Límites
Límites
¿Qué es un límite? Ciertas funciones carecen de sentido cuando x toma algunos valores específicos. Por ejemplo,
. Esta función carece de sentido si se evalúa para
, ya que
tendríamos .
Sin embargo, sí se puede saber el valor de cuando se acerca a 1 (pero sigue siendo diferente a 1). 1 ). Este valor se puede conocer calculando el límite d e .
Un límite tiene la siguiente forma:
Esto se lee: El límite de cuando tiende a es Resolución de los Límites
, para así poder
Los límites se resuelven operando algebraicamente sobre
transformar esta función hasta que se pueda sustituir x por c sin que el resultado carezca de sentido. Para el caso anterior se ten dría lo siguiente:
Ahora sabemos que vale 2 cuando se acerca a 1 E l Límite de una función que oscila infinitamente
Un caso particular de los límites es el de una función que oscila infinitamente. Este
, cuya gráfica es la siguiente:
es el caso, por ejemplo, de
El límite de una función que oscila infinitamente no existe, ya que cuando x se acerca al punto de las oscilaciones infinitas (en el caso de la función anterior, es en x=0), no está cerca de un solo número L, sino de infinitos infi nitos números.
Límites Laterales
, se tiene que si
Para la función
x
se acerca a 1 por la derecha, f(x)
se acerca a 2, y si x se acerca a 1 por la izquierda, f(x) también se acerca a 2. Esto quiere decir que los Límite Laterales de son iguales. Esto se puede observar en la siguiente imagen:
1
Elaborado por Ana Figueira. 2012
Límites
X tiende a 1 por la izquierda
X tiende a 1 por la derecha
Para generalizar, se puede decir que:
Significa el límite de f(x) cuando x t iende a c or la derecha Significa el límite de f(x) cuando x t iende a c or la izquierda p
p
Sin embargo, existen funciones para las cuales el límite por la derecha es diferente al límite por la izquierda. Este es el caso de la siguiente función:
Para esta función, cuando , el límite vale -1, pero cuando , el límite lí mite vale 1. Por lo tanto, los límites laterales son diferentes.
E l límite de una función existe cuando x tiende a c, si y sólo si el límite es el por la izquierda. Dicho de otra forma: mismo por la derecha y p
si y sólo si Sabiendo esto, podemos decir, para el ejemplo anterior, que ya que
no existe,
y . Es decir, el límite no existe porque sus
límites laterales son diferentes.
Pro piedades de los Límites Para k una constante, n un número entero positivo, y f y f y y g dos funciones; los límites tienen las siguientes propiedades, las cuales parecen en intuitivas su mayoría:
= c
El límite de una constante, es igual a esa constante El límite de la función identidad cuando x tiende a c, es igual c El límite de una función por una constante es igual a la constante por el límite de la función El límite de las sumas es igual a la suma de los límites El límite de las multiplicaciones es igual a 2
Elaborado por Ana Figueira. 2012
Límites
la multiplicación de los límites El límite de una división es la división de los límites (siempre que el denominador no sea cero) El límite de una función a la n es igual a el límite elevado a la n de una función El límite de la raíz de una función es la raíz del límite de la función (siempre que el límite sea positivo cuando n sea par)
Estas propiedades se aplican en la resolución de los lí mites, tal como se muestra en el siguiente ejemplo:
3
Elaborado por Ana Figueira. 2012
