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UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI

LECCI LECCIÓN ÓN Nº 09 y 10

TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO NACIONAL OBJETIVO: Analizar las diferentes tasas que utiliza el sistema financiero financiero con los agentes  económicos. El estudiante estudiante podrá reconocer y aplicar las las diferentes diferentes tasas en en los sistemas sistemas de  intermediación intermediación directo e indirecto. Resolver ejercicios financieros en una operación financiera.  TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO NACIONAL. Existe una terminología muy variada para designar las diversas tasas de interés vigentes en el sistema financiero, muchas de ellas representando el mismo concepto a pesar de tener diferentes denominaciones. Trataremos de agrupar. Clasificar y definir esas tasas, en función de algún elemento común que las una. Clasificación de las tasas

Activa Pasiva Nominal y proporcional Efectiva y equivalente Vencida Adelantada Compensatoria Moratoria Tasa de interés total en mora TAMN Tasa Activa Moneda Nacional TAMEX Tasa de Interés Pasiva M.E.

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Según al balance bancario Por el Efecto de la capitalización Según el momento del cobro de intereses De acuerdo al cumplimiento de la obligación Según el tipo de moneda

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TIPMN Tasa de Interés Pasiva M.N: TIPMEX Tasa de Interés Pasiva M.E. De inflación Real Corregida por inflación (inflada) Discreta Continua

Considerando la perdida del poder adquisitivo Por el tipo de capitalización De acuerdo a su anuncio en la operación.

Explicita Implícita Tasa de Interés Legal Tasa de Interés Moratoria TIM

Para operaciones no financieras

1. Tasa Activa. Son operaciones activas todas aquellas formas técnicas mediante las cuales los bancos utilizan o aplican los fondos recolectados y cuyos montos quedan expresados en los distintos rubros del activo de sus balances: fondos f ondos disponibles, disponibles, colocaciones, inversiones, otras cuentas del activo. Se puede decir también que son operaciones activas todas aquellas formas técnicas por las cuales los bancos mantienen disponible, colocan o invierten los fondos provenientes de sus operaciones pasivas. La tasa activa, expresada generalmente en términos efectivos, se aplica a las colocaciones efectuadas por los bancos e instituciones financieras a sus clientes por créditos de corto mediano y largo plazo. Balance Bancario Activo

Pasivo

Operaciones activas Prestamos Descuentos Sobregiros Etc.

Operaciones pasivas. Captaciones Ahorros Depósitos a plazo. Etc.

Tasa Activa

Tasa Pasiva

TAMN TAMEX Tasa que cobran las empresas Financieras.

TIPMN TIPMEX Tasa que pagan las entidades Financieras.

Expresada en términos Efectivos.

Expresada en términos nominales, más una frecuencia de capitalización. capitalización.

2. Tasa pasiva

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Son operaciones pasivas todas aquellas formas técnicas u operaciones mediante las cuales las Instituciones del Sistema Financiero captan fondos directamente de los depositantes o indirectamente a través de otras instituciones de crédito (redescuentos). La tasa pasiva corresponde básicamente a las captaciones que se efectúan del público a través de cuentas corrientes, depósitos a plazo, depósitos de ahorro, emisión de bonos y de certificados. Las tasas pasivas aplicadas por las Instituciones del Sistema Financiero a los usuarios finales se expresan generalmente en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada; por ejemplo, los ahorros capitalizan mensualmente, mientras los depósitos a plazo capitalizan diariamente. 3. Tasa nominal y tasa proporcional. Se dice que una tasa es nominal cuando: a) Se aplica directamente a operaciones de interés simple. b) Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde m es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal anual. La proporcionalidad de la tasa nominal anual j puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simple considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo ¿cuál será la tasa proporcional diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24/360) y la tasa mensual será 2% = 30(24/360). Ejemplo 1.- Calcular la tasa proporcional: a) b) c) d) e) f) g) h)

Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24%. Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12%. Mensual, a partir de una tasa nominal trimestral del 12%. De 18 días, a partir de una tasa nominal anual del 18%. De 88 días, a partir de una tasa nominal trimestral del 6%. Anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2%. De 46 días, a partir de una tasa nominal bimestral del 6%. De 128 días, a partir de una tasa nominal mensual del 2%.

Solución a) (0.24/360)90 b) (0.12/180)90 c) (0.12/90)30 d) (0.18/360)18 e) (0.06/90)88 f) (0.02/30)360 g) (0.06/60)46 h) (0.02/30)128

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= 0.06 = 0.06 = 0.04 = 0.009 = 0.0586 = 0.24 = 0.046 = 0.0853

= 6.00% = 6.00% = 4.00% = 0.90% = 5.87% = 24% = 4.60% = 8.53%

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4.

Tasa Efectiva.

La tasa efectiva i es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el año con la siguiente fórmula: i= 1+j/m

n

-1

En la fórmula anterior, la relación j/m (que es la tasa efectiva del período) y n deben estar referidas al mismo período de tiempo; por lo tanto, el plazo de i está dado por n. Si m y n se refieren sólo a un período, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento. Por ejemplo, el monto simple de un capital de S/. 1000 colocado a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto del mismo capital a una tasa efectiva anual del 24% arrojan un monto de S/. 1240: Monto simple Monto compuesto

S = 1000 (1 + 0.24 x 1) S = 1000 (1 + 0.24 )

= 1240 = 1240

La tasa efectiva i y la misma nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse del siguiente modo: Unidad de tiempo Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria

i TEA TES TEC TET TEB TEM TEQ TED

j TNA TNS TNC TNT TNB TNM TNQ TND

Ejemplo 2: Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del 24% abonándose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros. Solución: i= 1+j/m

TES J m n

= = = =

? 0.24 12 6

n

-1

Reemplazando datos. TES = 12.62 %

Ejemplo 3: Tomando como base una TNA del 18% con capitalización: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal y diaria calcule sus respectivas tasas efectivas y tasas efectivas semestrales. 59

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Solución

j Anual

Tasa efectiva anual Capitalización

Operación

TEA

18 %

Anual

(1 + 0,18/1) 360/360 - 1 = 0,18

18,00%

18 %

Semestral

(1 + 0,18/2) 360/180 - 1 = 0,1881

18,81%

18 %

Cuatrimestral

(1 + 0,18/3) 360/120 -1 = 0,191016

19,10%

18 %

Trimestral

(1 + 0,18/4) 360/90 - = 0,192518601

19,25%

18 %

Bimestral

(1 + 0,18/6)360/60 -1 =0.194052297

19,41 %

18 %

Mensual

(1 + 0,18/12) 360/30 - 1 = 0,195618171

19,56%

18 %

Quincenal

(1 + 0,18/24) 360/15 - 1 = 0,196413529

19,64%

18%

Diaria

(1 + 0.18/360) 360/1 – 1 = 0.19716358

19.72%

Tasa efectiva semestral j Anual

Capitalización

Operación

TES

18 %

Anual

(1 + 0,18/1) 180/360 - 1

= 0,08627804

8,62%

18 %

Semestral

(1 + 0,18/2) 180/180 - 1

= 0,09

9,00%

18 %

Cuatrimestral

(1 + 0,18/3) 180/120 - 1

18 %

Trimestral

(1 + 0,18/4) 180/90 - 1 = 0,092025

9,20%

18 %

Bimestral

(1 + 0,18/6) 180/60 – 1 = 0,092727

9,27%

18 %

Mensual

(1 + 0,18/12) 180/30 -1

= 0,093443264

9,34%

18 %

Quincenal

(1 + 0,18/24) 180/15 - 1 = 0,093806898

9,38%

18 %

Diaria

(1 + 0,18/360) 180/1 - 1 = 0,09414967

9,41%

= 0,09133679

9,13%

En este ejemplo si a cada TES la capitalizamos 2 veces obtendremos su correspondiente TEA. Por ejemplo, capitalizando 2 veces la TES del 8.62% obtenemos 18% = (1+ 0.086278049) 2- 1

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Ejemplo 4: Tomando como base una TNM del 2% con capitalización cada: 29, 26, 23, 20, 18, 15, 12 Y 10 días. Calcule sus respectivos TET. Solución: Tasa efectiva anual j Mensual Capitalización

Operación

TET

2%

Cada 29 días [1 + (0,02/30)29]90/29 - 1 = 0,06228679

6,122%

2%

Cada 26 días [1 + (0,02/30)26]90/26 - 1= 0,061290829

6,129%

2%

Cada 23 días [1 + (0,02/30)23]90/23 - 1 = 0,06135314

6,135%

2%

Cada 20 días [1 + (0,02/30)20]90/20 - 1 = 0,06141563

6,141%

2%

Cada 18 días [1 + (0,02/30)18]90/18 - 1 = 0,06145738

6,145%

2%

Cada 15 días [1 + (0,02/30)15]90/15 - 1 = 0,06152015

6,152'%

2%

Cada 12 días [1 + (0,02/30)12]90/12 - 1 = 0,06158308

6,158%

2%

Cada 10 días [1 + (0,02/30)10]90/10 - 1 = 0,0616251

6,163%

Ejemplo 5: El 20 de enero la empresa Villanueva compró un paquete de acciones invirtiendo S/. 9000 el cual vendió el 28 del mismo mes, por un importe neto de S/. 9450 ¿Cual fue la TEM de rentabilidad obtenida en esa operación? Solución: La tasa de rentabilidad obtenida durante

8

días:

9450/9000 - 1 = 0.05 La TEM se calcula del siguiente modo: TEM = (1 + 0.05) 30/8 - 1 = 0.20077 = 20.08% La rentabilidad obtenida en 8 días ha sido del 5% y asumiendo la reinversión a la misma tasa en los 3.75 períodos de 8 días (30/8) que tiene el mes, la rentabilidad acumulada del mes sería del 20.08% Ejemplo 6: La compañía Distribuidora Latinoamericana tiene una rotación anual de mercaderías de 5 obteniendo un margen de utilidad bruta de 15% en cada rotación. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad bruta anual? Solución Una rotación de mercaderías de 5 veces al año significa un promedio de inmovilización de inventarios de 72 días (360/5). 61

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TEA = ? TEA = ( 1 + I ) H/f - 1 f = 72 TEA = ( 1+ 0.15 )360/72 - 1 H = 360 TEA = 101.14% i = 0,15 Ejemplo 7: Calcule la TEA equivalente a una TNA del 12% capitalizable trimestralmente. Solución TEA = ? j = 12% h = 360 f = 90

TEA = ( 1 + j/m ) H/f - 1 TEA = ( 1 + 0.12/4 ) 360/90 - 1 TEA = 12.55%

5 TASAS EQUIVALENTES Dos ó más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas: TEM = 1.530947% Y TET = 4,6635139% son equivalentes, porque ambas producen una TEA del 20% Una tasa de interés i es equivalente a otra i’ si sus respectivas capitalizaciones realizadas durante un mismo horizonte temporal H producen el mismo resultado. 5.1 Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada. La tasa equivalente o efectiva periódica i’ se obtiene de la relación de equivalencia de la fórmula i= 1+j/m

n

-1

y puede ser calculada cuando se tiene como dato la tasa efectiva i. (1 + j/m) n – 1 = i (1 + j/m ) n = 1 + I Si designamos a j/m = i' como la tasa equivalente, entonces podemos despejar la incógnita i': (1 + i' ) n = ( 1 + i ) i = ( 1 + i ) 1/n – 1 En este caso: i’ = Tasa equivalente o efectiva periódica a calcular i = Tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato f = Número de días del periodo de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se desea calcular. H = Número de días correspondientes al periodo de tiempo de la tasa efectiva i proporcionada como dato. A una TEA le corresponde un H de 360; a una TEM le corresponde un H de 30, etc. Similar procedimiento se sigue con una TES, TET etc. Como n = H/f, entonces la fórmula anterior queda expresada:

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i’ = ( 1 + I ) f / h – 1 En la ecuación anterior, f se expresa en el período de tiempo correspondiente a la incógnita (tasa equivalente), y H se expresa en el período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como dato. Ambas variables deben referirse a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimestres, etc). Gráficamente puede observarse que f depende de i' y H depende de i. f/H

i' = ( 1 + i )

-1

Ejemplo 8: ¿A qué TEQ debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 4%? Solución i' = TEQ ? n=6 i = 0,04 n=3

( 1 + i’ ) = ( 1 + 0.04 ) 3 1 + i’ = ( 1 + 0.04 ) 3/6 i’ = 1.019803903 - 1 i’ = 1.9803903%

Ejemplo 9. Si la TEM para créditos hasta 360 días es de 5% ¿Cuál será la tasa efectiva que debe cobrarse por un sobregiro de 4 días? Solución: f/H

i' = ( 1 + i )

i' 4d = ? f =4 H = 30 TEM = 0.05

-1

Reemplazando datos. i’4d = 0.653%

Ejemplo 10 Calcule la TEM a partir de una TEA del 24 %. Solución i' = TEM ? Reemplazando datos. f/H

i' = ( 1 + i )

f = 30 TEA = 0,24 H = 360

-1

TEM = 1.81%

Ejemplo 11. Calcule la TET a partir de una TES del 10% Solución. f/H

i' = ( 1 + i )

-1

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i’ = TET ? f = 90 TES = 0.1 H = 180

Reemplazando datos. TET = 4.88%

Ejemplo 12. Una acción en la Bolsa de Valores tuvo una tasa de rentabilidad del 17.5% en 39 días. a) ¿Cuál fue su rentabilidad mensual?; b)¿Cuál seria su rentabilidad proyectada trimestral de continuar la misma tendencia? Solución. Rentabilidad Mensual. f/H

i' = ( 1 + i )

i’ = TEM f = 30 TE39d = 0.175 H = 39

-1

Reemplazando datos TEM = 13.21%

Rentabilidad proyectada trimestral H/f

i' = ( 1 + i )

TET = ? H = 90 i 39d = 0.175 f = 39

-1

Reemplazando datos. TET = 45.09%

En 90 días la tasa del 17.5% se capitalizara 2.307692308 veces. El numero de periodos capitalizados de 39 días contenidos en 90 días se obtiene con la fracción (90/39). 6 TASA VENCIDA. La tasa vencida i es el porcentaje a ser aplicado a un capital inicial, el cual se hace efectivo al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las fórmulas matemático - financieras, se basan en tasas vencidas. 7. TASA ADELANTADA La tasa adelantada d, nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina en cuanto disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. Matemáticamente es aquella que multiplicada por el capital final S, lo disminuye, para encontrar el capital inicial P. 7.1 Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida. Para encontrar una tasa adelantada "d" equivalente a una tasa vencida " i " proporcionada como dato, podemos relacionar las fórmulas abajo indicadas, estableciendo una ecuación de equivalencia y despejar la tasa "d" del siguiente modo:

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P = S (1 + i) -n P = S (1 - d) n Estableciendo una ecuación de equivalencia con los factores simples de actualización (1–i) n = (1 +d )n 1

(1+i)

n

=(1- d)

n

Elevando ambos miembros de la igualdad a la 1/n 1=(1–d)( 1+i) 1

=(1-d)

(1+i)

1 = 1 + i - d – di d + di = i d=

i

(1+i)

Ejemplo 13. En una operación de descuento bancario a 90 días se requiere ganar una tasa trimestral vencida del 4.5% ¿Que tasa adelantada equivalente debe aplicarse para los 90 días? Solución. d=

D =? i = 0.045

i

(1+i)

Reemplazando datos. d = 4.31%

Ejemplo 14. ¿Que tasa anual adelantada es equivalente a una TEA del 12%? Solución. d=

D=? i = 0.12

i

(1+i)


7.2 Tasa vencida ( i ) equivalente a una tasa adelantada ( d ) Si conocemos la tasa d entonces podemos calcular su equivalente i, realizando la siguiente operación. d=

i

(1+i)

Despejamos i i = d + di i – di = d i(1–d)=d Entonces i =

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i=

d

(1-d)

Ejemplo 15. Una tasa adelantada del 12%, ¿A que tasa efectiva de interés es equivalente? Solución. i=

i= ? d = 0.12

d

(1-d)


8. TASA DE INTERÉS CONVENCIONAL COMPENSATORIO Ic es una tasa de interés compensatoria cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias, la tasa de interés convencional compensatoria está representada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones, que cobran o pagan respectivamente las instituciones del sistema financiero, en el proceso de intermediación del crédito. 9. TASA DE INTERÉS MORATORIO Una tasa de interés moratorio im constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas. El interés moratorio se calculará solamente sobre el monto de la deuda correspondiente al capital, adicionalmente a la tasa de interés convencional compensatorio o a la tasa de interés legal, cuando se haya pactado. El deudor incurre en mora a partir del día siguiente de la fecha de vencimiento de una cuota si ésta no fuese cancelada. La tasa de interés moratoria es fijada por el BCRP en términos efectivos mensuales y está normada por los siguientes artículos del Código Civil: Art. 1242 El interés es compensatorio cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. Es moratorio cuando tiene por finalidad indemnizar la mora en el pago. Art. 1243 La tasa máxima del interés convencional compensatorio o moratorio, es fijada por el Banco Central de Reserva del Perú. Cualquier exceso sobre la tasa máxima da lugar a la devolución o a la imputación al capital, a voluntad del deudor.

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10. TASA DE INTERÉS TOTAL EN MORA (ITM) Una deuda en mora, de acuerdo a ley, está afecta a una tasa efectiva de interés compensatorio y paralelamente a una tasa efectiva de interés moratorio. El cálculo del interés total de una deuda en mora se obtiene con la siguiente fórmula: lTM = P[ ( l + ic) n -1] + P [ ( l + im ) n – 1 ] ITM = P [ ( 1 + Ic ) n + ( 1 + im ) n – 2 ]

Ejemplo 16. El 18 de marzo la empresa Master.com. Obtuvo del Banco Latino un préstamo de S/. 20000 para amortizarlo en 10 cuotas uniformes de S/. 2590.09 pagaderas cada 30 días a una TEM del 5%. Si Master.com no pudo pagar sus tres primeras cuotas y el 30 de junio cancela su deuda vencida, ¿Cuál es el pago total que debe efectuar? La tasa de interés de mora equivale al 15% de la TEM. Efectúe la liquidación considerando separadamente el importe de cuotas vencidas, el interés compensatorio y el interés moratorio. Solución. 1 ) Cuotas vencidas 3 cuotas vencidas ( 2590 x 3 )

7770.27

2 Interés compensatorio 583.03 74/30 1ª Cuota 2590.09 ( 1 + 0.05 ) – 1 ) = 331.25 44/30 2ª Cuota 2590.09 ( 1 + 0.05 ) – 1 ) = 192.14 14/30 3ª Cuota 2590.09 ( 1 + 0.05 ) – 1 ) = 59.65 3) Interés moratorio. 1ª Cuota 2590.09 ( 1 + 0.0075 ) 74/30 – 1 ) = 48.18 85.77 2ª Cuota 2590.09 ( 1 + 0.0075 ) 44/30 – 1 ) = 28.54 3ª Cuota 2590.09 ( 1 + 0.0075 ) 14/30 – 1 ) = 9.05 Total deuda vencida. 1 + 2 +3

=

8439.07

Ejemplo 17. El 21 de enero la Universidad José Carlos Mariategui descontó un pagare de S/. 50000 con vencimiento dentro de 30 días a una TEM del 4%. Si el documento se cancela el 26 de febrero, ¿cual es el importe de la deuda, considerando que la tasa de mora es el 15% de la tasa compensatoria. Efectué la liquidación al 26 de febrero considerando gastos de portes de S/. 5.00 Solución. I=? P = 50000 Ic = 0.04 Im = 0.006 N = 6/30

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Ic = 50000 ( 1 + 0.04 ) 6/30 - 1) = 393.75 IM = 50000 ( 1 + 0.006 ) ) 6/30 - 1) = 59.86 Liquidación al 26 de febrero. Doc. Vencido Int. Compensatorio Int. de mora Portes.

50000.00 393.75 59.86 5.00

Deuda Total

50458.61

Ejemplo 18. Calcule el interés total en mora generado por una deuda de S/. 1000 vencida hace 18 días. La TEM compensatoria es 5% y la TEM moratoria es 0.75%. Solución. ITM = P [ ( 1 + Ic ) n + ( 1 + im ) n – 2 ] ITM = ? ic = 0.05 im = 0.0075 n = 18/30

reemplazando datos. ITM = 34.20

11. TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX A partir del 11 de marzo de 1991 el BCRP utiliza la siguiente terminología para las operaciones activas y pasivas que efectúan las entidades del sistema financiero nacional: TAMN TAMEX TIPMN TIMEX

tasa activa en moneda nacional tasa activa en moneda extranjera tasa de interés pasiva en moneda nacional tasa de interés pasiva en moneda extranjera

Las tasas activas se expresan en términos efectivos y las tasas pasivas en términos nominales con una frecuencia de capitalización determinada, de acuerdo con el tipo de operación realizada. Los ahorros se capitalizan mensualmente y los depósitos a plazo capitalizan diariamente. 11.1 Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares) La rentabilidad o pérdida (rentabilidad negativa), originados por los depósitos de moneda extranjera en el sistema financiero, específicamente el dólar norteamericano, está en función de la tasa de interés que se perciba por la colocación de los dólares y la devaluación o revaluación del sol en relación a esa moneda. La rentabilidad total implica el siguiente circuito: 

Capital inicial en moneda nacional.



Conversión de la moneda nacional en moneda extranjera a través de su compra al tipo de cambio de venta de los bancos.

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

Depósito del capital inicial en moneda extranjera en una entidad financiera, ganando una tasa de interés.



Percepción de los intereses en moneda extranjera.



Retiro de la institución financiera del monto en moneda extranjera y su conversión a moneda nacional, vendiéndola al tipo de cambio de compra de los bancos.



Comparación del capital inicial y final en moneda nacional durante el período que ha durado la transacción, para obtener el interés y la tasa de interés percibidos.

El calculo de la tasa efectiva TE en moneda nacional de un depósito en moneda extranjera, incluye la tasa efectiva ganada en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional (la devaluación es una tasa efectiva), y se efectúa con la siguiente formula: TE = ( 1 + i ME ) ( 1 + tasa dev MN ) – 1

Si el tipo de cambio disminuye en la fecha de venta de la moneda extranjera, con relación a la cotización en que se compró dicha moneda, las transacciones pueden originar pérdida en moneda nacional. Ejemplo 19. El 3 de enero la compañía Nuevo Mundo invirtió S/. 5000 comprando dólares norteamericanos a un tipo de cambio de S/. 3.37 importe que depositó en el Banco Nacional ganando una TEA del 6%. El 22 de enero cuando el tipo de cambio era de S/. 3.40 canceló su cuenta, ¿cuál fue: a) la tasa de rentabilidad del período y b) la tasa de rentabilidad proyectada del mes? c) compruebe la tasa de rentabilidad. Solución a) Tasa de rentabilidad del período (19 días) [( 1 + 0,06 ) 19/360 ] [( 3.40/3.37 ) - 1] = 0,012009532 = 1.200953281% b)

Tasa de rentabilidad mensual ( 1 + 0,012009532 ) 30/19 - 1 = 0,01902823 = 1.902823%

c)

Comprobación de la tasa de rentabilidad del período (19 días) Fecha 03-01 03-01 22-01 22-01 22-01

Operación

S/.

$.

Importe inicial MN 5000.00 Importe inicial ME 5000/3.37 1483.68 19/360 Interés ME 1483.68 [1.06 –1] 4..57 Importe final ME 1488.25 Importe final MN 1488.25 x 3.40 5060.05 Tasa efectiva en mn de 19 días.

1.201%

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Ejemplo 20. El 22 de Enero una persona invirtió S/. 10000 comprando dólares americanos a un tipo de cambio de S/. 3.40. El importe fue depositado en el banco Nacional ganando una TEA del 6%. El 23 de febrero, por necesidades de liquidez debe cancelar su cuenta y vender su moneda extranjera al tipo de cambio de S/. 3.37 vigente en esa fecha. A)¿Cuál fue la tasa de rentabilidad del periodo?, b) ¿Cuál fue la tasa de rentabilidad proyectada del mes?, y c) Compruebe la tasa de rentabilidad obtenida. Solución. a) Tasa de rentabilidad del periodo (32 días) [(1 + 0.06 ) 32/360 ] [(3.37/3.40) – 1] = - 0.003676454 = - 0.367645407% b) Tasa de rentabilidad mensual. (1 – 0.003676454) 30/32 – 1 = - 0.003447072 = - 0.344707212% c) Comprobación de la tasa de rentabilidad del periodo (32 días). Fecha

22 – 01 22 – 01 23 – 02 23 – 02 23 – 02

Operación

Importe inicial MN Importe inicial 10000/3.40 Interés ME 2941.176 [( 1 + 0.06 ) Importe final ME Importe final MN 2956.45 x 3.37

S/.

10000.00 32/360

Tasa efectiva en mn de 32 días

- 1]

$

2941.18 15.27 2956.45

9963.24

- 0.3676 %

La persona, el 23 de febrero, ha perdido S/. 36.76 equivalente al 0.3676 % del capital en moneda nacional que dispuso el 22 de enero ( 10000 x 0.003676454 = 36.76454 ). 12. Tasa de inflación. La tasa de inflación ( f ) es una tasa efectiva, indicadora del crecimiento sostenido de los precios de los bienes y servicios de la economía, en un periodo de tiempo determinado, calculada por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) sobre la base de una canasta básica de consumo familiar, tomada en una fecha cuya estructura de costos en la actualidad está referida a un año base. La tasa de inflación es medida relacionando dos Índices de Precios al Consumidor (IPC), calculados con la formula de Laspeyres, en la cual el numerador corresponde al índice de la fecha evaluada y el denominador al índice de la fecha tomada como base.

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12.1 Calculo de la tasa acumulada de inflación cuando se conocen las variaciones mensuales. La tasa de inflación es una tasa compuesta: por lo tanto sus cálculos se efectúan aplicando las formulas de la tasa efectiva [(1 + i ) n - 1] en la cual se reemplaza la tasa de interés ( i ) por la tasa de inflación ( f ). 12.2 Calculo de la tasa de inflación cuando se conocen los números índices. Para calcular la tasa de inflación aplicando los IPC publicados mensualmente por el INEI, se relaciona el IPC actual (IPCn) el cual incluye el incremento de precios hasta el último día del mes y se publica el primer dic útil del mes siguiente, con el IPC en la base (IPCo). f=

IPCn - IPCo IPCo

f=

=

IPCn IPCo

IPCn IPCo

-

IPCo IPCo

-1

13. Tasa discreta y continua. La tasa discreta supone períodos de capitalización cada cierto período de tiempo, tal como ocurre en el sistema financiero, donde el período más pequeño de capitalización es un día, aplicable a los depósitos a plazo, mientras la tasa continua supone una capitalización instantánea. Los procesos de capitalización continua o instantánea, utilizados en ingeniería económica, no son aplicables en el campo financiero. De todos modos las diferencias entre una capitalización diaria con una horaria, o instantánea es casi imperceptible. El presente texto sólo utiliza tasas y flujos de caja discretos. 14. TASAS EXPLICITA E IMPLÍCITA. La tasa explícita es una tasa anunciada en las operaciones mercantiles y financieras. La tasa implícita o tasa de retorno no figura expresamente en la operación financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compara un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. De acuerdo al tipo de información disponible la tasa implícita se calcula con las diversas fórmulas de tasas de interés, o con el principio de equivalencia financiera 15. TASA DE INTERÉS LEGAL De acuerdo al arto 1244 del Código Civil, la tasa de interés legal es fijada por el BCRP. Cuando deba pagarse interés, sin haberse fijado la tasa, el deudor debe abonar el interés legal. A partir del 16 de septiembre de 1992 la tasa de interés legal efectiva para las diferentes operaciones son las siguientes: I.

Moneda Nacional. a) Operaciones no sujetas al sistema de reajuste de deudas: 2 veces la TIPMN. TIPMN es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos moneda nacional, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras.

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b) Operaciones sujetas al sistema de reajuste de deudas: la tasa efectiva será calculada de forma tal que el costo efectivo de estas operaciones, incluido el reajuste, sea equivalente a la tasa señalada en el punto (a). c) Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 2 veces la TIPMN. La tasa interés legal en moneda nacional está expresada en términos efectivos mensuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano. II.

Moneda Extranjera. a) Dólares de los Estados Unidos de América: 1.2 veces la TIPMEX. La TIPMEX es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda extranjera, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras. Para el cálculo del interés legal de las monedas extranjeras distintas al dólar de los Estados Unidos de América se hará la conversión a esa moneda y se aplicará 1,2 veces la TIPMEX. b) Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1,2 veces la TIPMEX. La tasa interés legal en moneda extranjera está expresada en términos efectivos anuales será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano.

Para el cálculo de los intereses legales se aplicarán los factores acumulados correspondientes al período computable, establecido por la SBS. 16. Práctica Nro. 04 Nota: Los siguientes problemas deben ser resueltos por los estudiantes, cualquier consulta lo realizaran por correo del Docente : Tasa Nominal y Proporcional. 1. Si la TNA es del 48%, ¿cuánto es la tasa proporcional: a) mensual; b) trimestral?. Respuesta: a) TNM = 4%; b) TNT 12%. 2. Si la TNM es del 1.5%, ¿cuánto es la tasa proporcional: a) Trimestral; b) de 8 meses y c) anual? Respuesta: a) 4.5%; b) 12%; c) 18%. 3. Si la TNS es de 10%, ¿cuál es la tasa proporcional cuatrimestral? Respuesta: TNC = 6,66%. 4. ¿Cuál será la tasa proporcional de 46 días correspondiente a una TNA del 20%? Respuesta: i = 2,55 %. 5. Con los siguientes datos calcule las tasas proporcionales respectivas: Tasa Nominal Anual del 18% Semestral del 9 % Mensual del 2 % Anual del 12% De 85 días del 2,83 % De 95 días del 3 % Bimestral del 6 % Mensual del 2,5%

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Tasa Proporcional Bimestral Anual Trimestral De 85 días Anual Mensual De 45 días De 123 días

= = = = = = = =

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6.

La tasa aplicada al cálculo de un interés simple por 36 días ha sido de 2,4%, ¿cuál fue la TNA cobrada en esa operación? Compruebe la tasa con un capital supuesto. Respuesta: TNA = 24%. 7. Por un préstamo de S/. 2000 se cobró al término de 42 días un tasa de interés simple de 2,8% ¿Cuál será la tasa proporcional de 90 días? Respuesta: TNT = 6%. Tasa efectiva (n entero) 8. Calcule la TEA equivalente a una TNA del 24% capitalizable trimestralmente. Respuesta: 26.24%. 9. Calcule la TET a partir de una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Respuesta: 9.27% 10. Si la TNM es del 2% y el período de capitalización mensual, ¿cuál es la tasa efectiva: a) trimestral; b) de 8 meses y c) anuales? Respuesta: a) 6.12%; b) 17.17%; c) 26.82%. 11. Calcule la TEA que producirá una TNM del 2% que se capitaliza trimestralmente. Respuesta: TEA = 26.25%. 12. Las acciones de la compañía Omega han tenido una rentabilidad del 17% durante 15 días, calcule la rentabilidad mensual. Respuesta: 36.89%. 13. Una operación financiera produjo una tasa de rentabilidad efectiva de 1,5% en 10 días. ¿Cuál será la tasa de rentabilidad proyectada efectiva mensual? Respuesta: TEM : 4.57%. 14. Calcule la TEA que producirá un depósito de ahorro por el cual se percibe una TNA del 18% con capitalización mensual. Respuesta: TEA = 19,56% 15. ¿Cuál será la tasa efectiva ganada en un depósito a plazo pactado a una TNA del 18% con capitalización diaria durante 128 días? Respuesta: TE = 6.61% 16. ¿Calcular el monto de un depósito a plazo de S/.1000 colocado durante 6 meses en un banco que paga una TNA del 24% capitalizable diariamente. Respuesta: S/. 1127,45. 17. ¿Cuál será la TET si la TNA para los depósitos a plazo que pagan los bancos es de 24% y la frecuencia de capitalización es diaria? Respuesta: 6,18%. Tasa efectiva (n no entero) 18. Las acciones de la compañía Gamma, adquiridas el 3 de mayo y vendidas en la Bolsa de Valores de Lima el 11 de agosto, han tenido una tasa de rentabilidad del 26% durante ese período. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva anual proyectada. Respuesta: TEA = 129,79%. 19. ¿A cuánto ascenderá el cargo por intereses que debe aplicar el Banco Latinoamericano en un sobregiro de S/. 1500 otorgado del 20 al 25 de marzo a una TNA del 36 % con capitalización mensual? Respuesta: I = S/. 7,41. 20. ¿Cuánto se pagará de interés, por un crédito de S/. 2000 pactando una TNA del 36% con capitalización bimestral y cancelado el día 36? Respuesta: I = S/. 71,16. 21. Tomando como base una TNA del 24% calcule las TES si la frecuencia de capitalización es cada: 18, 22, 30, 35, 40 y 45 días. Respuesta: TES = 12,669%; 12.651%; 12.616%; 12.594%; 12.572%; 12.550%.

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22. Calcule la tasa efectiva que ganó un depósito de ahorro, desde el 3 de mayo al 8 de junio, cuya capitalización es mensual. Durante ese período la tasa mensual fue 4% hasta el 16 de mayo y a partir de esa fecha bajó al 3,5%. Respuesta: 4,43% por los 36 días. 23. ¿Con cuántas capitalizaciones una TEM del 5% se habrá convertido en una TET del 15,7625%? Respuesta: 3 capitalizaciones. Tasa equivalente. 24. Calcule la TEM a partir de una TEA del 30%. Respuesta: TEM = 2,2 1%. 25. Calcule las tasas efectivas mensuales de los créditos promocionales sujetos al sistema de reajuste de deudas, si sus respectivas TET son: 8%; 8,5% y 9%. Respuesta: TEM = 2,598%; 2,756%; 2,914%. 26. Un bono tuvo una tasa de rentabilidad efectiva anual de 800% ¿Cuál fue su tasa de rentabilidad promedio semestral? Respuesta: TES = 200%. 27. Si se concertó un crédito a 90 días pagando una TET del 8% y se canceló a los 73 días, ¿qué tasa se debe aplicar por ese período? Respuesta: . Tasa de 73 días = 6,44 135%. 28. ¿Cuánto de interés deberá pagarse por un préstamo de S/. 1000 a una TEM del 5% si el crédito sólo se utilizó durante 17 días? Respuesta: I = S/ 28,03. 29. La compañía El Sol sobregiró su cuenta corriente en S/. 3800 del 2 al 6 de septiembre. Considerando que el banco cobra una TEA del 20%, ¿cuánto será el interés de sobregiro? Respuesta: I = S/. 7,71. 30. Una empresa bancaria publica, en un diario de la capital, el siguiente aviso: "Por sus ahorros de S/. 10000 pagamos intereses de S/. 500 en un mes; S/. 1010 en dos meses; S/ 1550 en tres meses; S/. 2100 en cuatro meses". Si usted dispone de esa suma por cuatro meses, ¿qué opción escogería? Fundamente. Respuesta: Depósito mensual porque rinde una TEM del 5%. 31. Un capital fue colocado el 11 de julio y retirado el 22 de diciembre del mismo año, fecha en que se había duplicado. ¿A qué TEM fue colocado? Respuesta: TEM = 13,5184%. 32. Un paquete accionario fue comprado el 14.04 en $ 5 000 Y vendido el 28.05 en $ 5850. ¿Cuál fue su tasa de rendimiento mensual? Respuesta: 11,2987%. 33. ¿A qué TEB debe colocarse un capital para que rinda en un semestre el mismo monto que si se hubiese colocado a una TET del 15%? Respuesta: TEB = 9,76534%. Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida, dado “ i ” 34. ¿Qué tasa de descuento anual es equivalente a otra de interés efectivo del 12% anual? Respuesta: d = 10,71%. 35. ¿Qué porcentaje sobre el precio facturado se ganará en una venta si se aumenta el 50% al precio de costo? Compruebe su respuesta a través de una facturación supuesta. Respuesta: d = 33,33%. 36. ¿Cuál será la tasa mensual adelantada equivalente a una tasa vencida del 5%? Respuesta: d = 4,7619%. 37. Si la tasa “ i “ correspondiente a 26 días es del 3%, cuál será la tasa "d' para ese mismo período?

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Respuesta: d = 2,9 126%. Tasa vencida equivalente a una tasa adelantada, dado "d' 38. ¿A qué tasa de interés efectivo anual equivale una tasa adelantada del 12% anual? Respuesta: i = 13,63 %. 39. ¿Qué porcentaje se tendría que aumentar al costo de un producto para ganar el 33,33% del precio de venta? Compruebe su respuesta a través de una facturación supuesta. Respuesta: i = 50%. 40. ¿Cuál será la tasa mensual vencida equivalente a una tasa mensual adelantada del 4,761904762%? Respuesta: i = 5%. 41. Si la tasa “ d “ correspondiente a 26 días es del 2,912621359%, ¿cuál será la tasa “ i " para ese mismo período? Respuesta: i = 3%. Tasa de interés total en mora 42. Un pagaré con valor nominal de S/. 8500 que venció el 23 de marzo, fue cancelado el 4 de abril, ¿cuál es el pago total a efectuar si la TAMN es del 5% efectiva mensual, la tasa de mora es el 15% de la TAMN, los gastos de protesto ascienden a S/. 20 y los portes son S/. 5? Respuesta: S/. 8717,96. 43. La empresa Gasoil S.A. obtuvo un préstamo de S/. 20000 a una TAMN del 5% mensual para amortizarlo en 12 cuotas constantes de S/. 2256,51 cada 30 días. Si Gasoil se atrasa 2 cuotas y en la fecha de vencimiento de la tercera cuota cancela su deuda vencida, ¿cuál es el pago total que debe efectuar considerando que la tasa de interés de mora es equivalente al 15% de la TAMN? Efectúe la liquidación separando el importe de las cuotas vencidas, el interés compensatorio y el interés moratorio. Respuesta: Rp. S/. 7164,55. 44. Calcule el interés total en mora producido por una deuda bancaria de S/. 2000 vencida el 12 de abril y cancelada el 4 de mayo. La TEM compensatorio es 4% y la TEM moratoria es 0,6%. Respuesta: ITM = S/. 67,15. 45. Un pagaré de S/. 5000 descontado en el Banco Exterior venció el 3 de mayo y fue cancelado el 1 de junio; durante ese período la TEM compensatorio fue del 6% hasta el 16 de mayo y a partir de esa fecha hasta el vencimiento de la obligación disminuyó al 5%, asimismo la TEM moratoria aplicable representa el 15% de la TEM compensatoria. ¿Cuál es el interés total a pagar? Respuesta: ITM = S/. 302,53. Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares) 46. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva anual en soles de un depósito bancario en dólares. El banco paga por la moneda extranjera una TNA del 8% con capitalización mensual y se proyecta una devaluación promedio mensual del sol, del orden del 2,5%. Respuesta: TEA = 45,65%. 47. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva trimestral en soles de un depósito en dólares. El banco paga por la moneda extranjera una TNA del 8% con capitalización mensual y la devaluación promedio diaria se estima en 0,05%. Respuesta: TET = 6,7076%. 48. Si el 23 de septiembre el T.C. fue de SI. 3.40 y el 30 de septiembre del mismo año fue de SI. 3.45 y durante dicho período mantuve un depósito de $ 5000 en un banco que pagaba una TEA del 8%, a) ¿cuál fue la tasa de rentabilidad obtenida en

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moneda nacional?; b) ¿cuál sería la TEM proyectada?; e) ¿cuál es el interés ganado en ME? 49. El 2 de marzo Expreso Continental invirtió SI. 12 000 comprando dólares norteamericanos a un tipo de cambio de S/ 3.40; importe que colocó en el Banco Nacional ganando una TEA del 8%. El 25 de marzo canceló su cuenta y efectuó la venta de la moneda extranjera a un tipo de cambio de S/. 3.48. a) ¿Cuál fue la tasa de rentabilidad del período en moneda nacional?; b) ¿Cuál fue la tasa de rentabilidad proyectada del mes?; e) compruebe la tasa de rentabilidad en MN obtenida en el período. 50. Efectúe nuevamente el problema anterior asumiendo que el 25 de marzo el tipo de cambio fue de S/. 3.45. Inflación. 51. Si la inflación de enero, febrero y marzo ha sido del 3% en cada mes, ¿cuánto es la inflación acumulada del trimestre? Respuesta: f = 9,2727%. 52. En abril y mayo se registró una inflación del 3,25% y 4,56% respectivamente, cuanto se acumuló en el bimestre? Respuesta: f = 7,9582%. 53. En junio, julio y agosto las inflaciones fueron de 2,8%, 3,2% y 3,9%. Con esa información: a) calcule la inflación promedio mensual; b) proyecte la inflación para el mes de septiembre; e) calcule la inflación que se acumularía en el cuatrimestre junio - septiembre. Respuesta: a) 3,299%; b) 3,299%; e) 13,8635%. 54. La empresa Apoyo S.A. ha informado que durante los primeros cinco días del mes de abril se registró una inflación de 0,75%, ¿qué inflación se acumularía en ese mes? Respuesta: f = 4,5852%. 55. Habiéndose acumulado 40% de inflación en el período enero-octubre y siendo objetivo del gobierno no superar el 50% anual, ¿cuál sería la inflación promedio mensual que debería ocurrir en el bimestre noviembre-diciembre para llegar a ese límite? Respuesta: 3,5098% de inflación mensual. 56. En el plan presentado por el gobierno peruano al FMI se estableció como meta para el año 2003 una inflación del 27%. El 16 de enero de ese año, la empresa Apoyo S.A. informó que la inflación registrada en la primera quincena de enero fue del 3,4%. Con esa información: a) proyecte la inflación del año 93; b) en lo que resta del año ¿cuánto de inflación se podrá acumular para llegar al 27% anual?; c) cuál será la inflación promedio quincenal que a partir del 16 de enero se tendría que acumular para cumplir con el compromiso del FMI?. Respuesta: a) 123,0965%; b) 22,8239%; c) 0,897842% quincenal. 57. ¿Qué tasa de inflación mensual se produjo durante 24 meses, si en ese mismo período el nivel general de los precios se duplicó? Respuesta: f = 2.93% mensual.

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