Álgebra Moderna I Unidad 1 Actividad 3
PROPIEDADES PROPIED ADES DE DE LOS GRUPOS GRUPOS C CLICOS 1 de noviembre de 2015 Autor: Laura Pontón
Unidad 1 Actividad 3 Ejecicio 5.2 Exprésese cada una de las siguientes permutaciones permutaciones {1,2,3,4,5,6,7,8} como producto de ciclos ajenos y después como producto de transposiciones.
a)
Tal como lo explica Fraleigh en la página 50 del libro tenemos que: Para escribir como ciclos ajenos tenemos que: El uno va al ocho, el ocho va al uno produciendo el primer ciclo (1,8). El 2 permanece fijo por lo que no se le considera, luego el tres va al seis, el seis al cuatro y el cuatro al tres, es decir (3,4,6) y finalmente el cinco va al siete y el siete al cinco, lo que produce el ciclo (5,7), y siendo que la multiplicación de ciclos ajenos es conmutativa, no siendo importante el orden de los factores, entonces queda:
18 22 36 43 57 64 75 81 = (1,8)( 1,8)(3,4,6 3,4,6))(5,7) El producto de transposiciones tal como lo expone Fraleigh en el ejemplo 5.4 de la página 51, tenemos que:
(1,8)( )(5,7 )(3,6 )(5,7 1,8)(3,4,6 3,4,6)( 5,7)) (1,8)( 1,8)(3,4 3,4)( 3,6)( 5,7)) Siendo que cualquier re-arreglo de n objetos se puede conseguir intercambiando intercambiando sucesivamente pares de ellos.
Ejecicio 5.4 ¿Cuáles de las permutac permutaciones iones en del ejemplo 4.1 son permutaciones pares? Obténgase la tabla para el grupo alternante
5 1 0 2 / 1 1 / 1 0 | I a n r e d o M a r b e g l Á
1
.
Entonces en el ejercicio 5.4. tenemos las siguientes permutaciones en
= ¿Cuántas transposiciones necesitas para transformar la permutación en la identidad?, entonces, para la identidad es trivial que se necesitan 0 transposiciones transposiciones . Entonces esta es la permutación identidad y no se puede descomponer la permutación en p ciclos la permutación, eso significa que el decremento es cero (0) entonces si tiene signo y es uno (1), entonces es par.
= φ
Representando en forma cíclica (es decir como un producto de ciclos disjuntos):
= (1,2,3) Las longitudes de los ciclos son 3 por eso el decremento de φ es () = (3 1) = 2 El sentido del decremento es el número mínimo de factores necesarios si deseamos descomponer la permutación en un producto de transposiciones. Para calcular el signo de
φ: ( () =(1) = 1
Por lo que esta permutación es par.
= φ
Representando en forma cíclica (es decir como un producto de ciclos disjuntos):
= (1,3,2) Las longitudes de los ciclos son s on 3 por eso el decremento de φ es () = (3 1) = 2 El sentido del decremento es el número mínimo de factores necesarios si deseamos descomponer la permutación en un producto de transposiciones. Para calcular el signo de
φ: ( () =(1) = 1
Por lo que esta permutación es par.
5 1 0 2 / 1 1 / 1 0 | I a n r e d o M a r b e g l Á
2
= 11 23 32 φ
Representando en forma cíclica (es decir como un producto de ciclos disjuntos):
= (1)(2,3) Las longitudes de los ciclos son 1,2, por eso el decremento de φ es () = (1 1) (2 1) = 0 1 = 1 El sentido del decremento es el número mínimo de factores necesarios si deseamos descomponer la permutación en un producto de transposiciones. Para calcular el signo de
φ: ( () =(1) = 1
Por lo que esta permutación es impar.
= φ
Representando en forma cíclica (es decir como un producto de ciclos disjuntos):
= (1,3)(2) Las longitudes de los ciclos son 2,1, por eso el decremento de φ es () = (2 1) (1 1) = 1 0 = 1 El sentido del decremento es el número mínimo de factores necesarios si deseamos descomponer la permutación en un producto de transposiciones. Para calcular el signo de
φ: ( () =(1) = 1
Por lo que esta permutación es impar.
= 5 1 0 2 / 1 1 / 1 0 | I a n r e d o M a r b e g l Á
3
φ
Representando en forma cíclica (es decir como un producto de ciclos disjuntos):
= (1,2)(3) Las longitudes de los ciclos son 2,1, por eso el decremento de φ es () = (2 1) (1 1) = 1 0 = 1 El sentido del decremento es el número mínimo de factores necesarios si deseamos descomponer descomponer la permutación permutación en un producto de transposiciones. Para calcular el signo de
φ:
( () =(1) = 1 Por lo que esta permutación es impar. Por lo que respondiendo a la pregunta de que cuáles de las permutaciones en permutaciones pares
= = = Obténgase la tabla para el grupo alternante
del ejemplo 4.1 son
Definición El subgrupo de que consta de las permutaciones pares de n letras es el grupo alternante An de n letras.
Tabla de grupo para ( , )
∙
(1)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(1)
(1)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(1,2,3)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1)
(2,3)
(1,2)
(1,3)
(1,3,2)
(1,3,2)
(1)
(1,2,3)
(1,3)
(2,3)
(1,2)
(1,2)
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(1)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1,3)
(1,3)
(2,3)
(1,2)
(1,3,2)
(1)
(1,2,3)
(2,3)
(2,3)
(1,2)
(1,3)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1)
El subgrupo marcado es el grupo permutaciones permutaciones que son pares.
denominado grupo alternante , que consiste únicamente de todas las
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Ejercicio 6.4 Para cada uno de los siguientes grupos, encuéntrese todos los subgrupos y elabórese el diagrama reticular.
a) Entonces por el Teorema de Lagrange, que dice que si G es un grupo finito entonces el orden de cualquier subgrupo de G divide el orden de G. por lo que el orden de un subgrupo de
tiene que ser un divisor de 12
= 1 2 sus divisores son 12| 12|1 2 = 1, 12| 12|2 = 6, 12| 12|4 = 3, 12| 12|6 = 2, 12| 12|3 = 4 ̅ 〉 = {0}, = 〈6̅ 〉, = 〈4̅ 〉, = 〈3̅ 〉, = 〈2̅ 〉 Por lo que : = 〈12 Por lo que si calculamos calculamos que
ℤ 〈3〉
〈2〉
〈6〉
〈4〉 {0}
b)
= 3 6 sus divisores son 36| 36|3 6 = 1, 36| 36|2 = 1 8, 36| 36|3 = 12 ,36 ,36|4 = 9, 36| 36|6 = 6, 36| 36|9 = 4, 36| 36|1 2 = 3, 36| 36|1 8 = 2 ̅ 〉 = {0} , = 〈18 ̅ 〉, = 〈12 ̅ 〉, = 〈9̅ 〉, = 〈6̅ 〉, = 〈4̅ 〉, = 〈3̅ 〉, = Por lo que = 〈36 〈2̅ 〉 ℤ Por lo que si calculamos que
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5
〈3〉 〈9〉
〈2〉 〈6〉
〈18〉 18〉
〈4〉 〈12〉 12〉
{0}
8|8 = 1, 8|4 = 2, 8|2 = 4 ̅ 〉 = {0} , = 〈4〉, = 〈2̅ 〉 Por lo que = 〈8 c)
ℤ 〈2〉 〈4〉 {0} Ejercicio 6.12. Sea p un número primo, Encuéntrese el número de generadores del grupo cíclico ℤ donde r es un entero
≥ 1.
Proposición 1.2.5 Todo grupo finito de orden primo es cíclico y cada elemento diferente del neutro genera el grupo.
Si |G| es divisible por un número primo q distinto de p, entonces, por la definición 8.3 vemos 8.3 vemos que G posee un qsubgrupo H no trivial, que entonces por la definición 8.2 posee 8.2 posee un centro Z(H) no trivial, que a su vez, en vista de la proposición 8.1, posee elementos de orden q. Esto es imposible si G es un p-grupo. Esto prueba la necesidad de la condición. Para ver la suficiencia, supongamos que G tiene orden p r para algún r N y sea g G. Como |g| | |G|, es claro que |g| es una potencia de p.
∈
∈
Así, G es un p-grupo
| | =
1
Es decir que si G es un grupo de orden primo tiene generadores si, probamos que el grupo cíclico ℤ no es de orden primo, entonces se aplica dicha proposición directamente. Tal que para el grupo ℤ sería el grupo aditivo de enteros módulo o sea, dado p primo, y r un natural por que es 1, entonces los elementos serían {0, 1, 2,...(
≥
− ) }
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y tiene entonces − elementos, entonces este sería su orden Como − es el número de elementos diferentes de la identidad, i.e. diferentes al 0 y los elementos del grupo son {0,1,2,... − } Siendo los enteros menores a que son primos relativos a , entonces es claro que son los que no son múltiplos de p, pues entonces los dividiría otro entero a parte parte de la unidad, entonces si hay un elemento que es múltiplo de p, digamos np, este divide a dandonos ( − )/n Ahora, el grupo tiene elementos, pues es el grupo aditivo de los enteros con ese módulo, en donde el elemento resulta ser 0, entonces, hay ( − enteros diferentes al neutro, por eso son los enteros no múltiplos de p menores a Por lo que siendo que los enteros positivos menores y primos relativos a son aquellos que no son − múltiplos de p múltiplos de p menores que Sea ( 1) − 1 = − = − () + < y primos relativos a ,porque si tienes un múltiplo múltiplo de p este este elemento no genera a todo el grupo, cuenta los menores a (que son elementos del grupo) y primos relativos a para que no se repitan y son todos los que no son múltiplos de p El número de generadores es
⟹∃ 1 ℤ ⟹
)1
ℤ
⟹
− ( 1) = 2 1 (2 1) = 1 ∗ 1 = 1
⟹
Bibliografía: Villalpando, J. Matemáticas Discretas: Aplicaciones y Ejercicios http://webdelprofesor.ula.v http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lic e/ciencias/lico/Libros/lico_al o/Libros/lico_algebra.pdf gebra.pdf http://webdelprofesor.ula.v http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lic e/ciencias/lico/algebralineal/d o/algebralineal/detreminan.htm etreminan.htm
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