OBJETIVO
Se dará una introducción de lo que son las matrices modales y se mostrara un ejemplo muy sencillo de su utilización.
MATRIZ MODAL
El acoplamiento estático o dinámico resulta de la escogencia de coordenadas y que, para un sistema amortiguado, existe un conjunto de coordenadas principales que expresara las ecuaciones de movimiento, en la forma no acoplada. Tales coordenadas no acopladas son deseables puesto que cada ecuación puede resolverse independientemente. ara un sistema con muc!os grados de libertad y masas concentradas, las coordenadas escogidas en cada punto"masa generan una matriz de masa diagonal, pero, a matriz de rigidez contendrá t#rminos no diagonales, indicando acoplamiento estático. $as coordenadas escogidas en otra forma pueden conducir a acoplamiento dinámico o mixto. Es posible desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con n"grados de libertad, siempre que conozcamos previamente los modos normales del sistema. %uando se arreglan los n modos normales &o vectores propios' en una matriz cuadrada, con cada modo normal representado por una columna, la llamamos la matriz modal . as(, la matriz modal para un sistema con tres grados de libertad puede aparecer como)
$a matriz modal hace posible inducir todas las relaciones de ortogonal dad en una ecuación. ara esta operación necesitamos tambi#n la transpuesta de , que es)
%on cada fila representando un modo. Si formamos a!ora el producto *+ o *, el resultado será una matriz diagonal puesto que, los t#rminos fuera de la diagonal expresan simplemente las relaciones de ortogonal dad, que son nulas.
%omo ejemplo tenemos un sistema con dos grados de libertad. -ealizando la operación indicada con la matriz modal tenemos)
En la ecuación anterior, los t#rminos por fuera de la diagonal son nulos por razones de ortogonalidad y los t#rminos diagonales son la masa generalizada +. Es evidente que una formulación similar se aplica tambi#n a la matriz de rigidez que resulta en la siguiente ecuación.
$os t#rminos diagonales son la rigidez generalizada . Si cada una de las columnas de la matriz modal se divide por la ra(z cuadrada de la masa generalizada +, la nueva matriz es la matriz modal reducida y se la designa por se ve fácilmente que en la diagonalización de la matriz de masa por la matriz modal reducida resulta en la matriz unitaria)
−1
%omo M i K i= λ , la matriz de rigidez tratada similarmente por la 1
matriz modal reducida se convierte en la matriz diagonal de los valores propios.
Ejemplo) %onsideremos el sistema sim#trico, con dos grados de libertad. $a ecuación de movimiento en forma matricial es)
/ los valores y vectores propios son)
$a masa generalizada para ambos modos es 0m, la matriz modal y matriz modal reducida son
ara desacoplar la ecuación original utilizaremos
~
P
en la
trasformación
/ multiplicando por 1 2btenemos
3s( la ecuación &e' !a sido transformada en la ecuación &e' no acoplada por medio de la transformación de coordenadas de la ecuación &d'. $as coordenadas y4 y y0 son las coordenadas normales o principales. $as ecuaciones de arriba, en t#rminos de coordenadas normales, son similares a las de un sistema con un grado de libertad y pueden escribirse como)
Su solución general !a sido discutida antes y es)
$a solución del sistema original de dos grados de libertad esa entonces dada por la ecuación &d'.
5ue es la suma de las soluciones de modo normal, multiplicadas por constantes apropiadas. 3s condiciones iniciales y i &6' y y´ i &6' puede ser transformadas en t#rminos de x i &6' y x´ i &6' por el ~− ( 0 ) = P x ( 0) y inverso de la ecuación &d', . Sin embargo, no es ~ ~ ~ P P necesario llevar acabo la inversión de . %omo ' M P = I , ~ postmultiplicando esta ecuación por P , obtenemos) 1
−1
3s(, el inverso de la ecuación &d' será
o
$a ecuación &g' puede entonces escribirse en t#rminos de las condiciones iniciales x (0 ) y x´ (0 ) como)
Sustituyendo en la ecuación la solución queda enteramente en t#rminos de las coordenadas originales.
