PERSAMAAN LAPLACE'S, STEADY-STATE STEADY-STATE SUHU DI PLAT PERSEGI Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Fisika Matematika 3 Dosen pengampu : Bapak Dewanto Harjuno Wibowo
Disusun oleh: Kenny Anindia Ratopo
(K2310055)
Kurnia Dwi Lestari
(K2310056)
Laeli Nurajijah
(K2310057)
Linda Yuliana J. S.
(K2310059)
Luthfiyyatun Nuur Jannah
(K2310060)
Mahamboro Dawud D.
(K2310061)
Muamar Fariq Salafy
(K2310062)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012
PERSAMAAN LAPLACE'S, STEADY-STATE SUHU DI PLAT PERSEGI Kami ingin memecahkan masalah berikut: Sebuah plat logam panjang persegi panjang memiliki dua sisi panjang dan ujung pada 0 0 dan basis pada 100 0 (Gambar 2.1). Lebar plat adalah 10 cm. Cari distribusi mapan suhu di dalam plat. (Masalah ini secara matematis identik dengan masalah menemukan potensi elektrostatik di daerah 0 0, jika suhu yang diberikan diganti dengan potentialssee, misalnya, Jackson, hal. 72.)
Untuk menyederhanakan masalah, kita akan berasumsi pada awalnya bahwa plat begitu lama dibandingkan dengan lebarnya bahwa kita dapat me mbuat pendekatan matematika yang meluas hingga tak terbatas dalam arah y. Hal ini kemudian disebut plat semi-tak terbatas. Ini adalah asumsi yang baik jika kita tertarik pada suhu tidak terlalu dekat ujung. Pada suhu T memenuhi persamaan Laplace dalam plat dimana tidak ada sumber panas, yaitu,
(2.1)
Kami telah menulis
2
dalam koordinat persegi panjang karena batas
lempeng adalah persegi panjang dan kami telah menghilangkan istilah z karena plat adalah dalam dua dimensi. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan mencoba solusi dalam bentuk
() ()()
(2.2)
dimana, seperti yang ditunjukkan, X adalah fungsi hanya x, dan Y adalah fungsi dari y saja. Segera Anda mungkin mengajukan pertanyaan: Tapi bagaimana kita tahu bahwa solusinya adalah bentuk ini? Jawabannya adalah bahwa hal itu tidak! Namun, karena Anda akan melihat, setelah kami memiliki solusi dalam bentuk (2.2) kita dapat menggabungkan mereka untuk mendapatkan solusi yang kita inginkan. [Perhatikan bahwa sejumlah solusi dari (2.1) adalah solusi dari (2.1).] Mensubstitusikan (2.2) ke (2.1), kita memiliki
(2.3)
(Biasa bukan turunan parsial sekarang benar karena X hanya bergantung pada x, dll) Membagi persamaan (2.3) oleh XY untuk mendapatkan
(2.4)
Langkah selanjutnya benar-benar kunci dari proses pemisahan variabel. Kita akan berbicara bahwa masing-masing dari syarat-syarat di persamaan (2.4) adalah konstan karena syarat pertama adalah fungsi x saja, dan syarat kedua adalah fungsi dari y saja. Mengapa hal ini benar? Ingatlah bahwa ketika kita mengatakan
mensubstitusikan
adalah solusi dari
̈̅
, kita maksudkan bahwa jika kita
ke dalam persamaan diferensial, kita memiliki
identitas dalam variabel independen (kita menggunakan fakta ini dalam solusi serangkaian persamaan differensial di Bab 12, bagian satu dan dua). Dalam (2.1) menjadi (2.4) kita mempunyai dua variabel independen, x dan y. Mengatakan bahwa (2.2) adalah solusi dari (2.1) berarti bahwa (2.4) adalah identitas dalam dua variabel independen x dan y [Ingat bahwa (2.4) diperoleh dengan substitusi (2.2) kedalam (2.1) ]. Dengan kata lain, jika (2.2) adalah solusi dari (2.1), kemudian
(2.4) harus benar untuk setiap dan semua nilai dari dua variabel independen x dan y. Karena X adalah fungsi dari x dan Y adalah fungsi dari y, syarat pertama dari (2.4) adalah fungsi dari x, dan syarat kedua adalah fungsi dari y. Misalkan kita mengganti x tertentu ke dalam syarat pertama, syarat ini kemudian beberapa konstanta numerik. Untuk memiliki (2.4) yang yakin, syarat kedua harus dikurangi konstanta yang sama. Sedangkan x masih tetap, biarkan y bervariasi (ingat bahwa x dan y adalah independen). Kita telah mengatakan bahwa (2.4) adalah suatu identitas; itu kemudian benar untuk x tetap kita dan setiap y. Dengan demikian syarat kedua tetap konstan sebagai y bervariasi. Demikian pula, jika kita memperbaiki y dan x bervariasi, kita melihat bahwa syarat pertama dari (2.4) adalah konstan. Untuk mengatakan ini lebih singkat, persamaan
() ()
,
dengan x dan y variabel independen, adalah suatu identitas hanya jika kedua fungsi adalah konstanta yang sama; ini adalah dasar dari proses pemisahan variabel. Dari (2.4) kita kemudian menulis
(2.5)
Ketetapan k 2 disebut pemisahan konstan. Solusi dari (2.5) adalah
* *
(2.6)
Dan solusi dari (2.1) dalam bentuk (2.2) adalah
*
(2.7)
Tak satu pun dari keempat solusi dasar memenuhi batas suhu yang diberikan. Hal yang kita harus lakukan sekarang adalah mengambil kombinasi dari solusi (2.7), dengan k konstanta benar dipilih, yang akan memenuhi kondisi batas yang diberikan. [kombinasi linear solusi dari (2.1) adalah solusi dari (2.1) karena
persamaan diferensial (2.1) adalah linier, lihat Bab 3, Pasal 7, dan Pasal 8, Pasal 1 dan 6.] Pertama kita membuang solusi yang mengandung e ky karena kita diberi T> 0 sebagai y-> Tak terhingga. (Kita menganggap k> 0, lihat Soal 5) Selanjutnya kita membuang solusi yang mengandung cos kx karena T = 0 ketika x = 0. Sehingga solusinya menjadi e -kx sin kx, nilai k masih harus ditentukan. Ketika x = 10, kita memiliki T = 0, ini akan menjadi kenyataan jika dos a (10k) = 0, yaitu, jika
()
k = n /10 untuk n = 1,2, .... sehingga untuk setiap n terpisahkan, solusi (2.8)
memenuhi syarat batas yang diberikan pada tiga T = 0 sisi. Akhirnya kita memiliki T = 100 saat y = 0; kondisi ini tidak memenuhi (2.8) untuk setiap n. Tapi kombinasi linear dari solusi (2.8) merupakan solusi dari (2.1), marilah kita mencoba untuk menemukan kombinasi yang tidak memuaskan T = 100 saat y = 0. Untuk memungkinkan semua n mungkin ini kita menulis seri tak terbatas untuk T, yaitu
∑ ()
(2.9)
Untuk y=0, maka kita harus memiliki nilai T=100, dari persamaan (2.9) dengan y=0 kita dapatkan persamaan
∑
(2.10)
Akan tetapi, ini hanya untuk Fourier sinus series(Bab 7, Bagian9) untuk f(x) =100 dengan nilai1=10. Kita peroleh koefisien bn, seperti halnya dalam Bab7, kita dapatkan nilai
∫ () ∫ | [() ] { (2.11)
Kemudian (2.9) menjadi
(2.12)
Persamaan(2.12) dapat digunakan untuk perhitungan jika
tidak terlalu
kecil selama seriesnya dapat dihitung. (Lihat juga Soal6.) Sebagai contoh, pada x=5baris (pusat plat) dany=5, kita peroleh
( )
(2.13)
Jika suhu di tepi bawah adalah setiap fungsi f(x) bukan 100 0 (dengan tiga sisi lainnyapada 00 seperti sebelumnya), kita dapat mengerjakan soal dengan metode yang sama yang kita miliki. hanya untuk memperluas f diberikan nilai(x) dalam serangkaian sinus Fourier dan menggantikan koefisien ke dalam persamaan (2.9).Selanjutnya, mari kita perhatikan plat hingga ketinggian 30 cm dengan tepi atas di T = 0 0, dan lainnya dimensi dan suhu seperti pada Gambar 2.1. Kita tidak lagi memiliki alasan untuk membuang solusi e ky karena y tidak menjadi terbatas. Kita sekarang akan mengganti e-ky dengan kombinasi linear ae -ky + bekY yang bernilai nol ketika y = 30. Cara yang paling efektif untuk melakukan ini adalah dengan menggunakan kombinasi 1 2
e k ( 30 y )
1 2
e k (30 y )
(yaitu, misalkana =
(2.14) 1 2
e 30 k danb=
1 2
e 30 k ). Kemudian, ketikay=30, (2.14)
memberikan e 0 e 0 0 seperti yang kita inginkan. Sekarang (2.14) hanya sinh k (30 -y) (lihat Bab 2, Bagian12), sehingga untuk plat terbatas, kita dapat menulis solusi sebagai berikut [membandingkan (2.9)]
T B n sinh n 1
n 10
(30 y ) sin
n x 10
(2.15)
Setiap istilah pada bagian ini adalah nol pada tigaT=0 di tiap sisi plat. Ketika y=0, kita menginginkan T=100:
T y 0 100 Bn sinh(3n ) sin n 1
n x 10
bn sin n 1
n x 10
(2.16)
Dimana bn=Bn, sinh sinh 3n atau Bn=bn / sinh 3n . Kita menemukan bn, untuk memecahkan Bn dan disubstitusikan ke dalam persamaan (2.15) untuk mendapatkan distribusi suhu dalam plat terbatas:
T
nganjil
400 n sinh 3n
sinh
n 10
(30 y ) sin
n x 10
(2.17)
Dalam persamaan (2.12) dan (2.17) kita telah menemukan fungsi T (x, y), memenuhi keduanya dalam persamaan (2.1) dan semua syarat batas yang diberikan. Untuk wilayah yang dibatasi dengan batas suhu yang diberikan, hal tersebut adalah fakta eksperimental (dan juga dapat ditampilkan matematis-lihat Soal 16 dan Bab 14, Soal 11.38) bahwa hanya ada satu T (x, y) yang memenuhi persamaan Laplaces dan syarat batas yang diberikan. Jadi persamaan (2.17) adalah solusi yang diinginkan untuk plat persegi panjang. Hal ini jugadapat menunjukkan bahwahanya ada satu solusi untuk plat semi-tak terbatas tersedia
T 0 pada ∞ , dengan demikian persamaan (2.12) adalah solusi untuk kasus tersebut. Mungkin Anda akan bertanya-tanya mengapa kita mengambil konstan dalam(2,5) untuk menjadi -k 2 dan apa yang akan terjadi jika kita mengambil +k 2 sebagai gantinya. Sejauh ini mendapatkan solusi dari persamaan diferensial yang bersangkutan tersebut akan benar dengan menggunakan +k 2, kita akan mendapatkan gantinyadari persamaan (2.7):
e kx sin ky, kx e sin ky, T XY kx e cos ky, e kx cos ky.
(2.18)
[Kita asumsikan bahwa k adalah nyata, sebuah k imajiner di (2.18) hanya akan memberikan kombinasi dari solusi (2.7) lagi. Juga lihat Soal5]. Solusi(2.18) akan tidakada gunanya untuk masalah plat semi-tak terbatas karena tidak satupun dari mereka cenderung nol sebagai y , dan kombinasi linear dari e kx dan e kx tidak
boleh nolbaikpada x=0dan pada x =10. Namun, jika kita menganggap plat semitak terbatas pada sisi panjang sejajar dengan sumbu x, bukan sumbu y, dan
T 100 sepanjang akhir pendek pada sumbu y, solusi(2.18) akan diperlukan. Atau, untuk platterbatas, jika 100 pada sisi yang berada di sepanjang sumbu y, maka kitagunakan(2.18). Akhirnya, mari kita lihat bagaimana untuk menemukan distribusi temperature dalam pelat jika dua sisi yang berdekatan diadakan di 100 0 dan dua lainnya pada 00 (atau, pada umumnya, jika ada nilai yang diberikan untuk empat sisi). Kita dapat menemukan solusi untuk masalah ini dengan kombinasi hasil yang kita miliki sudah diperoleh. Mari kita sebut sisi pelat persegi panjangA, B,C, D(Gambar 2.2). Jika sisi A, B, dan C yang diselenggarakan pada 0°, dan D pada 100°,kita dapat menemukan distribusi temperature dengan metode yang sama kita gunakan dalam mencari (2.17) jika kita mengambil sumbu x sepanjang D. Selanjutnya misalkan untuk lempeng yang sama(Gambar 2.2) Sisi A, B, dan D yang diadakan di 0 0 dan C pada 100 0. Ini adalah jenis masalah yang sama lagi, tapi kali ini kami ingin menggunakan solusi dasar (2.18). [Atau untuk jalan pintas pekerjaan, kita bisa menulis solusi seperti (2.17) dengan sumbu x diambil sepanjang C dan kemudian pertukaran x dan y dalam mengakibatkan setuju dengan Gambar2.2.1 Setelah memperoleh dua solusi (satu untuk C pada 100 0dan satu untuk D pada 100°), mari kita tambahkan dua jawaban. Hasilnya adalah solusi dari persamaan diferensial (2.1) (linearitas: jumlah dari dua solusi adalah solusi). Itu suhu pada batas (maupun di dalam) adalah jumlah dari suhu didua solusi yang kami menambahkan, yaitu, 0° pada A, 0° pada B, 0°+ 100° pada C, dan 100°+0° pada D. Ini adalah kondisi batas yang diberikan kami ingin memuaskan. Dengan demikian jumlah solusi dari dua masalah sederhana ini memberikan jawaban yang lebih rumit (lihat Masalah11-13).
Sebelum menyelesaikan lebih banyak permasalahan, mari kita berhenti sejenak untuk meringkas proses dari pemisahan variable yang pada dasarnya sama untuk semua persamaan turunan parsial yang akan kita diskusikan. Pertama kita mengasumsikan solusi yang mana merupakan produk dari variabel fungsi independent (seperti pers. 2.2) dan memisahkan persamaan turunan parsial kedalam beberapa persamaan turunan biasa/umum. (seperti pers 2.5). kita menyelesaikan persamaan turunan biasa ini; penyelesaianya mungkin fungsi exponensial, fungsi trigonometri, nilai (positif atau negatif), fungsi bessel, polinom legendre dll. Beberapa kombinasi linier dari penyelesaian umum ini, dengan beberapa nilai dari pemisah konstan, merupakan solusi dari persamaan turunan ini. Permasalahanya ialah untuk menentukan kedua nilai dari pemisah konstan dan kombinasi linier yang benar untuk mencocokan dengan batasatau kondisi awal yang diberikan. Permasalahan dalam menemukan solusi dari sebuah pokok persamaan turunan yang diberikan ialah untuk untuk memberikan kondisi batas yang disebut boundary value problem. Permasalahan seperti ini sering membawa kita pada permasalahannilai eigen. Kita lihat kembali (chepter 10 section 4, dan chepter 12, di akhir section 2) dimana pada sebiah nilai eigen (atau nilai karakteristik) permasalahan, disana terdapat sebuah parameter yang memiliki nilai untuk dipilih,
sehingga solusi dari permasalhan ini memerlukan beberapa syarat. Keadaan pemisahan tetap, kita telah menggunakan parameter semacam ini. (contoh, kita menyatakan k=nπ/10,tepat sebelum pers (2.8) dengan syarat T=0 ketia x=10). Nilai yang dihasilkan dari keadaan pemisahan tetap ini disebut nilai eigen dan penyelesaian umum dari persamaan turunan (contohnya 2.8) dapat disamakan dengan nilai eigen yang disebut fungsi eigen. Hal ini juga mungkin terjadi pada penjumlahan terhadap keadaan pemisahan tetap, disana terdapat parameter pada persamaan turunan asli (contoh c pada persamaan schordinger pada problem 7.17). sekalilagi, nilai kemungkinan dari parameter untuk persamaan yang mempunyai penyelesaian dengan persyaratan khusus disebut nilai eigen, dan penyamaan dari soulusi ini disebut fungsi eigen. Problems, section 2 1. Temukan distribusi suhu steady-state untuk permaslahan plat semi takhingga jika temperatur dari tepi bawah ialah T=f(x)=x (dalam derajat, dimana saat suhu pada x cm ialah x°)
+ () ) Jawaban: ∑ (
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal nomor 1 sebelumnya telah kita dapatkan rumus:
T
b e
n y / 10
n
sin(n x / 10) . Kemudian untuk mencari nilai bn kita
dapatkan dari deret sinus Fourier (chapter 7 se ction 9), 2
bn
10
20
n
2
2
0
10
2 10 2 n x n x n x ( ) (sin cos ) x sin dx 10 10 n 10 10 10 0
n x
10
(n cos n )
20
n
(1) n
Lalu kita masukkan lagi ke persamaan sebelumnya sehingga didapatkan:
T ( x , y )
20 n
(1) n 1 n
e n
y / 10
sin(
n x 10
)
2. Selesaikan permasalahn pelat semi takhingga jika tepi bawah yang lebarnya 20 diletakan pada: T=0,untuk 0,x<10
T=100, untuk 10
∑ (x)
4. Selesaikan permasalahn pelat semi takhingga jika tepi bawah yang lebarnya 30 diletakan pada T= x, untuk 0
Tunjukkan juga bahwa solusi ini setara dengan (2.7) jika k nyata dan setara dengan (2.18) jika k murni imajiner. (lihat bab 2, bagian 12.) Tunjukkan juga bahwa X = sin k(x - a), Y = sinh k(y - 6) adalah solusi dari (2.5). 6. Tunjukkan bahwa seri dalam (2.12) dapat disimpulkan untuk mendapatkan
(dengan arc tangent dalam radian). Gunakan rumus ini untuk memeriksa nilai T = 26.10 di
x = y = 5. Petunjuk untuk penggunaan seri: gunakan
sin (nπx/l0) = Im einπx/10 untuk menulis seri sebagai Im
odd
zn/n. (Apa
itu z?) Bandingkan ini dengan seri untuk for In[(1 + z)/(l - z)] (Lihat bab 1, Masalah 13.22). Kemudian gunakan (13.5) dari bab 2. Penyelesian: gunakan sin(n x / 10 ) Im e
in x / 10
, kita tuliskan seperti persamaan 2.12
T
400
400
1
ne
n y / 10
sin
n x
n ganji l
Im
1
n (e
10
400
)
z e (
Im
n ganj il
1
ne
n y / 10 in x / 10
e
n ganji l
400
y / 10 i x / 10 n
e
Im
1
saat
n z
n
n ganj il
/ 10)( y ix )
Dari chapter 1 persamaan 13.4:
ln
1 z 1 z
ln(1 z ) ln(1 z ) 2( z
z 3 3
z 5 5
....) 2
1
n z
n
.
n ganjil
Kemudian, T
400
1 1 z 200 1 z Im( ln ) ( sudutdari ) 2 1 z 1 z
Kita dapatkan sudut bilangan kompleks w adalah arctan misalkan w
w
1 z 1 z
1 z 1 z 1 z 1 z
1 2i Im z z 1 2 Re z z
T
200
2 sin( x / 10)
e y / 10 e y / 10 arctan
.
Kita
2
2
,
arctan
sin( x / 10) sinh( y / 10)
2e y / 10 sin( x / 10)
( sudutw) arctan arctan 2 1 z
Re w
dan w merupakan bilangan real. Kita dapatkan
2 Im z
arctan
Im w
1 e 2 y / 10
sin( x / 10) sinh( y / 10)
,
.
7. Pecahkan masalah 3 jika plat memotong pada ketinggian 1 dan suhu di y = 1 yang diadakan pada 0 0.
8. Cari distribusi mapan suhu dalam plat persegi panjang 30 cm 40 cm dengan menginat bahwa suhu adalah 0 0 sepanjang dua sisi panjang dan di
sepanjang salah satu ujung pendek; ujung pendek lainnya sepanjang sumbu x memiliki temperatur
9. Pecahkan masalah 2 jika plat memotong pada ketinggian 10 dan suhu tepi atas adalah 00. 10. Cari distribusi suhu yang stabil-negara di pelat logam 10 cm persegi jika satu sisi diadakan di 100 "dan tiga lainnya di sisi 0". Cari suhu di tengah plat
11. Cari distribusi mapan suhu di piring Soal 10 jika dua sisi yang berdekatan berada di 1000 dan dua lainnya pada 0 0. Petunjuk: Gunakan solusi Anda Soal 10. Anda tidak harus melakukan perhitungan-hanya menulis jawabannya! 12. Cari distribusi temperatur dalam cm 10 piring persegi panjang dengan 30 cm jika dua sisi yang berdekatan diadakan pada 100 0 dan dua sisi lainnya pada 00. Penyelesaian: y 0
0 3
3
0
10
0
0
10
0
10
x
0
n
n ganjil
400 sinh 3n
10
Gambar 2
Gambar 1
(1) T 1
0
sinh
n 10
(30 y) sin
n x 10
.
x
Kita gunakan persamaan 2.18. T=0 saat y=0 kita gunakan penyelesaian sin ky. Kita juga menggunakan sin30k=0, k= nπ/30 di T=0 saat y=30. Untuk penyelesaian bagian x, kita membutuhkan kombinasi linier ekx dan e-kx adalah 0 saat x=10. Kita gunakan sinh k(10-x) = ½ (ek(10-x) - e-k(10-x) )
B
(2) T 1
n
sinh
n 30
(10 x) sin
n y 30
Adalah persamaan Laplace untuk gambar 2. Sekarang kita butuhkan T=100 saat x=0 (3) T 100
B
Saat bn Bn sinh
sinh
n
n 3
n 3
sin
n y 30
n y
bn sin
atauBn bn / sinh
n 3
30
.
Sekarang persamaan (3) diperluas 100 ke deret Fourier di (0,30). Sehingga bn
2 30
30
0
n y
100 sin
dy
30
200 30 30 n
cos
n y 30
30
0
0, n genap (1 cos n ) 400 n n , n ganjil 200
Untuk nganjil, Bn 400 /(n sinh
n 3
).
Mensubstitusikan persamaan diatas dengan persamaan (2) untuk gambar 2 (4) T 2
n
n ganji l
400 sinh(n / 3)
sinh
n 30
(10 x) sin
n y 30
Sehingga didapatkan hasil akhir dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (4) T ( x, y ) T 1 T 2
400
1
1
n ( sinh 3n
n ganj il
sinh
n 10
(30 y ) sin
n x 10
1 sinh
n 3
sinh
n 30
(10 y ) sin
n y 30
).
13. Cari distribusi mapan suhu di pelat persegi panjang yang meliputi daerah 0
T/n,
dimana n
adalah variabel dalam arah normal ke tepi (lihat derivatif yang normal, bab 6, bagian 6). Sebagai contoh, aliran panas di tepi berbaring sepanjang sumbu x sebanding dengan
T/y.
Karena aliran panas di tepi terisolasi
adalah nol, kita harus tidak mempunyai T, tetapi turunan parsial dari T, sama dengan nol pada batas terisolasi. Gunakan fakta ini untuk mencari distribusi mapan suhu dalam plat semi tak terbatas dari lebar 10 cm jika kedua sisi panjang terisolasi, ujung ( di
seperti dalam bagian 2) adalah
di 00, dan di tepi bawah adalah di T = f(x) = x - 5. Perhatikan bahwa anda menggunakan T
0 sebagai y
hanya untuk membuang solusi
e+ky ; itu akan memuaskan untuk mengatakan bahwa T tidak menjadi tak terbatas sebagai y
.
Sebenarnya, suhu (diasumsikan terbatas) sebagai
y dalam masalah ini ditentukan oleh temperatur yang diberikan di y = 0. Biarkan T = f (x) = x pada y = 0, ulangi perhitungan Anda di atas untuk menemukan distribusi temperatur dan temukan nilai T untuk y besar. Jangan lupa k = 0 istilah dalam seri! 15. Pertimbangkan pelat terbatas, 10 cm dengan 30 cm, dengan dua sisi terisolasi, salah satu ujungnya pada 0 0 dan lainnya pada suhu tertentu T = f (x) Coba f (x) = 100 0. F (x) = x . Anda harus meyakinkan diri sendiri bahwa masalah ini tidak dapat dilakukan dengan hanya menggunakan solusi (2.7). Untuk melihat apa yang salah, kembali ke persamaan diferensial (2.5) dan memecahkan mereka jika k = 0. Anda harus menemukan solusi x, y, xy, dan konstan [konstanta sudah terkandung dalam (2.7) untuk k = 0, namun tiga lainnya solusi tidak]. Sekarang kembali atas setiap masalah yang telah kita lakukan sejauh ini dan melihat mengapa kita bisa mengabaikan k = 0 solusi, kemudian termasuk k = 0
solusi, menyelesaikan masalah pelat terbatas dengan sisi terisolasi. Untuk kasus f (. R) = x, jawabannya adalah:
Penyelesaian:
y 0 3
0
0 f(x
x
0
10
Kita bisa menemukan penyelesaian soal tersebut dengan bentuk (1) T
A
n
sinh
n
(30 y ) cos
10
n x 10
.
Dengan T=f(x) saat y=0, kita misalkan untuk mengembangkan f(x) di deret cosinus Fourier di (0,10). Tapi dengan catatan bahwa di (1) tidak terdapat suhu konstan. Untuk n=0, kita memiliki sinh 0=0. Kemudian memasukkan
persamaan
2.7
sebagai
penyelesaian
umum
dengan
persamaan Laplace. Kita dapatkan penyelesaian a (30-y) lalu kita masukkan ke (1) (2) T a (30 y )
A
n
sinh
1
n 10
(30 y ) cos
n x 10
.
Saat y=0, kita dapatkan T=f(x), sehingga (3) f ( x) 30 a
A
n sinh 3n cos
1
n x 10
a0 / 2 a n cos 1
n x 10
Dimana
a0 / 2 30a; an An sinh 3n , sehingga a a0 / 60; An an / sinh 3n Untuk f(x)=100, kita harus menemukan T
10 3
(30 y )
Untuk f(x)=x, kita kembangkan x pada deret cosinus di (0,10)