LIBRO DE HAYT CAPÍTULO 2 2. 1._ Las 2 pequeñas esferas de plástico que se muestran en la figura, están colocadas de tal modo que pueden deslizarse libremente a lo largo de la fibra aislante. Cada una tiene una masa de 0.1 g. las esferas tienen idéntica carga positiva. a) Si la esfera inferior i nferior está sostenida por el nudo inferior. Y la esfera superior se desplaza por repulsión. Hasta un sitio que dista 6 cm de dicho nudo, encuentre la carga en cada una de ellas. b) Para las mismas cargas. ¿Qué ángulo deberá formar la fibra f ibra con el plano horizontal, para duplicar la separación? Nudo
Datos M(esferas)=0.1 g D esfera-nudo=6cm
Resolucion Frepulsiva – Peso =0 -k Q^2/r^2-mgsenѳ=0 Q= 3.92 E-9senѳ
Q máxima es en un angulo igual a 90 o 270 2.3
q1=q2=q3=q4= 50nC = 50.10 -9 C A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,1,0), D(0,-1,0)
√ √
2.5
√ √ √
E1= E2=
2.11) ocho cargas puntuales de 1nC cada una. Estan situadas en las esquinas de un cubo de 1m de lado en el espaco libre encuentre E en el centro de a) el cubo, rQ1=1k =1k
rQ5=1 j
rQ2=1i =1i+1k +1k
rQ26=1 j+1 j+1kk
rQ3=1i =1i
rQ7=1i+1j+1k =1i+1j+1k
rQ4=1i =1i+1 j
rQ8=0i+0 j+0k
rP=0.5i+0.5 j+0.5k E1= 9x109(1x10-6/0.866)(0.57 i +0.57 j +0.57 j-- 0.57k 0.57k)=5.92x103i+5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E2= 9x109(1x10-6/0.866)(-0.57 i +0.57 j +0.57 j-- 0.57k 0.57k)=-5.92x103i+5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E3= 9x109(1x10-6/0.866)(-0.57 i +0.57 j +0.57 j+ + 0.57k 0.57k)=-5.92x103i+5.92x103 j+5.92x10 j+5.92x103k (V/m)
2.5
√ √ √
E1= E2=
2.11) ocho cargas puntuales de 1nC cada una. Estan situadas en las esquinas de un cubo de 1m de lado en el espaco libre encuentre E en el centro de a) el cubo, rQ1=1k =1k
rQ5=1 j
rQ2=1i =1i+1k +1k
rQ26=1 j+1 j+1kk
rQ3=1i =1i
rQ7=1i+1j+1k =1i+1j+1k
rQ4=1i =1i+1 j
rQ8=0i+0 j+0k
rP=0.5i+0.5 j+0.5k E1= 9x109(1x10-6/0.866)(0.57 i +0.57 j +0.57 j-- 0.57k 0.57k)=5.92x103i+5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E2= 9x109(1x10-6/0.866)(-0.57 i +0.57 j +0.57 j-- 0.57k 0.57k)=-5.92x103i+5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E3= 9x109(1x10-6/0.866)(-0.57 i +0.57 j +0.57 j+ + 0.57k 0.57k)=-5.92x103i+5.92x103 j+5.92x10 j+5.92x103k (V/m)
E4= 9x109(1x10-6/0.866)(-0.57 i -0.57 j+ -0.57 j+ 0.57k 0.57k)=-5.92x103i-5.92x103 j+5.92x10 j+5.92x103k (V/m) E5= 9x109(1x10-6/0.866)(0.57 i -0.57 j -0.57 j+ + 0.57k 0.57k)=5.92x103i+5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E6= 9x109(1x10-6/0.866)(0.57 i -0.57 j -0.57 j-- 0.57k 0.57k)=5.92x103i-5.92x10 i-5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E7= 9x109(1x10-6/0.866)(-0.57 i -0.57 -0.57 j j-- 0.57k 0.57k)=-5.92x103i-5.92x10 i-5.92x103 j-5.92x10 j-5.92x103k (V/m) E8= 9x109(1x10-6/0.866)(0.57 i +0.57 j+ +0.57 j+ 0.57k 0.57k)=5.92x103i+5.92x103 j+5.92x10 j+5.92x103k (V/m) Et= E1+ E2 +E3+ E4+ E5+ E6+ E7+ E8 ET= 0 (V/M) b)una cara, rP1=0.5i+0.5 j+1k rP2=1i+0.5 j+0.5k rP3=0.5i+0.5 j rP4=0.5 j+0.5 j+0.5kk rP5=0.5i+1 j+0.5k rP6=0.5i+0.5k =0.5i+0.5k rP1/1=0.5i+0.5 j rP1/2=-0.5i+0.5j =-0.5i+0.5j rP1/3=-0.5i+0.5 j+1k rP1/4=-0.5i-0.5 j+1 j+1kk rP1/5=0.5i-0.5 j+1k rP1/6=0.5i-0.5 j rP1/7=-0.5i-0.5 j rP1/8=0.5i+0.5 j+1k
E1= 9x109(1x10-6/0.71)(0.71 i +0.71 j)=9x103i+9x103 j (V/m) E2= 9x109(1x10-6/0.71)(-0.71 i +0.71 j)=-9x103i+9x103 j (V/m) E3= 9x109(1x10-6/1.22)(-0.41 i +0.41 j+0.82k)=-5.19x103i+5.19x103 j+10.39k (V/m) E4= 9x109(1x10-6/1.22)(-0.41 i -0.41 j+0.82k)=-5.19x103i-5.19x103 j+10.39k (V/m) E5= 9x109(1x10-6/1.22)(0.41 i -0.41 j+0.82k)=+5.19x103i-5.19x103 j+10.39k (V/m) E6= 9x109(1x10-6/0.71)(0.71 i -0.71 j)=9x103i-9x103 j (V/m) E7= 9x109(1x10-6/0.71)(-0.71 i -0.71 j)=-9x103i-9x103 j (V/m) E8= 9x109(1x10-6/1.22)(0.41 i +0.41 j+0.82k)=+5.19x103i+5.19x103 j+10.39k (V/m) ET=4 0.39k (V/M)
2.13 Para x, y y z positivos, ρ = 40xyz C/m3. Determine la carga total dentro de la región definida por a) 0 ≤ x,y,z≤2 b) x = 0, y = 0, 0 ≤ 2x + 3y ≤ 10, 0 ≤ z ≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
a) Q = Q= Q= Q=
Q = 320 C
=
=
=
b) Q= Q= Q= Q= Q= Q=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
Q= Q = (5555.55 – 740.740 + 2820.98) Q = 7635.79 C
2.15. La densidad de carga volumétrica esta dada por :
Calcule la carga contenida en el primer octante
2.17) Una carga lineal uniforme de 16nC/m se ubica a lo largo de la línea definida por y= 2, z=5, si ϵ= ϵ0. a) encontrar E en P(1,2,3). b) Encontrar E en ese punto sobre el plano z=0 donde la dirección de E está dada por (1/3)ay – (2/3)az. a)
|| || 2
ϵ0)*(Rp/lRpl )
b)
2.19) Una densidad de carga lineal de 24nC/m está situada en el espacio libre, sobre la línea y=1, z=2. A) Encontrar E en P(6,-1,3). B) ¡ Qu{e carga puntual Qa deber{ia estar situada en Q(-3,4,1) para que Ey sea igual a cero en P?
2.21Dos cargas lineale s uniformes del mismo valor con ρ l =75nC/m están ubicadas en el espacio libre en x=0, y=+-(0.4m) ¿Qué fuerza por unidad de longitud ejerce cada una de las cargas lineales sobre la otra? d1-2=0.8(m)
2.23 Una lámina cargada con p s = 2 nC/m2, está en el plano x = 3 en el espacio libre, y una línea de carga con p L = 20 nC/m, está situada en x =1, z = 4.a) Calcule la magnitud de la intensidad de campo eléctrico en el origen, b) Encuentre la dirección de E en P(4, 5,6). c) ¿Cuál es la fuerza sobre cada metro de la línea de carga? a.
Como:
( ) ( )
√ √
Siendo:
y sustituyo
[(√ )][(√ )(√ )] Como:
b.
Como:
c.
2.25 una línea con , está situada a lo largo de la línea x=2, y=5, en el espacio libre. a) encuentre E en P(1,3,-4) Entonces aplicamos la formula:
2.27 En la región rectangular -2
dy dx
Ey
5 x
Ex
3
2
15 x y
x 3 y
3 ydy xdx 3 2
y 2
C
3
C
3
2
x
2
2
C
y 2
x
2
2
Para x=2 y y=3
C
*9 2 2 23 2
Finalmente y
x
y
x
2
3
2
23
2
3
3
*
23 2
3
b) Un vector unitario a E que especifica la dirección de E en P, un vector unitario a ┴ = (l,m,0) que sea perpendicular a a E en el punto P cuando l > 0 E 180 a x 40a y
a N
(a E a z )
E 184 .39
a N
(0,22a x 0.98a y )
a E 0,98a x 0,22a y
2.31.- la intensidad de campo eléctrico está dada por E=5e -2x(sen2y ax – cos2y ay) V/m. a) encuentre la ecuación de la línea de flujo que pasa por el punto P(0.5, π/10, 0)
Ex= 5e-2xsen2y Ey= -5e-2xcos2y dy/dx= Ey/Ex= -cos 2y/sen2y dy/dx= -cos 2y/sen2y sen 2y dy + cos 2y dx =0
-cos2y/2+xcos2y=C1 2xcos2y-cos2y=C 2(0.5)cos2π/10 – cos2π/10 =C
0=C E: 5e-2x(sen2y – cos2y) =0 b) determine un vector unitario tangente a la línea de flujo en P. -2x
E’= -10e (sen2y-cos2y),( 2cos2y+2sen2y) -1
E’ = -10e (sen2π-cos 2π), (2cos2π2sen2π) E’= 10/e; 2
CAPÍTULO 3 3.1.- Un bote metálico de pintura, vacío, se coloca sobre una mesa de mármol, la tapa se retira y ambas partes se descargan eléctricamente haciendo tierra. Se pega un hilo de nailon en el centro de la tapa, y se adhieren al hilo una moneda de 1 centavo, otra de 5 y una más de 10 centavos, sin que se toquen una otra. A la moneda de 5 centavos se le da una carga de +5 nC, mientras que las otras dos permanecen descargadas. Todo este arreglo se baja dentro del bote de modo que las monedas cuelguen sin tocar las paredes y se asegura la tapa. El exterior del bote se pone momentáneamente haciendo tierra. El dispositivo se desarma cuidadosamente guantes y herramientas aislantes. a) ¿Qué cargas se encuentran en cada una de las cinco piezas metálicas?
Todas las monedas fueron aisladas durante todo el proceso, entonces éstas tendrán su carga original: la de 1 centavo = +5nC, la de 5 centavos = 0 y la de 10 centavos = 0. La carga de la moneda de 1 centavo habrá inducido una carga igual y opuesta negativa de 5nC sobre las paredes internas de la lata y la tapa. Ésta dejó una capa de carga de 5nC en la superficie externa, la cual fue neutralizada por la conexión a tierra. Por lo tanto, la lata retuvo una carga neta de -5nC después del desmontaje. b) Si a la moneda de 1 centavo se le ha dado una carga de +5nC, a la de 10 centavos una carga de —2nC y a la de 5 centavos una de -1nC, ¿cuál sería el arreglo final de cargas?
Otra vez, desde que las monedas son aisladas retendrán sus cargas originales. La carga inducida dentro de las paredes de la lata y la tapa es igual a la suma de las cargas de las monedas, -2nC. Ésta es la carga que la lata y la tapa retienen después de la descarga y desmontaje.
3.3 Una densidad de carga superficial qué no es uniforme de 5p/(p 2 + l) nC/m 2 se encuentra en el plano z = 2 siempre que p < 5; p s = O para p > 5. á) ¿Qué cantidad de flujo sale de la región circular p < 5, z = 2? b) ¿Qué cantidad de flujo cruza el plano z= O en la dirección de - ? c) ¿Qué cantidad de flujo sale del cilindro p . = 3 en la dirección de ?
a)
∫ ∫ Como:
=8.4
Como:
b) El flujo es cero porque se anulan c)
Como:
3.5. En el espacio libre se encuentra Q1=10nC localizada en P1 (0,-4,0) y Q2=20nC localizada en P2 (0,0,4). A) determine E en el origen. B) ¿Dónde debería situarse una carga puntual de 30nC, de modo que E=0? a) E=Eo
b)
|| | |
Ex=0 R13= 0ax + (y+4) + 0az R23= 0ax + yay – 4az
3.9. La región esférica 0 < r < 10 cm, contiene una densidad de carga volumétrica 3 ρv=4μC/m a) Determine Q tot, 0 < r < 10 cm 2 0.1
Q
(4 10
6
2
)r sin drd d
0 0 0
Q 4 (4 10 ) 6
0.1
r 3 3
0
8
Q 1.68 10 C
b) Encuentre Dr, 0
Dr (100mm)
168 10
10
4 (0.1)
2
1.33 10 7 C / m
c) La densidad de carga volumétrica no uniforme ρv=-3/(r3+0,001)nC/m3 existe para 10cm < r < r o. Encuentre r o, de modo que la carga total 0 < r < r o sea cero.
2 r 0
Q
r
3
0 0 0 ,1
3
0,001
r 2 sin drd d
Q 4 l n(r 3 0,001)
r o 0 ,1
Q 4 ln(r o 0,001) 78.095 3
Q 1.68 10 17 4 ln(r o 0,001) 78.095 0 3
Ln(r o 0,001) 6.2146 3
e 6.2146 r o 0,001 r o 1 10 3 m
⁄ { } 3.11. sea
para
y también para . En la región . Encuentre D en todos los puntos.
3.13 superficies cilindricas en p=2.4 y 6 m llevan densidades de carga uniformes de 20 nC/m^3, -4nC/m^Pso, respectivamente a)encontra D en P=1.3 y 5 m b) Determinar Pso tal que D=0 en p=7m
⇒
2 < r < 4 : 4πr 2Dr = 4π( 2 )2( 20 × 10−9 ) Dr = 80 × 10−9 r 2 C / m2 So Dr (r = 3 ) = 8.9 × 10−9 C / m2. 4 < r < 6 : 4πr 2Dr = 4π( 2 )2( 20 × 10−9 ) + 4π( 4 )2( −4 × 10−9 ) r 2 So Dr (r = 5 ) = 6.4 × 10−10 C / m2. b) Dr (r > 6 ) = 16 × 10−9 /r2+pso(6)^2/r2
⇒
Dr = 16 × 10−9
,
ρs0 = −( 4 / 9 ) × 10−9 C / m2.
3.15) a)
b)
c)
3.17) Un cubo está definido por 1 < x, y, z < 1.2, se D= 2x 2y ax + 3x2y2 ay C/m2. a) Aplicar la ley de gauss para encontrar el flujo que abandona la superficie cerrada del cubo. b) Evaluar la D en el centro del cubo, c) Estimar la carga total encerrada dentro del cubo utilizando la ecuación 8. a)
b)
c)
∇ ∇ ∇|
-20+10i1+90+40i1+1.8V3=0 V3=40i1+1.8V3 V3=-50i1 50i1-1.8(50)i1=-70 i1=-70/4=1.75 A V3=-50i1 = -87.5 V (90)(i1)=157.5 W (1.8 V3)(i1)=-275.6W Por lo tanto, ninguna de las condiciones especificadas en (a) a (d) pueden ser satisfechas por este circuito
[ ] ∇ ∇ ∇ ∇ () 3.21 Calcular .D en el punto especificado si a) en el punto P(-2,3,5); b)
c)
en P(3,-45°,5) ;
en P(3,45°,-45°)
D=
∇ ∇ ∇ ∇ ∇
3.23 La densidad de flujo eléctrico en la región 0≤r<1 es D=10r3 ar C/m2 a)Encontrar ρv en r=0,4m b) Encontrar Dr en r=0,4m c) ¿Cuál es la carga total contenida en la región 0≤r<0,4? d) Si ρv= 0 para r>1, encontrar Dr, para r>1m
∇ ∫ ∮ ∫ ∫ a)
b) D=10r3 ar -> (r=0,4) D=0,64ar c)
Q (r=0,4)= 1,2887 C
d) Dr=0 3.25 A) Div= v.D=
= 12x2 i.
∫∭ ∬ ∫
B) V.D= v.D 12X2 en p(x,y,z) 2 ρv=12x C) Q= Q= = Q= 32 C.
=
∮∬ ∫
Q= Q= Q= Q=-8z
3.29.- Si D = 0.1 r a , C / m para r ≤ 0.4 m, y D = ( 0.0064/ r 2) a, para r ≤ 0.4 : a ) Encontrar pv en r = 0.2 y 0.5 m; b ) ¿ Qué carga puntual debería colocarse en el origen para que D fuese cero en r ≤ 0.4 ?
a) divD= pv div D=0.1
div D=-2*(0.0064)/r 3 aquí r=0.5
aquí r=0.2
pv=0.1 pv=0.3 C/m3 b)
D=Q/4ᴨr2
Q/ 4ᴨr2 =-0.0064/r2
pv= 0.2 y
pv=0 C/m3
donde r=0.5 Q=-0.0064*4ᴨ
Q=-0.0804 C 2 3.31) dado el campo D=(16/ρ )(cosφuρsenφuφ)C/m encuentre la carga total que esta
dentro del volumen
1<ρ<2 ; 0<φ<π/2 ; 0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3.33 Sea D = xar Encuentre le valor de =8
=
sobre la superficie de la esfera r= 1 =
= =
CAPÍTULO 4
∫
4.1._ Un campo en coordenadas esféricas en P (r=5, ), esta dado por E=20ar-30a +60 , V/m. Calcule el trabajo realizado al mover una carga de 10 μC una distancia de 0.8 μm en la dirección: a) ar b) a c) a d) de E e) de G=2ax + 4ay – 3az. T=
4.3 Si E = - 50 – 50x + 30 V/m. Calcule la cantidad diferencial de trabajo realizado al mover una carga de 2 uC una distancia de 5um desde: a) P (1 ,2,3) hacia Q(2,4,1); b) 2(2,4,1) hacia P(\, 2,3).
4.5. En el espacio libre se encuentra Q1=10nC localizada en P1 (0,-4,0) y Q2=20nC localizada en P2 (0,0,4). A) determine E en el origen. B) ¿Dónde debería situarse una carga puntual de 30nC, de modo que E=0? a) E=Eo
b)
|| | |
Ex=0 R13= 0ax + (y+4) + 0az R23= 0ax + yay – 4az
4.9.-Cada uno de los ejes coordenados contiene una densidad de carga uniforme de 20 nC/ m en el vacío. Dados los puntos A(1,2,3) Yb ( 6,8,10,), encuentre V AB debido a : a) p L en el eje x únicamente; b)p L en el eje y únicamente ; c)p L en el eje z únicamente; d) las tres líneas de carga.
a) pL=20*10-9C/m VAB=-∫BAE.dl
donde
E= pL/2ᴨεor
2ᴨεo=10-9/18
VAB=-∫61 20*10-9/(10-9/18) VAB=-180∫61dr/r=-180**(ln1-ln6) VAB==456 V b) VAB=-∫82 20*10-9/(10-9/18) VAB=-180∫82dr/r=-180**(ln2-ln8) VAB=469 V c) VAB=-∫103 20*10-9/(10-9/18) VAB=-180∫103dr/r=-180**(ln3-ln10) VAB=538 V d) VAB=-∫143.7 20*10-9/(10-9/18) VAB=-180∫143.7dr/r=-180**(ln3.7-ln14) VAB=1463 V 4.11) En el espacio libre, una línea de carga ρL=8nC/m esta contenida a lo largo de todo
el eje z y dos cargas de 100nC cada una están localizados en (0,0,4) y (1,2,3) encuentre la diferencia de potencial V PQ dados P(2,0,0) y Q(0,0,5)
4. 13 cuatro cargas puntuales idénticas de 4 pC se encuentran en las esquinas de un cuadrado de 0.5 mm de lado ¿ Cuanto trabajo ha de realizarse para mover una de ellas a un punto equidistante de las 3 y sobre el mismo plano?
W a lo largo del eje x
√
√ W a lo largo del eje y
√
SI d=0.35355339
√ √
4.15 una carga punto de 16nC esta en Q(2,3,5) en el espacio libre y una distribución de carga lineal uniforme de 5nC/m esta en la interseccion de los planos X=2 , Y=4. Encuentre V en p(4,1,3)
∑ || || || V = -139.8V 4.17. Dos densidades de carga de superficie uniforme de 6 y 2 nC/m 2 están presentes en ρ = 2 y 6 cm, respectivamente; en el espacio libre. Suponer que V = 0 en ρ = 4 cm y calcular V en: a) ρ = 5cm; b) ρ = 7cm
a) ρ=5 cm: Como V= 0 en 4 cm, el potencial a 5 cm será la diferencia de potencial entre los puntos 4 y 5
∫ ∫ ) (
b) ρ = 7cm: Aquí integramos parte por parte desde ρ = 4 hasta ρ = 7, así:
∫ ∫ * +* +
4.19) Un disco, p ≤1 cm , z=0, contiene una densidad de carga superficial ps= 1/p nC/m 2. Calcule V en el punto P(0,0,z) si V=0 ene le finito.
2 3
2
2
2
V= 2x z +3ln(x +2y +3z ) evaluado en el punto P(3,2,-1) a) V=-15 V b) IVI= 15 V c)
E I p=−∇ V I p= 7,1ax+22,8ay-71,1az V
d) Obtenemos la magnitud del literal c IEI p=75 V/m e) anI p=-E/IEI= -0.095ax-0.304ay+0.948az f)
2)
DI p= E 0* EI p =62,8ax+202ay-629az (pC/m
4.23) Se sabe que un potencial esta dado por V=80ρ
0.6
V. suponiendo condiciones en el
espacio libre encontrar, a) E, b) La densidad de carga volumétrica en ρ= 0.5m, c) La carga total dentro de la superficie cerrada ρ=0.6, 0 < z < 1
a)
∇
| ∇ | | | | | |
b)
c)
Entonces
4.25 a) V=10050r150r.senѳ.senφ (v) V=100+50+150.sen(п/2).sen(0) (V) V=150 (v)
E=-V.v=-(
)
E=-(50+150.sen(п/2).sen(0)ar 150cos(п/2)sen(0)aѳ (1/sen(п/2))150.sen(п/2).cos(0)aφ
E=-50 ar -150aφ (V/m) D=Eo E D=-50Eoar-150Eoaφ
√
D=50Eo V.D=ρv
Ρv=-(
)
Ρv=0
b) D=
√ √
50Eo
Q=800
(C)
4.27 Dos cargas puntuales de 1 uC y -1 uC se encuentran localizadas en (0,0,0.5) y (0,0,0.5), respectivamente. Considere estas dos cargas como un dipolo en el origen y calcule: a) V en P (3,0,4); b) E en P. luego calcule los valores exactos para los incisos a) y b). a) V= (Q/4πEo)(1/R1 – 1/R2) R1 = (x-x1’) (y-y1’) (z-z1’) R1 = (x-x2’) (y-y2’) (z-z2’) 2 2 2 1/2 2 2 2 1/2 V= (Q/4πEo)(1/((x-x1’) + (y-y1’) + (z-z1’) ) – 1/((x-x2’) + (y-y2’) + (z-z2’) ) ) b) E = -grad V E= -(Q/4πEo )(U1+U2) E = -(Q/4πEo ) (((x-x1’) (y-y1’) (z-z1’))/ ((x-x1’)2+ (y-y1’)2 + (z-z1’)2)1/2 + (((x-x2’) (y-y2’) (z-z2’))/ ((x-x2’)2+ (y-y2’)2+ (z-z2’)2)1/2) c) R1 = 3i + 7/2 k R2 = 3i + 9/2 k 1/2 1/2 V= (Q/4πEo)(1/(85/4) – 1/(117/4) ) V=(1.6*10-8)/( 4πEo) V d) E = -(Q/4πEo ) ((3i 7/2k)/(85/4)1/2 + (3i + 9/2 k)/ (117/4) 1/2) E= -(1.6*10-6)/(2πEo)(0,60 i 0,80 k) V/m
4.29 Un dipolo que tiene un momento p=3ax - 5ay + 10 az Nc. M se localiza en Q(1,2,-4) en el espacio libre.a) encuentre V en P(2,3,4). Utilizamos la expresión general para el potencial en el campo lejano:
| |
Donde r-r´=P-Q=(1,1,8)
| |
= 1.31V
4.33 Una esfera de cobre lcon radio igual a 4 cm en el espacio libre contiene unas carga total de 5micro C distribuida uniformemente sobre la superficie a) Utilice la ley de gauss para encontrar D fuera de la esfera B)calcule la energía total almacenada en el campo electrostático useWe=Q^2/2c para calcular la capacitancia de la esfera a)
. D = Q/4πr2 ar= 5 × 10−6/4πr2 ar C b)
) ( ∫ ∫∫ ∫ ∫
)sinƟdrd Ɵd ₴
lmites0 -2π 0-π 0.04 -∞
c) usando
^2/ 2C
C = Q2/2WE=(5 × 10−6)2/ 2(2.81) =4.45 × 10−12 F = 4.45 pF
4.35) a)
b)
CAPÍTULO 8 8.1.a) Encontrar H componentes cartesianas en el punto P(2,3,4) si hay una corriente filamentaria de 8mA en el eje z en la dirección a Z .
Aplicando la Ley de Biot-Savart, obtenemos: H1 = ∫ (I dL x a R)/4πR2 = ∫ (I dz aZ )x[2 aX +3 aY +(4-z) aZ]/ 4π(z2 -8z+29)3/2 2
3/2
= ∫ I dz *2 aY -3 aX]/ 4π(z -8z+29) 2
1/2
= I/4π *2(2z-8)( 2 aY -3 aX )/52(z -8z+29)
]
= I/26π (2 aY -3 aX )
Con I = 8mA, obtenemos H1 = -29 aX +196 aY μA/m b) Repetir el problema si el filamento se encuentra en x=-1, y=2.
H2 = ∫ (I dz a Z )x[(2+1) aX +(3-2) aY +(4-z) aZ]/ 4π(z2 -8z+26)3/2 = ∫ I dz *3 aY - aX+/ 4π(z2 8z+26)3/2 2
1/2
= I/4π *2(2z-8)( 3 aY - aX )/40(z -8z+26)
]
= I/20π (3 aY - aX )
Con I = 8mA H2 = -127 aX +382 aY μA/m c) Encontrar H si ambos filamentos están presentes
H = H1 + H2
H = -421 aX +578 aY μA/m 8.3 Encuentre H en P(2,3,5) en coordenadas cartesianas, si existe un filamento portador de corriente de longitud infinita, que pasa a través del origen y el punto C. Una corriente de 50A se dirige desde el origen hasta C, donde la localización de C es: a) C(0,0,1) b) C(0,1,0) a)
√ √ √ √ √ √ √ b)
√ √ √ √ √ √ √
8.5 a) un filamento portador de corriente I de forma circular, con ρ=a, se encuentra en
b) determine Hz en P, provocado por una densidad de corriente superficial uniforme, k= , que fluye el plano z=z’. encuentre Hz en P(0,0,z), si I fluye en la dirección de por la superficie cilíndrica, ρ=a, 0≤ z ≤h.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = -
=
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ [ ⃗ ] ⃗ ⃗ [⃗ ⃗ ] ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ] ⃗ ⃗ [ ⃗ ] ⃗ [⃗ ⃗ ⃗ b)
⃗ 8.9. Una densidad de corriente superficial, k=20a x A/m, fluye en el plano y=0 a través de la región -5 < z < 5m, - ∞ < x < ∞. Encuentre H en P (0,10,0) en el espacio libre. 5
Hp
20a x ( xa x 10a y za z ) 4 ( x 100 z 2
5 5
4
Hp
5
20(10a z za y )
( x 100 z 2
5
5
50
Hp
50
Hp
Hp
( x 100 z 2
2)
3
2
2
dxdz
dxdz
dxdz
x
5 ( z
2
5
a z
2
3
5
100
a z
3
200a z
4
Hp
2)
2)
( z
5
100) x 2 z 2 100 2
2
100)
dxdz
dxdz 5
z a z tan 3 3 5 1
1
Hp 21,87 a z
8.11.- una corriente superficial k=10az A/m fluye en una porción del plano y=4 en el espacio libre delimitado por X=+- α; z=+- k Encuentre h en el origen si k=3
2
dH=Kxds.ar/4πR
ar=-x-y-z/(x2+y2´z2)1/2 dH=10azx(-xaz-yaz-zaz)dzdx/4π(x2+y2+z2)3/2
∫ ∫
H=-10(ayax)/4π
/(x2+y2+z2)3/2
8.13 Las regiones 0 ˂ z ˂ 0.1m y 0.3 ˂ z ˂ 0.4m, son placas conductoras portadoras de densidades de corriente uniformes de 10 A/m 2 en direcciones opuestas, como se muestra en la figura 8.22. Encuentre H x en z = - 0.4,0.06, 0.26,0.36,0.46m.
∫ ∫ H=
H=
H = 0.013 A/m
H=
H=
H = 0.000286 A/m
∫ ∫ ∫
H= H=
H = 0.00538 A/m
H= H=
H = 0.01A/m
H= H=
H = 0.016 A/m 8.15) a)
b)
c) 8.17. Un filamento de corriente sobre el eje z transporta una corriente de 7 mA en la dirección a z y placas de corriente de 0.5a z A/m y -0.2ªz A/m se ubican en ρ = 1cm y ρ =
0.5 cm, respectivamente. Calcular H en: a) ρ = 0.5 cm; b) ρ = 1.5 cm; c) ρ = 4 cm. D) ¿Qué placa de corriente debe ubicarse en ρ = 4 cm para que H = 0 para todo ρ > 4 cm?
a) ρ = 0.5 cm: Aquí, podríamos estar dentro o fuera de la placa actual, así que se debe calcular H para ambos casos. - Para adentro, aplicamos la ley de ampere circuital para un camino circular centrado en el eje z, tenemos:
-
Para fuera del plano actual a 0.5 cm, la ley de Ampere se convierte en:
b) ρ =1.5 cm: Aquí los tres flujos están cerrados, entonces la ley de Ampere se convierte:
c) ρ =4 cm: La solución es igual que en el caso anterior:
d) Como se require que el flujo total sea igual a cero, entonces también el flujo neto en el cilindro propuesto de 4cm debe dar cero. Para la ecuación propuesta en la parte b, la parte derecha debe ser negativa. Lo que da un equivalente de -3.2 x10 -2, entonces la densidad de corriente de la superficie a 4cm debe ser:
√
(a) i1(0)= 20mA, i2 (0) 15mA v(t)=40 (b) v (15 (c)
s)
8.25.-Sea H =-y (x2 +y 2 ) ax + x (x2 + y2 )ay A/m en el plano z = o para - 5≤ x ≤ 5 y -5 ≤ y ≤ 5m. Encuentre la corriente total que pasa a través del plano z = 0 en la dirección az dentro del rectángulo – 1< y< 1 y – 2< y< 2.
2 a 2 2 a I=∫ -y (x +y ) x + x (x + y ) y dv 2
- 5≤ x ≤ 5 5
-5 ≤ y ≤ 5
y 2
2
I=∫-5 -y (x +y )
a x
5
∫-5
x (x2 + y2 )ay dv
I=53.3 A
⁄ ∇
8.27. en coordenadas cilíndricas, un campo magnético esta dado como . a) determine la densidad de corriente como una función de dentro del cilindro. b) ¿Qué corriente total pasa a través de la superficie z = 0, , en la dirección ?
La intensidad de corriente total es 6.28A
8. 29. Dado
en el espacio libre
a) Encuentre la corriente en la dirección aѲ a través de la superficie cónica Ѳ=30°, 0 ≤ 2π,
0 ≤ r ≤ 2, utilizando el teorema de Stokes que más le agrade.
√ ⌀
⌀
⌀
8.31.- dado el potencial de campo V=50xyz V en el espacio libre, calcule la energía total almacenada dentro del cubo 0
≤
