Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental? Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S ∩M o número de candidatos aos níveis superior e médio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13. Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S ∩M = 150 - 111 = 39 . Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade de elementos.
Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289.
(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção.
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.
(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N H N e H E, N e H Nenhum H Nenhum Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: (A) 200
(C) 900
(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100
(E) n.d.a.
Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando começando sempre pela interseção i nterseção que tem 100 elementos.
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta.
(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é .... Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação equação:: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.
Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.
(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos carg os ocorrerá, novamente, em que ano? Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo 2 comum de 3, 4 e 6. Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 2 × 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.
Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50
erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 ∩ P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.
