MATEMÁTICA BÁSICA

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLOGICO PRIVADO CUMBRE

CÁLCULOS BÁSICOS I

OPERACIONES COMBINADAS * 14 – (4) + 16 ÷ 8 10

+

2

* 9 x (-2) + 17 ÷ (1) =

12

-18

* (128 ÷ 8) x (24 ÷ 8) + (18 x 15) - 33 16

x

3

48

+ 17

= -1

* 27 ÷ 24 + 32 – 30 + 16x2 23 + 9 – 1 + 32

+

270 – 27

+

270 – 27 = 291

17

+ 31 = 48

* (16 x 5) ÷ (30 ÷ 3) + (25 x 3) ÷ (75 ÷ 5) - 22 80

÷ 8

10

+

75

+

÷

15 – 4

5

– 4 =9

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL

Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasias de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A´hmes (A’ h – mose) copió en 1650 A.C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.

Cifra x Cifra •

4675 = 4000 + 600 + 70 + 5 = 4 x 103 + 6x102 + 7x 10 + 5

•

5831 = 5000 + 800 + 30 + 1 = 5x103 + 8x102 + 3x10 + 1

•

3427 = 3000 + 400 + 20 + 7 = 3x103 + 4x102 + 2x10 + 7

Observación: •

5021(7) = 5x73 + 2x71+1

11

•

3452(6) = 3x63 + 4x62 + 5x6 + 2

•

10001(5) = 1x54 + 1

Factorización o Descomposición de Números : •

Descomponer en factores: a) 240

b) 140

240 120 60 30 15 5 1

2 2 2 2 3 5

140 70 35 7 1

2 2 5 7

140 = 22 x 5 x 7

∴ 240 = 24 x 3 x 5 c)

332 332 166 83 1

2 2 83

OBSERVA: ¡Qué fácil es aprender!

(1550 – 1517) Matemático escocés inventor de los logaritmos neperianos. Recomendó en 1617 el uso del punto (.) para separar la parte decimal de la entera.

∴ 332 = 22 x 83

POTENCIACIÓN . a ≠ 0; n ∈ Z+

an = a x a x a x a x ........ x a n factores a∧b≠0

Propiedades:

1) a m x a n = a m+n 2)

am an

= a m−n

−n = 3) a

( )

4) a m

n

1) 3 2 x3 3 = 3 2+ 3 = 3 5 = 243 2)

1 a

Ejemplo Aplicativo

23 21

= 2 3 −1 = 2 2 = 4

−1 = 3) 3

n

= am

xn

12

( )

4) 2 3

2

1 3

= 2 3.2 = 2 6 = 64

(1616 – 1716) Lingüista, filósofo y matemático alemán en 1698 propuso utilizar: (.) El punto como signo de multiplicar. (, ) La coma para separa la parte entera de la decimal.


5) ( ab ) n = a n x b n a 6)   b 

n

=

aa b

n

5) ( 2x3 ) 2 = 2 2 x3 2 = 36 3 6)  

3

=

4

33 4

3

=

27 64

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una relación de igualdad que establece entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable. ENUNCIADO “Forma Verbal” • • • • • •

EXPRESIÓN MATEMÁTICA “Forma Simbólica”

La suma de 2 números consecutivos. La suma de 3 números enteros consecutivos. Si tengo a, entonces el cuadruple de lo que tengo. Si tengo y, entonces el doble de lo que tengo, aumentado en 20. Si tengo z, entonces el triple de lo que tengo, disminuido en 10. El cuadrado de la suma de 2 números.

⇒ x + (x + 1) ⇒ x + (x + 1) + (x + 2) ⇒ 4a ⇒ 2y + 20 ⇒ 3z - 10 ⇒ (x + y)2

Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

ACTIVIDADES EN AULA 1. Calcular: A= - 15 + (18 – 16 + 19) – 3 (15 – 4) B = - 91 – (16 – 17 - 17) – 2 (- 18) Hallar : A + B 2. Calcular: M = -35 – 5 (8 - 16) + (16 – 19) + 26 N = 45 – 35(17 – 23) – (15 + 16) Hallar: M - N

13

3. Calcular: A = - 25 – 17 – 5 (6 – 7) - 3 (- 5) B = -15 + 19 – 6 (8 – 7) – 2 (-3) Hallar: A x B

4. Si: M = 4 – 15 + 19 – 2 (16 – 23) N = -19 – 35 – 3 (5 – 7) – ( - 8) Hallar: M x N

14

5. Descomponer 420 en: I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos: ...................................................................... II. El producto de 4 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... III.El producto de 5 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... IV.El producto de 7 factores Z+ consecutivos. ......................................................................

6. Descomponer 1260 en: I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos. ...................................................................... II. El producto de 6 factores Z+ ...................................................................... III. El producto de 7 factores Z+ ...................................................................... IV. El producto de 10 factores Z+ ......................................................................


8. Si:

A = 3 125 − 64 ( − 2) 3 − ( − 5 ) 3

B = − 144 − 121 x ( − 3 ) 3 − ( − 3 ) 2 x ( − 2) 2 H

allar: A + B 7. Si:

M = 3 8 x ( − 6) 2 − ( − 5) 3 ( 3)

N = ( − 2) 3 x ( − 2) 2 − ( − 3 ) 3 ( 3 ) 2 − 4

Hallar: M – N

AC TI V I D AD E S D OM IC ILI AR I AS 1. Efectuar: 5 – 7 (-2) (3 – 4) ÷ ( - 1) – (-5) Rpta.: ................................

Rpta.: ................................ 5. Calcular: -(-2) – (-3) (-5) – (-30) ÷ (-2)

2. Efectuar (-7) (17) – ( 15 – 14) – 2 (13 – 5)

Rpta.: ................................ 6. Si:

Rpta.: ................................ 3. Descomponer 600 en: El producto de 2 factores consecutivos.

A =3 8

0

0

0

x ( − 6 ) 2 −( − 5 ) 3 0

B = ( − 2) 3

0

x ( − 2) 2 − ( − 3 ) 3

0

(3) 2

0

−4 0

Hallar: A . B. Rpta.: ................................

.................................................................... 7. Si: Descomponer 72 como el producto de 2 factores consecutivos: .................................................................... 4. Calcular: -2 (3 – 5) – (-2) (-7 + 9) – (-1)

P = 3 125 − ( − 2) 3 − ( − 5 ) 3 Q = − 144

0

0

−( −3 ) 3 −( −3 ) 2

Hallar P + Q Rpta.: ................................ 15

8. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 0 ( ) I. 2 4 =16 0 II. ( − 3 )

20

= 90

(

III. 2 3

0

0

x 25

= 24

(

)

Rpta.: ................................

)

CÁLCULOS BÁSICOS II

ACTIVIDADES EN AULA 1. Hallar A + B, si: A = 8 + (- 7) + 15 ÷ (- 3) B = (24 ÷ 8) x (160 ÷ 10) + (18 x 15) -33

3. a) Si “n” entero positivo, n(n+2)=80, hallar “n”. b) De lo anterior, hallar “n”. Si n(n + 1) = 210

además

2. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 25.

4. Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, hallar el número mayor:

16


5. Una persona tiene S/.2000 y otra S/.7500 cada una ahorra anualmente S/.5000, ¿dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

7. Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, hallar el número menor.

6. Se compra cierto número de relojes por S/.5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de unos relojes en soles, ¿Cuántos relojes se han comprado?

8. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la edad de su hijo?

17

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Hallar P + Q, si: P = 9 x – 5 + 28 ÷ - 7 Q = (800 ÷ 10) ÷ (30 ÷ 3) + 75 ÷ 15 – 22

S/.1000, ¿dentro de cuántos año la fortuna del primero será el doble del segundo? Rpta.: ................................

Rpta.: ................................ 2. ¿Cuál es el número cuyo aumentado en 30 es igual 430?

cuadrado

Rpta.: ................................ 3. El producto de 2 números naturales consecutivos es 56, hallar el número menor. Rpta.: ................................ 4. La suma de 3 números consecutivos es igual a 18, hallar el número mayor. Rpta.: ................................ 5. Manuel tiene S/. 50000 y Franceses S/.150000 cada uno ahorra anualmente

Las Las Matemáticas Matemáticas no no son son un un recorrido recorrido prudente prudente por por una una autopista autopista despejada, despejada, sino sino un un viaje viaje aa un un terreno terreno salvaje salvaje yy extraño, extraño, en en el el cual cual los los exploradores se pierden a menudo. exploradores se pierden a menudo. W.S. W.S. Anglin Anglin (1992) (1992)

18

6. José compra cierto número de libros por S/.625, sabiendo que el número de libros comprados es igual al precio de un libro en soles. ¿Cuántos libros se han comprado? Rpta.: ................................ 7. Si la diferencia de 2 números es 26 y la suma de ellos es 42, hallar el menor. Rpta.: ................................ 8. La suma de los cuadrados de 2 números es 125. Si uno de ellos es el doble del otro, hallar el número menor. Rpta.: ................................


NUMERACIÓN

CONCEPTOS PREVIOS

Numeración Numeración

Número Número

Número: Ente matemático nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza.

Numeral Numeral

Sistema Sistema de de Numeración Numeración Base Base

Conversión Conversión

Numeral: Es la representación de un número mediante símbolos o guarismos.

De De base base diferente diferente de de 10 10 aa base base 10 10

Descomposición Descomposición Polinómica Polinómica

5, CINCO, V, ....... Cifra: Son símbolos que por convención se utilizan para representar un numeral. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Cifras significativas

¿Estabas Enterado?

De De base base 10 10 aa base base diferente diferente En de de 10 10

De De base base diferente diferente de 10 aa base de 10 base comienzos, el diferente diferente de de 10 10

sus hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. Con las dos manos podía contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, 19 además, los dedos de los pies como complemento.

SISTEMA DE NUMERACIÓN Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar números. Base de un Sistema de Numeración Posicional Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formará una unidad del orden inmediato superior. VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (VA) Es el valor que representa la cifra. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR) Es el valor que tiene la cifra por la posición que ocupa. Ejemplo:

Numeración Numeración Griega Griega TEMPLO DEL TEMPLO DEL PARTENÓN PARTENÓN

Indique el VA y VR de las cifras que se indican por un

Existe unanimidad al Existe unanimidad al afirmar que las afirmar que las matemáticas se matemáticas se desarrollaron en Grecia a desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos VII, lo largo de los siglos VII, y VI antes de Cristo, una y VI antes de Cristo, una vez que los griegos LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS vez que los griegos formalizaron un alfabeto formalizaron un alfabeto uniforme, • Sistema Decimal: Es aquel sistema que emplea base 10,más se o o menos más menos uniforme, aunque los historiadores, le llama también sistema décuplo, según la historia el 10 aunque se los historiadores, aunque los historiadores debe a los dedos de las manos. aunque los historiadores modernos admiten que modernos admiten que nuestros conocimientos Este sistema emplea al representar sus números las cifras delnuestros 0 conocimientos sobre la ciencia de esa al 9. Del 1 al 9 se les llama “cifras significativas”: mientras alsobre 0 la ciencia de esa época carecen de un (cero) se le llama “cifra auxiliar”. época carecen de un sólido fundamento. sólido fundamento. 432 56274 213467 4075963

•

VA = 3 VA = 2 VA = 1 VA = 7

VR = 30 VR = 200 VR = 1000 VR = 70000

Principios Fundamentales: 1. Al escribir un número, la posición de cada cifra se llama “orden” y éstas de derecha a izquierda se denominan unidades, centenas, millares, decenas de millar, etc. Ejemplo: Sea 4

3

5

7

2

9

0 1° orden : unidades (u) 2° orden : decenas (d) 3° orden : centenas (c) 4° orden : millares (m)

20


5° orden : decenas de millar (dm) 6° orden : centenas de millar (cm) 7° orden : millones (M)

2. El numeral del sistema decimal cada grupo de 3 cifras de derecha a izquierda se llama clase y cada grupo de 6 cifras se llama período. El período comprende 2 clases que se llaman clase de unidades y clase de millares.

PERÍODO TRILLONES

PERÍODO BILLONES Clase Clase millares unidades c d u c d u

2

PERÍODO MILLONES Clase Clase millares unidades c d u c d u

0

3

5 6 2 0

2 3 0

4 0

6 9 5 5 3

3 7 3 2 7 4

PERÍODO UNIDAD Clase Clase millares unidades c d u c d u 2 5 3 2 5 4 2 5 7 6 8 3 9 6 7 8 0 3 2 0 2 5 6 4 3 7 5 6 9 2 0 3 6 0 0 2 4 0 3 4 5 2 3 8 0 0 0 0 0 7 5 4 3 2 5 6

S e l e e

Ejemplo 1: Se lee: Observa Observa Veinticinco unidades Como Como se se Trescientos veinticinco unidades lee lee 4 mil 257 unidades 68 mil 396 unidades 780 mil 320 unidades 3 millones 256 mil 437 unidades 67 millones 569 mil 203 unidades 593 millares 600 mil 240 unidades 2 mil 652 millones 345 mil 238 unidades 43 mil 257 millones 7 unidades 20 billones 300 mil 34 millones 543 mil 256 unidades

25 325 4257 68396 780320 3256437 67569203 593600240 2652345238 43257000007 20300034543256 Ejemplo 2: TRILLONES

BILLONES MILLONES millar unidades millar unidades millar unidades Como se denomina el orden del 5 de los numerales indicados c d u c d u c d u c d u c d u c d u

en el esquema:

5

3

2

0

0

0

0

0

0

4 0

5 0

3 0

5 2 0

3 1 0

0 1 0

4 2 1 0

3 8 2 0

5 3 6 0

c

0 3 2 0

UNIDADES millar unidades d u c d u 5 3 2 5 0 2 421 3 0 0 0 2 1 4 4 3 4 0 3 4 3 2 4 0 0 0 0 3

532 50243 435000021 530283344340 453211126234324 532000000000000000000003

→ centena →decena de millar → millón → centena millar de millón → decena de billón → centena millar de trillón

ACTIVIDADES EN AULA 1. Complete. ¿Cuántas cifras significativas tiene los numerales siguientes? 347 ..........................cifras significativas 450 ..........................cifras significativas 258008.........................cifras significativas

3. ¿Cómo se denomina el orden de la cifra del numeral: 147200340025?

2. La suma de las cifras significativas impares de 620431005 es:

22


4. La cifra de mayor orden del numeral 725409068

6. Indicar la suma de las 2 cifras de mayor orden de 773254

5. La cifra de mayor orden del numeral 12340028965

7. ¿En cuánto excede la cifra de menor orden a la cifra de mayor orden, en el numeral 236025?

23

8. El producto de las 2 cifras de mayor orden del mayor numeral de 4 cifras es:

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. ¿Cuántas cifras significativas tienen los siguientes numerales? 854

..........................cifras significativas

18010..........................cifras significativas

5. La cifra de mayor orden del numeral; 54310034979 es: 6. La cifra del mayor orden del numeral; 145349678

2180001......................cifras significativas 7. Indique la suma de cifras de mayor y menor 2. La suma de las cifras significativas pares de

orden en: 3614754310

857418 es. 8. Indicar la suma de las 2 cifras de menor 3. ¿Cómo se denomina el orden de la cifra 4

orden en: 54310371

del numeral; 83614501? 4. ¿Cómo se denomina el orden de la cifra 6 del numeral; 54001310063?

24

"El "El principal principal objeto objeto de de la la educación educación no no es es el el de de enseñarnos enseñarnos aa ganar ganar el el pan, pan, sino sino en en capacitarnos capacitarnos para para hacer hacer agradable agradable cada cada bocado." bocado."


25

NUMERACIÓN II

PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERÁCIÓN Nombre del Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cifras que usan

0, 1 0, 1, 2 UMERACIÓN 0, 1, 2, 3 Griegos0,y1,romanos 2, 3, 4 no tuvieron una adecuada 0, 1, 2, 3, 4, 5 manera de representar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 los números, lo que les 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 impidió hacer mayores 0, 1, 2, 3,en4,el5,cálculo 6, 7, 8 progresos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,Los 8, 9 matemático. 0, hindúes, 1, 2, 3, .........................,10 en cambio, desarrollado un 0, 1, habían 2, 3, ................................, 11 práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA valor posicional de las cifras. Los árabes el Todo numeral puede ser expresado bajodieron la formaa deconocer un Polinomio sistema en Europa a en función de la base, denominándose descomposición polinómica. partir del siglo VIII (D.C.) Por eso, nuestras Ejemplo: En base 10 se llaman indoarábigas.

7945

=7x10

3

+9

x10

Observación: abc n = a x n 2 + b x n + c

ab n = a x n + b

Donde:

a, b < n 26

N

2

+4x10

1

+5


¡AHORA HAZLO TÚ!

•

344(5)

= ........................................................

•

2574(9)

= ........................................................

•

2372(8)

= ........................................................

•

34213(9) = ........................................................

•

2333(4)

= ........................................................

•

1212(5)

= ........................................................

ACTIVIDADES EN AULA

1. De los enunciados, indicar numerales mal escritos.

el

o

los

I) 28(3) II) 126(5) III) 1111(9) IV) 961(11) 2. Indicar si es verdadero o falso: I) 24(5) ………< ………….23(6) II) 30(9) ………< ………….27 ( III) 23(7) ………> ………….21(9)

(

)

(

)

)

27

3. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”? 5. ¿Cuántas siguientes escritos?

a234 ( 5 )

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

4. Indique ¿qué números están mal escritos? I) 104(3) II) 806(9) III) aba ( b +1) , b > a > 0

28

cifras números

si

tienen están

los bien

I) ab2 ( 8 ) II) (10) (11) 7(20)

6. Indicar, ¿cuántas cifras tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) ab2 ( 8 ) II) (10) (11)84(13)


9. Hallar “y”, si: 31(y) + 23(y) = 54(6)

7. Hallar “y”, si: 31(y) + 23(y) = 54(6)

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Indicar el o los numerales mal escritos de los siguientes enunciados: I) 104(3) II) 999(9) III) 456(7) IV) 1088(9)

345c ( 6 )

4. De los enunciados indique los números mal escritos. I) c 34 ( 6 ) (c > 6) II) 483(9) III) 12345(4)

2. Indicar si es verdadero o falso: I) 31(6) ………< ………….33(7) II) 43(5) ………< ………….44(6) III) 71(8) ………> ………….72(7)

( ( (

) ) )

3. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “c”?

5. ¿Cuántas cifras tienen los números si están bien escritos?

siguientes

I) 4 (12) 8 II) 7 (16) (13) 6 6. Si los números están bien escritos, indicar. ¿cuántas cifras tiene? 29

I) 68(b −1) 4 ( 9 )

8. Hallar el valor de “b”:

II) 34567(8)

b3 ( 6 ) = b4 ( 5 )

Si:

7. Hallar “z”, si: 21(z) + 35(z) = 36

SISTEMA HINDÚ

IInnttrroodduucccci ióónn

En el año 773 llegó a Bagdad una caravana procedente de la India. Entre los regalos suntuosos que había para el califa al – Mansur estaba el manuscrito llamado Siddhanta, en el que se escondía un fabuloso tesoro: era un tratado de astronomía con sus tablas y las diez cifras con las que actualmente contamos incluida la cifra del cero: eka, dva, traya, chatur, pancha, Shatt, sapta, ashat, nava y shunya que quiere decir “vacío” y se notaba por un pequeño redondel. Los árabes lo tradujeron por sifr que los latinos tradujeron por zephirum y de ahí el cero. SFR sirvió para llamar a todos los números: CIFRA.

30

En esta sección se indicará las técnicas de transformación o conversión para la escritura de un número de base dada a otra base. Todo sistema posicional tiene una base, que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualesquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Ejemplos: Representar 16 unidades simples en los sistemas: a) b) c) d)

De base 10 De base 8 De base 5 De base 4


El saber es la única propiedad que no puede perderse.

Observación 16 = 20(8) = 31(5) = 100(4) 20(8) = 31(5)

8 > 5 (bases) 20 < 31 (numerales)

MUJERES UJERES MATEMÁTICAS ATEMÁTICAS

CAMBIO DE BASE 1. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10 Este método denominado “Descomposición Polinómica” Observa:  123(4) = 1 x 42 + 2 x 4 + 3 = 16 + 8 + 3 = 27 Entonces: 123(4) = 27  102(3) = 1 x 32 + 0 x 3 + 2 = 9 + 0 + 2 = 11 Entonces: 102(3) = 11  45(6)

= 4 x 6 + 5 = 24 + 5 = 29 = 45(6) = 29 ¡Ahora hazlo tú!

 320(4) = Entonces:  324(5) = Entonces:  234(5) = Entonces:

2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Este método denominado “Divisiones Sucesivas”

ÉMIL ÉMILIE IE DE DE CHATEL C HATELET ET (1706 – 1749) (1706 – 1749) Marquesa Marquesa de de Chatelet Chatelet nació nació en en el el seno de una familia ilustre el 17 seno de una familia ilustre el 17 de de diciembre diciembre de de 1706 1706 en en Saint Saint –– Jean Jean –– en en –– Greve Greve –– Francia. Francia. Con Con diez diez años años ya ya había había estudiado estudiado matemáticas matemáticas yy la la metafísica; metafísica; aa los los 12 12 sabía sabía inglés, inglés, italiano, italiano, español español yy alemán alemán yy traducía traducía textos textos en en latín. latín. En En un un café café de París no la dejaron entrar de París no la dejaron entrar por por ser ser mujer. mujer. Estudió Estudió aa Descartes, Descartes, Leibniz Leibniz yy aa Newton. Newton. Escribió Escribió las las instituciones instituciones de de la la física, física, libro libro que que contiene contiene el el cálculo cálculo infinitesimal. infinitesimal. Hacia Hacia 1745 1745 tradujo tradujo los los principios principios de de la la matemática de Newton. matemática de Newton.

31

Observa: 327

4

32

81

4

007

8

20

4

4

1

20

5

4

0

4

1

3

1 327 = 11013(4) 425

3

3

141

3

12

12

47

3

12

21

3

15

3

005

21

17

15

5

3

3

0

15

0

3

1

2

2

SOFÍA SOFÍA SONIA SONIA KOVAL EVSKAYA KOVAL EVSKAYA (1850 (1850––1888) 1888)

2

425 = 120202 (3) 3. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Observa: Expresar 210(5) en base 4. a) 210(5) = 2 x 52 + 1 x 51 + 0 = 2 x 25 + 5 = 55 * 55

4

4

13

4

15

12

3

12

1

3 210 (5) = 55 = 313 (4) b) 213(6) en base 5 213(6) =2 x 62 + 1 x 61 + 3 = 2 x 36 + 6 + 3 213(6) = 81 * 81

5 32

Mira Mira que que fácil fácil

Nació Nació en en Moscú, Moscú, el el 15 15 de de enero enero del del año año 1850. 1850. gracias gracias aa Mittag Mittag –– Leffer, Leffer, Sonia Sonia pudo pudo trabajar trabajar aa prueba prueba durante durante un un año año en en la la universidad universidad de de Estocolmo. Estocolmo. Durante Durante este este tiempo tiempo Sonia Sonia escribió escribió el el más más importante importante de de sus sus trabajos, trabajos, que que resolvía resolvía algunos algunos de de los los problemas problemas al al que que matemáticos matemáticos famosos famosos habían habían dedicado dedicado grandes grandes esfuerzos esfuerzos para para resolverlos, resolverlos, más más tarde tarde sería sería premiada premiada por por la la Academia Academia de de Ciencias Ciencias de de París, París, en en el el año año 1888. 1888.


5

16

5

31

15

3

30

1

1

213 (6) = 81 = 311 (5)

ACTIVIDADES EN AULA 1. Relaciona adecuadamente.

ambas

I) 23(5) .................................. II) 15(7) .................................. III) 33(4) ..................................

columnas ( ( (

) 15 ) 13 ) 12

3. ¿Cuál es el menor numeral de 2 cifras en base 4? a) 11(4) d) 13(4)

b) 12(4) e) 14(4)

c) 10(4)

2. Convertirse a base (5) I) 239 II) 347

33

4. Convertir a base (10) I) 123(6) II) 234(5)

5. Marque verdadero (V) o falso (F): I) 42(5) < 46(7) ...................... ( II) 31(4) > 42(5) ...................... ( III) 42(5) < 57(8) ...................... ( IV) 30(4) < 41(5) ...................... (

34

6. Si N= 73 x 5 + 72 x 4 + 7 x 3 + 9 convertir a base 7.

) ) ) )

7. Si los siguientes números están bien escritos indicar, ¿cuántas cifras tienen? I) abc (11) (15 ) II) ab(13 )c (16 )


8. Hallar “a + b”, si: ab ( 9 ) = 143 ( 5 )

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Relaciona adecuadamente:

ambas

columnas 5. Colocar verdadero (V) o falso (F):

I) 32(4) .................................. II) 43(5) .................................. III) 23(4) ..................................

( ( (

) 23 ) 14 ) 11

I) 16(7) = 15(8) ...................... II) 23(5) < 23(6) ...................... III) 28(9) < 121(4) ...................... IV) 46(7) < 47(8) ......................

( ( ( (

) ) ) )

2. Convertir a base (4) los números: 6. Si N = 83 x 7 + 82 x 5 + 8 x 4 + 2 convertir “N” a base 8.

I) 304 II) 207 3. ¿Cuál es el menor numeral de 2 cifras en base 5? a) 10(5) d) 13(5)

b) 11(5) e) 14(5)

4. Convertir a base (10) I) 234(6) II) 342(5)

c) 12(5)

a) 7541(8) d) 7564(8)

b) 7542(8) e) 8654(8)

c) 5472(8)

7. Calcular “a”, si: a1( 3 )

= 100 ( 2 )

8. Hallar “a”, si: aaa ( 4 ) = 132 ( 5 )

35

Sin Sin esfuerzo esfuerzo de de nuestra nuestra parte, parte, jamás jamás llegaremos llegaremos aa la la cumbre cumbre de de una una montaña. montaña. No No te te desanimes desanimes aa mitad mitad del del camino camino sigue sigue adelante, adelante, porque porque los los horizontes horizontes se se tornarán tornarán amplios amplios yy maravillosos maravillosos aa medida medida que que vayas vayas subiendo. subiendo. Pero Pero no no te te engañes, engañes, porque porque sólo sólo alcanzarás alcanzarás la la cima cima de de la la montaña montaña si si estás decidido a enfrentar el riesgo del camino. estás decidido a enfrentar el riesgo del camino.

36


TEORÍA DE CONJUNTOS I CCO ON NJJU UN NTTO OSS

REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE DE CONJUNTO CONJUNTO

REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN

PERTENENCIA PERTENENCIA

EXTENSIÓN EXTENSIÓN

INCLUSIÓN INCLUSIÓN

COMPRENSIÓN COMPRENSIÓN

DIAGRAMA DIAGRAMA DE DE VENN VENN EULER EULER

CONJUNTOS CONJUNTOS ESPECIALES ESPECIALES

C: C: VACÍO VACÍO C: C: UNITARIO UNITARIO C: C: UNIVERSAL UNIVERSAL

DIAGRAMA DIAGRAMA DE DE CARROL CARROL

OPERACIONES OPERACIONES CON CON CONJUNTOS CONJUNTOS

UNIÓN UNIÓN INTERSECCIÓN INTERSECCIÓN DIFERENCIA DIFERENCIA

CONCEPTOS PREVIOS 1. IDEA DE CONJUNTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretas o abstractas. Los

37

conjunto se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, .... etc. Sus elementos separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) o bien indicando una propiedad común de ellos. Ejemplos:  Si llamamos “B” al conjunto de vocales, entonces: B = {a, e, i, o, u}  Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces: Z+ = {1; 2; 3; 4; .....}  Si llamamos “M” al conjunto de los números naturales pares menores que 12 y mayores que cero. M = {2; 4; 6; 8; 10}

2. CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito. Ejemplos:  Sea: A = {a; e; i; o; u} Entonces n(A) = 5 Que se lee: El cardinal de “A” es 5.  Sea: C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Entonces n(C) = 7 Que se lee: El cardinal de “C” es 7.  Sea: w = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} Entonces n(w) = 7 Que se lee: El cardinal de “w” es 7. 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS 3.1.

Diagrama de Venn Euler Este diagrama es una forma ilustrativa y muy práctica intuitivamente las relaciones entre conjuntos: Ejemplos: A =38 {2; 3; 4; 6}

G eorge eorge C antor antor (1845 (1845 –– 1918) 1918)

Matemático Matemático alemán alemán nacido nacido en en San San Petersburgo Petersburgo (ahora (ahora Leningrado, Leningrado, Rusia) Rusia) yy fallecido fallecido en en Halle. Halle. Ya Ya en en la la escuela escuela Cantor Cantor mostró mostró talento talento por por las las matemáticas, matemáticas, haciendo haciendo posteriormente posteriormente de de ellas ellas su su profesión, profesión, obteniendo obteniendo el el puesto puesto de de profesor profesor en en la la universidad universidad de de Halle en 1872. En Halle en 1872. En 1874 1874 Cantor Cantor empezó empezó aa introducir introducir conceptos conceptos extraños de lo infinito, extraños de lo infinito, estableciendo estableciendo que que para para tratar tratar el el infinito infinito se se debe debe establecer establecer correspondencia correspondencia entre entre dos dos series, series, más más aún, aún, esta esta correspondencia correspondencia debe debe ser ser biunívoca. biunívoca. De De este este modo modo se puede razonar que la se puede razonar que la cantidad cantidad de de números números pares pares es es igual igual aa la la de de los números naturales, los números naturales, diferenciando diferenciando entre entre la la aritmética aritmética de de lo lo infinito infinito yy la la aritmética aritmética familiar familiar de de los los números números finitos. finitos. Cantor Cantor construyó construyó una una estructura estructura lógica lógica completa, completa, en en la la cual cual se se postulaba diferentes órdenes postulaba diferentes órdenes de de infinitos. infinitos. Así Así la la definición definición de de Cantor Cantor de de número número real real identifica identifica aa este este último último con con una una sucesión sucesión convergente de números convergente de números racionales. racionales.


B = {1; 3; 5; 6; 7} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

A

B 2

5

6

4

"La "La educación educación es es la la preparación preparación aa la la vida vida completa." completa."

1

3

7 U

La interpretación sería:     3.2.

2 y 4 pertenecen a “A”. 3 y 6 pertenecen a “A” y “B”. 1; 5 y 7 sólo pertenecen a “B”. 8 y 9 no pertenecen a los conjuntos ni a A ni a B.

Diagrama de Carroll Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos. Ejemplos:  Se ha encuestado a 40 personas sobre el uso de radio, 10 mujeres no tienen radio, 10 mujeres tienen radio y 5 hombres no tienen radio. ¿cuántos hombres tienen radio? Total : 40

R = Radio

H

M 10 x + R 10 + 10 + 5 = 40 10 x = 40 = 25 x = 15

x NR 5

4. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “∈”. a) A

1 2

a)

A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8}

B 6

3 4 5

8

2 1 4 6

∈ ∈ ∈ ∉

B A A A

8 3 2 3

∉ ∉ ∈ ∈

A B 39 A A

Mira que fácil esta este tema

b)

f}

R

g

b

c

h e

R = {a; b; c; d; e;

S

a

d

i

f

S = {b; d; g; h; i} a h d i

∈ ∉ ∈ ∉

R R S R

G I F C

∉ ∈ ∉ ∉

R S S S

5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 5.1.

Por Extensión Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {7; 8; 9; 10; 11}  Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.

5.2.

Por Comprensión: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así por ejemplo; del ejercicio anterior. A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12}  Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos “x” tal que “x” es un número natural además es mayor que 6 pero menor que 12.

6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 6.1.

Inclusión de Conjuntos A⊂B↔∀x∈A→x∈B 40

L eonhard E uler (1707-1783) Científico más importante de Suiza y uno de los tres matemáticos más grandes de la época moderna (los otros dos son Gauss y Riemann). Quizá fue el autor más prolífico de todos los tiempos. A pesar de que este notable científico suizo sufrió una ceguera total durante los últimos 17 años de su vida, logró aumentar considerablemente la producción de sus obras, que para entonces era ya prodigiosa.


 Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, este también pertenece a “B”.

 Además: “A ⊂ B” “A” está incluido en “B” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B”.  “B ⊃ A” “B” incluye a “A” “B” contiene a “A” “B” es superconjunto de “A” 6.2.

Igualdad de Conjuntos Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B” y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales.

El número puede El número puede decirse que decirse que gobierna al mundo gobierna al mundo de la cantidad, y de la cantidad, y las cuatro reglas las cuatro reglas de la aritmética de la aritmética puede ser puede ser considerada como considerada como equipo completo del equipo completo del matemático. matemático.

Se denota : A = B Ejemplo: A = {x/x es una letra de la palabra aroma} B = {x/x es una letra de la palabra maroma} Entonces: A = {A; R; O; M} B = {M; A; R; O} Luego: A = B 6.3.

Conjunto Potencia de A Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto A. Ejemplo: A = {a; b} P(A) = {{a}; {b}; {a; b}; ∅} n[P(A)] = 2n(A) Donde: n (A) = cardinal de A n[P(A)] = 22 = 4 41

ACTIVIDADES EN AULA 1. Dado el conjunto: A = {7; 8; 10; 15} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: i) 7∈ A ( ) ii) {10} ∈ A ( ) iii) 9 ∈ A ( ) iv) {15} ∈ A ( ) 3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?

2. Dado el conjunto: A = {5 {7}; 9; 12} Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) 7 ∈ A ii) {9} ∈ A iii) 5 ∉ A iv) 12 ∈ A

( ( ( (

) ) ) ) 4. Dado: A ={5; {7}; 9; {12}} Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:

42


i) {5} ∈ A ( ii) {7} ∉ A ( iii) 9 ⊂ A ( iv) {5; {2}} ⊂ A (

A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12} B = {x2 + 1/ x ∈ Z; 3 < x < }

) ) ) )

5. Dado el conjunto: M = {a; {b}; {m}, p} ¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {b} ⊂ M ii) b ∈ M iii) {{m}} ⊂ M iv) {{b}; {m}} ∈ M

( ( ( (

) ) ) )

6. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto:

7. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto?

43

8. Si: A = {x + 1/ x ∈ Z; 4 < x < 12} B = {x + 2/ x ∈ Z; 2 < x < 6} ¿Cuántos elementos tienen los 2 conjuntos sin repetir sus elementos?

44


ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Dado el conjunto: B = {1; 3; 5; 7} Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: i) 3 ∈ B ii) 7 ∈ B iii) 6 ∈ B iv) 2 ∉ B

( ( ( (

) ) ) )

5. Dado: Z = {4; 6; {8}; {10}} Indicar verdadero (V) falso (F); según corresponda: i) 4 ∈ Z ii) {8} ∈ Z iii) {{10}} ∈ Z iv) {4; {8}} ⊂ Z

( ( ( (

) ) ) )

Rpta. ………………………….

Rpta. …………………………. 6. Dado el conjunto: N = {1; {3}; {5}; 7}

2. Dado el conjunto: B = {3; {6}; 9; 15} Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda: i) {3} ∈ B ii) {6} ∈ B iii) {15} ∈ B iv) 9 ∈ B

( ( ( (

) ) ) )

Rpta. ………………………….

3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 6 elementos?

¿Cuántas proposiciones son falsas? i) {3} ⊂ N ii) 3 ∈ N iii) {{3}} ⊂ N iv) {{5}; {7} ⊂ N v) 3 ∈ N

Rpta. ………………………….

) ) ) ) )

Rpta. …………………………. 7. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto: F = {x/x ∈ N; 7 < x < 13} G = {x2 + 1 / x ∈ Z; 4 < x 19} Rpta. ………………………….

Rpta. ………………………….

4. Si un conjunto tiene 4 elementos. ¿Cuántos subconjuntos tiene?

( ( ( ( (

8. Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios. ¿cuántos elementos tiene el conjunto? a) 3 d) 15

b) 4 e) 31

c) 6

Rpta. ………………………….

45

TEORÍA DE CONJUNTOS 1. CONJUNTO ESPECIALES 1.1.

Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no posee elemento. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: ∅; es decir: {x/x ≠ x} = { } = ∅ Ejemplos:  {x/x ∈ N; 6 < x < 7} = { } No existe un “x ∈ N” que sea mayor que 6 y menor que 7 a la vez.  El conjunto de todos los hombres inmortales. P={ } =o P=∅

1.2.

Conjunto Unitario Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “singular.  {x/x ∈ N; 6 < x < 8} = {7} Puesto que “6 ∈ N” es el único comprendido entre 6 y 8.  El conjunto de satélite que posee la tierra. {Luna} Ejemplos:  Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”. A = { 7 – a; b + 4; 5}  7- a=5⇒7–5=a 2=a b+4 =5⇒b=5–4 b=1 ∴a+b=2+1=3

46

J ohn V enn E uler Fue un matemático británico que se hizo famoso por sus diagramas lógicos. Los diagramas de Venn se emplean a menudo para enseñar matemáticas elementales.


1.3.

Conjunto Universal Es un conjunto referencial que incluye a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por “U” o bien. E. A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 2; 3; 6; 9; 11; 13} ∪ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9; 10; 11} A

B

1 4

9

6 2

11 13

8

3 10

7

5

∪

Nota: U También puede expresarse ∪ = {x/x ∈ n; 1 < x < 11} ó ∪ = {x/x ∈ Z+ ; x < 12}  Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2+b2” A = {a + b; 12} B = {4; a –b} a + b = 12 a– b =4 2a = 16 a=8 a + b = 12 ⇒ a + 8 = 12 b=4 ∴ a2 + b2 = 82 + 42 = 80

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 2.1.

Reunión de Conjuntos Se llama reunión de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos de A, de B o de ambos.  Se simboliza por A ∪ B.

2.2.

Intersección de Conjuntos

R en é D escartes (1596-1650) Nació de una familia francesa noble en la Turena – Francia. Los aportes que realizó a la matemática fueron en el área de estadística y probabilidades. Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario por su invención de la Matemática. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas. “Considerada que no sé nada de Física si tan sólo fuese capaz de expresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera. No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento”. 47

Se denomina intersección de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos comunes a “A” y a “B”.  Se denota por A ∩ B Observación: Si A ∩ B = ∅, se dice que “A” y “B” son disjuntos.

2.3.

Diferencia Se conoce como diferencia de “A” y “B” al conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”.  Se denota por A – B

48


Ejemplos:  Si: A = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8} B = {1; 3; 4; 5; 7; 9} Entonces: A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A ∩ B = {1; 3; 4} A – B = {0; 2; 6; 8} B – A = {5; 7; 9}

"Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida."

 Si: T = {m; v; t; p} P = {m; v; t; s; u; p} Entonces: T ∪ P = {m; v; t; p; s; u} T ∩ P = {m; v; t; p} T–P={ }=∅ P – T = {s; u}

ACTIVIDADES EN AULA 1. Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar p2 + q2 M = {p + q; 12} N = {4; p – q}

2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n” Z = { 7 – m; n + 4; 5}

49

3. Si los conjuntos: P = {p; a; l; o; m; a} Q = {l; o; m; a; s} entonces hallar “P ∩ Q”

4. De 50 alumnos de un aula poseen libros de matemática o lenguaje; 40 tienen libro de Matemática y 15, de Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos tienen sólo el libro de Lenguaje?

50

5. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b Z = {22 – a; b + 8 ; 18}

6. De una encuesta realizada a 120 alumnos de una universidad se sabe que; 75 estudian, 35 trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos sólo estudian?


8. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a+b+c A = {3a + 5; 17; 4b – 3} B = {4a – b; c}

7. En una fiesta donde asistieron 70 personas se sabe que 36 gustan bailar salsa; 42 gustan de bailar rock, ¿Cuántas personas no gustan de bailar?, si se sabe que 25 personas gustan de ambas músicas.

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, hallar a2–b2. R = {a + b; 16} S = {8; a – b} 2. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario, hallar “m – p” x = {9 – m; n + 4; 5}

3. Si los conjuntos: M = {m; a; n; u; e; l} N = {s; a; m; u; e; l} hallar “M ∪ N”. 4. De 60 alumnos del colegio “Leonardo de Vinci” poseen computadora o celular; 32 tiene computadora y 12 computadora y celular. ¿Cuántos tienen sólo celular? 51

5. Si los conjuntos P y Q son unitarios, hallar r+ s

7. De 85 personas 35 gustan de natación y 25 gustan de atletismo, ¿cuántas personas sólo gustan de natación si se sabe que 10 personas gustan de ambos deportes?

P = {r + s; 18} Q = {6; r – s} 6. Se realiza una encuesta a 140 estudiantes de 1ro. de secundaria del colegio “Trilce” y se sabe que: 81 estudian, 32 ven televisión y 18 estudian y ven televisión. ¿Cuántos sólo ven televisión’

8. ¿Cuántos sub conjuntos tiene N? N = {1; {2; 2}}

ADICIÓN Y SUTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban juntando hasta formar el llamado equipo.

ADICIÓN Es una operación directa que consiste en reunir un conjunto de cantidades homogéneas en una sola: cada una de las cantidades se denomina sumando y al resultado suma.

a1 + a2 + a3 + ............ + an = S

Donde ; etc, son los sumandos; y S es la suma. SUSTRACCIÓN Es la operación en la que dadas dos cantidades llamadas minuendo (M), sustraendo (S) respectivamente, se trata de hallar una tercera cantidad llamada diferencia (D). M–S=D M=D+S ⇒ M + S + D = 2M 52


COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CºA) Es lo que le falta a un número para ser su respectiva unidad inmediata superior. U. I. S.  

6

⇒

CºA de 6 = 10 - 6=4

78

⇒

CºA de 78= 100 - 78=22

1 306

⇒

CºA de 1 306= 10 000 - 8 694

abc

⇒

10 3 CºA de abc = 1000 - abc

Regla Práctica: Dado un número, para determinar su complemento aritmético mediante la regla práctica se procede de la siguiente manera: se restan de nueve todas las cifras del número empezando por la primera de la izquierda, excepto la última significativa de la derecha que se resta de diez, y si a continuación de está hubieran ceros, se colocan al final

Estudia no para saber algo más sino para saber algo mejor

Ejemplos: a)

Cº A (3 057 ) = (9 − 3 )(9 − 0 )(9 − 5 )(10 − 7 ) = 6 943

b)

Cº A (207 400 ) =

(9 − 2 )(9 − 0 )(9 − 7 )(10 − 4 )00 = 792 600 c) CºA (56 009) = ..............

ACTIVIDADES EN AULA

Hallar los números enteros a colocar en los casilleros 1. (+1) -

= (+3) - (-2)

53

2. (+8) - (-2) -

3.

= (+3)

- (+2) = (+3)

54

4.

- (-6) = (-2)

5.Si: abcc + accc = 5088 Hallar el valor de (a+b+c)


S=5+17+29+41+... (30 sumandos)

a1b + a2b + a3b + ...... + a9b = 5 922

6.Si: Hallar el valor de (a+b)

8.Hallar la suma de todos los números de tres cifras que empiezan y terminan en cifra 7. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

7.Hallar la suma:

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS Rpta: ................................ 1. (+6) - (-3) = 55

2.

- (-12) = (+15) Rpta: ................................

de 3 cifras es 5 380. Si la suma de dichos números es 4 780. Hallar la suma de las cifras del menor. Rpta: ................................

3.

- (-16) = (-3) Rpta: ................................

7.Si:

abc − cba = mnp

Hallar: 4. (+9) -

mnp +npm = pmn

= (+2)

Rpta: ................................ Rpta: ................................

5. La suma de los términos de una sustracción es 964. La suma de las cifras del minuendo es: Rpta: ................................

8. Sabiendo que

abc − cba = 4mn

y además a+c=11. Hallar el valor de (a+2c) Rpta: ................................

6. La diferencia entre los complementos aritméticos de un número de 4 cifras y otro

ADICIÓN Y

ACTIVIDADES EN AULA 1. Después de vender una moto perdiendo $120 preste $200 y me quede con $380. ¿Cuánto me había costado la moto?

56

2. Jefrey nació en 1888 se casó en el año 1924; dos años después nació su primer hijo y murió cuando su hijo tenía 38 años. ¿En qué año murió?


3. Si recibiera $ 2480 podría comprarme un auto Mazda último modelo de $ 11500. ¿Cuánto tengo?

6. La suma de dos números es 2491 y la mitad del menor es 521. Hallar el mayor.

4. El menor de dos números es 15239 y la diferencia entre ambos es 257. Hallar el mayor.

5. El mayor de dos números es 3592 y la diferencia entre ambos es 649. Hallar el menor y dar como respuesta la menor cifra empleada en su escritura.

7. ¿En cuánto excede la suma de 193 y 249 a la diferencia entre 1982 y 1647?

57

tendría 28 años. ¿Cuánto más joven es María Fe que Enrico?

8. Si Enrico tuviera 10 años menos tendría 36 años y si María Fe tuviera 13 años más

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Rocio gastó S/. 20 soles en comprarse golosinas y 2 soles más en comprar un polo. ¿Cuánto gastaría si se compra 6 polos? Rpta.: ………………………………

4. En un juego un apostador gana S/. 60 y luego pierde S/. 85, después gana S/. 72 y por último vuelve a perder S/. 35. ¿Cuánto ganó o perdió? Rpta.: ………………………………

2. Jorge gastó S/. 10 en comprarse un CD en la "Cachina" y 30 soles más en comprarse un teléfono celular en el mismo sitio. ¿Cuánto gastaría en comprarse tres CD y un teléfono celular? Rpta.: ……………………………… 3. Lula se pone a dieta. El primer mes bajó 1200 gr, el segundo mes bajo 400 gr más que el mes anterior y el tercer mes, subió 900 gr por comerse tortas y dulces. ¿Cuántos gramos bajó Lula hasta el tercer mes? Rpta.: ……………………………… 58

5. Si Pablo nació en el centenario de la independencia del Perú. ¿Qué edad cumplirá en el año 2001? Rpta.: ………………………………

6. ¿Cuánto costó lo que al venderse en S/. 2937 deja una ganancia de S/. 129?


Rpta.: ……………………………… 8. Rómulo gastó al comprar por partes su computadora $490. Si quiere ganar $ 230, ¿A cuánto lo tiene que vender? 7. ¿Cuánto costó lo que al venderse en $ 600 deja una pérdida de $ 123?

Rpta.: ………………………………

Rpta.: ………………………………

"La "La lectura lectura hace hace al al hombre hombre completo; completo; la la conversación conversación lo lo hace hace ágil, ágil, el el escribir escribir lo lo hace hace preciso." preciso."

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS

MULTIPLICACIÓN Podemos afirmar que en la practica la multiplicación es una operación que abrevia la suma. Ejm. 1: Juan tiene que cobrar S/. 5 a 22 personas, entonces tiene que cobrar :

5 + 5 +  5 + ......   +5 = S/ . 5x22 = S/ . 110 22 sumandos Donde:

5 22 x 110

→ → → →

multiplicando multiplicador operador producto

Ejm 2: Sofía al vender 12 blusas pierde en cada una 7 soles, entonces pierde en total:

La operación resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajadora, como se observa en la ilustración, debido a su 59 notación numeral. el signo de multiplicar, Cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.

( −7  )  + ( −7) + ( − 7) +.....   + ( −7) = ( −7) × 12 = S/. - 84 12 sumandos

-7 → 12 → -84 →

Donde:

...................................................... ...................................................... ......................................................

Regla de Signos para la Multiplicación de Números Enteros  Si dos números enteros tienen el MISMO SIGNO, su producto tendrá SIGNO POSITIVO.  Si dos números enteros tienen DISTINTO SIGNO, su producto tendrá SIGNO NEGATIVO. Ejm : (+5) x (+3) = +15 (-9) x (+2) = ............ (+6) x (-6) = ............ (-9) x (-2) = ............ (+3) x (-3) = ............ (-1) (-1) (-1) = ............ (-5) (-1) (-7) (-8)= ............

"La educación es la preparación a la vida completa."

Ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(+8) (-3) = (+9) (-2) (-1) = (-2) (-1) (-1) = (-1) (-2) (+2) (-3) = (+2) (+2) (+2) (-2) = (+5) (-2) (-1) (-3) (-5) = (+1) (+1) (-1) (-1) (-1) =

DIVISIÓN División.- Dividir es calcular el número de veces que contiene un número llamado dividendo (D) a otro llamado Divisor (d). Este "Número de veces" recibe el nombre de cociente (q) Ejm: ¿Cuántas veces contiene 24 a 6? 24 = 24 ÷ 6 = 4 Es decir: 6 4 : recibe el nombre de cociente. 24 : recibe el nombre de dividendo. 60

Babilonia e hindúes fueron los primeros en conocer la división. Los métodos actuales para resolver la división se derivan de los hindúes, que disponían en una mesa de arena los elementos de la operación: dividendo, divisor, cociente y residuo. Estos conocimientos fueron transmitidos a Europa por los árabes. Leonardo de Pisa los expuso en 1202. Oughtred, en 1647, propuso el signo (:) para indicar la división.


6 : recibe el nombre de divisor. División Exacta.- Si el DIVIDENDO (D) contiene una cantidad EXACTA de veces al divisor (d), entonces tenemos una DIVISIÓN EXACTA. Esta división se representa así : D ¸ d = q Ejm 1:

;

d≠0

45 ¸ 5 = 9 porque: 5 x 9 = 45

D =q d

* Otra forma de representar: Reglas de Signos en la División (+) (-) (+) (-)

¸ ¸ ¸ ¸

(+) (-) (-) (+)

= = = =

(+) (+) (-) (-)

"La verdadera educación de un hombre comienza varias generaciones atrás."

Ejercicios 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(+6) (+8) (+10) (-8) (-4) (+9)

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

(+2) (-2) (+5) (-8) (-2) (-3)

= = = = = =

ACTIVIDADES EN AULA

1. (+2)(+7) -

= +6

* Efectuar los combinados:

siguientes

ejercicios

2. (-1)(+5) + (-3)(-2) =

61

5. La diferencia de dos números enteros es 31 y su correspondiente suma es -61. ¿Cuál es el número menor?

3. (-7)(+2) - (+3) =

Rpta: .........

4. (-5)(-6) ¸ (-2) +7 =

62

6. Le preguntan a Javier por su edad y éste responde: Si al doble de mi edad le suman 4, obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Javier?


Rpta: ......... Rpta: .........

8. La suma de dos números es 406, su cociente es 2 y el resto 91. ¿Cuáles son los números?

7. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 cada una, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces los forman en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora?

Rpta: .........

AC TI V I D AD E S D OM IC ILI AR I AS

1. Efectuar:

2. Efectuar: B = [ ( − 1 ) + ( − 1 ) +.....+ ( −1 ) ]( − 2 )

A = [ ( − 2 ) +  ( − 2 ) +  . . . . . + ( − 2) ] ( − 5 ) ( − 7 )

9 veces

8 veces

Rpta.: ...................................

Rpta.: ...................................

63

* Completar en los recuadros los números enteros que faltan y que verifiquen la igualdad. 3. (-1) x (7) +

Rpta.: ...................................

= -5 Rpta.: ...................................

4. (-6)(+3) +

7. Entre dos personas tienen S/. 200. Si la cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra. ¿Cuáles son dichas cantidades? Rpta.: ...................................

= -12 Rpta.: ...................................

5. Entre Pedro y Juan tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Pedro es 17 veces la que tiene Juan, ¿Cuánto más tiene Pedro que Juan?

8. Las edades de un padre y su hijo suman 85 años. Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su padre, ¿Cuál es la edad del hijo? Rpta.: ...................................

Rpta.: ................................... 6. Las edades de Juan y Víctor suman 78. Si la edad de Juan es el doble que la de Víctor, ¿Cuál es la edad de Juan?

La enseñanza que deja huella no es la que se hace de cabeza a cabeza, sino de corazón a corazón.

PROBLEMAS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ACTIVIDADES EN AULA

64


1. Si al dividir N entre 109 el cociente es el duplo del divisor, ¿Qué número es N?

4. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calculadora, gana S/. 75; pero si decide vender cada calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender?

2. ¿Por cuál número hay que dividir 154800 para que el cociente sea 15?

5. Si $ 163 se reparten entre cierto número de personas, a cada una le tocaría $ 9 y sobrarían $ 10. ¿Cuál es el número de personas?

3. Se repartió cierto número de naranjas entre 21 personas y después de dar 7 naranjas a cada persona sobraron 18. ¿Cuántas naranjas había?

65

6. Cuando dividimos cierto número por 50 obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcular el cociente que se obtiene en ambos casos

8. Se organiza una función de teatro en nuestro colegio. Si el Señor "J.V" paga S/. 6 por cada entrada, le sobrarían S/.16; y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró?

7. Si la edad de tu abuelito la multiplicas por 8, luego la divides por 10 y el cociente la multiplicas por 3 añadiendo en seguida 36, obtendrías 180. ¿Cuál es la edad de tu abuelito?

AC TI V I D AD E S D OM IC ILI AR I AS

1. Esteban vende un terreno de 20 áreas a $ 600 el área y recibe en pago otro terreno de 900 metros cuadrados a razón de $ 4 el metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan? 66

Rpta: ...............


2. Se compran 8 libros de Matemáticas a $10 cada uno, 5 lapiceros a $1 y 6 plumas fuentes a $5 cada una. Si se vende todo en $180. ¿Cuánto se pierde?

a) b) c) d) e)

Queda multiplicado por 12 Queda dividido por 6 Queda multiplicado por 6 Queda dividido por 12 Faltan datos

Rpta: ............... 6. Si en una multiplicación de tres números enteros se duplica cada uno de ellos. ¿Cómo queda afectado el producto? 3. Se compran 144 metros cuadrados de terreno a $2 el metro cuadrado, y se venden a $80 la docena de metros. ¿Cuánto se gana? Rpta: ...............

4. Juan gana $10 por día de trabajo y trabaja 6 días a la semana. Si gasta 38 dólares a la semana, ¿Cuánto puede ahorrar en 22 semanas?

a) b) c) d) e)

Queda multiplicado por 2 Queda multiplicado por 8 Queda dividido por 2 Queda dividido por 8 No se altera

7. Si en una división exacta el dividendo es 2488 y el cociente 8. ¿Cuál es el divisor? Rpta: ...............

Rpta: ............... 5. Se tiene una multiplicación de tres factores, si se duplica uno de ellos y se triplica otro, ¿En cuánto varía el producto inicial?

8. Si el cociente exacto es 851 y el divisor 93. ¿Cuál es el dividendo? Rpta: ...............

El El objeto objeto de de la la educación educación es es formar formar seres seres aptos para gobernarse a sí mismos, aptos para gobernarse a sí mismos, yy no no para para se se gobernados gobernados por por los los demás. demás.

PROBLEMAS DE OPERACIONES COMBINADAS 67

ACTIVIDADES EN AULA

1. Un dentista extrae 3 muelas por hora; a cada paciente le extrae máximo 2 muelas. Cada paciente tiene entre 20 y 24 muelas. ¿Cuál es el mayor tiempo que podrá emplear en 15 pacientes?

4. Si al multiplicando de la operación 345 x 648 se le aumenta 5, ¿En cuánto aumenta el producto?

2. El papá de Luis gana S/. 1800 mensuales y gasta S/. 1670. ¿Cuánto ahorrará en un año?

5. En el consultorio de un médico, por cada 2 pacientes que van con dolor de cabeza, hay 3 con dolor de estómago y 5 con dolor de espalda, ¿Cuántos hay con dolor de espalda?. Si en la sala de espera hay 30 pacientes, ¿Cuántos hay con dolor de estómago? 3. En un salón de clase, por cada hincha del Alianza hay 3 de Universitario y 2 del Cristal. ¿Cuántos son hinchas de Universitario si en el salón hay 36 alumnos?

68


6. Una persona tiene S/. 150 en el banco. Mensualmente, gana S/. 900 y gasta S/. 750; lo demás lo ahorra en el banco. ¿Cuántos meses deberán transcurrir, para que tenga en el banco, tanto como lo que gana? 8. En una tienda se venden licuadoras a $80 cada una; planchas a $30 cada una y lustradoras a $120 cada una. Si al final del día se vendieron 5 licuadoras, 8 planchas, pero no se sabe cuántas lustradoras; averigue Ud. el número de lustradoras vendidas, sabiendo que en total se recaudó $1000.

7. Un edificio tiene 20 pisos. En cada piso hay 12 departamentos, 4 de ellos con vista a la calle. Cada departamento tiene 8 ó 12 focos, ¿Cuántos focos hay en el edificio si los departamentos que no tienen vista a la calle tienen más focos que los otros?

AC TI V I D AD E S D OM IC ILI AR I AS 69

1. En un salón hay 24 alumnos y en otro salón hay 31 alumnos. Si a cada alumno del primer salón se le obsequia 12 caramelos y a cada alumno del otro salón se le obsequia 4 caramelos menos, ¿Cuántos caramelos se van a repartir en total?

5. Tento S/. 171 y compro 3 camisas de S/. 27 cada una. ¿Cuántos pañuelos podré comprar con lo que me queda, si cada uno cuesta S/. 6? Rpta: ...............

Rpta: ............... 2. Cinco estudiantes compran un paquete de 20 chocolates. Si se distribuyen los chocolates por partes iguales, ¿Cuántos caramelos recibe cada uno de ellos?

6. El conductor de un camión repartidor tiene instrucciones de dejar 15 cajas de leche en cada hospital y 10 cajas de leche en cada colegio. Si en una mañana visitó 5 hospitales y 8 colegios, ¿Cuántas cajas de leche repartió?

Rpta: ...............

Rpta: ...............

3. Dentro de una caja roja se meten 5 cajas azules; en cada caja azul se meten 3 cajas rojas y en cada caja roja se meten 8 cajas blancas. ¿Cuántas cajas hay en total?

7. Un edificio tiene 48 ventanas y 80 puertas. ¿Cuántas puertas más que ventanas tendrán 5 edificios?

Rpta: ...............

Rpta: ...............

4. Un edificio tiene una altura de 90 metros. Si cada piso del edificio tiene una altura de 3m. ¿Cuántos pisos tiene el edificio?

8. En un edificio, las escaleras que hay entre piso y piso tienen 15 peldaños. Una persona sube del primer piso al quinto y luego baja al segundo piso. ¿Cuántos peldaños subió y bajó?

Rpta: ...............

Rpta: ...............

"La educación es la preparación a la vida completa."

70

MATEMÁTICA BÁSICA

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