Calculo Diferencial
UNIDAD 4
Actividad 3
Máximo y mínimos y gráfica de una función
1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
Hallar las dimensiones de dicho cilindro.
El cilindro tendrá un radio r y una altura h. Con lo cual su volumen será: V = π·h·r
2
Pero el hecho de estar inscrito en el cono hace que a cada radio del cilindro le corresponde una única altura y viceversa r =10 → h= 0
r = 0 → h =24
Si incrementamos r en 10 dismininuy e h en 24 24 x
Si incrementamos r en x disminuye h en h =24 −
24 r 10
=
240 −24 r 10
=
10
120−12 r 5
ue!o podemos poner el volumen solo en "unci#n del radio V ( r )= π·
[
120 −12 r 5
] ( )( 2
r=
π 5
120 r
2
−12 r 3)
$ ahora derivamos e i!ualamos a 0 para calcular el máximo
()
V ' (r )=
π 5
240 r −36 r
2
( 240 r −36 r 2 )=0 =0
r ( 240 −36 r )=0
%na soluci#n es $ la otra
r= 0
240−36 r =0
r=
240 36
=
20 3
a se!unda derivada
( )( π
V ' ' ( r )=
5
240−72 r )
V ' ' ( 0 )=
240 π
(= ) ( ) π
( )=( )(
' '
V
20
π
3
5
240 −72 ·
20 3
> 0 ue!o es m&nimo
5
5
720−1440 )
()
=−
3
π 720 · < 0 ue!o es máximo 5
3
$ ahora calculamos la altura h=
120 −12 r 5
=
(
120− 12 ·
20 3
5
)=
120− 80 5
=8
a soluci#n es r=
20 3
=6.6666
h =8
f ( x) = x 2
−
P 0
3x
2. Dada la función
y el punto
gráfica de
ue está más cerca de
os puntos de la "unci#n tendrán la "orma
( x , x 2−3 x ) $ su distancia al punto ( 5,−5 )
es
( 5, −5) hallar el punto sobre la
P 0
f ( x)
=
.
2 2 2 √ ( x −5 ) +( x −3 x +5 )
ue!o podemos usar cando calculamos máximos o m&nimos de una ra&' cuadrada es que los máximos(m&nimos de la ra&' cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos(m&nimos de la "unci#n sin la ra&') ue!o suprimimos esa ra&' para hacer este cálculo 2
2
2
f ( x )=( x −5 ) +( x −3 x + 5)
*erivamos e i!ualamos a cero 2
f ' ( x )=2 ( x −5)+ 2 ( x − 3 x + 5 )( 2 x −3 )=0 2 x −10 + 4 x 4 x 2 x
3
3
3
− 6 x 2−12 x 2+ 18 x + 20 x −30 =0
−18 x 2 + 40 x − 40=0
− 9 x 2 + 20 x −20 =0
Supondremos que tiene soluci#n entera) Entonces será divisor de 20 2
=10 y podrá ser {1,−1,2,− 2,5,−5,10,− 10 }
Para x =1 2−9 + 20−20 =−7
Para x =−1
−2 −9 −20−20 =−51 Para x =2 16− 36 + 40 −20= 0
ue!o x =2
es una soluci#n+ veamos si hay otras dividiendo por
divisi#n sint,tica 2 2 2 2 x
2
(4 (.
20 (10 10
(20 20 0
−5 x + 10 Parece que tendrá ra&ces reales+ el discriminante es
25− 80=−55
/e!ativo+ lue!o no hay ra&ces
Solo x =2 puede ser el m&nimo a se!unda derivada es 2
f ' ' ( x )=12 x −36 x + 40 f ' ' ( 2)= 48 −72+ 40 =16
Positiva+ lue!o es un m&nimo)
as coordenadas del punto más cercano son
( 2, 22−3 · 2 ) P0=( 2,−2 )
100
!. Hallar dos n"meros cuya suma de cuadrados es igual a producto sea máximo.
y cuyo
Sean x e y los dos números) Como x + y =100
enemos y =100 − x
ue!o los dos números son x , 100− x
$ su producto es f ( x )= x ( 100 − x )=100 x − x
2
Calculemos el máximo de esa "unci#n derivando e i!ualando a cero f ' ( x )=100 −2 x =0 100=2 x
x =50
$ es un máximo porque la derivada se!unda es ne!ativa
f ' ' ( x )=−2
$ el valor de y es y =100 −50=50
ue!o los dos números son el mismo .0 y .0)
250 m
#. $n un r%o de
A
de ancho están ubicados dos puntos hay un tercer punto
uno frente a 500 m
ubicado a
de tal
BC
AB
forma ue el segmento
y
C
B
otro y del mismo lado de
B
es perpendicular a
. &na compa'%a de C
A
energ%a el(ctrica uiere tender un cable desde
hasta
parando por el
D
punto
) como lo muestra a figura:
30%
Si el costo por metro del cable ba*o tierra es más barato ue el cable ba*o el agua. +,ómo se debe tender el cable para ue el costo sea m%nimo AB =250 BC =500
Sea x la distancia * os metros a3o el a!ua serán 2 2 2 2 √ ( AB + BD )= √ (250 + x )= √ (62500 + x )
os metros a3o tierra serán
500− x
Si al metro a3o a!ua le damos un precio de 1, el metro a3o tierra vale 0) ue!o el costo total es c ( x )= √ ( 62500 + x )+ 0.7 (500− x ) 2
*erivamos e i!ualamos a cero para hallar los extremos relativos
x
'
c ( x )=
√ ( 62500 + x ) 2
x
√ ( 62500 + x ) 2
−0.7= 0
=0.7
x =0.7 · √ ( 62500 + x ) 2
Elevamos al cuadrado 2
2
x =0.49 ( 62500 + x ) 2
x ( 1 −0.49 )=30625 2
x =
30625 0.51
= 60049.01961
x =√ ( 60049.01961 )=245.0499147 m
5 ra'#n de que x =0.7 · √ ( 62500 + x ) 2
ue!o hay un único extremo relativo y tiene que ser m&nimo porque hay puntos donde el costo se puede elevar tanto como queramos) ue!o al punto * está a
245.0499147 m
de
. &tili/ando el m(todo presentado en esta unidad) grafica la curva f ( x) = x3 − 4 x
.
a "unci#n es un polinomio+ lue!o está de6nido en todo 7, es continua y no tiene as&ntotas) iene simetr&a central por ser todos los t,rminos impares con lo cual
f (− x )=−f ( x )
os cortes con el e3e 8 son 3
x −4 x =0 2
x ( x −4 )= 0 x =0,− 2 y 2
$ el corte con el e3e $ es y =0 a primera derivada es 2
f ' ( x )=3 x − 4
os puntos cr&ticos son 2
3 x
=4
2
4
x = x =
3
−2 √ 3
y
2
√ 3
a se!unda derivada es f ' ' ( x )= 6 x
−2 En √ 3
es
f ' ' ( x )
2
$ en
√ 3
es
ne!ativa) ue!o es un máximo
f ' ' ( x ) positiva+ lue!o es un m&nimo
2
(−∞, − ) es f ' ( x ) positiva lue!o la "unci#n crece En √ 3 −2 2 ( , ) En √ 3 √ 3 por e3emplo en f ' ( 0 )=−4 es ne!ativa lue!o la "unci#n decrece 2
( , ∞) $ en √ 3 es
∞
es positiva como lo pruea el hecho que el l&mite en
lue!o la "unci#n crece)
$ la se!unda derivada Es ne!ativa en Es positiva en
f ( x )=6 x '
(−∞ , 0 ) lue!o la "unci#n es c#ncava hacia aa3o)
(0, ∞) lue!o la "unci#n es c#ncava hacia arria)
∞
$ esta es la !rá6ca)
0. &tili/ando el m(todo presentado en esta unidad) grafica la curva f ( x) = x − sen ( 2 x )
.
Es una "unci#n continua+ tiene un corte con los e3es en el punto 90+ 0) /o tiene as&ntotas de nin!ún tipo) ;eamos los máximos+ m&nimos+ 'onas de crecimiento y decrecimiento+ para ello la derivamos e i!ualamos a cero f ' ( x )=1 −2cos ( 2 x )= 0 2cos ( 2 x )= 1
cos ( 2 x ) =
2
2 x =
π 5 π 7 π 11 π , , ,
x =
π
x =
En
1
3
3
,
3
5 π
,
3
7 π 11 π
,
2 ( 3 ) 2 (3 ) 2 ( 3 ) 2 (3 )
π 5 π 7 π 11 π , , , 6
6
6
6
¿ tomamos x<0 entonces f ' ( x )=1 −2=−1 lue!o " es decreciente π 5 π
En ( 6 , En (
6
5 π 7 π 6
,
π
) tomamos x = 2
6
entonces
f ' ( x )=1 + 2 =3
lue!o " creciente
) tomamos x = π entonces f ' ( x )=1 −2=−1 lue!o "
decreciente En (
7 π 11 π 6
,
6
) tomamos x =
3 π 2
entonces
f ' ( x )=1 + 2
lue!o "
creciente En ¿
tomamos x =2 π entonces
decreciente f ' ' ( x )= 4 sen( 2 x ) 4 sen ( 2 x )=0
f ' ( x )=1 −2=−1
lue!o " es
sen ( 2 x )=0 2 x = 0, π , 2 π , 3 π
x =0,
π 2
,π ,
3 π 2
tenemos f ' ' ( x )= 4 sen ( 2 x )> 0 lue!o " c#ncava hacia arria
En ¿ π
En ( 2 , π ) tenemos f ' ' ( x )= 4 sen ( 2 x )< 0 lue!o " c#ncava hacia aa3o 3
En ( π , 2 π ) es c#ncava hacia arria En (
3 π
( ( ( (
f ´ ´
f ´ ´
f ´ ´
f ´ ´
2
π 6
, π )
es c#ncava hacia aa3o
) )= )= )=
5 π 6
7 π 6
11 π 6
() ( )< ( )> ( )<
=4 sen π > 0 luego π esmínimo 3
4 sen
4 sen
4 sen
5 3
π
0 luego
7 π
0 luego
3
11 3
6
π
5 π 6 7 π 8
0 luego
esmáximo
es mínimo
11 6
π es máximo
$ todos estos máximos+ m&nimos+ crecimientos+ decrecimientos y concavidades se repiten cada
2 π
. &tili/ando el m(todo presentado en esta unidad) grafica la curva f ( x ) = x 4
−
4 x2
+
4
a primera derivada f ´ ( x )= 4 x −8 x =4 x ( x − 2) 3
2
ue!o su se!unda derivada f ´ ´ ( x )=12 x −8= 4 ( 3 x −2 ) 2
3
5plicando que f ´ ( x )=0 → 4 x ( x −2 )= 0 2
Entonces los números cr&ticos son x =0, √ 2 , −√ 2 os valores de la se!unda derivada f ´ ´ ( 0 ) =−8 < 0 f ´ ´ ( √ 2 )=16 < 0
f ´ ´ (−√ 2 )=16 < 0
Estos son m&nimos locales Entonces la !rá6ca es:
Es un máximo local
f ( x) =
x +1 x − 1
. &tili/ando el m(todo presentado en esta unidad) grafica la curva .
Es una "unci#n de6nida en todo 7 menos en x<1. iene el corte con el e3e 8 en x<(1 $ el corte con el e3e $ en
y =
1
−1
=−1
iene as&ntota vertical en x < 1 a derivada es f ´ ( x )=
( x −1− x −1 ) −2 = 2 ( x −1 ) ( x −1 )2
Es siempre ne!ativa lue!o siempre es decreciente y no tiene máximos ni m&nimos relativos) a derivada se!unda es f ´ ´ ( x )=2 ·
2 ( x −1 )
4 ( x −1 )
( x −1 )
( x −1 )4
= 4
4 ( x −1 )=0
( x −1 )=0 x =1
En (−∞ , 1 ) por e3emplo x =0 =¿> f ' ' ( 0 )=−4 es c#ncava hacia aa3o En (1, ∞ )
por e3emplo x =2=¿ > f ' ' ( 0 )=4
es c#ncava hacia arria)
