EUROCOLEGIO CASVI
Matemáticas 2º ESO
C APÍTULO 1
Divisibilidad. Números enteros
S ECCIÓN 1
Introducción
Se le debe un procedimiento, conocido como la Criba de Eratóstenes, para obtener de un modo rápido todos los números primos menores que un número dado. 1. Escribe todos los números naturales desde 2 hasta el número que quieras hallar.
Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. Se afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de ochenta y dos; también Censorino sostiene que falleció cuando tenía ochenta y dos. Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Se afirma que también era conocido como el segundo Platón y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta, por la segunda letra del alfabeto griego, porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.
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S ECCIÓN 2
Ejemplos:
Relación de divisibilidad
• 14 es múltiplo de 7 • 21 es múltiplo de 7
Dos números tienen entre sí una relación de divisibilidad cuando al dividir el primero por el segundo obtenemos como resto el número 0, es decir, es una división exacta.
En este caso: •320 es múltiplo de 5 •5 es un divisor de 320
• 14 + 21 = 35 (que también es múltiplo de 7) Divisores de un número. Criterios de divisibilidad Ahora realizamos el proceso contrario, es decir, de 35 obtengamos sus divisores, (que números tienen al 35 como resultado en su tabla de multiplicar). El número de divisores que un número tiene son finitos y al menos dos de ellos siempre son tanto el 1 y como propio número. Ejemplos: •Divisores del 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Múltiplos de un número Son el resultado de una multiplicación entre números naturales. Así para conocer de los múltiplos del número 7, tan solo debemos recordar su tabla de multiplicar y sabremos que algunos múltiplos del 7 son el 7, 14, 21, 28, … Un número tiene infinitos múltiplos. Cuando sumamos dos números a y b que son múltiplos de un número c, obtenemos otro múltiplo de c.
àComo habrás visto, tanto el 1 como el 12 están presentes •Divisores del 15 = {1, 3, 5, 15} àComo habrás visto, tanto el 1 como el 15 están presentes •Divisores del 17 = {1, 17} àComo habrás visto, tanto el 1 como el 17 están presentes
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Criterios de divisibilidad Para averiguar fácilmente si un número es divisible por 2, 3 o 5 puedes emplear estos sencillos criterios: • Múltiplos de 2: Los números pares. • Múltiplos de 3: Sumamos todas las cifras del número. Si el resultado de la suma es mayor que 9 volvemos a sumar las cifras de dicho resultado y repetimos hasta llegar a un resultado que bien sea múltiplo de 3 para confirmar que es múltiplo de 3 o no. • Múltiplos de 5: Los números que terminan en 5 o en 0. Para ver fácilmente los divisores del 12 hemos organizado las chapas en grupos del mismo tamaño. De esta manera podemos comprobar que los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Actividades 1. Comprueba si entre estas parejas de números existe relación de divisibilidad: a) 500 y 20 b) 350 y 23 c) 252 y 18 d) 79 y 3 e) 770 y 14 f) 117 y 12 2.Si un número es divisible por otro, ¿cuál es el resto de la división? 3.¿Es divisible 288 por alguno de los siguientes números? 2, 3, 6, 8, 10, 288 4.El dividendo de una división es 196, el divisor es 16 y el cociente es 12. ¿Es divisible 196 por 16? Contesta sin realizar la operación 4
S ECCIÓN 3
Los números primos y los compuestos Los números primos son aquellos números que no se pueden descomponer más que en dos factores, la unidad y el mismo. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...
Los números que no son primos son números compuestos.
Factorización de un número Descomponer factorialmente un número consiste en averiguar todos sus divisores. Para ello debes dividir el número entre sus factores primos (entre 2, entre 3, entre 5...) de menor a mayor hasta que el resultado de la división es 1. Además nos damos cuenta de que cada uno de los múltiplos de un número contiene, al menos, todos los factores primos de dicho número.
Actividades 1. Descompón estos números en factores primos: a) 59
f) 63
k) 75
b) 60
g) 25
l) 215
c) 120
h) 94
m) 84
d) 125
i) 190
n) 246
e) 36
j) 187
ñ) 250
2. Descompón de todas las formas que sea posible el número 100. 3. Cuáles de estos números son primos y cuales compuestos: a) 29
d) 39
g) 91
b) 57
e) 83
h) 101
c) 111
f) 113
i) 243 5
S ECCIÓN 4
Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo es, como su propio nombre indica, el múltiplo más pequeños común a los dos, tres o más números.
Actividades 1. Calcula mentalmente: a) m.c.m(2, 6)
d) m.c.m.(5, 15)
b) m.c.m.(6, 8)
e) m.c.m.(20, 60)
c) m.c.m.(2, 8)
f) m.c.m.(50, 450)
2. Calcula:
O BTENCIÓN DEL M . C . M . DE VARIOS NÚMEROS
a) m.c.m(24, 36)
d) m.c.m.(32, 240)
1.
Descomponer en factores primos los números
b) m.c.m.(28, 42)
e) m.c.m.(12, 91)
2.
Escoger los comunes y los no comunes elevados al mayor exponente, y multiplicarlos
c) m.c.m.(90, 120)
f) m.c.m.(7, 320)
a) m.c.m(24, 36, 70)
d) m.c.m.(32, 240, 300)
b) m.c.m.(28, 42, 60)
e) m.c.m.(12, 91, 125)
c) m.c.m.(90, 120, 220)
f) m.c.m.(7, 320, 750)
3. Calcula:
4. Hemos juntado los alumnos de dos colegios distintos y deseamos hacer grupos iguales entre ellos, sin mezclar, pero con el mismo número de alumnos por cada grupo. ¿Cuántos alumnos formarán cada uno de los equipos, si un colegio trae a 40 alumnos y el otro a 60?
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S ECCIÓN 5
Máximo común divisor El máximo común divisor es el mayor de sus divisores comunes.
Actividades 1. Calcula mentalmente: a) M.C.D.(2,6)
d) M.C.D.(5,15)
b) M.C.D.(6,8)
e) M.C.D.(20,60)
c) M.C.D.(2,8)
f) M.C.D.(50,450)
2. Calcula.
O BTENCIÓN DEL M . C . D . DE VARIOS NÚMEROS
a) M.C.D.(24,36)
d) M.C.D.(32,240)
1.
Descomponer en factores primos los números.
b) M.C.D.(28,42)
e) M.C.D.(12,91)
2.
Escoger los comunes elevados al menor exponente, y multiplicarlos.
c) M.C.D.(90,120)
f) M.C.D.(7,320)
a) M.C.D.(24,36,70)
d) M.C.D.(32,240,300)
b) M.C.D.(28,42,60)
e) M.C.D.(12,91,125)
c) M.C.D.(90,120,220)
f) M.C.D.(7,320,750)
3. Calcula.
4. Un barco que parte de Nueva York hacia Cádiz sale cada 12 días. Otro barco que sale del mismo puerto hacia Lisboa sale cada 32 días. ¿Cada cuántos días coincide que salen ambos barcos del puerto? 7
S ECCIÓN 6
Ejemplos:
Operaciones con números enteros Sumas y restas de números enteros Para sumar números enteros hay que observar sus signos: • Si tienen el mismo signo, se suman sus valores, sin tener en cuenta su signo (valor absoluto) y al resultado se le añade el signo de los sumandos. • Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos:
7 · 2 = 14
(– 5) · 7 = – 35
3 · (– 5) = – 15
(– 2) · (– 6) = + 12
Para dividir números enteros: • Se dividen los números sin tener en cuenta su signo (valor absoluto). • Al resultado se le añade el signo + si los dos números tienen el mismo signo, y el signo – si tienen signos distintos. Ejemplos: 8 : 2 = 4
15 : (– 5) = – 3
(– 14) : 7 = – 2
(– 6) : (– 2) = + 3
Operaciones combinadas con números enteros: orden de operación • En primer lugar paréntesis y corchetes.
7 + 2 = 9
–5+3=–3
3 – 5 = – 2
– 2 – 6 = – 8
• En segundo lugar multiplicaciones y divisiones. • En tercer y último lugar sumas y restas.
Multiplicación y división de números enteros • Se multiplica el valor de los números sin tener en cuenta su signo (valor absoluto). • Al resultado se le añade el signo + si los dos tienen el mismo signo, y el signo – si tienen signos distintos.
Recuerda que en caso de tener operaciones de la misma prioridad debemos proceder de izquierda a derecha.
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3. Calcula: a) 15-(12-8)
d) 2-(1-9)
b) 12-(20-7)
e) 14-(12-20)
c) 8-(-12-5)
f) 7-(-3-5)
a) (4-5)-(3-2)
d) 11-(3-9)+5-1+7
b) -(2-5)-(4-2)
e) 12+2-(5-2)
c) 7-(3-6-2)
f) (5-12)+(3-2)-(-8-7)-8
4. Calcula:
5. Calcula:
Actividades
a) (2-9)-[5+(8-12)-7]
1. Calcula: a) -3+10-1
d) -2-6-12
b) 13-[15-(16-4)]-5-3
b) +2-3-8
e) 12-8-4
c) [12-(3-7)-(2-(-9))+12]-4
c) 6-4-5
f) 7+9-15
d) [10+3-(3-2)+8-(6-[(2-3)+9])]
2. Calcula: a) (-4)+(-7)-(-8)
6. Calcula:
d) (+7)-(-2)+5
a) (3-11)-[7+(9-2)-5]
b) (-6) - (-5) - (-3)
e) (-3)-(-2)+5
b) 13+[7-(12+3)]-9-10
c) (-3)+(-5)-(+3)
f) 12-(-3)+2
c) [1+(-13-7)+(1-(-3))+5]-2
d) [0+5-(0-2)+8+[(3-2)+3]] 9
7. Calcula: a) (-7)·(+11)
c) (+5)·(+7)
b) (-6)·(-8)
d) (-2)·(-3)
a) (-45) : (+3)
c) (+36) : (-12)
b) (+85) : (+7)
d) (-85) : (-5)
d) (+7) · [(-20) : (+10)]
b) (+400) : [(-40) : (-5)]
e) (+300) : (+30) · (-2)
c) (+7) · (-29) : (+10)
f) (+300) : [(+30) · (-2)]
8. Calcula:
9. Calcula: a) (+400) : (-40) : (-5)
12. Calcula: a) 13 - [8 - (6 - 3) - 4 · 3] : (-7)
10.Calcula: a) 6 · 4 - 5 · 6 - 2 · 3
b) 5 · (8 - 3) - 4 · (2 - 7) - 5 · (1 - 6)
b) 15 - 6 · 3 + 2 · 5 - 4 · 3
c) 12 (12 - 14) - 8 · (16 - 11) - 4 · (5 - 17)
c) 5 · (-4) + (-2) · 4 - 6 · (-5) - 3 · (-6)
13. Calcula: a) 18 - 40 : (5 + 4 - 1) - 36 : 12
d) 18 - 3 · 5 + 5 · (-4) - 3 · (-2)
b) 4 + 36 : 9 - 50 : [12 + (17 - 4)]
11. Calcula:
c) (+4) · (1 - 9 + 2) : (-3)
c) 48 : [5 · 3 - 2 · (6 - 10) - 17]
b) (2 + 3 - 6) · (-2)
d) (- 12 - 10) : (- 2 - 6 - 3)
d) 3 · 4 - 15 : [12 + 4 · (2 - 7) + 5]
a) (-5) · (8 - 13)
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S ECCIÓN 7
Potencias
Cubos perfectos Son los resultados que se obtienen al elevar al cubo los números naturales. Son los siguientes: 0, 1, 8, 27, 64, 125, ...
Aspectos generales Es un producto de factores iguales:
(2)5 = ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 • El número 2 es la base. • El número 5 es el exponente. Cuadrados perfectos
La interpretación geométrica del cubo de un número es el volumen de un cubo cuya arista mide el número dado. Potencias de base 10 Es la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente: (10)5 = 100.000
Son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, ...
La interpretación geométrica del cuadrado de un número es el área de un cuadrado cuyo lado mide el número dado
Notación científica La notación científica de un número es la expresión de dicho número como producto de un número decimal en el que la parte entera está formada por una sola cifra no nula y una potencia entera de 10. Se usa para expresar números muy grandes o muy pequeños. • Radio de un átomo de oxígeno 6,6 ⋅ 10−11m = 0,00000000011m • Un año luz 9,461 ⋅ 1012 km = 9.461.000.000.000km 11
Signos de las potencias El signo de la potencia depende del signo de la base y de que el exponente sea par o impar: 1. Si la base es positiva, la base es siempre positiva 2. Si la base es negativa, pueden pasar dos cosas:
Actividades 1. Calcula mentalmente el resultado de las siguientes potencias: a) (3)2
c) (3)3
b) (−3)2
d) (−3)3
2. Calcula mentalmente. •
Si el exponente es par, el resultado es positivo. •
Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
a) (0)5
c) (−1)8
b) (1)7
d) (−1)9
3. Calcula mentalmente. a) 102
c) (−10)3
b) 106
d) (−10)4
c) 54
b) (−5)3
d) (−5)4
4. Calcula. a) 53
5. Escribe en forma de potencia. a) 5 · 5 · 5 · 5
c) -7 · (-7)
b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7
d) -5 · (-5) · (-5)
6. Calcula. a) 252
c) 153
b) 0.52
d) 2.33 12
7. Escribe los cuadrados perfectos menores o iguales que 200 y que sean pares. 8. Escribe los cubos perfectos menores o iguales que 200 y que sean impares. 9. Escribe los siguientes números en notación científica:
Propiedades de las potencias • Producto de potencias de la misma base a m ⋅ a n = a m+n
Ejemplo:
53 ⋅ 54 = 57
• Cociente de potencias de la misma base
Ejemplo:
54 : 52 = 52
a) 230.000
• Potencia de potencia
(a m) = a m⋅n
b) 0,00053
10. Pasa a notación decimal los siguientes números expresados en notación científica. a) 5,6 ⋅ 10
n
−3
b) 7,95 ⋅ 10
11. Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo lado mide 27 m. Calcula el precio de venta sabiendo que el metro cuadrado vale 30 €.
Ejemplo:
3 12 (3 ) = 3 4
• Potencia de un producto
3
a m : a n = a m−n
Ejemplo:
m m (a ⋅ b) = a ⋅ b m
3 3 (5 ⋅ 7) = 5 ⋅ 7 3
• Potencia de un cociente (a : b) = a m : b m m
Ejemplo:
3 3 (5 : 7) = 5 : 7 3
Actividades 1. Calcula mentalmente: a) 70
c) (−6)1
b) 91
d) (−8)0
2. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias 12. En un bloque de 4 plantas hay 4 viviendas por planta, cada vivienda tiene 4 habitaciones con 4 ventanas cada una. ¿Cuántas ventanas tiene el edificio?
a) 35 ⋅ 34
c) (34)2
b) 78 : 75
d) 65 ⋅ 64 ⋅ 62 13
3. En los siguientes apartados aplica la potencia de un producto o de un cociente: a) (2 ⋅ 5)3
expresiones con uno de los signos = y ≠. a) 43 ? ⋅ 4 ⋅ 4
b) (7 : 3)4
b) (−7)6 ? − 76
c) (3 ⋅ 7 ⋅ 13)5
c) (7 − 5)2 ? − 72 − 52
7
d) (2 : 11)
4. Aplicando la potencia de un producto o de un cociente, escribe una sola potencia: a) 83 ⋅ 73 b) 54 : 34 5
6. Copia y completa las siguientes
5
5
c) 3 ⋅ 2 ⋅ 5 6
6
d) 11 : 13
5. Copia y completa en tu cuaderno las siguientes expresiones sustituyendo el símbolo de interrogación con uno de los signos = y ≠. 3
a) 5 ?5 ⋅ 3 b) (−5)3 ? − 53 c) (2 + 3)2 ?22 + 3 d) (4 + 5)2 ?92
d) (9 − 3)3 ? − 62 7. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias.
9. Calcula.
a) x 3 ⋅ x 4
a) (−2)4 ⋅ (−2)4
b) x 6 : x 2
b) (+2)3 ⋅ (−2)3
c) (x 2)3
c) (−3)5 ⋅ (−3)3
d) x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 5
d) (−5)6 ⋅ (−5)3
8. Calcula.
10. Calcula.
a) (−2)7
a) (−2)3 + (−3)3 − (−4)3
b) (−3)5
b) (−5)2 ⋅ (−2)2 + (+3)2 ⋅ (−3)
c) (−5)5
c) (−2)2 ⋅ [(−5)2 − (+4)2]
d) (−10)3
d) (−6)3 : (−3)3 + (−8)2 : (−4)2
e) (−1)16 f) (−1)17 14
S ECCIÓN 8
Las raíces pueden tener un índice diferente a 2.
Radicales
Ejemplos:
Raíz cuadrada de un número entero La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado. 16 = 4 ↔ 42 = 16 a = b ↔ b2 = a Podemos entonces entender, que un número positivo tiene dos raíces cuadradas: 64 = 8 ya que 82 = 64, pero también ya que (−8)2 = 64 Los números negativos no tienen raíz cuadrada. ∃/ −64 (no esxiste)
x 2 = − 9 es imposible
Radicales con índices distintos a 2. Las raíces que hemos visto son raíces cuadradas, y tienen como índice 2, aunque no se escriba. 64 =
2
64
3
+8 = + 2 ↔ (+2)3 = + 8
3
−8 = − 2 ↔ (−2)3 = − 8
4
+81 = + 3 ↔ (+3)4 = + 81 4
∃/ −81 Actividades 1. Calcula si existen: a)
(+1)
e)
(+100)
i)
(+169)
b)
(−1)
f)
(+144)
j)
(+1000)
c)
(+64)
g)
(+400)
k)
(+484)
d)
(−100)
h)
(−169)
l)
(+10000)
−32
k)
2. Calcula si existen: a)
3
27
f)
b)
3
−27
g)
6
64
l)
c)
4
16
h)
6
−64
m)
8
−1
d)
4
−16
i)
7
+1
n)
9
−1
e)
5
32
j)
7
−1
ñ)
10
−1
5
+1
7
+1
8
15
S ECCIÓN 9
Refuerzo y ampliación
4. De los siguientes números: 3, 7, 8, 12, 15. a) ¿Cuáles son divisores de 21? b) ¿Cuáles son divisores de 24? c) ¿Cuáles son divisores de 32? d) ¿Cuáles son divisores de 105? 5. Calcula todos los múltiplos de 12 menores de 100.
Actividades de refuerzo 1. Completa rellenando con la palabra «múltiplo» o «divisor»: a) 4 es __________ de 28. b) 15 es __________ de 3. c) 5 es __________ de 15. d) 32 es _________ de 4. 2. Calcula: a) Cuatro múltiplos de 7. b) Cuatro múltiplos de 12. c) Cuatro múltiplos de 25. d) Cuatro múltiplos de 4. 3. De los siguientes números:
72, 108, 209, 585, 770.
6. Encuentra un número que sea múltiplo de: a) 3 y 4. b) 7 y 9. c) 2, 5 y 7. d) 5, 8, 11. 7. Encuentra un número que sea múltiplo de: a) 3 y 4. b) 7 y 9. c) 2, 5 y 7. d) 5, 8 y 11. 8. Encuentra un número que tenga como divisores a 2, 3, 6 y 12. 9. Escribe todos los divisores de:
a) ¿Cuáles son múltiplos de 9?
a) 15
b) ¿Cuáles son múltiplos de 2?
b) 18
c) ¿Cuáles son múltiplos de 5?
c) 25
d) ¿Cuáles son múltiplos de 7?
16
14.Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes números: Actividades de ampliación 10.Completa las siguientes expresiones con «es divisor» o «no es divisor»:
a) 10
c) 18
b) 15
d) 24
15. Calcula el m.c.m. de:
a) 18 __________ de 54
a) 17, 40 y 60
c) 200, 400 y 500
b) 30 __________ de 210
b) 12, 18 y 30
d) 120, 60 y 100
c) 45 __________ de 90 d) 80 __________ de 242 11. Completa las siguientes expresiones con «es múltiplo» o «no es múltiplo»:
16.Una fábrica de coches envía un camión de coches a Sevilla cada 24 días y a Málaga cada 36 días. Si un determinado día coinciden los dos camiones, ¿cada cuántos días tardarán en volver a coincidir?
a) 60 __________ de 12 b) 135 __________ de 45 c) 200 __________ de 49 d) 300 __________ de 60 12. Escribe todos los divisores de: a) 24
c) 45
b) 40
d) 70
13. Encuentra todos los múltiplos de 24, comprendidos entre 240, 384.
17. Calcula la descomposición factorial de: a) 252
c) 600
b) 450
d) 1512
18.De los siguientes números: 30, 63, 75, 420, 35, 33, 840 señala los que son divisibles: a) Por 2 y por 3 b) Por 2 y por 5 c) Por 3 y por 5 17
19.Escribe un número que sea divisible por 2 y por 3. 20.Halla el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 240 y 1100
c) 300 y 1200
b) 675 y 792
d) 1260 y 1350
21. Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de: a) 8, 12 y 20
c) 60, 80 y 120
b) 32, 54 y 90
d) 98, 392 y 441
22. Leemos un libro de 12 en 12 páginas, y sobra 1 página; si lo leemos de 15 en 15, también sobra 1 página. Calcula el menor número de páginas que puede tener dicho libro.
25. Reemplaza la letra A por un dígito para que el número 2A8 sea divisible por 3. Encuentra todas las soluciones posibles. 26.Tenemos tres rollos de tela de 22 m, 32 m y 44 m, para hacer vestidos. Queremos cortarlos en trozos iguales que tengan el mismo número de metros cuadrados. ¿Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar? 27. Busca el valor de la letra B para que el número B6 sea divisible por 2. Busca todas las soluciones. 28.Halla el valor de la letra C para que el número 75C sea divisible: a) Por 2 y por 3 b) Por 3 y por 5 c) Por 2, 3 y 5 29.Un cometa aparecen el la Tierra cada 160 años, y otro cada 210 años. Si aparecieron juntos en 2008, ¿cada cuánto tiempo volverán a encontrarse?
23. Si un número es múltiplo de 15, ¿también lo es de 5? Intenta encontrar una regla general. 24.Si un número divide a 24, ¿también dividirá a 12? Intenta encontrar una regla general.
30.¿Cuánto pueden valer las letras A y B para que el número A3B sea divisible entre 2? 31. Busca todos los posibles valores de A para que el número 2A sea múltiplo de: a) 2 y 3 b) 2 y 5 c) 3 y 5 18
10. Entre los números 24, 30, 65, 72, 81, señala:
S ECCIÓN 10
Repaso 1. Escribe cinco múltiplos de 2, de 5 de 3 y de 6.
c) 12, 24, 36, 48
b) 8, 16, 24, 32
d) 31, 62, 93, 124
3. De los siguientes números, indica cuáles son múltiplos de 12: 72, 324, 482, 948, 1060. 4. Calcula todos los múltiplos de 25 comprendidos entre 150 y 375. 5. ¿Es 1024 divisible por 8?¿Y por 15?¿Y por 32? 6. Encuentra un número que sea múltiplo de 2, 3 y 5. 7. Escribe un número que solo tenga dos divisores. 8. Escribe todos los divisores de:
a) 12
c) 35
b) 20
d) 40
9. Señala los números primos y los compuestos de la siguiente lista: 7, 12, 13, 25, 31, 43.
c) Los divisibles por 5
b) Los divisibles por 3
d) Los divisibles por 6
11. Calcula qué cifra debe ser la letra x en el número 35x para que dicho número sea divisible:
2. Añade tres términos a cada una de las siguientes series: a) 4, 8, 12, 16
a) Los divisibles por 2
a) Por 2
c) Por 3
b) Por 2 y por 5
d) Por 6
12. Descompón mentalmente en factores primos los siguientes números: 4, 6, 9, 12 y 15. 13. Descompón en factores primos: 180, 200, 475, 540 y 625. 14. Calcula mentalmente el máximo común divisor de los siguientes números:
a) 4 y 6
c) 4 y 7
b) 3 y 6
d) 15 y 21
15. Halla mentalmente: a) M.C.D.(12, 15)
c) M.C.D.(10, 15)
b) M.C.D.(20, 30
d) M.C.D.(4, 21)
16. Calcula mentalmente: a) M.C.D.(7, 12)
c) M.C.D.(4, 16)
b) M.C.D.(14, 21)
d) M.C.D.(9, 12) 19
17. Halla:
22. Halla:
a) M.C.D.(250, 60)
c) M.C.D.(135, 225)
a) m.c.m.(64, 80)
c) m.c.m.(135, 225)
b) M.C.D.(75, 105)
d) M.C.D.(200, 250)
b) m.c.m.(140, 220)
d) m.c.m.(200, 250)
e) m.c.m.(3, 8, 18)
b) m.c.m.(2, 5, 10)
f) m.c.m.(8, 12, 15)
c) m.c.m.(5, 15, 20)
g) m.c.m.(2, 6, 8)
d) m.c.m.(4, 12, 25)
h) m.c.m.(4, 6, 10)
23. Calcula.
18. Calcula: a) M.C.D.(4, 6, 8)
b) M.C.D.(20, 10, 4)
c) M.C.D.(20, 35, 45) d) M.C.D.(98, 126, 140)
19. En una granja tienen 264 gallinas y 450 pollos. Se han de transportar en jaulas, sin mezclarlos, lo más grandes posibles de modo que en todas haya el mismo número de animales. ¿Cuántos animales irán en cada jaula?
20.Calcula mentalmente el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a) m.c.m.(2, 3, 5)
24.Patricia lleva el papel al contenedor del barrio cada 12 días, y Víctor, cada 15. Si un determinado día coinciden, ¿cada cuántos días volverán a coincidir?
25. Halla todos los números primos entre 20 y 40.
a) 6 y 8
c) 3 y 5
26.Calcula el máximo común divisor de 360 y 252.
b) 6 y 9
d) 3 y 6
27. Calcula el mínimo común múltiplo de 270 y 180. 28.En un punto limpio se recoge papel cada 24 días y vidrio cada 36 días. Si un determinado día coinciden los dos camiones en la recogida, ¿cada cuántos días coincidirán?
21. Calcula mentalmente: a) m.c.m.(20, 40)
c) m.c.m.(4, 9)
b) m.c.m.(6, 15)
d) m.c.m.(14, 21)
20
29.Para organizar una fiesta se compra un bidón de 20 litros de refresco de naranja y otro de 15 litros de refresco de limón. Si se desea llevar el refresco en garrafas iguales lo más grandes posible y sin mezclar, ¿cuál debe ser la capacidad de las garrafas?, ¿cuántas garrafas se llenan de refresco de limón?
32. En un taller tienen que hacer piezas de metal con forma de rectángulo de 12 cm² de superficie. El largo y el ancho deben ser unidades enteras. ¿Cuántas piezas distintas se pueden hacer?
30.En la terraza de un edificio de 40 m de longitud por 24 m de anchura se desea colocar placas solares cuadradas lo más grandes posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada placa?
34.El equipo de baloncesto del Casvi entrena una de cada 3 tardes y el de fútbol lo hace cada 2. Coincidiendo en el centro el martes. ¿Cuándo volverán a coincidir si no contamos sábados y domingos?
33. Sonia y Debora van a ver a su abuela un determinado día; a partir de ese día Sonia vuelve cada 18 días y Debora, cada 30. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse otra vez?
35. En una frutería tienen 360 kg de manzanas y 455 kg de peras, y las quieren distribuir en bolsas de un número entero de kilos e igual peso. ¿Con cuántos kilos, como máximo, pueden llenar cada bolsa? 31. Dos barcos salen de un puerto un determinado día. El primero vuelve cada 24 días, y el segundo, cada 36 días. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?
36.¿Se podría dividir tres varillas de 20 cm, 24 cm y 30 cm en trozos iguales de 4 cm de longitud sin que falte nada entre cada varilla?¿Cuál es la mayor longitud en la que podríamos dividir las varillas? 21
C APÍTULO 2
Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal
Cuando los hombres empezaron a contar usaban dedos, piedras, marcas en madera, nudos en una cuerda, etc. para pasar de un número al siguiente. El problema venía que, al aumentar la cantidad que queríamos contar, esas marquitas se hacían muy numerosas, por lo que, en distintas partes del mundo se llegó a una misma solución: al alcanzar un determinado número, se hace una marca distinta.
S ECCIÓN 1
Los números decimales El sistema decimal tiene su origen en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, que nos han servido de base para contar. Este sistema fue dado a conocer por Al-Khwarizmi, astrónomo, matemático y geógrafo nacido en Persia, trasladándolo desde India hasta Europa.
Clases de números decimales Los números decimales se organizan según la siguiente clasificación: Decimales exactos. Tienen un número determinado de decimales, por ejemplo 3,45 o 0,5178 Decimales periódicos. Tienen infinitas cifras decimales (nunca se terminan) y pueden ser: • Periódicos puros. Todas las cifras decimales se repiten, por ejemplo 3,4545454545… • Periódicos mixtos. Tienen unas cifras decimales al principio que no se repiten, seguidas de infinitas cifras decimales que sí se repiten, por ejemplo 1,25666666…
Órdenes de unidades. Equivalencias ¿Podemos dividir un metro en 10 partes iguales? ¿y en 100? ¿y en 1000? ¿y en todas las que queramos? La respuesta es sí:
Irracionales. Son números decimales que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente, por ejemplo cualquier raíz cuadrada no exacta o el número π. 23
Orden en el conjunto de los números decimales Los números enteros los sabemos ordenar, ¿verdad? Pero, ¿podríamos ordenar también los números decimales? Es tan sencillo como ordenar primero la parte entera, es decir, es menor aquel número que tenga la parte entera menor:
Representación de números decimales
2,25 < 4,75 pues 2 < 4 Pero si las partes enteras coinciden, tenemos que ir mirando decimal a decimal empezando desde la coma y cuando encontremos un número menor, ése será el número menor: 5,6775 < 5,6777 pues todos los números son iguales hasta el último, donde 5 < 7 Los decimales en la recta numérica. Representación Sabemos representar números enteros en una recta. Ahora, cada trozo de esa recta la podemos dividir en 10 partes iguales, que serán las décimas, cada una de estas partes, en otras 10 iguales, que serán las centésimas, y así sucesivamente. Veamos:
24
Interpolación de un decimal entre dos decimales dados ¿Existen números entre 2,5 y 2,6? Sí, muchos, por ejemplo: 2,51; 2,52; 2,53; 2,54; 2,55; 2,56; 2,57; 2,58 y 2,59. Pero entre estos decimales podemos encontrar otros muchos, es decir, entre 2,51 y 2,52 podemos encontrar 2,511; 2,512; 2,513; 2,514… Entonces, siempre, entre dos números decimales, podemos encontrar otro. Aproximación de un decimal a un determinado orden de unidades. Error cometido A veces, cuando calculamos con números decimales obtenemos demasiados, por lo que el manejo puede resultar engorroso, de forma que podemos utilizar un valor aproximado, es decir, una aproximación. que queremos calcular el precio de 1 kg de manzanas si, al comprar 3kg nos han costado 1,99€. Para hallar el precio de 1 kg sólo debemos realizar la división 1,99:3 = 0,66333333…. Que como recordamos es periódico mixto. Pero, ¿0,6633333… es una cantidad que podamos pagar por 1kg de manzanas? La respuesta es no, de forma que decimos que 1kg de manzanas cuesta 0,66€.
Tomando las aproximaciones del ejemplo anterior, los errores son: a) Error = 2,6 – 2,5715 = 0,0285 b) Error = 2,5715 – 2,57 = 0,0015 c) Error = 2,572 – 2,5715 = 0,005 Este error se suele decir que es menor que cierta cantidad, llamada cota, y se consigue copiando todos los ceros del error hasta encontrar el primer número, que sustituiremos por 5. Pero si el primer número es un 5, cambiamos el último cero por un 5. Veamos un ejemplo.
Tomando los errores del ejemplo anterior, las cotas de error serían:
...a las décimas
...a las milésimas
Ejemplo:
Ejemplo.
Ejemplo: redondeo de 2,5715 a...
...a las centésimas
El problema es que, cuando aproximamos estamos cometiendo un pequeño error, no porque lo estemos haciendo mal, sino debido a que damos una cantidad que en realidad no es correcta. Este error se llama error de aproximación y se calcula restando la cifra original menos la redondeada o viceversa, de forma que quede positivo, por lo que restaremos siempre la mayor menos la menor.
toca en el orden al que quieras redondear
a) Error = 0,0285 < 0,05 b) Error = 0,0015 < 0,005 c) Error = 0,005 < 0,05 25
Actividades 1. Escribe cómo se leen las siguientes cantidades:
4. Expresa los siguientes números en décimas:
8. Representa en una recta los siguientes números.
a) 256 centésimas.
a) 1,5
b) 12 milésimas.
b) -0,5
b) 12,056
c) 2 unidades.
c) -3,1
c) c153,25
d) 25 centésimas.
d) 0,5
a) 4,57
d) 0,00413 e) 0,27 f) 1,005 2. Escribe con cifras: a) Cuatro unidades. b) Cincuenta y siete centésimas. c) Quince diezmilésimas. d) Dos unidades y cuatro milésimas. 3. Expresa los siguientes números en centésimas: a) 256 décimas. b) 12 milésimas. c) 2 unidades. d) 25 décimas.
5. Expresa los siguientes números en decenas: a) 256 décimas.
9. Ordena de menor a mayor. a) 4,5; 4,55; 4,05 b) 1; 1,3; 1,2; 2,1; 0,8; 1,25
b) 12000 milésimas.
c) 7,89; 8,9; 7,9; 7,8; 7,1
c) 2 unidades.
10. Redondea a la cifra que se indica.
d) 25000 décimas. 6. Escribe dos ejemplos de:
a) 6,288 a las centésimas
a) Decimal exacto.
b) 5,78 a las unidades
b) Decimal periódico puro.
c) 6,78123 a las milésimas
c) Decimal periódico mixto.
d) 5,55 a las décimas
d) Decimal no exacto y no periódico.
e) 0,0045 a las milésimas
7. Representa en una recta los siguientes números. a) 5,4
c) 1,2
b) 8
d) 3,8
f) f0,012 a las décimas 11. Calcula el error y la cota de error del las aproximaciones del ejercicio anter
26
S ECCIÓN 2
Operaciones con números decimales Suma, resta de números decimales Para sumar y restar números decimales, se colocan uno encima de otro haciendo coincidir la coma.
Multiplicación de números decimales Para multiplicar números decimales, se multiplican sin tener en cuenta la coma (como si fueran números enteros). Después se cuentan cuántos decimales tienen entre los dos factores y es este número la cantidad de decimales que tendrá el resultado de la multiplicación.
1 de 14 27
División de números decimales Divisor entero. Si tenemos un divisor entero, al bajar la primera cifra decimal ponemos la coma en el cociente. Si queremos seguir sacando decimales y no tenemos más cifras, podemos seguir realizando la división añadiendo ceros. Divisor decimal. Se elimina la coma del divisor y desplaza la coma del dividendo tantos lugares como decimales hayamos eliminado, añadiendo ceros si es preciso en el dividendo.
Raíz cuadrada de un número decimal La mayoría de las raíces cuadradas no tienen un resultado exacto, de forma que nos veremos obligados a sacar varias cifras decimales. Para obtener cifras decimales al hacer una raíz cuadrada, cuando ya no nos quedan más números, ponemos una coma en el resultado y seguimos bajando ceros de dos en dos, como se muestra en el siguiente ejemplo. Si lo que tenemos es un número decimal, recordamos que debemos hacer grupos de dos, pero en este caso, vamos a comenzar desde la coma, haciendo dichos grupos hacia la izquierda y hacia la derecha y operando como hemos descrito anteriormente. Actividades 1. Suma:
Resolución de expresiones con operaciones combinadas Las operaciones combinadas con números decimales son igual que las operaciones con números enteros, siguen la misma jerarquía de operaciones: primero paréntesis y corchetes, de dentro hacia fuera, luego multiplicaciones y divisiones y, para finalizar, sumas y restas.
a) 0,83+1,23
d) 35,92+32,64
b) 2,142 + 0,023
e) 1,25+5,23+7,256
c) 34,13 + 12,753
f) 3,78+5,123+8,451
2. Resta. a) 5,62-3,47
c) 6,73-0,125
b) 3,57-1,34
d) 5,89-2,96 28
3. Opera. a) (3,54-1,35)+3,12
c) 8,4 : 2,7 d) 23,6 : 4 e) 45,25 : 5
b) 56,79 – (12,45+34,12) c) (5,12-2,65)-(3,83-2,46) d) (5,19+8,12)-(2,46+7,38) 4. Multiplica. a) 2,45 · 3,65
f) 2 : 1,2 g) 46 : 2,55 7. Calcula las siguientes raíces. a)
0,1225
b)
0,0144
c)
0,36
d)
2,89
b) 0,25 · 5,2 c) 1,23 · 6 d) 7,8 · 2,56 5. Opera y resuelve. a) 2,8+3,5 · 4,1 b) 12,45 – 3 · 2,65 c) 2,56 – 0,2 · 10,5 d) 5,6-(3,45 – 5,43 · 0,5 ) e) 2,5+1,2·[2,45 –(3,45-1,7)] 6. Divide. a) 7 : 4
8. Calcula, sacando dos cifras decimales si el resultado no es exacto, las siguientes raíces. a)
2,25
b)
20
c)
36,5
d)
42,25
b) 2 : 5 29
S ECCIÓN 3
El sistema sexagesimal En el Antiguo Egipto, Mesopotamia y Persia se ideó una nueva forma de contar, señalando con el dedo pulgar de la mano derecha cada una de las 3 falanges de los restantes dedos de la misma mano, empezando por el meñique. De esta forma sólo se puede contar hasta 12, por lo que para contar números mayores, cada vez que se llegaba a 12 se levantaba un dedo de la mano izquierda, así hasta llegar a 60. En Babilonia se dividió la circunferencia en 360 arcos iguales, llamados grados, que a su vez se subdividirían en 60 partes iguales, llamados minutos y cada uno de éstos, en otras 60 partes, segundos.
La medida del tiempo y de la amplitud angular Hoy en día, el sistema sexagesimal lo utilizamos para medir el tiempo y la amplitud angular. Al contrario que en el sistema decimal, que las unidades menores se conseguían dividiendo por 10 a las mayores, las unidades del sistema sexagesimal se dividen en 60 unidades de orden inferior. Esto es:
TIEMPO
AMPLITUD ANGULAR
1h = 60 min
1⁰ = 60’
1 min = 60 s
1’ = 60 “
1 h = 60 min = 3600 s
1⁰ = 60’ = 3600”
Una de las peculiaridades es que el tiempo se mide en horas, minutos y segundos, mientras que la amplitud angular en grados, minutos y segundos. A pesar de esto, la forma de operar será la misma en ambos casos.
30
Expresiones en forma compleja e incompleja Forma compleja. Decimos que una medida (tiempo o amplitud angular) está expresada de forma compleja cuando se utilizan simultáneamente varias unidades. Forma incompleja. Decimos que una medida (tiempo o amplitud angular) está expresada de forma incompleja cuando se utiliza una única unidad.
Paso de compleja a incompleja El proceso para pasar un nº complejo a incomplejo es el siguiente: a)
Se pasan los grados a minutos multiplicando por 60.
b)
Al resultado de la multiplicación se le suman los minutos. Ahora sólo tenemos minutos y segundos.
c)
La suma obtenida se multiplica por 60, para obtener segundos.
d)
El resultado de esta multiplicación se suma con los segundos que tenía el nº inicial.
Ejemplo:
Forma Compleja
Forma Incompleja
También se puede realizar el cálculo pasando de grados directamente a segundos multiplicando por 3600. Paso de incomplejo a complejo Transformación de expresiones complejas en incomplejas y viceversa La información sobre el tiempo y las medidas angulares las encontraremos, frecuentemente, en forma compleja. Pero, en ocasiones, podemos necesitar pasar esta información a una única unidad para operar y, después, volver a pasarlo a forma compleja, de forma que es muy necesario aprender a transformas las expresiones de compleja a incompleja y viceversa. 31
Actividades 1. Expresa en horas: a) 45 min 27 s b) 5 h 30 min c) 23 min 27 s d) 3 h 45 min 8 s 2. Expresa en segundos: a) 3 ⁰ 25’ 37” b) 45’ 5” c) 21⁰ d) 4⁰ 57” 3. Expresa en grados, minutos y segundos: a) 5,127⁰ b) 45,67’ c) 34763” d) 66724” 4. Expresa en horas, minutos y segundos:
c) 512, 48 min d) 2273 s 5. Pasa a segundos: a) 53 0 45’ 13’’ b) 810 37’ c) 280 11’’ 6. Pasa a forma compleja: a) 32220’’ b) 59233’’ c) 9123’’ 7. Transforma en complejo: a) 62859’’ b) 37194’’ c) 53816’’ 8. Transforma en incomplejo de segundos: a) 140 59’ 26’’ b) 860 39’ 52’’ c) 840 47’ 36’’
a) 6122 s b) 5,67 h 32
S ECCIÓN 4
Sistema sexagesimal: operaciones Suma Para sumar dos cantidades en forma compleja, se sumarán los segundos por un lado, los minutos por otro lado y las horas o grados por otro. Si al sumar, los segundos o los minutos sobrepasan los 59, habrá que transformar esa unidad en una unidad superior.
Resta Para restar dos cantidades en forma compleja, debemos tener siempre más horas o grados, minutos y segundos en el minuendo que en el sustraendo. Si no fuera así, si tuviéramos menos minutos, quitaríamos 1h y sumaríamos 60min. Si sucediera con los segundos, procederíamos de igual forma.
Como vemos, tenemos menos minutos en el minuendo que en el sustraendo, por lo que quitamos 1h al sustraendo y añadimos 60 min:
33
Producto de una cantidad compleja por un número Para multiplicar una cantidad en forma compleja por un número, multiplicamos los segundos, los minutos y las horas o grados por ese número y, el resultado, si tenemos más de 59 segundos o minutos, lo transformamos igual que hacíamos con las sumas.
Cociente de una cantidad compleja por un número Dividir es un proceso un poco más complicado. Primero empezamos dividiendo las horas o los grados por el número, y en el cociente se pondrán esas mismas unidades. Con la cantidad que nos quede de resto, se multiplicará por 60 y se sumará a los minutos. El procedimiento se repite ahora con los minutos hasta llegar así a los segundos. Los segundos que sobren serán el resto de la división.
34
Actividades 1. Realiza las siguientes sumas:
d) (5⁰ 17”) : 3 5. Resuelve las siguientes sumas:
a) 5 h 42 min 13 s + 1 h 17 min 5 s
a) 160 40’ 10’’ + 210 14’ 31’’
b) 6 h 57 min 45 s + 12 min 20 s
b) 2040 19’ 43’’ + 810 59’ 40’’
c) 2⁰ 53’ 28” + 5⁰ 21’ 14”
c) 95º 16” + 36º 59’ 50”
d) 45’ 39” + 17’ 41”
d) 30º 20’ 55” + 50º 50’ 50”
2. Realiza las siguientes restas. a) 5 h 42 min 13 s – 1 h 50 min 5 s b) 7h 12 min 1 s – 6 h 50 min 25 s c) 5 ⁰ 45’ 51 “ - 2⁰ 27’ 31” d) 3 ⁰ 1’ 14” - 2⁰ 10’ 34” 3. Realiza las siguientes multiplicaciones.
6. Resuelve las siguientes restas: a) 1240 55’ 41’’ – 830 58’ 57’’ b) 2950 16’ 33’’ – 1870 34’ 48’’ c) 360º 20’ 10” - 20º 40’ 50” d) 90º 10’ 10” - 35º 36’ 40” 7. Calcula el complementario de los siguientes ángulos:
a) (3 h 41 min 52 s) · 4
a) 36º 20’ 57’’
b) (21 min 14 s) · 6
b) 800 16’
c) (4⁰ 35”) · 3
c) 34º 50”
d) (2’ 31”) · 7
d) 89º 59”
4. Realiza las siguientes divisiones. a) (4 h 32 min 15 s) : 2 b) (3 h 10 min 54 s) : 3 c) (7⁰ 45’ 23”) : 5
8. Calcula el suplementario de los siguientes ángulos: a) 1240 55’ 41’’ b) 870 48’’ c) 35’ 16” 35
S ECCIÓN 5
Resolución de problemas Problemas de números decimales 1. ¿Cuánto cuestan 3kg de peras a 1,25€ el kg? 2. Si compro 2 kg 800g de manzanas a 1,78€/kg, ¿cuánto me costará?
7. Hemos adquirido una parcela de 112,45 m de largo por 74,30 m de ancho por 400 000€. La hemos urbanizado por 72 391,90 € y la hemos vendido por 65,25€ el metro cuadrado. ¿Qué beneficio hemos obtenido? Problemas del sistema sexagesimal 1. Un autobús tarda en dar una vuelta a su recorrido 1 h 5 min, ¿cuánto tardará en dar 5 vueltas? ¿Cuántas vueltas dará en 6h 30 min?
3. ¿Cuánto pagaré por 2,135 kg de lubina a 8,25 €/kg? 4. Hemos gastado 7,11 € en la compra de lomo que se vende a 23,50€/kg, ¿cuánto pesa el trozo de lomo que hemos comprado? 5. Un melón de 1kg 250g ha costado 1,50 €. ¿A cómo sale el kg? 6. Hemos hecho la siguiente lista de la compra: • 2 barras de pan a 0,30€/barra • 1,250kg de jamón a 24,50€/kg • 2 botellas de refresco a 1,45 € /botella •
Hemos pagado con un billete de 50€, ¿cuánto nos devolverán?
2. Si una película en la televisión, tiene 3 cortes publicitarios de: 12 min 32 s, 13 min 53 s y 11 min 21 s. ¿Cuánto tiempo hay de publicidad? 3. Si la emisión de la película del ejercicio anterior, en total, es de 3 h 23 min 50 s, ¿cuánto dura la película? 4. Un ciclista da 20 vueltas a un circuito cerrado en 3h 53 min 10 s. ¿Cuánto ha tardado en dar cada vuelta?
36
S ECCIÓN 6
3. Redondea a la cifra que se indica.
Refuerzo y ampliación
a) 1,1553 a las centésimas
d) 0,65 a las décimas
b) 6,50 a las unidades
e) 0,0543 a las milésimas
c) 6,781 a las décimas
f) 5,4993 a las unidades
4. Calcula el error cometido y la cota de error en las aproximaciones del ejercicio anterior. 5. Realiza las siguientes operaciones. Actividades de refuerzo 1. Representa en una recta los siguientes números.
a) 0,5 + 3,4 · 1,2
f) 8,2 : 2
b) 5,1-0,25 · 12,4
g) 4 : 3
a) 1
e) -0,2
c) 9,7 · 1,2 – 2,3 · 5,1
h) 45,1 : 0,12
b) -1
f) 0
d) 7,8 : 1,2
i) (2,3 · 4,5 - 10) · 1,7
c) 0,3
g) -0,1
e) 1,5 – 2,1 · (2,3 – 4,5 · 0,25)
d) 0,5
h) 0,7
6. Pasa a forma compleja. a) 13512 s
e) 4,273 h
a) 0,1; -0,1; 0; 1; 0,2; 0,3; -0,4; 0,25
b) 4622“
f) 34252‘
b) 2,3; 2,1; 2,4; 2,33; 2,32; 2,35; 2,335
c) 23,643⁰
g) 523 min
c) -1; -1,2; -0,8; -1,1; -1,05; -1,15; -0,5
d) 6,35 min
h) 5691”
b) 23 min
2. Ordena de menor a mayor.
d) 4,45; 4,44; 4,46; 4,445; 4,3; 4,6
7. Pasa a a horas. a) 5 h 23 min 1 s
37
12.Calcula:
8. Pasa a grados. a) 5⁰ 12‘
b) 53 ‘ 36”
b) 12º 20’ 30” * 7 =
9. Pasa a segundos a) 1 h 56 min 2 s
b) 4⁰ 12”
c) 27º 55” * 8 = d) 15’ 56’‘ * 12 =
10.Pasa a minutos a) 3h 45 s
a) 37’ 12’’ * 10 =
13.Divide:
b) 34’ 15”
11.Realiza las siguientes operaciones
a) 420 28’ 40’’ : 9 = b) 125º 30’ 39” : 8 =
a) 2 h 12 min 31 s + 1 h 21 min 15 s
c) 103º 45” : 7 =
b) 1 h 7 min 25 s + 12 min 25 s
d) 127’ 40” : 2 =
c) 5⁰ 3’ 18” + 2⁰ 45’ 14” d) 5’ 39” - 1’ 1”
14.Conocidos los siguientes ángulos α=35° 23’43’’ y β=40°53’25’’: a) Calcula la suma de los dos ángulos.
e) 3 h 56 min 13 s – 2 h 15 min f) 5 ⁰ 15’ 51 “ - 3⁰45’ 51” g) (1 h 12 min 23 s) ·3 h) (12’ 51”) · 9
b) Realiza α- β. c) Multiplica β por 5. d) Divide α entre 5.
i) (5 h 43 min 17 s) : 3
15. Dos ángulos suman 1750 47’’, si uno de ellos mide 1230 31’ 29’’, averigua la medida del otro.
j) (15⁰ 17” 25 s) : 5
16.Calcula el resultado de quitarle 240’’ a 10. 17. ¿Cuántos grados hay en 840’? 38
Actividades de ampliación 1. Hemos gastado 24,35 € en la pescadería, 12,45 € en la frutería y 18,95 € en la carnicería. Si hemos pagado con un billete de 50 € y con otro de 20 €, ¿cuánto dinero nos han devuelto?
4. Antonio estudia un sábado 1h 15 min por la mañana y 3 h 32 min 15 s por la tarde. ¿Cuánto tiempo ha estudiado ese fin de semana? ¿Cuánto tiempo ha estudiado más por la tarde que por la mañana? 5. Durante 5 días hemos tenido encendido un dispositivo que evalúa los fallos de un sistema informático. El dispositivo ha funcionado 6h 12 min 25 s cada día. ¿Cuánto tiempo ha estado en funcionamiento en total? 6. En una competición de atletismo, el campeón ha dado 5 vueltas a la pista en 24 min 30 s. Si ha llevado siempre el mismo ritmo, ¿cuánto ha tardado en dar cada vuelta?
2. Si la gasolina cuesta 1,414 € / litro y llenamos el depósito con 37,55 litros, ¿cuánto nos cobrarán? (Recuerda: hay que redondear a céntimos)
3. Para hacer una fiesta hemos comprado, entre 7 amigos, 10 latas de refresco a 0,55€ cada una; 3 botes de zumo a 0,65€ cada uno, 7 bolsas de patatas a 1,15€ € y 3 bolsas de pistachos a 0,85 €. ¿Cuánto hemos gastado? ¿Cuánto debemos pagar cada uno? 39
S ECCIÓN 7
4. Completa la siguiente tabla:
Repaso
Aproximación a las Números
décimas
centésimas
milésimas
1,256 4,56 6,4136
1. Ordena de menor a mayor. a) 5,59; 5,6; 5,55; 5,595; 5,65; 5,7
1,2637 8,345
b) 0,5; 0,55; 0,45; 0,455; 0,456; 0,4 c) 1,14; 1,13; 1,15; 1,135; 1,146; 1,149; 1,138; 1,147 2. Intercala un número decimal entre: a) 5 y 6
c) 1,25 y 1,3
b) 5,5 y 5,6
d) 6,12 y 6,121
3. Dibuja en una misma recta los siguientes números: a) 1
e) 2,5
b) 1,2
f) 4,8
c) 3,1
g) 4,3
d) 5
h) 0
5. Completa la siguiente tabla: VALOR REAL
APROXIMACIÓN
2,577
2,58
1,00561
1,006
5,48
5,5
COTA
6. Opera. a) 4,7 + 2,3 – 5,6 b) 2,34 -1,28 + 4,12 c) 1,23 + (5,12 – 3,42) – 2,45 d) 8,25 – (5,63+2,34) +3,25 – 1,67 40
7. Opera:
12. Pasa a forma compleja:
a) 4,5 · 3,12 + 1,23
c) 3,7 + 5,12·1,2 – 6,78
a) 2,56h
d) 23,25º
b) 2,34 – 0,12 · 4,56
d) 8,34 – 2,1·3,78
b) 3461,5min
e) 563246”
c) 12645'
f) 25749”
8. Realiza las siguientes divisiones clasificando el número que resulta como decimal exacto o periódico puro o mixto: a) 4 : 3
e) 45 : 2,2
b) 31 : 9
f) 5,7 : 2,3
c) 2,3 : 4
g) 0,24 : 0,5
d) 5,1 : 2
h) 0,12 : 0,034
9. Calcula las siguientes raíces: a) raíz de 5
d) raíz de 0,0625
b) raíz de 3
e) raíz de 0,09
c) raíz de 25,5
f) raíz de 0,0144
13. Calcula: a) 12h 45min 13s + 2h 23min 45s b) 6h 43s + 45min 34s c) (5º 42' 31”) - (2º 43' 3”) d) (2º 13' 2”) - (23' 25”) 14. Calcula. a) (12º 8') · 9
c) 62º : 5
b) (2h 52min 13s) · 3
d) 13h 45min : 12
15. ¿Cuánto cuestan 1,5kg de limones a 0,53€ el kg? 16. Si compro 1 kg 750g de kiwis a 2,9€/kg, ¿cuánto me costará?
10. Expresa en grados: a) 423'
c) 70437”
b) 1º 45'
d) 799’’
17. ¿Cuánto pagaré por 2,135 kg de lubina a 8,25 €/ kg?
11. Expresa en segundos: a) 54 min 23 s
c) 2h 23s
b) 1h 31min 7s
d) 2h 13min 41
18. Hemos comprado carne por 12,50€. Si el precio es de 16,75 €/kg, ¿cuánta carne he comprado?
21. Si la película del ejercicio anterior tiene 3 anuncios de 11 min 13 s, 13 min 24 s y 15 min 53 s, respectivamente, ¿cuánto dura la película? 22. Un camionero conduce 7 h 35 min cada día. Si para entregar un paquete conduce durante 3 días, ¿cuánto tiempo habrá conducido?
19. Hemos hecho la siguiente lista de la compra: • 0,250 kg de carne a 16,75€/kg • 0,450kg de pescado a 14,60€/kg • 2 botellas de vino a 14,50 € /botella • Hemos pagado con un billete de 50€, ¿cuánto nos devolverán? 20.Si una película en la televisión que empieza a las 15h 30 min 14 s y termina a las 18h 23 min 15 s, ¿cuánto dura la emisión?
23. Un maratoniano tarda 2 h 45 min 13 s en correr un maratón (42 km). ¿Cuánto tarda en recorrer 1 km? 24.Un arco de circunferencia mide 50º 13’ 25” y lo queremos dividir en 7 trozos iguales. ¿Cuánto medirá cada trozo?
42
C APÍTULO 3
Fracciones
S ECCIÓN 1
Comenzando Se cree que los egipcios fueron los primeros en usar las fracciones, pero sólo aquellas de la forma 1/n o las que pueden obtenerse como combinación de ellas. Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo.
temáticos de la época. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a los matemáticos de siglos posteriores a hacer buenos cálculos de algunas operaciones como las raíces cuadradas, fue la mejor aproximación matemática que se realizó hasta el Renacimiento. Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones, incluso dividían haciendo común denominador (cosa que sabemos hoy no es necesaria). Algunas veces se adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación de las fracciones. Los griegos mostraron sus grandes dotes en cuanto a geometría en algunas construcciones geométricas de segmentos cuyas longitudes representan fracciones.
Por su parte los babilonios desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionaria, que permitió establecer aproximaciones decimales muy sorprendentes para los conocimientos ma44
S ECCIÓN 2
Fracciones equivalentes Concepto de fracción Una fracción es el cociente indicado de dos números: 4 = 0,8 5 Fracciones equivalentes Al multiplicar numerador y denominador de una de ellas por el mismo valor, el resultado es otra fracción equivalente. Ambas expresan la misma cantidad de una unidad. 6 3 = = 0,75 8 4
Otra forma de resolver esta cuestión es hacer productos cruzados.
Hacer productos cruzados consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por denominador de la segunda fracción, y denominador de la primera por numerador de la segunda. Si los resultados son iguales, las fracciones serán equivalentes; de lo contrario, no lo serán. Ejemplos: 4 8 y son equivalentes mul9 18 tiplicando numerador y denominador por el mismo número (en este caso por 2), observamos que el resultado es la segunda fracción. Por tanto, son equivalentes.
•
Para comprobar si
•
Para comprobar si
6 9 y son equivalentes, proce4 6 demos a realizar los productos cruzados, es decir, numerador de la primera fracción por denominador de la segunda y denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. 6·6=36 y 4·9=36, por lo que ambas fracciones son equivalentes.
Hemos utilizado los dos métodos según nos resulte más conveniente. Pero, no olvides, que con ambos métodos obtenemos la misma respuesta: son fracciones equivalentes. 45
Ejemplo:
2 , bas5 ta con multiplicar numerador y denominador por el mismo valor; por tanto la solución será:
• Para encontrar fracciones equivalentes a 4 6 8 12 = = = 10 15 20 40
Actividades 1. Demuestra si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: a)
4 20 =
5 25
c)
3 5 = 4 7
b)
1 10
= 2 20
d)
32 16 = 50 25
Simplificación de fracciones. Fracción irreducible Para simplificar una fracción debemos dividir numerador y denominador por el mismo número, siempre que sea posible. Con cada simplificación hallamos fracciones equivalentes. Cuando no podamos simplificar más, la fracción obtenida es la FRACCIÓN IRREDUCIBLE.
Por tanto, una fracción es irreducible, cuando tanto su numerador como su denominador no admiten más divisores comunes que el 1; es decir, no se puede simplificar. Ejemplos:
8 es irreducible, ya que no admite 15 ningún tipo de simplificación más. No hay ningún número que sea divisor de sus términos simultáneamente y por tanto, no podemos simplificar más la fracción.
• Decimos que
•
2. Explica en voz alta el procedimiento que has seguido para realizar el ejercicio anterior. 3. Escribe cuatro fracciones equivalentes a las siguientes: 3 a)
7
c)
5 8
1 b)
9
d)
2 6
4. Calcula la fracción irreducible de cada una de las siguientes: a)
24
30
c)
40 36
b)
25
30
d)
120 168
6 es reducible, ya que sí admite 15 una simplificación más. Dividiendo numerador y 2 denominador entre llegaremos a , que es irre5 ducible. Decimos que
46
S ECCIÓN 3
Reducción a común denominador Comparación de fracciones
Para comprobar si una fracción es mayor (menor) que otra, debemos comparar ambas fracciones, teniendo en cuenta que podemos encontrar tres casos distintos: a) Que tengan igual denominador. La fracción menor será aquella que tenga menor el numerador. b) Que tengan igual el numerador. La fracción menor será la que tenga el denominador mayor. c) Que tengan distinto tanto el numerador como el denominador. Será necesario reducir las fracciones a común denominador. Por consiguiente, será menor aquella que tenga menor numerador de las resultantes. Además del método de reducción a común denominador, existen otros dos métodos para comparar fracciones: 1. Amplificar ambas fracciones. 2. Productos cruzados.
Cálculo del común denominador Reducir dos fracciones a común denominador es sustituirlas por otras equivalentes que tengan el mismo denominador. 1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, y lo llamamos m. 2. Dividimos cada denominador por m y multiplicamos numerador y denominador por ese número. Actividades 1. Compara las siguientes fracciones: a) b)
13 20 y
21 21
12 12 y
21 25
3 13 y 5 15
c)
d)
13 7 y 18 12
b)
3 5 2 5 2 , , , y 50 25 75 6 100
2. Ordena de menor a mayor. a)
11 7 11 9 5 , , , y
18 12 8 4 16
3. Tres carpinteros (Juan, Pepe y Paco) tienen un listón de madera cada uno, de la misma longitud. 3 11 8 Juan corta de su listón; Pepe, corta y Paco . 5 15 9 a) ¿Quién ha cortado más cantidad? b) ¿Cuál de ellos ha cortado la menor longitud? 47
S ECCIÓN 4
Operaciones con fracciones
Actividades 1. Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones y simplifica hasta hacerlas irreducibles: a)
7 9 1 + −
3 3 3
c)
4 9 2 + − 5 5 5
b)
7 5 2 + −
7 7 7
d)
5 9 7 + − 2 2 2
Suma y resta de fracciones Para sumar o restar fracciones reducimos a común denominador, y después sumamos o restamos los numeradores dejando el mismo denominador Ejemplo:
2. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica hasta hacer irreducibles las fracciones resultantes: a)
2 7 3 + −
5 10 6
d)
1 5 −5+ 9 2
b)
7 5 2 1 + + −
30 6 5 8
e)
13 5 2 + − +7 16 9 10
c)
−1 5 7 1 + − +
12 6 9 4
f)
11 2 1 +1− + 30 15 8
Sumas y restas con paréntesis Si delante del paréntesis hay un signo positivo, las fracciones de dentro del paréntesis no cambian de signo, pero, si delante del paréntesis hay un signo negativo, el signo de todas las fracciones que están en su interior cambiará. Seguimos las mismas reglas que para los números enteros. Fracciones opuestas Decimos que una fracción es opuesta de otra cuando al sumarlas nos da como resultado cero. Ejemplo:
2 2 + − =0 5 ( 5)
3. ¿Qué fracción hay que sumarle a sultado dé
11 ? 12
4 para que el re7
4. Realiza las siguientes operaciones con paréntesis, teniendo precaución de aplicar correctamente las normas matemáticas aprendidas. a)
1 4 3 −5 − + −
3 5 (7 6 )
d)
2 4 1 2 − − +3 − (8 9) (6 ) 3
b)
4 5 −2 − +
7 (8 5 )
e) −4 +
2 −1 2 + + (3 5 10 ) 48
Multiplicación de fracciones El resultado de multiplicar dos o más fracciones será otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. El producto de dos fracciones es una fracción que se calcula así: Numerador: Se multiplican los numeradores. Denominador: Se multiplican los denominadores.
5 1 5 ⋅ = 6 4 24
División de fracciones Para dividir fracciones, se multiplica la primera de ellas por la inversa de la segunda. a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c Ejemplo: 2 4 2 15 2 ⋅ 15 30 5 : = ⋅ = = = 3 15 3 4 3⋅4 12 2 Para dividir un número entero entre una fracción, o una fracción entre un número entero, se transformará el número entero en forma de fracción y se procederá según una división de fracciones. Ejemplos:
La inversa de una fracción es aquella que multiplicada por la primera da como resultado 1. La inversa de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador. La fracción inversa de
2 3 2 3 2⋅3 6 es → ⋅ = = =1 3 2 3 2 3⋅2 6
La fracción inversa de un número entero es una fracción cuyo numerador es 1 y el denominador ese número. La fracción inversa de 5 es
2 4 2 4*3 12 = : = = =6 3 1 3 1*2 2 3 3 6 3*1 3 1 :6= : = = = 5 5 1 5*6 30 10
4:
Inversa de una fracción
1 5⋅1 5 1 →5⋅ = = =1 5 5 5 5
Otra forma de dividir números y fracciones es: 1. Si el divisor es una fracción, multiplicamos el número entero por la inversa de esa fracción. 4:
2 3 12 = 4* = =6 3 2 2
2. Si el divisor es un número entero, multiplicamos la fracción por la fracción inversa del número. 3 3 1 3 1 :6= * = = 5 5 6 30 10 49
Operaciones combinadas con fracciones Se hacen en el orden que te indiquen los paréntesis y si no hay paréntesis en el orden de preferencia que ya conoces Si sólo hay multiplicaciones y divisiones el orden es de izquierda a derecha. Se opera exactamente igual que como hacíamos con números enteros pero, aplicando operaciones de fracciones aprendidas. 1 2 4 2 1 2 + ⋅ − : + = ( 3 5 ) ( 10 5 ) ( 3 25 ) 5+6 4−4 25 + 6 ⋅ : = ( 15 ) ( 10 ) ( 75 ) 11 0 31 11 ⋅ 0 ⋅ 75 ⋅ : = ( 15 ) ( 10 ) ( 75 ) 15 ⋅ 10 ⋅ 31 Actividades 1. Opera y simplifica las siguientes operaciones combinadas: −5 5 7 1 + + + − 3 + (−2)3 a) 12 4 9 5 2 1 5 1 + − + + 5 + (−1)4 5 6 3 4
c) (−3)2 − d) −
a)
1 7 6 3 1 3 − : − : + ( 9 6 ) ( 10 15 ) ( 2 4 )
b) 3 −
5 7 1 ⋅ +1 − :3 ) 2 3 (2
c) 3 − 4 ⋅
Ejemplo:
b)
2. Opera y simplifica, expresando los resultados en forma de fracción irreducible:
2 2 1 − + +6 7 3 4
3 3 1 + (−2)2 − − − 9 5 4 3
d)
1 1 1 1 − ⋅ − [ 3 5 ( 2 3 )]
4 1 1 ⋅ (−4) − 3 − ⋅ 4 + 5 4 ( 5)
3. Opera y simplifica:
a)
1 5 2 2 1 7 + ⋅ − : + ( 3 4 ) ( 5 15 ) ( 5 10 )
5 7 1 b) 3 : 3 − ⋅ +1 − :3 ) 2 ] 3 (2 [ c) 2 − 5 :
2 8 2 3 2 − ⋅ − +5⋅ 4+ ( 3 )] [3 5 (3 4)
d) (−2)3 ⋅
3 2 7 4 2 −6⋅ − ⋅ + 8 [ 5 3 ( 5 6 )]
e) (−2)4 ⋅
3 −2 7 4 −2 +6: − : + ( 5 5 3 5 6 )] [
50
S ECCIÓN 5
Expresión decimal de un número fraccionario
•
Decimales periódicos mixtos, que tienen un número de decimales tras la coma que no se repiten, el anteperíodo, y después hay otro decimal o un grupo de decimales que se repiten de forma indefinida, que es el período. Ejemplo:
A partir de una fracción podemos obtener un número decimal y a la inversa: dado un número decimal, hallar la fracción de la que procede, aunque sólo en determinados casos. Clasificación de los números decimales Los números decimales que podemos encontrar son: Decimales exactos, serán los que tienen una cantidad de decimales limitada, es decir, conocemos donde terminan. Ejemplo: 4,5 Decimales periódicos, son los que tienen infinitos decimales. Estos pueden clasificarse en:
•
Decimales periódicos puros, en ellos tras la coma, hay un número o un grupo de números que se repiten indefinidamente. A este grupo de números se le llama período. Ejemplo:
Decimales no exactos y no periódicos. Son aquellos que tienen infinitos decimales que no se repiten. Ejemplos son el número pi, 2 ; o,3764592…. Son los llamados números irracionales. Fracción generatriz de un número decimal La fracción generatriz de un número decimal, es aquella fracción irreducible a la que equivale ese número decimal. Sólo la podemos obtener si el decimal es exacto o periódico. Fracción generatriz de un número exacto Si el decimal es un número exacto, la fracción generatriz se obtiene poniendo en el numerador la parte entera del decimal y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número original. Ejemplos: 1. Fracción generatriz de 2,725 2, 725 =
2 . 725 545 109 = = 10 . 000 200 40
2. Fracción generatriz de 51
Si se trata de un decimal periódico puro, este podrá representarse por medio de una fracción cuyo numerador será el resultado de restar al número entero más el período, sin comas, la parte entera. El denominador estará formado por tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplos:
Ejemplos:
1. Fracción generatriz de En primer lugar llamamos N al número. N=
.
Observamos que si lo multiplicamos por 10, los decimales que aparecen a la derecha de la coma, vuelven a repetirse: 10N= . Por tanto, si restamos a 10N, el valor de N, desaparecerán los decimales y por tanto, podremos expresarlo como una fracción, tal y como vemos a continuación: 10N = -N = 9N =
. -
9N =22
N=
Si hablamos de un decimal periódico mixto, se realizará una combinación de los dos apartados anteriores, es decir, en el numerador se le resta a la parte entera mas el anteperíodo y el período, sin comas, la parte entera y el anteperíodo, sin comas también. El denominador estará formado por tantos nueves como cifras haya en el período y tantos ceros como cifras en el anteperíodo.
1. Fracción generatriz de Seguimos llamándole N y después multiplicaremos N por los valores que permitan realizar una resta en la que se eliminen las cifras periódicas. N=
; 10N=
y 100N=
.
Si observamos 100N y 10N, vemos que tienen los mismos decimales, por tanto, si los restamos entre sí, estos decimales desaparecerán de la forma:
100N=
-10N=
90N
= 211
N=
211 90
La fracción generatriz es
22 La fracción generatriz es 9
2.
2. Fracción generatriz de
3.
211 90
52
S ECCIÓN 6
Cálculo de la parte
Problemas con fracciones
Ejemplo: Este verano visitaron mi pueblo 3.240 viaje1 ros, de los cuales acudieron al faro de 45 ellos. ¿Cuántos lo visitaron?
Problemas de fracciones Calcular la fracción de una cantidad
Calculamos la fracción del número (parte), del to1 tal de viajeros, es decir 3.240 se multiplica por 45 , quedando el resultado:
Ejemplo: De los 3.240 viajeros que llegaron este año a mi pueblo, visitaron el faro sólo 72. ¿Qué fracción de viajeros visitó el faro?
1 1 de 3.240 = ⋅ 3.240 = 72 45 45 No lo visitaron:
72 La visitaron de viajeros. 3.240
44 4 de 3.240 = ⋅ 3.240 = 3.168 45 45
Hay que reducir la fracción: 72: 2 72: 2 36: 2 18 = = = 3.240: 2 3.240: 2 1.620: 2 810 18: 2 9: 3 3: 3 1 = = = 810: 2 405: 3 135: 3 45 1 Solución: la visitó de los viajeros. 45 Esto quiere decir que 1 de cada cuarenta y cinco viajeros que llegaron a mi pueblo visitaron el museo. ¿Cuántos de marcharon sin visitar el museo? Se marcharon sin visitarlo 44 de cada 44 45 visitantes. Es lo mismo que decir 45
Solución: 72 viajeros visitaron el museo. Cálculo del total Ejemplo: 72 viajeros visitaron el museo de mi pueblo 1 este verano, los cuales representaban 45 del total. ¿Cuántas personas visitaron mi pueblo este año? Total viajeros =
72 1 45
= 72 ⋅ 45 = 3.240
Solución: 3.240 viajeros visitaron el pueblo. 53
Problemas de suma y resta de fracciones Cálculo de la fracción
Cálculo de la parte Ejemplo:
Ejemplo:
De una pizza que pesa 960 gramos, me co1 2 mo para cenar y mi amigo . ¿Cuántos 8 3 gramos de pizza quedan todavía?
2 En el almacén de una carpintería hay de su 1 3 capacidad ocupado por tablones y por mue5 bles ya elaborados. ¿Qué espacio queda libre?
1 2 19 + = 8 3 24 24 19 5 Ha quedado sin comer: − = 24 24 24 5 5 ⋅ 960 = 200 de 960 = 24 24 En total hemos comido
2 1 3 10 13 + = + = 3 5 15 15 15 13 15 13 2 = − = Por tanto, quedará libre: 1 − 15 15 15 15 2 Solución: quedará libre del espacio. 15 Hay ocupados
Cálculo del total
Solución: quedan 200 gramos. Problemas de producto de fracciones
Ejemplo: 1 De una pizza me como para cenar y mi ami8 2 go se toma . Si aún quedan 200 gramos de 3 ella. ¿Cuánto pesaba originalmente? 1 2 19 En total hemos comido + = 8 3 24 24 19 5 Ha quedado sin comer: − = 24 24 24 5 Es decir, los son los 200 gramos de pizza que nos 24 quedan. 200 200 ⋅ 24 Total gramos = 5 = = 960 gramos 5 24
Ejemplo: Me quedan en casa
3 de pastel y al día si4
2 de esa cantidad. ¿Qué 5 fracción me he comido? guiente, me como
Al calcular una fracción de otra fracción, lo que hacemos realmente es un producto: 3 2 6 3 ⋅ = = 4 5 20 10 Solución: me he comido
3 de pastel. 10
Solución: pesaba 960 gramos. 54
Problemas de división de fracciones Ejemplo:
Cálculo de la parte Ejemplo:
Tengo un depósito con 250 litros de leche. Si quiero rellenar con él botellas que tienen una 2 capacidad de de litro. ¿Cuántas botellas po3 dré rellenar?
Continuando con el problema anterior: Si el abuelo Juan regaló 15.000€. ¿Qué cantidad llegó a su hijo Pedro? ¿y a sus nietos? 2 2 de 15.000 = ⋅ 15.000 = 6.000€ 15 15
Realizamos la división de la misma forma que lo haríamos si se tratara de números enteros:
Solución: Sus nietos recibieron 6.000€.
2 750 250 : = = 375 3 2
Cálculo del total
Solución: podremos rellenar 375 botellas.
Ejemplo:
Problemas de fracción de una fracción
Si los nietos de Juan han recibido 2.000 €, sabiendo que su abuelo le regaló a su hijo 2 Pedro del dinero que posee, y este a su 5 1 vez regala a sus hijos de lo recibido de su 3 padre. ¿Qué dinero repartió el abuelo Juan?
Cálculo de la fracción Ejemplo: 2 del di5 nero que posee. Pedro a su vez regala a sus hi1 jos de lo recibido de su padre. ¿Qué fracción 3 de dinero les corresponde? El abuelo Juan regala a su hijo Pedro
Los nietos de Juan han recibido 2.000€, que son 2 1 2 ⋅ = del dinero que repartió su abuelo. 5 3 15
Realizar la fracción de una fracción que consiste en multiplicar ambas fracciones, es decir:
2 1 2 ⋅ = 5 3 15
Solución: los nietos de Juan han nero que repartió su abuelo.
2 recibido del di15
Total euros =
2.000 2 15
=
2.000 ⋅ 15 = 6.000 2
Solución: el abuelo Juan repartió 6.000€.
55
S ECCIÓN 7
Potencia de un cociente de fracciones
Potencias de números fraccionarios
El resultado es el cociente de las potencias de las fracciones. a d a c an ⋅ dn : = : = n n (b d) (b) (d) b ⋅c n
n
n
Ejemplo: 3 4 3 4 36 46 35 ⋅ 56 : = : = : = (7 5) (7) (5) ( 76 ) ( 56 ) 76 ⋅ 46 6
Cuando tenemos una fracción en forma de potencia, es lo mismo que escribir otra fracción en la que numerador y denominador están elevados al exponente de la potencia inicial, es decir: a an = n (b) b
Al multiplicar dos potencias con la misma base, el resultado será otra potencia de la misma base y cuyo exponente será la suma de los exponentes. a a a ⋅ = (b) (b) (b) n
n
a d a⋅c a c an ⋅ cn ⋅ = = ⋅ = n n (b d) (b ⋅ d) (b) (d) b ⋅d n
n
3
n
Al dividir dos potencias con la misma base, el resultado será otra potencia de la misma base y cuyo exponente será la resta de los exponentes. a a a : = (b) (b) (b) n
Ejemplo: 3 4 3⋅4 12 3 4 ⋅ = = = ⋅ (7 5) (7 ⋅ 5) ( 35 ) (7) (5) 6
6
9
Cociente de potencias de la misma base
El resultado es el producto de las potencias de las fracciones.
n+m
2 2 2 ⋅ = (5) (5) (5) 6
Potencia de un producto de fracciones
6
m
Ejemplo:
Al operar con fracciones, se aplican las mismas reglas que cuando operamos con las potencias de los números enteros.
6
6
Producto de potencias de la misma base
Potencia de una fracción
n
6
6
m
n−m
Ejemplo: 2 2 2 : = (5) (5) (5) 6
3
3
56
Potencias de exponente cero
Potencia de otra potencia
Cualquier potencia de exponente cero da como resultado el número 1. a =1 (b) 0
Al igual que en los números naturales, cuando una potencia de una fracción está elevada a otra potencia, el resultado es otra fracción con la misma base que la anterior y el exponente es el producto de los exponentes. n m
a a = (b) [( b ) ]
Ejemplos:
3 =1 (8)
5 =1 (9)
0
Ejemplo: 3 6
2 2 = (9) [( 9 ) ]
0
Potencias de exponente negativo Cualquier potencia con exponente negativo, se puede transformar en otra con exponente positivo con solo invertir el orden entre su numerador y denominador. Si esto es válido para los números enteros también lo es para las fracciones, de forma que: a (b)
−n
b = = (a)
Ejemplos:
3 (5)
5 = = (3)
1 (5)
5 54 = = = 4 = 54 (1) 1
−2
−4
n⋅m
2
4
n
18
Actividades 1. Opera con las siguientes potencias de fracciones y simplifica al máximo aplicando las propiedades estudiadas: 2 1 ⋅ a)
(7 5)
5 4 ⋅ c) (6 9)
9 7 d) ⋅ (8 3)
3
3 2 b)
⋅ (4 9)
2
7
4
2. Opera y simplifica reduciendo a una sola potencia: 2 1 a)
: (7 5)
1 2 ⋅ c) (4 7)
2 3 d) ⋅ ( 11 8 )
5
3
3 2 b)
⋅ (4 9)
7
3
57
3. Opera y simplifica: a)
6. Opera:
3 2
3 [( 2 ) ]
a)
−1 2
5 5 5 b) ⋅ ⋅ [( 2 ) ] ( 2 ) ( 2 ) 4
1 1 c) ⋅ (5) (5) 3
−2
−2
b)
4 4
1 ⋅ [( 5 ) ]
−2
−2 6
5
5 b)
(2)
a)
2 2 : (5) (5)
8 8 : b) (7) (7) 4
−1
2 −1
1 c) [( 3 ) ]
3 3
:
−3
3 4
2 [( 5 ) ]
−1
1 [( 7 ) ] 5
3 4
3 −3
3 e) [( 4 ) ]
6 3
2 − h) [( 5 )
4 2
1 : [( 3 ) ]
3 3 3 d) : : [( 4 ) ] [( 4 ) ] ( 4 )
−1
2
2
1 1 : : (5) (5) 2
−3
−3 −2
4 3
−1 −3
2 ⋅ − ( 5) ] −3 4
2 −3
1 [( 5 ) ]
5 : (4)
−5
−2 3
2 : − [( 5 ) ] −5 −4
2 2 2 ⋅ : i) [( 3 ) ( 3 ) ] [( 3 ) ] 4
3 : [( 4 ) ]
−1 −3
3 3 3 : ( 4 ) ( 4 ) [( 4 ) ]
−3 −1
1 f) [( 5 ) ]
−3
1 1 : : (3) (3)
4 3
3 6
2
3 2
2 5
1 1 : (7) (7)
−3
5 5 5 ⋅ ⋅ g) [( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ]
8 : [( 7 ) ] 6
:
2
2
5. Efectúa las siguientes divisiones: −2
1 [( 7 ) ]
2 3 2 : ( 3 ) ( 2 ) [( 3 ) ]
2 2 2 − ⋅ − : − d) [( 3 ) ( 3 ) ] [( 3 ) ]
3 c) − ( 5)
−1
3
3 −1
−1 −1
2
3
4. Opera y simplifica: 2 a)
(3)
3 [( 2 ) ]
6
5 5 5 5 c) ⋅ ⋅ : [( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ] ( 2 )
3 3 3 3 ⋅ ⋅ : d) [( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ] ( 4 ) 3
2 −1
58
Notación científica Hay cantidades con las que trabaja el hombre que son muy pequeñas, ya sean las dimensiones de una célula, de uno de sus orgánulos, partículas atómicas, etc, y que no pueden expresarse con números decimales porque sería poco operativo. Para hacer estar expresiones más manejables se utiliza la notación científica. Lo mismo ocurre para aquellas cantidades que son muy grandes, como puede ser la distancia entre planetas, diámetro del sol, recorrido realizado por un cohete por el espacio, etc. Recibe el nombre de notación científica la expresión que sirve para escribir de forma abreviada aquellos números que representan cantidades, o bien muy grandes o bien muy pequeñas. Para ello se utilizan potencias de base 10.
Algunas potencias importantes de base 10 son: 101 = 10
103 = 1.000
102 = 100
104 = 10.000
Hay otros números que son potencias de base 10 que pueden expresarse como una fracción, son aquellos que tienen el exponente con signo negativo, como: 10−1 =
1 1 = = 0,1
101 10
10−3 =
1 1 = = 0,001 103 1.000
10−2 =
1 1 = = 0,01
102 100
10−4 =
1 1 = = 0,0001 104 10.000
Relaciona cada expresión con su equivalente:
Para expresar cualquier número en notación científica se escribe como producto de número decimal con una cifra distinta de cero ocupando el lugar de la parte entera por una potencia de 10 con exponente entero. La expresión sería:
Donde: N es el coeficiente, número real comprendido entre 1 y 10.
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59
S ECCIÓN 8
Refuerzo y ampliación
4. Eva dispone de 300 € para compras. En la primera 2 tienda gastó de esa cantidad y en la segunda tien5 1 da gastó . 7 a) ¿Cuánto gastó en cada tienda? b) ¿Qué cantidad expresada en forma de fracción gastó en total?
Actividades de refuerzo
c) ¿Qué fracción le sobró?
1. Opera y simplifica: a)
1 4 5 + −
5 10 6
c)
1 4 + −3 7 14
b)
1 4 2 − +
6 12 18
d)
2 5 −4+ 7 3
2. Opera y simplifica: a)
2 4 14 ⋅ ⋅
5 7 6
c)
1 8 :5⋅ 6 7
b)
2 5 7 : ⋅
5 3 6
d)
2 4 : ⋅5 7 7
3. En las elecciones al Consejo Escolar de mi colegio, 3 3 de los votos fueron para el candidato X, para 11 10 5 el candidato Y, para C y el resto para el candida14 to Z. El total de votantes es de 770. Calcular el número de votos que obtuvo cada candidato.
5. En una competición se pueden obtener un total de 1 75 puntos. Juan ha conseguido del total. 5 a) ¿Cuántos puntos ha conseguido? b) Expresa en forma de fracción los puntos que le faltan hasta conseguir el total de los puntos. 6. Recordando a que es igual una potencia de expo1 nente negativo ( a−n = n ), calcular: a 2 a) (3)
−2
5 b) (2)
−1
3 c) − ( 5)
−2
7 d) − ( 2)
−4
60
7. Nacho tiene una caja con 32 rotuladores de colores que reparte entre sus primos de la forma siguiente:
• • • •
Inés recibe la tercera parte. Sergio, la cuarta parte. Daniel, la mitad de la tercera parte. Rocío, la cuarta parte de la mitad.
11. Cierto jugador del Real Madrid acierta 3 de cada 9 tiros a la portería, a su vez un jugador del Barcelona acierta 8 de cada 12 tiros a portería un jugador del Atlético de Madrid acierta 7 de cada 13 a portería un jugador del Manchester United acierta 5 de cada 8 lanzamientos, sabiendo estos datos relaciónalos con sus promedios
¿Cuántos rotuladores recibe cada uno? ¿Sobra alguno? Expresa los que sobran mediante una fracción. 8. Miguel gasta en libros ne ahorrados.
2 partes de 210 euros que tie7
a) ¿Qué fracción le queda sin gastar? b) ¿Cuánto dinero ha gastado? c) Si al día siguiente gasta la mitad de lo que le quedaba, ¿de qué fracción se trata? 9. De las siguientes fracciones, escribir las que son 3 equivalentes a : 7 a)
6
21
c)
15
18
e)
12 28
b)
9
21
d)
15
35
f)
27 63
10.Escribir cinco fracciones equivalentes a: 7 a)
11
12 b)
5
−3 c) 7
Comprobar respuesta
61
Actividades de ampliación 1. Simplificar las siguientes expresiones:
2 3 · 52 · 2 4 · 5 a) 5 3 · 22
b)
(7
2
·3
4
)
2
·7·3
312 · 7 5
"4 % "2 % − 1 − + 3 $ ' $ ' #3 & #3 & c) 4 3 −1+ 5 2
d)
2. La tercera parte de la quinta parte de los alumnos de 1º de ESO han caído enfermos este invierno. Si estos son 6 alumnos, ¿cuántos alumnos hay en 1º de ESO?
3 1 " 2% − : $1 − ' 4 3 # 5& 3 1 "2 7 % − ·$ + ' 7 2 #3 2&
3. Carlos realiza una ruta en bicicleta en tres días. 2 El primer día recorre de la ruta. 5 1 El segundo día recorre de lo que le queda. 3 - El tercer día recorrió 20km. ¿Qué distancia ha recorrido entre los tres días?
" % 1 % " 14 3 − : − 2 $ ' $ ' 4& # 5 # & e) " 2% " 5% 8 − : 4 − $ ' $ ' 3& # 4& # f)
2
1+ 3+
4 5−
1 6 62
S ECCIÓN 9
6. Calcula y simplifica:
Repaso 1. Halla el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. a)
6 30
= x 12
c)
6 x = 5 25
b)
2 4 =
x 8
d)
4 64 = 9 x
2. Simplifica hasta llegar a la fracción irreducible: a)
78
39
c)
120 140
b)
360
300
d)
180 175
3. Reduce a común denominador: a)
3 −6 2 1 −2 , , , y
10 7 8 4 5
b)
2 −7 4 11 −1 , , , y 25 15 45 30 10
4. Ordena de menor a mayor: a)
1 −3 11 −2 , , ,y
12 5 15 40
b)
2 −1 4 11 3 , , , y 49 14 7 2 21
5. Calcula y simplifica: a)
1 4 5 + −
3 10 6
c)
2 3 4 + + −5 7 14 35
b)
3 2 5 1 + + −
5 15 6 18
d)
3 5 3 − +2− 4 16 28
a)
1 4 6 ⋅ ⋅
5 7 8
b)
21 25 12 ⋅ ⋅ :2 18 14 15
c)
12 24 6 : ⋅ ⋅4 15 7 10
d)
10 25 1 ⋅3⋅ :4⋅ 5 12 14
7. ¿A qué número hay que elevar resultado
243 ? 3.125
3 para que dé como 5
8. Expresa como una sola potencia. 2 2 a) ⋅ (5) (5) 4
−3
2 2 : b) (5) (5) 4
−3
3 3 3 c) ⋅ ⋅ (2) (2) (2) 2
5
2 3
−1
1 1 1 ⋅ ⋅ d) [( 4 ) ] ( 4 ) ( 4 ) 2 −1
2 e) [( 7 ) ]
4
−2
4
2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ [( 7 ) 7 ] ( 7 ) 2
−2
63
9. Transforma en potencia de exponente positivo y simplifica: 2 a)
(9)
d) (−3)−5
5 b)
(4)
e) (12)−3
−3
−4
c) (3)−5
25 d)
( 5 )
−2
g) (−4)−5
−2 ( 3 )
−5
k)
f) (−2)−4
i) (−2)−3
6 2 1 −2 3 1 b) − : 3 − ⋅ +1 + (5 ) ] 3 5 5 [ 5 −3
−2
⋅
1 −3 (9 )
1 1 2 + − 5+ d) −1 ⋅ (3 6) ( 3) 2
−5
5 2 1 1 5 + − + ⋅ −1 (2 5 7) 3 (6 )
2
1 (5)
h) (−6)
a) 5 − 3−2 ⋅
2 2 2 c) − − 3− (3 5) ( 7)
−2
j)
11.Opera y simplifica:
−1
12. Fernando Alonso compite a una velocidad media de 300 km/h. Espresa en notación científica los metros que recorre en una carrera que dura cuatro horas.
10.Opera y simplifica: a)
1 2 2 3 1 + − − + 8 [3 (3 4) 5]
1 3 1 1 2 + ⋅ : + b) (−3)3 2 5 3 ( 5 )
2
3 5 42 1 1 c) − ⋅ : + 4 8 (5 ) 3 ( 2 )
−2
d)
11 3 −5 1 − ⋅ + + (3)−2 2 7 ( 2 ) 3 2
13. Una bacteria esférica tiene un diámetro de 0,0004 mm. Expresa su resultado en metros. 14.Escribe en forma desarrollada las siguientes expresiones en notación científica: a) 4,33 ⋅ 10−7
c) 5,62 ⋅ 10−4
b) 2,05 ⋅ 105
d) 1,6 ⋅ 108
64
15. Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones, no olvides clasificarlas previamente. a)
16
7
c)
17 8
b)
40
3
d)
18 6
16.Calcula la fracción generatriz de las siguientes cifras decimales: a) 2,450450...
d) 1,2525...
0,4 5 b)
e) 0,98
c) 42,2
f) 2,438
17. En un centro educativo, las calificaciones obtenidas se distribuyen de la siguiente manera:
•
Suspenso:
3 10
•
Suficiente:
126 250
•
11 Bien: 200
•
2 Notable: 25
•
Sobresaliente:
18.Un estudiante de astronomía, recibe una información relativa a la distancia entre dos cuerpos de la forma 678.000.000.000.000.000 km. ¿Cuál es la expresión en notación científica de esta cifra? 19.Un alumno que se encuentra en el laboratorio observando a través del microscopio aprecia que el diámetro de una partícula es de 0,000000000000000653 cm. Expresa en notación científica la cantidad mencionada.
20.Preparé una empanada el lunes, de la que me comí el mismo día. Al día siguiente me comí la cuarta parte de lo que quedó del día anterior y el miércoles la mitad de lo que quedaba. a) ¿Qué cantidad expresada en forma de fracción me comí el martes) b) ¿Qué fracción representa la cantidad que me comí el miércoles?
61 1 . 000
Ordena de menor a mayor las calificaciones obtenidas por los alumnos.
c) Si la empanada pesaba 1.300 gramos. ¿Qué cantidad comí cada día expresada en gramos? d) ¿Qué fracción de empanada quedó para el jueves? ¿Cuánto pesaba esta fracción? 65
21. El profesor de tecnología nos pide traer un listón de madera para construir una estructura triangulada, de forma que hay que irlo cortando en distintas longitudes. Para la primera pieza tenemos que cortar la quina parte del listón, después, el profe1 sor nos dice que tendremos que cortar de lo que 4 quedaba y para el siguiente fragmento cortaremos la mitad de lo que teníamos sin cortar.
23.Al construir un depósito de agua, se comete el error de no ponerle tapa, lo que conlleva que al llegar el calor se evapora una parte de esta. Se observa que se evapora la novena parte de la capacidad total.
a) Calcula la medida de cada fragmento cortado expresado en forma de fracción. b) Si el listón inicialmente medía 1,20 metros, ¿qué cantidad de listón ha sobrado?
22.Miguel recibe su paga mensual. Del total separa la tercera parte para salir con sus amigos, la quinta parte para comprar discos, la sexta parte para comprar regalos a su familia y amigos, y lo que sobre lo deja para imprevistos. Calcula la fracción de su paga mensual que queda para imprevistos.
Se empieza a extraer agua. En primer lugar se de2 jaron de lo que quedaba. El resto se extrajo en 7 tres cantidades iguales. Calcula el valor de cada una de las cantidades expresada en forma de fracción que se dividieron al final en tres partes iguales. 24.Disponemos de una cartulina para realizar manualidades. Cortamos porciones de esta, de manera 1 que en el primer corte quitamos ; y en el segundo 4 corte dejamos la mitad de lo que había. Con la cartulina restante construimos fichas, necesitando 10 para ello. ¿Qué cantidad expresada en forma de fracción corresponderá a cada ficha? 66
25.La receta de mi tía Olga para hacer un pastel para 4 personas tiene los siguientes ingredientes:
• • •
1 de un paquete de 1000 g de azúcar. 4 3 de un paquete de harina de 500 g. 5 4 de una botella de aceite que 25 pesa llena 750 g.
a) Calcular las cantidades de cada sustancia que se come cada uno de los cuatro comensales. b) Si el mismo pastel se lo comen seis personas, ¿qué cantidad de cada uno de los ingredientes comerá cada comensal? 3 del camino de su casa 5 al polideportivo y aún le quedan por andar 300 metros. ¿Qué distancia lleva recorrida?. ¿Cuánto dista su casa del polideportivo?
26.Javier lleva recorridos los
27.El sábado salí con mis amigos. Me gasté
1 del dine3
1 del mismo en 4 la cena. Al llegar a casa me quedaban 6 €. ¿Cuánto dinero tenía?. ¿Cuánto me gasté en el cine?. ¿ Y en cenar? ro que llevaba en entrar al cine y
28.Tres amigos reciben un premio en la lotería. Se lo 1 reparten, de forma que Luis se queda con del 4
2 y Julia con 1.500 €. ¿Cuánto 5 se lleva Luis?. ¿Y Mario?. ¿Cuál es la fracción del dinero que se lleva Julia?. ¿De qué cantidad era el premio? premio, Mario con
29.Dos vehículos A y B hacen un mismo trayecto de 4 550 km. El automóvil A lleva recorrido los del 11 11 trayecto cuando el B ha recorrido los del mis25 mo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada automóvil? 30.De una finca se vendieron los
2 de su superficie y 3
3 de lo que quedaba. El propietario deci5 dió construir un parque público en los 12.000 m2 restantes. después
a) ¿Qué fracción de finca se vendió? b) ¿En qué fracción de la finca se ha construido el parque? c) ¿Cuál era la superficie inicial de la finca? 3 del dinero que le 5 ha dado su padre entre sus hermanos, y le quedan 12€. ¿Cuánto dinero le han dado?
31. Gabriel reparte
67
C APÍTULO 4
Proporcionalidad y porcentajes En este capítulo vas a repasar conceptos básicos para el día a día en tu vida como son la proporcionalidad y los porcentajes. En definitiva, en este capítulo aprenderás o repasarás conceptos que se hacen imprescindibles para entender la realidad que te rodea.
S ECCIÓN 1
Razones. Proporciones
El cociente entre los valores de las razones que forman la proporcionalidad siempre es el mismo, y se denomina constante de proporcionalidad.
Ejemplo: Definiciones Llamamos razón entre dos números, a y b, a la fraca ción . b
30 3 30 3 forman una proporción con porque = . 40 4 40 4 En ambas razones el cociente es el mismo, 0,75 que es la constante de proporcionalidad. Fracciones equivalentes y proporciones
Si dividimos a entre b hallamos el tanto por uno, expresión decimal de una razón que indica las veces que a contiene a b. Ejemplo: Supongamos que en una empresa hay 40 hombres y 30 mujeres, ¿cuál es la relación entre hombres y mujeres?
40 = 1,33 30 Solución: por cada mujer, hay 1,33 hombres.
El término desconocido de una proporción lo podemos hallar utilizando la propiedad de las fracciones equivalentes que nos dice que el producto de medios es igual al producto de extrea c mos. Sabiendo que en la proporción = , a y d son los exb d tremos mientras que b y c son los medios. Así, si por ejemplo, desconocemos el término x de la proporc a ción = aplicaremos la propiedad descrita: x b c a = x b a⋅x=c⋅d
c a c a formarán una proporción con si = . d b d b
a=
c⋅d x
69
Ejercicios resueltos: Determina si los siguientes valores forman una proporción o no: a) b)
7 6 ; 14 10 10 6 2 ; ; 25 15 5
Resolución: a) 7 ⋅ 14 ≠ 6 ⋅ 10 7 6 ≠ que hace que no sean pro14 10 porcionales.
Actividades 1. Determina el valor desconocido en las siguientes proporciones: a)
1 7 = 3 x
b)
2 x = 8 36
c)
3 45 = x 60
2. Determina tres pares de valores que sean proporcionales a:
Por tanto
10 6 2 b) = = sí lo son. 25 15 5 En todos los casos la constante de proporcionalidad es 0,4 Antonio y Manuel tienen dinero en propor3 ción . Si Manuel tiene 800 €, ¿cuánto di4 nero tiene Antonio?
a)
3 4
b)
2 7
c)
100 325
3. E l p r e c i o d e l v i n a g r e y e l a c e i t e e n u n supermercado están en proporción 3 a 11. Si compramos aceite por un valor de 8.25 €, ¿cuánto pagaremos por la misma cantidad de vinagre?
Llamando x al dinero que tiene Antonio:
3 x 3 ⋅ 800 = x= 4 800 4
x=600 € tendrá Antonio.
70
4. Enrique pagó la semana pasada la gasolina a 1.50 € el litro y el pan a 45 céntimos. Esta semana, ha pagado a 1.60 € el litro de gasolina y sabe que el pan ha subido su precio en la misma proporción que la gasolina. ¿Cuánto costará esta semana la barra de pan?
5. Si el precio de un determinado producto A subió de 2 € a 3 € el año pasado y el precio de un producto B subió de 4 € a 5 €, ¿subieron en la misma proporción?
7. Si en una reunión hay 500 personas, entre las que se encuentran 200 niños y niñas y 125 hombres, ¿cuál será la proporción de mujeres?
8. Determina la proporción en la que aumentó el IVA en los dos últimos años si pasó del 16% al 21%.
6. La proporción de empleados que ocupan un cargo directivo en una empresa sobre el total es de 2/23. Si hay 420 empleados que no son directivos, ¿cuál será el total de directivos de la empresa?
71
S ECCIÓN 2
Proporcionalidad directa entre magnitudes
Cálculo de un término desconocido: reducción a la unidad Primero obtendremos el valor de una unidad según los datos del problema, y posteriormente multiplicaremos por el valor conocido de la otra razón. Ejercicio resuelto:
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra aumenta (o disminuye) en la misma cantidad (proporción).
Por 25 kg de patatas pagamos 50 €. ¿Cuánto pagaremos por 75 kg?
Ejemplos:
50 ⋅ 25 = 2€ Magnitud A Magnitud B
2 1
Vemos que se cumple que
4 2
6 3
Calculamos primero cuánto cuesta 1 kg de patatas, dividiendo los 50 kg entre 25:
Ahora multiplicamos por 75 kg:
8 4
1 2 3 4 = = = = 0,5. 2 4 6 8
75 ⋅ 2 = 150 € que es el resultado de lo que hay que pagar
El número de horas que dedica una fábrica de patatas fritas a elaborarlas y el número de bolsas de patatas que fabrica en dicho tiempo. Si fabrica 1500 bolsas por hora vemos que: Horas Bolsas
1 2 4 1500 3000 6000
…. ….
n 1500·n
Una vez más, se cumple que : 1500 3000 6000 150 ⋅ n = = =…= = 1500 . 1 2 4 n 72
Cálculo de un término desconocido: regla de tres Si sabemos que dos magnitudes A y B guardan una relación de proporcionalidad directa para determinar el término desconocido de la proporción entre ellas podemos utilizar este método: Magnitud A Magnitud B
a b
c d
a c
Magnitud B ⟶ ⟶
1. Sabiendo que las magnitudes, A y B, guardan proporcionalidad directa completa la siguiente tabla: Magnitud A Magnitud B
5 10
8
450 800
2. Determina cinco pares de magnitudes que guarden proporcionalidad directa que no hayamos tratado en el capítulo.
Ordenamos : Magnitud A
Actividades
b d
3. Determina cinco pares de magnitudes que no guarden proporcionalidad directa pero que sí guarden algún tipo de relación.
a b = c d
4. Una máquina llena 1500 envases en 6 minutos, ¿cuántos minutos tardarán en llenar 2000 envases?
Y utilizando la propiedad de las fracciones equivalentes, calculamos cualquiera de los términos de la proporción, el que sea nuestra incógnita.
5. Un vaquero ha gastado 150 euros en 250 kg de alfalfa para su ganado. ¿Cuántos euros deberá de pagar si quiere 100 kg de alfalfa más?
Proporción:
Ejemplos:
6. En una clase de 2º de ESO 2 de cada 5 alumnos han obtenido un notable. ¿Cuántos alumnos no han obtenido notable si la clase es de 35 alumnos? 7. Si una rueda en un coche da 5000 vueltas en 8 minutos, ¿cuántas vueltas dará en una hora
73
S ECCIÓN 3
La velocidad y el tiempo que tardamos en recorrer una determinada distancia.
Proporcionalidad inversa entre magnitudes
A más velocidad menos tiempo se tarda en recorrer la misma distancia. Por ejemplo: Velocidad (Km/h) Tiempo (horas)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra disminuye (o aumenta) en la misma cantidad (proporción).
80 6
120 4
60 8
100 4,8
80 ⋅ 6 = 120 ⋅ 4 = 60 ⋅ 8 = 100 ⋅ 4,8 = 480
Ejemplos: El número de trabajadores que realizan una tarea y el número de horas que tardan. Lo normal es que cuantos más trabajadores haya, menos tiempo se tardará en hacer el mismo trabajo. Número de trabajadores Número de horas que tardan
1 81
3 27
9 9
efectivamente: 1 ⋅ 81 = 3 ⋅ 27 = 9 ⋅ 9 = 81 ⋅ 1 = 81 .
81 1
Cálculo de un término desconocido: reducción a la unidad Aplicaremos un método similar al visto en la proporcionalidad directa, aunque en este caso para hallar el valor de una unidad de nuestra incógnita primero multiplicamos y después dividimos. Veámoslo con un ejemplo. Ejercicio resuelto: Si 3 grifos llenan una piscina en 12 horas, ¿cuánto tardarán 4 grifos en llenarla? Calculamos lo que tarda un grifo en llenar la piscina: Multiplicamos: 3 grifos ⋅ 12 horas = 36 horas Dividimos entre 4:
36 = 9 horas 4 74
Cálculo de un término desconocido: regla de tres Si dos magnitudes A y B guardan una relación de proporcionalidad inversa para determinar el término desconocido de la proporción entre ellas podemos utilizar este método: Magnitud A Magnitud B
a b
Actividades 1. Si 44 obreros realizan una casa en 5 días y medio, ¿cuántos obreros necesitamos para realizarla en 5 días?
c d
Ordenamos: Magnitud A a c
Magnitud B ⟶ ⟶
b d
Proporción: a d c b = = o c b a d Vemos que a la hora de formar la proporción invertimos el orden de los términos de una de las dos magnitudes. Y utilizando la propiedad de las fracciones equivalentes, calculamos cualquiera de los términos de la proporción, el que sea nuestra incógnita. Ejemplos:
2. ¿Guardan algún tipo de proporcionalidad las siguientes magnitudes? Justifica la respuesta. Magnitud A Magnitud B
5 1000
2500 2
5000 1
2000 3
3. Sabiendo que las magnitudes, A y B, guardan proporcionalidad inversa completa la siguiente tabla: Magnitud A Magnitud B
4 10 1000
4000 40
4. Sabiendo que las magnitudes, A y B, guardan proporcionalidad inversa completa la siguiente tabla: Magnitud A Magnitud B
4 11
10
4000 66
75
5. Determina cinco pares de magnitudes que guarden entre sí una relación de proporcionalidad inversa que no hayan sido vistas en el capítulo. 6. Si un obrero tarda 8 horas en levantar un muro, ¿cuánto tiempo tardarían 5 obreros?
8. Si un coche que viaja a 120 km/h realiza un recorrido en 5 horas, ¿cuánto tardará una moto a 100 km/h? ¿Y un tren a 300 km/h? ¿Y un avión a 900 km/h?
7. Para envasar una cierta cantidad de aceite se necesitan 500 garrafas de 10 litros. Si en 200 garrafas se envasan los mismos litros de aceite, ¿cuál será la capacidad de dichas garrafas?
76
S ECCIÓN 4
Proporcionalidad compuesta
Ejemplo resuelto: reducción a la unidad En una fábrica de clavos, seis personas hacen 500 cajas de clavos en 5 días. ¿Cuántos días tardan dos personas en hacer 300 cajas? Resolución por reducción a la unidad: 6 personas → 500 cajas → 5 días
Hablamos de proporcionalidad compuesta cuando tres o más magnitudes guardan una relación de proporcionalidad, directa o inversa, entre sí. Cálculo de términos desconocidos Para resolver este tipo de problemas debemos comparar cada una de las magnitudes con aquella que tenemos que averiguar, con el fin de ver si la relación de proporcionalidad que las une es directa o inversa. Posteriormente, para calcular los términos desconocidos utilizaremos el proceso de reducción a la unidad o el método de la regla de tres visto en las secciones anteriores. Debemos seguir una metodología, primero ordenando las magnitudes, posteriormente comparando cada magnitud con la que desconocemos para ver si entre ellas hay una relación de proporcionalidad directa o inversa, y posteriormente operando, ya sea por reducción a la unidad o mediante una regla de tres compuesta.
Cuantos días tarda una persona en hacer 500 cajas: 1 persona → 500 cajas → 5 ⋅ 6 = 30 días . Cuantos días tarda una persona en hacer una caja: 1 persona → 1 caja →
30 3 = días 500 50
Cuántos días tarda una persona en hacer 300 cajas: 1 persona → 300 cajas →
3 = 18 días 50
Dos personas tardarán la mitad: 2 personas → 300 cajas → 18 ÷ 2 = 9 días Solución: se necesitan 9 días para que dos personas hagan 300 cajas.
77
Ejemplo resuelto: regla de tres compuesta
Ejemplo resuelto: regla de tres compuesta
En una fábrica de clavos, seis personas hacen 500 cajas de clavos en 5 días. ¿Cuántos días tardan dos personas en hacer 300 cajas? Resolución por regla de tres compuesta: primero ordenamos los datos, y luego estudiamos la relación de proporcionalidad entre las magnitudes. Personas 6 2
Cajas ⟶ ⟶
500 300
Días ⟶ ⟶
5 x
Vemos que con menos personas tardaremos más días en hacer 500 cajas, por tanto la proporcionalidad es inversa. Por otro lado, para hacer menos cajas con 6 personas tardaremos menos días; en este caso la proporcionalidad es directa.
Ocho jardineros plantan flores en una parcela de 300 metros cuadrados trabajando 6 horas al día en 9 días. ¿Cuántos días necesitarán 10 jardineros en plantar flores en una parcela de 500 metros cuadrados trabajando 8 horas al día? Resolución por regla de tres compuesta: Jardineros
horas/día
m2
8
⟶
6
⟶
9
⟶
9
10
⟶
8
⟶
x
⟶
x
Una vez ordenados los datos, estudiemos la relación de proporcionalidad entre las magnitudes, que como vemos en este caso se trata de cuatro. • Jardineros - días. • Horas/día - días.
Toca en cada relación para ver su descripción
• m2 - días.
Por último, planteamos la relación de proporcionalidad entre las magnitudes. No hemos de olvidar que si la proporcionalidad es inversa hay que invertir el orden de las magnitudes en la proporción.
Relación de proporcionalidad compuesta:
2 500 5 ⋅ = 6 300 x
10 ⋅ 8 ⋅ 300 ⋅ x = 8 ⋅ 6 ⋅ 500 ⋅ 9
2 ⋅ 500 ⋅ x = 6 ⋅ 300 ⋅ 5
x=
x=
6 ⋅ 300 ⋅ 5 = 9 días 2 ⋅ 500
Días
10 8 300 9 ⋅ ⋅ = 8 6 500 x 8 ⋅ 6 ⋅ 500 ⋅ 9 = 9 días 10 ⋅ 8 ⋅ 300
78
Actividades 1. Diez fotocopiadoras necesitan 6 minutos en hacer 6000 fotocopias. Si disponemos de 14 fotocopiadoras y queremos hacer 14000 fotocopias, ¿cuánto tiempo tardaremos en hacerlas? 2. Veinte operarios han realizado 400 metros d e muro en 6 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante dos semanas para realizar 700 metros de muro?
4. Para construir una pirámide egipcia trabajaron 20000 personas durante 10 horas diarias y tardaron 20 años en acabarla. ¿Cuánto habrían tardado en construirla trabajando 8 horas al día? ¿Y si hubieran trabajado 10000 personas más?
5. En una tintorería, con 12 personas planchando, se han conseguido planchar 1200 pantalones en 5 mañanas. ¿Cuántos pantalones se plancharían con 10 personas en 10 mañanas? 6. Un tejido de 3 metros de largo y 2 metros de ancho ha costado 72 €. ¿Cuántos metros de largo tendrá un tejido del mismo tipo de 4 metros de largo que ha costado 48 €?
3. En las fiestas de un barrio se colocan 120 paneles luminosos que se encienden 8 horas cada día, produciendo un gasto total de 1440 euros. ¿Cuánto gastaríamos si colocásemos 60 paneles más y los encendiésemos dos horas menos?
7. Si para realizar el trazado del AVE entre dos ciudades que distan 300 km trabajaron durante año y medio 50 personas, ¿cuántas personas necesitaremos para realizar el trazado del AVE entre dos ciudades que distan 200 km si queremos que dicho trazado se realice únicamente en un año? 8. 8. Si 30 grifos llenan 20 depósitos en 10 horas, ¿cuántos depósitos llenan 10 grifos en todo un día? 79
S ECCIÓN 5
Porcentajes
Cálculo del porcentaje Podemos calcular el porcentaje de las siguientes maneras: Entendiéndolo como una proporción:
Llamamos porcentaje a una proporción del número 100. Esto es, si decimos que tomamos el a% de un total queremos decir que tomaremos a partes de cada 1oo del total.
Se puede aplicar una regla de tres, puesto que la relación entre el porcentaje y la cantidad siempre será de proporcionalidad directa.
Ejemplo: El 25% de 400 lápices será 100 lápices, puesto que tomamos, de cada grupo de 100 lápices, 25 de ellos; así, al haber 4 grupos de 100 lápices, tendremos 4·25 = 100 lápices.
80
Problemas con porcentajes Cálculo de la parte, conociendo el porcentaje y el total: Son los vistos hasta el momento durante el capítulo.
Aumentos y disminuciones porcentuales En nuestra vida diaria encontramos situaciones en que es muy útil saber calcular aumentos y disminuciones porcentuales, por ejemplo si queremos saber el precio final de un artículo al que no le han aplicado el IVA (impuesto sobre el valor añadido) o si estamos en épocas de rebajas en el comercio. Veamos cómo hacerlo. Disminuciones porcentuales: Si queremos disminuir una cantidad en un a%, tendremos que calcular el (100-a)% del total.
81
Tasas de variación porcentual En los casos anteriores de aumentos y disminuciones porcentuales podemos calcular el tanto por ciento si conocemos la Ci y la Cf . Basta con aplicar la siguiente fórmula: a% =
Cf − Ci Ci
⋅ 100
Nos fijamos que hemos puesto la fracción en valor absoluto (las barras). Ello significa que sólo me interesa el valor numérico, independientemente de su signo, el cual sería positivo si hablásemos de un aumento porcentual, ya que Cf > Ci; y sería negativo si se tratara de una disminución porcentual puesto que Cf < Ci. Es cuando obtengamos el porcentaje y al realizar su interpretación cuando tendremos que valorar si el resultado obtenido representa un aumento o una disminución sobre la cantidad inicial. Ejercicio resuelto: Calcule el IVA aplicado en España a los productos deportivos, si una gorra cuesta 15 € sin impuestos y 18,15 € con ellos. a% =
18,15 − 15 ⋅ 100 15
a% =
3,15 ⋅ 100 15
a % = 0,21 ⋅ 100 = 21 % Luego los precios de los productos deportivos en España se incrementan un 21% a causa del IVA.
Ejercicio resuelto: ¿Qué porcentaje de rebaja ha tenido una bufanda si su precio inicial era de 20 € y rebajada cuesta 17€? a% =
17 − 20 ⋅ 100 20
a% =
3 ⋅ 100 20
a % = 0,15 ⋅ 100 = 15 % En esta tienda el artículo ha tenido una rebaja (disminución porcentual) del 15%. Lo que acabamos de calcular son tasas de variación porcentual, que en determinadas materias se utilizan frecuentemente para realizar estudios comparativos entre dos períodos de tiempo. Es el caso de la Economía donde multitud de variables económicas son temporales, y utilizando estas tasas vamos a poder estudiar la evolución en el tiempo de variables tales como el desempleo, los precios, la población, la renta, etc., constatando si han aumentado o disminuido y en qué porcentaje, con el objeto de adoptar medidas por parte, por ejemplo, de los Gobiernos de un país. La fórmula que se aplica es: Tasa de variación =
Vf − Vi Vi
⋅ 100
Donde Vf es el valor en el momento actual de la variable que estemos estudiando, y Vi es el valor que tenía la variable en la fecha con la que estamos comparando. 82
Ejercicio resuelto: En España el número de desempleados en 2012 era de 5.965.400. Si en 2011 esa cifra se situó en 5.273.000 parados, calcula la tasa de variación porcentual. Tasa de variación =
5.965.400 − 5.273.000 ⋅ 100 5.273.000
Tasa de variación =
692.400 ⋅ 100 5.273.000
Tasa de variación = 0,1313 ⋅ 100 = 13,13 % Conclusión, el desempleo creció en España entre el 2011 y el 2012 en un 13,13%. Actividades 1. Ana ha estudiado 20 minutos de los 80 minutos que piensa estudiar, ¿qué porcentaje de tiempo le queda por estudiar?
3. ¿Cuánto dinero le quedará al mes a un trabajador que cobra 1500 €, si tiene que pagar un 21 % en impuestos? 4. Manuel ha gastado 25€ de los 300€ con los que salió de casa, ¿qué porcentaje de dinero le queda? 5. Alejandro, Javier y Laura han faltado hoy a clase. Si sabemos que el 85% de los alumnos han ido a clase, ¿cuántos alumnos tiene la clase en total? 6. ¿En qué porcentaje tendremos que incrementar nuestros ingresos, si estos son de 1000 € y queremos ingresar 1800€? 7. Si en una tienda hay un 15% de descuento en todos los artículos, ¿cuánto pagaré por unos zapatos de 45 €? ¿Y por una corbata de 22 €? ¿Y por un sombrero que cuesta 70 €? 8. Calcula la tasa de variación porcentual que ha tenido la población en España entre 1900 y 2012, si a principios del siglo XX había 18,61 millones de habitantes, y en 2012 la población era de 47,27 millones de personas.
2. Álvaro tiene en su bolsillo 4 €, que representan el 16% del dinero con el que salió de casa, ¿con cuánto dinero salió? 83
S ECCIÓN 6
Interés bancario
Por tanto el interés nos indica la cantidad de dinero que se obtiene o que hay que pagar en un periodo de tiempo, y se expresa en forma de porcentaje. Este interés será directamente proporcional al dinero depositado y al tiempo que dura dicho préstamo. Es decir, cuanto más tiempo tengamos para devolver el dinero y más necesitemos, mayor será el interés a pagar; igualmente en el caso de la rentabilidad del ahorro: cuanto más dinero depositemos en un banco, por ejemplo, y más tiempo lo tengamos sin usar, más recibiremos. Para facilitar los cálculos anteriores, utilizaremos una fórmula:
El interés es un concepto económico que tiene dos significados desde este punto de vista: Cuando los agentes económicos ahorran dinero, y ese ahorro lo colocan en un banco, por ejemplo, este les da un interés, de manera que al cabo del tiempo el dinero se incrementa en ese valor. Es la rentabilidad. Por otro lado, a veces los agentes no tienen suficiente dinero para comprar algo o invertir, por ejemplo para comprar un piso. Entonces piden dinero prestado a una entidad financiera (banco), la cual por ello les cobra un interés (al tipo de interés en Economía se le llama precio del dinero). Cuando vence el préstamo deben devolver lo prestado (principal) más los intereses.
I=
C⋅r⋅t
100
Donde: C es el capital depositado o capital prestado. r% es el porcentaje de interés anual t es el tiempo que dura la operación medido en años I es el interés: aumento o disminución del capital inicial. Ejemplo resuelto: Calcula el interés que hay que pagar por un préstamo de 1500 € a 3 años con un 7% de interés anual. I=
1500 ⋅ 3 ⋅ 7 = 350 € 100 84
También podremos calcular, conocido el interés, la cantidad final que tendremos por un depósito, transcurrido el tiempo, o el total que habrá que devolver a un banco por el dinero prestado (Ci). Sólo tendremos que hacer el siguiente cálculo: Primero
I=
Ci ⋅ r ⋅ t 100
Y posteriormente: C f = Ci + I Ejemplo resuelto: Calcula el dinero que hay que devolver por un préstamo de 1500 € a 3 años con un 7% de interés anual. I=
1500 ⋅ 3 ⋅ 7 = 350 € 100
Cf = 1500 + 315 = 1815 € a devolver incluido el principal y los intereses.
Actividades 1. ¿Cuánto recibiré por mantener un depósito de 10000 € durante 7 años al 8 % anual? ¿Y por mantenerlo un año y medio? 2. ¿Cuánto dinero tendré en el banco al finalizar el segundo año que mantengo 7500 € en un depósito al 2,5% anual? 3. ¿Cuánto dinero tendré que ingresar en el banco para obtener 500 € de interés en dos años si me ofrecen el 4% anual? 4. ¿Qué interés producirá al trimestre un capital de 2000 € colocado al 4,8 % anual? 5. Si deposito durante dos años 6000 € en el banco por los que recibo un 7,5 % anual, ¿cuánto dinero tendré al cabo de los dos años? 6. ¿Cuántos intereses tendrá que pagar Luisa por un préstamo que ha pedido al banco para comprarse un coche de un monto de 12.500 € a devolver en 3 años, si la entidad financiera le cobra un 6,5% de interés? Al final de los tres años, ¿cuánto dinero devolverá al banco
Puede ocurrir que el tiempo de depósito, o de devolución del préstamo sea inferior al año. Si es así, la fórmula del interés varía: Si t se expresa en meses... Si t se expresa en días....
Toca en cada punto para ver su descripción
En ambos casos, aplicando la forma general, se calcula directamente. 85
S ECCIÓN 7
Refuerzo y ampliación
5. Un elefante que va a 10 km/h realizar un trayecto en tres horas y media. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo recorrido si fuera 2 km/h más rápido?
Actividades de refuerzo 1. Sabiendo que las magnitudes A y B guardan una relación de proporcionalidad directa: a) Completa la siguiente tabla: b) Halla la constante de proporcionalidad. Magnitud A Magnitud B
4 11
10
4000 66
2. Un kilo de tomates cuesta 2,8 €. ¿Cuánto costarán 300 gr de tomates?
6. Cada habitación doble de un hotel cuesta 55 €. ¿Cuánto tendrá que pagar un grupo de 8 amigos por estar una semana alojados en el hotel? 7. Un depósito de carburante contiene 3000 metros cúbicos de gasolina. Si en un día se vacía 2l 25% de este volumen y al finalizar el día se rellena con el 14% de lo que quedaba, ¿cuántos litros de carburante quedarán al finalizar el día? ¿Cuál será el porcentaje que queda con respecto a la cantidad inicial? 8. Calcula: a) El 45% de 200 profesores
3. Si con un velocidad de 20 Km/h un ciclista recorre 50 Km, ¿cuántos Km recorrerá en el mismo tiempo a una velocidad de 30 Km/h? 4. Si un edificio de 25 m proyecta una sombra de 8 m, ¿cuánto medirá la sombra de una persona que mide 175 cm?
b) Si 50 € es el 40% de una cantidad, la cantidad c) Si tres pares de zapatos de María son rojos y en total tiene 16 pares de zapatos, porcentaje de zapatos rojos 9. Si cinco obreros cobran por seis días de trabajo 2400 €, ¿cuánto cobrarán 10 obreros por 4 días de trabajo? 86
Actividades de ampliación 1. Si en una clase de 40 alumnos hay 27 chicas y en otra clase de 30 alumnos hay 19 chicas, ¿en qué clase es mayor la proporción de chicas?
5. Sergio tiene que pagar el 15 % de su patrimonio por una deuda que contrajo el año pasado. Además, tiene que pagar un 10 % del resto en un impuesto. Si en total va a tener que pagar 47000 €, ¿a cuánto asciende su patrimonio? 6. Los precios de las acciones de una gran empresa han subido durante esta semana el 2% el lunes, el 1’5 % el martes, el 3% el miércoles y el 0’5% el jueves, bajando un 4% el viernes. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida o bajada global de la semana?
2. Belén, por recibir una herencia, tuvo que pagar el 10 % de lo heredado. Como es despistada, se le olvidó pagar, por lo que tuvo un recargo del 15 % del impuesto que tenía que pagar. ¿Qué porcentaje de la herencia acabó pagando? 3. Julián sale todos los días a correr a una pista de atletismo y da siempre el mismo número de vueltas. Cuando había dado el 32 % de vueltas dio dos vueltas más, llegando así al 40 % de su recorrido. ¿Cuántas vueltas da todos los días a la pista de atletismo? 4. Un depósito de agua está lleno al 85 % a principios de enero. Si se gasta durante el mes de enero un 20 % del agua almacenada, ¿que porcentaje del depósito está vacío?
7. Un banco presta 45 000 € a Jorge. Al cabo de un año, 4 meses y 20 días recibe 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés. 8. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 € con vencimiento para el 13 de agosto y recibe 19.559,90 €. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré? Nota: El descuento bancario es una operación consistente en que una entidad financiera te adelanta el dinero que tienes que cobrar a un cliente antes de que se cumpla el plazo de tiempo para el pago. Por ello, el banco te cobra un interés, que en este caso se denomina tasa de descuento. 87
S ECCIÓN 8
5. Determina tres pares de valores proporcionales a 7 4 y otros tres pares de la razón . 10 11
Repaso 1. Comprueba si las siguientes razones forman una proporción o no. Si lo son, calcula la constante de proporcionalidad. a)
7 8 ;
14 12
b)
6. Para realizar una pizza en un restaurante se necesita una determinada cantidad de harina en función del número de porciones. Esto lo reflejamos en la siguiente tabla:
5 100 ; 7 140
2. Si el tanto por uno de la razón
x es 0,4, halla el va5
lor de x. ¿Qué significa? 3. Un ciclista recorre 90 km en 2 horas y media. Calcula los km que recorre en una hora y el tiempo que tarda en recorrer 1 km.
Porciones Gramos de harina
1 350
3 1050
4 2800
a) ¿Existe algún tipo de proporcionalidad entre las magnitudes descritas? Si es así, ¿de qué tipo? b) Completa la tabla. 7. Determina si las siguientes magnitudes guardan relación de proporcionalidad directa, inversa o no guardan ninguna relación:
4. Determina el término desconocido de las proporciones siguientes: a) b)
5 45
= x 80
12 1 =
x 3
c) d)
5 1525 = 6 x x 21 = 3,2 16
8. Si una imprenta realiza 50000 libros en cuatro mañanas, ¿cuántos libros se realizarán en 20 mañanas? 9. Si cuatro traductores traducen un libro en 15 días , ¿cuántos traductores se necesitan para traducirlo en 5 días menos? 88
10.Una empresa de sofás necesita 10 viajes a su punto de venta para transportar con sus cuatro camiones los 1000 sofás que ha fabricado en el último mes, ¿cuántos camiones necesitaría para hacer en únicamente dos viajes el transporte de los 800 sofás que va a fabricar en el siguiente mes?
14.Fernando decide regalar a su familia el 18 % del dinero que ganó en la lotería. ¿Cuánto dinero le quedará si ganó 200000 €? Si por realizar dicha donación tiene que pagar un 5 % de impuestos a Hacienda, ¿cuánto dinero tendrá que pagar de impuestos? 15. Determina cuál de las siguientes situaciones es mejor para el cliente de una tienda de ropa que decide comprar por 45 € una camisa: a) Que primero se le realice un descuento del 15 % y luego se le cargue un 20% de IVA sobre ese precio rebajado.
11. Pilar tiene 20 vacas que necesitan 3000 kg de pienso durante 20 días, ¿cuánto pienso necesitará para los siguientes 10 días si acaba de comprar 5 vacas más?
12. Un taller de confección tarda en realizar 5000 trajes 8 días trabajando 6 horas al día. ¿Cuánto tardará en realizar 10000 trajes si trabaja 8 horas al día?
b) Que primero se cargue un 20 % de IVA y luego se le rebaje el 15 %. 16.Si un gran almacén aplica sobre sus artículos un 15% de rebaja sobre el precio marcado y decide subir, posteriormente, el 15% del precio rebajado, ¿cuál es el porcentaje de subida o bajada real? 17. Si de 5000 kg de olivas obtenemos 3300 kg de aceite, ¿qué porcentaje de la masa de olivas es el que obtenemos de aceite?
13. ¿Cuánto dinero tendré en el banco después de año y medio desde que ingresé 5000 € al 4% de interés anual? 89
18.El número de usuarios de internet en un cierto país en los últimos 10 años ha subido en un 80%, llegando a la cantidad de 9 millones de usuarios. ¿Cuál era la cantidad de usuarios que había hace 10 años? 19.En cierta ciudad española el 20 % de los habitantes es extranjero, y el 15% de los extranjeros son europeos comunitarios. ¿Qué porcentaje de los habitantes de la ciudad es europeo comunitario? NOTA: Ten en cuenta que los españoles también son europeos comunitarios. 20.Las lluvias del pasado mes hicieron que el caudal de un río aumentara un 20%. Si este mes, que no llovió nada, disminuyó su caudal en un 15% de la cantidad inicial del mes, ¿qué porcentaje varió en los dos meses con respecto a la cantidad inicial?
22.Si a una pareja le han cobrado 33 € por una cena y sabemos que el IVA es del 10 %: a) ¿Cuánto costaría la cena sin IVA? b) Si el dueño del restaurante tiene que pagar un 25 % de la cena a los camareros, ¿qué porcentaje de los 33 € le queda al dueño del restaurante? 23. Si en tres años he obtenido 600 € de beneficio por haber ingresado 30000 € en el banco, ¿cuál será el porcentaje de interés anual que me habrán dado? 24. ¿Qué capital tendremos que ingresar durante 2 años para obtener 1000 € de beneficios, si el rédito es del 5% anual? 25. Si un banco ofrece un 0’2 % de interés mensual, ¿cuánto dinero obtendremos de beneficio por ingresar 3000 € durante dos años y medio? 26. ¿Cuál es el rédito que ofrecieron a un cliente que obtuvo 1800 € por ingresar 10000 € durante 2 años y medio? 27. ¿Cuánto tiempo deberemos de mantener un capital de 10000 € para doblar la cantidad si el rédito es del 5% anual?
21. Si depositamos 30000 € al 2’5 % anual durante 7 años y medio, ¿cuál será el interés producido? 90
C APÍTULO 5
Álgebra
El álgebra es más que un área de las matemáticas. Es capaz de solucionar multitud de problemas de la vida cotidiana (cuanto me cuesta un producto rebajado, la cantidad de azulejos que tengo que comprar para solar una habitación, los litros que voy a gastar en llenar mi piscina…). Además, con la utilización de esta disciplina podemos alcanzar un mayor grado de lógica, orden, claridad…
S ECCIÓN 1
Útilidad del álgebra
Actividades: 1. Expresa en lenguaje algebraico cada uno de estos enunciados. a) El doble de un número. b) El quinto de un número, c) El triple de un número menos dos.
El álgebra es una rama de las matemáticas. Nos permite resolver operaciones aritméticas donde se utilizan además de números, letras cuyo valor numérico es desconocido, pero pudiendo operar con ellas de la misma manera que operamos con los números. Utilidades del álgebra
Toca en cada punto para ver su descripción
1. Para expresar el término general de una serie numérica. 2. Para expresar identidades, es decir, igualdades que siempre se cumplen, sea cual sea el valor de las letras. Ejemplos, son las propiedades aritméticas de los números. 3. Para expresar enunciados del lenguaje oral o escrito de forma simplificada y concisa a través del lenguaje algebraico, el cual nos permitirá operar aritméticamente con ellos. 4. Para expresar fórmulas, igualdades de generalización que relacionan diferentes variables que se desconocen, y que nos permiten obtener el valor de una de ellas a partir de las demás.
d) El doble del producto de dos números. e) La mitad del cubo de un número. f) La mitad de un número más el triple de ese número. 2. Señala el término general de las siguientes series de números: a) 1, 5, 9, 13,17, … b) 2, 4, 8, 16, 32, … c) 0, 2, 6, 12, 20, … d) 1, 8, 27, 64, 125, … 3. ¿Es una ecuación la propiedad asociativa del producto?. Razona tu respuesta. 4. Une las expresiones correctas:
5. Para resolver ecuaciones, igualdades que van a permitir solucionar problemas, y que sólo se cumplen para determinados valores de las incógnitas. 92
Ejemplos:
S ECCIÓN 2
Expresiones algebraicas: monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto indicado de un número y de una o más letras. Ejemplo:
1 de 13
4x2y •
A la parte numérica se le llama coeficiente, siendo un valor conocido.
•
A las letras se las denominan parte literal, y representan valores desconocidos.
•
El grado de un monomio viene dado por el número de letras que hay en la parte literal. No decimos las letras que hay, sino el número de letras que hay. Siempre que se pregunte el grado de un monomio se deben sumar los exponentes de las letras que forman la parte literal.
Valor numérico de un monomio El valor numérico de un monomio es el valor que obtenemos cuando a las letras de la parte literal le damos valores concretos. Ejemplo:
•
El valor numérico de 2x y cuando x = 1 , y = 2 es 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4:
Monomios semejantes Monomios semejantes son aquellos que tienen idéntica la parte literal, con independencia del valor que tome el coeficiente. Ejemplos:
•
3 8x y y − x y son semejantes 7
•
4ab y 4ab 2 no son semejantes 93
S ECCIÓN 3
Operaciones con monomios
Actividades 1. Calcula el resultado de las siguientes expresiones, siempre que sea posible. a) 3x − 4x
Suma y resta de monomios Para poder realizar estas operaciones con monomios es necesario que sean semejantes, ya que de otra manera la suma o la resta quedarán indicadas, obteniendo un polinomio, expresión algebraica que veremos con detenimiento en la sección 4 de la unidad. En una suma o resta de monomios se suman o restan los coeficientes, manteniéndose la misma parte literal. Para sumar (o restar) monomios, lo que hacemos es operar los coeficientes, dejando la misma parte literal. Si en estas operaciones nos encontramos con paréntesis, operamos como en toda operación combinada, eliminando dichos paréntesis lo primero. Ejemplos:
b) 2x + 4x − 8x
1 3 xy − xy 2 2 2 g) 3a2 b − a2 b 5 f)
c) −3y − 2y
h) 3x2 y − 3xy2 1 3 x + 3x3
d)
i) (−5x + 7x) − (3x + 2x) 3 1 e) 4a2 − 2a + a − 6a2 = 2 2. Reduce las siguientes expresiones al máximo. a) 3x − 2x2 + 4x = b) −4x + xy + 3y + 2xy + y = c) −2x − 1 + 4x + 3 − x + 2 − x = d) 6xy + y2 − 2x − xy + x 2
2
e) −ab + 2b − 2ab − 5b = f)
2 3 1 1 x + 3x3 + 3 − − x3 = 3 4 6
3. Reduce y simplifica. a) (3x2 + 5x) − (−x2 + 2x)
6x + 5x = 11x
b) −3ab − (−2a3 − 2ab)
12x 2 − 3x 2 = 9x 2
c) (−2x2 + 3x2) + (−2x2 + 3x − 4x)
4x 3 + x 2 − 6x + 3x 2 = 4x 3 + 4x 2 − 6x
d) (4x4 − 3x2 + x) − (−2x4 − x3 + 3) 94
Multiplicación de monomios Podemos multiplicar monomios independientemente de que estos sean o no sean semejantes.
2. Completa el espacio en blanco con el monomio correspondiente.
Al multiplicar monomios obtenemos como resultado otro monomio, cuyo grado será la suma de los grados de los monomios del producto.
Para llevar a cabo la multiplicación de monomios, operaremos de la siguiente manera:
• •
Se multiplican los coeficientes de los monomios. Se multiplican las partes literales atendiendo a la propiedad del producto de potencias de la misma base.
Ejemplos: 3x2 ⋅ (−4x3) = − 12x5 2 4 3 −3 1 x ⋅ x = x 3 4 2 x2 y3 ⋅ (−3xyx) = − 3x3y 4z Actividades 1. Calcula los siguientes productos de monomios. a) x ⋅ 4x
d) x3 ⋅ 5x2 ⋅ (−2x)
1 y
2
e) −2x−2 ⋅
c) 2xy3 ⋅ x
b) 3y ⋅
1 3 x 2
Comprobar respuesta
95
División de monomios Para dividir monomios no es necesario que estos sean semejantes. Para llevar a cabo la división de monomios:
• •
Dividimos los coeficientes por un lado. Dividimos por otro lado las partes literales, teniendo en cuenta en este caso la propiedad del cociente de potencias de la misma base.
En la división de monomios,. El resultado que vamos a obtener puede ser: - Un número cuando los monomios que dividimos son semejantes. 1 2 2 xy ÷ − xy2 = − 3 ( ) 2 3 - Un monomio, siempre que el grado del dividendo sea mayor que el del divisor. 1 3x4 ÷ 6x = − x3 2 - Una fracción algebraica si el grado del divisor es mayor que el del dividendo. Recordemos que una fracción algebraica es aquella cuyo denominador es una expresión algebraica (monomio, polinomio) 4x2
÷
2x6
2 = x4
Actividades 1. Calcula: a) 3x2 ÷ 5x2 b) 20x6 ÷ 4x2 c) 30x8 ÷ (−6x3) d) 8x ÷ 2 e) 4x2 ÷ (−16x3) f) (−12x−2) ÷ (−3x−4) g) 8x2 y3 ÷ 4x3y 4 z h)
1 2 2 x ÷ − x3 ( 3 ) 8
2. Divide los siguientes monomios: 8x5 a)
−2x2
−4x3
−2x3
b)
9x3y c) 3y d)
−5x2 25x10
−12x3y5z2 e) 6x4 y 6z 96
S ECCIÓN 4
Expresiones algebraicas: polinomios
Los polinomios no se pueden escribir de cualquier manera. Se deben escribir en orden descendente en base al grado de los monomios que lo forman de mayor a menor, o en orden ascendente, del monomio de menor grado hasta llegar al de mayor grado. Algunos casos concretos de polinomio son: Polinomio nulo o cero.
Un polinomio, P(x), es una expresión algebraica formada por la suma de dos o más monomios no semejantes, ya que si lo fueran tendríamos que reducir previamente esa suma. Ejemplo:
P(x) = 3x3 + 2x2 − x + 1 El polinomio P(x) está formado por cuatro términos, donde el monomio de grado 0 (monomio sin parte literal x0 = 1 ) se denomina término independiente. En el ejemplo sería el 1 En función del número de términos que tenga un polinomio, recibe nombres concretos: monomio (1 término), binomio (2 términos), trinomio (3 términos). Si el polinomio tiene más de tres términos no se les suele denominar de ninguna manera especial. La forma de referirse a un polinomio es a partir de una letra mayúscula, en nuestro ejemplo P, unida a un paréntesis en donde se indica el valor de la variable independiente o variables independientes, en nuestro caso la x.
Polinomio homogéneo. Polinomio heterogéneo.
Toca en cada topo de polinomio para ver su descripción
Dos polinomios son iguales si ambos tienen el mismo grado, y además los coeficientes de los monomios de igual grado son los mismos. Grado de un polinomio. El grado de un polinomio es el grado del monomio o término de mayor grado que tenga.
• •
El polinomio Q(x) = − 2x2 + 3x − 1 es de grado 2 El polinomio R(x) = x5 − 2x + 5 es de grado 5
Polinomios completos e incompletos Como regla general, si el grado de un polinomio es n, será completo si tiene n+1 términos, incluido el independiente. Si no es así, será incompleto. 97
Valor numérico
3. Dado el polinomio: T(x) = − x5 − 3x2 + 2x − 2
Es el valor concreto que obtenemos al sustituir las letras de los monomios que lo forman por valores numéricos, y operar consecuentemente.
Responde a las siguientes cuestiones, razonándolas en cada caso:
Ejercicio resuelto:
a) Ordena el polinomio de forma descendente.
Calcula el valor numérico del polinomio P(x) si x es 2, y el de M(x) cuando x toma el valor -3. P(x) = 3x3 + 2x2 − x + 1 M(x) = − x5 + 2x2 − 1 3
b) Escribe un polinomio igual a T(x) c) Indica si es un polinomio completo. 4. Calcula los coeficientes a, b y c, de P(x) y Q(x) para que sean polinomios iguales. P(x) = − x2 − bx + 5
2
P(2) = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 2 + 1 = 3 ⋅ 8 + 2 ⋅ 4 − 2 + 1 = 24 + 8 − 2 + 1 = 31 M(3)) = (−3)5 + 2 ⋅ 32 − 1 = − 243 + 2 ⋅ 9 − 1 =-243+18-1=-226 Actividades
Q(x) = − ax 4 − x2 + x + c 5. Inventa: a) Un polinomio desordenado completo. b) Un trinomio completo y ordenado. c) Un polinomio ordenado sin término independiente.
1. Completa la tabla que se esconde tras el icono: 2. Dado el polinomio: P(x) = − x4 − 3x3 + x − 2 Responde a las siguientes cuestiones, razonándolas en cada caso: a) Número de términos o monomios que tiene. b) Grado del polinomio.
d) Un polinomio incompleto sin término de grado dos. 6. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios: a) P(x) = 2x4 − 3x3 + 6x − 8 si x= 1 b) Q(x) = x2 + 5x − 6
si x= −
1 2
c) R(x) = − x3 + 3x2 − 2x + 3 si x=-2
c) Cuál es el término independiente. 98
S ECCIÓN 5
Resta de polinomios. Polinomio opuesto
Operaciones con polinomios
La resta de polinomios es otro polinomio. Para restar polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.
Suma de polinomios Con la suma de polinomios se obtiene una expresión algebraica. Para sumar polinomios, una vez ordenados los polinomios, agrupamos los monomios de igual grado y los sumamos.
También podemos sumarlos colocando uno encima de otro de forma que coincidan los monomios semejantes por columnas. Si algún polinomio está incompleto dejamos el hueco del monomio que falte o colocamos en su lugar un cero. Ejercicio resuelto: Calcula la suma de los polinomios M(x) y N(x).
Para obtener el polinomio opuesto de otro dado basta con cambiar los signos de los monomios que lo forman. Ahora
restemos dos polinomios en un ejemplo:
Ejercicio resuelto: Dados los polinomios M(x) y N(x), calcula la resta M(x) - N(x). M(x)=x3 − 5x + 3 N(x) = 2x3 − 2x2 − 4x M(x) − N(x) = (x3 − 5x + 3) + (−2x3 + 2x2 + 4x) = = x3 − 2x3+2x2−5x + 4x+3 = −x3−2x2−x+3 Si lo hacemos por columnas:
M(x)=x3 − 5x + 3
M(x)
x3
N(x) = 2x3 − 2x2 − 4x
-N(x)
−2x3
M(x) + N(x) = (x3 − 5x + 3) + (2x3 − 2x2 − 4x) = = x3 + 2x3−2x2−5x − 4x+3 = 3x3−2x2−9x+3
M(x) - N(x)
2x2
−x3
−2x2
−5x
+3
4x −x
+3 99
Producto de polinomios Un polinomio lo podemos multiplicar bien por un número, por un monomio, o por otro polinomio. El resultado del producto de poliniomios vamos a obtener otro polinomio, y en todos ellos estaremos aplicando la propiedad distributiva.
El producto de polinomios es conveniente realizarlo en vertical, dejando el hueco o poniendo un cero en aquellos monomios que falten si alguno de los polinomios es incompleto.. Veamos, a partir de ejemplos cada una de las situaciones que se nos pueden presentar.
Actividades 1. Reduce y ordena mediante las operaciones correspondientes las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x + x + 2x − 6 + 2 b) x3 − 6x2 + x3 c) 2x2 + 3x − x3 − 2 + 3x2 + 4 − x d) −4x3 − 3x2 + 2x3 + 3x2 − x − 1 1 5 e) − x2 − 2x + 2 − x − x2 − 6 3 6 f) 3x − 4 − (5 + 4x) g) 3 − 2x − (−2x + x − 4) h) −3x + x2 + 1 − (3x2 − 5x + 1) i)
Toca en cada ejemplo para ver su descripción:
Producto de un polinomio por un número
Producto de un polinomio por un monomio
Producto de un polinomio por otro polinomio
1 4 1 2 1 x − x − − x3 + x2 − 2x + 3 ( 3 ) 4 2
2. Calcula las siguientes operaciones con los polinomios: P(x) = − 4x2 + 1
Q(x) = − x3 + 3x2 − 6x + 2
R(x) = − 6x2 − x − 1 S(x) = − x2 − 2
a) P(x) + Q(x)
d) P(x) + Q(x) - S(x)
b) Q(x) + R(x)
e) -Q(x) - P(x) + R(x) + S(x)
c) P(x) - R(x) 100
3. ¿Cuál es el grado del polinomio resultante de la suma de polinomios de igual grado? Ilustra tu respuesta con un ejemplo.
a) (x − 2) (x+3) b) (4x+1) (-x+4)
4. Dados los polinomios: P(x) = x4 − x2 − x2 − 8x + 2x − 1
c) (x+3) (2x2 − 3)
Q(x) = x3 − 6x2 − 1 + 5
d) (x2 + 2) (3x-4)
R(x) = x4 + x4 − x − x − 2
e) 4 (-x+4) (3x-3)
Ordénalos, y calcula:
f)
a) P(x) + Q(x) - R(X) b) P(x) + 3Q(x) - 2R(x)
1 2 x (-2x2 + 4) (6x2 + 2) 2
8. Realiza los siguientes productos de polinomios: a) (2x+3) (-x2 − 2x+3)
c) 3R(x) - 2Q(x) - P(x) 5. Hallar el resultado de:
b) (x-1) (2x3 + x+1)
a) 4 (3x + 1)
c) (x2 + 1) (x2 + 2x-1 )
b) 3 (−2x2 − 3x + 1) c) −
7. Calcula:
d) (2x2 − x) (2x2 − 3x+2)
1 (−x2 − 3x + 2) 2
e) (3x2 + 2x-1) (3x2 − 2x+1)
6. Opera: a) 3x (2x − 1)
c) 4x2 (x2 − 3x + 2)
b) −x2 (2x2 + 5x)
2 d) − x3 (−x2 + 3x) 3
f) (−x3 + x-3) (3x2 + 4x-5) 1 3 1 g) −4 (4x2 − 8x+2) x − x (4 2 )
101
S ECCIÓN 6
Cuadrado de una diferencia
Productos notables
(a − b) = a2 − 2ab + b 2
Los productos notables son expresiones algebraicas que surgen como resultado del producto de otras expresiones algebraicas, donde no es necesaria la realización de dicho producto para obtener la solución, ya que cumplen unas reglas fijas. Su conocimiento es muy útil para resolver problemas y ejercicios algebraicos, y fundamentalmente para simplificar fracciones algebraicas. Aunque existen más tipos de productos notables, nosotros estudiaremos las primeras aproximaciones a los mismos.
2
El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplo: (2x − 1)2 = (2x − 1) ⋅ (2x − 1) = 2x ⋅ (2x − 1) − 1 ⋅ (2x − 1) 4x2 − 2x − 2x + 12 = 4x2 − 2 ⋅ 2 ⋅ x + 12 = 4x2 − 4x + 1 (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1
Suma por diferencia
Cuadrado de una suma (a + b) = a2 + 2ab + b 2
(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b
2
2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados. Ejemplo:
Ejemplo: (x + 3) = (x + 3) ⋅ (x + 3) = x ⋅ (x + 3) + 3 ⋅ (x + 3) 2
x2
+ 3x + 3x +
32
=
x2
+2⋅3⋅x+
32
=
x2
(x + 3) = x2 + 6x + 9 2
+ 6x + 9
2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 x+ ⋅ x− = x⋅ x− + ⋅ x− (3 2) (3 2) 3 (3 2) 2 (3 2)
=
4 2 2 2 1 x − x+ x− 9 6 6 4 2 1 2 1 4 1 x+ ⋅ x− = x2 − (3 2) (3 2) 9 4
102
Cubo de una suma (a + b) = 3
Actividades a3
+
3a2 b
2
3
+ 3ab + b
El cubo de una suma es igual al cubo del primero mas el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Ejemplo:
1. Demuestra que el cuadrado de una suma, que suma por diferencia y que el cubo de una diferencia dan como resultado el desarrollo mostrado en la teoría de los productos notables. Razónalo de forma genérica. 2. Calcula los siguientes productos notables: a) (x + 5)
g) (x2 − 2y)
b) (3x + 2)
h) (x + 2) (x − 2)
c) (2x + 3y)
i) (2 + x) (2 − x)
d) (2x − 1)2
j) (3x + 3) (3x − 3)
1 1 k) x− (2 2)
1 1 k) x− (2 2)
2
2
2
3
(x + 2) = x3 + 3·x2 ⋅ 2 + 3·x ⋅ 22 + 23 = x3 + 6x + 23 Cubo de una diferencia (a − b) = a3 − 3a2 b + 3ab − b 3
2
3
El cubo de una diferencia es igual al cubo del primero menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
2
e) (x2 − 3)
2
f) (x + 3)
3
2 (3x2 − x) = (3x2) − 3 ⋅ (3x2) ⋅ (−x) + 3 ⋅ 3x2 ⋅ (−x) − 23 3
3
= 27x6 − 27x5 + 9x4 − x3
2
2
3
3. Transforma las siguientes expresiones en productos notables.
e) x4 − 6x3 + 9x2
b) 4x2 + 4x + 1
f) 4x2 − 9
c) 9x2 − 6x + 1
g) x2 − 1
d) 25x2 − 20x + 4
h)
a) x2 − 2x + 1
Ejemplo:
2
1 2 1 x − 4 9 103
S ECCIÓN 7
Simplificación de fracciones algebraicas Factor común Sacar factor común de una suma o resta de términos consiste en buscar el elemento común de dichos términos, transformando la suma en un producto. Sacar factor común es una operación inversa a la propiedad distributiva.
a ⋅ b + a ⋅ c + a ⋅ d = a (b + c + d) La mecánica para sacar factor común en una expresión consta de dos pasos: 1. Encontrar el factor común. 2. En el paréntesis se escriben los cocientes de cada
término multiplicado por el factor común.
Simplificación Si tenemos un cociente de polinomios, es decir, una expresión algebraica podemos simplificar dicha expresión utilizando los productos notables y/o sacando factor común si es posible. Primero tenemos que comprobar si se puede sacar factor coLa utilidad de sacar factor común es la de permitir simplificar fracciones algebraicas. En el apartado siguiente veremos esta aplicación. mún, y después constatar si las expresiones que nos quedan representan el desarrollo de alguno de los productos notables que conocemos. Después de estos pasos, si en el denominador y numerador encontramos expresiones iguales, las simplificamos al máximo, hasta encontrar la fracción algebraica irreducible. Ejemplos: (x + 2) (x − 2) x2 − 4 x+2 = = x2 − 4x + 4 x−2 (x − 2)2 x2 − x x (x − 1) x−1 = = 2x2 − x x (2x − 1) 2x − 1 2x2 + 2x 2x (x + 1) 2x (x + 1) 1 = = = 2x3 − 2x 2x (x2 − 1) 2x (x + 1) (x − 1) x−1
104
Actividades 1. Completa la tabla:
3. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas, utilizando los productos notables: x2 + 2x + 1 a) x2 − 1 x4 − 9 b) x4 − 6x2 + 9 c) d)
2x − 1 4x2 − 4x + 1 5 (4 − x2) 2−x
4. Simplifica las fracciones algebraicas extrayendo factor común: 3x − 3 a)
3x − 9
3x2 + 6x d) 2 9x − 3x
4x2 b) 2
4x + 8x
e)
3x2 − 75 c) 3x3 − 30x2 + 75
-4x3 + 122 − 9x d) 4x3 − 9x
-5x 5x3 − 5x
x2 + 3x c) x+3 2. Saca factor común en las siguientes expresiones: a) −5x2 − 5y
f) 5xy2 − 3xy
b) 2ab + 3a
g) xy + x2 y − xy 2
c) 8x2 + 4x
h) 25x4 − 10x2
d) 6ab + 5ac − 3ac
i)
5. Simplifica: 2x4 − 8x a)
x+2
2x2 + 4x + 2 b)
x3 − x
2 4 2 xy − xyz + x2 y 2z 3 9 3
e) 9x2 − 3x 105
S ECCIÓN 8
4. Une cada expresión con su equivalente en el lenguaje algebraico.
Repaso
Pregunta 1 de 2 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) Un número par b) El cubo de un número más dos c) El doble de un número d) El 10% de un número más uno e) El doble de la suma de dos números consecutivos f) El número anterior al número n g) El producto de un número por el siguiente 2. Escribe algebraicamente el perímetro de estas figuras:
3. El hermano de Carlos tiene 5 años menos que él, su madre tiene el doble de años y su padre el doble más cinco. Si los años de Carlos son x, expresa en forma algebraica los años de cada miembro de la familia, y la suma total de años de todos ellos.
Comprobar respuesta
106
5. Completa la siguiente tabla
8. Multiplica los siguientes monomios: a) x3 ⋅ 2x3 b) −12x ⋅ (−3x2) 8 3 3 c) − x x y ) 3 (2 d) (2xyz) ⋅ (−2xyz)
2
9. Divide estos monomios: a) 3x2 ÷ 12x b) 18x6y 2z5 ÷ 6x3 yz2 c) 6x2 y ÷ (−12x2 y 7 z4) 1 5 d) − x4 y 3 ÷ xy 5 2 10.Completa la siguiente tabla:
6. Escribe un monomio semejante de los del ejercicio anterior. 7. Realiza las sumas de los siguientes monomios: a) 4a − 2a
d) 2z − 3z + z
b) 3x + 2x
e)
1 -6x + x3 − 2x3 3
c) −4x + 2x
4 2 1 x + x2 − x2 5 2 3
11. Calcula el valor numérico de los polinomios del ejercicio 10 si: 1 a) x= − 2 b) x= 0 c) x= -2 107
12. Sean los siguientes polinomios:
14.Calcula:
P(x)= 3x2 − 2x + 1
a) 3 (x + 3) + 4 (2x + 2)
Q(x)= 5x2 − 3x + 4
b) x (2x + 1) − 3 (−x2 + 2)
R(x)= −3x3 − 2x + 1
c) (−2) (x + 2) + (3x − 1) (2x + 1)
S(x)= 4x4 − x3 − x2 Calcular:
2 3 1 d) − x −3x − +4 x + 1 (x2 − x + 2) ( ) ( ) 3 2 4 15. Opera y reduce las siguientes expresiones:
a) P(x)-R(x)
a) (3x2 + x2 − x + 5) (x2 − 2x + 1)
b) Q(x)-P(x)
b) (−2x2 − x + 1) (−3x3 + 4x + 2)
c) –Q(x)+S(x)
c) (−x3 + x2 − 2x) (5x2 − 3x + 1)
d) S(x)-Q(x)+P(x) e) R(x)-[P(x)-S(x)]
d) (x4 + 3x2 − 1) (−x2 + 3) 16.Dados los polinomios:
f) P(x)-[S(x)+R(x)]
P(x) = 2x + 1
g) Q(x)-[-S(x)+R(x)]
Q(x) = 2x2 − 3x + 1
13. Hallar el resultado de los siguientes productos: a) −2x2 (3x − 1) b)
1 x (2x2 + 3x − 2) 4
d) (−x + 3) e)
x (x3
S(x) = − x2 − 1 Calcula: a) P(x) + Q(x) b) S(x) - P(x)
c) 5 (5x + 3) (x2
R(x) = − 3x2 − 5
+ 2)
+ 2x) (−x + 1)
c) P(x) · R(x) d) -3·P(x) + P(x)·S(x) e) [S(x)+R(x)] · [2Q(x)-3x·P(x)] 108
17. Calcula los siguientes productos notables:
19.Saca factor común en las siguientes expresiones:
a. (−x + 2)2
a) x3 + x2 − x
b. (2x + 1)2
b) 15x2 − 3x2 + 12x
c. (x + 3y)
2
c) 15x4 + 5x2 + 10x
d. (x − 4)
2
d) 3ab + 6abc − 9bc
e. (x2 − 3x)
2
f. (2x2 − 2y)
2
g. (2x + 5) (2x − 5) h.
1 1 x+2 x−2 (2 )(2 )
i. (
2x2
− 3x)
3
j. (x − 5)
e) 2x2 y4z − 8xy 2z + 6xy 3z2 20.Simplifica las siguientes fracciones algebraicas sacando factor común o/y utilizando los productos notables. a)
12x3 y + 4x2 y 2
b)
2x3 + 10x2 + 16x
3
18.Transforma las siguientes expresiones en productos notables. a. x4 − 2x2 + 1 b. 9x2 + 30x + 25 c. x4 − 6x2 + 9 d. x2 + 6x + 9 e.
9x2
−1
g. 4x2 − 4 h.
4 2 1 x − 25 9
c)
18x4 + 2x2 y
4x3 + 8x2 − 4x
x5 − x 2x5 − 2x
x4 − 1 d) x3 + x e)
x3 − 9x
x3 − 6x2 + 9x
2x2 + 8x + 8 f) 4x2 − 16 109
S ECCIÓN 9
Refuerzo y ampliación Actividades de refuerzo 1. Expresa en lenguaje algebraico: a) La suma de dos números consecutivos. b) La diferencia de dos números pares. c) El producto de dos números impares.
3. En los monomios del ejercicio anterior, diferencia en un cuadro su coeficiente y su parte literal. Calcula el valor numérico de cada uno de ellos 1 para x = − . 2 4. Realiza las siguientes operaciones y simplifica al máximo: a) 10x + x2 − 8 + 2x2 − 19x + 3 b) 5x3 + 3x3 − 2x + 3 − x + x2-5 c)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 x y + x y − x y 2 4 3
d) El cociente del segundo número entre el primero.
d) 3x2 − x (x + 2) − 3 (x2 + 2x − 1)
e) El triple de un número.
e) x (−3x) ÷ (9x3)
f) El producto del triple de un número por el doble de otro número. g) El doble de la diferencia de dos números 2. En los siguientes monomios, indica su grado y dime cuáles son semejantes: 1 a) 3x2
e) x 4 1 b) −3x2
f) x2 2 3 c) x3
g) x2 4 3 d) x 4
f) g)
2x4
9x3 + − x (x − 2) − x + 5 3x
1 3 x 2 1 2 x 5
1 + x3 − 5x − ( 2)
5. Sean los siguientes polinomios: P(x) = 5x2 − x + 3 Q(x) = 6x2 − 2 Calcula: a) -2P(x) + 5Q(x) b) P(x) · Q(x) 110
6. Considera los polinomios: A(x) = 3x2 − 5x + 6 B(x) = 2x4 − 2x3 + 4x − 2 C(x) = x3 + 5x2 − 2x − 3 Calcula: a) A(x) - B(x) b) 2A(x) + B c) B(x) - C(x) d)
B(x) − 2[C(x)-A(x)] 2
7. S i m p l i f i c a l a s s i g u i e n t e s fracciones algebraicas, utilizando todos los métodos conocidos. a) b)
− 3x 4x2 − 4x + 1 12x3
x2 − 9 2x4 + 12x3 + 18x
d)
2
2x4 + 12x3 + 18x2
12x3 − 3x e) 4x2 − 4x + 1
1. Escribe una ecuación para los siguientes enunciados:
3. R e a l i z a l a s s i g u i e n t e s operaciones con los polinomios: A(x) = 3x4 + 2x3 − 6x2 − 4x + 2
a) El doble de un número más el doble del número anterior es igual a 20.
B(x) = x4 − 4x2 + 7x − 2
b) La mitad de un número más el doble de ese número, suman 15.
D(x) = 6x2 − 2
c) El triple de un número más el anterior a dicho número, suman 27. d) La quinta parte de un número más su décima parte es igual a 7. 2. Sean los siguientes monomios: A = 5x4
C(x) = 5x2 − x + 3
a) A(x) - B(x) b) A(x) - D(x) c) C(x) + D(x) d) A(x) + B(x) - C(x) + D(x) e) C(x) · D(x) f) [B(x) · D(x)] - A(x) 4. Opera y simplifica:
B = − 20x4
12x3 − 3x c) 4x2 − 4x + 1 x2 − 9
Actividades de ampliación
a)
C = 2x Calcular: a) A+B
d) A + B2 − C3
b) B-A
e) (A ÷ B) ⋅ C
c) 3A-2B
f) A · B · C
3x3 − 15x
x (x −
15 )
x+2 x2 − 4 b) ⋅ (x+2) x x2 − 16 x2 − 4 ÷ c) x2 + 8x + 16 2x − 4
111
C APÍTULO 6
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad con números y letras que expresa una condición que deben cumplir las letras llamadas incógnitas. Normalmente los alumnos se preguntan la utilidad de lo que están estudiando, y más en una materia como las matemáticas. La realidad que tienen que ver es que gran parte del mundo funciona mediante reglas matemáticas. Y que dentro de ellas, las ecuaciones ayudan a resolver problemas de la vida cotidiana rápidamente, aunque no nos demos cuenta de que las estamos utilizando.
S ECCIÓN 1
Ecuaciones. Concepto de ecuación
Elementos de una ecuación. Otros conceptos Elementos de una ecuación
Una ecuación es una igualdad formada por dos expresiones algebraicas. A diferencia de las identidades, sólo se cumple para determinados valores de las letras que la forman. Utilidad de las ecuaciones Con las ecuaciones podremos resolver un gran número de problemas, traduciendo al lenguaje algebraico expresiones del lenguaje normal. Nos sirven para entender el mundo que nos rodea.
Grado de una ecuación
Identidad Una identidad es una igualdad formada por dos expresiones algebraicas que se cumple para cualquier valor de las letras que la forman.
Será el del monomio de mayor grado de todos los que formen la ecuación. Ecuaciones equivalentes Serán aquellas que al resolverlas den la misma solución. 113
Actividades
3. E n l a s e c u a c i o n e s s i guientes, determina el grado de cada una.
1. Completa la tabla:
a) 2x + 1 = − x
Miembros
Ecuación
Términos 1º
2x2-x+1 = 0 x+1
4
x - 2x = -1 -3
-4
2x2 =32
15
0
2. Completa la tabla:
3x-5
Variable
e) 4x − 6 = 12 + 2x
x + 27 = 3x - 3
-2y+2
d) −6x + 8 = x − 1
4. Une cada ecuación con su raíz o solución. Haz el cálculo mentalmente.
x = 3x+5-4
x+1
c) 4x − 2 + 3x = 5
d) 3y + 2x = 5z − 3
-9x+5 = 3x+2
Expresión algebraica
b) 6x − 6 = 18 + 3x
c) 3x3 + x4 − x2 = 2x + 1
x-1=-2-x
x3-5x2 =
a) 3x = 3
b) x2 + x − 1 = 0
2º
Parte literal
1 1 3 x− =x−
6 2 6
Coeficiente
5. Señala una ecuación equivalente para cada una de las ecuaciones siguientes. Explica como la has obtenido.
Término independiente
6. A partir de la ecuación dada en cada apartado y del enunciado, obtén una ecuación equivalente: a) 6x + 5 = 6 . Hallar una ecuación equivalente de forma que en el segundo miembro aparezca un uno. b) 6 (x + 3) = x (x + 1) . Encuentra una ecuación equivalente sin paréntesis. 2x 1 − z − 1 . Busca una 3 2 ecuación equivalente donde no existan denominadores.
c) 3x + 1 =
114
S ECCIÓN 2
Resolución de ecuaciones de primer grado
Transposición de términos Es un método de resolución de ecuaciones que consiste en sumar, restar, multiplicar o dividir por un mismo número a los dos miembros de una ecuación (obtenemos ecuaciones equivalentes), hasta conseguir despejar la incógnita, encontrando la solución. Se nos pueden plantear cuatro casos: Lo que está restando en un miembro de la ecuación pasa al otro miembro sumando.
Resolver una ecuación consiste en encontrar los valores de las incógnitas que hacen que se cumpla la igualdad, es decir, consiste en encontrar las soluciones o raíces de la ecuación. La resolución de una ecuación pasa por hacer una serie de transformaciones en ella, paso a paso, obteniendo con cada uno de ellos ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta lograr despejar la incógnita y hallar la solución.
Para resolver una ecuación hay que sumar, restar, multiplicar o dividir por un mismo número a los dos miembros de la ecuación. Esto se conoce con el nombre de transposición de términos, método con el que resolveremos la misma.
Los pasos para resolver una ecuación de primer grado son la transposición de términos, y la simplificación o reducción de los términos semejantes. 115
Actividades 1. Agrupa los términos de las siguientes ecuaciones: a) 3x + 1 = x − 2
b) -3x = 2 x − 9
c) x − 3 = 2 − x + 3z
d) 3x − 5 = x + 3 e) 5y = 8y − 15 f) 6z = 9z − 15 2. Resuelve las ecuaciones: a) 2x − 16 = 10
b) 8x = 10x − 8
c) 40x + 180 = 45x
d) −3x + 107 = − 1 + 9x
e) x − 9 = 3 + 2x Debemos realizar todos los pasos en orden, y escribiendo las ecuaciones equivalentes que obtengamos con cada uno de ellos hacia abajo.
f) −5x − 8 − x = − 7 − 2x − 12 g) 4x + 9 = 6x − 31 h) 3x − 7 = x + 17 116
Resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis Para resolver una ecuación con paréntesis, se eliminan primero los paréntesis, y después se transponen los términos para resolver la ecuación. Una vez eliminados los paréntesis, resolveremos la ecuación mediante transposición, simplificación y agrupación de términos, hasta lograr despejar nuestra incógnita. Ejercicio resuelto: Resolver la ecuación: 2x − 6 = 12 − 4 (−2x − 6) 1. Suprimimos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva: 2x - 6 = 12 + 8x + 24 2. Resolvemos por transposición, reducción y agrupación:
Actividades 1. Resuelve: a) 5x − 13 = 3x + 5 b) 31 − x = 5 (7 − x)
2x - 6 = 8x + 36
c) −8 + 6x = 4 (−2x + 5)
2x - 8x = 36 + 6
d) −2x − 27 = 4 (2 − 3x)
-6x = 42 x=
42 −6
x = -7
e) 3 (4x + 7) = 4x − 25 f) 2 (3x + 9) = 3 (2x − 2) g) 3 (3x − 7) = 7x + 15 117
Resolución de ecuaciones de primer grado con denominadores. En este caso, tenemos que transformar la ecuación en otra equivalente que no tenga denominadores para posteriormente operar normalmente. Para quitar denominadores reducimos ambos miembros a común denominador, y una vez hecho, la resolveremos.
Podemos realizar los dos primeros pasos de manera conjunta, multiplicando la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
Ejercicio resuelto: Resolver la ecuación
x 1 +1= +x 10 5
1. Cálculo del m.c.m de todos los denominadores m.c.m(10,5)=10 2. Reducción a común denominador: x 10 2 10x + = + 10 10 10 10 3. Eliminar los denominadores: x + 10 = 2 + 10x 4. 4º Resolver como en los casos anteriores: x -10x + 10 = 2 x - 10x = 2 - 10 -9x = -8 x=
−8 8 = −9 9
Actividades 1. Resolver las siguientes ecuaciones: x 3x = − x + 1
2 2 x b)
− 2 = 1
4 1 = x − 1
c)
2 a)
2 5 x 11 x+ = + 3 2 3 4 5 x x 1 x + −1+ = + −1 e) 4 4 5 4 4 −3 x 5x x+ − = − 54 f) 4 2 7 d)
118
Método general para resolver ecuaciones de primer grado
Pasos a seguir: 1. Eliminar paréntesis. 2. Eliminar denominadores. 3. Resolver la ecuación agrupando, transponiendo y simplificando los términos. Ejercicio resuelto: Resolver la ecuación: 2 1 1 7 x− = x− 3 2 3( 3) 1. Eliminamos paréntesis. 2 1 1 7 x− = x− 3 2 3 9 2. Eliminamos denominadores 12x - 9 = 6x - 14 3. Resolvemos: 12x - 6x = -14 + 9 6x = -5 −5 x= 6
Actividades 1. Resuelve las ecuaciones: a) 2x-10=16
b) 4x=5x-4
c) 45x+180=40x
d) -9x+107=-1+3x e) –x+9=-3-2x f) -6x-8=-7-2x-12 g)-6x+9=-4x-31 h) 3x-17=x+7 2. Resuelve. a) 5x − 5 = 3x + 13
b) 31 − x = 5 (7 − x)
c) −8 + 6x = 4 (−2x + 5)
d) −2x − 27 = 4 (2 − 3x)
e) 3 (4x + 7) = 4x − 25 f) 2 (3x + 9) = 3 (2x − 2) g) 3 (3x − 7) = 7x + 15 h)−4 (x + 1) = − 2 (x + 4)
3. Resuelve las siguientes ecuaciones: x 3x = − x+1 2 2 x b) − 2 = 1 4 a)
1 =x−1 2 x d) − 8 = x 3 c)
e) 3x − 7 = f)
x 4
1 x + 25 − 2x = x 2
4. Halla la solución de las ecuaciones. a)
x x x x −x+5=−4− − − 6 12 7 2
b)
3 3 x − 100 = 35 − x 4 5
c)
−3 x 5x x+ − = − 54 4 2 7
d)
2 5 x 11 x+ = + 3 2 3 4
e)
5 x x 1 x + −1+ = + −1 4 4 5 4 4 119
S ECCIÓN 3
Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado siempre hay que colocarlas en su forma general, aunque en un principio se encuentren desordenadas, ya que sino su resolución se complicaría. Ejercicio resuelto: Pon en su forma general la siguiente ecuación: 5x2 + 5 = 3x − 3 + x2 Debemos transponer todos los términos al primer miembro, y agrupar. En el segundo miembro siempre ha de aparecer un cero.
Las ecuaciones de segundo grado son aquellas que tienen un monomio de segundo grado que será el término de mayor grado.
Su forma general es:
ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son números conocidos, y a ≠ 0.
• •
Si a =0 tendríamos una ecuación de primer grado. Los otros dos números, b y c si pueden ser iguales a cero, dando lugar a ecuaciones de segundo grado incompletas.
5x2 + 5 − 3x + 3 − x2 = 0 4x2 − 3x + 8 = 0 Ejercicio resuelto: Pon en su forma general la siguiente ecuación: 2x2 + 7 = 8x ⋅ (−3 + x) Debemos quitar los paréntesis, y posteriormente transponer todos los términos al primer miembro, y agrupar. 2x2 + 7 = − 24x + 8x2 2x2 − 8x2 + 24x + 7 = 0 −6x2 + 24x + 7 = 0 120
Resolución de una ecuación de segundo grado: fórmula cuadrática. Para resolver una ecuación de segundo grado se utiliza una fórmula cuadrática, hallando las dos soluciones o raíces de nuestra incógnita que, generalmente, tiene una ecuación de segundo grado. Partiendo de la forma general de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 , la fórmula es:
x=
2
−b ±
b −4⋅a⋅c 2⋅a
A veces, al resolver ecuaciones de segundo grado, nos vamos a encontrar con que la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática no da un valor exacto. En estos casos, es mejor no resolver dicha raíz dando un valor aproximado, y dejar las dos soluciones en función de la raíz.
Si al tener que resolver una ecuación de segundo grado observamos que todos los coeficientes, a, b y c son divisibles por un mismo número, debemos simplificar al máximo la expresión, dividiéndolos y obteniendo una ecuación equivalente más sencilla de resolver.
En las ecuaciones de segundo grado pueden aparecer paréntesis, y denominadores. En este caso procederíamos igual que con las ecuaciones de primer grado:
Ejercicio resuelto:
Resuelve la ecuación: x2 + 4x − 5 = 0 Aplicamos el algoritmo de resolución, sabiendo que:
1. Eliminamos los paréntesis. 2. Eliminamos los denominadores. 3. Obtenemos la forma general de la ecuación de segundo grado y resolvemos.
a= 1 b=4 c=-5 x= Operando:
−4 ±
42 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−5)
Podemos encontrar ecuaciones de segundo grado que tengan una única solución doble, y otras que no tengan solución.
2⋅1 121
Ecuaciones de segundo grado incompletas. Resolución. 2º.- Cuando c=0: Una ecuación de segundo grado incompleta es aquella en la que falta el término en x o el término independiente, es decir, donde los coeficientes b o c son iguales a o. Podemos encontrar dos casos:
1º.- Cuando b=0:
Dentro de este caso, podemos encontrar uno más particular:
ax2 + c = 0 Despejando, x2 =
b=0 y a=1.
−c a
x2 + c = 0
Resolviendo:
El primer paso que tenemos que hacer es sacar factor común la x, quedando la ecuación equivalente:
x (ax + b) = 0 Cuando el producto de dos términos es cero, ello implica que uno de los dos es 0, por tanto, las soluciones serían:
La solución sería:
−c a
x=±
x=±
Ejemplo resuelto
x2 =
32 2
32 =± 2
x1 = 4; x2 = − 4
Resuelve: x2 − 25 = 0 x=±
25
Soluciones: 16
x1 = 5 x2 = − 5
x=0
−c
Ejemplo resuelto
Resuelve: 2x2 − 32 = 0
x=±
ax2 + bx = 0
ax + b = 0 La primera solución ya la tenemos (x=0). Para hallar la segunda basta con resolver la ecuación de primer grado con una incógnita ax + b = 0, de tal forma que:
b x=− a 122
Actvidades 1. Poner estas ecuaciones de segundo grado en su forma general:
4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 − 81 = 0
a) 6 + 8x2 + 10x = 4x + 10x2 − 2
b) 4x2 = 9
b) 3 − 2x + 2x2 = x2 + 3x − 3
c) 5x2 − 125 = 0
2
c) −6x + 6 + 9x2 = 6x + 3x + 18 d) 5x2 − 5x + 5 = 3x2 + 2x + 1 2. Resolver las ecuaciones del ejercicio anterior, simplificándolas antes si es necesario. 3. Calcula las raíces de las siguientes ecuaciones: a) 2x2 + 2x − 4 = 0
d) 3x2 + 9 = 0 e) 2x2 − 6x = 0 f) 12x2 + 6x = 0 g) −x2 + 5x = 0 h) 4x = 5x2 5. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones: a) (x − 3) (x + 2) = 0
b) 2x2 − 7x + 3 = 0
b) (x + 5) (3x + 1) = 0
c) x2 − 7x + 10 = 0
c) (x − 3) = 0
d) −x2 + 2x − 1 = 0
d) 3 (x2 − 1) = 2 (x2 + 2x) + 5
e)
x2
− 4x + 4 = 0
f) 6x2 − 5x + 1 = 0
2
e) x2 =
7 x 2
2x2 x+3 f) −3= 3 2 3x + 1 x2 + x −x2 − x g) = − 2 10 2 123
S ECCIÓN 4
Problemas con ecuaciones
Ejercicio resuelto: Al doble de un número si se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? Incógnita y datos:
Vimos al principio del capítulo que una de las utilidades de las ecuaciones era poder resolver problemas que se nos pueden plantear en cualquier situación cotidiana. En esta sección vamos a estudiar cómo podemos resolver esos problemas transformándolos en una ecuación, para posteriormente resolverla.
Número:
Doble del número: 2x
Mitad del número:
x 2
Planteamiento de la ecuación: 2x −
x = 54 2
Resolución: 4x − x = 108
Pasos a seguir:
3x = 108
1. Comprender el enunciado del problema tras su lectura.
x=
2. De los datos que nos da el problema, designar la incógnita.
x = 36
3. Plantear la ecuación. 4. Resolver la ecuación, señalando la solución. 5. Comprobar el resultado.
108 3
Solución: El número es 36 Comprobación: 2 ⋅ 36 −
36 = 54 2
72 − 18 = 54 54 = 54 124
Ejercicio resuelto:
Ejercicio resuelto:
María tiene 12 € más que Javier y esperan que mañana les den 5 € de paga a cada uno. En ese caso, María tendrá el doble de dinero que Javier. ¿Cuánto tiene hoy cada uno?
Una parcela rectangular mide 18 metros más de largo que de ancho, y tiene una valla de 156 metros. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
Incógnita y datos:
Incógnita y datos:
Dinero de Javier hoy: x
Dinero de María hoy: x+12
Dinero de Javier mañana: x+5
Dinero de María mañana: (x + 12) + 5
Planteamiento de la ecuación: (x + 12) + 5 = 2 (x + 5) Resolución: x+ 12 + 5 = 2x + 10 x + 17 = 2x + 10
Ancho de la parcela: x metros
Largo de la parcela: x + 18 metros
Planteamiento de la ecuación: Teniendo en cuenta como se calcula el perímetro de un rectángulo: 2x + 2 (x + 18) = 156 Resolución: 2x + 2x + 2 · 18 = 156
17 - 10 = 2x - x
4x + 36 = 156
x=7
4x = 156 - 36
Solución: Javier tiene 7 €, y María 19 € Comprobación: (7 + 12) + 5 = 2 (7 + 5)
4x = 120 x=
120 4
7 + 12 + 5 = 2 · 7 + 2 · 5
x = 30
24 = 14 + 10
Solución: La parcela mide 30 metros de ancho y 48 metros de largo.
24 = 24
125
Ejercicio resuelto:
Ejercicio resuelto:
Mezclamos aceite de dos clases. Del de mejor calidad mezclamos 15 litros a 4€/litro, con otro a 3,5 €/l. El precio de la mezcla es de 3,8 €/l. ¿Cuántos litros mezclamos del de peor calidad?
Una parcela rectangular mide 5 metros más de largo que de ancho, y su área mide 50 m2 . ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
Incógnita y datos:
Ancho de la parcela: x metros
Para resolver los problemas de mezclas es interesante utilizar un cuadro como el siguiente:
Largo de la parcela:x+5 metros
Cantidad: q Aceite A 15 l Aceite B xl Mezcla 15+x
Precio: p 4€/l 3,5€/l 3,8€/l
Coste: q · p 15·4=60€ 3,5x 3,8 (15 + x)
Incógnita y datos:
Planteamiento de la ecuación: Sabiendo cómo se calcula el área de un rectángulo: x (x + 5 ) = 50 Resolución:
Planteamiento de la ecuación:
x2 + 5x = 50
La suma del coste de los dos aceites debe corresponderse con el coste de la mezcla, por tanto:
x2 + 5x − 50 = 0
60 + 3,5x = 3,8 (15 + x )
x=
Resolución: 60 + 3,5x = 3,8 · 15 + 3,8x 60 + 3,5x = 57 + 3,8x 60 - 57 = 3,8x - 3,5x 3 = 0,3x 3 x= = 10 0,3 Solución: mezclaremos 10 litros de aceite de peor calidad.
x=
−5 ±
−5 ±
25 + 200 2
52 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−50) 2⋅1 =
−5 ±
225 2
=
−5 ± 15 2
Las dos soluciones o raíces serían: x1 =
−5 + 15 = 5
2
x2 =
−5 − 15 = − 10 2
La solución negativa la desechamos. Solución: La parcela mide 5 metros de ancho por 10 metros de largo. 126
Actividades 1. Manuel ha comprado un paquete que contiene 28 caramelos de fresa y menta. Si el número de caramelos de fresa triplica al de caramelos de menta. ¿Cuántos caramelos de cada sabor hay?
6. Mi padre tiene 38 años y yo tengo 12. ¿Cuántos años han de pasar para que mi padre tenga el triple de la edad que yo?
2. Mercedes se ha comido las cuatro quintas partes de los bombones de una caja, Elena cogió la mitad de los bombones que quedaban de manera que sobran 5 bombones. ¿Cuántos bombones tenía la caja? 7. Calcula los litros de un vino que cuesta 5€/l que debemos mezclar con otro vino de 3€/l para obtener una mezcla de 50 litros cuyo precio es de 4€/l. 8. Encontrar dos números cuyo producto es 24 y la suma de los dos es 10.
3. Sabiendo que una finca rectangular tiene 180 m. de perímetro y que es 20 m. más larga que ancha. Halla sus dimensiones. 4. Si Ana suma 4 al número de su camiseta de baloncesto, resulta un número equivalente al doble del anterior al que lleva. ¿Qué número lleva Ana en su camiseta? 5. Mi ordenador portátil ha costado 450 € más que el ordenador de mesa que compré hace un año. Si los dos elementos juntos valen 1 275 €. ¿Cuánto cuesta cada uno?
9. La diferencia entre dos números naturales es de 2 unidades. Calcula los números sabiendo que la suma de los cuadrados de los números es de 580. 10.La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su área mide 600cm . Calcula las dimensiones del rectángulo. 11. En un triángulo equilátero su altura mide 10 cm menos que cada uno de sus lados. Su área mide 100 cm2. Calcula el tamaño de sus lados.
127
S ECCIÓN 5
4. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.
Refuerzo y ampliación
a) 5x + 4 = 3 (1 − 2x) + 1 b) 3 + 7 (x − 3) = 9 (x − 1) c) −5 (3x − 2) = 4 (−2x + 9) d) 2 (3x + 7) + 3 = 4x − 3 (2 − 2x)
Actividades de refuerzo
e) x + 4 − 3 (2 − 2x) − 5 (4x − 3) = − 2 (x − 2) − 1
1. Simplifica las ecuaciones.
5. Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones.
a) 2x + 4a − 5x + 3a = 7x + 7a − 5
a) −
b) x2 + 2x + 2 = 3x2 − 1 c) 9x2 − 5x2 + 3 + x + 1 = 4x2 + 2x + 4 d) 5x2 − 2x = − (2x + x2) + x2 e) (
3x2
+ 3) − (
5x2
− 2) = 3 − (−x −
x2)
2. Calcular x en las ecuaciones siguientes. a) 2x + 3 = 5x - 3
b) 5x = 2x + 3
c) -5x + 8x = x + 8
b) 2x - 2 = 8 d) -2x - 13 = -3x - 6 f) 8x + 14 - 2x = 10 + 4x
b)
b) x + 2 (x + 3) = 9 c) (3x − 2) + 1 = − (2x + 3)
x 1 x 5 x 5 − − + = + 2 2 6 6 3 3
c) −
5x 2 7x 3x 1 2 4x − + = + − + 14 7 6 7 7 3 3
d) x +
x 7 1 x − − = 2x − 2 4 2 2
e) 9x − 27 − f)
3. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis. a) 12 = 7 − (1 + 3x)
3 x x 1 + +1= + 2 6 2 6
x 5 2x + = −8 3 6 9
7 3 2 3 3 x−2− x+ =−2+ x− 2 5 5 2 4
g) 5 − (8x − 6) + h)
1 8 2x 5 − 2x = − + 2 3 3 4
8x − 2 x 2 + − + 1 = 5 (3x − 4) − 2 3 2 3 128
6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) −x2 + 2x + 3 = 0
e) −x2 + 3x − 2 = 0
b) x2 + x − 2 = 0
f) x2 − 3x + 5 = 0
c) x2 + 2x − 15 = 0
g) 3x2 − 30x + 75 = 0
d) 2x2 + 2x + 2 = 0
h) 2x2 − 5x + 1 = 0
10.Si tres rosquillas y cuatro cafés con leche han costado 7,50 €. Cuánto cuesta cada rosquilla si un café con leche vale 15 céntimos más que una rosquilla?
7. Encuentra las raíces de estas ecuaciones de segundo grado incompletas: a) −3x2 + 2 = 0
e) 2x2 − 4x = 0
b) −2x2 = − 5x
f) 3x2 + 9x = 0
c) 3x2 − 27 = 0
g) 5x2 + 25x = x2 + 5x
d) x2 − 100 = 0
h) 6x2 + 3x = 7x2 − 2x
11. Halla un número que cumpla que si a su triple le sumo doce obtengo como resultado 45
a) x2 − x = (x − 2)2
d) (4x − 2) (3x + 4) = 0
4 (x − 1)2 b) + = x − 1
3 6
e) (x − 2)2 + ( x − 1)2 = 0
12. Isabel tiene 12 años más que José. Dentro de 4 años Isabel triplicará los años de José. Calcula los años que tienen los dos hoy.
c) (3x + 3) x − (
f)
8. Resuelve:
3 = 0
2)
(
15x −
3 8 6x − =0 2)( 5)
9. Cuál es la longitud de los lados de un triángulo rectángulo si uno de sus catetos es 1 cm más largo que el otro y su perímetro es 12 cm.
129
14.Para llenar una piscina un grifo tarda 2 horas más en llenarla que otro. Con los dos grifos abiertos la piscina se llena en 1 hora, 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardan en llenarla cada grifo por separado?
17. Hemos utilizado 110 m. de cerca para vallar una finca rectangular que tiene una superficie de 750 m2. Calcula las dimensiones de la finca. x
(110 - 2x) : 2
13. Calcula cuantos hombres y mujeres hay en una fiesta, sabiendo que en total son 43, y que si se fuesen 3 mujeres, habría el triple hombres que de mujeres.
750 m2
18.Entre dos números naturales hay una diferencia de 4 unidades y si sumamos sus cuadrados el resultado es 58. ¿Qué números son? 15. Mezclando aceite de 8 €/l con aceite de 6 €/l se han obtenido 20l de aceite de calidad intermedia. Cada litro de la mezcla sale a 6,70 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase se emplearán? 16.Si repartimos el número 20 en dos partes distintas; obtenemos que la suma de los cuadrados de estas partes es 202. Cuáles son las partes en que hemos repartido el número 20.
19.Si sumamos los cuadrados de dos números enteros consecutivos obtenemos 41. Cuáles son esos números. 20.El producto de dos números naturales que se diferencian en 7 unidades es 44. ¿Qué números son? 21. Si multiplico dos números enteros obtengo 24 y si los sumo obtengo 10. Halla esos números.
130
Actividades de ampliación
x2 − tx + 9 = 0
1. Resuelve. a) 2 (x − 3) −
1 2 (4x − 5) = − 8x 3 7
4 1 3 (−2x − 2) − 3 (3x − 5) = 12x − b) −2 − x 3 6( 2 ) c) −6x + d)
3. Cuánto tiene que valer t en la ecuación:
1 7 x 25x − 15 = 4 x − 3 − −4 ( ) ( ) ) 5 2 ( 14
3 1 4x − 12 − x − 3x − 8 + 2 − 1 = 2 − ( ) [ ( ) (9 − 6x) ] 2 3
e) 5x − [2x − (x − 6)] =
para que la solución de la ecuación sea x=3 4. En el garaje de una comunidad de vecinos hay un total de 31 vehículos entre coches y motos. Si sabemos que hay 98 ruedas que tocan el suelo. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay en total?
5. La suma de la edad de dos niños es 4 años. Si la edad del primero sumada al triple de la edad del segundo es 10 años. ¿Qué edad tiene cada niño?.
1 − − (3x + 6) − (7x − 24)] 4 [
f)
2x 3 − 5x 3−x + + 3x = 2 − −2 (x + 1) + [ 3 12 2 ]
g)
2 x−2 x− 1− =x−1 ( 3[ 3 )]
5 (2x − 3) 7 − 8x 9 − 3x h) −2 − −1=x− ( 4 )] 2 [ 8 2. Si x es la edad de Manuel hoy, plantea problemas que se correspondan con las siguientes ecuaciones. a) x + 10 = 35
c) 2 (x –5) = 16
b) 3x = 40
d) x + 40 = 65
6. Quince veces un número distinto de cero es igual al triple de su cuadrado. ¿Qué número es? 131
7. En una cafetería, por 3 cafés y 2 refrescos, me han cobrado 2.5€. Un rato más tarde, por 2 cafés y 4 refrescos a mi hermano le han cobrado 5,20€. Calcula el precio del refresco y del café.
10.Un rectángulo mide 15 cm de ancho. Si aumentamos su base y su altura en 5 cm respectivamente. Tendrá un área de 300cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo original? 11.Un pastelero mezcla 5 kilos de crema de chocolate cuyo precio es de 4€/k con 3 kilos de nata cuyo precio es de 6€/k. a) Precio de la mezcla. b) Si añado 3 kilos de crema a un precio de 4€/k, calcula el nuevo precio de la mezcla. 12.Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 + 5x + x (x + 6) + x2 = 7x + 2
8. Halla la altura, la base y el perímetro de un rectángulo, si su área es igual 66 cm2 y mide 5 cm. más de largo que de ancho. 9. Si un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 cm. Calcula la longitud de su base y su altura sabiendo que la altura es las 3/4 partes de la base.
b) (x − 5) (x + 2) = 0 c) 3x2 − 6x + 2x − 3 = 2 (x − 1) − 1 d) x2 − x + 2 = 6 − 2x + x e) x2 (x + 1) = 2 + x f)
10 cm
3 x 4
1 2 3x 1 1 (x − 2) + = x − + x2 2 4 2 4
x2 x x g) +2 − 1 = (x + 3) (3 ) 6 3 (2x + 1)2 1 (x + 1) (x − 1) h) = + 4 2 4
x 132
S ECCIÓN 6
4. Resuelve:
Repaso
a) x - 41 = -4x - 16 b) -13x + 45 = - 20 c) 2x - 3 + 9x + 4 - 2 = -x + 35
1. Completa Ecuación
Incógnita
Grado
e) -4x + 3 = - 3 + 9x
x - 4 = 2x - 2 8 - 5y2 = 7y2 + 3y 3z3 +
z2
5. Calcula el resultado de las siguientes ecuaciones.
-z=6
a) 9 − 3 (x − 2)
2. Rellena el cuadro Ecuación
d) 6x - 4 + 5 = 8 + x + 3 + 5
b) x + (x + 2) = 34 Miembros 1º
2º
Términos
3x + 5 = x - 6
Términos independientes
c) 4 (13 + x) = 41 + x d) 2 (x − 1) = − x + 11 e) 8x − 2x + 12 = 4x + 12 − (x − 30) f) x − 9 = 7 (x + 1) − 4 (3 + x)
3. Agrupa los términos de las ecuaciones. a) -3x - 2y + 4z - 2x + 1 = -3 + 4 1 b) −4x − 11y + z = 1 + 9x − + 3y 5 c) d)
1 3 x − 8y + 2x − y = 8 − 3z 2 7 2 x + 8y − z = 5 − 4z 3
g) 2 (x + 8) = 7 + 3x h) 5 (x + 4) = − 2 + 7x 6. Hallar el valor de x en las ecuaciones. a) 5x + 10 = 1 + b)
x
2
3 1 x+3=−x+
2 3
c) x −
2 =x+3 5
d) −3x + 5 =
3 1 − x 4 2 133
7. Resuelve las siguientes ecuaciones. 4 = − 2x + 5 3
(x − 1)2 5 + 4x 3 − 4x a) = + 2 4 4
1 5 1 − x= −x 3 6 6
2x − 15 3x + 5 x2 − 7x b) − = 3 15 5
a) x − b)
5 c) − x − 3x − 5 = 2 3 d)
10.Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones:
1 2 1 − 3x − 2 = 3x + 3 − x + 3 5 5
8. Ordenar, simplificar, poner en su forma general, y resolver las siguientes expresiones: a) x2 + 2x − 3 = − x2 − 2x + 3
2x2 − x + 3 1 x2 + 7x c) − = 12 4 6 1 x 1 1 d) x − − 6x − = − 2x2 + ( (2 6) 2) 2 2
11. María ha comprado 3 camisetas y la han sobrado 10 €. Si hubiera comprado 4 camisetas la habrían faltado 3 €. ¿Cuánto cuesta una camiseta?
b) 3x2 − 7x + 5 = − x2 − x + 5 c) 3 (x2 − 10x + 25) = 27 d) x2 +
1 7 = x 3 6
e) (x + 1) (x − 1) = 2 (2x − 1)2 9. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 2x2 − 50 = 0
e) x2 − x = 0
b) x2 − 169 = 0
f)
1 2 1 x + x=0 2 3
c) 3x2 − 45 = 0
g)
5 2 x − 5x = 0 6
d) 5x2 + 125 = 0
h) 2x2 + 8x = 0
12. Javier tiene el triple de billetes de 10 € que de 20 €. Si en total tiene 200 €. ¿Cuántos billetes tiene de 10€? ¿y de 20€?
134
13. Encuentra un número cuya mitad es 30 unidades menor que su triple. 14.Halla tres números naturales teniendo en cuenta que el tercero es cinco unidades mayor que el primero y el segundo es dos unidades menor que el primero. Conociendo además que la suma de los tres números es igual a 33.
16.Calcula cuánto vale la entrada de cine si con el dinero que tiene, Encarna puede comprar 4 entradas y le sobran 1,40 € para una bolsa de palomitas, pero si compra 5 entradas, entonces le faltan 1,45 €.
17. Un kilo de peras es 5 céntimos más caro que un kilo de manzanas. Seis kilos de peras y cuatro de manzanas me han costado 4,80 €, ¿cuánto cuesta un kilo de peras? ¿Y uno de manzanas? 15. Si la edad de un hijo es de 30 años menor que la de su madre y esta, a su vez, tiene el triple de la edad de su hijo, ¿cuántos años tiene cada uno?
135
C APÍTULO 7
Sistemas de ecuaciones
Desde 1700 a. de C. a 1700 d. de C., los griegos se inventaron símbolos para la resolución de ecuaciones que posteriormente dio lugar al Álgebra. Dentro de esta fase encontramos un álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
S ECCIÓN 1
Ecuaciones lineales Concepto de ecuación lineal Las ecuaciones lineales se denominan así porque su representación gráfica es una línea recta. • Se encuentran entre los tipos más simples de ecuaciones.
Soluciones de una ecuación lineal Una solución de una ecuación lineal es aquellos valores de X e Y para los que se cumple la igualdad. En el ejemplo anterior correspondería con los valores para todos los puntos de la recta que como son infinitos podemos concluir que una ecuación lineal tiene infinitas soluciones. Dicho de otro modo, existen infinitos para de valores de x e y que hacen que se cumpla la igualdad. Hallar las soluciones de una ecuación lineal consiste en hallar los pares de valores de x e y para los que se cumple la igualdad.
• Tienen dos incógnitas que se combinan de muchas formas para dar una respuesta.
• Para calcularlos basta con asignar valores a x,
• Se escribe de forma general la ecuación cuando a un lado de la igualdad se encuentran las letras y al otro los números sin letras. Como en el ejemplo: 2x-y=-1
• Para cada valor de x solo habrá un valor de y
y hallar los correspondientes de y.
que cumpla la ecuación y viceversa.
Actividades 1. Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son solución de la ecuación: 2x - y = 3 a) x=1, y= 2
d) x= -1, y= -7
b) x=0, y =-3
e) x=2, y= 5
c) x= 3, y= 1
f) x= 0, y= -3
2. Haya cinco pares de soluciones para la ecuación:
137
Representación gráfica de una ecuación lineal La representación gráfica de una ecuación lineal da como resultado una línea recta, de ahí su nombre, que pasa por todos los pares de puntos (x,y) que a su vez son las soluciones de la ecuación. A la representación se le llama función de la ecuación. Ejercicio resuelto: Representar la función: x + 3y = 3 1. Comenzamos despejando una de las incógnitas, en este caso x.
x = 3 - 3y
2. Damos valores, tanto positivos como negativos, a la otra incógnita para hallar el valor resultante de la primera. x
3
0
-3
-6
6
9
12
y
0
1
2
3
-1
-2
-3
3. Localizamos en el eje cartesiano los pares hallados y los marcamos con un punto.
4. Unimos todos los puntos y así trazamos la función de la ecuación 138
S ECCIÓN 2
La solución de un sistema puede ser:
Sistemas de ecuaciones Un sistema es una expresión matemática de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
•
Un par de números (x,y) que sean solución de las dos ecuaciones lineales. Por lo tanto, gráficamente, en ese punto coinciden ambas rectas. Decimos que se cortan en ese punto y por tanto tienen una única solución.
•
Pueden existir infinitas soluciones, es decir, hay infinitos pares de números que son a la vez solución del sistema y por tanto las rectas pasan a la vez por todos esos puntos. Esas rectas se superponen gráficamente.
•
Se puede dar el caso que no exista ningún par de números que sean solución, por lo que las rectas no se cortan nunca, son paralelas.
Ejemplo:
2x + 3y = 14 {3x + 4y = 19
Esta expresión busca hallar los valores de las incógnitas, que sean comunes a ambas ecuaciones, y que sean soluciones de las mismas. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x,y) que verifican las dos ecuaciones a la vez.
x=1 {y = 4 Resolver el sistema es encontrar una solución.
2(1) + 3(4) = 2 + 12 = 14 {3(1) + 4(4) = 3 + 16 = 19
Actividades 1. Representa gráficamente y escribe la solución.
x+y =4 a)
{x − y = 2
b)
y =2+ y =4−
x 2 x 2
2. Resuelve gráficamente:
a)
x−y =3
{2x + y = 0
b)
2x − 3y − 6 = 0 { 2x + y + 2 = 0 139
Resolución de sistemas La resolución de sistemas de forma gráfica es bastante intuitivo puesto que se ve que en el punto de corte es un valor común para las dos rectas. En cambio, de forma numérica, tenemos varias formas de hallar el valor de x e y que sean solución del sistema. Todas ellas persiguen el mismo fin, de las dos ecuaciones obtener una con una sola incógnita, por lo que la resolución pasa por hallar el valor de esa incógnita. Sabiendo su valor es fácil hallar el valor de la que se ha quedado para el final. Hay tres métodos de resolución de sistemas:
Método de reducción: Este método tiene como finalidad reducir una de las incógnitas, es decir hacer que se anule en las dos ecuaciones.
Actividades 1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a)
x=y
{2x − y = 3
c)
y = 2x − 5 {4x − y = 9
b)
x + 2y = 11
{ 3x − y = 5
d)
x−y =3 {7x − 3y = 5
1. Método de sustitución. 2. Método de igualación 3. Método de reducción. Método de sustitución: Se elige una incógnita de una de las ecuaciones y la despejamos. La expresión obtenida se sustituye en la otra ecuación. Método de igualación: Obtenemos una sola ecuación igualando el valor de la misma incógnita de cada ecuación. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.
2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a)
5x + 2y = 0
{ 2x + y = 1
c)
2x + y + 6 = 0 { 5x − y + 1 = 0
b)
x=y
{x = 3y − 10
d)
x−y =1 4.{2x − 3y = 4
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: 5x + 4y = 17 a)
{ 5x + y = 8
c)
2x + 3y = 1 {4x − 5y = -9
2x + y = 6
{ 5x − y = 1
d)
2x − y = 8 {4x + 5y = 2
b)
140
S ECCIÓN 3
Ejercicio resuelto:
Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones Muchos de los problemas cotidianos que nos plantea dificultad a la hora de resolverlos, con ayuda de los sistemas de ecuaciones, podemos plantearlos de tal manera que vemos más fácil su resolución. La clave está en plantear el sistema de ecuaciones, de forma correcta, con los datos que nos dan de forma verbal. Y a partir de ahí lo resolvemos por el método que más nos convenga.
En cierta cafetería por dos cafés y un refresco nos cobraron 2,70€. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10€. ¿Cuánto cuestan los cafés y los refrescos en esa cafetería? 1. Identificamos las variables:
Valor de los cafés: x
Valor de los refrescos: y
2. Expresamos mediante ecuaciones las relaciones entre las variables:
Dos cafés y un refresco=2,70€ → 2x + y = 2,70
Un café y tres refrescos=4,10€ → x + 3y = 4,10
3. Establecemos el sistema de las dos ecuaciones y los resolvemos por reducción:
Ejercicio resuelto:
2x + y = 2,70
{ x + 3y = 4,10
-5y = -6,50y =
1. Identificamos las expresiones algebraicas con las variables que nos piden. En este caso los números “x” e “y”
1,3 vale el refresco
2x + 1,3 = 2,70
2. Planteamos las ecuaciones correspondientes con los datos que nos dan:
x=0,7€
0,7 vale el café
La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9 ¿de qué números se trata? Resolución:
2x + y = 2,70 -2x − 6y = -8,20
-6,50 → y = 1,3 -5
2x = 1,40
x=
1,40 2
• La suma de dos números es 57: 141
Actividades
Ejercicio resuelto: ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva a 3 € /litro, y otro de orujo, a 2 €/litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40€/litro? 1. Identificamos las variables. Para ayudarnos nos fijamos en la pregunta del problema “¿Qué cantidades de aceite de oliva y de orujo?” Esas son pues las variables que buscamos. Asignamos x e y indistintamente. Por ejemplo:
Litros de aceite de oliva: x
Litros de aceite de orujo: y
1. La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo.
x
x+8
2. Entre David y Roberto llevan 15 €. Si él le diera a ella 1,5 €, ella tendrá el doble. ¿Cuánto lleva cada uno?
2. Expresamos con ecuaciones las relaciones que ligan los elementos:
“la suma de los dos aceites es 600 litros”
x+y=600
“Coste de la mezcla”
3€·x litros + 2€·y litros = 600litros·2,40€
3. Expresamos el sistema resultante y lo resolvemos:
x + y = 600 {3x + 2y = 600 ⋅ 2,40
x = 600 − y → 3 (600 − y) + 2y = 1440
3. En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. ¿cuántos búfalos hay? ¿y avestruces?
1800 − 3y + 2y = 1440 -y = 1440 − 1800 y = 360
142
4. La suma de dos números es 57, y su diferencia 9 ¿Cuáles son es0s números? 5. Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un precio fijo cada unidad. Luis se lleva 5 melones y 2 sandías que le cuestan 13€. Alberto paga 12€ por 3 melones y 4 sandías, ¿Cuánto cuestan los melones y las sandías?
13€
12€
6. Un fabricante de jabones envasa 550 kg de de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg y otros de 5 kg cada paquete. ¿Cuántos envases de cada tipo utiliza?
7. Para cercar un terreno rectangular, 25 metros más larga que ancha, se han necesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela.
x
x+25
8. Dos ciudades A y B, distan 270 km. En cierto momento, un camión sale de A hacia B a 110 km/h. a la vez sale de B hacia A una máquina a 50Km/h ¿Qué distancia recorren cada uno hasta que se encuentran? 270 km
110 km/h
50 km/h
143
S ECCIÓN 4
Refuerzo y ampliación
4. Resuelve los siguientes sistemas por el método que se indica: a) Reducción
2x + y = 15
{x − 2y = -15
-7x + 6y = -29 { x + 3y = 8
x + 2y = -17 {5x + 2y = -21
x − 4y = 32 {x − 3y = -17
b) Sustitución
Actividades de refuerzo 1. Calcula el valor de c para qué la solución de la ecuación x + 7y = c sea: a) x = 1 , y = 2
x + 6y = 3
{-9x + 2y = -83
c) Igualación
x − 2y = -14
{ x + 4y = 4
5. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
b) x = 3 , y = −3 c) x = 5 , y = 0 d) x = −2 , y = 3 2. Halla una solución (x,y) de la ecuación −4x + y = 17 3. Razona si el punto (x,y) es solución del sistema: a) x = 3; y = 4 →
2x + 3y = 18 {3x + 4y = 24
b) x = 1; y = 2 →
5x − 3y = -1 {3x + 4y = 11
6. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
144
7. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
Actividades de ampliación 1.
Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
8. Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51, ¿de qué números se trata? 9. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor. 10. La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8 años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen ambos?
2. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? 3. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 4. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
11. Juan ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta un punto, ¿cuántas preguntas ha contestado bien y cuántas ha contestado mal? 145
5. Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
6. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
8. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
9. Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número? 10. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
7. Luis hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:
11. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
a) Litros de gasolina que tenía en el depósito. b) Litros consumidos en cada etapa. 146
S ECCIÓN 5
5. Resuelve por sustitución:
Repaso
a)
2x + 3y = 8
{ 5x − y = 3
b)
x + 4y = 1 {2x − y = -7
b)
5x + 2y = 1 {7x + 3y = 0
b)
3x − 5y = 9 {2x − 3y = 5
6. Resuelve por igualación: a) 1. Busca dos soluciones diferentes para las siguientes ecuaciones lineales: a) 2x - y = 5
2. C o m p l e t a l a t a b l a p a r a c a d a e c u a c i ó n y represéntalas en tu cuaderno. a) x-y=0 b) x-2y=2 x y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3. R e p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e l a s s i g u i e n t e s ecuaciones: a) 2x - 3y + 15 = 0 b) 3x - y = 2
7. Resuelve por reducción: a)
b) x + 3y = 3
y = 3x − 5
{ y = 5x − 1 2x + 3y = 8
{ 4x − y = 2
8. Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble del menor sobrepasa en cinco unidades al mayor. 9. Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70€ el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50€, continuando las ventas hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6600€ ¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados? 10.Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro
4. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: a)
x+y =1
{x − 2y = -5
b)
x − 2y = 4 {3x − y = -3 147
C APÍTULO 8
Teorema de Pitágoras. Semejanza
S ECCIÓN 1
Cálculo de lados desconocidos
Triángulos Rectángulos. Teorema de Pitágoras Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90º).
En todo triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lados los catetos.
2
a2 = b + c2 Calcular la hipotenusa conocidos los dos catetos Conocidos los catetos b y c podemos obtener el valor de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras 2
a2 = b + c2 → a =
2
b + c2
¡pero que no se te olvide que solamente se puede utilizar en triángulos rectángulos!
1 de 13 149
Ejercicio resuelto: Debemos poner un cable de sujeción a una antena de telefonía móvil, el cable debe ir desde el punto superior de la antena hasta el suelo. ¿Cuánto cable de sujeción debo utilizar, si el cable se debe anclar en el suelo a 30 metros de la base de la antena y esta a su vez mide 40 m?
150
Actividades 1. Indica cuál es el área del cuadrado rojo en cada uno de estos casos:
2. Cuánto medirá la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 12 m y 1 m.
6. Conocido el valor de los catetos de un triángulo rectángulo indica cuánto mide la hipotenusa: Cateto1
Cateto2
6
8
3
4
36
22
5
9
5
12
Hipotenusa
7. Se ha declarado un incendio en la tercera planta de un inmueble. La distancia desde el suelo a la ventana de la vivienda es de 15 m, desde la vivienda a la calzada hay una acera de 8 m. ¿Qué longitud deberá tener la escalera del camión de bomberos, para que estos puedan acceder a la vivienda y sofocar el incendio?
3. Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,6 mm y 1,5 mm. 4. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 3,4 m y la hipotenusa 300 cm. ¿Cuánto mide el lado qué falta? 5. Un triángulo rectángulo tiene dos catetos cuyas medidas son respectivamente 50 m y 3 dam. Calcula la hipotenusa expresando el resultado en metros y centímetros.
15 m
9m
151
8. Conociendo la distancia de mi casa al parque y de mi casa al colegio. Calcula cuántos metros debo recorrer para llegar desde el parque al colegio.
9. Tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 80 cm y 60 cm. Nos piden que calculemos el área de un cuadrado en el que su lado mide lo mismo que la hipotenusa del triángulo del que conocemos los catetos.
¿A? 100 m 80 cm
60 cm 300 m
10.Las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo son: 0,39 m y 0,52 m. Indica cuánto mide la hipotenusa expresado en centímetros.
0,39 m
0,52 m 152
Reconocimiento de triángulos rectángulos Si conocemos todos los lados de un triángulo rectángulo (a, b y c), podemos plantear el teorema de Pitágoras y ver si el triángulo cumple el teorema: 2
¿ a2 = b + c2 ? Si a2 = b2 + c2, entonces el triángulo es rectángulo.
11.A la vista de las medidas de los lados de los siguientes triángulos; comprueba si son rectángulos, acutángulos u obtusángulos. a) 100 mm, 24 cm y 260 mm. b) 30 cm, 40 cm y 2 dm. c) 33 cm, 28 cm y 33 cm. d) 4,5 m, 28 dm y 5,3 m. e) 17 m, 14 m y 10 m. f) 8 dm, 15 dm y 17 dm. g) 200000 dm, 17 km y 19000 m. 12.Usando el Teorema de Pitágoras, indica como son los siguientes triángulos en función de sus ángulos. a) 15 dm, 11 dm y 10 dm b) 82 m, 18, m y 80 m. c) 12 cm, 12 cm y 42 cm. d) 12 cm, 11 cm y 8 cm. e) 25 m, 20 m y 15 m. f) 30 mm, 21 mm y 23 mm. g) 12 dam, 370 m y 350 m. 153
13. Indica razonadamente, a partir de los lados que te dan, si los siguientes triángulos son rectángulos o no. a) 5 cm, 7 cm y 6 cm.
18.Tenemos un triangulo rectángulo de lados a, b y c. Siendo a la hipotenusa y b y c los catetos. Calcula el lado que falta:
b) 5 cm, 12 cm y 13 cm c)
21 cm, 20 cm y 29 cm.
d)
5 cm,
2 cm y
17. Averigua cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 0,15 m y 0,02 m.
3 cm.
14.Con estas medidas indica qué tipo de triángulo puedes dibujar. a) 12 cm, 37 cm y 35 cm. b) 7,5 cm, 2,1 cm y 7,2 cm c) 12 cm, 14 cm y 18 cm. d) 1 cm, 2 cm y 1 cm.
a) b = 6 m; c = 8 m b) b = 2 cm; c =
12
c) b = 39 cm; c = 52 cm d) b = 4.cm; c = 3 cm 19.Un triángulo rectángulo presenta unos catetos de 27 m y 3 m. ¿Cuánto mide su hipotenusa? 20.Conocido el valor de un cateto y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo indica cuánto mide el otro cateto:
15. Calcula el valor de la hipotenusa: Cateto1
16.Si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 dm y 30 dm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Cateto2
Hipotenusa
6
10
21
35
15
17
6
10
4
5 154
21.Halla el lado que falta en los siguientes triángulos:
24.Halla el lado que falta en los siguientes triángulos:
22.Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1070 cm y uno de los catetos 76 dm. Halla la longitud del otro cateto. 23.Calcula la longitud del lado que falta en estos triángulos a) 2 cm y 16 cm. b) 12 cm y 9,6 cm. c) 24 cm y 7 cm. d) 14 cm y 17, 5 cm. e) 5 cm y 13 cm. 155
S ECCIÓN 2
Teorema de Pitágoras en triángulos no rectángulos El teorema de Pitágoras en los triángulos
Actividades
Altura de un triángulo equilatero:
1. Calcula el lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 10cm.
Teniendo en cuenta que los lados de un triángulo equilátero son iguales, conociendo el ladode un triángulo equilatero podremos hallar su altura (h).
2. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 15 cm de lado.
2
h +
l 2 =l →h= (2) 2
2
l −
l (2)
2
3. ¿Cuánto mide la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 160 cm y su lado 170 cm? 4. Tenemos un triángulo equilátero de 108 cm de perímetro. ¿Cuál es su área? 5. En un triángulo equilátero uno de sus lados mide 8 cm. ¿Cuánto mide la altura? 6. Si el perímetro un triángulo equilátero es 300 cm, ¿Cuál es su área? 7. Calcula el área de un triángulo isósceles de 100cm de perímetro, en el que sus lados iguales miden 20 cm, y el lado desigual mide 30 cm. 8. Calcula el área de un triángulo equilátero de 48 m de perímetro. 9. Calcula la medida de los lados iguales de un triángulo isósceles, si el lado desigual mide 24 cm y la altura sobre ese lado 35 cm. 156
S ECCIÓN 3
Teorema de Pitágoras en Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Clasificación Paralelogramos
No paralelogramos
Tienen los lados paralelos dos a dos
No tienen los lados paralelos dos a dos
Cuadrados: tienen todos sus lados y ángulos iguales.
Trapecios: tienen dos lados paralelos (llamados bases) y otros dos no paralelos.
157
El teorema de Pitágoras en los cuadriláteros Cuadrados: Conociendo el lado de un cuadrado, averiguamos su diagonal aplicando el Teorema de Pitágoras: 2
2
2
d =l +l →d=
2l
Actividades 1. Calcula el lado que falta en los siguientes cuadriláteros.
2
2. Un rombo tiene un lado de 4,25 cm y una de sus diagonales mide 7,7 cm. ¿Cuál es su área? 3. En un trapecio isósceles sus bases miden 6,4 cm y 12,8 cm, y su altura mide 12,6 cm. Calcula su perímetro y su área. 4. Tenemos un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 7 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?. 158
5. Cuánto mide la diagonal de un rectángulo si su altura y su base miden respectivamente:
13.Calcula la longitud del segmento A en los siguientes apartados:
a) 12 cm y 16 cm. b) 6 cm y 8 cm. 6. Cuál será el perimetro de un rombo si sus diagonales miden 24 cm y 10 cm. 7. Tengo un rectángulo cuya diagonal mide 10, 16 cm y uno de los lados mide 8 cm. Cálcula el área y el perímetro del rectángulo. 8. El perímetro de un cuadrado es igual a 280 m. Calcula el área y la diagonal. 9. En un trapecio rectángulo sus bases miden 13 cm y 19 cm, su lado oblicuo mide 0,01 m. Calcla la atura, el área y el perímetro. 10.Los lados paralelos de un trapecio isósceles miden 24 mm y 5,6 cm respectivamente y la altura 30 mm. Averigua cuánto miden sus lados oblícuos. 11. Quiero saber cuál es la medida de los lados de un rombo cuya diagonal mayor mide 24 cm y cuya diagonal menor mide 10 cm. ¿Cuánto miden? 12. Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor. 159
S ECCIÓN 4
Teorema de Pitágoras en Polígonos regulares Un polígono es regular si tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.
Los polígonos, en función del número de lados, pueden ser:
Área y perímetro de un polígono regular Perímetro
Triángulo regular: triángulo equilátero.
P=n⋅l
Siendo...
...n el número de lados
...l la longitud del lado.
radio
Área
A=
P⋅a 2
Siendo...
...P el perímetro
...a la apotema. apotema
160
Teorema de Pitágoras en polígonos regulares Un polígono regular se puede descomponer en triángulos iguales (isósceles), en los cuales podremos aplicar el teorema de Pitágoras. Pentágono regular En este pentágono, vamos a calcular el radio, conociendo el lado y la apotema.
Para calcular el área de un polígono regular, necesitamos saber siempre el lado y la apotema. Actividades 1. Indica el lado, radio y apotema de las siguientes figuras. Calcula el perímetro y el área:
El radio es la hipotenusa del triángulo rectángulo. r2 = 2,752 + 22 → r =
22 + 2,752 =
11,5625 = 3,40 cm
2. Cuánto mide la apotema de un hexagono cuyo lado mide 10 dm. 3. Si un hexagono regular tiene tiene un lado de 16 dm. ¿Cuánto mide el apotema? 161
S ECCIÓN 5
Teorema de Pitágoras en círulos y circunferencias Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia llamada radio. Llamamos círculo al interior de una circunferencia que forma un cuerpo sólido y que tiene superficie.
Elementos notables y ejes de simetría
Área y perímetro del círculo Perímetro del círculo Si llamamos r al radio del círculo: P = 2π ⋅ r Sabemos que la longitud de la circunferencia de un círculo es un poco más de 3 veces su diámetro. (π≈3,14) Área del círculo A = π ⋅ r2
162
Teorema de Pitágoras en cirfunferencias Para ello, aplicamos el Teorema de Pitágoras, ya que el radio, la mitad de la cuerda y la distancia de la cuerda al centro forman un triángulo rectángulo.
Ejercicio resuelto Calula el área y perímtero de un círculo, si tiene una cuerda de 13,2 cm a 10,12cm del centro.
Cuerda 2 Distancia + = Radio ( 2 ) 2
2
Radio =
R=
Cuerda Distancia + ( 2 )
10,22 + 6,62 =
2
2
43,56 + 104,04 =
147, 6 = 12,149 ≃ 12,15 cm
P = 2πr = 2 · 3,14 · 12,15 cm = 76, 30 cm Área = π · r2 = 3,14 · (12,15 cm)2 = 463,35 cm2 Actividades 1. Trazamos una cuerda de 13 cm, en una circunferencia de diametro 19,4 cm. Calcula cuánto mide la distancia desde el centro de la circunferencia a la cuerda.
2
Distancia +
Cuerda 2 = Radio ( ) 2 2
2. Calula el área y perímtero de un círculo, si tiene una cuerda de 20 cm a 10 cm del centro. 3. Calula el área y perímtero de un círculo, si tiene una cuerda de 10 cm a 20 cm del centro 163
S ECCIÓN 6
Semejanza Figuras semejantes Podemos decir que dos figuras son semejantes si mantienen la misma forma aunque se modifiquen su tamaño. Dos figuras semejantes sólo se diferencian en su tamaño.
Los segmentos homólogos de dos figuras semejantes son proporcionales. Es decir la longitud de un segmento de la mayor se obtiene multiplicando un número fijo de veces por la longitud del segmento homólogo de la figura menor. En dos figuras semejantes el cociente entre un segmento y el correspondiente segmento de la otra son proporcionales. Este cociente se denomina escala o razón de semejanza (r).
Dos círculos son semejantes siempre. El cociente de sus radios es la razón de semejanza. 164
Actividades 1. Las medidas de los lados de un rectángulo son 8 cm y 6 cm. ¿Este rectángulo es semejante al de lados 15cm y 24 cm? ¿ y al rctángulo de 12 cm y 16 cm de lados?
Áreas de figuras semejantes. Estos cuadrados son semejantes, sólo se diferencian en su tamaño, uno es el doble del otro. La razón de semejanza es 2:
2. Calcula la razón de semejanza entre dos triángulos cuyos lados homólogos miden 4cm y 6 cm respectivamente. 3. Dibuja dos cuadrados de 5 cm y 7 cm de lado. ¿Cuál es su razón de semejanza?¿Serán semejantes dos cuadrados cualesquiera? 4. Tenmos un cuadrado de lado 2 m.Construye otro semejante de razón 0,5. 5. Fotocopiamos un triángulo de lados 50cm, 30 cm y 40 cm reduciendolo un 20 %. Cuánto medirán los lados del nuevo triángulo. Cada lado del cuadrado mayor es el doble que el homólogo del cuadrado pequeño. Por lo tanto el área del cuadrado grande será 2 · 2 = 4 veces el área del cuadrado pequeño. Es decir r2. La razón entre sus áreas es: Apequeño Amayor
1 1m2 1 = = r2 = = 2 ( ) 4m 4 2 2
En dos figuras semejantes con razón de semejanza r, la razón de semejanza de las áreas es igual a r2. 165
Volúmenes de figuras semejantes. Estos cubos (ortoedros) son semejantes, sólo se diferencian en su tamaño. La razón de semejanza es 2:
Actividades 1. Tenemos dos cuadrados con perímetros respectivos 22 cm y 3,4 dm. ¿Son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza del mayor respecto del menor? ¿Cuál es la razón de las áreas? 2. Dos cubos tienen una razón de semejanza de 3. Para fabricar el segundo se ha empleado 6 dm2 de cartón. Su volumen es de 3 dm3. ¿Cuánto cartón se ha necesitado para fabricar el segundo? ¿Cuál es el volumen del segundo? 3. Dos jardines semejantes de forma rectangular miden de largo respectivamente 30 y 60 m. Cacula la razón de semejanza. 4. Se han construido dos depósitos de agua semejantes, de forma rectangular, para abastecer dos poblaciones uno tiene una longitud de 15 m y 140 cm de profundidad, el segundo tiene una longitud de 30 m. Deseamos conocer:
Cada lado del cubo mayor es el doble que el homólogo del cubo pequeño. El volumen del cubo grande será 2 · 2 · 2 = 8 veces el volumen del cubo pequeño. Es decir r3. También podemos decir que el cubo pequeño está contenido ocho veces en el cubo mayor; la razón entre sus volumenes es: Vmayor Vpequeño
8m3 = = 8 = 2 3 = r3 3 1m
En dos figuras semejantes con razón de semejanza r, la razón de semejanza de las volúmenes es igual a r3.
a) La razón de semejanza. b) Volumen de ambos depositos. 5. Un triángulo tiene lados de longitudes: 26 cm, 12 cm y 16 cm. Tenemos un triángulo semejante cuyo lado mediano mide 24 cm. Se quiere conocer el área y el perímetro de ambos triángulos. 6. Tenemos un triángulo de lados: 15 cm, 39 cm y 36 cm. Realizamos otro semejante cuyo lado mayor mide 10 cm. Se desea conocer: a) La razón de semejanza. b) Perímetro de los dos triángulos. 166
Figuras a escala, planos y mapas La semejanza de figuras nos sirve para representar objetos reales a un tamaño más pequeño, para poderlos observar y estudiar en su conjunto.
Una maqueta es una representación tridimensional de un objeto y conserva las proporciones respecto al original.
Mapas y planos son representaciónes gráficas de la superficie de la Tierra, de un área o región determinada, de un piso, una construcción, la red de metro etc.
En los planos, mapas y maquetas la razón de semejanza recibe el nombre de escala. Cómo se calcula la escala La escala es el cociente (o razón) entre una longitud determinada de la representación y la medida que corresponde en la realidad. ESCALA =
LONGITUD EN LA REPRESENTACIÓN LONGITUD REAL
La escala es una razón de semejanza pero no se escribe en forma de fracción. Se escribe en forma de cociente. En los mapas y planos la forma representada es la misma que la de la realidad pero el tamaño se ha reducido.
Ejempo: En un plano de escala 1 : 2500, cada centímetro del plano equivale a 2500 cm en la realidad (25 m). 167
Actividades 1. He hecho una fotocopia ampliada de un plano del centro de Villaviciosa de Odón. Puedo afirmar que esta fotocopia ampliada es otro plano. Explícalo. 2. Tengo un plano del salón de mi casa, que es rectángular, a escala 1 : 200. En le plano sus lados son de 12 cm y 23 cm. Calculad el perímetro y la superficie de mi salón en la realidad. 23 cm
6. Una distancia que en la realidad son 20000 m en un mapa son 2 cm. ¿Cuál es la escala con la que se ha realizado el mapa? 7. En el callejero de mi ciudad mi calle que es recta mide 17 cm. Si en el plano se indica una escala 1 : 15000. ¿Cuánto mide mi calle en realidad? 8. La maqueta de un edificio a escala 1 : 250 tiene 40 cm de alto, 26 cm de largo y 8 de ancho. Indica las medidas en la realidad.
12 cm
9. Las dimensiones de la miniatura de un libro son 2 cm · 1,5 cm · 0,25 cm. La escala es 1 : 10. Indica cuáles son las medidas reales. ESCALA 1:200
10.En un mapa se han representado con 15 cm una distancia de 22, 5 km. ¿Cuál es la escala del mapa? 11. La maqueta de una estatua se ha realizado a escala 1: 750. Si la maqueta mide 20 cm. ¿Cuánto mide la estatua en la realidad?
3. Me han dado un mapa que tene por escala 1000000 : 1. Explica si está bien expresada o mal expresada la escala. 4. Calcula las dimensiones de un dormitorio de 5 m de largo por 6 de ancho a las siguientes escalas: a) 1 : 150. b) 1 : 300. 5. La distancia de Madrid a Segovia es 112 Km. Cuál sera esta distancia en un mapa a ecala 1 : 10000. 168
S ECCIÓN 7
Triángulos en posición de Tales
Teorema de Tales
En esta figura podemos ver dos triángulos: uno mayor (ABC) y otro menor (ADE). Ambos son semejantes, y tienen un ángulo común (Â). Los lados opuestos a (A) son paralelos. Decimos por todos estos motivos que están en posición de Tales.
Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas secantes son proporcionales.
Rectas paralelas entre dos secantes Las rectas paralelas al ser equidistantes, forman sobre cada recta secante segmentos de igual longitud. Por esto podemos establecer las siguientes relaciones de proporcionalodad: AB BC AC = = A'B' B'C' A'C'
Dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo en común y los lados opuestos a este ángulo son paralelos. El cociente entre el lado de uno de los triángulos y el correspondiente del otro se llama razón de semejanza (r). r=
AB AC BC = = AD AE DE
Dos rectas secantes cortadas por dos rectas paralelas forman dos triángulos en posición de Tales. 169
.Actividades
1. Calcula cuánto vale el segmento EC sabiendo que:
3. Calcula la longitud de los segmentos: M = AB y N = BC; con los datos de la imagen.
4. En la figura tienes dos rectas secantes y 3 paralelas que cortan a las secantes. 2. Calcula la longitud del segmento A´.
Si el segmento A´B´mide 5 cm, el segmento AB mide 6 cm y el BC 3 cm. ¿Cuál es la medida de B´C´. 170
Criterios de semejanza de triángulos. 1er Criterio:
Semejanza de triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos complementarios.
Dos triángulos son semejantes si todos sus lados correspondientes entre sí son proporcionales.
1er Criterio: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
a b c = = a' b' c'
c = c´
171
Actividades 1. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo de 40º explica porque son semejantes. 2. Aplicando el teorema de Tales calcula cuánto mide A.
4. Tenemos un triángulo ABC (Â = 35º y Ĉ = 88º) y otro triángulo A´B´C´( Â = 33º y Ĉ = 88º). Explica si son semejantes. 5. “Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes”. Di si es verdadera o falsa esta afirmación y explica por qué. 6. Argumenta por qué los siguientes triángulos son semejantes.
3. Comprueba que los triángulos ACB, ABH y BCH son semejantes. ¿Son sus lados proporcionales?
7. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 40º y otro triángulo rectángulo tiene un ángulo de 50º. ¿Son semejantes?¿Por qué? 8. Tenemos dostriángulos rectángulos uno cuyo catetos miden 5 cm y 7 cm y los del otro miden 20 cm y 28 cm. ¿Son semejantes? 9. Los lados de un triángulo miden 16 cm, 20 cm y 24 cmlos de otro miden 8 cm, 10 cm y 12 cm ¿Son semejantes? 10. los ángulos de un triángulo ABC son: α = 40º,β = 65º y γ=75º y el triángulo A´B´C´ tiene un ángulo α´ = 40º.?Son semejantes estos triángulos? 172
Aplicaciones de la semejanza de triángulos En la vida real la semejanza de triángulos se aplica en numerosísimas disciplinas (arquitectura, ingeniería…) para resolver problemas cotidianos. Cálculo de la altura de un objeto conociendo su sombra.
Ya solo queda despejar el valor de la altura de la pirámide (D); aplicando el teorema de Tales. A=1m B = 0,5 m C = 69,5 m Realicemos la misma experiencia que Tales para conocer la altura de la pirámide de Keops en la necrópolis de Gizeh.
A D = B C
Para calcular la altura Tales clavó verticalmente un bastón en el suelo del que conocía su longitud. Midió la sombra que proyectaba la pirámide y la que proyectaba el bastón.
1m D = 0,5 m 69,5 m
Suponemos que la altura del bastón (A) es igual a 1 m; que la sombra que proyecta (B) es igual a 0,5 m. y que la sombra de la pirámide es de (C) es 69,5 m.
D=
1 m ⋅ 69,5 m 0,5 m
D = 139 m Por lo tanto la altura de la pirámide de Keops es 139 m. 173
Cálculo de la altura de un objeto sin conocer su sombra.
Actividades 1. Averigua la altura de un edificio que está proyectando una sombra de 98 m en el mismo momento que un semáforo de 2 m de altura proyecta un saombra de 2,5 m. 2. Unos árboles en un parque tienen unas sombras a la misma hora del día de 2 m, 4 m, 6 m y 8 m. hemos medido el árbol más pequeño y tiene una altura de 250 cm. ¿Calcula la altura del resto de árboles del parque?
Para conocer la altura de un edificio por ejemplo, es suficiente con construir un triángulo rectángulo de modo que quede alineado con el punto más alto del edificio, es decir cuando miremos la altura del triángulo rectángulo que hemos construído coincidirá con el punto más alto del edificio; podemos conocer el otro cateto del triángulo rectángulo que hemos construido, midiéndolo, y del mismo modo también podemos conocer la distancia desde el edificio hasta donde nos encotramos observando. Observamos que tenemos dos triángulos rectángulos semejantes y conocemos los catetos A, B y C; por lo tanto solo debemos despejar D. A = 10 cm = 0,1 m ; B = 5 cm = 0,05 m ; C = 5,5 m
3. Enrique quiere conocer la altura de su casa. Se coloca de modo de que la parte superior de la valla que rodea la casa y el tejado de la casa queden alineados con sus ojos del modo en que se indica en la figura. ¿Puedes ayudar a Enrique a calcular la altura de su casa?
D B = C A D 0,05 m = 5,5 m 0,1 m 0,05 m ⋅ 5,5 m = 2,75 m. D= 0,1 m Por lo tanto la altura del edificio es 2,75 m. 174
4. Tenemos un arbolito que mide 0,6 m y proyecta una sombra de 0,9 m. Un árbol mayor proyecta una sombra de 1,65 m. ¿Cuánto mide?
8. Maria quiere medir un edificio, para ello se aleja 37 m. Sujeta verticalmente una regla de 50 cm, y forma unalinea recta con su mirada el extremo de la regla y el tejado del edificio. Calcula la altura del edificio con ayuda de la imagen.
5. Tenemos una escalera que cerrada alcanza una altura de 180 cm pero abierta solo alcanza 160 cm de altura. ¿A qué distancia estrán los pies de la escalera cuando está abierta?
6. Un amigo le dice a otro mido 10 cm más que tú, por lo tanto mi sombra ahora es 10 cm más larga que la tuya. ¿Es verdad? Razónalo.
9. Dos árboles miden 18 m y 64 m. El menor de ellos tiene una sombra de 7,6 m, y en este momento el extremo de su sombra coincide con el extremo de la sombra del árbol mayor. ¿A qué distancia se encuentra un árbol de otro?
7. A la misma hora de la mañana un hito que mide 170 cm proyecta una sombra de 0,6 m, un poste de la luz tiene una sombra de 15, 4m.¿Cuánto mide el poste de la luz?
175
Construcción de polígonos semejantes Si queremos construir un polígono semejante a uno dado, lo descompondremos en tríangulos y empleando el teorema de Tales obtendremos otros triángulos semejantes. 1. Primero descomponemos el polígono en triángulos. 2. A partir de un vértice (por ejemplo A) mediremos la longitud del lado que será semejante al dado y de este modo obtendremos un punto (D´). 3. Desde ese punto trazamos las paralelas al polígono original hasta obtener el semejante como puedes ver en la figura. 4. Obtendremos polígonos semejantes porque los triángulos de ambos polígonos están en posición de Tales.
Actividades 1. Dibuja en tu cuaderno un hexágono regular de lado 8 cm. Redúcelo a la tercera parte, proyectando desde el centro. Hazlo de nuevo tomando como punto de proyección uno de sus vértices. 2. Toma un triángulo equilatero de 3 m de lado: a) Amplíalo al triple b) Reducelo a la mitad. 3. Dibuja una figura como la que tienes ampliandola al doble de su tamaño.
4. Amplia la siguiente figura si la razón de semejanza es : r = 2. Rombo regular de lado 2,5 m
176
S ECCIÓN 8
Refuerzo y Ampliación
5. Una terna pitagórica está formada por tres números, cuando el cuadrado del mayor de ellos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Te damos números orenados de mayor a menor, calcula el que falta para realizar una terna pitagórica: a) 12, 35, a
Actividades de refuerzo 1. Si (a) es la hipotenusa y b y c son los catetos en un triángulo rectángulo. Calcula el lado que falta: a) b = 2 m y c = b) a =
12 m.
11 m y b =
2 m.
c) b = 39 cm y c = 52 cm. d) a = 27,5 cm y b = 7,7 cm. e) a = 15 cm y c = 12 cm. f) b = 6 m y c = 8 m. 2. Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 45º. Cuánto miden los otros dos. 3. Un triángulo rectángulo isósceles tiene el mismo área que otro triángulo rectángulo de catetos 8 cm y 18 cm.¿Cuánto miden los catetos del triángulo rectángulo isósceles? 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide igual que la hipote nusa del triángulo rectángulo.
b) 8, 12, a c) 6, b, 10 d) 7, 24, a e) c, 16, 20 6. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 cm y uno de los catetos mide 5 cm calcula el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado mide igual que el otro cateto del triángulo rectángulo. 7. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 2 cm y 6 cm. 8. Calcula la altura de un triángulo isósceles si la base mide 10 cm y 13 cm de lado. 9. Indica en cada caso si se trata de un triángulo acutángulo obtusángulo o rectángulo: a) 3 m, 3 m y m. b) 25 cm, 24 cm y 7 cm. c) 1,5 m, 2 m y 2,5 m. d) 1,3 m, 1,2 m y 0,5 m. 177
10. Un triángulo rectángulo tiene un área de 12 cm2. Uno de sus catetos mide 8 cm. ¿Cuánto medirá el otro cateto y la hipotenusa? 11. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 9 m. ¿Cuánto miden los catetos? 12. Una escalera se encuentra apoyada en un muro. El píe de la escalera está a 1 m y alcanza una altura de 3 m. ¿Qué longitud tiene la escalera?¿Que altura alcanzará si ponemos el pié a 0,5 m de la pared?¿A que distancia de la pared debo poner el pié de la escalera para que llegue a una altura de 2,5 m en el muro?
Actividades de ampliación 1. Un lado de un triángulo mide 7 cm y uno de sus ángulos 60º. Hacemos una fotocopia ampliada al 300%.¿Cuánto mide el nuevo ángulo y el nuevo lado?
13. Queremos saber si podemos vallar, un terreno con forma de triángulo rectángulo que tiene dos catetos que miden 14, 4 m y una hipotenusa que mide 30,6 m, con 70 m de valla. 14. Pablo suelta 50 m de cuerda de su cometa. La cometa cae verticalmente y lo hace a 30 m de donde está Pablo.¿A qué altura se encontraba la cometa? 15. Son semejantes a un rectángulo de base 6 cm y altura 2 cm. 16. Dos pueblos están separados en un mapa por 15 cm si la escala es 1:250000. A qué distancia se encentran en la realidad. 17. Cuál es la razon de semejanza de dos cuadrados de lados 4 y 10 cm.¿Cuál es la razón de sus áreas? 18. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. 19. Calcula el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4 cm. 20. Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 7 cm.
2. Calcula la longitud del lado que falta en estos triángulos retángulos: 3. Un triángulo isósceles tiene los lados iguales con una medida de 30 cm y el lado desigual mide 16, 8 cm. Calcula su perímetro y su área. 4. Un triángulo tiene lados de 40 cm, 24 cm y 32 cm. En otro triángulo semejante al dado sulado pequeño mide 6 cm.Halla la medida de los otros lados y la razón de semejanza. 178
5. Con las medidas siguientes podemos construir un triángulo rectángulo, si no es así dí que tipo de triángulo atendiendo a sus ángulos puedes formar. (Expresa tus resultados en centímetros). a) 53 dm, 45 dm y 28 dm.
11. Los triángulos ABC y A´B´C´están en posición de Tales. Calcula cuanto mide: a) El segmento AB. b) El segmento AB´.
b) 74 cm, 72 cm y 21 cm. c) 10 cm, 8 cm y 6 cm. d) 4 m, 3 m y 5 m. e) 10 mm, 24 mm y 26 mm. 6. Si tengo un triángulo de lados 36 cm, 21, cm y 18 cm, otro triángulo de lados 9 cm, 7 cm y 6 cm. ¿Es semejante? 7. Queremos conocer el perímetro, el área y la diagonal de un cuadrado de 3 cm de lado. 8. Comprueba si dos rectangulos de lados: 18 cm y 6 cm el primero y 8 cm y 16 cm el segundo son proporcionales. 9. Un rectángulo tiene una altura de 3 cm y es semjante a otro que tiene por base 5 cm y altura 2 cm. Calcula la razón de semejanza, el área y el perímetro del primer rectángulo. 10.Tenemos un rectángulo cuya base mide 8 cm y cuya altura mide 16 cm. Se desea conocer la base y la altura de otro rectángulo semejante cuyo perímetro es igual a 156 cm. Calcula la diagonal del nuevo rectángulo.
12. Completa las proporciones aplicando el Teorema de Tales. AB AC BC b) B’C’ a)
A’B’ AB A’B’ d) A’C’ c)
13. Un trapecio tiene un lado perpendicular a las bases que mide 24 cm, las bases mayor y menor miden 32 cm y 20 cm respectivamente. Se desea conocer; el perímetro, el área del trapecio y la medida de sus dos diagonales.
179
14. El lado mayor de un triángulo mide 15 cm; es semejante a otro triángulo de lados 5 cm, 4 cm y 2 cm. Calcula la razón de semejanza y los lados desconocidos. 15. Un pentágono regular de 9,6 cm de lado está inscrito en una circunferencia cuyo radio es 8,2 cm. ¿Cuál es el área del pentágono y de la circunferencia?
20. Dibuja un triángulo semejante a uno que tiene por lados 1 m, 0,8 m y 0, 6 m. La razón de semejanza es igual a 0,1. 21. Cuánto mide la farola si la persona mide 1,65 m y su sombra 2m.
16. Calcula el perímetro de la siquiente figura.
22. Tenemos en nuestras instalaciones dos piscinas semejantes, una infantil y otra para adultos, de forma rectangular, con una razón de semejanza igual a 0,5. La mayor tiene unas medidas de 50 m de largo por 24 m de ancho por 2,5 m de profundidad. Se quiere conocer:
17. En un mapa tenemos una escala 1 : 100000. Si la distancia en este mapa entre dos poblaciones es de 12, 86 cm. ¿Cuál será la distancia en la realidad?¿Que distancia habrá en el mapa entre dos puntos que distan en la realidad 7, 7 km? 18. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de 45º. ¿Son semejantes? Razona tu respuesta.
a) La superficie de ambas piscinas y el volumen de ambas piscinas. b) Las medidas de la piscina menor. c) Si se cruzan en diagonal nadando que distancia se recorre en cada piscina. 23.Calcula el área y el perímetro del siguiente triángulo rectángulo:
19. Serán semejantes dos triángulos rectángulos que tienen en común un Ángulo de 40º y los lados que forman este ángulo tienen una longitud 8 cm y 6 cm en uno y en el otro 11,2 cm y 8, 4 cm. 180
S ECCIÓN 9
Repaso
7. Calcula cuánto mide el perimetro del cuadrado inscrito en la circunferencia de radio 4 cm.
1. Calcula el valor de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos: a) b = 12 cm y c = 16 cm b) c = 20 cm y b = 22 cm c) b = 9 cm y c = 18 cm
8. Calcula el área y el perímetro de este triángulo.
d) b = 12 cm y c = 21 cm e) b = 14 cm y c = 22 cm 2. Un poste de alta tensión de 6 m de altura está sujeto al suelo por un cable de 8 m. que va desde el suelo hasta el extremo superior del poste. ¿A qué distancia de la base del poste se encuentra el cable? 3. Averigua cuanto debe medir la diagonal de un rectángulo, si sus lados miden 11 cm y 7 cm. 4. ¿A qué distancia de la pared debo colocar una escalera de 6 m para alcanzar una ventana situada a 5 m del suelo? 5. Calcula el perímetro y el área de un triángulo equilatero de 12 cm de lado. 6. Calcula la altura de un trapecio isósceles de lados 5 cm cada uno de ellos y bases 6 cm y 4 cm.
9. Encuentra el área de los siguientes polígonos: a. Un trapecio rectángulo de latura 5 cm y bases 8 cm y 12 cm respectivamente. b. Unrombo de diágonales 9 cm y 12 cm. c. Un trapecio isósceles de latura 5 cm y bases 8 cm y 12 cm respectivamente. d. Un rombo de lado 10 cm diágonal mayor 16 cm. 10. Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 40 cm de lado. 11. Halla la apotema de un hexágono regular cuyo perímetro es 144 cm. 181
12. Calcula el área y el perímetro de los siguientes polígonos:
16. Unárbol que tiene 8 m de latura prouecta una sombra de 4 m calcula que sombra proyectará un hombre de 1,80 m de altura a la misma hora del día 17. Los lados de un triángulo son: 10 cm, 8 cm y 5 cm y los de otro son 29 cm, 24 cm y 15 cm. Averigua si son semejantes.
13. Calcula el área de un trapecio rectángulo cuyo lado oblicuo mide 42,5 cm y sus bases miden 35 cm y 67 cm. 14. Conociendo la hipotenusa y uno de los catetos del triángulo rectángulo rojo. Calcula el perímetro y área de la circunferencia.
18. Tengo la maqueta de un coche que mide 15 cmsi la razón de semejanza es ¿Cuál será la longitud del coche real? 19. ¿Qué altura tendrá un semáforo que proyecta una sombra de 16 m en el mismo instante que una señal de prohíbido estacionar de 2 m de altura proyecta una sombra de 3,20 m. 20. Cuál será la mayor distancia que se puede recorrer en línea recta en un campo de fútbol de 86 m por 42 m. 21. Tengo una foto que quiero reducir de 20 cm de ancho a 15 cm de ancho. Indica la razón de semejanza.¿En qué porcentaje habré reducido la foto?
15. Calcula los lados que faltan para que ambos triángulos sean semejantes.
22. Si la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es 8. ¿Cuál será la razón de sus perímetros?¿Cuánto medirá el lado que se corresponde con el lado del triángulo mayor que mide 9 cm? 23. Una escalera de 8 m, está apoyada en una pared y su pié se encuentra a 0,6 m de la pared ¿A qué altura de la pared llegará la escalera?
182
C APÍTULO 9
Funciones
En la vida real, a diario, se producen situaciones que podemos expresar como funciones. Los científicos estudian el crecimiento de algunas bacterias relacionándolo con la cantidad de alimento de la que disponen en un área determinado, la temperatura, cantidad de oxígeno… Conocer cómo crecen ayuda a combatirlas. En este capítulo, vamos a estudiar la relación entre dos magnitudes y su representación mediante gráficas.
S ECCIÓN 1
Mediante el estudio del comportamiento de magnitudes entre sí, los científicos, médicos, deportistas, estadísticos, políticos, comerciantes y un sinfín de profesionales consiguen desarrollar proyectos beneficiosos para la sociedad.
Coordenadas en el plano
El número de latidos del corazón por minuto, el ángulo de tiro y la distancia que recorre el balón en un lanzamiento de baloncesto, el porcentaje de hombres y mujeres según su edad en un país determinado son magnitudes relacionadas entre sí que podemos representar gráficamente.
RECUERDA: Representación de pares de valores en un sistema de ejes cartesianos:
1. Dibujamos el eje X (eje de abscisas) y el eje Y (eje de ordenadas). 2. El punto donde se cortan será el origen de coordenadas, el par de valores (0,0). 3. Graduamos cada eje en segmentos iguales. 4. La variable independiente se representa en eje de abscisas.
el
5. La variable dependiente en el eje de ordenadas. 184
S ECCIÓN 2
Las funciones Definición de función
En todos los ejemplos anteriores las magnitudes están relacionadas de forma funcional. Una función es la relación que existe entre dos magnitudes distintas a las que llamamos variables, de manera que a cada valor de la primera le hacemos corresponder un único valor de la segunda.
La relación entre dos magnitudes la podemos expresar matemáticamente en forma de función. Si al estudiar dos magnitudes observamos que el valor de una depende del valor que tome la otra, existe una dependencia funcional.
Indica si las siguientes gráficas representan una función
Pregunta 1 de 4
Ejemplos de funciones
• El tiempo que hablas por teléfono y el coste de la llamada.
A. Sí B. No
Comprobar respuesta
185
Elementos de una función Las variables de una función son:
•
La variable que fijamos en primer lugar, es la variable independiente (x).
•
La variable dependiente será aquella cuyos valores variarán según los valores que tome la primera (y ó f(x)).
Actividades 1. De los ejemplos de la sección anterior indica cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente en cada uno de ellos. 2. Encuentra otros tres ejemplos distintos indicando cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.
Valor de una función en un punto a. (f(a)) En una función, si sustituimos x por un valor a, podemos conocer el valor numérico de la función para ese valor de a. Ejemplo resuelto En la compañía telefónica “Parlante” hablar cada minuto cuesta 5 céntimos. ¿Cuánto nos costará la llamada si hablamos 17 minutos? • Variable independiente x: es el tiempo de duración de la llamada. • Variable independiente f(x): es el coste de la llamada en céntimos. • La función es f(x) = 5x Si hablamos 1 min, x=1
y f (1) = 5· 1 = 5 cent.
Si hablamos 2 min, x=2
y
f(2) = 5· 2 = 10 cent.
Si hablamos 17 min, x=17 y
f(17) = 5·17 = 85 cent.
Actividades 1. En el ejemplo anterior ¿cuánto pagarías si la llamada dura 32 minutos 186
S ECCIÓN 3
Expresión de una función
2. Juan y sus amigos van de excursión. El recorrido que realizan se representa en la siguiente gráfica:
Podemos expresar una función de distintas formas: Con un enunciado. Con una tabla de valores. Con una gráfica. Con su expresión algebraica.
Actividades: 1. María antes de ir a clase realiza todas las mañanas el siguiente recorrido: a) Representa la función espacio - tiempo. b) ¿A cuántos m de la casa de María se encuentra el colegio? c) ¿Cuánto tiempo ha tardado María desde su casa al colegio?
a) Describe con tus palabras las diferentes situaciones que representa esta gráfica. b) ¿En algún momento vuelven al punto de partida? c) ¿A qué distancia han llegado? d) ¿Cuántos minutos han estado descansando? 3. Escribe cuatro expresiones algebraicas que representen cuatro funciones distintas.
187
S ECCIÓN 4
Dominio y recorrido
Características de una función
El dominio de una función son todos los valores de x a los que les corresponde un único valor de y. Decimos que en este intervalo de valores la función existe o está definida.
Estudiando la gráfica de una función, podemos obtener mucha información sobre ella:
• Podemos estudiar su dominio, es decir los valores de x para los que la función existe
• Podemos estudiar su recorrido. • Podemos estudiar su continuidad o discontinuidad
• Podemos
estudiar para qué valores la función crece o decrece.
• Podemos
estudiar sus puntos máximos o míni-
mos.
• Podemos estudiar si se repite cada cierto intervalo de valores, es decir, si es periódica.
Dom f (x) : ∨ x ϵ [1,6] El recorrido será el conjunto de valores de y a los que les corresponde un valor de x. Rec f (x) : ∨ y ϵ [1,3] 188
Continuidad y discontinuidad Puede ocurrir que para dibujar una función tengamos que levantar el lapicero del papel, en este caso decimos, que la función es discontinua. Su dominio vendría dado por más de un intervalo de valores.
Corte con los ejes de coordenadas Una función puede cortar al eje de abscisas (eje OX) o al eje de ordenadas (eje OY) una o varias veces. A estos puntos en los que la función corta a los ejes de coordenadas se les llama puntos de corte con los ejes. ¿Cómo los calculamos? Los puntos en los que la función corta con el eje de abscisas siempre serán (x, 0). Porque están sobre este eje.
Si la función la podemos dibujar sin levantar el lapicero del papel, la función es continua. Su dominio vendría dado por un único intervalo.
Para calcular el valor de x igualamos la expresión algebraica de la función a cero. 189
Los puntos en los que la función corta con el eje de ordenadas siempre serán (0, y). Porque están sobre este eje.
Ejercicio resuelto: Calcular los puntos de corte de la función f (x) = 3x - 1 con los ejes de coordenadas. Puntos de corte con el eje de abscisas (OX): 3x - 1 = 0 3x = 1 x =
1 es el valor de la abscisa. 3
El valor de la ordenada siempre será cero. El punto de corte con el eje de abscisas es
1 ,0 (3 )
Puntos de corte con el eje de ordenadas (OY): En este caso el valor de la abscisa siempre es cero, por tanto, sustituimos en la ecuación inicial x=0 f(x) = 3x - 1 f(0) = 3 ⋅ 0 − 1 = − 1 El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, − 1) Actividades Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: Para calcular el valor de y sustituimos en la expresión algebraica de la función x por cero.
1 x 4
a) f(x) = 3x + 2
c) f(x) =
b) f(x) = 6x-1
d) f(x) = 3 190
Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. Si en una función al aumentar los valores de x, aumentan los valores de f(x), decimos que la función es creciente.
Una función no tiene porqué ser siempre creciente o siempre decreciente, sino que puede presentar tramos de crecimiento y decrecimiento.
Si x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2) es una función estrictamente creciente.
Si al aumentar los valores de x disminuyen los valores f(x), decimos que la función es decreciente. Si x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2) es una función estrictamente decreciente
La función anterior es creciente en x ϵ (− ∝ , − 2) ∪ (2, ∝ ) Y decreciente en x ϵ (−2,3) Cuando estudiamos los tramos de crecimiento o decrecimiento de una función decimos que estamos estudiando la monotonía de la función.
191
Los puntos de la función en los que se produce un cambio en la monotonía, es decir, los puntos en los que se produce un cambio de crecimiento se les llama máximos o mínimos relativos.
Un máximo relativo es el punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente. (recuérdalo como el pico de una montaña).
Un mínimo relativo es el punto en el que la función pasa de ser decreciente a creciente. (recuérdalo como el fondo de un valle)
Una función puede presentar varios máximos y mínimos a la vez. 192
Tendencia y periodicidad Hay funciones en las que podemos predecir cómo se van a comportar para valores de x muy altos o muy bajos por su tendencia.
Llamamos función periódica, a aquella que se repite, para un mismo intervalo de valores de x. A este intervalo de valores, que siempre es igual, se le llama periodo.
Por ejemplo si estudiamos la temperatura de un helado al sacarlo del congelador y dejarlo en un plato, vemos que la temperatura irá aumentando hasta alcanzar aproximadamente la temperatura de la habitación donde se encuentra el plato y a partir de este momento se mantendrá estable. La temperatura del helado tiende a ser igual a la temperatura de la habitación.
Actividades Un tiovivo da una vuelta entera cada dos minutos. El punto más lejano que alcanza son 10 metros. a) Dibuja la gráfica que representa el movimiento del tiovivo. b) Escribe la expresión algebraica de esta función. c) ¿A qué distancia se encontrará a los 5 minutos? ¿Y a los 7 minutos?
193
S ECCIÓN 5
Algunas funciones importantes Su gráfica siempre es una recta.
La función lineal La función lineal es una de las funciones que define gran cantidad de situaciones de la vida real. Su expresión algebraica es: f (x) = mx + n
• • • •
x es la variable independiente. m es la pendiente de la función. f(x) es la variable dependiente n es la ordenada en el origen (el valor de y cuando x es igual a 0)
Dependiendo de los valores que tomen los parámetros m y n distinguimos entre:
•
Función de proporcionalidad directa cuando n es igual a cero y m distinto de cero,
•
Función lineal o afín cuando m y n son distintos de cero.
•
Función constante cuando m es igual a cero y n distinto de cero. 194
La función cuadrática Su expresión algebraica es del tipo
La función de proporcionalidad inversa Su expresión algebraica es del tipo
f (x) = ax2 + bx + c Donde:
• • •
ax2
es el término cuadrático
bx
es el término lineal
c
es el término independiente.
f (x) =
k x
Donde:
• • •
k es un número distinto de cero. x es la variable independiente. f(x) es la variable dependiente
Su representación gráfica es una curva llamada parábola. Su gráfica es una curva llamada hipérbola.
Si a>0 la parábola presenta sus ramas hacia arriba, el vértice de la parábola sería un mínimo. Si a<0 la parábola presenta sus ramas hacia abajo, el vértice sería un máximo. El punto (0,c) es el punto donde la parábola corta al eje OY. 195
S ECCIÓN 6
La función lineal Ya hemos dicho que es un tipo de función que se representa gráficamente mediante una recta. Su expresión algebraica es y = mx + n
ó
f (x) = mx + n
La función de proporcionalidad Expresión algebraica y características. Su expresión algebraica es aquella en la que el parámetro n es igual a cero. f (x) = mx Esta función corta el eje de coordenadas cartesianas en el punto (0, 0), siempre.
El parámetro m nos indica la pendiente de la función. Representación gráfica de una función de proporcionalidad a partir de su expresión algebraica Para dibujar una recta, necesitamos, al menos, dos puntos: Marcamos los dos puntos en el sistema de ejes cartesianos, los unimos y obtenemos la recta. Deducción de la expresión algebraica de una función de proporcionalidad a partir de su representación gráfica Dado que la expresión general de una función de proporcionay lidad es f (x) = mx. Necesitamos conocer m. m = x Vamos a la gráfica, elegimos un punto de la recta cuyas coordenadas sean valores enteros, la pendiente de la recta que buscamos será el valor de la ordenada (y) de este punto, dividido entre el valor de la abscisa(x) en este punto. Calculamos m y sustituimos su valor en la expresión inicial. Actividades Dibuja las gráficas de las siguientes funciones a partir de su expresión algebraica: a) f (x) = x b) f (x) =
1 x
2
c) f (x) = 4x
e) f (x) = − 3x
d) f (x) = -5x
f) f (x) = −
1 x 3 196
La función lineal del tipo y=mx+n Expresión algebraica y características Su representación gráfica es, también, una recta. Su expresión analítica es f (x) = mx + n Esta función corta el eje de ordenadas OY en un punto distinto al origen. El parámetro m nos indica la pendiente de la recta. El parámetro n es la ordenada del punto de corte con el eje OY. Ejemplo:
Representación gráfica a partir de un punto y la pendiente Como ya hemos dicho anteriormente, para dibujar una recta es suficiente con tener dos puntos que pertenezcan a la misma. En las funciones de este tipo uno de los puntos lo obtenemos a partir del parámetro n. El parámetro n es la ordenada del punto de corte con el eje de ordenadas (el primer punto). Entonces un punto es (0, n). Utilizamos la pendiente para obtener otro punto de la recta. y Si m = entonces otro punto será (x, y). x Para dibujar la recta primero tenemos que situar en el eje de coordenadas el punto (0, n) y como si fuera éste el origen de un nuevo sistema de ejes cartesianos (sin levantar el lapicero del papel), dibujamos el segundo punto. Actividades Dibuja la gráfica de las siguientes funciones utilizando el punto de corte con el eje OY y su pendiente: a) f (x) = 3x + 1 3 x + 2
4 −1 c) f (x) = x + 3
4 b) f (x) =
1 x−4 2 -3 e) f (x) = x−1 2 d) f (x) =
f) f (x) = 4x − 2 197
Deducción de la expresión algebraica a partir de la gráfica De nuevo partimos de la expresión general f (x) = mx + n El valor n lo obtenemos directamente de la gráfica ya que es el valor de la ordenada del punto de corte con el eje OY. El valor de m lo obtenemos a partir de dos puntos conocidos de la recta. A partir de dos puntos conocidos (x1, y1) y (x2, y2). m=
y2 − y1 x2 − x1
PARA SABER MÁS: En la expresión general de cualquier función las variables x e y son las coordenadas del punto genérico de esa función (x, y). El punto genérico representa a cualquier punto que pertenece a esa función. Actividades Deduce a partir de las siguientes gráficas las expresiones algebraicas de las funciones que representan:
Sustituimos en la expresión general los valores obtenidos. 198
La función constante.
Actividades
Expresión algebraica y características. Su representación gráfica es una recta horizontal. Su expresión algebraica es
y = k ó f (x) = k
Su pendiente siempre es cero.
1. Representa gráficamente las siguientes rectas. Indica cuáles corresponden a una función.: a) y = 2
b) y = -2
-3
2
d) x =
e) y = 0
f) x = 0
c) y=
-3 2
2. Deduce la expresión algebraica de las siguientes gráficas. Indica cuáles corresponden a una función
Si k=0 la recta coincide con el eje de abscisas OX. Representación gráfica de una función constante. El valor de k es el valor donde la recta corta al eje OY, trazamos una recta paralela al eje de abscisas que corte el eje OY en este punto. Deducción de la expresión algebraica a partir de su gráfica. Observamos en la gráfica en qué valor de y corta la recta con el eje OY y este valor lo sustituimos por k en la expresión general. 199
S ECCIÓN 7
Refuerzo y ampliación
4. Cris y Ana han ido de excursión con sus padres hoy en automóvil. El recorrido que han realizado es el siguiente:
Actividades de refuerzo: 1. Dados los siguientes puntos: A(1, 3), B(-3, 4), C(-2, 3), D(1, -3), E(0,4). a) ¿Cuáles tienen la misma abscisa? b) ¿Cuáles tienen la misma ordenada?
a) ¿Han realizado alguna parada? b) ¿Cuánto tiempo ha durado la excursión?
c) ¿Cuáles se encuentran en el segundo cuadrante?
c) ¿Cuántos kilómetros han recorrido?
d) Represéntalos en un sistema de ejes cartesianos.
d) ¿Representa una función?
2. Cuáles de las siguientes gráficas representan una función: 3. Representa en un sistema de ejes cartesianos la siguiente tabla de valores y forma la gráfica que corresponde uniendo los puntos. x
y
-2
3
-1
1
1
-4
3
0
4
2
Actividades de Ampliación 1. Dibuja la función que a cada número real le hace corresponder su mitad más uno. 2. Indica en qué puntos corta los ejes cartesianos la 1 función f (x) = x2 + x + 4 3. ¿Una función puede cortar más de una vez los ejes de coordenadas? Justifica tu respuesta. 1 +1 . x Analiza su dominio, recorrido, su crecimiento y decrecimiento
4. Representa gráficamente la función f (x) =
200
S ECCIÓN 8
Repaso
4. En la compañía de telefonía móvil “Cacatúa”, la relación entre la duración de una llamada y su coste viene dada por la siguiente gráfica:
1. Escribe la función que relaciona: a) El área de un cuadrado con sus lados. b) El doble de un número menos su mitad. c) La longitud de una circunferencia y su radio. 2. En un parking por el estacionamiento de un vehículo cobran 1,5 € cada hora que está estacionado. Construye una tabla de valores que relacione el coste del estacionamiento con el tiempo que el vehículo permanece en el parking. a) Escribe la expresión algebraica de la función que describe. b) ¿Es una función continua o discontinua? 3. Roberto se ha comprado una moto que alcanza una velocidad de 110 km en una hora. Construye una tabla de valores que relacione la distancia recorrida y el tiempo, y marca en ella cuántos kilómetros habrá recorrido cuando hayan pasado 3,5 horas. 201
5. La gráfica que aparece en la portada del tema representa el crecimiento bacteriano. Interpreta lo que ocurre en la gráfica.
9. Dibuja una gráfica que sea siempre creciente y otra siempre decreciente. 10. Indica los máximos y mínimos de la siguiente gráfica:
6. Un metro de tela impermeabilizada para construir el toldo de una terraza cuesta 105€. Sara compra 25 metros. a) Escribe la expresión algebraica que define lo que cuesta la tela en función del número de metros necesarios para su confección. b) Dibuja la gráfica. c) Señala su dominio y su recorrido.
11. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:
7. Pon un ejemplo de función continua y otro de función discontinua. 8. En una estación meteorológica el termómetro mide la temperatura exterior a lo largo de un día Tiempo 0 (h) Temperatura -3 (ºC)
3
6
9
12
15
18
21 24
-4
-5
1
4
5
3
2
Dibuja la gráfica. Estudia su crecimiento.
0
a) y = 3x
c) y = -5x
3 b) y = − x
5
d) y =
1 x 4
12. Un manantial vierte a un río 15 litros de agua cada minuto. a) Dibuja la gráfica y escribe la expresión algebraica que corresponde. b) ¿Cuántos litros de agua habrá vertido cuando han pasado 23 minutos? 202
13. El teleférico de Madrid sobrevuela un trayecto entre la rosaleda del Parque del Oeste y la casa de campo. La distancia que recorre es de 2,5 km aproximadamente tardando 11 minutos en realizar el recorrido.
17. Calcula la pendiente de las siguientes gráficas. A partir de la pendiente, escribe la expresión algebraica que corresponde a cada una de las gráficas.
a) Dibuja la gráfica de su recorrido entre las 10:00 y las 12:00 horas. b) ¿En qué posición se encontraría a los 22 minutos? c) ¿Y a los 55 minutos? 14. María y su madre salen a caminar a diario. Recorren 4 km cada hora y caminan todos los días dos horas y media. a) ¿Cuántos kilómetros recorren al día? b) Dibuja la gráfica y define su dominio. c) ¿Cuántos kilómetros han recorrido cuando han pasado cinco días? 15. Una empresa cobra para serigrafiar camisetas, 30€ por la plancha molde y 6€ por la impresión en cada camiseta. Representa gráficamente el coste frente al número de camisetas. 16. En la frutería “El melonero” tienen una oferta. Al comprar melones, el primer kilo cuesta 0,80€/kg y a partir de aquí cada kilo cuesta 0,50€/kg. a) Escribe la expresión algebraica que define el coste de la cantidad de melones comprada por un restaurante frente a su peso.
18. Una compañía de teléfono cobra 25 céntimos por el establecimiento de una llamada y 2 céntimos por cada minuto que hablamos. Escribe una expresión algebraica para esta función y dibuja la gráfica. 19. Indica la pendiente de las siguientes funciones y utilízala para escribir su expresión algebraica.
b) Dibuja su gráfica. 203
C APÍTULO 10
Estadística y probabilidad
S ECCIÓN 1
Distribuciones estadísticas
Definiciones: 1. Población: Conjunto de individuos que queremos estudiar. 2. Muestra: Es un conjunto reducido de la población, sobre quien realmente se está haciendo el estudio y de quien se extrae la información. 3. Individuo: Cada uno de los elementos que componen la población. 4. Variable estadística: Es el aspecto que queremos estudiar.
Las variables estadísticas, dependiendo de lo que queramos estudiar, pueden ser cuantitativas o cualitativas: Imaginemos que queremos calcular la nota media de todos los alumnos de 1º ESO de España. Parece que el procedimiento puede ser, y es, muy largo y tedioso. ¿No es mejor calcular la nota media de los alumnos de 1º ESO de unas pocas ciudades españolas y así tener una noción de cómo será esa nota media en toda España?
•
Al conjunto de todos los alumnos de 1º ESO de España lo llamaremos población
•
A aquellos alumnos de los que vamos a calcular la nota media los llamaremos muestra.
•
A cada uno de los alumnos los vamos a llamar individuos.
Una variable cuantitativa toma valores numéricos. El número de calzado, altura, número de hermanos, peso, son ejemplos de variables cuantitativas Las variables cualitativas toman valores no numéricos . El color de ojos, nombre, estación del año en que cae el cumpleaños, etc. son ejemplos de variables cualitativas.
205
Tablas de frecuencias La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite el valor de la variable. La frecuencia relativa es la división entre la frecuencia de ese dato y el número total de datos.
Actividades 1. Se ha hecho un estudio del número de hermanos que son en casa los 30 alumnos de un grupo de 1º ESO. Los resultados son los siguientes:
1
1
3
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
3
2
4
2
2
1
2
2
2
2
4
2
3
2
1
Ejemplo:
a) Escribe la tabla de frecuencias.
Preguntamos a los 16 alumnos de una clase sobre las calificaciones numéricas obtenidas en un examen y nos responden:
b) Escribe la tabla de frecuencias relativa.
2, 3, 5, 6, 5, 1, 8, 8, 9, 4, 7, 3, 8, 5, 10, 7, 4, 5, 4 y 2. La variable x estudiada (calificaciones numéricas obtenidas), es una variable estadística cuantitativa porque se da en valor numérico. La frecuencia de cada uno de estos valores quedará recogida en la siguiente tabla:
2. Se ha hecho una encuesta a 20 personas sobre el mes en que es su cumpleaños. Los resultados son los siguientes:
P
P
O
V
I
I
V
P
O
O
P
V
I
O
V
I
O
V
P
O
Donde P= primavera, V= verano, O= otoño e I= invierno. a) Escribe la tabla de frecuencias. b) Escribe la tabla de frecuencias relativa.
3. Se ha tirado 27 veces un dado, obteniendo los siguientes resultados:
1
4
3
5
3
2
1
2
6
3
2
1
5
3
6
2
1
4
5
6
4
1
4
3
2
3
5
a) Escribe la tabla de frecuencias. b) Escribe la tabla de frecuencias relativ 206
S ECCIÓN 2
Parámetros estadísticos
Actividades 1. Se ha hecho un estudio del número de hermanos que son en casa los 30 alumnos de un grupo de 1º ESO. Los resultados son los siguientes:
1
1
3
3
2
1
2
1
2
1
Como comprenderéis, hacer un estudio de las notas de matemáticas de 1ºESO de toda España y saber cuántos alumnos han sacado un 1, cuántos han sacado un 2, etc. es, además de un proceso largo, bastante absurdo. La información que realmente nos puede ser de utilidad será cuál es la nota media de matemáticas en 1º ESO en España o cuál es la nota que con más frecuencia se saca.
2
2
1
1
2
3
2
4
2
2
1
2
2
2
2
4
2
3
2
1
Con todo esto pretendemos, cuando tenemos un conjunto numeroso de datos, resumirlos en cierta forma. Para ello utilizaremos la media, la moda y la mediana.
P
P
O
V
I
I
V
P
O
O
P
V
I
O
V
I
O
V
P
O
Donde P: primavera, V: verano, O: otoño e I: invierno.
La media aritmética de un conjunto de datos se calcula sumando todos estos datos dividiéndolos entre el número total de datos.
Calcula la media, la mediana y la moda 2. En una encuesta hecha a 20 personas sobre la estación en que nacieron, los resultados son:
Calcula la moda. 3. Se ha tirado 27 veces un dado, obteniendo los siguientes resultados:
La moda de un estudio estadístico es el valor del dato que más se repite.
1
4
3
5
3
2
1
2
6
3
2
1
5
3
6
2
1
4
La mediana es el valor que se encuentra justo en medio de una distribución cuando los datos están colocados de menor a mayor.
5
6
4
1
4
3
2
3
5
Calcula la media, la mediana y la moda 207
S ECCIÓN 3
Gráficos estadísticos
10 9
Diagrama de barras
8 El diagrama de barras es un gráfico que se utiliza en estadística en el que los datos se representan en la base de cada barra. Cuya altura se corresponde con la frecuencia absoluta que tiene el dato que le corresponde.
7 6 5
Ejemplo: En una clase de 1º ESO, en matemáticas se han obtenido las calificaciones, según la siguiente tabla de frecuencias: Calificación
Nº alumnos
Insuficiente
4
Suficiente
9
Bien
3
Notable
2
Sobresaliente
2
4 3 2 1 0
I
SF
B
NT
SB 208
Diagrama de sectores
Insertar vídeo en el que se realiza un gráfico de sectores.
En los diagramas de sectores se representan los datos en un círculo.
El círculo queda dividido en sectores cuya amplitud es proporcional a las frecuencias de los valores.
10% Ejemplo:
2%
En una ciudad se ha estudiado el color de pelo de los ciudadanos, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:
Color de pelo
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Castaño
2500
0,57
Negro
3000
0,31
Pelirrojo
200
0,02
Rubio
1000
0,10
31%
57%
Castaño Negro Pelirrojo Rubio 209
Histogramas
800
Los histogramas se utilizan para variables representadas en datos agrupados. En un histograma, los resultados se expresan en rectángulos unidos unos a otros.
600
La base de cada rectángulo será la amplitud del intervalo que representan y la altura, la frecuencia correspondiente a dicho intervalo. Por tanto el área de los rectángulos serán proporcionales a las frecuencias correspondientes a cada agrupación de datos.
400
Ejemplo: En un pueblo se ha hecho un estudio sobre las edades de sus habitantes. Si agrupamos los datos en períodos de 10 años.
200
0 210
Polígono de frecuencias A partir del diagrama de barras de un estudio estadísticos, unimos los extremos superiores de cada una de las barras, obtenemos una línea poligonal que se llama polígono de frecuencias. En el caso de los histogramas, se unen los puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo. Tal y como podemos ver en la siguiente imagen.
800
600
Actividades 1. Se ha hecho un estudio del número de hermanos que son en casa los 30 alumnos de un grupo de 1º ESO. Los resultados son los siguientes:
1
1
3
3
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
3
2
4
2
2
1
2
2
2
2
4
2
3
2
1
a. Haz un diagrama de barras.
b. Haz un histograma.
c. Haz un polígono de frecuencias.
2. En una encuesta hecha a 20 personas sobre la estación en que nacieron, los resultados son:
P
P
O
V
I
I
V
P
O
O
P
V
I
O
V
I
O
V
P
O
Donde P: primavera, V: verano, O: otoño e I: invierno. a. Haz un diagrama de barras. b. Haz un diagrama de sectores.
400
200
3. Se ha tirado 27 veces un dado, obteniendo los siguientes resultados:
1
4
3
5
3
2
1
2
6
3
2
1
5
3
6
2
1
4
5
6
4
1
4
3
2
3
5
a.Haz un histograma. b.Haz un polígono de frecuencias.
0
c.Haz un diagrama de sectores. 211
S ECCIÓN 4
Sucesos aleatorios. Probabilidad
Probabilidad La probabilidad de un suceso es la posibilidad (medida entre 1 y 0) que tiene ese suceso de ocurrir.
Llamamos suceso imposible al suceso cuya probabilidad es de 0. Un suceso aleatorio es un acontecimiento cuya realización (el que ocurran o no) depende del azar.
Muchas veces nos hemos preguntado si al tirar una moneda saldrá cara o cruz o si al tirar el dado, con qué probabilidad sacaremos un 4 y comeremos la ficha de parchís del contrario para contarnos 20. Todas estas acciones dependen del azar, pues al tirar un dado o una moneda no hay ninguna regla que nos diga qué va a salir. Actividades 1. Indica si los siguientes sucesos son aleatorios o no lo son: a) Tirar una moneda. b) Calcular el área de un rectángulo. c) Lanzar un dardo a la diana. d) Que el profesor se caiga.
Llamamos suceso seguro al suceso cuya probabilidad es de 1. Cómo se mide la probabilidad Cuando tiramos una moneda parece claro que la mitad de las veces saldrá cruz y la otra mitad cara, o si tiramos un dado, 1 vez de cada 6 saldrá el 1, 1 vez de cada 6 saldrá el 2, y así con el resto de puntuaciones posibles. Esto se debe a que tenemos 1 caso favorable (que salga cara) entre 2 posibles (puede salir cara o salir cruz). Regla de Laplace: Para averiguar la probabilidad de un suceso con un instrumento regular (cada uno tiene las mismas posibilidades de salir) procedemos a la siguiente fórmula: P(A) =
número de casos favorables número de casos posibles 212
Si tuviéramos un instrumento irregular, como un dado deforme o una moneda trucada, no podemos aplicar la Regla de Laplace, pues no tienen las mismas posibilidades de salir la cara que la cruz.
Actividades 1. Tenemos una bolsa con bolas de colores: 3 rojas, 2 verdes y 5 azules.
En este caso, tendremos que realizar una tabla de frecuencias y la probabilidad de un suceso será la frecuencia relativa observada para ese suceso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?
Ejemplo:
• Tiramos un dardo a una diana, y no sabemos cuál es la probabilidad que tenemos de dar justo en el centro. Después de 100 intentos, hemos dado en el centro 17 veces. La frecuencia relativa de dar al centro es: P(centro) =
17 = 0,17 = 17 % . 100
b) ¿Y la de sacar una bola verde? c) ¿Y la de sacar una bola azul? 2. Tiramos una moneda trucada 50 veces, de las que hemos obtenido 30 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz?
213
S ECCIÓN 5
3. Se ha tirado un dado 10 veces obteniendo las siguientes puntuaciones:
Refuerzo y ampliación
1
3
1
4
3
6
5
3
2
5
a) Haz una tabla de frecuencias. b) Haz una tabla de frecuencias relativa. c) Calcula la media y la moda. 4. Dada la siguiente tabla de frecuencias
Actividades de refuerzo 1. Di qué variable de las siguientes es cualitativa o cuantitativa: a) Peso.
d) Intención de voto.
b) Estatura.
e) Sueldo.
c) Color de ojos.
f) Nota en último control.
2. En una comunidad de vecinos, de 16 puertas, se ha estudiado cuántas personas viven en cada casa, obteniendo los siguientes resultados:
3
4
4
2
1
3
4
4
3
4
2
3
1
3
4
3
a)Haz una tabla de frecuencias. b)Haz una tabla de frecuencias relativa.
Nota Alumnos Insuficiente 4 Suficiente 9 Bien 7 Notable 5 Sobresaliente 3 a) Haz un diagrama de barras. b) Haz un histograma. 5. Indica cuáles de estos sucesos son aleatorios y cuáles no: a) Medir el tiempo que tarda en caer al suelo una moneda. b) Mirar si sale cara o cruz al tirar una moneda. c) Puntuación obtenida al tirar un dado. d) Pulsar el botón del ordenador y que se encienda.
c)Calcula la media y la moda. 214
6. Si tenemos una bolsa con 5 monedas rojas, 3 amarillas y 5 monedas verdes, ¿cuál es la probabilidad de obtener una moneda verde?
Actividades de ampliación 1. Manuel trabaja haciendo sustituciones en el hospital. Trabaja 2 días a la semana. Si cogemos cualquier día del mes, ¿qué probabilidad hay de que esté trabajando?
7. Si tenemos una urna con 1 bola amarilla, 3 bolas verdes y 6 bolas negras. Calcula: a) Probabilidad de obtener una bola amarilla. b) Probabilidad de obtener una bola verde. c) Probabilidad de obtener una bola negra.
2. Miguel sale a correr 4 días por semana a un parque cercano a su casa. En la ciudad donde vive Miguel, llueve un tercio de los días del año. Si cogemos un día cualquiera del año, ¿qué probabilidad hay de que haya salido a correr y esté lloviendo? 3. Tenemos una diana en la que 1/3 de la superficie es roja y el resto es verde. ¿Qué probabilidad hay de, al tirar un dado, que caiga en la superficie verde?
215
4. ¿Qué probabilidad hay de sacar oros de una baraja de póker? ¿Y de sacar un AS? ¿Y de sacar el 3 de corazones?
5.De los 40 vecinos de mi comunidad, su color de pelo es el siguiente:
R
R
M
R
M
C
M
R
C
R
M
C
M
R
C
C
M
C
R
C
M
C
P
R
C
M
M
C
R
P
C
M
M
C
C
R
C
R
7. Al tirar 2 dados, anotamos la resta de ambas puntuaciones, obteniendo los siguientes resultados después de 50 lanzamientos:
0
2
5
2
4
2
0
3
1
1
2
4
5
0
1
3
2
3
2
4
0
2
5
4
1
0
1
1
3
2
5
4
3
2
1
2
3
1
0
4
4
3
3
2
2
3
4
1
5
2
1.
Haz un diagrama de barras.
2.
Haz un polígono de frecuencias.
3.
Haz un diagrama de sectores.
4.
¿Qué probabilidad hay de sacar la misma puntuación en ambos dados?
C
C
6. donde R: rubio, M: Moreno, C: castaño y P: pelirrojo. a) Haz un histograma. b) Haz un diagrama de sectores. 216
S ECCIÓN 6
3. Se tira 10 veces una moneda, obteniendo los siguientes resultados:
Repaso
C
C
X
C
X
C
C
X
X
X
Donde C : cara y X : cruz. a) Haz una tabla de frecuencias. 1. Lanzamos un dado 30 veces obteniendo los siguientes resultados:
1
4
6
5
6
1
1
3
4
5
2
1
6
4
4
4
5
6
5
2
2
2
3
5
6
6
4
1
1
3
a) Haz la tabla de frecuencias.
c) Haz un diagrama de barras. d) Haz un polígono de frecuencias. 2. Las notas de 30 alumnos de un grupo de 1º ESO en Matemáticas han sido las siguientes:
4
5
7
2
9
10
5
7
4
5
3
7
5
6
8
6
6
5
7
9
1
5
6
5
7
7
9
7
6
8
b) Haz la tabla de frecuencias relativa. c) Haz un histograma. d) Calcula la media y la moda.
c) Haz un diagrama de barras. 4. Se ha hecho un cuestionario a los 25 alumnos de un grupo de 1º ESO, en el que se preguntaba qué habían comido ese día. Las respuestas han sido las siguientes: Comida Pasta Verdura Carne Pescado
b) Haz la tabla de frecuencias relativa.
a) Haz la tabla de frecuencias.
b) Haz una tabla de frecuencias relativa.
Alumnos 7 2 12 4
a) Haz un histograma. b) Haz un diagrama de sectores. 5. Di cuáles de las siguientes experiencias son aleatorias y cuáles no: a) Calcular la velocidad media de un vehículo. b) Tirar un dado y anotar su puntuación. c) Sacar una bola de una urna y apuntar el color. d) Tirar un dardo a una diana y ver si ha caído en el centro o no. 217
6. Tenemos una diana de 3 colores: rojo, negro y blanco. Tiramos un dardo 40 veces, de las cuales hemos dado en la zona blanca 24, y a la roja 8. a) ¿Cuál es la probabilidad de que demos al rojo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que demos al blanco? c) ¿Cuál es la probabilidad de que demos al negro?
7. Tiramos un dado trucado obteniendo los siguientes resultados: Puntuación 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 17 12 11 16 15 9
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 1? b) ¿Y la de obtener un 3? c) ¿Y la de obtener un 4? d) ¿Y la de obtener un 6? 8. Tenemos una urna compuesta de la siguiente forma: 5 bolas rojas, 3 bolas verdes y 7 bolas negras. Calcula: a) Probabilidad de obtener una bola roja. b) Probabilidad de obtener una bola de cualquier color menos negra. 9. Tenemos una bolsa con 3 monedas, 5 dados y 2 pulseras. Calcula: a) Probabilidad de sacar una moneda. b) Probabilidad de sacar una pulsera.
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