libroED

c as a ti t em ECUACIONES M a DIFERENCIALES . d e p to con aplicaciones en Maple e , D a Jaime Escobar A. 1i o q u n ti A d e d a d si v er ni U 1 Profesor

Titu itular de la Universidad de Antioqu oquia, Matem´ aticas de la Universidad Nacional. Texto en la http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/

Magister en pagin a´ginaa Web: eb:

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ÍNDICE GENERAL

c as a ti t em a M . d e 1. INTRODUCCION o t 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . p. . . . . . . . . . ´ N DE CONTINUIDAD . . . . . . e . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. ECUAC ECUACIIO , D ´ ´ ia 2. METODOS DE SOLUCI ON 2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . .u . . . . . . . . . . . . ´ NEAS . . . o q. . . . . . . . . . . . . 2.2. ECUACIONE ECUACIONES S HOMOGE LES n ti S . . . . . . . . . . . . 2.3. 2.3. E.D. E.D. CON COEF OEFICIE ICIENT NTES ES LINEA INEALE 2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . A. . . . . . . . . . . . . . . ´ N e. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. FACTORES ACTORES DE INTEGRA INTEGRACI CIO Ed N . . . . . . . . . . . . . . 2.6. E.D. LINE INEAL DE PRIME IMER OR D d 2.7. E.D. DE BERNOULLI . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. 2.8. E.D. E.D. NO LINE LINEAL ALE ES DE PRIM PR IME ORDEN N . . . . . . . . . . si dER ORDE 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES .r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 2.10.. ANE ANEXO CON EL PAQUET QU ETE aple . . . . . . . . . . . . . . i vEe Maple n 3. AP APLI LICA CACI CION ONES ES DE LA LAS E.D. DE PR PRIM IMER ER ORDE ORDEN N S UÉ.D. 3.1. APLICAC APLICACIONES IONES GEOMETRICAS . . . . . 3.1. 3.1.1. 1. Tray rayecto ectori rias as Isog Isogon onal ales es y Ort Ortog ogon onal ales es 3.1.2. 3.1.2. Proble Problemas mas de Perse Persecuc cuci´ ión: . . . . . 3.1. 3.1.3. 3. Ap Apli lica caci cion ones es a la la geo geome metr tr´´ıa anal anal´´ıtic ıticaa ´

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 5 6 7 7 10 14 15 21 26 32 34 43 46 49 49 49 51 54



















































































ÍNDICE GENERAL 3.2.2. 3.2. 3.2.3. 3. 3.2.4.

Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . Ley Ley de abso absorc rci´ i´ on de Lambert . . . . . . . . . . . . . Crecimien Crecimiento to de Cultivos Cultivos de Bacteri Bacterias as o Crecimi Crecimien entos tos p oblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ń . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. PROBLEM PROBLEMAS AS DE DE DILUCI DILUCIO 3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . . .

4.

5.

. 57 . 57 . . . .

58 59 68 73

as TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81 c i 4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t . . . . . 81 a O. . . . . 90 ´ DEL 4.2. 4.2. DIMENS DIMENSIION DEL E ESP SP.. VECT VECT.. SOL. SOL. DE DE UNA UNA E.D. E.D.O. ´ ´ N DE ORDEN . . . . e.m . . . . . . 97 4.3. METODO DE REDUCCIO a t ANTESS . 101 4.4. E.D.O. E.D.O. LINEAL LINEALES ES CON COEFICIEN COEFICIENTES TES CONSTANTE CONST M N COEF 4.5. 4.5. E.D. E.D. LIN. LIN. DE ORDE ORDEN N MAYO MAYOR R QUE QUE DOS DOS CON CO COEF.. CONST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. . . . . . . . . 10 105 d 4.6. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 107 o ´ 4.7. METODO DE LOS COEFICIEN COEFICIENTES TES INDETERMIN INDET ERMINADOS ADOS . 110 t ´ DE PARAMETROS ´ 4.8. VARIACI ARIACION . . . . ep. . . . . . . . . . . . 113 ´ DEL METODO ´ D 4.8.1. GENERALIZA GENERALIZACI CION DE ´ DE PARA ´ METRO ,S . . . . . . . . . . . 122 VARIACION a 4.9. OPERADORES . . . . . . . . . . . . u.i . . . . . . . . . . . . . 12 125 ´ ODO VERS 4.10. MET ETOD O DE DE LOS LOS OPER OPERAD ADOR ORES ES qINVE IN RSOS OS . . . . . . . 127 o ti . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.11. E.D.O. DE EULER - CAUCHY n 4.12. APLIC. APLIC. DE LA E.D. SEGUNDO SEGUNDO ORDEN: ORDEN : OSCILADORES OSCILADORES . 142 A ´ 4.12.1. 4.12.1. MOVIMIE MOVIMIENTO NTO ARMONICO SIMPLE . . . . . . . . 14 142 e 4.12 4.12.2 .2.. MOVI MOVIMI MIEN ENTO TO AMOR AMORTI TIGU GUAD ADO O . . . . . . . . . . . 145 145 d 4.12 4.12.3 .3.. MOVIM VIMIEN IENTO FORZ OR ADO. . . . . . . . . . . . . . . 148 148 Za dADO. 4.13 4.13.. ANEX NEXO CON CON EL PAQUET QUETE Maple le . . . . . . . . . . . . . . 163 163 Ei d Map eS rs SOLUCIONES POR SERI E 169 5.1. INTRODUCCION . . . iv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 169 OS n ORDI 5.2. 5.2. SOLU SOLUCI CION ON EN PUNT PUNTOS ORDINA NARI RIOS OS . . . . . . . . . . . 172 172 U NTOS 5.3. 5.3. SOL. SOL. EN TORN TORNO O A PUNT PU OS SING SING.. REG REG.. . . . . . . . . . . 182 182 5.3. 5.3.1. 1. CASO CASO II: r1 r2 = entero positivo . . . . . . . . ´ GAMMA: Γ(x 5.3. 5.3.2. 2. FUNC FUNCIION Γ(x) . . . . . . . . . . . . . 5.3. 5.3.3. 3. CASO CASO III: III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . 5.3. 5.3.4. 4. EC ECUA UACI CION

−

. . . .

. . 188 . . 1 91 . . 1 95 . . 19 199



















































































ÍNDICE GENERAL

6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 215 6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 215 6.2. 6.2. TRAN TRANSF SFOR ORMA MADA DA INVE INVERS RSA AD DE EL LAP APLA LACE CE . . . . . . . . . 219 6.3. TEOREMAS TEOREMAS SOBRE SOBRE LA TRANSF TRANSFORMA ORMADA DA DE LAPLA LAPLACE CE 222 6.4. 6.4. APLIC. APLIC. A E.D. E.D. CON COEF. COEF. CONST. CONST. Y COND. COND. INICIA INICIALES LES 238 6.5. 6.5. IMPU IMPULS LSO O UNI UNIT TARIO ARIO O DEL DELT TA D DE ED DIR IRA AC . . . . . . . . . 243 6.6. ANEXO CON CON EL PAQUETE Ma Maple . . . . . . . . . . . . . . 24 246

as 7. SISTEM SISTEMAS AS LINEAL LINEALES ES DE E.D. E.D. DE DE PRI PRIME MER R ORD ORDEN EN tic 251 7.1. CONJUNTOS CONJUNTOS FUNDAMENT FUNDAMENTALES ALES Y SISTEMAS SISTEMAS HOMO´ NEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a . . . . 25 GE 254 m ´ te OS . . 255 7.2. METODO ETODO DE LOS VALO VALORES RES Y VECTOR VECTORES ES PROPI PR OPIOS ´ ´ DE PAR AMETROS á 7.3. 7.3. E.D. E.D. NO NO HOMO HOMOG GENEA Y VARIACION 274 M AS . . . . 278 7.4. 7.4. TRANSF TRANSFORM ORMAD ADA A DE LAPL LAPLAC ACE E PARA PARA SISTEM SISTEMAS 7.5. ANEXO CON CON EL PAQUETE Ma Maple . . . . . . e. . . . . . . . 28 280 . d to ILID 8. INTR INTROD ODUC UCCI CION ON A LA LA TEO TEORI RIA A DE DE EST EST AB ABIL IDAD AD 281 281 8.1. 8.1. SIS SIST. AUTON UTON., ., PL PLAN ANO O DE FASE . . . . . p. . . . . . . . . . 281 281 e 8.2. 8.2. TIPO TIPOS S DE PUNT PUNTOS OS CRIT CRITIC ICOS OS,, EST ESTABIL AB ILID IDAD AD.. . . . . . . 285 D 8.2. 8.2.1. 1. TIPOS IPOS DE PUNT PUNTOS OS CRITIC ITICOS OS.. , . . . . . . . . . . . 286 286 a ui EST 8.3. 8.3. PUNTOS PUNTOS CRIT CRITICO ICOS S Y CRITE CRITERIO RIOS S DE ESTABI ABILID LIDAD AD . . 295 8.4. CRITERIO CRITERIO DE ESTABILID ESTABILIDAD: AD: METODO METO LIAPUNOV . 308 o q DO DE LIAPUNOV 8.5. 8.5. LINE LINEAL ALIZ IZA ACION CION DE SIST SISTEM EMAS AS NO LINEAL ALES ES . . . . . . 315 ti LINE 8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON334 n 8.7. 8.7. ANEX ANEXO O CON EL PAQUET QUETE E Mapl ap 340 lAe . . . . . . . . . . . . . . 340 d e A. Existencia y Unicidad de soluciones 345 d A.1. PRELIMINARES . . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 A.2. T. LOCAL DE EXISTENCIA si dUNICA, CASO UNIDIMENSIONAL . . . . . . . . . . . .r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 A.3. A.3. T. LOCAL LOCAL Y GLOBAL GLOBAL PARA PARA SIST. DE E.D.O E.D.O.. LINEALE LINEALES S 354 i ve SIST. R nADORES B. EXPONENCIAL DE OP E 359 U C. FRACCIONES PARCIALES 363 C.1. .1. Fact actore ores line lineal alees no repeti petido dos. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 363 C.2. .2. Fact actore ores Line Lineal alees Repe epetido tidos. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 364 C.3. Factores actores Cuadr´ Cuadráticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366



















































































ÍNDICE GENERAL

c as a ti t em a M . d e p to e , D u ia t i o q n A d e d a d si v er ni U





















































































CAP´ ITULO 1

c as a ti INTRODUCCION em a t M . d e Definici´ on on 1.1 . Si una ecuaci´ on contiene las derivadas o las diferenciales o t de una o m´ as var variab iables les dep depend endien ientes tes con respe especto a puna o m´ as variables variables e independientes, se dice que es una ecuaci´ on diferencial (E.D.). , D Si la ecuación on contiene derivadas ordinarias de una iao másas variables dependi entes con respecto a una sola variable independiente q u entonces la ecuación se dice que es una ecuación on diferencial ordinaria (E.D.O.). n t io Ejemplo 1. 3 + 4y 4y = 5 A e Ejemplo 2. (x − y)dx + 5 sen y dy = 0 d a d Ejemplo 3. u + v = x i d dy dx

2

du dx

dv dx



















































































CAPÍTULO ITULO 1. INTRODUC INTRODUCCION CION determina el orden de la E.D.

Ejemplo 6.

d3 y dx3

2

d y dy + x2 dx 2 + x dx = ln x, es de orden 3.

Ejemplo 7. xdy

− ydx = 0 =⇒

dy dx

= xy , la cual es de orden 1.

as Definici´ on on 1.3 (E.D.O. lineal) Una E.D. es lineal si tiene la a t icforma: + a − (x) + . . . + a (x) + a (x)y = g (x ) m a (x) a te Es decir, la variable dependiente y dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente M solo de x. Si no uno y cada coeficiente a (x), a (x), . . . , a (x), g (x), depende se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal. d e to . p Ejemplo 8. x + cos x + sen x + x y = e e es lineal de orden 3. , D Ejemplo 9. sen x + xy = 0 no es lineal. u ia q Ejemplo 10. y + y + xy = x no es lineal. o n ti n Af con dominio en un intervalo I Definici´ on on 1.4 . Se dice que una funci´ on o , d sie la función es solución on a una E.D. en el intervalo I on satisface la E.D. en el intervalo I . d a d i n

dn y dxn

dn−1 y dxn−1

n 1

1

0

1

2 d3 y

d2 y dx2

dx3

d3 y dx3

2 d2 y

dx2

2

dy dx

dy dx

0

n

dy dx

2

x



















































































luego y = y por tanto x = y ln (cy) on. cy) es solución. Una E.D. acompa˜ nada de unas condiciones iniciales se le llama un pronada blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un problema de valor inicial tiene solución on y también en deseamos des eamos saber si esta es ta soluci´ so lución on es unica, u ´ nica, aunque aunque no podamos conseguir conseguir expl´ expl´ıcitamen ıcitamente te la soluci´ soluci´ on. o n. El siguiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este teorema lo enunciamos y demostramos con más as profundidad profund idad en el Apéndice endice al final del texto.

c as a ti Teorema 1.1 (Picard) t em Sea R una una regi´ gioń rectangular en el plano X Y adefin definid idaa por por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x , y ) Men su interior. d e I con cenSi f ( f (x, y) y son continuas en R, entonces existe un intervalo tro en x y una unica u ńica función on y(x) definida definida en I que satisface el problema . o de valor inicial y = f ( f (x, y), y(x ) = y . e p t Ejemplo 12. Para la E.D. y  = x + y , se tiene que f ( f (x, y) = x + y D , lo tanto por cualquier y = 2y son continuas en todo el plano X Y , Y , por a ui on punto (x (x , y ) del plano X Y pasa una y solo una soluci´ on de la E.D. anteri o q or. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una solución on expl exp l´ıcita ıc ita;; sólo olo con métodos etodo s numéricos ericos se puede on. n tihallar la solución. cos5 x Aes soluci´ solución on de y  + 25y 25y = 0. Ejercicio 1. Demostrar que y = c cos5x d e Ejercicio Ejercicio 2. Demostrar que y = e − d o n de e dt + c e− es solución  2xy = 1. y + 2xy i d a 0

∂f ∂y

0

0

0

0

2

2

2

∂f ∂y

0

0

1

x2

 x

0

t2

1

x2

2



















































































CAPÍTULO ITULO 1. INTRODUC INTRODUCCION CION que no pueda obtenerse a partir de la solución on general se le llama soluci´ on on singular . Veremos más as adelante que la solución on general a una E.D. lineal de orden n tiene n parámetros. ametros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener expl´ıcitame ıcit amente nte una u na soluci´ solu ción on general.

Ejemplo 13. y = C x4 es solución on general de xy  Con C = 1 entonces la solución on particular es y = x4.

− 4y = 0.

c as a ti Tamb Tambiién x x≥0 f (x) = −x x < 0 t em a M es una solución on singular, porque no se puede obtener a partir e de la solución d general. . o e p t Ejercicio 5. Si y  − xy = 0, demostrar a). y = ( + C ) es solución on general. , D ia b). Si C = 0 mostrar que y = es soluci´ soluci´ on on particular. q u c). Explicar Expl icar porqu´ p orqué y = 0 es solución on singular. t io Ejercicio 6. Si y  = y − 1, demostrar n A a). y = − es soluci´ solucion ón general. d e b). Explicar Expl icar porqu´ p orqué y = −1 es solución on singular. singular. d Ejercicio 7. Si xy  + 1 = e , comprobar on i d a que e− − C x = 1 es solución



4

4

1 2

x2

2

4

x4

16

2

1+Ce 2x 1 Ce 2x

y

y



















































































1.1. CAMPO CAMPO DE DIRECC DIRECCIONES IONES

1.1. 1.1.

CAMP CAMPO O DE DIRE DIRECC CCIO IONE NES S

Dada la E.D. y = f ( f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa una dirección on en el plano X Y , Y , podemos por lo tanto asociar a cada punto (x, y) una dirección. on. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de direcciones o campo pendiente de la E.D. y  = f ( f (x, y). Este campo de direcciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como por ejemplo si son asintóticas oticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc.. Con el paquete Maple haremos un ejemplo. Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y  = 2x2 + y2 y cuatro curvas solución on de la E.D. que pasan por los pun puntos tos (0, (0, 2), 2), (0, (0, 0), 0), (0, (0, 1), 1), (0, (0, 1) respectivamente. respectivamente.

c as −a ti t em − a M > with(DEtools): with(DEtools): DEplot (diff(y(x),x)=-2 (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x) *x^2+y(x)^2,y(x), ^2,y(x),x=-2..2, x=-2..2,color=bla ck, . d ecolor=black, {[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black); p to e , D u ia t i o q n A d e d a d i 2

1

y(x)0

-2

-1

0

1

2





















































































CAPÍTULO ITULO 1. INTRODUC INTRODUCCION CION

1.2.

´ DE CONTINUIDAD ECUACION

Para finalizar este Cap´ Cap´ıtulo, es importante hacer un corto comentario sobre la ecuación on de continuidad; continuidad; con ella se construyen construyen modelos mo delos de fenómenos omenos en diferentes áreas areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuación on de continuidad nos dice que la tasa de acumulación on de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un tanque, un órgano organo humano, una persona, una ciudad, un banco, una universidad, un sistema ecológico, ogico, etc.) es igual a su tasa de entrada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables.

c as a ti t em a Si la variable es x y la tasa de entrada es E (t) y la tasa de salida es S (t) M entonces la tasa de acumulación on es d e dx = E (t) − S (t). to . dt ep aumenta por ingesta Ejemplo 15. La concentración on de glucosa en la sangre D a una razón constante de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa



















































































c as a ti ´ ´ m METODOS DE SOLUCION a te M d e . o 2.1. 2.1. VARIABL ARIABLES ES SEPARA SEPARABLE BLES e p t S dy g(x) Ddx = es separable Definici´ on on 2.1 . Se dice que una E.D. de la forma: h( ) CAP´ ITULO 2



















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION separando variables dy = e3x dx 2 y e e integrando

c as a ti la solución on general es em e e− + = C a t 3 2 M Ejemplo 2. = xy (1 + x )− , con y(0) = 1 d e . o Soluci´ on: on: separando variables e p t 2x D y− dy = √ dx 2 1+x −

1 −2y e3x + C = e 2 3

3x

dy dx

3

2y

2

1 2

3

2



















































































2.1. VARIABLES SEPARABLES SEPARABLES luego C = −23 La solución on particular es

−1 = √1 + x − 3 2y 2 2

2

Resolver los lo s siguientes sig uientes ejercicios ejerci cios por p or el método etodo de separaci´ sepa ración on de variables:

c as a ti Ejercicio 2. y  + y sen x = 0 t em (Rta. y = − ) a M Ejercicio 3. 3e tan y dx + (2 − e )sec y dy = 0 d e (Rta. (2 − e ) = C tan C tan y) to . ep Ejercicio 4. y  sen x = y ln y, si y =e (Rta. ln y = csc x − cot x) D Ejercicio 1. (4y (4y + yx 2 ) dy (Rta. 2 + y 2 = C (4 (4 + x2 ))

2

(2x + xy ) dx = 0 − (2x

2

1 cos x+c x

2

x

x 3

 π

2



















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION





dy dy Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y 2y = xy dx y = a y x = 2a. 3 y (Rta.: yx 2 = 4ae e a )

2.2. 2.2.

en

´ ECUA ECUACI CION ONES ES HOMO HOMOG GENEAS

c as a ti Ejemplo 3. f (x, y ) = x + xy + y es homogénea enea de grado t em dos. a M Definici´ on on 2.3 .Si una ecuación on en la forma diferencial d e : M (x, y) dx + N ( N (x, y) dy = 0 . to e(ptx,ty) ) = t N (x, y), entiene la propiedad que M (tx,ty) tx,ty) = t M (x, y) y N tx,ty tonces tonces decimos decimos que es de coeficient coeficientes es homog´ homogéneos eneos o que es una E.D. ho D mog´ mo génea en ea

Definici´ on on 2.2 : f ( hom ogénea enea de grado gra do n si existe un real n tal que f (x, y) es homog´ n para todo t: f ( f (tx,ty) tx,ty) = t f (x, y ). 2

2

n

n





















































































´ 2.2. ECUACIONE ECUACIONES S HOMOG HOMOGENEAS Soluci´ on: on: y (x + ye x ) dx

− xe

y x

dy = 0 donde

homog´ hom ogénea enea de orden orde n 1

homog´ hom ogénea enea de orden orde n 1

  

M (x, y ) = x + ye

y x

  − 

y

N ( N (x, y) =

y

xe x

c as a ti m

La sustitución on m´ as as sencilla es: y = ux, ux, por tanto dy = u dx + x du Sustituyendo en la E.D. ux

(x + uxe x ) dx

− xe

ux x

(u dx + x du) du) = 0



















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION (x2 z 2α 1)αz 1)αz α−1 dz + 2xz 2xz 3α dx = 0 2xz 3α dx = 0 α(x2 z 3α−1 z α−1 )dz + 2xz

−

(2.1)

−

suma de exponentes exp onentes en e n los lo s términos: erminos : 2+3 2 +3α 1+3α respectivamente. α 1, α 1 y 1+3α

−

−

Análisis alisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:

− 1 = α − 1, se concluye α = −1 c as ti − − − Sustituyo en la E.D. (2.1): ( −1)(x 1)(x z − 1)z 1)z dz + 2xz 2xz dx a= 0 1 + 3α 3α = 2 + 3α 3α

2

2

2

3

m



















































































´ 2.2. ECUACIONE ECUACIONES S HOMOG HOMOGENEAS

x2 + z = C z Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces luego x2y 2 + 1 = C y,

x2 y −1

+ y−1 = C

c as eneas, a ti ó conResolver los siguientes ejercicios por el método etod o d dee las l as homog´ e neas, vertirla en homogénea enea y resolverla r esolverla según un el caso: m es la solución on general.



















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION dy Ejercicio 10. dx = cos( xy ) + xy . (Rta.: sec( xy ) + tan( xy ) = C x)

Ejercicio 11. Hallar la solución on particular de la E.D. yx2 dx

3

− (x

+ y3 )dy = 0,

donde y(0) = 1 (Rta.: ln y = 13 ( xy )3 )

||

on particular de la E.D. Ejercicio 12. Hallar la solución

c as a ti m



















































































2.4. ECUACIONES EXACTAS EXACTAS 2. Si las dos rectas no se interse intersectan ctan (o sea son paralelas), paralelas), entonces entonces αx + βy = n(ax + by) by) y por tanto se hace la sustitución on z = ax + by, by, lo cual quiere decir que αx + βy = nz, esta sustitución on convierte la E.D. en una E.D. de variables separables.

Ejercicios: resolver por el método etodo anterior: 1. (x

− y + 1) dx + (x (x + 2y 2y − 5) dy = 0

1

c as a ti m





















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION es la diferencial total de f ; f ; pero si z = c = f ( f (x, y) (familia de curvas uniparamétricas etricas el plano X Y ), entonces



















































































2.4. ECUACIONES EXACTAS EXACTAS por tanto, ∂M

∂ 2f

∂ 2 f

∂N



















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION

Nota: en ii) se pudo haber comenzado por

∂f ∂y

= N (x, y).



















































































2.4. ECUACIONES EXACTAS EXACTAS ∂f = xy2 + 3x 3x2 y ∂x

(2.4)



















































































´ ´ CAPÍTUL ITULO O 2. 2. METODOS DE SOLUCION (Rta.: M (x, y) = 12 y2 ex (x + 1) + y 2

−

y x2

+ g (x))





























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































c as a ti t em a M . d e p to e , D u ia t i o q n A d e d a d si v er ni U

ii

ÍNDICE GENERAL

c as a ti t em a M . d e 1. INTRODUCCION o t 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . p. . . . . . . . . . ´ N DE CONTINUIDAD . . . . . . e . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. ECUAC ECUACIIO , D ´ ´ ia 2. METODOS DE SOLUCI ON 2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . .u . . . . . . . . . . . . ´ NEAS . . . o q. . . . . . . . . . . . . 2.2. ECUACIONE ECUACIONES S HOMOGE LES n ti S . . . . . . . . . . . . 2.3. 2.3. E.D. E.D. CON COEF OEFICIE ICIENT NTES ES LINEA INEALE 2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . A. . . . . . . . . . . . . . . ´ N e. . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. FACTORES ACTORES DE INTEGRA INTEGRACI CIO Ed N . . . . . . . . . . . . . . 2.6. E.D. LINE INEAL DE PRIME IMER OR D d 2.7. E.D. DE BERNOULLI . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. 2.8. E.D. E.D. NO LINE LINEAL ALE ES DE PRIM PR IME ORDEN N . . . . . . . . . . si dER ORDE 2.9. OTRAS SUSTITUCIONES .r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 2.10.. ANE ANEXO CON EL PAQUET QU ETE aple . . . . . . . . . . . . . . i vEe Maple n 3. AP APLI LICA CACI CION ONES ES DE LA LAS E.D. DE PR PRIM IMER ER ORDE ORDEN N S UÉ.D. 3.1. APLICAC APLICACIONES IONES GEOMETRICAS . . . . . . 3.1. 3.1.1. 1. Tray rayecto ectori rias as Isog Isogon onal ales es y Ort Ortog ogon onal ales es . 3.1.2. 3.1.2. Proble Problemas mas de Perse Persecuc cuci´ ión: . . . . . . 3.1. 3.1.3. 3. Ap Apli lica caci cion ones es a la la geo geome metr tr´´ıa anal anal´´ıtic ıticaa . Ń . . . 3.2. CRECIMIEN CRECIMIENTO TO Y DESCOMP DESCOMPOSICI OSICIO 3.2.1. 3.2.1. Desin Desinteg tegrac raci´ i´ on radioactiva . . . . . . . iii

. . . . . .

. . . . . .

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1 5 6 7 7 10 14 15 21 26 32 34 43 46 49 49 49 51 54 55 56













































































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