Matemáticas

Matemáticas Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez, Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

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Matemáticas Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas, Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo

2 Mmá 2

El libro es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

1

Mmá 2fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

El libro

Edición: Guillermo Trujano Coordinación editorial: Roxana Martín-Lunas Rodríguez Revisión técnica: Víctor Hugo Ibarra Mercado Corrección de estilo: Eduardo Mendoza Tello Diseño de portada: José Francisco Ibarra Meza Ilustraciones de personajes de portada: Teresa Martínez Diseño de interiores: C arlos Vela Turcott Coordinación de Diseño e iconografía: José Francisco Ibarra Meza Ilustraciones: Héctor Ovando J arquín, Carlos Vela Turcott Fotografía: Corel Stock Photo y Archivo Santillana Diagramación: Héctor Ovando Jarquín

Luis Briseño Aguirre Guadalupe Carrasco Licea María del Pilar Martínez Téllez Óscar Alfredo Palmas Velasco Francisco Struck Chávez Julieta del Carmen Verdugo Díaz Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas Rodríguez Gerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez Martínez Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar Gerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin Fuentes Coordinación de Arte y Diseño: José Francisco Ibarra Meza Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Matemáticas 2 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F. ISBN: 978-970-29-1989-6 Primera edición: octubre, 2006 Primera reimpresión corregida: mayo, 2007 Segunda reimpresión corregida: julio, 2007 Tercera reimpresión corregida: septiembre, 2007 Cuarta reimpresión corregida: marzo, 2008 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México

2

Presentación

>

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió: “... la mejor forma de aprender es hacer” .

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro.Matemáticas 2 propone a los estudiantes de segundo grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos. No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados. Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto. Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicional en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad. En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores.

Presentación

3

> estructura de tu libro Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques, distribución que responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada. Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro: Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

e A ntes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que confrmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

bq Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarrollarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son:Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una unidad y no como una materia fragmentada.

P mz En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que incluirá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes. Cada lección puede tener de tres a siete partes. Cada parte consta de una a tres páginas; se indica el número de lección por bloque y el texto con el que empezarás a estudiar iniciacon este símbolo .

l En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas eilustraciones. Cada lecci ón cuenta con espacios para escribir respuestas ocomentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuand o se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas claves. Cuando un término dentro del texto aparececursivas en , su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 326. Aplicación En algunas lecciones encontrarás una apli-

cación que se ha resaltado por su utilidad o importancia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

4

Matemáticas 1

P mn Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La

sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo,El Torito. Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

Mmátic En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.

Pn d nn Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores.

un nv d En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

Estructura del libro

5

> contenidos eJe bloQue 1 Snio nmérico y pnsamino leccin 1 LOS ÁNGuLOS algbraico •

Significado y uso de las operaciones Problemas multiplicativos Problemas aditivos Operaciones combinadas

forma, spacio y mia •

•

Medida Estimar, medir y calcular Formas geométricas Rectas y ángulos

Manjo  la inormación •

•

Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas

14 17

Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

leccin 2 eL teSORO PeRdIdO

27

Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

leccin 3 MuLtIPLICACIÓN de NÚMeROS CON SIGNO

37

Problemas que impliquen la multiplicación y división de números enteros. Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo.

leccin 4 CAdA QuIeN CON Su CAdA CuAL

49

Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

leccin 5 PROPORCIONALIdAd AL deReCHO Y AL ReVÉS

65

Determinación del factor inverso dada una relación de proporcionalidad y del factor de proporcionalidad fraccionario. Elaboración y utilización de procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

leccin 6 ¿CuÁNtOS CueNtAS?

79

Anticipación de resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificación de los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

leccin 7 uSO de POLíGONOS de fReCueNCIAS

89

Interpretación y comunicación de la información mediante polígonos de frecuencias.

Mmátic P   u v 

6

Matemáticas 1

98 100 102

eJe Snio nmérico y pnsamino algbraico •

Significado y uso de las operaciones Operaciones combinadas Problemas multiplicativos

bloQue 2 lección 1 eNtRe PARÉNteSIS

•

Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

lección 2 PRISMAS Y PIRÁMIdeS

Formas geométricas Cuerpos geométricos Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular

•

Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad Representación de la información Medidas de tendencia central y de dispersión

117

Descripción de las características de cubos, prismaspirámides. y Construcción de desarr ollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos y diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Justificación de fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Cálculo de datos desconocidos dados otros, relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen y capacidad y la relación entre ellas.


107

Utilización de la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos.


104

lección 3 eNtRe MedIAS, MedIANAS Y MOdAS

129

Interpretación de las medidas de tendencia central. Cálculo de la media aritmética, la moda y la mediana de un conjunto de datos agrupados. Propiedades de la media aritmética.

lección 4 HAY RAZONeS Y RAZONeS

141

Significado de una razón. Comparación entre dos razones.


Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional

Mamática P  r ua va a

148 152 154

bloQue 3

158

lección 1 ASí, SuCeSIVAMeNte

161

Construcción de sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtención de la regla que genera una sucesión de números con signo.

Contenido

7


Formas geométricas Justificación de fórmulas Figuras planas


Representación de la información Gráficas

leccin 2 de uN LAdO Y de OtRO

167

Problemas que impliquen el planteamiento y la solución de ecuaciones de la formaax + bx + c = dx + ex + f, y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios positivos o negativos

leccin 3 tOdOS eN LíNeA

175

Reconocimiento en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, de la presencia de cantidades que varían una en función de la otra. Representación de esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la formay = ax + b. Construcción, interpretación y uso de gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor deb mientras el valor de m permanece constante. Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor dem mientras el valor de b permanece constante.

leccin 4 JuGueMOS A LOS ROMPeCABeZAS

185

Establecimiento y justificación de la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono. Argumentación de las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano.

Mmátic P   u v 

bloQue 4 eJe Snio nmérico y pnsamino leccin 1 ¿QuÉ tAN PROBABLe eS? algbraico •

Significado y uso de las operaciones Potenciación y radicación


Formas geométricas Figuras Rectas yplanas ángulos

8

Matemáticas 1

194 196 198 200 203

Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos. Identificación de eventos independientes. Cálculo de la probabilidad de que ocurran 2 o más eventos independientes.

leccin 2 tRIÁNGuLOS CONGRueNteS

217

Determinación de los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

leccin 3 NuMeRItOS Y NuMeROteS

229

Elaboración, utilización y justificación de procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de potencias.

Interpretación del resultado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilización de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.


•

Análisis de la información Noción de probabilidad Representación de la información Gráficas

leccin 4 ReCtAS deL tRIÁNGuLO

243

Las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

leccin 5 MÁS O MeNOS RÁPIdO

255

Interpretación y elaboración de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etc.

leccin 6 ¿QuÉ eS MeJOR?

263

Interpretación de dos gráficas de líneas que representan características distintas de un fenómeno o situación. Utilización de la información brindada por dos gráficas para tomar decisiones.


Mamáticas P d r ua va ad

270 272 276

bloQue 5

278

leccin 1 dOS Y dOS

Significado y uso de las literales Ecuaciones

un problemacon y sucoeficientes uso para plantear ecuaciones enteros.y resolver un sistema de Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretación de la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.


Transformaciones Movimientos en el plano

leccin 2 de AQuí PARA ALLÁ

•

Representación de la información Gráficas Análisis de la información Noción de probabilidad

297

Determinación de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construcción y reconocimiento de diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.


281

Representación con literales de los valores desconocidos de

leccin 3 uNO O eL OtRO, PeRO NO LOS dOS

311

Identificación de eventos mutuamente excluyentes. Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos. Cálculo de la probabilidad de ocurrencia.

Mamáticas

320

P d r ua va ad Gsar bgrafía búsqda d frmaó  ir Prgrama d a asgara

322 324 326 328 330 331 Contenido

9

> enlace

Para iniciar el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conocimientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado 1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10? 2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2? ¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2? –8 –7 –6 –5 –4 –3 3. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones: (−3.5) + (4.5)

(−23 ) − (− 73 )

–2

–1

0

1

2

(−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas cuadradas y dos rectangulares.

Las tres piezas cuadradas forman una rectangular. =

La pieza rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David? 5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas canicas compró el martes?

10

Matemáticas 1

6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía? 7. En el plano cartesiano se encuentran los puntosA, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas. Punto C B

A

x

y

A B C D E F

8. Traza un rombo a partir de una de sus diagonales. B A

B

¿Cómo deben ser los lados de un cuadrilátero para que sea un rombo? ¿Se pueden construir varios rombos con la misma diagonal? En la figura te mostramos tres rombos con el segmento AB como diagonal; construye uno distinto. A

Enlace

11

> enlace

B

9. Traza un segmento cualquiera AC y cualquier rombo que tenga a AC como una de sus diagonales. LlamaB y D a los otros vértices. Traza el segmento BD y llama O al punto donde se cruzan las diagonales.

C O

Recorta el rombo y dóblalo por la diagonalBD. ¿Son iguales los triángulos ABD y CBD? ¿Miden lo mismo los segmentosAO y OC? ¿Son iguales los ángulosABD y CBD? ¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonalBD?

A

D

Desdobla el rombo y dóblalo por la otra diagonal. ¿Son iguales los triángulos ABC y ADC? ¿Miden lo mismo los segmentosBO y OD? ¿Son iguales los ángulosBAO y DAO? ¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonalAC? Dobla ahora el rombo en cuatro por sus diagonales. ¿Son iguales los cuatro triángulos en los que queda dividido el rombo por sus diagonales? ¿Cuánto mide el ánguloAOB? 10. Traza un rombo a partir de uno de sus ángulos.

A

Clava tu compás en el vérticeA y con cualquier radio traza un arco de circunferencia que corte a las dos líneas que forman el ángulo. LlamaB y D a los puntos de intersección. Sin cambiar la apertura del compás traza dos circunferencias con centros en B y D. Las circunferencias se cortan en A y en otro punto; llamaC a este punto. Une a C con B y D. Traza del rombo. A partirlasdediagonales las actividades anteriores explica: a) Cómo trazar la mediatriz de un segmento.

12

Matemáticas 1

b) Cómo trazar la bisectriz de un ángulo.

11. Determina cuáles de lossiguientes experimentos son aleatorios y cualesson deterministas. Explica tu respuesta. a) Se deja caer una piedra desde una altura de2 metros dentro del salón y se observa la trayectoria quesigue. b) Se selecciona cualquier nombre de la lista de estudiantes de tu grupo y se le pregun ta cuál es su deporte favorito. c) Se coloca una bola roja en la caja1, una bola azul en la caja 2 yuna bola blanca en la caja 3.Se le pidea una persona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que seleccione la bola de la caja 1 y anote su color. d) Se colocan las mismas bolas en las mismas cajas del ej ercicio anterior y se le pide a una persona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que elija cualquier caja, saque la bola y anote su color. 12. Se lanzan dos dados regulares. Escribe el espacio muestral de este experimento. ¿Todos los resultados que escribiste tienen la misma facilidad de ocurrir? ¿Por qué? Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: A: La suma de los números obtenidos es 6. B: C: D: E:

El producto de los números obtenidos es 12. El resultado del primer dado es 5 el ( segundo resultado puede ser cualquiera). El resultado del primer dadoes 4 y el del segundo es par. La diferencia entre los dos números obtenidos es 3.

13. Se lanza 1 000 veces un dado cargado. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Cara

1

2

3

4

5

6

Frecuencia

85

159

167

161

163

265

Usa la definición frecuencial para aproximar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles al lanzar este dado.

Enlace

13

>BLOQue 1

14

> Lo q aprndrás n st bloq

1

eJe

eJe 2

3

eJe

Sntido nmérico y pnsaminto algbraico

forma, spacio y mdida

Manjo d la inormación

Rsolvr problemas que impliquen multipli-

Rsolvr problemas que impliquen recono-

dtrminar el factor inverso dada una rela-

caciones y divisiones de números con signo.

Rsolvr problemas que impliquen adición y

cer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

ción de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

sustracción de expresiones algebraicas.

dtrminar mediante construcciones las

elaborar y utilizar procedimientos para resol-

Rconocr y obtener expresiones algebrai-

posiciones relativas de dos rectas en el plano

ver problemas de proporcionalidad múltiple.

cas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

ypendiculares elaborar definiciones y oblicuas.de rectas paralelas, per-

Anticipar resultados en problemas de con-

establcr relaciones entre los ángulos que

teo, con base en la identificación de regularidades.

se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Vrificar los resultados mediante arreglos

establcr las relaciones entre los ángulos

Intrprtar y comunicar información me-

que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. diante polígonos de frecuencia.

Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento?

La navegación a grandes distancias desarrollada en los siglos xiv y xv no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

Temas del bloque: •

•

•

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta convertirse en instrumentos un tanto complicados, básicamente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

•

•

Resolveremos problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de números con signo. Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. Resolveremos problemas de conteo mediante cálculos numéricos. Resolveremos problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Interpretaremos y construiremos polígonos de frecuencia.

15

>PARA coMenZar ... necesitas recordar:

1. 2. 3. 4.

Qué es un ángulo. Cómo se usa el transportador para medir los ángulos. Cómo se construyen rectas perpendicularescon regla y compás. Cómo se construyen rectas paralelas con regla y compás.

Constelación de Piscis

Probablemente en la antigua Babilonia, fueron creadas 4 constelaciones para marcar los grupos de estrellas. Los babilonios creían ver en los conjuntos estelares diferentes figuras. El concepto científico actual de constelación difiere del que se tenía anteriormente y del que aún persiste a nivel popular. Hoy en día son consideradas por los astrónomos como áreas fijas en el cielo limitadas por líneas que son paralelas al ecuador y a los meridianos celestes; a diferencia de los arreglos o configuraciones de estrellas formando las figuras de animales u objetos como las veían los babilonios.

16

Bloque 1

> e  ó, aborarás los mas : •

•

•

Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

>1º 1> ls águs En la siguiente fotografía aparecen estrellas, une algunas con segmentos de recta y crea tus propias constelaciones.

Mide los ángulos formados por los segmentos que construiste. ¿Cuál de estos dos ángulos es mayor? ¿Por qué?

Actividad individual

Compara tus argumentos con los de tus demás compañeros.

Lección 1

>

Los ángulos

17


Los siguientes dibujos muestran varias posiciones de una rueda de la fortuna. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor. Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

A

B

C

D


Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor. C

B A D

F

E

¿Cuáles de estos ángulos son menores que un ángulorecto? ¿Cuáles son mayores? El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mueve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta móvil mide 360 grados (360º).

360°

18

Bloque 1

Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, llamado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángulo de 90°, llamadoángulo recto.

Ángulo recto

Ángulo llano

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador .

¿Cuánto mide el ángulo que se esta midiendo con el transportador? Comenta con tus compañeros.

Dobla una hoja de papel y forma una figura, por ejemplo, un “avión”.



Ahora desdobla la hoja y mide con el transportador los ángulos que observes. ¿Qué tipo de ángulos obtuviste? ¿Obtuviste ángulos mayores que un ángulo recto? ¿Menores? ¿Puedes doblar la hoja de manera que obtengas sólo ángulos rectos? Avión de papel.

Las medidas de los ángulos de la figura son: 5º, 27º. 65º, 90º, 118º y 170º. Asocia cada medida con el ángulo correspondiente, sin medir los ángulos directamente.


A B C

D E

F Lección 1

>

Los ángulos

19

>2º Actividad individual

Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten, una de color rojo y otra de color negro. Llama A, B, C y D a los cuatro ángulos que se forman.

B C

A

D

¿Hay en tu figura ángulos iguales? ¿Cuáles son? En tu figura ¿cuánto suman las medidas de los ángulos A y B? ¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos B y C? ¿Qué puedes decir de A y C? Utiliza un razonamiento análogo para comparar los ángulos B y D. Discute tus argumentos con el resto del grupo. A una pareja de ángulos como A y C de la siguiente figura, se les conoce como ángulos opuestos por el vértice.

A C

Si dos ángulos A y B comparten el vértice y un lado se dice que son adyacentes.

A B

B A

Si dos ángulos A y B suman 180º se dice que son suplementarios. Si dos ángulos adyacentes forman un ángulo llano, son suplementarios.

A

20

Bloque 1

B

En el siguiente mapa aparece una parte de la ciudad de Guadalajara.

R a C iru dió M j an log ag os os is tr

Presa L a

ad os


Escond ida

s olí

Pr es a

Pr es a

Va lsequ

Pre San sa S P sa ta il o Pr r es R F es a al os Pr M có a a es n Tí od a e v Be ol lo llo rni rm i Pr fie l In ej es e d il o a sa Pi Pre la s Pre

¿Cuánto miden los ángulos en el cruce de las calles Presa La Escondida y Presa Santa Rosa? ¿Cuánto miden los ángulos en la intersección de Presa Falcón y Presa Solís? Indica varias parejas de calles perpendiculares. Indica varias parejas de calles paralelas. Indica dos parejas de calles que no sean paralelas ni perpendiculares. Si dos rectas en el plano se cortan formando ángulo recto se dice que son perpendiculares. Dos rectas que se cortan pero no son perpendiculares son oblicuas. Dos rectas que tienen una perpendicular común son paralelas.

Rectas perpendiculares

Rectas paralelas

Rectas oblicuas

Lección 1

>

Los ángulos

21

>3 º Actividad individual

Traza en tu cuaderno dos rectas, una roja y una negra, que se corten. Con el compás, marca en cada una de las rectas segmentos de igual longitud. Etiqueta los puntos como en la figura.

C

B

A

0

A’

B’

C’

Traza una recta de color verde que pase por los puntosA y A’. Traza ahora otra recta de color verde que pase por los puntosB y B’.

C

B

A

0

A’

B’

C’

¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulosOAA’ y OBB’? Analiza y compara tus observaciones con las de tus compañeros. Traza una tercera recta de color verde por los puntosC y C’ y analiza la relación del ángulo OCC’ con los ángulos anteriores. Compara los ángulos AA’O y BB’O. ¿Qué puedes decir del ánguloCC’O? Discute tus conclusiones con tus compañeros del grupo. Actividad colectiva

22

Bloque 1

En tu cuaderno, traza una recta roja y otra recta negra que se corten. Marca en cada recta segmentos con la misma longitud y etiqueta los puntos con números, como sigue.

>3º

6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

Traza una recta L de color verde que pase por los puntos 1 y2 . Traza una recta paralela a L, que pase por el punto 2. Traza una paralela más, que pase por el punto 3. Compara los ángulos marcados en la siguiente figura. ¿Qué observas? Discute tus observaciones con tus compañeros.

6 5 4 3 2

L

1

1

2

3

4

5

6

Lección 1

>

Los ángulos

23

> 4º 1. En la siguiente figura aparecen varias rectas que se cortan entre sí.

Marca con un mismo color los ángulos que midan lo mismo. ¿Por qué miden lo mismo? 2. Consigue un mapa de tu localidad, si no tienes dibuja uno, reprodúcelo en tu cuaderno usando rectas para representar las calles y contesta en él las siguientes preguntas: ¿Hay parejas de calles perpendiculares? Escribe algunas. ¿Hay parejas de calles paralelas? Escribe algunas. ¿Hay parejas de calles que no sean perpendiculares ni paralelas? Escribe algunas. 3. a) Traza en tu cuaderno dosrectas que secorten en un punto O. ¿Cuánto mide el ángulo entre estas rectas? Ahora elige un puntoP que no esté sobre las rectas y traza las perpendiculares a las rectas srcinales que pasan por P. Tendrás una figura parecida a la siguiente.

P O

¿Cuánto mide el ángulo que forman enP las perpendiculares que trazaste? ¿Hay alguna relación entre el ángulo de las rectas srcinales y el ángulo que forman las dos perpendiculares al cortarse, dado que ya conoces el ángulo O?

24

Bloque 1

>PARA terMinar b) De nuevo traza en tu cuadernodos rectas que se corten en un punto O. Ahora elige un punto Q sobre una de las rectas (distinto de O) y traza las perpendiculares a las rectas srcinales que pasan por Q. Contesta las preguntas del inciso anterior.

Q

O

c) Finalmente, traza en tucuaderno dos rectas que se corten en un punto O y las perpendiculares a éstas que pasan por O. Contesta las mismas preguntas de los incisos anteriores.

O

4. Dibuja en tu cuaderno un rombo cuyo lado mida 5 cm y una de sus diagonales mida 6 cm. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de tu rombo? Compara tu rombo con el de tus compañeros. ¿Cuáles son las diferencias entre los rombos que dibujaron? 5. Construye un rectángulo con uno de sus lados de 9 cm y una de sus diagonales de 12 cm. ¿A todos tus compañeros les salió el mismo rectángulo? ¿Cuánto mide el ángulo entre la diagonal y un lado? Compara tu resultado con el de tus compañeros. 6. Traza un triángulo ABC con el lado AB de 7.5 cm y el ángulo ABC de 35°. ¿Obtuviste el mismo triángulo que tus compañeros? ¿Cuánto mide el lado BC en tu triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo BCA en tu triángulo? 7. Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm, respectivamente. ¿Cuánto miden los ángulos de este triángulo? ¿Obtuviste las mismas respuestas que tus compañeros? 8. Dibuja en tu cuaderno un paralelogramo cuyos lados midan6 y 5 cm, respectivamente. Mide los ángulos de este paralelogramo. ¿Obtuviste las mismas medidas que tus compañeros? Torito

el rloj d mancillas En un reloj de manecillas (horario y minutero), ¿cuántos grados recorre cada manecilla por minuto? ¿A qué horas coinciden las manecillas del reloj? ¿A qué horas apuntan las manecillas en sentidos opuestos? Si a cierta hora las manecillas forman un ángulo recto, ¿cuánto tiempo pasa hasta que vuelvan a formar un ángulo recto?

Lección 1

>

Los ángulos

25


1. 2. 3. 4.

Qué son las rectas paralelas. Cómo medir ángulos. Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo. Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero.

SOL

a

78 7. 5

km

Alejandría

Siena

A

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos cortados por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo de la circunferencia de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 -192 a.n.e.).


•

26

Bloque 1

Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entr e dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

>1º 2> el ts pdid Dos jóvenes hallaron las instrucciones para encontrar un tesoro en una si la: “En la costa sur de la isla hay una palmera, un árbol seco y una roca. Se mide la distancia entre el árbol seco y la roca y se localiza el punto medio. Una persona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 60 grados hacia la derecha y traza una línea imaginaria en esa dirección. Se mide también la distancia entre el árbol seco y la palmera y se localiza el punto medio. Otra persona parada en ese punto medio, mirandohacia el sur, gira 90 grados hacia la izquierda y traza una línea imaginaria en esa dirección. En el punto donde se cruzan las líneas imaginarias se encuentra el tesoro.” Copia el siguiente croquis en tu cuaderno y sigue las indicaciones para determinar el punto donde se encuentra el tesoro. Compara tu resultado con los de tus compañeros. Árbol seco

Roca Palmera

Lección 2

>

El tesoro perdido

27

Actividad colectiva

Cada integrante del equipo trace dos segmentos de recta que se corten. Llamen A, B, C y D a cada uno de los cuatro ángulos que se forman, como en la siguiente figura.

C

B

B

C

A

D

D

A

Mide cada uno de los ángulos de tu figura, ¿cuáles son iguales? ¿Todos encontraron las mismas parejas de ángulos iguales? ¿Cuánto miden A + B y B + C? ¿Por qué? Si A + B = B + C, ¿qué puedes decir acerca deA y C? ¿Cuánto miden B + C y C + D? ¿Por qué? Si B + C = C + D, ¿qué puedes decir acerca deB y D? ¿Dependen estas relaciones de cómo dibujaste los segmentos? Discute las conclusiones de tu equipo con el resto del grupo.


Traza en tu cuaderno dos rectas no paralelas con color rojo, y tres rectas transversales (negra, azul y verde) que corten a las dos rojas. Etiqueta los ángulos A, B, C, D, E y F como en la siguiente figura.

C

E

A B

D

F

Prolonga las líneas rojas hasta que se corten, llamaO al punto donde se cortan. Observa que las líneas rojas forman triángulos con las tres transversales y que los tres triángulos tienen un ángulo común en O. Ahora argumenta por qué A + B = C + D y C + D = E + F Discute tus argumentos con tus demás compañeros.

28

Bloque 1

A los ángulos que se forman entre dos rectas y una transversal se les acostumbra denominar en términos de las relaciones que guardan entre sí. Por ejemplo los ángulos A y E (o D y H, B y F, C y G) se llamancorrespondientes. Los ángulos D y F (o C y E) se llaman alternos internos. Los ángulos A y G (o B y H) se llamanalternos externos. Los ángulos D y E (o C y F) se llaman colaterales internosy los ángulos A y H (o B y G) se llaman colaterales externos.

A B D

C

F G

E H

Cada integrante del equipo construye dos rectas paralelas, una transversal obli-

Actividad colectiva

cua y una transversal perpendicular, parecidas a las de la siguiente figura.

A

B

¿Cuánto suman los ángulosA y B? ¿A todos los integrantes del equipo les dio el mismo resultado? ¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? Discute tus respuestas con los demás equipos.

Lección 2

>

El tesoro perdido

29

>2º Actividad individual

Analiza la siguiente figura en la queD y E son ángulos suplementarios.

A

B

D

C

E

F

H G

¿Son paralelas las rectas rojas? ¿Por qué? ¿Cuáles de los ángulos de la figura son opuestos por el vértice? ¿Cuáles otros son suplementarios? Argumenta por qué A = C = E = G y B = D = F = H. Discute tus argumentos con el resto del grupo. Actividad individual

En un cuaderno, traza dos rectas que se corten en un puntoO y sobre una de ellas localiza un puntoP. Gira una regla alrededor del puntoP, como en la siguiente figura.

Regla

B

A

F E

C P D

G O H

Observa los ángulos correspondientes A y E conforme gira la regla. ¿Hay alguna posición de la regla en que el ánguloA mida menos que el ánguloE? ¿Hay alguna posición en que mida más? ¿Hay alguna posición de la regla en que midan lo mismo? ¿Cuál es esa posición? Compara ahora una pareja de ángulos alternos internos y contesta las preguntas anteriores. Haz lo mismo para una pareja de ángulos alternos externos. Discute tus respuestas con tus compañeros.

30

Bloque 1

Discute con tus compañeros cuáles son las razones por las que sabemos que las rectas rojas de la siguiente figura no son paralelas aunque en el dibujo parezcan serlo.


45°

136°

En una figura formada por un par de rectas paralelas y una transversal: Los ángulos correspondientes miden lo mismo. Los ángulos alternos internos miden lo mismo. Los ángulos alternos externos miden lo mismo. Los ángulos colaterales internos y los colaterales externos son suplementarios. En una figura formada por un par de rectas y una transversal, si ocurre que: Los ángulos correspondientes miden lo mismo, o Los ángulos alternos internos miden lo mismo, o Los ángulos alternos externos miden lo mismo, entonces las dos primeras rectas son paralelas entre sí. Traza en tu cuaderno un triángulo cualquiera. Procura que en tu equipo haya triángulos diferentes. En uno de los vértices, traza una paralela al lado opuesto y prolonga las rectas que pasan por los lados del triángulo, como se muestra en seguida:

Actividad colectiva

C

A B

Encuentra en esa figura parejas de ángulos que midan lo mismo, marcándolos con colores. Compara tus resultados con los de tus compañeros de equipo. ¿En todos los casos obtuvieron lo mismo? Usa la figura para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

Lección 2

>

El tesoro perdido

31

Copia en tu cuaderno la siguiente figura formada por 9 cuadriláteros iguales. El cuadrilátero que está en el centro tiene marcados sus cuatro ángulos A, B, C y D con colores. Ilumina los ángulos correspondientes de los cuadriláteros restantes, respetando los colores de cada uno de los ángulos.


En cada uno de los vértices del cuadrilátero central concurren 4 ángulos. Describe qué colores tienen los ángulos que concurren y cuánto suman los cuatro ángulos A, B, C y D. Comenta con tus compañeros las observaciones.

A B

D C

Si el cuadrilátero con ángulos A, B, C y D es un paralelogramo no rectángulo, construye una configuración como la anterior y describe cómo son los 4 ángulos que concurren en los vértices del paralelogramo central. Aplicación Eratóstenes y el cálculo del radio de la Tierra

SOL

*

a

78 7. 5 Alejandría

km

Siena

A

A pesar de sutransversal sencillez,enlasuna propiedades de losparalelas ángulos tienen cortados por una pareja de rectas aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo del radio de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 – 192 a. n. e.). Él sabía que el día del solsticio de verano, los rayos del Sol caían verticalmente sobre la ciudad de Siena. El mismo día, los rayos del Sol formaban un ángulo a* con una línea vertical en la ciudad de Alejandría (que está aproximadamente en el mismo meridiano que Siena). Midió entonces el ángulo A. En lenguaje moderno, Eratóstenes estableció a continuación la proporción Distancia de Siena a Alejandría Circunferencia de la Tierra = Medida del ángulo A 360° El método utilizado por Eratóstenes era correcto y aunque los datos que utilizó no eran muy precisos (debido a los instrumentos de medición de la época), calculó que el radio de la tierra era de 6,217.38 km. En la actualidad se ha calculado que el radio medio de la tierra mide 6,367 km. * Desde la época de los griegos −creadores de la Geometría−, se acostumbra denotar a los ángulos mediante letras griegas. a (alfa) es la primera letra del alfabeto griego.

32

Bloque 1

>3º

1. En la siguiente figura, dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el dibujo con base en la información proporcionada. ?


?

120°

Si las rectas no fueran paralelas, ¿podrías determinar la medida de los ángulos? Analiza y discute la pregunta con tus compañeros. 2. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el siguiente dibujo con base en la información proporcionada.

? 108°

?

140°

3. El tangram es un juego de varias piezas que permiten construir figuras. El tangram clásico se construye, como en la siguiente figura, a partir de un cuadrado y tiene siete piezas, cinco triángulos y dos paralelogramos.

Encuentra en esta figura parejas de rectas paralelas. Usa esta información para encontrar parejas de ángulos que midan lo mismo. ¿Cuáles son las cuatro medidas posibles de ángulos en las piezas del tangram?

Lección 2

>

El tesoro perdido

33

4. En el siguiente rectángulo, tomaen cuenta la informaciónpara contestar, ¿cuál es la medida del ánguloFEC y por qué?

D

A

60° E

F

C

B

5. Dibuja en tu cuaderno una configuración similar a la siguiente: dos rectas paralelas y dos trasversales.

?

35° 75°

¿Puedes descubrir la medida de todos los ángulos de esta figura con los datos que se dan? ¿Cuánto mide el ángulo opuesto por el vértice de cada uno de los dos marcados en la figura? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo señalado con interrogación en el dibujo? Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe cuánto mide cada uno de los 20 ángulos que se forman en esta figura. Discute con tus compañeros los argumentos mediante los que fuiste descubriendo las medidas de los ángulos y compara tus resultados con los de ellos.

34

Bloque 1

>PARA terMinar 6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo? 7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cuadrilátero, descubre cuánto mide el ánguloADB usando la información proporcionada en la figura. A D

130° 70°

B

C

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para determinar el ángulo de intersección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para tener el punto de intersección?

Torito

Copia la primera de estas figuras en una cuadrícula, con los colores que se indican. Luego recorta las piezas y forma la segunda figura.

Las dos figuras tienen la misma base y la misma altura, pero parecería que la primera tiene mayor área. ¿Por qué? Para saber qué ocurre, haz un dibujo grande y revisa si la primera figura realmente es un triángulo.

Lección 2

>

El tesoro perdido

35


1. Qué son los números consigno y cómo se localizan enla recta numérica. 2. Cómo se suman y restan los números con signo. 3. Qué es el valor absoluto de un número.


•

36

Bloque 1

Problemas que impliquen la multiplicación y división de números enteros. Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo.

>1º 3> Multipliió d úms  sig En la recta numérica, ¿cuántas unidades debes recorrer para llegar desde el número 7 hasta el número –5? ¿En qué dirección debes moverte? ¿Cuál es el número entero que sumado a 8 da como resultado 0? 3 ¿Cuál es el número que sumado a 7 da como resultado el número- 2 ? Puedes contestar estas preguntas recordando lo que viste sobre los números con signo en tu primer año de secundaria y ayudándote de la recta numérica. Números negativos –8

–7

–6

–5

–4

Números positivos –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Al multiplicar un número entero por 2 y restar 4 al resultado de la multiplicación, se obtiene el número –10. ¿Cuál es el número srcinal? Señala el número de la adivinanza en la siguiente recta numérica. –14 –13 –12 –11–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1


2

3

4 5

6

7

8

9 10 11 12

Compara tu resultado con el de tus compañeros y comprueba tu resultado. Discute con tus compañeros cómo encontró cada uno el número. Observa que para adivinar el número, puedes contestar primero la pregunta, ¿cuál es el número entero que al restarle 4 da como resultado –10? Plantea una ecuación que represente esta última pregunta. Resuelve la ecuación y comenta con tus compañeros ¿cómo puede ayudarte el número que encontraste a resolver la adivinanza? Discute con tus compañeros cómo plantear la adivinanza mediante una ecuación de la forma ax – b = c. Resuelve la ecuación y responde la adivinanza. ¿Cuál es el número entero que al multiplicarlo por –3 y luego restarle 4, da como resultado el número – 10? Escribe una ecuación que represente esta nueva adivinanza.


¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 4 y luego sumarle 5 da como resultado 1? ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por (–5) y luego sumarle 3 da como resultado –7? Discute el procedimiento que seguiste con tus compañeros y compara tus resultados con los que se obtuvieron en el grupo. Plantea nuevas adivinanzas con números negativos.

Lección 3

>

Multiplicación de números con signo

37

Secundaria 2

Matemáticas

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