Álgebra Moderna I Unidad 2 Evidencia de Aprendizaje
GRUPOS DE PERMUTACIONES Y GRUPOS COCIENTE
27 de noviembre de 2015 Autor: Laura Pontón
Unidad 2 Evidencia de Aprendizaje i.- 7.10 Un isomorfismo de un grupo con él mismo es un automorfismo del grupo. ¿Cuántos automorfismos hay de
, de
de
de Z y de
?
ℤ 1 ℤ ∀∈ℤ ⟹=∙ 1 =0,1,⋯,1 = 1⏟ 1 ⋯1 ℤ ℤ ̅ = ̅ == ) = ⏟1 1 ⋯ 1 = ∙ 1 (1⏟ 1 ⋯1 1 ℤ ∴ Para demostrar primero resulta que generador de Entonces
tiene n endomorfismos, siendo que si es el elemento
|
pero el elemento z también se puede poner
Definimos entonces una aplicación
y como
|
puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) por lo que entonces habrá endomorfismos
Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen como generadores tenga el grupo
habrá tantos automorfismos
Entonces
ℤ
1
un grupo cíclico generado por el elemento , tal que Para el grupo , resulta que es un cualquiera de sus elementos puede escribirse:
∈ ℤ ⟹=∙1 |=0,1 ∴ ℤ el orden de
es 2
Por lo que en general se puede decir que un elemento x que pertenece a un grupo G engendra al grupo si el máximo común divisor de dicho elemento y el orden del grupo es 1.
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1
∴ = ℤ ⟹... ⟹... 2,2, =1⟹= =1⟹= 1 1 ℤ
Por lo que
es el único elemento que genera el grupo
De aquí procedemos de la misma manera para todos los grupos tal que: Para el grupo
ℤ
∈ ℤ ⟹=∙1 |=0,1,⋯,5 ∴ ℤ ∴ el orden de
es 6
= ℤ ⟹... 6,1 =1⟹={1, 5} Por lo que estos son los dos elementos que generan el grupo
Para el grupo
ℤ
∈ ℤ ⟹=∙1 |=0,1,⋯,7 ∴ ℤ ∴ = ℤ ⟹... ⟹... 8,8, =1⟹={1, 3, 5, 7} el orden de
ℤ
es 8
Por lo que estos son los cuatro elementos que generan el grupo
Para el grupo
ℤ
ℤ
Simplemente es 1 y -1 eso ya lo habíamos demostrado en la Unidad 1 Acti vidad 2 Ejercicio 3.4 Tal que:
=<,> <,>=, 〈1〉 = 1 ==0 11 ==11=2 1 1. = 1 1=21=3
Tal que
. .
Ahora con los negativos
= 1 11−− == 11 =1 1 =1 1 1 = 2 − 1 = 1 1 = 1 1 1 1 = 22 1 1 = 3 〈1〉 = 〈1〉 = ℤ ∈ ℤ ⟹=∙1|=0,1,⋯,16 ∴ ℤ ∴ = ℤ ⟹... 17, =1⟹={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,12, 13, 14 ,15,16} ... Entonces si es un grupo cíclico ya que el generador de este grupo es
y
Para el grupo
el orden de
es 17
ℤ
porque cualquier elemento de genera al grupo, tal que los elementos que generan al grupo son aquellos que sean primos relativos con 17 porque si fuera el caso de que existieran elementos que no lo generaran, entonces colapsarían al neutro al multiplicarse por sí mismos un números de veces menor al orden del grupo ¿Cuántos automorfismos hay de
, de
de
∴
de Z y de
?
5 1 0 2 / 1 1 / 7 2 | I a n r e d o M a r b e g l Á
2
1 , 5} {1 {11, 3,5, 17} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,12, 13, 14 ,15,16}
ℤℤ ℤℤ
es el único elemento que genera el grupo son los 2 elementos que generan generan el grupo son los 4 elementos que generan el grupo son los 2 elementos que generan el grupo son los 16 elementos que generan el grupo
ℤ
ii.-Sea G un grupo. Sea H el subconjunto de G que consta de la identidad y de todos los elementos de G de orden 2. ¿Es H un subgrupo? No¿por No¿por qué?. Bueno eso depende, depende, porque porque la hipótesis no lo menciona, entonces entonces supongamos supongamos que G es es abeliano pues tendríamos tendríamos que: Ya sabemos que para que H sea subgrupo de G deberá cumplir las siguientes condiciones :
∅
(1) H ≠ lo cual es cierto, dado que por hipótesis consta de todos los elementos de G de orden 2 Tomando los criterios en desorden para plantear adecuadamente el problema, por hipótesis se nos dice que consta de la identidad eso eso significa que e H por lo que se cumple el criterio de la identidad Entonces, retomando que consta de todos los elementos de G de orden 2 , digamos que H
∈
, ∈ ⟹ = =
esto se sigue porque es abeliano por lo que cumple con el criterio de cerradura Ahora, como entonces también ab H sabemos que H es cerrado bajo la operación de grupo. Por último para cumplir cumplir con el criterio de los inversos inversos tenemos que cuando decimos que
2 = = == 1== ∈ ∴ ∎
implica que tiene un inverso tal que
Obviamente lo mismo ocurre para b |
ϵ∴
∀ ∈ 1 = ∈
=
implica que tiene un inverso tal que
Cumpliendo todos los criterios antes mencionados en el Teorema denominado 2.3.1. sabemos que H es un subgrupo 5 1 0 2 / 1 1 / 7 2 | I a n r e d o M a r b e g l Á
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Pero no todo es tan t an bello para ser cierto , ya que si H es abeliano , eso no implica que G sea abeliano
Si G es abeliano, ¿entonces H es un subgrupo?, ¿por qué?. Si G es abeliano, H es subgrupo Si G no es abeliano, entonces H no necesariamente necesariamente es subgrupo
ii) En el caso en que G no es abeliano, ¿cómo sabe que H consta de sólo estos elementos?. Recuerde que H consta de todos los elementos que cumplen la propiedad .
que busque un grupo que no En este caso, en el que no es abeliano, le sugiero ampliamente que busque es abeliano tal que el conjunto H no es un subgrupo. 0.75 puntos.
CORRECCIÓN
2 ∗ = ∗ ∗∗∗= ====
bueno, si a es elemento elemento de orden orden con e la identidad entonces por lo que e está en H luego, si a y b son de orden 2 y están en H, hay que ver si está en H
∗=
di G fuera abeliano, entonces y por tanto si pertenece a H pero si G no es abeliano, no veo como abab sea igual e, por tanto H no necesariamente es subgrupo de G
=1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 1,22,3 = 1,2,3 ∎
Considerando el grupo simétrico de orden 4, , que es el grupo de las permutaciones permutaciones de 4 elementos. Escritos en notación de ciclos los elementos de orden dos son Pero el elemento
no tiene orden 2
Si G es abeliano, ¿entonces H es un subgrupo?, ¿por qué?. Si G es abeliano, H es subgrupo Si G no es abeliano, entonces H no necesariamente necesariamente es subgrupo
iii.- Encuentre los coeficientes de torsión y el número de Betti del grupo
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ.
Por el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, e l número de Betti es el número de factores Z. En nuestro caso es 3.
ℤ ℤ
Los coeficientes de torsión son los números isomorfo al subgrupo de torsión T y donde Como el producto directo de dos grupos
ℤ+ ℤ ······ ℤ ℤ , = 1
del grupo divide a
es isomorfo a
que es
si m.c.d
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Como
= ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ Ahora se descompone cada orden como producto de factores primos, pero con los exponentes ya operados Por lo que se obtienen isomorfismos a grupos formados por productos directos
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ
si es potencia de primo así se queda, sólo los que sean productos de dos o más primos diferentes se separan.
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ T es isomorfo a
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ
Al ordenar los números números por renglones, renglones, cada renglón para cada cada primo, puestos en orden creciente y alineados alineados por la derecha. derecha. Tenemos a todos y cada uno de ellos. 2
4
8
3
3
9
5
5
Considerando entonces entonces las columnas y en cada una se realiza el producto. Esos son entonces entonces los coeficientes coeficientes de torsión. torsión.
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5
= 6 ⟹ = 60 ⟹ =360
∙ ∙⟹
En la columna 1 tenemos 2 3
En la columna 2 tenemos 4.3.5
En la columna 3 tenemos 8.9.5
Por lo que teóricamente estamos reordenando reordenando los grupos tal que T isomorfo a
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ
Por lo que los que se encuentran juntos con m.c.d = 1 son isomorfos isomorfos al grupo cíclico de orden el producto producto de los órdenes T isomorfo a
ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ
isomorfo a
ℤ ℤ ℤ
Número de Betty = 3 Coeficientes de torsión = 6,60,360 CORRECCIÓN
iv.- Sin usar el concepto de subgrupo normal, demuestre que todo grupo de orden primo es abeliano. Siento que podemos demostrarla demostrarla de manera muy simple sin usar el concepto concepto de subgrupo normal:
Sea que por hipótesis tenemos un grupo de orden primo, al ser de orden primo G≠{1} y como es de orden primo es finito, luego se sigue que por el Teorema de Lagrange, entonces, el orden de un subgrupo divide al orden del grupo, y por el inciso iv de la proposición 2, sabemos que no tiene subgrupos porque es de orden primo y no tiene subgrupos diferentes de los triviales, de aquí se s e sigue entonces que es ciclico y como por la proposición 2 i) al ser cíclico es abeliano.
∎
Ahora también podemos podemos plantearlo plantearlo de esta manera: manera: no es exactamente exactamente usando usando el concepto concepto de subgrupo normal, aunque un poco, porque porque es usando el concepto del del centro de G, G, y puede plantearse plantearse así:
(Zaldivar, 2006) Si G fuera no abeliano, ,
⟹ ≠ 1⟹ = ∴ / ∴
⟹⟹≠ ∎
9.10 de Zaldivar y de acuerdo al lema 9.10 de 9.9 de Zaldivar tiene orden p de acuerdo al lema 9.9 de
es cíclico
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v.- Sean H y K subgrupos normales de un grupo G. Si H es isomorfo a K, ¿entonces G/H es isomorfo a G/K?, G/K?, ¿por qué?. Veámoslo de esta manera si podemos aplicar el tercer teorema de de isomorfismos.
⊆⊆
Por el siguiente teorema:
Si por hipótesis tenemos que H y K son subgrupos normales en G y supongamos entonces que
⁄ ⁄⊆ ⊆ á ⇒ ⊲ ⊲ ⇒ ⊆ ⁄ ⁄ á ú ú | : : → : : = ⁄==⊲⁄⁄∴ ⟹ ⁄⁄⁄
, está bien definida por el simple hecho de ser biyectiva, es un homomorfismo y además pues es suprayectiva y el núcleo de es y como
ϕ ker= ∈⁄ | ∈
es suprayectiva por el primer teorema de
isomorfismo de Noether que dice:
⁄⁄⁄ = ⁄/ ≃ = ⁄ ∴ ≃ ∎
Tenemos que Eso comprueba que efectivamente si H y K son subgrupos normales de un grupo G K G/H G/K
⟹≃ H
v) Lamentablementee si le voy a decir lo que usted supuso que le iba a decir. Lo Lamentablement que pasa es que por ejemplo, en Z2xZ2 se tiene que {0}xZ2 es isomorfo a Z2x{0},pero no puede suponer que uno está contenido en el otro. 5 1 0 2 / 1 1 / 7 2 | I a n r e d o M a r b e g l Á
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Además, usted concluye que (G/H)/(K/H) isomorfo G/K, pero lo que aquí se pregunta es si G/H es isomorfo a G/K. Le voy a dar una sugerencia. La respuesta es no. Así que encuentre un ejemplo en el que H es isomorfo a K pero G/H y G/K no son isomorfos. 0 puntos. CORRECCIÓN
La respuesta es no y aquí tenemos el ejemplo. Sea (enteros múltiplos de 2) y (enteros múltiplos de 3) Ambos son normales por ser subgrupos de un grupo abeliano. Veamos que 2Z y 3Z son isomorfos
= ,, = 22
= 33
Sea a un elemento de 2Z, puede denotarse como 2n con n € Z, entonces definimos el isomorfismo
: 22 ⟹⟹ 33 = 2 = 2 = ⟹∀ 3 = 33⟹∈ 3= ⟹ 22= 2∈2⟹ 2=3 = 22 = 2 = 3 22 = 33 = 3 ⟹ 22 = 22 /2 ∈2 – ∈ 2 /2 ∈ /2 /3 ∈ 31 ∈ 32. /3 3 Es inyectivo, sea si Es sobreyectivo, sobreyectivo, elemento Es homomorfismo,
,
tenemos a
|
Y por ser un homomorfismo inyectivo y sobreyectivo ( o en otras palabras, monomorfismo y epimorfismo) entonces es un isomorfismo. isomorfismo.
Y ahora el grupo cociente está formado por las clases de elementos relacionados por Si n es impar todo m impar cumple , luego los impares es una clase de Si n es par todo m par cumple n-m 2Z, luego los pares son otra clase de Z/2Z Y ya está partido todo Z con esas dos clases, tiene 2 elementos Mientras que el grupo tiene tres elementos. Una las de los elementos 3n con n Z, otra la de los elementos
con n Z y otra la de los elementos
Luego el orden de Y teniendo orden distinto es imposible establecer un isomorfismo entre ellos.
Y ahí está: Hemos tomado dos grupos normales de un grupo que eran isomorfos y los grupos cociente generados no son isomorfos, tal como queríamos demostrar .
∎
Referencias Bibliográficas Zaldivar, F (2006) Introducción a la Teoría de Grupos. Sociedad Matemática Mexicana. México. Extraído de: http://www.matematicas ypoesia.com.es/Probvarios/probTG ypoesia.com.es/Probvarios/probTGR104.htm R104.htm 06/12/15 Extraído de: http://departamento.us.es/da/planantiguo/notas-ant/algebra/t10.pdf 06/12/15 Extraído de: http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/ma31a/05/apunte.pdf 06/12/15 Extraído de: http://www.math.toronto.edu/agraboso/files/TGrup.pdf 06/12/15 Extraído de: http://www.dm.uba.ar/materias/algebra_2/2009/1/Algebra2.pdf 06/12/15 Extraído de: http://sociedadmatematicamexicana.org.mx/SEPA/ECMS/resumen/P1TE10_1.pdf http://sociedadmatematicamexicana.org.mx/SEPA/ECMS/resumen/P1TE10 _1.pdf 06/12/15 Extraído de: http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/1 http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/15899/2/isomorfismos.pdf 5899/2/isomorfismos.pdf 06/12/15 Extraído de: http://www.ual.es/personal/jperalta/grupos.pdf 06/12/15 Extraído de: https://foones.wordpress.com/2013/01/11 https://foones.wordpress.com/2013/01/11/teoremas-de-isomorfismo/06/12/15 /teoremas-de-isomorfismo/06/12/15 Extraído de: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/dragan/licenc/algI-0708-prob-res.pdf 06/12/15
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