Algebra LIneal Evidencia de Aprendizaje Unidad 2
GAUSS JORDAN 9 de mayo de 2014
Algebra LIneal Evidencia de Aprendizaje Unidad 2 Representación del Problema Instrucciones: Lee el problema que se te presenta a continuación y realiza lo que se te pide: Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico. Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor. Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas: 1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.
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2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.
1
Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.
1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss.
Realiza lo siguiente: 1. A partir del análisis que realizaste del problema y de lo comentado en el foro Planteamiento del problema, efectúen lo siguiente: • Construyan un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema y representen el sistema mediante su forma matricial. 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4.5 4𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 12 &𝑥 + 9𝑦 + 7𝑧 = 𝑥 2 2 4 6 6 9
1 3 7
2 4 6
2 1 6 3 9 7
4.5 12 𝑥
Con una matriz aumentada 4.5 12 𝑥
Ahora, utilizando la regla de Crammer para x,y,yz 2 2 4 6 6 9
1 3 7
(84 + 36 + 36) − (36 + 54 + 56) = 156 − 146 = 10 4.5 2 12 6 𝑥 9
1 3 7
2 4 6
4.5 1 12 3 𝑥 7
(168 + 4𝑥 + 81) − (72 + 6𝑥 + 126) = (249 + 4𝑥 − 198 − 6𝑥) = 51 − 2𝑥 2 2 4 6 6 9
1 3 7
(84 + 36 + 36) − (36 + 54 + 56) = 156 − 146 = 10
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(189 + 6𝑥 + 108) − (6𝑥 + 121.5 + 168) = (297 − 289.5) = 7.5
2
∴𝑥=
7.5 = 0.75, 10
𝑦 = 51 − 2𝑥,
𝑧 = 10/10
MÉTODO DE GAUSS 2𝑆1 + 2𝑆2 + 1𝑆3 = 4.5𝑙 4𝑆1 + 6𝑆2 + 3𝑆3 = 12𝑙 6𝑆1 + 9𝑆2 + 7𝑆3 = 𝑚 Representación Matricial
1 𝑆1 4.5 3 ∗ 𝑆2 = 12 7 𝑆3 m
2 2 4 6 6 9
2 4 6
2 6 9
1 4.5 3 12 7 𝑚
2 4 6
2 6 9
1 4.5 3 12 7 𝑚
Resolución por medio de Gauss
Resolver la matriz por el método de Gauss implica reducir la matriz por medio de operaciones por renglón hasta el punto de obtener una matriz triangular superior.
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PASO 1 Multiplicar el renglón UNO por -2 y sumarlo al renglón DOS y colocar el resultado en el renglón DOS.
3
2 0 6
2 2 9
1 4.5 1 3 7 𝑚
PASO 2 Multiplicar el renglón UNO por 1/2 y colocar el resultado en el renglón UNO
1 1 0 2 6 9
1 2.25 2 3 1 𝑚 7
PASO 3 Multiplicar POR -6 el renglón UNO y sumarle el renglón TRES, colocando el resultado en el renglón TRES 1 1 0 2 0 3
1 2
2.25 3 1 𝑚 − 13.5 4
PASO 4 Multiplicar el renglón DOS por 1/2 y colocar el resultado en el renglón DOS 1 1 0 1 0 3
1 2 1 2
4
2.25 1.5 𝑚 − 13.5
PASO 5 Multiplicar el renglón DOS por -3 y sumarle el renglón TRES, colocando el resultado correspondiente en el renglón TRES 1 2 2.25 1 1.5 2 𝑚 − 18 5 2
1 1 0 1 0 0
PASO 6 Para obtener los tres UNO´S en la diagonal principal es necesario multiplicar el renglón 3 por 2/5 1
1
0
1
0
0
1 2.25 2 1.5 1 2 2 5 𝑚 − 7.2 1
Ahora asociaremos filas y columnas 𝑥1 + 𝑥2 +
1 𝑥 = 1.5 2 3
2 𝑥3 = 𝑚 − 7.2 5 Despejamos para obtener los valores de las incógnitas 2 𝑥3 = 𝑚 − 7.2 5
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𝑥2 +
1 𝑥 = 2.25 2 3
4
𝑥2 = 1.5 −
1 2 ( 𝑚 2 5
− 7.2) = 1.5 −
𝑥1 = 2.25 − 5.1 +
2 10
+ 3.6= 5.1 −
2 𝑚 10
2 1 2 2 2 𝑚 − ( 𝑚 − 7.2) = −2.85 + − + 3.6 = 0.75 10 2 5 10𝑚 10𝑚
Sustitución de incógnitas en las ecuaciones
2𝑆1 + 2𝑆2 + 1𝑆3 = 4.5𝑙 4𝑆1 + 6𝑆2 + 3𝑆3 = 12𝑙 6𝑆1 + 9𝑆2 + 7𝑆3 = 4.5𝑙
2(0.75) + 2𝑥2 + 𝑥3 = 4.5 1.5 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 4.5 2𝑥2 + 𝑥3 = 4.5 − 1.5 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
4𝑥1 + 6𝑥2 + 3𝑥3 = 12 4(0.75) + 6𝑥2 + 3𝑥3 = 12 6𝑥2 + 3𝑥3 = 12 − 3 6𝑥2 + 3𝑥3 = 9 ∴ 𝑥2 𝑦 𝑥3 = 1 2. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia Tendremos que sustituir los valores de X en la ecuación 3
6(0.75) + 9 (1) + 7 (1) = m
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m = 4.5 + 9 + 7
5
m = 20.5L
Es decir, que 20.5 L es el valor que se vierte en la prueba final del accidente que es el total de la sustancia final. 3. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema
Para comprobar que los resultados anteriores son correctos sustituiremos m en la ecuación x 1, x2, x3 X1= -2.85 +2/10(20.5) -2/10(20.5) +3.6 X1= -2.85 +4.1 – 4.1+3.6 X1= 0.75
X2= 5.1 -2/10 m X2= 5.1 -2/10 (20.5) X2= 5.1 – 4.1 X2= 1 X3 = 2/5 m – 7.2 X3 = 2/5 (20.5) – 7.2 X3 = 8.2 – 7.2 X3 = 1
.Ahora, la sustitución consiste en que los resultados sean colocados en el sistema de ecuaciones lineales
2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L 2(0.75) + 2(1) + (1)= 4.5 1.5 + 2 + 1= 4.5 4.5=4.5 4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L 4(0.75) + 6(1)+ 3(1)= 12 3 + 6 + 3= 12 12= 12
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6s1 + 9s2 + 7s3 = m 6(0.75) + 9(1) + 7(1) = 20.5 4.5 + 9 + 7= 20.5 20.5=20.5
6
• Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.
MÉTODO GAUSS JORDAN SISTEMA DE ECUACIONES 2𝑆1 + 2𝑆2 + 1𝑆3 = 4.5𝑙 4𝑆1 + 6𝑆2 + 3𝑆3 = 12𝑙 6𝑆1 + 9𝑆2 + 7𝑆3 = 𝑚
Representación Matricial
1 𝑆1 4.5 3 ∗ 𝑆2 = 12 7 𝑆3 m
2 2 4 6 6 9
2 4 6
2 6 9
1 4.5 3 12 7 𝑚
Resolución por medio de Gauss- Jordan con el valor para m=20.5
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2 2 4 6 6 9
7
1 4.5 3 12 7 20.5
PASO 1 Multiplicar el renglón UNO por -2 y sumarlo al renglón DOS y colocar el resultado en el renglón DOS. 2 2 0 2 6 9
1 4.5 1 3 7 20.5
PASO 2 Multiplicar el renglón UNO por 1/2 y colocar el resultado en el renglón UNO
1 1 0 2 6 9
1 2.25 2 3 1 20.5 7
PASO 3 Multiplicar POR -6 el renglón UNO y sumarle el renglón TRES, colocando el resultado en el renglón TRES 1 1 0 2 0 3
1 2.25 2 3 1 7 4
PASO 4 Multiplicar el renglón DOS por 1/2 y colocar el resultado en el renglón DOS 1 1 0 1 0 3
1 2 1 2
4
2.25 1.5 7
PASO 5 Multiplicar el renglón DOS por -3 y sumarle el renglón TRES, colocando el resultado correspondiente en el renglón TRES 1 1 0 1 0 0
1 2 1 2.25 1.5 2 2.5 5 2
PASO 6 Para obtener los tres UNO´S en la diagonal principal es necesario multiplicar el renglón 3 por 2/5
0 1 0 0
1 2 2.25 1 1.5 1 2 1
PASO 7 Al renglón UNO restarle el renglón DOS y colocar el resultado en el renglón UNO 1 1 0 1 0 0
0 1 0.75 1.5 2 1 1
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1 1
8
Paso 8 Multiplicar el renglón TRES por ½ y restarlo al renglón DOS y colocar el resultado en el renglón DOS
1 0 0 1 0 0
0 0.75 0 1 1 1
De esta forma sabemos que la cantidad en litros usada en cada vaso de sustancia es: S1= 0.75L S2= 1L S3= 1L
• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación. 2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5L 2(0.75) + 2(1) + 1(1) = 4.5 1.5 + 2 + 1 =4.5 4.5 = 4.5
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4s1 + 6s2 + 3s3 = 12L 4(0.75) + 6(1) + 3 (1) = 12 3 + 6 + 3 = 12 12 = 12
9
6s1 + 9s2 + 7s3 = 20.5 6(0.75) + 9(1) + 7(1) = 20.5 4.5 + 9 + 7 = 20.5 20.5 = 20.5
2. Lee el planteamiento del siguiente problema: Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.
En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².
Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.
Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos. • ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales? • ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron?
Lo primero que se debe realizar en este problema es saber cuál es el costo de los materiales para 1 m2. Esto se puede determinar con una regla de tres: 40m2 = $1,220.00 1m2 = z
Z= 1m2 ($1220.00) / 40m2 Algebra LIneal | 09/05/2014
Z= $ 30.5
10
1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema. Para la construcción del sistema de ecuaciones, primero es necesario asignar una literal a cada uno de los materiales que se utilizaron para elaborar el impermeabilizante natural.
Calidra= x1 Cemento blanco= x2 Pega azulejo= x3 Arena gris= x4 Barra de jabón= x5 = $ 9.00 Alumbre en piedra= x6 Pieza de nopal= x7 = $ 1.00
Ecuación. 1 Para 1 m2 ½ x1 + ½ x2 + ⅓ x3 + ½ x4 + ⅔ x5 + 1/6 x6 + ½ x7 = $ 30.5 Ecuación 2 Para la biblioteca 40 80 20 x3 + 20 x4 + x5 + x + 20 x7 = $1,220.00 3 3 3 6
20 x1 + 20x2 +
Ecuación. 3 Para la dirección 35 2
x1 +
35 x 2 2
+
35 3
x3 +
35 x 2 4
+
70 3
x5 +
35 6
x6 +
35 2
x7 = $1,067.50
Ecuación. 4 Para el auditorio 25x1 + 25x2 +
50 100 50 x3 + 25 x4 + x5 + x + 25 x7 = $1,525.00 3 3 6 6
Ecuación. 5 Para los 15 salones (15 (20m2)) = 300m2
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150x1 + 150x2 + 100x3 + 150 x4 + 200 x5 + 50 x6 + 150 x7 = $9,150.00
11
Ecuación. 6 para los 20 cubículos (20y= 5490; y= (5490(1) / 30.5)/20= 9m2) 90x1 + 90x2 + 60x3 + 90 x4 + 120 x5 + 30 x6 + 90 x7 = $5,490.00
2. Representa el sistema mediante su forma matricial. Ahora conocemos los valores de x5 y x7 por lo que requerimos de 5 ecuaciones para hacer un arreglo matricial de 5x5. 1/2
1/2
1/3
1/2
1/6
24
20
20
40/3
20
20/3
960
25
25
50/3
25
25/3
1200
150
150
100
150
50
7200
90
90
60
90
30
4320
3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de GaussJordan.
Para resolver por el método de Gauss se deberá reducir la matriz mediante operaciones por renglón, hasta obtener una matriz triangular superior. Multiplicar el renglón UNO por 2 y colocar el resultado en el renglón UNO
1
1
2/3
1
1/3
48
20
20
40/3
20
20/3
960
25
25
50/3
25
25/3
1200
150
150
100
150
50
7200
90
90
60
90
30
4320
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Paso 1
12
Paso 2 Multiplicar el renglon TRES por 6 y dividirlo entre el renglon CUATRO y colocar el resultado en el renglon CUATRO.
1
1
2/3
1
1/3
48
20
20
40/3
20
20/3
960
25
25
50/3
25
25/3
1200
1
1
2/3
1
1/3
48
60
90
30
4320
90
90
Paso 3
Multiplicar el renglon DOS por 1/20 y colocar el resultado en el renglon DOS.
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
50/3
25
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25
13
25
25/3
1200
1
1
2/3
1
1/3
48
90
90
60
90
30
4320
Paso 4
Multiplicar el renglon TRES por 1/25 y colocar el resultado en el renglon TRES.
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
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1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
90
90
60
90
30
4320
Multiplicar el renglon CINCO por 1/30 y colocar el resultado en el renglon
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
3
3
2
3
1
144
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Paso 5 CINCO
14
Paso 6
Multiplicar el renglon TRES por 3/2 y colocar el resultado en el renglon TRES.
1
1
2/3
1
1/3
48
1
1
2/3
1
1/3
48
1
3/2
1/2
3/2
3/2
1
1
2/3
1
1/3
3
3
2
3
1
72
48
144
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Ahora los UNO´S se encuentran en la diagonal principal. Pero dado que todos los renglones son equivalentes unos con otros es imposible convertir en ceros los elementos debajo de la diagonal principal, sin hacer que los numeros por encima de ella y la misma diagonal se conviertan en cero.
15
1
1
2/3
1
1/3
48
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
∴ 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑋3 = 𝑋4 = 𝑋6 Con el resultado obtenido de la matriz obtenemos: 2 1 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋6 = 48 3 3 Que sería lo mismo que expresarlo así: 2 1 𝑋1 + 𝑋1 + 𝑋1 + 𝑋1 + 𝑋1 3 3
= 48
4 𝑋1 = 48 48 𝑋1 = 4 𝑋1 = 12 ∴ 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑋3 = 𝑋4 = 𝑋6 = 12
4. Comprueba tus resultados por alguno de los metodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema. Resultados en la Ecuación 1 Ecuación 1 Para 1 m2 x1 + x2 + ⅓ x3 + x4 + ⅔ x5 + 1/6 x6 + . x7 = $ 30.5 (12) + (12) + ⅓ (12) + (12) + ⅔ (9) + 1/6 (12) + (1) = $ 30.5
5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2 • .Cual es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?
Calidra= x1 = $ 12.00 Cemento blanco= x2 = $ 12.00 Pega azulejo= x3 = $ 12.00 Arena gris= x4 = $ 12.00 Barra de jabón= x5 = $ 9.00
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6 + 6 + 4 + 6 + 6 + 2 + 0.5 = 30.5 30.5 = 30.5
16
Alumbre en piedra= x6 = $ 12.00 Pieza de nopal= x7 = $ 1.00 • .Cuantos metros cuadrados mide cada uno de los cubiculos que impermeabilizaron?
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Cada cubículo mide 9 m2. Esto se determino mediante una regla de tres. 20y= $5490.00 1m2= $ 30.50 20y= $ 5490.00 (1m2)/ $30.50 = 180m2 y= 180m2/20 y= 9m2
