastante alejada de la aplicación de P para que la deformación localizada causada por P desaparezca. La distancia mínima desde el extremo de la barra donde esto ocurre puede determinarse usando un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad. Sin embargo, como regla general, aplicable a muchos otros casos de carga y geometría del miembro, podemos considerar esta distancia por lo menos igual a la mayor dimensión de la sección transversal ca rgada. Por consiguiente, pa ra la barra en la figura 4~lb, la sección e-e debería estar localizada a una distancia por lo menos igual al ancho (no al espesor) de la barra.* Esta regla se basa en observaciones experimentales del comportamiento del material y, sólo en casos especiales., como el visto aquí, ha sido justificada matemáticamente. Sin embargo. debe notarse que esta regla no es aplicable a todo tipo de miembro y carga. Por ejemplo, en los miembros fonnados por elementos de pared delgada y sometidos a cargas que ocasionan grandes deflexiones, se pueden generar esfuerzos y deformaciones localizadas que tienen influencia a una distancia considerable del punto de aplicación de la carga.
•
....
de
la
UD
""
..
de
I
nr
pi:
"" de
pi:
re de
".
..
so es
P' ca
10
ca
'"
al
· Cuando la seeción e-e está así localizada. la teoría de la elasticidad predice que el esfuer· zo máximo es (Trn~, = L020'p"",,'
'" '" da do
SECCiÓN 4.1
de-
p
a lo 1 en
~
ex-
disales urre ;¡ caem-
p
sección a-a
sección b-b
ba-
ente ejos crea en gura
aoza jada a de
) deesto ~n
la
, caf-
>mc-
coo~star
r) de
'por-
la sia ren los I car-
y de-
:lera-
~5fucr-
123
p
ri1f 2
--111111111 sección c;-e
lb)
I
Principio de Saint-Venant
cr_=!
2
~a_=f sección e-e;
lo)
Fig. 4·1 (cont.)
En el soporte, figura 4-1a, advierta cómo se impide la disminución del ancho de la barra, la cual debería ocurrir debido al alargamiento lateral de ésta, una consecuencia del "efecto Poisson " visto e n la sección 3.6. Sin embargo, por los mismos argumentos anteriores podríamos demostrar que la distribución del esfue rzo en el apoyo también se empareja y se vuelve uniforme en la sección transversal a una distancia COrla del soporte; además, la magnitud de la fuerza resultante generada por esta distribución del esfuerzo debe ser igual a P. El hecho de que el esfuerzo y la deformación se comporten de esta manera se denomina principio de Saint- Venant, ya que el primero en advertirlo fue el científico francés Barré de Saint-Venant en 1855. En esencia, el principio establece que el esfuerzo y la deformación unitaria producidos en puntos del cuerpo suficientemente alejados de la región de aplicación de la carga serán los mismos que el esfuerzo y la deformación unitaria producidos por cualesquiera aLras cargas aplicadas que tengan la misma resultante estáticamenté equivalente y estén aplicadas al cuerpo dentro de la misma región. Por ejemplo, si dos fuerzas P /2 aplicadas simétricamente actúan sobre la barra, figura 4-1e, la distribución del esfuerzo en la sección e-e, que esté lo suficientemente alejada de los efectos locales de estas cargas, será uniforme y, por tanto, eq uivalente a (Tprom = Pl A, como antes. Para resumir, cuando se estudia la distribución del esfuerzo en un cuerpo en secciones S/lficientemente alejadas de los puntos de aplicación de la carga, no tenemos que considerar las distribuciones del esfuerzo, un tanto complejas, que pueden desarrollarse realmente en los puntos de aplicación de la carga o en los soportes. El principio de Saint-Venant postula que los efectos locales causados por cualquier carga que actúe sobre el cuerpo se disiparán O suavizarán en aquellas regiones que estén lo suficientemente alejadas de la localización de la carga . Además, la distribución del esfuerzo resultante en estas regiones será la misma que la causada por cualquier otra carga estáticamente equivalente aplicada al cuerpo dentro de la misma área localizada .
Note cómo las líneas sobre esta membrana de lluk, se d il;(Ol'siollall d<::s¡.>uéli dt: qu<:: SOll alarga·
das. Las distorsiones locali1..adas en los agarres se suavizan, como era de esperarse. EsIO es debido al principio de Saint-Venant.
124
4.2
•
CAPjTULO 4 Carga axial
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente Usando la ley de Hooke y las definiciones de esfuerzo y deformación unitaria, desarrollaremos ahora una ecuación para determinar la deformación elástica de un miembro sometido a cargas axiales. Para generalizar el desarrollo. consideremos la barra mostrada en la figura 4-2a, que tiene una sección transversal que va ria gradualmenle a 10 largo de su longitud L La barra está sometio¡¡ ti ca rgas concentradas en sus extremos y a una carga externa variable distribuida a lo largo de su longitud. Esta carga distribuida podría, por ejemplo, representar el peso de una carga vert ical, o fuerzas de fricción actuando sobre la superficie de la barra. Aquí queremos determinar el desplaz.amiento relativo /) (delta) de un extremo de la barra respecto al otro causado por esta carga. En el siguiente análisis despreciaremos las deformaciones localizadas que ocurren en puntos de carga concentrada y donde la sección transversal cambia repenti namente. Como vimos en la sección 4.1 , esos efectos ocurren den tro de pequeñas regiones de la longitud de la barra y tendrán por tanto sólo una pequena influencia en el resultado final. En su mayor parte, la barra se deformará uniformemente, por 10 que el esfuerzo normal estará distribuido de manera uniforme sobre la sección transversal. Usando el método de las secciones, un elemento diferencial de longitud dx y área A (x) es aislado de la barra en la posición arbitrariax. El diagrama de cuerpo libre de este elemento se muestra en la figura 4-2b. La fuerza axial interna resultante se representa por P(x), puesto que la carga externa hará que varíe a lo largo de la longitud de la barra. Esta carga, P(x), deformará el elemento en la forma indicada por el perfil punteado y, por consiguiente, el desplazamiento de un extremo del elemento respecto al otro extremo será dS. El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son: P(x)
y
u~--
A (x )
<~
dS
-
dx
Si estas cantidades no exceden ellfmi te de proporcionalidad, podemos relacionarlas por medio de la ley de Hookc, es decir, (T
P(x) A (x)
= EE
~ E(dS) dx
P(x) dx dS ~ A (x) E
I---x
II- d.<
PI ~-- -- i ¡-- --
P(.r)~P(X) dx-l-j.l:"'
I----L
,.)
(b)
Fig.4-2
.'(x)
E
...
SECCiÓN 4.2 Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
125
Para la longitud entera L de la barra debemos integrar esta expresión para encontrar el desplazamiento buscado en el extremo. Esto da:
ión 'or-
6 ~ ILP( X) dx o A(x) E
~ra
(4-1)
lue
su tre-
donde,
ud.
desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto distancia entre los puntos P(x) = fuerza axial interna en la sección , localizada a una distancia x de un extremo A(x) = área de la sección transversal de la barra, expresada como fundón de x E = módulo de elasticidad del material
"na
~ la I de 1 si)cuamTen por parmal
ngidia. La carrga, 'ado resmel
mos
~ P(x)
8
=
L
=
Carga y área transversal constantes. En muchos casos la barra tendrá un área transversa! A constante y el material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una fuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 4-3, entonces la fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. En consecuencia, al integrar la ecuación 4-1 se obtiene:
1
8
~ AE PL
I
(4-2)
Si la barra está sometida a varias fu erzas axiales diferentes, o si [a sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes, El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso general,
El desplazamiento vertical en la parte superior de estas columnas depende de la carga aplicada sobre el tccho y del piso unido a sus puntos medios.
Convención de signos. Para aplicar la ecuación 4-3,debemos desarrollar una convención de signos para la fuerza axial inlerna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al otro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fu erza y el desplazam iento son positivos si causan tensión y alargamiento, respectivamente, figura 4-4, mientras que una fuerza y un desplazamiento negativo causarán compresión y contracción, respectivamente. Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 4-5a. Las/l/erzos axiales internas" P", calculadas por el método de las secciones en cada segmento, son PAn = +5 kN, P nc = - 3 kN y PCD = - 7kN,figura4-5b. Esta variación se muestra en el diagrama de fu erza axial (o normal) para la barra, figu ra 4-5c. Aplicando la ecuación 4-3 para obtener el desplazamiento del extremo A respecto del extremo D , tenemos 8
Fig. 4-4
AJD
~ '" PL ~ (5 kN )L A8 ~ AE AE
+ (-3kN)LiJC + (-7 kN )L cD AE
AE
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta posi tiva , ello significará que el extremo A se alejará del ex tremo D (la barra se alarga) mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acerca hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para indicar este desplazamiento relativo {BA lO); sin em bargo, si el desplazamiento va a determinarse respecto a un punto fijo, entonces, se usará sólo UD subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo, entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como SA'
:¡¡¡¡¡¡~i8ikNiiii¡;¡;~~'~k~N¡;¡;¡;¡;~~
3kN A.
•
B
C
D
1--4. - -fI- - 4c --+I- - 4cv ----l
,.)
"N•
P"'B·SkN
P (kN)
A
"N
=o
"N
,
8
A
Pco=7kN
P¡¡c = 3 kN
.-
-3 _7 ! 1
7kN
D
,,)
, b)
Ag. 4·5
•
SECCIÓN 4.2 Deformación elastica de un miembro cargado axial mente
esarrosplaza;) de la miento . figura .usarán
3sfller-
meada
·a 4-5b.
11) para splaza·
PUNTOS IMPORTANTES • E l principio de Saint- Venanr establece que la deformación y el esfuerzo localizados que ocurren dentro de las regiones de aplicación de la carga O en los soportes tienden a "emparejarse" a una distancia suficientemente alejada de esas regiones. • El desplazamiento de un miembro cargado axialmente se determina relacionando la carga aplicada al esfuerzo usando q = P/A y relacionando el desplazamiento a la deformación unitaria usando € = d8/dx. Fmalmente esas dos ecuaciones se combinan usando la ley de Hooke, q = E€, que da la ecuación 4-1. • Como la ley de Hooke ha sido usada en el desarrollo de la ecuación del desplazamiento. es Importante que las cargas no generen (Juencia del material y que el material sea homogéneo y se comporte de manera elástico-l ineal.
'D va, ello ;e alar· o A se ! se usa el desIces, se ~t e fijo, 'mo ÓA.
7kN
.....--
- .'
127
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El desplazamiento relativo entre dos puntos A y B sobre un miembro cargado axialmente puede determinarse aplicando la ecuación 4-1 (o la ecuación 4-2). La aplicación implica los siguientes pasos. Fuerza interna. • Use el método de las secciones para determi nar la fuerza axial interna P en el miembro. • Si esta fu erza varfa a 10 largo de la longitud del miembro, deberá hacerse una sección en una posición arbit raria x medida desde un extremo del miembro y la fuerza deberá representarse como función de x. esto es. P(x). • Si fuerzas externas constantes actúan sobre el miembro, debe en tonces determinarse la fuerza interna en cada segm ellto del miembro, entre dos fuerzas externas cualesquiera. • Para cualquier segmento, una fuerza de tensión interna es positiva y una fuerza de compresión interna es negativa. Por conveniencia, los resultados de la carga interna pueden mostrarse gráficamente construyendo el diagrama de fuerza normal.
Desplaz.amiento. • Cuando la sección transversal del miembro varfa a lo largo de su eje, el área de esta sección debe expresarse en función de su posición x, esto es, A(x). • Si el área de la sección transversal, el módulo de elasticidad, o la carga interna cambian bruscameme, la ecuación 4-2 debe aplicarse a cada segmen to para el cual estas cantidades sean constantes. • Al sustituir los datos en las ecuaciones 4-1 a 4-3, asegúrese de usar el signo apropiado para P, tal como se vio arriba, y use un conjunto consistente de unidades. Para cualquier segmento, si el resultado calculado es numéricamente positivo, éste indica un alargamiento; si es negativo, éste indica una co11tracciÓn.
128
•
CApiTULO 4 Carga axial
EJEMPLO La barra compuesta de acero A-36 mostrada en la figura 4-6a está hecha de dos segmentos AB y BD que tienen áreas transversales de 2 2 A MI = I pulg y A BD = 2 pulg . Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el de B respecto a C. !5 klb
!5 k!b
~
I 4=-+
2 pitoS
4 klb B
15 kl b
4 klb
4 klb
8 klb
!5klb
4klb
8klb
I
t----t-
e
El
4Ub
I;tB=15klb
! .5 pies
8 k!b
~
Sklb
PBC = 7 klb
1 p:e
I
D
. Pco= 9 klb
Fuerza interna. Debido a la aplicación de las cargas externas, las fuerza axiales imemas en las regiones AB, Be y e D serán todas diferentes. Esas fu erzas se obtienen apl icando el método de las secciones y la ecuación de equilibrio por fuerLa vertical, como se muestra en la figura 4-6b y se encuentran graficadas en la figura 4-6c.
o r - ,"'--- P (klb)
Desplazamiento. De la cubierta interior posterior de este libro, tomamos el valor Eac = 29(lcP) klbj pu lg2 • Usando la convención de signos., esto es., fuerzas internas de ten"iflO "nn positivas y fu erzas internas de compresión son negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:
+0.0127 pulg Resp. Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es hacia arriba. Aplicando la ecuación 4-2 en tre los puntos B y e, obtenemos: =
SECCiÓN 4.2 Deformación elástica de un miembro cargado axial mente
•
129
EJEMPLO le· de -ti-
El conjunto mostrado en la figura 4-7a consiste en un tubo AB de aluminio con área transversal de 400 mm 2. U na barra de acero con diámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento del extremo e de la barra. Considere Ea<: = 200 OPa y Eal = 70 OPa.
r
80kN
,., Fig.4-7
1" ¡
di-
dosIra • to-
sigIter-
Solución
Fuerza intema. El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, fi gura 4-7b, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN Y el tubo a una compresión de 80 kN. Desplazamiento. Determinaremos primero el desplazamiento del extremo e con respecto al extremo S. Trabajando en unidades de newtons y metros. tenemos
.eA 5C¡8
~
PL AE
~
[+80(10') N](0.6 m) ~(0.005 m)'[200(1O') N/ m']
+0.003056 m -
El signo positivo indica que el extremo e se mueve hacia la derecha con respecto al extremo S, ya que la barra se alarga. El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:
= =:---,=::;:'---,':-'~="::.:-:-:-.,...,. = -0.001143 m = 0.001143 m-
El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que S se mueve hacia la derecha respecto a A. Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el desplazamiento resultante de e respecto a A es entonces: 5c = 58 + 5C/B = 0.001143 m + 0.003056 m = 0.00420 m = 4.20 mm-
Resp.
•
130
•
CAPITULO 4 Carga axial
EJE M PLO
._----~----
F
Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura 4·80. AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm; BD está hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine el desplazamiento del pun lo F situado en AB cuando se aplica a una carga vertical de 90 kN sobre este punto. Considere Eac = 200 OPa y Eal = 70 OPa. Solución
e
Fuerza interna. Las fue rzas de compresión que actúan en la parte superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miembro AB, fi gura 4-8b. Esas fuerzas son igua les a las fue rzas internas en cada poste, figura 4-&.
-,'--:':-"-"'+.'-:':':---'i:'-c:C"--.. ~ -286 ( !O ) m ~
3Ok:N
0.286 mm
¡
Poste 8D: '8 __
P,"L'D
[- 30(10') N](0.300 m)
A80Eal
11(0.020 m )2[70(109) N/ m2]
Q
-102( 10"') m
=O.l 02mml
60kN
JOkN
En la fig ura 4-8d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los puntos A , 8 YFsituados en el eje de la viga. Por proporciones en el triángulo sombreado, el desplazamiento del punto Fes enlonces: 400 mm ) 8F = 0.102mm + (0.184 mm ) ( 600rnm =O.225mm!
f>BD" 30 k N
0.102mm¡'IA---F-~m.:oomm~B
~
:¡:I ¡l
I 4.
0.184 mm 0.286 mm
(4)
I~
0.102 mm
Resp.
SECCiÓN 4.2 Deformación elástica de un miembro carg ado axial mente
•
EJEMPLO Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico
JS
'Y y un módulo de elasticidad E. E l miembro tiene la forma de un
le n.
eo-
con las dimensiones mostradas en la figura 4-9a. Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso. /1O
;e
re
Solución
Fuerza interna. La (uena axial interna varía a lo largo del miembro que depende del peso W(y) de un segmento del miembro si tuado debajo de cualquier sección, figura 4-9b. Por tanto, para calcular el desplazamiento, debemos usar la ecuación 4-1. En la sección localizada a llna distancia y del fondo, el radio x del cono como fu nción de y se determina por proporción; esto es,
le
a·
,n la
X :=
)'
'o -y L
El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:
Como W :::: yV, la fuerLa interna en la sección es:
+1
,
~F =
----'---x
o·'
(.)
, I
Desplazamiento. El área de la sección transversal es tnmbi6n una función de la posición y, figura 4-9b. Tenemos:
A(y) = le el
1TX 2
",'
= _Oy'
L'
Aplicando la ecuación 4-1 entre los límites y = O YY = L se obtiene:
W(y)
6 = (Lp(y) rly _ (L[(y"'fJ3L') y'J dy p.
Jo
A(y)E
i°
Jo
[(mfJL')y'JE (b)
L
=y-
3E y L' 6E
ydy
Fig.4.9
Resp.
Como ve rificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de [os términos. al cancelarse. dan la deflexión en unidades de longitud como era de esperarse.
131
132
CApITULO 4 Carga axial
•
PROBLEMAS 4·1. El conjunto consta de una barra de acero CE y una barra de aluminio SA , teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el copie S, determine el desplazamiento del copie E y del extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestra en la figura. Desprecie el tamaño de las conexiones en B 'i e, 'i suponga que 60n rígidas. E K = 200 G Pa, E.l - 70 GPa.
8 klb
+-
¡
5klb
I
I
2klb
A
5k.1b B
e
2klb
80 pulg
.:
150 pulg - - j - - IOO PUl g
1 D
4-5. U na barra de acero A -36 está sometida a las cargas que se muestran en la figura. Si el área de la sección transversal de la barra es de 60 mm 2, de termine el des plazamie nto de B y de A. Desprecie el tama~o de los copies en
B,CyD_
D
I
0.75 m
4-2. La flecha compuesta, que consiste e n secciones de aluminio,cobre y acero, está sometida a las cargas mostra· das en la figura. De termine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la figura se muestran el área de la sección transversal y el módulo de elasticidad para cada sección. Desprecie el tamaño de los collari nes en 8 y en C.
e
4-3. Determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta de! proble ma 4·2. 2kN
4-6. La barra de aluminio 2014-T6tiene un diámetro de 30 mm y soporta la carga mostrada. Determine el desplazamie nto de A con respecto a E. Desprecie el tamaño de los copies.
Probs. 4-213
A 8kN
. 4-4. Una flecha de cobre está sometida a las cargas axiales que se muestran en la figura. Delermine el desplazamie nto del extremo A con respecto al extremo D si los diámetros de cada segmento son dAN:I: 0.75 pulg, d sc = 1 pulg, y d CD = 0.5 pulg. Tome Ecu - 18(l1Y) klbj pulgl_
BCD
Prob.4-6
E
....51
PROBLEMAS
4-7. La barra de acero tiene las dimensiones originales mostradas en la figura. Determine el cambio en su longitud y las nuevas dimensiones de su secciÓn transversal en la sección o-a al estar sometida a una carga axial de 50 kN. E.,;. = 200 GPa, ".., - 0.29. ,b
133
4-9. El copie está sometido a una fuerza de 5 klb. Octermine la distancia d' entre e y E tomando en cuenta la compresión del resorte y la deformación de los segmentos verticales de los pernos. Cuando no se liene una carga aplicada, el resorte no está estirado y d = 10 pulg. El material es aceroA-36 y cada perno tiene un diámetro de 0.25 pulg. Las placas en A , 8 Y e son rígidas y el resorte tiene una rigidez k = 12 klbjpulg.
'OkN
d
Prob. 4-7
6pulg
· 4-8. La estructura mostrada consiste en dos barras rígidas o riginalmente horizontales. Están soportadas por pasadores y barras de acero A-3ó de 0.25 pulg de diámetrQ. Si se aplica la carga vertical de 5 klb a la barra inferior AB, determine el desplazamiento en e, B y E.
Prob.4-9
4-10. La barra tiene un área A en su sección transversal de3pulg2yun módulo de elasticidad E = 35(lcr) klbfpulgl. Determine el desplazamiento de su extremo A cuando está sometida a la carga distribuida mostrada.
T
O '
2 :L~c:::::~8~P~;':'::::::~1~2~P~;,:·~~tl~ D e
b~
É
"
o
1 - - -6 pies - -l -- -6
¡ 5klb
Prob.4-8
Pies ~B
1.5 pies
r--.l"--j . . ,. 500x I-~---1/3 1bJpulg
~ ----4 pies
Prob.4-IO
I
134
•
CApfTUlO 4 Carga axial
4-11. La armadura está hecha de tres barras de acero A-36,cada una con área transversal de 4OOmm 2. Determine el desplazamiento horizontal del rodillo en e cuando P =8 kN. "'4-12. La armadura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm 2. Determine la magnitud requerida de P para desplazar el rodillo 0.2 mm hacia la derecha.
4-15. El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rígida AC. El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F, dete rmine el desplazamiento vertical del punto F. El; = 350 GPa.
8
p
A
D
c!:==~E~==",,!. C 1--0.5
. -_ _ _ _8~_
m
0.75
m--j
Um
I
F
O.8m
L
P .. 20tN
C
f---- 0.8
m -+- m---1 0.6
Prum. 4-1.UU
4-13, La annadura consiste de tres miembros. cada uno de acero A-36 y área transversal de 0.75 pulg2. Detennine la carga máxima P que puede aplicarse de modo que el rodillo en B no se desplace más de 0.03 pulg. 4-14. Resuelva el problema 4-13 considerando que la carga P actúa verticalmente hacia abajo en C.
Prob.4-15
· 4-16. El sistema de eslabones está formado por tres miembros de acero A-36 conectados por pasadores: cada miembro tiene un área transversal de 0.730 pulg 2. Si se aplica una fuerLa vertical de P = 50 klb al extremo B del miembro AB. de tennine el desplazamiento vertical del punto B. 4-17_
El sistema de eslabones está formado por tres
miembros d e ace ro inoxidable 304 conectados por pasado-
res; cada miembro tiene un área transversal de 0.75 pulg2. Detennine la magnitud de la fuerza P necesaria para desplazar el punto B 0.1 0 pulg hacia abajo. f-3 pies+3 pies-j
CT 4 pies
C A
T
6 pies
1
8
8
A
50 kJb
Probs. 4· IJl14
Probs. 4-16117
I
PROBLEMAS
Considere el problema general de una barra que consta de m segmentos, cada uno con área transversal A", y longitud L",. Si se tienen 11 cargas sobre la barra como se muestra. escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar el desplazamiento de la barra en cualquier posición x especificada. Aplique el programa para [os valores L¡ = 4 pies, di = 2 pies, PI = 400 lb, Al = 3 pulg2 . Ll = 2 pies, d 2 = 6 pies,P1 = -300 Ib,A 2 = 1 pulg2.
.4-18.
13S
La cabina e de un observatorio tiene un peso de 250 klb, Y por medio de un sistema de engranes viaja hacia arriba a una velocidad constante a lo largo de la columna de acero A-36, la cual tiene una altura de 200 pies. La columna tiene un diámetro exterior de 3 pies y está hecha de placas de acero que tienen un espesor de 0.25 pulg. Desprecie el peso de la columna, y determine el esfuerzo normal promedio de la columna en su base B, en función de la posición y de la cabina. También determine el desplazamiento relativo del extremo A con respecto al extremo B en fu nción de y.
*4-20.
A
d,
----¡
A,
,--1 L,
d0:i:l
-
d,
P'I
P, L,
L.
~
e y
-'--8
Prob.4-18
1 J
200 pies
A
Prob.4-20
La barra rígida está soportada por la barra CB conectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra cn tiene un área transversal dc 14 mm 2 y está hecha de aluminio 6061-T6. Determine la deflexión vertical dc la barra en D cuando se aplica la carga distribuida. 4-19.
r
1 1 L
e o
1.5m
L
4-21. Una barra tiene una longitud L y el área de su sección transversal es A. Determine su alargamiento debido tanto a la fuerza P como a su propio peso. El material tiene un peso específico "Y (peso/volumen) y un módulo de elasticidad E.
o
o
~2m
lB i
Prob.4·19
2m - - - l
P
Probo 4-21
136
CAPíTULO 4 Carga axial
4-22. El barreno de aceroA-36 de un pozo petrolero penetra 12000 pies en el terreno. Suponiendo que el tubo usado para perforar el pozo está suspendido libremente de la torre en A , determine el esfuerzo normal promedio máximo en cada segmento de tubo y el alargamiento de su extremo D con respecto al extremo fijo en A. La flecha consta de tres tamaños diferentes de tubo, AB, BC y CD, cada uno con su longitud, peso por unidad de longitud y área transversal indicados en la figura. Sugerencia: use los resultados del problema 4-21.
"'4-24. La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Está suspendida del techo y soporta una carga P en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extremo debido a esta carga es 0 ::0 PL / (7TErzrl). Desprecie el peso del material. El módulo de elasticidad es E. 4-25. Resuelva el problema 4·24 incluyendo el peso del material y considerando que su peso específico es "Y (peso/ volumen).
Prob.4-22
4-23. El tubo está enterrado en el suelo de manera que cuando se jala hacia arriba, la fuerza de fricción a lo largo de su longitud varía linealmente desde cero en B hastafm.t~ (fuerzaflongitud) en C. Determine la fuerza inicial P requerida para extraer el tubo y el alargamiento asociado dcllubo un instante antes de que comience a deslizar. El tubo liene una longitud L , un área A en su sección transversal y el material de que está hecho tiene un módulo de elasticidad E.
p
•
Probs. 4-2412S
4-26. Determine el alargamiento de la flecha ahusada de acero A-36 cuando está sometida a una fuerza axial de 18 klb. Sugerencia: use el resultado del problema 4-24 .
~I I
¡ f~
1 L
e
Prob,4-23
[""05"\' 11 :;
+-ISklb
~
4 pul g
I
20 pulg
Prob.4-26
PROBLEMAS
,d
,u e· 01
4-27. Determine el desplazamiento relativo de un extre· mo de la placa prismática truncada con respecto al otro extremo cuando está sometida a una carga axial P.
137
4-29. El material del hueso tiene un diagrama esfuerzodeformación unitaria que puede definirse por la relación u = E[ f./(l + kEf.)] , donde k y E son constantes. Determine la compresión dentro de la longitud L del bueso, donde se supone que el área A de la sección transversal del hueso es constante.
Id
>e. p
I 1 L
t p
Prob.4·29 P rob. 4-27
4-341. El pedestal tiene una forma cuyo radio está definido por la función r = 2/ (2 + yl/2) pies, donde y está en pies. Si el módulo de elasticidad para el material es E = 14(HP) klbjpulg 2• determine el desplazamiento de su parte superior cuando soporta la carga de 500 libras.
,d,
"'4-28. Detennine el alargamiento de la barra de aluminio cuando está sometida a una fuerza axial de 30 kN. El! = 70 OPa, Sugerencia: use el resultado del problema 4·27.
1de
so mm
15
1= 0.5 pulg
L. 18 klb
:
"7
mm
Iliiip.-=30"'IN.
04-- - -800 mm.- - --+l zso mm~ Prob.4-28
Prob.4·30
138 • CAPITULO 4 Carga axial
4.3
Principio de superposición El principio de superposición sude u,a= para determina< el esfuc,..~o ,,~I despl:w.mienro en un punto de un miembro cuando éste CSlá so--
melido " una carga complicad •. Al subdividir la carga en rompon.nl.s. e l prin~/plo tI~ ~u¡nrp,,!
°
l. I.a carga d"b~ ~'a' ,"',u/anotla Ii".alm"",,, con ~I ~fu~l7.o d d~plaz"m iento qu~ ''o a deunnlnfl~, Por ejMlplo. la, .euaci.,.
nes u - P/A Y IJ - PL/ Aé implican un. relación lineal enlre I'y 00&
2, La ,arga na deM ~ombia, signiflcu'¡"umnl' y en co",,,,,ucnci. la aplicación de la. ecuaciones de equilibr;o ool\ducir~ a rcsulta()os diferenles. ror ejcmplo.oon$idere la barra esbelta mOSlrada en la figura 4-10.., que está somelida a la carga ... En la figura 4-IOb, P :se ha ""emplazado por 'u< compone"l~s. P - P, + P l . Si .. ocasiona que la barra se den". iolle C<}nsiderabl~mcnte.como se mueSlr • . el momen10 de la carga respeclo a su roporle. /'d. nO será igual a la suma de los mOmentos de sus carga< componentes. l'tI ~ r ,d, + P,tI,. por_ que 11, ,. ,1, .. d. La mayona de las ecuaciones que implican ca rga. esfuef1!O y desplau¡_ ~1Íenlo. desarrolladas en e$ le texlO. constan de rdaciones lineales entre
esas canlidades. También los miembros o cuerpos que se "M a considerar ,er;!n lales q ue la carga producirá deformadones tan pequen.s quc el ca mbio en la posición y la direeción de la carga será insignir.canlc y puede despreciarse. Sin embargo. en el capilulo 13 e,tulliaremos una excepción a esta regla. Consisl. en Una columna que lleva una carga axial equiva_ lente a l. ca.ga critica" d. pandeo. Se demostrará que cuando eSla carga a umenla s610 ligeramente, ocasionanl que la colu mna .ufra una dene xiÓfl la leral grande. incluso si el malen"1 manliene ela,;ticidad lineal. ESla. de_ nexioncs.asociad,,, CQn las co mponente. de cualquier carga axial. de" ser superpueSI~s.
Cuando una barra está fija sólo en un extremo y está sometida a una fuerza axial, la ecuación de equilibrio de fuerzas aplicada a lo largo del eje de la barra es suficiente para encontrar la reacción en el soporte fijo. Un problema como éste, donde las reacciones pueden determinarse sólo a partir de las ecuaciones de equilibrio. se denomina estáricamente determinado. Sin embargo, si la barra está fija en ambos extremos, como en la figura 4-11a, entonces se tienen dos reacciones axiales desconocidas, figura 4-11b, y la ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa como:
~incipio
+) ~F
'1;0
= O;
o el
cuaciotre P y
r origisignifi;í como icación :rentes. 14-lOa, 1 reemque la lOmenLima de 12 , por-
splazas entre siderar que el ' puede :epción
En este caso, la barra se denomina estáticamente indeterminada, ya que la ecuación de equilibrio por sí sola no es suficiente para determinar las reacciones. Para establecer una ecuación adicional, necesaria para la solución, se requiere considerar la geometría de la deformación. Específicamente, a una ecuación que determina las condiciones del desplazamiento se le llama condición cinemática o condición de compatibilidad. Una condición apropiada de compatibilidad requeriría que el desplazamiento relativo de un extremo de la barra con respecto al otro extremo fuese igual a cero, ya que los soportes extremos están fijos. Por consiguiente, podemos escribir:
Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas usando una relación carga-tlesplazamiento, que depende del comportamiento del material. Por ejemplo, si se tiene un comportamiento lineal elástico, puede usarse 8 = PL / AE. Como la fuerza interna en el segmento AC es +FA y en el segmento CB la fuerza interna es -F8.la ecuación de compatibilidad puede escribirse como:
~quiva
a carga flexión >las de-
'lopue-
Suponiendo que A E es constante, podemos resolver simultáneamente las dos ecuaciones anteriores y obtener los valores:
y
Ambos valores son positivos, por lo que las reacciones se muestran con sus sentidos correctos en el diagrama de cuerpo libre.
A
11,
Lt-
e p
11'
8 ("
L (b'
Fig.4-11
139
140
CAPíTULO 4 Carga axial
PUNTOS IMPORTANTES • El principio de superposición se usa a veces para simplificar los problemas de esfuerzo y desplazamiento que tienen cargas complicadas. Esto se hace subdividiendo la carga en componentes y luego sumando algebraicamente los resultados. • La superposición requiere que la carga esté linealmente relacionada con el esfuerzo o el desplazamiento, y que la ca rga no cambie en forma significativa la geometría original del miembro. • Un mIembro es estálicamente indeterminado si las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones en el miembro. • Las condiciones de compatibilidad especifican las restricciones de desplazamiento que ocurren en los soportes u otros puntos sobre un miembro.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Las fuerzas desconocidas en problemas estáticamente indetenninados se detenninan satisfaciendo los requ isitos de equilibrio, compatibilidad y fuerza-desplazamiento del miembro.
Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre del miembro para identificar todas las fuerzas que actúan sobre éL • El problema puede ser clasificado como estáticamente indeterminado si el número de reacciones desconocidas sobre el diagrama de cuerpo libre es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio disponibles. • Escriba las ecuaciones de equilibrio para el miembro. La mayorfa de las columnas de concreto son reforzada~ con barras de acero: como csos dos materiales trabaja¡¡ juntos soportando la carga aplicada. la columna resulta ser estáticamente indeterminada.
Compatibilidad. • Para escribir las ecuaciones de compatibilidad dibuje un diagrama de desplazamientos para investigar la manera en que el miembro se alargará o contraerá al ser sometido a las cargas externas. • Exprese las cond iciones de compatibilidad en términos de los desplazamientos causados por las fuerzas. • Use una relación carga-desplazamiento. tal como d = PUAE, para relacionar los desplazamientos desconocidos con las reacciones desconocidas. • Resuelva las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para las fuerzas reactivas desconocidas. Si cualquiera de las magnitudes tiene un valor numérico negativo, ello indica que esta fuerza actúa en sentido opuesto al indicado en el diagrama de cuerpo libre.
La barra de acero mostrada en la figura 4-120 tiene un diámetro de 5 mm. Está empotrada en la pared en A y antes de cargarla se tiene una holgura de 1 mm entre la pared en B' y la barra. Determine las reacciones en A yen B ' cuando la barra se somete a una fuerza axial de P ::::: 20 kN, como se muestra. Desprecie el tamaño del collaón en C. Considere Eac = 200 GPa.
j r P =20kN
¡mm ......, B'
A
le
I
8OOmm~
400 mm 'o)
Solución
Equilibrio. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 4-12b , supondremos que la fuerza P es suficientemente grande para que el extremo B de la barra entre en contacto con la pared en B'. El problema es estáticamente indeterminado ya que hay dos incógnitas y s6lo una ecuación de equilibrio. El equilibrio de la barra requiere:
,- p. 20 leN
(b)
.±, ¡F, = O;
ina-
-FA - FB
+ 20( 10') N
= O
(1 )
Compatibilidad. La carga ocasiona que el punto B se mueva a B ' , sin ningún desplazamiento adicional. Por tanto, la condición de compatibilidad para la barra es:
mpaSBIA
,"ti ti, eteriagraes de
=
0.001 m
FAL AC
---::;:tE -
FBL cB
~
FA (0.4 m ) 0.001 m = ".(0.0025 m )'[200(10' ) N/ m' ]
iagraiemeroas. s des-
r
, pa-
FB (0.8 m)
". (0.0025 m)'1200(10') N/ m' ]
o FA (O.4 m) - FB (O.8 m ) = 3927.0 N· m
(2)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene:
aedoFA = 16.6 kN
ua las rtudes iZa ae) libre.
~
~ --~~;;;;;;;;~--~
Este desplazamiento puede expresarse en términos de las reacciones desconocidas usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, aplicada a los segmentos AC y CB , figura 4-12c. Trabajando en unidades de newlons y metros, tenemos: oBIA = 0.001 m =
== .
FB = 3.39 kN
Resp.
Debido a que FB resultó posiliva, el extremo B sí entra en contacto con la pared en B' como se supuso originalmente. Por otra parte, si FB fuese una cantidad negativa, el problema sería estáticamente determinado, con Fe = Oy FA = 20kN.
,<) Fig.4-U
141
142
•
CApiTULO 4 Carga axial
EJEMPLO El poste de aluminio mostrado en la figura 4-13a está reforzado con un núcleo de bronce. Si el conjunto soporta una carga axial de compresión de P = 9 klb, aplicada a la tapa rígida, determine el esfuerzo normal promedio en el aluminio y en el bronce. Considere Eal = 10(10 3) klbfpulg2 y E br = 15(103) klbf pulg 2.
P=9klb
Solución
Equilibrio.
El diagrama de cuerpo libre del poste se muestra en la figura 4-13b.Aquí la fue rza axial resultante en la base está represen tada por las componentes desconocidas tomadas por el aluminio, FaJ,y el bronce, Fbr- E l problema es estáticamente indeterminado. ¿Por qué? El equilibrio por fuerzas verticales req uiere que:
,.)
+¡
- 9 klb + Fal + F br = O
'i.F). = O;
Sol
E", lr.1
ya e
(1)
Compatibilidad. La tapa rígida en el poste origina que los desplazamientos en el poste de aluminio y en el núcleo de bronce sean iguales, esto es,
COI cad ciÓl mie se..
Usando las relaciones carga-desplazamiento.
F.
r
lb)
1<,,, ,
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos = 0.637 klb/pulg l
Fal =
6klb
Usa
Fbr = 3klb
Como los resultados son positivos, los esfu erzos serán de compresión. El esfuerzo normal promedio en el aluminio y en el bronce son entonces,
Las distribuciones de los esfuerzos se muestran en la figura 4-13c.
SECCION 4.4 M ie mbro est át ica mente indet erminado cargado axia lmente
EJEMPLO
,un ión
nal 03 )
¡¡la
ltayel ~?
Las tres barras de accroA·36 most radas e n la figura 4-14a están conectadas por pasadores a un miembro rígido. Si la carga aplicada sobre el miembro es de lS kN, determine la fue rza desarrollada e n cada barra. Las barras AB y EF tienen cada una un área transversal de 25 mm 2 y la barra CD tiene un área transversal de 15 mm:!.
D"
B "
Solución
e Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del miembro rígido se muestTa en la figura 4-14b. Este problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen tres incógnitas y sólo dos ecuaciones disponibles de equilibrio. Estas ecuaciones son :
(1)
FA + Fe
+
~!02 m
0.4 m -
(1)
FE - 15 k N = O
15 kN
L+ ¡ M e = O;
- FA (O.4 m)
+ 15 kN(O.2 m) +
FE (O.4 m) = O
(2)
Comp atibilidad. Debido a los desplazamientos en los extremos de cada barra. la línea ACE moslrada en la figura 4-14c tomará la posición definida por [os puntos A'e E'. Desde esta posición, los desplazamientos de los puntos A , e y E pueden relaciona rse por triángulos semejan tes. La ecuación de compatibilidad para esos desplazamientos es entonces:
(.)
F,
t 0.2 m
ÓA -
DE
Se -
0.8 m
F,
Fe
e 0.4 m
0.2 m
DE 15kN
0.4 m
(b)
Usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, tenemos:
Ón .
en-
Fe L (, j
Fe = O.3FA
+ 0.3h
(3) H g. 4-14
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1-3 se obtiene:
9.52 kN
Resp.
Fe = 3.46 kN
Resp.
FE = 2.02 kN
Resp.
FA
=
•
143
144
•
CAPITULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
EJEMPLO El perno mostrado en la figura 4-15a está hecho de una aleación de aluminio 2014-T6 y está apretado de modo que comprime a un tubo cilíndrico hecho de una aleación de magnesio Am lOO4-T61. El tubo tiene un radio exterior de t pulg y el radio interior del tubo y el radio del perno son de de pulg. Las arandelas en los extremos del tubo son rígidas y tienen un espesor despreciable. Inicialmente la tuerca está ligeramente apretada a mano; lucgo, por medio de una llave, la tuerca se aprieta media vuelta. Si el perno tiene 20 hilos por pulgada, determine el esfuerzo en el perno.
t
Solución
e"
Equilibrio. Se considera el diagrama de cuerpo libre de una sección del perno y del tubo, figura 4- 15b, para relacionar la fuerza en el perno Fb con la fuerza en el tubo, FI' Por equilibrio, se requiere, +l~Fy
F.
(1)
= 0',
El problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen dos incógn1tas en esta ecuación.
Compatibilidad. A l apretar la t uerca media vuelta sobre e l perno, el tubo se acortará 81, y el perno se alargará 8b , figura 4-15c. Como la tuerca experimenta media vuelta, ella avanza una distancia de (-iK~- pulg) = 0.025 pulg a lo largo del perno. Entonces, la compatibilidad de esos desplazamientos requiere 81
( +1)
eb,
=
0.025 pulg - 8h
Leyendo el módulo de elasticidad en la tabla de la cubierta interior posterior y aplicando la ecuación. -1-2, obtenemos: F, (3 pulg)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos: Fb = FI = 11.22 klb
,r Posición (
fina!
~o.O"P'" Posición inicia!
Ce' Fig.4-15
Los esfuerzos en el perno y en el tubo son entonces:
Fb
O'h
11.22 klb
= 2 =57.2 klb/pulg2 Ab ,,(0.25 pulg)
Resp.
Fr . 11.22 klb/pulg2 u = - = = 19.1 klb/pulg2 , A, ,,[(0.5 pulg)' - (0.25 pulg)' ] Estos esfuerLOS son menores que los esfuerzos de f1uencia de cada material, (uy)al = 60 klb/ pulg2 y (O'Y )mg = 22 klb jpulg 2 (vea la cubierta interior posterior), por lo que este análisis "elástico" es válido.
SECCIÓN 4.5 Método de las fuerzas para el análisis de miembros cargados axialmente
4.5 de ,bo ,bo ca,bo rca . la
da,
ión ·er(1) m-
ler-
l5c.
Es posible resolver también los problemas estáticamente indeterminados escribiendo la ecuación de compatibilidad y considerando la superposición de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre. A este método de solución suele llamársele método de fas fuerzas o m étodo de las flexibilidades. Para mostrar cómo se aplica , consideremos de nuevo la barra en la figura 4-11a. Para escribir la ecuación necesaria de compatibilidad, escogeremos primero cualquiera de los dos soportes como" redundante" y retiraremos temporalmente su efecto sobre la barra. La palabra redundante, tal como se aplica aquí, indica que el soporte no es necesario para mantener la barra en equilibrio estable, de manera que cuando se retira, la barra se vuelve estáticamente determinada. Escogeremos aquí el ~oporte en B como redundante. Usando el principio de superposición , la barra, con la carga original actuando sobre ella, figura 4-16a, es entonces equivalente a la barra sometida sólo a la carga externa P, figura 4-16b, más a la barra sometida sólo a la carga redundante desconocida F B, figura 4- 16c. Si la carga P ocasiona que B se desplace hacia abajo una cantidad op, la reacción F 8 debe ser capaz de desplazar el extremo B de la barra hacia arriba una cantidad 08, de manera que no ocurra ningún desplazamientcfen B cuando las dos cargas se superpongan. Así entonces,
A
LIc
:i
No hay dcspla1.lmicnlo
"8
....
1')
"'"
8
11 A
(+ ¡)
O=Op- 0 8 Desplazamiento de B
rior
Esta ecuación representa la ecuación de compatibilidad para los desplazam ientos en el punto E, donde hemos supuesto que los desplazamientos son positivos hacia abajo. Aplicando la relación carga-desplazamiento a cada caso, tenemos Sp - PLAc.1AE Y StJ - FtJ L jAE. En consecuencia,
al remover la fl,ler¿a
p
redundante de B
lb)
PL AC F8 L O ~ AE - AE
+
F~ p(L¡c)
(2)
B
A
Del diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 4-11b, la reacción en A puede ahora determinarse con la ecuación de equilibrio, + t~Fy =
esp.
O;
P(
LL AC )
+
FA - P= O
Como L CB = L - Lltc. entonces,
Desplazamiento de B sólo alaplicilT la fucr1..a reduodantc a 8
lo)
FA= P(L1B) atente-
145
Método de las fuerzas para el análisis de miembros cargados axialmente
Ida
pa-
•
Estos resultados son los mismos que se obtuvieron en la sección 4.4, excepto que aqui hemos aplicado la condición de compatibilidad y luego la condición de equilibrio para obtener la solución. Advierta también que el principio de superposición puede usarse aquí ya que el desplazamiento y la carga están linealmente relacionados (5 = PL jAE), lo que supone, desde luego, que el material se comporta de manera elástico-lineal.
F, Fig. 4-16
L
T
146
•
CAP[TULO 4 Carga axial
P
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El análisis por el método de las fuerzas requiere efectuar los siguientes pasos. CompaTibilidad. • Escoja uno de los soportes como redundante y escriba la ecuación de compatibilidad. Para hacer esto, el desplazamiento conocido en el soporte redundante, que es usualmen te cero, se iguala al desplazamien to en el soporte causado sólo por las cargas externas actuando sobre el miembro más (vectorialmente) el desplazamiento en el sopone causado sólo por la reacción redundan te actuanuo sobre; el miembro, • Exprese la carga externa y desplazamientos redundantes en términos de las cargas usando una relación carga-desplazamiento, tal como o = PL / AE. • Una vez establecida, la ecuación de compatibilidad puede resolverse y hallar [a magnitud de la fuerza redundante. Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre y escriba las ecuaciones de equilibrio apropiadas para el miembro usando el resultado calculado para la fuerza redundante. Resuelva esas ecuaciones para encontrar las otras reacciones.
E J E M P L O
A
C
La barra de acero A-36 mostrada en la figura 4-17a tiene un d iámetro de 5 mm , Está unida a la pared fija en A y antes de ser cargada hay un hueco entre la pared en B ' y la barra. de 1 mm. Determine las reacciones en A y B',
I mn
20kN
8' 800 mili
400~
Solución
" )
P: 20kN
Compatibilidad Aquí consideraremos el sopone en B' como redundante. Usando el princi pio de superposición, figura 4-17b, tenemos
'mm
P=20kN
11
Posición inicial
0.001 m
"
, ~
+ (b)
=
5p
-
5IJ
(1)
Las deOexioncs 5p y 5B son determinadas con la ecuación 4-2,
PosiciÓll
WjJfinal
PL AC ~ -- =
S
AE
p
'.
[)
[20(10') N](0.4 m ) w(ü.0025 m)'[2oo( IO') N/ m']
= FnLAB =
FB( 1.20m )
AE
w(0.0025 m)'[2oo( 10') N/ m' ]
•
=
0002037 m .
=
-6
0.3056(10
.
)F.
Sustituyendo en la ecuación 1, obtenemos 0.001 m ~ 0.002037 m - 0.3056(IO-')F.
(,)
F. = 3.40( 10') N = 3.40 kN
Resp.
Rg. 4-17
Equilibrio, ..:I;};Fx
Del diagrama de cuerpo libre, figura 4-17c,
= O; - FA + 20kN - 3.40kN = O FA = 16.6kN
Resp,
147
PROBLEMAS
PROBLEMAS 4-31. La columna de acero A-36. que tiene un área transversal de 18 pulg~. está embebida en concreto de a[ta resistencia como se muestra. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la columna, determine el esfuerzo de compresión promedio en el concreto y en el acero. ¿Cuánto se acorta la columna? La columna tiene una altura original de 8 pies.
-4-32. La columna de aceroA-36 está embebida en concrelO de alta resistencia como se muestra en la figura de abajo. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la columna, determine el área requerida de acero de manera que la fucr'la sea compartida igualmente entre el acero y el concreto. ¿Cuánto se acorla la columna? la columna tiene una altura original de 8 pies.
4-34. Una columna de concreto está refor.tada por medio de cuatro varillas de acero de refuerzo, cada una de 18 mm de diámetro. Determine el esfuerzo en el concrelo y en el acero si la columna está sometida a una earga axial de 800 kN. Eac. <: 200 GPa, Ec = 25 Gra. 4-35. L.1 columna está construida con concreto de alla resistencia y cuatro varillas de rcfucrw de acclo A-3ó. Si está sometida a una fuena axial de 800 kN, determine el diámetro requerido de cada varilla para que una cuarta parte de la carga sea soportada por el acero y tres cuartas partes por el concreto. Ea<; = 200 GPa, Ee = 25 GPa.
800kN
neada las
t'robs. 4-JVJ2
llnnos
(1)
4-33. Un tubo de acero está lleno de concreto y sometido a una fuerza de compresión de 80 kN. Determine el esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta carga. El tubo tiene un diámetro exterior de 80 mm y un diámetro interior de 70 mm. EJ¡( = 200 GPa, E~ = 24 GPa. 80kN
l
1 J
Probs. 4-34135
. 4·36. Ellubo de acero A-36 tiene un radio exterior de 20 mm )' un radio interior de 15 mm. Si entra justamente entre las paredes fijas antes de ser cargado. detennine la reacción en las paredes cuando se somete a la carga mostrada.
500 mm
esp.
A
8
I-JOOmm
I
8 kN 8kN
700mm-- - -
esp. Prob.4-33
e
Prob.4-36
148
CAPITULO 4 Carga axial
4-37. La barra compuesta consiste en un segmento AB de acero A-36 de 20 mm de diámetro y de segmentos extremos DA y C8 de bronce C83400 de 50 mm de diámetro. Determine el esfuerzo normal promedio en cada segmento debido a la carga aplicada. La barra compuesta consiste en un segmento AB de acero A-36 de 20 mm de diámetro y de segmentos extremos DA y C8 de bronce C83400 de 50 mm de diá4-38.
4-41. El soporte consiste en un poste sólido de bronce C83400 que está rodeado por un tubo de acero inoxidable 304. Antes de aplicar la carga, el hueco entre esas dos partes es de I mm. Dadas las dimensiones mostradas, determine la carga axial máxima que puede aplicarse a la tapa rígida A sin generar fluencia en ninguno de los materiales.
•
• • o d
•,
metro. Determine el desplazamicnto de A respecto a 8 debido a la carga aplicada.
2.50 mmr .50 mm
lOO mm = 1250 mm 20mm 75 kN
--
100 kN
l00kN
,
B
e
Probs.4-37138
4-39. La carga de 2800 lb va a ser soportada por los dos alambres de acero A-36, esencialmente verticales. Si originalmente el alambre A8 es de 60 pulg de largo y el alambre AC de 40 pulg, determine la fuerza desarrollada en cada alambre cuando se cuelga la carga. Cada alambre tiene un área transversal de 0.02 pulg2 . *4-40.
La carga de 2800 lb va a ser soportada por los
dos alambres de acero A-36, esencialmente verticales. Si originalmente el alambre A8 es de 60 pulg de largo y el alambre AC de 40 pulg, determine el área traw.versal de AB para que la carga se reparta igualmente entre ambos alambres. El alambre AC tiene un área transversal de
Prob.4-41 4-42. Dos alambres de acero A-36 se usan para soportar el motor de 650 lb de peso. Originalmente, AB tiene 32 pulg de longitud y A' 8' 32.008 pulg de longitud. Determine la fuerza soportada por cada alambre cuando el motor se suspende de ello~. Cada lllambre tiene un área transversal de 0.01 pulg 2.
a a
•• d
0.02 pulg 2.
a
Probs. 4-39140
Prob.4-42
,
149
PROBLEMAS
4-43. El poste central B del conjunto tiene una longitud original de 124.7 mm, mientras que los postes A y tienen
e
una longitud de 125 mm. Si las tapas arriba y abajo se consideran rígidas, determine el esfuerzo normal promedio en cada poste. Los postes están hechos de aluminio y tiene cada uno un área transversal de 400 rnm 2 . E al = 70 GPa.
4-45. La carga distribuida está soportada por tres barras de suspensión. AB y EF están hechas de aluminio y CD está hecha de acero. Si cada barra tiene un área transversal de 450 mm 2, determine la intensidad máxima w de la carga distribuida de modo que no se exceda un esfuerzo pe rmisible de (O"penn)"" = 180 MPa en el acero y (lTporm)al :: 94 MPa en el aluminio. E." = 200 GPa. Eal = 70 G Pa.
1 - 1.5m
800 kN Jm
1.5
m----l
o
B
lOOrnm A
100 mm
e
B
1 1
125mm
o
F
D
"
"
" e
A
T
2m E
1
Prob.4-4S P rob.4-43
*4-44. El espécimen representa una matriz reforzada con filamentos, la cual éstá fabricada con plástico (matriz) y vidrio (fibra). Si se tienen n fibras, cada una con área Al de sección transversal y un módulo de El> embebidas en una matriz con área transversal A", y un módulo de En" determine el esfuerzo en [a matriz y en cada fibra cuando sc aplica la fuerza P sobre el espécimen.
4-46. La viga está articulada en A y soportada por dos barras de aluminio; cada barra tiene un diámetro de 1 pulg y un módulo de elasticidad Enl = IO(lcY) k[b/pulg2 . Si se supone que la viga es rígida e inicialmente horizon~ tal, determine e[ desplazamiento del extremo B cuando se aplique sobre ésta una carga de 5 klb. 4-47. La barra está articulada en A y está soportada por dos barras de aluminio, cada una con diámetro de 1 pulg y módulo de elasticidad Eal = 10(103) klb / pulg2• Si se supone que la barra es rígida y que está inicialmente en posición horizontal, determine la fuerza en cada barra cuando se aplica la carga de 5 klb.
p
D
1
F
5klb
~A~.C~~431"."..~E"~!B p
Prob.4-44
~ 3 pies + - - 6 pies ~ 3 pies -l Probs. 446/47
150
CAPITU LO 4 Carg a axi al
"4-48. Se supone que la viga horizontal es rfgida mien~ tras soporta la carga distribuida mostrada. Determine las reacciones verticales en los soportes. Cada soporte consiste en un poste de madera con diámetro de 120 mm y con altura original (descargado) de 1.40 m. Considere EmDd~rQ = 12 GPa. 4-49. Se supone que la viga horizontal es rígida mientras soporta la carga distribuida mostrada. Determine el ángulo de inclinación de la viga después de aplicada la carga . Cada soporte consiste en un poste de madera con diámetro de 120 mm y una longitud original (descargada) de 1.40 m. Considere E"Qd~rQ = 12 GPa.
4-51. La barra rígida está soportada por dos postes cortos de madera y un resorte. Si cada uno de los postes tie2 ne una altura de 500 mm y área transversal de 800 mm y el resorte tiene una rigidez k '" 1.8 MN/m y una longitud no estirada de 520 mm , determine la fuerza en cada poste después de aplicada la carga a la barra. E",ad.ra = 11 OPa.
•
... E...
La barra rígida está soportada por dos postes de madera (abeto blanco) y un resorte. Cada poste tiene una longitud (sin carga pn:~t;IL\e) de 500 mm y un área transversal de 800 mm2: el resorte tiene una rigidez k '" 1.8 MN/m y una longitud (sin carga presente) de 520 mm. Detennine el d e~plazamiento vertical de A y B desp ués de que se aplica la carga a la barra. 60kN
00 'N
A
"'"
"'"
"'4-52.
18 kN/m
f11TT
4--.504
1,00 mm
,--
500mm--¡~
1
e
e B
,
1.40 m
1
500 mm
>-__ 2 m --+- 1 m - l Probs. 4·48149
Probs. 4-51152
4-50. Las tres barras colg~ntes están hechas del mismo material y tienen las mismas áreas A en sus secciones transversales. Determine el esfuerLo normal promedio en cada barra si la barra rígida ACE está sometida a la fuerza P.
4-53. El perno de acero de 10 mm de diámetro está rodeado por un manguito de brom":c. El diámetro exterior del manguito es de 20 mm y su diámetro interior es de 10 mm. Si el perno está sometido a una fuerLa de compresión de P = 20 kN, determine el esfuerzo normal promedio en el acero y en el bronce. Eac = 200 OPa y Ebr = 100 GPa. p
F
D
B
1
,, ,, , - -,, ,, ,,
,,,
L
P
A
[
e
o f- d+ - d 2
2
, , 1
Prob.4-50
E
of:+
10 mm 20 mm
_--1 Prol!.4-53
p
.
ni
P ROB LEMAS
4·54. El vástago de 10 mm de diámetro de un perno de acero está envuelto por un casquillo de bronce. El diá· metro exterior de este casquillo es de 20 mm y su diámetro interior es de 10 mm. Si el esfuerLO de Ouencia para el acero es (tTr)"" = 640 MPa y para el bronce es (ar)br = 520 MPa, determine la magnitud de la cMga elástica má· xima P que puede aplicarse al conjunto. E30 = 200 GPa. Ebr = 100 Gra. p
151
*4-56. La prensa consta de dos cabezales rígidos mantenidos en posición por las dos barras de acero A-36 de 0.5 pulg de diámetro. Se coloca en la prensa un cilindro sólido de aluminio 6061-T6 y se ajustan los tornillos de manera que apenas si aprieten contra el cilindro. Si luego se aprietan media vuelta. determine el esfuerzo normal promedio en las barras y en el cilindro. El tornillo de cuerda simple en el perno tiene un avance de 0.01 pulg. Nota: el avance representa la distancia que el tornillo avanza a 10 largo de su eje en una vuelta completa del tornillo.
1 - - - - - 12 pulg - -- - - - ¡
,M - - JOmm
'' ' ' - - - 20 mm
p
Prob. 4-56 Prob.4-54
4·55. El miembro rígido es mantenido en la posición mostrada por tres barras de acero A-36. Cada barra tiene una longitud inicial (no alargada) de 0.75 m y un área transversal de 125 mm 2. Determine las fuerzas en las barras si a un nivelador en la barra EF se le da una vuelta entera. El avance del tornillo esde 1.5 mm. Desprecie el tamafio delnivclador y suponga que es rígido. NOla: el avance ocasiona que la barra, al estar desc{/Igada , se acorte 1.5 mm cuando al n:velador se le da una vuelta entera.
r
D
B
4-57. L1 prensa consta de dos cabezales rígidos mantenidos en posición por las dos barras de acero A-36 de ¡ pulg de diámetro. Se coloca en la prensa un cilindro sólido de aluminio 6061-T6 y se ajustan los tornillos de manera que apcnas si aprietcn contra el cilindro. Determine el ángulo que el tornillo debe girar antes quc las barras o el espécimen comiencen a fluir. El tornillo de cuerda simple en el pcrno tiene un avance de 0.01 pulg. Nota: el avance rcpresenta la distancia que el tornillo avanza a lo largo de su cje en una vuelta completa del tornillo.
1 - - --
-
12 pulg - - -- - I
0."j5m
1
_~""_-o-.5-m--I+'iiel
Arllf---o-,-m--;¡
0.75 m
F
Prob. 4-55
I
-
- ----
--~---
--
-
~ IOPUIg ~ Prob. 4· 57
152
CAP[TULO 4 Carga axial
4-58. El conjunto cOnsiste en dos postes hechos de un material! con módulo de elasticidad El y área transversal A l en cada uno de ellos, y un material 2 con módulo de elasticidad E 2 y área transversal A 2. Si se aplica una carga central P a la tapa rígida, detennine la fuerza en cada material.
4-61. El conjunto consiste en un miembro de aluminio 6061-T6 y en un miembro de bronce rojo C83400, confinados entre placas rígidas. Determine la distancia d a que debe colocarse la carga vertical P sobre las placas para que éstas permanezcan horizontales cuando el material se defo rma. Cada miembro tiene un ancho de 8 pulg y no están adheridos entre sí.
¡-- d -~-- d -----" A
p
~~;;:=:;;~cr
d
1
L
J
B
30 pulg
Aluminio
Prob.4-58
Bronce rojo
4-59. El conjunto consiste en tres postes con las siguientes propiedades: postes l (AB Y CD) hechos de un ma· terial con módulo de elasticidad El y área transversal Al; poste central 2 (EF) hecho de un material con módulo de elasticidad E2 y área transversal A 2• Si los postes AB y CD se reemplazan por olros dos postes hechos con el material del poste EF. determine el área transversal requerida en los nuevos postes de manera que ambos conjuntos se deformen la misma cantidad al cargarlos.
*4-60. El conjunto consiste de dos postes AB y CD he· chos de un material 1 que tiene un módulo de elasticidad de El y área transversal Al cada uno. y un poste central EF hecho de un material 2 con módulo de elasticidad El y área transversal A 2, determine el área transversal requerida en el nuevo poste de manera que ambos conjuntos se deformen la misma cantidad al cargarlos.
6 pulg 3 pulg
Prob.4-61
4-62. La viga rígida está soportada por un conjunto de barras dispuestas simétricamente y cada una tiene un área A y longitud L. Las barras AB y CD tienen un módulo de elasticidad El y las barras EFy GH uno de E 2_Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra si se aplica un momento concentrado Mo a la viga.
~d
p
B
A
d--l
d H
G
F
E
' - - - " 'M o)
Probs.4·59/60
Prob.4·62
D
e
I
L
PROBLEMAS
4-63. El miembro ahusado está fijo en sus extremos A Y B Y está some tido a una carga P = 7 klb en x = 30 pulg. Dctermir,e las reacciones en los soportes. El miembro tiene 2 pulg de espesor y está hecho de aluminio 2014-T 6.
tia ¡fi·
[U,
'" 'íal 00
A
6
PE C:'::::::=:!p~.=~========B~.:rrPUlg
1------60puIg-------1 Prob. 4·63
*_4_64. El miembro ahusado está fijo en sus extremos A y B Yestá sometido a una carga P. Determine la posición x de la carga y la magnitud máxima de ésta si el esfuert.:o normal permisible del material es = 4 klb/pulg 2. El miembro tiene 2 pulg de espesor.
u"",m
153
4-66. E l poste está hecho de aluminio 6061-T6 y liene un diámetro de 50 mm. Está empotrado en A y en B y en su centro e tiene un resorte unido a un co!larín rígido. Si e l resorte inicialmente no está comprimido, determine las reacciones en A yen B cuando se aplica la fuerza P = 40 kN al collarín. 4·67. E l poste está hecho de aluminio 6061-T6 y tiene un diámetro de 50 mm. Está empotrad o e n A y en B y en su centro C tiene un resorte un ido a un collarín rígido. Si el resorte inicialmente no está comprimido, determi ne la com p resión en éste cuando se aplica la carga P = 50 kN al collarín.
T
0.25 m
+-
0.25 m
k=200MN j m
~
Pro bs. 4-66167
e - - - - - - - 60 pies --------1 do
Prob.4-64
,,-
4-65. El resorte sin estirar tiene una longitud de 250 mm y una rigidez k = 400 kN/m. Si se comprime y se coloca sobre la porción AC de 200 mm de la barra de aluminio AB y se libera, determine la fuerza que la barra ejerce sobre la pared en A . Antes de aplicarse la carga, hay un hueco dc 0.1 mm entre la barra y la pared en B. La barra está fija a la pared en A . Desprecie el espesor de la placa rígida en C. Eal = 70 GPa.
". ulo "
*4-68. La barra rígid a soporta la carga distribuida uniforme de 6 klb/pie. Determine la fuerza e n cada cable si cada uno tiene un área transversal dc 0.05 pulg 2 y E = 31(lIY) klb / pulg2.
4-69. La barra rígida está o riginalmente en posición horizonta l soportado por dos cables cada uno con área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31(103) klb / pulg 2. Determine la rotación pequeña de la barra cuando se aplica la carga uniforme.
t-- 3 pies Prob.4·65
--+- - 3 pies---+-Probs. 4-68169
154
CAPíTULO 4 Carga axial
4.6
Esfuerzo térmico Un cambio de temperatura puede ocasionar que un material cam bie sus dimensiones. Si la temperatura aumenta, generalmente un material se dilata, mientras que si la temperatura disminuye, el material se contrae. Ordinariamente esta dilatación o cont racción está linealmente relacionada con el incremento o disminución de temperatura que se presenta. Si éste es el caso y el material es homogéneo e isotrópico, se ha encontrado experimentalmente que la deformación de un miembro de longitud L puede calcularse usando la fórmula:
(4·4)
donde,
La mayoría de los puentes se diseñan con juntas de expansión para permitir el movimiento térmico de la superficie de rodamiento y evitar así esfuerlos por cambio de temperatura.
a = propiedad del material llamada coeficiente lineal de dilatación térmica. Las unidades miden deformación unitaria por grado de temperatura. Ellas son tfO F (Fahrehheit) en el sistema inglés y ¡¡OC (Celsius) o lI°K (Kelvin) en el sistema SI. Los valores comunes se dan en la cubierta interior posterior del libro
tlT
=
cambio algebraico en la temperatura del miem bro
L
=
longitud original del miembro
lh = cambio algebraico en la longitud del miembro Si el cambio de temperatura varía sobre toda la longitud del miembro, esto es,ó, T = Ó,T(x), o si a varía a lo largo de la longitud ,entonces la ecuación 4-4 es aplicable para cada segmento de longitud dx. En este caso, el cambio en la longitud del miembro es:
El cambio en longitud de un miembro estáticamente determinado puede calcularse fácilmente con las ecuaciones 4-4 o 4-5 , ya que el miembro tiene libertad de dilatarse o contraerse cuando experimenta un cambio de temperatura. Sin embargo, en un miembro estáticamente indeterminado esos desplazamientos térmicos pueden estar restringidos por los soportes, lo que produce esfuerzos térmicos que deben ser considerados en el diseño. El cálculo de esos esfuerzos térmicos pucde efect uarse usando los métodos delineados en las secciones previas.. Los siguientes ejemplos ilustran algunas aplicaciones.
SECCIÓN 4.6 Esfuerzo termico
EJEMPLO le sus ial se ltrae. ionaIta. Si mtra.gitud
La barra de acero A-36 mostrada en la figura 4-18 cabe justamente entre los dos soportes fijos cuando TI = 60 °E Si la tem peratura se eleva a T1 = 120 °F, determine el esfuerzo té rmico normal promedio desarrollado en la barra.
0.5 pulg
Solución
A
Equilibrio. El diagrama de cuerpu libre Je la barra se muestra en la figura 4-18b. Como no hay fuerza externa, la fuerza en A es igual pero opuesta a la fuerza que actúa en B; esto es,
+)LF, = O: (4-4)
El problema es estáticamente indetermi nado ya que esta fuerza no puede ser determinada por equilibrio.
ración
_do de glés y comu-
Compatibilidad. Como 5B1A = O, el desplazamiento térmico 5r que ocurre en A , figura 4-18c, es contrarrestado por la fuerza F que se requiere para empujar la barra una cantidad 5F de regreso a su posición original; es decir, la condición de compatibilidad en A es:
H • ]!J., p,l,
T -'8,,-,-_T lo) F
5AIB = O = 5r - [; 1'
(+))
Aplicando las relaciones térmicas y de carga-desplazamiento, tenemos: FL O =at:.TL - -
AL
Así, con los datos de la cubierta interior posterior, !mbro, 1 ecua:aso,el
De la magn itud de F debería ser aparente qué cambios en tem peratura pueden ocasionar grandes fuer.las reactivas en miembros estáticamente indeterminados. Como F representa también la fuerza axial interna dentro de la barra, el esfuerzo normal de compresión (térmico) promedio es en tonces: F u= - =
A
2.87 klb (0.5 pulg)'
11.5 klbfpulg'
Resp.
lO)
Fig.4-18
•
155
156
•
CAPiTULO 4 Propiedades mecanicas de los materiales
EJEMPLO Un tubo de aluminio 2014-T6 con área transversal de 600 mm 2 se usa como camisa para un perno de acero A-36 con área t ransversal de 400 mm 2 , figura 4-19a. Cuando la temperatura es de TI = 15 oC, la tuerca mantiene el conjunto en una condición ligeramente apretada tal que la fuerza axial en el perno es despreciable. Si la temperatura se incrementa a T2 = 80 oC, determine el esfuerzo normal promedio ~ II d p~rnu y ~n la camisa.
1
150mm
J F, (,)
(b)
Fig.4-19
Solución
Equilibrio. En la fig ura 4-19b se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento seccionado del conj unto. Se generan las fuerzas F/) y Fs debido a que el perno y la camisa tienen diferentes coeficientes de dilatación térmica y se dilatan diferentes cantidades cuando la temperatura se incrementa. El problema es estáticamente indeterminado, ya que esas fuerzas no pueden determinarse sólo por equilibrio. Sin embargo, se requiere que: (1)
Compatibilidad. El incremento de temperatura ocasiona que la camisa y el perno se dilaten (osh y (S/)h, figura 4-19c. Sin embargo, las fuerzas redundantes Fb y Fs alargan el perno y acortan la camisa. En consecuencia, el extremo del conjunto alcanza una posición final que no es la misma que la posición inicial. Por consiguiente, la condición de compatibilidad es
SECCiÓN 4.6
,•
a a a o
Posición __,,~ i[licial
(,)
Aplicando las ecuaciones 4-2 y 4-4 Y usando las propiedades mecánicas dadas en la tabla en la cubierta interior posterior, tenemos: [12(10 - 6 )l'q(80 ' C - 15 'C)(O.l50 m) Fb (O.l50 m)
[23(10-b )I'Q (80 ' C - 15 ' C)(O.l50 m) F, (0.150 m) 600 mm2 (10- 6 m2j mm 2 )[73.1 (109 ) N/ m2]
liF,
de
Usando la ecuación 1 y despejando, se obtiene:
ya nEl esfuerzo normal promedio en el perno y en la camisa es entonces:
1)
:alas
Sn ue
de
a = s
20.26 kN = 33.8 MPa 600mm2{1O 6 m2/mm2)
Resp.
Como en este análisis se supuso un comportamiento elástico lineal de los materiales, los esfuerzos calculados deben revisarse para constatar que ellos no exceden los límites proporcionales del material.
Esfuerzo térmico
•
157
158
•
CAP[TUlO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
-' p
EJEMPLO
/-300mm -+-300mm
JIIIIIIIIII 60 mm
_ r-40 mm
- 401010_
La barra rigida mostrada en la figu ra 4-2Oa está fija a la parte superior de los tres postes hechos de acero y aluminio. Cada poste tiene una longitud de 250 mm cuando no hay carga aplicada a la barra y la temperatura es TI = 20 oc. Determine la fuerza soportada por cada poste si la barra está sometida a una carga uniformemente distribuida de 150 kN/m y la temperatura se eleva a T2 = 80 oc.
ISOle N'm
-
',),0('0.'0.
Solución
I
Acero
Aluminio
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-20b. El equi librio debido a los momentos con respecto al centTO de la barra,requiere que las fuerzas en los postes de acero sean iguales. Sumando fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, tenemos
Acero
,.)
+l:ZF)' = O: Compatibilidad.
00 'N
,----------- -----------.' ,,
2Fac +Fal -90{loJ)N=O
(1)
Debido a la simetria de la carga, de la geometría
y del material, la parte superior de cada poste se desplaza la misma
cantidad. Por tanto,
(+ )
(2)
La posición final de la parte superior de cada poste es igual a su desplazamiento causado por el incremento de temperatura, más a su desplazamiento causado por la fuerza de compresión interna axial. figura 4-2Oc. Así, entonces, para un poste de acero y uno de aluminio, te· nemos:
(01
(oach =
(+j) (+j)
+ (Oac)F (5a1 h + (Oal)F
- (5 ac h
(O~I)T = -
Aplicando la ecuación 2, obtenemos -(5a,JT
+
(li.dF = -(5a1h
+
(o8l)F
Usando las ecuaciones 4-2 y 4-4 Ylas propiedades del material dadas en la cubierta in terior posterior, obtenemos (,)
Ag. 4-20
F (0.250 m) - [1 2(10-'WCJ(80 oC + 20 °C)(0.250 m) + ".(0.020 ;)' [200(10') N/ m'] I
~
- [23(10-'W CJ(80 oC - 20 0C)(0.250 m) + Fac =
F.,(0.250 m) ".(0.03 m)'[73.1 ( lO') N/ m']
1.216Fal - 165.9(103)
(3)
Por consiSTencia, lodos los datos numéricos se han expresado en tér· minos de newtons, metros y grados Celsius. Al resolver simultáneamente las ecuaciones 1 y 3, resulta Fac = -16.4 kN Fal = - 123 kN Resp. El valor negativo para Fac indica que esta fuerl.a actúa en sent ido opuesto al most rado en la figura 4-20b. En otras pa labras, los postes de acero están en tensión y el poste de aluminio está en compresión.
PROBLEMAS
159
PROBLEMAS ;upetiene 1 y la
cada ibui-
4-70. Tres barras hechas cada una de malerial diferente están conectadas entre sí y situadas entre dos muros cuando la temperatura es TI '" 12 oc. Determine la fuerza ejercida sobre los soportes (ñgidos) cuando la temperatura es '(2 '" 18 oc. Las propiedades del material y el área de la sección transversal de cada barra están dadas en In figura.
en la
cenigua-
A.cro
E"".200GPa
E,u" 120 GPa
Eb< " 100 GPa
a.. _ t2(l0-6¡r C ab<" 21(IQ,Ó)fC a ,u" A .. _ 200 mm 2
(1)
Abo- ,,450
mm 2
4-74. Una rejilla térmica consiste en dos placas de aluminio 6061-T6 con ancho de 15 mm y empotradas en sus extremos. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando la temperatura es de TI = 25 oC, determine la tempera· lura requcrida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerla axial en cada placa si la temperatura sube a T1 '" lOO OC? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.
Cobu
Bronce
Acu
17(1~)fC
=5t5mm 2
tría na P rob. 4-70
(2) ! des-
a su al, fi-
o, tc-
4-73. Una losa de concreto de alta resistencia de un ac· ceso a un garaje tiene una longitud de 20 pies cuando su temperatura es de 20 "F. Si hay una abertura de 0.125 pulg entre uno de sus lados y la guarnición, determine la temo peratura requerida para cerrar la abertura. ¿Cuál es el esfuer,lQ de compresión en el concreto cuando la temperatura sube a J 10 °F?
4-7 1. La cinta de acero de un topógrafo va a usarse para medir la longitud de una línea. La cinta tiene una seco ción transversal rectangular de 0.05 pulg por 0.2 pulg y una longilud de 100 pies cuando TI = 60 °F Y la tensión en la cinta es de 20 lb. Determine la longitud verdadera de la línea si la lectura en la cinta es de 463.25 pies al usarla con una tensión de 35 lb a T2 '" 90 oc. El terreno en que se coloca es plano. er oo = 9.60(10-ti)/"F, Ea< :o 29(JQ3) klb/pulg1 .
4-75, Una rejilla térmica consiste en una placa AB de aluminio 6061-T6 y en una placa CD de magnesio Am l004-T61 , cada una con ancho de 15 mm y empotrada en su extremo. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando la temperatura es de TI = 25 oc, determine la temperatura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a T2 ,," 100 OC? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.
~
'Omm
II A
:
00. mm
"
f¡---=1
I[ i ,oomm ~ ~mm Probs.. 4-74175
P rob. 4·71
Jm']
1
(3)
· 4-72. La barra compuesta tiene los diámetros y materiales indicados. Está sostenida entre los soportes fijos cuando la temperatura es TI '" 70°F. Determine el es· fuel7.o normal promedio en cada material cuando la temperatura es de T2 "" 110 °F.
tér-
ínea-
20 14-T6 Aluminio (
304 pernos de acero 86100 Bronce illO~idab¡ " \ )
re
Resp. ntido ostes
:siÓn.
· 4-76. La barra A B de bronce rojo C83400 y la barra BC de aluminio 2014-T6 están unidas en el collarín By empotradas en sus extremos. Si no hay carga en las barras cuando TI '" 50°F. determine el esfuerzo normal promedio en cada una de ellas cuando T2 = 120 °F. ¿Cuánto se desplazará el collarín? El área transversal de cada miembro es de 1.75 pulgl.
D
C1 4~l8
1--- 4 pi~5 --I---- 6 pics P rob.4-72
- -!-- 3 pies - i P rob. 4-76
160
CApiTULO 4 Carga axial
4-77. El cilindro de 50 mm de diámetro está hecho de magnesio Am l004-T61 y se coloca en la prensa cuando la temperatura es TI = 20 oc. Si los pernos de acero inoxidable 304 de la prensa tienen cada uno un diámetro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despreciable contra los cabezales rígidos. determine la fuerza en el cilindro cuando la temperatura se eleva a T 2 = 130 oc.
4-78. El cilindro de diámetro de 50 mm de diámetro está hecho de magnesioAm 1004-T61 Yse coloca en la prensa cuando la temperatura es TI = 15 oc. Si los pernos de acero inoxidable 304 de la prensa tienen cada uno un diámetro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despreciable contra los cabezales rígidos, determine la temperatura a la que el esfuerzo normal promedio en el aluminio o en el acero resulta ser de 12 MPa.
Prob.4-79
"'4-80. La barra central CD del conjunto se calienta de T I = 30 oC II T 2 = 180 oC por medio de una resistencia eléctrica. A la temperatura inferior TI. el espacio entre e y la barra rígida es de 0.7 mm. Determine la fuerza en las barms A B Y EF causada por el incremento de tcmperatura. Las barras A 8 Y EF son de acero y cada unll tiene un área transversal de ]25 mm 2 . CD es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm 2. E.e = 200 OPa. E'I = 70 OPa yaal = 23(1O -Ó)/"C.
Probs.4-77n8
4-81. La barra central CD del conjunto se calienta de TI = 30 oC a T 2 == 180 oC por medio de una resistencia eléctrica. También, las dos barras extremas AB y EF se calientan de TI = 30° a T1 = 50 oc. A la tem peratura inferior T¡, el espacio entre C y la barra rígida es de 0.7 mm. Determine lo fuer¿o en las bllrras A B Y EF causada por el incremento de temperatura. Las barras AB y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm 2• CD es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm 2. Ex = 200 OPa, Ea! := 70 OPa, aa<; := 12(10- 6)/"C y aal = 23(IO - 6)t C.
4-79. El conjunto consiste en un cilindro de aluminio 2014-T6 con diámetro exterior de 200 mm y diámetro interior de 150 mm junto con un cilindro concéntrico sólido interior de magnesio Am l004·T61 con diámetro de 125 mm. Si la fuerLa de agarre en los pernos AB y CD es de 4 kN cuando la temperatura es TI := 16 "C, determine la fuerza en los pernos cuando la temperatura sube a T 2 = 48 oc. Suponga que los pernos y los cabezales son rígidos.
Probs. 4-80181
PROBLEMAS
4-82. Las tres barras están hechas de acero A-36 y forman una armadura conectada por pasadores. Si ésta se construye cuando TI = 50 °F, determine la fuerza en cada barra cuando Ji = 110 0F. Cada barra tiene un área transversal de 2 pulgz. 4·83. Las tres barras están hechas de acero A-36 y forman una armadura conectada por pasadores. Si ésta se construye cuando TI = 50 °F, determine el desplazamiento vertical del nodo A cuando T, = 150 °F. Cada barra tiene á rea transversal de 2 pUlg 2 ,'
161
4-85. La barra tiene un área transversal A, longitud L, módulo de elasticidad E y coeficiente de dilatación tér· mica a. La temperatura de la barra cambia uniformemen· te desde una temperatura T A en A hasta una temperatura T B en B, de modo que en cualquier punto.t a lo largo de la barra, T = TA + x(Ts - TA)/L. Determine la fuerza que la barra ejerce sobre las paredes rígidas. Inicialmente no se tiene ninguna fuerza axial en la barra.
A
d, cia
,,,
,C Prob.4-85
"ra~ne
tie-
,1 =
8
f---3 pies--I-- 3 pies - l
d,
lcia
: se
Probs.4-82183
in11m. .r el , d,
CD
2 1m .
01
=
*4-84. La barra está hecha de acero A-36 y tiene un diámetro de 0.25 pulg. Si los resortes se comprimen 0.5 pulg cuando la temperatura de la barra es T = 40 °F, determine la fuena en la barra cuando su temperatura es T = 160 0F,
4-86. La barra metálica tiene un espesor 1 y un ancho w y está sometida a un gradiente de temperatura de 1') a T2 (TI < T2). Esto causa que el módulo de elasticidad del materia! varíe linealmente de El en la parte superior a un valor menor E2 en el fondo de la barra. En consecuencia, en cualquier posición vertical y, E = [(E¡ - E¡}/w] y + El. Determine la posición d donde debe aplicarse la fuerza axial P para que la barra se alargue uniformemente en toda su sección transversal.
162
4.7
CAPITU LO 4 Carga axial
Concentraciones de esfuerzos En la secciÓn 4.1 se señaló que cuando ulla fuerza axial se aplica a un miembro, se genera una comp leja distribución de esfuerzos dentro de una región localizada alrededor del punto de aplicación de la carga. Tales distribuciones típicas del esfuerzo se muestran en la figura 4-1. No sólo bajo cargas concentradas aparecen complejas distribuciones del esfue rzo, sino también en secciones donde el área de la sección transversal cambia. Por ejemplo, considere la barra en la figura 4-21a, que está sometida a una carga axial P. Puede verse aquí que las líneas horizontales y verticales de la retícula asumen un patrón irregular alrededor del agujero centrado en la barra. El esfuerzo normal máximo en la barra ocurre en la sección a-a, que coincide con la sección de área transversal más pequeña. Si el material se comporta de manera elástica lineal, la distri bución del esfuerzo que actúa en esta sección puede determinarse a partir de un análisis basado en la teoría de la elasticidad o bien experimentalmente, midiendo la deformación unitaria normal en la sección a-a y luego calculando el esfuerzo usando la ley de H ooke, IY = Ee. Independientemente del método usado, la forma general de la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la fig ura 4-21b. De manera similar, si la barra tiene una reducción de su sección transversal con fi letes en la zona de transición, figura 4-22a, entonces de nuevo, el esfuerzo normal máximo en la barra ocurrirá en la sección transversal más pequeña, sección a-a, y la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 4-22b.
Distribución real del esfuerzo (b)
p
p
p
Distribución promedio del esfueo.o (o)
Fig.4.21
Concentraciones de esfuerzos
SECCiÓN 4.7
163
En los dos casos anteriores, el equilibrio por fuerzas requiere que la magnitud de la fuerza resultante desarrollada por la distribución del esfuerzo sea igual a P. En otras palabras,
1 a un tro de ~a. Ta-
-1. No
:fel esnsverle está ,rizonlor del
·a ocu-
al más stribupartir lentalduego :Jiente:fuerzo 1 barra ona de láximo ón a-a, 4-22b.
p~ fO"dA
(4-6)
A
Como se estableció en la sección 1.4, esta integral representa gráficamente el volumen bajo cada uno de los diagramas de distribución del esfuerzo mu:sLntuOS ell las figuras 4-21b y 4-22b.Además, el equilibrio debido a los momentos, requiere que cada distribución del esfuerzo sea simétrica sobre la sección transversal, de manera que P pase por el centroide de cada volumen. Sin embargo, en la práctica, la distribución real del csfuerzo no tiene que determinarse; sólo el esfuerzo máximo en esas secciones debe ser conocido para poder diseñar el miembro cuando se aplique la carga P y se genere este esfuerzo. En los casos en que cambia la sección transversal, como en los casos vistos antes, valores específicos del esfuerzo normal máximo en la sección crítica pueden determinarse por medio de métodos experimentales o por medio de técnicas matemáticas avanzadas usando la teoría de la elasticidad . Los resul tados de esas investigaciones se reportan por lo regular en forma gráfica usando unfaclOr K de concentración de esfuerz.os. Definimos K como la razón del esfuerzo máximo al esfuer· zo promedio que actúa en la sección transversal más pequeña; esto es, K =
(Jmb
Las concentraciones de esfuerlos se presentan a menudo en las esquinas agudas de maquinaria pesada. Los ingenieros pueden mitigar estos efectos usando placas atiesadoras soldadas a las esquinas.
(4-7)
(Jprom
Si se conoce K y si el esfuerzo normal promedio se ha calculado a partir de (Jprom = Pj A , donde A es el área transversal más peqlleíl,a, figuras -l.2lc y 4-22c, entonces de la ecuación anterior, el esfuerzo máximo en la sección transversal es (Jmá~ = K(P j A).
\
t?
uerzo
L6"-
Distribución real del esfucrLO ( b)
, Sin distorsión
esfuerzo
'-IIDi-iiiiijll[J-'
Distribución promedio del esfuerLO
Distorsionada (,)
(o)
Hg. 4- 22
164
CAPITULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
C')
(b)
Co)
(d)
Fig.4-23
En todas las esquinas de esta losa ha ocurrí· do agrietamiento del concreto debido a su contracción al ser curado. Esas concentraciones de esfuerzos pueden evitarse dándole forma circular al agujero.
Los valores específicos de K se reportan generalmente en forma gráfica en manuales relacionados con el análisis de esfuerzos. Ejemplos de estas gráficas se dan en las figuras 4-24 y 4-25 , respectivamente. * En particular observe que K es independiente de las propiedades del material de la barra: más bien, depende sólo de la geometría y del tipo de discontinuidad de ésta. Cuando el tamaño r de la discontinuidad disminuye, la concentración del esfuerzo aumenta. Por ejemplo, si una barra requiere un cambio en su sección transversal, se ha determinado teóricamente que una esquina aguda, figura 4-23a, produce un factor de concentración de esfuerzo mayor de 3. En otras palabras, el esfuerzo normal máximo será tres veces mayor que el esfuerzo normal promedio en la sección transversal más pequeií.a. Sin embargo, éste puede reducirse a, digamos., 1.5 veces introduciendo un filete, figura 4·23b. Puedc conseguirse una reducción aún mayor por medio de pequeñas ranuras o por agujeros situados en la transición, figuras 4-23c y 4-23d. En todos estos casos un buen diseño ayudará a reducir la rigidez del material que rodea a las esquinas, de modo que tanto la deformación unitaria como el esfuerzo se distribuyan con más suavidad sobre la barra. Los factores de concentración de esfuerzos dados en las figuras 4~24 y 4-25 se determinaron sobre la base de una carga estática, con la hipótesis de que el esfuerzo en el material no excede el límite de proporcionalidad. Si el material es muy frágil , el límite de proporcionalidad puede estar en el esfuerzo de ruptura y, por tanto, la falla comenzará en el punto de con· centración del esfuerzo cuando se haya alcanzado el límite de proporcionalidad . En esencia, lo que sucede es que comienza a formarse una grie· ta en ese punto y se desarrolla una concentración del esfuerzo más alta en la punta de esta grieta. Esto, a su vez, ocasiona que la grieta progre· se en la sección transversal, resultando una fractura súbita. Por esta ra· zón , es muy importante usar factores de concentración de esfuerzos en el diseño cu·a ndo se usan materiales frágiles. Por otra parte, si el material es dúctil y está sometido a una carga estática, los ingenieros desprecian por lo general el uso de factores de concentración de esfuerzos puesto que cualquier esfuerzo que exceda al límite de proporcionalidad no provoca· rá una grieta. En cambio,el material tendrá una resistencia de reserva debido a la fluencia y al endurecimiento por deformación. En la siguiente sección veremos los efectos causados por este fenómeno. Las concentraciones de esfuerzo son también la causa de muchas fallas en miembros estructurales o en elementos mecánicos sometidos a cargas de fatiga. En estos casos, una concentración de esfuerzos ocasionará que el material se agriete cuando el esfuerzo exceda el límite de fatiga del material, sin importar que éste sea dúcti l o frágil. Lo que sucede es que el material situado en la punta de la grieta permanece en un estado frágil y por tanto, la grieta continúa creciendo, conduciendo a una fractura progresiva. Por consiguiente, los ingenieros implicados en el diseño de tales miembros deben buscar maneras de limitar la cantidad de daño que puede resultar debido a la fatiga.
· Vea Lipson. C. y Juvinall. R.
e.. Halldbook 01 SIress (lJ1lISIfetzglh, Macmillan. 1963.
3.01.8 -
'--'
2.6 ---'
1-
2..1 \.......
12.2
1.6
lA
1.0
O
• UC
.S
máI
• cil
en
dOl 1
se
SECCiÓN 4.7 Concentraciones de esfuerzos
ále
iT-
al
30
3.2
P':~ rP
2.8 26
D-
la ce
2.4
2.2
2.0
ón
L8
o; na si-
un
,,'"
4y ~is
ad. en
h - p o~
,,,
3.0
'
2.8 {w-2r)f
w
I! _4.0
·a:d-
~7..30 '+
L6
K
w h
2.0
w
-].5
h
2.6
w
't"h
w
L'
2.'
1.2 1.1
2.2
1.2 LO O
0.1
0.2
0.3
O,
OS
0.6
0.7
0.8
0.9
LO
2.0 O
L h
Fig.4.24
,n-
:io-
rie-
lita
;re-
ca-
n el les poc
cademte
lilas "gas que
mae el gil y
proaJes
)ue-
165
PUNTOS IMPORTANTES • Las concelltraciones de esfoerzos ocurren en secciones donde eJ área transversal cambia repentinamente. Entre más severo es el cambio, mayor es la concentración de los esfuerzos.
• Para diseño o análisis, s610 es necesario determinar el esfuerzo máximo que actúa sobre el área con sección transversal más pequeña. Esto se hace usando un faclor de coltcelZtración de esfuerzos, K , que ha sido determinado experimentalmente y es sólo una función de la geometría del espécimen. • Normalmente la concentración de esfuerzos en un espécimen dúctil sometido a una carga estática no tendrá que ser considerado en el diseño; sin embargo, si el material es frágil , O está sometido a cargas de fatiga , entonces las concentraciones de esfuerzos se vuelven importantes.
0.1
0.2
, w
Fig.4-25
0.3
0.4
05
166
•
CAPíTULO 4 Carga axial
EJEMPLO Una barra de acero tiene las dimensiones mostradas en la figura
4-26. Si el esfuerzo permisible es O"perm = 16.2 klb/pulg2, determine la máxima fuerza axial P que la barra puede soportar. p
t 1 pulg ~ 0.5 pulg
0.5PUlg~
........ 0.5 pulg
2 pulg
l p
Fig.4-26
Solución
Como se tiene un fIIele del tipo mostrado, el factor de concentración de esfuerzos puede determinarse usando la gráfica en la figura 4-24. Los parámetros geométricos necesarios son
, ~ = 0.5 pulg = 0.50 11 1 pulg ~ = 2 pulg = 2 h 1 pulg Entonces, de la gráfica, K
~
1.4
Calculando el esfuerzo normal promedio en la sección transversal más pequeña, tenemos: j
O"prom
,
,
P = C(;lpu-;lC-gC;)(C;;O-;.5-p-u;-lg~) = 2P
Aplicando la ecuación 4-7 con
O"perm
= O"m>lx. resulta:
O" pcrm = KO"prom
16.2 klb ~ 1.4(2P) P
~
5.79 klb
Resp.
.,
ia
.n
4.
al
o.
SECCIÓN 4.7 Concentraciones de esfuerzos
EJEMPLO La barra de acero mostrada en la figura 4-27 está sometida a una carga axial de 80 kN. Determine el esfuerzo normal máximo desarrollado e n la barra así como el desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro. El acero tiene un esfuerzo de fluencia Uy = 700 MPa y un Eac = 200 GPa.
A
40 mm
I
B
e
20 mm
D
I
80kN
80 kN -4----
- L 1Omm
~300mm
6mm
800 mm
I 300m~~
Hg. 4-27
Solución
Esfuerzo normal máximo. Por inspección, el esfuerzo normal máximo se presenta en la sección transversal más pequeña. donde comienza el fil ele, en B o en C. El factor de concentración de esfuerzos se Ice en la figura 4-23. Se requiere: r
h=
6mm 20mm = 0.3.
IV
40 mm 20rnm
-~ -- ~2
h
Entonces.. K = 1.6. El esfuerzo máximo es entonces:
P [ ifmáx = K - = 1.6
A
3
80(10 ) N ] (0.02 m)(O.ool m)
=
640 MPa
Note que el material permanece elástico, ya que 640 MPa < 700 MPa .
Resp. O"y
=
Desplazamiento. D espreciaremos aquí las deformaciones localiza· das que rodean a la carga aplicada y al cambio brusco en la sección transversal del fil ete (principio de Saiol- Venant). Tenemos: /jA I D =
PL { 80(10') N(O.3 m) } :¿-.4E ~ 2 (0.04 m )(O.OI m)[2oo(1O') N/ m']
+
80(103) N(0.8 m) } { (0.02 m) (O.OI m) [2oo( 1O') N/ m' ]
(T A/ D
= 2.20 mm
Resp.
•
167
168
*4.8
CAPITULO 4 Carga axial
(
Deformación axial inelástica
La falla de este tubo de acero sometido a presión ocurrió en el área transversal más pequeña, que es a través del orificio. Note cómo, antes de la fractura , el materia! que rodea la superficie fracturada se deform6.
Hasta ahora hemos considerado sólo cargas que ocasionan que el material de un miembro se comporte elásticamente. Sin embargo, a veces un miembro puede ser diseñado de manera que la carga ocasione que el material fluya y adquiera por consiguiente deformaciones permanentes. Tales miembros suelen fabricarse con un metal muy dúctil como el acero recocido al bajo carbono, que tiene un diagrama esfuerzo-deformaci6n unitaria similar al de la fig ura 3-6 y que pucdc modelarse como se muestra en la figura 4-28b. A un material que exhibe este comportamiento ideaHzado se le denomina elástico-perfectamente plástico o elastoplástico. Para ilustrar físicamente CÓmo tal material se comporta, consideremos la barra en la figura 4-280, que está sometida a la carga axial P. Si la carga genera un esfuerzo elástico u = U I en la barra, entonces por equilibrio se requiere que, de acuerdo con la ecuación 4-6, P = fu] ,lA = U I A . Además el esfuerzo U¡ genera en la barra la defonnación unitaria €¡ . como se indica en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, figura 4-28b. Si P se incrementa ahora hasta Pp ' de manera que ocasione que el material fluya ,esto es, u = uy, entonces de nuevo Pp = f ay dA = u yA . La carga Pp se denomina carga plástica, ya que representa la carga máxima que puede ser soportada por un material elastoplástico. Para este caso, las deformaciones unitarias no están definidas de manera única. Más bien, en el instante en que se alcanza Uy, la barra está primero sometida a la deformación unitaria de fl uencia €y, figura 4-28b, después de lo cual la barra continuará fluyendo (o alargándose) de manera que se generan las deformaciones unitarias €:I, luego E3, etc. Como nuestro "modelo" del material exhibe un comportamiento perfectamente plástico, este alargamiento continuará indefinidamente sin incremento de la carga. Sin embargo, en realidad el material empezará, después de alguna fluencia, a endurecerse por deformaciÓn de manera que la resistencia adicional que alcanza detendrd cualquier deformación adicional. En consecuencia, cualquier diseño basado en este comportamiento será seguro, ya que el endurecimiento por deformación proporciona el potencial para que el material soporte una carga adicional en caso de que sea necesario.
se l p" a iI de.
die
fl aJ
ser
en
p,
"\'(
inc me eq'
ce l
IUD
car
tra¡
baJ
lar.
Aq sal (
COI
10 1
p
"
/
",
", f--
1/
,.,
<1
<,
<,
<,
,b' Fig.4-28
<,
I ma·
veces ~ que lOenno el leforcomo lorta' elas-
emos a car· librio
UI A .
como ;iPse
al flu-
'ga Pp : pueiefor· ,en el jeforbarra jefor¡terial oconn rease por 'endrá 10 baLo por :e un a
--,
SECCiÓN 4.8 Deformación axial inelástica
Consideremos ahora el caso de una barra que tenga un agujero como se muestra en la figu ra 4-29a. Cuando la magnitud de P se incrementa, se presenta una concentración de esfuerzos en el material cerca del agujero, a lo largo de la sección a-a. El esfuerzo aquí alcanzará un valor máximo de, digamos, Umáx == al con una deformación unitaria elástica correspondiente de valor El> figura 4-29b. Los esfuerzos y las deformaciones unitarias correspondientes en otros puntos a lo largo de la sección transversal serán menores, como se indica en la distribución del esfuerzo mostrada en la figura 4-29c. Como es de esperarse, el equilibrio requie re que P == fu dA. En otras palabras, P es geométricamente equivalente al "volumen" contenido dentro de la distribución del esfuerzo. Si la carga se incrementa ahora a pi , de manera que amáx = uy,entonces el material comenzará a fluir hacia afuera desde el agujero, hasta que la cond ición de equilibrio P' == fu dA se satisfaga, figura 4·29d. Como se ve, esto produce una distribución del esfuerzo que tiene geométricamente un mayor"volumen" que el mostrado en la figura 4·29c. Un incremento adicional de carga ocasionará que el material eventualmente fl uya sobre toda la sección transversal hasta que ninguna carga mayor pueda ser soportada por la barra. Esta carga plástiCll Pp se muestra en la figura 4-2ge y puede calcularse a partir de la condición de equilibrio: (4-7)
Pp = IuydA=uyA A
Aquí, Uy es el esfuerzo de fluencia y A es el área de la sección transversal de la barra en la sección 0-(1. Los siguientes ejemplos ilustran numéricamente cómo se aplican esos conceptos a otros tipos de problemas en que el material se comporta elastoplásticamente.
p
i "
¡ p (,)
a a,
a,
/
V"
" (b)
(,)
(d)
(,)
! p
P'
1 P,
Fig. 4-29
169
170
•
CAPiTULO 4 Carga axial
EJEMPLO
A
20.00 pies
Dos alambres de acero se usan para levantar el peso de 3 klb, figura 4-30a. El alambre AB tiene una longitud no deformada de 20.00 pies y el alambre AC tiene un a longitud no deformada de 20.03 pies. Si cada alambre tiene un área transversal de 0.05 pulg2 y el acero puede considerarse elástico-perfectamente plástico, como se muestra en la grafica u - E en la figura 4-30b, determine la fuerza y alargamiento en cada alambre.
20.03 pies
Solución
8
e
Por inspección , el alambre AS comienza a tomar la carga cuando el gancho se levanta. Sin embargo, si este alambre se alarga más de 0.03 pies, la carga es entonces tomada por ambos alambres. Para que esto ocurra, la deformación unitaria en el alambre AB debe ser: _ 0.03 pie _ 20' - 0.0015 piCS
t:AH -
que es menor que la deformación unitaria elástica máxima,
ey
0.0017, figura 4-30b. Además, el esfuerzo en el alambre AS cuando esto sucede puede determinarse mediante la figura 4-30b, por proporción: esto es, =~0.OO ~17~ ~ _ O .OO ~ 15 50 klb Ipulg 2 u IIB ()" AH = 44.12 klb/ pulg 2 La fue rza en el alambre es entonces: FAB = u ABA = (44.12 klb/pulg 2 )( 0.05 pie 2) = 2.21 klb
Como el peso por soportarse es de 3 klb. podemos concluir que ambos alambres deben usarse para soportarlo. Una vez que el peso está soportado, el esfuerzo en los alambres depende de la deformación unitaria correspondiente. Hay tres posibilidades: que la deformación unitaria en ambos alambres sea elástica, que el alambre AB esté deformado plásticamente mientras que el alambre AC esté deformado elásticamente o que ambos alambres estén deformados plásticamente. Comenzaremos suponiendo que ambos alambres permanecen elásticos. Por inspección del diagrama de cuerpo libre del peso suspendido, figura 4-30c, vemos que el problema es estáticamente indeterminado. La ecuación de eq uilibrio es:
CJ (klb)
+ILF,
~
O;
T AB
+ TAe
-
3 kl b = O
(1)
50 1-~~---c"-~~~~~-
"'----;;-;!,,,,-------- - - - f (pulg /pulg) 0.00]7 (b)
(e)
4-30
SeCCióN 4.8 Deformación axial ¡nelástica
ca
"a-
el 03
171
Como AC es 0.03 pie más largo que AS , vemos en la figura 4-30d que la compatibilidad en los desplazamientos de los extremos B y e requiere que:
le
la to
•
SAB
=
+ 5Ac
0.03 pie
(2)
El módulo de ela~ticidad, figura 4-30b, es Eac = 50 klb/pulg /O.0017 = 29.4(103) klb / pulg 2 . Como ¿ste es UD análisis elástico lineal, la re lación carga-desplazamiento está dada por ó = PL /AE, por lo que: 2
El esfuerzo en el alambre AS es entonces: 2.60 klb -==::::c 0.05 pulg
CT A8 =
2
=
52.0 klb/pulg2
Posición inicial
Este esfuerzo es mayor que el esfuerzo elástico máximo permisible (CTy = 50 klbjpulg2) por 10 que el alambre AS se plastifica y soporta su carga máxima de: Rasp. T = 50 klb/pulg' (0.05 pulg2) - 2.50 klb AB
de)ili· lue
br,
'orIres
del en-
De la ecuación 1, Resp.
T"c = 0.500 klb
Advierta que el alambre AC permanece elástico, ya que el esfuerzo 2 en el alambre CTAe = 0.500 klb/0.05 pulg 2 = 10 klb/pulg2 < 50 klb/pulg • La defonnación unitaria elástica correspondiente se detennina por proporción, figura 4-30b; esto es, €AC
\O (1)
klb/pulg 2
€ AC
0.0017
50 klb/pulg2
= 0.000340
El alargamiento de AC es entonces: 'A C =
(0.000340)(20.03 p;es) = 0.00681 p;e
Resp.
Aplicando la ecuación 2, el alargamiento de AH es entonces:
5A8 4-30
=
0.03 pie
+ 0.00681 pie
= 0.0368 pie
Resp.
e
S'C
-~--'-' Posición tinal (d)
172
•
CAPíTULO 4 Carga axial
EJEMPLO La barra en la figura 4-31a está hecha de un acero con comportamiento elástico-perfectamente plástico con O"y = 250 MPa. Determine (a) el valor máximo de la carga P que puede aplicársele sin que el acero fluya y (b) el valor máximo de P que la barra puede soportar. Esboce la distribución del esfuerzo en la sección crítica para cada caso. Solución
Parte (a). Cuando el material se comporta elásticame nte, debemos usar un factor de concentración de esfuerzos, determinado con ayuda de la figura 4-23, que es único para la geometría dada de la barra. Aquí: 4Qmm
F= -
,
I.C. -, ' m,=, ~.~ I ........
0.125
h
4mm (40mm-8mm)
w h
40 mm 8mm) (40 mm
1.25
-
~
p
-L -:;::::r- 2 mm
,,'
-~
La carga máxima que no ocasiona fluencia, se presenta cuando = O"y. El esfuerzo normal promedi'o es O"y = P l A. Usando la ecuación 4·7, tenemos: O"milx
O"m áx
=
KO"prom;
ay
~ 1.7s[ (0.002 m~(0.032 m) ]
250(10') p,
(b'
K( ~)
=
Py = 9.14 kN
Resp.
Esta carga se ha calculado usando la sección transversal más pequeña. La distribución resultante del esfuerzo se muestra en la figura 4-31b. Por equilibrio, el "volumen" contenido dentro de esta distribución debe ser igual a 9.14 kN.
,,' Fig.4-31
Parle (b). La carga máxima soportada por la barra requiere que todo el material en la sección transversal más pequeña fluya. Por tanto, conforme P crece hacia la carga plástica Pp,se cambia gradualmente la distribución del esfuerzo del estado elástico mostrado en la figura 4-31b al estado plástico mostrado en la figura 4-31c. Se requiere: O"y
A
P
6
250(10
Pp =-
)
p, = (0.002 m)(O.032 m) Pp = 16.0 kN
Resp.
Aquf, Pp es igual al "volumen" contenido dentro de la distribución del esfuerzo, que en este caso es Pp = O"yA.
SECCiÓN 4.9 Esfuerzo residual
*4.9 n-
a)
ro ,ce
os
da
uí:
do
13-
'!Sp.
'¡ja.
\lb. de-
odo
:00-
dis-
3tb
Esfuerzo residual
Si un miembro cargado axialmente o grupo de tales miembros forma un sistema estáticamente indeterminado que puede soportar cargas tanto de tensión como de compresión, entonces las cargas externas excesivas que causan nuencia del material generarán esfuerzos residuales en los miembros cuando dichas cargas sean retiradas. La razón para esto tiene que ver con la recuperación elástica del material, que ocurre durante la descarga. Por ejemplo, consideremos un miembro prismático hecho de un material elastoplástico que tenga el diagrama esfuerzo-deformación OAS, como el mostrado en la figura 4-32. Si una carga axial produce un esfuerzo Sy en el material y una deformación unitaria plástica correspondiente EC, entonces cuando la carga se retira. el material responderá elásticamente y seguirá la línea CD para recuperar algo de la deformación plástica . Una recuperación total a esfuerzo cero en el punto O' será sólo posible si el miembro es estáticamente determinado, ya que las reacciones de los soportes del miembro deben ser cero cuando se retira la carga. Bajo estas circunstancias, el miembro se deformará permanentemente de modo que la deformación unitaria permanente en el miembro es EO" Sin embargo, si el miembro es estáticamente indeterminado, retirar la carga externa ocasionará que las fuerzas en tos soportes respondan a la recuperación e'lástica CD. Como estas fue rzas impiden que el miembro se recupere plenamente, inducirán esfuerzos residuales en el miembro. Para resolver un problema de esta clase, el ciclo completo de carga y descarga del miembro puede considerarse como la superposición de una ca rga positiva (acción de ca rga) sobre una ca rga negat iva (acción de descarga). La acción de cargar, de O a e, conduce a una distribución plástica del esfuerzo, mientrás que la acción de descargar a lo largo de CD conduce sólo a una distribución elástica del esfuerzo. La superposición requiere que las cargas se cancelen; sin emba rgo, las distribuciones de esfu erzo no se cancelarán y, por tanto, quedarán presentes esfuerzos residua les. El siguiente ejemplo ilustra numéricamente estos conceptos.
173
174
•
CApITULO 4 Carga axial
EJEMPLO La barra mostrada en la figura 4·33a tiene un radio de 5 mm y está hecha de un material elástico·perfectamentc plástico para el cual
El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4·33b. Por inspección, la barra es estáticamente indeterminada. La aplica· ción de la carga P tendrá una de las tres siguientes consecuencias: que ambos segmentos AC y CB permanezcan elásticos, que AC se plasti· fique mientras CB permanece elástico o que ACy CB se plastifiquen." Un análisis elástico, similar al visto en la sección 4.4,dará FII = 45 kN Y F B = 15 kN en los soportes. Sin embargo, esto conduce a un esfuerzo de: •. A ~
;
e
;-
P-50kN
I lOOm~
45kN = 573M.Pa (compresión) >
8 .. ~
300mm - - 4 -
en el segmento AC, y
(a)
::::<
15 kN "2 = 191 MPa (tensión) ,,(0.005 m)
en el segmento CB. Como el material en el segmento AC fluirá, su· pondremos que AC se plastifica mientras que CB permanece elástico. Para este caso, la fuerza máxima posible generable en AC es: (FAh (b)
=
~
33.0 kN
y, por equilibrio de la barra, figura 4·33b, Hg. 4-33
FB ~ 60 kN - 33.0 kN ~ 27.0 kN
El esfuerzo en cada segmento de la barra es por tanto:
::::<
420 MPa (compresión)
27.0 kN 1T(0.005 m)2
344 MPa (tensión) < 420 MPa (OK)
Esfuerzo residual. Para obtener el esfuerzo residual, es necesario también conocer la deformación unitaria en cada segmento debido a la carga. Como CB responde elásticamente, Oc
~
_FB_L_c_B AE
~ _ ---"(2:.:7.:.:.0.:.:k:;-Nc"-).:.: (0:::.3:.::00 "-"m:c)----00 ~ 0.001474 m 2
,,(0.005 m)' [70(106 ) kNf m
]
SeCCióN 4.9 Esfuerzo residual
está cual
•
175
Así,
en.
tECR = -
Se
0.001474 m = +0.0049 13 0.300 m
-
L eH
dual
También, como Sc es conocida, la deformación unitaria en AC es:
33b. licaque
asti.en.· 5kN :uer-
0.001474 m = -0.01474 0.100 m Por tanto, cuando se aplica P, el comportamiento esfuerLo-deformación unitaria para el material en el segmenlo CB se mueve de O a A', figura 4-33c, y para el material en el segmento AC se mueve de O a 8'. Si se aplica la carga P en sentido opuesto, en otras palabras, si se reti ra la carga, ocurre entonces una respuesta elástica y fuerzas opuestas de FA = 45 kN Y FH = 15 kN deben aplicarse a cada segmento. Como se calculó antes, esas fuerzas generan esfuerLOS O"AC = 573 MPa (tensión) y O"CR = 191 MPa (compresión), y en consecuencia, el esfuerzo residual en cada miembro es:
Este esfuerzo de tensión es el mismo pa ra ambos segmentos. lo que a(MPa) era de esperarse. Note también que el com portamiento esfuerzo-deformación unitaria para el segmento AC se mueve de 8' a D' en la fi':20 ".,._ _ gura 4·33c. mientras que el comportamiento esfuerzo-deformación uni. ~ I=;A taria para el segmento C8 se mueve de A a C'. ~ r .. -~~:OO6O~h j ~ ¡
(lIc . - 0.01473 -
Desplazamiento permanente.
De la figu ra 4·33c, la deformación
1
V1<'
unitaria residual en CB es: ¡
€ CH
O"
= -
E
=
153(106 ) Pa = 0.002185 70(10') P.
,<,
por lo que el desplazamiento per manente de Ces
Se = e' caLca = 0.002185 (300 mm) = 0.656 mm -
Resp.
Podemos también obtener este resultado determinando la deformación unitaria residual' AC en AC. figura 4·33c. Como la línea 8' D' tiene una pendiente E, entonces:
(420 + 153)106 Pa 70(10') Pa ~ 0.008185 Por ta nto, sario bido
e' AC =
€AC
+ SeAC = -0.01474 + 0.008185
=
-0.006555
Finalmen te. Oc = e' AcLAc = -0.006555 (100 mm) = 0.656 mm -
Resp.
· La posibilidad de que CB se plastifique antes que AC, no puede ocurrir ya que cuando el punto C se deforma. la deformación rlllil/l,io en AC (por se r r!sle más corlo) siempre será ma yor que la deformaciÓn unitaria en C8.
r). =O.OO6O
(~s rcs
0.004911
((mm / mm)
176
CAPiTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS 4-87. Determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en la barra cuando se halla sometida a una tensión de P =8 kN.
4-90. Determine la fuer13 axial máxima P que puede aplicarse a la barra. La barra está hecha de acero y tiene un esfuerzo permisible de O"perm = 21 klb / pulg2 .
- 4-88.
4-9 1. Determine el esfuerLo máximo normal desarrollado en la barra cuando ésta está sometida a una tensión P =2 klb.
Si el esfuerzo normal permisible para la barra es = 120 MPa, determine la fuerza axial máxima Pque puede aplicarse a la barra.
O"perm
1.875 polg
p
p
o
p
t
r .. 0.25 pulg 0.75 pulg
Prob5. 4-87188 Probs. 4·90/Sl1
4-89. Una pieza está hecha de placa de acero de 0.25 pulg de espesor. Si se taladra un orificio de 1 pulg a través de ~II (:entrn, determine ell'ncho ap roximado w de la placa de modo que pueda soportar una fuerza axial de 3350 lb. El esfuerzo permisible es O"perm - 22 klb / pulg2 .
"'" 3350 lb
~ . t--': L Prob.4-89
3350 lb
- 4-92. Una placa de acero A-36 tiene un espesor de 12 mm. Si tiene fil etes en B y Cy O"pcrm "" 150 MPa.determine la carga axial máxima P que puede soportar. Calcule su alargamiento despreciando el efecto de los filetes.
r=30 mm
~___ I
_ SOOmm -
Prob.4-92
60 mm
e
120 mm
1
p
~D
zoo mm
PROBLEMAS
pliun
4-93. En la figura se muestra la distribución del esfuerw resultante a lo largo de la sección AB de una barra. A partir de esta distribución, determine la fuerz a axial resultante P aproximada aplicada a la barra .También, ¿cuál es el factor de concentración de esfuerzos para esta geometría?
177
4-95. En la figura se muestra la distribución del esfuerzo resultante a lo largo de la sección AB de la barra. A partir de esta distribución, determine la fuerza axial resultante P aproximada aplicada a la barra. Además, ¿cuál es el factor de concentración de esfuerzos para esta geometría?
Uaión
pulg
5MPa
Prob.4-95
Prob. 4-93
. d, ter-
lcu-
•
4-94, Se muestra la distribución resultante de esfuerzo sobre la sección AB de la barra. De esta distribución, determine la fuerz a P axial resultante aproximada aplicada a la barra.También, ¿cuál es el factor de concentración de esfuerzos para esta geometría?
*4-96. El vástago de 10 mm de diámetro de un perno de acero tiene un casquillo de bronce adherido a él. El diámetro exterior de este casquillo es de 20 mm. Si el esfuerzo de nucncia del acero es (uY)ac = 640 MPa,y el del bronce (uY)br = 520 MPa, determine la magnitud de la carga más grande P que puede aplicarse al vástago. Suponga que los materiales son elásticos y perfectamente plásticos. Ear.; = 200 GPa, E b1 = lOO O Pa.
p
60 mm
.-p lQmm
D
2Qmm
p
Prob.4-94
P rob, 4-96
• 178
CAPITULO 4 Carga axial
4-97. El vástago de 10 mm de diámetro de un perno de acero tiene un casquillo de bronce adherido a él. El diámetro exterior de este casquillo es de 20 mm. Si el esfuerzo de fluencia de l aceTO de (ay)"" "" 640 MPa y el del bronce (Uy)¡,,- = 520 MPa, determine la magnitud de la carga elástica P más grande que puede aplicarse al conjunto. Eae = 200 GPa, Ebr = 100 GPa.
4-99. La barra tiene un área transversal de 1 pulg2. Si se aplica en B una fuerza P =: 45 klb Y luego se retira, determine el esfuerzo residual en las secciones AH y Be;. ay = 30 klbfpulg 2.
•
•
p
•
,, ,, ,
,,W------. ,, ,, ,,: ,, ,
10
mm
20 mm
Prob.4-99 p
Proh.4- 97
4-98. El peso está suspendido de alambres de acero y aluminio.cada uno con la misma longitud inicial de 3 !TI Yárea transversal de 4 mm 2. Si los ma teriales pueden suponerse elásticos y perfectamente plásticos, con (uY) .c = 120 MPa y (aY).1 = 70 MPa, delermi ~ e la fuerza en cada alambre cuando el peso es (a) 600 N Y (b) = 720 N. E al = 70 G Pa, E"" = 200 GPa.
+-4-100. Dos alambres dc acero, codo uno con un área transversal de 2 mm 2, están unidos a un anillo en C, y luego se estiran y se amarran entre los dos soportes A y B. La tensión inicial en los alambres es de 50 N.Si una fuerza horizontal P se aplica al anillo, determine la fuerza en cada alambre si P =: 20 N. ¿Cuál es la fuerza más pequeña que debe aplicarse al anillo para reducir la fuerza en el alambre CE a cero? Considere Uy =: 300 MPay Ea" = 20üG Pa.
A
Aluminio
e
Acero
Prob.4-98
D e
e O
p
•
B
;0
~ 2m -+-3m ~ Pro b.4-IOO
PROBLEMAS
4·101.
la cual
Una carga distribuida se aplica a una viga rígida. est~
soportada por tres barras como se muestra
en la figura. Cada barra licne un área en su sección transversal de 1.25 pulg2 y está hecha de un material que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unüaria que puede ser aproximado por los dos segmentos de línea que se muestnm. Si se aplica a la viga una carga de w = 25 klb j pie, determine el esfuerzo en cada barra y el desplazamiento vertical de la viga rígida.
179
4-103. Una viga rígida está soportada por tres postes A, B Y de igual longitud. Los postes A y tienen un diámetro de 75 mm y están hechos de aluminio, para el cual E.I = 70 OPa y (Uy).1 = 20 MPa. El poste 8 tiene un diámetro de 20 mm y está hecho de latón, para el cual EI.tón = 100 G Pa y (UY)lat6n = 590 MPa. Determine la magnitud más pequeña de P de modo que (a) sólo los postes A y e fluyan y que (b) todos los postes fluyan.
e
4-102. Una carga distribuida es aplicada a uno viga rígida, la cual está soportada por tres barras. como se muesIra en la figura. Cada barra tiene un área transversal de 0.75 pulg 2y está hecha de un material que tiene un diagrama de esfuerzo-de[ormación unitaria que puede represen" tarse aproximadamente por los dos segmentos de línea que se muestran. Determine la intensidad de la carga distribuida \\1 necesaria para que la viga se desplace hacia abajo 1.5 pulg.
e
p
p
Prob.4-103
1-4 pies- +4 pies....,
1
,
r
,
,.
, ,. ,.
,
B
A
"
,
e
I
;J::::¡
I j JJ J JJ J J "
*4-104.
Una viga rígida está soportada por tres postes.
e
A, B Y C. Los postes A y tienen un diámetro de 60 mm y están héchos de aluminio, para el cual Eal = 70 OPa y
(uyhl = 20 MPa. El poste B está hecho de latón. para el cual ELal6n = 100 OPa y (UY)lotoo = 590 MPa. Si P = 130 kN, determine el diámetro más grande del poste B de modo que todos los postes fluyan al mismo tiempo.
u (klblpulg 2)
6O f-----=~
36 p
p
O.OO ~~1~2------0~.~2- - E(pulg /pulg)
Probs.4-101l102
Prob.4-104
180
CAPiTULO 4 Carga axial
4-105. Las tres barras que se muestran en la figura están unidas entre sí por un pasador y bajo la acción de la carga P. Si cada barra tiene un área A de sección transversal, una longitud L, y está hecha de un material elástico perfectamente plástico, para el cual el esfuerzo de f1uencia es ay, determine la carga más grande (carga última) que puede ser soportada por las barras. es decir, la carga P que ocasion;¡ que todas las barras fluyan. Además. ¿cuál es el desplazamiento horizontal del punto A cuando la carga alcanza su valor último? El m6dulo de elaslicinMI es E.
4-107. Resuelva el problema 4-IC{i si el diagrama esfuer· zo-deformación unitaria está definido por a:= c~/2.
I
L.
,1
A
IL_ _ _ _ _ _ ,
Prob.4·107
A
~+I'
Prob.4-105
*4.108. La barra con diámetro de 2 pulg está empotrada en sus extremos y soporta la carga axial P. Si el material es elástico y perfectamente plástico como se muestra en su diagrama esfuer.lo-deformación unitaria. determine la carga P más pequeiía necesaria para que fluyan ambos segmentos AC y CE. Determine el desplazamiento permanente del punto e cuando se retira la carga. 4-109. Determine el alargamiento en la barra del problema 4-108 cuando tanto la carga P como los soportes son retirados.
4-106. Un material tiene un diagrama esfuer.lo-deformación unitaria que puede describirse por la curva a:= cé /2 . Determine la deflexión 8dc\ extremo de una barra hecha de este material si la barra tiene una longitud L, un área A en su sección transversal, y un peso específico y.
I
I
p
a
L
A
I
' -- ' -_ _ _ _ _ _ _ f
0.001
,±
Prob.4·106
Pro bs.4-108JI09
(pulg / pulg)
REPASO DEL CApITULO
REPASO DEL CAPíTULO • Cuando se aplica una carga en un punto de un cuerpo, ésta tiende a generar una distribución de esfuerzo dentro del cuerpo que resulta más uniformemente distribuida en regiones alejadas del punto de aplicación. A esto se le llama principio de Saint-Venant. • El desplazamiento relativo en el extremo de un miembro axialmente cargado respecto al otro extremo se determina con
i
LPC,t) dx
. Si una serie de fuerzas axiales externas constano AE tes son aplicadas al miembro y AE es también constante, enton~PL rlcaClOnes · . usar una convences , = ¿. AE. E n I as ap es necesano
¡; =
(J
•
•
•
•
•
•
ción de signos para la carga interna P y asegurarse que el material no fluye, sino que permanece elástico lineal. La superposición de carga y desplazamiento es posible siempre que el material permanece elástico lineal y no ocurren cambios significativos en la geometría. Las reacciones en una barra estáticamente indeterminada pueden ser determinadas usando las condiciones de equilibrio y compatibilidad que especifican el desplazamiento en los soportes. Esos desplazamientos son relacionados con las cargas usando las relaciones carga-desplazamiento, es decir, o = PL jAE. Un cambio de temperatura puede ocasionar que un miembro hecho de un material homogéneo isotrópico cambie su longitud en S = Ol6.TL. Si el miembro está confinado, este alargamiento producirá esfuerzos térmicos en el miembro. Los agujeros y las transiciones bruscas en una sección transversal genera concentraciones de esfuerzos. En el diseño. uno obtiene el factor de concentración de esfuerzo K de una gráfica, que ha sido determinada de experimentos. Este valor se multiplica entonces por el esfuerzo promedio para obtener el esfuerzo máximo en la sección transversal , CTmáx = Kaprom . Si la carga en una barra ocasiona que el material fluya , entonces la distribución de esfuerzo que se produce puede ser determinada de la distribución de la deformación unilaria y del diagrama esfuerzo-deformación unitaria. Para material perfectamente plástico, la fluencia ocasionará que la distribución del esfuerzo en la sección transversal dc un agujero o de una transición se empareje y resulte uniforme. Si un miembro está restringido y una carga externa causa fluencia, entonces cuando la carga es retirada, se tendrá un esfuerzo residual en el material.
•
181
182
CApITU LO 4 Carga axial
PROBLEMAS DE
REPASO
4·110. El remache de acero de 0.25 pulg de diámetro. el cual se encuentra sometido a una temperatura de 1500 °F conecta dos placas de modo que a esta temperatura tiene 2 pulg de longitud y ejerce una fuerza de agarre de 250 lb entre las placas. Determine la fuerza aproximada de agarre entre las placas cuando el remache se enfría a 70 0F. Suponga en el cálculo que 1l'I~ cahe7.a~ riel reml'lche y las placas son :ígidas. Considere 0'.< = 8(10- 6)f F, Eac = 29( 1eP) klb/pulg 2. ¿Es el resultado una estimación conservadora de la respuesta correcta? ¿Por qué sí o por qué no?
12
8
A
e
!--- 3 pies --+-- 2 pies---l Prob.4-112
4·11.3. Una fuerza P se aplica a una barra compuesta de un material elástico y perfectamente plástico. Construya una gráfica para mostrar como varía la fuerza en cada sección AB y Be (ordenada) según aumenta P (abscisa). La barra tiene áreas transversales de l pulg 2 en la región AB y de 4 pulg 2 en región Be y ay = 30 klb / pulg2.
ul
Prob.4-110
4·111. Determine la fuerza P máxima axial que puede aplicarse a la placa de acero. El esfuerzo permisible es 2 a perm = 21 klbJpulg .
e A
11---- 6 pUlg----+1~2~P~"I~,_i=:¡ Prob.4.113
p
Prob. 4·111
*4-112. Dos tubos de acero A-36. cada uno con un área transversal de 0.32 pulg 2• están atornillados entre sí usando una unión en B como se muestra. Originalmente el conjunto está ajustado de tal manera que no hay carga sobre los tubos. Si la unión se aprieta de manera que su tornillo. con avance de 0.15 pulg. experimenta dos vueltas completas. determine el esfuerzo normal promedio desarrollado en los tubos. Suponga que la unión en B y los copies en A y e son rígidos. Desprecie el tamaño de la unión. No/a: el avance OCasiona que los tubos. descargados. se acorten 0.15 pulg cuando la unión gira una vuelta entera.
4-114. La barra de aluminio 2014-T6tiene un diámetro de 0.5 pulg y está ligeramente unida a los soportes rígidos en A y B cuando TI = 70 °E Si la temperatura desciende a '12 = - 10 °r y se aplica una fucrla axial de P ~ 16 lb al collarín rígido corno se muestra, determine las reacciones en A y B.
B
A
' /2 PJ2 5 pulg
--l ~ 8 pulg ----'11 Probo 4-114
183
PROBLEMAS DE REPASO
4· 115. La barra de aluminio 2014-T61icne un diámetro de 0.5 pulg y está ligeramente unida a los soportes rígidos en A y 8 cuando TI "" 70°F Determine la fuerza P que debe aplicarse al colladn para que. cuando T = O °F, la reacción en 8 sea cero.
4-118. La estruc tu ra consta de dos barras de aceroA-36. AC y BD, unidas a la viga rfgida AB con peso de 100 lb. Determine la posición.t para la carga de 300 lb de modo que la viga permanezca en posición horizontal antes y después de aplicar la carga. Cada barra ticne un diámetro de 0.5 pulg.
B
Prob.4- 115
D
T
'r
*4-116. El perno de acero tiene un diámetro de 7 mm y está dent ro de una camisa de aluminio como se muestra. La camisa tiene un diámetro interior de 8 mm y un diámetro e:nerior de 10 mm. La tuerca en A está ajustada de manera que apenas apriete contra la camisa. Si la tuerca se aprieta media vuelta, dctennine la fuer.:a en el perno y en la camisa. El lomi110 de cuerda simple del perno tiene un a"ance de 1.5 mm. Ea<; = 200 OPa y Eal - 70 GPa. Nota: el avance re presenta la distancia que la tuerca avanza a lo largo del perno en una vuelta completa de la tucrca,
)
,
4-117. El perno de acero tiene un diámetro de 7 mm y está dentro de una camisa de aluminio como se muestra. La camisa tiene un diámetro interior de 8 mm y un diá· metro exterior de 10 mm. La tuerca en A está ajustada de manera que apenas si aprieta contra la camisa. Dcter· mine la cantidad de vueltas que la tucrca en A debe gi· rar para que la fuerza en el perno y en la camisa sea de 12 kN. El tornillo de cuerda simple en el perno tiene un avance de 1.5 mm. EK = 200 GPa. Ea! = 70 OPa. No/a." el avance representa la distancia que la tuerca avanza a lo largo del perno en una vuelta completa de la tuerca.
e JOOIb
I ']' B
A
Prob.4·118
4-119. Una junta está hecha de tres placas de acero A-36 que están soldadas cntre sí. Determine el desplazamien· to del extremo A con respecto al extremo B cuando la junta está sometida a las cargas axiales que se indiCan. Cada placa tiene un espesor de S mm.
IOOmm
46kN (
~ ,oomm ~ Probs. 4- U6/U7
-
Al
(
/ 600 mm
1200
m;J
=*' 800 mm
Prob.4-1I.9
~kN 1
B
23kN
los esfuerzos de torsión desarrollados en la flecha impulsora de este ventilador
dependen del rendimiento del motor.
CAPiTULO
5
Torsión
OBJETIVOS DEL CAPITULO
En este capítulo estudiaremos los efectos al aplicar una carga torsional a un miembro recto y largo, por ejemplo. una [lecha o un tubo. Inicia lmente consideraremos que el miembro ¡jene una sección transversal circular. Mostraremos cómo determinar la distribución del esfuerzo dentro del miembro y el ángulo de torsión cuando el material se comporta de manera elástico-lineal y también cuando el comportamiento es ¡nelástico. Se verá el análisis de flechas y tubos estáticamente indeterminados, y temas especiales como el de los miembros con secciones transversales no circulares. Finalmente. se dará una consideración particular a la concen tración de esfuerzos y a los esfuerzos resid uales causados por cargas torsionales.
5.1 Deformaciones por torsión de una flecha circular Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudi nal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes o flechas de impulsión usadas en vehículos y en maquinaria . Podemos ilustrar físicamente lo que sucede cua ndo un par de torsión se aplica a una flecha circular conside rando que la flecha está hecha de un material altamente deformable tal como el hule. figura S-la. Cuando se aplica el par. los círculos y líneas de rejillas longitud inales originalmente marcados sobre la flecha tienden a distorsionarse para formar el patrón mostrado en la figura S-lb. Por inspección. la torsión hace que los círculos permallezcan COIIIO círculos y que cada línea de rejilla longiludinal se deforme convirtiéndose en una hélice que intcrseca a los círculos según ángulos iguales. También las secciones transversales en los extremos de la flecha permanecen planas. esto es. no se alabean o comban hacia adentro ni hacia afuera, y las líneas radiales en estos extremos permanecen rectas durante la deformación. figura 5-1b.A partir de estas observaciones podemos suponer que si el ángu lo de rotación es peq//elio.la 10llgitud y el radio de la flecha permanecerán sil/ alteración.
185
186 • CAPITULO 5 Torsión
.. ..
z ~. Antes de la deformación (.)
Así pues, si la flecha está fija en un extremo como se muestra en la figura 5-2 y se aplica un par de torsión en su otro extremo, el plano sombreado se distorsionará en una forma oblicua como se muestra . Aquí se ve que una línea radial ubicada en la sección transversal a una distancia x del extremo fijo de la flecha girará un ángulo cb(x) . El ángulo ¡P(x), así definido, se llama ál1glllo de LOrsiÓn . Depende de la posición de x y variará a lo largo de la flecha, como se muestra. Para entender cómo esta distorsión deforma el material, aislaremos ahora un elemento pequeño situado a una distancia radial p (rho) del eje de la flecha , figura 5-3. Debido a la deformación, figura 5-2, [as caras frontal y posterior del elemento sufrirán una rotación. La que está en x gira ¡P(x)' y la que está en x + .6.x gi ra ¡P(x ) + .6.¡p. Como resultado, la diferencia de estas rotaciones. .6.¡p. ocasiona que el elemento quede sometido a una de· formación unitaria cortante. Para calcular esta deformación unitaria , observe que antes de la deformación el ángulo entre los bordes AC y AB es de 90°; sin embargo, después de la deformación, los bordes del elemento son AD y AC y el ángulo entre ellos es ()'. De la definición de deformación unitaria cortante, ecuación 2-4, tenemos:
• I
.•
.••
hélices
,.
permanecen recIa s Después dc la dcfor.nación (b)
Fig.5.1
El ángulo de torsión f(x) se increme nta Note la deformación del elemento rccHlngular cuando es ta barra de hule es some tida a un par de torsión.
confomle.t aumenl3.
Hg. 5·2
, SECCiÓN S.1
fi-
mse da así
na-
ho: de ¡ltal (x ), I de deob-
Bes !nto ma-
Deformaciones por torsión de una flecha circular • 187
Este ángulo, y, está indicado sobre el elemento. Puede relacionarse con la longitud a.\' del elemento y con la dife rencia en el ángulo de rot ación, IlcfJ, entre las caras sombreadas. Si Ilx ~ dx y Il q, ~ dq" tenemos entonces: BD = pdq, = dx y
Por tanto,
(5-1)
Puesto que {Lr y dq,son igllales para lodos los elementos situados en puntos dentro de la sección transversal en x, entonces dq, jdx es constante y la ecuación 5-1 establece que la magnitud de la deformación unita ria cortante para cualquiera de estos elementos varía sólo con su distancia radial p desde el eje de la fl echa. En ot ras palabras, la deformación unitaria cortante dentro de la Oecha varía li nealmente a lo largo de cualquier línea radial, desde cero en el eje de la Oecha hasta un máximo Ymá~ en su periferia, figura 5-4. Como dq,jdx = yjp = Ymújc, entonces:
DdormloiÓ<1 unItaria ~onanle
Los resultados obtenidos aquí son también válidos para tubos circulares. Dependen sólo de las hipótesis con respecto a las deformaciones mencionadas arriba.
Hg. 5-3
La deformación unitaria COrtante del material crece linealmente COI' p. o sea. ""1 ..
(pjcYr ....> Fig.5-4
188 • CApITULO 5 Torsión
5.2
la fórmula de la torsión Si una flecha está somet ida a un par de torsión externo, en tonces. por equilibrio, debe también desa rrollarse un par de torsión interno en la flecha. En esta sección desarrollaremos una ecuación que relacione la distri bución del esfuerzo cortante con el par de torsión interno resultante en la sección de una flecha o de un tubo circular. Si el material es elástico lineal, en tonces es aplicable la ley de Hooke, 7 = G y y. en consecuencia. una variación lineal de fa deformación Iml· laria corlanle, como dijimos en la sección anterior, conduce a una variación lineal en el esfuerzo cortante correspondiente a lo largo de cualquier línea radial en la sección transversal. Por tanto, al igual que la variación de la deformación unitaria cortante en una flecha sólida, 7 variará desde cero en el eje longitudinal de la flecha hasta un valor máximo, 7 mb' en su periferia. Esta variación se muestra en la figura 5-5 sobre las caras frontales de un número selecto de elementos si tuados en una posición radial intermedia p y en el radio exterior c. Debido a la proporcionalidad de los triángulos, o bien usando la ley de Hooke (7 = G y) Y la ecuación 5-2 [")' = (P/C)ymb], podemos escribir que:
en T
~ (f'e..)Tmú
(5·3)
Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortan te como un afunci6n de la posición radial p del elemento; en olras pa labras. define la distribución de l esfuerzo en términos de la geometría de la fl echa. Usándola. aplicaremos aho ra la condición que requiere que el par de torsión producido por la distribución del esfuer.lo sobre toda la sección transversa l sea equiva len te al par de torsión interno T en la sección, 10 cual mantiene a la fleeha en equilibrio, figurn 5-5. Específicamente, cada elemento
1
te
T
e El esfuen:o cortante varía linealmente a :o largo de toda lfnea radial de la sección transveTllal
Fig.5·5
190 • CAPiTULO 5 Torsión
Flecha sólida. Si la fl echa tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento de área en forma de anillo (liferendal o corona circular que tenga un espesor dp y una circunferencia 2TTP, figura 5-6. Para este anillo, dA == 2rrp dp. de modo que:
Fig.5·6
(5-8)
Advierta que J es una propiedad geomérricll del área circular y es siempre positiva. Las unidades comunes usadas para ella son mm 4 o pulg4 , Hemos mostrado que el esfuer.w cortante varia linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal de la flecha. Sin embargo, si un elemento de volumen de material sobre la sección transversal es aislado,entonces debido a [a propiedad complementaria del cortante,esfuerzas cortantes iguales deben también actuar sobre cuatro de sus caras adyacentes como se muestra en la figura 5-]a. Por consiguiente, no sólo el par itltemo de torsiótl T desarrolla utla distribución litleal del esfuerzo cortante a lo largo de toda líllea radial ell el platlo de la secciÓII trclllSversal, sillo tambiéll ulla distribuciótl asociada del esfuerzo cortatlte a lo largo de Utl p latlo axial, figura 5-7b. Es interesante observar que, a causa de esta distribución axia l de esfuerzo cortante, las flechas hechas de madera tienden a raj(lrse a lo largo del plano axial cuando se las somete a un par de torsión excesivo, figura 5-8. Esto sucede debido a que la madera es un material anisotrópico. Su resistencia al corte paralelo a sus fibras o granos, dirigida a lo largo del eje de la flecha. es mucho menor que su resistencia pt:rpl;lldieuJar a las fibra s, dirigida en el plano de la sección transversal.
(.)
El esfueJ7)) toname varia linealmente a lo largo de toda lír.ea rndial de la secriÓfltrnnsversaL (b) Fig. S·7
/
T
T Falla de una flecha de madera por tcrslón. Fig. S-8
5ECClON 5.2 la fórmu la de la torsión • 191
ida, nto
eslnp
Flecha tubular. Si una flecha tiene una sección transversal tubular,con un radio inlenor C¡ y un radio exterior CO' entonces. según la ecuación 5-8, podremos determinar su momento polar de inercia restando J para una flecha de radio CI del calculado para una flecha de radio cO ' El resultado es: 4 J = :!!"'(c 2'
5-8) em-
•
1rgo ;0, si ais'uer; ad· lo el :e,.zo 'alJslte a
caude mete I maus firque ;ción
1S
-
c1, )
(5-9)
Al igual que en la flecha sólida. el esfuerzo cortante distribuido en el área de la sección transversal del tubo varía linealmente a lo largo de cualquier línea radial. figu ra 5-90. Además, el esfuer.lO cortante varía a lo largo de un plano axial de igual manera , figura 5-9b. En la figura 5-90 se muestran ejemplos del esfue rzo cortante actuando sobre elementos de volumen típicos.
Esta flecha motriz de un camión fue sorne· tida a una sobrecarga lo que condujo a una falla causada por fluencia del material.
Esfuerzo torsional máximo absoluto. En cualquier sección transversal dada de la fl echa. el esfuerzo cortante máximo se presenta en la superficie exterior. Sin embargo. si la flecha está sometida a una serie de pares externos o el radio (momento polar de inercia) varía, el esfuerzo torsional máximo en la flecha podría entonces ser diferente de una sección a la siguiente. Si se va a determinar el esfuerzo torsional máximo absoluto, resulta importante encont rar la posición en que la razón Te /] es máxima. Para esto puede ser de ayuda mostrar la variación del par interno T en cada sección a lo largo del eje de la flecha por medio de un diagrama de momento tors;onante. Específicamente, este diagrama es una grafica del par interno Tverst/s su posición x a lo largo de la longitud de la flecha. De acuerdo con una convención de signos, T será positivo si de acuerdo con la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido hacia afuera de la flecha cuando los dedos se curvan en la dirección del giro causado por el par, figura 5-5. Una vez que se ha determinado el par interno en toda la flecha , puede identificarse entonces la razón máxima Tcfl.
T
El esfuerzo conanle varia linealmente a lo largo de loda trnea radial de la 5e<:ción transversal. (.)
(b)
fig. s-9
192 • CAP[TULO 5 Torsión
E J
PUNTOS IMPORTANTES
La d largt
• Cuando una flecha con sección transversal circular está some tida a un par de torsión, la sección transversal permanece plana mientras que las Hneas radiales giran. Esto ocasiona una deformación unitaria cortallfe dentro del material que varía Ii/lealmente a lo largo de cualquier línea radial, de cero en el eje de la flecha a un m.áximo en su borde exterior. Para un material homogéneo elástico Lineal, debido a la ley de Hooke, el esfuerzo cortaflte a lo largo de cualquier línea radial de la necha también varía linealmente, de cero en su eje a un máximo en su borde exterior. Este esfuerzo cortante máximo 110 debe exceder el límite proporcional. • Debido a la propiedad complementaria del cortante, la distribución lineal del esfuerzo cortante dentro del plano de la sección transversal está también distribuido a lo largo de un plano axial adyacente de la flecha. • La fórmula de la torsión se basa en el requisito de que el par resultante sobre la sección transversal es igual al par producido por la distribución lineal del esfuerzo cortante respecto al eje longitudinal de la flecha . Es necesario que la flecha o tubo tenga una sección transversal circular y que esté hecho de material homogélleo con comportamiento elásiico lineal.
miu.
Sol u
Elm
Apo
tenel
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiente procedimiento.
Carga interna. • Seccione la flecha perpendicularmente a su eje en el punto en que el esfuerzo cortante debe determinarse y use el diagrama de cuerpo libre necesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno en la sección.
501\.11
El DI
SiÓD I
dald meja
Propiedades de la ~;ección.
• Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal. Para una sección sólida de radio e, J = y para un lubo de radio exterior eQ y radio interior c¡, J = 1T(C~ ~ ct) / 2.
tTe4 j2
Esfuerzo cortante.
• Especifique la distancia rad ial p medida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va a calcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la formula de la torsión T = Tp/l. o si el esfuerzo cortante máximo se va a determinar usando '1'máx = Te /J. Al sustituir los datos numéricos. asegúrese de usar un conjunto consistente de unidades. • El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal en un sentido siempre perpendicular a p. La fuerza que genera debe contribuir a formar el par de torsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo sentido que el par resultante interno T que actúa sobre la sección. Una vez establecido este sentido, puede aislarse un elemento de volumen del material, localizado donde se determina 7, y pueden entonces mostrarse sobre las tres caras restantes del elemento el sentido en que actúa T.
Este renci
Tes ..
SECCiÓN 5.2 La fórmula de la torsión
EJEMPLO La distribución del esfuerzo en una flecha sólida ha sido grafieada a lo largo de tres líneas radiales como se muestra en la fi gura 5·10a. Determine el momento de torsión interno resultante en la sección.
8 klb¡ pulg l (b)
(. )
Fig.5·10
Solución I El momento polar de inercia de la sección transversal es: J =
I
(2 pulg)4 = 25.13 pulg 4
Aplica ndo la fórmu la de la torsión con 7mb = 8 klb/ pulg 2, figura 5·10a, tenemos: T (2 pulg) Te 8 klb/ pulg 2 ~ =:':-:'--''''-,-: 7 mb = ¡ : (25.13 pulg' ) Resp. T = 101 klb · pulg
uno
Solución 11 El mismo resultado puede obtenerse encontrando el momento de torsión prod ucido por la distribución del esfuerzo respecto al eje centrojdal de la fl echa. Primero debemos expresar T = f(p). Por triángulos se-
mejant es, tenemos:
.!.
/2
7
va
;te
un
.,-
>110
= 8 klb j pulg 2
2 pulg
p
= 4p
Este esfuerzo actúa en todas las porciones de l ele mento anular diferencial que tiene un área dA = 27ip dp. Como la fuerza generada por Tes d F = T dA. el momento de torsión es:
dT = pdF = p(7dA ) = p(4p )27rpdp = 87rp3 dp Para el área entera en que actúa
7.
se requiere:
ue-
ces
Resp.
• 193
194 • CAPíTULO 5 Torsión
E J E M PLO La flecha s6lida de radio e está sometida al momento de torsión T, fi· gura 5·11a. Determine la fracción de T que resiste el mate rial conteni· do dentro de la región exterior de la flecha , que tiene un radio interior de c(2 y radio exterior c. Solución
El esfuerzo en la flecha varía linealmente, de modo que 7" = (P/C)7"mf>Xl ecuación 5·3. Por tanto, el momento de torsión dT' sobre el área anu· lar localizada en la región de sombreado ligero, figura 5·11b, es: dT'
~
p( T dA)
~
p(pj ')T m.,(hp dp)
Para toda el área de sombreado ligero, el momento de torsión es: {,)
Es decir, (1)
{b)
Este momento de torsión T' puede expresarse en términos del mo· mento de torsión aplicado T usando primero la fórmula de la torsión para determinar el esfuerzo máximo en la flecha. Tenemos:
Fig. S·ll
r,
T,
7 máx
=
J
o 2T ,ce
7 máx = - - ,
Sustituyendo este valor en la ecuación 1 obtenemos: T'~ 1S T
16
Resp.
Aproximadamente el 94% del momento torsionante es resistido aquí es por la región de sombreado más claro y el restante 6% de T (o resistido por el "núcleo" interior de la flecha, p = O a p = c(2. En con· secuencia, el material localizado en la región exterior de la flecha es al· lamente efectivo para resistir el momento de torsión, lo que justifica el uso de flechas tubulares como un medio cficiellle para transmitir mo· mcntos con cl consiguiente ahorro de material.
-k)
SECCIÓN 5.2 la fórmula de la torsión
•
195
EJEMPLO
r
La flecha mostrada en la figura 5-12a está soportada por dos cojinetes y está sometida a tres pares de torsión. Determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B, loca lizados cn la sección a-a de la
flecha , figura 5-12b. 42.5 klb·p"lg
,-"
30 klb·pulg
3
,
"l
,bl Ag.
)
Solución Par de torsión ¡tltemo.
)-
n
s-u
Las reacciones en los cojinetes de la fl echa son
cero, siempre que se desprecie el peso de ésta. Además, los pares aplicados satisfacen el eq uilibrio por momento respecto al eje de la flecha. El par de torsión interno en la sección a-a lo determinamos con ayuda del diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo. figura 5-12b. Tenemos, "i,M.~ =
O; 42.5 klb· pulg - 30 klb· pulg - T = O T = 12.5 klb· pulg
~A
Propiedades de la l·ecci6n. El momento polar de inercia de la flecha es: J = I(O.75 pulg)4 = 0.497 pulg4 Esfuerzo cortallle.
Te
p. uí
' A = -
,1el 0-
=
( 12.5 klb - pulg)(0.75 pulg) 4
(0.497 pulg )
-
=
e = 0.75 pulg.
~8
18.9 klb/pulg 2
3.77 klb¡ pulg1
Igualmente, para el punto B, en p = 0.15 pulg. tenemos:
Las direcciones de esos esfuerzos sobre cada elemento en A y B. figura 5-l2c.se determinan con base en la dirección del par resultante interno T mostrado en la figura 5-12b. Observe cuidadosamente cómo actúa el esfuerzo cQrtanle sobre los planos de cada uno de esos elementos.
"l
196 • CApiTULO 5 Torsión
5.3
EJEMPLO El tubo mostrado e n la figura 5-13a tiene un diámetro interior de 80 mm y un diámetro exterior de 100 mm. Si su extremo se aprieta contra el soporte en A usando una llave de torsión en B, determine el esfuerzo cortante desarrollado en el material en las paredes interna y externa a lo largo de la porción central del tubo cuando se aplican las fuerzas de 80 N a la llave.
Solución
Se toma una sección e n una posición e intermedia a lo largo del eje del tubo, figura 5-13b. La única incógnita en la sección es el pa r de torsión interno T . El equ ilibrio por fuerza y momento respecto a los ejes x y ¡; se satisface. Se requiere:
Par de torsión interno.
80 N(O.3 m) + 80 N(0.2 m) - T = O T
Propiedades de la sección.
SON
=
4ON ' m
El momento polar de inercia de la sec-
ción transversal del tubo es: J =
~[(0.05 m)' - (0.04 m)'[ = 5.80(10-<) m'
Esfuerzo cortan/e. Para cualquier punto sobre la superficie exterior del tubo, p = Co "" 0.05 m, tenemos T
o
Tco 40 N· m(0.05 m) = = 4
J
5.80(10-6) m
O.345MPa
Resp.
Para cualquier punto sobre la superficie interior, p = c¡ = 0.04 m, por la que:
Te, Ti ;;
,,' Fig.5.11
J
=
40 N · m (0.04 m) 5.80( 10-6) m 4
0.276 MPa
Resp.
Pa ra mostrar cómo esos esfuerzos actúan e n puntos representativos D y E de la sección transversal, veremos primero la sección t ransversal desde el fre nte del segmento CA del tubo, figu ra 5-130. Sobre esta sección, figura S-Bc, el par de torsión interno resultante es igual pero opuesto al mostrado en la figura 5- 13b. Los esfuerzos cortantes en D y E cont ribuyen a generar este pa r y actúan por tanto sobre las caras sombreadas de los elementos e n las direcciones mostradas. En consecuencia advierta cómo las componentes del esfuerzo cortante actúan sobre las otras tres caras. Además, como la cara superior de D y la cara inferior de E está n sobre regiones libres de esfuerzo, es decir, sobre las paredes exterior e interior del tubo, no puede existir ningún esfuerzo cortante sobre esas caras o sobre las otras ca ras correspondientes del elemenlo.
.....
Los :
DO.
depC
SECCiÓN 5.3 Transmisión de potencia
5.3
Transmisión de potencia
Las flechas y los tubos que tienen secciones transversa les circulares se usan a menudo para transmitir la potencia desarrollada por una máquina. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares de torsión que dependen de la potencia generada por la máquina y de la velocidad angular de la flecha. La potencia se define como el trabajo efectuado por unidad de tiempo. El trabajo transmitido por una flecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulo de rotación. Por tanto, si durante un instante de tiempo dr un par de torsión aplicado T ocasiona que la flecha gire un ángulo d8, entonces la potencia instantánea es: p ~ Td9 dI
a
Puesto que la velocidad angular es w = dO/di, podemos tam bién expresar la potencia como: (5-10)
,-
En el sistema SI. la potencia se expresa en watts cuando el par de tor· sión se mide en newton·metro (N' m) y w se expresa en radianes por segundo (rad/ s) (1 W = 1 N· mIs). En el sistema pie-libra-segundo o sistema FPS, las unidades básicas de la potencia son pie-libra por segundo (pie . lb/s); sin embargo, en la práctica se usa más a menudo el caballo de potencia (hp). en donde:
"
1 hp = 550 pies . libra/s
,.
Para la maquinaria, a menudo se reporta lafrecuencia,/, de rotación de la flecha. Ésta es una medida del número de revoluciones o ciclos de la [lecha por segundo y se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que 1 ciclo = 211" rad, entonces w = 211"[ Y la ecuación anterior para la potencia resulta (5- 11 )
v.
",la
:0 y
"
e>n
are :(-
es
• 197
Diseño de
una flecha .
Cuando la potencia transmitida por una flecha
y su frecuencia se conocen, el par de torsión desarrollado en la flecha puede determinarse con la ecuación 5·11, esto es. T = Pf2-rrf. Conociendo T
y el esfuerzo cortante permisible para el material, 7perm, podemos determinar el tamaño de la sección transversal de la flecha usando la fórmu la de la torsión , siempre que el comportamiento del material sea elástico-lineal. Específicamente. el parámetro geométrico o de diseño} /c es: J
T
C
T peml
(5-12)
Para una [lecha sólido,} = (7Tj2)C\ y entonces, al sustituir, puede determinarse un valor único para el radio e de la flecha. Si la flecha es tubular , de modo que} = (7T/2)(C; - ct),el diseño permite una amplia variedad de posibilidades para la solución: puede hacerse una selecci6n arbitraria, ya sea para Co o para c;, y el otro radio se determina con la ecuación 5-12.
La flecha impulsora de esta máquina cortadora debe ser diseñada para satisfacer los requisitos de potencia de su motor.
198 • CApITULO 5 Torsión
EJEMPLO La fl echa sólida AB de acero mostrada en la figura 5-14 va a usarse para transmiti r 5 hp de l motor M al que está unida . Si la flec ha gira a w = 175 rpm y el acero tie ne un esfuerzo permisible de 1"perrn = 14.5 klb/ pulg2, determine el diámelro requerido para la fl echa al pulg más cercano.
í
Fig.5·14
Solución E l par de torsión sobre la flec ha se determina con la ecuación 5-10, es decir, P = Tw. Si expresamos P en pies-libras por segundo y wen radianes/segundo. tenemos
Como 2e = 0.858 pulg. seleccionamos una flec ha con diámetro de d =
7
"8 pulg =
0.875 pulg
Resp.
PROBLEMAS
•
199
EJEMPLO Una flecha tubular con diámetro interior de 30 mm y un diámetro exterior de 42 mm. va a usarse para transmitir 90 kW de potencia. Determine la frecuencia de rOlación de la flecha para que el esfuerzo cortante no pase de 50 MPa. Solución El momento de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha se de-
termina con la fó rm ula de la torsión.
Te
7 mb
=
T
6 2 T(0.021 m) 50(10) N/ m = (,,/2)[(0.021 m)' - (0.015 m)']
T = 538N 'm
Aplicando la ecuación 5-11, la frecuencia de rotación es:
P = 2"fT 9O(H)' ) N· mi s = 2,,/(538 N · m) / = 26.6 Hz
"
Resp.
PROBLEMAS
a5-1. Un tu bo está sometido a un par de torsión de 600 N·m. Detennine la porción de este par que es resistida por la sección sombreada. Resuelva el problema de dos maneras: (a) usando la fómlUla de la torsión: (b) determinando la resultante de la dislribución del esfuerzo cortante.
T
Prob.5·1
5-2. Una flecha sólida de radio r está sometida a un par de torsión T. Determine el radio" del núcleo de la flecha que resista una mitad del par aplicado (Tf2). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinando la resultante de la distribución del esfuerzo cortante. 5·3. Una flecha sólida de radio r está sometida a un par de torsión T. Determine el radio" del núcleo de la flecha que resista una cuarta parte del par de torsión aplicado (Tj4). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinando la resultante de la distribución del esfuerzo cortante.
Prob$. 5·2I3
"5-4. El tubo de cobre tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 37 mm. Si está firm emente afianzado a la pared en A y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura. determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en el tubo.
A
»
~"0lONm ~20Nm SO.N·m
Prob.5-4
200 • CApITULO 5 Torsión 5-5.
Un tubo de cobre tiene un diámetro exte rior de
2.50 pulg y un diámetro interior de 2.30 pulg. Si está firmemente afianzado a la pared en e y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Estos puntos están situados sobre los elementos de volumen localizados en A y en 8 .
5-9. Un conjunto consiste en dos secciones de tubo de acero galvanizado conectadas entre sí por medio de un copie red uctor situado en B. El tubo más pequeño tiene un diámetro exterior de 0.75 pulg y un diámetro interior de 0.68 pulg, mientras que el tubo más grande liene un diámetro exterior de 1 pulg '! un diámetro interior de 0.86 pulg. Si el tubo está fijo a la pared en e, determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en cada sección del tubo cuando el par mostrado se aplica a las empui'laduras de la llave.
5-6. Una flecha sólida de 1.25 pulg de diámetro se usa para transmitir los pares de torsión aplicados a los engranes como se muestra en la figura. Si está soportada por cojinetes lisos en A y 8, los cuales no resisten ningún par, determine el esfu erzo cortante desarrollado en los puntos e yD de la flecha. Indique el esfuerzo cortante sobre los elementos de volumen localizados en estos puntos.
".
5-7. La fl echa tiene un diámetro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares aplicados como se muestra. dete rmine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en la flecha. Los cojinetes lisos en A y 8 no resisten pares.
· 5-8. La flecha tiene un diámetro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares aplicados como se muestra, trace la distribución del esfuerzo cortante que actúa a lo largo de una lfnea radial en la región EA de la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resisten pares.
Prob.5·9
5-10. El eslabón funciona como parte del control de elevación de un pequei'lo avión. Si el tubo de aluminio unido al eslabón tiene un diámetro interno de 25 mm y un espesor de 5 mm, determine el esfuerzo cortante máximo en el tubo cuando se aplica la fu erla de 600 N a los cables. Esboce la distribución del esfuerzo cortante sobre toda la sección.
600 N
I 75mm
25 mm
600 N Probs. 5-617f8
Prob.5·10
PROBLEMAS
5·11. La flecha consiste en tres tubos concéntricos, cada uno hecho del mismo material y con los radios interno y
externo mostrados. Si se aplica un par de torsión T
=
800 N . m al disco rígido fijo e n su extremo. determine el esfue17.o cortante máximo en la flecha.
r j .. 20mm
•
201
5-14. La flecha sólida tiene un diámetro de 0.75 pulg. Si está sometida a los pares mostrados, determine el esfuerzocorlante máximo generado en las regiones BCy DE de la flecha. Los cojinetes e n A y F permilen la rotación libre de la flecha. 5-15. La flecha sólida tiene un diámetro de 0.75 pulg. Si está sometida a los pares mostrados,determine el esfuerzo cortante máximo generado en las regiones CD y EFde la flecha. Los eojinetesen A y Fpermiten la ro tación libre de la flecha.
'o'" 25 mm r¡=26mm
'o" 30 mm ,¡=32 nun
'0= 38 mm Prob.5·11
*5-12. La flecha sólida está empotrada en Cy está sometida a los pares de torsión mostrados. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y 8 e indique el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen localizados en esos
Prom. 5-1411.5
puntos.
e
. 5-16. La flecha de acero tiene un diámetro de I pulg y se atornilla a la pared por medio de una llave. Determine el par de fuerzas F más grande que puede aplicarse a la flecha sin que el acero fluya. Ty = 8 klb /pulg 2• 5-17. T.JI. necha neaccro tiene un diámetro de 1 pulg)l se atornilla a la pared por medio de una llave. Determine el esfuerzo cortante máximo en la flecha cuando las fuerzas del par tienen una mágnitud F = 30 lb.
,o
,,1
Probo S·U
,-
5-13. Un tubo de aceroeon diámetro exterior de 2.5 pulg se usa para transmitir 350 hp de potencia al girar a 27 rpm. Determine el diámetro ¡merior d del tubo al ¡ pulg más cercano si el esfuerzo cortante permisible es Tpcrm = 10 klb / puli.
2.' p~,g'k'«: Prom. 5·16117
202 • CApiTULO 5 Torsión 5·18. Una flecha de acero está sometida a las cargas de torsión que se mueSlran en la figu ra. Delermine el esfuerzo corlanle desarrollado en los punlos A y B Ytrace el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen situados en estos puntos. La flecha tiene un radio eXlerior de 60 mm en la sección donde A y B están localizados. 5·19. Una fl echa de acero está sometida a las cargas de torsión que se muestran en la figura. Determine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flt:!.:ha y trace: la distribución del esfuerLO cortante a lo largo de una línea radial donde tal esfuerzo es máximo.
Prob.5·22 5·23. Las flechas de acero están conectadas entre sí por medio de un fi lete soldado como se muestra. Determine el esfuerzo cortante promedio en l.a soldadura a lo largo de la sección a-a si el par de torsión aplicado a las fl echas es T .. 60 N . m, Nota: la seeción crítica donde la soldadura fallll es a lo largo de la sección a-l). T",60N'm
x
5 kN'm
Probs. 5·18119 12
mm.,L't--
- .5-20. Las flechas de acero de 20 mm de diámelro que
se muestran en la figura están conectadas entre sí por me· dio de un copIe de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del acero es (Ty).. - lOOM Pa yel del bronce es (ry)",. "" 250 MPa, determine el diámetro exterior d req uerido del copie para que el acero y el bronce empiecen a flui r al mismo tiempo cuando el conjunto estli sometido a un par de torsión T. Suponga que el copie tiene un diámetro interior de 20 mm. 5·21, Las flechas de acero de 20 mm de diámetro que se muestran en la figura están conectadas entre sí por medio de un copie de bronce. Si el esfuerLO de flu encia del acero es (rY)ar::: 100 MPa, determine el par de torsión T necesario para que el acero fluya. Si d "" 40 mm. determine el esfuerzo cortante máximo en el bronce. El copIe tiene un diámetro interior de 20 mm.
Prob. 5·23
· 5·24. La barra tiene un diámetro de 0.5 pulg y un peso de 5 lb/pie. Determine el esfuerzo máximo de torsió n en la barra en una sección silUada en A de bido al peso de la barra. 5·25. Resuelva el problema 5-24 para el esfu erzo de torsión máximo en B.
mm Probs. 5-20121
5·22. El copie se usa para concctar las dos flechas ent re sr. Suponiendo que el esfuerzo cortante en los pernos es uniforme, determine el número de pernos necesarios para que el esfucrzo cortante máximo en la necha sea igual al esfu erzo cortante en los pernos. Cada perno tiene un diámetro d.
Probs. 5-241"'-5
PROBLEMAS
.5-26. Considere el problema general de una flecha circular hecha de m segmentos cada uno de radio c",_ Si se tienen 11 pares de torsión sobre la flecha camo se muestra, escriba un programa de computadora que sirva para determinar el esfuerzo cortante máximo en cualquier posi· ció n x especificada a 10 largo de la flecha. Aplfquelo para los siguientes valo res: LI - 2 pies,el = 2 pulg. L 2 = 4 pies. e2 = 1 pulg, TI '" 800 lb' pie,d l = O. T 2 = - 600 lb- pie.d 2 -
_ 5_29.
•
203
La flecha tiene un diámetro de 80 mm Ydebido a
la fricción en su superficie dentro del agujero. queda sometido a un par de torsión variable dado por la fu nción t = 125x¿ ~)JN' mImo donde x está en metros. Determine el par de torsión mínimo Tonecesario para vencer la fricción y que la fl echa pueda girar. También determine el esfuerzo máximo absoluto en la flecha.
5 pies.
,
Prob.. 5·26
I
5-27. La flecha está sometida a un par de torsión distribuido a 10 largo de su longitud con magnitud t ., (IOx2)N· mlm, donde x está en metros. Si el esfuerzo máximo en la flecha debe permanecer constante con valor de 80 MPa, determine la variación requerida para el radio e de la flecha para O s x s 3 m.
., Prob. 5·29
;o
S-JO. La flccha sólida tiene un ahusamiento lineal que va de rA en un extre mo a rBcn el otro. Obtenga una ecuación que dé el esfuerzo cortante máximo en la flecha en una posición x a lo largo del eje de la flecha.
,n 1,
Prob.S-27
.5-28. Un resorte cilíndrico consiste en un anillo de hule unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígido se mantiene fijo y se aplica un par de torsión T a la flecha , determine el esfuerzo cortante máximo en el hule.
Prob.S· U!
Prob.S-30
204 • CApITULO 5 Torsión
5-31. Cuando se perfora un pozo a una velocidad angular constante, el extremo del tubo perforador encuentra una resistencia T A a la torsión. También el suelo a lo largo de los costados del tubo crea un par de fricción distribuido a lo largo de su longitud, que va ría uniformemente desde cero en la superficie B hasta lA en A. Determine el par mínimo TB que debe ser proporcionado por la unidad de impulsión para vencer los pares resistentes. y calcule el esfuerzo cortante máximo en el tubo. El tubo tiene un radio exterior r" y un radIO mterior r¡.
5-34_ La flecha motriz de un tractor va a ser diseñada como un tubo de pared delgada. El motor entrega 200 hp cuando la flecha está girando a 1200 rpm. Determine el esfuerzo mínimo para la pared de la flecha si el diámetro exterior de ésta es de 3 pulg. El material tiene un esfuerzo cortante permisible 7pcrm := 7 klb /pulg2 .
5-35. Un motor suministra 500 hp a la flecha de acero AB,que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg. Determine su diámetro interno más grande al : pulg más cercano, cuando gira a 200 rad/s si el esruerw r.:UJ lante permisible del materinl es 7pcrm = 25 klb /pulg2 .
""nA
m
, 11
" L
P ro lts. 5-34135
Probo 5-31
- 5-32, La flecha impulsora AB de un automóvil está hecha con un acero que tiene un esfuerzo cortante permisible de 7pcnn = 8 klb /pulg!. Si el diámetro exterior es de 2.5 pulg y el motor desarrolla 200 hp cuando la flecha gira a 1140 rpm. determine el espesor mínimo requerido para la pared de la flecha. 5-33, La flecha impulsora A B de un automóvil va a ser diseñada como un tubo de pared delgada. El mOtor desarrolla 150 hp cua ndo la flecha gira a 1500 rpm. Determi ne el espesor mínimo de la pared de la flecha si su diámetro exterior es de 2.5 pulg. El material tiene un esfuerzo cortante permisible de 71""'''' = 7 klbj pulg2.
. 5-36. La fl echa motriz de un tractor está hecha de un tubo de acero que tiene un esfuerzo cortante permisible 2 7pcnn = 6 klb jpulg . Si el diámetro exterior es de 3 pulg y el motor suministra 175 hp 3 la flecha al girar a 1250 rpm. determine el espesor m[nimo requerido para la pared de la flecha. 5-37. Un mOlor entrega 500 hr a la flecha de ace ro AB, que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg y un diámetro interior de 1.84 pulg. Determine la velocidad angular más peq/lClia a la que puede girar la flecha si el esruerlQ cortante permisible del material es 7p<'m -== 25 klb/ pulg 2• 5-38. La flecha de 0.75 pulg de diámetro para el motor eléctrico desarrolla 0.5 hp Ygira a 1740 rpm. Determine el par de torsión generado y calcule el esfucrlQ cortante máximo en la flecha . La fl echa está soportada por cojinetes de bolas en A y B.
A
¡¡" _o.JL
Prolts. 5-32/33
6 pie~
L-:r
Probs. 5-36137138
• PR OBLEMAS
5-39. La flecha sólida AC tiene un diámetro de 25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y E. Está acoplada a un mOlor en e que suministra 3 kW de potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A y B toman 1 kW)' 2 kW, respectivamente, determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la flecha en las regiones AB y Be. La flecha puede girar libremente en sus cojinetes de apoyo D y E.
•
205
5-42. El motor entrega 500 hp a la flecha AB de acero que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pu[g y un diámetro interior de 1.84 pulg. Determine la velocidad angular más pequeña a la que puede girar si el esfuerzo cortante permisible del material es Tpe,m = 25 klb/pulg2.
3kW
2 k\V
'kW
A
Prob.5-10
Prob.5-39
,o y
",
l, o
d
"
"
*5-40. La flecha sólida de acero D Ftiene un diámetro de 25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y en E. Está acoplada a un motor en C que entrega 12 kW de potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A, B Y e lom
5-43. El motor entrega en A 50 hp cuando gira a una velocidad angular constante de 1350 rpm. Por medio del sistema de banda y polea esta carga es entre!j:ada a la flecha BC de acero del ventilador. Detennine al ¡ pulg más cerC
esfuerzo cortante permisible para el acero es 12 klb/pulg2 .
5-41. Determine el esfuerlO cortante máximo absoluto generado en la flecha en el problema 5-40.
,." ~s
e
B ~
4 píes
I
~
,
'14
A ,
~
_ple~
Proils. S-40f41
l;t:,!.} Prob.5-43
~i
"p",,,,
el
206 • CApiTULO 5 Torsión
5.4
Ya.
Ángulo de torsión
Los pozos petroleros son coml1nmente per-
forados a profundidades mayores de mil metros.. Corno resultado. el ángulo total de torsión de un conjunto de tubos de perloración puede ser considerable y deb~ ser calculado..
pu. Ocasionalmente el diseño de una flec ha depende de la restricción en la cantidad de rotación que pueda ocurrir cuando la fl echa está sometida a un par de torsión. Además. poder calcular el ángulo de torsión de una flecha es importante cuando se anal izan las reacciones en flechas estát icamente indeterminadas. En esta sección desarrollaremos una fórm ula para determinar el ángulo di! (orsi6l1 . ~ (phi). del extremo de una flecha con respecto a su o tro extremo. Supondremos que la flecha tiene una sección transversal circular que puede variar gradualmente a lo largo de su longitud, figura 5-15a y que el material es homogéneo y se comporta de un modo elástico-lineal cuando se aplica el par de torsión. Como en el caso de una barra cargada axialmente. despreciaremos las deformaciones locales que ocurren en los puntos de aplicación de los pares y en donde la sección transversal cambia abruptamente. Según el principio de Sainl-Venanl, eslos efectos ocurren en pequeñas regiones a lo largo de la fl echa y generalmente tienen sólo un ligero efecto en los resultados finales. Para usar el método de las secciones, un disco diferencial de espesor dx, localizado en la posición x,se aísla de la flecha, fi gura 5-15b. El par de torsión resultante inlerno está represen tado por. T(x), puesto que la acción externa puede causar que varíe a lo largo del eje de la flecha. Debido a T(x) el disco se torce rá, de modo que la rotaci6n relativa de una de sus caras con respecto a la otra cara es d(jJ, figura 5-15b. Además como se explicó en la sección 5.1, un elemento de material situado en un radio p arbitrario dentro del disco sufrirá una deformación unitaria cortante 'Y. Los valores de 'Y y d4> se relacionan por la ecuación 5-1, es decir,
dq,
~
(5·13)
p
r
(b)
(.)
Fig.5-15
lone
Inte lO...
G Par
lo '"
dx
y-
lad este
que
SECCiÓN 5.4 Ángulo de torsión
n la la a fleiea-
• 207
Ya que es a plicable la ley de Hooke, y = 7'/G, Y que el esfuerzo cortante puede expresarse en términos del par de torsión aplicado usando la formula de la torsión 1" = T(x)p jJ(x), entonces 'Y = T(x)pfJ(x)G. Sustituyendo este resultado e n la ecuación 5-13.el ángulo de torsión para el disco es e ntonces:
T(x)
dt/J= - - dx J(x)G
!guJtro
reu·
Inlegrando sobre toda la longitud L de la Hecha, obtenemos el ángulo de torsión para toda la flecha , esto es.
·150 neal
LT(X) dx
!ada
tlos
am)cu!nen
I
o J(x)G
(5-14)
Aquí,
t/J = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro, medido en radianes
r dx, tar-
dón ;0 a : sus !
ex·
o arLos
'-13)
T(x) = par de torsión interno en una posición arbitraria.r, hallado a partir de l método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de momentos aplicada con respecto al eje de la fl echa
J(x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de la posición x
G = módulo de rigidez del material
Par de torsión y área de la sección tra nsversal constantes. Por lo común, en la práctic~ de la ingeniería el material es homogéneo por lo que G es constante. Además. el área transversal de la necha y el par de torsión a plicado son constantes a lo largo de la longitud de la flecha, figura 5-16. Si éSle es e l caso. el par de torsión in lema T(x) - T, el momen to polar d:! inercia J(x) = J. Yla ecuación 5·14 puede ser integrada. lo cual da: (5-15) Las similitudes entre las dos ecuaciones anteriores y aquellas para una barra cargada axialmenle (6 = Jp(x)dx fA(x)E y 6 = PL fAE) son notorias.
Fig.5-16
Al calcular el esfuerzo y el ángulo de torsión de esta perforadora de suelo, es necesario considerar la carga variable que actúa a lo largo de su longitud.
208 • CAP[TULO 5 Torsión
de carga
de la deformación
Selector del intervalo de carga
Motor
Fig.5·17
Podemos usar la ecuación 5-15 para determinar el módulo de elastici· dad por cortante G del material. Para hacérlo se sitúa una probeta de en· sayo de longitud y diámetro conocidos en una máquina para ensayos de torsión como la que se muestra en la figura 5-17. El par de torsión T y el ángulo de torsión q, se miden entonces entre una longitud calibrada L. Usando la ecuación 5-15, G = TLjlq,. Normalmente, para obtener un va· lar de G más confiable, se efectúan varias de estas pruebas y se emplea el valor promedio. Si la fl echa está sometida a varios pares de torsión diferentes,o si el área de la sección transversal o el módulo de rigidez cambian abruptamente de una región de la flecha a la siguiente. la ecuación 5·15 puede aplicarse a cada segmento de la flecha en que estas cantidades sean todas constan+ tes. El ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro se halla entonces por la suma vectorial de los ángulos de torsión de cada segmento. En este caso, (5-16)
Convención de signos. Con objeto de aplicar las ecuaciones anterio· res debemos establecer una convención de signos para el par de torsión interno y para el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respec· to al otro. Para hacerlo usaremos la regla de la mano derecha, según la cual tanto el par como el ángulo de torsión serán positivos si el pulgar se aleja de la sección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par, figura 5-18. Para ilustrar el uso de esta convención de signos, consideremos la flecha mostrada en la figura 5-19a, la cual está sometida a cuatro pares de torsión. Va a determinarse el ángulo de torsión del extremo A con respec· to al extremo D. En este problema deberán considerarse tres segmentos de la flecha, puesto queel par de torsión interno cambia en B y en C. Usan·
d t
P
• • fi
SECCiÓN S.4 Ángulo de torsión
'~
Convención de signo positivo para TytjJ
SON·m
Fig_ 5-18
tici: ens de 'yel aL . 1 va~a el
área :e de rse a ;tanotro cada
5-16)
do el método de las secciones,se calculan los pares de torsión internos para cada segmento, figura 5-19b . Según la regla de la mano derecha, con pares positivos dirigidos hacia afuera del extremo seccionado de la flec ha, tenemos T AB = +80 N - m, T Be = -70N -m y T eo = -10 N-m.Con estos valores se puede trazar el diagrama de momentos lorsionantes para la flecha, figura 5-19c. Aplicando la ecuación 5-16, tenemos: ~
-
o/~-
(+80N-m) LAS
ro
+
(-70N · m) Lse
ro
+
T AB
,,80 N·m
SON·m
(-10N ·m ) Leo
ro
Te!) :: 10 N·m
Si se sustituyen los demás datos y se obtiene la solución como una cantidad positiva, ello significa que el extremo A girará como se indica por la curvatura de los dedos de la mano derecha estando el pulgar dirigido hacia afuera de la flecha, figura 5-19a. Se usa la notación con subíndice doble para indicar este ángulo de torsión relativo( rpA jO); sin embargo, si el ángulo de torsión va a determinarse con relación a un pUnlO fijo, entonces sólo se usará un único subíndice. Por ejemplo, si D está situado en un soporte fijo, entonces el ángulo de torsión calculado será denotado como rIJA-
eriorsión specún la
(b)
T(N·m)
rar se
so f-- - - ,
para
a fiees de specentos Jsan-
• 209
~-~t_-II=== -IO,-_70L - - - ' (,)
(.)
Fig.5-19
,
210 • CAPITULO 5 Torsión
PUNTOS IMPORTANTES • E l ángulo de torsión se determina relacionando el par aplicado al esfuerzo cortante usando la fórmula de la torsión. T = TpjJ. Y relacionando la rotación relativa a la deformación unita ria coro tante usando dq, = y dx/p. Finalmente esas ecuaciones se combi· nan usando la ley de Hooke, T = G-y. lo que da la ecuación 5·14. • Como la ley de Hooke se usa en el desa rrollo de la fórmula del ángulo de torsión, es importan te que los pares aplicados no ge· neren fl uencia del material y que el material sea homogéneo y se comporte de manera elástica·lineal.
PROCEDIMIENTO DE ANAuSIS El ángulo de torsión de un extremo de una flecha o tubo con respecto al otro extremo puede ser determinado aplicando las ecuaciones 5-14 a 5·16.
Par de torsión ¡nlem o. • El par de torsión interno se encuen tra en un punto sobre el eje de la flecha usando el método de las secciones y la ecuación de equilibrio por momento, aplicada a lo largo de la flecha. • Si el par de torsión varía a lo largo de la longitud de la flecha, debe hacerse una sección en la posición arbitraria x a lo largo de la flecha y el par de torsión ser representado como una función de x, esto es, T(x). • Si varios pares de torsión externos constantes actúan sobre la flecha entre sus extremos, el par de torsión interno en cada segmento de la flecha. en tre dos pares de torsión externos cualesquiera debe ser determinado. Los resultados se pueden representar como un diagrama de par torsionante.
Á ngulo de giro. • Cuando el área de la sección transversal circular varía a lo largo del eje de la fl echa. el momento polar de inercia puede ser ex· presado como fnnción de su posición x a lo largo del eje, J(x). • Si el momento polar de inercia o el par de torsión interno cambia repelllinamente entre los extremos de la flec ha, entonces q, = J(T(x)/J(x)G)dx o q, = TL /JG debe aplicarse a cada segmento para el enal J, G Y T son continuos o constan tes. • Cuando el par de torsión interno en cada segmento se ha deter· minado, asegúrese de usar una convención de signos consistente para la [lecha, como la vista anterior. Asegúrese también de usar un conj unto consistente de unidades al sustiluir datos numéricos en las ecuaciones.
SECCJÓN 5.4 Ángulo de torsión
• 211
EJEMPLO do
.y
,-
bi-
Los engranes unidos a la flecha de acero empotrada están sometidos a los pares de torsión mostrados en la figura S-20a. Si el módulo de cortante es G = 80 OPa y la flecha tiene un diámetro de 14 mm , determine el desplazamiento del diente P en el engrane A. La flecha gira libremente sobre el cojinete en B. lJaN·m
J4.
eJ
7.lc -150 N·m
'~
gerse
~¡ (,)
Solución
¡ecnes
eje de
rd~
en r
e-
lell-
l~:
t
Par de torsión ¡nUmo. Por inspección. los pares en los segmentos AC; CD y DEsoo diferentes pero constantes a lo largo de cada segmento. En la figura 5-20b se muestran los diagramas de cuerpo libre de segmentos apropiados de la flecha ju nto con los pares internos calculados. Usando la regla de la mano derecha y la convención de signos establecida de que un par positivo se aleja del extremo seccionado de la flecha , tenemas: TAe
= +150N'm
TeD
A "gulo de torsió".
. '"
In
40 ~
m
I
280 N m
(b)
Apli.ca.ndo la. ecua.ción 5-16 a cada segmento y sumando los resultados algebraicamente. tenemos: T (N- m)
TL
( +J50N·m )(0.4 m) 3.77(W' ) m'[80(IO' ) N/ m' ] (- )30 N · m)(0.3 m)
1501---, OA 0.7 1.2 .I"( m) 01-- -f"----1f'----'¡'-
+ 3.77(10-9) m'[80(IO') N/ m' )]
p
+
amt~
~nte
¡A
¡SON
J = ~ (O.007 m )4 = 3.77(10- 9) m4
ex-
!1sar 'cos
'"
El momento polar de inercia de la flecha es:
go
re:
TOE = -170N ' m
170 N'm
~
Estos resultados se muestran también sobre el diagrama de pares lorsionantes en la figura 5-20c.
~A ~ L: lG ~
o
= -130N'm
7i:JE ~
(-J70N·m)(0.5m ) 3.77(10-9) m'[80( IO') N/ m' )]
- 1l0
-0.212 rad
I
- 170
'o)
Como la respuesta es negativa, por la regla de la mano derecha el pulgar se dirige hacia el extremo E de la flecha y. por tanto, el engrane A gira como se muestra en la figura 5-20d. El desplazam iento del diente P sobre el e ngrane A es: Sp =
4>"r
= (0.212 rad )( lOO mm ) = 21.2 mm
Resp. Fig.5.20
Recuerde que este análisis es válido sólo si el esfuerzo cortante no excede del límite proporcional del material.
I
212 • CApiTULO S Torsión
EJEMPLO Las dos flechas sólidas de acero mostradas en la figura 5-21a están aco· piadas a través de los engranes B y e. Determine el ángulo de torsión del extremo A de la flecha AB cuando se aplica el par de torsión T = 45 N· m. Considere G = 80 OPa. La flecha AB gira libremente sobre los cojinetes E y F, mientras que la flecha CD está empotrada en D. Cada flecha tiene un diámetro de 20 mm.
Solución Par de torsión interno. En las figuras 5-21b y 5-21c se muestran dia· gramas de cuerpo libre de cada flecha. Sumando momentos a lo largo del eje x de la flecha se obliene la reacción tangencial entre los engra· nes de F = 45 N·mjO.15 m = 300 N. Sumando momentos respecto al ejex de la flecha DC, esta fuerza genera entonces un par de torsión de (TD)x = 300 N (0.075 m) = 22.5 N'm sobre la flecha De.
A ngulo de torsión. Para resolver el problema calculamos primero el giro del engrane e debido al par de 22.5 N'm en la flecha De, figura 5-21b. Este ángulo de torsión es:
(+22.5 N· m)(1.5 m) (~/2 )(O.OlO m)'[1lO( lO') N/ m']
(b)
~
+ 0.0269 rad
Como los engranes en los extremos de las flechas están conectados, la rotación 4>e del engrane e ocasiona que el engrane B gire 4>B, fig ura 5-21c, donde ~8 (0 .15 T",45N'm
(,)
m)
~
=
(0.0269 rad )(O.075 m) 0.0134 rad
Determinaremos ahora el ángulo de torsión del extremo A con respecto al extremo B de la flecha AB generado por el par de 45 N· m, figura 5-21c. Tenemos: (+ 45N·m )(2 m)
Fig. S-2l
(~/2)(0.010 m)'[80(lO') N/ m' ]
+0.0716 rad
La rotación del extremo A se detennina entonces sumando
4>,.,
=
A/B
= 0.0134 rad + 0.0716 rad = + 0.0850 rad
Resp.
SECCION 5.4 Ángulo de torsión
• 213
EJEMPLO ;0-
6n
xe D.
E l poste sólido de hierro colado de 2 pulg de d iá metro mostrado en la figura 5-220 está enterrado en el suelo. Si se le aplica un par de lorsión por medio de una llave rígida a su parte superior, determine el esfuerzo cortante máximo e n el poste y el ángulo de torsión e n su parte superior. Suponga que el par está a punto de hacer girar el poste "y que el suelo ejerce una resistencia torsionante un iforme de I lb· pulg jpulg a lo largo de su longitud e nlerrada de 24 pulg. G = 5.5(10 3) klb/ p ulg 2• Solución
Par de torsión interno. El par de torsión interno en el segmento AB del poste es constante. Del diagrama de cuerpo libre, fi gura 5-22b, tenemos: TAB
dia-
"go
~
~
251b (12 pulg)
300 lb· pulg
La magnitud del par de torsión distribuido uniformemente a lo largo del segmento Be enterrado puede determinarse a partir del equilibrio de todo el poste, figura 5-22c. En este caso,
~ra
25 lb( 12 pulg) - 1(24 pulg)
O al
~
,.)
O
t = 12.5 lb . pulg/pulg
,de
Por tanto, del diagrama de cuerpo libre de una sección de poste situada en la posición x dentro de la región Be, figura 5-nd, tenemos:
251b
-oel
};M,
~
O;
Tsc - 12.5x = O Tsc
:: 12.5x
Esfuerzo cortante máximo. El esfuerzo cortante más grande ocurre en la reg:ón AB, puesto que el par es máximo ahí y J es constante para el posle. Aplicando la fór mula de la torsión, tenemos:
j
Idos,
gura
-; ú m
T ABe
(300 lb· pulg)(1 pulg)
1
(,,/ 2)( 1 pie)'
= -- =
,
= 1911blpulg
(b)
Resp.
Ángulo de torsión. El ángulo de torsión en la parte superior puede determinarse respecto a la parte inferior del poste, ya que este extremo está fijo y a punto de girar. Ambos segmentos AB y Be, giran, y en este caso tenemos: I
EJEMPLO La flecha ah usada mostrada en la fig ura 5-23a está hecha de un material cuyo módulo cortante es G. Determine el ángulo de torsión de su extremo B cuando está sometido a un par. Solución
Momento de torsión interno. Por inspección o por el diagrama de cue rpo libre de una sección localizada en la posidóll arbitraria x. figura 5-23b. el momento de torsión es T. Ángulo de torsió". El momen to polar de inercia varía aq uí a 10 largo del eje de la fl echa. por lo que tenemos que expresarlo en términos de la coordenada x. El rad io c de la flecha en x puede determinarse en términos de x por proporción de la pendiente de la linea AB en la figura 5-23c. Tenemos: C2 -
C¡
= Cl - C
L
x C""Cl - X
Entonces, en x, J (x) ""
)'
~ [ C2 "2
-
x
(c, -c,) -L-
(C'-C')]' - L-
Aplicando la ecuación 5-14. tenemos:
(., Efectuando la integración usando una tabla de integrales.. se obtiene:
'" =
,
( 2T) ~G
1
3
(c, -L C,)[ cz-x(c,- --c')]' L
o
(b'
Reordenando térm inos resulta:
(d + 3G
= 2TL
'"
(o, Fig. 5-23
1i
c¡C2 3J C¡C2
+
ci)
Resp.
Para veri ficar parcialmente este resultado. note que cuando C¡ = c2 = c. entonces TL TL '" = 1(~/2)c'IG fG que es la ecuación 5-15.
PROB LEMAS
,. u
le
,.
>S
n
,.
•
215
PROBLEMAS *5-44. Las hélices de un barco están conecladas a una flecha sólida de acero A-36 de 60 m de largo que tiene un diámetro exterior de 340 mm y un diámetro interior de 260 mm. Si la potencia generada es de 4.5 MW cuando la flecha gira a 20 rad /s. determine el esfuerzo torsionante máximo en la flecha y su ángulo de torsión.
5-45. Una flecha está sometida a un par de torsión T . Compare la efectividad de usar el tubo mostrado en la fi· gura contra la de una sección sólida de radio c. Para esto. calcule el porcentaje de aumento en el esfuerlO de torsión yen el ángulo de torsión por unidad de longitud del tubo respecto a la sección sólida.
*5-48. La flecha de a~ero A-36 está hecha con los tubos AH y CD más una sección sólida Be. Está soportada sobre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes. fij os a sus extremos, están sometidos a pares de torsión de 85 N· m. de termine el ángulo de torsión del extremo B de la sección sólida respecto al e xtremo C. Los tubos tienen un diámetro externo de 30 mm y un diámetro interno de 20 mm. La sección sólida tiene un diámetro de 40 mm.
, j
ProlJs.5-44145 Prol.l. 5·47148
5-46_ La f1eeha sólida de radio e está sometida a un pa r de torsión T. D emuestre que la deformación cortante máxima generada en la flecha es )'m.1. = Te/lG. ¿Cuál es la defonnación cortante en un elemento localizado en el punto A. a c/2 del centro de la flecha? Esboce la distorsión cortante en este elemento.
T
~ I
, /2
,
/
A
5-49. Los extremos estriados y los engranes unidos a la flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de torsión mostrados. Determine el ángulo de torsión del extremo B con respecto al extremo A. La flecha tiene un diá· metro de 40 mm.
T
~
L
ProlJ.5-46
p. 5-47. La flecha de acero A -36 está hecha con los tubos AB y CD más una sección sólida BC Está soportada sobre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes. fijos a sus extremos. están somet idos a pares de torsión de SS N· m, determine el ángulo de torsión del engrane A con respecto al engrane D. Los tubos tienen un diámetro exterior de 30 mm y un diámetro interior de 20 mm. La sección sólida liene un diámetro de 40 mm.
ProlJ.5-49
216 • CApITULO S Torsión
s-so.
Los extremos estriados y los engranes unidos a la fl eeha de acero A-36 están sometidos a los pares de torsión mostrados. Determine el ángulo de torsión del engrane Ceon respecto al engrane D. La flecha tiene un diámetro de40mm.
· 5-52. El perno de acero A-36 de 8 mm de diámetro está empotrado en el bloque en A. Determine las fuerzas F del par que debe aplicarse a la llave para que el esfuerzo cortante máximo en el perno sea de 18 MPa. También calcule el desplazamiento correspondiente de cada fuerza Fnecesario para generar este esfuerl.O. Suponga que la llave es rígida.
A
""~
F
Prob. 5-52 Prob.S·SO
La flecha y volante giratorios.. al ser nevados repentinamente al reposo .en D, comienzan a oscilar en sentido horario y antihorario de manera que un punto A sobre el borde exterior del volante se desplaza a través de un arco de 6 mm. Determine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la flecha tubular de acero A-36 debido a esta oscilación. La fl echa tiene un diámetro interior de 24 mm y un diámetro exterior de 32 mm. Los cojinetes en B ye permiten que la flecha gire libremente. mientras que el soporte en D mantiene fija la flecha.
5-53. La turbina desarrolla 150 kW de potencia q ue se transmite a los engranes en forma tal que e recibe 70% y D 30%. Si la rotación de la flecha de acero A-36 de 100 mm de diámetro es w,; 800 rpm,dctennine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha y el ángulo de torsión del extremo E de la flecha respecto al extremo B. El cojinete en E permite que [8 flecha gire libremente respecto a su eje.
Prob.S-51
ProboS-53
5-51.
PROBLEMAS
,F o n
•,-
5-54. La turbina desarrolla 150 kW de potencia que se transmite a los engranes de manera que tanto como D reciben la misma canridad. Si la rotación de la flecha de aceroA-36 de lOOmrn de diámetro es w = 500 rpm, detcrmine el esfuerLo cortante máximo absoluto en la flecha y la rotación del extremo B de ésta respecto al extremo E. El cojinete en E permite que la flecha gire libremente alrededor de su eje.
e
e
--'e-
(lA
Probo S-57
Prob.5-54
,-'o
".,-
217
5.57. El motor produce un par de torsión T = 20 N· m sobre el engrane A. Si el engrane se bloquea repentinameDIe de tal manera que no pueda girar,aunque B sí puede girar libremente, determine el ángulo de torsión de F con respecto a E y el de F con respec to a D de la flecha de acero L2 que tiene un diámetro interior de 30 mm y un diámetro exterior de 50 mm. También , calcule el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha . La flecha está soportada sobre cojinetes en G y H.
~::I--- 0.8 m
"~
'o
•
5-55. La flecha hucca de acero A-36 tiene 2 m de longitud y un diámetro exterior de 40 mm. Cuando está girando a SO rad/s, transmite 32 k W de potencia del motor E al generador G. Determine el espesor mínimo de la flecha si el esfuerzo cortante permisible es 'T""Tm = 140 MPa y la flecha está restringida a no torcerse más de 0.05 radianes. "'5-56. La flecha sólida de acero A-36 tiene 3 m de longitud y un diámetro de 50 mm. Se requiere que transmita 35 kW de potencia del mo tor E al generador G. Determine la velocidad angular mínima que la flecha puede tener si está restringida a no torcerse más de 1<>.
P robs. 5-55f56
5-58. El motor de un helicóptero suministra 600 hp a la flecha del rotor AB cuando las aspas están girando a 1200 rpm. Determine al pulg más cercano el diámetro de la flecha AS si el esfuerzo cortante permisible es T.,.nn = 8 klbj pulg2 y las vibraciones limitan el ángulo de torsión de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de longitud y está hecha de acero L2.
¡
5-59. El motor de un helicóptero está entregando 600 hp a la flecha del rotor AB cuando las aspas giran a 1200 rpm. Detennine al pulg m ~cercano el diáme tro de la flecha AB si el esfuerzo cortante permisible es T.,.nn = 10.5 klb / pulg2 y las vibraciones limitan el áng ulo de torsión de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de longitud y está hecha de acero L2.
i
Probo 5-58159
218 • CAPiTULO 5 Torsión • • 5·60. Considere el problema general de una necha circular hecha de m segmentos, cada uno de radio Cm Y módulo cortan te G_ Si actiJan n pares de torsión sobre la necha CQmo se muestra, escriba un programa de computado ra que sirva para determinar el ángulo de torsión en su extremo A. Aplique el programa con los siguientes datos: LI ., 0.5 m. el = 0.02 m. G¡ = 30 OPa. L 2 = 1.5 m, Cl = 0.05 m,G 2 = 15 OPa, 1'1 = - 450N'm,d¡ = 0.25m. T2 "" 600 N' m.d 2 = 0.8 m.
5-62. La flech<1 de acero L2 de 6 pulg de diámetro en la turbina está soportada sobre cojinetes en A y B. Si e se mantiene fijo y las paletas de la turbina generan un par de torsión en la flecha que crece linealmente de cero en e a 2000 lb· pie en D, determine el ángulo de torsión del extremo D de la flecha respecto al extremo C. También, calcule el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha. Desprecie el tamaño de las paletas.
Prob.5-62 Prob.5-60
5-61. La pieza de acero Á-36 consta de un tubo con radio exterior de I pulgy un espesor de pared de 0.125 pulg. Por medIo de una placa rígida en B se conecta a la flecha sólida AB de l pulg de diámetro. Determine la rotación del extremo del tubo si se aplica un par de torsión de 200 lb, pulg al tubo en este extremo. El extremo A de la flecha está empotrada.
e
5-63. Cuando se perfora un pozo. se supone que el extremo profundo del tubo perforador encuentra una resistencia a la torsión TA.Además.la fricción del suelo a lo largo de los lados del tubo crea una dist ribución lineal del par de to rsión por unidad de longitud que varía desde cero en la superficie B hasta {oen A. Determine el par de torsión necesario Ts que debe aplicar la unidad impulsora para hacer giror el tubo. También. ¿cuál es el ángulo de torsión relativo de un extremo deltuoo con respecto al otro extremo en el instante en que el tubo va a comenzar a girar? El tubo tiene un radio exterior ' . y un radio interior '¡. El módulo de cortante es G.
8
4
Prob.5-6 1
>
•
pulg
Prob.5·63
PROB LEMAS
*5·64. Con el poste de acero A~36 se ·'taladra" a velocidad angular constante el suelo usando la instalación rotatoria. Si el poste tiene un diámetro interior de 200 mm y un diámetro exterior de 225 mm, dete rmine el ángulo relativo de torsión del extremo A del poste con respecto al extremo B. cuando el poste alcanza la profundidad indicada. Debido a la fricción del suelo, suponga que el par que aclúa a lo largo del poste varía linealmente como se muestra y que un par de torsión concentrado de 80 kN· m actúa en 111 pllntil elel
•
219
5-66. El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos con el fin de proporcionar estabilización in si/u. Si el mezclador está conectado a una flecha tubula r de acero A-36 que tiene un diámetro interior de 3 pulg y un diámetro exterior de 4.5 pulg,determine el ángulo de torsión de la flecha en la sección A con respecto a la sección e, considerando que cada hoja mezcladora está sometida a los pares de torsión most.rados.
ro~tc
8
400
S(xx}lb·pies
15 kN'm/ m
A
'--:§~::t>'f 80 kN-m
,.
o
, ,
,. o
,.
;.
•
Prob.5-64
5-65. El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos con el fin de proporcionar estabilización in silll. Si el mezclador está conectado a una flecha tubular de aceroA-36 que tiene un diáme tro interior de 3 pulg y un diámetro exterior de 4.5 pulg, dctcrmine el ángu.lo dt torsión dt la ne¡;h
Prob.5-65
Prob.5-66
5·67_ La flecha tiene un radio e y está sometida a un par de torsión por unidad de longitud de lo, distribuido uniformemente sobre toda la longitud L de la necha. Detennine el ángulo de torsión .p en el extremo B, considerando que el ext remo alejado A está empotrado. El módulo cortante es G.
Prob.5-67
220 • CAPITULO 5 Torsión
*5-68. El perno de acero A-36 se aprieta dentro de un agujero de manera que el par de torsión reactivo sobre el vástago AB puede expresarse por la ecuación / = (kx 2) N· m/ m,dondex está en metros. Si se aplica un par de torsión T= 50 N· m a la cabe7.3 del perno, determine la constante k y la magnilud d:l giro en [os 50 mm de longitud del vástago. Suponga que el vástago tiene un radio constante de 4 mm.
El contorno de la superficie de la flecha está definido por la ecuación y = eQ!(, donde a es una constante. Si la fl echa está sometida a un par de torsión T en sus extre· mos, determine el ángulo de lOrsión del extremo A con respecto al extremo B. El módulo de cortante es G.
5-71.
5-69. Resuelva el problema 5-68 considerando que el par distribuido es 1 = (kx 2!3 ) N· mi mo
B T
Prob.5·71
.so N'm
Probs. 5-68169
· 5-72. Un resorte cilíndrico consiste en un anillo de hule unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígido se mantiene fijo y se aplica un par de torsión T a la flecha rígida , determine el ángulo de torsión de ésta. El módulo cortante del hule es G. SI/gerencia: como se muestra en la figura. la deformación del elemento con radio, puede determinarse con, de = ti, y. Use esta expresión junto con 1" = T /(27T.,2h), del problema 5-28. para obtener el resultado.
La flecha de radio c está sometida a un par distribuido t, medido como par¡1ongitud de flecha. Determine el ángulo de torsión en el extremo A. El módulo de coro tante es G.
5-70.
>:-.:(" rdr = rd8
dr~
2,. Prob.5·70
~
prob.5-n
SECCIÓN 5.5 Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión • 221
5.5
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
Una flecha sometida a torsión puede clasificarse como estáticamente indeterminada si la ecuación de equilibrio por momentos, aplicada con respecto al eje de la flecha , no es suficiente para determinar los pares de torsión desconocidos que actúan sobre la flecha. En la figura 5-24(/ se muestra un ejemplo de esta situación. Según se aprecia en el diagrama de cuerpo libre, figura 5-24b, los pares de torsión reactivos en los soportes A y B son desconocidos. Requerimos que:
r.M x = O; Puesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existen dos incógnitas,este problema es estáticamente indeterminado. Con objeto de obtener una sol ución usaremos el método de análisis visto en la sección 4.4. La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática, requiere que el ángulo de torsión de un extremo de la [lecha con respecto al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes en los extremos son fijos. Por tanto,
cPA/8 =
,r
O
Para escribir esta ecuación en términos de los pares de torsión desconocidos,supondremos que el material se comporta de modo elástico-lineal, de modo que la relación carga-desplazamiento quede expresada por cP = TL/lG. Considerando que el par interno en el segmento AC es + TA Yque en el segmento CB el par interno es - T 8, figura 5-24c, [a ecuación de compatibilidad anterior puede escribirse como:
TAL AC TsLsc ---¡c; - ---¡c; ~ O Aquí se supone que lG es constante.
«¡
Fig.5.24
(.¡
222 • CAP!TU LO 5 Torsión Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones, y considerando que L = L AC + L 8 c, obtenemos
y
Advierta que cada par reactivo crece o decrece linealmente con la ubicación de L,1e o L B C al par de torsión aplicado.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los pares de torsión desconocidos en flechas estáticamente indeterminadas se calculan satisfaciendo el equilibrio, la compatibilidad y los requisitos de par-desplazamiento de la flecha.
Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la flecha para identificar todos los pares que actúan sobre ella y luego escriba las ecuaciones de equilibrio por momento respecto al eje de la flec ha.
Compatibilidad. • Para escribir la ecuación de compatibilidad, investigue la manera en que la flecha se torcerá al ser sometida a las cargas exte rnas, considerando cómo los soportes restringen a la flecha cuando ella se tuerce. • Exprese la condición de compatibilidad en términos de los desplazamientos rotat orios causados por los pares de torsión reactivos. y luego use una relación par de torsión-desplazamiento, tal como
SECCIÓN 5.5 Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de to~i6n • 223
;i-
E J E M P L ·0 La flecha só lida mostrada en la figura 5-25(1 tiene un diámetro de 20 mm . Determine las reacciones en los empotra mi entos A y B cuando está sometida a los dos pares de torsión mostrados. A
s T, (b)
Solución Equilibrio. Por inspección del diagrama de cuerpo libre, figura 5-25b, se ve que el problema es estáticamente indeterminado ya que hay sólo l/na ecuación disponible de equilibrio, y se tienen dos incógnitas., T A y T s . Se requiere - Ts
+ SOON 'm - 500N ' m -
TA = O
(1)
Compatibilidad. Como los extremos de la flecha está n empotrados., el ángulo de torsión de un extremo de la f1eeha con respecto al otro debe ser cero. Por consiguiente, la ecuación de compatibilidad puede escribirse como
-Ts (O.2m ) JG
s
+
(TA
+ 500 N· m)( 1.5 m) +
JG
lA
TA (O.3 m ) lG = O
o 1.8TA
-
O.2TB = -750
(2)
TA = -345N'm
TIJ = 645N'm
(ol Fig.5-25
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, obtenemos
r
+500
Resp.
El signo negativo indica que T A actúa con sentido opuesto al mostrado en la figura 5-25b.
224 • CAPiTULO 5 Tor!iión
EJEMPLO La fl echa mostrada en la figura 5-26a está hecha de un tubo de acero unido a un núcleo de latón. Si se aplica un par de torsión T = 250 lb · pie en su extremo, indique la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de una línea radial de su sección transversal. Considere G ae = 11.4(10 3) klb jpulg 2 , G lal = 5.20(1cf) klb jpulg2 .
, (
F P
T"" 250 Ib·pie
(,)
(b)
250 lb·pie
y
Fig. 5-24
do
Solución
Equilibrio. En la figura S-26b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la flech a. La reacción en el empotramiento se ha representado por la magnitud desconocida de par resistido por el acero, Tae, Ypor el latón, Tia,. Trabajando en unidades de libras y pulgadas, por equilibrio se requiere: - Tae - 7Iat + 250 lb - pie(12 pulg jpies) = O
(1)
Compatibilidad. Se requiere que el ángulo de torsión del extremo A sea el mismo tanto para el acero como para el latón. Así,
1> =
1>ae = 1>tat
Aplicando la relación carga-desplazamiento, 1> = TL jJG, tenemos:
Estos pares actúan a lo largo de toda la longitud de la flecha, ya que ningún par externo actúa en puntos intermedios a lo largo del eje de la fl echa. El esfuerzo cortante en el núcleo de lat6n varía de cero e n su centro a un máximo sobre la superficie en que entra en contacto con el tubo de acero. Con la fórmula de torsión, ("")m" =
Para el acero, el esfuerzo cortante mfnimo está localizado sobre la superficie y tiene el valor de: (2911.0 lb· pulg) (0.5 pulg) (' ,,)m'" = (,,/ 2)[(1 pulg)' _ (0.5 pulg)']
988lb/pulg'
y el esfuerzo cortante máximo está en la superficie externa, con valor de: (2911 .0 lb, pulg)(1 pulg) ('oo)mu = (,,/ 2)[(1 pulg)'
lijo
el 'io
1) A
19771b/ pulg2
Los resultados se muestran en la figura 5-26c. Note la discontinuidad del esfuerzo cortante en la superficie de contacto entre el latón y el acero. Esto era de esperarse, ya que los materiales tienen módulos de rigidez diferentes; es decir, que el acero es más rígido que el latón (G ae > G ls¡), por lo que tóma más esfuerzo cortante en esta superficie de contacto. Si bien el esfuerzo cortante es aquí discontinuo, la deformaci6n cortante no lo es; es decir, la deformación unitaria cortante es la misma en el latón y en el acero. Esto puede evidenciarse usando la ley de Hooke, y = rl G. En la superficie de contacto entre acero y latón, figura 5-26d, la deformación cortante unitaria es: r
y= - =
G
451lb/pulg Z 5.2(106 ) Ib/pulg1
988lb/pulg2 11.4(10') Ib/pulg'
0.0867(10- 3 ) rad
1977lbJ pulg 2
1$:
(2)
(0.5 pulg)'J
Distribución del esfuerzo cortante
'o,
Distribución de la deformación unitaria cortante
,d,
I~
-
".~
,.
226
• CApITULO 5 Torsión
PROBLEMAS 5-73. La flecha de acero tiene un diámetro de 40 mm y está empotrada en sus ex tremos A y 8. Determine el esfuerzo cortante máximo en las regiones AC y CB de la flecha cuando se aplica el par mostrado. Gl/; = 10.8(103) klbJpulg2 .
Prob.5·76
Probo 5·73
5-77. El motor A genera un par de torsión en el engrane B de 450 lb· pie que se aplica a lo largo del eje de la flccha CD de acero de 2 pulg de diámctro. Este par de torsión debe trans mitirse a los engranes piñones cn E y F. Si estos engranes están temporalmente fijos,determine el esfuerzo cortante máximo en los segmentos CB y BD de la flecha. ¿Cuál es el ángulo de torsión de cada uno de esos segmentos? Los cojinetes en y D sólo ejercen fuerzas reactivas sobre la flech a y no resisten ni ngún par de torsión. G roe = 12(103) klbJpulg2•
e
5·74. Una barra está hecha dedossegmenlos:AB de acero y BC de latón. Está empotrada en sus extremos y sometida a un par de torsión T = 680 N · m. Si la porción de accro tiene un diámetro de 30 mm, determine el diámetro requerido en la porción de latón de manera que las reacciones en los empotram ientos sean las mismas. G u = 75 GPa, G lat - 39 O Pa. 5-75. Determine el esfuer.lo cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-74.
450 lb· pie
e
e
Prob.5·77
5-78. La fl echa compuesta consiste en un segmento me· dio que incluye la flecha sólida de 1 pulg de diámetro y un tubo que está soldado a las bridas rígidas A y B. Desprecie el espesor de las bridas y detennine el ángulo de torsión del extremo e de la flecha respecto al extremo D. La flecha está sometida a un par de torsión de 800 Ib·pie. El material es acero A-3ó. 800 Ib'pie I plIlg
3 pulg
I
Probs. 5-74175
1· 5-76. La flecha de acero está hecha de dos segmentos: AC tiene un diámetro d: 0.5 pulg y CB un diámetro de 1 pulg. Si está empotrada en SUS extremos A y B Ysometida
a un par de to rsión de 500 lb 'pie, de termine el esfuerlO cortan te máximo en la fl echa. C roe = 1O.8(leP) klbJpulg2 .
f-.o
A 5 pi_
I
r
o.~ ptllg
1
~ 0 75 PtC
800 lb pie D
BI
--t-o5 pie
ProboS·78
PROBlEMAS
5-79. La flecha está hecha de una sección sólida AB de acero y una porción tubular de acero con un núcleo de la· tón. Si está empotrada en A yse aplica en e un par de toro sión T"" 50 lb· pie, determine el ángulo de torsión que se presenta en e y calcule el esfuerzo cortante y la deforma· ción cortante máximos en el latón y en el acero. Conside· re G ae = 11.5(103) klb /pulg 2 y G lo , = 5.6(HP) klb /pulg2.
•
227
5·82. Las dos flechas.AB y EF.están empotradas en sus extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al engrane común en e que está conectado a la [lecha CD. Si se aplica un par de torsión T = 80 N · m al extremo D , determine el par de torsión en A y F. Cada flecha tiene un diámetro de 20 mm y están hechas de acero A-36.
/'
3 pies
A
Z:::,m
12Smm T=80N'm
75mm
"m~
lo/D
P robs. S·81J8Z
Prob.5·79
· 5-80. Las dos fl echas de 3 pies de longitud están he· chas de aluminio 20l4-T6. Cada una tiene un diámetro de 1.5 pulg y están conectadas entre sr por medio de engra· nes fijos a sus extremos. Sus otros extremos están empo· trados en A y B. También están soportadas por cojinetes en C y D, que permiten la libre rotación de las flechas respe<:to a sus ejes. Si se aplica un par de torsión de 600 lb· pie al engrane superior como se muestra. determine el esfuer· zo cortante máximo en cada flecha.
5-83. La fl echa de acero A·36 está hecha de dos segmentos: AC tiene un diámetro de 0.5 pulg y CB tiene un diámelTo de I pulg. Si la flecha está empotrada en sus ex· tremas A y B Y está sometida a un par de torsión unifor· memente distribuido de 60 lb· pulg/ pulg a lo largo del segmento eB.determine el esfuerzo cortante máximo abo soluto en la flecha. A
~ ,
0.'"",
,,~.~
..._"60,,I::U lg/PUlg lplIlg
~
2Q
A
19
8
Probo S-83
. 5·84.
La flecha ahusada está doblemente empotrada en
A y B. Si se aplica un par de torsión T en su punto medio,
determine las reacciones en los empotramientos.
Prob.5·80
5-81. Las dos flechas.AB y EF. están empotradas en sus extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al engrane común en e que está conectado a la [lecha CD. Si se aplica un par de torsión T"'" 80 N· m al extremo D . determine el ángulo de torsión en este extremo. Cada flecha tiene un diámetro de 20 mm y están hechas de acero A-36.
A
Prob.5-84
228 • CApiTULO 5 Torsión
5-85. Una porción de la flecha de aceroA-36 está sometida a un par de torsión linealmente distribuido. Si la flecha tiene las dimensiones mostradas, determine las reacciones en los empotramientos A y C. El segmento AB tiene un diámetro de 1.5 pulgy el segmento Be un diámetro de 0.75 pulg.
5·87. La Oecha de radio e está sometida a un par de torsión distribuido l, medido como par/longitud de flecha. Determine las reacciones en los empotramientos A y B.
5-86. Determine la rotación en la junta B y el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-85. 300 Ib'pul¡s / plIlg
48 pul,
Probs. S-8.5186
*5.6
Flechas sólidas no circulares
Note la deformación que ocurre en el elemento cuadrado cuando esta barra de hule está sometida a un par de torsión.
Fig.5_27
Probo S.fI7
M
En la sección 5.1 se demostró que cuando un par de torsión se aplica a una flecha que tenga una sección transversal circular, es decir, que sea simétrica con respecto a su eje, las deformaciones unitarias cortantes varían linealmente desde cero en el centro hasta un momento máximo e n su periferia. Además, debido a la uniformidad de la deformación cortante en todos los puntos sobre el mismo radio, la sección transversal no se deforma, sino q ue permanece plana después de que la flecha se ha torcido. Sin embargo. las fl echas que no tienen una sección transv~rsal circular 110 son simétricas con respecto a su eje, y a causa de que el esfue rzo cortante en su sección transversal está distribuido de manera compleja, sus secciones transversales pueden alabearse cuando la flecha se tuerce. En la figura 5·27 puede observarse cómo se deforman las líneas de retícula de una flecha que tiene una sección transversa l cuadrada cuando la flecha está sometida a torsión . Como consecuencia de esta deformación, el a nálisis de la torsión en flechas /lO CÍrculares resulta considerablemente complicado y no se examinará e n este texto. T
No deformación
posl
a su \ + tes í~ Los
ción que te metida guiad versal
SECCiÓN 5.6 Flechas sólidas no circul a re s • 229
Distribución del esfuerxo conante a lo largo de dos líneas radial es
(,)
Alabeo del área de la sección transversal
(b)
(s)
Fig.5-28
a
;1-
a-
'"o-
se
:i-
u-
w
lO. :e. ,la eel te
Mediante un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad es posible determinar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha de sección transversal cuadrada. En la figu ra 5-28a se muestran ejemplos de cómo varía este esfuerzo cortante a lo largo de dos líneas radiales de la flecha. Según se dijo anteriormente, a causa de que estas distribuciones del esfuerzo cortante varían de manera compleja, las deformaciones unitarias cortantes que generan tendrán como consecuencia un alabeo de la sección transversal conforme se muestra en la figura S-28b. En particular, observe que los puntos de las esquinas de la flecha estarán sometidos a un esfuerzo cortante nulo y, por tanto, a una deformación cortante también nula. La razón para esto puede mostrarse al considerar un elemento de material situado en uno de estos puntos, figura S-28c. Se podría esperar que la carga sombreada de este elemento esté sometida a un esfuerzo cortante con objeto de ayudar a resistir el par de torsión aplicado T . Sin embargo, esto no sucede aquí, puesto que los esfuerzos cortantes 7" y T, que actúan sobre la superficie ex terior de la flecha, deben ser cero, lo cual a su vez implica que las componentes de esfuerzo cortante correspondientes 7" y T en la cara sombreada deben ser también iguales a cero. Los resultados del análisis anterior,junto con otros resultados de la teoría de la elasticidad para flechas que tengan secciones transversales triangulares y elípticas, se muestran en la tabla 5-1. En todos los casos, el esfuerzo cortante máximo se presenta en un punto de la sección transversal que esté menos distame del eje central de la flecha. En la tabla 5-1 estos puntos están indicados con puntos negros en las secciones transversales. También se dan en la tabla las fórmulas para el ángulo de torsión de cada flecha. Extendiendo estos resultados a una flecha que tenga una sección transversal arbitraria, puede demostrarse asimismo que una flecha que tenga una sección transversal circular es más eficiente, ya que está sometida tanto a un esfuerzo cortante máximo más pequeño como a un ángulo de torsión más pequeño que una flecha que tenga una sección transversal no circular y está sometida al mismo par de torsión.
TABLA
5-'
Forma de la sección transversal
·1
,-
Cuadrada
4.81T
"
-;;>
7.10TL
di(;
Triángulo equilátero
20T
7
46TL
"'c
Bipse 2T lWú
2
(0 2 + b 2)TL Trl/lb JG
230 • CAP[TUlO 5 Torsión
EJEMPLO La flecha de aluminio 6061-T6 mostrada en la figura 5-29 tiene una sección transversal en forma de triángulo eq uilátero. Determine el par de torsión T más grande que puede aplicarse al extremo de la flecha si el esfuerzo cortaole permisible es 7perm "" 8 klbJpulg 2 y el ángulo de torsión máximo pennitido en su extremo es de q,pcrm = 0.02 rad. l.Qué par de torsión puede aplicarse a una flecha de sección circular hecha con Il'I mi"ma cantidad de material?
Solución Por inspección, el par de torsión interno resultante en cualquier sección transversal a lo largo del eje de la flecha es también T. Con las fórm ulas para 7 m b Yq, de la tabla 5-1, se requiere: T
20T a
7 pcnn = -,-:
8(10') lb/ pulg' = (
20T )' 1.5 pulg
T - 1350 lb . pulg También.
Fig.5·29
CPpcrm =
46TL --¡--e: a "'
46T( 4 pies}(l2 pulgjpie)
.,---'---'-:--'7.-"'''':0':'-:''':'--,:'-.:-
0.02 rad =
(1.5 pulg)'[3.7( IO') lb/ pulg ' )
T = J70lb'pulg
Resp.
Por comparación, se ve que el par de torsión más grande es limitado por el ángulo de torsión permisible. Sección transversal circular. Si se va a usar la misma cantidad de aluminio para una flecha de igual longitud con sección transversal circular, debemos calcular primero el radio de ésta. Tenemos: 1
,,¿ - 2" (1.5 pulg)( 1.5 sen 60") c
=
0.557 pulg
Por los requisitos de esfuerzo y ángulo de torsión se requiere: 7 pcrm
Nuevamente, el ángulo de torsión limita al par aplicable. Comparando este resultado (233 lb · pu lg) con el dado antes (170 lb , pulg).se ve que una flecha con sección transversal circular puede soportar 37% más par de torsión que una con sección transversal triangular.
SeCCIÓN 5.7 Tubos de pa red delgada con secciones transve rsales ce rradas • 231
*5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas A men udo se emplean tubos de paredes delgadas de forma no circular para const ruir estructuras de peso ligero tales como las usadas en los aeroplanos. En algunas aplicaciones pueden estar sometidas a una carga de torsión. En esta sección analizaremos los efectos de aplicar un par de torsión a un tubo de pared delgada que tenga una sección transversal cerrada, es decir, un tubo que no tenga aberturas a lo largo de su longitud. En la figura 5-300 se muestra un tubo de tal tipO. que tiene una sección transversal constante pero de forma arbitraria. Para el análisis supondremos que las paredes tienen un espesor variablet. Puesto que las paredes son delgadas. podemos obtener una soluciÓn aproximada para el esfuer.lo cortante suponiendo que este esfuerzo está distribuido uJ1jformememe a través del espesor de l tubo. En ai ras palabras podremos determ inar el esfuerzo COrlame promedio en el lubo en cualquier punto dado. Sin embargo, antes de hacerlo, veremos primero algunos conceptos preli minares con res,,] pecto a la acción del esfuerzo cortante sobre la secciÓn transversal.
,
Flujo cortante. E n las fig uras 5-300 y S-30b se muestra un elemento peq ueño del lubo. que tiene una longitud finita s y un ancho diferencial cix. E n un extremo. el elemento tiene un espesor t A , yen el otro extremo el espesor es f 8' Debido al par de torsión aplicado T. en la cara fronta l del elemento se desarrolla un esfuerzo cortante. Específicamente. en el extremo A el esfuerzo cortante es 'A , y en el otro extremo B es 'B' Estos esfuerzos pueden re lacionarse observando que esfuerzos cortantes equivalentes ' A y ' 8 deben también actuar sobre los lados longitudinales del elemento, que se muestran sombreados en la figura S-30b. Puesto que estos lados tienen espesores fA y (8 cOllstames, las fuerzas que actúan sobre ellos son d FA = 'ACtA dx) y dFB = 'BCtB cix). El equilibrio de las fuer¿as requiere que éstas sean de igual magnitud pero de sentido opuesto. de modo que: (b)
Este im portante resultado establece que el producto del esfu erzo cortante long itudinal promedio multiplicado por el espesor de/tubo es el mismo en todo punto del área trannersal del tubo. Este producto se llama fluj o de corUlnte.* q. y en términos generales puede expresarse como:
!q
T prom
!
(5·17)
Puesto que q es constante sobre la sección tra nsversal, el esfuerzo corta nte promedio más grande ocurrirá donde el espesor del tubo es más pequeíio .
• Se usa el término "flujo", ya que conceptualmente q es análogo al agua que fluye por un ca· nal abierto de sec:ión transversal rectangular con altura constante y anc ho variable .... Aun· que la velocidad vdel agua en cada punto a lo largo del canal es difere nte (igual que 'T pn>m)' el flujo q - 11'" es constante.
Fig.5-3O
232 • CAP[TULO 5 Torsión
Si un elemento diferencial que tenga un espesor t, una longitud ds y un ancho dx se aísla del tubo, figura S-30c, se ve que el área sombreada sobre la que actúa el esfuerzo cortante promedio es dA = t ds. Por tanto, d F = l'promt ds = q ds , o q = dF/ds. En otras palabras, el flujo de cortante, que es constante en el área de la sección transversal, mide la fuerza por unidad de longirud a lo largo del área de la sección transversal del tubo. Es importante observar que las componentes de esfuerzo cortante que se muestran en la figura S-30c son las únicas que actúan en el tubo. Las componentes que actúan en la otra dirección, como se muestra en la figura S-30d, no pueden existir. Ello se debe a que las caras superior e inferior del elemento están en las paredes interior y exterior del tubo, y estas superficies deben estar libres de esfuerzo. En su lugar, según se observó arriba, el par de torsión aplicado hace que el flujo de cortante y el esfuerzo promedio estén siempre dirigidos tangencialmente a la pared del tubo, de manera que contribuyan al par de torsión resultantes T.
(,)
Esfuerzo cortante promedio. El esfuerzo cortante promedio, 1'prom, que actúa en el área sombreada dA = t ds del elemento diferencial mostrado en la figura S-30c, puede relacionarse con el par de torsión T considerando el par producido por el esfuerzo cortante con respecto a un punto O seleccionado dentro de los límites del tubo, figura S-30e. Como se muestra , el esfuerzo cortante desarrdlla una fuerza dF = 1'promdA = 1'prom(t ds) en el elemento. Esta fuerza actúa tangencialmente a la línea central de la sección transversal del tubo, y, como el brazo de palanca es 11, el par de torsión es:
Superlicie libre de esfuerzo (inferior) (d)
dT = h(dF) = h(1'promtds)
Para toda la sección transversal se requiere que: T = fh1'promtdS
Aquí, la "integral de línea" indica que la integración se lleva a cabo alrededorde todo el limite del área. Puesto que el flujo de cortante q = 1'prom t es constante, estos términos reunidos pueden ser factorizados fuera de la integral, de modo que: (,)
Puede hacerse una simplificación gráfica para evaluar la integral observando que el área media, mostrada por el triángulo sombreado en la figura 5-30e, es dA m = (l(2)h ds. Entonces,
Fig. 5·30 (cont.)
SECCiÓN 5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas
Despejando
Tprom , tenemos
T Tp[om=~
(5-18)
Aquí, Tprom
= esfuerzo cortante promedio que actúa en el espesor del tubo
T = par de torsión resultante en la sección transversal. el cual se halla
usando el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio t = espesor del tubo donde se va a calcular Tprom A", = área media encerrada por la línea central del espesor del tubo. A", se muestra sombreada en la figura S-30f Puestq que q = Tproml, podemos determinar el flujo de cortante en la sección transversal usando la ecuación
(5-19)
Ángulo de torsión. El ángulo de torsión de un tubo de pared delgada de longitud L puede determinarse usando los métodos de la energía y más adelante en el texto se propone como un problema el desarrollo de la ecuación necesaria.* Si el material se comporta de manera elástico-lineal y G es el módulo de cortante, entonces este ángulo 1>, dado en radianes, puede expresarse por:
1>
TL fdS/
= 4A;,G
(5-20)
Aquí la integración debe llevarse a cabo alrededor de todo el límite del área de la sección transversal del tubo.
PUNTOS IMPORTANTES • El flujo cortante q es el producto del espesor del tubo y el esfuerzo cortante promedio. Este valor es constante en todos los puntos a lo largo de la sección transversal del tubo. En consecuencia, el esfuerzo promedio máximo sobre la sección transversal ocurre donde el espesor del tubo es mlÍS pequeño. • E l flujo cortante y el esfuerzo cortante promedio actúan tangencialmente a la pared del tubo en todos Jos puntos y en una dirección tal que contribuya al par resultante.
·Véase el problema 14·19.
• 233
234 • CAPiTULO 5 Torsión
EJEMPLO Calcule e l esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada con sección transversal circular de radio medio rm y espesor t. que está sometido a un par de torsión T. figura 5-31a. ¿Cuál es el ángulo de torsión relativo si el tubo tiene una longitud L? Solución Elfuerzo corral/te promedio. El área media del tubo es 11m - 'l'Tr~ . Aplicando la ecuación 5-18 obtenemos:
T
T prom
(.)
Disllibución del esfueno conante real (r6rmula de la torsión)
Resp.
Podemos verificar la validez de este resultado aplicando la fórmula de la torsión. En este caso, usando la ecuación 5-9, tenemos 4 J = '!!...(r 2"
'
T
= -A 2 ~ - -,t m 2'Trtr m
-
r~) ,
...
Distribución del esfuerzo cortante promedio (aproximac ión de pared delgada)
de manera que
T prom
T'm
= --
~
J
T'm 21rr,,1
--,-
~
T 21rtr",
- -,-
Resp.
(b)
Fig. 5.31
que concuerda con el resultado previo. La distribución del esfuerzo cortante promedio que actúa sobre toda la sección transve rsal del tubo se muest ra en la figura 5-3tb. También se muestra la distribución del esfu erzo corta nte que actúa sobre una línea radial, calculado con la fórmu la de la torsión. Observe cómo cada Tprom actúa en una dirección tal que con tribuye a generar un par de torsió n resultante T en la sección. Conforme el espesor del tubo disminuye, el esfuerzo cortante en todo el tubo resulta más uniforme. Ángulo de lorsión.
cP =
Aplicando la ecuación 5-20 tenemos:
~ fdS 4A~,G
1
=
TL fd'
4(1Tr~,,)2Gt
La integral representa la longitud alrededor de la línea centrallimítrofe. que es 27fr",. Sustituyendo, el resultado final es:
~ ~
TL 27Tr~"Gt
Resp.
Demuestre que se obtiene el mismo resultado usando la ecuación 5-15.
SeCCióN 5.7 Tubos de pared delgada con secciones transve~ales cerradas • 23S
EJEMPLO El tubo es de bronce C86100 y tiene una sección transversal rectangular como se muestra en la figura 5-32a. Determine el esfuerzo cortante promedio en los punlOS A y B del tubo cuando éste está sometido a los dos pares mostrados. ¿Cuál es el ángulo de torsión del extremo C! E l tubo está empotrado en E. , 3 mm
E
>-
r-= t- ~ t-
L
60
f>-Smm
t:J 40 mm
, 6ON'm (b)
1.5 m
(al
Solución
Esfuerzo cortante promedio. Si se secciona el tubo a través de los puntos A y B,el diagrama de cuerpo libre resultante es el mostrado en la figura 5-32b. El par de torsión interno es de 35 N· m. Como se muestra en la figura 5-32ll, el área A", es: Am =(0.035 m)(0.057 m)
=0.00200 m'
Aplicando la ecuación 5· 18 al punto A , fA = 5 mm. por lo que: 1' A
Estos resultados se muestran sobre elemen tos de material localizados en los puntos A y B . figura 5·32e. Note cuidadosamente cómo el par de 35 N · m en la figura 5-32b genera esos esfuerzos sobre las caras sombreadas de cada elemento. Á ngulo de torsión. De los diagramas de cuerpo libre en las figuras 5·32b y 5·32c, los pares de torsión internos en las regiones DE y CD son de 35 N . m y de 60 N· m, respectivamente. De acuerdo con la con· vención de signos establecida en la sección 5.4, estos pares son am bos positivos. Así, la ecuación 5·20 nos da:
q, ~ 0-
Resp.
(o)
3 mm , por lo que:
T
)-
::: 1.75 MPa
6ON'm
TL id'
(d)
8
~'.92 M"
,¡¡O(o)
L 4A~G "7
Fig.5-32
6ON·m(0.5m) [(57 mm) (35 mm )] = 4(0.00200 m')'(38( 10') N/ m') 2 5 mm + 2 3 mm 35N · m(1.5m)
[(57m m)
+ 4(0.00200 m')'( 38( 10') N/ m') 2 5 mm = 6.29(10- 3 ) rad
(35 mm)]
+ 2 3 mm Resp.
175 M'o
236 • CApiTU LO 5 Torsión
EJEMPLO Un tubo cuadrado de aluminio tiene las dimensiones mostradas en la figura 5-330. Determine el esfuerzo cortante promedio en el punto A del tubo cuando éste está sometido a un par de torsión de 85 lb· pie. Calcule también el ángulo de torsión debido a esta carga. Considere G al = 3.80(103 ) klb /pulg 2.
0.5 " ••,,--<'-
O.S pul,
Solución
,,)
Esfuerzo cortante p romedio. Por inspección , el par de torsión in terno resultante en la sección transversal donde se encuentra A es T = 85 lb· pie. De la figura 5-33b, el área Am que aparece sombreada. es: Am ~ (2.5 pulg)(2.5 pulg) ~ 6.25 pulg'
Aplicando la ecuación 5-18, T 85 Ib'pie(12pulg j pie) = = 163lb/pulg 2tA m 2(0.5 pulg)(6.25 pulg2 )
~ --
T
prom
Resp.
Como t es constante, excepto en las esquinas. el esfuerzo cortante promedio es el mismo en lodos los puntos de la sección transversal. En la figura 5-33c se muestra actua ndo sobre un elemento localizado en el punto A. Advierta que Tprom actúa hacia arri ba sobre la cara sombreada, contribuyendo así a generar el par T inte rno resultante en la sección.
(b)
Angulo de torsión. El ángu lo de torsión generado por Tse determina con la ecuación 5-20, esto es, lo)
La integra l en esta expresión representa la longitud de la línea central limítrofe del tubo, figura 5-33b. Así, ~ - 0.206(10- 3) pulg - I [4 (2.5 pulg)] ~ 2.06(10-3 ) cad
Resp.
SECCiÓN 5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 237
EJEMPLO
,
o
e
Un tubo delgado está hecho de 3 placas de acero A-36 de 5 mm de espesor que forman una sección transversal triangular como se muestra en la figura 5-34a. Determine el par de torsión Tmáximo a que puede quedar sometido si el esfuerzo cortante permisible es 'tperm = 90 MPa y el tubo no debe girar más de tP = 2(10- 3 ) rad.
Solución
El área Am se muestra sombreada en la figura 5-34b y es igual a: ~r-
Am
;:
'sp.
ro>la .el ea-
;ee-
=
1 2"(200 rnm)(200 mm sen 60°)
=
17.32 (103) mm2(lO-ó m1jrnm2) = 17.32(10- 3) m2
E l esfuerzo cortante promedio más grande ocurre en puntos en que el espesor del tubo es más pequeño, esto es, a lo largo de los lados y no en las esquinas. Aplicando la ecuación 5-18 con t = 0.005 m, obtene-
mos 'r prom
T T 90(10') N/ m' ~ ----,,---'-------.-~,-= 2lA ; 2(0.005 m)(17.32(1O-') m') m T = 15.6kN-m
De la ecuación 5-20 tenemos:
q,~~fdS 4A;,G
m,0.002 rad
~
I
T(3 m) 4(17.32(10 ') m)'[75(10') N/ m'] 300.0 =
f
ds (0.005 m)
TfdS
La integral representa la suma de las dimensiones a lo largo de los tres lados de la línea central limítrofe. Así,
Ira1
esp.
300.0 ~ T[3(0.20 m)] T = 500N-m
Resp.
Por comparación, la aplicación del par de torsión está restringida por el ángulo de torsión .
(b)
Fi'jl:.5-34
238 • CAPíTULO 5 Torsión
PROBLEMAS *5-88. La barra de aluminio tiene una sección transversal cuadrada de 10 mm por 10 mm. Determine el par de torsión T necesario para que un extremo gire 90° con respecto al otro, si la barra tiene 8 m de longitud. G al = 28 OPa, (TY)al == 240 MPa.
F
Probs. 5·91192
Prob. 5·88
5·89. Determine la cantidad en que se incrementa el esfuerzo cortante máximo en una flecha con sección elíptica respecto a una flecha con sección transversal circular si ambas flechas resisten el mismo par de torsión. 5·90. Si a = 25 mm y b = 15 mm, determine el esfuerzo cortante máximo en las flechas circular y elíptica cuando el par de torsión aplicado es T = spN ·m.¿En qué porcentaje es más eficiente para resistir el par de torsión la flecha de sección circular que la flecha de sección elíptica?
5-93. La flecha está hecha de plástico y tiene una sección transversal elfptica. Si está sometida a la carga torsional mostrada, determine el esfuerzo cortante en el punto A y muestre el esfuerzo cortante sobre un elemento de volumen localizado en este punto. Además, determine el ángulo de torsión q,en el extremo B. Gp = 15 G Pa.
A
/
1m
Imx::' 1.5my /
I
B
Prob.5-93
b
Probs. 5·89190
5-94. La flecha de sección cuadrada se usa en el extremo de un cable impulsor con el fin de registrar la rotación del cable e n un aparato medidor. Si tiene las dimensio nes mostradas y está sometida a un par de 8 N . m. determine el esfuerzo cortante en el punto A de la flecha. Esboce el esfuerzo cortante sobre un elemento de volumen situado en este punto.
5-91. La flecha de acero tiene 12 pulg de longitud y se atornilla a la pared por medio de una llave. D etermine las fuerzas Fdel par máximo que pueden aplicarse a la flecha sin que el ace ro fluya. Ty = 8 klb /pulg2 .
*5-92. La flecha de acero tiene 12 pulg de longitud y se atornilla a la pared por medio de una llave. Determine el esfue rzo cortante máximo en la flecha y la magnitud del desplazamiento que experimenta cada fuerza del par si éstas tienen una magn itud F = 30 lb. G ae = 10.8(10') klb /pulg 2•
Prob.5·94
PROBLEMAS
5·95. La flecha de aluminio está empotrada en sus extremos A y B. Determine las reacciones en los empotramientos cuando se somete a un par de torsión de 80 lb· pie en C. La flecha tiene sección tnlnsversal cuadrada de 2 pulg por 2 pulg. También. ¿cuál es el ángulo de torsión en C? G"I = 3.8(1cY) klbj pulg 2.
A
•
239
5-98. El tubo de plástico está sometido a un par de torsión de 150 N· m. Determine la dimensión media a de sus lados si el esfuerzo cortante permisible Tpcrm = 60 MPa. Cada lado tiene un espesor I = 3 mm. Desprecie las concentraciones de esfuerzos en las esquinas. 5-99. El tubo de plástico está sometido a un par de to rsión de 150 N· m. Determine el esfuerzo cortantc promedio en el tubo si la dimensión media a = 200 mm . Cada lado tiene un espesor I = 3 mm. Desprecie las concentraciones de esfuerzos en las esquinas.
Prob. 5·95
o
,]
y
,,-
*5-96. Se quiere fabricar una barra circular para resistir un par de torsión: sin embargo, la barra resulta con sección transversal elíptica durante el proceso de manufactura , con una dimensión más pequeña que la aIra por un factor k como se muestra . Determine el factor por el que se ¡ncrementa el esfuerzo cortante máximo.
Probs. 5-98/99
*5-100. Determine el espesor constante del tubo rectangular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder dc 12 klbf pulg 2 cuando se aplica un par de torsió n T = 20 klb· pulg al tubo. Desprecie las concentraciones de esfuerzos en las esquin2.s. Se muestran las dimensiones medias del tubo. 5-101. D etermine el par de torsión T que puede aplicarse al tubo rectangular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder de 12 klbfpulg2. Desprecie las concentraciones de esfuerLOs en las esquinas. Se muestran las dimensiones medias del tubo y su espesor es de 0.125 pulg.
Prob.5-96
o
,]
;,]
;-
5-97. Se aplica un par de torsión T a dos tubos con las secciones transversales mostradas. Compare el flujo de cortante desarrollado en cada tubo.
n
, ,
1
u--e
"
j---u --J
r - 11 Pro b.5-97
Probs. 5-1001101
240 • CAPITULO 5 Torsión
5-102. Se aplica un par de torsión de 2 klb· putg al tubo que tiene un espesor de 0.1 pulg en su pared. Determine el esfuerzo cortante promedio en el tubo.
*5-]04. El tubo de acero tiene una sección transversal elíptica con las dimensiones medias mostradas y un espesor constante t == 0.2 pulg. Si el esfuerzo cortante permisible es 'Tperrn = 8 klbj pulg 2 y el tubo debe resistir un par de torsión T == 250 lb · pie, determine la dimensión b necesaria. El área media de la elipse es Am = 1I"b(0.5b).
Pr(lb.5·102 Prob.5-104
5-103. El tubo está hecho de plástico, su pared es de 5 mm de espesor y tiene las dimensiones medias mostradas. Determine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y B cuando está sometido al par de torsión T = 5 N· m. Muestre el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen localizados en esos plln los.
S-lOS. El tubo está hecho de plástico, tiene 5 mm de espesor y las dimensiones medias son las mostradas. Deter. mine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y B cuando el tu bo está sometido al par de torsión T = 500 N· m. Muestre el esfuer.m cortante sobre elementos de volumen localizados en esos puntos. Desprecie las concentraciones de esfuerzos en las esquinas.
40-" -'''''' Probo S·103
Prob.5·105
PROBLEMAS
5-106. Una porción del fuselaje de un avión puede aproximarse por la sección transversal mostrada. Si el espesor de su pared de aluminio 2014-T6 es de 10 mm, determine el par de torsión máximo T que puede aplicarse si Tperm = 4 MPa. Además, determine el ángulo de torsión en una sección de 4 m de longitud.
•
241
*5-108. El tubo exagonal de plástico está sometido a un par de torsión de 150 N · m Determine la dimensión media a de sus lados si el esfuerzo cortante permisible es Tperm = 60 MPa. Cada lado tiene un espesor I == 3 mm.
-
t?' 07~ -?-
~
ry I
2m
->;--
~
O. 75
>t
I
~
Prob.5-108
5-109. Debido a la fabricación. el círculo interior del tubo es excéntrico con res peto al círculo exterior. ¿En qué porcentaje se reduce la resistencia torsional cuando la excentricidad e es igual a un cuarto de la diferencia de los · radios?
Prob.5-106
/------.. ....... I
/
5-107. El tubo simétricó está hecho de un acero de alta resistencia con las dimensiones medias mostradas y con un espesor de 5 mm. Determine el estuerzo cortante promedio desarrollado en los puntos A y B cuando se somete a un par de torsión T= 40N' m. Muestre el esfuerzo cortante en elementos de volumen localizados en esos puntos.
I
"
a+b - 2-
\
\
~
\
\
I
eJ 1.... e
\,
\
b
(1
2 ...............
"2
_---/
J
/1
Prob.5-109
5-110. Para un esfuerzo cortante máximo dado, determine el fac tor en que se incrementa la capacidad de tomar un par de torsión si la sección semicircular se invierte de la posición punteada a la sección mostrada. El tubo tiene O. t pulg de espesor.
r
r- 1.80 pulg ----j
1.20 pulg
L~~ Prob.5-107
Prob.5-UO
242 • CApITULO 5 Torsión
5.8
L
Concentración de esfuerzos
(.)
La fórmula de la torsión , Tmá x = TcjJ, puede aplicarse a regiones de una flecha que tenga una sección transversal ci rcular constante O un ligero ahusamiento. Cuando se presentan cambios bruscos en la sección transversal, tanto la distribución de esfuerzo cortante como la distribución de deformación corlante en la flecha se vuelven complejas y pueden obtenerse sólo por e l uso de métodos experime ntales o posiblemente por un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad. En la figura 5-35 se muestran tres discontinuidades de la sección t ransversal comunes en la práctica. Ellas son [os copIes, que se usan para conectar dos flechas colineales entre sí, figura 5-35a; los cuñeros, usados para conectar engranes o poleas a una flecha , figura 5-35b, y los fifetes, utilizados para fabricar una flecha colineal única de dos flechas que tienen diámetros diferente~ figura 5-35c. En cada caso el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en el punto indicado de la sección transversal. Con objeto de eliminar la necesidad de llevar a caho un análisis complejo de esfuerzo en una discontinuidad de la fl echa , el esfuerzo cortante máximo puede dete rminarse para una geometría especificada usando un f"clOr de concentración de esfu erzos torsionales, K. Como en el caso de miembros cargados axialmente, sección .4.7, K ~s por lo regular tomado de una gráfica. En la figura 5-36 se muestra un ejemplo de una flecha con file tes. Para usar esta gráfica, primero se calcula la relación geométrica
(o,
1.9 1.8 1.7
1.6 K
1.5 lA
U
1.2 l.l
1.0 0.00
•I
d
I I
, ,
2.0
Fig. 5-35
:
0.05
O. JO
0. 15
,
-¡¡ Fig. 5-36
0.25
0.30
~ una igero ransjn de obtee por "¡gura lUnes echas ngrarabri·erenen el
com:tante do un ISO de mado la con étrica
SECCiÓN 5.8
Concentración de esfuerzos • 243
D /d para definir la curva apropiada y después, una vez calculada la abscisa r/d, se halla el valor de K a lo largo de la ordenada. El esfuerzo cortante máximo se determina según la ecuación: (5-21)
Aquí, la fórmula de la torsión se aplica a la más pequeña de las dos fle chas conectadas, puesto que "1"mh ocurre en la base del fi lete, figura 5-35c. Puede observarse en la gráfica que un aumento en el radio r del filete causa una disminución de k. Por tanto, el esfuerzo cortante máximo en la flecha puede reducirse aUlI1emalldo el radio del filete. También, si se reduce el diámetro de la [[echa más grande, la relación D Id será menor, así como el valor de K. y por tanto "1"mh será menor. Como en el <:':"1S0 de miembros cargados axialmente.los factores de concentración de esfuerzos torsionantes deben utilizarse siempre que se diseñen flechas de materiales frágiles , o cuando van a e·star sometidas a fa ligll o a cargas de torsión cíclicas. Estos tipos de carga dan lugar a la formación de grietas en la zona de concentración de esfuerzos, y esto puede a menudo conducir a una faJla súbita de la [[echa. Obsérvese también que si se aplica una carga torsional estática grande a una flecha fabricada de un material dúctil , entonces pueden desarrollarse deformaciones il1e/ásticas en la flecha. Como resultado de la fluencia , la distribución del csfuerzo estará distribuida más suavemente en la flecha , de modo que el esfuerzo máximo que resulte no estará limitado a la zona de concentración de esfuerzos. Este fenómeno se estudiará más ampliamente en la sección siguiente.
PUNTOS IMPORTANTES • Las concentraciones de esfuerzos en flechas ocurren en puntos de cambios repentinos en la sección tTansversal. como acoplamientos o cuñeros y filetes. Entre más severo es el cambio, mayor será la concentración de los esfuerzos. • Para el análisis o el diseño, no es necesario conocer la distribución exacta del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Es posible obtener el esfuerzo cortante máximo usando un factor K de concent ración de esfuerzos,que ha sido determinado mediante experimentos y es sólo una fu nción de la geometría de la flecha. • Normalmente. la concentración de esfuerzos en una flecha dúctil sometida a un par de torsión estático no tendrá que ser considerado en el diseño. sin embargo, si el material es frágil , o está sometido a cargas de fatiga , entonces las concentraciones de esfuerzos resulmn importantes.
Las concentraciones de esfuertos pueden ocurrir cn cl aooplnmiento de estas flechas, Jo que debe tom¡lrSe en cuenta al diseñar el acoplamiento.
244 • CAPíTULO 5 Torsión
E J EMPLO La flecha escalonada mostrada en la figura 5-37a está soportada por cojinetes en A y B. D etermine el esfuerzo máximo en la fl echa debido a los pares de torsión aplicados. E l filete en la unión de cada flecha tiene un radio r de 6 mm .
Fig. 5-37
Solución
Par de torsión interno. Por inspección , el equilibrio por momento respecto al eje de la flecha se satisface. Como el esfuerzo cortante máximo ocurre en los extremos de las raíces de las flechas de menor diámetro, el pa r interno (30 N· m) puede encont rarse ahí aplicando el método de las secciones, figura 5-37b.
T"",,=3.JOMPa
Esfuerzo cortante m áximo. El facto r de concentración de esfuerzos puede determinarse usando la figura 5-36. De la geometría de la flecha tenemos: D d
,
Distribución del esfuerzo cortante predicha por la fónnuJa de la torsión
d
Distribución real del esfuerzo cortante seg ún la concelllración
de esfuel'7.OS
2(40 mm) 2(20 mm)
~2
6 mm 2(20 mm) ~ 0.15
Con estos parámetros se obtie ne K = 1.3. Aplicando la ecuación 5-21, tenemos;
(e)
Te
Tmb
=K ¡;
T máJl;=1.3 [
30 N · m(0.020
ffi) ]=3.10MPa
(w j 2)(0.020m)
4
Resp.
Por evidencia experimental. la distribución real de los esfuerzos a lo largo de una línea radial en la sección transversal de la sección crítica tiene una forma similar a la mostrada en la figura 5-37c , yen la cual se compara con la distribución lineal de esfuerzos obtenida con la fórmula de la torsión.
SECCIÓN 5.9 Torsión ¡nelástica • 245
*5.9 Torsión inelástica or do
ie-
Las ecuaciones para el esfuerzo y la deformación desarrolladas hasta ahora son válidas solamente si el par de torsión aplicado ocasiona que el material se comporte de manera elástico-lineal. Sin embargo, si las cargas de torsión son excesivas, el material puede fluir y, por consiguiente, deberá usarse entonces un "análisis plástico" para determinar la distribución del esfuerzo cortante y el ángulo de torsión. Para llevar a cabo este análisis es necesario satisfacer las condiciones tanto de deformación como de equilibrio en la flecha. En la sección 5. 1 se mostró que las deformaciones unitarias cortantes que se desarrollan en el material deben variar Iinealmellle desde cero en el centro de la flech a hasta un máximo en su límite exterior. figura 5-38a. Esta conclusión se basó enteramente en consideraciones geométricas y no en el comportamiento del material. También el par de torsión resultante en la sección debe ser equivalente al par de torsión causado por toda la distribuciÓn de esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Esta condición puede expresarse matemáticamente considerando e l esfuerzo cortante T que actúa sobre un elemento de área dA localizado a una distancia p del centro de la fl echa, figura 5· 38b. La fuerza producida por este esfuerzo es (IF = T dA, Y el par de torsión producido es liT = P (1 F = prdA. Para toda la flecha se requiere que: (5-22)
T= IprdA A
lOS
:ha
Si el área dA sobre la cual actúa rpuede definirse como un anillo diferencia/ que tiene un área de dA = 2np dp, fi gura 5-38c, entonces la ecuación anterior puede escribirse como: (5-23)
Estas condiciones de geometría y ca rga será n usadas ahora para determinar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha cuando está sometida a tres tipos de par de torsión.
Par elástico máximo. Si el par de torsión produce la máxima deformación unitaria cortante elástica yy en el limite exterior de la flecha, entonces la distribución de la deformación unitaria cortante a lo largo de una línea radial de la flecha será como la mostrada en la fi gura 5-39b. Para establecer la distribución del esfuerzo cortante, debemos usar ya sea la ley de Hooke o hallar los va lores correspondientes del esfuerzo cortante a partir del diagrama T--y del material, figura 5-39a. Por ejemplo. una deformación unitaria cortante yy produce el esfuerzo cortante Ty en P = c. De la misma manera, en P = PI> la deformación unitaria cortante es YI = (p¡jc)yy. Según el diagrama T--Y , Y¡ produce TI- Cuando estos esfuerzo y otros como ellos se trazan en p = e, p = PI' etc., resulta la distribución de esfuerzo cortante lineal esperada en la figura 5-39c. Puesto que esta distribución de esfuerzo cortante puede describirse matemáticamente como , = ,y (pIe). el par máximo de torsión elástica puede determinarse a partir de la ecuación 5-23, es decir, T y = 271'
r
Ty(~>2 dp
o r.
Ty = ~..tyC
3
(5-24)
Este mismo resultado puede. por supuesto, obtenerse de una manera más directa usando la fórmula de la torsión, es decir, Ty = T ydI( 7f¡2)c4J. Además. el ángulo de torsión puede determinarse a partir de la ecuación 5-13, como sigue:
dq,
~
dx
(5-25)
yp
Como se obse rvó en la sección 5.4, esta ecuación da por resultado cp = TLfJG, cuando la flecha está sometida a un par de torsión constante y tiene un área transversal constante. Par de torsión elastoplástico. Consideremos ahora que el material de la flecha exhibe un comportamiento plástico perfectamente elástico. Como se muestra en la figura 5-40a . esto está caracterizado por un dia-
,
, L-~~--------______
YI
Yr
,.,
r
,
Di$tribuc.iÓn de [¡, deform~ción unitaria eon~ntc (b)
Hg. 5-39
Distribución del esfuerzo conallle
,,'
5~cClót~
fo ren, de Po"a la mte de-
:=
C.
Yl =
zoy
de dis,mn par-
1
-24)
5.9 Torsión ¡nelástica
• 247
grama esfuerzo-deformación unitaria cortante en que el material experimenta una cantidad creciente de deformación unitaria cortante cuando el esfuerzo cortante en el material alcanza el punto de flueneia Ty. Entonces, a medida que el par de torsión aplicado vaya aumentando en magnitud arriba dc T y, comenzará a presentarse la nuencia . Primero en el lími te exterior de la flecha. p = e, y luego. según la deformación unitaria cortante vaya
Jera
T = 2rr f Tp2dP
le'].
ción
+ 2rr (
= 2rr f r (TY ;y)p2 dp
-25)
..
I
i"
rr
4
tie-
= -, - 7 ypy -pv
;.orial tico. dia-
'"
2~
~ -T,y p3 dp py o
~
~
rrT y
-
6
+
2rrTy
J'
/ dp
PI"
21T 3 + -3 í y(C
~
Typ 2 dp
3
- py )
3
(4c' - py)
(5-26)
Anillo plástico
,
,
"f-,----,------
/
'--eY,--~,L.,-------
'" Y"
Núcleo elástico
Y
Distribución de la deformacióu unilaria con ante
Di stribución del csfuerlO conante
(b)
(,)
Fig.5.40
248 • CApiTULO 5 Torsión
Par de torsión plástico. Un aumento adicional de Ttenderá a reducir el radio del núcleo elástico hasta que todo el material fluya, es decir, py ~ O, figura 5-40b. El material de la flecha está entonces sometido a un comporramiento perfectamente plástico y la distribución del esfuerzo cortante es constante, como se muestra en la figura 5AOd. Puesto que entonces 'T = Ty, podemos aplicar la ecuación 5-23 para determinar el par de rorsión plástico, Tp , el cual representa el par de tonión más grande posible que la flecha puede soportar. Tp = 2rr ~
r
'T yp 2
dp
o
2" --'Tyc)
(5-27)
3
Por comparación con el par de torsión elástico máximo T y, ecuación 5-24, puede verse que: 4 T = -T-y p 3
Severa torcedura de un espécimen de aluminio causada por la aplicación de un par de torsión plástico.
En otras palabras, el par de torsión plástico es 33% más grande que el par de torsión elástico máximo. El ángulo de torsión ~ para la distribuc.ión del esfuerzo cortante en la fig ura 5-40d no puede ser definido en forma única. Esto es porque T = 'Ty no corresponde a ningún valor único de la deformación unitaria cortante "( 2: "(y. En consecuencia, una vez que T p se aplica, la flecha continuará deformándose o torciéndose, sin ningún aumento correspondiente en el esfuerzo cortan te. Par de torsión último. En general, la mayoría de los materiales de ingeniería tendrán un diagrama esfue rzo-deformación unitaria cortantes como el que se muestra en la fig ura SAl a. Por consiguiente si T aumenta de modo que la deformación unitaria cortante máxima en la flecha resulte y = y", figura 5-41b, entonces, por proporción, 1'yocurre en py = (1'yh,,)c. D e igual manera, las deformaciones unitarias cortantes en, digamos, p = PI Y P = P2 pueden ser halladas por proporción, es decir, 1'1 = (p¡/c)y" y "(2 = (Pt./c)y" . Si se toman valores correspondientes de TI, 'Ty, 'T2 Y 'T" del diagrama 'T-1' y se trazan, obtenemos la distribución del esfuerzo cortan-
Anillo
plástico
Y'
"'f-~------,----------
1/
Núcleo elástico
Y
Y'
Distribución de la deformación unitaria cortante
Par de torsión totalmente plástico
(,)
(0
(d)
Fig.5-40 (oont.)
SECCiÓN 5.9 Torsión inelásti(a
,el ,0,
nn-
. n-
Ices
ror-
ible
-27) -24,
!par ~n
te, que actúa sobre una línea radial en la sección transversal, figura 5Alc. El par de torsión producido por esta distribución del esfuerzo se llama par de torsión último, T" , puesto que cualquier aumento posterior en la deformación unitaria cortante causará que el esfuerzo cortante máximo en el límite exterior de la flecha sea menor que 7",,, y. por tanto, el par de torsión producido por la distribución de esfuerzo cortante y resultante se. ría menor que Tu_ La magnitud de T" puede determinarse integrando "gráficamente" la ecuación 5-23. Para ello se segmenta el área de la sección transversal de la flecha en un número finito de anillos, tal como el que se muestra sombreado en la figura 5-41d. El área del anillo, ilA = 2Trp I1p, se multiplica por el esfuerzo cortante 7" que actúa sobre ella, de modo que la fuerza I1F = 7" 6.A puede determinarse. El par de torsión creado por esta fuerza es, entonces, 6. T = p 6.F = p (rilA). La suma de todos los pares de torsión en toda la sección transversal , así determinada, da el par de torsión último T,,; esto es, la ecuación 5-23 se convierte en T" = 2TrI Tp2 6.p. Por otra parte, si la distribución del esfuerzo puede expresarse como una función analítica, T = f(p),como en los casos del par de torsión elástica y plástica, entonces la integración de la ecuación 5-23 puede llevarse a cabo directamente,
la
= 7"y ante
uará
,
y,
T(
Yr Y2 Y.
, P
e in-
eota sulte
Disuibución de la deformación unilaria cortante última (bJ
Distribuc ión del esfuerzo cortante úllimo
Yu)c.
(,j
(d)
Fig.5-41
. p=
hu y
¡, del
rtan-
,
PUNTOS IMPORTANTES • La distribución esfuerzo-deformación unitaria sobre una línea radial se basa en consideraciones geométricas, y se encuentra que siempre permanece lineal. Sin embargo. la distribución esfuerzo cortante depende del par aplicado y debe por lo tanto ser determinada a partir del comportamiento del material. o diagrama esfuerzo-defonnación unitaria cortante. • Una vez que se ha establecido la distribución esfuerzo cortante para la flecha , ella produce un par de torsión respecto al eje de la flecha que es equivalente al par de torsión resultante que actúa sobre la sección transversal.
• El comporramiento perfectameme plástico supone, que la distribución de esfuerzo cortante es constante, y que la flecha continuará torciéndose sin un incremento del par. Este par de torsión se llama par de torsión plástico.
./
/
'f--c /
1/
y.
('j
t.A ,;. 21rpt.p
!o el
mtes
.,
• 249
'.
6,
y
250 • CAPíTULO 5 Torsión
EJEMPLO La flecha tubular en la figura 5-42a está hecha de una aleación de aluminio que tiene el diagrama elastoplástico T-",! mostrado. Determine (a) el par de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha sin que el material fluya, (b) el par de torsión máximo o par de torsión plástico que puede aplicarse a la flecha. ¿Cuál debe ser la deformación unitaria cortante mínima en el radio exterior para que se desarrolle un par de torsión plástico? Solución 30 mm
Par de torsión elástico máximo. Se requiere que el esfuerzo cortante en la fibra exterior sea de 20 MPa. Usando la fórmula de la torsión, tenemos:
T(MPa)
T
T),c __ _o Y -
J '
6
T y (0.05 m)
2
20(10 ) N/ m = ( ../ 2)[(0.05 m)' _ (0.03 m)'] T y = 3.42
201--, - - - -
Resp.
kN'!ll
Las distribuciones del esfuerzo cortante y de la deformación unitaria cortante para este caso se muestran en la figura 5-42b. Los valores en la pared interior del tubo se obtienen por proporción.
/
r (rad)
0.286(10- 3) (,)
Par de torsión plástico. La distribución del esfuerzo cortante en este caso se muestra en la figura 5-42c. La aplicación de la ecuación 5-23 requiere que T = Ty. Tenemos: o.os m 1 10.05 m Tp = 2,,[20(10') N/ m']p' dp = 125.66(IO')3 P3
i=.
=.
= 4.10 kN · m
Resp. Para este tubo, Tp representa 20% de incremento en la capacidad por par de torsión en comparación con el par elástico T y .
Distribucióo dcl esfucno coname elástico
Deformación unitaria cor/allte eIJ el radio exterior. El tubo se plastifica totalmente cuando la deformación unitaria cortante en la pared il1ferior es de 0.286(10- 3 ) rad, según se muestra en la figura 5-42c. Como la deformación unitaria cortante permanece lineal sobre la sección transversal. la deformación unitaria plástica en las fibras exteriores del tubo en la figura 5-42c se determina por proporción; esto es,
0.286(10-3 ) rad
Yo
0. 172 (IO - J )rad
50mm 300101 "Yo = 0.477(10- 3 ) rad
Distribución de la deiormaci 6n unitaria conmHe elástica
R esp.
(b)
~llij
Fig.5-42
0.477 (10-3) rad
0.286 ( IO- J ) rad
Distribución de la ddormaci6n uniwria cortame pláslica inicial
Distribución dcl esfuerzo conante plástico (,)
SECClÓ~
5.9 Torsión ¡nelástica
• 251
EJEMP L O Una flecha sólida circular tiene un radio de 20 mm y longitud de \ .5 m. El matcrial tiene un diagrama T-Y elastoplástico como el mostr ado en la figura 5-43a. Determine el par de torsión necesario para torcer la flecha un ángulo q, = 0.6 rad. "T (MPa)
75f---,-- - - , . - - - -
1/
'----,L---,-_ _--,L,,--____ 0,0016
y (rad)
0.008
", Solución
Para resolver el problema obtendremos primero la distribución de la deformación cortante y luego la distribución del esfuerzo cortante. Una vez determinado esto. puede fijarse la magnitud del par buscado. La deformación cortante máxima ocurre en la superficie de la flecha , es decir, en p = c. Como el ángulo de torsión es q, = 0.6 rad en toda la longitud de 1.5 m de la flecha, usando la ecuación 5-25 para loda la Ion· gitud, tenemos:
L
Ymáx(1 .5 m) (0.02 m)
0.6 ~
'" ~ y -p o
Ymá~
Yy= 0.0016 rad
r máx ::: 0.008 rad 20 mm
,,
Dislribución de la deformación unilaria cortante
,b,
= 0.008 rad
La deformación cortante, que siempre varía linealmente, se muestra en la figura 5-43b . Note que el material fluye ya que l'máx > l'y = 0.0016 rad en la figura 5-43a. El radio del núcleo elástico, py, puede obtenerse por proporción. De la figura 5-43b , py 0.0016
Ty
0.02 m
0.008
py = 0.004 m = 4mm
Pr-=4mm
En la figura 5-43c se muestra la distribución del esfuerzo cortante, trazada sobre un segmento de línea radial, con base en la distribución de la deformación carIan le. El par de torsión puede ahora obtenerse usando la ecuación 5-26. Sustituyendo los datos numéricos, se obtiene:
Dislribución del esfuerl.O cortante
", Hg. 5-43
T
~
~ =
1TTy
3
3
- 6- (4C - py)
w[75(IO') N/ m'] 6
1.25kN· m
=75MPa
20 mm '-,f-J..J...l..l..j
[4(0.02 m)' - (0.004 m)']
Resp.
252 • CApITULO 5 Torsión
*5.10
Esfuerzo residual Cuando una flecha está sometida a deformaciones por cortante plástica causadas por torsión, el reti ro del par de torsión ocasionará que cierto esfuerzo corlante permanezca en la flec ha. Este esfuerzo se llama esfuerzo residual, y su distribución puede calculanie usando los principios de superposición. La recuperación elástica fue analizada en la sección 3.4, y se refiere al hecho de que cuando un material se deforma plásticamente, parte de la deformación del material se recupera cuando la carga se retira. Por ejemplo si un material se deforma a 'YI , mostrada por el punto e en la curva r-yde la figura 5-44, el retiro de la carga causará un esfuerzo cortante invenia, de modo que el comportamiento del material seguirá el segmento CD en línea recta, creando cierta reCl/peración eláslica de la deformación corta nte 11' Esta línea es paralela a la porción inicial AS en línea recta del diagrama r-'}', Ypor tanto ambas líneas tienen una pendiente G como se indica. Para ilustrar cómo puede determinarse la distribución de esfuer.lO residual en una flec ha, primero consideremos que la flecha está sometida a un par de torsión plástica Tr Como se explicó en la sección 5.9, T p crea una distribución del esfuerzo cortante como se muestra en la figura 5-45a. Supondremos que esta distribución es una consecuencia de la deforma-
,
Comportamiemo elastopl:\stico del material
.-::'......____-.c
La rttupemeión elástica mbimaes 2Yy Comportamiemo elástico invertido del material
-',f-----~
D
Flg. S-44
SECCIÓN 5.10 Esfuerzo residual
ción del material en el límite exterior de la flecha hasta 1'1 en la figura 544. También,que 1'1 es lo suficientemente grande como para que se pueda suponer que el radio del núcleo elástico tiende a cero, esto es, 1'1 » I'y. Si Tp se retira, el material tiende a recuperarse elástict/n1eme, a lo largo de la línea CD . Puesto que ocurre un comportamiento elástico, podemos superponer sobre la distribución de esfuerzos en la figura 5-45a una disuibllción lineal de esfuerzos causada al aplicar el par de torsión plástica Tp en la dirección opuesta, figura 5-45b. Aquí el esfuerzo corlante máximo "T" calculado para esta distribución del esfuerzo, se llama mód1llo de ruptura por torsión. Se determina a partir de la fórmula de la torsión,· lo cual da: T
PIIl" de torsión plástico aplicado que ¡encn!. dcronnaciones unitarias cortantes en toda la flecha (.)
Tp '
, = -J-
(,,/2),'
Usando la ecuación 5-27, T, -
((2/ 3)"Ty" )' (,,/ 2),'
4 = 3 "T y
Observe que aquí es posible la aplicación invertida de T p usando la distribución lineal de esfuerzo cortante de la figura 5-45b, puesto que la recuperación máxima de la deformación elástica por cortan te es 21'Y, como se vio en la figura 5-44. Esto corresponde al esfuerzo corlante máximo aplicado de 2"Ty el cual es mayor que el esfuerzo cortante máximo de f 1"y calculado anteriormente. De aquí que, por superposición de las distribuciones del esfuerzo que impliquen la aplicación y luego el retiro del par de torsión plástico, tenemos la distribución del esfu erzo cortante residual en la flecha , como se muestra en la figura 5-45c. Deberá observarse en este diagrama que el esfuerzo cortante en el cent ro de la flecha , mostrado como 1"y, debe realmente ser cero, puesto que el material a lo largo del eje de la flecha no está defonnado. La razÓn de que esto no sea así es que hemos supuesto que IOdo el material de la flecha fue dcfonnado más allá del límite proporcional como objeto de determinar el par de torsión plástico, figura 5-45a. Para ser más realistas, cuando se modela el comportamiento del material debe considerarse un par de torsión elastoplástico. Esto conduce así, a la superposición de las distribuciones de esfuerzos que se muestran en la figu ra 5-45d.
Par de torsión plástico invertido que cau$3. defOlTTlaciones unitarias elibticas en toda la necha (b)
Di!tribución del esfuerzo conulte residual en la necha
+ Par de torsión elasloplál\Íco aplicado
Par de torsión elastoplástico invertido
Distribución del esfum:o cortante residual en la flecha
(d)
Fig.5-45 -La rórmula de la lors:6n es vá.lida sólo cuando el material se comporta de manera elástico-lineal: sin embargo. el módulo de ruptura se llama así porque se supone que el material se comporta e lásticamente y luego se rompe repentinamente en el limi te proporcional.
(o)
•
253
2S4 • CAPíTULO 5 Torsión
EJEMPLO Un tubo está hecho con una aleación de latón: tiene 5 pies de longitud y el área transversal mostrada en la figura 5-46a, El material tiene un diagrama elasloplástico 7'-y, también mostrada en la figura 5-46a. Deterc¡ =lpulg
mine el par de torsión plástica Tp • ¿Cuál es la distribución del esfuerzo cortante residual y el ángulo de torsión permanente del tubo si Tp se remueve jusramente después de que el tubo queda totalmente plastificado? Soludón Par de ton..;ón plástica. El par de torsión plástica T p deformará el tubo de modo que todo el material fluya . La distribución de esfuerzos será como la mostrada en la figura S-46b. Aplicando la ecuación 5-23, tenemos:
(a), En el momento en que el tubo queda totalmente plastificado, la fluen12 klblpulg- Cla . ha comenza d o en el ra d'" . 10 mterlor,es declr,en el = 1 pulg, ')'y = 0002 . (b) rad, figura S-46a. El ángulo de torsión que se presenta puede determinarse con la ecuación 5-25, que para el tubo en tero da:
t:/J Par de torsión plástica aplicado
(e)
L = ')' p
Y C¡
=
(0.002)(5 pies)(12 pulg/ pie) (1pulg)
=
0.120 rad
~
Cuando se remueve Tp , o en efecto se reaplica en sentido opuesto, debe superponerse la distribución de esfuerzo cortante lineal "ficticia" mostrada en la figura 5-46c a la mostrada en la figura 5-46b. En la figura S-4óc, el esfuerzo cortantc máximo o el módulo de ruptura se calcula con la fórmula de la torsión:
También, en la pared interior del tubo el esfuerzo eortanle es:
2.93 klblpul g2
Distribución del esfuerzo cortante residual
Hg. 5·46
)(1
PUlg) = 7.47 klb/pulg 2 2 pulg De la figura 5-46a, G = 7'yj-yy = 12 klb/ pulg 2/ (0.002 rad) = 6000 klb j pulg2, por lo que el ángulo correspondiente de torsión t:/J;, al remover T p , es entonces: Ti =
En la figura 5-46d se mueSlra la distribución del esfuerzo corlanfe residual resultante. La rotación permanente del tubo después de que T" se
ha removido es:
¡+
t:/J = 0.120 - 0.0747 = 0.0453 rad ~
Resp.
• PROBLEMAS
•
255
PROBLEMAS 'tud ! un
!ter-
erzo
5-111. La flecha de acero está hecha de dos segmentos, AB y BC,coneetados por medio de un filele de soldadura con radio de 2,8 mm, Determine el esfuerLO cortante má· ximo desarroltado en la flecha.
nue-
5-114. La flecha compuesta está diseñada para girar a 720 rpm mientras transmite 30 kW de potencia girando a 720 rpm. ¿Es esto posible? El esfuerzo cortante permisible es 'Tperm;;: 12 MPa. 5-115. La flecha compuesta está diseftada para girar a 540 rpm. Si el radio del fi lete que conecta las flecha s es r ;;: 7.20 mm y el esfuerzo conante permisible del mal';l i.,1 es 1'pe"" = 55 MPa, determine la potencia máxima que la flecha puede transmitir.
?
tubo
! colos:
ProboS-tll ~esp-
uen-
).002 :rmi-
.5-112. La flecha se usa para transmitir 0.8 hp girando a 450 rpm. Detennine el esfuerzo cortante máximo en la flecha. Los ~egmentos están conectados por medio de un fi· lete de soldadura con radio de 0.075 pulg.
Probs. 5-1I4fllS
. 5-1 16. El acero usado para la flecha tiene un esfuerLo cortante permisible 1'1It"" - 8 MPa. Si los miembros están conectados media nte un filete de soldadura de radio r ;;: 2.25 mm, determine el par de torsión T máximo que puede aplicarse.
:t. de-
mos-
¡gura a con Probo S·1U
5-113. El conjunto está sometido a un par de torsión de 710 lb·pulg. Determine el radio del filete de menor tama· ño que puede usarse para transmitir el par si el esfuerzo cortante permisible del material es 1'perm = 12 klbj pulg2 .
Probs.5·116
5-117. Una flccha sólida está sometida al par de torsión Tque ocasiona que el materiallluya. Si el matcrial es elas· toplástico, demuestre que el par puede expresarse cn tér· minos del ángulo de torsión tP de la fl ccha como T e T y (1 - cp3yj4cp3).donde Tyy tPyson el par y el ángulo de to ro sión cuando el material empieza a fluir.
t
6000 'emo-
rad
5-118. Una fle cha sólida con diámetro de 2 pulg está hecha de un material elastoplástico con esfuerzo de nuencia 1'y = 16 klbJpulgly módulo cortante G = 12(1&) klb jpulgl. Determine el par dc to rsión requerido para desarrollar un núcleo elástico en la tlecha con diámetro de l pulg. ¿Qué valor tiene este par plástico?
J
Resp.
Prob.5·113
710lb'pie
5-119. Determine ci par de torsión necesario para torcer un alambre corto de 3 mm de diámetro varias vueltas si es· tá hecho de acero con comportamiento elastoplástico y esfuerzo de nuencia Ty .. 80 MPa. Suponga quc el matcrial sc plastifica totalmente.
256
• CAP[TULO 5 Torsión
*5-120. Una flecha sólida tiene diámetro de 40 mm y longitud de 1 m, Está hecha de un material elastoplástico con esfuerzo de fluencia 1y = 100 MPa. Determine el par de torsión T y máximo elástico y el correspondiente ángulo de torsión. ¿Qué valor tiene el ángulo de torsión si el par se incrementa a T = 1.2T y? G = 80 OPa. Determine el par de torsión necesario para torcer un alambre corto de 2 mm de diámetro varias vueltas si está hecho de acero elasloplástico con esfuerzo de fluencia Ty - 50 MPa. Suponga que el material se plastifica totalmente.
5-121.
*5·124. El tubo de 2 m de longitud está hecho de un material con comportamiento elastoplástico como el mostrado. Determine el par de torsión T aplicado que somete el material del borde exterior del tubo a una deformación cortante unitaria 'Ym~x = 0.008 rad. ¿Cuál será el ángulo de torsión permanente en el tubo cuando se retire el par? Esboce la distribución del esfuer¿o residual en el tubo.
5-122. Una barra con sección transversal circular con 3 pulg de diámetro está sometida a un par de torsión de 100 pulg' klb . Si el materia! es elaslopláslico con Ty = 16 klb / pulg2 • determine el radio del núcleo elástico. 5-123. Una flecha de radio c = 0.75 pulg está hecha de un material con el comportamiento elasloplástico mostrado en la figura. Determine el par de torsión T que debe aplicarse en sus extremos para que se genere un núcleo elástico de radio p = 0.6 pulg. Determine el ángulo de toro sión cuando la flecha tiene 30 pulg de longitud.
r (rad) Prob.5·124
5-125. La flecha consiste en dos secciones rígidamente conectadas entre sí. Si el material tiene un comportamiento elastoplástico como el mostrado, determine el par de torsión Tmás grande que puede aplicarse a la flecha. Tam· bién dibuje la distribución del esfuerzo cortante sobre una línea radial para cada sección. Desprecie el efecto de la concentración de esfuerzos.
3"0-cc~____ 0006
Prob.5-123
,;~-,g-,)---r{rad)
y{rad)
0.005 Prob. 5·125
PROBLEMAS
5-126. La flecha está hecha con un material endurecido por deformación con un diagrama T- ycomO el mostrado. Determine el par de torsión T que debe aplicarse a la flecha para generar un núcleo elástico con radio Pe = 0.5 pulg.
•
257
*5-128. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria cortante para una flecha sólida de 50 mm de diámetro puede representarse por el diagrama dado en la figura. Determine el par de IOrsión requerido para generar un esfuerzo cortante máximo en la flecha de 125 MPa. Si la flecha tiene 3 m de longitud. ¿cuál es el ángulo de torsión correspondiente?
1" (MPa)
125
f--- - -" ,
T (k!blpul g1)
" f - - - --:;-,
50
1Of--""7'/
1L.,.l=--~'+~ y (rad) 0.0025
1L_-;;-;!;;;-_---;;~ r (rad) 0.005
0.01
Probo
0.010
s-us
Prob.5-126
5-127. La flecha tubular está hecha con un material endurecido por deformaci ón con un diagrama -r-y como el mostrado. Determine el par de torsión T que debe aplicarse a la flecha para que la deformación cortante unitaria máxima sea de 0.01 rad.
5-U9. El tubo de 2 m de longitud está hecho con un material con el comportamiento elastoplástico most rado en la figura. Determine el par de torsión T aplicado que somete al material en el borde exterior del tubo a una deformación unitaria cortante Yrnlh = 0.006 rad. ¿Cuál será el ángulo permanente de torsión en el tubo cuando se retire este par? Esboce la distribución de los esfuerzos residuales en el tubo.
T (klblpulg l )
" f-----"',
0.005
Prob. 5-127
0.0 1
T(MPa)
r(rad)
r (rad)
Prob.5-129
REPASO DEl CAPiTULO
REPASO DEL CAPíTULO • Un par de torsión ocasiona que una flecha con sección transversal circular se tuerza, de manera tal que la deformación unitaria cortante en la flecha es proporcional a su distancia radial desde el centro. Si el material es homogéneo y la ley de Hooke es aplicable, entonces el esfuerzo cortante se determina a partir de la fórmula de la torsión 7 = Te /J. Para disenar una flecha es necesario encontrar el parámetro geoJ
métrico - = T/Tperm ' La potencia generada por una flecha rotac toria es dada a menudo: en este caso el par de torsión se determina con P = Tw. • El ángulo de torsión de una fl echa circular se determina con T(x)dx . TL 1> = 1~ lG , o SI el par ylG son constantes, entonces 1> = lG .
I
•
•
•
•
G
•
Para las aplicaciones es necesario usar una convención de signos para el par de torsión interno y asegurarse que el material no fluye. sino que permanece elástico lineal. Si la flecha es estáticamente indeterminada. entonces los pares reactivos se determinan por equilibrio, compatibilidad de giros y la relación par de torsión-giro, tal como 1> = TL /lG. Las flec has sólidas no circulares tienden a alabearse fuera del piano transversal al ser sometidas a un par de torsión. Se dispone de fórmulas para determinar el esfuerzo cortante elástico y el giro para esos casos. El esfuerzo cortante en tubos se determina considerando el flujo cortante en el tubo: Esto supone que el esfuerzo cortante a través de cada espesor t del tubo es constante. Su valor se determina con "'pron = Tj2t Am' En fl echas ocurren concentraciones de esfuerlOs cuando la sección transversal cambia repentinamente. El esfuerzo cortante máximo se determina usando un factor K de concentración de esfuerzo, que se determina a partir de experimentos y se representa en forma gráfica. Una vez obtenido. 7mb = K(Tc/f). Si el par de torsión aplicado ocasiona que el material exceda el límite elástico. entonces la distribución de esfuerzos no será proporcional a la distancia radial desde la línea central de la flecha. El par de torsión está entonces relacionado con la distribución del esfuerzo mediante el diagrama de esfuerzo cortante-deforma+ ción unitaria cortante y con el equilibrio. Si una flecha está sometida a un par de torsión plástico, que es luego retirado, el material responderá elásticamente. ocasionan+ do con ello que se desarrollen esfuerLos cortante residuales en la flecha.
•
259
260 • CApiTULO 5 Torsión
PROBLEMAS DE
REPASO
5-134. Considere un tubo de pared delgada de radio me· dio, y espesor /. Demuestre que el esfuerzo cortante máximo en el tubo debido a un par de torsión T tiende al esfuerzo conante promedio calculado con la ecuación 5-18 cuando r /1 -jo oo.
_5_138. La Hecha abusada está hecha de aluminio 2014T6 Y tiene un radio que puede describirse por la función , = 0.02(1 + xl/2) m. donde x está en metros. Determine el ángulo de torsión de su extremo A si está sometida a un par de torsión de 450 N · ffi.
Prob.5·134
5-135. El tubo tiene un diámetro exterior de 0.75 pulg y un diámetro interior de 0.68 pulg. Si está firmemente su· jetado a la brida. determine la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la altura del tubo cuando se aplica el par mostrado a la barra de la llave. *5-136. El tubo tiene un diámetro exterior de 0.75 pulg y un diámetro interior de 0.68 pulg. Si está firmemente su· jetado a la brida en B. determine la distribución del esfuer· zo cortante a lo largo de una línea radial situada a la mitad dc la altura del tubo cuando se aplica el par mostrado a la barra de la llave.
Prob. 5·138
5-139. Si la Heeha sólida AB a la cual está unida la cruceta es de latón rojo C83400 y tiene un diámetro de 10 mm. determine las fuerzas máximas del par que puede aplicarse a la cruceta antes de que el material empiece a fallar. Con· sidere 7pe.m = 40 MPa. ¿Cuál es el ángulo de torsión de la cruceta? La flecha está fija en A.
151b
50m\!"
Probs. 5·1351136
¡
~...(
"y
\1' J50mm
5-137. El tubo perforador de un pozo petrolero está hecho de acero y tiene un diámetro exterior de 4.5 pulg y un espesor de 0.25 pulg. Si el tubo está girando a 650 rpm al ser impulsado por un motor de 15 hp, determine el esfuerzo cortante máximo en el tubo.
F
Prob.5·139
150 mm F
PROBl~MAS DE REPASO
-5-140. La /lecha sólida AB unida a la cruceta está hecha de latón rojo C83400. Detennine el diámetro más pequeño de la /lecha de modo que el ángulo de torsión no pase de 0.5 0 y el esfuerzo cortante no pase de 40 MPa cuandoF=25N.
•
26 1
5-142. La flecha de 60 mm de diámetro gira a 300 rpm. Este movimiento es causado por las desiguales tensiones en la banda de la polea de 800 N Y450 N. Determine la potencia transmitida y el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la /lecha.
450 N
150 mm 800:-l F
Prob.5-142 Prob.5-140
5-141. El material de que está hecha cada una de tres flechas tiene un esfuerzo de fluencia de Ty y un módulo de cortante de G. Detenninc qué geometría para la /lecha resistirá el mayor par de torsión sin fluir. ¿Qué porcentaje de este par puede ser tomado por las otras dos flechas? Suponga que cada /lecha está hecha con la misma cantidad de material y que tiene la misma área transversal.
5-143. El tubo de aluminio tiene un espesor de 5 mm y las dimensiones externas mostradas en su sección transversal. Determine el esfuerzo cortante máximo promedio en el tubo. Si el tubo tiene una longitud de 5 m. determine el ángulo de torsión. Ga¡ = 28 Gra.
ODA Prob.5-141
Prob.5·143
Las vigas son miembros estructurales importantes usadas en la construcción de edificios. Su diseño se basa a menudo en su capacidad de resistir esfuerzos de flexión, que es el tema de este capitulo.
CAPiTULO
6
Flexión
Las vigas y las fl echas son importantes elementos estructurales y mecánicos en ingeniería. En este capítulo determi naremos los esfuerzos en esos miembros causados por flexión. El capítulo comienza con una exposición sobre cómo obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en vigas y flechas. Igual que los diagramas de fuerza nonnal y momento torsionante, los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante proporcionan un medio útil para determinar la fuerza cortante y el momento flexiona nte máximos en un miembro y, a la vez, para indicar dónde ocurren esos valores máximos. Una vez que se determina el momento interno en una sección. puede calcularse el esfuerzo de flexión. Consideraremos primero miembros rectos. con secciones transversales simétricas y fabri cados con materia l homogéneo, elástico lineal. Después estudiaremos casos especiales de flexión asimétrica y miembros hechos de materiales compuestos. Veremos también miembros curvos, concentraciones de esfuerzos, flexión inelástica y esfuerzos residuales.
6.1
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
Los miembros esbeltos y que soportan cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes longitudinales se llaman vigas. En generaL las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes. A menudo se clasifican según el modo en que están soportadas. Por ejemplo, una viga simplememe apoyada está soportada por un pasador en un extremo y por un rodillo en el otro, figura 6-1, una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro, y una viga eOIl voladizo tiene uno O ambos extremos libres situados más allá de los soportes. Las vigas pueden considerarse entre los elementos estructurales más importantes. Como ejemplos se cuentan los miembros usados para soportar el piso de un ed ificio, la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano. También el eje de un automóvil, la pluma de una grúa e incluso muchos de los huesos del cuerpo humano funcionan como vigas.
o. Viga simplememe apoyada
Viga en voladizo
o Viga con voladizo
Fig.6-1
264 •
CAPITULO 6
Flexión Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento f1exionante internos que,en general, varían de punto a puno
.-tJJ11J""
p
* D
Fig.6.2
Carga distribuida positiva V V
"---i t--Fucrla cortante interna positiva
)r
Momento Ilexionante interno positivo Convención de signos para vigas
Fig.6·3
to a lo largo del eje de la viga. Para diseñar apropiadamente una viga es necesario primero determinar la fuerza cortante máxima y el momento f1exionante máximo en la viga. Una manera de hacerlo es expresar Vy M como funciones de la posición x a lo largo del eje de la viga. Esas funciones de fuerza COrlallle y momento flexionante pueden trazarse y representar· se por medio de gráficas llamadas diagramas de cortante y momento. Los valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas gráficas. Además, como los diagramas de cortante y momento dan información de~ tallada sobre la variación de la fuerza cortante y del momento flexionante a lo largo del eje de la viga, ellos son usados por los ingenieros para decidir dónde colocar material de refuerzo dentro de la viga o para determinar el tamaño de la viga en varios puntos a lo largo de su longitud. En la sección 1.2 usamos el método de las secciones para hallar la carga interna en un pumo específico de un miembro. Sin embargo, si tenemos que determinar Vy M como funciones de x a lo largo de una viga, entonces es necesario localizar la sección imaginaria o cortar a una distancia arbitraria x desde el extremo de la viga y formular Vy M en términos de x. Respecto a esto, la selección del origen y de la dirección positiva para cualquiera x seleccionada es arbirraria. Con frecuenc ia, el origen se localiza en el extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva se toma hacia la derecha. En general, las funcione s de fuerza cortante y momento f1ex ionante internos obtenidas en función de x serán discontinuas, O bien sus pendientes serán discontinuas en puntos en que una carga distribuida cambia o donde fuerzas o momentos concentrados son aplicados. Debido a esto, las funciones de cortante y momento deben determinarse para cada región de la viga localizada elltre dos discontinuidades cualesquiera de carga. Por ejemplo, tendrán que usarse las coordenadas X¡, X2 YX3 para describir la variación de Vy M a lo largo de la viga en la figura 6-20. Esas coordenadas serán válidas s610 dentro de las regiones de A a H para Xl, de H a e para Xz y de e a D para X3' Convención de signo para vigas. Antes de presentar un método para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante como funciones dex y luego trazar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y momento flexionante), es necesario primero establecer una con vención de signos que nos permita definir fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos "positivos" y " negativos" . Aunque la selección de una convención de signos es arbitraria, usaremos aquí la frecuentemente usada en la práctica de la ingeniería y mostrada en la figura 6-3 . Las direcciones positivas son las sigui entes: la carga dislribllida actóa hacia abajo sobre la viga; la fuerza corrallte interna genera una rotación horaria del segmento de viga sobre el cual ella actóa y el momento flexionante interno genera compresión en las fibras superiores del segmento. Las cargas opuestas a éstas se consideran negativas.
SECCIÓN 6.1
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 265
lante
pun-
ga es f oto ly M iones ntar-
.Los (jeas.
nde-
man¡para
~ter
d. 1 caremos
PUNTOS IMPORTANTES • Las vigas son miembros rectos largos que toman cargas perpendiculares a su eje longitudinal. Ellas se clasifican de acuerdo a como están soportadas. por ejemplo, vigas simpleme nte apoyadas., vigas en voladizo o vigas con voladizo. • Para diseñar apropiadamente una viga, es importante conocer la variaci6n de la fu erza cortante y del momento flexionante a lo largo de su eje pOTll hallar los puntos en que esos valores son máximos. • Al establecer una convención de signos para la fuerza cortante y el momento flexionante positivos, la fuerza y el momento en la viga pueden ser determinados como función de su posición x y esos valores pueden ser graficados para establecer los diagramas de fuerza Corlanle y momento flexionante.
ntonrmcia os de
para locah,·
te indien-
bia o tO,las egión a.Por biT la dena-
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los diagramas de fuerza cortante y momento flexiona nte pueden ser construidos usando el siguiente procedimiento.
Reacciones en los soportes. • Determine todas las fuerzas y momentos reactivos que actúan so· bre la viga, y resuelva todas las fuerzas en componentes actuando perpendicular y paralelamente al eje de la viga.
Funciones de fuena cortante y momento flexionan te. • Especifique coordenadas x separadas que tengan un origen en el extremo izquierdo de la viga y se extiendan a regiones de la viga
B,e
entre fuerza s y/o momentos concentrados, o donde no haya discontinuidad de la carga distribuida.
lo pa-
• Seccione la viga perpendicularmente a su eje en cada distancia x y dibuje e l diagrama de cuerpo libre de uno de Jos segmentos. Asegúrese de que V y M se muestren actuando en sus sentidos positivos, de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 6-3.
Incio-
ymoón de ooan-
• La fuerza cortante se obtiene sumando las fuerzas perpendiculares al eje de la viga.
usada
• El momento flexiona nte se obtiene sumando los momentos respecto al extremo seccionado del segmento.
~ con-
iones brela aen to enera stas a
Diagramas de fuena cortan/e y momento fl exionanle. • Trace el diagrama de fuerza cortante (V versus x) y el diagrama de momento flex ionante (M verSIlS x). Si los valores numéricos de las funciones que describen V y M son positivos, los valores se trazan sobre el eje x, mientras que los valores negativos se trazan debajo del eje. • En general. es conveniente mostrar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante directamente abajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.
266 • CApiTULO 6 Flexión
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-40.
p
T (b)
p
r-+=i I!)M A I~ f ==-~ , ~. v
(.)
Solución
Reacciones en los soportes.
Las reacciones en los soportes se mues-
tran en la figura 6-4d.
p
T
Funciones defuerza corlanfey momenloflexionalfle. La viga se secciona a una distancia x arbitraria del soporte A , extendiéndose dentro de la región AB.y el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo se muestra en la (igura 6-4b. Las incógnitas V y M se indican actuando en sellfido positivo sobre la ca ra derecha del segmento. de acuerdo con la convención de signos establecida. Aplicando las ecuaciones de equ ilibrio se obtiene:
(,)
p
V ~!:.
+fLF" = O: p
p
T
T
.
VI
_
p
¡+ LM
l~-----~
.
r-----r-----r· t
~ (d)
Jlig.6-4
~
2
P
M = - x
O;
2
(1)
(2)
En la figura 6-4c se muestra un diagrama de cuerpo libre para un seSmento izquierdo de la viga que se extiende una distancia x dentro de la región Be. Como siempre. V y M se muestran actuando en sentido positivo. Por tanto,
,'1"'"
:-,'_-_;" (3)
¡+LM
~
O,
M +
·
p(x - 1::..) - px= O 22 P
M ~ 2(L - x)
(4)
El diagrama de fuerza cortante representa una gráfica de las ecuaciones I y 3 Yel diagrama de momento flexiona nte representa una gráfica de las ecuaciones 2 y 4, figura 6-4d. Estas ecuaciones pueden verificarse en parte notando que dV/dx = -IV YdM/dx = Ven cada caso. (Esas relaciones se desarrollan en la siguiente sección como las ecuaciones 6-1 y 6-2.)
SKCIÓN 6.1
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 267
EJEMPLO
'"
Dibuje 105 diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-SlI .
<
(.) (b)
:s-
So lución ¡e-
ro
.e
,n la
li-
1)
Reaccion~s en los sopor/es. Las reacciones en los soportes fueron determinadas e n la figur a 6-5d.
Funciones defuerza cortante y momentofTexionante. Este problema es similar al del ejemplo previo, donde dos coordenadas x de ben usarse para expresar la fuen!:a cortante y el momento f1exionante en toda la longitud de la viga. Para e l segme nto dentro de la región AB, figura 6-Sb, tenemos +1 ~F, ~
O;
Mo v =--
¡+:;: M
O;
M ::. - L-,
L
(o)
L
2) ~
""
Mo
"" L
.g le lo
y para el segmento dentro de la región BC, figura 6-5e,
+I LFy
¡+ :;:M
~
~
O,
O,
v =--Mo L
Mo
M=Mo-T x
M ~ Mo(1 -
i)
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionan/e.
-1s
Cuando se grafican las funciones anteriores, se o btiene n los diagramas de fuerza cortan te y momento fl exionante mostrados en la figu ra 6·5d. E n este caso, observe que la fuerza cortante es constante en toda la longitud de la viga; e lla no es afectada por el momento Mo que actúa en el cen tro de la viga. Asf como una fue rza gene ra un salto en el diagrama de fuer· za cortantc, ejemplo 6·1 , un par concentrado genera un sal Io en el dia· grama de momento flexionanlc.
(d)
Fig. 6-5
I 268 • CAP[TULO 6 Flexión
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexio nan te para la viga mostrada en la figura 6-00. Solución
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ . ¡¡¡¡r ,
- - - L---11
1-1
(.)
Reacciones en los soportes.
Las reacciones e n los soportes fueron de-
terminadas en la figu ra 6-6c.
Funciones de f uerza cortante y m omelllOflexionan re.
En la figura
6-6b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo
de la viga. La carga distribuida sobre este segmento está representada por su fuerza resultante sólo después de que e l segmento se aísla como un diagrama de cuerpo libre. Dado que el segmento tiene una longitud x, la magnitild de lafllcrza resultante es IVX. Esta fuerza actúa a través del centroide del área que comprende la carga distribuida, a una dis· tancia:c/2 desde el extremo derecho. Aplicando las dos ecuaciones de equilibrio se obtiene:
(1 )
¡+l:M
~
O; (2)
t¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
",L~ 2
L
r~ J.,..L
-, 2
V
Estos resultados para V y M pueden verificarse observa ndo que dVId:c = - w. Esto es ciertamente correcto, ya que w actúa hacia abajo. Advierta también que dM Id;.; ~ V, como era de espe rarse. Diagramas de fu ena cortante y momentoflexionantt. Estos diagramas, mostrados en la figu ra 6-6c,se obtienen graficando las ecuaciones 1 y 2. El punto de fllerza corrame Ilula puede encontrarse con la ecuación 1:
v~
M~. L' M""""",-¡-
I - ---"'--x I"'---:---.;--
+--1
(o)
w(Í - x) ~ O L
x=2
En el diagrama de momento vemos que este valor de x representa el punto sobre la viga donde se presenta el máximo momel1lO , ya que según la ecuación 2, la pendiente V = O = dM ltix. De la ecuación 2 tenemos:
Fig. 6-6
~
w1: 8
D
SECCiÓN 6.1
Diagram as de f uerza cortante y momento flexio nante
• 269
EJEMPLO
·a
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento fle xionante para la viga mostrada en la figura 6-7a .
,-
.... L
"'o
d- - - ------------t---------' -
ca
w. L
lo la
1-- - - L-----I
'\'o L2 1-- ~ L
,
10
(,)
Id
I
(b)
és
;5-
le
Solución
R eacciones en los sopor/es. La carga distribuida está reemplazada por su fuerza resuil ante y las reacciones se han determinado como se muestra en la figura 6-7b . . 1)
2)
Funciones de fuerza cortante y momellto flex ionante. En la figura 6-7c se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento de longitud x de la viga . Note q ue la intensidad de la carga triangular en la sección se encuentra por proporción ,esto es, IV /X = wo/L o IV = 1V6t"/ L. Conocida la intensidad de la carga, la resultante de la carga distribuida se determina por el área bajo el diagrama, figura 6-7c. Así,
1 ("".' -< ) 2 L ",o L
lVox _~" :: L
1
,,rt'!------------(--iIt1) · "",L'
r ~<~:i-J (o)
ue
>a-
+j LFy = O:
ra-
a;4SQ1J1llJJj'
(1)
1"
Ia-
+ M = O
wO L2
(2)':~/1 Estos resu ltados pueden verificarse apl icando las ecuacio nes 6-1 y ~~
,,1
~
. ".L,r-P---::::=~--'- <
f------------" I' - <
_
sete-
,
(d )
Fig.6·7
Diagramas de fu erza cortante y momento flexionan te. de las ecuaciones 1 y 2 se muestran en la figura 6-7d.
Las gráfi cas
270
CAPiTULO 6 Flexión
o
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza con ante y mome nto f1exionante para la viga mostrada en la figura 6-8a. Solució n 6 klb/pie
Reacciones en los sop ortes. La carga distribuida se subdivide e n una componente triangular y en una componente rectangular de carga; luego éstas se reem plazan por sus fu erzas resultantes. Las reacciones se han determinado y se m uestran sobre el diagrama de cuerpo-libre de la viga. figura 6-8b.
Funciones de fuerza cortante y momento flex;onante. En la figura 6-8c se muestra un diagrama de cue rpo libre del segmento izquierdo. Igual que antes, la carga trapezoidal se reemplaza por una distribución rectangular y una triangular. Observe que la inte nsidad de la carga triangular en la sección se e ncue ntra por proporción. Se muestra también la fuerza y la posición resultantes de cada carga distribuida. Aplicando las ecuaciones de equilibrio, tenemos:
x)
. . ( -S+) };F, = O, 30 .Ib - (2 ' Ib/ p,e)x - -2I (4 klb/ ple) o . 1 pie
lb)
v "" (30 -
2,4(4)(f,¡)'
,--__ - ---1 , -----
4(fs)klb/ pic
-30 klb (x ) + (2 klbj Pie)x (
jJ!ljPM (,)
~2) klb
V = O
(1 )
\+}; M = O,
--1)2 klb/ pie
30klb
2x _
X -
M
1
=
i) + ~(4
klbj Pie)( 1; Pies)x(
(30X - X2 - ; ) klb oPie
1)+ M"" O (2)
T~rr-T ¡ -rln¡ )r) n lli !
La ecuación 2 puede verificarse considerando que dM jdx = V, esto es. mediante la ecuación 1. Tambié n, W = - ilVjdx = 2 + %x . Esta ecuación se cumple, ya que cuando x "" O, IV "" 2 klb jpie, y cuando x "" 18 pies, IV "" 6 klb jp ie, figura 6-8a.
30 klb V(klb)
D iagramas defuerza cortante y m omento flexionan te. Las ecuaciones 1 y 2 eSlán graficadas en la fi gura 6-&/. Como e n el punto de mome nto máximo dM jdx = V = 0, e ntonces. de la ecuación l ,
6 klb/ pic
30,-__
42 klb
1
x'
1------"'7-::-----+- X(pIC) 9735 plCS
V""0=30 - 2 x - 9
Escogiendo la raíz positiva, -42
12 Ms:r~(Pi') (d)
Fig.ó-S
x "" 9.735 pies E nlonces, de la ecuación 2, _ , (9.735 )' Mm', - 30(9.735) - (9.735) 27 = 163 klb'pie
SECCIÓN 6.1
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 271
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionanle para la viga mostrada en la figura 6-9(1,
l ¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡
ISkN
SkN/m
~ 5 m--+-- 5 m ~
5.75 kN
5.75 kN (b)
(,)
'e)
Solución
,
Rellcciones en los soporles. Las reacciones en los soportes han sido determinadas y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 6-9(1. FunciolJes defuena cortante J' momelllo flex;oIJallle. Como se tiene una discontinuidad de carga distribuida y también una carga concentrada en el centro de la viga. deben considerarse dos regiones de x para describir las fu nciones de fuerza cortante y momento f1exionante para toda la viga.
O :S XI < 5 m, figura 6-9b:
+P:F,
~
O:
¡+L M
~
O:
!) !S.
18
5m<
X2
(1)
-80 kN · m - 5.75 kN XI M = (5 .75xl
+M
=
O
+ 80) kN· m
(2)
S 10 m, figura 6-9c: 5.75 kN
+ iLFy = O;
5.75 kN - 15 kN
~
5 kNj m (x2 - S m ) - V = O
V ~ ( 15.75 - 5"2) kN
00-
O
~
V = 5.75 kN
o
.-
5.75 kN - V
L+¿ M "" O:
-80kN'm - 5.75 kN
X2
+ 5 kN/ m(x2 -
V( kN )
(3)
+ 15kN(x2 - 5m ) 5 m) (
X2 -
2
5
M = (-2.5.ti + 15.75x2 + 92.5 ) kN· m
m) + M
5·"l:====l-----~-·(,,) 1
= O
(4) 108.75
Estos resultados pueden verificarse aplicando IV = -dV Idx y V = dM Idx . También, cuando XI = 0, las ecuacion es 1 y 2 dan V = 5.75 kN Y M = 80 kN . m; cuando X 2 = 10 m. las ecuaciones 3 y 4 dan V = -34.25 kN YM = O. Estos valores concuerdan con las reacciones en los soportes mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre, fi gura 6-9d. Diagramas defuerza cor/anU y momen/o flexionan/e. nes 1 a 4 están graficadas en la figura 6-9d.
Las ecuacio-
(d)
Fig.6-9
272 • CApITU LO 6
6.2
Flexión
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas y momentos concentrados., así como a cargas distribuidas., la determinación de V y M como funcio nes de x y el posterior trazo de esas ecuaciones puede resultar muy tedioso. En esta sección veremos un método más si mple para construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionan te que se basa en dos relaciones diferenciales que existen entre la carga distribuida, la fuerza cortante y el momento flexionante.
Como se muestra. la falla de esta mesa ocurrió en el soporte arriostrado del lado derecho_ El diagrama de momento flexionante para la carga de la mesa indicarfa que éste es el punto de momento interno máximo.
Regiones de carga distribu id a. Consideremos la viga mostrada en la figu ra 6-1Oa que está sometida a una carga arbi traria. En la fig ura 6-IOb se muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeño segmento ilx de la viga. Como este segmen to se ha escogido en una posición x a lo largo de la viga donde no existe una fuerza o un momento concentrado, los resultados que se obtengan no serán aplicables en esos puntos de carga concentrada. Advierta que todas las cargas mostradas sobre el segmento actúan en sus direcciones positivas de acuerdo con la convención de signos establecida, fig ura 6·3. Además, tan to la fuerza ¡;;omo el momento interno resultante que actúan sobre la carga derecha del segmento deben incrementarse por una pequeña cantidad finita para mantener el segmento en equilibrio. La carga distribuida ha sido reemplazada por una fuerza resultante w(x) ax que actúa a una distancia k(ax) del extremo derecho, donde O < k < 1 [por ejemplo,si w(x) es wliforme,k = HAplicando las dos ecuaciones de equilibrio al segmento, tenemos:
... (x)d.'
,,' ,,, ,)
--- ,,
, , , 1-- k(~x) ,
,
,
:,
7 l} +dM 1 O
N
v+~v
I
d.
I
Diagrama de cuerpo libre del ~gmen!O III
Fig.6·¡O
A
\,
(b)
Área de la sección transversal del s.egmcnto
SECCIÓN 6.2
Metodo gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 273
v-
.,(x) é>x - (V + é>V) - O
6V mas yM ultar :onsbasa la. la
¡ +~Mo
- O:
=
- w(x) 6x
-V 6x - M + .,( x ) IIx[k ( lIx)] + ( M + 11M ) - O
6M = V 6x - w(x) k (6x)Z
Dividiendo entre i.\.x y tomAnno el límite cuando 6 x
la en
dV
dx
)- lOb
hdc largo -esulcon-
pendiente del d iagrama de fuerza cortante en cada punto
en bledJltanlIarse jbrio. w(x) k < I les de
-?
0, se obtiene:
= -w(x) =
-in tensidad de la carga distribuida en cada punto
(6-1)
lO
dM
--V
dx
pendiente del diagrama de momento fl exionanle en cada punto
fuerza cortante en cada punto
(6-2)
Eslas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para trazar rápidamen te los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante. La ecuación 6-1 establece que en un punto la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual al negativo de la intensidad de la carga distribuida. Por ejemplo, considere la viga en la figura 6-110. La carga distribuida es posit iva y crece de cero a wa. Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortante será una curva con pendiellte negativa que crece de cero a -\V8' En la figura 6- 11b se muest ran las pendientes específicas IVA = O, -\Ve, - WD Y
(a)
v
O
v,
(b)
De manera simil ar, la ecuación 6-2 establece que en un punto la pelldienle del diagrama de momento flex ionanle es igual a la fu erza cortan te, Observe que el diagrama de fuerza cortante en la figura 6-1 1 b comienza en + VA ' decrece a cero y luego se vuelve negativa, decreciendo a - V B' E l di agrama de momento flexionan te tendrá entonces una pendiente inicial ,<) de + VA que decrece a ce ro, luego se vuelve nega tiva y decrece a -VB' Las pendientes VA' Ve, VD , O y-V B se muestran en la figura 6-1 1c,
-_ -.,--:.
~ l
MfI:--------.I\L.
-\V8'
Iv>: Fig,6-11
~\
274 • CAPITULO 6 Flexión Las ecuaciones 6-1 y 6-2 pueden también reescribirse en la forma dV = -w(x)dx y dM = V llx. Observando que w(x) dx y V dx representan áreas diferencia les bajo los d iagramas de carga distribuida y fuerza cortante, respectivamente, podemos integrar esas áreas enlre dos puntos cualesquiera e y D sobre la viga, figura 6-1 Id, y escribir:
(d)
e
D
o.V= -Jw(x)dx (, )
M
-área bajo la carga distribuida
cambio en la fuerza cortante
I~ I e
o
,,\ ,
(6-3)
AV~ -IV(x)dx área bajo el diagrama de fuerza cortante
cambio en el momento flexionan te
Fig. 6-11 (co ••• )
(6-4)
La ecuación 6-3 establece que el C(lmbio en'fuerza corfllnte entre los puntos e y D es igual al áre(l (negativa) bajo la curva de carga distribuida entre esos dos puntos, figu ra 6- 11d. Similarmente, de la ecuación 6-4, el cambio en momento nexionante entre Cy D, figura 6-11!, es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante dentro de la región de e a D. Como se indicó antes, las ecuaciones anteriores no se aplican en puntos en donde actúa una fuerza o momento concentrado.
(1 lf
Regiones de fuerza y momento concentrados. En la figura 6-12a se muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento de la viga en la figura 6-lOa tomado bajo una de las rUt r:ws. Puede verse aquí que por equilibrio de fuerzas se requiere +)U,
~
O,
v-
F - (V AV
+ AV)
~
O
(6-5)
~-F
Entonces. cuando F actúa hacia abajo sobre la viga, o. V es negativa por lo que la fuerza cortante "saltará" hacia abajo. De la misma manera, si F actúa hacia arriba, el salto (O. V) será hacia arriba. De la figura 6-12b , el equilibrio por momentos requie re que el cambio en momento sea
(IDlf Hg.6-U
\+LMO
~
O;
M + o.M - Mo - V o.x - M = O
Haciendo que ..u ~ O, obtenemos o.M=Mo
(6-6)
En este caso, si Mo se aplica en sellfido horario, o.M es positivo por lo que el diagrama de momento "saltará" hacia arriba. Igualmente, cuando Mo aclúa en semido amihorario, el salto (o.M) se rá hacia abajo.
SECCiÓN 6.2
as le, !s-
-3)
Método gráfico para construir diagramas de fuerza corta nte y momento flexionante
• 275
La tabla 6-1 il ustra la aplicación de las ecuaciones 6-1 , 6-2,6-5 Y 6-6 a varios casos comunes de carga. Ninguno de esos resultados debería memorizarse sino estudiarse Cllida
Diagrama de rUCl"la cortan te
11f =-w
Diagrama de momento nexiomulte
"' .. o
v,~
v,
v, La fuerza P hacia abajo ocasiona que V salte hacia abajo de VI a Vl ·
M,
~
dj! '" V
"'1
-----
La peJldicnte constante cambia de VI a V2.
•• 0
v
v
Ningún cambio en fuerza cortante ya que la pendienle '" '" O.
----
v,
Pendiente negativa constante.
Pendie~te constante positiva. Un 1\1 0 antilloratio ocasiona que M s.ahe liada abajo.
M,
-----
Pendiente posi ti va que decrece de VI a Vl .
v,
----
v,
Pendiente negativa que crece de - ""t a - ""1'
M,
-----
PendiC'nlc positiva que decrece de "1 a Vl .
-''"1
Vt~-""
~
_ _ _ _ _ _ v,
Pendiente negallvo que decreee de -""1 a- ""2'
').-
M, _ _ _ _ __ PendIente
po~itiva
que decrece de VI a Vl .
276 • CApiTULO 6 Flexión
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El siguiente procedimiento proporciona un método para construir los diagramas de cortante y momento para una viga con base en las re· laciones entre carga distribuida. fuerza cortante y momento flexio· nante. Reacciones en los sopones. • Determine las reacciones en los soportes y resuelva las fuerzas que actúan sobre la viga en componentes que sean perpendicu· lares y paralelas al eje de la viga. Diagrama defuerza cortante. • Establezca los ejes V y x y marque los valore; conocidos de la fue rza cortante en los dos ex/remos de la viga. • Como dV Idx = - w. la pendiente del diagrama de fuerza cortan· te en cualquier punto es igual a la intensidad (negativa) de la caro ga distribuida en el punto. Note que w es positiva cuando actúa bacia abajo. • Si debe determinarse el va lor numérico de la fuerza cortante en un pun to. puede encontrarse este valor con el método de las seco ciones y la ecuación de equil ibrio de fuerzas. o bien usando.6. V = - Jw(x) dx, que establece que el cambio en la fller4a cortante en· tre dos puntos cualesquiera es igual al valor (negativo) del área bajo el diagrama de carga entre los dos puntos. • Dado que w(x) debe integrarse para obtener ó. V, si w(x) es una curva de grado n, V(x) será una curva de grado n + 1; por ejem· plo, si w(x) es un iforme, V(x) será lineal. Diagrama de momento flexionanle. • Establezca los ejes M y x y Irace los valores conocidos del mo· mento en los extremos de la viga. • Como dM Idx = V , lapendieme del diagrama de momento en cual· quier punto es igual a la fuerza corlante en el punto. • En el punto en que la fuerza cortante es cero, dM Idx = 0, y por tanto, éste será un punto de momento máximo o mínimo. • Si va a determinarse un valor numérico del momento en el punto. puede encontrarse este valor usando el método de las secciones y la ecuación de equilibrio por momentos, o bien usando .6.M = JV(x) dx, que establece que el cambio en el lIIomellfO entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante en tre los dos puntos. • Como V(x ) debe integrarse para obtener .6.M, si V(x) es una cu rva de grado 11, M(x) será una curva de grado 11 + 1: por ejemplo. si V(x) es lineaL M(x) será parabólica.
SeCCIÓN 6.2
Metodo gráfico para construir diagramas de fuerza cortant e y momento f lexionante • 277
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexio nante para la viga en la figura 6· 13a. p
Solución
Reacciones en el soporte. Las reacciones se muestran sobre un dia· grama de cuerpo libre, (igura 6-13b.
(b)
Diagrama defuerza cortante. De acuerdo con la convención de signos, figura 6-3. en x = O, V = +P y en x = L, V = +P. Esos puntos están indicados en la figu ra 6·13b. Como w = O. figura 6-13a, la pendiente del diagrama de (uerza cortante será cero (dV jdx = -w = O) en todo punto, y por consigu iente una línea recta horizontal conecta los puntos extremos.
v
- -1
pl - l
L -_ _ _ _---'-., (,)
Diagrama de momemoflexionante. Enx = O,M = -PL Yenx = L, M = 0, figura 6·13,1. El diagrama de fuerza cortante indica que la fuerza cortante es constante y positiva y por tanto la pefldiellle del diagrama de momentos flexionantes será COllstalTle positiva, dM jdx = V = +P en todo punto. Por consiguiente. los puntos extremos están conectados por una línea recta de pendiente positiva como se muestra en la figura 6-13d. M
(d)
Fig.6·13
278
• CAPiTULO 6
flexión
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la fi gura 6- 140.
1= L-=- ==::;::L====ll , >1,
r-
(a )
Solución Reacciones en el sopor/e. La reacción en el empotramiento se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figu ra 6-14b.
Diagrama de Ju erza cortan/e. Se traza primero la fu erza cortante V = Oen ambos ext remos.. figura 6- 14c. Como no existe ninguna carga distribu ida sobre la viga, e l diagrama de fuerza cortante tendrá pendiente cero en todo punto. Por tanto, una línea horizontal conecta los puntos extremos. lo que ind ica que la fuerza cortante es cero en toda la viga.
v 1_ _ _ _ __
.,
(,)
Diagrama de momento flexiollall/e. El momento Mo en los puntos extremos de la viga, x = OYx = L, se grafica primero en la figura 6-14d. El diagrama de la fuerza cortante indica que la pendiente del diagrama de momentos será cero ya que V = O. Por consiguiente, una línea horizontal conecta los puntos extremos. como se muestra .
(d)
Fig.6-14
SECCÓN 6.2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 279
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flex ionan te para la viga mostrada en la figura 6-15a.
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡(' k"
•
Solución
(.,
Reacciones en el sopor/e. Las reacciones en el empotramiento se muestran en el diagrama de cuerpo libre. figu ra 6-15b.
"'f¡r-r¡-r¡"¡¡r-r¡o-¡..-r¡¡--.¡-,-; q' -,"'o L
, a
, a
l
(b)
Diagrama defllerza cortante. Se traza primero la fuerza cortante en cada punto extremo. figura 6-15c. La carga distribuida sobre la viga es constante IXlsitiva por lo que la pelldieme del diagrama de cortante será constante negativa «(IV Idx = -wo). Esto requiere que una línea recIa con pendiente negativa conecte los puntos extremos.
v
------
Pendicme negati\'a constame -= - 11'0
L--_ _ __
_
.<
(o,
>S
1 la
,-
Diagrama de momellto J1exiollllllte. Se traza primero el momento en cada punto extremo. figura 6- 15d. El diagrama de corta nt e indica que Ves positiva y decrece de \VoL a cero. por lo que el diagrama de momento debe comenzar con una pendiente positiva de lVoL Ydecrecer a cero. Específicamente. como el diagrama de cortante es una línea recta inclinada. el diagrama de momen to será parabólico. con una pendiente decreciente como se muestra en la figu ra. M
1 - -- --
_ .<
PeAdieme decrcciemcmcnte positi va (d)
Fig.6-15
. 280 • CApITULO 6 Flexión
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento f1 exionante para la viga mostrada en la rigura 6-160. Solución
Reacciones en el soporte. Las reacciones en el empotramiento ya se han calculado y se muestran sobre el diagrama de cuerpo libre, figura 6-16b.
fig.6-16
Diagrama de fuerza cortante. Se traza primero la fuerza cortante en cada pun to extremo, figura 6-16c. La carga distribuida sobre la viga es positiva y linealmente decreciente. Por tanto la pendiente del diagrama de fuerza cortante se rá decreciente negativamente. En x = O,la pendiente empieza en -\Vo Y llega a cero en x = L. Como la carga es lineal, el
diagrama de fuerza cortante es una parábola con pendiente negativamente decreciente.
v wo L
T
Pendiente decredenlemcnl~ neglti\'a
L _ _---==~---2..°
,
'el
Diagrama de mom ento flexionanle. Se traza primero el momento en cada punto extremo, figura 6-16d. Del diagrama de fuerza cortante, Ves posi liva pero decrece de lVoL/2 en x = O a cero en x = L. La curva del diagrama de momen to flexionante con este comportamien to de su pend iente es una fu nción cúbica de x , como se muestra en la figura .
M
Pendiente decrecienlcmcnlc posi1iva (d)
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 281
SECCiÓN 6.2
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexio nante para la viga mostrada e n la fi gura 6-17a.
2 k!b/ pie
2 klblpic
c .-111111Tfl ¡
45 pies
",
1'- -- - - 45 pies - - - --1 30 kl b
15klb
'b)
I V{klb)
Fig.6-17
Pendiente .. O
"
Solución
, •
Reacciones en los soportes. Las reacciones ya han sido determinadas y se muest ran en el diagrama de cuerpo libre, figu ra 6-17b .
hndiente e=iemementc negatj,'a
26.0 ies
'--------'''''''-''''----.r(pie)
Diagrama de fuerza cortante. Se trazan primero los valores e n los puntos extremos x = 0, V = + 15 Yx = 45, V = -30. figura 6-17c. D el comportamien to de la carga distribuida. la pendiellle del diagrama de fuerza cortante variará de cero en x = O a -2 en x = 45. Como resultado.eI diagrama de fuerza cortante es una parábola con la forma mostrada.
4) pIes
Pendiente:o O
=
26.0 pies
Pendiente era::ientemente
260
Diagrama de momenroflexionante. Se trazan primero los valores en los puntos extremos x = O, M = O Y x = 45. M = O, figura 6-I7d. Del
o r~
le
,.
comportamiento del diagrama de cortante. la pendiente del diagrama de momento comienza en + 15 Y se comporta luego decrecielltemellte positiva hasta que alcanza el valor cero e n 26.0 pies. Luego se vuelve crecientem eme negativa hasta que alcanza el valor - 30 en x = 45 pies. El diagrama de momento es una func ión cúbica de x. ¿Por qué? Not e que e l momento máx im o se p resenta e n x "" 26.0. ya que dM Idx = V = O en este punto. D el diagrama de cuerpo libre e n la fi· gura 6·l7e tenemos
[2 klbjpie e:so;::s)] (26.0 PieS)e6.03Pies) M = 260 klb . pie
-JO
Pendiente dec=ientcmeme positiva
M(kJb' pie)
1 +l¿t:~ = O: 15 klb - -2 [2 klb/ pie (~)lx=o; x
Pendiente = - 2
(e)
El punto de cortante cero puede e ncontrarse usando el método de las secciones para un segmento de viga de longitud x. figura 6-17e. Se req uiere que V = O, por lo que
+M = O
,.,
282 • CAPiTULO 6
Flexión
EJEMPLO Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la fi gura 6-180.
A. B
e
D
(., Solución Reacciones elllos soportes. Las reacciones están indicadas en el diagrama de cuerpo libre. figura 6-ISb. HN8kN
Diagrama de/uena cortante. Enx = O, VA = +4.8 kN, Yen x = 10, VD = - ] ].2 kN, figura 6-1&. En pun tos intermedios entre cada fuerza la pelldiellle del diagrama de corta nte será cero. ¿Por qué? Por consiguiente la fuerza cortante retiene s!l valor de + 4.8 hasta el punto B. En B la fuerza cortante es disconti"uo, ya que se tiene ahí una fuerza concentrada de 8 kN. El valor de la fuerza cortante justo a la derecha de B puede encont rarse seccionando la viga en este punto, figura 6-]8e. donde por eq uilibrio V = -3 .2 kN. Use el método de las secciones y demuestre que el diagrama "salta" nuevamente en C. como se muestra, y luego llega al valor de -1 1.2 kN en D. Observe que con base en la ecuación 6-5. AV = - F, e l diagrama de cort ante puede también construirse "siguiendo la carga" sobre el diagrama de cuerpo libre. Comenzando en A,la fue rza de 4.8 kN actúa hacia arriba. por lo que VA - + 4.8 kN. Kingu na carga distribu ida actúa entre A y B, por lo que la fuerza cortante permanece consta nte (dV /dx = O). En B, la fuerza de 8 kN actúa hacia abajo, por lo que la fuerza cortan te salta hacia abajo 8 kN, de +4.8 kN a -3.2 kN. De nuevo, la fuerza cortante es constan te de B a e (ninguna carga distribuida ): luego en e salta hacia abajo 8 kN hasta - 11.2 kN. Finalmente, sin carga distribuida entre e y D.termina en - 11.2 kN.
2m1
.I.::====:::;=~;:-:~D B e t
"~
(b)
11.2 kN
4.8kN
M (kN'm)
28.8
22.4
.r(m)
(d )
8h'
(e)
i Al
,m - {t"·8 kN.m i 3.2kN
-1.8 kN
Fig.6.t8
Diagrama de momento flexiotlan,e. El momento en cada extremo de la viga es cero, figura 6-1&/. LapclJ(/ieme del diagrama de momento de A a B es constante igual a +4.8. ¿Por qué? El valor del momento en 8 puede determinarse usando la estática, figura 6-1&, o encontrando el área bajo el d iagrama de cortante entre A y B. esto es. AM AIJ = (4.8 kN)(6 m) = 28.8 kN· m. Como M A = O.entonces MIJ = M A + AMAB = 0 + 28.8 kN· m = 28.8 kN· m. Desde el punto 8.la pendiente del diagra ma de momentos es - 3.2 hasta que se alcanza el punto C. De nue· vo. el va lor del momento se puede obtener por estática o encontrando el área bajo el diagrama de cortan te entre B y C,esto es,AM Bc = (-3.2 kN)(2 m) = -6.4 kN· m, por laque M e = 28.8 kN'm - 6.4 kN - m = 22.4 kN· m. Continuando de esta manera, verificamos que el diagrama se cierra en D.
SECCIÓN 6.2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante • 283
EJEMPLO a
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionan te para la viga con voladizo moslrada e n la figura 6-19a. 8 klb
A
+¡;i~;~;¡;r~2 k1Wp;e 8 D ¡. 4 pies +- 6 pies -+- 4 pies i
~
~
(e)
Solución El diagrama de cuerpo libre con las reacciones calculadas se muestra en la figura 6-19b .
Reacciones en fos sopor/es.
a-
O. za
si-
::n n-
de :k,
;y !s-
de ¡aúa :u,:-
)Ie
:la
,eUI -
sin
Diagrama de fllerza cortante. Como siempre, comenzamos trazando las fuerzas corlantes en los extremos VA = +4.40 klb Y VD = 0, figura 6-19c. El diagrama de cortante tendrá pendiente 111110 de A a B. En B, el diagrama salta hacia abajo 8 klb a -3.60 klb. Luego tiene una pendiente crecientemellfe neg(l{iva. La fuerza cortante en C puede determinarse a partir del área bajo el diagrama de carga, V C = V B + ~ V BC = - 3.60 klb - (1/2)(6 pies)(2 klb(pie) = - 9.60 klb. Salta luego 17.6 klb a 8 klb. Finalmente, de CaD, la pendiente del diagrama de cortan te será constllflte pero negativa, hasta que la fuer.~a cortante al canza el valor cero en D.
le cómo las pendientes y las diversas curvas son eSlablecidas mediante el diagrama de cortante usando dM /d:c = V. Verifique los valores numéricos de los picos usando el método de las secciones y estática o calculando las áreas apropiadas bajo el diagrama de cortan te para encontrar el cambio en momento entre dos puntos. En particular, el punto de momento nulo puede determinarse estableciendo M como una función de x, donde, por así convenir, x se extiende liel punto B hacia la región BC. figura 6- 1ge. Por tanto,
mo
~.8
~
~""'rTTl-;2 klbjpie
(b)
~pies~ D
A 4pies B 6pics 4.40klb
17.6 klb
V(klb¡
8~1I
440(----1 (e)
io----.J
-3.60
Pendiente = -3.60
(d)
!'---t:;c""r-+-7-,-,. .,(pie) Pendiente", -9.60
O;
- 16
-4.40 klb( 4 pies + x) + S klb(x)
M
= (-
+ ~ (2 klb! Pie)X(X)(:Ó) + M 2
6 pies
3
= O
/sx 3 - 3.6Ox + 17.6 ) klb. pie = O
x = 3.94 pies
,~
jja-
!Ie-
,do -3.2 n
~
,ma
Observando esos diagramas, vemos que por el proceso de integración para la región AB la carga es cero, la fuerza cortante es constante y el momento es lineal; para la región BC la carga es lineal , la fuerza cortante es parabólica y el momento es cúbico; y para la región CD la carga es constante. la fuerza cortante es lineal y el momento es parabólico. Se recomienda que los ejemplos 6.1 al 6.6 sean resueltos también usando este método.
!(pie)
-9.60
Diagrama de momento flexlonanle. Se trazan pri mero los momenlO S extremos M,4. = OYMI) = O,figura 6-19d. Estudie el diagrama y no-
¡HM enl en HI
8 klb
foig.6-19
Pendiente = 8
284 • CApiTULO 6 Flexión
PROBLEMAS 6- 1. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen~ to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y B ejercen sólo reacciones verticalcs sobre la flecha.
· 6-4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
2klb
8
A
2klb
2 klb
2klb
! ! ! ! 4 p¡e$1
4 PieS-'- 4 pies-l
Prob.6-4
24'"
Prob. 6- 1
6-2. El dispositivo mostrado se usa para soportar una carga. Si la carga aplicada a la manija es de 50 lb. determine las tensiones TI y T 2 en cada extremo de la cadena y luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momenlo f1exionante para c l brazoABC
6-5. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la barra que está soponada por un pasador en A y por una placa lisa en 8. La placa se desliza dentro de [a ranura, por 10 que no puede soportar una fue rza vertical. pero sí puede sóportar un momento.
Y,
IHN
!~8
},.
e
A
i
1---4m---l--1 2mJ
8
!~Ib
Prob.6-S
r - 12pulg
Prob. 6-2
Y,
6-3. Dibuje los diagramas de fuer.la cortante y momento flexionante para la f1ccha. Las chumaceras en A y en D ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. La carga está aplicada a las poleas en B. e y E.
Al"'"" 20"" 1 """ 1 "" 1
6-6. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momenio flexionante para la flecha. Las chumaceras en A yen B ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. Exprese también la fuerza cortante y el momento flexionante en la flecha en función de x dentro de la región 125 mm < x < 725 mm.
1500 N
12
~o-=j-e=1~F5JcH .Ir
80 lb Prob.6-3
el
!
110 lb
D
E
+I 3SIb
800 ,N
A
8
U
.
f- ' I---~ 600 mm - -125mm
Prob.6-6
-
I ---I 75 mm
P ROBLEMAS
6-7. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionanle para la viga.
285
•
6·10. La gríia pescante se usa para soportar el mOlor que tiene un peso de 1200 lb. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para el brazo ABe cuando está en la posición horizontal mostrada.
Prob.6·7
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionantc para e l tubo, uno de cuyos extremos está sometido a una fuerza horizontal de 5 kN. Sugerencia: las reacciones en el pasador e deben reemplazarse por cargas equivalentes en el punto B sobre el eje del tubo.
Prob.6-10
. 6·8.
e
-----r 80mm ---1
HN
L- 4OOmm----J
6-11. Deternline la distancia a en que debe colocarse el soporte de rodillo para que el valor máximo absoluto del momento sea mínimo. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para esta condición.
8
P
P
Ji I
i
L
l
,
L
l
.=
!
Prob.6·8 Prob.6·11
6-9. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga. SI/gerencia: la carga de 20 klb debe reemplazarse por cargas equivalentes en el punto e sobre el eje de la viga.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen· to flexionante para la viga compuesta que está conectada por un pasador en B.
- 6-12.
lS klb
l 1---
4
3:f"·20kI:f~
piu~-I--- 4 pies Prob.6-9
4 pies
Prob.6-U
•
286
•
CApITULO 6 Flexión
6-13. Las barras están conectadas por pasadores en e y en D. D ibuje los diagra mas de fuerza cortante y momen10 Ilexionante para el conjunlo. Desprecie el efecto de la carga axial.
800 lb/ pie
• A
~~
te
"'6-16. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento Ilexionante para la viga.
p A
!
L j
iD
L
2
;=1
B
¡I I I I I I ~"i..
\ ! !! !! ! I
8 pia
\ , : " /pi,
I
Prob.6·13
Prob. 6-16
_6-14. Considere el problema general de una viga simplemente apoyada sometida a 1I cargas concentradas. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar la fuerza cortante yel momento Ilexionante en cualquier posición x especificada a [o largo de la viga y trace los diagramas correspondientes para la viga. Muestre una aplicación del programa usando los valores p¡ = 500 lb, d¡ = 5 pies. P 1 = 800 lb, d 1 - 15 pies. L 1 = 10 pies. L = 15 pies.
6-17. El hombre de 1501b de pcsoeslá sentado en el centro de la lancha que tiene un ancho uniforme y un peso por pie lineal de 3 lb. Determine el momento Ilexionante máximo ejercido sobre la lancha. Suponga que el agua ejerce una carga uniforme distribuida hacia arriba sobre el fondo de la lancha.
1r
8'
::a::
d,-----1
I
I
d, d,
Prob.6-17
L, L
Prob. 6-14
6- 15. Dibuje los diagramas de fuer.la cortante y momento Ilexionante para la viga. Determine también la fuerza cortante y el momento Ilcxionante en la viga en función de x. donde 3 pies < x :S 15 pies.
6-18. La zapata de cimentación soporta la carga transmitida por las dos columnas. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento Ilexionante para la zapata si la reacción de la presión del suelo sobre la zapata se supone uniforme.
1.5 klbJpie
SO"bpi,
--.lJ 1 1 1 1 1 1 ¡
( 1 ;;;;; L 1--3
r2pies - -
j
-f..;
',·"A 3P --t-----12pies-----~ Prob.6- IS
Prob. 6-18
PROBlEMAS
6-19. Dibuje los diagramas de fuerLa cortante y momen· to flexionante para la viga.
•
287
6-22. Dibuje los diagramas de fuerza corlanle y momen· 10 flexionante para la viga compuesta. Los tres segmentos eSlán coneclados por pasadores en B y en E.
2 klb!pie
Prob.6· 19
~2m Prob.6-22
*6·20. El robot industrial se mantiene en la posición estacionaria indicada. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionanle del brazo ABC que eSlá conectado en A por un pasador y un cilindro hidráulico B O (miembro de dos fuerzas). Suponga que el brazo y las tenazas tienen un peso uniforme de 1.5 IbJpulg y que soportan la carga de 40 lb en C.
6-23, La viga T está sometida a la carga mostrada. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionan le de la viga.
'
Hlb 4
[! A:EI 111 ! 1111~
10
~ 6~~
I
100 lb/ pIe
18~
I 1 pulg
11-1 6 pulg
1OI"'"Tlr
t I--11pulg
Prob. 6-2J
P rob.6--20
6-21. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen10 fl exionanle para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en la viga como funciones de x, para 4 pies < x< 10 pies.
*6-24. La viga está soportada en A por un pasador y des· cansa sobre un cojinete en B que ejerce una carga uniforme distribuida sobre la viga en sus dos pies de longitud. Dibuje los diagramas de fuerla cortante y momento flexionante para la viga si ésta soporta una carga uniforme de 2 klbJpie.
150 lb/ pie
8
2 pies--j
Prob.6--21
Prob. 6-24
288 •
CApíTULO 6 Flexión
6-25. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen· to l1exionante para la viga. Los dos segmentos están uni· dos entre sí en B.
*6-28. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen· to flexionan te para la barra de conexión. En los extremos A y B sólo se presentan reacciones verticales.
~I2Ih/P",g
.,. I
1-- - - - - 36 pulg
Prob.6--25
72 10
_6_26. Considere el problema general de una viga en vaIlIdizo sometida a " cargas concentradas y a una carga w unifonnemente distribuida. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar la fuerza coro tante y el momento flexionante en cualquier posición x especificada a lo largo de: la viga: trace los diagramas de fue rza cortante y de momento fl exionante para la viga. Aplique el programa usando los valores PI = 4 kN, di = 2m, w = SOON ¡m,a¡ = 2m,al = 4m,L '"' 4m.
¡
l
P,
llWll
- d,-----I d,
!
0.3 pulg
12pulg
~TO.5Pulg
1.5 pulg
Prob.6--211
6-29. Dibuje los diagramas de fucrla cortante y momen10 flex ionante para la viga.
III
-"'~ P,
14410
1 O.5pulg
w
1
d.L J
r---- j ----+---- j-~
L
Prob. 6·29 Prob.6--26
6-27. Determine la distancia a en que debe colocarse el soporte de rodillo de manera que el valor máximo absolUlO del momento sea mfnimo. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para esta condición.
li I
¡¡¡¡ •
¡.Ud L
Prob.6--27
¡¡¡
6-30. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
w
1 I Proo.6-30
P ROSUMAS
6-31. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mamen· to Oexionante para la viga.
!n-
><"
",1,
~ '--" • I " I
3
3
I
•
289
6-34. D ibuje los diagramas de fuerza cortante y momento nexionante para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en la \'iga como funciones de .l.
~B
A
I
,--1
3----¡.1
~---- \ -----+-----\-----1
Prob.6·31 Prob.6-34
. 6-32. El esquI soporta las ISO lb de peso del hombre. Si la carga de nieve sobre la superficie del fondo del esquí es trapezoid,il.como se muestra . dete rmine la intensidad w y luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento nexionante para el esquí.
6-35. El pasador liso está soportado por dos silletas A y 8 Yestá sometido a una carga de compresión de 0.4 kN j m causada por la'barra C. Detennine la intensidad de la carga distribuida Wo de las silletas sobre el pasador y dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento Oexionante parfl el pasador.
n180 lb
~ e ~ A
¡.¡
1- ,,",•. - -- - 3 pies - - - J . - LS
B
f"
a' 20mm 60 mm 20mm
Prob. 6·32
Prob.6·35
6-33. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen· to Ocx;onante para la viga.
*6-36. D ibuje los diagramas de fuel7.a cortante y momen· to Ocxionante para la viga.
IJñ:&:Pqrr[ ! - - - 4.5m
i
I
4.5m
§?!
~500Ib.P¡'
B
Prob.6·36
Prob.6·33
---
-
.
I
1 - - - - -12 pi es _ _ _ _+1 _ _ 6 piCS":"""¡
290 • CAPITULO 6 Flexión 6-37. La viga compuesta consta de dos segmentos unidos entre sf por un pasador en B. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento nexionante para la viga que soporta la carga dis tribuida mostrada.
"'6-40. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento nexionante para la viga.
"'o
e A
r - - - - - L - - - - - - -4
- -+-If3 L Prob.6·37
Prob.6-40
6-38. Dibuje los diagramas de fuerla cortante y momento nexionante para la viga.
6-41. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento nexionante para la viga.
18kN/m
w
8 kNfm
Prob.6·J8
B 8 pies
Prob.6-41
6-39. Dibuje los diagramas de fu erza cortante y momen· to ncxionante para la viga y determine la fuerza cortante y el momento como funciones de x.
6-42. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento nexionante para la viga.
~-- ~ --+---;--4 Prob.6--39
Prob.6-42
6.3
6.3
-,
Deformación por flexión de un miembro recto • 291
Deformación por flexión de un miembro recto
En esta sección estudiaremos las deformaciones que ocurren cuando una viga prismática recta hecha de material homogéneo está sometida a fl exión. El análisis se limitará a vigas con secciones transversales simétricas respecto a un eje y el momento f1exionante se encuentra aplicado respecto a un eje perpendicula r a este eje de simetría, como se muestra en la figura 6-20. El comportamiento de miembros con secciones transversales asimét ricas o que están hc::¡.;hus ue var ios materiales se basa en consideraciones similares, y se eSlUdiarán separadamente en secciones posteriores de este capítulo. Usando un mate rial sumamente deformable como el hule, podemos ilustrar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto está someti do a un momento flexionan te. Consideremos, por ejemplo, la barra no deformada e n la figura 6-21a que tiene una sección transversal cuadrada )' está marcada con una retícula formada por líneas longitudinales y t ransversales. Al aplicar un momento flexionante. éste tiende a distorsionar esas líneas según el patrón mostrado en la figura 6-2 1b. Puede verse aquí que las líneas longitudinales se curvan y que las líneas transversales permanecen rtctos pero sufren una rotación. E l comportamiento de cualquier barra deformable sometida a un momento flexionante es ta l que el material en la porción inferior de la barra se alarga)' el material en la porción superior se comprime. En consecuencia, entre esas dos regiones debe haber una superficie. llamada superficie neutra, en la que las fibras longitudinales del material no experimentarán un cambio de longitud. figura 6-20.
Ejc(]c $imeuia
M
y
,, . _---.J , _.:.--;"_-:.----
l _
SupeñlCie neutro
Eje longItudinal
Fig.6-20
- -, M
Las lineas horizontales se vuelven curvas La5lfneas venicales permane<:en recia>, pero giran Antes (]e la deformación
Después de la defomlación
(.)
(b)
fig. 6·21
292 • CAPiTULO 6 flexión
Note la distorsión de las líneas debido a la nexión de esta barra de hule. La línea superior se estira, la línea inferior se comprime, y la !fnea central permanece con [a misma longitud. Las líneas verticales giran pero permanecen rectas.
Con base en estas observaciones haremos las siguientes tres hipótesis relativas a la manera en que el esfuerzo deforma al material. La primera es que el eje longitudinal x, que se encuentra en la superficie neutra , figura 6-22a, no experimenta ningún cambio de longitlld. El momen to tiende a deformar la viga en forma tal que esta línea recta se vI/e/ve lIIllIlínea curva con tenida en el plano x-y de simetría, figu ra 6-22b. La segunda hipótesis es que todas las secciones transversales de la viga permanecen planas y perpendiculares al eje longitudinal durante la deformación. La tercera hipótesis es que cualquier deformación de la sección frGnsversal dcntro de su propio plano será despreciada, figu ra 6-21b. En particular, el eje z, contenido en el plano de la sección transversal y respecto al cual gira la sección, se llama eje neutro. figura 6-22b. Su posición se detenninará en la siguiente sección. Para mostrar cómo esta distorsión deforma el material, aislaremos un segmento de la viga loca lizado a una distancia x a lo largo de la longitud de la viga y con un espcsor no deformado l1x, figura 6-22a. Este elemento, tomado de la viga. se muestra en vista de perfi l en sus posiciones no
y
,
,
,~ .J longirudinaJ
,
,b' Flg. 6-22
6.3
Deformación por flexión de un miembro recto • 293
!sis e ra
O'
guIde 'ur.te-
,as
e" .de on:ecI si-
eje longiwdinal
un longiludinal
IUd ,enno
ElernenlO no deformado
Elerncnlo deformado
(.,
(b)
Fig.6.23
deformada y deformada en la figur a 6-23. "Note que cualqu ier segmento de línea áx, localizado sobre la superficie ne ulra. no cambia de longitud , mie ntras que cualquier segmento de línea I1s, localizado a una distancia arbitraria y arriba de la superficie neulra, se cont raerá y tend rá la longitud as' después que la deformación ha tenido lugar. Por definición. la deformación unitaria normal a lo largo de Ili se determina con la ecuación 2-2. esto es. fE ""
' as' ]1m
~s -o
6.s
I1s
Representaremos ahora esta deform ación unitaria en térm inos de la posición y del segmento y del radio de curvatura pdel eje longitudinal del elemento. Anles de la deformación, as "" áx, figu ra 6-23a. Después de la deformación Ax tie ne un radio de curvatura p,con centro de curvatura en el punto O' , figura 6-23b. Como 6.8 define el ángulo entre los lados de la sección transversal del ele mento, l1x "" I1s "" P 118. De la m isma ma ne ra, la longitud deformada de 6.s es 6.s' "" (p - y ) 118. Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos:
fE =
_ "'(p:",- _y,-")..:6.;=:9,.. --"p-=6.:9: hmp 6.0
~8--o0
o , =
y P
(6-7)
Este importante resultado indica que la deformación un itaria normal longitudinal de cualq uier e lemento dentro de la viga depende de su locali-
294 • cAPfrULO 6 Flexión
6. El ti
'el
ce ¡iD
,ci~ Distribución de la deformación unitaria norntal
Fig.6-24
zación y sobre la sección transversal y del radio de curvatura del eje longitudinal de la viga en el punto. En Olras palabras, para cualquier sección transversal específica, la defornwci6n unitaria normal longitudinal "ariará linealmellte con y desde el eje neutro. Una contracción (-E) ocurrirá en fibras situadas arriba del eje neutro (+y), mientras que se presentarán alargamientos (+E) en fibras localizadas debajo del eje (-y). Esta variación en la deformación unitaria sobre la sección transversal se muestra en la figura 6-24. Aquí la deformación unitaria máxima ocurre en la fibra extrema, situada a una distancia c del eje neutro. Usando la ecuación 6-7. como Emá~ = e/p. entonces por división,
- 'Emb
= -y/p
c/ p
De manera que (6-8) '0
Fig.6-25
Esta deformación unitaria normal depende sólo de las hipótesis hechas con respecto a la deformaciólI. Si sólo se aplica un momento a la viga , es entonces razonable su poner adicionalmente que eSle momento ocasiona solamellte UII esfuerzo I/ormal en la dirección x ci longitudinal. Todas las otras componentes de esfuerzo normal y cortante son cero. ya que la superficie de la viga está libre de cualqu ier otra carga. Es este estado uniaxial de esfue rzo el que provoca que el material tenga la componente de deformación unitaria normal longitudinal Ex, (u~. = EEx), definida por la ecuación 6-8. Además. por la razón de Poisson, debe haber también componentes de deformación unitaria asociadas E)' = - /IE;{ Y El = - /IE~., que deforman el plano de la sección transversal. aunque aq uí hemos despreciado esas deformaciones. Sin embargo, tales deformaciones ocasionarán que las dimensiones de la sección tral/sversal se vuelvan más pequeñas debajo del eje neutro y mayores arriba del eje neutro. Por ejemplo, si la viga tiene una sección cuadrada. se deformará como se muestra en la figura 6-25.
d.
6.4 La fórmula de la flexión • 295
6.4
la fórmula de la flexión
En esta sección desarrollaremos una ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo longitudinal en una viga con el momento "de flexión interno resultante que actúa sobre la sección transversal de la viga. Para hacer esto, supondremos que el material se comporta de manera elástica lineal, por lo que es aplicable la ley de Hooke.esto es, u = EfE. Una variación lineal de la deformación unitaria normal, figura 6-260, debe ser entonces la consecuencia de una variación lineal del esfuerzo nonnal, figura 6-26b. Por tanto. igual que la variación de la deformación unitaria normal. uvariará de cero en el eje neutro del miembro a un valor máximo u m;\)¡ en puntos a la distancia e máxima desde el eje neutro. Por triángulos semejantes, figura 6-26b, o usando la ley de Hooke, u = EfE, Y la ecuación 6-8, podemos escribir
lon:ción I vaocu!senEsta lUesla fiIción
(6-8) !chas ~a. es ;iona 1S las a suuniate de tO r la com.que sprelarán leñas _si la -a en
,
VariaciólI de la defonnación unitaria normal (..ista lateral) (.)
(6-9)
Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre la sección t ransversaL La convención de signos establecida aquf es importante. Para un M positivo actuando en la dirección +z. valores positivos de y dan valores negativos para u, esto es, un esfuerzo de compresión ya que actúa en la dirección negativa de x. Similarmente, valores negativos de y darán valores positivos o de tensión para u. Si se seleccion a un elemento de volumen de ·material en unpunto específico sobre la sección transversal, sólo esos esfuerzos nonnales de tensión o de compresión actuarán sobre él. Por ejemplo. el elemento localizado en +)' se muestra en la figura 6-2&. Podemos localizar la posición del eje neutro sobre la sección transversal satisfaciendo la condición de que lafllerza remlrallfe producida por la distribución del esfuerlO sobre la sección transversal debe ser igual a eero. Notando que la fuerza dF = udA aclúa sobre el elemento arbitrario dA en la figura 6-26e. req uerimos que:
"f
= __ -a m_ ydA e
A
Variación del esfuerzo de: flexión ( .. iSla IOlerol) (b)
Fig.6·26
Este esp
296 • CAPíTULO 6 Flexión
La don la oc gene
M
Variadón del esfuertO de f1e¡¡ión 'o) ,.'ig. 6-26 (cont.)
Como amb/c no es igual a cero, en tonces
JydA = O
(6-10)
A
En otras palabras, el momento estático de la sección transversal del miembro respecto al eje neutro debe ser cero. Esta condición sólo puede ser satisfecha si el eje l1e/llro es también el eje cen/roidal horizontal de la sección transversal.' En consecuencia, una vez determinado el centroide de la sección transversal del miembro, se conoce también la posición del eje neutro. Podemos determinar el esfuerzo en la viga a partir del requisito de que el momenlo interno resultante M debe ser igual al momento producido por la distribución de l esfuerzo respecto al eje neu tro. El momento de dF en la figura 6-26c respecto al eje neutro es dM = Y dF. Este momento es posirivo ya que, por la regla de la mano derecha. el pulgar está dirigido a lo largo del eje posit ivo z cuando los dedos se curvan según el sentido de rotación causado por dM. Como dF = u dA. usando la ecuación 6-9, tcnemas para la sección transversal total,
M =
Jy dF = Jy(u dA) A
A
o
M = UnáX fldA e
A
(6-11)
- Recue rde que la posición del cenlroide y de la sección Iransvernl se define por la ec ua, ción y = J y dA / J dA. Si J y dA = O. entonces y '" O. por lo que el cenlroide se localiza $Obre el eje de referencia (eje neutro). Vea el apéndice A.
e inte 6-1
A
los
6.4 la fórmula de la flexión • 297 La integral en esta ecuación representa el momento de inercia de la sección transversal de la viga respecto al eje neutro. Lo denotamos con /. De la ecuación 6-11 podemos entonces despejar Umáx Y escribirla en forma general como
~ ~ I-
(6-12)
Aquí.
Umáx == esfuerzo normal máximo en el miembro que ocurre en el punto de la sección transversal más alejado del eje neutro.
M = momento interno resultante, determinado con el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio y se calcula con respecto al eje neutro de la sección transversal. I = momento de inercia de la sección transversal calculado respecto al eje neutro.
10)
e = distancia perpendicular del eje neutro al punto más alejado de este eje y sobre el cual actúa O"máx '
!m-
Como Umáx / C = -u/y, ecuación 6-9, el esfuerzo norma l a la distancia y intermedia puede determinarse con una ecuación similar a la ecuación 6-12. Tenemos:
sa;ec: de eje
lue ido
(6-13)
dF
, es
loa .de , te-
-11)
!Cua:atiza
Advierta que el signo negativo es necesario ya que es consistente con los ejes x, y, z eitablecidos. Por la regla de la mano derecha, M es positivo a lo largo del eje +z ,y es positiva hacia arriba por lo que udebe ser negativo (compresivo) ya que actúa en la dirección x negativa, figura 6-26c. A cualesquiera de las dos ecuaciones anteriores se les lIamaJ6rmula de fajlexi6n. Se usa para determinar el esfuerzo normal en un miembro recto con sección transversal simé trica respecto a un cje si el momento es aplicado perpendicularmente a este eje. No obstante que hemos supuesto que el miembro es prismático, podemos en la mayoría de los casos de diseño usar la fórmula de la flexión también para determinar el esfuerzo normal en miembros que tienen un ligero ahusamielllo. Por ejemplo, con base en la teOlía de la elasticidad, un miembro con una sección transversal rectangular y un ahusamiento de 150 en sus lados superior e inferior longitudinales, tendrá un esfuerzo normal máximo rea l que es aproximadamente 5.4% menor que el calculado usando la fórmula de la flexión.
298 • CAP[TULO 6 Flexión
E
PUNTOS IMPORTANTES • La sección transversal de una viga recta permanece plana cuando la viga se deforma por flex ión. Esto causa esfuerzos de tensión en un lado de la viga y esfuerzos de compresión en el otro lado. El eje Ileu/ro está sometido a cero esfuerzo. • Debido a la defonnación. la deformación U/úlaria longirudillal varía lillealmenle de cero en el eje neulro a un máximo en las fibras exteriores de la viga. Si el material es homogéneo y la ley de Hooke es aplicable. el esfuerzo también varía de manera lineal sobre la sección transversaL • En un material elástico· lineaL el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal. Esta conclusión se basa en el hecho de que la fuerza normal resultante que actúa sobre la sección transversal debe ser cero. • La fó rmula de la flexión se basa en el requisito de que el momento resultante sobre la sección transversal es igual al momento producido por la distri bución del esfuerzo normal lineal respecto al eje neutro.
PROCEDIMIENTO DE ANALlSIS Para aplicar la fórmula de la flexión , se sugiere el siguiente procedimiento. Momento inlern o.
• Seccione el miembro en el punto en donde el esfuerzo de flexión va a ser determinado, y obtenga el momento interno M en la sección. El eje neutro o centroídal de la sección transversal debe se r conocido. ya que M debe ser calculado respecto a este eje. • Si el esfuerzo de flex ión máximo absoluto va a ser determinado, dibuje entonces el diagrama de momentos fl exionantes para determinar el momento máximo en la viga. Propiedad de fa sección.
• Calcule el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Los métodos usados para efectuar este cálculo se ven en el apéndice A, y en el forro interior de la cubierta se presenta una tabla con valores de l para varios perfiles comunes. Esf uerzo normal. • Especifique la distancia y. medida perpendicularmente al eje neutro, al punto donde va a determinarse el esruerzo normal. Aplique luego la ecuación u = -My/ I o, si va a calcularse el esfuerzo máximo de nexión, use Umáx = Me/l. Al sustit uir los valores numéricos. asegúrese de que las unidades sean consistentes. • El esfuerzo actúa en una dirección ta l que la fuerza que él crea en el pu nto genera un momento respecto al eje neutro que liene el mismo sentido que el momento interno M. [igura 6·2&. De esta manera, la distribución del esfuerzo que actúa sobre toda la sección lransversal puede esbozarse, o aislarse un elemento de vol umen del material para representar gráficamente el esfuer.lO normal que actúa en el punto.
e
6.4
La fórmula de la flexión
• 299
EJEMPLO
sto rm
Una viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la distribución de esfu erzo mostrada en la figura 6-27a. Determine el momento interno M en la sección causado por la distribución del esfuerzo (a) usando la fórmula de la flexión , (b) calculando la resultante de la distribución del esfuerzo mediante principios básicos.
sta
'sal
'cr-
ro.
2kl~p" gl(;3/
~di -
2 k!blpulg 2
ión
r"
~ec
ser
Fig.6-27
do. deSolución ClO
Parte (a).
,se
e = 6 pulg y O"máx = 2 klb / pulg2• El eje neutro se d efine como la \fnea
Irc-
NA , porque el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como la sec~ ción transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia de la sección respecto al NA se determina con la fórmula para un rectángulo dado en el forro interior de este texto; esto es,
Demostraremos primero que la fuerza resultante de la distribución del esfuerzo es cero. Como se muestra en la figura 6-27b , el esfuerzo que actúa sobre la franja arbitraria dA = (6 pulg) dy , localizada a una distancia y del eje neutro, es:
Parte (b).
y
La fuerza generada por este esfuerzo es (IF = aliA. y entonces, para la sección transversal en tera, 2 klblpulg 1
FR~
,
f "dA A
dF
x
~
('""[(6- YUI g )(2klb/ PUlg2)}6 PUIg)dY
~ (-1 klb/ pulg 2)y' ~
2
_____
~1~PUli
lb)
6 pul g
----..J..
P
-6pu lg
+6pulg
I-6pulg
~ O
El momento resultante de la d istribución del esfuerzo respecto al eje neutro (eje z) debe ser igual a M. Como la magnitud del momento de dF respecto a este eje es dM = Y tlF, YdM es siempre posiriva, figura 6-27b, entonces para la sección en tera,
M~ f ydF~ J"""
-6 pulg
A
Y[(6 Y )(2klb/ PUlg 'l](6PUlgl dY Pul g
~ (~klb/PUlg 2)r' I+6 pulg 3
=
- 6pulg
288 klb· pulg = 24 klb· pie
Resp.
El resultado anterior puede también determinarse sin integración. La fuerza resultante para cada una de las dos distribuciones triangulares de esfuerzo en la figura 6-27c es gráficamen te equivalente al volumen contenido dentro de cada distribución de esfuerzo. Así entonces, cada volumen es: lo'
1
Fig. 6-27
F ~ 2(6 pulg)(2 klb/ pulg')(6 pulg) ~ 36 klb
Esas fuerzas. que forman un pa r, actúan en el mismo sentido q ue los esfuerzos dentro de cada d istribución , fig ura 6-27c. Además, actúan pasando por el centroMe de cada volumen . esto es, (6 pulg) = 2 pulg desde las partes superior e infe rior de la viga. Por tanto, la distancia entre ellas es de 8 pulg, tal como se muestra. El momento del par es en tonces:
t
M = 36 klb (8 pulg) = 288 klb· pulg :: 24 klb· pie
Resp.
6.4
La fórmula de la flexión • 301
EJEMPLO La viga simplemente apoyada en la figura 6-28(1 tiene la sección transversal mostrada e n la figura 6-28b. D etermine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga y dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal en esta posición.
3m 6m l' ) M (kN-m)
, , ,
~'k=
I 3
~ 6
x (m)
(e)
Fig.6-28
,. a e
"a
Solución
Momento inlerno máximo. El momento interno máximo en la viga, M "" 22.5 kN . m, ocurre e n el centro del claro como se muestra en el diagrama de momento fIexionante, figura 6-28c. Vea el ejemplo 6.3 . Propiedades de la sección. Por razones de si metría, el centroide e y el eje neulro pasan por la mitad de la ahura de la viga. figura 6-28b. La sección transversal se subdivide en las tres partes mostradas y el momento de inercia de cada parte se calcula respecto al eje neutro usando el teorema de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice A) Trabajando en metros, tenemos:
,,' Esfuerzo de f lexión. Aplicando la fórmula de la flexión , con e = 170 mm , el esfuerzo máximo absoluto de flexión es:
Me
U
rnu :: - 1- ;
u "'''' ::
22.5 kN . m(O.170 m) 4
301.3( 10-0) m
= 12.7 MPa
En la fig ura 6-28d se muestran vistas bi y tridimensionales de la distribución del esfuerzo. Note cómo el esfuerzo en cada punto sobre la sección transversal desarrolla una fuerza que con tribuye con un momento dM respecto al eje neutro que tiene el mismo sentido que M. Específicame nte. en el punto B'Y8 :: 150 mm, por lo que:
UB
=
22.5 kN· m(O.150 m)
301.3( 10-<') m'
11.2MPa
El esfuerzo normal que actúa sobre elementos de material localizados en los pun tos B y D se muestra en la figura 6-2&.
6.4
La fórmula de la flexión • 303
EJEMPLO La viga mostrada en la figura 6·29(/ tiene un a sección transversal en forma de canal , figura 6-29b. Determine el esfuerzo máximo de flexión que se presenta en la sección a-a de la viga.
2.6kN
~Il
Solución
Momento ;'llemo. En este caso, las reacciones en el soporte de la viga no tienen que detcnninarse. Podemos usar,can el método de las seeciones,el segmento a la izquierda de la sección a-a. figura 6-29c. En particular, advierta que la fuerza axial interna resultante N pasa por el centroide de la sección transversal. Observe también que el momento ¡memo resulUmle debe ca{C/I larse respecto al eje nelltro de la viga en la sección (I-a. Para enconlrar la posición del eje neutro. la sección transversal se subdi vide en tres pa rtes componentes, como se muestra en la figura 6-29b. Como el eje neutro pasa por el centroide, usando la ecuación A-2 del apéndice A , tenemos _
l:y A
y ~ l:A ~
tl-I -
2
m_~J.- - 1 ,mJ 'ol
2[0.100 m](0.200 m)(0.015 m ) + [0.010 m] (0.02 m)(0.250 m ) 2(0.200 m)(0.015 m) + 0.020 m (0.250 m)
= 0.05909 m "" 59.09 mm
Esta dimensión se muestra en la figura 6-29c. Aplicando la ecuación de equilibrio por momentos respecto al eje neutro, tenemos:
L+LMNA = O:
24kN(2m )
M =
.. a 1.
,.
+ 1.0 kN(0.05909 m )
1-250
- M = O
Y=59.09mm L L
N ---*
4.859 kN' m
Propiedadts de la sección,
El momento de inercia respecto al eje neutro se determina usando el teorema de los ejes paralelos, aplicado a cada una de las tres parles componentes de la sección transversal. Trabajando en metros, tenemos:
I ~ [i2 (0.250 m)(0.020 m)3 + (0.250 m)(0.020 m)(0.05909 m + 2[ 11
(0.015 m)(0.200 m)3 2 = 42.26(10-6) m 4
+
1:5
m~-U-
mmi T F 20 mm [ ~A I
4
e
15
m~rm
(b)
0.010 m)2]
(0.015 m)(0.200 m)(0.1 00 m - 0.05909 m)' ]
Esfuerzo máximo deflexión. El esfuerzo máximo de fl exión ocurre en los puntos más alejados del eje neutro. En este caso, el punto más alejado está en el fondo de la viga; e = 0.200 m - 0.05909m = 0.1409 m. Entonces, Me 4.859 kN· m(0. 1409 m)
2.4 kN +, I.OkN
'M
V
0.05909 ni
•
Muestre que en la parte superior de la viga el esfu erLo de flexión es u' = 6.79 MPa. Note que además de este efecto de nexión, la fue na normal de N = 1 kN Y la fu erza cortante V = 2.4 kN contribuirán también con esfuerzos adicionales sobre la sección transversal. La superposición de todos esos efectos se verá en un capítulo posterior.
e
2m 'el Hg. 6-29
1..1 1
N
304 • CApITULO 6 f lexión
EJEMPLO El miembro con sección transversal rectangular, figura 6-3Oa, está diseñado para resistir un momen to de 40 N· m. Para aumentar su resistencia y rigidez, se propone añadir dos pequeñas costillas en su rondo, figura 6-30b. Determine el esfu erzo normal máximo en el miembro para ambos casos. Solución
Sin costillas. Es claro que el eje neutro se localiza en el centro de la sección transversal, figura 6-30a, por lo que y = e = 15 mm = 0.015 m. Así,
Con costillas. En la fi gura 6-30b, segmentando la sección en el rectángulo grande principal y en los dos rectángulos inferiores (costillas), la posición del centroide ji del eje neulro se determ inan como sigue: lO mm "",,-.P¡-t.,.¡ (b)
Fil!:. 6·30
:E-y A y - l:A [0.015 m](0.030 m )(0.060 m) + 2[0.0325 mJ(0.005 m )(O.OIO m ) (0.03 m)(0.060 m) + 2(0.005 m)(0.01 0 m) - 0.01592 m Este valor no representa a c. Más bien,
c = 0.035
m -
0.01592 m
=
0.01908 m
Usando el teorema de los ejes pa ralelos, el momento de inercia respecto al eje neutro es:
- 0.1642(10""') m' Por lo tanto, el esfuerzo normal máximo es U m.tx
Me 40N·m(0.01908 m) = - /- = 0.1642(10-6) m4 = 4.65 MPa
Resp.
Este sorprendente resultado indica que la adición de las costillas a la sección transversal aumentará el esfuerzo normal en vez de disminuirlo, y por esta razón deben ser omitidas.
PROBLEMAS
•
305
PROBLEMAS
• •
6·43. Un miembro co n las dimensiones mostradas se usa para resisti r un momento flexionan te interno M = 2 klb ' pie. Determine el esfucr:e:o máximo en el miembro si el mamenlose aplica (a) alrededor del eje l , (b) alrededor del eje y. Esboce la distribución del esfucr.lo para cada
JI.
caso.
,
.
Probs. 6-45/46
6-47. La viga está hecha de tres tablones unidos entre sí por medio de clavos. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M = 600 N . m, determine el esfuerzo de flexión máximo en la viga. Esboce una vista tridimensional de la dist ribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. .<
; ).
*6..4lt La viga está hecha de tres tablones unidos entre sí por medio de clavos.. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M:; 600 N . m, de te rmine la fuerla resultan te que el9sfuerlo de flexión ejerce sobre el tablón superior.
Prob.6-4J
"'6·44. La barra de acero con diámetro de I pulg está sometida a un momento interno M = 300 lb' pie. Determine el esfuerzo generado en los puntosA y B. Esboce también una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal.
20 mm
es300 lb· pie
Prob. 6-44
Probs. 6-47148
6·49. Una viga tiene la sección transversal mostrada. Si está hecha de acero con un esfuerzo permisible upornl = 2 klbj pulg 2, determine el máximo momento interno que la viga puede resistir si el momento se aplica (a) alrededor del eje z, (b) alrededor del eje y.
o.,
645. Un miembro liene la sección transversal triangular mostrada. Determine el momento máximo interno M que puede aplicarse a la sección sin exceder los esfuerzos permisibles de tensión y de compresión de (upem,)r = 22 klb / pulg 2 y (uporll)c :; 15 klbj pulg 2, respectivamente.
!Sp.
, la uir-
6-46_ Un miembro liene la sección transversal triangular mostrada. Si se aplica un momento M :; 800 lb· pie a la sección, detennine los esfuerlOS máximos de tensión y de compresión por [\exión en el miembro. También. esboce una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre !a sección transversal.
Prob.6-49
306 • CApiTULO 6 Flexión
6-50. La vigu está sometida a un mome nto M - 40 kN' m. Determine el esfuerzo de flexió n que act úa en los puntosA y B. Esboce los resultados sobre un elemento de volumen presente en cada uno de esos puntos.
6-53. Una viga está construida con cuatro tablones de madera unidos entre sí con pegamento, como se muestr;¡o Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M = 450 N' m. determine la fu erla resultante que el esfuerzo de flexión produce sobre el tablón A superior y sobre el tablón B lalera1.
8
lS
M =450N'm
= 40 kN'm
50 mm
Prob. 6-50 Prob.6-53
6-51. La pieza de aluminio de una máquina está sometida a un momento M = 75 N . m. Determine el esfuerlO de flexión generado en los puntos B ye sobre la sección transversal. Esboce los resultados sobre un elemento de volumen localizado en cada uno de esos puntos.
6-54. La viga está sometida a un momento de 15 klb· pie. Detennine la fuerza resultante que el esfuerzo de flexión produce sobre el patín A superior y sobre el patín B inferior. También, calcule el esfuerzo máximo de fl exión desarrollado en la viga.
*6-52. La pieza de aluminio de una de máquina está sometida a un momento M = 75 N' m. Detennine los esfu erzos máximos de tensión y de compresión por flexi ón en la parte.
6-55. La viga está sometida a un momento de 15 klb' pie. Detennine el porcentaje de este momento que es resistido por el alma D de la viga.
Probs. 6-5U52
Probs. 6-54155
PR OBLEMAS
*6-56. La viga está construida con cuatro tablones como se muestra, Si está somet ida a un momento M z =: 16 klb· pie, determine el esfuerzo en los puntos A y B. Esboce una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo.
•
307
6-59. La viga está sometida a un momento M = 30 lb · pie. Determine el esfuerlO de flexión que actúa en los puntos A y B. También esboce una vista tridimensional de la dis· tribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transver· sal entera.
6-57. La viga está construida con cuatro tablones como se muestra. Si está sometida a un momento M z = 16 klb ' pie,cetermine la fuerza resultante que el esfuerzo produce sobre el tablón e superior. 3 pulg
A )'
I pulg
A d
e
M = 30 Ib 'pie I pulg
t pulg 10 pulg
11
"f....-:H-I
pulg
10 pulg
/
M,,= 16 kl~
14 pulg
lB
r--
Prob. 6· 59
*6·60. La pieza de fundición ahusada soporta la carga mostrada. Dctermine el esfuerzo de flexión en los puntos A y B. La sección transversal en la sección a·a se da en la figura.
I pulg
JV 1 pulg
6-58. La palanca de control se usa en una segadora de césped. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sección a·a de la palanca si se aplica una fuerza de 20 lb a la manija. La palanca está soportada por un pasador en A y por un alambre en B. La sección a·a es cuadrada de 0.25 x 0.25 pulgadas.
!--F
,
15pulg
1
,
Probs. 6·56/57
1
_____+'P'wl.'_~----______ 15pulg ISOlb
ISO lb
B
F,
A
I
lp,l,
3 pulg
\..Lf
B
¡
r'--LpulgJ
t I pulg
4
Prob.6·60
20 lb
6·61. Si la flecha en el problema 6·1 tiene un diámetro de 100 mm. determine el esfuerzo máximo absoluto de f1e· xión en la flecha. 6·62. Si la flecha en el problema 6-3 tiene un diámetro de 1.5 pulg. determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la flecha. 6·63. Si la flecha en el problema 6·6 tiene un diámetro de 50 mm. determine el~sfuer.lO máximo absoluto de fle· xión en la flecha.
Prob.6·58
*6·64. Si el mbo en el problema 6·8 tiene un diámetro exterior de 30 mm y un espesor de 10 mm. determine el es· fuerzo máximo absoluto de flexión en la flecha.
308 • CApITULO 6 Flexión
6-65. La viga ACB en el problema 6·9 tiene una sección transversal cuadrada de 6 x 6 pulg. Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga. 6-66. La pluma ABC dc la grúa en el problema 6--10 tiene una sección transversal rectangular con base de 2.5 pulg; determine su altu ra h requerida, al l pulg más cercano, para que el esfueJ7.O permisible de flexión u perm "" 24 klb/pulg2 no sea excedido.
· 6-72.
Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la (lecha de 30 mm de diámetro sometida a las fuerzas concentradas indicadas. Las chumaceras e n A y B soportan sólo fuerzas verticales.
6-73. Determine el diámetro permisible más pequeño para la flecha sometida a las cargas concentradas mostradas. Las chumaceras en A y B s610 soportan fuerzas verticales; el esfuerzo permisible de flexión es <'perm -= 160 MPa.
6-67. Si la plumaABCdc 1i1~lúa cn el problema 6-10 tiene una sección transversal rectangular con base de 2 pulg y altura de 3 pulg, determine el esfueJ7.o máximo absolu· to de flexión en la pluma . • 6-68. D etermine el e.rueJ7.o máximo absoluto de flexión en la viga del problema 6-24. La sección transversal es rectangular con base de 3 pulg y altura de 4 pulg. 6-69. Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga del problema 6-25. Cada segmento tiene una sección transversal rectangular con base de 4 pulg y altura de 8 pulg. 6-70. Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en el pasador de 20 mm de diámetro en el problema 6-35.
•
A
_o.,m --L-12m---Lo6m1 ~N
~N
Probs. 6-72173
6-71. El eje del vagón de ferrocarril está sometido a cargas de 20 klb en sus ruedas. Si el eje está soportado por dos chumaccras en C y D , determine el esfuerzo máximo de flexión generado en el centro del eje, donde el diámetro es de 5.5 pulgadas. 6-74. Determine el esfuerzo máximo absoluto de (Icxión en la flecha de 1.5 pulg de diámetro sometida a las fuerzas concentradas indicadas. Las chumaceras e n A y B soportan sólo fuerzas verticales. 6-75. Determine el diámetro permisible más pequeño para la flecha sometida a las fuerzas concentradas indicadas. Las chumaceras en A y B soportan sólo fuerzas verticales y el esfuerzo permisible de flexión es uperm ,. 22 klb/ puli.
400 lb A D
8
8
/ " ¡2PU¡g
18PUI~
"b
15 pulg
Prob.6-71
Probs. 6-74175
300 lb
PROBLEMAS
. 6·76. El b~azo CD del poste de servicio soporta un cable del que pende un peso de 600 lb. Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en el brazo si se supone que A, B Y C est¿n articulados.
=O]
•
309
6-79_ La flecha de ace ro ,iene una sección transversa l circular con diámetro de 2 pulg. Está soportada sobre chumaceras lisas A y B, que ejercen sólo reacciones verticales sobre la fl echa . Determine el esfuen:o máximo absoluto de flexión en la fleeha cuando está sometida a las cargas mostradas de las poleas.
2 pulg
T4;-~J~L=:::;;;~.~=~=~~
--11-
pulg
AiJ 20 p"I,
600 lb
++ ;
20 ",,1,
500 lb
Prob.6-76
;
20 p"I,
300 lb
;;(
-~
20 p"I,
J
500 lb
)' roh. 6-79
6-77. Una porción del fémur puede modelarse como un tubo con diámetro interior de 0.375 pulg y un diámetro exterior de 1.25 pulgA Determine la máxima fuerla P elástica estática que puede aplicársele en su centro sin que se produzca ur.a falla. El diagrama (1"-l para el material del hueso se muestra en la figura y es el mismo en tensión y en compresión.
. 6·80. Los soportes extremos de un andamio para perforadores usado en una mina de carbón consisten en un tubo con diámetro exterior de 4 pulg que enchufa con un tubo de 3 pulg de diámetro exterior y longitud de 1.5 pies. Cada tubo tiene un espesor de 0.25 pulg. Con las reacciones extremas de los tablones soportados dadas. determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en cada tubo. D esprecie el tamaño de los tablones en los cálculos.
p
2.30 1--------:71 1.25 1-----,/
~-
4 pulg
1L_~O~.O~2----'O~.O~'- f {pulg { pulg)
----!--
4 pulg
Prob.6-n
6-78. La silla está soportada por un brazo que está articulado de modo que puede girar respeclo al eje vertical · en A. La carga sobre la silla es de 180 lb Y el brazo es un tubo hueco cuya sección transversal tiene las dimensiones mostradas. Determine el esfu erzo máximo de fl exión en la sección a-u.
Prob. 6-80
6·81. La viga está sometida a la carga P en su cenlro. Determine la posición a de los sopones de manera que el esfuerzo máximo absoluto de fl exión en la viga sea lan grande como sea posible. ¿Qué valor tiene este esfuerzo?
(, 1 pulg
fo4I
I----+~~:.L A
3pr~~p"I , -l f- 0.5 pulg Prob.6-78
" -1 L/2-- + - Prob.6-81
310 • CApiTULO 6 Flexión
6-82. La armadura simplemente apoyada está sometida a la carga central distribuida. Desprecie el efecto de la celosía diagonal y de termine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la armadura. El miembro superior es un tubo con diámetro exterior de 1 pulg y espesor de f.: pulg: el miembro inferior es una barra sólida con diámetro de ~ pulgada.
;I';;¡'-~- M
-= 50 N . m
100 lb ie
Probs. 6-S4I85
lL-
6 pies --1-- 6 pies --1-
-
6 pies
P rob.6-82
6-83. El pasador se usa para conectar los tres eslabones entre sí. Debido al desgaste.. la carga se distribuye sobre la parte superior e inferior del pasador como se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Si el diámetro del pasador es de 0.40 pulg, determine el esfuerzo máximo de flexión sobre la sección transversal (¡-(¡ central. Para obtener la solución es necesario primero determinar las intensidades de las cargas !VI y !V2'
6-86. La viga simplemente apoyada está hecha de cuatro barras de f pulg de diámetro, dispuestas como se mucstra. Determine el esfuerzo máximo dc flexión en la viga debido a la carga mostrada. 6-87. Resuelva el problema 6-86 si el arreglo se gira 45° y se fija en tos soportes.
80 lb
~!SS;¡:~i9S~!~;1,,-1!l
---,.Ji!E'
~ 2 pies
800 lb
80 lb
+.----
6 pies - - - - 1 - 2 pies
P roUs. 6-86/87
tl pula.,
tl pIla..¡ Io.40pulg
-.
6-89. La viga de acero tiene la sección Iransversal moslrada. Si IV = 5 klb /pie.delermine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga.
~ f- l.5 p!Jlg -l
400 lb
. 6-88. La viga de acero liene [a sección transversal mostrada. Determine la intensidad máxima de la carga w dislribuida que puede soportar la viga sin que el esfuertO de flexión exceda el valor U rnóx = 22 klb/pu[~{
<00 lb
Prob.6-83
*6-84. Una flecha está hecha de un polímero con sección transversal elíptica. Si resiste un momento interno M = 50 N . ro. dctenninc el esfuerzo máxi mo de flexión generadoen el material (a) usando la fónnula de la l1exión.donde 1, = f r.{O.08 m)(O.04 m)3. ( b) usando integración. Esboce una vista tridimensional de la distribución del esfuerlO que actúa sobre la sección transversal. 6-85. Resuelva el problema 6-84 considerando quc cl mOA mento M = 50 N' m está aplicado respecto al eje y y no respecto al eje x. Aquí. 1,. = hT(O.04 m)(O.08 ml
JE 1r1111 1-- 8 pies
'11111111
-1--
8 pies
~ 8 pies --1 8 pulg
f--I ~
0.3 pulg
-111o
O.30pulg pulg
T O,30 pUlg
Probs. 6-88189
PR0 8LEMAS
•
311
La viga tiene la sección transversal rectangular mos-
6-94. La estructura ABO del a la de un avión ligero está
trada. Determine la carga P máxima que puede soportar
hecho d e alwninio 2014-T6 y tiene una sección transversal de 1.27 X 3 pulg (peralte) y un morne ntode inercia res· pecto a su eje neutro de 2.68 pulg4 . Determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la estructura para la carga mostrada. Suponga que A, B Y son pasadores. L.1 conexión está hecha a lo largo de l eje central lo ngitudinal de la estructu ra.
6·9f).
sobre sus extremos volados si el esfuerLo de flexión no debe ser mayor que U rnú = 10 MPa. 6-91. La viga tie ne la sección transversal recta ngula r mostrada. Si P = 12 kN, determine el esCuerzo máximo absoluto de flexión en [a viga. Esboce la distribución de esfuerzo que actúa sobre la sección transversal.
e
p
1.5 m-+!- 1.5m::l i:
I ~I250mrn
H
2;rs::Y ~ lb
"
dJfTlltt
~"
D
B
e
1-- 3 piel - t---- 6 pies ----1
ISO mm
Probs. 6-90J9 1
·6-92. Oc un tronco de 2 pies de diámetro va a cortarse una secciÓn rectangular para usarse como viga simplemen-
Prob.6-94
te apoyada. Si el esfuerzo pennisible de flex ión para la madera es uPOn1 '" 8 klbj pulg 2, determine el ancho b y la altura /¡ requeridos por la viga para q ue ésta soporte la carga máxima posible. ¿Qué valor tiene esta carga?
6-93.
Dc un tronco de 2 pies de diámetro va a cortarse una sección rectangular para usarse como viga simplemente apoyada. Si el esfuerzo permisible de flexión para la madera es up
6-95.
La lancha tiene un peso de 2300 lb y centro de gravedad en G.Si se apoya en el soporte lisoA del remolque y puede considerarse soportada por un pasador en B, determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión desarrollado en la barra principal del remolque. Considere que esta barra es una viga en cajn ar ticulad n en y con las dimensiones mostradas en la figura.
e
h
I
.-- 2 pies --1
B I pie
p
[
A
+
L - - Spit's
-3 P i c s t 5 pie5 ~ 4 pies I p,e ~
8 pies
1.75 pulg f---l
TCJT'j 75
0
3 PUlgl
,-
1.5
Probs. 6-92/93
Prob.6-95
pulg
pulg
312 • CApITULO 6 flexión
· 6-96. Una viga de madera tiene sección transversal cuadrada como se muestra en la figura. Determine qué orien· tación de la viga da la mayor resistencia para soportar el momento M. ¿Cuál es la diferencia en el esfuerzo máximo resultante en ambos casos?
6-99, Una viga va a fabricarse a base de un plástico polictileno y tendrá la sección transversal mostrada. Determine su altura máxima requerida para que soporte el mayor momento M. ¿Qué valo r tiene este momenlO? Los esfuerzos permisibles de tensión y de compresión por fl exión del material son (Upe.m)l :: 10 klb /pulg 2 y (upe.m), "" 30 klb/pulg2, respectivamente,
(b)
")
Prob.6-96
6-97. La viga en voladizo tiene un espesor de 4 pulg y un peralte variable que puede describirse por la función y = 2[ (x + 2) /4 jo.2,donde .t está en pulgadas. Detennine el esfuerw máximo de flexión en la viga en su centro.
y =2 ( ~2) "4 "
l-- - - - >o ",,1, - -- ---f!' 500 lb
Prob.6-97
Prob.6-99
· 6-100. Una viga está hecha de un material que tiene módulos de elasticidad diferentes a tensión y a compresión. Determine la posición e del eje neutro y obtenga una expresión para el esfucrzo máximo de tensión en la viga con las dimensiones mostradas si está somet ida al momento fl exionante M. 6-101. La viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a un momento flexionante M. Si el material de que está hecha tiene módulos de elasticidad diferentes a tensión y a compresión como se muestra. determine la posición e del eje ncutro y el esfuerzo máximo de compresión en la viga.
6-98. Una viga de madera ticne una sección transversal que era originalmente cuadrada. Si está orientada como se muestra,detennine la altura 11' para que resista el momento máximo posible. ¿Qué tanto por ciento es este momento mayor que el resistido por la viga sin sus extremos aplanados?
------~~------ ,
, ,, v
Prob.6-98
Probs. 6- 1001101
SECCIÓN 6.5
6.5
Flexión asimétrica
• 313
Flexión asimétrica
Cuando desarrollamos la fórmula de la fl exión , impusimos la condición de que la sección transversal fuese simétrico respecto a un eje perpendicular al eje neutro; además., el momento inte rno resultan te M debfa actuar a lo largo del eje neutro. Tal es el caso para las secciones "T " o en canal mostradas en la figu ra 6-31. Sin embargo, esas condiciones son innecesarias y en esta sección mostraremos que la fórmula de la flexión puede también aplicarse a una viga con sección transversal de cualquier (arma o a una viga sometida a un momento interno resultante actuando en cualquier dirección . Momento aplicado a lo largo de un eje principal. Consideremos la sección transversal de la viga con la forma asimétrica mostrada en la figura 6-320. Tal como lo hicimos en la sección 6.4, establecemos un sistema coordenado derecho x, y, 1; con su origen loca lizado en el centroide e de la sección transversal y el momento interno resultante M actuando a lo largo del eje +1;. Requerimos que la distribución del esfu erzo que actúa sobre toda la sección transversal tenga una fuerza resultante cero, un momento interno resultante respecto al eje y igual a cero y un momento interno resultante respecto al eje 1; igual a M.· Estas tres condiciones pueden expresarse matemáticamente considerando la fuerza que actúa sobre el elemento diferencial dA localizado en (O, y, 1; ), figura 6-320. Esta fue rza es dF = a dA , y por tanto tenemos:
FR
""
O~
'i. Fx;
(6-14)
f alfA
y
Eje de simctJÍa
Fig.6·31
A
(M R ),
-
'l:M,;
(6-15)
O=fzad A A
(6- 16)
M = f -yadA
(M R ). = 'i.M.;
A
·La condición d: que los momen lOS respeclo al eje y sea n iguales a cero no se consideró en la se«:iÓn 6.'. ya que la dislTibuciÓn del esruerzo de nexiÓn era simétriea respecto al eje y y tal dist ribuciÓn del esruerzo da automáticamente un momento cero respeclo al eje y. Vea la figura 6·26c.
,
, I
dF= a dA
<
,\-...L--1._ x
Distribución de la deformao::ión
unilaria nonnal (\lista lateral) (.)
(b)
Fig.6·32
M
r--1.....L++-x Distribución de l es fuerzo de nexión (\lista lateral)
«)
314 • CAPíTULO 6 Flexión Como se mostró en la sección 6.4. la ecuación 6-14 se satisface ya que el eje z pasa por el cemroide de la sección transversal. Además, como el eje z representa el eje nelllro de la sección transversal, la deformación unita ria nonnal variará linealmente de cero en el eje neutro a un máximo en un punlo con la máxima coordenada y. y :: e, respecto al eje neutro. figura 6-32b. Si el material se comporta de manera elástica lineal , la distribución del esfuerzo normal sobre la sección transversal es también lineal, por lo que u = -(y/e)urnh, figura 6-32c. Cuando esta ecuación sc sustituye en la ecuación 6-16 y se integra, se llega a la fórmula de la fl exión Urnáx :: Me/ l. Cuando se sustituye en la ecuación 6-15, obtenemos: - umá, 0= e
f
yzdA
A
lo que implica que
JyZd A=O A
x
l' )
(b)
Esta integral se lIamaproduero de inercia de la sección transversal. Como se indica en el apéndice A. será ciertamente igual a cero si los ejes y y Z se escogen como los ejes de inercia pfineipalesde la sección transversal. Para una sección transversal de forma arbitraria, la orientación de los ejes principales siempre puede.determinarse usando las ecuaciones de transformación o bien el círculo de inercia de Mohr como se explica en el apéndice A ,seccionesA.4 y A.5. Sin embargo, si la sección transversal tiene un eje de simetría , los ejes principales pueden establecerse fácilmente ya que ellos siempre están orientados a lo largo del eje de simetría y perpendicularmente a éste. En resumen, las ecuaciones 6-14 a la 6-16 siempre serán satisfechas si el momento M se aplicn re~pecto a uno de los ejes centroidales principales de inercia. Por ejemplo, considere los miembros mostrados en la figura 6-33. En cada uno de estos casos,y y z definen los ejes principales de inercia de la sección transversal cuyo origen se localiza en cl centroide del área. En las figuras 6-33" y 6-33b, los ejcs principales se localizan por sime tría y en las figuras 6-33c y 6-33d su orientación se determina usando los métodos del apéndice A. Como M se aplica respecto a uno de los ejes principales (eje z), la distribución del esfuerzo se determina con la fórmula de la flexión, fT = My /l z. Yse muestra para cada caso.
(.)
(d)
SECCIÓN 6.5
Momento aplicado arbitrariamente. En ocasiones un miembro puede estar cargado de modo tal que el momento in lerno resultante no actúa respecto a uno de los ejes princi pales de inercia de la sección transversal. Cuando éste es el caso. el momento debe primero descomponerse en componentes dirigidas a lo largo de los ejes principales. La fórmula de la flexión puede entonces usarse para determinar el esfu erzo normal causado por cada componente del momento. Finalmente, usando el principio de superposición,el esfuerzo normal resultante en un punto puede determinarse. Para mostrar cómo se hace esto, considere la viga con sección transversal rectangular sometida al momen to M mostrada en la figura 6-34a. Aquí, M form a un ángulo (J con el eje principal z. Supondremos que (J es positivo cuando está dirigido del eje + Z hacia el eje +y, como se muestra. Descomponiendo M en componentes a lo largo de los ejes l y y, tenemos Mt = M cos y My = M sen respectivamente. Cada una de esas componen tes se muestra por separado sobre la sección transversal en las figuras 6-34b y 6-34c. Las distribuciones de esfu erzo normal que producen M y sus componen tes M= y M)' se muestran en las fi guras 6-34d, 6-34e y 634[, respectivamente. Se supone aquí que (ax)mh > (~)mh' Por inspección, los esfuerzos máximos de tensión y de compresión [(ax)máx + (ai)máxl se presentan en dos esqu inas opuestas de la viga. figura 6-34d. Aplicando la fórmula de la fl exión a cada componente del momento en las figuras 6-34b y 6-34<:, podemos expresar el esfuerzo normal resultante en cualquier punto sobre la sección transversal, figura 6-34d. en términos generales como:
e
Flexión asimétrica • 315
e.
(a)
11 y
x
(6-17)
(b)
+
, donde
a = esfuerzo normal en el punto
y, z
=
coordenadas del punto medidas desde los ejes x, y, z que tienen su origen en el centroide de la sección transversal y forman un sistema coordenado derecho. El eje x está dirigido saliendo de la sección transversal y los ejes y y Z representa n respectivamente los ejes principales de momentos de inercia mínimo y máximo de la sección transversal.
MY' M I = componentes del momento interno resultante di rigidas a [o largo de los ejes principales y y z. Ellas son positivas si están dirigidas a lo largo de los ejes +y y +z; de otra manera, son negativas. Dicho de otra mane ra, M)' = M sen y M : = M cos (J, donde (J es positivo si se mide del eje +z hacia el eje +y.
e
IY'
I~
= momelllos de inercia principales calculados respecto a los ejes y y z, respectivamente. Vea el apéndice A.
(ol Fig.6·34
316 • CApITULO 6
Flexión Como mencionamos anteriormente, es muy importante que los ejes x, y, Z fo rmen un sistema derecho y que se asignen los signos algebraicos apropiados a las componentes del momento y a las coordenadas al aplicar esta ecuación. El esfuerzo resultante será de tensión si es positivo y de compresión si es negativo . Orientación del eje neutro. El ángulo a del eje neulro en la figura 6-34d puede determinarse aplicando la ecuación 6-17 con CT = O,ya que por definición, ningún esfuerLO normal actúa sobre el eje neutTO. Tenemos:
("
Como M z = M cos
11
ey My =
M sen
e, entonces
Ésta es la ecuación de la línea que define el eje neutro de la sección transversaL Como la pendiente de esta línea es' tan a = y/z, entonces,
1, tana = - tan9 1, ("
+
y
(0 Fig. 6· 34 (cont.)
Puede verse aquí que para flexión asimétrica el ángulo e,que define la dirección del momento M, figura 6-34a , no es igual a a, esto es, al ángulo que define la inclinación del eje neutro, figura 6-34d, a menos que I l = Iy. En cambio, si al igual que en la figura 6-34a el eje y se escoge como el eje principal para el momento de inercia mínimo y el eje z se escoge como el eje principal para el momento de inercia máximo , de modo que Ir < Iz' entonces de la ecuación 6-19 podemos concluir que el ángulo a , que se mide positivamente desde el eje +z hacia el eje +y, se encontrará entre la línea de acción de M y el eje y, esto es O:::; ex :=: 90°.
PUNTOS IMPORTANTES • La fórmula de la flexión puede aplicarse sólo cuando la fl exión ocurre respecto a ejes que representan los ejes principales de inercia de la sección transversaL Esos ejes tienen su origen en el centroide y está n orientados a lo largo de un eje de simetría, si existe uno, y el aIro perpendicular a éL • Si el momento se aplica respecto a un eje arbitrario, entonces el momento debe resolverse en componentes a lo largo de cada uno de los ejes principales, y el esfuerLO en un punto se determina por superposición del esfuerzo causado por cada una de las componentes del momento.
SECCiÓN 5.5
x,
Flexión asi métrica
• 317
EJEMPLO
0'
11i-
de
La sección transversal rectangular mostrada en la figura 6-35a está sometida a un momento flexi onante de M = 12 kN · m. Determine el csfuerzo normal desarrollado en cada esq uina de la sección, y especifique la orient ación del eje neutro. Solución Componentes del mumenlO ¡nlemo. Por inspecciÓn se ve que [os ejes y y Z representan los ejes pri ncipales de inercia ya que ellos son ejes de simetría para la sección transversal. Según se requiere. hem os establecido el eje z como el eje principal para el momento de inercia máximo. El momento se descompone en sus componentes y y z, donde
M,
~
18) M~ =
4
-5(12 kN · m)
~
-9.60 KN · m
3 5( 12 kN 'm ) = 7.20 kN'm
Propiedades de la sección_ ejes y y Z son:
Los momentos de inercia respecto a los Fig.6.35
19)
" =
"
diulo
',.
eje
I~ (0.4 m)(0.2 m)3 ~ 0.2667(10- 3) m'
~ I~ (0.2 m)(0.4 m)3 ~
Esfuerzos dejle;t,;;ólI.
1.067(10-3) m'
Se tiene entonces:
) el
'"
: se llre
l'
UB
=
Uc
=
U f)
=
¡.
7.20(10') N· m(O.2 m) 1.067(10- 3 )
4
m
+
7.20(103) N · m(0.2 m) + 1.067(10 3) m' 7.20(103) N . m( -0.2 m)
-~-;:;==:-.,---'.
1.067(10 3) m'
-9.60(10') N . m( -0.1 m) = 2.25 M Pa 0.2667(10 3) m' -9.60(103) N· m(O.1 m) 0.2667(W
+
7.20(10') N· m( -0.2 m) UE = -
1.067{10 3) m4
3
)
m'
= -4.95 MPa
- 9.60(10') N · m(O. \ m) - -2.25 MPa 0.2667(10- 3) m' -9.60(10') N· m( -0.1 m)
+
0.2667(10 3) m4
4.95 MPa
La distribución resultante del esfuerzo nOrmal está esbozada usando estos valores en la figura 6-35b. Como el principio de supe rposición es aplicable, la distribución es lineal , como se muestra.
Resp. Hesp.
Resp. Resp.
Continúa
318 • CApiTULO 6 Flexión
M_12kN'm A
4.95 MPa A
E
2.25 MPa D
+-P'f:\L---- , a
e
8
0.2 m
N y
(ol
(b)
Orientaci6n del eje neutro. La posición 2.: del eje neutro (NA), figura 6-35b, puede determinarse por proporción. A lo largo del borde Be se requiere: 4.95 MPa (0.2 m - z) 0.450 - 2.252.: = 4.952.: 2.: = 0.0625 m
2.25 MPa
z
De la misma manera. ésta es también la distancia de D al eje neutro en la figura 6-35b. Podemos esta bl ecer también la orientación del NA usando la ecuación 6-19, que se utiliza para determinar el ángulo a que el eje forma con el eje 2.: o eje principal máximo. De acuerdo con nuestra convención de signos, Odebe medirse desde el eje +2.: hacia el eje +y. Por comparación,en la figura 6-35c, él = -tan - 1j = -53.1 ° (o él = +306.9°). Así, 1, tan r:r = - tanO 1, 1.067(10- 3 ) m' tana= 3 4 tan (-53.1°) 0.2667(10 ) m
a = -79.4°
Resp.
Este resultado se muestra en la figura 6-3Sc. Usando el valor calculado antes de 2.: , verifique, usando la geometría de la sección transversal, que se obtiene la misma respuesta.
SECCIÓN 6.5
Flexión asimétrica
• 319
EJEMPLO Una viga T está sometida al momento flexionan le de 15 kN . m, como se muestra en la figura 6-300. Determine e l esfuerzo normal máximo en la viga y la o rientación del eje neutro.
15kN·m
(.)
Solución
Componenltl' del momento imemo. Los ejes y y z son ejes principales de inercia. ¿Por qué? Según la figura 6-300, ambas componentes del momento son positivas. Tenemos: My = (IS kN'm ) cos300 = 12.99 kN·m M~ = (lS kN'm )sen 30° = 7.50 kN · m Propiedades de la sección. Con referencia a la figura 6-36b , trabajando con unidades en metros, tenemos:
0.02
_ LzA m)(O.04 m) + [0.1 15 m](0.03 m)(0.200 m) ,-LA-- [0.05 m](O.IOO (0.100 m)(O.04 m ) + (0.03 m )(0.200 m) = 0.089001
1, 1-
1
+ 12(0.03 m )(0.200 m)'
¡
F
[ I~ (0.04 m)(O.I00 m)' + (0.100 m )(O.04 m) (0.0890 m -
I
[i2 (0.200 m)(0.03 m )' + (0.200 m)(0.03 m )(O. l1S m -
=
13.92(10-6) m 4
1 0.0890 m)' 1 0.05 m)'
,
0.1 OO m
- 20.53 (10-6) m'
+
r-
0.080 m
0.03 m
Usando el teorema de los ejes paralelos visto en el apéndice A , 1 = + Ad2 , los momentos de inercia principales son entonces:
1 1, - 12 (0.100 m)(O.04 m)'
0.02 m
m
0.080 m
(b)
Fig.6-36
Continúa
y
320 • CApITULO 6 Flexión
r
O loo .
~8 0.04 10 mi
,
m-l ."kN.m 7
, ¡--.
I
"". . 12.99 kN'm
,
oJ
90m.J
U
~0.02m
-
(d)
(01
Esfuerzo máximo deflexión. Las componentes del momento se muestran en la figura 6-3&. Por inspección, el esfuerzo máximo de tensión ocurre en el punto B, ya que por superposición ambas componentes del momento generan ahí un esfuerzo de tensión. Oc la misma manera, el esfuerzo máximo de compresión ocurre en el punto C. Así, Mt y U"" - - -
II
Myz
+ -ly
7.50 kN' m (-0.100 m)
12.99 kN· m (0.0410 m)
20.53(10--6) + 13.92(1O-ti) m4 = 74.8MPa 12.99 kN . m (-0.0890 m) 7.50 kN· m (0.020 m) Uc = + 20.53(10-<) m' 13.92(10-<) m' = -9{).4MPa Resp. UB
=
m4
Por comparación , el esfuerzo norma l máximo es de compresión yocurre en el pun to C. Orientaci6n del eje neutro. Al aplicar la ecuación 6-19 es importante definir correctamente los ángulos a y 8. Como se indicó antes.,y debe representar el eje para el momento de inercia principal mínimo y z debe representar el eje para el momento de inercia principal máximo. Esos ejes están aquí apropiadamente posicionados ya que ly < l~ . Usando este arreglo, 8 ya se miden positivamente del eje +z hacia el eje +y. Por tanto, de la Figura 6-360, 9 = +60°. Entonces.,
Resp.
El eje neutro se muestra en la figura 6-36d. Como era de esperarse, se encuentra entre el eje y y la línea de acción de M.
SfCCIÓN 6.5
Flexión asimétrica • 321
EJEMPLO La sección Z mostrada en la figura 6-370 está sometida al momento M ::;; 20 kN· m. Usando los métodos del apéndice A (vea el ejemplo AA o el A.5),los ejes principales y y z se orientan como se muestra, de manera que ellos representan los ejes para los momentos de inercia principales mínimo y máximo, Iy ::;; 0.960(10- 3 ) m4 e Iz = 7.54(10- 3 ) m 4, respectivamente. D etcnnine el esfuerzo normal e n el punto P y la orientación del eje neutro. Solución
Para usar la ecuación 6-19, es importante que el eje z sea el eje principal para el momento de inercia máximo, que efectivamente lo es ya que la mayor parte del área de la sección está más alejada de este eje que del eje y.
Componentes del momento interno.
,.
De la figura 6-37a,
My = 20 kN - m sen 57.1 0 = 16.79kN-m M l = 20 kN· m cos 57. 1° = 10.86 kN · m Esfuerzo deflexión. Las coordenadas y y z del punto P deben delerminarse primero. Observe que las coordenadas y' , z' de Pson (- 0.2 m, 0.35 m). Usando los triángulos sombreados en la construcción mostrada en la figura 6-37b , tenemos:
yp Zp
= =
-0.35 sen 32.9° - 0.2 cos 32.9° "" -0.3580 m 0.35 cos 32.9° - 0.2 sen 32.9° = 0.1852 m
El eje neutro está localizado como se muestra en la figu ra 6-37b.
Resp.
(bl FJC.6-37
,.
A
322 • CApiTULO 6 Flexión
PROBLEMAS 6-102. El miembro tiene una sección transversal cuadra· da y está sometido a un momento resultante M "" 850 N' m como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo de flexión en cada esquina y esboce la distribución de esfuerzo producida por M. Considere (1 - 45 ~ .
6-105. La viga T está sometida al momento M 150 klb' pulg con el sentido mostrado. Determine el es· fuer.lO máximo de flexión en la viga y la orientación del eje neutro. Determine también la posición a del centroide C.
6-103. El miembro tiene una sección transversal cuadra· da y está sometido a un momento re5ultante M - 850 N ' IIJ como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo de fle· xión en cada esquina y esboce la distribución de esfuer.w producida por M. Considere (1 '" 300 •
f -- --iM'" 150 klb'pulg
8 pul~
7 r-f-¡":::"" M. 850 N'm
I Prob.6-105
y
Probs. 6·1021103
·6-1U4. La viga tiene una sección transversal rectangular. Si está sometida a un momento M = 3500 N' m con el sentido mostrado, determine el esfuer.lO de flexión máxi· mo en la viga y la orientación del eje neutro.
Pro"- 6-104
6-106. Si el momento interno que actúa sobre la sección transversal del puntal ti ene una magnitud de M ""' 800 N' m con el sentido mostrado en [a figura, determine el esfuerl.O de flexión en los puntosA y B. Determine también la posición l del centroide e de [a sección transversal del puntal, asf como la Orientación del eje neutro. 6-107. El momento resultante que aclúa sobre la sección transversal del puntal de aluminio tiene una magnitud de M .. 800 N' m y el sentido mostrado en la figura. Determi· ne el esfuer/.Q máximo de flexión en el puntal. Determine también la posición y del cClltroide e de la sección transversal del puntal, así como la orientación del eje neutro.
Probs. 6-1061107
PROBLEMAS
*6-108. La viga de acero de patín ancho en voladizo está sometida a la fuerza P concentrada en su extremo. Determine la magnitud máxima de esta fuerza tal que el esfuerzo de fl exión generado en A no exceda el valor O"porm = ISO MPa.
6-109. La viga de acero de patín ancho en voladizo está sometida a la fuerza concentrada P = 600 N en su extremo. Determine el esfuerzo máximo de flexión generado en la sección A de la viga.
~
•
323
6-111. Considere el caso general de una viga prismática sometida a las componentes de momento M,. y M;: como se muestra, cuando los ejes x, y, l pasan por el cenlroide de la sección transversal. Si el material es elástico-lineal, el esfuerzo normal en la viga es una función lineal de la posición tal que O" '" a + by + el . Usando las condiciones de equilibrio O = lA O" dA , M, "" lA zO"dA , Ml = lA - yudA. determine las constantes a, b y e y demuestre que e l esfuerzO normal puede determinarse con la ecuación u = [- (Ml I,. + M,I,<)y + (M,i. + M .I,t}z! /U, I , - 1"./). Los momentos y productos de inercia están definidos en el apéndice A.
IOmm~3E 150nlm IOmm IOmm=:=
Probs. 6-1081109 Prob.6-I11 6-110. El tablón se usa como vigueta de piso simplemente apoyada. Si se aplica un momento M = 800 lb' pie a 3° del eje l, determine el esfuerzo de flexión generado en el tablón en la esquina A. Compare este esfuerzo con el generado por el mismo momento aplicado a 10 largo del eje l (9 = 0°). ¿Qué valor tiene el ángulo a para el eje neutro cuando 8 .. 3°? Comentario: normalmente. las duela!) dd piso se clavan a la parte superior de las viguetas de modo que O- O" Y los altos esfuerzas debidos a la fa lta de alineamiento no se presentan.
*6-Ul. La viga en voladizo tiene la sección transversal Z mostrada. Bajo la acción de las dos cargas, determine el esfuerzo máximo de flexión en el punto A de la viga. Use el resultado del problema 6-111 .
6-113. La viga en voladizo tiene la sección transversal Z mostrada. Bajo la acción dc las dos cargas, determine el esfuerzo máximo de flexión en el punto B de la viga. Use el resultado del problema 6-1 11.
50 lb 50 lb
~ 3PiCS
~ 2 pies · --.,
0.25 pulg
:f,j1I
2.25 pull
3 pul!
T 025
~I,
-,1-
,
0.25 pulg y
Prob. 6-1IO
Probs. 6-11.21113
324 •
CAPfrULO 6 Flexión
De acuerdo con los procedimientos delineados en el apéndice A, ejemplo A.5 o A.6, la sección Z tieDe los momentos de inercia principales Iy = 0.060(10- 3) m 4 e 1: = 0.471 (10- 3) m·, respecto a los ejes principales de inercia y y l , respectivamente. Si la sección está sometida a un momento M - 250 N' m dirigido horizontalmente como se muestra, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto A. Resuelva el problema usando la ecuación 6-17. 6-114.
6-115. Resuelva el problema 6·114 usando la ecuación desarrollada en el problema 6·11 L ·6-116. Según los procedimientos delineados en el apén· dice A, ejemplo AS o A.6, la sección Z tiene Jos momentos principales de inercia 1, :: 0.060(10- 3) m4 e It = 0.47(10- 3) m\ calculados respecto a [os ejes principales de inercia y y l,respectivamente. Si la sección está sometida a un momen· to M = 250 N . m dirigido horizontalmente como se muestra, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto B. Resuelva el problema usando la ecuación 6-17.
Probs. 6-1I411l5l1U
*6.6
6-117. Para la secdón mostrada, I,.. = 31.7(10- 6) m 4 ,1:, = 114( 10- 6) m4 , 1,..:. = 15.1 (10- 6) m4.Según los procedimientos delineados en el apéndice A , la sección transversal del miembro liene Jos momentos de inercia Iy = 29.0(10- 6) m4 el: = 117(10- 6) m4 , calculados respecto a los ejes principales de inercia y y l , respectivamente. Si la sección está sometida a un momento M = 2500 N' m con el sentido mostrado, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto A usando la ecuación 6-17. R\:sudva. d problema. 6-111 usando la ecuad6n desarrollada en el problema 6· 11 1.
6-118.
Probs. 6-1171118
Vigas compuestas Las vigas compuestas de dos o más materiales se denominan vigas compueslas. Ejemplos incluye n aq uellas hechas de madera con cubreplacas
Ptacas de acero (. )
Barras de accru
de reruer/.o (b)
Fig.
~38
de acero en sus partes supe rior e infe rior, figura 6-38a, O más comúnmente, vigas de concreto refor.ladas con barras de acero, figura 6-38b . Los ingenieros diseñan intencionalmente de esta manera las vigas para desarrollar un medio más efici e nte de tomar las cargas aplicadas. Por ejemplo, se mostró en la sección 3.3 que el concreto es excelente para resistir esfuerzos de compresión pero que es muy pobre en su capacidad de resistir esfuerzos de tensión. Por esto, las barras de acero de refuerzo mostradas en la figu ra 6-38b se han colocado en la zona de tensión de la sección transversal de la viga, de manera que dichas barras resistan los esfuerzos de tensión que genera el momento M. Como la fórmula de la flexión se desarrolló para vigas cuyo material es homogéneo, esta fórmula no puede aplicarse directamente para determinar el esfuerzo normal e n una viga compuesta. Sin embargo, e n esta sección desarrollaremos un método para modificar O"transformar" la sección transversal de la viga en otra hecha de un solo mate ri al. U na vez hecho esto, la fórmula de la flexión puede entonces usarse para el análisis de los esfuer.lOs'
SECCIÓN 6.6
,mleas
len· ; in-
rro), se
Para explicar cómo aplicar el método de la sección tramformada, consideremos la viga compuesta hecha de dos materiales, I y 2,que ticnen las secciones transversales mostradas en la figura 6-390. Si se aplica un momento fl exionante a esta viga, entonces, como en el caso de una viga homogénea, la sección transversal total permanecerá plana después de la fl exión y por consiguiente las deformaciones unitarias normales variarán linealmente de cero en el eje neutro a un valor máximo en e l material más a lejado de este eje, figura 6-39b. Si el material tiene un comportamiento elástico lineal. la ley de Hooke es aplicable y en cualquier punto el esfuerzo normal en el material 1 se determina con la relación u = ElE. Igualmente, para el material 2, la distribución del esfuerzo se encuentra con la relación u = E 21E. Es claro que si el material 1 es más rígido que el material2,por ejemplo, acero versus hule, la mayor parte de la carga será tomada por e l material 1, ya que El > El' Suponiendo que éste es e l caso, la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 6-39c o 6-39d. En particular, note el salto en el esfuerzo que ocurre donde se unen los dos materiales. Aquí, la deformaci6n unitaria es la misma, pero como el módulo de elasticidad o rigidez de los materiales cambia bruscamente, igualmente lo hace el esfuerzo. La localización del eje neutro y la determinación del esfuerzo máximo en la viga, usando esta distribución del esfuerzo, puede basarse en un procedimiento de tanteos. Esto requiere satisfacer las condiciones de que la distribución del esfuerzo genera una fuerza resultante nula sobre la sección transversal y que el momento de la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro sea igual a M. Una manera más simple de satisfacer esas dos condiciones es transformar la viga en otra hecha de un solo material. Por ejemplo, si imaginamos que la viga consiste enteramente del material 2 menos rígido, entonces la sección t ransversal se verá como la mostrada en la figura 6-3ge. Aquí, la altura h de la viga permanece igual, ya que la distribución de la deformación unitaria mostrada en la figura 6-39b debe preservarse. Sin embargo. la porción superior de la viga debe ser ampliada para que tome una carga equivalente a la que soporta el material 1 más rígido, figura 6-39d. El ancho necesario puede determinarse considerando la fuerza dF que actúa sobre un área dA = dz dy de la viga en la figura 6-390. Se tiene, dF = u dA = (EllE) dz dy. Por otra parte, si el ancho de un elememo correspon{lieme de altura dy en la figura 6-3ge es n dz . entonces dF' = tr' dA' = (E2 lE)" dz dy. Igualando esas fuerzas. de modo que ellas produzcan el mismo momento respecto al eje z, tenemos
ueT; es-
s de ",les !teresta secvez
náli-
(,)
VariadÓn de la deformación unitaria normal (vista lateral) (b)
,
Variación del esfuerzo de flexión (vi sla laleral) (o)
EllE dz dy = EzIEII dz dy
o
sen aos-
Vigas compuestas • 325
11
E,
= -
E,
(6-20)
Esle número n sin dimensiones se lJamafoctorde transformaci6n. lndica que la sección transversal con ancho b en la viga original, figura 6-390, debe incrementarse en ancho a b1 = nb en la región donde el material 1 va ser transformado en material 2, fi gura 6-3ge. De manera similar, si el material 2 menos rígido va a transformarse en el material 1 más rígido, la sección transversal se verá como la mostrada en la figura 6-39f Aquf, el ancho del material 2 se ha cambiado a b¡ = ,,'b, donde n' = El / EI.Ad-
Variación del e:sfueno de flexión (d)
Fig.6-39
326 • CApITULO 6 Flexión
vierta que en este caso el factor de transformación 11 ' debe ser mellor que ya que El > E 2 • En otras palabras, necesitamos menos del material más rígido para soportar un momento dado. Una vez que la viga ha sido transformada en otra hecha con un solo ma· terial, la distribución del esfuerlo normal sobre la sección transformada será lineal como se muestra en la fig ura 6-39g o 6-39h. En consecuencia , el centroide (eje neutro) y el momento de inercia de la sección transformada pueden determinarse y aplicarse la fórmula de flexión de la manera usual para determinar el esfuerzo en cada punto de la viga transformada. Observe que el esfuerzo en la viga transformada es equivalente al esfuerzo en el mismo material de la viga real. Sin embargo, para el material transformado, el esfuerzo encontrado en la sección transformada tiene que ser multiplicado por el fac tor de transformación n (o n'), ya que el área del material transformado, dA' = n dz dy. es 11 veces el área del material real dA = dz dy. Esto es: 11110
h
1
_ _ ........ .t
f-~ Viga transfonnada al material Q)
«)
dF = udA = u'dA ' udzdy
=
u'lIdzdy
u = nu '
(6-21)
Los ejemplos 6-21 y 6·22 ilustran numéricamente la aplicación del método de la sección transformada. (Q
Variación del esfuerzo de nexión plrn la viga
transfonnada nI material @ (g)
Variadón ckl esfuerzo ck nexión p1nl la viga transformada al material Q) (h)
Fig. 6-39 (tonl.)
PUNTOS IMPORTANTES • Las vigas compuestas están hechas de materia les diferentes para tomar eficientemente una carga. La aplicación de la fórmula de la flexión requiere que el material sea homogéneo, por lo que la sección transversal de la viga debe ser transformada en un solo material si esta fórmula va a usarse para calcular el esfuerzo de tlexión. • El factor de transformaci6t! es la razón de los módulos de los diferentes materiales de que está hecha la viga. Usado como un multiplicador. éste convierte las dimensiones de la sección transversal de la viga compuesta en una viga hecha de un solo material de modo que esta viga tenga la misma resistencia que la viga compuesta. Un material rígido será reemplazado por más del material menos rígido y viceversa. • Una vez que el esfuerzo en la sección transformada se ha determinado, éste debe multiplicarse por el factor de transformación para obtener el esfuerzo en la viga reaL
SECCiÓN 6.6
que hal D-
.da cia.
"a-
Vigas compuestas • 327
EJEMPLO Una viga compuesta está hecha de made ra y está reforzada con una cubreplaca de acero localizada en el fo ndo de la viga. TIene la sección transversal mostrada en la figura 6-40((. Si la viga está sometida al momento flexionante M = 2 kN · m, determine el esfuerzo normal en los puntos B y C. Considere Emad = 12 GPa y Ea<; = 200 G Pa.
¡era Ida.
:no rns-
se, del real
-21 ) mé-
lb) Rg.6-4O
Solución
Propiedades de la sección, Aunque la selección es arbitraria. transformaremos aquí la sección en una hecha enteramente de acero. Como el acero tiene una mayor rigidez que la madera (Eac > Emad).el ancho de la madera debe reducirse a un ancho equivalente de acero. Por [anta, n debe ser menor que l. Para que esto sea el caso, n :: Emad/ Eac. por lo que:
12 GPa bac = nbmad :: 200 G Pa (150 mm) :: 9 mm a e
la lo de
La sección transformada se muestra en la figu ra 6-40b. La posición del cenlroide (eje neu tro), calculada respecto a un eje de referencia situado en el fondo de la sección es:
_ diun
sel
,ón
[0.01 01](0.0201)(0.150 m) + [0.095 m](0.009 01)(0.150 m) 0.02m (0. 150m) + 0.009 m(0.150 m)
~003638m
.
El momento de inercia respecto al eje neutro es entonces:
le-
vi-
¿yA ¿A
y ~--~
¡NA
~
LI
+
[1~(0.OO9 m)(0.150m)' + (0.009 m)(0.150m)(0.095m
2
(0. 150 m)(0.02 m)'
= 9.358( 10-6) m 4
+
(0.150m)(0.02m)(0.03638m - 0.01 m)'] - 0.03638 m )'] ComimlO
328 • CApiTULO 6 Flexión
7.78 MPa
(d)
Esfuerzo normal, mal en B' y Ces:
U S'
=
Aplicando la fórmula de la (]exión, el esfuerzo nor-
2 kN· m(0.170 m - 0.03638 mi -6 4 = 28.6 MPa 9.358( 10 1m
Ue =
2 kN· m(0.03638 mi 9.358(10-6) m4
- 7.78 MPa
Resp.
La distribución del esfuerzo normal sobre la sección transfonnada (toda de acero) se muestra en la figura 6-4Oc. El esfuerzo normal en la madera en B, figura 6-40a, se detennina con la ecuación 6-21; asf, 120Pa
U s = nus, = 200 O Pa (28.56 MPa) = 1.71 MPa
R esp.
Usando estos conceptos, demuestre que e l esfuerzo normal en el acero y en la madera en el punto e n que están en contacto es U ac = 3.50 MPa y Um ad = 0.210 MPa. respectivamente. La distribución del esfuerzo normal en la viga real se muestra en la figura 6-40d.
SECCIÓN 6.6
Vigas compuestas
• 329
EJEMPLO Para reforzar la viga de acero, se coloca un tablón de rob le entre sus patines como se muestra en la figura 6-41a. Si el esfuerzo normal permisible para el acero es (uperm)ac :::: 24 kl bj pulg2 y para la madera es (Uperm)mad "" 3 klb/ pulg2, determine el momento flexionante máximo
que la viga puede soportar con y sin el refuerzo de madera . Eae "" 29(103) klbj pulg2 , E mad = 1.60(lIY) klb/ pulg2, El momento de inercia
de la viga ue acero es II - 20.3 pulg 4, y el área de su sección transversal es A = 8.79 pulg 2,
0.200 pulg (b) (,)
t1g. 6-41
Solución
Sin madera. Aquí el eje neutro coincide con el eje z. La aplicación directa de 1;1 ({¡rmula de la flexión a la viga de acero nos da: (uperm)ac =
Como ahora tenemos una viga compuesta, debemos transformar la sección a un solo material. Será más fácil transformar la madera a una cantidad equivalente de acero. Para hacer esto, n = Emad/Eae' ¿Por qué? Así, el ancho de una cantidad equivalente de acero es: 1.60(10') klb/pulg' 29(103) klb/pulg' (12 pulg) = 0.662 pulg
Conrimía
330 • CApITULO 6 Flexión
La sección transformada se muestra en la figura 6-41b. El eje neutro está en:
El esfuerzo normal máximo en el acero ocurrirá en el fondo de la viga, figura 6-41b. Aquí, e = 4.200 pulg + 0.5093 pulg = 4.7093 pulg. El momento máximo con base en el esfuerzo permisible del acero es por tanto: Me
(u perm)ac = - ¡, M(4.7093 pulg) 24 klbj pulg = 4 33.68 pulg M = 172 klb' pulg
El esfuerzo normal máximo en la madera se presenta en la parte superior de la vigo, figura 6-41b. Aquí. e' = 4.20 pulg - 0.5093 pulg = 3.6907 pulg. Como Urnad = nulIC • el momento máximo con base en el esfuerzo permisible de la madera es: (upcrm)rnad =
, 3 klb/ pulg M'
~ ~
M'e'
n- ¡-
[ 1.60(10') klb/PUlg'] M '(3.6907 pulg) 29( 10') klb/pulg'
33.68 pulg'
496 klb · pulg
Por comparación, el momento máximo está regido por el esfuerzo permisible en el acero. Así, M = 172 klb'pulg
Resp.
Advierta también que al usar la madera como refuerzo. se proporciona una capacidad adicional de 48% de momento para la viga.
SECCIÓN 6.7
* 6.7
Vigas de concreto reforzado • 331
Vigas de concreto reforzado
Todas las vigas sometidas a fl exión pura deben resistir tanto esfuerLos de tensión como de compresión. Sin embargo, el concreto es muy susceptible al agrietamien to cuando está tensionado, por lo que por sf mismo no es apropiado para resistir un momento de flexión.· Para superar esta desventaja, los ingenieros colocan barras de refuerzo de acero dentro de una viga de concreto en lugares en que el concreto está a tensión, figu ra 6420. Para quc sean 10 más efectiva posibles. esas barras se sitúan lo más lejos posi ble del eje neutro de la viga, de manera que el momento generado por las fuerzas desarrolladas en las barras sea máximo respecto al eje neulro. Por otra parte, la ba rras deben tener un recubrimiento de concreto que las proteja de la corrosión o de la pérdida de resistencia en caso de un incendio. En el diseño de concreto reforzado, la capacidad del concrelo para soportar cargas de tensión se desprecia ya que un posible agrietamiento del concreto es impredecible. En consecuencia , la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre la sección transversal de una viga de concreto reforzado se supone igual a la mostrada en la figura 6-42b. El análisis de esfuerzos requiere localizar el eje neutro y detenninar el esfuerzo máximo en el acero y en el concreto. Para hacer esto, el área de acero Aac se transforma primero en un área equivalente de concreto usando el factor de transformación n = Eac j Econc' Esta relación, que da n > 1, se escoge ya que una cantidad "mayor" de concreto es necesaria para reemplazar al acero. El área transfonnada es nAac y la sección transformada se ve como la mostrada en la figura 6-42c.Aquí, d representa la distancia de la parte superior de la viga al acero (transformado), b el ancho de la viga y h ' la distancia aún no conocida de la parte superior de la viga al eje neutro. Podemos obtener h' usando el hecho de que el centroide e de la sección transversal de la sección transformada se encuentra sobre el eje neutro, figura 6-42c. Por tanto, con referencia al eje neutro, el mumt:ntu 1.11:: I¡¡s dos áreas,I.yA, debe ser cero, puesto que y - I.yA j I.A O.Así,
%h,2
+ IIAach' -
Se $upone q\IC el concmo está agrietado
en esta región (b)
nA .cd = O
Una vez obtenida 11 ' de esta ecuación cuadrática, la solución procede de manera usual para la obtención del esfuerzo en la viga.
(o)
Fig. 642 -La inspección de su diagrama particular de esfuerzo.dcformación unitaria en la figura 3- 11 revela que tstc concreto es 12.5 veces más resislcnte en compresión que en tensión.
332 • CApITULO 6 Flexión
J EJEMPLO La viga de concreto reforzado tiene la sección transversal mostrada en la figura 6-43a. Si está some tid a a un momento fle xionante M = 60 klb· pie, detenni ne el esfuerzo no nnal en cada una de las barras de acero de refuerzo y el esfuerzo normal máximo e n el concreto. Cons i ~ dere Eac = 29(1&) klbf pulg 2 y Econc = 3.6(1&) klbf pulg 2. Solución Como la viga está hecha de concreto, en el siguiente análisis despreciaremos su resiste ncia para soportar esfu e rzos de tensión.
El á rea to tal de acero, A.c "" 2[1T(O.5 pulg)2] = 1.571 pulg 2 será transformada e n un área equivalente de con· creta, figu ra 6-43b. Aquí,
Propiedades de la sección.
~ pulg Barras de l pul, de diá:necro
(.)
A' = nA
CA
29(10') klb/pulg' 3.6( 10') klb/pulg'
(1.571 pulg2 ) = 12.65 pulg2
Requerimos que el centroide se encuentre sobre el eje neutro. Enton·
1- 12 PUl,,;., ,_-,-
ces,IyA =
J"
e
"
=
0,0
12 pulg( h ')
2h ' -
h ,2
:c 12.65pulg 1
12.65 pulg' ( 16 pulg - h ') - O
+ 2.11h' ~ 33.7
= O
La raíz positiva es:
(b)
h' - 4.85 pulg Usando este valor de h', el momento de inercia de la sección tra nsformada respecto al eje neutro, es:
La distribución del esfuerzo normal se muestra gráficamente en la figura 6-43c.
SECCl6N 6.8
Vigas curvas
• 333
*6.8 Vigas curvas La fórmula de la flexión es aplicable a miembros prismáticos rectos, ya que, coma se mostró antes, para miembros rectos la deformación unitaria normal varía linealmente desde el eje neutro. Sin embargo, si el miembro es curvo esta hipótesis no es correcta, por lo que debemos desarrollar otra ecuación que describa la distribución del esfuerzo. En esta sección consideraremos el análisis de una viga curva, es decir, de un miembro con eje curvo y sometido a flexión. Ejemplos tfpico:s iucluyen ganchos yeslabones de cadenas. En todos los casos, los miembros no son delgados pero tienen una curva aguda y las dimensiones de sus secciones transversales son grandes comparadas con sus radios de curvatura. En el análisis se supone que la sección transve rsal es constante y tiene un eje de simetría perpendicular a la dirección del momento aplicado M, figura 6-44a. Se supone además que el material es homogéneo e isotrópica y que se comporta de manera elastoplástica cuando se aplica la carga. Como en el caso de una viga recta, supondremos para una viga curva que las secciones IransverS(lles del miembro permanecen plan(ls después de aplicado el momento. Además, cualquier distorsión de la sección transversal dentro de su propio plano será despreciada. Para efectuar el análisis, tres radios, medidos desde el centro de curvatura O' del miembro, se identifican en la figura 6-44a, y son: r. que define la posición conocida del centroide de la sección transversal; R , que define la posición aún no determinada del eje neutro, y r,que localiza un punto arbi¡rario o elemen to de área dA sobre la sección transversal. Note que el eje neutro se encuentra dentro de la sección transversal, ya que el momento M genera compresión en las fibras superiores de la viga y tensión en sus fibras inferiores, y por definición, el eje neutro es una línea de esfuerzo y deformación unitaria nulos.
, .,
,.
O'
(.)
J-
Fig.6-44
El esfuen.o de flexión en este gancho de grúa puede ser estimado usando la fórmula de la viga curva.
334 • CApfTUlO 6 Flexión
Si aislamos un segmento diferencial de la viga, figura 6-44b, el esfuerzo tiende a deformar el material en fo rma tal que cada sección transversal girará un ángulo 00/2. La deformación unitaria Een la franja arbit raria de material localizada en r estará ahora determinada. Esta franja tiene una longitud original r de, figura 6-44b. Sin embargo, debido a las rotaciones 00(1, el cambio total en la longitud de la franja es 8e(R - r) . En consecuencia ,
Si definimos k = Mide, que es constante para cualquier elemento particular, tendremos:
A diferencia del caso de vigas recias. podemos ver que aquí la deformación unitaria normal no es una función lineal de rsino que varía enforma hiperbólica. Esto ocurre aun cuando la sección transversal de la viga permanece plana después de la deformación . Como el momento ocasiona que el material se comporte elásticamente, la ley de Hooke es aplicable, por 10 que el esfuerzo en función de la posición está dado por: R - ,)
u = Ek ( - ,-
(6-22)
Esta variación es también hiperbólica y, como ya ha sido establecida , podemos determinar la posición del eje neUlro y relacionar la distribución del esfuerzo con el momento interno resultante M .
~o,
(b)
Fig. 6-44 (cont.)
SECCIÓN 6.8
o 11 e_
Para obtener la posición R del eje neutro, requerimos que la fuerza inlema resultante causada por la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal sea igual a cero, es decir,
•,-
Io-dA:O A
Como Ek Y R son constantes, tenemos:
,Despejando R, obtenemos:
(6-23)
a-
,,-
gio-
Aqu í,
;8-
R
12)
A = área de la sección transversal del miembro r = posición arbitraria del elemento de área dA sobre la sección transversal, medida desde el centro de curvatura O' del mit:mbro.
,uión
=
posición del eje neutro, medido desde el cenlro de curvatu ra O' del miembro
La integral en la ecuación 6-23 puede ser eval uada para varias geometrías de sección transversales. Los resultados para algunas secciones comunes se dan en la tabla 6·2.
TABLA 6 - 2 Forma
i1 r. ' '-"~ r
"1
~,L
r.-~ ' ¡
le
di! 2b
L-:"!
¿tlf
Área
,
,~
I
b In 2
b( r~- rl)
~(r2-'I)
Jf C 2
,b
"
b'2
( ' 2- '1)
2,
(1n r¡'2 )-b
('-1',-,,)
2~b(r_J rLa2)
Vigas curvas
•
335
336 • CApiTULO 6 Flexión
Para relacionar la distribución de l esfuerzo con el momento flexionante resultante. requerimos que el momento interno resultante sea igual al momento de la distribución del esfuerzo calculado respecto al eje neutro. De la figura 6-44a, el esfuerzo u, que actúa sobre el elemento de área dA y que está localizado a una distancia y del eje neutro, genera una fuerza dF = udA sobre el elemento y un momento respecto al eje neutro dM = y(u dA). Este momento es positivo, ya que por la regla de la mano derecha está dirigido en la misma dirección que M. Para la sección transversal entera. requerimos M = Jyu dA. Como y = R - r, y uestá definida por la ecuación 6-22, tenemos:
Desarrolla ndo y tomando en cuenta que Ek y R son constantes, obtenemos:
La primera integral es equivalente a A j R de acuerdo con la ecuación 6-23,
y la segunda in tegral es simplemente el área A de la sección transversal.
Como la localización del centroide se determina con r = 1r dA /A, la tercera integral puede reemplazarse por rA. Asf, podemos escribir: M
~
EkA(, - R)
Despejando Ek en la ecuación 6-22, sustituyendo tal valor en la ecuación anterior y despejando u , tenemos: M(R - r) ,,~
Ar(r - R)
(6-24)
Aquí,
u = esfuerzo normal en el miembro momen to interno, determinado con el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio y calculado respecto al eje neutro de la seco ción transversal. Este momento es positivo si tiende a incrementar el radio de curvatura del miembro. esto es, si tiende a enderezar el miembro A = área de la sección transversal del miembro R = distancia medida desde el centro de curvatura al eje neutro, deter~ minada con la ecuación 6-23 == distancia medida desde el centro de curvatura al centroide de la sección transversal r = distancia medida desde el centro de curvatura al punto en que va a determinarse el esfuerzo (T
M
r
=
r·
fi
SecoON 6.8
De la figura 6-440, y
= R -
ro r
= R -
Vigas curvas • 337
y. También, la distancia e =
r - R es constante y normalmente pequeña. Si sustituimos esos resultados en la ecuación 6-24, podemos también escribir:
(6-25) Estas dos últimas ecuaciones representan dos formas de la llamada fórmula de la viga cllrva, que como la fórm ula de la flexión puede usarse para determinar la distribución del esfuerzo normal pero en un miembro curvo. Esta distribución es, como se dijo antes, hiperbólica: un ejemplo se muestra en las figuras 6-44c y 6-44d. Como el esfuer.!O actúa en la dirección de la circunferencia de la viga, se le llama a veces esfuerzo circunferencial. Sin embargo, debe ser claro que debido a la curvatura de la viga, el esfuerzo circunferencial genera una correspondiente componente de esf uerzo radial, así llamada ya que esta componente actúa en la dirección radial. Para mostrar cómo se genera, consideremos el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 6-44e, q ue es un segmento de la parte superior del elemento diferencial en la figura 6-44b.Aquí,el esfuerzo radial U r es necesario ya que genera la fuerza dF" que se requiere para equilibrar las componentes de las fuerzas circunferenciales dF, que actúan a lo [argo de la línea O' B. En ocasiones, [os esfuerzos radiales en miembros curvos pueden ser muy importan tes, especialmente si el miembro está construido a base de placas delgadas y tiene, por ejemplo, la forma de una sección l. En este caso. el esfuerzo radial puede resultar tan grande como el esfuerzo circunferencial, por lo que el miembro debe diseñarse para resistir ambos esfuerzos. Sin embargo, en la mayoría de los casos esos esfuerLos pueden dcspreciarse,sobre todo si la sección transversal del miembro es una sección sólida. Aquí la fórm ula U ~ la viga curva da resultados que concuerdon muy bien con los de terminados por medio de ensayos o por análisis basados en la teoría de la elasticidad. La fórmula de la viga curva suele usarse cuando la curvatura del miembro es muy pronunciada, como en el caso de ganchos o anillos. Sin embargo. si el radio de cu rvatura es mayor que cinco veces el peralte del miembro, la fórmula de la flexión puede normalmente usarse para determinar el esfuerzo. Específicamente, para secciones rectangulares en [as que esta razón es igual a 5, e l esfuerzo normal máximo, determinado con la fórm ula de la flexió n será aproximadamente 7% menor que su valor determinado con [a fórm ula de la viga curva. Este error se reduce más aun cuando la razón radio de curvatura a peralte es mayor de 5. *
,
a
· Vea. por ejemplo. Boresi. A.P.. y otros. Advollced M ec/uwicJ 01 MOleríaIs. 3a. ed .. pág. 333. 1978.John Wiley & Sons. Nueva York ,
Variación del esfuerzo de nuión (v¡sta lale", l)
,,)
'd)
O'
,,)
Fi l:. 6-44 (ronl.)
338 • CApITULO 6 Flexión
PUNTOS IMPORTANTES • La fórmula de la viga curva debe usarse para determinar el esfuerzo circunferencial en una viga cuando el radio de curvatura es menor que cinco veces el peralte de la viga. • Debido a la curvatura de la viga, la deformación unitaria normal en la viga no varía linealmente con el peralte como en e l caso de una vig.:t recta. En consecuencia, el eje neutro no pasa por el centroide de la sección transversal. • La componente de esfuerzo radial causada por flexión puede generalmente ser despreciada, especialmente si la sección transversal es una sección sólida y no está hecha de placas delgadas.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Para aplicar la fórmula de la viga curva se sugiere usar el siguiente procedimiento. Propiedades de la secci6n. • Determine el área A de la sección transversal y la localización del centroide, " medido desde el centro de curvatura. • Calcule la localización del eje neutro, R, usando la ecuación 6·23 O la tabla 6-2. Si el área de la sección transversal consiste en n partes "compuestas", calcule 1dA /r para cada parlt. Entonces, de la ecuación 6-23, para toda la sección, R = IA¡¿( dA / r). En todos los casos. R < ,. Esfuerzo normal. • El esfuerzo normal localizado en un punto r desde el centro de curvatura se determina con la ecuación 6-24. Si la distancia y al punto se mide desde el eje neutro, entonces calcule e = r - R Y use la ecuación 6-25. • Como r - R da generalmente un número muy pequeño, es mejor calcu lar r y R con suficiente exactitud para que la resta dé un número e con por lo menos tres cifras significativas. • Si el esfuerzo es positivo. será de tensión; si es negativo, será de compresión. • La distribución del esfuerzo sobre toda la sección transversal pue· de ser graficada, o un elemento de volumen del material puede ser aislado y usado para representar el esfuerzo que actúa en el punto de la sección transversal donde ha sido calculado.
E ,
SECCiÓN 6.8
Vigas curvas • 339
EJEMPLO Una barra de acero con sección transversal rectangular tiene fo rma de arco circular como se muestra e n la figura 6·450. Si el esfuerzo nonnal permisible es uperm = 20 klbj pulg 2, dete rmine el momento flexionante máximo M que puede a plicarse a la barra. ¿Qué valor tendría este momento si la barra fuese recta?
d,
O'
l
PU1
&
(.)
Fig.6-45
Solución
Momento intemo. Como M tiende a incrementar el radio de curvat ura de la barra. es positivo.
al
Propiedades de la sección. La posición del eje neutro se determina usando la ecuación 6-23. D e la figura 6-45a, tenemos:
I 1 dA -
JI
m
e
r
11
~
pulg
(2 pulg) (Ir
~
(2 pulg ) In ,
r
pIIlg
1
11 pulg
~
0.40134 pulg
9 pul,
Este mismo resultado puede obtenerse directamente en la tabla 6-2. Así,
R ~~
I Á
dA
(2 pulg)(2 pulg) 0.40 134 pulg
= 9.9666 pulg
'
Comilllía
•
340 • CApiTULO 6 Flexión
Debe notarse que en todos los cálculos anteriores, R debe determinarse con varias cifras significativas para garantizar que (! - R) sea exacta por lo menos con tres cifras significativas. No se sabe si el esfuerzo normal alcanza su máximo en la parte superior o en la pa rte infe rior de la barra, por lo que debemos calcular el momento M en cada caso por separado. Como el esfuerLo norma l en la parte superior de la barra es de compresión, (f = -20 klb/ pulg 2•
Por comparación, e l momento máxim o que puede apl icarse es 24.9 klb· pulg y el esfuerzo normal máximo ocu rre en el fondo de la barra. El esfuerzo de compresión en la parte superior de la barra es entonces:
La distribución del esfuerzo se muestra en la figu ra 6-45b. Si la barra ruese recta, entonces
Me
q- -
I
20 klb/ pulg' _ M
=
M(I pulg) h(2 pulg)(2 pulg)3 26.7 klb' pu lg
Resp.
Esto represe nta un error de aproximadamente 7% respecto al valor más exacto determinado antes.
SECOON 6.8
Vig as curvas
• 341
EJEMPLO La barra curva tiene la sección transversal mostrada en la figura 6-46a. Si está sometida a momentos flexionan tes de 4 kN· m.determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en la barra.
.......,.
41.;N·m
4 k.N·m
r---
o
n
200 mm
r
I~omm
--==~~=~ . ~
T5Om,"
:DOrnm
A
(.)
H g. 6-46
Solución Cada sección de la barra está sometida al mismo momento interno resultante de 4 kN· m. Como este momento tiende a disminuir el radio de curvatura de la barra, es negativo. Así. M = - 4 kN·m.
Momento interno.
Consideraremos aquí que la sección transversal consta de un rectángulo y de un triángulo. El área total de la sección transversal es:
Propiedades de la sección.
LA
~
(0.05 m )' + ±(0.05 m )(0.03 m)
~
3.250(10- 3) m'
La localización del centroide se determina con referencia al centro de curvatura. punto O'. figura 6-46a.
_ ,
l:rA LA
~--
[0.225 m] (O.OS ,")(0.05 m)
+ [0.260 m]j(O.OSO m)(0.030 m)
3.250(10- 3) m' ~
0.23308 m
Comimía
342 • CAPíTULO 6 Flexión
Podemos calcular fA dA/r para cada parte usando la tabla 6·2. Para el rectángulo, dA
JA-'-
(
0.250 m)
= 0.05 m In 0.200 m
=
0.011157 m
Para el triángulo, dA
JA
-
r
=
(0.05 m)(0.280 m) ( 0.280 m) In - 0.05 m = 0.0028867 m (0.280 m 0.250 m) 0.250 m
La posición del eje neut ro se determina entonces de acuerdo con: 3.250(10-3 ) m'
;;;==c::-c-c;:-;;;==c::c = 0.23142 m 0.011157 m + 0.0028867 m Observe que R < rcomo era de esperarse. Además, los cálculos se efec· tuaron co n suficiente exacti tud, por lo que (r - R) = 0.23308 m 023142 m = 0.00166 m es ahora exacto con tres cifras signifi cativas.
Esfuerzo normal. El esfuerzo normal máximo se presenta en A o en B. Aplicando la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo nor· mal en B, rs = 0.200 m, tenemos: UJj
4kN·m
=
M(R - 'B)
A's(r
R)
(-4 kN · m)(0.23142 m - 0.200 m) 3.2500(10 3) m'(0.200 m)(0.00166 m)
= -116 MPa
~
En el punto A, r A
=
0.280 m y el esfuerzo normal es: (-4 kN · m)(0.23142 m - 0.280 m) 3.2500(10 3) m'(0.280 m) (0.00166 m) = 129 MPa
(b)
Resp.
Por comparación, el esfuerzo normal máximo se presenta en A. Una representación bidimensional de la distribución del esfuerzo se mues· tra en la figura 6-46b.
SECCIÓN 6.9
6.9
Concentraciones de esfuerzos
• 343
Concentraciones de esfuerzos
La fórmula de la flexión, Umh = Me / I, puede usarse para determinar la distribución del esfuerzo en regiones de un miembro en que el área de la sección transversal es constante o es ligeramen te ahusada. Si la sección transversal cambia abruptamente, las distrib.uciones del esfuerzo normal y de la deformación unitaria en la sección se vuelven 110 lineales y pueden obtene rse s6lo por medio de experimentos o,en algunos casos. por medio de un análisis matemático usando la teoría de la elasticidad. Discontinuidades comunes incluyen miembros con muescas en sus superficies., figura 6-47a , agujeros para el paso de sujetadores o de otros objetos., figura 6-47b. o cambios abruptos en las dimensiones externas de la sección transversal del miembro, figu ra 6-47c. El esfuerzo normal máximo en cada una de esas discontinuidades ocurre en la sección tomada a través del área mínima de la sección transversal. Para el diseño. es generalmen te importante conocer el esfuer¿o normal máximo desarrollado en esas secciones., no la distribución real del esfuerzo mismo. Como en los casos anteriores de barras cargadas axialmente y de flechas cargadas a torsión. podemos obtener el esfuerzo normal máximo debido a flexión usando un factor K de concentración de esfuerzos. Por ejemplo, en la figura 6-48 se dan valores de K para un a barra plana que tiene un cambio en su sección transversal usando filetes. Para usar esta gráfica, encuentre simplemente las razones geométricas w /h y r /Ir y luego encuentre el correspondie nte valor de K para u na geometría parFig.6-47
3.'
2.'
1.8
K
-L
.-.
1.7
l.'
32
::W
l.'
3.'
,
2.' 2A
h
2.2
h
lA
! = 1.25
1.2
•h
,
,
l.' l.'
1.1
2
lI: = I
2.0 If h " I .5
L3
lI: 0.5
lA
1.2
1.1
LO
•
K
'.3
1.5
•, •
2.8
O
•1
.2
.3
••
., ., ! h
Fig.648
.7
.8
.,
LO LO
O
0.1
0.3
0.2 !
h "'jg.6-50
OA
O.,
344 • CAPITULO 6 Flexión
ticular. Una vez obtenido K , el esfuerzo de flexión máximo se determina usando
Fig.6·49
Concentraciones de csfuer7:OS causados por flexión se presentan en las esquinas aguo das de este dintel de ventana y son responsables de las grietas en las esquinas.
amáx =
I
K M¡C .
(6-26)
Aquí, la fórmula de la flexión se aplica al área miÍS pequeña de la sección transversal, ya que amáx ocurre en la base del filctc, figura 6-49. Dc la misma manera, la figura 6-50 puede usarse si la discontinuidad consiste en ranuras o muescas circulares. Como en el caso de carga ax ial y torsión , la concentración de esfuerzos por flexión debe siempre considerarse al diseñar miembros hechos de materiales frágiles o que estén sometidos a fatiga o carga cíclica. Debe ser claro que los factores de concentración de esfuerzos son aplicables sólo cuando el material está sometido a un comportamiento elástico. Si el momento aplicado genera fl uencia del material, como es el caso en los materiales dúctiles, el esfuerzo se redistribuye en todo el miembro y el esfuerzo máximo que resulta es inferior al determinado usando factores de concentración de esfuerzos. Este fenó meno se analizará con mayor amplitud en la siguiente sección.
PU NTOS IMPORTANTES • Las concentraciones de esfuerzo en miembros sometidos a flexión ocurren en puntos de ca mbio de sección transversal, como en ranuras y agujeros, porq ue aquí el esfuerzo y la deformación unitaria se vuelven no lineales. E ntre más severo es el cambio. mayor es la concentración del esfuerzo. • Para el diseño o el análisis, no es necesario conocer la d istri bución exacta de los esfuerzos alrededor del cambio de la sección transversal puesto que el esfuerzo nonnal máximo ocurre en el área transversal m tis pequeña. Es posible obtener este esfuerzo usando un facto r K de concentración de esfuerzos, que ha sido determinado experimentalmente y es sólo función de la geometría del miembro. • En general, la concentración de esfuerzos en un matcrial dúctil sometido a un momento está tico no tiene que ser considerado en el diseño: sin embargo. si el material es frágil. o está sometido a cargas de faliga, esas concentraciones de esfuerzo se vuelven importantes.
SECCiÓN 6.9
Concen1raciones de esfuerzos
EJEMPLO
6)
La transición en el área de la sección transversa l de la barra de acero se logra por medio de fi letes como se muestTa en la figura 6-51a. Si la barra está sometida a un momento flcx ionante de 5 kN· m, determine e l esfuerzo normal máximo desarrollado en el acero. El esfu erzo de fluencia es ay = SOO MPa.
Sn
.•.
¡s-
SkN·m
os oa·
340 MPa
;cr
5kN'm 5kN·m
)lo
lO'
340 M",
". es-
(b)
de m·
tig.6-S1
Solución El momento genera el máximo esfu erzo en la barra en la base del fi le-
te, donde el área de la sección transversal es mínima. El factor de concentración de esfu er.::o puede determinarse usando la figura 6-48. Oc la geometría de la barra, tenemos r = 16 mm,/¡ = 80 mm , W = 120 mm. En tonces,
!..
=
J¡
~
J6 mm 80 mm
=
0.2
w 120 m m - = h 80 mm
Esos valores dan K = 1.45. Aplicando la ecuación 6-26, tenemos
1.5
,
l·
r
o-
m',
M,
= K-
I
= (145)
.
(5 kN· m )(O.04 m )
[1';(0.020 m)(0.08 m)'l
= 340 MP.
l'
o ,1 o o
,.
•
Este resultado indica que el acero permanece elástico ya que el esfuer· zo tiene un valor inferior al de n uencia (500 MPa). Sin embargo, por el principio de Saint· Venanl. sección 4.1 , esos esfuerzos localizados se suavizan y se vuelven lineales a una distancia (aproximadamente) de 80 mm o más a la derecha de la transición . En este caso, la fórmula de la flexión da 17mh = 234 MPa. figura 6·5 I c. Note también que un filete de mayor radio reducirá considerablemente la am,h. ya que al crecer r en la figura 6-48, K disminuye .
(,)
• 345
346 • CAP[TULO 6 flexión
PROBLEMAS La viga compuesta está hecha de acero (A) uni· do a bronce ( 8) y ticne la sección transversal mostrada. Determine el esfuerzo máximo de flexión en el bronce y en el acero c uando está sometida a un momento M = 6.5 kN· m. ¿Cuál es el esfuerzo en cada material en el lugar e n que están unidos entre sí1 Ebr"" ¡OOGPa y Ear; "" 200 GPa.
6-119.
· 6-UO. La viga compuesta está hecha de acero (A) unido a bronce (8) y tiene la sección transve rsal mostrada. Si el esfuerLo permisible a flexi ón para el acero es (O"~rm)a< = ISO MPa y para el bronce es (O"~rm)bf "" 60 MPa, detcrmine el momento máximo M que puede aplicarse a la viga. El>< "" lOO GPa y Ea< ;o 200 OPa.
'-);¡--¡- - M=6.3
kN ·m
6-122. La viga "sándwich" se usa como puntal en un acuaplano. Consiste e n placas de aluminio situadas en las partes superior e inferior de la viga y en un núcleo de resina plástica. Determine el esfuerzo máximo de flexión en el aluminio y e n el plástico cuando la viga está sometida a un momento M = 61b' pulg. E.I = JO(IIY) klbf pulg2 y Epi '" Z(loJ) klbf pulg1.
6-U3. La canal de acero se usa para reforzar la viga de madera. De termine el esfu erzo máximo de fl exión e n el acero y en la made ra si la viga está sometida a un momento M = 850 lb· pie. Ea<: = 29(10 3) klb j pulg1 , E mad = 1600 klbJpulg2.
Probs. 6-119/120
6-121. Una viga de madera está reforzada con placas de acero en sus partes superior e inferior como se muestra en la figura. Determine el esfuenm máximo de fl exión generado en la made ra y en el acero si la viga está sometida a un momento flexionante M s 5 kN ' m. Esboce la dist ribución del esfuer,w que actúa sobre la sección transversal. Considere Em04 = 11 OPa, EIiJ: = 200 GPa.
mm
Probo 6--ID
. 6-U4. El miembro tie ne un núcleo de bronce adherido a un recubrimiento de ace ro. Si se aplica un momento con· centrado de 8 kN • m en su extremo, determine el esfuer.:o de flexión máximo en el mie mbro. Etr = 100 OPa y Ea< '" 200 GPa.
---:_-M. 5 kN·m mm
Prob. 6-121
Prob.6· 124
PROB LEMAS
La viga está hecha con tres tipos de plásticos con sus módulos de elasticidad indicados en la figura. Determine el esfuer.lO máximo de flexión en el PVc.
•
347
6-U5.
500 lb
4
500 lb
~~~~~~~~~~~~~~~::::I PVC f:,.vc '" 4_~O klh/pu1e2
Eseon Et , ,,, 160klblpulg2 Bakelite EH'" 800 klblpulg 2
Barras de
_hol--cJcp-;,-,-TI--4-P-;-~--TI-J-p-;,c,=-:i.L I
Prob:6·127
-'Ipulg ~
*6- 128. Determine la máxima carga w (} uniformemente dis tribuida que puede ser soportada por la viga de concre10 reforzado si el esfuerzo permisible de tensión en el acero es (uac)pe,m = 28 klb/pulg 2 y el esfuer1-O permisible de eompresión en el concreto es (uc<>nc)perm = 3 klb / pulg 2, Suponga que el concreto no puede soportar esfuerzos de tensión. Considere E.., = 29(10 3 ) klb / pulg 2 y Econc =
2pUI~
2pulq
13pufg Prob.6-125
3.6(10') k'bfp"'i·
6-126. La viga de concreto reforzado se usa para soportar la carga indicada. Determine el esfuerzo máximo absoluto normal en cada una de las barras de refuerzo de acero A-36 y el esfuerlO máximo absoluto de compresión en el concreto. Suponga que el concreto tiene una alta resistencia en compresión y desprecie su resistencia para soportar tensiones.
Barras de 0.75
IVa
pu!g de diámetro
~·h-r-·Hlrrr-BJrrr-·lJjrr-TOddJ---r-TO¿n í~D¡( 1, HJ: r I 1
L
p,l,
2.5pulg
8 pies
I
8 pies
---l
~lg
Probo 6-128
10klb
¡ 12 : 1- 4Pies L
IOklb
±
~g
:;:;¿1 ~nl p",
8Pies --1 4Pies~ 2~T~de 1 pulg barras
de diámetro
6-129. Una banda bimetálica está hecha 'de aluminio 2014-T6 y de latón rojo C83400, con la sección transversal mostrada. Un incremento de temperatura ocasiona que su superficie neutra adquiera la forma de un arco circular con radio de 16 pulg. Determine el momento que debe estar actuando en su sección transversal debido al esfuerzo térmico.
Prob. 6-126
6-127. La viga de concreto reforzado tiene dos barras de acero de refuer.lO. El esfuerzo permisible de tensión para el acero es (uac)perm = 40 klb /pulg 2 y el esfuerzo permisible de compresión en el concreto es (uconc)pe,m = 3 klb/pulg2. Determine el momento máximo M que puede aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no puede soportar esfuer.los de tensión. E.e = 29(10 3) klb/ pulg2 y EcofIC = 3.8(1!Y) klb /pulg2.
\ ':.i 6P'"
3\7
'----- Aluminio Prub.6-U9
348 •
CApITULO 6 Flexión
6-130. La horquilla se usa como parte del tren de a terrizaje delantero de un avión. Si la reacción máxima de la rueda en el extre mo de la horquilla es de 840 Ib,determine el esfu erzo de flex.iÓn máximo en la sección a-a de la porción curva de la horquilla. En ese lugar la sección transversal es circular con 2 pulg de diámetro.
6-133. La viga curva está sometida a un momento M = 40 lb ' pie. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la viga. Esboce en una vista bidimensional la dis tribución del esfuerzo que actúa sobre la sección a-a. 6-134. La viga curva está hecha de un material q ue tiene un esfucn;o de flexión upc.m :: 24 klbf pulg2• De tennine el momento máximo M q ue puede aplicarse a la viga.
•
•
~•
'---/ M ,. 40 Ib·pie
6 putg
Probs. 6-1331134
840 lb
11 Prob.6-130
6-131. El miembro curvo es simétrico y está sometido a un momento M :: 600 lb ' pie. Determine el esfuerzo de flex ión en los puntos A y B del miembro. Muestre el esfuerl.o ac tuando sobre elementos de volumen localizados e n esos puntos.
6-135. La barra curva usada e n una máquina tie ne una sección tra nsversal rectangular. Si la barra está sometida a un par como se muestra, determine los esfuer.ws máximos de tensión y compresión que actúan en la sección a-a. Esboce la distribución del esfuerlO sobre la sección en una vista tridime nsional.
*6-132. El miembro curvo es simétrico y está sometido a un momen to M - 400 lb' pie. Dete rmine los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en el mie mbro. Compare esos valores con los de un miembro recto que tenga la misma sección tra nsversal y esté cargado con el mismo momento.
250
75 mm
Prob~
6-131/132
Prob.6-135
.
PROBLEMAS
*6- 136. El miembro curvo en caja es simétrico y está so· metido a un momento M '" 500 lb, pie. Determine el esfuel7.ode flexión en el miembro en los puntosA y B. Muestre el esfuerzo actuando sobre elementos de volumen localizados en esos puntos.
•
349
6-139. El codo de la tubería tiene un radio exterior de 0.75 pulg y un radio interior de 0.63 pulg. Si el conjunto está sornctidoa los momentos M ... 251b· pulg, determine el esfuerzo máximo de flexión gcnerado en la sección Q-.1.
El miembro eurvo en caja es simétrico y está sometido a un momento M = 350 lb· pie. Determine los esfuerzos máxlJ1lOS de tensión y compresión en el miembro. Compare e.c;os valores con los de un miembro recto que tenga la misma sección transvcrsal y esté cargado con el mismo momento.
6-137.
)
M _ 25 lb'pulg
Prob.6-139 Probs. 6-1361137
Durante el vuelo. la parte eSlructural curva en el avión a reacción está sometida a un momento M = 16 N· m en su sección transversal. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sección curva de la estructura y esboce una vista bidimensional de la distribución del esfuerzo.
6-138.
*6- 140. Una barra circular de 100 mm UI;; uiámelroestá doblada en forma de S. Si se somete a los momentos M = 125 N . m en sus extrerr.os, detennine los esfuerzos máximos de tensión y de compresión generados en la barra.
M= t25N'm
'-"
'CJI M .. I25N·m
Prob.6-138
Prob.6-14O
350 • cAPlrULO 6 Flexión
6·141. El miembro tiene una sección transversal elíptica . Si se somete a un esfuerzo M :=o 50 N' m, determine el esfuerzo de flexión en los puntos A y B. ¿Es el esfuerzo en el punto A', que está localizado sobre el miembro cerca de la pared igual que el esfuerzo en A? Explíquclo. 6-142. El miembro tiene una sección transversal e1íptiea.Si el esfuerzo pennisible de flexión es u perm = 125 MPa, determine el momento máximo M que puede aplicarse al miembro.
6-145_ La barra está sometida a un momento M = 15 N' m, Determine el esfuerzo máximo de flexión en la barra y esboce, en forma aproximada, cómo varía el esfuerzo sobre la sección crítica. E l esfuerzo permisible de flexión para la barra es 175 MPa. Determine el momento máximo M que puede aplicarse a la barra.
6-146.
u perm =
60 mm
Probs. 6-1451146
6-147. La barra está sometida a cuatro momentos concentrados. Si está en equilibrio, determine las magnitudes de los momentos máximos M y M' que pueden aplicarse sin exceder un esfuerzo permisible de flexión de O'pe,m = 22 klbfpulg 2.
8 Probs. 6-141/142
6-143_ La barra tiene un espesor de 0.25 pulg y está hecha de un material que tiene un esfuerzo permisible de flexión de upe,m = 18 klbfpuli. Determine el momento máximo M que puede aplieárscle . • 6·144. La barra tiene un espesor de 0.5 pulg y está sometida a un momento de 60 lb· pie. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la barra.
• 6-148. La barra está sometida a cuatro momentos concentrados. Si M = 180 lb' pie y M' = 70 lb· pie, determine el esfuerzo máximo de flexión generado en la barra.
,,C lO lb, pie
lOO lb'pie PrOM. 6·1471148
6-149. Determine el esfuerzo máximo de flexiÓn generado en la barra cuando está sometida a los momentos concentrados mostrados. La barra tiene un espesor de 0.25 pulg.
4 pulg
3 pulg
~ M
Probs. 6-143/144
160 lb'PUlg-E b
:
4.5 pulg
?'
0.3 pulg
:
1.5 pulg
'-.J 100 Ib'PUI~
Prob.6-149
: ..1)
1.125 pulg 60 lb pulg
PROBLEMAS
6-150. Determine la longitud L de la porción central de la barra de manera que el esfuerzo máximo de flexión en A , B YCsea el mismo. La barra tiene un espesor de 10 mm.
350N 7
1- 200 mm
~"" oo:m ¡
.b pulg
~.:,'r
---+- ~ -+-,---+-
200
6-154. La placa simétricamente ¡ndentada está sometida a flexión. Si el radio de cada muesca es , = 0.5 pulg y el momento aplicado es M = 10 klb - pie, determine el esfuerzo máximo de flex ión en la placa.
mm -1
14.5 pul g
6-151. La barra está sometida aun momento M = 153 N-m. Determine el radio r mínimo de los filetes de modo que el esfuerzo permisible de flexión uptnn = 120 ' MPa no sea excedido.
:''}
.~: Prob.6-151
"'6-152_ La barra está sometida a un momento M = 17.5 N · m. Si r = 6 mm determine el esfuerzo de flexión máximo en el material.
00 mm
M ~I
:
I
:: Pro b. 6-152
/
·1
M (
40 mm
1 pulg
I
00 mm
351
6-153. Si el radio de cada muesca sobre la placa es , = 0.5 pulg, determine el momento máximo que puede aplicarse. El esfuerzo permisible de flex ión para el material es O'perm = 18 klb jpulg2
Prob.6-150
N'm
t)
7
•
12.5 pulg
_1
}
I Probs. 6-1531154
6-155. La barra indentada simplemente apoyada está sometida a dos fuerzas P. Determine la magnitud máxima de P que puede aplicarse sin causar que el material fluya. El material es acero A-36. Cada muesca tiene un radio r = 0.125 pu!g.
"'6-156_ La barra ¡ndentada simplemente apoyada está sometida a dos cargas, cada una de magnitud P = 100 lb. Determine el esfuerzo máximo de flexión generado en la barra y esboce la distribución del esfuerzo de flexión que actúa sobre la sección transversal en el ccntro de la barra. Cada muesca tiene un radio r = 0.125 pulg.
Flexión inelástica Las ecuaciones previamente obtenidas para determinar el esfuerzo normal por flexión son válidas sólo si el material se comporta de manera elástica lineal. Si el momento aplicado ocasiona que el material fluya, debe entonces usarse un análisis plástico para determinar la distribución del esfuerzo. Sin embargo, para los casos elástico y plástico de flexión de miembros rectos, deben cumplirse tres condiciones. Distribución lineal de la deformación unitaria normal. Con base en consideraciones geométricas, se mostró en la sección 6.3 que las deformaciones unitarias normales que se desarrollan en el material siempre varían linealmenre desde cero en el eje neutro de la sección transve rsal hasta un máximo en el punto más alejado del eje neutro. Fuerza resultante igual a cero. Como se tiene sólo un momcnto interno resultante actuando sobre la sección transversal, la fuerza resultante causada por la distribución del esfuerzo debe ser igual a cero. Como u genera una fuerza sobre el área dA de dF = u dA, figu ra 6-52, entonces, para el área entera A de la sección transversal, tenemos: (6-27)
Esta ecuación proporciona un medio para obtener la posici6n del eje neurro.
Ag. 6-52
Momento resultante. El momento resultante en la sección debe ser equivalente al momento causado por la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. Como el momento de la fuerza dF = udA respecto al eje neutro es dM = y(udA), si sumamos los resultados sobre toda la secciÓn transversal, figu ra 6-52, tenemos, M-JY(UdA)
(6-28)
A
Esas condiciones de geometría y carga se usarán ahora para mostrar cómo determinar la distribución del esfuerzo cn una viga al estar ésta sometida a un momento in terno resultante que ocasiona fluencia del material. En todo el análisis supondremos que el material tiene un diagrama esfuerzodeformación igual en tensión que en compresión. Por si mpUcidad,comcnzaremos considerando que la viga tiene una sección transversal con dos ejes de simetría, en este caso un rectángulo de altura h y ancho b, como se muestra en la figura 6-53a. Consideraremos tres casos de carga que son de especial interés.
SECCiÓN 6.10 Flexión inelástica
lr-
15be
,,-
m-
ose
,,-
," -
as-
in.n-
Moment o elastico máximo. Suponga que el momento aplicado M",. M y es justamente suficiente para prod ucir deformaciones unitarias de fluencia en las fibras superior e inferior de la viga, como se muestra en la figura 6-53b. Como la distribución de la deformación unitaria es lineal, podemos determinar la correspondiente distribución del esfuerzo usando el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, figura 6-53c. Se ve aquí que la deformación unitaria de f1uencia €y genera el esfuerzo de fl uencia ay, y que las deformaciones unitarias intermedias € ¡ y E.I. generan los esfuerzos 0"1 y 0"2> respectivamente. Cuando esos esfuerzos, y otros similares, se grafican en los puntos y = h j2 ,y = y ¡, y = Y2, etc., se obtiene la distribución del esfuerzo mostrada en las figuras 6-53d y 6-53e. La linealidad del esfuerzo es, por supuesto, una consecuencia de la ley de Hooke. Ahora que se ha establecido la distribución del esfuerzo, podemos comprobar si la ecuación 6-27 se satisface. Para esto, calcularemos primero la fuerza resultante en cada una de las dos porciones de la distribución del esfuerzo en la figura 6-53e. Geométricamente esto es equivalente a encontrar los volúmenes bajo los dos bloques triangulares.Tal como se muestra, la sección transversal superior del miembro está sometida a compresión y la porción inferior está sometida a tensión. Tenemos:
l' )
) U
:cs, T
17) eje
,er
,ec-
eje Ión
= e ="21(h2" lT y )b =
1 ¡bhuy
Como T es igual pero opuesta a e , la ecuación 6-27 se satisface y el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal. El momento elástico máximo M y se determina con la ecuación 6-28, que establece que My es equivalente al momento de la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. Para aplicar esta ecuación geométricamente, debemos determinar los momentos generados por T y e e n la figura 6-53e respecto al eje neutro. Como cada una de las fuerzas actúa a través del centroide del volumen de su bloque triangular de esfuerzos asociado, tenemos:
28)
(b)
(-
cr.l----i cr, cr,
M~ c(m + Tm~ ~ 2(¡bhU )(m y
Distribución de la deformación unitaria (vista lateral)
y
=
1
6bh2
(Ty
(6-29)
Diagrama esfuerzo-deformación unitari a (región elástica)
(, )
,mo
tida
Eo
Por supuesto, este mismo resultado puede obtenerse de manera más directa usando la fórmula de la flexión , esto es, lTy = My(hj2) / [bh 3/ 12] o M y = bh 2uy/6.
rzo-
lcn-
do,
,mo ' 00
Distribución del esfuerzo (v ista lateral)
Id)
(,)
Fig. 6-53
•
353
354 • CApiTULO 6 Flexión
Mo m e nto p lástico. Algunos mater i ale~ como el acero, tienden a exhibir un comportamiento elástico-perfectamente plástico cuando el esfuerzo en el material excede el va lor Uy. Considere, por ejemplo, el miembro en la figura 6-54a. Si el momento interno M > M y , el material en las fibras superior e inferior de la viga comenzará a fluir ocasionando una redistribución del esfuerzo sobre la sección transversal hasta que se desarrolle el momento interno M requerido. Si la distribución de la deformación unitaria normal así producida es como se muestra en la figura 6-54b, la distribución del esfuel7.o normal correspondiente se determina con el diagrama esfuerzo-deformación unitaria,de la misma manera que en el caso elástico. Usando el diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material mostrado en la fi gura 6-54c, las deformaciones unitarias El, Ey, EZ corresponden a los esfuerzos u¡, Uy, Uy, respectivamente. Cuando éstos y otros esfu erzos se trazan sobre la sección transversal, obtenemos la distribución del esfuerzo mostrada en la figura 6-54d o 6-54e. Los "bloques" de esfuerzos de tensión y compresión consisten cada uno en bloques componentes rectangulares y triangulares. Sus volúmenes son:
(.,
1 71 = CI = 2yyu yb T2 = C z =
(~ yY )UYb ro
Debido a la simetría, la ecuación 6-27 se satisface y el eje neutro pasa por el ce ntroide de la sección transversal, tal como se muestra. El momento aplicado M puede relacionarse con el esfuerzo de tluencia ay usando la ecuación 6-28. En la figura 6-54e se requiere, Distribución de la deformaciMl unitaria (vista lateral)
M= TI(~YY) + c{~yY) + T2[yY + ~(g - yY)]
~,
+
c,[ yY + Hi - yY) 1
~ 2GyY~yb )(~yY) + 2[ (i - yY )~yb l[~ (i + yY) =
1 ,( 4 y}) ¡bh Uy 1 - 3h2
1
O usando la ecuación 6·29,
M= %MY(l
(6-30)
0,1--,---,.---
/ Diagrama esfucrl.O·deformación unitaria (región elu topláslica)
«,
Di stribución del esfueno (vista latera l)
(d)
Fig.6-54
(o,
SeCCIóN 6.10 Flexión inelástica • 355
,sn-
as e0-
;n la ¡a-
so
,,'l
sy lis~s" Iffi-
por loto
o la
;-30)
La inspección de la figura 6-54e reve la que M produce dos zonas de fluencia plástica y un núcleo elástico en el miembro. Los límites entre ellos están localizados a la distancia zyy desde el eje neutro. Conforme M crcce en magnitud,yy tiende a cero. Esto convertirla al material en totalmente plástico y la distribución del esfuerzo se vería como se muestra en la fi gura 6-54[. De la ecuación 6-30 con yy "" 0, o encontrando los momentos de los " bloques" de esfuerzos respecto al eje neulro, podemos escribir este valor límite como:
1
,
Mp = ¡bII"uy
(6-31)
Usando la ecuación 6-29, tenemos: 3
Mp "" '2My
(6-32)
Momenlo ptástico
Este momento se llama mQmento pláslico. El valor obtenido aquí es válido s6lo para la sección rectangular mostrada en la figura 6-54[, ya que en general su valor depende de la geometría de la sección transversal. Las vigas usadas en edificios de acero se diseñan a veces para resislir un momento plástico. Para tales casos, los códigos o manuales incluyen una propiedad de diseño de las vigas llamada factor de forma. EI/aclor deforma se define como la razón,
I k ~ MMp I y
de simeuia
(6-33)
Este valor especifica la capacidad adicional de momento que una viga puede soportar más allá de su momento elástico máximo. Por ejemplo, según la ecuación 6-32. una viga con sección transversal rectangular tiene un facto r de forma k = 1.5. Por tanto, podemos concluir que esta sección soportará 50% más de momento fl exionante que su momento elástico máximo cuando se plastifica totalmente.
Momento conocido
)
(.,
Momento último. Consideremos ahora el caso más genera l de IIn a viga con sección transversal simétrica sólo con respecto al eje vertical y el momento aplicado respecto al eje horizontal, figura 6-550. Supondremos que el material exhibe endurecimiento por deformación y que sus diagramas esfuerzo-deformación unitaria a tensión y compresión son diferentes, figura 6-55b. Si el momento M produce flu encia en la viga, surgen d ificultades en la determinación de la posición del eje neutro y de la deformación unitaria máxima que se genera en la viga. Esto se debe a que la sección transversal es asimétrica respecto al eje horizontal y el comportamiento esfuerlOdeformación unitaria del mate rial no es igual en tensión y en compresión. ------·f'-----c~--~c_------" Para resolver este problema . un procedimiento por tanteos requiere los siguientes pasos: l. Para un momento dado M, mponga la posición del eje neutro y la pendiente de la distribución " lineal" de la deformación unitaria, figura 6-55c. 2. Establezca gráficamente la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal del miembro usando la curva (J-tE para trazar valores del esfuerl.O correspondientes a la deformación unitaria. La distribución resultante del esfuerzo. figura 6-55(1, tendrá entonces la misma forma que la curva (J-€.
(b)
Fil:.6-SS
.
356
• CAPíTULO 6
flexión
Localización supuesta del eje neutro Pendiente supuesta Ce la distribución de la defonnación unitaria
Distribución de la defonnación unitaria (vista lateral)
Co)
3. Determine los volúmenes encerrados por los "bloques" de esfuerzos a tensión y a compresión. (Como aproximación, esto puede requerir la subdivisión de cada bloque en regiones componentes.) Según la ecuación 6-27, los volúmenes de esos bloques deben ser iguales, ya que ellos representan la fuerza resultante de tensión T y la fuerza resultante de compresión e sobre la sección, figura 6-55e. Si esas fuerzas no son iguales, debe hacerse un ajuste de la posición del eje neutro (punto de deformación unitaria cero) y repetirse el proceso hasta que la ecuación 6-27 (T = C) se cumpla. 4. Una vez que T = C, los momentos producidos por T y e pueden calcularse respecto al eje neutro. Los brazos de momento para T y e se miden desde el eje neutro hasta los centroides de los volúmenes definidos por las distribuciones del esfuerzo, figura 6-55e. La ecuación 6-28 requiere que M = Ty' + CyN. Si esta ecuación no se cumple, la pendiente de la distribución de la deformación unitaria debe ajustarse y deben repetirse los cálculos para T y e y para los momentos hasta que se obtenga una buena concordancia. Este proceso de cálculo es obviamente muy tedioso pero afortunadamente no se requiere con frecuencia en la práctica de la ingeniería. La mayoría de las vigas son simétricas respecto a dos ejes y se construyen con materiales que tienen supuestamente diagramas esfuerzos-deformación unitaria a tensión y a compresión similares. Siempre que esto se cumple, el eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal, lo que simplifica el proceso de relacionar la distribución del esfuerzo con el momen10 resultante.
Distribución del e,fuerlO (vista lateral) (d)
PUNTOS IMPORTANTES
T
Co) Fig.6-55 (con!.)
• La distribución de la deformación unitaria normal sobre la sec~ ción transversal de una viga se basa s6lo en consideraciones geométricas y se ha encontrado que siempre permanece lineal, independientemente de la carga aplicada. Sin embargo, la distribución del esfuer.lO normal debe ser determinada a partir del comporta~ miento del materia l, o del diagrama esfuerzo-deformación unita~ ria una vez que se ha establecido la distribución de la deforma~ ción unitaria. • La localizaci6n del eje neutro se determina de la condición de que la fuerza resultante sobre la sección transversal es cero. • El momento interno resultante sobre la sección transversal debe ser igual al momento de la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. • El comportamiento perfectamente pláslico supone que la distri· bución del esfuerzo normal es constante sobre la sección transversal, y que la viga continúa flexionándose, sin incremento del momento. Este momento se llama momento plástico.
SECCIÓN 6.10 Flexión ¡nelástica • 357
re-
.) er
y
,,, ie.
el
en
Iy
,.La se Iria
los
da-
EJEMPLO La viga de patín ancho de acero tiene las dimensiones mostradas en la figur a 6-56a. Si está hecha de un material elastoplástico con esfuerzo de f]uencia. igual a te nsión y a compresión, de U y = 36 klb jpulg2 , determine el factor de fo rma para la viga. Solución Para determinar el factor d~ fOfma , es necesario primero calcular el momento elástico máximo M y y el momento plástico Mp'
Momento elástico máximo. La distribución del esfuer.lO normal para el momento elástico máximo se muestra en la figura 6-56b. El momento de inercia respecto al eje neutro es:
Momento plástico. El momento plástico ocasiona que el acero en toda la sección transversal de la viga nuya, por lo que la distribución del esfuerzo normal es como se muestra en la figura 6-56c. Debido a la simetría de la sección transversal y como los diagramas de esfuerzo-deformaci ón unitaria a tensión y a compresión son iguales, el eje neutro pasa por el cen troide de la sección transversal. Para determinar el momento pláslico, la distribución del esfuerzo se divide en cuatro "bloques" rectangulares y la fuerza producida por cada "bloque" es igual al vol umen del bloque respectivo. Por consiguiente, tenemos:
e,
e, =
T, = 36 klbfpulg'(O.5 pulg)(8 pulg) = 144 klb
a-
Estas fuerzas actúan a través del centroide del volumen de cada bloque. Al calcular los momentos de estas fuerzas respecto al eje neutro, obtenemos el momento plástico:
ue
M, = 2[(2.25 pulg)(81 klb)] + 2[(4.75 pulg)(I44 klb)] = 1732.5 klb' pulg Factor deforma. Aplicando la ecuación 6-33 se obtiene:
Este valor indica que una viga de patfn ancho proporciona una sección muy eficiente para resistir un momento elástico. La mayor parte del momento se genera en los patines. es decir, en los segmentos superior e inferior. mientras que el alma o segmento vertical contribuye muy poco. En este caso particular, sólo 14% de momento adicional puede ser soportado por la viga más allá del que soporta elásticamente.
36 klbfpul¡2
eo' Fig. 6-S6
qp
3S8
• CAP[TULO 6 Flexión
EJEMPLO Una viga T tie ne las dime nsiones mostradas en la ligura 6-57a. Si está hecha de un material elástico pe rlectame nte plástico con esfuerzo de Oue ncia a tensión y a compresión de Uy = 250 MPa, determine el mome nto plástico q ue puede resistir la viga.
(120' mm -d)
15mm
(.,
(b, Fig.6.57
Solución La distribución del esfuerzo "plástico" que actúa sobre la sección transo versal de la viga se muestra en la figura 6-57b. En este caso, la sección transversal no es simé trica con respecto a un eje horizontal, y en con· secuencia, el eje nc utro /lO pasa por el centroide de la sección transversal. Pa ra de te rminar ¡aposición d del eje ne utro, requerimos que la dis· tribución del esfuerzo genere una fuerza resultante cero sobre la sección transversal. Suponiendo que d :sí 120 mm, tene mos:
fUdA::;ZO;
T -C1-Cz= 0
A
250 MPa(0.015 m)(d) - 250 MPa (0.015 m)(0. 120 m - d) - 250 MP. (0.015 m )(O.I 00 m) = O d = 0.110 m
< 0.120 m
OK
Usando este resultado, las fuerzas que aclúan sobre cada segmento son: T = 250 MN/ m'(0.015 m )(O.110 m) = 4 12.5 kN CI = 250 MN/ m'(0.015 m )(O.OlO m) = 37.5 kN C, = 250 MN/ m'(0.015 m)(O.l00 m ) = 375 kN Por tanto, el mome nto plástico
Mp = 412.5
resul~e
respecto al eje neutro es:
kN(o.l~O m) + 37.5 kN(O'O~ m) + 375 kN( 0.01 m + 0.0~5 m)
Mp = 29.4kN·m
Resp.
SECCIÓtI6. 10 Flexión ¡nelástica
• 359
EJEMPLO La viga en la figura 6-58a está hecha de una aleación de titanio que tiene un diagrama esfuer¿o-deformación que puede aproximarse en parte por dos líneas rectas. Si el comportamiento del material es el mismo tanto a tensión como a compresión, determine el momento nexionanle que puede aplicarse a la viga que ocasionará que el material en las partes superior e inferior de la viga quede sometido a una deformación unitaria de 0.050 pulg/ pulg.
U(lr:lb/ pulg2)
190 6
IS' 3
~ \¡;fJ.)
(~ \A-O
,
,~
,
,,
€pulg/pulg 0.010
O.OSO
(.)
Soluci6n I
. :
)
Por inspección del diagrama de esfuerlo-defonnación unitaria, vemos que el material exhibe un "comportamie nto elastoplástico con endurecimiento por deformación ". Como la sección transversal es simétrica y los diagramas U-f: a tensión y a compresión son iguales, el eje neutro debe pasar por el centroide de la sección transversal. La distribución de la deformación unitaria , que es siempre lineal, se m uestra e n la figura 6-58b. En particular. el punto en que ocurre la deformación unitaria elástica máxima (0.010 pulgjpulg) ha sido determinado por proporción, esto es 0.05 / 1.5 pulg = O.OlO/y o y = 0.3 pulg. La distribución correspondiente del esfuerzo normal que actúa sobre la sección transversal se muestra en la figura 6-5&. El momento producido por esta distribución puede calcularse e ncontrando el "volumen" de los bloques de esfuerzo. Para hacerlo así. subdividimos esta distribución en dos bloques tria ngulares y e n un bloque rectangular en las regiones de tensión y compresión. figura 6-5&1. Como la viga tiene 2 pulg de ancho, las resultantes y sus posiciones se determinan como sigue:
y '" 0.3 pulg
h
1.5 pulg
I Oislribución de la deformación unitaria (b)
Fil:. 6-58
,. ContinlÍa
360 • CAPiTULO 6
Flexión
T, ~
e,
l ~ 2(1.2 pulg)( 40 klb/ pulg')(2 pulg) ~ 48 klb
YI = 0.3 pulg
T, ~
e, ~
T, ~
1
Y3
I
~
= 1.10 pulg
(1.2 pulg)(150 klb/pu lg')(2 pulg) ~ 360 klb
Yl - 0.3 pulg y=O.3 pu]g
2
+ '3(1.2 pulg) l
+ "2(1.2 pulg) - 0.90 pulg
e, ~ 21 (0.3pulg) (150klb)(2pulg) 2 :3(0.3 p ulg)
~
~
45klb
0.2 pulg
El momento producido por esta distribución de esfuerzo normal respecto al eje neutro es entonces:
]90 k]b/ pu]g" Distribución del esfuerzo
M ~ 2[48 klb (1.10 pulg) lO)
+ 360 k)b (0.90 pulg) + 45 klb (0.2 pulg)]
R,'P-
= 772 klb· pulg
Solución 11 En vez de usar el procedimiento semjgráfico anterior, es también posible calcular e l momento analíticamente. Para hacerlo así, debemos expresar la distribución del esfuerzo en la figura 6·5& como una función de la posición y a lo largo de la viga. Observe que (T = f( E) está dada en la fi gura 6·580. Además, de la figura 6-58b, la deformación unitaria normal puede determinarse como función de la posición y por triángulos semejantes; esto es,
•
(d)
~
0.05 1.5
--y
o :S Y S
Sustituyendo este valor en las funciones 6-580 se obt iene:
1.5 pulg (T-E
mostradas en la figura
o :S Y :S 0.3 pulg
u = 500y u = 33.33y + 140
0.3 pulg
:S
y
:5
De acuerdo con la figura 6-58e, el momento causado por do sobre la franja dA = 2 dy es:
dM A
lO)
~
y(o- dA)
~
(1 ) (2)
1.5 pulg (T
actuan-
yo-(2 dy)
Usando las ecuaciones 1 y 2, el momento para la sección transversal entera es entonces:
,·, 11.5 1 [ 1o 500/ dy + 2 0.3 (33.3/ + 140y) dy
M ~ 2 2
= 772 klb' pulg
Resp.
lO
SECCIÓN 6.11 Esfuerzo res idual
*6.11
Esfuerzo residual
Si una viga se carga en forma tal que el material de que está hecha fluye, entonces al retirar la carga se desarrollarán esfuel40s residuales en la viga. Como los esfuerzos residuales suelen ser importantes al considerar la fatiga y otros tipos de comportamiento mecánico, estudiaremos un método usado para su cálculo cuando un miembro está sometido a flexió n. Como en el caso de la torsión, podemos calcular la distribución del esfuerzo residual usando los principios de superposición y de recuperación elástica. Para explicar cómo se hace esto, consideremos la viga mostrada en la figura 6-59a, que tiene una sección transversal rectangular y está hecha de un material elástico-perfectamente plástico con el mismo diagrama esfuerzo-deformac.ión unitaria a tensi ón que a comp resión, figura 6-59b. La aplicación del momento plást ico M p ocasiona una distribución de esfuerzo en el miembro que idealizaremos como se muestra en la figura 6-59c. Según la ecuación 6-31, este momento es:
Si Mp ocasiona que en el material en la parte superior e inferior de la viga se genere una deformación unitaria ~l ( » ~y), como lo muestra el punt o B sobre la curva q-~ en la figura 6-59b , entonces al retirar este momento se ocasionará que el material recupere elásticamente parte de esta deformación unitaria siguiendo la trayectoria punteada Be. Como esta recu peración es elástica , podemos supe rponer, en la distribución del
(. )
Ag. 6-59
a
a,
,.
/
e",.
(
elaslopl u licl
I.
I
EJ 2.,
, ,,,
- 0.5 l7y
a,
,
,f
"
,, ,! ~ecuperaci6n ,, ,, elástica real
:, "•
e (b)
B
•
361
362 • CAPiTULO 6 Flexión
esfuerzo en la figura 6-59c, una distribución linea l de esfuerzo causada por la aplicación del momenlo plástico en sentido opuesto, figura 6-59d. Aquí,el esfuerzo máximo, que es llamado m6dulo de ruptura por flexió n, Un puede detenninarse con la fórmula de la flexión cuando la viga está cargada con el momento plástico. Tenemos:
U mú ""
Me - 1-;
(~bh2uy)
Mp(!h) U
r ""
(12 bh3)
(! h)
1.5uy
Advierta que es posible aquf la apl icación inversa del momento plástico usando una distribución lineal del esfuerzo, ya que la recuperación elástica del ma terial en las partes superior e inferior de la viga puede tener una deformación unitaria máxima de recuperaci6n de 2Ey, como se muestra en la figura 6-59b. Esto correspondería a un esfuerzo máximo de 2uy en las partes superior e inferior de la viga. que es mayor que el esfuerzo requerido de 1.5aycomo se calculó antes, figu ra 6-59d. La superposición del momento plástico, fig ura 6-59c, y su remoción, figura 6-59d, da la distribución del esfuerzo residual mostrada en la figura 6-5ge. Como ejercicio, use los " bloques" triangulares que representa n esta distribución de esfuerzo y demuestre que gene ran una resultante de fuerza cero y momento cero sobre el miembro, tal como debe ser. El siguiente ejemplo ilustra numéricamente la aplicación de estos principios.
Momento plástico ap:icado que genera defonnaci6n unitaria plástica
Inversión del momento plástico que genera defonnaci6n unitaria elástica
Distnbu.ciÓll del esfuerzo Tt$idunl en la viga
,,)
,d)
,,)
foig. 6-59 (conl.)
SECCIÓN 6.11 Esfuerzo residual
tla
Id.
;0.
¡tá
•
363
EJEMPLO La viga de patín ancho de acero mostrada en la figura 6-60a está sometida a un momento plástico total de M p. Si se re tira este momento, determine la distribución del esfuerzo residual en la viga. El material es elástico perfectamente plástico y tiene un esfuerzo de nuencia ay =
36 klb/ pulg' . Solución
sti· Tás _ ner les-
La distribución del esfuer.w nonnal en la viga causado por Mp se muestra en la figura 6-60b. Cuando Mp se retira , el material responde elásticame nte. Retirar Mp implica aplicar Mp en sentido opuesto, lo que conduce a una distribución elástica del esfuerzo, como se muestra e n la figura 6-6Oc. El módulo de ruptura u, se calcula con la fórmula de la [Jexió n. Usando M p = 1732.5 klb-pulg e 1 = 211.0 pulg4 del ejemplo 6-27, tenemos;
lay
no . fi-
ura esI
de
rin-
1732.5 klb · pulg (5 pulg)
Me
Umb
= -/- :
Uf
=
211.0 pulg 4
41.1 klb / pulg1
Como era de esperarse, u, < 2u y. La superposición de los esfuerzos da la distribución del esfuerzo residual mostrada en la figura 6-60d. Note que el punto cero de esfuerzo normal se determinó por proporción; es decir, en las fig uras 6-60b y 6-6üc se requiere que 41.1 klb/ pulg 2 5 pulg
36 klb/ pulg2 y
y = 4.38 pulg
36 klb/pulg1
.5 uy
==;=;:J~i"~,~'~41.J36 kJb/pul1l1 klb / puJgl
~
",1,
~====~,?05 klb /pulg
-t¡lM ,
2
36 klb/ pulg1
5 pulg
'.5 Uy 5.05 klb/pul g1 MOlT1Cnto plistico aplicado
(vista lateral)
lb)
Momento plástico invertido (v¡~ta
Dislri bución del esfuerzo residual
lateral )
'o) Fig.6-60
(d)
364 • CAplrULO 6 Flexión
PROBLEMAS 6-157. Una barra con ancho de 3 pulg y altura de 2 pulg está hecha de un material elastoplástico cuyo Uy = 36 klbfpulg2• Determine el momento respecto al eje horizonlal que ocasionará que la milad de la barra [Juya. 6-158. Determine el módulo plástico y el fac lor de formR para la sección de la viga dc patín ancho.
Prob.6-158
6- 1~9. La viga (stá In::c!HI de un material e1astoplástico cuyo Uy = 250 MPa. Determine el esfuerw residual en la parte superior e inferior de la viga después de que se aplica el momento plástico Mp y luego se retira.
Prob. 6-159
*6-160. Determine el factor de fo rma para la sección transversal de la viga H. 6-161_ La viga H está hecha de un material elastoplástica cuyo = 250 MPa. Determine el esfuerzo resid ual en la parte superior e inferior de la viga después de que se aplica el momento plástico Mp y luego se retira.
u,
Probs. 6-160/161
6- 162.. La barra tiene una sección transversal circular. Está hecha de un material elastoplástico. Determine su factor de forma y su módulo de sección Z. 6- 163. La barra tiene una sección transversal circular. Está hecha de un material elastoplást ico. Determine el momento elástico máximo y el momento plástico que puede aplicarse a su secciÓn tTansversal. Considere r - 3 pulg y 2 Uy =- 36 klbfpulg •
Probs. 6· 161J163
PROBLEMAS
-6- 164. La viga T está hecha de un material elastoplásti· oo. Determine el momento elástico máximo y el momento plástico que puede aplicarse a su sección transversal. Uy = 36 klbj pulgl.
•
365
6-167. Determine el momento plástico Mpque puede soportar una viga con la sección transversal mostrada. Uy = 30 klbj pulg2.
6-165. Determi ne el módulo de sección plástico y el factor de fo rma para la sección transversal de la viga.
Prob.6-167 Probs.6-164/165
6·166. Determine el módulo de sección plástico y el factor de forma para la sección transversal de la viga .
Prob. 6-166
- 6-168. El tubo de pared gruesa está hecho de un material elastoplástico. Determine el factor de forma y el módulo de sección plástico Z.
Prob. 6· 168
366 • CAPITULO 6 Flexión 6-169. Determine el factor de rorma y el módulo de sección plástico para la sección del miembro. 6-170. El ntiembroestá hecho con un material elastoplásrico. Determine el momento máximo elástico y el momento máximo plástico que puede aplicarse a la sección transversal. Considere b = 4 pulg,1r = 6 pulg, Uy = 36 klb /pulg2 .
· 6-172. la viga está hecha de un material elastoplástico para el cual Uy = 200 MPa. Si el momento máximo en la viga se presenta dentro de la sección central a·a, determi· ne la magnitud de cada fuerza P causantes de que este mo· mento sea (a) el máximo momento elástico y (b) el máxi· mo momento plástico.
p
p
f-- 2mJ-2m-+--2m J-2"'~ D}oomm -11lOOrnm
Prob.6·172 Probs.6·1691170
6-111.
El perfil de patfn ancho está hecho de un material Determine su facto r de forma y su módulo plástico Z.
elasTnplá~tico.
6-173. La viga está hecha de un material c!astoplástico cuyo Uy = 200 MPa, Si el momento máximo en la viga se presenta en el empotramiento. determine la magnitud de la fuerza P que ocasiona que este momento sea (a) el máximo momento elástico}' (b) el máximo momento plástico.
r ~---8 m ----I
D}oomm -1
1-
lS0mm
Prob. 6-171
Prob.6-173
PROBLEMAS
6·174. La viga en caja está hecha de un material elastoplástico cuyo Uy = 25 klb/pulg2• Si el momento máximo en la viga se presenta en el centro del claro, determine la intensidad de la carga lIIodistribuida que hará que este momento sea (a) el máximo momento elástico y (b) el máximo momento plástico.
•
367
-6·1 76. La viga tiene una sección tra nsversal rectangular y está hecha de un material elastoplástico cuyo diagrama esfuerzo·defo rmación unitaria se muestra. Detennine la nlagnitud del momento M que debe aplicarse a la viga para generar una deformación unitaria máxima en sus fibras exteriores de €m.i1 = 0.008.
±u(MPa) 8 pulg
-1 1-
12
PUI~DI6 pulg
200
f-----,,------
-16pulg Prob.6· 174
IL---;c;;!;------ - f(mm/m m) 0.004
Prob.6- L76
6·175. La viga está hecha de un material elaslOplástico cuyo Uy = 30 klb /pulg2 . Si el momento máximo en la viga se presenta en la sección central (I_a. determine la intensidad de la carga 11' distribuida que ocasiona que este momento sea (a) el momento máximo elástico y (b) el momento máximo plástico.
6--177. Una viga está hecha de plástico polipropilenocuyo diagrama esfuerlO·deformaciÓn unitaria puede aproximarse por la curva mostrada. Si la viga está sometida a una defonnación unitaria de tensión y de compresión máximas de ~ = 0.02 mm / mm . detcnnine el momento máximo M.
fu( Pa )
~IO pie$ - - - - ¡' -- - IO Pie$ - - - l
0]8,"' , .......,
L _ _ _ _ _ _ _ ((mm /mm)
8 pulg Probo 6-175
Probo 6- l n
368 • CAPíTULO 6 Flexión 6-178. La barra está hecha de una alead6n de aluminio cuyo diagrama esfuerzo-defonnaci6n unitaria puede aproximarse por los segmentos rectos mostrados. Suponiendo que este diagrama es el mismo para tensi6n y para compresión, determine el momento que la barra puede soportar si la defonnación unitaria máxima en las fibras superiores e inferiores de la viga es ~mb = 0.03. 6·179. La barra está hecha de una aleación de aluminio cuyo diagramll t:l>fuerzo-deformación unitaria puede aproximarse por los segmentos rectos mostrados. Suponiendo que este diagrama es el mismo para tensión y para como presión, determine el momento que la barra puede sopor· tar si la deformación unitaria máxima en las fibras superiores e inferiores de la viga es (""1 '" 0.05.
'--------- , Prob. 6·1.80
6-181. Un material tiene un diagramaesfuerzo-deformadón unitaria tal que den!ro del rango elástico el esfucr.lo de tensión o de compresión puede relacionarse a la deformación unitaria de tensión o de compresión por medio de la ecuación u":= Kf, donde Ky n son constantes. Si el material está sometido a un momento []exionante M. obtenga una expresión que relacione el esfuerzo máximo y el momento en el material. La sección transve rsal tiene un momento de inercia I respecto a s u eje neutro.
';;-;o;;----c;-;!,:;----;;-!c. (pulgjpulg) 0.006
[).025
0.05
Probs. 6-1781179
· 6-180. Un miembro está hecho de un polímero cuyo diagrama esruerzo-deformadón unitaria se muestra. Si la curva puede representarse por la ecuación u =- 4.65(1O)3(1.l$ klbj pulgl, determine la magnitud del momento M que puede aplicársele sin que la deformación unitaria máxima en el miembro exceda el valor ( nú., = 0.005 pulgjpulg.
~----------------. Prob.6-181
REPASO DEl CAplrU LO
REPASO DEL CAPiTULO • Los diagramas de cortante y momento son representaciones gráficas de la fuerza cortante interna y del momento flexionante interno de una viga. Ellos pueden construirse seccionando la viga a una dist.:'lncia arbitraria x desde el extremo izquierdo, hallando Vy M como funcio nes de x, y luego grafica ndo los resultados. • También es posible trazar los diagramas de cortante y momento observando que en cada punto la pendiente del diagrama de cortante es el negativo de la carga distribuida, IV = dV j(lx, y que la pendiente del diagrama de momento es la fuerza cortante, V = dM/dx. También. el área (negativa) bajo el diagrama de carga representa el cambio en la fuerza cortante. L!. V = -1 w dx; y el área bajo el diagrama de cortante representa el cambio en momento. L!.M = J V dx. Los valores de la fuerza cortante y del momento flexionante en cualquier punto pueden también obtenerse usando el método de las secciones. • Un momento flexionante liende a producir una variación lineal de la deformación uniTaria normal dentro de una viga. Si el material es homogéneo, la ley de Hooke es aplicable. y el momento no genera fluencia del material, entonces el equilibrio puede usarse para relacionar el momento interno en la viga con la distribución del es[uer,lO. El resultado es la fórmula de la flexión, u = Me /I, donde I y e se determinan desde el eje neutro que pasa por el centroide de la sección transversal. . • Si la sección transversal de la viga no es simétrica respecto a un eje perpendicular al eje neutro, se presenta entonces flexión asimétrica. El esfuerzo máximo puede determinarse con fó rmulas, o el problema puede resolverse considerando la superposición de la flexión respecto a dos ejes separados. • Las vigas hechas de materiales compuestos pueden ser "transformadas" de modo que sus secciones transversales se consideren hechas de un solo material. Para hacer esto, se usa un fac tor de transformación. quc es la razón de los módulos de elasticidad de los materiales: n = E!j~. Una vez hecho esto. los esfuerlOs en la viga pueden ser determinados de la manera usual, usando la fórmula de la flexión. • Las vigas curvas se deforman en forma tal que la deformación unitaria normal no varía linealmente desde el eje neutro. Si el material es homogéneo, elástico-lineal y la sección transversal tiene un eje de simetría, entonces se puede usar la fórmula de la viga curva para determinar el esfuerzo de flexió n, u = My j[Ae(R - y»). • Las concentraciones de esfuerzo aCUITen en miembros que tienen cambios repentinos en sus secciones transversales, como los generados por agujeros y muescas. E l esfuerzo flexionan te máximo en esas localidades se determina usando un factor K de concentración de esfuerzo que se encuentra en gráficas obtenidas experimentalmente, Umáx = K u prom ' • Si el momento flexionante ocasiona que el material exceda su límite elástico. entonces la deformación unitaria normal permanecerá lineal: sin embargo la distribución del esfuerzo variará de acuerdo con el diagrama de deformación unitaria axial y el balance de fuerzas y el equilibrio por momentos. De esta manera pueden determinarse los momentos plásticos y últimos soportados por la viga. • Si un momen to plástico o último es liberado, éste causará que el material responda elásticamente, induciendo así esfuerzos residuales en la viga.
•
369
370 • CAPíTU LO 6 Flexión
PROBLEMAS DE REPASO 6-182. La viga compuesta consta de un núcleo de madcra y de dos placas de acero. Si el esfuerzo permisible de flexión para la madera es ((.1pcrm)mad = 20 MPa y para el acero es (upcrm).c = 130 MPa, determine el momento máximo que puede aplicarse a la viga. Em.d = 11 O Pa y E.e = 200 OPa.
6-185. Determine la distribución del esfuerzo de flexión en la sección l/-a de la viga. Esboce la distribución, en una vista tridimensional, actuando sobre la sección transversal.
6-183. Resuelva el problema 6-182 si el momento está aplicado respecto al eje y y no respecto al eje z como se muestra.
SON
SON
,
80N
80N 15mm
l00E~ I5mm~1-20 mm
75mm
Probs. 6-18Z1183
Prob.6-185
*6-184. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento f1exionante para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en la viga en función de x, para O:s;; x < 6 pies.
6-186. Determine el módulo plástico y el factor de forma para la viga de patín ancho.
I
8 klb
2 klb /pie
I I jI I I I I 8OklbPi'
r--r-'
- - 6 pies -----1'-- 4 pi"
Prob.6-184
ti
J Prob.6-186
P ROBLEMAS DE REPASO
La viga está hecha con un material elastoplástico cuyo O"y = 250 MPa, Determine el esfuerzo residual en la parle superior e inferior de la viga después de que se aplica el momento plástico Mp y luego se retira.
6-187.
•
371
6-190. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la !lecha sometida a las cargas verticales de la banda, engrane y volante. Lús cojinetes en A y en B ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha.
300 N
t
450 N
I B n-Jl e Al
A ! O I
bJ-400mm-+-300mm 1200mmi
150 N
Prob.6-190
Prob.6-187
*6-188. Para la viga curva en la figura 6-44a , demuestre que cuando el radio de curvatura liende a infinito, la fórmula de la viga curva. ecuación 6-24, se reduce a la fórmula de la flexión , ecuación 6-1 2.
6-191. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sección a-a en la manija de la pinza cortadora de cable. Se aplica una fuerza de 4S lb a las manijas. La sección transversal de éstas sc muestra en la figura.
La viga curva está sometida a un momCllIO ilexionante M = 85 N'm como se muestra. Determine el esfuerzo en los puntos A y B Y muestre el csfue rzo sobre un elemento de volumen localizado en esos puntos.
Los durmientes de ferrocarril actúan como vigas que soportan cargas cortantes transversales muy grandes. En consecuencia, los durmientes de madera tienden a rajar5e en sus extremos, donde las cargas cortantes son máximas.
CAPiTULO
7 ,
Esfuerzo cortante transversal
OBJETIVOS DEl CAPiTULO
En este capftulo se expone un método para encon trar el esfuerzo cortante en una viga con sección transversal prismática hecha de material homogéneo y de comportamiento elást ico lineaL El método de análisis que explicaremos estará limitado a casos especiales de la geometría de la sección transversal. No obstante, el procedimiento tiene muchas aplicaciones en el diseño y análisis de ingeniería. Se verá el concepto de flujo de cortante.junto con el de esfuerzo cortante en vigas y miembros de pared delgada. El capítulo termina con el análisis del centro de COftantc.
7.1
Esfuerzo cortante en miembros rectos Esfucr7.0 cortante I
Se mostró en la sección 6.1 que las vigas generalmente soportan cargas de cortante y momento. La fuerza cortante V es el resultado de una distribución de esfuerzo cortante transversal que actúa sobre la sección transversal de la viga, vea la figura 7-1. Debido a la propiedad complementaria del cortante, note que los esfuer.lOs cortantes longitudinales asociados actúan también a lo largo de planos longitudinales de la viga. Por ejemplo, un elemento típico retirado de l punto interior sobre la sección transversal está sometido a esfuerzos cortante transversal y longitud inal como se muestra en la figura 7-1.
longitudinal
Hg. 7-1
373
374 • CAPíTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
d
le D
!>
:1 :1
Los tablones 00 estáo 1I0idos entre si
Los tablones estáo unidos entre sí
(.)
(b)
.
lo
Fig. ' -2
Los conectores de cortante son "soldados por puntos" a este piso metálico corrugado de manera que cuando es :olado el piso de concreto, los conectores im pedirán que la losa de concreto se deslice sobre la superficie metálica. Así. los dos materiales actuarán como una losa compuesta.
Se puede ilustrar físicamente la razón por la cual se desarrolla el esfuerzo cortante en los planos longitudinales de una viga que soporta una carga cortante interna, considerando que la viga se compone de tres tablones, figura 7-2a. Si las superficies superior e inferior de cada uno de los tablones son lisas, y éstos no están unidos entre sí. entonces la aplicación de la carga P ocasionará que se deslicen uno con respecto al otro, y así la viga se deflexionará como se muestra . Por otra parte, si las tablas están unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales entre ellos evitarán su deslizamiento relativo y, por consiguiente, la viga act uará como una sola unidad , vea la figura 7-2b. . Como resultado del esfuerzo cortante interno, se desarrollarán deformaciones cortantes que tenderán a distorsionar la sección transversal de manera un tanto compleja. Por ejemplo, considere una barra hecha de un material altamente deformable y marcada con líneas reticulares horizontales y verticales como se muestra en la figura 7-3a. Cuando se aplica la fuerza cortante V. ésta tiende a deformar las líneas de la manera mostrada en la figura 7-3b. En general, la distribución de la deformación por cortante no uniforme sobre la sección transversa l ocasionará que ésta se alabee, es decir, que no permanezca plana
If~1 1 11 1 1 [1111 1[lB t
L"...__
7.
~
.
V
(b) Después de la deformación
Hg. '-3
r...
SECCiÓN 7.2 La fórmula del esfuerzo cortante • 375
erarlo-
Jos Ión
r la tán .los co-
na.nena,des :rza
n la ! no de-
Recuerde que al obtener la fórmu la de la flexión , se supuso que las secciones transversales deben permanecer planas y perpendicu lares al eje longitudinal de la viga después de la deformación. Si bien estas suposiciones se violan cuando la viga se somete (onto a flexión como a cortante, en genera l se pucde suponer que el alabeo de la sección transversal antes descrito es suficientemente pequeño, de tal suerte que puede ser ignorado. Esta suposición es panicularmente ciena para el caso más común de una viga (Ielgada; es decir. una que tiene poco peralte comparado con su longitud. En los capítulos anteriores se desarrollaron las fórmulas d~ I..:urga axia l, torsión y flexión detenninando primero la distribución de la deformación unitaria , con base en suposiciones respecto a la deformación de la sección transversal. Sin embargo. la distribución de la defonnación conante sobre todo el peralte de una viga 110 puelle ser expresada matemáticamente con facilidad; por ejemplo, no es uniforme o lineal en el caso de secciones transversales rectangulares como ya se demostró. Por consiguiente, el análisis del esfuerzo cortante se desarrollará de manera diferente a la que se usó para estudiar las cargas antes me ncionadas. Específicamente. desarrollaremos una fórmula para el esfuerzo cortante illdirecramel1le; esto es.. usando la fórmula de la flexión y la relación entre momento y cortante (V = dM j rlx) .
7.2
La fórmula del esfuerzo cortante
El desarrollo de una relación entre la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal de una viga y la fuerza cortante resuhante en la sección. se basa en el estud io del esfuerzo cortante longiwdinal y los resultados de la ecuación 6·2, V = dM j d:r:. Para mostrar cómo se establece esta relación, consideraremos el equilibrio de juerl.tls horizO!lfa/es en una porción del elemento tomado de la viga en la figu ra 7-40 y moslrado en la fi gura 7-4b. Un diagrama dc cuerpo libre de l elemel1lo que muestra s610 la distribución del esfuerlo normal que actúa sobre é l se muestra en la figura 7-4c. Esta distribución es causada por los momentos flexionan tes M y M + lIM. Hemos excluido los efectos de V, V + dV y w(x) sobre el diagrama de cuerpo libre ya que esas cargas son verticales y no aparecen cn la sumatoria de fuerzas horizonta les. El elemento en la figura 7-4c satisface la ecuación IF.T= O puesto que la distribución del esfuerzo a cada lado del elemento forma sólo un par y por tanto se ticne una fuerza resultante nula.
Sccdón plana
;
""'. .___ ./ /
Se sll1isface r.F. = O
Area=
-- I IF"
A'
dF"
--
A
C:LA:= dF"
-- , N Fig. 7-4
(,)
(b)
(,)
.,--376 • CAPíTU LO 7 Esfuerzo cortante transversal
Consideremos ahora el segmento superior sombreado del elemento que ha sido seleccionado a una distancia y' desde el eje neutro, figura 7-4b. Este segmento tiene un ancho r en la sección y los lados transversales tienen cada uno un área A Puesto que los momentos resultantes a cada lado del elemento difieren en dM, puede verse en la figura 7-4d que "f..Fx = Ono será satisfecha a menos que actúe un esfuerzo cortante longit udinal 7S0bre la cara del fondo del segmento. En el siguiente análisis supondremos
Sección plana ,.........,
J'
E
I •
A
que este esfuerzo cortante es constante a través del ancho (de la cara del ron-
N
do. Este esfuerzo actúa sobre el área 1 dx.Aplicando la ecuación del equilibrio de fuerzas horizontales y usando la fórmula de la (Iexión, ecuación 6-13, tenemos:
(o)
J
;t.'F - " ~O",
a 'dA -
A'
f adA - -:- (tdx)
=
v
O
A'
I
L(M ~ dM)ydA - L( 7)YdA - , (rdx) ~ O
I
(d~)LYdA ~ T(r dx )
(7·1)
Q Despejando
T.
obtenemos: T
~
.!.(dM)f ydA I1 d:r: A'
Esta ecuación puede simplificarse observando que V = dM l dx (ecuaciÓn 6-2). La integral representa también el primer momento del área A' respecto al eje neutro. Denotaremos este momento con el símbolo Q. Como la posición del centroide del área A' se determina con Y' = JA ,y dA lA' podemos también escribir:
Q~JydA~YA'
(7·2)
A"
O' /
T
~ ," ', '-.
~ "
"
,, ,, ,
~ M+dM
, .... __ .... "" ,,
,
-
-- ..;,.
ViSta Iridimensional
,
1 ___ •
(d)
Hg. 7-4 (cont.)
Vista de perfil
SECCiÓN 7.2 l a fórmula del esfuerzo cortante • 377
q ue -4b.
El resultado final cs. por tanto.
tie-
1, =
ado
ano rSQ-
VQ
Ir
1
(7-3)
Aquí,
mos fonquición
=
esfuerzo cortante en e l miembro e n un punto situado a una dista nciay' del eje neutro, figura 7-4b. Se supone que este esfuerzo esconstan te y por tanto promediado a través del ancho t del miembro, figura 7-4d
v=
fuerza cortante inlerna resultante, obtenida con el método de las secciones y las ecuaciones de equili brio
T
1 = momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje neutro r = a ncho de la sección transversal del miembro en el punto en que se
va a determinar 7" Q = JA ,y dA ' = 'ji' A ' .donde A ' es la porción superior (o inferior) del área transversal del miembro considerada desde la sección en que se mi· de r, y ji' es la distancia del centroide de A' al eje neutro
ecuaeaA'
:omo 4 lA '
(7-2)
U+dM
A la ecuación anterior se le lla ma fórmula del cortante. Au nque en su derivación consideramos sólo los esfuerlOS cortantes que actúan sobre el plano longitudinal de la viga, la fó rmula se aplica igualmente para e ncono trar el esfuerzo cortante transversal sobre la sección transversal de la vj· ga. Esto se debe a que Jos esfuerzos cortantes transversales y longitudinales son complementarios y numéricam e nte iguales. Dado que la ecuación 7-3 se OblUVO a partir de la fórmula de la flexión, es necesar io que el material se comporte de mane ra elástico lineal y tenga un módulo de e lasticidad igual en tensión que en compresión. El esfuerzo cortante en miembros compuestos, es decir. aq uellos con secciones transversales de diferentes materiales, puede también obtenerse usando la fórmula del cortante. Para hacerlo así. es necesario calcular Q e J en la sección transformada del miembro como lo vimos en la sección 6.6. Sin embargo. el ancho t en la fórmula sigue siendo el ancho real t de la sección transversal e n e l punto en que se va a calcular T.
378 • CAPITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7.3
Esfuerzos cortantes en vigas Con objeto de desarrollar alguna comprensión en cuanto al método de aplicar la fórmula del cortante, y también ver algunas de sus limitaciones, estudiaremos ahora las distribuciones del esfuerzo cortante en unos cuantos tipos comunes de secciones transversales de vigas. Luego presentaremos aplicaciones numéricas de la fórmula del cortante en los ejemplos siguientes.
Falla típica por cortallle en esta viga de madera; la falla se presenta en la sección sobre el soporte y a la mitad de la altura de la sección transversal.
Sección transversal rectangular. Consideremos que la viga tiene una sección transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra en la figura 7-Sa. La distribución del esfuerzo cortante a través de la sección transversal puede detenninarse calculando el esfuerzo cortante en una altllra arbitraria y medida desde el eje neutro, figura 7-5b,y luego graficando esta función. El área con sombra oscura A I se usará aquí para calcular -r, . E ntonces,
Q ~ Y'A' ~ [Y + W-Y)](~-Y)b 1 ('" - y2b ) =24 ' Aplicando la fórmula del cortante, tenemos
T
V(l)l(l,z/4) -
VQ ~
--
Ir
~
(/¡bli')b
y']b
o bien
(7·4) Este resultado indica que la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal es parabólica. Como se muestra en la figura 7-5e, la intensidad varía entre cero en la parte superior y el fondo,y = =11/2, Y un valor máximo al nivel del eje neutro, y = O. Especíúcamente. puesto que el área de la sección transversal es A = bh , tenemos entonces en y = 0, de la secci ón 7-4,
(7·5)
*También puede usarse el área bajo y [A ' = b(h(2 + y) ]. pero eSlo implica algo más de manipulación algebraica.
SECCiÓN 7 .3
f,
Esfuerzos cortantes en vigas • 379
A
1 v
.~.
")
Dislribución dcl esfucrf.O CQnanle lO)
Este mismo resultado para 'Tmh puede obtenerse directamente con la fórmula del cortante 'T = VQ /lr, observando que 'Tmib se presenta donde Q es máxima. yaque V, J Yt son constan/es. Por inspección, Q será un máximo cuando se considere toda el área aTTiba (o abajo) del eje neutro; es10 es, A' = bh / 2 Yy'= h /4.Así, VQ 'Tm áx =
a I-
n le
le
i)
[i2bh3]b
V 1.5 A
Por comparación, 'Tmh es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio determinado con la ecuación 1-7; es decir 7 m b"" V fA. Es importante recordar que para toda Tque actúa sobre la sección transversa l en [a figura 7-5c, se tie ne una correspondiente T actuando en la dirección longitudmal a lo largo de la viga. Por ejemplo. si la viga es seccionada por un plano longitudinal a través de su eje neutro, entonces, como se indicó anteriormente. el esfuerzo eOrlallle máximo actúa sobre este pIano, figura 7-Sd. Éste es el esfuerzo que ocasiona que falle una viga de madera según se muestra en la figura 7-6. Aquí la rajadura horizontal de la madera comienza al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que las reacciones verticales la someten a grandes esfuerzos cortantes y la madera tiene una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que están orientadas en dirección longitudinal. Es instructivo mostrar que cuando la distribución del esfuerzo cortante. ecuación 7-4, se integra sobre toda la sección transve rsal. se obtiene la fuerza cortante resultante V. Para hacerlo, se escoge una franja diferencial de área dA = b dy , figura 7-Se, y como 'r tiene un valor constante sobre esta franja, tenemos:
fA
TdA =
i
h /2
J¡)
A
Fig.7-5
6~(h2 -l)bdY
_h/2 bh
= 6V [h2
d,
V(h/ 4)(bh/ 2)
Ir =
4
4
y_
.!.l]'/2 3
-h/2
=~[~2(~+~)_~(~ +~)]=V
fig.7-'
380 • CAPíTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
~
b/ í falJ /
"
\~ Alma
esfuerlo coname
' bl
Intensidad de la dislribución del esfuerzo coname (vista de perfil)
"l Fig.7-7
Viga de patín ancho. Una viga de p(l/ín ancho se compone de dos "patines" (anchos) y un " alma" como se muestra en la figura 7-7a. Con un análisis similar al anterior se puede determinar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre su sección transversaL Los resultados se ilustran gráficamente en la figura 7-7b y 7-7c. Como en el caso de la sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente a lo largo del peralte de la viga , ya que la sección puede ser tratada como la sección rectangular, que primero tiene el ancho del patín superior, b, luego el espesor del alma, tatma , Yotra vez el ancho del patín inferior, b. En particular, adviértase que el esfuerzo cortante variará sólo ligeramente a través del alma, y también , que el esfuerzo cortante experimenta un salto en la unión de patín y alma, puesto que el espesor de la sección transversal cambia en este punto, o en otras palabras. que {cambia en la fórmula del cortante. En comparación, el alma soportará una cantidad significativamente mayor de la fuerL.a cortante que los patines. Esto se ilustrará numéricamente en el ejemplo 7-2. Limitantes en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante. Una de las principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la fórmu la del cortante es que el esfuerzo cortante está uniformemente distribuido sobre el al1cho t de la sección donde se calcula. Es decir, el esfuerzo cortante promedio se calcula a través del ancho. Se puede someter a prueba la exactitud de esta suposición comparándola con un análisis matemático más exacto basado en la leoría de la elasticidad . A este respecto, si la sección transversal de la viga es rectangular, la distribución real del esfuerL.O cortante a través del eje neutro varía como se muestra en la figura 7-8. El valor máximo -r'máx se presenta en los bordes de la sección transversal, y su magnitud depende de la relación b / h (ancho/ peralte). Para secciones con b /h = 0.5 , -r'm áX es sólo cerca de 3% mayor que el esfuerzo cortante calculado con la fó rmula del cortante, figura 7-8a. Sin embargo, para secciol1es planas. digamos con b / h = 2, Tmh es casi 40% mayor que "Tmáx' figura 7·8b. El error se vuelve aún mayor a medida que la sección se vuelve más plana, o a medida que se incrementa la relación b/J¡. Los errores de esla magnitud son ciertamente intolerables si se utiliza la fórmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante en el patín de una viga de patín ancho, según se indicó antes. Asimismo. habrá que señalar que la fórmula del cortante no dará resul· tados precisos cuando se utilice para determinar el esfuerzo eortanle en la unión patín-alma de una viga de patín ancho, puesto que éste es un punto de cambio repentino de la sección transversal y, por consiguiente, en este lugar se presenta una cOl1centración de esfilerzos.A demás, las regiones internas de los patines son superficies libres, (igura 7-7b , y en consecuencia, el esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero. No obstante, si se aplica la fórmu la del cortante para determ inar los esfuerzos cortantes en estas superficies, se obtiene un valor de T que 110 es igual a cero, figura 7-7c. Afortunadamente, estas limilaciones para la aplicación de la fórmula del cortante a los patines de una viga no son importantes en la práctica de la ingeniería. Con mucha frecuencia los ingenieros sólo tienen que calcular cl esfuerzo corU/nle máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro, donde la razón b/ h (ancho/ peralte) es muy pequeña y, por consiguiente, el resultado calculado se aproxima mucho al esfuerzo cortante máximo verdadero tal como se explicó antes.
SeCCióN 7.3 Esfuerzos cortantes en vigas • 381
,aun 70
on
ns-go Ión
es:u-
,és !la mornte ca-
Joa nu)ui-
no -uemá;i la
es~ura
30S-
lara !rzo rgo, que
Se puede señalar a ira limitación importante en el uso de la fórmula del cortante con respeclo a la figura 7-9a, la cual muestra una viga de sección transversal irregular o no rectangular. Si se aplica la fórm ula del cortante para determinar e l esfuerz.o cortante (promedio) T a lo largo de la línea AB, tendrá la dirección mostrada en la figura 7-9b. Considérese ahora un elemento de material tomado del punto limítrofe B, de tal modo que una de sus caras se localice en la superficie externa de la viga, figura 7-9c. Aquí el esfuerzo cortante calculado Ten la cara fronta l del elemento se descompone e n las componentes, T y 'T It • Por in!
t., b=2h
I
I
-1
N 1'"",- _
VQ
r""~= h
tbl Fig.7-8
'o se :rra-
nula ¡a de
!sul-
:e en unto este ¡oncia,
!S
Superfieie eltlerior libre de esfuerzos
lte, si m Ies ¡gura mula ca de .cular
t.,
Dislribución del esfuerto cortante según la fórmula del cortante
tbl
.!i.o
T,lJ/ ,
1
t"
:utro, lte, el ¡)
ver('l
Fig. 7-9
(d)
382 • CApiTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PUNTOS IMPORTANTES • Las fuerzas cortantes en vigas dan lugar a distribuciones no lineales de la deformació" Il"itaria cortante sobre la sección transversal. ocasionando que ésta se alabee. • Debido a la propiedad complementaria del esfuerLO cortante. el esfuerzo cortante desarrollado en una viga actúa tanto en la sección transversal como en planos longitudinales. • La fórmula del cortante fue derivada considerando el equilibrio de las fuerzas horizontales del esfuerzo cortante longitudinal y de las distribuciones del esfuerzo de flexión que actúan sobre una porción de un segmento diferencial de la viga. • La fórmula del cortante debe usarse en miembros prismáticos rectos hechos de material homogéneo con comportamiento elástico lineal. Además, la fuer¿;a cortante interna resultante debe estar dirigida a lo largo de un eje de simetría de la sección transversal. • Para una viga con sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía pllrabólicame1lfe con el peralte. E l esfu erzo cortante máximo se presenta al nivel del eje neutro. • La fórmula del cortante no debe usarse para determina r el esfuerzo cortante en secciones transversales que son cortas o planas, o en puntos de cambios abruptos de la sección transversal, o en un punto de una fro ntera inclinada.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Pa ra aplicar la fórmula del cortante. se sugiere el siguiente procedimiento. Fuerza cortante iMema.
• Seccione el miembro perpendicularmente a su eje en el punto donde va a ser determinado el esfuerzo cortante, y obtenga la fuerza cortante interna V en la sección. Prnpiedadts d, la sn'riÓn.
• Determine la localización del eje neUlro. y determine el momento de inercia I de toda el área de la sección transversal respecto al eje neutro. • Pase una sección horizontal imaginaria por el punto donde va a ser determinado el esfuerzo cortante. Mida el ancho 1 del área en esta sección. • La porción dcl área arriba o debajo de esta sección es A'. Determine Q por integración, Q = Lt· y dA'. o usando Q = yA'. Aquí ji' es la distancia al centroide de A'. medida desde el eje neutro. Puede ser de ayuda darse cuenta que A' es la porción del área de la sección transversal del miembro que está " unida al miembro" por medio de los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 7-4d. Esfuerzo cortanle,
• Usando un conjunto consistente de unidades. sustituya los datos en la fórmula del cortante y calcule el esfuerzo cortante T. • Se sugiere que la dirección apropiada del esfuerzo cortante transversal T sea establecida sobre un elemento de volumen de material localizado en el pun to donde está siendo calcu lado. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que T actúa sobre la sección transversal en la misma dirección que V. Con esto se pueden establecer entonces los esfuerzos cortantes correspondientes que actúan en los otros tres planos del elemento.
SeCCIóN 7.3 Esfuerzos cortantes en vigas • 383
EJEMPLO La viga mostrada e n la figura 7-lOa es de madera y está sometida a una fuerza cortante vertical interna resultante de V = 3 klb. (a) Determine el esfuerzo cortante en la viga en el punto P, y (b) calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga.
Solución Parle (a).
Propiedades de la sección. El momento de inercia del área de la sección transversal calculada respecto al eje neutro es 1=
•
1
I2bj,J ""
1 12 (4 pulg)(5 pulg)3 = 41.7 pulg 4
,.)
Se traza una línea horizontal por el punto P y el área parcial A' se muestra sombreada e n la figura 7-lOb. Por consiguiente. Q
Como TI' contribuye al valor de V, actúa hacia abajo en P sobre la sección transversal. En consecuencia. un elemento de volumen del material en este punto tendrá esfuerLOS cortantes actuando sobre él como se muestra en la figura 7- lOc.
,b,
'o)
Parte (b).
li-
l'tle,
Propiedades de 1" secci6n. El esfuerzo corta nte máximo ocurre en el eje neutro, ya que I es constante en toda la sección transversal y Q es máximo para tal caso. Para el área A ' sombreada en la figura 7-10d, tenemos:
tla
Q ~ ji' A ' ~ [
2.5 2PUlg] (4 pulg) (2.5 pulg): 12.5 pulg' (d)
Esfuerzo cortante.
el
Aplicando la fónnu la del esfuerLo cortante obteFig.7.10
nemos
_ VQ _ (3 klb)( 12.5 pulg ' ) _ T máx -
e·
se
1
I
-
(
4
41.7 pulg )(4 pulg)
, 0.225 klb/pulg
R esp.
Note que esto es equivalente a
os T máx
1/ 3 klb == 1SA = 1.5 (4 pulg)( 5 p ulg)
2
0.225 klblpulg
Resp.
384 • CAP[TULO 7 Esfuerzo cortante transversal
EJEMPLO Una viga de acero de patín ancho tiene las dimensiones mostradas en la figura 7·11a. Si está sometida a una fuerza cortante V = 80 kN,(a) grafique la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal de la viga y (b) determine la fuerza cortante que resiste el alma.
TS·=
1.13 MPa
)
" ,,22.6 MPa 22 6MPa
'- l.l3 MPa lb)
,,) Solución
La distribución del esfuerzo cortante es parabólica y varía tal como se muestra en la figura 7·11b. Debido a la simetría, sólo los esfuerzos cortantes en los puntos B ', B Y tienen que calcularse. Para mostrar cómo obtener esos valores, debemos primero determinar el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. E n unidades métricas, tenemos:
Parte (a).
e
0.02 m
- - 0.300 m A'
r '
S
S'
----I..L T
1
-l l~ (0.015 m)(0.200 m)3]
0.100 m
N------H-----~--A
+
2[1~(0.300m)(0.02 m )3 + (0.300 m)(0.02 m)(O.1 !O m)']
- 155.6(10-<) ro' 'o) Fig.
,-u
Para el punto B' ," H = 0.300 m, y A ' es el área sombreada mostrada en la figura 7-ll c. Entonces, Qs' - yA' - [0. 110 mJ (0.300 m)(0.02 ro) - 0.660(10-') m3 por lo que
Parte (b). La fuerza cortante en e l alma se determinará primero formulando el esfuerzo cortan le en la posición y arbitraria dentro del alma, figura 7-11e. Usando unidades de metros, tenemos
1 = 155.6(10-6) m 4
t = 0.015 m A' ~ (0.300 m)(0.02 m)
+ (0.0\5 m)(O.1 m - y)
ca
J'
0.015 m
~ (0.735 - 7.50 l)(10- 3 ) m3
el
de manera que lO)
80 kN(0.735 - 7.50 y2}(10- 3) m3
VQ 7~-~
Ir
Fil!:. 7-11
(155.6(W') m')(0.015 m ) ~ (25. 192 - 257.07
l) MPa
Este esfuerzo actúa sobre la franja d e área dA = 0.015 dy mostrada en la figura 7-11e, y por tanto la fu erza cortante resistida po r el alma es
da
V. ~
f
o.l m
7
A_
dA ~
J
-0.1
(25. 192 - 257m l)( 10')(0.0 15 m) dy m
V.
~
73.0 kN
Resp.
El alma soporta entonces 91 % de la fuerza cortante total (SO kN),y los patines soportan e l 9% restante. Trate de resolver este problema encontrando la fuerza en uno de los patines (3.496 kN) usando el mismo método. Entonces V w =< V - 2V¡ = 80 kN - 2(3.496 kN) = 73 kN.
ilsi-
m--l..l T
0.[ m
N--2L--~---H------L-A
+ [y + 1(0.1 m - y) ](0.015 m)(O.1 m - y)
JS
0.02 m
0JOO
(0.1 m-Y'~ )c- _ _ __ ~ =dY
Q ~ ¿YA' ~ (0. 11 m )(0.300 m )(0.02m)
¡a
:n
r--
386 • CApITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
EJEMPLO La viga mostrada en la fi gura 7- 120 está hecha con dos tablones. De6.5 kN/ m
rrrrfffi
term ine el esfuerzo cortan'te máximo en el pegamen to, necesario para mantene r los tablones unidos. Los soportes en B y e ejercen sólo reacciones ve rticales sobre la viga.
e Soludón
4m - - t - 4m ISOJll
30 mm
-----'-;¡----r-
y
150mm
Fuerza cortan le interna. Las reacciones en los soportes y el diagrama de fue rza connnte se muestran en la fi gura 7-12b. Se ve que la fuerza cortante máxima en la viga es de 19.5 kN.
;Wi;;n
,.)
V(kN)
26kN
,r---- -----,'
6.5f-- -" L __--!""'5~-+8 x (m) ,
6m --~1~2m 6.5 kN
19.51cN
(b)
-19.5
Propiedades de la sección. El cent roide y el eje neutro se determinarán con referencia al cje sit uado en el fondo de la sección transversal, figura 7- 120. En unidades métrica.s tenemos:
_ y
Ly A
~ LA ~
[0.075 mJ (0.150 m )(0.030 m ) + [0.165 m](0.030 m)(0.150 m ) (0.150m)(0.030m) + (0.030 m)(O.l50m )
~ 0.120m
El momento de inercia respecto al eje neutro, figu ra 7· l2o, es entonces: 1 =
[ I~ (0.030 m) (0.150 m )) + (0.150 01 )( 0.030 m)(0.120 Jll -
0.075
+
[ 1~ (0.150 m)(0.030 m)' + (0.030 m )(O.l50 m)(0.165 m -
0.120 m )']
m)2] ~ 27.0( 10-<) m'
El tablón (patín) superior se mantiene unido al tablón inferior (alma) por medio del pegamento,que se aplica sobre el espesor t = 0.03 rn. En conseeuencia, A ' es el área del tablón superior, figura 7·120. Tenemos: Q
~
y A ' ~ [0.180 m - 0.015 m - 0.120 m](0.03 m)(O.l50 m ) ~ 0.2025(10-') m'
Plano que contiene el pegamento
Esfuerzo cortante. Usando los datos an teriores y aplicando la fórm u· la del cortante, obtenemos:
VQ
t>~:;o,. 4.88 MPa ,<) Fi,.7.12
7 mb =
lt
195 kN(0.2025(W-') m') = 27.0(10-6) m 4(0.030 ro )
4.88 MPa
Resp.
El esfuerzo cortante que actúa en la pa rte superior del tablón inferior se muestra en la figura 7-12c. Observe que la resistencia del pegamento a este esfuerzo cortante horizontal O lateral es la que evita que los tablones se deslicen en el soporte C.
,
---~
PROBLEMAS
•
387
PROBLEMAS '-l. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B del alma, cuando la viga está sometida a una fuerza cortante V = 15 kN. Indique las componentes del esfuerzo cortante sobre un elemento de volumen localizado en esos puntos. Considere w = 125 mm. Demuestre que el eje neutro está localizado en JI = 0.1747 m desde la base y que INA.
= 0.2182(10- 3) m 4.
7-2. Si la viga de patín ancho está sometida a una fuerza cortante V = 30 kN, determine el esfuerzo cortante máximo en la viga. Considere w = 200 mm. 7-3. Si la viga de patín ancho está sometida a una fuerza cortante V = 30 kN, determine la fuerza cortante resistida por el alma de la viga. Considere w = 200 mm.
7-6. Determine el esfuerzo cortante máximo en la viga T cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V = 10 klb. Calcule también el cambio en el valor del esfuerzo cortante en la unión .'lB del patín con el alma. Esboce la variación de la intensidad del esfuerzo cortante sobre toda la sección transversal. Demuestre que I N A = 532.04 pulg4 . 7-7. Determine la fuerza cortante vertical resistida por el patín de [a viga T cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V = 10 klb. Demuestre que I NA = 532.04 pulg4 •
4 pulg
~3 PUlg
200 mm
l
lB
6pulg
~~Oklb Probs. 7·617
Probs. 7.1f2I3
*7-4. La viga está formada por tres placas de acero y es sometida a una fuerza cortante V - ISO kN. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y e donde se unen las placas. Demuestre que y = 0.080196 m desde la base y que ¡ NA = 4.8646(10- 6 ) m4 . 7·5. La viga está formada por tres placas de acero yestá sometida 3 una fuerza cortante V = 150 kN. Determine la fue rzH cortante en el punto B donde las placas se unen, Demuestre que y = 0.0801 % m desde la base y que I NA = 4.8646(10- 6) m4 .
·7-8.
Determine el esfuerzo cortante máximo en el puntal sometido a una fuerza cortante V = 15 kN. Demuestre quelNA = 6.691(1O- 6)m 4. 7-9. Determine la fuerza cortante máxima V que el pun tal puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para el material es 7~rm = 50 MPa. Demuestre que ' NA = 6.691(10- 6) m4 .
7-10. Determine la intensidad del esfu erzo cortante distribuido sobre la sección transversal del puntal si éste está sometido a una fuerza cortante V = 12 kN. Demuestre que INA = 6.691(10- 6) m4 .
10 mm
,-
1;r
,.
"1-
---
.J/
¡vdE 100 mm
20 mm
>S
P ro bs. 7-415
Probs. 7·8J9flO
m m
20mm
388 • CApiTULO 7 Esfuerzo cortante transversal 7-11. Esboce la intensidad de la distribución del esfuerzo eortanteque actúa sobre la sección transversal de la viga y determine la fuerza cortante resultantc que aetúa sobre el segmento AB. La fuerza cortante que actúa en la sección es V = 35 klb. Demuestrc que I NA = 872.49 pulg 4 •
'·13. La barra de acero tiene un radio de 1.25 puJg.Si está sometida a una fuerza cortante V = 5 klb, determine el esfuerLo cortante máximo.
" ....... v", 35 klb
Prob.7·1J
'·14. Determine la fuerza cortante V máxima que el miembro puede soportar si el esf'JerLo cortante permisi· ble es Tmjl = 8 klbj pulg2.
' ·15. Si la fuerza cortante aplicada es V = 18 klb,dcler· mine el esfucrzo cortante máximo en el miembro.
Prob.7·11
---1 3 pulg I
.,.12. tical
El puntal está sometido a una fuerza cortante ver· V = 130 kN. Trace la intensidad de la distribución del esfuer.LO cortante que actúa sobre la secciÓn transversal y calcule la fUl::r/.a I,:urlalltl:: Icsuhanle desarroUada en c:I segmento vertical AB.
""Iil-- f".t.:cl
.--l
v:J.J
~ 3 pulg I pulg I pulg
Protn. 7.14'15
*'-16. La viga tiene una sección transversal cuadrada y está hecha de madera con un esfuerzo cortante permisible 'fperm = 1.4 klb jpulg 2. Determine la dimensión a más pe· queña de sus lados cuando está sometida a una fuerla coro tante V "" 1.5 klb.
Prob.7·12
Prob.7·Hi
PROBLE MAS
7-17. La viga de madera tiene un esfuerzo cortante permisible T¡>
50 mm,
,-
,
1 2oo~
J
,
~
*7-20. Desarrolle una expresión para la componente vertical promedio del esfuerzo cortante que actúa sobre el plano horizontal de la flecha, situado a una distancia y del eje neutro.
100 mm--l-----l
L
50 mm
389
50 mm
,
I
•
Prob.7-17
Prob.7·20 7-18. La viga está hecha de un polímero y está sometida a una fuerza cortante V = 7 klb. Determine el esfuerzo cortante máximo en la viga y obtenga la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Indique los valores del esfuerzo cortante a cada 0.5 pulg del peralte de la viga.
1---- 4 pulg ----1
I,ol,r 1 pulg
~
1 pulg l ~
!
I
r'
Prob. 7.18
7-19. Grafique la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal de la barra de radio c. ¿Cuántas veces mayor es el esfuer,w cortante máximo que el esfuerzo COftante promedio que actúa sobre la sección transversal?
Proh.7-19
7·21. Un miembro tiene una sección transversal en forma de un triángulo equilátero. Determine el esfuerzo cortante máximo promedio en el miembro cuando está sometido a una fuert.:a cortante V. ¿Puede usarse la fónnul a del cortante para obtener este valor? Explíquelo.
Prob.7-21
7·22. La viga está sometida a una carga uniforme w. Determine la posición a de los soportes de madera para que el esfu erzo cortante en la viga sea tan pequeño como sea posible. ¿Qué valor tiene este esfuer.lO?
Prob.7-22
390 • CAPITULO 7 Esfuerzo cortante transversal 7·23. La viga de madera va a ser rebajada en sus extremos, tal como se muestra. Cuando la viga soporta la carga mostrada, determine la profundidad d más pequeña de la viga en el recorte si el esfuerzo cortante permisible 1"penn == 450 lb· j pulg2. La viga tiene un ancho dc 8 pulg.
'-27. Determine la longitud de la viga en voladizo de manera que el esfuerzo de flexión máximo en la viga sea equivalente al esfuerzo cortante máximo. Comente sobre la validez de sus resultados.
5000 lb 2500 lb
2500 lb p
12 pulg
~~==~=a Id
DI
4 pies-l--6 pies-l-- 6 pies -+-4 pies
Prob.7·23
~H
L
Prob.7-27 *7-24. La viga está hecha con tres tablones pegados entre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, determine el esfuerzo cortante desarrollado en las juntas del pegamento en la sección a·a. Los soportes en e y D ejercen sólo reacciones verticales sobre la viga. 7-25. La viga está heeha con tres tablones pegados entre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, determine el esfuer7.0 cortante máximo desarrollado en las juntas unidas por el pegamento. Los soportes en e y D ejercen sólo reacciones verlicales sobre la viga.
7-26. La viga está hecha con tres tablones pegados entre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada,determine la fuerza cortante vertical máxima resistida por el patín superior de la viga. Los soportes e n e y D ejercen sólo reacciones verticales sobre la viga.
5 klb
¡
*7-28. Los durmientes de ferrocarrH deben diseñarse para resistir grandes cargas cortantes. Si el durmiente está sometido a las cargas de 34 klb Yse supone WIa reacción uni· formemente distribuida del suelo, dctermine la intcnsidad w requerida por equilibrio y calcule el esfuerzo cortante máximo en la sección a-a que selocaliLajusto a [a izquierda del riel derecho.
34 klb
34 klb
.. ttt
"
1-
1 1 1 1 1 1 1" 111
1- 1.5 pies--l- - - 3 pies'--->-1.5 pies 6 pulg
1.5P"lgL~ 8 plUlg
'"'-1
~ 1.5puIgí
Probs. 7-24/25/26
2 pulg B
Prob.7-28
~
w
PR.OBLEMAS
7-29. Determine el esfuerzo cortante en el punto B sobre el alma del puntal en voladizo en la sección a-a. 7-30. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa en la sección a-a del puntal en voladizo. 4kN
2kN
•
391
.7-33, Escriba un programa de computadora que sirva para determinar el esfucrLO cortante máximo en la viga con la sección transversal mostrada y sometida a una carga distribuida w específica constante y a una fuerza concentrada P.Aplique el programa con los siguientes datos: L = 4 m.a = 2 m, P = 1.5 kN,d¡ = 0, d2 = 2 m, W = 400 N/ m,l¡ 15 mm, t2 = 20 mm,b = 50 mm, y h = 150 mm.
20 mm
1r
70 J:l1 B t:8
:lJ!.
2OC-W 50 mm
Probs. ' ·29130
7-31. La viga compuesta está construida de madera y está reforzada con placas de acero. Use el método de la sección 6.6 y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V = 50 kN. Considere Eac = 200 G Pa y Emad = 15 GPa.
1----
L- ------"I Prob.7·33
7·34, La viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a una carga P de una magnitud suficiente para desarrollar un momento plástico total Mp ': PL en el empotramiento. Si el material es elastoplástico, entonces a una distanciáx < L,el momento M = Px genera una región de flueneia plástica con un núcleo elástico asociado de altura 2 y/ . Esta situación ha sido descrita por la ecuación 6-30 y el momento M está distribuido sobre la seco eión transversal como se muestra en la figura 6·54e. De· muestre que el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la viga está dadO por 1"mh = ! (P jA '), donde A' := 2 y'b es el área de la sección transversal del núcleo elástico.
Probo '·31
*.7-32. La viga simplemente apoyada está sometida a la carga con:entrada P. Escriba un programa de computadora que pueda usarse para determinar el esfuerzo cortante y el de flexión en cualquier punto específico A (x, y, z) de la sección transversal, excepto en los soportes y bajo la carga. Aplique el programa con los siguientes datos: P = 6(X}N, d = 3 m. L = 4 m, h = 0.3 m . b = 0.2 m ,x = 2m.y = 0.1 my z = 0.2m.
Región plástica
r
2+ dr ~-~ Tt!l.L A , 1Región elástica
Prob.7· 34 p
t.1-1
k
r-----'
d- - !
- 1LT~ l W _,
~~------- L -------41
I
I-H Probo'·32
7':15. La viga en la figura 6-54f está sometida a un momento plástico total Mp. Demuestre que los esfuer.loscor· tan tes longitudinal y transversal en la viga son iguales a cero. Sugerencia: considere un elemento de viga como se muestra en la figura 7-4d.
392 • CApiTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7.4
Flujo cortante en miembros compuestos
--f~
A veces, en la práctica de la ingeniería los miembros se "arman" con varias partes a fin de lograr una mayor resistencia a las cargas. En la figura 7-13 se muestran algunos ejemplos. Si las cargas provocan que los miembros se flexionen , probablemente se requieran sujetadores tales como clavos, pernos, soldadura o pegamento, a fin de evitar que las partes componentes se deslicen una con respecto a la otra, figura 7-2. Para disenar estos suj~ ladores es necesario conocer la fuerza cortante que ha de ser resistida por el sujetador a lo largo de la longitud del miembro. Esta carga, cuando se mide como fuerza por unidad de longitud, se denominaflujo corta nle q.* La magnitud del flujo cortante a lo largo de cualq uier sección longitudinal de una viga se puede obtener mediante un desarroll o similar al que se utilizó para hallar el esfu erzo cortante en la viga. Para mostrarlo, se considerará la determinación del flujo cortante a lo largo de la junta donde la parte compuesta en la figura 7-14a se conecta al patín de la viga. Como se muestra en la figura 7-14b, tres fuerzas horizontales deben actuar sobre esta parte. Dos de esas fuerzas, F y F + dF, son desarrolladas por esfuerzos normales generados por los momentos M y M + dM, respectivamente. La tercera, que por eq uilibrio es igual a dF, actúa en lajunta y tiene que ser soporlada por el sujetador. Si se tiene en cuenta que dF es el resultado de dM , entonces, del mismo modo que en el caso de la fórmu la del cortanle, ecuación 7-1 , tenemos:
dF~dMJ
11- ' Fig.7.13
I
ydA'
A"
La integral representa a Q, es decir, el momento del área sombreada A' en la figura 7-14b respecto al eje neutro de la sección transversal. Como el segmento tjene una longitud dx. el flujo corlante, o fuerza por unidad de longitud a lo largo de la viga, es q = dFfdx. Por consiguiente, dividiendo ambos miembros por dx y viendo que V = dM fdx , ecuación 6-2. se puede escribir: (7·6)
Aquí, q = flujo cortante, medido como fue rza por unidad de longilud a lo lar-
go de la viga V = fuerza cortante interna resultante, determinada con el método de las secciones y las ecuaciones de equi librio 1 = momento de inercia de toda la sección transversal calculado con respecto al eje neutro Q = JA • y dA ' = ji' A ' , donde A ' es el área de la sección transversal del segmento conectado a la viga en la junta donde el flujo cortante ha de ser calculado y yes la dista ncia del eje neutro al centroide de A' .EI significado de la palabra "nujo" se entenderá plenamente cuando eSlUdiemos la seco ción 7.5.
SECCiÓN 7.4 Flujo cortante en miembros compuestos •
393
"
13 se !f-
.dM
es e-
F+dF (b)
Q'
,,-se :uue se m-
:0m )0'
va-
tics el
.ula
,A'
(.)
Fig.7·14
La aplicación de esta ecuación sigue el m ismo "procedimiento de análisis", tal como se describió en la sección 7.3 para la fórmula del cortante. A este respecto es muy importante identificar correctamente el valor adecuado de Q cuando se va a calcular el flujo cortante en unajunta particular de la sección transversal. Unos cuantos ejemp los servirán para ilustrar cómo se hace esto. Considere las secciones transversales de las vigas mostradas en la figura 7-15. Las partes sombreadas están conectadas a la viga por medio de sujetadores de tal modo que el flujo cortante necesario q de la ecuación 7-6 se determina usando un valor de Q calculado por medio de A' Yj' tal como se indica en cada fi gura. Advierta que este valor de q será resistido por un solo sujetador en las figuras 7·15a y 7· 15b, por dos su· jetadores en la figura 7·15c, y por tres sujetadores en la figura 7·15d. En otras palabras, el sujetador en las figu ras 7·15a y 7·15b soporta el valor calculado de q y en las figuras 7-15c y 7·15d, el valor calculado de q es dividido entre 2 y 3, respectivamente.
,mo ¡dad :ndo
puc-
PUNTOS IMPORTANTES
[7-6)
• El flujo cortal1fe es una medida de la fu erza por unidad de longitud a lo largo de un eje longitudinal de una viga. Este valor se halla a partir de la fórmula del cortante y se usa para determinar la fuerza cortante desarrollada en sujetadores y pegamento que mantienen unidos entre sí los varios segmen tos de una viga.
(.)
) larle las
o resal del tte ha deA ' (b)
la sec-
(el
Fig.7-15
(d)
, 394 • CAPiTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
EJE MP L O La viga se va a construir con cuatro tablones pegados entre sí como se muestra en la figura 7-160. Si va a estar sometida a una fueua cortante V = 850 kN, determine el flujo de cortante en B y e que debe resistir el pegamento. Solución Propiedades de la sección. El eje neutro (centroide) se localizará con referen cia al fondo de la viga, figu r a 7-16a. Con unidades métricas., te-
nemos:
_ y
=
¿yA LA
=
2[0.15 m](0.3 m)(O.OI m) + [0.205 m](O.125 m)(O.OI m) + [0.305 m](0.250 m)(O.Ol m) 2(0.3 m)(O.Ol m) + 0.125 m(O.OI m) + 0.250 m(O.Ol m)
= 0.1968 ro
El momento de inercia calculado con respecto al eje neutro es: 1 IOmm I~
250 mm
8
10 mm
N~Cjl=1=i~4tl--'A 300mm 1 l mm y
V=850kN
ru
IOmm---l 1---- 125mm ---l 1----10 mm (.)
8'-
N
-re
Como el pegamento en By B' conecta el tablón superior a la viga, figura 7·16b, tenemos:
Q8 = y~A'8 = [0.305 m - 0.1968 m](O.250 m)(O.Ol m) =
Fig.7.16
0.270(10- 3 )
111
3
De la misma manera, el pegamento en C y C' conecta el tablón interior a la viga, figura 7-16b, por lo que:
Qc = y~A'c = [0.205 m - 0.1968 m](0.125 m)(O.Ol m) = 0.ül025(1O-3) m3
/" AÍ! 8-
2[1~(0.01 m)(0.3m)3 +
+[1~ (0.125 m)(O.OI m)3 +
'
!
=
VQc ¡
= -- =
850 kN(O.01025(10-') m') 87.52{l0-6) m 4
=
0.0995 MN/ m
Como se usan dos juntas de pegamento para conectar cada tablón, el pegamento por metro de longitud de viga en cada junta debe ser su ficientemente fuerte para resistir la mitad de cada valor calculado de q' . Entonces, qB = 1.31 MN/ m y qc = 0.0498 MN / m
Resp.
SECCIÓN 7.4 Flujo cortante en miembros compuestos • 395
EJE M P L O Una viga en caja se construye con cuatro tablones clavados entre sf, tal como se muestra en la figura 7-17a. Si cada clavo puede soporlar una fuerza cortante de 30 lb, determine la separación s máxima entre clavos en B y para que la viga pueda soporta r la fu erza vertical de 80 lb.
e
SOlb
Solución
Fuerza cortante interna. Si la viga se secciona en un pllllto arbilrario a 10 largo de su longitud, la fuerza cortante interna requerida por equilibrio es siempre V en la figura 7-17b.
=
.
.
.
'.
I.5pulg
versal respecto al eje neutro puede evaluarse considerando un cuadrado de 7.5 X 7.5 pulg menos un cuadrado de 4.5 x 4.5 pulg.
,]
1
.'
80 lb; el diagrama de fuerza cortante se muestra
Propiedades de la sección. El momento de inercia de la sección trans-
El flujo de cortante en B se determina usando la QB calculada con el área de sombreado oscuro mostrada en la figura 7-17c. Es esta porción "simétrica" de la viga la que debe "ligarse" al resto de la viga por medio de clavos en el lado izquierdo y por las fibras dellablón en el lado derecho. Así, Q, ~ Y' A ' ~ [3 pulg](75 pulg)(I.5 pulg) ~ 33.75 pulg 3
(.)
De la misma manera, el nujo de cortante en e puede evaluarse usando el área "simétrica" sombreada mostrada en la figura 7- 17d. Tenemos:
Qe = y 'A ' = [3 pies] (4.5 pies)(1.5 pies) = 20.25 pies 3 te-
Estos valores representan la fu erza cortante por longitud unitaria de la viga que debe ser resistida por los clavos en B y por las fibras en B' , figura 7-l7c, y por los cl avos en e y las fib ras en C' , figura 7- 17d, respectivamente. Como en cada caso el flujo de cortante es resistido en dos superficies y cada clavo puede resistir 30 lb, la separación para Bes: 30 lb s8 ~ -;(:-: 11-=.7"' 6/"'2"' )lO:b/-'-P-U:lg 5.10 pulg Use S8 = 5 pulg Resp. La separación para e es: 30 lb se ~ (7.059/ 2) Ib/ pulg
,-31' " 1" N
(o)
14.SPU¡g I
If: e -++A J
Jpu lg
' - C'
N--'--I+-
(d)
Fig. 7-17
8.50 pulg
Use Se = 8.5 pulg Resp.
I.5PUlg
396 • CApITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
EJEMPLO Se usan clavos, con una resistencia total al cortante de 40 lb, en una viga que puede construirse como en el caso 1 o como en el caso 11, figura 7-18. Si los clavos están espaciados a 9 pulg, determine la fuerza cortante vertical máxima que puede soportar la viga en cada caso si n que ocurra la falla por cortante en los clavos.
Fig.7-18
pulg pulg pulg
Soluci6n Dado q ue la geometría es la misma en ambos casos, el momento de inercia respecto al eje neutro es:
I ~ 112 (3 pulg)(5 pulgf - 2[ i2 (1 pulg)(4 pulgf1~ 20.58 pulg' Caso l. En este diseño, una simple hilera de clavos conecta cada patín al alma. Para uno de los patines,
Q ~ ji' A ' ~ (2.25 pulgK3 pulg(0.5 pulg)) ~ 3.375 pulg' por lo que
VQ I 40 lb V (3.375 pulg') 9 pulg = 20.58 pulg 4 V ~ 27.1 lb
q=-
Resp.
Aquí, una simple hilera de clavos conecta uno de los tablones laterales al alma. Entonces,
~~ V (1.125 pulg') 9 pu lg 20.58 pul g~ V = 81 .3 lb
Resp.
PROBLEMAS
•
397
PROBLEMAS
,
·7.36. La viga está construida con tres tablones. Si está sometida a una fuerza cortante V = S klb, determine la se· paración s de los clavos usados para mantener los patines superior ~ inferior unidos al alma. Cada clavo puede soportar un¡¡ fuerza cortante de 500 lb.
7·39. La viga en caja está hecha de cuatro piezas dc plás· tico pegadas.. como sc muestra. Si la fuerza cortante es V = 2 klb, determine el esfuerzo cortante resistido por el pegamento en cada una de las uniones.
7-37. La viga está construida con tres tablones. Determine la fuer¿a cortante máxima V que puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para la madera es Tperm = 400 Ibj pulg2. ¿Cuál es el espaciamiento requerido s de Jos clavos si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 400 lb?
v Prob.7·39
le
*7·40. La viga está sometida a una fuerza cortante V = 800 N. Determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado en los clavos a lo largo de los lados A y B cuando la separación entre los clavos es s = 100 mm. Cada clavo tiene un diámetro de 2 mm.
Probs. 7-36/37
7-38. La viga está hecha de cuatro piezas de plástico pegadas entre sí como se muestra. Si el pegamento tiene una resistencia permisible de 400 Ib/pulg2 , determine la fuerza cortante máxima que la viga puede resistir.
sp_ pulg
io-
pulg
I V
~sp.
Prob_ 7-38
Probo '-40
398 • CApiTULO 7 Esfuerzo cortante transversal 7·41. La viga doble T se fabrica soldando las tres placas entre sf como se muestra. Determine el esfuerzo cortante en la soldadura necesaria para soportar una fuerza cortan· teV=80kN. 7-42. La viga doble T se fabrica soldando las tres placas entre sf como se muestra. Si la soldadura puede resistir un esfuerzo cortante Tr-:"" =: 90 MPa, detcrmine la fuerza cortante máxima que puede aplicarse a la viga.
20 mm ~
I mm
T
V
50 mm
-
I
75 mm
1-
50 mm
-
20 mm
30 mm
,- r 40 mm
~
!
7-45. La viga está hecha con tres tiras de poliestireno pegadas entre sr como se muestra. Si el pegamento tiene una resistencia al conante de 80 kPa, determine la carga máxima P que puede aplicarse a la viga sin que el pegamento pierda su adherencia.
t-:
60 mm
-1"mm ~
Probo i-45
r 20mm
Probs. 7.41/42
7·43. La trabe de doble alma se construye con dos hojas de madera contnochapada unidas a miembros de madera en sus partes superior e inferior. Si c¡lda perno puede soportar 600 lb en cortante simple, determine la separación j' requerida entre pernos para soportar la carga P "" 3000 lb. Suponga que A es una articulación y B un rodillo.
7-46. Una viga se construye con tres tablones unidos entre sí como se lllueSlra. Detennine la fuerza cortante desarrollada en cada perno cuando la separación entre éstos ess = 250 mm y la fuerza cortante aplicada V"" 35 kN.
*7-44. La trabe de doble alma se construye con dos hojas de madera contnchapada unidas a miembros de madera en sus partes superior e inferior. El esfuerzo de flexión permisible para la madera es O'p erm "" 8 klbJpulg2 Yel esfuerzo cortante permisible es Tpcrm :: 3 klbJpulg2. Si los pernos están colocados a s = 6 pulg y cada uno puede soportar 600 lb en cortante simple. determine la carga máxima P que puede aplicarse a la viga.
mm
~3ti;~:: 10 pulg
p
r
A¡;r""7-'.~••·"'C=~","·~"""'r.l8
I
~~~*-¡2PUIg ~
4 pies - -: - 4 pies
--L,2 pulg .., 1-- 6 pulg "I!0.5 pulg 0.5 pt.lg
Probs. 7·43144
PfOb.7·46
PROBLEMAS
La viga en caja se construye con cuatro tablones unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la viga cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 50 lb,determine la fuerza cortante máxima V que puede aplicarse a la viga sin que fallen los clavos. 7-47.
•
399
La viga T de madera está sometida a una carga que consiste en n fuerzas concentradas P". Si se conoce la fuerta cortante permisible VclaVQ para cada clavo, escriba un programa de computadora que especifique la separación de los clavos entre cada carga. Aplique el programa a los siguientes datos: L = 15 pies,a\ = 4 pies, p\ = 600 lb. al = 8 pies. P l = 1500 lb, b 1 = 1.5 pulg, 11\ = 10 pulg, b2 = 8 pulg, 112 = 1 pulg y VclaVQ = 200 lb. .7-49.
p\
~s\~
P2
Pn
! ~s2~ ! A ! A
Prob.7·49
Proh.7-47
• • 7-48. Una viga de madera está hecha con n tablones, cada uno con sección transversal rectangular. Escriba un programa de computadora que sirva para determinar el esfuerzo cortante máximo en la viga cuando está sometida a cualquier fuerza cortante V. Muestre la aplicación del programa usando una sección transversal que consista en una "T" y una caja (doble T cerrada).
7-50. La viga en caja se construye con cuatro tablones unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la viga cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 50 lb, determine la fuerza máxima P que puede aplicarse a la viga sin que fallen los clavos. 7-51. La viga en caja se construye con cuatro tablones unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la viga cada 2 pulg. Si se aplica a la viga una fuerza P = 2 klb,determine la fuerza cortante resistida por cada clavo en A y B.
La viga está construida con tres tablones. Si está sometida a las cargas P "" 5 klb, detennine la separación s entre los clavos dentro de las regiones AC. CD y D8 usados para conectar los patines superior e inferior al alma. Cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 500 lb.
'·54. El miembro consiste en dos canales de plástico de 0.5 pulg de espesor, unidas entre sí en A y 8. Si el pegamento puede soportar un esfuerzo cortante permisi ble 2 'I'perm " 600 Ib/pulg ,detennine la intensidad 11'0 máxima de la carga distribuida triangular que puede aplicarse al miembro con base en la resistencia del pegamento.
e
I 1-- 6 pies ---4,!---- 6 pies
I
6 pies -----l
Proh.7·52 Prob.7-54
,.53.
La viga está construida con tres tablones. Detennine las cargas máximas P que puede soportar si el esfue rzo cortante permisible para la madera es "perm "" 400 lb fpulgl. ¿Cuál es la separación s requerida entre c1avos para coneclar los patines superior e inferior al alma si cada cla vu puede resistir una fuerza cortan te de 400 lb?
- -+- 6pies
'·55_
La viga consiste e n dos canales de pl ás tico de 0.5 pulg de espesor, pegadas entre sí en A y 8. Si la carga distribuida tiene una intensidad máxima 11'0 = 3 klbjpie, ue:le:fmim; c:J ClIrue:I',W cortan te: máximo rt:~ islido por c:J pegamento.
cTB!1h1 6 pies
I
6 pies
-----l
-1
3 pulg
--t
3 pulg
)-
Prob. 7· 53
Prob.7-55
7.5
SECCIÓN 7.5 Flujo cortant e en miembros de pared delgada • 401
7.5
Flujo cortante en miembros de pared delgada
En la sección anterior desarrollamos la ecuación del fluj o cortante, q = VQ / J,y mostramos cómo usarla para detenninar el flujo cortante que actúa a lo largo de cualquier plano longitudinal de un miembro. En esta sección mostraremos cómo aplicar esta ecuación para encontrar la distribución del flujo cortante a través de la sección transversal de un miembro. Supondremos aquí que el miembro tiene paredes delgadas, es decir, que el espesor de las paredes es peq ueño en comparación con la altura o ancho del miembro. Como veremos en la siguiente sección, este análisis tiene importantes apl icaciones en el diseño estructural y mecánico. An tes de determinar la distribución del flujo cortante sobre una sección transversal, mostraremos cómo el fluj o cortante está relacionado con el esfuerzo cortante. Consideremos el segmento dx de la viga de patín ancho en la figura 7-190. En la figura 7-19b se muestra un diagrama de cuerpo libre de una porción del patín. La fuerza dF es generada a lo largo de la sección longitudinal sombreada para equilibrar las fuerzas normales F y F + dF generadas por los momentos M y M + dM, respectivamente. Como el segmento tiene una longitud dx,entonces el flujo cortante o fuerza por unidad de longitud a lo largo de la sección es q = dF/dx. Debido a que la pared del patín es delgada, el esfuerzo cortante 'Tno variará mucho sobre el espesor 1 de la sección; supondremos por ello que es constante.
"";;-"~l~- M + dM
,.,
D eaquí, dF = 7' tlA = 7(/(ix ) = qdx,o
q=
(7·7)
7' t
Este mismo resultado puede obtenerse comparando la ecuación del [lujo cortante, q = VQ / I, con la fórmula del cortante 'T = VQ / JI. Igual que el esfuerzo cortante, el flujo cortante también actúa tanto en los planos 10ngilUdinales como transversales. Por ejemplo, si se aisla (figura 7- 19c) el elemento de esquina situado en el punto B de la figura 7-19b, el flujo cortante actúa como se muestra sobre la cara lateral del elemento. Aunque existe, despreciaremos la componente vertical transversal del flujo cortante porque, como se muestra en la figura 7-19d , esta componente, igual que el esfuerzo cortante, es aproximadamente cero a través del espesor del elemento. Esto es debido a que las paredes se suponen delgadas y a que las superficies superior e inferior están libres de esfuerzo. Para resumir, s610 se considerará la componente del fl ujo cortante q ue actúa paralelamente a las paredes del miembro.
~ 1:
JI
q SUpUCSIO consfam~ a lravú del espesor t el palln
(d)
Fig.7·19
cero &lravts del espesor del palfn ya que la pane .~uperior e inferior de tSle eSlán librell de e5fuerzo
q' SUpUe.\I&
F_ ~_ dA
B
'b'
F+dF
402 • CApITU LO 7 Esfuerzo cortante t ransversal
e I q
In
lo)
Mediante un análisis similar,el aislamiento del segmen to izquierdo del patín superior,figura 7·1ge, establecerá la dirección correcta del fluj o cortante sobre el elemento e del segmento, figura 7-19f. Usando este método demuestre que el flujo cortante en los puntos B ' y C' correspondientes en el patín inferior está dirigido según se muestra en la figu ra 7-19g. Este ejemplo ilustra cómo se puede establecer la dirección del flujo cortante en cualquier pun to de la sección transversal de la viga. Mediante la fónnu la del flujo cortante,q = VQ jl,en seguida se mostrará cómo se determina la distribución del flujo cortan te en toda la sección transversal. Es de esperar que esta fónnula dé resultados razonables para el flujo cortante, puesto que, según lo expuesto en la sección 7.3, la precisión de esta ecuación mejora en el caso de miembros con secciones rectangulares delgadas. No obstante, para cualquier aplicación, la fuerza cortante V debe actuar a lo largo de un eje de simetrfa o eje centroidal principa l de inercia de la sección transversal. En primer lugar se detenninará la distribución del flujo cortante a lo largo del patín superior derecho de la viga de patín ancho mostrada en la figura 7-20a. Para ello, considérese el flujo cortante q, que actúa sobre el elemento más sombreado localizado a una distancia arbitraria x de la Unea central de la sección transversa l, fig ura 7-20b. Se determina usando la ecuación 7-6 con Q = y A ' = [d¡2J(b¡2 - x)t.'Así, q
1,) Fig. 7·19 (cont.)
~
VQ 1
- ~
V[dj 2](bj 2) - X)I 1
(7-8)
Por inspección,se ve que esta distribución es lineal y que varía desde q = O en x = b/2 hasta (qmáx)f = VI db j 41 en x = O. (La limitación de x = Oes fac tible en este caso, puesto que se supone que el miembro tiene "paredes delgadas" y, por consiguiente, sc desprecia el espesor del alma.) Por si metría, un análisis similar da la misma distribución de fl ujo cortante para los Olros patines; los resultados se muestran en la rigura 7-2Od. La fuerza total desarrollada en las porciones izquierda y derecha de un patín se puede determ inar mediante integración. Como la (uerza sobre el elemento más sombreado en la figura 7-20b es dF = q dx, entonces Pf =
J
q dx =
rb/2 Vr d (b
Jo 21 "2 -
caso IHd
x
)
d:r =
Vt tib2
161
Asimismo, este resultado se puede determinar calculando el área bajo el triángulo en la figura 7-20d ya que q es una distribución de fuerza por unidad de longitud. Por consiguiente,
En la figura 7·2Oe se muestran las cuatro fuerzas que actúan en los patines y por su dirección se deduce que se mantiene el equ ilibrio de las fuerzas horizontales en la sección transversal.
- -9.
Es nd
s. '"
SECCiÓN 7.S Flujo cortante en miembros de pared delgada
) del cortado :ntes
(7-8)
'q -
O es pare) Por ,e pa-
T
(,)
q _ VQ _ Vt [db + ~(d' 1 1 2 2 4
-1)]
(7-9)
Para el alma, el fl ujo cortante, al igual que el esfuerzo cortante, varía de manera parabólica , de Cf = 2(Qmáx)¡ = Vt db /21en y = d/2 hasta un máximo de q = (Cfm:lx)almu = (VI d/f)(b(2 + dj8) en y = O, figura 7-20d. Para determinar la fuerza en el alma, Falma. hay que integrar la ecuación 7-9, es decir, FI lma =
I
q dy =
Jr'/2 1Vt [db T -d/2
+ '12 ( "'d'4
-l
) ]
dy
_ Vt [db y + ~ ( d'y _ ~y') ]I'/2 12243 _'/2 2
Vtd (2b + !d) 41
Distribución de flujo cortante
3
1pati-
; fuer-
(d)
I = 2[~b,.l + bl(
¡
N
(b)
Es posible una simplificación si se observa que el momento de inercia para el área de la sección transversal es: ajo el uni-
,
q
Para el alma se puede realizar un análisis similar, fi gura 7-20c. En este ooso se tiene Q - IyA' - [d¡'2](bt) + [y + (1¡'2)(d¡'2 - y)]t(d¡'2 - y)bt d¡'2 + (d' /4- 1 ), as! que:
=
If
T Á
(.)
,. =-0'
~I-- b --l
!il--., f
N
~
deun oreel
,
~1 ,
~
corIte la eterJ. Es rtanesta ; deldebe :iner-
. a lo e n la )re el la Iíando
b
,
F¡
1)
4Id' ( 2b + 3d
Sustituyendo en la ecuación anterior. vemos que F alma = V, lo que era de esperarse. figura 7-20e.
• 403
Fr
1
F. tma '" V
F¡
(,)
Fig. 7-20
F,
d
2
A
404 • CAPITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
v
----
,
!v
En el análisis anterior se observan tres puntos importantes. Primero, el valor de q cambia a lo largo de la sección transversal, puesto que Q será diferente para cada segmento de áreaA' para el cual se calcula. En particular, q variará linealmente a lo largo de segmentos (patines) perpenlliculares a la dirección de V, y parabólicamente a lo largo de segmentos (alma) inclinados o paralelos a V. Segundo, q siempre actuará paralelamente a las paredes del miembro, puesto que la sección en la cual se calcula q se escoge perpendicular a las paredes. Y tercero, el sen/ido direccional de q es tal que el cortante parece "fl uir" a través de la sección transversal, hacia el interio,- en el patín superior de la viga, "combinándose" y luego "fluyendo" hacia abajo por el alma, en vista de que debe contribuir a la fuerza cortante V, yen seguida separándose y "fluyendo," hacia afuera en el patín inferior. Si se es capaz de "visualizar" este "flujo", esto proporcionará un método fácil para establecer no sólo la dirección de q, sino también la dirección correspondiente de 7. En la figura 7-21 se muestran otros ejemplos de cómo q se dirige a lo largo de segmentos de miembros de pared delgada. En todos los casos, la simetría prevalece respecto a un eje colineal con V, y en consecuencia,q "fluye" en una dirección tal que proporcionará las componentes necesarias de fuerza vertical equivalentes a V y además también cumplirá con los requisitos de equilibrio de fuerzas horizontales en la sección transversal.
-1
Flojo oonante q
Fig.7·21
PUNTOS IMPORTANTES • Si un miembro está hecho con segmentos de pared delgada, sólo el llujo cortante paralelo a las paredes del miembro es importante. • El fl ujo cortante varía linealmellle a lo largo de segmentos que son perpendiwlares a la dirección de la fuerza cortante V. • El flujo cortante varía parab6licamente a lo largo de segmentos que están inclinados O son paralelos a la dirección de la fuerza cortante V. • En la sección transversal, el cortante "fluye" a lo largo de los segmentos de manera que él contribuye a la fuerza cortante V y satisface el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.
SECCIÓN 7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada • 405
o, el será ¡icu-
:/lla-
mal
EJEMPLO La viga en caja de pared delgada en la figura 7-220 está sometida a una fuerz a cortante de 10 klb. Determine la variación del flujo cortante en la sección transversaL
a las
:oge s tal 'ja el yenerza } panará in la jemafed coli'por-
,Vy
Solución
Por simetría, el eje neutro pasa por el centro de la sección transversaL El momento de inercia es: I 1 ¡ ~ 12 (6 pulg) (8 pulgf - 12 (4 pulg)(6 pulgf - 184 pulg'
(.,
Sólo tiene que determinarse el flujo de cortante en los puntos B, e
y D, Para el punto B, el área A' = O, figura 7-22h,ya que puede considerarse que está localizada totalmente en el punto B. Alternativamente, A puede también representar toda el área de la sección transversal, y en este caso QB = J' A ' = 0, ya que Y' = O. Puesto que QB = 0, entonces: I
s ho-
(b)
1 Pfg ~ pulg-j
Para el punto e,el área A ' se muestra con sombreado más oscuro en la figura 7-22c. Aquí hemos usado las dimensiones medias, ya que el punto e está sobre la !fnea central de cada segmento. Tenemos:
Oc -ji' A' -
;', , ,
S m"" N -6'x'" A
N
(3.5 pulg)(5 pulg)(l pulg) -17.5 pulg'
4 pulg
-'-
Así,
J.
1¡ lg
i-4 pulg-l (o,
VQc 10 klb (17.5 pulg'¡ 2) qc=¡- = 184pulg4
0.951 klb¡ pulg
El flujo cortante en D se calcula usando los tres rectángulos oscuros mostrados en la figura 7-22d. Tenemos: QD - L)"A ' - 2[2 pulgJ(l pulg)(4 pulg)
+ [3.5 pulg[(4 pulg)(l pulg) -
30 pulg' (d,
de manera que
~ nte.
Aue HaS
:rza ~eg
sa-
I VQD qD - - - 1
10 klb(30 pulg'¡2) 184 pulg4
- 1.63 klb¡ p ulg
Con estos resultados y aprovechando la simetría de la sección transversal, grancamos la distribución del flujo de cortante que se muestra en la figura 7-22e. Como se esperaba, la distribución es lineal a lo largo de los segmentos horizontales (perpendicular a V) y parabólica a 10 largo de los segmentos verticales (paralela a V).
0476 klb/ pulg
'f-' o.8 15 kl b/pulg
1-- ' N
-
~, \-
A
,f--c
v
I (o,
Fig. 7-22
, - 0.476 klbfpulg
406 • CApITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7.6 Centro de cortante En la sección anterior se supuso que la fuerza cortante interna V estaba aplicada a lo largo de un eje centroidal principal de inercia que también representa un eje de simetría de la sección transversal. En esta secciÓn se considerará el efecto de aplicar la fue rza cortante a lo largo de un eje centroidal principal que no es un eje de simetría. Como antes, se analizarán sólo miembros de pared delgada, de modo que se USMá n I ;¡~ dim e n ~i ones de la línea central de las paredes de los miembros. Un ejemplo representativo de este caso es una canal en voladizo, mostrada en la figura 7-230 , y sometida a la fuerza P. Si esta fuerza se aplica a lo largo del eje inicialmente vertical asimétrico que pasa por el cemroide e de la sección transversal , la canal no sólo se flexionará hacia abajo, sino que también se torcerá en sentido horario como se muestra en la figura .
p
e
Distribución del flujo de cQrtame (b)
(.)
F¡
v.pl
e
T d
1
¡1 "
o •
p
F¡ ~
("
(d)
("
Fig. 7-23
SECCiÓN 7.6 Centro de cortante • 407
ha én
se :0-
án >eS
tal,
Y
!n-
el~rá
Para entender por qué se tuerce la canal, es necesario estudiar la distribución del flujo cortante a lo largo de los pal'ines y el alma de la canal, figura 7-23b. Cuando esta distri bución se integra sobre las áreas de los patines y alma, obtenemos fuerzas resultantes Frcn cada patin y una fuerza V = P e n el alma, figura 7-23c. Si se suman los momentos de esas fue rzas con respecto al punto A , puede verse que el par generado por las fuertas e n los
patines es responsable de la torsión del miembro. La torsión es horada cuando se observa desde el fren te de la viga como se muestra en la fi gur a 7-23a , ya que las fu e rzas Ff rellclivas de "equilibrio" interno son las que ocasionan la torsión. Para prevenir esta torsión es necesario, por tnn to, aplicar P en un punto O situado a una distancia e del alma de la canal , figura 7-23d. Se requiere que IM A = F¡ {/ = Pe , 10 que da e = Fr d p
Con el método visto en la sección 7.5 se pueden evaluar las Cuerzas F¡en términos de P( = V) y de las dimensiones de los patines y del alma. Una vez hecho esto, P se elimin a después de sustituirla en la ecuación anterior y e se puede expresar simplemente como una fun ción de la posición de la geometría de la sección transversal y no como una fun ción de P o de su posición a lo largo de la longitud de la viga (vea el ejemplo 7-9). El punto O así localizado se lla ma centro d~ cortante o cen/ro deflexión . Cuando P se aplica en e l cenLIOde cortante, la viga sej7exionará sin torcerse,como se muestra e n la figura 7-23e. Los manuales de diseño a menudo dan la posición de este punto para una amplia variedad de vigas con secciones tra nsversales de pared delgada que son de uso común en la práctica. Al efectuar este análisis, debe o bservarse que el centro de cortante siempre quedará en un eje de simetría de la sección transversal del mie mbro. Por ejemplo, si la canal en la figura 7-23(1 se gira 90" y P se aplica e n A. figura 7-2411, no habrá torsión puesto que el fluj o cortante en el alma y en los patines es simerrico en este caso, y por consiguiente [as fuerzas resultantes e n estos elementos no generarán momento con respecto a A . figura 7-24b. Es claro que si un miembro tiene una sección transversal con dos ejes de simetría, como en el caso de una viga de patín ancho, el centro de cortante coincidirá entonces con la intersección de estos dos ejes (ccntroide).
Demostración de cómo una viga en voladizo se del1exion
p
,b' Fig.7.24
n
408 • CApiTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PUNTOS IMPORTANTES • E l centro de cortante es el punto a través del cual una fuerza puede aplicarse y generar flexión en una viga sin que se tuerza. • El centro de cortante se encuentra siempre sobre un eje de simetría de la sección transversal. • La posición del centro de cortante es sólo una función de la geometrfa de la sección transversal y no depende de la carga aplicada.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La posición del centro de cortante para un miembro de pared delgada para el cual el cortante interno está en la misma direcci6n que un eje centroidal principal de la sección transversal puede ser determinada usando el siguiente procedimiento.
Resultantes del flujo de cortante. • Determine la dirección de los !'flujos" de cortante a través de los diversos segmentos de la sección transversal e indique las fuerzas resultantes en cada segmento de ésta. (Vea la figura 7-23c.) Como el centro de cortante se determina considerando los momentos de estas fuerzas resultantes respecto a un punto (A), escoja este punto en un lugar que elimine los momentos de tantas fuerzas resultantes como sea posible. • Las magnitudes de las fuerzas resultantes que generan un momento respecto a A deben entonces calcularse. Para cualquier segmento, esto se hace determinando el flujo de cortante q en un punto arbitrario del mismo y luego integrando q a lo largo de su longitud. Recuerde que V genera una variación lineal del flujo de cortante en segmentos perpendiculares a V y una variación para· bólica en segmentos paralelos o inclinados con relación a V. Centro de cortante. • Sume los momentos de las resultantes del flujo cortante respecto al punto A e iguale este momento al momento de V respecto a A. Resolviendo esta ecuación se puede determinar la distancia e del brazo de palanca, que localiza la línea de acción de V res· pecto a A. • Si la sección transversal tiene un eje de simetria, el centro de coro tante queda en el punto donde este eje interseca la línea de acción de V. Sin embargo, si no se tienen ejes de simetria, gire la sección 90° y repita el proceso para obtener otra línea de acción para V. El centro de cortante queda entonces en el punto de in· tersección de las dos líneas a 90°.
SECCiÓN 7.6 Centro d e cortant e • 409
EJEMPLO La canal mostrada en la figura 7-23a está sometida a una fue rza cortante de 20 kN. D etermine el flujo de cortante en los puntos B, e y D Y trace la distribución del flujo cortante en la sección transversal. Calcule también la fuerza resultante en cada región de la sección transversal.
10
80 10 mm --1
!----
8
n
~
E
0.4 m
V=20kN
Nab
C.,
0.08 m
Solución
Localizaremos primero el eje neutro y determinaremos el momento de inercia de la sección transversal. Para esto, la sección transversal será subdividida en tres rectángulos, figura 7-'l3b. Usando unidades métricas., la posición del eje neutro, medida desde la parte superior, es:
(bl
+ 2 [(0.05 m )(O.08 m) (O.O! m) ) = 0.01786 m + 2(0.08 m)(O.O I m)
(-
__ lYA _ [0.005 m )(0.4 m )(0.01 m ) y - lA 0.4 m(O.O! m)
1-
El momento de inercia respecto al eje neutro es en lonces:
!-
;-
la
s-
,,-
la ,n
r
1= [/2 (0.4 m)(O.OI m )'
+ 2[ =
+ (OA m )(O.O! m )(0.01786 m - 0.005 m) ']
i2 (0.0 1m)(O.OS m)' + (O.OS m)(O.OI m)(0.05 m -
0.OO !786m)' ]
3.20(W' ) m'
Como A' = O para el punto B, fi gura 7-23a.entonces Q8 = O, Ypor tanlO: Resp. qB = O Para determinar el flujo cortante en e, que está localizado sobre la 0.01786 m-0.OO5 m = 0.01286 m Ifnea celllral del lado corto de la canal, usamos el área con sombra os- _--tF;;;;;;=F;;;;;;;;~Cfa~ lr=-_ cura mostrada en la figura 7-23c. Entonces, N A
b
Qc =
reA(: =
T
gI
(0.085 m fl- 0.01286 m)(0.OS5 m)(O.O! m)
"" 25. 19(10- 6 ) m 3
0.085 m Col
por lo que
Fig. 7-23
157 kN jm
Resp.
CominlÍa
410 • CApITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
N
b
_1_ ~7~lm ~L'~kNlm
N
(d l
«l Para el punto D . consideraremos el área A ' con sombra oscura en la figura 7-23d como la suma de dos rectángulos. Para calcular QD, asignamos un valor negativo a y' del rectángulo vertical, ya que su cen troide está por debajo del eje neutro y asignamos un valor positivo a y' del otro rectángulo, ya que la y' de su centroide está por arriba de este eje. Así,
N
-lf;::;;::;;;j;::;;::;;¡;;;:¡...ci:::--b r::L Htl T-, I
O.07214m
Qb - ¿yA' A
- [0.09 m f2 - 0.01786 mJ (O.09 m)(O.OI m) - 0.005 m](0.19 m)(O.01 m) - O
+ [0.01786 m
-
Por tanto, _ ~ _ 20kN(0) qD 1 - 3.20(10 6)m 4
O
En la figura 7-23e se muestra el flujo de cortante en toda la sección transversal, de acuerdo con la dirección de V. Como dijimos antes, la intensidad de q va ría linealmente a lo largo del segmento horizontal y luego varía parabólicamente a lo largo del segmento vertical. El fl ujo de cortante máximo se presenta al nivel del eje neutro y puede determinarse usando el área con sombra oscura mostrada en la figura 7-23f
Q _ YA' - ( 0.07;14 m )(0.07214 m)(O.O! m) _ 26.02(10-6) m' Por consiguiente.
_ .!12. _ qmh -
1
-
20 kN(23.02)(10- 6) m' ) 3.20(10 6) m4
163 kN / m
Por equilibrio de la sección transversal, la fuerza en cada segmento vertical debe ser: 15_4kN
15.4kN
V F - - - IOkN
•
(,l
2
Resp.
que es equivalente al área bajo la distribución parabólica de q. Las fuerzas en cada segmento horizontal pueden determinarse por integración, o de manera más directa,encontrando el área bajo la distribución triangular de q, fig ura 7-23e. Tenemos: 1 F, - "2(0. 195 m)(157 kN / m) - 15.4 kN Resp. Estos resultados se muestran en la figura 7-23g.
SECCiÓN 7.6 Centro de cortante • 411
EJEMPLO Determine la posición del centro de cortante para la sección en canal de pared delgada con las dimensiones mostradas en la figura 7-25a .
Distribución del flujo cortante (b)
(,)
Soludón
,
Resultantes de/flujo de corlante. U na fuerza cortante V vertical hacia abajo aplicada a la sección ocasiona que el cortante fluya a través de los patines y alma según se muestra en la figura 7-25b. Esto gene ra fuerzas resultantes F¡ y Ven los patines y alma como se muestra en la figura 7-25c. Tomaremos momentos respecto al punto A de modo que sólo tenga que determinarse la fuerza F¡en el patín inferior. E l área de la sección transversal puede subdividirse en tres rectángulos componentes: un alma y dos patines. Como se supone que las componentes son delgadas, el momento de inercia del área respecto al eje neutro es:
[ (Ir)']
y
1 th J + 2 bt"2 1 = 12
)
1
T[--2.
l{:
h ,
1.:
F¡
(Ir )
(o)
2 "6 + b
De la figura 7-25d, q en la posición arbitraria x es: VQ V(lr j 2)[h - xJr q = - ¡- = (rlr'j2) ((lrj6) + b]
V (b - x) h((1r¡6) + b]
Por consiguiente, la fuerza F¡es:
('
F¡ =
o
,.
= rlr'
p=v
Jo
V (' Vb' q dx = 1r((hj 6) + b] Jo (b - x) dx = 2h((hj 6) + b]
Este mismo resultado puede también obtenerse encontrando primero (qmh)¡, figura 7-25b, y luego determinando el área triangular (qm:ix)¡ = F¡. Centro de cortante. Sumando momentos respecto al punto A , figura 7-25c, requerimos:
N
tb
Ve = F¡ 1r = 2h((hj 6)
+ b]
Entonce5,
e=
b'
=-:::7-= ((h¡3) + 2b]
Resp.
De acuerdo con lo antes expuesto, e depende sólo de las dimensiones de la sección transversal.
(d)
Fig.7-25
412 • CAPITULO 7 Esfuerzo cortante transversal
EJEMPLO Determine la posición del centro de cortante para el ángulo de lados iguales, figura 7-26a. Calcule también la fuerza cortante interna resultante en cada lado.
Distribución del flujo OOfIamc ~l
("
v
J (ol Fig.7-26
Solución
Cuando se aplica una fuerza cortante V vertical hacia abajo, el flujo de cortante y las resultantes del flujo cortante están dirigidas como se muestra en las figuras 7-26b y 7-2&, respectivamente. Advierta que las fuerzas F en cada lado deben ser iguales puesto que por equilibrio la suma de sus componentes horizontales debe ser igual a cero. Además, las líneas de acción de ambas fuerzas intersecan el punto O;por lo tanto, este punto debe ser el centro de cortan/e, ya que la suma de los momentos de esas fuerzas y de V respecto a O es cero, figura 7-2&. La magnitud de F puede determinarse encontra ndo primero el flujo de cortante en una posición s arbitraria a lo largo del lado superior, figura 7-26d. En este caso,
SECCiÓN 7.6
(d)
,o)
El momento de inercia del ángulo respecto al eje neutro debe obtenerse a partir de "principios básicos", ya que los lados están inclinados respecto al eje neutro. Para el elemento de área dA = (ds, figura 7-26e, tenemos:
El fl ujo cortante es entonces:
le ;e
La variación de q es parabólica y alcanza un valor máximo cuando s = b como se muestra en la figura 7-26b. La fuerza F es por consiguiente:
as la
ís, n-
ou-
Resp.
>r,
Este resultado puede verificarse fácilmente, puesto que la suma de las componentes verticales de la fuerza F en cada lado debe ser igual a V y, de acuerdo con lo antes expuesto, la suma de las componentes horizontales debe ser igual a cero.
Cent ro de cortante • 413
414 • CAPITULO 7 Esfuerzo cortante t ransversal
PROBLEMAS . 7-56. La viga H está sometida a una fuerza cortante V :: 80 kN. Determine el flujo de cortante en el punto A. La viga H está sometida a una ruerza cortante V;;: 80 kN. Esboce la distribución del esruerzo cortante que ac-
7-57.
· 7-60. La viga está sometida a una fuerza cortante vertical V = 7 klb. Determine el fl ujo cortante en los puntos A y B Yel flujo cortante máximo en la sección transversal.
túa a lo largo de uno de sus segmentos laterales. Indique lodos los valores pico.
0.5 pulg
Probo 7--60
25mm P ro bs. 7-56157
7-58. La canal está sometida a una fuerza cortante V - 75 kN. D etermine el flujo cortan te desarrollado en el punto A. 7·59. La canal está sometida a una ruerza cortante V .. 75 kN. Determine el flujo cortante máximo en la canal.
' -61. E l puntal de aluminio tiene 10 mm de espesor y tiene la sección transversal mostrada en la figura. Si está sometido a una (uerza cortante V = 150 N, de termine el fl ujo cortante en los puntos A y B.
'-62.
El puntal de aluminio llene 10 mm de espesor y liene la sección transversal mostrada en la figura. Si está sometido a una fuena corta nte V - ISO N, determine el flujo cortante máximo en el puntal.
30mlll
Probs. 7·58159
Probs. 7-6U62
PROBLEMAS
7-63. La trabe en caja cstá sometida a una fueo_a cortante V = 15 I;.N. Determine (a) el flujo cortante desarrol!ado en el punto B y (b) el flujo cortante máximo en el alma AS de la lIabe.
h
•
41 5
7-66. La viga reforzada está construida con placas con espesor de 0 .25 pulg. Si está sometida a una fuerza corlante V = 8 klb. determine la distribución del flujo cortante en los segmentos AB y CD de la viga. ¿Cuál es la fuerza cortante resultante soportada por esos segmentos? También, esboce cómo se distribuye el flujo cortante en la sección transversal. Las dimensiones verticales están referidas a la línea cenlral de cada segmento horizontal.
J5mm
l'
2S0mm
Prob.7-63 Prob.7-66
"'7-64. La viga está sometida a una fuerza cortante V = 5 klb. Determine el flujo cortante en los plintos A y R. 7-65. La viga está formada por cuatro placas y está sometida a una fuerza cortante V = S klb. Determine el flujo cortante máximo en la sección transversal.
Probs. 7-64165
7-67. Determine la variación del esfuerzo cortante sobre la sección transversal del tubo de pared delgada en función de la elevación y y demuestre que 1"máx = 2VlA, donde A = 21fT!. SI/gerencia: escoja un elemento diferencial de área dA = R¡ d8. Con dQ = Y dA. exprese Q para una sección circular de 8 a (1T - 8) Y demuestre que Q = 2R2¡ cos O. donde cos 8 = V (R 2 _ y2)l flIR.
Prob.7-67
r
416 • CAP(TUlO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7-68. Determine la localización e del centro de cortante, punto 0, para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada, donde b 2 > b¡. Los segmentos del miembro tienen todos el mismo espesor t.
If
0-
h
I
1--.
\-'I-b====' ;Jn ---l Prob. 7-70
7-71. Determine la posición e del centrade cortante, punto 0 , para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. Todos los segmentos del miembro tienen el mismo espesor /. P robo '·68
b
7-69. Determine la posición e del centro de cortante, pun100, pa f a el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. Todos los segmentos del miembro tienen el mismo espesor /.
1 ",
l
1
Prob.7-71
f- 1 80 pulg--1 T
1 P,lg
+ '¡' ,lg
O
¡-.-
1', ,lg
*7-72. Determine la posición e del centro de cortante, punto 0 , para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada, donde b 2 > b¡. Todos los segmentos del miembro tienen el mismo espesor /.
+ 1 P, lg
-L
Pro b. 7-69
7-70. Determine la posición e del centro de cortante, punto 0 , para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. Todos los segmentos del miembro tienen el mismo espesor /.
Prob. 7-72
PROBlEMAS
7-73. Determine la posición e del centro de cortante, punto 0 , para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. Todos los segmentos del miembro tienen el mismo espesor /.
•
417
r 100 mm-j
IlOOmm
-t
JOOmm
l.O:=::::J ~
I' T= ,
Prob.7·75
=
T ---H-- '0 -j-f-If -e-1 , -1-==::::J
L .= =l
*7-76. Determine la posición e del centro de cort
1--'----1 Prob.7-73
7-74. Determine la posición e del centro de cortante, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. Todos los segmentos del miembro tienen el mismo espesor l. Prob.7·76
,--
I--b--l
I 1
", 1O
b,
"
0- ,
T /¡¡
7·77. Determine la posición e del centro de cortante, punto 0 , para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada.
bl
L-
Prob.7·74
7-75. Determine la posición e del centro de cortante, punto O. para el miembro de pared delgada que tiene una ranura a lo ancho de uno de sus lados.
h = lOO mm y está sometido a una fuerza cortante V = 50 N, delennine el flujo de cortante en el punto A y el flu-
7·82_ Determine la posición e del centro de cortante. punto O. para el miembro dc pared delgada que tiene la sección transversal mostrada.
jo cortante máximo en el ángulo. 7-79. El ángulo está some tido a una fuerza cOrlante V = 2 klb. Esboce la distribución del flujo cortante a lo largo del lado AB. Indique los valores numéricos de cada pico. El espesor es de 0.25 pulg y los lados (AB) son de 5 pulg.
T- 1" B
Prob.7-82
Probs. 7·78f79 "7-80. Determine la posición e en que debe colocarse la fuerza P para que la viga se flexion e hacia abajo sin torcerse. Considere h = 200 mm. 7-81. Se aplica una fuerza P al alma de la viga, como se muestra. Si e = 250 mm. determine la altura h del patfn derecho de manera que la viga se deflexione hacia abajo sin torcerse. Los segmemos del micmbro tienen el mismo espesor t.
7-83. Determine la posición e del centro de cortante, punto O. para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. El espesor es l.
l'
tOO mm
L-
T ,~
~oomm -1 Probs. 7-80181
Ir
1
Prob.7-83
REPASO DEL CAPITULO
REPASO DEL CAPiTULO • El esfuerzo cortante transversal e n vigas se determina indi rectamen~ te usando la fónnula de la flexión y la relación entre el momento y la fuerza cortante (V = dMjdx). El resultado es la fórm ula del cortante 'j = VQ /It, En particular. el valor de Q es el momento del área A ' respecto al eje neutro. Esta área es la porción del área
transversal que está "unida" a la viga arriba del espesor t donde 'T
va a ser determinado.
• Si la viga tiene una sección transversal rectangular, entonces la distribución del esfuerzo cortante será parabólica y se obtiene un valor máximo al nivel del eje neutro.
• Se usan conectores, pegamentos o soldaduras para conectar las partes de una sección ··compuesta". La resistencia de esos sujetadores se determina a partir del fl ujo de cortante. o fuerza por unidad de longitud, q ue debe ser soportada por la viga. Tal fuerza unitaria es q = VQ//. • Si la viga tiene una sección Iransversal de pared delgada, entonces el flujo de cortante en la sección puede determinarse usando q = VQ //. El flujo de cortante varía linealmente a lo largo de segmentos horizontales y parabólicamente a lo largo de segmentos inclinados o verticales. • Si la distribución del esfuerzo cortante en cada elemento de una sección de pared delgada se conoce, entonces. estableciendo el equilibrio de momentos, la localización del centro de cortante para la sección transversal puede ser determinada. Cuando se aplica una carga al miembro a través de este punto. el miembro se flexionará pero no se torcerá.
•
419
420 • CApITU LO 7 Esfuerzo cortante t ransversal
PROBLEMAS DE REPASO ·7-84. Determine la posición e del centro de cortante, punto O , para la viga que tiene la sección transversal mostrada. El espesor es l.
' -87.
La viga está hecha con cuatro tablones clavados entre sí, como se muestra. Si cada cla'·o puede soportar una fuerza cortante de 100 lb, de termi ne las separaciones requeridas s' y s entre los clavos cuando la viga está sometida a una fuerza cortante V = 700 lb.
•'-R8.
La viga está hecha de cuatro tablones clavados entresí,comose muestra. Si la viga está sometida a una fuerza cortan te V "'" 1200 lb, determine la fuerza cortante en cada clavo. La separación en los lados ess = 3 pulgy en la parte superior, s' - 4.5 pulg.
Prob.7-84
'-85. Determi ne el esfuerzo cortante en los puntos B y e sobre el alml¡ de la viga, en la sección a-a. 7-86. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa en la sección a·a de la viga.
Probs. 7·87188
' -89. La viga se compone de tres placas delgadas soldadas como se muestra. Si sc somete a una fuerza cortante V = 48 kN, determine el flujo cortante en los puntos A y B. Además, calcule el esfuel7.o cortante máximo en la viga. 8000 lb
,1 ft'i' I ", t ~ 4Pies I ,ila I e
A
4PieS~
B 1.5 pies 1.5 pies
2 pulg
e1
0.75 pul,
r :} I
I±:
0.5 PUl g
8
¡
'r"
I--I-----n
4 pulg
Probs. 7·85/86
0.75 pula
Prob. 7·89
PROBLEMAS OE REPASO
'-90. La viga está sometida a una fuerza cortante V = 25 kN. Determine el esfuerzo cortante en los punlOs A y B Ycalcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. Se tiene una pequei'ia abertura en C.
•
421
· '-92. Determine la posición e del centro de cortante, punlO 0 , para el miembro de pared delgada que tiene [a secciÓn transversal mostrada.
'L-/:I___ ;+-
r<
,
" Probo '·92 15mm
Probo
'-91)
' -91. La viga está sometida a una fuerza cortante V = 25 kN. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B Ycalcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. Suponga cerrada la abertura en
'-93.
La viga T está sometida a una fuerza cortante
V = 150 kN. Determine la porción de esta fuerza que es soportada por el alma B.
e de manera que la placa cen-
tral quede unida a la placa superior.
15mm
Probo '-91
Probo '
-93
•
......
a.
La columna excéntrica que soporta este letrero está sometida a las cargas combinadas de fuerza nQ"mal. fuerza cortante, momentos flexionante y torsionante.
CAPiTULO
8
Cargas combinadas
Ble rapilulo .,n'" romo rcp.:uodel anál~ de esr.,...o(OS cxpuc:slO ~n los C3píluloo pre";O$ COn reSJM:C1o a carga axial. torsión. nexión y cortanH:' Veremos la solución de problemas donde "rias de es;u cargas ínternll$ se presentan 5intultán".mcntc sobre la sección Lraos"crsal de un miembro. Sin embargo. anLes de eso. el cap(¡ulo comienu COn el anAlisis del esfuerro originado en 'ecipicntes a presión de pared delgada.
8.1
Recipientes de presión de pared delgada Los recipientes cillndriCO$ o elféricos que sirven como 'Aldera. o tanques son de uso cormln en la industria. CU.ndo se sorneLen a presión. el material del que C'ltAn hechos soporta \lna ""ca desrrd deI,,,diJ " se rene", a \In rmpiente con una relación de radio intcrior • espcsorde pared de IOomh(rl' ~ 10).Especirlcamcnte.cuandorl' " 10. lo. resu1t~dos de un análisis de plll .. d delgada predicen un csfucr7-O que es casi 4% menor que el csfuer«> mhimo rcal en el recipiente. Par~ 'aZOnes , I1n.a)'~ e.tC elTor ilCr~ aoln menor. Cuando l. pared del rt:cipienLC es "delgada *.la distribución del ... fuer. :ro a tra..& de SU espc:5Or 1 no varia'" de manera sI&nirlCaliva. y por tanlO
se supond'" q~" UII¡fomK: O
nl"""
ros de p",cd dclg3da. En ambo$ c~ws ~ enLiende que la presión dentro del ~cipi cnte es la I"~s;{", ",,,,,,,,,,étrico. ya que mide I~ pr.:sión por ~II' dmn de la pn:,ÍÓf: u¡'te tanlo en el in!e. ñorcomo en el uterior de la p
414 •
CA~fTUlO
8 carga$ (ombinada. Recipientes tilindrj(os. Considere que el rc.:ipicntc cilindrioo tiene un e.pesor de pared I y un radio interior r romo se muestra en la figura 8·la. Dentro del rc.:ipieme. a causa de Un gas o fluido de peso in significante. se desarrolla una presión manométrica p. Debido a la unifo rmidad de esta carga. un elemento del recipiente suficientemente alejado dd e~tre· mo y orientado COmO se mucstra. est! so",etido a los esfuer¿os normales
2[ u l(ldy)] - p(2rdy) - O (8·1 )
'"'
Paro oblener el esfuerzo longitudinal "l. consideraremos la porción izquierda d~ la sección b del cilindro. rl$ura 8· ]a. Como .e muestra en l. fi · gura 8·k. O"¡ actúa uniformcmenlc a través dc la pared y p "ctua sobre la sección de ¡as o fluido. Como el radio medio es apro.imadameme igual al radio inTCrior del recipiente. el equilibrio en la dirección y requiere:
(8·2) En las ecuaciones .nTcriores. "" ", ,,
,,'
e~fuer¿o
normal en 1.. direccione. circunferencial y longitudi. nal. respeCTivamente. Se supone que son co"smlll~s a tr"'él¡ de la pared del cilindro y quesometen el material a tensión p - presión manométrica interna desarrollada por el gas o nuido contenido r - radio intcrior del cilindro 1_ espesor de la pared ('1/ Z: 10)
.... - ,
c..,
-.-......
-
- ,.
..
,~
'" ,"d,
~
'd
.",,,
¡tu-
¡m-
It,-
p'"
:> li-
,.,,-
m!"
'"
Compa .... ndo las «IIacionn 8-\ y 8·2.se ve '1~ el e$f... no circunferencial o anular esdol vece. m:k pande que el estUCI7.O longitudinal o
uiaL En
consecuencia. cuando se fabrican recip;enl<'$
j
(&.3)
.')
Por romparac:ión,l!slc es el mivtlo T
izo
El análi~is " "terior indita que un elemento de material tomado del red_
a fi·
piente de presión cilíndrico o del esférico queda JOmclioo a "'fUI"a blaxl"I, e~tO es, a un lsfuena nonnal qun UiSle en sólo dos direc";oms.1)e hecho. el materill del r«ipiente también eslj ..,..,elioo a un tsf".r:n radl"f,
n
""
,~,
" .2)
:udi-
Os de
Se: .. _ •• el \>a.rtiI do .... - " ' ....... . _ ... _ " ' ...... do ... ~l..o prooi6n del po
que ahí la presión manomtlrH:a es cero. Sin embar¡o. para recipientes de pared delgada tfISprrcjll~"'OJ la romponente radial del esfuena. puesto que la suposición limitantc" j r. lO, da por resultado que fr, y "" que el esfuena radial mhima.( (TI).... • p. Finalmente, ténglse en cuenta que la, fórmulat anteriores son váli _ das sólo para recipientes ..,..,etidos a una presión manomélrica interna. Si .1 recipiente $e somete I una presión ex t e~, bla puede ocasionar que se ...... Iva ine"abk y pueda fallar a ca ..... del pandeo.
,.,
.,
42& • CAI'fruLO 8 cargas combinadas
EJEMPLO Un recipieme a ",e.ión ciHndriro licne un diimelro ;Il\erlo..- de 4 pies un espesor de ~ pulg. Dclermine b presión inlem. mbima que pue_ de soporlar lin ,jue $"" componemes de wuerzocira",rcrencial y Ion¡;IlIdiul resullen mayores de 2(1 klbfpul. l . Rajo la! mismas rondicio"es. ¿cuAl ~II~ presión inlema máxima 'Iue un recipicnle elr~rico del ~
mi1mO 'I",a"o puede soponar? 501u(16n
~ _..
Hrdplrmr cllindrlco a pnsil'>a. El esf\leno máximo se presenta en la dirección circunferenciaL De la ecuación 8·1. lcnemOl: V
•
.
"
p'.'
,.
•
ro tlb/ pul.- ..
p(2~
1
pula)
¡ pul,
p .. 417lblpulJl Ad~ierl. que cuando se akanza eSI. presión. de acuerdo COn l. «uadoón 8-2. el esfuerzo en la dirudÓlllolll'ludinaJ ser' <1). ~ (20 tlb
fpul.l ) . 10 klb/ pul('. Además. el ~4,,~rzo m4t1mO en la Ili...aión ,,,. ,lIa/ OCulTc oobre el malcrial en la pared interior dd recipiente yes (..,J_. p . 417Ib/pulg'-. Este valor es 4S vc«s mh PflI\le~o que el ~f\lcl7.o circunferencial (20 klbfpulg l ) y. o;omu se dijo 8nl .... u. efee· lOS ~r4n dc~prcciBdm. El ~ruerzo mbimo se vrescnl:a .qul en dos di· ~ pl'rptndieularC'$ aLO~\liera oobre un elemenlO del rcclpien·
H«lpltlllr qftrlro.
le. fi,ur1l 8-2 • . De la ecuación 8-3. lenemof,; ""2 ..
"
2Oklb/ pul, l ..
p(U pulg)
(J
)
"1 ¡ pul.
P .. 103 lbo'pulll
Si bien es m~s difícil de fab';"a •. el recipiente a presión esféri<:o re,;jle d doble de presión interna que un r«ipienle cilíndrico.
" - - ,....... U1
PROBLEMAS
,,-
>
"
Un 1.0"'1"" ",réTiro 1"'''' JU lime "" ,odIO ¡.nemo , _ 1.5 m. Oc.ermute s u . . - ~ ... ri
11- 1.
11-1. Un "'"quo .,férico. pre<> no .>ced. dc 15 klb l
,m,,,,, ,.
"
p"1~l.
.If.
E11:m4ue
!!-lo
,.
",~
.-
.1
olJ-l El~dcparcid=!lI etI la pared .... ciludro ... ~...,.li e, ~mbolo 1',.... ,. """ preso6n Interna de óS Ib/puIJ'. La ¡>ared litne IIn de O.2!I pull y.1 di"'",!!" inl.rior
.'1""<'<
del cihntlro
<. de 8 pul,"
'8-8,. La banda de ace, o A·.l6 de 2l"'ltdc Indio .." ti· ja alrededor del dllndro rl"d() Ii!(). Si loo p"rnos ..,an a¡>re""J". """ un' 'e".;oo dc 0100 lb. de.mninc el •• fuct"lO "<>mili en ,a banda,la ptc.ión ejercido 01 cilind,o Y la que le ol,r,. l. mitad de: la banda.
di""nci.
.....
,
,.,
.-
Si., n"jo d. Ig"a en l. tube.l. 10"" Mi ""
'-.¡""
00-
fpul~.
es de n pull re! npo
,Jo1
•
.... La ,.beri. de ."......,. nbic ..", de danI.o poIivi_ nOko .k". un d~,ro in,.riorde~ pul, r~ de 0.2 pulSo Oo •....."",, .1 ... _ de D("""O'" 1", po .. de< del IUbo ouondo "uY' on II "1"" con una pte.ión", 60 lb
"""e
..... '"
11-5. La .ub.rla dc 1'" .", ooponodo cada 20 ",.. p(lr M' IIcI .. de c:oncrelo que l. manl;'ncn fojl o, pioo. Oct •• n,in. o, o,fuouo I"ngiludinal y circunferencial en la 'uberla ,i la 'M'p",.H'"B'" ti".. fI:r F m:po
20 pul, Yespesor de o.2S pulSo El .... ,.rial ..... m A·.\6.
,""'" "'J
La '.po do un ,..apocn'c I pt..iÓII .. f.brk,> unien' do """ pe",,,,.n'o l. pi"". "i'cular 01 ulrcmo del recio piente en el pe"men,o r el ... ado de uf"""", en II pared del recipien'c,
11-9.
11-11\. Un cincho de ~ro ,0.·36 litn. d"mclro ¡'".rior de 23,99 pul¡.espooor de 0.25 ¡>\Ilg Y"",,110 de l ¡>III&- SI el cincho y. 1cilindro rlgKlo de 24 ¡>IIlg de diirn."ro ti.non uno l.n' ponu,n do 6S" F. do'.rm'M 1.0 '."'pon'un • II '1"" oIcindtodotto............., pln '1 .... deoJltIC..,.... sobre d al; ndro. ¡ Cllil a la pteSi6n '1 .... el oincfIo e.lt'n: el ~ilindro y el .1I.... rro de ten$lótt en <1 eind'o ..... "do tOle 50 enlria a ... "mpor.'u", ongi ....1de 6S' F1
s.u.
l'Ira ,ncremc:nlllr la rme ...i.lkl ~nle I ¡>re>i6n • ~ "" wobobina11<: de lillmen, .. del ,..¡...., .... teriaI *tdedor. bcil'l'lllÚ=- del f'eripiot .... do _ ....,.. tndo y MIJIOOlP q... el cllll>obmado de \00 61" ......"'" ,....., lIrI e:<¡>eOOt,' 1.""""'" pont toda Jon8>11Id L..tel rlXlpion'..
e''''
' ....... \0
La. dueLo. O ",iembro"""h""le. del b.ln.1de ma· de,. '" RUllllÍeneoIlll'lidas median'e """ oemdrcWord do !U pul¡de ~J 2 P'lis de -.dto. ~.I ~ ""' ..... en d lro IIB aoando.lllInque '" somote ...... prco sión ",. I'tO,ntnie. inle ..... de 2Ib/pulg'yata •• 'gII "'~ • ... t. dircdamenle • \00 II'QO.,o.sinti,m,>.>¡ "" utiliu:n pom(ll de ll2S pul, do ~ p .... _ \00 UOI ~'" á,do. "",>lM el nf.... rro de teouión en cada pon,o 11 y 8. Su· pon," que el Oro A81<1p01'll11a ca.p de presión • Jo larJu de u.. IongiuKl de 12 J>Ulg <1<1 b.>.ni1 <0lI1O '" m...." •. 11- 1 1.
""'moI
;t 11 ,.11
-"
&. 14. Un , .. ipicn' •• pIion.. oc, oome1ido . u.. presión'",c'" p .•• n""tl re que la fuer..... el """"010" F, • .......
ro."
rtlamm..,..
.... 1.. di~ CIt"..... fe~ YJonl!dudiaaloo ..,.. ... ~ "O .. n' 6y v¡ . "o~9. «:>po<'i,...... n' .. ¿ B.jo qt>f tngu. Jo 6 debo" Ire ........ ("'guJo óplinlO de lren~) loo rola· meMOl pon que loo a¡...".,. ci""",r.,enciala y Jon¡iludi·
al'
°SoII. Uno calden COIIIlruid. wn pbcas do..:.:'O de 8 mm de e:¡pe1OT unida. en're .r. ,t>p< en 'u, extremos por n>eItcubr
,.madt...
naIes ICU cq ......... ..,.7
PtW. ," 1'
,.
8.2 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas En los ~apítulos anteriores desarrollamos mttodO$ pan determinar la~ distribucionet del esfuerzo en un miembro IIOmctido. cuga axial inter_ na, a f""nI cortante. a momento nuionanlc o, momento ¡OI"Sionan' c. Sin embargo. la #CCión trlo.versal de un miembro wcle e>tarsometida s;mull6nnunntle • varioJ de nos tipos de ca,.. y,en ronse<1U'nci •. el ~ todo de superp
....
"
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
, ,,"
• ;.
•,.
•
~
,."•
El siguiente procedimiento proporciona un medio general para de· Lerminallas c<>mponenle$ n01Illll1 y ronRnLe del esfuerzo en un puno ID de un miembro o;uando ~sle esL~ somehdo a ''arios lipos diferen. LC!l de c'rgo ~imulL'neas. Se supondni que el maleri.1 C!l h"'""l~neo y que se rompana de manera elhLico-lineal. El principio de Saim· Venant requiere que el pumo donde va a deLCrm,nan.c el e-sfuerwesL~ alejado de cualquier disconLinuidad en la sectión lransvef$;l! o de p"n(()$ de aplicación de carga.
Carga$ iM~"Ii1$, Seccione 01 miembro perpendicularmeme a su eje en el punLO en que el esfuerzo va. se, deTerminado y obtenp las componente. rewlLante-s mL.rnaslle fuera normal yconanle as.! comolasoom· pomnte< de momento flexionante y lorsionantc. • Las compone nI" de fueru deben pasar por el «n/mid. de la sectión transversal y las componenles de ll\On,emo deben calcu· larse respecto a ~j($ «Mroidal••. que .epre"nlen los e~ prind. paJes de ineráa ell l. ""cción transversal. Hsfu.rf.U " " rmal prom.,no. Calcule la componenle de esfuerzo &socia<.la con .ada carga in· tema. En cada caso. •epresenle el efecto. ya sea como una dil;lri· bución del esfuerzo ""Iu ando sobre tooa el área de la settión ITansversal. o b,en. mUCSlre el csfuerzo sobTe un elemento de materialloalizldo en un punlo especiTooo sobre la lC<'Ción transversal.
430 • CAPITULO 8
C~rg., ,ombin~d ••
Fue,,,, 110m,,,/. La fuerza normal interna es generada por una distribución uniform~ del esf",,!'"lo normal determinado por la "",u.ción u ... PIA_
Fue!'"la rorrallU. La fuerza oortante intenta ~n un miembro sometido a nexión es generada por una distribución del esfucr".w cortante detcmtinado por ta fórmula del co"ant. r = VQI II. Sin embargo. debe lencIU un cui_ d"doe~pcd"1 al aplicar esta ecuación.oomo se hizo ~eren la ¡.eec;6n 7.3.
"'0111 ro 10 fle,-¡011"" /t.
En mü:lII/)ros r«ro.!, el morncmo ne~ionKnle inlcmo C$ generado por una distribución del esfucno normal que "aria linealmente de cero en el eje neUlro a un máximo en la superficie exterior del miembro. La distribución del esfuerzo ~ determinada por la fórmula de la nex;ón '-' = - My / 1. Si el miembro ~s ~"rvu. la distribución del esfuen:o no es líneal y es dClerntinada por '-' My !IA,(R - y)l. E
Mamar'" ,,,,.,¡J,mallu. En Hechas y tubos circulares ti momento intcmo lo,-,;ion.nte es gene· rada por una disnibució" del ""fuer".w corlante que ~aria lincalmen'c de cero en el eje cen!r1Il de la Aecha a un máximo en la ~upt:rficie eXle· rior de la n~cha_ La distribución dd es(ucr,o ronan le es delcrminada por la f6rmulade la torsión r=TI'P.Si el miembro"" un tubo de pared delgada cerrad ..... e r ~ T/2,1,.1.
Recipfrolu a pmM" de pared ddllo
=
pr/21. Supupos/d6n . • Una ,"e~ que se han calculado las com¡)(lIIentes normal y cortante del esfuerzo para cada caso de carsa, use el principio de supc."o.iciÓ
l<>s prob lem .. en esta se""ión, que implican cargas combinadas.si!"'-'."
camo un repil!lo básico de la aplieación de mu ch~~ de l.as importantes eeua· ciones de esfuerzo estudiadas antes. Un pleno entendimiento de cómo se apUcan e,as ecuaciones. tal como se indicó en los capítulos previos. es ne' cesario para poder resolver CQn txito los problema, al final de esla sec· ción. l<>s siguientes ejemplos deben eSludiarse cuidadosamente antes de proceder a resolver los problemas.
SICO()N 8.2 En.do dI> ""Iue,ro ,."",do por carga.
,
combin~d.,
EJEMPLO Se aplica una fuel'Ul de [5Otb al oorde del miembro mO'l!radocn la fi· gura 8-3.0. Desprecie el pero del miembro y determine el cSlado de eSfucrw en los pun!os/J y C.
, ,. "
"
," ,.
Solución
Cargas ¡memas. El miembro se seceiona por 8 y C. Por equilibrio en la s.cción SI: de"" Une. una fuena axial de 150 lb aClua nd o a lrav~ del """!roide y un momento noxion.me de 750 lb· pulg respecto al eje centroidal princip.1. figura 8·3b. Comp,:m~mt$
de t4uer:.o.
Fuer'.a normol. La distribución del ",fuer.o normal unifonne debi. do a la fuerza normal se mue.tr' en la figura S-3c. Por tanlo.
,.,
P ISO lb _ 3.75 lb! ul ' u - A - (10 pulg)(4 pulg) r g
,. "o· ,."
"."
".
lo
".
M om~mo fla:i(Jnumt.
,."
La distribución del esfuerlo normal uniforme
debido al momento f1exionante se mu~.tra ~n la figura 8-3d. El e.fuerw máximo e.
Supu p'JSldó" . Si las distribucio~e, de esfuerzo norm.1 anteriores Se Suman algebraica me nte, la d istribución resultante del esfuerzo es ro, mo se muestra en la figura 8,]". Aunque no se requiere aqur. la posi· ción de la linea de esfuerzo cero puede determinarse por triángulos se· mejante .. esto e" 7.5IbJpulg' x
..
'"
,
~
,.
15lbJpulg' (10 putg xl x - 3.33 pulg
Los elementos del material en B y e están sometidos sólo a e.ff"~' zo norm.1 o w¡iaxial. como se muestra en las figura, 8·3f y 8·38. Por (~nto.
u~. 7 . 51b/puI3' uc~ 151bfpul g
,li·
Ó"
(tensión) (compresión)
Re.p. Resp.
;rven
0=·
oo. ~ne'
• seC-
;eS de
-~¡
-'"
'"
,.,
.. ~
• 43 1
c.,g~,
432 • CAPITULO S
EJEMPLO El tanque en la figura 8-4a tiene un radio intcrior de 24 pulg y un "'l' pe,or de O.S pulg. Está lleno hasta el borde supe,io, con agua de peso especifico Yw ~ 62.41b/ pic 1 y eSlá hecho de acero oon peso espedr,co Yo< '" 490 lb/ pie'. Determine el e'lado de esfuerzo en el punlo A. El l'"que (slá abierlo en su p"rl~ superior. Solució n C~rgll.> ¡",tmas. El diagrama dc cuerpo libre de la sección del tan· qu~ y el agua arriba del punto A .$e mueS¡r. en la figura 8-4b. Observe
que el p"o;o del agua e. soportado por la su""meie dd 31!.ua ¡U.lO aba· jo de 13 sootción. nu po< las I'a,ed~s del (''''que. En la di,ección vertical.. las I'a~des simplemente _tienen el peso del tanqu e. Este ""SO "'
,., El esfuerzo en la dirección circunferencial es desarrollado por la pre_ sión del agua en el nivel A Para obtener esta presión debemos usa, la ley de PasMI que establece que la presión en un punto situado a una profundidad z en el agua es p '" Yw::' En conse<:uencia. la presión
I' - -'w< - (62.4 1b/ pie')(3 pies) '" 187.2Ib/ pid' - 1.30 lb/pul,' C(lmp(lntnr", d t ",¡Ut"!/).
&.juU"zu cJ/'"CunJutncial. Aplicando la ecuación 8-1 <(In el ,adio in· terior r .. 24 pulg, tenemos:
10.2 It>'''''ll'
+ ,
",
6l.-uIc'
pr 1.30 lb/ pulgl (24 pulg) 1 "1 - - (O "' ... 62.4 Ib/pulg I .5 pul",
R
"~Utr: () l(lnglJudlnill. Como el pero dellanque es soportado unif(lrmemente por las p"redcs. tencm05:
Note que la ecuación 8·2. '" .. pr (}J, ,'" ~ aplicable aqui. ya que el tan· que eslá abicrlo en su p"rle superior y por lanl", como se dijo anles, el agua nO puede desarrolla, una carga sobre las paredes en la dirección longitudinal. El punto A eSlá somelido entonces al esfueJ1:o biaxial mostrado en la figu," 8-4c.
5«001< 8.2 Estado de estue.-.o YUUdO parca'gM tOmbin.dM • 03
EJEMPLO El miembro mostrado en la figura 80s.. tiene uoa $CCCÍÓn Ir.ns",,~1 ' Klangular. lXlcrmine el eslado de esfucf7<> q ... la carga produce en el punID C.
,
"
~
o'
o,
--
..----+ ,.,
<
" "' '"
11.9H..~
'" ._1.' '" -;1
in-
\1
16.oI11.1
t
: ltlt...
" ¡'I
'p
oo'
,,' "" ."
Solu
Las 'cxciones en los sopon es sobre el m;"mbro y. K calcularon y $e muestran en la lisura S·Sb. Si le coruidera el ~Il· 10 AC izquierdo del mieml:>ro. figura 8-5<". las corgas resultantes internas en el miembro consisten en un. fuena normal.una fuerza conan· le y un IOIOrMnlO Oexion.nle. R~vicndo se obtiene
C ..'Z"" /lI ...... /U.
N . 16.4SkN 1' . :!1.93 kN
M.32.89kN-m
I
434 • (./I,I'ITULO 8 carga. combiMda.
, +
_.-
+
'"
"' Compott",Ies tk esfll~o. "'u~r..a ~o .... al. La d¡ ~(ribución uniform~ del e.rue~ normal q\U: acula sobre la $tteión Ir."$veI"$31 es pr()ducida JIOr lo fuerza nonn,.I. ligura &.SJ. En el pumo e.
!... _ A
16.45 kN
_ 1.32 MPa
(G.OSOm)(O.2SOm)
e
"'u~r..a mrfanl~. En esle caso. A ' .. O. yo que el punlQ esl;! ,iluado en la pifie superi()f del m;embr
/010"'01'11 flu/o~a~lt. d~
EIl"'nlo e esti Iocali""do en y " ~ ~ 125 mm el eje neulro. por lo que el esfuerzo nonnal en e.ligura &.Sf.u: M e (32.89 kN· m)(O.l25 m ) ",-- - 6:l.lSM Pa
I
[;\(O.OSOmj{O.250J' ]
El esfuerzo conanle es cero. Sum.ndo los esfuem. normal« d<:lcnninados anles, se Qbrienc un «fue!'lO de rompre$ión en e que r ;en~ un valor de: S IlperpDSIe/6l!.
OC.
1.32 MI', + 6:1.15 MI'a . 64.5 MPa
E$le resullodo. que acto. sobre un elemenlO en e,se m"""Ira en l. fi· gura &.5,.
SI:«JOH 8.2 ES1ado de es¡ue,zo ca uoado por ca'gu (ombinada$ • OS
EJEMPLO La ha ..... sólida mostrada en la figura S-6a ¡iene un .adiode 0.75 pul&-
Dctcnnine el estado de « fuero') en el pumo A al estar SO<'lida a la cargllOO$l ralb.
,
",.
'"
"., '" Solud6n
" fi·
C",'1dS ¡,,'Ultu. La barra se semona por el pun to A. Usando el diaIJDma de cuerpo libre del segme nto AB. figura 8-6b. la. carps resul· lantes ,nlemas se pueden determinar. pan,. de las seis ecuaciones de equilibrio. Verifique esos resullados. Lo ru.,rza normal (500 lb) Yla fueml rorunle (800 lb) deben pa$.lr por el centroidc de la sución transver-
sal y la1 C(m1ponentes dd momento nujonante (8000 lb· pulg)' 7000 lb . pulg) están aplicada¡ respecto a c.;e, ccnlroidales (priooplllesl_ Pa. r1l Mvj,ualiulr~ mejor la dimibll<:;ones de esf\l(:lW del;>ido a cada una OC "" carelll. considera remos las f'U,'¡u""u iC'''JIt:S ptro opunlllJ q ue ""tola .. sobre el segmcnlo ACdc l. barn. filun 8-&.
c.p ••
'"
.d'
--_ _ -"",., '"
....
(101) 111
....
ceoooll- pooI¡Il
~l
000011,...,
,~
C(Jmp'Jn~IIln
,.
~
dr afuer.,&.
L
Furr.;D IIorma'. o.6O<>.1bIpuI1' . IU(l~
~o.m..."...., .:t IJ ~ •
l' "
a,, " • ..
SOOlb
• .. 2:8J IboIpuli .. 0.283 tl"'puli
.. (0.75 pulg)'
J'un--..Q cort..nlt. La dntribuci6n del est"",..wrortan ' e se m~'" en la figura S-ót. Parl el punlOA. Q se detennina ron el ~rea sombreada . .,,;. drnda,. lIsando la tabla en d forro interior de la cubierta Icnemos:
1
Q .. ,. 11' .. 4(0.75 PU I~['- ".(0.75 pu lg)' .. 0.2S13 pulS)
Para el momento di' 71))) lb . pulg. e • 0.75 pul" por lo que el .,.rue" lO normal en ti punto A. figura 8-6g.cs: a .. .. Me .. [ tlb . PuJl (0.75 jlll .. 211 261b1pula" -2l.1JtlbJpuli
,
,.(0.751"'1,>,
Momen/o /o",lonanft. En el puntoA.p~ .. e _ 0.75 pull. figura 8-61., El esfuerzo cortantc eS c"tOllC""
Supe,.,-/t/6". Cuando los resultado'i anleriores se superponen. loe ve q"" un elementodc malerial en A est~ sometido tanto a oomponc:n. tes de esfue ....w nonnal COmO C011an'c. figura 8·ói.
5lCoo_ 8.2 Est.do de ""fuerzo causado por carIJas ""mbj""d~. ' 417
EJEMPLO El bloque rectangolar de peso despreciable mostrado en la figora 8.70 esUsometido a ona foerza venkal de 4OkN,aplicada en unade sos es· qoinas. Determine la distribuei6n del esfueno nonnal que acula sobre una secci6n a través de AOCD
, ,,,
'"
Soluci6n Ca f1l as Inum"". Si con,ideramos el equilibrio del segmento inferior '""1 bloq ue. figura 8·7/>. se ve que la fuera de 40 kN debe pas" por el centroide de la &e
Fue;.;a nl1,mol. La dii\rih ueión uni forme del esfuc,",o normal se muestra en la fig ura S-7e.Tenemos:
P
""'' '¡¡¡:.." . . 40 kN
" - A - (0.8 m)(0.4 m)
125 kP.
/IIam~MO $ fln:ionanr a . La distribuci6n del esfuc,",o no rmal para e l momcmode 8 kN . m se muestra en la figur.> 8·7d. El esfuerlO máximo eS:
C"món/ia
43S • CAPITULO 8 c.'ga, combinadu
De la misma manera . pa1'1l el momcnlo
16I;N'm(OAm)
M,c, 0' . . . - - - -
Iy
[ ¡~(O.4 m)(O.8 m)'i
-375k1'a
=
_Jlu_ (lO lN''')
'"
"
SUfH1JH>Slcl,l... El ",rue= normal en cada esquina puede delermi. narw por adición al~bnliClo. Suponiendo quecl nf""no de lensión es
O'e - - 125 kPa - 375 kPa - 3151;Pa .. - S1S kPa O'D - -125 kPa + 375 kPa - 375 kPa _ -125 kPa Como lu d;'lribuciones de esfuerzo debido al momenlO fle~iona n' te ...... lincales..la distribución resullante doel esf""rzo <:$ lambi~n line.1 y por lo liniO se ve como se mues!ra en la figura JI.. 7f. La linea de es· ("erro cero puede localizarse a lo lar]lO de cada lado por ¡ riángulos semejante,," De acuerdo oon la figura. se requiere: (0.4",- c)
c
62SkP.
125 kPa
e '" 0.0667 m (Q..8m - h)
h
62S kPa
125 kl'a
h - 0.\33m
"
Un bloque reaanaul • • tiene un peso ""'preciablc y est6 sometido a una fucn.ll vertiClll r . figura 8-&. (a) D~!erm¡nc d imervalo de valo. res para la cJCcenuicidad t, de la carga a lo largo del eie y de manora que no.., prC$enle n;ngdn esfuel'"lO de tcnlión en el bloque..(b) Espe. cif,,!ue la re,ión SGbre la sección transvcrul en que puede aplicarse l' sin que.., presente un wue= "" tensión en el t>loque.. Solución
,
C\lando P se mu.e'~al cemroide de la ~6n Iratl5''''~1. figura 8-8b, q nccelirio agregar UD momento roncenlrado!tl, '" Pr:, Prm t (..).
para manlcnu una carga cstálÍ<:amcnlc equivalente. El esfucr.!o nor· mal combinlldo en cualquier po$kión y sobre Ja scodó" transvers.!. causado por ellas d(>l ca'ga .. es,
a _ _ 1' _ (Pt.)r _ Al,
-P(l+ IIr,,,) JI
11
l.
t,
El signo nellli>'O india Mlu! un esfuel'"lO de rompresiÓII. Para una positiva,li,u.a 8-&. el esfuerzo de compresión m6J PflIlmiO se ¡¡re..,nla a lo la rlo del borde AB. donde y . - 11/2. r"ura 8-Sb. (Por in.· pe<:<;ón, p g~ncra compresión en tal lugar, I"'ro 1\1 , gcnera ten.ión.) Por tanto,
a..
--P(l- Atyh) 2/, A
Este esfuerzo sertlnegllti\'O, es decir. de compresión. si cllénnino en partnle
, >"'> -U.
m-
Como A • h/¡ e 1, •
.¡, b/¡', en tonoes
.-"~al
,
6<, >-
,
,,
e <- Ir En otra. palabra$. si -' ¡, ,,; e, '" : ¡" el esfuerzo en el bloque a lo largo de los borde, AII o eb ~rá cero o de c"'''J'~Ji6",A esto se le llama a v~. "~8Jn lid ({rdo ""dio", Es muy importante mantener esla re· gla en menle 11cargllr columna, o arros con secdones re<:[angulares y h«hos de material de ¡.;edra o conCfe\('. que pueden soporur poco ningun esfuerro de tensión.
°
'"
. ,
, ''',,, lb). Podemos C>:lcllder el a~lisis Imeoor en dos direa:iones luponiendo '1"" P a.,ul" en el ouadrante po$itivo del plaltO x.y. figura 8-&. La earp C'l'tita equivalente cuando J' aalla en el ccnlroidc se mu«tra en la figura S-8d. En cualqu~r punto coordenado"".y sobre 1, sección Iransve,..I. el «fueno normal combinado debido a carp normal y de flexión es: p~.x
P Pe.y ,, ------A 1, /,
__!(I .. k,1 .. M.",,)
,,'
A
/,
1,
Por impe<:ción. ("un S-8d.ambos momenlOS generan esfuenos de \en·
"
lión en el pumo A y la fuerza normal gener,) Un «f",,17.O de comprtSión. I'or oonsiguienle, el ".¡""no de compresión mál¡ pequeñO se prcscma en el punto". !'Ira el CUlII .r .. -bfl YY ~ - /of2- Al/.
" _E.(I _At,1o _ A.,b) A 21. U, A
laual que .m.... el ufuerzo normal pennanece negRlivo o de tomp~' sión en el pumo A.,i los l~nn;nos en patinll'Sis ""rmanecen po$itiv\lS, ~.~
",
A~11o A •• b) 0 < ( 1- - - 2/, 2/y SustilUyendo A .. bh. /, .. ,', ble'. Iy ..
1: 101;. K
6<0, lirA 0 < 1 -- - -
obtiene,
h • En consecuencia. independientemem" de la n'8gnitud de r .t; ésta $e 'pli"" en cualquier pumo dentro de los ¡imiles de l. Irnea Gil mostra · d¡¡ en la figu ra 8-Ik,c1 esfueno normal en el punto A será de romp«!\ión. De manera similar. el e,/uerro IIonnal en la. o lra. esq uina" de la $«Ción lra,!!"""",1 se"" de oumprcsión si l' aClIÍa denlro de los limiles de la. linea. EG. FE)' l/F. Al paralelogramo oombrelKlo." ddinido !iC le lI.ma ",¡cito de la St'oxi6n Iran'lVersal. Ik ac uerdo con l. -~,Ia delle"";o medio" "isla en la pan., (a). las dia,onales del para. lelogramo l1cncnlongiludes de bfJ YhfJ.
""'lI'''¡
.....
Se ve "1111 ... <.I"f"rI<> de d6
,.,
•
PROBLEMAS
....
1-15. El .omillo de la pttllSa *~ ',,"roo .x """'. pmión de " ' lb lI<>bn: loo l>Iúimo dl!ado en La sección .... L.o ~ uu.~ ....1ahí es f«1 . n,ula,.de 0.75 pul& por o.~
11-1' .
La "'.u .... ,k"" ..... hoj ••j ...... bk que: !le tensa fU
!k'.,,,,¡,,,
<01> ......
en loo pun'''' JI r B del moml.
puI._
""'''P«"
' 1'1-1 6. El ,,,,,,Hlodo l. pr..... qcroo uno r...no de tión ~. 500 lb sobro los bloque.
-
1 ... "
oh¡ es ,,,,,,."&uIar.de (17$ por l).j(I puls.
•
''''''' :
.I
._
•
~-
11-17. La 1"'''' <>,:1 formoda por "" ",kmbrO$ AH y tiC ión en Cy Bde 180 N.dtlc,m,netl esde la pn:-nsa. fucno mhimodt ~ en la ~ El ,orllillo EF <:Mi S
Q'"
•• , •
8- 11.. La l'f1"IU """ formada por 1<>0 mlcmbmo AB y tiC _ocudooent •• Ypoc UD ~ ca;l. Si se e;om: ..... f....... de ~." Cy 8& 180N.aboli ....... 10110 sólo • una (1IC.,a dt ,enlión • lo
'"·SO ......
>
,., ,. , _ _ _ U/l1
".1.1>60 ••
'8·~O. El «!nlrico 001""'3 ,a C'T~ P ~ 30 kN. Delcnninc.u "n
3.21. El wa_ e:«'étt, riro llene ua a_ .. . 200 """ Y un eopcoo< de 40 m.... Si ~I nI"""
442 • CAPtruLO 8 GII'gM combinad ...