CURSO DE MATLAB
En la actualidad, podemos encontrar diferentes softwares aplicados a las Matemáticas, a saber: MATLAB, Maple, Scientific, MatCad, Mathematica, etc. La pregunta que nos haríamos sería: ¿Por qué utilizar MATLAB en nuestras labores docentes? Las razones serían las siguientes:
MatLab es una herramienta de apoyo no solo a las matemáticas sino también a las otras ciencias, tales como: Física, Química, Economía, Construcciones Civiles, Visión Artificial, Sistemas de control industrial, Telecomunicaciones, Mecánica, Robótica, etc. Entre las ventajas que para nosotros supone la utilización de las nuevas tecnologías, cabe destacar el hecho de poder mostrar a los estudiantes que las Matemáticas no son sólo un conjunto de definiciones, teoremas y demostraciones, muchas veces de difícil comprensión, sino que están en concordancia con los últimos e innovadores avances informáticos. Nos proponemos de este modo hacerles ver cómo los resultados de dichos avances pueden, y deben, ser utilizados día a día en el aula, ya que facilitan enormemente los cálculos y permiten, además, visualizar muchos de los problemas que les son planteados: contemplar la gráfica de una función de una o dos variables, interpretar geométricamente algunos conceptos o soluciones de problemas e, incluso, comprender que el cálculo de la inversa de una matriz de orden veinte no tiene porqué resultar tan tedioso como puede parecer.
Por tanto, el objetivo de utilizar MATLAB será el acercar a los estudiantes a cada una de las asignaturas que impartimos y de mejorar, en todo lo posible, la calidad de nuestra docencia. Así, empezaremos a utilizar el programa Matlab en el aula, por las posibilidades gráficas y de cálculo simbólico que éste ofrece. Inicialmente les presentaremos de forma breve el programa, sus características y su entorno de trabajo para que les sea posible ejecutar los programas que posteriormente les facilitaremos. Conforme avanzamos en el desarrollo del programa de la asignatura les enseñaremos algunas sentencias básicas con las que puedan por sí mismos resolver ejercicios relacionados con la materia y, durante las clases, además de resolver dichos problemas en la pizarra, les mostraremos cómo las soluciones pueden ser obtenidas usando Matlab. Matlab es un programa interactivo para cálculo numérico y tratamiento de datos. Contiene muchas herramientas y utilidades que permiten además diversas funcionalidades, como la representación gráfica en 2 y 3 dimensiones. Esos útiles están agrupados en "paquetes" (toolboxes). A Matlab se le pueden añadir paquetes especializados para algunas tareas (por ejemplo, para tratamiento de imágenes). Trabajar con Matlab comporta aprender un lenguaje simple. En esta introducción se explican los elementos básicos de este lenguaje.
A través de las computadoras accedemos a grandes masas de información en tiempos reducidos, siendo imperiosa la capacitación o actualización urgente de todo profesional (sobre todo
aquellos inmersos en el campo educativo) permitiendo estar acorde con el avance científico actual. Matlab se ha convertido en una herramienta básica para profesionales e investigadores de centros de docentes, por sus grandes prestaciones en diferentes áreas de las ciencias, ingeniería y finanzas (sistemas e ingeniería de control, análisis matemático, álgebra, procesamiento procesamiento digital de imágenes, señales, etc.)
Ing. Gerardo Collaguazo DOCENTE
aquellos inmersos en el campo educativo) permitiendo estar acorde con el avance científico actual. Matlab se ha convertido en una herramienta básica para profesionales e investigadores de centros de docentes, por sus grandes prestaciones en diferentes áreas de las ciencias, ingeniería y finanzas (sistemas e ingeniería de control, análisis matemático, álgebra, procesamiento procesamiento digital de imágenes, señales, etc.)
Ing. Gerardo Collaguazo DOCENTE
TEMATICA 1. Comandos básicos 2. Funciones matemáticas elementales 3. Programación con Matlab. Archivos *.m 4. Operaciones con números reales y complejos. Sistemas de numeración. 5. Vectores y matrices. Operaciones 6. Graficas 2D y 3D 6.1 Gráficos estadísticos 6.2 Graficas 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares. 6.3 Gráficas 2D y 3D de funciones implícitas, paramétricas. 6.4 Gráficas especiales. 7. Matemática simbólica 7.1 Operaciones con polinomios y fracciones 7.2 Cálculo de límites 7.3 Cálculo de derivadas absolutas y parciales 7.4 Cálculo de integrales simples y múltiples 8. Aplicaciones en la Ingeniería 8.1 Aplicaciones a la Física 8.2 Aplicaciones en Señales y Sistemas 8.2.1 Función de transferencia 8.2.2 Transformada Laplace y Fourier 8.2.3 Transformada Z 8.2.4 Procesamiento digital de señales 8.3 Aplicaciones en Sistemas de Control 8.4 Aplicaciones en la ingeniería mecánica 8.5 Análisis numérico ANEXOS A RESUMEN DE COMANDOS BIBLIOGRAFIA
1.
COMANDOS BASICOS
Matlab es un programa command-driven, es decir, que se introducen las órdenes escribiéndolas una a una a continuación del símbolo » ( prompt ) que aparece en una interfaz de usuario (una ventana). En esta parte utilizaremos a Matlab como una calculadora.
La flecha ↑ permite recuperar un comando anterior definido, → desplaza una posición a la derecha, ← desplaza una posición a la izquierda. Veamos los siguientes comandos iniciales:
clc limpia la ventana de comandos … permite continuar los comandos en la siguiente línea
;
al final de la línea de comandos, inhibe la visualización de los resultados parciales
help permite acceder a la ayuda general de Matlab help nombre permite acceder a la ayuda de una función específica. Ej help cos
clear all borra todas las variables anteriormente utilizadas
Los operadores de las operaciones básicas son los siguientes: exponenciación multiplicación división suma resta Ejemplos:
Otros formatos se observan en la siguiente tabla.
Resultado con 14 decimales Resultado con 4 decimales (formato por defecto) Resultado con 14 decimales con potencia de 10 Resultado con 4 decimales con potencia de 10 Formato largo optimo Formato corto optimo Resultado con 2 decimales Resultado en forma racional Signo del resultado. Ignora la parte imaginaria del numero complejo Formato hexadecimal Operación con n dígitos exactos Resultado con n dígitos exactos
format long format short format long e format short e format long g format short h format bank format rat format + format hex vpa ‘operación’ n digits(n)
Estos mismos formatos se pueden obtener de Matla b escribiendo: help format
Es de observar que el último formato quedará como definido para futuras operaciones. Cuando se define una variable, Matlab hace diferencia de mayúsculas y minúsculas y no deben contener signos de puntuación ni operadores.
Matlab tiene definidos las siguientes constantes. pi
3.1415…
exp(1)
e=2.71828…
i=j
2.
1
inf
Infinito (1/0)
NaN
Indeterminación (0/0)
realmin
Menor número real utilizado por matlab
realmax
Mayor número real utilizado por matlab
FUNCIONES MATEMATICAS ELEMENTALES
Matlab admite una serie de funciones elementales para sus operaciones, las mismas que admiten argumentos escales, vectoriales, matriciales y complejos. Estas funciones se clasifican en (ver escribiendo: help elfun) : trigonométricas (directas e inversas), exponenciales y logarítmicas, complejas y de función especial (redondeo y residuo). En la siguiente tabla se presentan algunas de las funciones básicas: seno coseno tangente secante cosecante cotangente
exponencial logaritmo natural raíz cuadrada valor absoluto
Ejemplos:
3.
PROGRAMACION CON MATLAB. ARCHIVOS *.m
Matlab puede utilizarse como lenguaje de programación de alto nivel que incluye estructura de datos, funciones, instrucciones de control de flujo, manejo de entrada/salida de datos e incluso programación orientada a objetos. Los programas de Matlab suelen escribirse en ficheros denominados M-files. Un fichero *.m no es más que un código Matlab (scripts) que simplemente ejecuta una serie de comandos o funciones que aceptan argumentos y producen una salida. Los ficheros M se crean utilizando el editor de texto.
LECTURA Y ESCRITURA
input permite el ingreso de datos desde el teclado asignándolo a una variable, este comando se puede emplear con un mensaje en la línea de comandos fprintf permite la visualización de un valor numérico o el resultado de una expresión guardada por el usuario. Ejemplo: >> vol=49 >> fprintf (‘el volumen es:%12.0f\ n’,vol)
Donde: \n indica que la impresión de la variable vol será en la siguiente línea
%12.0f formato de un número entero (%12.5f número con 5 decimales)
disp(‘mensaje’) visualiza el mensaje en la ventana de comandos.
SCRIPTS Los scripts son el tipo de archivos *.m más sencillos posibles. Un script no tiene argumentos de entrada ni de salida. Sencillamente está formado por instrucciones Matlab que se ejecutan secuencialmente y que podrían submitirse igualmente en serie en la ventana de comandos. Los scripts operan con datos existentes en el espacio de trabajo o con nuevos datos creados por el propio script. Cualquier variable que se cree mediante un script permanecerá en el espacio de trabajo y podrá utilizarse en cálculos posteriores después de finalizar el script. Una vez escrita la sintaxis del script en el editor se guarda en la librería de trabajo (work) y simultáneamente se ejecuta, haciendo clic en el botón o utilizando la opción save and run del menú Debug o presionando F5 o simplemente escribiendo el nombre (sin extensión) en la ventana de comandos y pulsar Enter. Se pueden introducir textos explicativos y comentarios, empezando cada línea con el símbolo %. Con el comando HELP se accede al texto explicativo de un M-file.
FUNCIONES Y M-FICHEROS. FUNCTION, EVAL Y FEVAL El comando function permite la definición de funciones a medida en Matlab, constituyendo una de las aplicaciones más útiles de los ficheros M. La sintaxis de este comando es la siguiente:
function parámetros_salida=nombre_función (parámetros entrada) Cuerpo de la función
Una vez que la función ha sido definida se guarda en un M-fichero de nombre nombre_función.m, para su posterior uso. Es útil también introducir un texto explicativo en la sintaxis de la función (entre %), al cual se accederá con el comando HELP. Se recomienda guardar las funciones como ficheros de nombre igual al nombre de la función en el directorio Work. Una vez definida y guardada la función anterior, se puede utilizar desde la ventana de comandos.
La evaluación de una función en sus argumentos (o parámetros de entrada) también puede utilizarse a través del comando fecal, cuya sintaxis es la siguiente:
feval (‘F’, arg1, arg2,…,ar gn) - Evalúa la función F en los argumentos dados. Ejemplo. Ver ecuacion2.m La evaluar la ecuación de 2do grado escribimos: [x1,x2]=feval(‘ecuacion2’,1,2,3) o [x1,x2]=ecuacion2(1,2,3)
Control de flujo: bucles for, while e if elseif, switch case, try catch, return, subfunciones
El uso de funciones recursivas, condicionales y definidas a trozos es muy habitual en matemáticas. Para la definición de este tipo de funciones es necesario el manejo de bucles. Como es natural, la definición de las funciones se hará a través de m-files.
El bucle FOR
Esta sentencia permite ejecutar de forma repetitiva un comando o grupo de comandos varas veces. Por ejemplo: >> for i=1:3, x(i)=0, end La forma general de un bucle FOR es la siguiente: for variable = expresión Comandos
end
El bucle While
Esta sentencia permite ejecutar de forma repetitiva un comando o grupo de comandos un número determinado de veces mientras se cumple una condición lógica especificada, La sintaxis general es:
w hile condicion Comandos
end
El bucle IF ELSEIF ELSE END
Mediante esta estructura se pueden ejecutar secuencias de comandos si se cumplen determinadas condiciones. La sintaxis es: if condición Comandos
End
En este caso se ejecutan los comandos si la condición es cierta. Pero la sintaxis de este bucle puede ser más general. if condición Comandos1
Else Comandos2
end
En este caso se ejecutan los comandos1 si la condición es cierta, y se ejecutan los comandos2 si la condición es falsa. Las sentencias if, al igual que las sentencias FOR, pueden ser anidadas. Cuando se anidan varias sentencias IF se utiliza la sentencia ELSEIF, cuya sintaxis general es:
i f condicion1 Comandos1
elseif condicion2 Comandos2
elseif condicion3 Comandos3
……………. else end
En este caso se ejecutan los comandos1 si condicion1 es cierta, se ejecutan los comandos2 si condicion1 es falsa y condicion2 es cierta, se ejecutan los comandos3 si condicion1 y condicion2 son falsas y condicion3 es cierta, y así sucesivamente. La sintaxis anidada anterior es equivalente, pero más rápida de ejecución, a la sintaxis sin anidar siguiente: if condicion1 comandos1
else if condicion2 comandos2
else if condicon3 comandos3
else
………… end end end
SWITCH y CASE
La instrucción switch ejecuta ciertas sentencias basdas en el valor de una variable o expresión. Su sintaxis es: switch expresión (escalar o cadena) case valor1 Sentencias
%Ejecuta si expresión es valor1
case valor2 Sentencias
%ejecuta si expresión es valor2
………….. otherwise Sentencias
end
%ejecuta si expresión no cumple ningún caso
Ejemplo de programación:
En la programación con Matlab se hace uso de operadores, como: relacionales y l ógicos para realizar comparaciones tomar alguna decisión en el flujo del programa. Operadores relacionales < <= > >= x==y X ~= y
Menor (para complejos solo afecta la parte real) Menor o igual (para complejos solo afecta la parte real) Mayor (para complejos solo afecta la parte real) Mayor o igual (para complejos solo afecta la parte real) Igualdad (para complejos solo afecta la parte real) Desigualdad (para complejos solo afecta la parte real)
Operadores lógicos
~A A&B A|B Xor(A,B)
Negación lógica (NOT) o complemento de A Conjunción lógica (AND) o intersección de A y B Disyunción lógica (OR) o unión de A y B Or exclusivo (XOR) o diferencia simétrica de A y B
Ejemplos:
Devuelve 1 si A>3 y A<6, devuelve 0 en caso contrario
4.
OPERACIONES
CON
NUMEROS
REALES
Y
COMPLEJOS.
SISTEMAS
DE
NUMERACION
Matlab permite el cálculo de divisibilidad de números mediante el empleo de los siguientes comandos: rem(n,m) sign(n) max(n1,n2) min(n1,n2) gcd(n1,n2) lcm(n1,n2) factorial(n) factor(n)
Entrega el residuo de la división n/m Da el signo de n (1 so n>0, -1 si n<0) Máximo entre dos números Mínimo entre dos números m.c.d. entre dos números m.c.m. entre dos números Calcula el factorial Descompone en factores primos el número n
Veamos algunos ejemplos con cada instrucción:
Para números complejos tenemos las siguientes instrucciones: abs(z) angle(z) conj(z) real(z) imag(z) complex(a,b)
Calcula el valor absoluto del complejo z Calcula el argumento del complejo z Calcula el conjugado del complejo z Calcula la parte real del complejo z Calcula la parte imaginaria del complejo z Devuelve el número complejo z a bj
En el siguiente ejemplo podemos ver la representación de un número complejo en polar y rectangular y la operación de suma.
Además, vemos que para poder visualizar el resultado con disp se realiza la conversión de un número a cadena, lo cual podemos hacerlo con los siguiente comandos.
str2num(‘cadena’) num2str(num) upper(‘cadena’) lower(‘cadena’)
Convierte la cadena en número Convierte el número en cadena Convierte la cadena en mayúsculas Convierte la cadena en minúsculas
También Matlab nos permite expresar un número en los diferentes sistemas de numeración: decimal, binario, octal, hexadecimal etc. Para ello emplearemos los siguientes comandos: dec2base(decimal,n-base) base2dec(‘número’,B) dec2bin(decimal) dec2hex(decimal) bin2dec(‘binario’) hex2dec(‘hexadecimal’)
Ejemplos:
Convierte el número decimal en base n Convierte el número dado en base B a decimal Convierte el número decimal a binario Convierte del número decimal a hexadecimal Convierte el número binario a decimal Convierte el número haxadecimal a decimal
5.
VECTORES Y MATRICES. OPERACIONES 5.1 VECTORES
Para definir un vector fila, basta introducir sus coordenadas, separadas con espacio o coma, entre corchetes: Ejemplo: >> v = [1 2 3] v= 1 2 3
% Vector de 3 coordenadas
Existen otras formas de definir un vector, conforme se señala en la siguiente tabla: v=[a:b] v=[a:p:b] v=linspace(a,b,n) v=logspace(a,b,n)
Ejemplos:
Define un vector fila de extremos a y b y con elementos intermedios separados una unidad Define un vector fila de extremos a y b con elementos intermedios separados p unidades Define un vector fila de extremos a y b con n elementos intermedios Define un vector fila de extremos a y b con n elementos intermedios con escala logarítmica
Con los vectores se pueden hacer las operaciones indicadas en la tabla. x(n) x(a:b) x(a:p:b) x(b:-p:a) sort(x) sum(x) norm(v,2) cross(u,v) dot(u,v) length(v)
Extrae el n-ésimo elemento del vector x Obtiene los elementos del vector x entre a y b separados una unidad Obtiene los elementos del vector x entre a y b separados p unidades Idem Ordena los elementos de un vector e forma ascendente Calcula la suma de todos los elementos del vector x Calcula la norma de un vector v Calcula el producto vectorial de 2 vectores Calcula el producto escalar Calcula la dimensión del vector v
Ejemplos:
Las funciones elementales definidas en Matlab admiten también argumentos vectoriales.
Las operaciones con vectores emplean los siguientes operadores: Vector transpuesto exponenciación multiplicación división suma resta
El punto (.) indica que se opera elemento a elemento de los vectores. 5.2 MATRICES
Una matriz se escribe como vectores, pero las filas se separan con (;). Ejemplo: matriz M de 3x3
Las operaciones con matrices y vectores se realizan utilizando los siguientes operadores + * \ .\ / ./ ^ .^ A’
Ejemplos:
Suma de matrices Resta de matrices Multiplicación de escalares o matrices División A\B=inv(A)*B, A y B matrices cuadradas A.\B=[B(i,j)/A(i,j)], siendo A y B vectores [dim(A)=dim(B)] Cociente escalar o B/A=B*inv(A), siendo A y B matrices A./B=[A(i,j)/B(i,j)], siendo A y B vectores [dim(A)=dim(B)] Potencias de escalares o matrices M P Potencia de vectores o A.^ B A(i, j ) B (i , j ) , A y B vectores Transpuesta de A
Matlab tiene definidas algunas matrices especiales, como vemos en la siguiente tabla. ones(m,n) zeros(m,n) eye(m,n) eye(n) rand(n) magic(n)
Crea una matriz de unos de tamaño mxn Crea una matriz de ceros de tamaño mxn Crea una matriz identidad mxn Crea una matriz identidad cuadrada nxn Crea una matriz cuadrada nxn con números aleatorios entre 0 y 1 Crea una matriz especial cuya suma de sus elementos de las filas, columnas y diagonal da un mismo número
Estas matrices se emplean en la programación y representación gráfica de funciones. Ejemplos:
Matlab tiene definidas algunas funciones para trabajar con matrices. A(m,n) inv(A) triu(A) tril(A) size(A) det(A) diag(A) diag(v) A(a,:) A(:,b) rref(A) sum(A) [V,D]=eig(A) horzcat(A,B) vertcat(A,B) repmat(A,n,m) [L,U,P]=lu(A)
Obtiene el elemento de la posición (m,n) de la matriz A Calcula la inversa de la matriz A Saca la parte triangular superior de la matriz Saca la parte triangular inferior de la matriz Calcula la dimensión de la matriz Calcula el determinante de la matriz Saca la diagonal de la matriz Crea una matriz diagonal con el vector v en la diagonal Saca todos los elementos de la fila a de la matriz Saca todos los elementos de la columna b de la matriz Calcula la forma canónica de la matriz A Devuelve un vector con la suma de los elementos de las columnas Calcula los valores y vectores propios de A Concatena horizontalmente las matrices A y B Concatena verticalmente las matrices A y B Reproduce la matriz A, n veces verticalmente y m veces horizontalmente Descompone la matriz A en dos matrices triangulares: una superior U y otra inferior L, tal que P*A=L*U
Ejemplos:
Mediante el uso de las matrices podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Como ejemplo, a continuación se presenta un programa que nos permite resolver un sistema de ecuaciones lineales de números reales y complejos.
Más adelante veremos otros métodos de resolver l os sistemas de ecuaciones. 6.
GRAFICAS 2D Y 3D
Matlab permite realizar gráficos de curvas planas y superficies, posibilitando la agrupación y la superposición. También es posible trabajar colores, rejilla, marcos, etc., en los gráficos. La representación de funciones puede realizarse en coordenadas implícitas, explícitas y paramétricas. También permite realizar gráficos de barras, líneas, estrellas, histogramas, poliedros, mapas geográficos y animaciones. La creación de gráfico suele acoplarse a los siguientes pasos:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Preparar datos Elegir ventana y situar posición Usar función de gráfico Elegir características de líneas y marcadores (anchura, colores, …) Usar límites de ejes, marcas y mallas Situar anotaciones, etiquetas y leyendas Exportar el gráfico.
6.1 GRAFICAS ESTADISTICOS
Gráficos básicos 2D: barras, sectores, histogramas, racimo, error y flec has bar(y) bar(x,y) bar(…,anchura) bar(…,’estilo’)
Gráfico de barras relativo al vector de frecuencias Y. Si Y es matriz se obtiene el gráfico múltiple para cada fila de Y. Gráfico de barras relativo al vector de frecuencias Y siendo x un vector que define los espacios en el eje X para situar las barras Gráfico con anchura de barras dada. Por defecto, la anchura es 0.8 y la anchura 1 provoca que las barras se toquen Grafico con estilo para barras dado. Los estilos son ‘group’ (estilo por defecto con barras verticales agrupadas), y ‘stack’ (barras
bar(…,color) barh(…) hist()
hist(y,x)
hist(y,k) *n,x+=hist(…)
pie(x) pie(x,y)
apiladas), Si la matriz Y es (m,n) el agráfico agrupado tiene m grupos de n barras verticales Las barras son todas del color especificado (r=rojo, g=verde, b=azul, c=cyan, m=magenta, y=amarillo, k=black, w=white) Gráfico de barras horizontales Dibuja e histograma relativo al vector de frecuencias Y usando 10 rectángulos iguales de base igual. Si Y es una matriz, se construye un histograma para cada una de sus columnas. Dibuja es histograma relativo al vector de frecuencias Y usando tantas cajas como elementos tiene el vector x y centrando cada caja en los sucesivos valores de x Dibuja el histograma relativo al vector de frecuencias Y usando tantas cajas como indica el escalar k Devuelve los vectores n y x con las frecuencias asignadas a cada caja del histograma y los valores en que se centran las cajas Realiza el gráfico de sectores relativo al vector de frecuencias X Realiza el gráfico de sectores relativo al vector de frecuencias X desplazando hacia fuera los sectores en los Yi≠0
errorbar(x,y,e)
stem(y) stem(x,y) stairs(y) satirs(x,y) rose(y)
Realiza el gráfico del vector x contra el vector y con los errores especificados en el vector e. Pasando por cada punto (x i,yi) se dibuja una línea vertical de longitud 2e i cuyo centro está en el punto (xi,yi) Dibuja el gráfico de racimo relativo al vector Y. Cada punto de Y es unido al eje x por una línea vertical Dibuja el gráfico de racimo relativo al vector Y cuyos elementos son dados a través del vector X Dibuja el gráfico escalonado relativo al vector Y Grafico escalonados del vector Y con elementos a través del vector X Histograma angular relativo al vector Y, de ángulos en radianes utilizando 20 radios iguales
rose(y,n) rose (x;y) compass(z)
compass(x,y) compass(z,s) compass(x,y,z) feather(z) o feather(x,y) o feather(z,s) o feather(x,y,s)
Dibuja el histograma angular del vector Y usando n radios iguales Dibuja el histograma angular relativo al vector Y utilizando radios que miden los especificado en los elementos del vector x Realiza un diagrama de flechas que salen del origen y cuya magnitud y dirección vienen determinados por el módulo y el argumento de los números complejos componentes del vector Z. La flecha relativa al complejo Z i une el origen con el afijo de Z i. Equivale a compas(X+i*Y) o Especifica en S el tipo de línea a usar en las flechas Es igual que compas, con la única diferencia de que el origen de las flechas no está en origen de coordenadas, sino que salen de los puntos igualmente espaciados de una línea horizontal
Ejemplos 1. Graficar la función
, en
en intervalos de de 0.2
Pruebe escribiendo barh(x,y) 2. Graficas las barras en modo agrupado (group) y apilado (stack). En el siguiente gráfico se muestran 5 grupos de 3 barras correspondientes a la matriz aleatoria (5,3).
3. También podemos definir la anchura de las barras.
4. A continuación graficamos el histograma de frecuencias relativos 10000 puntos aleatorios normales (0,1).
Observación: Ver la diferencia entre rand() y randn() en help. Si se desean ver un mayor número de cajas, se debe escribir hist(y, 20), donde 20 es el número de cajas. 5. En el siguiente ejemplo se presenta un gráfico de sectores para los valores especificados en el vector x.
6. También podemos desplazar cualquiera de los sectores que se deseen.
7. La siguiente figura presenta un gráfico escalonado de la función .
[]
para
8. Podemos también representar los errores de una función de distribución normal (0,1) con una variable definida en [-4, 4], siendo definidos los errores por 40 valores aleatorios uniformes (0,10).
9. Así podemos graficar de la misma forma los demás funciones empleando las instrucciones de la tabla anterior. Esto se deja como tarea para el lector. 6.2 GRAFICAS 2D
Gráficos 2D: curvas de funciones explícitas, implícitas, paramétricas y polares. plot(x,y) plot(y)
plot(x,y,’s’) plot(x1,y1,x2,y2,…
fplot(‘f’,*xmin,xmax+) fplot(‘f’,’*xmin,xmax,ymin,ymax+, s)
fplot(`[f1,f2,--fn+’), [xmin,xmax,ymin,ymax],s) fplot(‘f’,*xmin,xmax+,…,t) fplot(‘f’,*xmin,xmax+,…,n)
Dibuja el conjunto de puntos (x,y), donde x e y son vectores fila. X el dominio y la imagen Grafica los elementos del vector y contra sus índices, es decir da la gráfica del conjunto de puntos (t,y i) t=1,2,..,n (n=length(Y)) si Y es una matriz realiza un gráfico para cada columna. Gráfica de plot(x,y) con las opciones especificadas por s (color y tipo de línea). Ver help plot Combina sobre los mismos ejes, los gráficos definidos para las tripletas (xi,yi,si). Se trata de una forma simultánea de representación de varias funciones Grafica la función en el intervalo dado Grafica la función en los intervalos dados, con la opción s (tipo de línea y color) Grafica las funciones dadas sobre los mismos ejes en los intervalos dados con las opciones de s Grafica f con la tolerancia t Grafica f con la tolerancia t como n+1 puntos como
mínimo Grafica la función en el intervalo x dado Grafica la función en los intervalos x y dados Grafica la curva paramétrica x=x(t), y=y(t) sobre el intervalo [0,2pi] Grafica la curva paramétrica x=x(t), y=y(t) sobre el intervalo dado Grafica la curva en coordenadas implícitas en [-2pi, 2pi] Realiza gráficos similares a plot(x,y) pero con escala logarítmica en los dos ejes Realiza gráficos similares a plot(x,y) pero con escala logarítmica en el eje x Realiza gráficos similares a plot(x,y) pero con escala logarítmica en el eje y Dibuja el polígono compacto cuyos vértices son los pares de componentes (xi,yi) de los vectores columna X e Y. C es un vector de la misma dimensión de X e Y, que contiene los colores Ci de cada punto (xi,yi). Dibuja el polígono compacto cuyos vértices vienen dados por los puntos (xi,yi,ci) Dibuja la curva en coordenadas polares Dibuja la curva en coordenadas polares con el estilo de línea especificado por s
ezplot(‘f’,*xmin,xmax+) ezplot(‘f’,*xmin,xmax,ymin,ymax+) ezplot(x,y) ezplot(‘f’,*xmin,xmax+) ezplot(‘f’)
loglog(x,y) semilogx(x,y) semilogy(x,y) fill(x,y,c)
fill(x1,y1,c1,….)
polar( ,r) polar( ,r,’s’)
Veamos algunos con estas instrucciones de gráficas. 1.
Graficar
|| [] ,
2.
Graficar la función anterior con diferente línea y color.
3.
Graficar
[] ,
.
4.
Graficar
[] ,
El mismo resultado se tiene con: >> fplot(‘sin(x)*exp(-0.4*x)’,[0,10]) 5.
Graficar la función paramétrica
[] {
Intente graficar con ezplot(‘f1’,’f2’,[0,2π]) 6.
Graficar la función implícita
[]
7.
Graficar la función polar
8.
Graficar un octógono.
[]
Podría explicar como Matlab grafica lo anterior? En base a su explicación dibuje un cuadrado y un triángulo. Títulos, etiquetas y colocación. title(‘texto’) xlabel(‘texto’) ylabel(‘texto’) zlabel(‘text’) clabel(c,h) clabel(c,h,v)
datetick(eje) datetick(eje,fecha) legend(‘cadena1’,’cadena2’, ….) legend(h,’cadena1’,’cadena2’,’…) legend(‘off’) text(x,y,’text’) text(x,y,z,’texto’) gtext(‘texto’)
Grid Hold axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) axis(‘auto’) axis(axis) v=axis axis(‘xy’)
axis(‘tight’) axis(‘ij’) axis(‘square’) axis(‘equal’) axis(‘normal’) axis(‘off’) axis(‘on’) subplot(m,n,p)
Añade el texto como título del gráfico Añade el texto como el nombre de eje x Añade el texto como el nombre de eje y Añade el texto como el nombre de eje z Rota etiquetas y las sitúa en el interior de las líneas de contorno Crea etiquetas para los niveles de contorno dados por el vector v y las rota y sitúa en el interior de las líneas de contorno Etiqueta las marcas del eje especificado Etiqueta las marcas del eje especificado con el formato de fecha dado Sitúa las leyendas especificadas por las cadenas en n gráficos consecutivos Elimina las leyendas de los ejes actuales Sitúa el texto en punto xy dentro del gráfico 2D Sitúa el texto en el punto xyz dentro del gráfico 3D Permite situar el texto en un punto seleccionado con el ratón dentro de un gráfico 2D Activa la rejilla Permite mantener el grafico actual, de modo que el siguiente se superponga Sitúa los valores máximo y mínimo para los ejes Escala automática Congela el escalado de ejes en los límites corrientes Da el vector v de 4 elementos conteniendo la escala del gráfico corriente Sitúa coordenadas cartesianas con el origen en la parte inferior izquierda del gráfico Sitúa los límites de los ejes en el rango de los datos Sitúa el origen en la parte superior izquierda Convierte el rectángulo graficado en cuadrado Factor de escala igual para los ejes Elimina las opciones equal y square Elimina las etiquetas, marcas y rejillas manteniendo los textos Lo contrario de lo anterior Divide la ventana gráfica en mxn partes y sitúa el gráfico en la posición p-ésima
Matlab nos permite colocar algunas etiquetas en los gráficos, como también subdividir la ventana en varios subplots.
Además Matlab tiene un asistente de gráficas 2D. Para ello escriba >> funtool 6.3 GRAFICAS 3D
Gráficos de líneas 3D plot3(x,y,z) plot3(x,y,z,s) plot3(x1,y1,z1,s1,x2,y2,z2,s2,…) fill3(x,y,z,c) fill3(x1,y1,z1,c1,x2,y2,z2,c2,…) ezplot3(x,y,z,’animate’)
Dibuja el conjunto de puntos (x,y,z) Dibuja el conjunto de puntos (x,y,z) con la opción dada por s (tipo de línea y color) Dibuja varias funciones en una misma ventana Dibuja un polígono compacto Igual que en 2D Curva paramétrica 3D con animación
Superficies explícitas y paramétricas, mallas y contornos (curvas de nivel) [X,Y]=meshgrid(x,y)
surf(x,y,z)
Transforma el campo de definición de las variables x e y de la función a representar en argumentos matriciales utilizables por los comandos surf y mesh para obtener gráficos de superficie y malla respectivamente. Grafica una superficie explícita z f ( x, y) o paramétrica x x(t , u),
surfc(x,y,z)
y(t , u) , z
z (t , u) , realizando con los
colores especificados en C. C se puede ignorar Grafica una superficie explícita z f ( x, y) o paramétrica x x(t , u),
surfl(x,y,z)
y
y
y(t , u) , z
z (t , u) , junto con el gráfico
de contorno (curvas de nivel en el plano XY) realizando con los colores especificados en C. C se puede ignorar Grafica una superficie explícita z f ( x, y) o paramétrica x x(t , u),
y
y(t , u) , z
z (t , u) ,
con
el
dibujo
mesh(x,y,z,c)
sombreado Grafica una superficie explícita z f ( x, y) o paramétrica
meshz(x,y,z,c)
dibujando las líneas de la rejilla que componen la malla con los colores especificados en C (opcional) Grafica una superficie explícita z f ( x, y) o paramétrica
meshc(x,y,z,c)
x x(t , u),
y
y(t , u) , z
z (t , u) ,
x x(t , u),
y
y(t , u) , z
z (t , u) , con una superficie
de cortina o telón en la parte inferior Grafica una superficie explícita z f ( x, y) o paramétrica junto con las curvas de nivel proyectadas sobre el plano XY Dibuja las curvas de nivel para la matriz Z. El número de curvas a utilizar se elige automáticamente. Se define n líneas de nivel Dibuja las curvas de nivel para la matriz Z usando en los ejes X e Y el escalado definido por los vectores x e y Dibujan los gráficos de contorno en 3D x x(t , u),
contour(z) contour(z,n) contour(x,y,z,n) contour3(z) contour3(z,n) contour3(x,y,z,n)
y
y(t , u) , z
z (t , u) ,
contourf(…)
pcolor(x,y,z)
Sphere sphere(n) cylinder(….)
Dibuja un gráfico de contorno (curvas de nivel) y rellena las áreas entre las isolíneas Dibuja un gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz (x,y,z) utilizando una representación basada en densidades de colores. Suele denominarse gráfico de densidad. Grafica una esfera de radio 1 usando 20 caras Grafica una esfera usando nxn caras Dibuja un cilindro
Propiedades de gráficos 3D view([x,y,z]) view([az,el])
Sitúa el punto de vista de la figura en el punto de coordenadas (x,y,z) Sitúa el ángulo de vista de la figura en el punto de azimut (rotación horizontal) ‘az’ y elevación (elevación vertical) ‘el’
Controla la presencia de líneas ocultas en el gráfico. Dichas líneas aparecen con hidden on y desaparecen con hidden off Shading Controla el tipo de sombreado de una superficie creada con los comandos surf, mesh, etc. La opción shading flan da un sombreado suave, shading Inter. Sombreado denso, shading faceted sombreado normal (por defect) colormap(m) Sitúa la matriz M como el mapa corriente de colores. M debe tener tres columnas y contener valores entre 0 y 1. También puede ser una matriz cuyas filas sean del tipo [r g b]. En matlab existen matrices ya definidas como: bone(p), contrast(p), cool(p), copper(p) flag(p), gray(p), hsv(p), hot(p), jet(p), pink(p), prism(p), white(p). Ajusta la iluminación. Si 0
7.
ALGEBRA NUMERICA LINEAL. SISTEMAS DE COORDENADAS
8.
FUNCIONES DE ANALISIS ESTADISTICO
9.
MATEMATICA SIMBOLICA
10. ANALISIS NUMERICO 11.
INTERFACES GRAFICAS
12. APLICACIONES A LA INGENIERIA 13. CONTROL DE PUERTO SERIAL CON MICROCONTROLADOR
