UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
ALGEBRA II 525148
Listado 5 (Aplicaciones Lineales.) 1. En cada caso caso determine determine si la aplicaci´ aplicaci´ on es o no lineal y demuestre/justifique su afirmaci´on. on on. (a) T : R2 → R3 , T (x, y) = (xy,x − y, 0) . (b) T : R2 → R2 , T (u1 , u2 ) = (u1 , −u2 ) (T es llamada reflexi´on on sobre el eje X ). ). (c) T : R2 → ). X ).
R2 ,
on ortogonal sobre el eje on T (u1 , u2 ) = (u1 , 0) (T es llamada proyecci´
(d) T : R2 → R2 , T (x1 , x2 ) = (x1 + 1, x2 ) . (e) T : C → C2 , T (z ) = ( Re(z ), I m(z )), considerando
C
como e.v. sobre
C.
(f) (f ) T : M3 (R) → P 2 (R), T (A) = p, con p(x) = a11 x2 + tr(A), ∀x ∈ R. (g) T : M3 (R) → R, T (A) = |A|. (h) T : R2 → R, T (x, y) =
x2 y
si y = 0 y T (x, 0) = 0. 1
(i) T : C ([0 ([0, 1]) → R, T (f ) =
f (x) dx
0
x
( ), el cual es dado por ( ) ( )=
T f (j) T : C ([0 ([0, 1]) → C ([0 ([0, 1]), f →
T f
x
f (t) dt,
0
para todo x ∈ [0, 1].
(k) T : V → C ([0 ([0, 1]), T (f ) = f , siendo V := {f ∈ C ([0 ([0, 1]) : f ∈ C ([0 ([0, 1])}. (En pr´ actica actica e), f ), j)) 2. Demuestr Demuestree que las siguiente siguientess aplicacion aplicaciones es son lineales: lineales: (a) Sea u ∈ Rn fijo. Se define T : Mn (R) → Rn , T (A) = Au. (b) La proyec proyecci´ ci´ on on ortogonal P : V → S definida por: r
( )=
P v
j =1
v, x j x j , x j 2
donde V es un e.v. con producto producto interior interior ·, ·, S un s.e.v s.e.v.. de V y {x1 , x2 , . . . , xr } es una base ortogonal de S . Como aplicaci´ on: on: defina la proyecci´on on ortogonal de R3 sobre el plano X Y y encuentre P (1, 2, 3). (c) T : Mn (K) → K,
T (A) = tr (A) .
(d) T : R2 → R2 , T (v) = Rα v , donde α es un n´ umero umero real fijo y Rα es la matriz: Rα =
cos( )
α −sen(α) sen(α) cos(α)
es decir, T (v ) es la rotaci´on on de v en el ´angulo angulo α. 1
,
(e) T : P 2 (R) → M 2 (R),
(En pr´ actica d) y e)) T ( p) =
p (0) p (1) p(0) p(1)
3. Encuentre un ejemplo de funci´ on NO lineal f : V → W tal que f (αv ) = αf (v ) para todo α ∈ R y v ∈ V , en los siguientes casos: a) V = W = R2 ,
b) V = R2 , W = R,
c) V = Mn (R), W = R.
4. Sea V un e.v. complejo con producto interior ·, · y sea w ∈ V fijo. Considere las funciones T 1 , T 2 : V → V definidas por: T 1 (v) = v, ww
∧
T 2 (v ) = w, v w
(a) Muestre que T 1 (θ) = T 2 (θ) = θ. Justifique su respuesta usando para ello las propiedades de espacios vectoriales. (En pr´ actica a)) (b) Muestre que ∀ u, v ∈ V, T j (u + v ) = T j (u) + T j (v ) j = 1, 2 y que, sin embargo, s´olo una de ellas es lineal. ¿Qu´ e sucede en el caso de V un e.v. real?. 5. Encuentre una aplicaci´on lineal T : R2 → M 2 (R), tal que: T (1, 3) = 11 01 y T (0, 1) = 02 00 .
(En pr´ actica)
6. Calcule el kernel, imagen, rango y nulidad de las siguientes aplicaciones lineales: (a) T : M2 (R) → R3 , T
a b c d
= (a + b, b + c, d) .
(b) T : M3 (R) → M3 (R), T (A) =
1 2
(A − At ) .
(c) T : M3 (R) → M3 (R), T (A) =
1 2
(A + At ) .
(d) T : P 2 (R) → P 2 (R), T ( p) = q , con q(x) = p(x + 1) + p(x − 1) − 2 p(x), ∀x ∈ R. 1
(e) T : P 2 (R) → R, T ( p) =
p(x)dx.
(En pr´ actica c) y d))
0
7. Para este problema suponga que V y W son espacios vectoriales de dimensi´on finita y que (En pr´ actica (b1 ) y c)) T : V → W es una aplicaci´ on lineal. (a) Suponga que los espacios V y W son tales que dim(V ) > dim(W ). Demuestre que T no puede ser inyectiva. (b) Suponga que dim(V ) = dim(W ). Demuestre que si T es: (b1 ) sobreyectiva , entonces T es tambi´en inyectiva. (b2 ) inyectiva , entonces T es tambi´en sobreyectiva. (c) Suponga que V = W y que T 2 = T ◦ T = θ (la aplicaci´ on lineal que a todo vector lo env´ıa al vector nulo). Demuestre que la aplicaci´ on I − T : V → V es invertible. 8. Sea T : R3 → R3 la transformaci´on lineal definida por T (x , y , z) = (x − 2y, y + z, x + y − z ) .
Usando el teorema de la dimensi´on demuestre que Im(T ) = R3 . 2
9. Pruebe que no existe una aplicaci´ on lineal T : R5 → R2 tal que
(En pr´ actica)
Ker (T ) = {(a,b,c,d,e) ∈ R5 : a = 3b y c = d = e}.
10. Si T : R3 → Determine:
R
2
es la transformaci´on lineal definida por T (x , y , z) = (x − y, y + z ) .
(a) La nulidad de T . (b) El rango de T . (c) Encuentre la imagen por T de los subespacios S 1 = {(x,y,z ) : x + y + z = 0}, S 2 = {(x,y, 0) : x, y ∈ R} y S 3 = {(x , y , z) : x = y = z }. (d) Considere el subespacio S 4 = {(x,y, 0) : x = −y }. Note que S 4 es subespacio de S 1 . (En pr´ actica c) y d)) ¿Se cumple que T (S 4 ) es un subespacio de T (S 1 )? 11. Sea T : R3 → R2 la aplicaci´on lineal definida por T (x , y , z) = (x + y, x − z ). Calcule la matriz asociada a esta aplicaci´on con respecto a las bases BR y BR , donde 3
2
(a) BR y BR son las bases can´onicas. 3
2
(b) BR = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (1, 3, 0)} y BR = {(0, 1), (−1, 2)}. 3
2
Adem´ as, encuentre las matrices de paso entre las bases respectivas definidas en a) y b). 12. Sea T : P 2 (R) → P 1 (R) la aplicaci´on lineal definida por T (a2 x2 + a1 x + a0 ) = 2a2 x + a1 . Calcule la matriz asociada a esta aplicaci´on con respecto a: (a) las bases can´ onicas B2 y B1 de P 2 (R) y P 1 (R), respectivamente. (b) la base B2 = {1 − x, 1 + x, 1 + x + x2 } y B1 = {1 + x, 1 − x} de P 2 (R) y P 1 (R), respectivamente.
Adem´ as, encuentre las matrices de paso entre las bases respectivas definidas en (a) y (b). 13. Sea T : C2 → C2 el operador lineal definido por T (z1 , z2 ) = (z1 + z2 , z2 ). (a) Considere C2 como espacio vectorial complejo. Calcule la matriz asociada a T con respecto a la base B1 = {(1 + i, 1 + i), (1 − i, 1 + i)}. (b) Considere ahora C2 como espacio vectorial real. Calcule la matriz asociada a T con respecto a la base B1 = {(1, 1), (1, −1), (i, 0), (0, i)}. 14. Calcule la matriz asociada a la aplicaci´ on T : M2 (R) → con respecto a las bases can´onicas.
R
definida por T (A) = tr(A), (En Pr´ actica)
15. Sea T un operador lineal en V , e.v. de dimensi´ on 3, cuya matriz con respecto a la base can´ onica de V es 1 2 1 0 1 1 A = . −1 3 4
Encuentre una base de Ker (T ) e Im(T ) y la definici´on de T si: a)
V = R3
V = P 2 (R)
b)
RBP/MCP/ACQ/rbp 22.11.2010. 3
c)
(En Pr´ actica b)) V = C3
