En agosto del 2012 recibo una invitación para asistir al “I Encuentro Internacional de Matemáticas y Física: Conocimiento e Investigación Aplicados a la Educación” durante los días 12, 13 y 14 de septiembre en la ciudad de Florencia Caquetá, Colombia. ...Al ir conociendo sus trabajos que se presentaban en el Encuentro, pude apreciar cómo nuestro grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT) y el grupo de investigación DII habían recorrido caminos similares para entender la naturaleza de las competencias matemáticas. En aquel entonces, recuerdo haber estado en la presentación de varias de las investigaciones que son presentadas en este libro, y es una verdadera alegría poder evidenciar que aquellas experiencias en el aula en que se indagaba por el desarrollo de competencias matemáticas como Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, con sus respectivos objetos matemáticos, llegaron a plasmarse en un libro. Por ello es que quiero iniciar este prólogo del libro “Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje”, felicitando a los profesores e investigadores que se atrevieron a realizar esta investigación, por tres razones: la primera razón es por el tesón y prolijidad con que han estudiado la noción de competencia matemática… La segunda razón es por haber caracterizado un modelo de competencia, denominado Modelo Teórico a Priori, para estudiar el desarrollo de competencias en los estudiantes. La tercera razón, y quizás la más importante, es porque este libro presenta evidencias del aprendizaje de los estudiantes y el desarrollo de las competencias, ello es particularmente relevante porque a la fecha existe una carencia de investigaciones y experiencias que tengan evidencia sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes, y en este libro, por medio de diferentes experiencias, se describe el desarrollo en los estudiantes de diferentes competencias matemáticas. Ello es sin duda un aporte a la comunidad de Educación Matemática, tanto desde el punto de vista de la docencia como de la i nvestigación. La lectura del libro para mí ha sido de gran interés, en lo personal, porque me encuentro con que el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que se generó a raíz de mi tesis doctoral (Solar 2009), permitió el desarrollo del Modelo Teórico a Priori que permite caracterizar las competencias. …Finalmente, quiero invitar a los lectores a adentrarse en el modelo teórico a priori que propone este libro, su lectura me dio una visión de cómo investigar sobre el aprendizaje de las competencias y, sin duda, me servirá de inspiración para futuros estudios sobre el desarrollo de competencias en los estudiantes.
Horacio Solar Concepción, Agosto 2013. (Chile)
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE je za i d n e r p A e d a ic t á m te a M d a id v it c A y sc a ti á m te a M s a i c n te e p m o C
Bernardo E. García Q. Arnulfo Coronado. Leonardo Montealegre Q. Albeiro Giraldo O. Blanca Adriana TovarP. Samuel Morales P. Dawson D. Cortés J.
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Competencias matemáticas y actividad matemática de aprendizaje / Bernardo García Quiroga ... [et al.]. -- Florencia : Universidad de la Amazonía, 2013. 360 p. : il. ; 24 cm. Incluye bibliografía. ISBN 978-958-8770-17-8 1. Matemáticas - Enseñanza superior 2. Matemáticas - Problemas, ejercicios, etc. 3. Enseñanza de las matemáticas 4. Métodos de enseñanza I. García Quiroga, Bernardo, 1956510.7 cd 21 ed. A1427244 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Competencias matemáticas y actividad matemática de aprendizaje.
© Universidad de la Amazonia
Sede Principal Calle 17 Diagonal 17 con Carrera 3F - Barrio Porvenir © Autores: Varios Autores Primera Edición: 300 Ejemplares Florencia - Caqueta, Colombia -Septiembre 2013 978-958-8770-17-8
ISBN:
© Universidad de la Amazonía Sede Principal Calle 17 Diagonal 17 con Carrera 3F - Barrio Porvenir Teléfono: (098) 4358786 ISBN 978-958-8770-17-8 Autores: Varios Autores Diagramación: Artes Grácas del Valle S.A.S Primera Edición: 300 Ejemplares Florencia - Caqueta, Colombia -Septiembre 2013 Impreso en los talleres grácos de Artes Grácas del Valle S.A.S Calle 14 No 50 - 96 Tel: 3332742 - 3827503 www.artesgracasdelvalle.com Cali - Colombia La responsabilidad de los textos contenidos en esta publicación es exclusiva de(l) (os) autor(es). Prohibida la reproducción total o parcial, por cualquier medio fotográfico o digital, incluyendo las lecturas universitarias, sin previa autorización de(l) (os) autor(es).
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
BERNARDO GARCÍA QUIROGA, ARNULFO CORONADO, LEONARDO MONTEALEGRE QUINTANA, ALBEIRO GIRALDO OSPINA, BLANCA ADRIANA TOVAR PIZA, SAMUEL MORALES PARRA, DAWSON DIDIER CORTÉS JOVEN.
NUESTRO RECONOCIMIENTO
Al Departamento de Ciencia y Tecnología (Colciencias), a la Universidad de la Amazonia, a la Gobernación Caquetá, al Consejo Departamental de Ciencia, Tecnologíadel e Innovación CODECYT+ I, CAQUETÁ, a la Caja de Compensación Familiar del Caquetá (COMFACA), a los estudiantes de la Maestría Ciencias dela Educación , Énfasis en Didáctica de las Matemáticas,primera cohorte, al doctor Horacio Solar Bezmalinovic líder del grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT, Chile), a los profesores de matemáticas y Directivos de las Instituciones Educativas participantes: Su apoyo a nuestra actividad investigativa es esencial para la formación y consolidación de la comunidad regional de profesores e investigadores en Educación Matemática.
CONTENIDO
Prólogo
.............................................................................................13
DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD ...................................................21
Competencias Matemáticas: conceptualización, retos y ............................25 perspectivas. ............................................................................................. 25 ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que están presentes en la competencia matemática?................................................... 27 ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ..............................29 ¿Cuáles son sus componentes? ...................................................................29 ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje? ..........................33 Modelo teórico a priori para caracterizar las competencias matemáticas del estudiante ......................................................................... 44 Signicado para Educación Matemática ....................................................50 CARACTERIZACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL ESTUDIANTE COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL ..............................................55
Los Sistemas Semióticos de Representación .............................................. 58 La Competencia Matemática Representar. ................................................ 63 Aspectos Asociados A La Competencia Matemática .................................66
Aspecto Afectivo ........................................................................................69 La tendencia de acción ................................................................................70 Procesos Asociados a Los Aspectos de La Competencia Matemática Representar ..............................................................................71 Indicadores Asociados a Los Componentes de La Competencia Matemática Representar .............................................................................74 Complejidad de Las Tareas .........................................................................79 Aplicación Y Resultados Del Modelo Teórico A Priori ..............................81 COMPETENCIA MATEMATICA MODELIZAR: EL CASO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA..........................................105 Función cuadrática ......................................................................................119 Fenomenología de la función cuadrática ....................................................123 Modelo teórico a priori de la Competencia Matemática Modelizar (CMM) ...................................................................128 Sub-procesos matemáticos presentes en las fases de modelización .................................................................................128 Tareas y actividad matemática ....................................................................131 Niveles de Complejidad ..............................................................................133 El Componente metacognitivo de la CMM ................................................ 136 Componente de interacción social ..............................................................138 Propuesta de un modelo de competencia matemática modelizar (MCMM) ................................................................140 Discusión de resultados y conclusiones ......................................................153 COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR: EL CASO DE LA RAZÓN Y LA PROPORCIÓN .....................................161 Competencia Matemática Pensar Y Razonar ..............................................163 Objeto Matemático Razón y Proporción.....................................................173 El concepto matemático de razón ...............................................................175 Razones o fracciones...................................................................................176
Sistemas de Representación ........................................................................ 177 Fenomenología de La Razón y Proporción................................................. 177 En La Cotidianidad .....................................................................................178 En La Matemática .....................................................................................179 Teorema De Thales ..................................................................................... 179 El Modelo Teórico A Priori ......................................................................... 180 El Aspecto Afectivo ....................................................................................182 La Tendencia De Acción ............................................................................. 183 Procesos Asociados a los Aspectos de la Competencia Matemática Pensar Y Razonar ..............................................183 Procesos asociados al aspecto cognitivo .....................................................184 Proceso asociado al aspecto afectivo ..........................................................185 Proceso asociado a la tendencia de acción .................................................. 185 Descriptores Asociados a los Componentes de La ....................................186 Competencia Matemática Pensar y Razonar...............................................186 Tarea y Actividad Matemàtica .................................................................... 187 Complejidad en Las Tareas Matemáticas................................ ....................189 Aplicación del Modelo Teórico a Priori y Caracterización de la Competencia Matemática Pensar y Razonar...........191 Primeras Conclusiones ................................................................................204 COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS: EL CASO DE LA MEDIANA COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS Y EL APRENDIZAJE DEL OBJETO MATEMÁTICO LA MEDIANA ...............................................................215 Sistemas de representación numérico y algebraico. ................................... 230 Modelo Teórico a Priori de la investigación ............................................... 235 Secuencias Didácticas ................................................................................. 237 Caracterización de la competencia Matemática .........................................243
Conclusiones .............................................................................................253 COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR Y APRENDIZAJE DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS TRIÁNGULO Y CIRCUNFERENCIA ......................................................267 Concepción De Competencia Matemática .................................................270 PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO:.................................... ...................270 REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA GRÁFICA.........................................274 ASPECTO AFECTIVO: .............................................................................278 ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN ..............................................278 PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA: ........................................278 Aspecto afectivo..........................................................................................281 Aspecto de tendencia de acción: .................................................................282 Procesos Matemáticos Asociados al Aspecto Cognitivo De La Cmc .........283 Para El Caso de La Circunferencia .............................................................283 Proceso asociado al aspecto afectivo ..........................................................287 Proceso asociado al aspecto de tendencia de acción ................ ...................288 Capacidades Asociadas A La Competencia Matemática ........................... 288 Comunicar .............................................................................................288 Descriptores Y Actuaciones Asociadas A La Competencia.......................290 Matemática Comunicar ...............................................................................290 Tareas, Situaciones Matemáticas y Niveles de Complejidad......................290 Situación Matemática..................................................................................291 Modelo Teórico A Priori (Mtap) ...............................................................292 Actividades de Intervención En El Aula .....................................................299 Tarea 1: Trazado y Clasicacion De Triángulos.........................................300 Tarea 2: Trazado y Clasicacion De Triángulos.........................................302 Tarea 3: Clasicacion de Triángulos........................................ ...................303 Descriptores de los Aspectos Afectivos y Tendencia de Accion de La Cmc ................................................................305
Para El Caso De La Circunferencia: ...........................................................305 Aplicación Del Modelo Teórico A Priori (Mtap) y Caracterización de La Cmc ..........................................................306 Descriptores para evaluar el nivel de complejidad de la competencia matemática comunicar: oral – escrita ....................................308 Análisis de información .............................................................................. 310 Descriptores de los aspectos afectivos y tendencia a la ............................327 acción de la CMC........................................................................................327 Procesos asociados al aspecto cognitivo .....................................................334 Procesos asociados al aspecto afectivo y ................................................... 337 tendencia de acción .....................................................................................337 Balance de los procesos afectivos y de tendencia de acción .....................340 Balance General del Proceso y Resultados de La Intervencion en El Aula .........................................................................340
RECONOCIMIENTO ESPECIAL ............................................................345 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................347 SOBRE LOS AUTORES ............................................................................357
PRÓLOGO
En agosto del 2012 recibo una invitación para asistir al “I Encuentro Internacional de Matemáticas y Física: Conocimiento e Investigación Aplicados a la Educación” durante los días 12, 13 y 14 de septiembre en la ciudad de Florencia Caquetá, Colombia. Evento organizado por el Programa de Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad de la Amazonia. Ante mi sorpresa conocían los trabajos sobre competencias matemáticas que estaba desarrollando, y me decido a ir rumbo a Florencia a conocer a este grupo conformado por académicos y profesores que también estaban trabajando sobre el tema de competencias matemáticas. Es así como conocí a Bernardo, Arnulfo, y a todo el grupo de investigación Desarrollo Institucional Integrado (DII) de la Universidad de la Amazonia. Al ir conociendo sus trabajos que se presentaban en el I Encuentro internacional, pude apreciar cómo nuestro grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT) y el grupo de investigación DII habían recorrido caminos similares para entender la naturaleza de las competencias matemáticas. En aquel entonces, recuerdo haber estado en la presentación de varias de las investigaciones que son presentadas en este libro, y es una verdadera alegría poder evidenciar que aquellas experiencias en el aula en que se indagaba por el desarrollo de competencias matemáticas como Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, con sus respectivos objetos matemáticos, llegaron a plasmarse en un libro. Por ello es que quiero iniciar este prólogo del libro “Competencias Matemáticas y Actividad Matemática de Aprendizaje”, felicitando a los profesores e investigadores que se atrevieron a realizar esta investigación, por tres razones: la primera razón es por el tesón y prolijidad con que han estudiado la noción de competencia matemática; en un libro anterior de estos mismos autores (García, Coronado, Montealegre, Tovar, Giraldo, Morales y Cortés 2012) se realiza un
VARIOS AUTORES
estudio acabado sobre las competencias matemáticas y se dan los fundamentos para lo que serán los planteamientos de este libro. La segunda razón es por haber caracterizado un modelo de competencia, denominado Modelo Teórico a Priori, para estudiar el desarrollo de competencias en los estudiantes. La tercera razón, y quizás la más importante, es porque este libro presenta evidencias del aprendizaje de los estudiantes y el desarrollo de las competencias, ello es particularmente relevante porque a la fecha existe una carencia de investigaciones y experiencias que tengan evidencia sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes, y en este libro, por medio de diferentes experiencias, se describe el desarrollo en los estudiantes de diferentes competencias matemáticas. Ello es sin duda un aporte a la comunidad de Educación Matemática, tanto desde el punto de vista de la docencia como de la investigación. La lectura del libro para mí ha sido de gran interés, en lo personal, porque me encuentro con que el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que se generó a raíz de mi tesis doctoral (Solar 2009), permitió el desarrollo del M odelo Teórico a Priori que permite caracterizar las competencias matemáticas en el estudiante. Los componentes del MCM y de qué manera se utiliza elz Modelo Teórico a Priori, se pueden encontrar en el primer capítulo del libro, así que preero detenerme en explicar los orígenes del MCM. Entre los años 2005 y 2006 en una revisión de la literatura sobre competencias matemáticas, pude darme cuenta de que no existía una variada literatura de libros sobre la importancia de desarrollar competencias matemáticas en el aula, pero a su vez, había una carencia de investigaciones que mostraran experiencias concretas. En aquella búsqueda me encontré con el libro” Principios y Estándares para la Educación Matemática”, del National Council of Teachers of Matemathics (NCTM, 2003), propuesta curricular de esta reconocida sociedad de profesores de EEUU, cuya problemática dio srcen a lo que sería la línea de competencia matemática que estamos actualmente desarrollando. Permítanme citar la introducción del capítulo de aquel libro en que se describen los estándares (NCTM; 2003, pag 31): ¿Qué contenidos y procesos matemáticos deberían conocer y ser capaces de usar los estudiantes a medida que progresan en su escolarización? …Principios y Estándares presenta la propuesta del NCTM sobre lo que debería valorarse en la enseñanza de las matemáticas. Se requieren unos estándares ambiciosos para lograr una sociedad que tenga la capacidad de pensar y razonar matemáticamente, y una base útil de conocimientos y destrezas matemáticas. Los diez Estándares que se presentan en este capítulo describen un conjunto coherente de conocimientos y competencias matemáticas; una base comprensiva recomendada para todos los estudiantes, en vez de un menú a partir del cual tomar decisiones curriculares. Son descripciones de lo que la enseñanza matemática debería lograr que los estudiantes conozcan y hagan. Especican la comprensión, el co nocimiento y las destrezas que deberían adquirir los alumnos, desde Prekindergarten al nivel 12. Los Estándares de Contenidos (Números y operaciones, Álgebra, Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad) describen explícitamente
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
los contenidos que deberían aprender. Los Estándares de proceso (Resolución de problemas, Razonamiento y demostración; Comunicación, Conexiones y Representación) ponen de relieve las formas de adquisición y uso de dichos contenidos.
Esta relevancia que se le atribuyen a los procesos matemáticos, el detalle en describirlos en cada nivel educativo y la manera de diferenciarlos de los contenidos, permite concluir que esta propuesta curricular dio un gran paso para mostrar cómo desarrollar procesos matemáticos. Pero a su vez dejó una pregunta abierta que para idear el modelo de matemática: ¿De qué sirvió maneradeseinspiración puede articular los contenidos concompetencia los procesos? Esta pregunta asentó las bases para caracterizar el Modelo de Competencia Matemática, en que se consideró como premisa de que las competencias matemáticas se desarrollan en un objeto matemático especíco; por ejemplo, los procesos involucrados en modelar en el estudio de funciones lineales, pueden ser diferentes que en el estudio de cuadriláteros. Por ello es necesario un estudio profundo del objeto matemático para llegar a encontrar los procesos involucrados en una competencia matemática. Este punto de vista está fuertemente arraigado en este libro, en que se realiza un estudio acabado de objetos matemáticos tales como la función lineal y cuadrática, razón y proporción, la mediana, el triángulo y la circunferencia, que sirven de base para promover los procesos en juego en las competencias de representar y modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, respectivamente. Finalmente, quiero invitar a los lectores a adentrarse en el modelo teórico a priori que propone este libro, su lectura me dio una visión de cómo investigar sobre el aprendizaje de las competencias y, sin duda, me servirá de inspiración para futuros estudios sobre el desarrollo de competencias en los estudiantes.
Horacio Solar Concepción, Agosto 2013. (Chile)
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INTRODUCCIÓN
Este libro es un avance del proyecto de investigación “Desarrollo de Competencias Matemáticas en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá” adelantado por el grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado” de la Universidad de la Amazonia. El avance se corresponde con el nal de la primera fase, la cual se centró en caracterizar las competencias matemáticas de los estudiantes de las instituciones educativas que participaron de la investigación durante los últimos cuatro años. Asumir este foco de investigación implicó el estudio de las siguientes cinco competencias matemáticas articuladas al aprendizaje de unos objetos matemáticos especícos: • Competencia matemática Representar y objeto matemático función lineal • Competencia matemática Modelizar y objeto matemático función cuadrática • Competencia matemática Pensar y Razonar y objeto matemático Razón y proporción. • Competencia matemática Plantear y Resolver problemas y objeto matemático la Mediana. • Competencia matemática Comunicar y objetos matemáticos Triángulo y Circunferencia. El desarrollo de este proceso condujo al grupo de investigación a planicar un trabajo continuo de intervención didáctica en el aula en torno a situaciones de enseñanza y aprendizaje focalizadas en el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Este proceso, de naturaleza compleja y prolongada, se
VARIOS AUTORES
instaló en el marco de tres problemas centrales que sintetizaron esta primera fase del proceso investigativo: • ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que se evidencian en la competencia matemática? • ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ¿cuáles son sus componentes? • ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? Por la transversalidad conceptual de estos problemas en la investigación, cada uno de ellos se aborda en el primer capítulo del libro y constituyen el marco general para la caracterización de las competencias matemáticas investigadas. El primer problema se aborda desde los referentes teóricos de D’Amore, Godino y Fandiño (2008), quienes reconocen en una competencia matemática tres aspectos: • El cognitivo: conocimiento de la disciplina; • El afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna) y • La tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (p, 44) El segundo problema asume el referente conceptual de Solar (2009), quien plantea un Modelo de Competencia Matemática. Según el autor, una competencia matemática se compone de: las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad. Estos componentes y la propuesta de modelo de competencia fueron esenciales en nuestra investigación para la caracterización del aspecto cognitivo de las competencias matemáticas. El tercer problema lo relacionamos directamente con conceptos claves en el desarrollo de competencias matemáticas y estratégicos en nuestra investigación. Desde Rico y Lupiañez (2008), se estudió una perspectiva curricular que relaciona contenidos y procesos matemáticos y, una perspectiva didáctica que relaciona expectativas de aprendizaje a corto plazo (los objetivos) con expectativas de aprendizaje a largo plazo (las competencias). Bishop (2005) aporta la importancia de compartir y desarrollar el signicado matemático como propósito central de la clase. Sfard (2008), contribuye a resignicar el aprendizaje desde la metáfora de la participación y la capacidad discursiva del estudiante para comunicar matemáticas en su comunidad de aprendizaje (la clase). Tobón, Pimienta y García (2010), aportan el concepto de secuencia didáctica y enriquecen el concepto de competencia. Valero y Skovmose (2012), amplían el panorama conceptual y la
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
perspectiva didáctica y curricular desde la visión sociopolítica de la educación matemática. La segunda parte del libro se presenta en el capítulo 2, en él se desarrolla la caracterización de cada una de las cinco competencias matemáticas enunciadas. Esta caracterización se focalizó en: • El aspecto cognitivo de la competencia: se formulan tareas matemáticas especícas, se planican unos procesos matemáticos asociados a cada competencia y se asumen los niveles de complejidad planteados por la prueba PISA (Reproducción, Conexión y Reexión). El estudiante, entonces, en su actividad matemática de aprendizaje, resuelve tareas y desarrolla procesos matemáticos de complejidad creciente para evidenciar la movilización y el progreso de sus competencias matemáticas. • El aspecto afectivo: se asumen de este aspecto los procesos de disposición, voluntad y deseo de usar socialmente su competencia matemática. • El aspecto de tendencia de acción: se asumen los procesos de persistencia y continuidad como objetos de valoración de la competencia. Consideramos que este segundo capítulo es un aporte especíco y concreto a problemas que caracterizan la cotidianidad del profesor de matemáticas: ¿qué son las competencias matemáticas? ¿Cómo progresan las competencias matemáticas? ¿De qué manera se relacionan los contenidos con las competencias matemáticas? (Solar, 2009, p. 13). Estos problemas se inscriben en el proceso complejo y prolongado del desarrollo de competencias matemáticas del estudiante. Contribuir a estudiar esta complejidad y a construir soluciones alternativas, no solo es un reto y un deber cientíco de la comunidad internacional de Educación Matemática; es además, contribuir a desarrollar y consolidar esta nueva línea de investigación y sobre todo, representa un esfuerzo intelectual para proponer caminos alternativos de construcción de un discurso potente para resignicar el concepto de competencia, instalarlo en un enfoque de naturaleza sociocultural que asuma las matemáticas como un fenómeno cultural y la competencia matemática como “la reexión sobre el empleo y uso de las matemáticas en la sociedad” (García, Acevedo y Jurado, 2003, p. 13). De esta manera, el grupo de investigación espera que este aporte a la Educación Matemática colombiana genere nuevas investigaciones y nuevos procesos que contribuyan a que nuestro estudiante no solo sea competente con las matemáticas como estudiante sino también y muy especialmente, como ciudadano.
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CAPÍTULO I DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD
DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD
¿Qué sería una competencia sin el deseo, sin la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella? (Bruno D’Amore, 2008)
El término competencia está cargado de una alta complejidad: no solo su etimología, que lo hace polisémico, también su carga ideológica, atribuida especialmente a susecientista orígenes por fuera del educativo y en elglobalizantes marco de uny Saber – Hacer al servicio de campo tendencias económicas de inuencia neoliberal. No obstante, es esta misma complejidad del término la que, en el campo de la Educación, la Pedagogía, la Didáctica y el Currículo, permite asumirlo como un objeto de estudio nuevo, complejo y potente para la investigación y, en consecuencia, para ayudar a generar nuevas perspectivas teóricas y metodológicas que orienten una propuesta didáctica que apenas comienza a construirse en educación matemática: enseñar para el desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante. Aunque el propósito de este libro es presentar unos primeros resultados de investigación en Competencias Matemáticas, es necesario hacer unas precisiones sobre algunos aspectos de la complejidad que subyace al concepto de competencia. Para un mayor conocimiento de este aspecto, recomendamos al lector ver García et al (2012). Para García, Acevedo y Jurado (2003), el concepto de competencia es muy ambiguo y sus sentidos deben asumirse desde dos dimensiones que implican visiones políticas divergentes sobre la educación:
VARIOS AUTORES
• la competencia asociada con la educación para la ecacia y las demandas del mercado, en donde el saber – hacer que se reclama debe entronizarse con la tendencia de la economía mundial hacia la globalización y los modelos neoliberales; y • la competencia asociada con la educación integral y la formación de sujetos críticos, en donde el saber – hacer que se invoca ha de vincularse con los contextos socio – culturales y el sentido ético humanístico en las decisiones sobre los usos del conocimiento y la cualicación de las condiciones de vida de las personas. (p. 12) Nuestro grupo de investigación adhiere a la postura socio – cultural sobre las competencias, asume que es mucho más que un Saber – Hacer y, por tanto, su dimensión teórica se instala más en el concepto de Formación que en el de Instrucción: involucra aspectos cognitivos, afectivos, volitivos, éticos y de tendencia de acción que implica una pragmática de uso social de la misma competencia. En esencia, de eso se trata este libro: a partir de un proceso de conceptualización sobre las complejidades del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante, se construye la caracterización del proceso de movilización de competencias de los estudiantes focalizado en su actividad matemática de aprendizaje. Continuando con las precisiones, nos interesa presentar algunas planteadas por el Dr. Carlos Vasco en el 11° Congreso de la Asociación Colombiana de Matemática Educativa (ASOCOLME), Octubre de 2010, respecto a la concepción de competencia: • Sobre la etimología de “competencia”: del latín “competere” que se puede entender como competir. • También proviene de “cum-petere”: “dirigirse con”, tender hacia una meta conjuntamente con otros. El Dr. Vasco arma que “puede acentuarse en lo competitivo o en lo cooperativo” Asume además una postura que, a nuestro juicio, ilumina un poco la opción teórica del maestro y del investigador: Preero pensar que la palabra “competencia” en el ámbito educativo no viene de competir, sino de “ser competente”. Ya veremos que no es lo mismo que “ser experto”…pero si es lo contrario de ser incompetente… Desde la perspectiva socio – cultural que comparte nuestro grupo de investigación, asumimos las matemáticas como un fenómeno cultural, histórico, que postula un conocimiento construido y compartido social y culturalmente; además, socialmente útil. Esta utilidad social de las matemáticas es clave que el maestro la comprenda y la asuma para promover desde sus prácticas de enseñanza una pragmática de uso, aprendizajes situados y solución de problemas contextualizados.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
En esta dirección teórica, asumimos los aportes de Vasco (2010), en el sentido de que enseñar para el desarrollo de competencias se inscribe en la etimología de “cum – petere”, pues este desarrollo no solo es individual, sino también y muy especialmente, social y cultural. Por ello, es el maestro quien debe poner el énfasis en lo cooperativo, en la interacción entre los sujetos que aprenden y menos, mucho menos, en lo competitivo. No es suciente para una educación matemática de calidad, que el estudiante sea competente con las matemáticas solo como estudiante, es indispensable que lo sea también como ciudadano, en contextos extraescolares. Esto no será posible si no comprende la utilidad social de las matemáticas. En su conferencia el Dr. Vasco plantea una interesante disyuntiva frente a las alternativas de las competencias en lo educativo: rechazar los discursos asociados al concepto de competencia, entre otras causas, por su carga ideológica; o, a cambio, construir como comunidad académica un “concepto potente de competencia y congurar un discurso propio pedagógicamente productivo sobre las competencias. Yo preero trabajar en lo segundo”.
Desde luego que nuestro grupo de investigación también asumió esa opción, es más, este libro es un producto de esa alternativa: investigar para nutrir el debate académico y construir colectivamente un camino pedagógico, didáctico y curricular que oriente una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas. COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: CONCEPTUALIZACIÓN, RETOS Y PERSPECTIVAS.
El propósito de este apartado es argumentar en torno a las principales concepciones que inuyeron en la investigación, especialmente en la discusión sobre los aspectos del desarrollo humano presentes en las competencias matemáticas, en sus componentes y su articulación didáctica y curricular. Es esencial que el profesor asuma postura teórica respecto a las diversas concepciones de competencia matemática, ello marcará su rol frente a problemas cotidianos de aula como: ¿Cómo lograr en el estudiante una inclinación cultural favorable hacia las matemáticas? ¿Qué hacer en clase para que aprender matemáticas sea socialmente útil para los estudiantes? ¿Cómo transformar las tareas matemáticas en propuestas signicativas de trabajo en la cotidianidad del estudiante? ¿Qué competencias matemáticas promover y contribuir a movilizar en clase? ¿Cuál es la(s) perspectiva(s) didáctica y la(s) perspectiva(s) curricular que se asumen para el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante?
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VARIOS AUTORES
¿Cómo se asume la actividad matemática de aprendizaje? y ¿cómo se articula esta con el desarrollo de los procesos matemáticos? Estos son problemas complejos, retos y perspectivas en educación matemática muy actuales para el maestro, las instituciones educativas y el Ministerio de Educación Nacional (MEN). Su solución se instala más en la investigación y el trabajo de comunidades académicas y menos en los decretos y resoluciones administrativas. En nuestra investigación, estos problemas se asumieron desde dos consideraciones teóricas en educación matemática, ambas inscritas en la perspectiva sociocultural y política: • “¿Cómo los signicados de las matemáticas escolares y las competencias que ellas pretenden promover se constituyen en un campo de práctica social” (Valero y Skovmose, 2012, p. XII) que articule las tareas matemáticas y la actividad matemática de aprendizaje con problemas de contextos escolares y extraescolares? • ¿Cómo situar en el centro de la clase de matemáticas “la necesidad de compartir y desarrollar el signicado matemático? (Bishop, 2005, p. 23) Es desde esta óptica que abordamos el proceso de conceptualización en competencias matemáticas. No se trata de hacer un registro antecedente al respecto, para ello recomendamos al lector ver García et al (2012). A cambio, se trató de desarrollar un amplio proceso de conceptualización que permitiera asumir un corpus teórico y metodológico para intervenir en el aula de matemáticas y contribuir al complejo y prolongado proceso de desarrollo de competencias matemáticas del estudiante. Entonces, el proceso de conceptualización sobre el desarrollo de las competencias matemáticas, se instaló en el marco de tres problemas especícos para nuestra investigación: • ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que están presentes en la competencia matemática? • ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ¿cuáles son sus componentes? • ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? A continuación se abordan cada uno de estos problemas.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
¿CUÁLES SON LOS ASPECTOS DEL DESARROLLO HUMANO QUE ESTÁN PRESENTES EN LA COMPETENCIA MATEMÁTICA?
Este problema se considera esencial para el profesor de matemáticas, además de relacionarse directamente con la concepción de competencias, su estudio y comprensión tiene implicaciones didácticas y curriculares evidentes para el proceso de enseñanza y para la actividad matemática de aprendizaje. Para estudiar este problema, el referente teórico base fue D’Amore, Díaz Godino y Fandiño (2008). Nuestros planteamientos sobre este problema giran en torno a desarrollar su idea de que en una competencia matemática se evidencian tres aspectos: • el cognitivo: conocimiento de la disciplina • el afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna) • la tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (p. 44) Al considerar que en la competencia matemática se evidencian estos tres aspectos, los autores instalan el desarrollo de competencias en la formación más que en la instrucción del estudiante. Por tanto, es necesario tomar distancia de evaluar el desarrollo de la competencia matemática del estudiante focalizando el proceso evaluativo en lo cognitivo. Se asume que, además de este aspecto, es esencial ayudar a generar una inclinación cultural favorable del estudiante hacia las matemáticas, hacia su aprendizaje y uso social. Sin ello, difícilmente se involucrará con gusto y voluntad en el desarrollo de procesos matemáticos y en la resolución de problemas por muy contextualizados que sean. Como lo dicen los autores “¿Qué sería una competencia sin el deseo, sin la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella? (Ibid, p. 21). Lo anterior implicó para el grupo de investigación tomar prudente distancia del propósito evaluativo de las pruebas masivas en competencias matemáticas tanto internacionales como nacionales (PISA, TIMSS, LLECE, SABER, etc.). Si bien reconocemos el aporte en los niveles de complejidad asociados a la evaluación del aspecto cognitivo de la competencia, consideramos que, en el aula de clase, el docente debe contribuir a generar procesos de interacción entre los sujetos que contribuyan al desarrollo de aspectos afectivos, volitivos, éticos, metacognitivos y de pragmática de uso de la competencia matemática. Ello permitiría no clasicar al estudiante, sino valorar la calidad de su actividad matemática de aprendizaje y caracterizar el desarrollo de sus competencias a partir de la movilización de procesos matemáticos especícos asociados a estas. Esta postura didáctica se desarrolla más adelante en este libro al caracterizar las competencias matemáticas objetos de estudio en la investigación. Consideramos que es un pri-
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mer aporte del libro al debate sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes. Como una consecuencia lógica de los anteriores argumentos, los autores plantean que la competencia matemática es, por tanto, un concepto complejo y dinámico: • Complejo porque aborda dos componentes: a) Uso (exógeno, externo, consciente, intencional y contextualizado) y b) el Dominio (endógeno), requiere elaboración cognitiva y creativa. Hace referencia a los contenidos matemáticos. • Dinámico porque además de los aspectos anteriores, comprende factores metacognitivos: voluntad, deseo de saber y de usar los conocimientos, de aumentar la propia competencia, de valorar la calidad de su aprendizaje. (p. 11) Puede apreciarse que para los autores es claro que la competencia matemática se asocia a la capacidad de afrontar problemas y actividades matemáticas de aprendizaje signicativas y complejas por parte del estudiante, es decir, se focaliza en el aprendizaje del estudiante, no en la enseñanza. Como arma Vasco (2010): “…preero hablar de enseñanza para el desarrollo de competencias…” Esto es muy importante para el profesor de matemáticas: es la calidad de la actividad matemática de aprendizaje la que determina la calidad de los procesos matemáticos que desarrolla el estudiante y, por tanto, de su nivel de complejidad e integralidad creciente. Otra consecuencia didáctica se deriva al postular los autores que la losofía de las matemáticas que subyace a las competencias es de naturaleza pragmática (p. 47), por tanto, se distancia de las corrientes realistas centradas en la metáfora de la “adquisición” (Sfard, 2008) y en el transfer cognitivo (relación causal), como se presenta en la gura 1:
Figura 1: Competencia matemática como adquisición.
Una teoría pragmática asume que todo aprendizaje es situado y que la competencia se moviliza en el uso social; es la situación y la pragmática de uso (en forma simultánea) lo que determina la construcción del conocimiento y el desarrollo de competencia matemática del estudiante. El uso y el contexto sociocultural dan sentido a los conceptos, por ello, conocimiento y competencia se construyen 28
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simultáneamente en la misma acción en forma complementaria, en una relación de recíproca inuencia, como se presenta en la gura 2:
Figura 2: Competencia y aprendizaje situado. (D’Amore, et al, 2008, p.47)
Este aporte es de mucha utilidad teórica y metodológica para la didáctica de las matemáticas, además de dar mayor solidez al concepto de utilidad social de las matemáticas, caracteriza la naturaleza del aprendizaje articulándolo con el contexto socio – cultural del estudiante y a la actividad matemática de este en contextos escolares y extraescolares, a condiciones de uso social de la competencia por parte del sujeto que aprende. Por ello se habla de aprendizaje situado. En general, puede concluirse entonces, que el desarrollo de la competencia matemática se instala en una concepción integral del desarrollo del sujeto que aprende matemáticas. Por tanto, la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, debe movilizar conocimientos, procesos matemáticos, actuaciones que evidencien voluntad, disposición, persistencia e inclinación cultural favorable a usar las matemáticas en contextos escolares, extraescolares y sociales. Esta actuación y uso de las matemáticas deben ceñirse a la ética y la responsabilidad social y cultural propia de un ciudadano que aprende y hace uso de un bien cultural de la humanidad como son las matemáticas. Continuando con la conceptualización, se arriba al segundo problema central en nuestra investigación: ¿CUÁL ES LA ESTRUCTURA DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA? ¿CUÁLES SON SUS COMPONENTES?
Este problema, igual que el anterior, es una de las preguntas que se hace el profesor de matemáticas que se propone enseñar para el desarrollo de competencias matemáticas. Conocer la estructura de la competencia matemática es denitivo en la calidad de esa enseñanza.
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Para el estudio de este problema, el referente central fue la tesis doctoral del Dr. Horacio Solar (2009), destacado profesor e investigador chileno en la línea de Competencias Matemáticas. El inicia el estudio de este problema con las siguientes preguntas: …¿de qué manera se adquiere la competencia matemática? y como consecuencia las preguntas derivadas: ¿qué son las competencias matemáticas? ¿cómo progresan las competencias matemáticas? ¿de qué manera se relacionan los contenidos con las competencias matemáticas? (p. 13).
En el proceso de construir respuestas a estos interrogantes, el autor maniesta que “…se concretó el primer objetivo de la investigación que consistía en elaborar un modelo de competencia matemática que fuera útil tanto para planicar una secuencia didáctica como para analizar su desarrollo en el aula de matemáticas” (p. 13) Solar parte de Abrantes (2001) y de Niss (1999), al identicar también las competencias con los procesos matemáticos tales como comunicar, resolver problemas, representar, calcular, modelizar entre otros. De esta manera, el trabajo de investigación se centró en formular un modelo en el cual las competencias sean los procesos matemáticos organizadores del currículo.En ese orden de ideas, cada nivel escolar deberá especicar en su propuesta curricular de matemáticas, qué competencias asume desarrollar. Esto es posible, pues se asume que las competencias matemáticas, al igual que los procesos matemáticos, son expectativas de aprendizaje a largo plazo y, en general, su desarrollo es transversal a los contenidos de las matemáticas escolares. …las competencias se desarrollan desde un tópico matemático que incorpora tanto los procesos que conforman una competencia como los contenidos formulados en términos de tareas matemáticas. Las tareas no son las actividades que se presentan en una secuencia didáctica, sino que caracterizan “las matemáticas” que se encuentran en las actividades. Las tareas son parte del contenido a tratar, estas cambian de una secuencia didáctica a otra y se desarrollan a corto plazo.
Respecto a la pregunta ¿cómo progresan las competencias matemáticas?, el autor la asume en dos nuevos interrogantes: ¿de qué manera se progresa? y ¿cuáles son las variables a considerar para estudiar el progreso de los estudiantes? (p.14) Resolver estas preguntas, permite al profesor Solar aportar otro elemento esencial en su propuesta de modelo de competencia: los niveles de complejidad asociados a la competencia. Estos niveles de complejidad son los que el estudiante debe enfrentar cuando resuelve tareas matemáticas. Es decir, es en la actividad matemática de aprendizaje que el estudiante evidencia el progreso de su competencia. Al resolver tareas con creciente nivel de complejidad, el estudiante desarrolla procesos matemáticos, despliega capacidades, usa la competencia ma30
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temática para resolver problemas contextualizados cada vez más complejos. El autor lo expresa así: Nos sentamos sobre la base de que por medio de la actividad matemática se puede estudiar el desarrollo de las competencias; este mismo principio se aplica al progreso de una competencia, con el propósito de poder identicar el progreso según el tipo de actividades que son capaces de resolver los estudiantes. (p. 14)
Entonces, la actividad matemática de aprendizaje como la asumió nuestra investigación, es propia del estudiante y su progreso está dado por los diferentes niveles de complejidad que se evidencian con el progreso de la competencia del estudiante. Este progreso se expresa cuando es evidente que el estudiante piensa, razona, representa, modeliza, comunica, etc. en su actividad matemática de aprendizaje; cuando moviliza sus capacidades, demuestra voluntad, persistencia, comprensión y una aceptación cultural para hacer uso social de sus competencias matemáticas de forma ética y responsable. Es necesario precisar que Solar no asume la actividad matemática de aprendizaje del estudiante como un componente de la competencia. Es nuestra investigación que, apoyados en su investigación, la asume como un componente de nuestro modelo teórico a priori de competencia focalizado en el aprendizaje como se argumentará más adelante. De esta manera, Solar (2009, p.57) presenta uno de sus principales aportes en su tesis doctoral: el Modelo de Competencia Matemática (MCM), con el siguiente gráco:
Cultura matemática
Competencias Matemáticas
Tareas Matemáticas
Procesos Matemáticos
Niveles de complejidad
Figura 3. Modelo de Competencia Matemática (MCM). (Solar, 2009, p. 57)
Para el autor, una competencia matemática se constituye de tareas matemáticas, procesos matemáticos y niveles de complejidad (p. 68). Esto se puede com31
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prender mejor cuando se estudia el propósito básico del MCM y sus implicaciones didácticas. Este propósito se centra en articular las expectativas de aprendizaje a corto plazo (los objetivos especícos), con las expectativas de aprendizaje a largo plazo (las competencias). Es decir, el modelo “…es una estructura o estrategia articuladora…” entre estas dos expectativas de aprendizaje (p. 55). Especícamente, los objetivos son de la clase, de la unidad didáctica, de un conjunto de actividades que se desarrollan en el corto plazo. En este proceso, el estudiante debe evidenciar que “progresa” en el desarrollo de su competencia. Este progreso se demuestra cuando en su actividad matemática de aprendizaje enfrenta tareas matemáticas con nivel creciente de complejidad, cuando pone en juego capacidades, aspectos afectivos, volitivos, metacognitivos y de tendencia de acción especícos. Nosotros incluimos también como evidencia de este progreso, el saldo pedagógico del error del estudiante y de su persistencia para identicarlo, comprenderlo y superarlo. Esto es esencial para dignicar el aprendizaje de las matemáticas escolarizadas. Aunque más adelante se profundizará en cada uno de los componentes de una competencia matemática, es necesario presentar aquí una breve idea de ellos. Cultura Matemática: el autor asume que la Alfabetización Matemática (mathemátical literacy) “se logra mediante el desarrollo de competencias matemáticas” (p. 54). Entonces, propone como punto de partida para el MCM la noción de Alfabetización Matemática, pues la asume como sinónimo de la competencia matemática; no obstante, opta por el término del francés “Culture mathematique” que, a su juicio, recoge un mejor sentido de la versión dada en lengua castellana a la expresión inglesa Mathematical literacy (Alfabetización matemática), como se asume en OCDE (2003). Competencias matemáticas: las asume como procesos que articulan el currículo a distintos niveles. Para ello, deben cumplir los siguientes criterios: • vincular a una competencia una serie de procesos matemáticos especícos • contribuir a organizar las actividades matemáticas en función de las competencias que se desarrollan y • ser signicativas para la actividad matemática escolar. Ello contribuye a generar sentido y calidad a la actividad matemática de aprendizaje.
Procesos matemáticos: cada competencia se compone de proceso matemáticos como representar, demostrar, argumentar, analizar, resolver, gracar, calcular, modelizar, visualizar, etc. Destacamos una implicación curricular de este componente: en la concepción tradicional y hegemónica aún, se organiza el currículo de matemáticas a partir de los contenidos y se subordinan a ellos los procesos matemáticos. En un enfoque por competencias, son los procesos matemáticos los organizadores del currículo; los contenidos matemáticos, como elementos del
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dominio matemático, se deben “poner al servicio” del desarrollo de los procesos matemáticos del sujeto que aprende matemáticas. Esta es otra de las complejidades de una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas. Niveles de complejidad: el nivel de complejidad de una competencia matemática está asociado tanto a la complejidad de las tareas como a la complejidad de los procesos matemáticos vinculados con esa competencia. En este componente el autor asume los siguientes niveles de complejidad propuestos por PISA (2003, 2006): reproducción, conexión y reexión.En nuestra investigación, estos niveles se asumieron para valorar y caracterizar el aspecto cognitivo de las competencias matemáticas; no obstante, dado que tomamos distancia conceptual y metodológica de las pruebas masivas (reconociendo su aporte en lo cognitivo), también se asumieron criterios e indicadores de evaluación para valorar y caracterizar los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos presentes en las competencias de los estudiantes. Se puede concluir entonces, que los componentes de una competencia matemática son las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad. Este aporte de la tesis doctoral de Solar (2009), fue el que permitió a nuestro grupo de investigación avanzar de manera más ilustrada y sólida en el proceso de formular un modelo teórico a priori, focalizado en la actividad matemática de aprendizaje y para el desarrollo de las competencias matemáticas Plantear y resolver problemas, Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, y Comunicar, en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá, como se presentará en el siguiente capítulo. Como consecuencia lógica de los argumentos respecto a los dos problemas reconocidos en esta fase de la investigación, se plantea el tercer problema y la forma como se abordó. ¿CÓMO SE ARTICULAN LOS COMPONENTES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA CON LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE?
Este interrogante hace referencia a uno de los problemas más complejos que debe enfrentar el profesor para orientar sus prácticas de enseñanza hacia el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. En esencia, el problema se centra en ¿cómo articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? Como puede entenderse, este problema está directamente relacionado con los dos problemas anteriores; del nivel de comprensión que el profesor tenga de ellos y de su competencia didáctica y curricular para proponer alternativas de estudio y abordaje, dependen en alto grado sus posibilidades de solución y aplicación de dichas soluciones en el aula de matemáticas. Pero no basta con esto, es necesario 33
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instalar estas alternativas didácticas y curriculares en desarrollos conceptuales potentes en competencias matemáticas. Esta es aún una gran dicultad para el desarrollo de la línea de investigación en competencias matemáticas que también la sufre nuestro grupo. El campo de investigación es reciente en Educación Matemática, no hay aún experiencias investigativas consolidadas en Iberoamérica, menos en Colombia. Pero esta realidad debe asumirse como un circulo virtuoso, como un reto investigativo complejo y prolongado que debe asumirse ya. De manera especíca, estas alternativas deben hacer posible incorporar conceptos y teorías que reconozcan el nuevo rol del estudiante, la importancia de su actividad matemática de aprendizaje, máxime cuando la competencia se adscribe al aprendizaje, no a la enseñanza, al estudiante, no al profesor; que priorice la pragmática de uso social de las competencias y de las matemáticas como bien cultural y social de la humanidad. Sobre todo, se requiere que esta forma de comprender la complejidad del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante contribuya a generar procesos de interacción entre estudiante – estudiante y estudiante – profesor; interacciones que se deben enmarcar en dos propósitos: • la clase de matemáticas como escenario privilegiado para compartir y desarrollar el signicado matemático sobre la base de la comunicación y la negociación cultural entre los sujetos (Bishop, 2005) y • la metáfora de la participación (Sfard, 2008) que asume al estudiante como participante de una comunidad de aprendizaje (la clase) y al aprendizaje como un discurso cada vez más calicado de ese participante. Estos dos propósitos, de clara orientación sociocultural, resignican al aprendizaje; ahora, “…el prerrequisito más importante para el aprendizaje es el deseo del estudiante de ser parte de una cierta comunidad”. La actividad matemática de aprendizaje no se concibe separada del contexto dentro del cual ocurre, por ello es situado, contextual y articulado a lo cultural y a la mediación social. Como lo resume la Dra. Sfard, “…aprender matemáticas ahora se concibe como un proceso de convertirse en miembro de una comunidad matemática”. Por ello, el estudiante debe aprender a comunicarse en el lenguaje de esta comunidad, a compartir sus reglas, a ser parte integral del grupo, a ser un participante activo. Esta opción teórica sociocultural implica una nueva epistemología, una forma diferente y contemporánea de ver las matemáticas, su aprendizaje, su enseñanza y, desde luego sus opciones teóricas y metodológicas de investigación. …la ciencia o las matemáticas no se pueden considerar nunca más como como entidades independientes; en cambio, se tienen que considerar como aspectos de actividades sociales en curso. Los investigadores no deben insistir más en aislar el conocimiento del conjunto de las interacciones sociales” (Sfard, 2008, p. 33)
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Los replanteamientos anteriores sobre el aprendizaje de las matemáticas y sobre las matemáticas, fueron decisivos a la hora de proponer alternativas al problema de la articulación de las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje. Esto se demostrará un poco más adelante en este capítulo. Otro aporte teórico y didáctico importante, inscrito en las características ya enunciadas, lo asumimos de Tobón, Pimienta y García (2010) desde su enfoque socioformativo en competencias. “Las competencias son actuaciones integrales ante actividades y problemas del contexto, con idoneidad y compromiso ético, integrando el saber ser, el saber hacer y el saber conocer en una perspectiva de mejora continua” (p. 11). Destacamos en esta concepción de competencias, algunos aspectos útiles a nuestro propósito de investigación como los siguientes: el primero es una implicación para el aprendizaje que dialoga con nuestra opción sociocultural en educación matemática. Se reconoce una lógica contraria para aprender: ya no es la lógica clásica de “aprender” los contenidos y luego esperar que el estudiante los aplique. La actividad matemática de aprendizaje requiere aquí una lógica contraria: el estudiante debe enfrentarse a resolver tareas matemáticas relevantes, signicativas, contextualizadas y de complejidad creciente. Ello requiere aprendizajes situados para contribuir a que situación y pragmática de uso (en forma simultánea), contribuyan al desarrollo de los procesos matemáticos y, por tanto, de las competencias. Una segunda implicación instala el proceso de desarrollo de competencias matemáticas como parte de la formación humana integral del estudiante, propósito histórico de la escuela. Esta formación se asume “…a partir del proyecto ético de vida de cada persona, dentro de escenarios educativos colaborativos y articulados con lo social, lo económico, lo político, lo cultural, el arte, la ciencia y la tecnología” (p. 8) Y una tercera implicación se relaciona con la integración de los saberes del sujeto: “…una competencia, entonces, no es solo tener un saber hacer, un saber conocer y un saber ser por separado, sino movilizar los diversos saberes (ser, hacer y conocer) hacia el logro de una meta determinada en el contexto…”(p. 12) Una síntesis del aporte de los autores a nuestra investigación se expresa en la concepción de las competencias como actuaciones integrales del estudiante para identicar, analizar y resolver problemas del contexto integrando el saber ser (actitudes y valores), el saber conocer (conceptos y teorías) y el saber hacer (habilidades, procedimientos y técnicas). Para la caracterización y valoración de los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos presentes en las competencias matemáticas del estudiante, se hace uso en el capítulo siguiente de la propuesta de secuencia didáctica de
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los autores y se adapta un instrumento de evaluación inspirado en los conceptos del enfoque socioformativo. Las perspectivas teóricas de Bishop (2005) y Sfard (2008), desde un enfoque sociocultural y comunicacional de la educación matemática, aportan nuevos conceptos para resignicar el aprendizaje de las matemáticas y para reconocer la necesidad de una nueva epistemología que oriente la enseñanza y la investigación en educación matemática. El enfoque socioformativo de Tobón et al (2010), amplía la visión de las competencias, genera unas implicaciones didácticas para el aprendizaje, la enseñanza para el desarrollo de competencias y la integración de los saberes del sujeto en el marco de un concepto integral de formación humana, del cual las competencias forman parte. Para situar la importancia de la articulación de los componentes de la competencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje, fue necesario fortalecer la visión de las competencias matemáticas, especialmente su dimensión sociocultural y política. En la dimensión política nos planteamos con Valero y Skovmose (2012), las siguientes preguntas: ¿Cuál es el signicado de las matemáticas en un entorno educativo que no tiene como objetivo educar matemáticos puros sino ciudadanos?, ¿cuáles son las competencias, las habilidades y los valores que tal educación pretende dar a estas personas? (p. 16) Para los autores es claro que las competencia matemáticas no son neutras ni se desarrollan en sujetos ahistóricos, todo lo contrario, ellas no operan aisladamente fuera de la escuela, “sino como parte de unidades integradas que se ensamblan en la escolaridad” (p. 16), esto ratica la implicación didáctica para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de asumir la interdisciplinariedad entre las áreas del currículo escolar como materia de estudio e investigación. Por ello es indispensable que la investigación en educación matemática asuma como problemas de investigación los aspectos interdisciplinarios de las matemáticas. Por ejemplo, problemas como la relación de la educación matemática con la democracia y la necesidad que las aulas de matemática representen formas democráticas de interacción; el papel de las matemáticas y las competencias matemáticas en los procesos de globalización; la necesidad que “las competencias matemáticas del ciudadano le permitan comprender la tecnología y su aplicación en el puesto de trabajo y, por consiguiente, ser competitivos en el mundo” (p. 4), entre otros problemas. Este tipo de investigaciones contribuirá bastante a comprender que “los signicados de las matemáticas escolares y las competencias que ellas pretenden promover se constituyen en un campo de práctica social” (p. XII). Sobre la complejidad de la competencia matemática y su desarrollo conceptual, Valero y Skovmose plantean la vigencia e interdependencia nacional e internacional de este problema de investigación; planteamiento que compartimos:
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…cualquier denición de competencia matemática está inmersa dentro de una red compleja de discursos sobre las funciones de la educación matemática. Tales discursos conectan las ideas de la educación matemática desde los ámbitos más globales e internacionales de política educativa hasta los de práctica de maestros dentro de una escuela determinada. (p. XII). Ahora, abordar el problema del desarrollo de competencias matemáticas pasa también por discutir si este es un problema de naturaleza individual, que se explica desde las particularidades del sujeto que aprende matemáticas o, como se postula, también involucra variables de naturaleza social y cultural que inciden en los sujetos, los contextos y en la vida misma de una comunidad de aprendizaje como es la clase de matemáticas. Al respecto Rico y Lupiañez (2008), parten de asumir que la “competencia matemática es saber matemáticas y hacer cosas con ellas”. Sustentan esta idea en las características principales de las competencias matemáticas. Para ellos las competencias matemáticas: …consisten en utilizar la actividad matemática en contextos tan variados como sea posible; ponen especial énfasis en aspectos sociales como la comunicación y la argumentación; muestran cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana; y, se alcanzarán en la medida que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana. (p. 214).
Para los autores, enseñar matemáticas para el desarrollo de competencias exige nuevas perspectivas curriculares y didácticas que, considerándolo, trasciendan el enfoque funcional para ir más allá de lo cognitivo del sujeto que aprende matemáticas. Estas perspectivas sobre lo curricular y lo didáctico de las matemáticas escolares deben instalarse en un enfoque integrado que asuma el desarrollo de las competencias matemáticas en una dimensión individual y en una dimensión social y cultural. En la dimensión individual del desarrollo humano, además de resaltar lo cognitivo, también se considera: el conocimiento y dominio de estrategias metacognitivas, una formación centrada en la promoción de la creatividad y en la capacidad para valorar la herencia cultural de las representaciones matemáticas y una inclinación cultural favorable al gusto, cultivo y curiosidad por las matemáticas y por su aprendizaje. La dimensión social y cultural asume por nalidad la resolución de problemas contextualizados, la argumentación y justicación de las ideas que orientan este proceso matemático, el cultivo y movilización de diversas competencias matemáticas para interactuar en contextos escolares y extraescolares vinculándolas a la comprensión y solución de problemas sociales y culturales de una comunidad especíca. 37
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Podemos armar ahora que el problema didáctico del desarrollo de competencias matemáticas del estudiante es de naturaleza individual y de naturaleza social. De un lado, lo individual se expresa en adscribir este desarrollo al aprendizaje, al sujeto que aprende matemáticas y, en principio, este aprendizaje pasa por movilizar los marcos cognitivos del sujeto, el desarrollo de procesos y pensamientos matemáticos; igualmente involucra sus intereses afectivos, sus actitudes, su voluntad, decisión y persistencia de usar esas competencias en su cotidianidad. La naturaleza social y cultural de las matemáticas, así como su condición de discurso construido y compartido social y culturalmente, hacen de las matemáticas un “fenómeno cultural” (García, Acevedo y Jurado, 2003) potente y socialmente útil. El desarrollo de competencias matemáticas, como problema de investigación de la Educación Matemática y desde una perspectiva sociocultural, se sitúa “en la reexión sobre el empleo y uso de las matemáticas en la socie dad” (Ibíd., p. 13); por tanto, la construcción del signicado matemático en el aula, ha de ser un proceso compartido y validado en esa sociedad sui generis que es la clase de matemáticas; y, las competencias asociadas a ese signicado, se constituyen en un campo de práctica social, en interacción comunicativa entre los sujetos. Es esta dimensión sociocultural de la competencia matemática la que explica por qué el estudiante no solo debe ser competente con las matemáticas como estudiante, sino también como ciudadano. Ahora estamos en mejores condiciones didácticas para asumir las alternativas de articulación entre las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, como un problema esencial para el profesor de matemáticas. Una primera idea es comprender cómo se relacionan las tareas matemáticas, los procesos y los niveles de complejidad, como componentes de una competencia matemática. Esta relación se evidencia en el marco de un conjunto de actividades de aprendizaje que se articulan todas en una secuencia didáctica. Hablamos de actividades de aprendizaje sin pretender desconocer el rol del profesor en esta interacción en el aula desde sus prácticas de enseñanza; no obstante, como ya se ha dicho, el foco de investigación es la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, allí convergen todas las demás actividades que se planiquen en la secuencia didáctica, toda vez que la competencia la debe desarrollar es el estudiante, no el profesor. Una secuencia didáctica es un conjunto de pasos ordenados de forma progresiva y articulada para desarrollar actividades de aprendizaje, caracterización y evaluación. Se requiere la planeación, orientación, monitoreo y acompañamiento del profesor, unas nalidades o propósitos de aprendizajes compartidas, unas formas horizontales y democráticas de trabajo, que estimulen la interacción y el trabajo cooperativo y aliativo entre profesor y estudiantes. Igualmente, requieren de una serie de recursos didácticos y tecnológicos acordes con la naturaleza del con-
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junto de actividades y de los propósitos de las mismas. En el próximo capítulo, la caracterización de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas asociada al aprendizaje del objeto matemático La Mediana, se hace con la implementación de las secuencias didácticas, por tanto, habrá mayor ilustración y ejemplicación sobre conformación y aplicación. La complejidad, entonces, de esta articulación, se sitúa en función de las tareas matemáticas y los procesos matemáticos considerados en la secuencia didáctica. Ya se ha planteado que las tareas hacen referencia a los contenidos matemáticos, se asocian al dominio matemático, a las nociones matemáticas que se abordan en una clase o actividad matemática. Las tareas matemáticas se diseñan y proponen por parte del profesor, se adscriben a su rol en la clase; se asocian a expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivos de la clase, de la unidad, del tema, etc.) formulados para el desarrollo de procesos matemáticos que ponen en juego capacidades del estudiante. Una característica básica de las tareas es su complejidad creciente, es decir, que de manera progresiva, el estudiante requiere desarrollar procesos matemáticos de mayor nivel de complejidad para resolverlas, en la medida que avanza en el conocimiento de los contenidos o nociones matemáticas a lo largo de su escolaridad. La actividad matemática de aprendizaje, aunque no es asumida como un componente de la competencia por el autor, si es un concepto central articulado a las tareas que el profesor diseña y propone a los estudiantes. La actividad matemática de aprendizaje, Solar (2009, p. 69), la adscribe al estudiante, es decir, el estudiante desarrolla actividad matemática resolviendo tareas que el profesor diseña y propone. Los niveles de complejidad de la actividad matemática están articulados a la complejidad creciente de las tareas propuestas y se expresan, nalmente, en los niveles de complejidad de los procesos matemáticos que deben desarrollar los estudiantes. Para Solar, cada competencia matemática se compone de procesos matemáticos (2009, p. 56). Estos procesos son consustanciales con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde siempre: resolución y planteamiento de problemas, razonar, comunicar, modelizar, representar, argumentar, demostrar, calcular, visualizar, gracar, etc., han estado siempre en los currículos de matemáticas (ver, por ejemplo, Lineamientos curriculares de Matemáticas, 1998, p. 74). No obstante, en el proceso de movilización de competencias matemáticas del estudiante, hay una novedad en la forma como se asume este componente: los procesos no son subalternos de los contenidos, como tradicionalmente ocurría. Al contrario, solo es posible el desarrollo de competencias matemáticas (expectativa de aprendizaje a largo plazo) en el marco del desarrollo de procesos matemáticos de complejidad creciente. Esta complejidad progresiva evidenciada al resolver tareas, debe estar asociada a expectativas de aprendizaje de corto plazo; estos son los objetivos de la tarea, de la unidad o del tema, o incluso, del área durante el
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año escolar. Son estos objetivos los que van “iluminando” el camino e indicando la forma como progresan y se movilizan las competencias matemáticas del estudiante. Una adecuada comprensión por parte del profesor de matemáticas, de la articulación de estas dos expectativas de aprendizaje, será de mucha utilidad en el proceso de desarrollo de competencias de los estudiantes. Para Solar, tareas y procesos implican desarrollo y crecimiento en la riqueza cognitiva del estudiante, se basan en conocimientos y actuaciones. No obstante, los procesos matemáticos movilizan diversos conocimientos y una mayor riqueza cognitiva, pues se ponen en juego cuando el estudiante aborda tareas complejas en situaciones complejas. (Ibid, p. 57). Es decir, el estudiante se involucra en procesos matemáticos cuando resuelve tareas matemáticas. Esta relación entre tareas, procesos y actividad matemática del estudiante, ha tenido para nuestra investigación mucha utilidad didáctica, pues permite generar interacción comunicativa en el aula entre profesor - estudiante y estudiante – estudiante, en el complejo proceso de construir el signicado matemático compartido para el desarrollo de procesos que contribuyan a elaborar soluciones y a negociar el desarrollo de los signicados compartidos entre profesor y estudiante (Bishop, 2005). Algunas razones que demuestran la importancia de esa interacción: • El docente diseña, propone y comunica las tareas matemáticas al estudiante, lo orienta y asesora. • El estudiante hace actividad matemática resolviendo tareas, desarrolla procesos matemáticos que le permiten comunicar, con argumentos matemáticos, el proceso y el producto de su actividad, la valoración de la calidad de estos procesos, de su rol en el grupo, de las dicultades y de los avances. Es decir, moviliza procesos de riqueza cognitiva, pero además, de naturaleza metacognitiva, afectiva y volitiva. Por ello, es un participante que expresa la calidad de su aprendizaje en el marco de su discurso matemático en una comunidad con la que se comunica: la clase. (Sfard, 2008) • Esta interacción en el aula es un elemento sustancial en nuestra investigación, pues no se trata de clasicar al estudiante a la manera de las pruebas masivas. Se trata de desarrollar en la clase interacción entre los sujetos del proceso de enseñanza y aprendizaje para movilizar las competencias matemáticas del estudiante resolviendo problemas signicativos de su contexto sociocultural.
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La gura 4 ilustra los anteriores planteamientos:
Comunicación
Negociación !
Tareas matemáticas
PROC ESOS MATEM TIC OS
Actividad matemática de aprendizaje
Comunicación
Negociación
PROFESOR
ESTUDIANTE
Figura 4. Organización del proceso comunicativo en el aula para compartir y desarrollar el signicado matemático.
En la gura 4 puede apreciarse que la alternativa didáctica que se propone para articular las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje tiene un núcleo: la comunicación y la participación para compartir y desarrollar el signicado matemático. Tratemos de explicar la esencia de ese núcleo articulador tomando como referente teórico a Bishop (2005) y Sfard (2008) ya citados. Lo primero que debe hacer la clase como comunidad de aprendizaje, es acordar la nalidad de la enseñanza de las matemáticas y de la clase de matemáticas. Nuestra opción sociocultural nos llevó a adherir a la propuesta de Bishop (2005, p. 22, 23) de que esta nalidad se sitúa en el propósito central de “compartir y desarrollar el signicado matemático” (p.22). Para el autor, esta opción tiene las siguientes implicaciones: Sitúa al profesor con todo el grupo de la clase; enfatiza en la naturaleza dinámica, interactiva e interpersonal de la decir, el profesor está trabajando con seres que aprenden, noenseñanza, meramente,esestimulando que se sabe dé el que aprendizaje; se reconoce la importancia tanto del contenido como del contexto; toma en cuenta el conocimiento, las habilidades y sentimientos del estudiante, poniendo énfasis en el desarrollo más que en un enfoque teórico del aprendizaje; enfatiza en el desarrollo del signicado matemático incluyendo tanto metas cognitivas como metas afectivas; reconoce la existencia de muchos métodos y organizaciones de la clase; y, es una concepción que permite el desarrollo del profesor a través de la formación inicial y la posterior a ella. (p. 22)
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La idea del signicado matemático es la esencia, se busca priorizar la naturaleza personal del signicado de cualquier concepto matemático; es condición previa para luego poder compartir signicados en la clase. Si este se conecta con lo que el sujeto conoce, tiene mayores posibilidades de ser signicativo para él, no solo en el campo de las matemáticas, también en el de la vida real. El estudiante tendrá signicados diferentes a los del profesor, eso es lo que dinamiza y enriquece el proceso de compartir y desarrollar signicado matemático a través de la comunicación y la negociación. Hay tres aspectos fundamentales en esta concepción: • Actividades matemáticas. Se busca enfatizar el involucramiento del estudiante con las matemáticas y no la presentación del contenido por parte del profesor. • Comunicación. Aspecto con el que se busca enfatizar el proceso y el producto de compartir signicados. • Negociación. Aspecto con el que se busca enfatizar la asimetría de la relación profesor/alumno en el desarrollo de signicados compartidos. (p. 23) Sobre las actividades matemáticas es necesario agregar dos cosas: la primera es que se hace necesario que el profesor haga una planicación y conversión del contenido y el conocimiento matemático en términos de las actividades matemáticas del estudiante, ese es el punto de convergencia; y, la segunda es la necesidad de estimular y organizar el trabajo colaborativo, el aprendizaje cooperativo; es una forma de trabajo que los estudiantes han llegado a valorar mejor que los profesores. La comunicación hace alusión a la necesidad de comunicar, discutir, argumentar signicados matemáticos en la clase. Comprender y compartir estos signicados es conectar las ideas que en la clase se tienen sobre ellos, charlar sobre ellos, exponer las ideas, escribirlas, representarlas en diversas formas de representación semiótica (símbolos, grácos, diagramas, algoritmos, etc.); solo así será posible conectarlas con las ideas previas de los estudiantes y compartir sus signicados entre profesor – estudiantes y entre estudiante – estudiante. Este es el sentido de lo que la Dra. Sfard llama la metáfora de la participación: “…aprender ma-
temáticas se concibe comop.un29). proceso de convertirse en miembro de unaa comunidadahora matemática” (2008, Por ello, el estudiante debe aprender comunicarse en el lenguaje de esta comunidad, a compartir sus reglas, a ser parte integral del grupo, a ser un participante activo. Si se acepta que la comunicación tiene que ver con compartir signicados, entonces, la negociación gira en torno al desarrollo de signicados. La negociación es de tipo cultural, es una interacción orientada por unas metas que los
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participantes buscan alcanzar. Generalmente, el profesor pretende que las metas que se ha jado para la actividad matemática se alcancen todas, es lo ideal. No siempre es así, es más, frecuentemente ocurre que esa metas no se alcanzan. Es aquí donde la autoridad y el poder del profesor, históricamente reconocidos, no deben imponerse. Es necesario estimular al docente para no imponer su conocimiento a los estudiantes, a que reconozca la asimetría en la relación de saber con el estudiante en el desarrollo del signicado compartido. Es entonces cuando la negociación del desarrollo de los signicados matemáticos compartidos asume la naturaleza de interacción entre los participantes y sitúa este desarrollo de signicados matemáticos como un problema de construcción social al interior de la clase de matemáticas. Como puede apreciarse, es un proceso complejo, prolongado y que requiere competencia comunicativa, pedagógica, curricular y didáctica del profesor de matemáticas; lo mismo que una disposición total del estudiante a participar, involucrarse, argumentar, preguntar, sustentar, proponer y, en síntesis, comunicarse con la comunidad de aprendizaje de la que forma parte: la clase. Este es un escenario y un clima propicio para articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante. Por tanto, es una alternativa para contribuir mejor al desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante y a mejorar la calidad de la educación matemática. Esta alternativa fue, en sentido general, el camino didáctico que se eligió en esta primera etapa de la investigación, de manera especial, para caracterizar las competencias matemáticas Representar, Plantear y Resolver problemas, Modelizar, Comunicar y, Pensar y Razonar. Todo el proceso de caracterización de las competencias matemáticas del estudiante y la valoración de la calidad de su actividad matemática de aprendizaje, se presentarán en el siguiente capítulo. Para llegar a esta caracterización que implicó intervención didáctica en el aula, se hizo necesario formular “una estructura o estrategia articuladora…” (Solar, 2009, p. 55) como asume Solar el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que propone. Es necesario precisar que nuestra investigación, apoyada en el MCM de Solar, asume como foco para formular este modelo, la actividad matemática de aprendizaje, no la enseñanza como lo hace el Dr. Solar en su tesis Doctoral ya citada. Eso implica que el MCM, además de articular las expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivos) con las expectativas de aprendizaje a largo plazo (competencias), como lo plantea el autor (2009, p. 55), debe, en nuestra investigación, situarse en el marco de este tercer problema: ¿Cómo articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante? Es decir, no se trata solamente de articular los componentes de la competencia matemática, sino también, de articular estos con la actividad matemática de
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aprendizaje. Por ello, esta actividad matemática se incorpora como un elemento del modelo de competencia matemática centrado en el aprendizaje y como tal, se incorpora al proceso de caracterización de las competencias del estudiante. Asumir como centro la actividad matemática del estudiante, favoreció nuestra articulación con el grupo de investigación Competencias Matemáticas (COMMAT) del Dr. Solar quienes asumen como foco de investigación la actividad del profesor (enseñanza) y lo curricular. Esta relación académica nos ha permitido avanzar en intercambios cientícos y de producción intelectual conjunta. Abordados, entonces, los tres problemas que orientaron el proceso de conceptualización sobre el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante, es posible plantear ahora el proceso que nos aproximó a la concepción, formulación e implementación de nuestro Modelo Teórico a priori (MTAP) para caracterizar las competencias matemáticas arriba enunciadas. Ese es nuestro próximo problema. MODELO TEÓRICO A PRIORI PARA CARACTERIZAR LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL ESTUDIANTE
¿Qué se asumió por Modelo? ¿Por qué a priori? Fueron los interrogantes que primero abordó la investigación. la denición que hace el de la Academia de la lengua española nosDe interesó la característica dediccionario esquema teórico que se elabora para facilitar la comprensión, estudio y comportamiento de un sistema o de una realidad compleja. En nuestro caso, esta complejidad es el proceso de caracterización del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Este esquema teórico es una abstracción, es un constructo que se usará como dispositivo didáctico para hacer esta caracterización. Puig (2006), plantea la necesidad de construir un Modelo Teórico Local (MTL) para la organización de una investigación y de sus resultados. Este MTL debe dar cuenta de los fenómenos producidos en el proceso didáctico, debe abordar unos contenidos matemáticos concretos con un grupo especíco de estudiantes; por ello su carácter local. Este tipo de modelos tienen por nalidad ayudar a describir, analizar y explicar los aspectos centrales del proceso didáctico; son un apoyo esencial a la hora de concluir sobre los resultados de la investigación. En todo caso, este tipo de modelos debe involucrar los elementos del triángulo didáctico: profesor, estudiante y el saber matemático. El MTL tiene un fuerte componente comunicativo que contribuye en la construcción de sentido de las situaciones matemáticas desarrolladas; este sentido se genera a partir de cuatro componentes: el de competencia, de actuación, de enseñanza y, de comunicación. Como puede entenderse, todos son componentes inherentes a un proceso de desarrollo de competencias matemáticas. 44
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En nuestra investigación, el Modelo Teórico a priori (MTAP) se asume como una estructura para organizar, describir y explicar los aspectos de la competencia matemática a caracterizar; por ello su nalidad es contribuir a analizar y explicar de manera coherente y progresiva todo el proceso de movilización de las competencias matemáticas cuando el estudiante resuelve tareas y desarrolla procesos matemáticos de complejidad creciente. Su carácter de “a priori” se explica en el modelo porque sus diferentes componentes fueron concebidos y asumidos como parte del modelo y de la propuesta, previo al proceso de caracterización en el trabajo de aula. La nalidad del MTAP se focalizó en articular los componentes de la compe tencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje. Es decir, el MTAP contribuyó a caracterizar el proceso de articulación de las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante. Ello signica que el proceso de desarrollo de competencias matemáticas del estudiante se describe, explica y caracteriza a partir de: • La naturaleza de las tareas matemáticas que, como ya se planteó, están vinculadas a un contenido matemático. Son formuladas y propuestas por el profesor y se asocian a expectativas de aprendizaje a corto plazo, en este caso, sus objetivos especícos. • Los procesos matemáticos que conforman cada una de las competencias. Estos procesos deben ser especicados en el modelo y en el instrumento que organiza la secuencia didáctica. En el capítulo siguiente, se evidenciarán los procesos matemáticos seleccionados por los participantes para cada competencia a caracterizar. • Los niveles de complejidad. Además de ser un componente especíco de la competencia, es también un elemento que debe estar presente en el instrumento que organiza el proceso didáctico. En el aspecto cognitivo de la competencia, se asumieron los niveles de complejidad de Reproducción, Conexión y Reexión, asumidos por las pruebas PISA. • La actividad matemática de aprendizaje es el elemento del modelo que posibilita la valoración y caracterización del proceso de desarrollo de las competencias matemáticas. Cuando el estudiante resuelve tareas cada vez más complejas, su actividad matemática evidencia el desarrollo de procesos matemáticos complejos que se expresan como pensar, razonar, argumentar, calcular, demostrar, gracar, representar, matematizar, modelizar,
entre otros. En este desarrollo el estudiante evidencia el despliegue de capacidades, habilidades, sentimientos, voluntad y disposición de hacer uso social de sus competencias matemáticas. Es este complejo proceso lo que demostrará la calidad de su actividad matemática y, por tanto, el logro de
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las expectativas de aprendizaje a corto plazo expresadas en los objetivos planteados para la actividad. El avance en el logro de estos objetivos, que bien pueden estar representados en los objetivos de la tarea, de la unidad temática, del período o, incluso, del curso escolar, es lo que va a determinar el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante; estas, como expectativas de aprendizaje a largo plazo, requieren de procesos evaluativos más prolongados e integrales dada la complejidad de los aspectos que se asumen como objeto de evaluación: cognitivos, afectivos, volitivos, metacognitivos, de uso, etc. Con estos argumentos se llega a la gura 5 que sintetiza los elementos del MTAP para la caracterización de las competencias matemáticas del estudiante.
Figura 5. Propuesta de elementos del modelo teórico a priori para la caracterización de competencias matemáticas en el estudiante.
La gura 5 no debe leerse como si se estuviese planteando un nuevo modelo de competencia matemática. su nombre lo indica, está formulando un esquema, una estructura para Como organizar los elementos del se MTAP que se aplicará para caracterizar las competencias matemáticas del estudiante, en ese sentido, sus componentes involucran todos los componentes de las competencias matemáticas propuestos por Solar (2009) ya tratados y, además, se incorporan tres elementos adicionales: Actividad matemática de aprendizaje, Objetivos (expectativas de aprendizaje a corto plazo) y Formas de evaluación. Estos tres elementos son consustanciales con las características como se concibió el modelo: focalizado en 46
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la actividad matemática de aprendizaje. Puede apreciarse que el modelo de competencia matemática propuesto por Solar es la base para construir nuestro modelo teórico a priori. Se argumenta en forma breve sobre ello: La valoración de la actividad matemática de aprendizaje. Este es, sin duda, el aspecto más complejo, la evaluación. La complejidad radica esencialmente en: a) La concepción y estructura de las competencias matemáticas. Como ya se planteó, los aspectos cognitivos, volitivos, metacognitivos, actitudinales y de uso social de la competencia, deben ser asumidos como objetos de evaluación. b) El tipo o los tipos de evaluación que se deben implementar. Una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas no agota su perspectiva de evaluación en la clásica heteroevaluación del profesor, centrada en lo cognitivo. Por ello, se abordó este problema desde dos perspectivas: • La evaluación de lo cognitivo, focalizada en los niveles de complejidad propuestos por Niss (2002) y aplicados por la OCDE en las pruebas PISA (2006). No obstante, se reitera que nuestra investigación toma distancia de las pruebas masivas, por tanto, no se hará “clasicación” del estudiante. Se optó por la interacción en el aula y, en lo cognitivo, se priorizó la caracterización del nivel de complejidad de la competencia y de la calidad de la actividad matemática de aprendizaje del estudiante como participante. Se eligió el siguiente instrumento como apoyo al proceso (Mora y Rosich, 2010):
Competencias Objetivos Actividad
Tipo de respuesta (reproducción)
Según la solución (conexión)
Estrategias de solución(Reexión)
• La evaluación de los aspectos afectivos, metacognitivos, volitivos, y de uso social de ylaencompetencia, en eldidáctica. enfoque Igualmente, socioformativo de Tobón (2010) su propuestase deapoya secuencia de este autor adaptamos su propuesta de instrumento siguiente:
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Evaluación de lo volitivo, afectivo, actitudinal y de uso social de la competencia Actividad Actividad del docente matemática de Objetivos Criterios Indicadores aprendizaje
Actividades
Metacognición Autorregulación ( planica, controla, evalúa, autoevalúa, coevalúa)
Entonces, las formas de evaluación asumidas comprenden procesos de autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación. Estas formas permiten que el estudiante ejerza la autocrítica (autoevaluación) de su actividad matemática y de la calidad de sus procesos; que valore la calidad de los procesos de sus compañeros y el rol del profesor (coevaluación); además, que su actividad matemática sea objeto de valoración (heteroevaluación) y se haga en la clase la evaluación de la evaluación que hacen de todo el proceso los participantes (metaevaluación). Entonces, la caracterización de las competencias matemáticas del estudiante asumió dos perspectivas absolutamente complementarias y articuladas: la evaluación de los aspectos cognitivos de la competencia y, la evaluación de los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos de la misma. La valoración y caracterización del aspecto cognitivo se focalizó en la complejidad de las tareas y de los procesos matemáticos requeridos por el estudiante para resolverla. Entonces, la actividad matemática del estudiante tendrá un mayor oque menor de complejidad, según sean las tareas y los procesos matemáticos debanivel desarrollar. En este componente de la competencia asumimos los niveles de complejidad de la competencia adoptados en PISA (2003):reproducción, conexión y reexión. Estos niveles han sido asumidos por nuestra investigación, de la mano de Rico y Lupiañez (2008), PISA (2003, 2004), (Mora y Rosich, 2011) y Solar (2009) de la siguiente manera: • Reproducción: en este nivel la expectativa de aprendizaje se focaliza en reproducir un determinado procedimiento rutinario (único) sin necesidad de relacionar datos; requiere el conocimiento de hechos, representación de problemas comunes, reconocimiento de propiedades y objetos matemáticos familiares, aplicación de algoritmos y realización de cálculos habituales. Es el nivel se relaciona el tipo respuesta. • Conexión : este mínimo, nivel se relaciona concon el tipo de de solución que el estudiante da a la tarea. Se apoya sobre las capacidades requeridas en el nivel de reproducción. Si el estudiante interpreta la información, identica los elementos y conceptos matemáticos que se requieren para resolver el problema, propone más de una solución, articula procesos que orientan hacia la respuesta, utiliza más de una representación semiótica del objeto matemático y hace conexión de procesos cada vez menos rutinarios, sin dejar 48
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de ser familiares, su actividad matemática de aprendizaje caracteriza su desempeño y actuación en el grupo de conexión. • Reexión: este nivel se relaciona con el tipo de estrategias de solución que el estudiante utiliza, los procesos que emplea para resolver el problema. El estudiante propone nuevas estrategias de solución y las aplica en escenarios más complejos y nuevos, explora nuevas vías de trabajo, emplea la heurística y comunica en forma verbal y escrita sus argumentos matemáticos. Este nivel implica producción y utilización del pensamiento creativo para resolver el problema (Goñí, 2008, p. 133). Las competencias que se caracterizaron en esta investigación y que se presentan en el próximo capítulo, han sido valoradas con estos niveles de complejidad en el aspecto cognitivo. La valoración de los aspectos afectivos, metacognitivos y de tendencia de acción de las competencias matemáticas caracterizadas se focalizó en los siguientes elementos de cada uno de los aspectos asumidos como se explica a continuación: El afectivo: disposición, voluntad, deseo de usar la competencia La tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (D’Amore, 2008) Lo metacognitivo: lo esencial es promover en el estudiante su capacidad de autorregulación, de planicar, monitorear, controlar, evaluar, autoevaluar y coe valuar la calidad de su actividad matemática de aprendizaje, la de sus compañeros y la calidad de las prácticas de enseñanza del profesor para el desarrollo de competencias matemáticas. Este proceso se orientó desde el enfoque Socioformativo de Tobón, Pimienta y García (2010). Igualmente, en el próximo capítulo se presenta la caracterización de las competencias en el marco de estos aspectos y se mostrará cómo se articula y complementa con la valoración y la caracterización del aspecto cognitivo. Todos los argumentos anteriores respecto a la valoración y caracterización de las competencias matemáticas del estudiante, ratican la perspectiva asumida sobre el tipo de evaluación que postulamos en nuestra investigación: no se evalúa al estudiante, ni se clasica según sus resultados; no se agota en el aspecto cognitivo de la competencia, ni es el factor prioritario, es uno de ellos. Se evalúa la calidad de su actividad matemática de aprendizaje, sus actuaciones y desempeños integrales con la competencia, la calidad de su comunicación y su discurso como participante en la clase como comunidad de aprendizaje. Es por ello que se trata de un proceso complejo, prolongado y que requiere formación y competencia del maestro de matemáticas. Su carácter integral, su articulación con la disciplina matemática, el aprendizaje y el uso social de la competencia, aporta elementos para construir una nueva perspectiva didáctica en el desarrollo de competencias matemáticas.
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Como nuestra línea de investigación (Competencias matemáticas), se inscribe en el campo de problemas propios de la Educación Matemática, conviene precisar que el desarrollo de las competencias matemáticas asumidas como objetos de investigación, se articuló a objetos matemáticos especícos, entendidos como elementos de la base disciplinar de las competencias; objetos que se abordan en las tareas matemáticas que el profesor diseña y propone a los estudiantes. En este sentido, estos objetos matemáticos requieren de una construcción de signicado que trascienda el concepto tradicional de contenidos en las matemáticas escolares, y que se articule a la dimensión sociocultural de las competencias matemáticas que el grupo de investigación ha asumido. Este aspecto lo trataremos a continuación. SIGNIFICADO PARA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Para Luis Rico (2012), la educación matemática tiene tres ámbitos de actuación; en estos ámbitos se asumen sus tres signicados: Un primer signicado es curricular. El sentido de este signicado viene dado por la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de la calidad de ese proceso en las matemáticas escolarizadas. En un proceso de enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas, el signicado curricular es esencial para el profesor de matemáticas. Además de su formación en la disciplina matemática que enseña, debe comprender la ruptura con la visión tradicional del currículo escolar que asume los procesos matemáticos como subalternos de los contenidos. Un enfoque por competencias, asume en lo curricular que los procesos matemáticos son la base para el desarrollo de las competencias del estudiante y, por tanto, la importancia del contenido se asocia ahora a los procesos matemáticos que contribuya a desarrollar según el nivel de complejidad de esos contenidos. Es una concepción curricular radicalmente diferente a la que se ha venido desarrollando en el currículo escolar de matemáticas en Colombia, por ello requiere ser muy bien estudiada, comprendida y aplicada por el profesor de matemáticas en ejercicio y en formación. Esta es una responsabilidad que también les compete al MEN y a las Secretarías de Educación, especialmente, al diseñar y aplicar políticas de formación y actualización del maestro en ejercicio. Un segundo signicado es profesional, “cuyo sentido lo establecen los contextos de formación, preparación, actuación y desarrollo de los profesionales que asumen intencionalmente los procesos de enseñanza y aprendizaje” (Kilpatrick, 2009. Citado por Rico, 2012, p. 51). Este signicado hace referencia a la formación de docentes de matemáticas, tanto en servicio, como los de formación inicial en la universidad.
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Como nuestra investigación se desarrolla en el nivel de educación básica y media, nos interesa más la formación continuada del profesor de matemáticas en ejercicio. En principio nos interesó saber (ver García, 2012): …cómo asumen el concepto de competencia, de competencias matemáticas, cuáles de ellas están trabajando en clase, cómo las evalúan, qué apoyos han recibido de la institución y de las Secretarías de Educación y cuáles son sus referentes bibliográcos, entre otros aspectos. (García, 2012, p. 85)
Se encontró que una de las principales limitaciones para promover y consolidar una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas es el conocimiento y comprensión incipiente del docente de este nuevo enfoque, la ausencia de una concepción de competencias matemáticas convergente en una misma institución y que se asuma como signicado personal del profesor. Ello implica que tampoco haya signicados institucionales al respecto. Además de otros problemas, estas limitaciones del docente afectan directamente la calidad de la actividad matemática de aprendizaje y la calidad de la evaluación del desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Respecto a la evaluación se encontró que …los profesores argumentaron más sobre elqué evaluar pero no fueron muy explícitos en el cómo evaluar el desarrollo de las competencias matemáticas. Esto podría explicarse, de un en lo relativamente nuevo (más de aúnsuencomplejidad el país) del problema de evaluación de lado, competencias matemáticas además teórica y metodológica y, de otro, en la ausencia de una discusión colectiva sobre los componentes de la competencia matemática y de la relación estrecha entre ellos” (p.107).
Uno de los propósitos de este libro, como otro resultado de la primera fase de la investigación, es aportar orientaciones didácticas y curriculares para los docentes en el complejo proceso de desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante. Somos conscientes que sin un profesor con buena formación y buen apoyo institucional, no es posible transformar la calidad de las prácticas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ni ningún tipo de reforma que mejore la calidad de la educación matemática en el país. Un tercer signicado es investigador, que, a nuestro juicio, es el signicado que debe iluminar todos los desarrollos de la educación matemática. Desde la investigación se construye nueva teoría, nuevas perspectivas y curriculares para la educación matemática, la formación de maestrosdidácticas y, por tanto, para mejorar las prácticas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolarizadas. En nuestro caso, el signicado investigador de la educación matemática asume como problemas de investigación el desarrollo de las competencias matemáticas del estudiante, la naturaleza y estructura de estas competencias, la articulación de sus componentes con la actividad matemática de aprendizaje del estudiante, la
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naturaleza compleja de su evaluación, entre otros aspectos esenciales frente a los cuales este libro aporta una alternativa didáctica especíca. En el marco de estos signicados para Educación Matemática (Rico, 2012) instala el signicado de un concepto matemático. Primero, asume de Frege (1998), la diferencia entre signo y signicado de un término y, dentro del signicado, distingue entre sentido y referencia de un mismo término. Citando a Frege explica cómo la referencia de un enunciado es su veracidad o falsedad y su sentido es el pensamiento que se expresa. La búsqueda de la verdad es la que incita a avanzar del sentido a la referencia. El valor veritativo de un enunciado es su referencia. Cada enunciado asertivo, en el que tengan importancia las referencias de las palabras, debe ser considerado, pues, como un nombre propio y su referencia, caso de que exista, es bien lo verdadero o bien lo falso (Ibid, p. 93).
Apoyado en esta concepción de signicado, Rico plantea, entonces, que el triángulo semántico viene dado por el signo o término con el que se expresa, por su referencia o concepto propiamente como tal y por su sentido o modo en que vienen dados los objetos que caen bajo el concepto. Signo
Objeto
Concepto
Figura 6. Triángulo semántico (Rico, 2012, p. 52)
El interés investigativo del autor por el signicado se instala en la matemática escolar, ello le permite adoptar estas ideas de Frege para proponer que el signicado de un concepto matemático, en el ámbito educativo, debe construirse atendiendo a tres dimensiones: los sistemas de representación, la estructura conceptual y la fenomenología.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE Sistema de Representación
Estructura conceptual
Fenomenología
Figura 7. Triángulo semántico de un objeto matemático (Rico, 2012, p. 52)
En nuestra investigación se asumió también que construir el signicado de un objeto matemático es desarrollar su fenomenología, sus sistemas de representación y su estructura conceptual. Entonces, a cada competencia matemática investigada se asoció un objeto matemático especíco y se desarrolló cada uno de estos tres elementos de su signicado: Los sistemas de representación, denidos por los conjuntos de signos, grácos y reglas que hacen presente dicho concepto y lo relacionan con otros. La estructura conceptual, comprende conceptos propiedades, los argumentos y proposiciones que seque derivan y sus criterios deyveracidad. La fenomenología, que incluye aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que están en el srcen del concepto y le dan sentido. (Rico, 2012, p. 53) Para una mayor explicación el lector encontrará en el próximo capítulo los siguientes objetos matemáticos asociados a las respectivas competencias matemáticas: Función lineal, asociada a la Competencia matemática Representar Función cuadrática, asociada a la competencia matemática Modelizar Triángulos, asociados a la competencia matemática Comunicar Circunferencia, asociada a la competencia matemática Comunicar Mediana, asociada a la competencia matemática Plantear y Resolver problemasLay Razón y la Proporción, asociadas a la competencia matemática Pensar y Razonar. Este fue el camino teórico que se siguió para construir el signicado de los objetos matemáticos, ello permitió contribuir a formular unas tareas matemáticas en forma de problemas contextualizados y signicativos para los estudiantes, en el marco de la postura sociocultural que se asumió en la investigación para el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante. 53
CAPÍTULO II CARACTERIZACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL ESTUDIANTE COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL
COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL “No es posible estudiar los fenómenos relativos al conocimiento sin recurrir, a la noción de representación”. Duval (1999).
Representar y su efecto o resultado, la representación – asociado a la función lineal – visto desde la perspectiva de las competencias matemáticas, constituyen la esencia de la competencia matemática representar y del presente capítulo. Este capítulo tiene como propósito contribuir al conocimiento de las competencias matemáticas en general y de la competencia matemática Representar (CMR) en particular, de ella se hará su caracterización para promover su desarrollo en el ámbito escolar. Al respecto Solar (2009), maniesta que existe al interior del profesorado una sensación de carencia de herramientas que contribuyan a impulsar el desarrollo de las competencias en el aula y que sorprende la amplia diferencia a favor de las innovaciones sobre competencias matemáticas, al compararlas con las investigaciones empíricas que desde la mirada de la didáctica se han realizado. El aporte anunciado se realiza a partir de resultados de investigación relacionados con la caracterización de la CMR, en este caso , asociada a la función lineal, realizada como parte del macroproyecto de investigación “Desarrollo de competencias matemáticas en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá que adelantadeellagrupo de investigación Desarrollo Institucional Integrado, de la”,Universidad Amazonia. Si la cultura es considerada un sistema de signos, Eco (1973, citado por D`Amore, 2006), y la producción de estos nacen con el hombre y su uso es determinante en el desarrollo de su naturaleza social, entonces, las matemáticas son un lenguaje y, como tal, inciden de manera directa en su enseñanza y aprendizaje. El presente capítulo se inicia con una presentación de las funciones de los sistemas semióticos de representación. Para ello se toman como base los pla-
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neamientos de Raymond Duval y su libro “Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales” traducido al español en 1999. Seguidamente, a partir de los referentes conceptuales asumidos por los autores de la investigación se aborda la CMR, se describe el modelo teórico a priori (MTA) construido, se presentan los resultados obtenidos al aplicar el modelo y se precisan las conclusiones. LOS SISTEMAS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN De la expresión a la objetivación. Para Aristóteles, el ser humano es un ser social por naturaleza, tiene el deseo de saber y la capacidad de aprender. Ello indica que la disposición del ser humano a vivir en sociedad no es circunstancial ni depende de su devenir histórico o económico, sino de algo profundo y fundamental como es la esencia humana. El hombre para realizarse como tal en la búsqueda de la perfección, y por tanto, de aprender necesita de la sociedad. Lo anterior implica la necesidad en el ser humano de comunicar o expresar sus ideas, su pensamiento y sus conceptos; en consecuencia, el hombre requiere indiscutiblemente de notaciones, símbolos, gracas, signos, guras y expresiones usuales; que en el caso de las Matemáticas, y según Sierra, Gonzáles y López
(1998), un una conjunto de signos, símbolos y reglas que se usan para expresarconforman o representar estructura matemática, y que ha recibido distintas denominaciones en la Educación Matemática: Skemp (1980) utiliza simplemente el término símbolos, Kieran y Filloy (1989) enfatizan el carácter sistémico de este conjunto y lo denominan sistemas matemáticos de signos, Kaput (1992) se reere a él como sistemas de notación, Duval (1993) se centra en los aspectos lingüísticos hablando de sistemas semióticos y más recientemente Castro y otros (1997) lo generalizan mediante la expresión sistemas de representación (p. 91).
Duval (1999), plantea que el aprendizaje de las Matemáticas es algo particular que requiere el uso de sistemas de expresión y de representación (distintos a los del lenguaje natural o de las imágenes), como son los distintos sistemas de escritura para los conjuntos de números, las notaciones de los objetos matemáticos a través símbolos,las escrituras algebraica y lógica, que facilitan la presentación, entre otras, la presentación de las relaciones y las operaciones, las guras geométricas, los grácos cartesianos, las redes, los diagramas y los esquemas. Para Duval (1999), las representaciones semióticas son el medio de que dispone el ser humano para hacer visibles sus representaciones mentales; de esta manera, las representaciones semióticas cumplen la función de comunicación o expresión.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
De manera complementaria, Duval argumenta que las representaciones semióticas estructuran un sistema con base en tres actividades cognitivas propias a toda representación: • forman un conjunto de marcas perceptibles, que son la representación de alguna cosa de acuerdo al sistema al que pertenece, (formación). Ejemplo y = 2x Registro algebraico. • se transforman en otras representaciones al interior de un sistema de acuerdo con las reglas propias del sistema, (tratamiento). Ejemplo y = 2x y – 2x = 0 • se transforman en representaciones en otro sistema, (conversión).
Ejemplo y = 2x Registro Algebraico
Registro Gráco
También plantea que las representaciones pueden ser internas, externas, conscientes y no conscientes. En este caso , nos focalizamos en las representaciones externas y conscientes, es decir, en las representaciones semióticas que, como tales y como componentes de un sistema , cumplen con las funciones de expresión, transformación de la información y de objetivación o toma de conciencia. La función de expresión facilita al ser humano, como se manifestó anteriormente, comunicar, mostrar, presentar sus ideas, pensamiento o conceptos. En el caso del objeto matemático función lineal, hace posible expresar su concepto o idea en diferentes sistemas de representación, ya que los sistemas semióticos constituyen la manifestación más tangible de los conceptos, posibilitan el acceso a los objetos matemáticos, pues, no se dispone de objetos reales (o cosas) para mostrar en su lugar. En lo que concierne a la función lineal, esta se puede presentar mediante registros de representación algebraica, gráca o tabular.
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Ejemplo
y = 2x Registro algebraico
Registro gráco
X 0 2 4
Y 0 4 8
Registro Tabular Para el sujeto, la representación funciona como tal (le permite el acceso al objeto representado), si dispone mínimo de dos sistemas semióticos distintos para producir la representación de un mismo objeto, y si las representaciones producidas las convierte de un sistema semiótico a otro sin notarlo, es decir si realiza conversiones espontáneamente. Sobre la necesidad de varios sistemas de representación en el aprendizaje de las matemáticas, Duval puntualiza que no puede haber comprensión matemática si no se establecen diferencias entre un objeto y su representación; es de suma importancia entonces, no confundir los objetos matemáticos: funciones, números, guras geométricas, etc., con sus representaciones: símbolos, los grácos o las escrituras. De igual manera sostiene que toda confusión entre el objeto y su representación reduce la comprensión, y recuerda que un mismo objeto acepta diferentes representaciones aumentando las capacidades cognitivas y en consecuencias sus representaciones mentales, que jamás, pueden considerarse separadamente de las representaciones semióticas. La segunda función o actividad de transformación de la información, si se da al interior mismoentre sistema semiótico de representación denomina tratamiento, y sideseunproduce diferentes sistemas semióticos deserepresentación se denomina conversión. En ambos casos la nueva representación conserva parcial o totalmente el contenido de la representación semiótica inicial, esto hace que de acuerdo con el sistema semiótico de representación utilizado, se hagan notables algunos aspectos del contenido y se oculten otros. De ahí que en un solo sistema
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de representación resulta imposible observar todos los aspectos de un contenido u objeto matemático. Siguiendo a Duval, en términos generales, en la descripción de los procedimientos y todo cuanto hace el estudiante para llegar al resultado, es decir sus estrategias de respuesta, no se realiza la distinción entre las actividades de tratamiento y conversión de representaciones, se reduce a un tratamiento común, transformar las representaciones dadas. Frege (1971, citado por Duval, 1999) fue el primero en estudiar las transformaciones al interior de un registro de representación. Como ejemplos de tratamientos se tiene el cálculo, la paráfrasis y la anamorfosis, es decir, transformaciones que se presentan dentro de los sistemas semióticos simbólicos de cifras o de letras, de la lengua natural y de las guras respectivamente. En general el tratamiento es una actividad de transformación que genera una expansión de la información. La conversión es una transformación de una representación dada en un registro, en otra representación en un registro diferente, que conserva parte del signicado de la representación inicial pero al mismo tiempo da otras signicaciones al objeto representado. Esta condición hace que la conversión sea una transformación externa al registro de partida En la actividad matemática de manera frecuente se movilizan distintos sistemas semióticos de representación y se realiza el paso de un sistema de representación a otro distinto al de partida; esto, para nada es evidente y espontáneo, para un alto porcentaje de estudiantes es una operación difícil e imposible para algunos; entre otras razones, porque se les diculta identicar un mismo objeto matemático en diferentes sistemas semióticos. El paso en comento se realiza de manera espontánea cuando hay congruencia entre las representaciones, o sea cuando cumple las siguientes tres condiciones: • Correspondencia semántica entre las unidades signicantes que constituyen las representaciones. • Univocidad semántica terminal. • Igual orden posible de aprehensión entre las unidades signicantes de las dos representaciones. En consecuencia, una actividad de aprendizaje focalizado en los diferentes sistemas semióticos de representación, utilizando sus propias posibilidades, comparando sus correspondencias y traducciones mutuas, favorece la coordinación entre sistemas semióticos o registros de representación (congruencia entre repre-
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sentaciones de distintitos sistemas semióticos), y por tanto, contribuye al desarrollo de las competencias y los desempeños de los estudiantes. La tercera y última función de las representaciones semióticas, como representaciones externas y conscientes, es la de objetivación o toma de conciencia, la cual se alcanza al pasar de lo no consciente a lo consciente, por tanto, el sujeto descubre por sí mismo aquello de lo que no sospechaba a pesar de haber recibido en muchas ocasiones explicación al respecto. Las representaciones conscientes tienen carácter intencional, por tanto están indiscutiblemente ligadas a la aparición de alguna cosa en la conciencia, preceden lo súbito, espontáneo o deliberado, es decir cumplen con la función de objetivación. Desde lo cognitivo, lo intencional de las representaciones conscientes reconocen el papel preponderante de la signicación en la determinación de los objetos que observa el sujeto, pues, a través de ella – la signicación – se logra la apre hensión conceptual de un objeto, en este caso de la función lineal. No es posible que el estudiante tome conciencia sin la signicación, en otras palabras mirar los objetos matemáticos mediante el uso de puntos, trazos caracteres, sonidos, etc., que tienen el valor de signicantes; esta, es una condición necesaria de la objetivación. La función de objetivación junto con la función de expresión producen con frecuencia representaciones semióticas, pero la función de objetivación produce también representaciones internas o mentales, que en muchas ocasiones van acompañadas de representaciones semióticas que no son sucientes, aceptadas o comprensibles desde la función de expresión. Lo contrario no implica que se logre toma de conciencia en el sujeto que las produce, es decir, que las representaciones semióticas producidas satisfactoriamente desde la función de expresión, correspondan a una objetivación del sujeto que las produce, pues con frecuencia este la produce por mera imitación. La objetivación ha generado gran interés en los investigadores en Didáctica de las matemáticas. Radford (2006), en su artículo “ELEMENTOS DE UNA TEORIA CULTURAL DE LA OBJETIVACIÓN”, y que será referente en adelante, plantea que la objetivación es un proceso de adquisición de saber mediante la elaboración activa de signicados, lo que implica, toma de conciencia de conceptos culturales y un proceso de formación de las capacidades propias de cada persona. De ahí, que desde esta teoría inspirada en las escuelas antropológicas y socioculturales del conocimientos, el aprendizaje “se trata de dotar de sentido a los objetos conceptuales que encuentra el alumno en su cultura” (p. 113); aprender es un proceso mucho más que apropiarse de algo y asimilarlo, es un proceso en cuyo desarrollo se forman las capacidades de los sujetos. De otra manera, aprender matemáticas es más que hacer en matemáticas, de trata de ser en matemáticas. En consecuencia, es de suma importancia aprender a vivir en el salón de clases como expresión amplia de comunidad, aprender a estar con otros, mantenerse
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dispuesto a comprender otras conciencias y otras voces; en términos puntuales a ser con otros. LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR.
La representación semiótica, está estrechamente ligada a la acción de representar, ya que esta es el efecto o resultado de hacer presente algo con guras, signos, tablas, símbolos o palabras. caso de las matemáticas y de laalgebraifunción lineal, representar es la acción en laEn queelmediante grácas, expresiones cas, tablas y lenguaje verbal oral entre otros, se presenta la función lineal, el producto o resultado es una representación de la función lineal. El representar ha sido entendido por algunos investigadores como una competencia. Abrantes (2001, citado por Solar, 2009), no conceptúa sobre la competencia representar, pero precisa que, la capacidad de discusión con otros y de comunicar el pensamiento matemático, utilizando el lenguaje escrito y el lenguaje oral, debe ser incluida en la competencia matemática, entendida esta, como la integración de actitudes, habilidades y conocimiento. De igual manera, Niss (2002), tampoco expresa en que consiste la CMR, pero a partir de las ocho competencias matemáticas que propone y lo que argumenta por competencia matemática, se deduce que la CMR está relacionada con la habilidad para manejar símbolos y formalismos matemáticos, y expresión de entidades matemáticas, en situaciones y contextos en los que la representación tiene incidencia. A diferencia de los autores anteriores, OCDE PISA (2006), si conceptúa sobre la CMR, plantea que esta se relaciona con la capacidad de descodicar, codicar, traducir, interpretar y distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones matemáticas; las interrelaciones que existen entre las diversas representaciones; y la elección y alternancia entre distintos tipos de representación según las situaciones y objetivo (p. 102).
Sánchez y Martínez (2013), en su investigación “Una caracterización de la CMR. El caso de la función lineal”, realizada en el marco del macroproyecto de investigación Formación y desarrollo de competencias matemáticas, que realiza el grupo de investigación Desarrollo institucional integrado de la Universidad de la Amazonia, adoptan los aspectos asociados a la competencia (cognitivo, afectivo y tendencias de acción) presentados por D´Amore, Fandiño y Godino (2008), y asumen la CMR como La movilización que efectúan los estudiantes de sus aspectos cognitivos, afectivos y tendencias de acción, con el n de participar en la solución de problemas asociados a la función lineal y que necesitan de procesos de codicación, descodicación y traducción. (p. 34) 63
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Esta postura la utilizan de base y construyen un modelo teórico a priori de competencia matemática para caracterizar la competencia matemática representar asociada al objeto matemático función lineal. EL MODELO TEÓRICO A PRIORI.
La literaturade al la respecto nos muestra diferentes acepciones modelo. En el Diccionario Real Academia Española, RAE, se hallasobre el modelo como esquema teórico de un sistema o de una realidad compleja, que se construye con n de facilitar la comprensión y el estudio de su comportamiento. En otros diccionarios se encuentra modelo como ente que de manera precisa representa algo que ya existe o se va a realizar. También se encuentra que el modelo es: una forma de representar un objeto real que mediante la abstracción el hombre concibe para satisfacer sus necesidades de conocimiento; un medio de pensamiento cientíco; una forma partícular, diferente de abstracción de la realidad; un instrumento de que contribuye a la actividad investigativa que puede ser de carácter teórico y es creado para reproducir el fenómeno en estudio; una reproducción simplicada de la realidad, que cumple una función heurística, ya que permite descubrir y estudiar nuevas relaciones y cualidades del objeto de estudio; y una construcción teórica que como herramienta conceptual posibilita la comprensión de un evento Chacín (2008), coincide con la RAE en cuanto al n del modelo pero lo denomina espacio conceptual. Expresa que de la realidad compleja toma los elementos más representativos, establece relaciones entre ellos y enfatiza en los aportes a la investigación y los nuevos conocimientos que se producen cuando este se lleva a la práctica. Becerra (2003), sobre modelo teórico, (MT), expresa que “es el producto de un proceso de modelización del objeto de investigación, y por lo tanto, un experimento mental” (p.1). En este sentido Otálvarez (2011), hace un llamado a reconocer que el modelo teórico como proceso complejo de abstracción para su generalización y concreción, debe estar ligado con conocimientos teóricos y prácticos, contar con información correspondiente y necesaria, para dar cuenta con precisión del proceso y objeto investigado. En el campo de la Educación matemática, varios profesionales han utilizado los modelos teóricos a priori (MTA) para realizar sus investigaciones. Por ejemplo, Font, Planas y Godino (2009), en su artículo “modelo para el análisis didáctico en educación matemática”, socializan los avances sobre un modelo construido para analizar los procesos didácticos de las matemáticas y que les permitió realizar la descripción, explicación y valoración de episodios en la clase de matemáticas. Puig (2008), en su publicación: “sentido y elaboración del componente de competencia de los modelos teóricos locales en la investigación de la 64
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enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos especícos”, a partir de los planteamientos de Filloy (1984) y Rojano (1985), arma que para organizar la investigación y los resultados se debe construir un Modelo Teórico Local (MTL), ya que es una necesidad dar cuenta de los fenómenos que se producen en el proceso didáctico, con unos contenidos matemáticos especícos y unos estudiantes de un nivel determinado, de ahí, su carácter local. Establece diferencias con el modelo en general al precisar que el término modelo se caracteriza por analizar los fenómenos de tipo descriptivo, explicativo y predictivo de la investigación, teniendo en cuenta que las situaciones presentadas en el proceso de enseñanza y aprendizaje también se pueden analizar desde cualquier otro modelo acompañado desde su respectiva teoría. En los MTL para que las situaciones se consideren de comunicación y sentido hay que tener en cuenta los tres actores involucrados en su construcción: el profesor, el alumno y las matemáticas; y los cuatro componentes del modelo: un componente de competencia, un componente de actuación (o de los procesos cognitivos), un componente de enseñanza y un componente de comunicación. Solar (2009), en su tesis doctoral, competencia de modelización y argumentación en interpretación de grácas funcionales: propuesta de un modelo de competencia aplicado a un estudio de caso , asumió el modelo como una estructura que liga las expectativas de aprendizaje, es decir los objetivos especícos, con las competencias. Esta postura le posibilitó la construcción, aplicación y caracterización de un modelo de enseñanza por competencias para octavo básico. Este modelo compuesto por tres componentes: un contenido matemático en términos de tareas, procesos organizadores del currículo en términos de competencias especícas, y el progreso de la competencia en términos de niveles de complejidad; es considerado un aporte signicativo al desarrollo de competencias matemáticas por su aplicabilidad en el aula y al análisis de una unidad didáctica. Con los planteamientos anteriores como base, el MTA construido se entiende como una herramienta o instrumento que facilita la comprensión o descripción de una determinada situación o fenómeno, en este caso , contribuye a la caracterización de la CMR articulada a la función lineal como objeto de matemático. En concordancia con Chacín (2008), los componentes del MTA en comento, corresponden a los elementos más representativos de una realidad que es compleja, en este caso la CMR, que de acuerdo con D´Amore, Fandiño y Godino (2008), y Solar (2009), presenta los siguientes elementos representativos: • Los aspectos asociados a la competencia matemática. • Los procesos asociados a los aspectos de la CMR. • Las situaciones problémicas o tareas que involucren aspectos sustanciales de la función lineal. • Los niveles de complejidad de las tareas o situaciones problémicas.
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Los anteriores componentes del MTAse ampliarán, profundizarán y describirán en la medida que avance el texto hasta lograr una esquematización del modelo. ASPECTOS ASOCIADOS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR. CONCEPTO BASE DE COMPE TENCIA MATEMÁTICA R EPRESENTAR
Movilización que re alizan l os estudiantes de sus aspectos cognitivos, afectivos y tendencia de acción, para participar e n la solución de problemas que requieren procesos de codificación, descodificación y traducción, asociados a la función lineal.
ASPECTOS ASOCIADOS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR
COGNITIVO
AFECTIVO
TENDENCIA DE ACCIÓN
Figura 8. Aspectos asociados a la competencia matemática en el MTA
Los aspectos asociados a la competencia matemáticas como son: el cognitivo: conocimiento de la disciplina; el afectivo: disposición, voluntad, deseo de dar respuesta a un requerimiento (interno o externo); y la tendencia de acción: persistencia, continuidad y dedicación, son tomados de D´Amore, Godino y Fandiño (2008), y adaptados a la CMR. El aspecto cognitivo. En el aspecto cognitivo, centran la atención en el conocimiento de objeto matemático función lineal, por tanto, recurren a los siguientes tres componentes que según Rico (2012) determinan el signicado de un concepto. Los sistemas de representación, denidos por los conjuntos de signos, grácos y reglas que hacen presente dicho concepto y lo relacionan con otros. La estructura conceptual, que comprende conceptos y propiedades, los argumentos y proposiciones que se derivan y sus criterios de veracidad. La fenomenología, que incluye aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que están en el origen del concepto y le dan sentido. (p. 52-53)
En concordancia con lo anteriormente planteado, resulta apenas pertinente abordar de manera sucinta lo concerniente a la estructura conceptual y la fenomenología del objeto matemático función lineal. Sobre el tercer componente, los sistemas de representación lineal, se asume lo planteado al respecto al inicio del presente capítulo anterior, no sin antes manifestar que según D’Amore, (2005):
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La construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad de usar registros de representaciones semióticas de dichos conceptos, de representarlos en un registro dado, de transformar esas representaciones al interior de un mismo registro y de realizar actividades de conversión de uno a otro registro de representación semiótica (p. 33).
Gómez (2007), precisa que la estructura conceptual contiene las relaciones del concepto con otros conceptos, ya sea en la estructura matemática de la que el concepto hace parte o, en la estructura matemática que dicho concepto congura. En consecuencia, la función lineal y sus relaciones con los conceptos de otros objetos matemáticos, congura una de sus estructuras conceptuales; pero a su vez, la función lineal hace parte de las estructuras conceptuales que otros objetos matemáticos conguran, por ejemplo, la estructura conceptual de la proporcionalidad directa. En la estructura conceptual que congura la función lineal, o cualquier otro objeto matemático, las distintas deniciones del concepto constituyen un foco desde el cual pueden evidenciarse relaciones con otros conceptos. En este sentido, en la teoría de las funciones, “una función f lineal se dene cuando a todo x se le hace corresponder el mismo x multiplicado por el cociente m” (García, Serrano, y Espitia, 2000, p. 49). En el Algebra Lineal se tiene que una transformación lineal T, es una función denida entre espacios vectoriales V y W, sobre el mismo conjunto de escalares, que cumplen las siguientes propiedades: T(r+s) = T(r) + T(s), para todo r, s de V. Propiedad de aditividad T(kr) = kT (r), para todo r de V y cualquier escalar k. Propiedad de homogeneidad Estas propiedades de linealidad: aditividad y homogeneidad indican que la transformación conserva la adición y la multiplicación, denidas en los números reales como espacio vectorial real, Coronado y Montealegre (2007). Lo anterior implica que de manera gráca las funciones lineales representan una línea recta que pasa por el srcen del plano cartesiano, y que , independientemente de la longitud del segmento tomado para la cantidad de magnitud control y los puntos que lo denen, el cambio en la otra cantidad de magnitud es directamente proporcional a éste; en consecuencia, el cociente entre ellos es constante. Esto quiere decir que en la función lineal se cumple que si se duplica el valor o se reduce a la mitad o se multiplican por n los valores de una variable, la otra variable siente el mismo efecto matemático, por tanto existe un cociente constante entre pares de valores correspondientes, que se pueden representar de la siguiente manera;
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La función lineal hace parte de la estructura conceptual que congura la proporcionalidad simple directa, pues, esta se puede representar o modelar por una función lineal, cuando en los patrones de variación entre ambas variables se puede vericar la linealidad de las variaciones, de tal forma que a cada elemento x que pertenece al conjunto A, mediante la función, en este caso f, le corresponde un único elemento y = f(x) de la forma mx, en el conjunto B, en la que m es la llamada constante de proporcionalidad. Además f cumple con las siguientes relaciones: • Relación de orden monótona: Para todo x,y en R, si x
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En este sentido, el análisis fenomenológico del concepto de función lineal, consiste en la descripción de los fenómenos para los que este concepto es el medio de organización y de su relación con dichos fenómenos. La descripción de los fenómenos para los que la función lineal es un medio de organización, considera las matemáticas en su desarrollo formal y en su estado y uso actual, como también los fenómenos para cuya organización fue creado y los fenómenos a que se extendió posteriormente. La descripción de la relación del concepto de función lineal con los fenómenos en cuestión, determina en qué forma actúa sobre estos fenómenos como medio de organización.En el caso del objeto matemático función lineal, los fenómenos seleccionados no son fenómenos relacionados con la matemática misma, ni fenómenos relacionados con otras ciencias, son fenómenos relacionados con la cotidianidad; se recurrió y tomó como referente el fenómeno “rentabilidad de la leche” ya que este es un fenómeno organizado por la función lineal, y en consecuencia ayuda a darle sentido. ASPECTO AFECTIVO
Según D´Amore, Fandiño y Díaz (2008), el componente dinámico de la competencia indica que la base de la competencia es disciplinar, pero sus contenidos no movilizan totalmente el desarrollo de la misma. El carácter transversal de los contenidos matemáticos desborda la disciplina integrando factores metacognitivos, afectivos, de motivación y volición. No existe competencia matemática puramente disciplinaria. Al respecto, Gil, Blanco y Guerrero (2005), precisan que a pesar ser conscientes de la incidencia en el aprendizaje de las cuestiones afectivas provenientes de la metacognición y de la dimensión afectiva del ser humano, se insiste en valorarlo de acuerdo con los avances en el aspecto cognitivo únicamente.Goldin, (1998, citado en Gómez Chacón, 2003), plantea que el afecto en sí mismo posee una función representacional; por tanto, codica de manera signicativa información: el sentimiento de miedo codica peligro; los sentimientos de desconcierto y perplejidad codican insuciencia de comprensión; los sentimientos de aburrimiento codican inexistencia de compromiso y los sentimientos de orgullo codican satisfacción Gómez-Chacón y Figueiral (2007), expresan que la mayoría de las investigaciones sobre afecto centran su atención en las creencias, actitudes y emociones; elementos sustanciales en la conceptualización sobre dominio afectivo en Educación Matemática realizada McLeod. Sobre dominio afectivo Gómez Chacón (2002, citada en García, 2011), maniesta que este tiene que ver con la valoración, el aprecio, la satisfacción, la curiosidad y el interés tanto por la disciplina como por su aprendizaje y que por lo tanto, se debe hacer más énfasis en el componente afectivo que en el cognitivo.
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Finalmente, D´Amore, Fandiño y Díaz Godino (2008), al conceptualizar sobre el aspecto afectivo enfatizan en la disposición, la voluntad y el deseo que maniesta el estudiante a dar respuesta a solicitudes de conocimiento que pueden ser externas o internas. El MTA acoge el anterior concepto y focaliza su atención en la disposición, la cual se precisará más adelante. LA TENDENCIA DE ACCIÓN
La tendencia de acuerdo con lo consultado en diferentes diccionarios puede entenderse como: inclinación o disposición natural que una persona tiene hacia una cosa determinada; idea u opinión que se orienta hacia una dirección determinada; extenderse hacia algo, querer y preferir eso más que otra cosa; propensión hacia determinados nes o doctrinas que se orienta en determinada dirección; todo un impulso vital hacia la acción; y, patrón de comportamiento del ser humano en un entorno y periodo de tiempo especíco, cuyo estudio permite comprender al ser y al hacer de las personas; entre otros. Desde la psicología, las tendencias son manifestaciones dinámicas de las inclinaciones naturales del hombre, caracterizadas por ser un reejo de la comunicación entre el ser humano y el mundo; por ser un movimiento que nace en el ser humano ante la necesidad de satisfacerse, lo cual, es percibido de manera confusa pero anticipada; por tener una dirección denida, cada tendencia apunta hacia una meta; y por tener el carácter de algo dado. En general, las tendencias se centran hacia el desarrollo y la plena realización del ser humano. Son ese “algo” interior que lo orienta en su participación, con el n de responder a sus necesidades, y satisfacer lo que es bueno para él. En lo que concierne a la acción humana, Bruner (1990, citado por Sfard, 2001), asegura que esta se genera en el sujeto al buscar signicados en el seno de la cultura. Sfard (2001), considera la búsqueda de signicados como una tendencia humana fundamental; para Piaget es parte integrante del esfuerzo que realiza el ser humano para sobrevivir; mientras que para Vigostky, genera la necesidad de comunicar nuestras experiencias a otros seres humanos. La acción humana de acuerdo con lo hallado en (http://cus.pntic.mec.es/~igop0009/losoa1/imprimir/IV/cIV.pdf), es intencional, en cuanto acto voluntario que tiene jada la idea de conseguir un n, y racional, ya que no está guiada por el instinto sino por la razón. De esta manera la acción humana es una conducta consciente, el individuo sabe lo que hace y para qué lo hace, y de otro lado, es teleológica, persigue nes y objetivos precisos, o sea, tiene como propósito la concreción de metas. D´Amore, Fandiño y Godino (2008), maniestan que la tendencia de acción implica la necesidad del estudiante de involucrarse en la construcción de su propio conocimiento, por tanto, fuera de sentirse motivado a realizar las actividades,
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debe expresar voluntad para implicarse en ellas y mostrar sus conocimientos ante nuevas situaciones. El MTA elaborado, acoge la tendencia de acción como una inclinación natural del hombre, que permite a los estudiantes aumentar sus conocimientos trascendiendo la repetición de fórmulas y conceptos matemáticos, para darle paso al ingenio, la creatividad y la indagación, a partir de constantes cuestionamientos y la construcción de las matemáticas desde sus heurísticas. PROCESOS ASOCIADOS A LOS ASPECTOS DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR
CONCEPTO BASE DE COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR
Movilización que realizan los estudiantes de sus aspectos cognitivos, afectivos y tendencia de acción, para participar en la solución de problemas que requieren procesos de codificación, descodificación y traducción, asociados a la función lineal. PROCESOS A SOCIADOS A L OS ASPECTOS DE L A COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR
A L A S O D IA C O S A S O T C E P S A
A IC T Á M E T A M IA C N E T E P M O C
CODIFICACI N DESCODIFICACIÓN
COGNITIVO
TRADUCCIÓN
DISPOSICI N
AFECTIVO
TENDENCIA DE ACCIÓN
PERSISTENCIA
Figura 9. Procesos asociados a los aspectos de la CMR en el MTA
Ligadas a cada uno de los aspectos asociados a la CMR se encuentran acciones entrelazadas – articuladas al objeto matemático función lineal – que realizadas de manera no lineal contribuyen al desarrollo cognitivo, afectivo o de tendencia de acción de los estudiantes y en consecuencia, en el largo plazo, coadyuvan al desarrollo de la CMR. Sobre los procesos en Didáctica de las Matemáticas se han pronunciado investigadores como Solar (2009), Rico y Lupiañez (2008) y NTCM (2000, citado 71
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por Solar, 2011). De sus aportes se puede concluir que pueden considerarse como componentes sustanciales para el desarrollo de las competencias matemáticas, como variables que no corresponden a la actividad sino al estudiante, y como formas de adquisición y uso de contenidos matemáticos. En concordancia con los planteamientos de Abrantes (2001, citado por Solar, 2011), en el MTA se considera los procesos como la manera de actuación de los estudiantes cuando hacen matemáticas. Se expresan como descriptores de actividades relacionadas con cada uno de los aspectos asociados a la CMR y el objeto matemático función lineal. Los procesos codicación, descodicación y traducción asociados al as pecto cognitivo se tomaron de Niss y Højgaard (2011), los procesos disposición y persistencia asociados al aspecto afectivo y tendencia de acción respectivamente se tomaron desde la concepción de competencia matemática de D´Amore, Godino y Fandiño (2008). (Ver gura 9) PROCESOS ASOCIADOS AL ASPECTO COGNITIVO Codificación Se asume como un proceso que requiere de los estudiantes para su desarrollo acciones de pensamiento, signos o grácos para expresar información acerca de los elementos sustanciales de la función lineal. Con base en los aportes de Rico (2009), para quien pensar requiere de signos o grácos para expresar un concepto matemático, se aclara que la actividad matemática no puede reducirse a sistemas estrictos de codicación, esta debe posibilitar diferentes formas de manipulación para expresar las distintas propiedades y relaciones entre los conceptos, y en consecuencia reconocer el carácter dinámico de las codicaciones, imprescindibles en el aprendizaje de las matemáticas. Descodificación Existe consenso en que es un proceso contrario al de codicación, por tanto, se entiende como descodicación el proceso en el que los estudiantes extraen información sobre la función lineal, es decir que, de los símbolos matemáticos y su información ahí condensada, se obtiene nueva información a partir de su lectura e interpretación. Al respecto Puig (s.f), maniesta que la descodicación requiere del estudiante interpretación y análisis de la información presentada de distintas maneras. Traducción La traducción de un contenido matemático en sus diferentes formas de representación implica un cambio, una transformación. Sierra, Gonzalez y López 72
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(1998), consideran la traducción determinante en los procesos de enseñanza y de aprendizaje, pues identicar el objeto matemático en sus diferentes formas de representación indica una comprensión al respecto; en el caso de la función, la traducción entre las distintas formas de representación contribuye a que el estudiante perciba su comportamiento, (Castro y Castro, 1997; Gómez, 2007, citados en Rodríguez, 2011), asumen la traducción como una transformación y le dan un carácter transcendental por su incidencia en la conceptualización y la resolución de problemas. Para Duval (1999), las transformaciones como se expresó anteriormente, se pueden realizar al interior de un sistema de representación y las denomina tratamientos; si se realizan entre distintos sistemas de representación las denomina conversiones. Coincide con Romero (2000) en cuanto que en la traducción como transformación, el contenido srcinal puede ampliarse o conservarse parcial o totalmente. Con base en los anteriores aportes y el concepto de CMR adoptado, la traducción se entiende como el proceso de transformación de un contenido matemático que se produce entre y al interior de los sistemas de representación. PROCESO ASOCIADO AL ASPECTO AFECTIVO Disposición Dadas las escasas investigaciones en Didáctica de las Matemáticas sobre el aspecto afectivo en general y de la disposición como proceso en el desarrollo de las competencias matemáticas en particular, desde los aportes de Brown y Cooney (1982, citado en Rodríguez, Herraiz y Martínez, 2010), y la consulta en diferentes diccionarios, la disposición se entiende como el proceso en el que se evidencian las acciones que preceden a la acción misma. En este proceso los estudiantes muestran estar alerta, prestos, dispuestos y deseosos de actuar por voluntad propia, lo cual determina indiscutiblemente la forma como el estudiante actuará o se comportará antes, durante y después de realizar la tarea matemática, en un tiempo y contexto determinado.
PROCESO ASOCIADO A LA TENDENCIA DE ACCIÓN Persistencia En una situación similar a la del proceso anterior, de las deniciones de per severar como sinónimo de persistencia halladas en la Real Academia Española, (RAE) como son: mantenerse constante en la prosecución de lo comenzado y durar permanentemente o por largo tiempo, y del aporte de García (2011), en cuanto a la continuidad de los proyectos a pesar de los obstáculos, como evidencia de perseverancia; el MTA concibe la persistencia como acción continua que reali73
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za el estudiante en la prosecución de resolver una situación problemática y en consecuencia el no abandono de lo iniciado, sin consideración del tiempo, hasta encontrar una solución que considera correcta. INDICADORES ASOCIADOS A LOS COMPONENTES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR
Figura 10. Indicadores asociados los procesos de la CMR en MTA
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En la literatura acerca del término indicador o indicadores, se encuentra que es ese algo (instrumento físico, señal, signo o estándar) dotado de un signicado que expresa o reeja el estado de una realidad. Bauer (1996, citado por Mondragón, 2002), maniesta que cualquier forma de indicación puede considerarse como indicador ya que facilita analizar dónde nos encontramos y hacia dónde vamos respecto a metas y objetivos. Respecto a las características de los indicadores Mondragón (2002), dice que deben estar inscritos en un marco teórico o conceptual, en este caso, con en los marcos teóricos sobre CMR y función lineal y, por ser especícos y explícitos, deben precisar de manera clara su meta u objetivo respecto a fenómenos puntuales como son los procesos señalados anteriormente: codicación, descodicación, traducción, disposición y persistencia; esto sin desconocer que los indicadores no son exclusivos de una sola tarea, pues difícilmente un solo indicador provee la información suciente para comprender un fenómeno o proceso. Finaliza Mondragón (2002), explicando que los indicadores deben ser técnicamente sólidos, es decir, válidos, conables y comparables; relevantes y sensibles al cambio; y sobre todo que la recolección de información permita que emerjan nuevos indicadores. Lázaro (1992, citado en Rodríguez, Herraiz y Martínez, 2010), reitera de manera parcial lo planteado por Mondragón cuando expresa que el indicador debe estar enmarcado en un contenido especíco, correlacionado con un fenómeno especíco a estudiar para describir la participación del estudiante. Con base en los aportes anteriores, los indicadores en el MTA construido, tal como puede apreciarse al inicio del presente apartado, son expresiones verbales escritas, relacionadas con la esencia del correspondiente proceso y que tienen como n contribuir a describir la participación de los estudiantes en las diferentes situaciones problémicas o tareas. Los indicadores han sido rotulados teniendo en cuenta su relación con el proceso y su ubicación numérica, por ejemplo (IC1), se lee como el indicador 1 asociado al proceso codicación. Se prevé en concordancia con lo expresado anteriormente, que al presentarse la emergencia de un nuevo indicador durante la recolección de información, el rotulo tendrá en su inicio una E.
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SITUACIÓN PROBLÉMICA, TAREA Y ACTIVIDAD
Figura 11. Situación problémica y tareas en el MTA
La situación problémica junto con el problema docente, la tarea problémica y la pregunta problémica, son categorías de la enseñanza problémica. Jaramillo, Mejía y Mesa (s.f), consideran una situación problemática como un espacio de cuestionamientos que facilita la conceptualización, la simbolización y aplicación de conceptos plantear y resolver problemas el temaproAzcuy, Nápoles,para Infantes, Rivero y Ramírez (2004),matemáticos. expresan queSobre la situación blémica se constituye en el momento inicial del pensamiento, el cual surge de la interacción activa del sujeto de enseñanza y el objeto de la actividad; su esencia radica en la necesidad de dar respuesta a una dicultad que no fue posible resolver inicialmente. No toda dicultad es una situación problémica. Martínez (1987, citada por Azcuy, Nápoles, Infantes, Rivero y Ramírez 2004), precisan que la situación problémica debe contener dos aspectos: el conceptual y 76
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
el motivacional. El primero reeja la contradicción conceptual propia de un problema y el segundo expresa la necesidad de ir más allá de los límites del conocimiento que no permiten resolver la dicultad y motivan al estudiante a descubrir lo nuevo con base en conocimientos ya asimilados. Guanche (1997, citada por Azcuy, Nápoles, Infantes, Rivero y Ramírez 2004), asegura que de acuerdo a la forma de presentación, las situaciones problémicas pueden ser entre otras, fenómenos y procesos reales, objetivos y observables que aparentan tener una causa diferente a la verdadera, o situaciones que emergen de fenómenos que diariamente son observados y presentan contradicciones entre lo conocido y lo desconocido por los estudiantes. Goñi (2009), comparte parcialmente los planteamientos con Guanche cuando expone que una situación es problémica si se reere a una situación matemática contextual “real” que acepta distintas posibilidades en su solución. En coherencia con los anteriores aportes, en el MTA construido por Sánchez y Martínez (2013), se tomó la rentabilidad de la leche como situación problémica, pues la producción de leche es la actividad en la que necesariamente participan los estudiantes campesinos de la Institución Educativa Rural La Esmeralda (Municipio de Puerto Rico, Caquetá, Colombia), ya que de ella derivan el sustento las familias que hacen parte de la vereda. Los estudiantes tienen conocimientos del tema, pero algunos aspectos cuya explicación la proporciona la función lineal y sus formas de representación, le son desconocidos. La producción de la leche como fenómeno del contexto en que viven los estudiantes, se convierte en una situación problémica al transcenderla al campo empresarial, en concordancia con la modalidad de la Institución Educativa Rural La Esmeralda y su PEI, que presenta la formación de empresarios y empresas entre sus propósitos. Lo anterior implica apoyarlos para abandonar la idea de nca como mera productora de leche, para convertirla en empresa generadora de desarrollo y progreso, y en consecuencia generadora de condiciones que mejoren el nivel de vida de la población campesina. Es usar la matemática para estos propósitos socioculturales de formación. A pesar de la complejidad, tarea y actividad son términos que en muchas ocasiones se utilizan indistintamente en la Educación Matemática. Sin embargo, para investigadores como Goñi (2009), las tareas y la actividad como componentes del proceso comunicativo que se vive en el aula de clases, presentan marcadas diferencias, las tareas como propuesta de trabajo corresponden al docente y la actividad como respuesta a lo pedido por el docente, corresponde al estudiante. Lo anterior en términos de Gómez (2007), Guerrero (2001), Solar (2009) y Lupiáñez (2009) signica que la relación entre tarea y actividad requiere de acciones estructuradas del docente hacia el estudiante. Goñi (2009), ahonda al respecto y expresa que la relación tarea-actividad se hace realidad partir del nexo comunicativo que se establece entre el docente y el estudiante, y que genera procesos de aprendizaje. Es más, según este autor el binomio tarea + actividad, junto con el
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VARIOS AUTORES
docente y el estudiante, dentro de un contexto, conforman el triángulo comunicativo en el que la interacción compleja y dinámica de sus componentes genera procesos educativos. Ver cuadro siguiente.
El triángulo comunicativo y los procesos de enseñanza y aprendizaje (Goñí, 2009, p.126)
Desde la enseñanza problémica, la tarea problémica es resorte del docente, debe contener preguntas y exigencias, y brindarle al estudiante la posibilidad de desarrollar distintas acciones y de actuar de manera independiente para hallar una solución. es concordante los planteamientos de Minujin Mirabent (1989, citadasEsto por Azcuy, Nápoles,con Infantes, Rivero y Ramírez 2004),ypara quienes las tareas son problémicas si poseen una dicultad que conduzca y estimule la indagación, por tanto, las tareas deben ser novedosas y atractivas. Además deben facilitar en el estudiante el análisis, la formulación de resultados y la argumentación de diferentes alternativas de solución, Martínez (1984, citada por Azcuy, Nápoles, Infantes, Rivero y Ramírez 2004). Kroll y Miller, 1993; Stein, et al., 2000; y Stein, et al., 1996 mencionados por Ponce, Preiss y Nuñez (s,f), en este sentido son contundentes cuando arman que los problemas matemáticos como tareas fundamentalmente problematizadoras, le brindan a los estudiantes, para su desarrollo, oportunidades de explorar y recorrer múltiples caminos y tipos de pensamiento. Respecto a tareas y desarrollo de competencias, Goñí (2009) sostiene que la formulación resoluciónel de problemas como tareasPonce, es la mejor trategia para ypromover desarrollo de planteadas competencias. Arma Preissesy Nuñez (s,f) en el documento La demanda cognitiva en la matemáticas chilena, que la literatura sobre este tema parece estar de acuerdo con los planteamientos de investigadores como como Stigler y Hiebert, 2004; Schoenfeld, 2004; Stein, Grover y Henningsen, 1996, citados por Ponce, Preiss y Nuñez (sf), quienes arman en que el progreso matemático de los estudiantes se desarrolla de una mejor manera resolviendo problemas que contengan situaciones desaantes, en los que 78
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
impongan sentido a lo que hacen, tomen decisiones sobre qué hacer y cómo hacerlo, e interpreten las diferentes alternativas de solución y reexionen sobre sus acciones de aprendizaje. Con base en los anteriores aportes teóricos, la tarea problémica o tarea se acoge como problema, es decir, como un acontecimiento o situación atractiva que tenga distintos niveles de dicultad y estimule la indagación para dar respuesta cuestionamientos o solicitudes de información desconocidas. En concordancia con la situación problémica tomada, la rentabilidad de la leche, y lo anteriormente expuesto, en el MTA en referencia se plantearon las siguientes tareas o problemas: medicando el ganado, la comercialización de la leche y la proyección económica de la nca. COMPLEJIDAD DE LAS TAREAS
Figura 12. La complejidad de las tareas en el MTA
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VARIOS AUTORES
Para Goñi (2009), el creciente nivel de complejidad entre las tareas se relaciona de manera directa con exigencias cognitivas involucradas en el objeto matemático, las cuales aumentan en la medida que se avanza en su conocimiento. La exigencia cognitiva Stein, et al., (1996, citado por Ponce, Preiss y Núñez, s.f), la interpreta como demanda cognitiva, y la concibe como tipos de procesos cognitivos presentes en la solución de un problema matemático, por tanto, requiere de procesos que van desde la memorización, el uso de procedimientos y algoritmos simples; hasta la implementación de estrategias complejas de pensamiento y razonamiento que hacen parte de un pensar y actuar matemáticamente. La demanda cognitiva es una de las demandas que se deben tener en cuenta al momento de elaborar tareas o escoger problemas, pues además de las demandas cognitivas y las habilidades cognitivas asociadas al objeto matemático, también hay que tener en cuenta las habilidades afectivo-sociales y sicomotrices (http:// ocwus.us.es/didactica-y-organizacion-escolar/procesos-de-ensenanza-aprendizaje/asigpea/apartados/apartado4-1.asp.html). De lo anteriormente expuesto y desde un enfoque sociocultural, la complejidad de la tarea transciende lo cognitivo, por tanto, aspectos como el afectivo y de tendencia de acción asumidos como aspectos asociados a la competencia matemática en general y la CMR asociada a la función lineal, resultan determinantes en la construcción o elaboración de tareas. Según Stein (sf, citado por Cruz, (sf)), en http://tegperu.brinkster.net/SOPEMAT/userles/File/Otros/CONEM/Documentos/La%20Demanda%20Cog nitiva%20como%20Opo rtunidad%20de%20Aprend izaje%20en%20el%20 %C3%81rea%20de%20Matem%C3%A1tica%20-%20Gustavo%20Cruz.pdf, las tareas pueden ser de baja demanda cognitiva o alta demanda cognitiva. Las primeras se subdividen en tareas de memorización y procedimientos sin conexiones; y las segundas en tareas se subdividen en procedimientos con conexiones y hacer matemáticas. Las tareas de memorización se caracterizan por reproducir lo previamente aprendido como son datos, reglas, fórmulas o deniciones; no requiere de procedimientos, son supremamente precisas y piden repetir lo visto previamente; no presentan conexiones con conceptos o signicados subyacentes a los datos, reglas, fórmulas o deniciones aprendidos o evocados. Los procedimientos sin conexión son tareas que requieren de algoritmos, presentan ambigüedades sutiles entre lo que se requiere hacer y el cómo hacerlo, no presentan posibilidades de conexión con conceptos que subyacen a los procedimientos usados, se centran en el logro de respuestas correctas sin interés en desarrollar el entendimiento de los objetos o conceptos matemáticos involucrados, las explicaciones que se requieren están enfocadas en el proceso utilizado. En términos generales, la esencia de las tareas de baja demanda se encuentra en la memorización de información y la utilización de procedimientos sin conexión, por tanto, generan un aprendizaje basado en la reproducción y la repetición como rutina, no requieren
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
de justicaciones, contextos, ni de las nociones de los conceptos contenidos en ellas; solo es necesario conocer el procedimiento y aplicarlo. Las tareas procedimientos con conexiones, como tareas de alta demanda cognitiva centran su atención en el uso de procedimientos que tienen como objetivo el desarrollo de la comprensión de conceptos e ideas matemáticas, sugieren vías que contienen diversidad de procedimientos generales con conexiones cercanas a los conceptos subyacentes, los objetos matemáticos se representan de diversas maneras, el éxito de la tarea y el desarrollo de la comprensión, requieren de conexión de conceptos que subyacen en los procedimientos. En las tareas en comento, hacer matemáticas requiere de un pensamiento no algorítmico o complejo, ya en ellas no existen vías predecibles, dadas o bien determinadas de antemano por la instrucción o el ejemplo previo. Estas tareas llevan al estudiante a explorar y desarrollar la comprensión de conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas que terminan en nuevos conocimientos y experiencias relevantes; por tanto, requieren de monitoreo, autorregulación, análisis y exámenes para delimitar las posibles soluciones. Stein y Lane (1996, citados en Ponce, Preiss y Núñez, sf), en la investigación realizada sobre la relación existente entre tareas matemáticas y desarrollo de capacidades de los estudiantes para pensar y razonar en matemáticas, concluyen que las tareas de alta demanda cognitiva eleva los índices de aprendizaje, contribuyen al desarrollo de pensamiento complejo y en consecuencia, la clase va mucho más allá de ejercicios rutinarios de operaciones matemáticas; las tareas que requieren demandas cognitivas menores se asocian con bajos índices de aprendizaje. Las tareas o problemas antes mencionados: medicando el ganado, la comercialización de la leche y la proyección económica de la nca, se han propuesto tomando como base los aportes anteriores, por tanto, los niveles de complejidad son ascendentes en concordancia con el aumento en las demandas cognitiva, afectivas y de tendencia de acción. Las preguntas problémicas o pedidos en cada uno de ellas requiere, no solamente de procedimientos algorítmicos, sino también de la heurística de los estudiantes, de situaciones abiertas con diversidad de alternativas de solución que necesitan del establecimiento de conexiones entre los conceptos en ellas involucrados y estimulan la reexión sobre lo que se hace y cómo se hace. APLICACIÓN Y RESULTADOS DEL MODELO TEÓRICO A PRIORI
El MTA construido se implementó en una investigación cualitativa realizada por Sánchez y Martínez en el año 2013. En ella se adoptó el estudio de caso como método de investigación, y se jó como objetivo lograr una caracterización de la CMR asociada a la función lineal. El MTA se aplicó a cuatro estudiantes campesinos de grado décimo de la Institución Educativa Rural La Esmeralda, de 81
VARIOS AUTORES
modalidad empresarial, ubicada en corregimiento del mismo nombre, reconocido por su producción lechera, actividad de la cual deriva su sustento buena parte de sus habitantes, en su mayoría campesinos padres de familia y familiares de los estudiantes de la institución educativa. El corregimiento La Esmeralda hace parte del municipio de Puerto Rico, departamento del Caquetá, Colombia. La información sobre lo acontecido con los estudiantes, sus actuaciones y movilizaciones de sus haberes – todo de lo que dispone el ser humano – al asumir las tres tareas propuestas, se obtuvo de observaciones directas, notas de campo (diario de los estudiantes y docentes) y videograbaciones; se consignó en la matriz que aparece a continuación para su correspondiente sistematización y análisis.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
4 E 3 ae ra T
A C I M É L B O R P N Ó I C A U T I S
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A T M le d n ó ic a ci l p a a l e d s o d lta u se R . 1 a l b a T
VARIOS AUTORES
Los datos producidos, interpretados y analizados de acuerdo con los referentes teóricos y conceptuales antes descritos, se constituyen en el principal soporte para la presentación de los resultados en los aspectos cognitivo, afectivo y de tendencia de acción, y sus correspondientes procesos, que a continuación se exponen. Sobre descodicación. La información extraída por los estudiantes en un alto porcentaje corresponde a la información entregada de manera condensada o codicada. En este sentido en la tarea 1, T1 – medicando el ganado – los estudiantes identicaron variables cualitativas como tipo de animal (bovinos, porcinos) y formas de aplicación de la droga (subcutánea e intramuscular), y variables cuantitativas cuyas cantidades se expresan en unidades correspondientes – kg y ml – como se aprecia en el siguiente graco, en el que también se evidencia que el estudiante 1, ET1, reconoció la dependencia e independencia variacional: la dosis o cantidad de medicamento o droga a aplicar depende del peso del animal.
Gráco 1. Información extraída por el E1 en la T1. Tomado de Sánchez y Martínez
(2013)
El ET2 identicó las variables tamaño y cantidad, esta última señalada en ml. La información sobre ellas inicialmente el ET2 la expresó de manera verbal oral, luego mediante el lenguaje corporal – de las manos de manera especíca – y nalmente la presentó de manera gráca. En esta forma de representar se destaca la parte icónica; lo cual se consideró como una categoría emergente de análisis, (EID4), ya que en las representaciones realizadas por los estudiantes 3 y 4 también sucedió lo mismo. El siguiente episodio ilustra lo anteriormente expresado. El estudiante (ET2), señala con los dedos la presentación comercial del producto según el tamaño, “de 10 es así, de 20 es mas grandecito, de 100 es por ahí así (s eñala con las dos manos), y el de 500 pues un poquito más grandecito”. Profesor: “ya”
E2: “si maestro. Listo. Aaaaaaaah me falta una cosa, espere. (Dibuja recipientes con las respectivas medidas en mililitros)”. (p.84)
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Gráca 2. Información obtenida por el ET2 en la T1. Tomada de Sánchez y Martínez
(2013)
El ET3 tomó el caso especíco de los bovinos y a diferencia de sus compañeros encontró el coeciente de variación y precisó que este es constante; pero, al igual que sus compañeros las variables peso y dosis las expresó en kg y ml como se aprecia en la siguiente gráca.
Gráca 3. Descodicación realizada por el ET3 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
El ET4 utilizó la representación tabular para presentar la información obtenida; identicó las variables peso y dosis a aplicar a los diferentes tipos de animales y las expresó en kg y ml respectivamente.
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VARIOS AUTORES
Gráca 4. Nueva forma de presentar información por el ET4 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Una situación similar se presentó con la información extraída por los estudiantes en la tarea 2 (T2) - la comercialización de la leche – en lo que respecta a la identicación de variables, su covariación y forma de representación. Las grácas 5 al 8 y el siguiente episodio de clase en el que se cuestionó a los estudiantes sobre identicación de variables que intervienen en el proceso de comercialización de la leche, ilustran lo anteriormente armado. “Profesor: bueno, sobre la primera pregunta, ¿cuáles podrían ser las variables?. Estudiante 3: los litros, el precio… Estudiante 1: ahí podrían ser los más los litros y el precio”. (p.86 )
Gráca 5. Información extraída por el ET1 en la T2. Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Gráca 6. Información obtenida por el ET2 en la T2.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Gráca 7. Interpretación de la información por parte del ET3 en la T2. Tomada de
Sánchez y Martínez (2013)
Gráca 8. Descodicación realizada por el ET4 en la T2.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Aunque tres de los cuatro estudiantes expresaron “precio de la leche” como variable dependiente, se comprende que se rerieron a la cantidad de dinero que les paga de acuerdo con la cantidad de leche producida, tal como lo indica el 87
VARIOS AUTORES
último estudiante quien manifestó la dependencia – también expuesta por sus compañeros – entre ingresos y cantidad de leche producida. Con base en lo expuesto hasta aquí, en el proceso de descodicación asociado a la CMR y el objeto matemático función lineal, los estudiantes participantes en el presente estudio de caso obtuvieron información que correspondió a la información que se les entregó de manera condensada o codicada con el n de darla a conocer de otra manera. Identicaron variables cualitativas como son tipos de animales (porcinos y bovinos) y formas de aplicar la droga o medicamento (subcutánea e intramuscular). Igualmente procedieron con las variables cuantitativas como capacidad de los frascos, dosis a aplicar y pesos; estas fueron expresadas en sus correspondientes unidades para expresar las cantidades (kg para el peso y ml para la dosis a aplicar). Reconocieron la relación entre las variables y la dependencia entre ellas. Determinaron que la cantidad de droga a aplicar depende del tipo de animal y su peso, por tanto, consideraron que la variable independiente es el peso del animal seleccionado para aplicarle el medicamento y que la cantidad de droga a aplicar es la variable dependiente en la T1. Igual acontece en la comercialización de la leche (T2) y las variables ingreso por leche vendida y cantidad de leche producida. La información obtenida de la lectura e interpretación de la información codicada – descodicación – la presentaron los estudiantes de manera tabular, verbal oral, verbal escrito y corporal, pero fue mayoritaria la representación icónica. Lo anterior indica la fuerte tendencia de expresarse o comunicarse con dibujos y guras que tienen una semejanza con el objeto representado. De esta manera, sobre los sistemas de representación – grácos o tabulares de la función lineal – propios de las Matemáticas, se impusieron las representaciones con imágenes, dibujos y guras que hacen parte del conjunto de signos que regularmente utilizan las personas de manera espontánea en la cotidianidad. Esto no es extraño si se reconoce el componente matemático y el uso social de las Matemáticas en la situación problémica “la rentabilidad de la leche”; situación que hace parte de las prácticas cotidianas de su entorno sociocultural. De este proceso de descodicación, llama la atención el nivel reproductivo en que se encuentran los estudiantes al momento de ampliar y presentar nuevamente la información – descodicar –. Si bien es cierto la expresión o coeciente de variación ml/kg se interpretó y expresó como la cantidad de droga a aplicar de acuerdo con el peso, los cuatro estudiantes reutilizaron los códigos kg y ml, en sus diferentes formas de presentación verbal escrita o combinada con la icónica, no los expresaron como kilogramos o mililitros como era lo mínimo esperado. Sobre codicación. En concordancia con lo anteriormente expuesto en el proceso de descodicación, los resultados indican que los códigos propios de las Matemáticas para señalar, expresar o representar las variables de una función, x, y, z,…, no fueron utilizados por los estudiantes como puede apreciarse en las
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
guras 5 al 8 relacionadas con la T2 en particular. El dinero obtenido por la venta leche, como variable dependiente y la cantidad de leche producida como variable independiente no se codicaron con los signos y y x como indica la teoría de funciones. Los estudiantes recurrieron a otros signos no convenidos para representar la variable dependiente: precio, $, ingresos, P.L y una combinación de los dos últimos signos P$L como puede verse en la siguiente gráca.
Gráca 9. Códigos utilizados por el ET1 en la T2.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Para la variable independiente utilizaron los códigos cantidad de leche y C.L. La misma situación se presentó en T1, el peso como variable independiente no se codicó con alguna de los signos asignados para tal n en el campo de las Matemáticas, se usó el signo kg, que siendo válido no era el esperado para señalar variable alguna. Lo anterior se repitió con la dosis a aplicar; esta variable dependiente se codicó con ml. Una evidencia más al respecto la aporta la siguiente gráca.
Gráca 10. Códigos utilizados por el ET4 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013) 89
VARIOS AUTORES
En lo que concierne a la codicación del coeciente de variación en la función lineal, la situación poco o nada cambia en cuanto a uso de códigos establecidos en las matemáticas para su representación, pues al expresarse este – el coeciente de variación – en términos de las variables antes descritas de acuerdo con la tarea propuesta, la codicación que se realiza es reproductiva, por tanto, los estudiantes para representar el coeciente de variación en sus distintas formas de representación o codicación reutilizaron, en la mayoría de las ocasiones, los códigos antes señalados para las variables independientes o dependientes. En este sentido y de acuerdo con la gráca 11, para el ET3 el coeciente de variación es el resultado de una división, es decir es un cociente expresado como número decimal, 27,5kg/ml, en el que, respecto a la información srcinal, intercambió el rol de las variables. Sin embargo, el coeciente no lo rotula con letra alguna, por decir con m que es el código más común. Ver gráca 11.
Gráca 11. Codicación del coeciente de variación realizado por el ET3 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
La reproducción de signos anteriormente descrita se presenta nuevamente en la T2. En la gráca 9 se observa que el ET1 identica el coeciente de variación, precisa que el término que se mantiene constante es el “precio del litro” de leche así cambien las otras variables; pero su codicación con signos matemáticos no se vislumbra en ningún sentido. En la siguiente gráca el estudiante 1 ratica lo planteado.
Gráca 12. Códigos utilizados por el ET1 al identicar variables en la T1. Tomada de
Sánchez y Martínez (2013) 90
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
A manera de conclusión, el proceso de codicación, es decir, el proceso en el que se presenta la información de manera condensada por medio de códigos o signos propios de las matemáticas sobre la función lineal o sus elementos sustanciales como las variables y el coeciente de variación entre otros, se caracteriza por el uso de signos no convenidos en las matemáticas. Signos que hacen parte de un sistema de representación creado de manera natural por las personas en su necesidad de interacción cotidiana y que les permite sintetizar información. Las variables independiente y dependiente de la función lineal, de acuerdo con las tareas, no se representan con las tradicionales últimas letras del alfabeto. En la T2 se recurre a signos como P.L, $, P$L para referirse a variable que indica los ingresos por cantidad de leche vendida, la cual a su vez codican regularmente como C.L o litro. Consecuencia de lo anterior, el coeciente de variación no es bautizado o rotulado con letra alguna; cuando se codica se recurre a la reproducción de los signos antes relacionados para las variables independiente y dependiente, como se ilustra una vez más en la siguiente gráca.
Gráca 13. Codicación del coeciente de variación realizada por el ET1 en la T3.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Nuevamente el componente social y uso cotidiano de las Matemáticas impuso en el proceso de codicación la utilización de signos no convenidos, tal como aconteció con el proceso de descodicación. Esto resulta lógico, pues codicación y descodicación son procesos que guardan una estrecha relación ya que son procesos inversos o contrarios, es comprensible entonces, que en ellos los estudiantes utilicen los mismos signos, sea para obtener y ampliar la información (descodicación) o, sea para presentarla de manera sintética o condensada (codicación). 91
VARIOS AUTORES
Sobre la traducción. En general, los estudiantes realizaron transformaciones al interior del sistema de representación verbal escrito, pues en el conjunto de los números reales las operaciones, los cálculos y los resultados son considerados como tratamientos. Un ejemplo al respecto es la división indicada para representar el coeciente de variación y su transformación o representación al interior de los números reales como número decimal. (ver gráca 11). Otro ejemplo de tratamiento corresponde a los resultados provenientes de sumas y multiplicaciones como se evidencia en la gráca anterior y las siguientes grácas del ET1 en la tarea 3.
Gráca 14. Tratamientos realizado por el ET1 en la T3.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Gráca 15. Tratamientos realizado por el ET1 en la T3.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
En lo que atañe a las transformaciones de información entre sistemas de representación, a excepción del ET1, a los demás estudiantes no les fue posible realizar conversiones. En la T1, medicando el ganado, el ET1 seleccionó los bovinos y la información srcinal entregada en la etiqueta, 3 a 4 mL/110 Kg de p.v, ante la solicitud de presentarla de otra manera, el ET1 la transformó y la representó en una gráca cartesiana. Para ello determinó y respetó la unidad patrón de medida seleccionada en cada una de las coordenadas del plano cartesiano, utilizó y ubicó los puntos (110,4), (165,6), (220, 8), (330, 12) y (440,16); ubicó el peso de los bovinos en kg en el eje X y la dosis a aplicar en ml en el eje Y; todo lo anterior en correspondencia con la información de entrada u srcinal, es decir con una función lineal que de acuerdo con el coeciente de variación dado, la dosis a aplicar depende del peso del bovino, ver gráca 16.
Gráca 16. Conversión realizada por ET1 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
El ET3 en su actividad generada por la anterior tarea y la correspondiente demanda, representó la información anterior través de una tabladely tratamiento una gráca cartesiana. En las conversiones realizadas noatuvo éxito a pesar realizado de antemano y en el que arma “6 - Por cada 27,5 Kg 1mL la dosis a inyectar. 7 – la variación que se presenta constante para los bovinos”. Ver gráca 3. En el primer caso, la conversión de información de un sistema verbal escrito a un sistema tabular, ver gráca siguiente, el ET3 en concordancia con lo regularmente aplicado en la actividad matemática para la elaboración de tablas funcionales, 93
VARIOS AUTORES
colocó primero la variable independiente peso y luego la variable dependiente dosis. Aplicó la proporcionalidad directa a partir del coeciente de variación antes señalado en los dos primeros casos, pero en los dos casos siguientes renunció a ello y produjo una información que no se corresponde con la información srcinal o de inicio. Ver Gráca 17.
Gráca 17. Conversión realizada por el ET3 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
En el segundo caso, la conversión de información del sistema de representación verbal escrito al sistema de representación gráco cartesiano, la nueva representación que realizó el ET3 es contraria a la información original, estableció una función en el que peso lo colocó a depender de la dosis o cantidad de droga a aplicar, por tanto, ubicó la dosis en el eje X y el peso en el Y del plano cartesiano. Además, forzó la traza de la línea recta, pues la escala que utilizó el estudiante en los dos ejes no la mantuvo y los puntos o pares ordenados (16, 880) y (32,980) no se corresponde con el coeciente de variación antes mencionado.
Gráca 18. Conversión desarrollada por ET3 en la T1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013) 94
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Al analizar la conversión de información realizada entre el sistema de representación tabular y el gráco, nuevamente se presenta una falta de correspondencia entre la información inicial, la consignada en la tabla, y la información nal, la presentada en la gráca cartesiana. Al comparar la información de las grácas 17 y 18 se evidenció que el ET3 en la representación nal cambió la covariación entre variables, la variable independiente la transformó en variable dependiente y viceversa, es decir que el peso de los bovinos lo colocó en función de la dosis a aplicar. Similares situaciones, aciertos o dicultades a los expuestos anteriormente presentaron los estudiantes en la realización de conversiones en la T3. Ver grácas 19 y 20.
Gráca 19. Conversión realizada por el ET3. Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Gráca 20. Conversión realizada por el ET4. Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
En esta tarea, la T3, nuevamente el ET1 es la excepción, pues a partir de la tabla que realizó en la gráca 13, el estudiante obtuvo una expresión que no siendo algebraica, la dedujo de la información de entrada consignada en ella y por tanto, le permitió dar respuestas a solicitudes que matemáticamente corresponden a nuevos pares ordenados de la tabla. El ET1 fue el estudiante quien más cerca
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estuvo de realizar la conversión de información de un sistema de representación tabular a un sistema de representación algebraico. Ver gráca 21.
Gráca 21. Conversión realizada por el ET1 en la T3.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
De acuerdo con la gráca 21, ET1 determinó los ingresos por leche vendida multiplicando la cantidad de leche producida por el valor de un litro. Como respuesta a una de las preguntas planteadas por los docentes investigadores en la T3, el ET1 mostró que por la venta de 15 litros de leche a razón de $796 el litro, obtiene unos ingresos de $11.940. Mediante tratamientos en la fórmula hallada, el ET1, halló una nueva fórmula que le permitió determinar la cantidad de litros producidos de acuerdo con los ingresos obtenidos. En particular determinó la cantidad de litros que debe producir para obtener un ingreso de $67.500. Ver Gráca 22.
Gráca 22. Fórmula para hallar la producción de leche conocidos los ingresos. ET1.
Tomada de Sánchez y Martínez (2013)
Sin que sea una expresión algebraica en términos estrictos de las matemáticas, esta forma de representación o fórmula hallada le posibilitó al ET1 dar respuesta a preguntas propuestas como ¿en cuánto tiempo, se puede adquirir una guadaña nueva que vale $1’100.000 si se ahorra el ingreso diario de la producción de leche? Al realizar el balance sobre el proceso de traducción se tiene que los estudiantes realizaron transformaciones al interior de un sistema de representación, sobre todo cuando los tratamientos se realizan de manera verbal escrita con elementos 96
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
de los conjuntos numéricos, pues en ellos las operaciones se consideran agente transformador y los cálculos o resultados el efecto de estas transformaciones. En este sentido los productos, los totales o sumas y los cocientes se consideran como ejemplos de tratamientos. Lo anterior no acontece con la transformación de información entre sistemas de representación, en concordancia con lo planteado por Duval (1999), la conversión es una transformación en la que los estudiantes presentan más dicultades. A excepción del ET1, al resto de estudiantes no les fue posible realizar conversiones. Al tratar de realizar conversiones de un sistema verbal escrito a un sistema de representación gráco cartesiano o tabular, o de un sistema tabular a un sistema gráco cartesiano, los estudiantes obtuvieron una información que no corresponde a la información srcinal o de entrada debido a: • el cambio de roles entre las variables, es decir la variación y dependencia no se mantuvo al realizar la transformación, las variables independientes se asumieron como variables dependientes y viceversa. • la proporcionalidad directa identicada no se aplicó en la medida que avanzaron en la elaboración de la tabla, por tanto, las primeras parejas ordenadas son correctas, pero las siguientes no son equivalentes con el coeciente de variación respectivo, lo que evidencia la no aplicación de las condiciones de linealidad de la función lineal. • los patrones o unidad de medida adoptados para los ejes de coordenadas no se utilizó en todos los casos, se evidenciaron dicultades para gracar a escala, en consecuencia las líneas rectas obtenidas se obtuvieron forzando la dirección de la traza y con ello la ubicación inadecuada de los puntos. En lo que atañe a la disposición como proceso del aspecto afectivo asociado a la CMR, los estudiantes en las diferentes sesiones de interacción se mantuvieron expectantes, atentos, prestos y deseosos de actuar por voluntad propia. Esto según (Sánchez y Martínez, 2013) contribuyó a determinar su proceder o comportamiento frente a los requerimientos realizados en las distintas tareas. En este sentido, el deseo y voluntad evidenciado llevó a los estudiantes a participar de manera decidida en el estudios de caso, por tanto, los llevó a implicarse en el desarrollo de las tareas, a predecir y argumentar la eventualidad de algunos resultados, y a conocer y dar a conocer a sus compañeros las diferentes respuestas de acuerdo con las demandas planteadas en las tareas. En lo que concierne al deseo y voluntad de los estudiantes de implicarse en el desarrollo de las tareas, la asistencia, la puntualidad, el cumplimiento de compromisos y la espontaneidad en participación en las sesiones o encuentros de interacción, evidencian una actitud que facilitó el desarrollo de la investigación. El siguiente episodio es una muestra al respecto 97
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Docente:“¿Qué está representando?” E2: “…como esa inyección es brava, entonces ellos quedan todos tontos así (señala con sus manos y hace gestos con su cabeza), entonces toca sobarles acá (se toca repetidamente su cuello), para que no le vaya a salir un chichote”. E1: “…pero hay que tener en cuenta además la edad del animal” (p.98)
En el episodio se percibe la seguridad y naturalidad con la que el estudiante asume la actividad matemática, pues su conocimiento empírico dada su vinculación la actividad ganadera,ylesrcinalidad, facilitó realizar ese presión tipo de presentación, por tanto,con procedió con normalidad no sintió alguna y mostró deseo y voluntad de inmiscuirse en la tarea. Una consecuencia de lo anteriormente expuesto es la voluntad manifestada por los estudiantes de realizar predicciones de acuerdo con las solicitudes o demandas en las tareas. El siguiente es el caso del ET3, predice y argumenta el tipo de gráca a obtener (E3): a mí me quedaría la gráca así. (muestra la gráca obtenida en la situación anterior, cuya representación fue una línea recta), porque yo lo haría de 20 a 30 y por lógica me quedaría así. Profesor: ¿por lógica debe ser así? Y entonces a Sandy ¿por qué le dio así, curva? (a la estudiante mencionada su gráca se caracterizó por presentarse de forma curva) (E4) ¡pero es que a él no le da derecha¡ (E3) siiiiii, porque si yo la hago de 20 a 30 los litros, 20 es menor que 21 y me tiene que unaellínea (E4)dar ¡pero preciorecta. varía¡ (E3) nooooo (E4) ¡como que no va a variar¡ (E3) no porque 20 litros pues valen menos que 21 litros. (E4) pues obvio¡¡ ay va a aparecer¡¡ (E3) por eso¡¡ y va a seguir subiendo así sucesivamente Profesor: o sea que en forma general como sería Diego? Entre más litros… (E3) más ingresos. (pag.99)
Además de evidenciarse los argumentos a los que recurrió el ET3 en el anterior episodio para pronosticar y expresar de manera anticipada la gráca a obtener, se evidencia también el deseo y voluntad de compartir con sus compañeros las soluciones o procedimientos desarrollados. Un ejemplo más al respecto es el diálogo sostenido por ET1, ET4 y profesor sobre la descripción de la gráca realizada, y que a continuación se presenta. E4): yo no sé cómo explicarlo. Profesor: escriba eso. (E4): eso es lo que no puedo Profesor: por qué le dio así, por qué tan cerquita los puntos… (E1): y siempre tiene que dar recta? Profesor: no. Nadie a dicho que debe de dar recta. De hecho a Sandy le dio una curva. 98
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(E1): porque ella tiene diferentes los… datos. Pero como casi todos tenemos parecidos. Aaah porque ellos tienen más diferentes los datos. Profesor: Mmmm pues por eso es que da diferente la gráca. Cierto? (E1) digamos la mía con la de Sandy (E4): pero como él (E1) la está haciendo es por días, pero yo la estoy haciendo semanal. (E1): no, yo la estoy haciendo semanal también, pero como son diferentes los datos. (pag. 100)
Después de lo anteriormente expresado a cerca de la disposición como proceso del aspecto afectivo de la CMR asociada a la función lineal, a manera de síntesis se tiene que los estudiantes durante el presente estudio de caso mostraron y mantuvieron su interés, deseo y voluntad de participar, indagar, ampliar y profundizar sobre la rentabilidad de la leche como problemática propia de su entorno. Lo anterior se evidenció en la puntualidad y asistencia a las sesiones de interacción, la recopilación y búsqueda de información de acuerdo con las demandas planteadas en las tareas y en el cumplimiento de los compromisos derivados de ellas. En general, evidenciada en la participación espontánea, natural y desprevenida de los estudiantes durante la actividad matemática generada por las diferentes tareas. La modalidad empresarial de la Institución Educativa La Esmeralda, la selección concertada de la problemática a estudiar, la rentabilidad de la leche, y las tareas: medicando ganado, de la leche y la proyección económica de la nca,eljunto con la lascomercialización preguntas problematizadoras, generaron un ambiente de exceptiva expectativa en los estudiantes, en el que por sus conocimientos empíricos y vinculación directa con la ganadería se sintieron cómodos, por tanto, se sintieron protagonistas, se implicaron con responsabilidad y voluntad propia en el desarrollo de las distintas tareas, compartieron y argumentaron procedimientos utilizados, conocieron y dieron a conocer sus resultados, y de manera espontánea y srcinal dentro de un marco de normalidad, expresaron sus pronósticos sobre resultados a obtener de acuerdo las demandas de las tareas. De esta manera la disposición de los estudiantes generó una actitud que favoreció y enriqueció la actividad matemática desarrollada. Es de anotar que los estudiantes, a pesar de que estuvieron atentos, dispuestos, mostraron interés y deseos de ahondar y ampliar sus conocimientos sobre la problemáticaoobjeto de estudio, en general no mostraron creatividad en los procedimientos respuestas a las demandas o preguntas problematizadoras. Es muy posible que, dado lo nuevo de esta forma de enseñar y aprender matemáticas para los estudiantes, aún no conocen bien el proceso, por ello, debe insistirse en el uso social de las matemáticas si se quiere estimular procesos creativos e innovadores con los estudiantes Para nalizar lo concerniente a la aplicación del MTA y sus resultados y en cuanto a la persistencia como proceso del aspecto tendencia de acción asociado a 99
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la competencia matemática Representar se reere, la información sistematizada y los datos obtenidos por (Sánchez y Martínez 2013) indican que los estudiantes al enfrentarse a la situación problémica, sus tareas y preguntas problematizadoras, en concordancia con la disposición antes caracterizada, en términos globales siempre dieron respuestas – correctas o incorrectas – a las demandas solicitadas. Ejemplos al respecto son las respuestas a las que llegaron los estudiantes cuando se les pidió establecer la covariación entre las variables en la T2 y que se encuentran consignadas en las grácas 5 al 8. En ellas se puede apreciar que de manera adecuada los estudiantes dieron respuesta a lo solicitado. Las grácas 17 al 20 son otros ejemplos de respuestas y procedimientos que en algunos casos no son los esperados o correctos, pero indican el esfuerzo y el empeño del estudiante de plantear una solución. En concordancia con lo anterior, es necesario resaltar que los estudiantes en algunos momentos o situaciones signicativas para el estudio de casos, perseveraron en su deseo de atender los requerimientos planteados en las distintas tareas. La decisión en general de los estudiantes de continuar con la actividad matemática sacricando su tiempo de descanso, y la actitud de resistencia o aguante del ET1 ante dolores físicos – un dolor de muela y de cabeza – como se transcribe a continuación, evidencian el grado de obstinación con que los estudiantes asumieron los retos en la actividad matemática realizada. Profesor: “le está doliendo la muela o laelcabeza también” E1: “la cabeza también. A pesar de que docente sale del salón a conseguir una pasta para el dolor que presenta el estudiante, los demás estudiantes continúan desarrollando la actividad”. (pag. 101)
En resumen, los estudiantes participantes en la presente investigación dieron respuesta a todas las preguntas formuladas, atendieron las demandas generadas por las tareas, no desistieron en su decidido empeño de proponer respuestas a las inquietudes expuestas; esto, sin sucumbir ante las dicultades presentadas como dolencias físicas y falta de tiempo que los llevó a sacricar el disfrute de su tiempo de descanso. Con base en los argumentos hasta ahora expuestos, se presenta a continuación un balance general del proceso de caracterización de la competencia matemática Representar asociada al objeto matemático función lineal. Este balance representa los principales resultados de esta parte de la investigación. El aspecto cognitivo: se reere al conocimiento de la disciplina, en este caso el conocimiento de la función lineal, los aportes antes mencionados indican que mediante el proceso de descodicación de coecientes de variación, los estudiantes obtuvieron y representaron información que correspondió a la información que se les entregó de manera sintetizada o codicada, por tanto, identicaron
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variables cualitativas y cuantitativas, reconocieron la relación entre las variables y la dependencia entre ellas. Entre las diferentes formas de representar utilizadas para ampliar la información obtenida de la lectura e interpretación de la información codicada – descodicación – la representación icónica prevaleció sobre representaciones tabulares, verbales orales, verbales escritas y corporales. Se impuso las representaciones con imágenes, dibujos y guras que hacen parte del conjunto de signos que regularmente utilizan las personas de manera espontánea en la cotidianidad. En consecuencia, se evidenció la acentuada tendencia de los estudiantes de expresarse o comunicarse con dibujos y guras que tienen una semejanza con el objeto representado, lo cual, no es extraño si se tiene en cuenta el componente matemático y el uso social de las Matemáticas en situaciones problémicas que tienen una estrecha relación con las prácticas cotidianas de su entorno sociocultural, como lo es “la rentabilidad de la leche” de manera general, y de manera especíca, tareas como la medicación del ganado, la comercialización de la leche y la proyección económica de las ncas. Es de anotar que junto con la preferencia de los estudiantes de la representación icónica para ampliar la información, es notable la reutilización o la reproducción de los signos codicadores de la información a descodicar o ampliar. El proceso de codicación, presentación de la información de manera condensada por medio de códigos o signos propios de las matemáticas sobre la función lineal o sus elementos sustanciales como las variables y el coeciente de variación entre otros, se caracterizó por el uso de signos no convenidos en las matemáticas. Signos que conforman un sistema de representación que emerge de manera espontánea y son utilizados por las personas ante necesidad natural de comunicarse e interactuar de manera rápida y sintetizada en su trajinar cotidiano. Las variables independiente y dependiente de la función lineal, de acuerdo con las tareas, no se representan con las tradicionales últimas letras del alfabeto. Se recurre a signos como P.L, $, P$L para referirse a variable que indica los ingresos por cantidad de leche vendida, la cual a su vez codican regularmente como C.L o litro. Consecuencia de lo anterior, el coeciente de variación no es bautizado o rotulado con letra alguna como sucede en las Matemáticas. En lo referente al proceso de traducción, transformaciones de información sobre la función lineal al interior de un sistema de representación – tratamientos – fueron realizados con éxito por los estudiante; sobre todo, cuando estas se desarrollaron en el sistema de representación verbal escrita y con elementos de los conjuntos numéricos, pues en ellos las operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones,…) se consideran agente transformador y los cálculos o resultados (totales, productos, cocientes,…) el efecto de estas transformaciones. Lo anterior no acontece con la transformación de información entre sistemas de representación. A los estudiantes no les fue posible realizar conversiones. Al tra-
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tar de realizar conversiones de un sistema verbal escrito a un sistema de representación gráco cartesiano o tabular, o de un sistema tabular a un sistema gráco cartesiano, los estudiantes obtuvieron una información que no corresponde a la información srcinal, en ella se evidenció: el cambio de roles entre las variables, es decir, la variación y dependencia desapareció durante la transformación, las variables independientes se asumieron y expresaron como variables dependientes y viceversa; la proporcionalidad directa identicada no se aplicó de manera adecuada durante la elaboración de la tabla, por tanto, las primeras parejas ordenadas halladas son correctas, pero las siguientes no son equivalentes con el coeciente de variación respectivo, lo que evidencia la no aplicación de las condiciones de linealidad de la función lineal; los patrones o unidad de medida seleccionados para la representación en el plano cartesiano no se implementaron en todos los casos, se evidenciaron dicultades para gracar a escala, en consecuencia las líneas rectas se obtuvieron forzando la dirección de la traza y con ello la ubicación inadecuada de los puntos. En el aspecto afectivo y la disposición, se tiene que la modalidad empresarial de la Institución Educativa, la concertación con los estudiantes de la problemática a estudiar, las tareas y las preguntas problematizadoras, son determinantes en el momento de construir ambientes educativos o de aprendizaje, pues en el presente caso, generaron un ambiente de exceptiva en el que los estudiantes por sus conocimientos empíricos y vinculación directa con la ganadería se sintieron cómodos, por tanto, se sintieron protagonistas, se implicaron con responsabilidad y voluntad propia en el desarrollo de las distintas tareas, compartieron y argumentaron procedimientos utilizados, conocieron y dieron a conocer sus resultados, y de manera espontánea y srcinal dentro de un marco de normalidad expresaron sus pronósticos sobre resultados a obtener de acuerdo a las demandas de las tareas. De esta manera se logró una actitud que favoreció y enriqueció la actividad matemática desarrollada, pues los estudiantes participaron de manera espontánea, natural y desprevenida; mostraron y mantuvieron su interés, deseo y voluntad de participar, indagar, ampliar y profundizar sobre la rentabilidad de la leche como problemática propia de su entorno. Aun así, es importante resaltar que en general los estudiantes no mostraron creatividad en los procedimientos o respuestas a las demandas o preguntas problematizadoras. La participación de los estudiantes en la selección de una problemática signicativa en la que estuvieran inmersos y que hiciera parte de su entorno social y cultural, además de lograr la disponibilidad antes señalada, también despertó y generó en los estudiantes persistencia, evidenciada de un lado, en el empeño, la insistencia y la perseverancia para dar respuesta – correctas o incorrectas – a todas las preguntas problematizadoras en las diferentes tareas de la situación problémica estudiada y demás demandas o requerimientos que emergieron en la actividad matemática desarrollada; y, de otro lado, en su deseo voluntario de
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permanecer en la actividad matemática sacricando el tiempo de descanso y soportando dolores físicos en algún caso. En general, la competencia matemática representar asociada a la función lineal se caracterizó por: • la utilización de diferentes sistemas de representación en la que el componente matemático y el uso social de las matemáticas en concordancia con la situación problémica seleccionada, impuso la representación icónica sobre los sistemas de representación tabular, verbal oral, verbal escrito y corporal. • la identicación de variables y sus relaciones de variación y dependencia, como parte de la información obtenida o descifrada en procesos de descodicación, en la que se hace notable la reutilización o reproducción de signos. • La identicación de coecientes de variación representados o codicados regularmente con signos no convenidos en matemáticas. • La realización con éxito de transformaciones al interior de un sistema de representación, y la imposibilidad de efectuar transformaciones entre sistemas de representación para obtener la expresión algebraica de la función lineal. • La construcción de un ambiente que estimuló la actividad matemática, en la que participación de estudiantes y problemática a estudiar fueron determinantes. • El deseo y la voluntad de atender sin reparo alguno las demandas presentadas durante la actividad matemática. • El empeño, la dedicación y la perseverancia desplegada con sacricio y decisión para dar respuesta a las preguntas formuladas y demás requerimientos que aoraron durante el estudio.
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COMPETENCIA MATEMATICA MODELIZAR: EL CASO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
COMPETENCIA MATEMATICA MODELIZAR: EL CASO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
“…las competencias matemáticas no operan aisladamente
fuera de la escuela, sino como parte de unidades integradas que se ensamblan en la escolaridad” (Valero y Skovmose, 2012)
Los lineamientos del currículo nacional para la educación matemática están orientados la conceptualización los objetos matemáticos organizados escolarmente ena un enfoque sistémico,de la comprensión de los mismos y el desarrollo de competencias para afrontar los retos y desafíos actuales en el mundo de la vida, el tratamiento de conictos, el manejo de la incertidumbre y el tratamiento de la cultura para una vida sana en el equilibrio armónico de sus posibilidades (MEN, 1998, p.17). En este sentido, las matemáticas cómo área obligatoria y fundamental, están presentes en el proceso educativo para contribuir en el desarrollo y la formación integral de las personas con la perspectiva que puedan en forma autónoma, comprometida, reexiva y crítica asumir los retos de cara al siglo XXI (p.35). En esta vía los lineamientos del currículo de matemáticas se organizan y estructuran a través de tres aspectos o componentes denominados: el contexto, los conocimientos básicos y los procesos generales (MEN, 1998, p.35). Es en el marco de este último aspecto, los generales que tienen que verun con el aprendizaje de las matemáticas, queprocesos se identica a la modelación como proceso en estrecha conexión con la resolución de problemas, la cual constituye una forma de describir esa interrelación entre el mundo real y las matemáticas (p.97). Estos desarrollos teóricos para el proceso de modelación se sustentan en la noción de matematización de Hans Freudenthal y se retoma posteriormente en los estándares básicos de calidad al proponerse explícitamente en el estudio de los sistemas algebraicos y analíticos como estándar básico: “Modelar situaciones
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de variación con funciones polinómicas y de variación periódica con funciones trigonométricas” (Estándares, 2004, p16). Al respecto surgen muchos interrogantes, dudas y preocupaciones acerca del signicado del término “modelar” como competencia matemática y de la naturaleza de este proceso de modelación o modelización subyacente, si es que puede aceptarse cómo sinónimos1, así como sobre sus formas de relacionarse curricularmente con las funciones como objetos matemáticos escolares de los sistemas algebraicos y analíticos en la promoción y el desarrollo del pensamiento variacional; igualmente, es importante estudiar las implicaciones que para la práctica docente, el papel del profesor y el papel del estudiante tiene la planicación explícita de este proceso en una conceptualización de un currículo de matemáticas basado en la noción de la competencia matemática modelizar. Estos cuestionamientos han generado el interés por desarrollar investigaciones didácticas sobre el proceso de modelación en las matemáticas escolares, de las cuales se destacan Biembengut y Hein (2004), Villa (2007, 2008), Londoño y Muñoz (2011), Berrío (2011), Olmos y Sarmiento (2013), entre otras. Al punto que en la actualidad se encuentra conformada la Red Colombiana de Modelación en Educación Matemática (RECOMEM)2, la cual tiene como propósitos la consolidación de una comunidad de investigadores en modelación matemática escolar. Emulando así la conformación en el ámbito internacional de una comunidad que busca divulgar las investigaciones relacionadas con la aplicación y la modelación matemática en los diferentes niveles educativos denominada The International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA)3 cuyos resultados se hallan en Bum, Galbraith, Henn, y Niss (2007). En este sentido, el presente apartado de este libro resultado de la investigación en su primera fase sobre competencias matemáticas, adelantada en el marco de la maestría en educación con énfasis en didáctica de las matemáticas de la Universidad de la Amazonía, desarrolla en lo particular una conceptualización inicial de la competencia matemática modelizar (CMM) que invita necesariamente a una reexión de su naturaleza compleja y dinámica (D’Amore, 2008, p.29). Lo que Villa (2007) plantea que existen diferencias entre modelización matemática y modelación matemática; el primer caso hace referencia a la actividad cientíca, en lacual se involucra la construcción de un modelo matemático con el propósito de generarconocimiento. Para el segundo caso, el propósito del modelo matemático es la construcción de signicados de los objetos matemáticos, por lo tanto se sitúa en el contexto de las matemáticas escolares. No obstante y en coherencia con la literatura internacional nos referiremos en este documento a la modelización matemática escolar en los términos expuestos por Villa para la modelación matemática y en un análisis didáctico del proceso y sus fases como componente estructural de la competencia matemática modelizar (CMM). 2 www.recomem.com.co 3 En el estudio Nº 14 de esta comunidad se presenta un reporte del estado delarte de las investigaciones sobre diferentes aspectos del proceso de modelización y su relación con la competencia matemática modelizar, con los procesos metacognitivos y los diferentes enfoques desde los cuales se realizan estas investigaciones. 1
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conlleva la identicación e interpretación de la modelación como un proceso involucrado en la obtención de un modelo matemático (Biembengut y Hein, 2004); subyacente a la CMM, no exclusivo en su desarrollo sino de mayor relevancia en su relación con los demás procesos transversales a toda actividad matemática como son por ejemplo: la resolución y el planteamiento de problemas, la argumentación, el razonamiento, la comunicación, la representación, entre otros procesos generales, que son tratados particularmente en otros capítulos de esta publicación. Este proceso de la modelación o modelización matemática escolar analizado al interior de la CMM, ha sido diferenciado para su interpretación desde lo expuesto por diversos autores en fases y momentos, en su relación con componentes metacognitivos y de interacción social, asociados a la fenomenología de un objeto matemático en particular que, para este caso, se ha considerado la función cuadrática. Desde esta función se denen situaciones matemáticas en contexto y una secuencia de tareas con crecientes niveles de complejidad y demanda cognitiva según la actividad matemática promovida en sus desarrollos. Así entonces, desde esta perspectiva teórica se presenta una propuesta de aproximación de un modelo teórico a priori de la competencia matemática modelizar para su caracterización, asociada al estudio de situaciones en contexto de variación cuadrática, congurada desde la complejidad y dinámica de su naturaleza que implica dimensiones del saber ser, saber conocer y el saber hacer. Este proceso se desarrolla en una perspectiva de la competencia matemática asumida como propósito de formación integral humana desde la educación matemática y, que al ser implementado en el transcurso de una práctica de aula de grado noveno, permite evidenciar a partir de datos empíricos dimensiones importantes del proceso de modelación que son confrontados con la teoría en didáctica de la matemáticas para su descripción, comprensión e interpretación y análisis, cuyos resultados sintetizados al nal se presentan en las conclusiones.
NATURALEZA DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MODELIZAR (CMM) El enfoque por competencias en educación y especícamente en educación matemática, plantea nuevas formas de ver y entender los procesos de la enseñanza y el aprendizaje de los objetos matemáticos en el contexto escolar. Solar (2009), Moreno (2007), Sol, Jiménez y Rosich (2007), Vanegas y Escobar (2007), Biembengut y Hein (2004) y Espinosa et al. (2009) coinciden en armar que el cambio fundamental en este enfoque radica en estudiar los contenidos matemáticos desde una perspectiva funcional, con el objetivo que los estudiantes en la construcción del conocimiento matemático logren usarlo signicativamente en diversos contextos, de tal forma que puedan participar activa, reexiva y críticamente en la solución de situaciones prácticas de su vida real. 109
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En el panorama internacional se destacan tres proyectos pioneros en la implementación del enfoque de competencias: el proyecto MAT747 en Portugal propuesto por Abrantes (2001), El proyecto KOM4 de Dinamarca por Niss (2002) y el Programme for Internacional Student Assessment (PISA)5 de la OCDE (2003). Cuyos desarrollos son ampliamente difundidos en la red por distintos organismos y asociaciones de profesores de matemáticas. Se destaca aquí de lo expuesto por Niss (2002) director del proyecto KOM (KOM: Las competencias y el aprendizajes de las matemáticas), la caracterización del currículo de matemáticas teniendo como base las competencias. Por competencia matemática Niss la explica como la habilidad de entender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos intra y extra matemáticos en los que las matemáticas juegan o podrían jugar un papel (p. 7). A partir de esta noción Niss distingue ocho competencias matemáticas que son representadas a continuación en la gura 1, clasicadas en dos grupos y detalladas en profundidad por Niss y Højgaard (2011).
Figura 13. Competencias matemáticas (Niss y Højgaard, 2011, p.51).
Estas ocho competencias matemáticas están organizadas en dos grupos, el primero se relaciona con la habilidad de plantear y responder preguntas acerca de las matemáticas, en el cual se encuentran la competencia matemática modelizar, pensar matemáticamente, plantear y resolver problemas matemáticos, modelizar matemáticamente y razonar matemáticamente. www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competencies_and_the_Learning_of_Mathematics.pdf 5 Ver: Rico, L. (2007). La competencia matemática en Pisa. PNA, 1(2), pp. 47-66. www.pna.es/ Numeros/pdf/Rico2007La.pdf 4
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Un segundo grupo de competencias son las relacionadas con la habilidad para manejar el lenguaje y las herramientas matemáticas, que se corresponden con las competencias: representar matemáticamente, uso de símbolos y formalismos matemáticos, comunicarse en, con, y sobre las matemáticas, y hacer uso de ayudas y herramientas (incluidas las tecnologías). Desde otra perspectiva en un estudio focalizado más en la evaluación de competencias, la OCDE (2003) en el Programme for Internacional Student Assessment (PISA por sus siglas en ingles), entiende por competencia matemática la capacidad que tiene un individuo de identicar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados y utilizar las matemáticas e implicarse en ellas de una manera que satisfaga sus necesidades (p.13). PISA enfatiza en el carácter funcional del conocimiento matemático y el foco de esta evaluación está en el uso que se hace del conocimiento matemático para resolver problemas presentes en diferentes situaciones principalmente de la vida real. Se desarrolla teniendo en cuenta: • El contenido, denido en cuatro grandes campos fundamentales: cantidad, espacio y forma, cambios y relaciones, e incertidumbre. • Los procesos matemáticos: pensar y razonar, argumentar, comunicar, modelizar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones, emplear soportes y herramientas tecnológicas. Las situaciones donde se enmarcan los problemas matemáticos y donde se da la posibilidad que el estudiante pueda hacer uso de su conocimiento, las cuales puede ser personales, educativas o laborales, públicas y cientícas. Como se observa, PISA retoma los planteamientos de Niss (2002) y a su vez propone un nuevo componente en la evaluación de las competencias matemáticas determinado por los niveles de complejidad para las situaciones tareas propuestas, las cuales son clasicadas en tres grupos: de reproducción, conexión y reexión. Para este componente de la competencia matemática cobra especial relevancia las exigencias o demandas cognitivas implicadas en la solución satisfactoria de las tareas matemáticas propuestas. Componente que es considerado clave en una conceptualización de la competencia matemática en general y de la competencia matemática modelizar (CMM) en particular para su caracterización. Algunos indicadores para cada uno de estos niveles jerárquicos, en tareas especícas asociadas a objetos matemáticos escolares son presentados por Rico y Lupiañez (2008). A continuación la tabla 1 detalla en lo particular características generales de una organización de tareas por niveles de complejidad.
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REPRODUCCIÓN CONEXIÓN Contextos familiares. Contextos menos familiares. Conocimientos ya Interpretar y explicar. practicados. Manejar y relacionar difeAplicación de algoritmos rentes sistemas de represenestándar. tación. Realización de operaciones Seleccionar y usar estratesencillas. gias de resolución de Uso de fórmulas elementales. problemas no rutinarios.
REFLEXIÓN Tareas que requieren comprensión y reexión Creatividad. Ejemplicación y uso de conceptos. Relacionar conocimientos para resolver problemas complejos. Generalizar y justicar resultados obtenidos.
Tabla 2. Características generales de los niveles de complejidad según PISA.
Solar (2009), en su tesis doctoral sobre la CMM para el tópico especíco de interpretación de grácas funcionales, interpreta la naturaleza compleja y dinámica de ésta competencia a partir de estos tres componentes: los procesos matemáticos, las tareas matemáticas y los niveles de complejidad6. Para Solar las competencias matemáticas están integradas por una serie de procesos matemáticos y no matemáticos especícos, los cuales tienen como características fundamentales el hecho de ser transversales a los núcleos temáticos y desarrollarse a largo plazo en los diferentes niveles educativos, considerados por esto como el componente principal de todo modelo de competencias. Los contenidos matemáticos, en tanto redes conceptuales de objetos matemáticos, se hacen evidentes a partir de las tareas matemáticas propuestas, las cuales tienen como característica que se asocian entre sí y se pueden vericar a corto y mediano plazo. Es desde esta perspectiva conceptual de la CMM, en la cual los niveles de complejidad permiten estudiar el progreso en la competencia matemática y que para el caso de la CMM debe necesariamente tenerse en cuenta la estrecha relación entre las tareas y los sub-procesos y fases de la modelización, como proceso matemático subyacente. Al respecto, Marín (2009) argumenta coherentemente como en el caso de las pruebas PISA la CMM se estructura a partir del proceso de modelización matemática. En este caso, describe Marín, dicha competencia se interpreta integralEl Doctor Horacio Solar de la Universidad Católica de Chile presenta una línea de investigación en competencias matemáticas, la cual se organiza en tres focos: Formación de profesores, currículo y, aprendizaje; esta línea de investigación se fundamenta en el modelo de competencias matemáticas desde el cual se han desarrollado dos importantes proyectos de investigación en Chile. El primer proyecto desde una perspectiva curricular FONIDE DED0760 (Espinoza et al., 2008), el cual tiene como objetivo caracterizar el currículo de matemáticas en los niveles de primero y segundo básico (NB1), con base a las competencias y los niveles de complejidad (Solar et.al, 2011). Un segundo proyecto de investigación FONIDE 511091-2010, desde una perspectiva de la formación de profesores el cual tiene como objetivo general desarrollar, implementar y evaluar una metodología de trabajo docente que permitiría a los docentes reexionar ytransformar sus prácticas de aulaal estudiar un Modelo de Competencia Matemática (MCM). 6
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
mente como el saber estructurar la situación a modelizar, es decir traducir la “realidad” en estructuras matemáticas; interpretar modelos matemáticos en términos de realidad; trabajar en fundamentar un modelo matemático; validar el modelo, reexionar, analizar y proponer una crítica del modelo y de sus resultados; poder comunicar con otro el objeto de un modelo y de sus resultados, comprendiendo sus límites; generar y controlar en general el proceso de modelización (Marín, 2009, p.40). Marín (2009) explica y sustenta cómo la naturaleza de la CMM debe ser descrita a través de las fases de un proceso que contempla al menos los siguientes aspectos: • Ante una situación abierta se tiene que simplicar, formularse la tarea de una manera más precisa, más particular, ver realmente lo que se pide, concretar las preguntas de un problema; con esto en el momento en que formulan las preguntas de un problema se está llegando a una aproximación de modelo preliminar de esa situación. • Con ese modelo preliminar de la situación se busca un instrumento matemático que puede ser una función, una proporción, una medida de tipo estadístico o cualquier otro concepto matemático que pueda relacionarse con la solución del problema; al pensar en ese concepto matemático que tiene que ver con la solución del problema el estudiante formula el problema en el sentido en que dice: “para hacer esto necesito considerar estas variables, me faltan estos datos, estos lo tengo, esto lo tengo que conseguir, esta es la relación que hay, …”; en ese momento el estudiante está formulando matemáticamente el problema, tiene una pista por donde se podría resolver. • Se pasa a la formulación matemática del problema, con ese modelo matemático que tienen, se ejecutan una serie de operaciones, trabajando en las matemáticas con todas las herramientas que ofrece este campo del saber y obtienen una solución plausible. • Con la solución matemática se obtienen unos resultados los cuales tienen que ser interpretados. • Se debe validar la solución, en la cual se puede presentar tres casos: un primer caso en el que se acepta las conclusiones del problema, porque al compararse las conclusiones con los datos dados la respuesta resulta valida. Una segunda situación donde se tiene que modicar el modelo, porque existe la necesidad de ajustarlo continuamente a lo que se le había pedido. Un tercer camino donde el modelo no tiene nada que ver con la situación y los estudiantes tendrían que comenzar de nuevo todo el proceso. Es así como en coherencia con PISA, la CMM se concibe como una competencia matemática básica que busca relacionar los contenidos matemáticos con
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VARIOS AUTORES
aspectos de la vida real. Como competencia la CMM incluye: estructurar el campo o situación que va a modelarse, traducir la realidad de una estructura matemática, interpretar los modelos matemáticos en términos reales, trabajar con un modelo matemático en cualquiera de sus representaciones, reexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados, comunicar acerca de un modelo y sus resultados incluyendo sus limitaciones y por supuesto dirigir y controlar conscientemente el proceso de modelización. En un análisis complementario de la CMM, Maaß (2006) distingue y clasica cinco competencias relacionadas con el proceso de modelización matemática, ellas son: • Competencias para llevar a cabo los pasos individuales del proceso de modelización, que a su vez se corresponde con: * Competencias para entender el problema real y establecer un modelo basado en la realidad. * Competencias para establecer un modelo matemático del modelo real. * Competencias para solucionar preguntas matemáticas dentro de este modelo matemático. * -Competencias para interpretar resultados matemáticos en una situación real. * Competencias para validar la solución. • Competencia metacognitiva de la modelización. • Competencias para estructurar problemas del mundo real y trabajar hacia una solución con sentido de orientación. • Competencias para formar argumentos relacionados con el proceso de modelización. • Competencias para ver las posibilidades que ofrecen las matemáticas para resolver problemas del mundo real. Se destaca de lo planteado por Maaß (2006) para la CMM la necesidad de tener en cuenta la metacognición asociada integralmente al proceso de modelización, dado que según se evidencia en los resultados de su estudio empírico, los estudiantes que trazan un plan y lo controlan deliberadamente continuamente pueden desempeñarse mejor en su actividad matemática modelizadora. Este componente metacognitivo presente en la CMM, visibilizado por Maaß (2006), también se hace evidente en los estudios de Blomhoj y Jensen (2003) cuando expresan enfáticamente que la competencia matemática modelizar signica ser capaz de llevar en forma autónoma y perspicaz todos los aspectos del proceso de modelación matemática en un contexto determinado (p. 126). 114
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Por su parte Káiser y Schearz (2006) coinciden en armar que la CMM incluye además de las habilidades en el proceso de la modelación o modelización matemática escolar, el deseo, la tendencia a la acción, la voluntad para resolver problemas tomados del contexto real a través del proceso de modelización y para ello proponen una caracterización de esta competencia matemática asociada a las fases del proceso en una perspectiva holística de su complejidad. Esta naturaleza compleja de la CMM expuesta por Káiser y Schearz conlleva necesariamente el considerar: • Competencias para entender los problemas del mundo real y para construir un modelo de la realidad. • Competencias para crear modelos matemáticos desde un modelo de la realidad. • Competencias para resolver problemas matemáticos con un modelo matemático. • Competencias para interpretar los resultados matemáticos en un modelo de la realidad o en una situación real. • Competencias para confrontar soluciones y, si es necesario, realizar otra secuencia de modelización. Así mismo, Stillman, Galbraith, Brown y Edwards (2007) resaltan en este punto de la CMM la necesidad de incorporar diferentes tecnologías en los procesos y subprocesos de la modelización y en las tareas que promueven el desarrollo de las competencias matemáticas. Para este análisis aportan sendos descriptores para las fases del proceso de modelización donde incluyen el uso de tecnologías por parte de los estudiantes en aspectos sustanciales del proceso como la recolección de datos de los fenómenos o situaciones objeto de estudio, representación de las relaciones entre variables y otras acciones mediadas instrumentalmente que permitirán ser más aproximados a la realidad del fenómeno o situación modelada. En síntesis, los planteamientos de Solar (2009), (2006), Káiser (2006), Blomhoj y Jensen (2003) y Stillman, et al (2007), determinan un constructo teórico para interpretar un modelo de la competencia matemática modelizar (CMM) avalado desde la comunidad internacional en educación matemática ICTMA y por tanto es preciso establecer para el análisis como elementos estructurales de la CMM: el proceso de modelización y las habilidades para llevar a cabo este proceso, competencias para interpretar la realidad y crear modelos matemáticos a partir de ella, competencias para formar argumentos relacionados con el proceso de modelización y competencias para ver las posibilidades que ofrece las matemáticas para resolver problemas del mundo real. En este sentido, los autores señalan componentes estructurales de la CMM, además del proceso de modelización, como son por ejemplo la metacognición y
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la interacción social, que son asumidas en el deseo por tomar parte activa en la construcción de alternativas de solución a problemas de la realidad mediante la construcción de modelos, así como también en lo pertinente al uso de las tecnologías de la información y la comunicación que dan la posibilidad de otras formas de interacción al volver sobre los procesos y mejorarlos continuamente. Sin lugar a dudas, la modelización en el aula de matemáticas es hoy por hoy uno de los tópicos que actualmente se destaca con mayor auge en la didáctica de las matemáticas. Proceso que a su vez se vincula cada vez más con la noción de competencia matemática y que se corrobora en parte con el gran número de las comunicaciones del estudio 14 ICMI (Blum et al., 2007) en el que se vincula la competencia con la modelización, o más aun, se trata directamente la competencia de modelización, competencia modeladora o de modelizar ( p.98). En concordancia, desde la CMM, la modelación es el proceso de estudio de fenómenos o situaciones que pueden surgir tanto desde los contextos cotidianos, sociales y culturales de los estudiantes como de otras ciencias o disciplinas académicas. Dicho proceso de estudio involucra el uso y la construcción de modelos y otras herramientas matemáticas con las cuales puede ofrecerse una compresión del fenómeno y resolver el problema (Villa-Ochoa J. A., 2010). Este proceso de modelación o modelización matemática escolar reviste gran relevancia desde el punto de vista didáctico, ya que vincula los contenidos matemáticos con el mundo real, cobrando sentido y generando motivación en los estudiantes dado que les permite usar diferentes contextos (Ortiz y Dos Santos, 2011) y (Villa, 2007). A su vez el enfoque competencial de la CMM integra el estudio de situaciones del mundo real y la solución de problemas que surgen de diferentes contextos cotidianos, de las ciencias y las matemáticas mismas (MEN, 1998). El proceso en juego y la construcción del modelo matemático tienen el propósito de contribuir a la construcción de signicados de los objetos matemáticos emergentes a partir del estudio de situaciones contextualizadas, lo que involucra distintas dimensiones y componentes de la CMM. El modelo matemático es entendido así como la relación de diferentes elementos que permiten representar aspectos de la situación estudiada con el objetivo de contribuir a interpretar el fenómeno objeto de estudio, el cual es nunca acabado, no absoluto y susceptible de ser mejorado. Resulta entonces de singular importancia la noción de modelo matemático que se asume en lo propuesto por Biembengut y Hein (citado por Berrio, 2009) como el conjunto de símbolos y de relaciones matemáticas que representa, de alguna manera, el fenómeno en cuestión, entendiendo que el establecimiento de estas relaciones y la construcción del modelo es una aproximación a la realidad estudiada y es un proceso que requiere tiempo y exploración sistemática de la situación.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
En esta naturaleza compleja y dinámica de la CMM, Blomhoj y Jensen (2003) y Maab (2006) plantean que el proceso de modelización es de vital importancia (aunque no el único presente) al estructurar un modelo de la competencia matemática modelizar, debido a que permite interpretar diferentes fenómenos cercanos al estudiante usando conscientemente las matemáticas y resaltan que este proceso no es estático, lineal o algorítmico es decir, se puede llevar por diferentes caminos debido a la heurística y reexión constante sobre las fases del proceso. Por lo anterior Blomhoj (2004) propone la modelización matemática como una teoría para la práctica en el sentido que tiende puentes entre las experiencias de la cotidianidad de los estudiantes y las matemáticas, con lo cual se favorece colocar las matemáticas en la cultura con el n de describir y entender las situaciones de la vida diaria (p.32). Así entonces, desde una perspectiva curricular para el nivel de secundaria este autor propone trabajar la metodología por proyectos, en una apuesta muy similar a la hecha por Abrantes (2001) en su proyecto MAT 747. Desde estos puntos de vista, el proceso de relacionar el mundo real y las matemáticas a través de un proceso de modelización matemática escolar o modelación, se desarrolla en diferentes fases. Al respecto Villa (2007), Maaß (2006), Blomhoj y Jensen (2003), Stillman et. al (2006) y Marín (2009), entre otros, tienen sus propios aportes. Para una mirada sintética de estos aportes la tabla 2 a continuación presenta en forma abreviada y comparativa el proceso de modelización en sus fases, según diferentes autores.
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Autores Blomhoj y Jensen (2003)
Fase1
PROCESO DE MODELIZACIÓN MATEMATICA Fase2 Fase3 Fase4 Fase5
Formulación de preguntas
Marín (2009)
Primera Fase: Simplicar, idealizar, formular la tarea de una manera más precisa.
Villa (2007)
Experimentación en esta actividad se obtienen los datos, se realizan observaciones, se disponen las herramientas.
Entendimiento, la estrucStillman turación, la et, al. simplicación, (2006) el contexto de la interpretación.
(2006)
Simplicación
Sistematización
Traducción
Usos de métodos matemáticos
Interpretación y evaluación de resultaos
En segundo lugar con ese modelo de la situación
Con ese modelo matemático que tienen, los estudiantes ejecutan una serie de operaciones, trabajando en las matemáticas.
Con la solución matemática se obtienen unos resultados los cuales tienen que ser interpretados.
Por último se debe validar la solución.
Abstracción.
Suponiendo, la formulación, matematización
Matematización
Resolución referida a la Validación, transpo- referido a la sición del aceptación o no de modelenguaje natural al lo propuesto por las modelo actividades matemáAnteriores tico.
Trabajar matemáticamente
Interpretación de la producción matemática.
Trabajo matemático
Interpretación
Fase 6 Evaluación de la validación del modelo
Modicación, ya que ningún modelo debe ser considerado denitivo.
Al compaLa rar, criticar, comunivalidando y cación, Revisión del justicaproceso de ción modelado Validación
Tabla 3. Tabla Comparativa de las Fases del proceso de Modelización Matemática.
Se comparte aquí la visión del proceso de modelización matemática propuesta por (2006), teniendo en consideración que establece la conexión entre el proceso de modelización en sus fases en relación con la CMM y porque establece subprocesos en la medida que se avanza entre las fases de la modelización matemática.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Estructura de un proceso transversal a la actividad matemática en sus fases que se muestra esquemáticamente a continuación en la gura 14.
Modelo real
Matematizar
Modelo Matemático
Simplificar Problema del Mundo real
Trabajar en las Matemáticas
Validar Interpretar
Solución matemática
Interpretar Solución
REALIDAD
MATEMÁTICAS
Figura 14. Fases del proceso de modelización ( (2006) citado en Solar, 2009).
Las fases del proceso de modelización descrito por (2006), no representan un proceso algoritmo y desde una interpretación heurística del proceso estas fases son resumidas en: i) simplicación o comprensión de la situación del problema del mundo real al planteamiento del modelo del mundo real; ii) matematización del planteamiento del modelo del mundo real al modelo matemático; iii) trabajo matemático del modelo matemático a la solución matemática; iv) interpretación de la solución matemática al signicado de la solución en el mundo real; y, v) validación del signicado de la solución en el mundo real a revisar el modelo o aceptar la solución. Desde esta perspectiva holística, son las fases del proceso de modelización un componente básico a la hora de caracterizar la CMM (Blomhoj y Jensen, 2003) y (MaaB, 2006) FUNCIÓN CUADRÁTICA
La función cuadrática como objeto matemático escolar perteneciente a los sistemas algebraicos y analíticos, se asocia al desarrollo del pensamiento variacional, el cual se fundamenta en el estudio de los fenómenos de cambio y situaciones de contextos de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de la misma matemática donde la variación se encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1998, p.72). Este concepto, congura núcleos conceptuales matemáticos en los que se encuentra 119
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involucrada la variación propuestos por el MEN (1998) al enfatizar en el estudio de: la función como dependencia, los modelos de función, las magnitudes y los modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, de cambio absoluto y cambio relativo (p.72). Investigaciones didácticas recientes de Posada y Villa (2006), plantean que en el tratamiento didáctico de la función cuadrática, esta debe ser entendida como un modelo matemático de un conjunto de situaciones que tienen como característica común el tipo de variación que subyace en ellas, en una aproximación dinámica a su estudio. En este sentido Villa (2008), propone una interpretación de la función cuadrática como la relación entre cantidades de dos magnitudes cuya razón de cambio varía linealmente (p.248). Es decir, la variación de la razón de cambio de la función cuadrática es una constante, como se ilustra a continuación en la gura 15.
Figura 15. Variación de la razón de cambio de la función cuadrática en el sistema de representación graco (Villa, 2008)
Se reconoce así en este estudio lo fundamental de un tratamiento didáctico de la función basado en procesos de modelación de situaciones de variación contextualizadas en fenómenos de las ciencias o la cotidianidad. Por ejemplo, especícamente para el caso de la función cuadrática, Villa plantea la pertinencia de procesos de variación inmersos en una situación tomada del contexto de la física como el de caída libre, entre otros contextos de diversa naturaleza. En esta perspectiva didáctica contraria a un currículo centrado en contenidos, el estudio de la función cuadrática como objeto matemático escolar de los sistemas algebraicos y analíticos, implica necesariamente considerar los siguientes aspectos: • La descripción cualitativa del cambio a partir de la identicación de características de su gráca. • La identicación del cambio de la razón de cambio como una constante.
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• La identicación del producto de dos cantidades que varía linealmente. • La construcción de una funcióng(x) de la cual se conoce que su razón de cambio varía linealmente. • La construcción de una función lineal a partir de una función constante y a partir de ella una función cuadrática de la cual puede provenir. • Asumir una función cuadrática y a partir de ella encontrar la función lineal que representa su cambio y a su vez la función constante que hace referencia al cambio de segundo orden. • La asociación de la forma como varia el cambio con las concavidades de la gráca de la función. • La generalización de un patrón cuadrático a partir de la interpolación de un conjunto de datos en una tabla (Villa, 2008, p.249). De otra parte, asociados al estudio de la variación se hallan diferentes sistemas de representación entre los cuales se encuentran las expresiones verbales oral y escrita, grácas, tabulares, algebraicas simbólicas, pictóricas, icónicas e instruccionales, entre otras. Rivera (2009), reconoce en el estudio de la función cuadrática la importancia de los sistemas de representación desde la teoría semiótica planteada por Duval (1999) y en particular de las actividades de tratamiento y de conversión. Gómez (2007) se reere a los sistemas semióticos de representación como los sistemas de signos por medio de los cuales se designa el concepto matemático. Su importancia en la construcción de signicado de los objetos matemáticos la argumenta en que: • los sistemas semióticos de representación organizan los símbolos mediante los que se hacen presentes los conceptos matemáticos; • los distintos sistemas de representación aportan signicados diferentes para cada concepto; • un mismo concepto requiere de varios sistemas de representación complementarios (Gómez, 2007, p.42). En este sentido, las operaciones de conversión o traducción de un sistema de representación a otro, así como también de tratamiento o cambio de registro al interior de un mismo sistema de representación son de fundamental importancia en el estudio de la variación. Por ejemplo, los cambios y las relaciones entre los sistemas de representación de la función cuadrática en su expresión simbólica y sus representaciones grácas en el sistema coordenado cartesiano, son descritos por Gómez (2007), las cuales se ilustran a continuación a través de la gura 16.
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Figura 16. Operaciones en los sistemas de representación de la función cuadrática (Gómez, 2007, p.44).
Sin embargo, Gómez y Carulla (1998) concluyen que su enseñanza se centra en la mayoría de veces en un exceso del estudio de las ecuaciones cuadráticas, dejando de lado el análisis variacional y la formación histórica. Su análisis simbólico se restringe casi exclusivamente a la forma estándar. El análisis graco tiende a identicar algunos elementos de la parábola pero no establece conexiones funcionales con respecto a otros sistemas de representación. El sistema numérico sirve principalmente de puente entre el sistema de representación algebraico y el sistema de representación gráco y las aplicaciones son usadas como motivación y eso en la mayoría de casos como nalización del tema, que se restringe al cambio de representación de una expresión algebraica a una gráca. Hallazgos de un tratamiento didáctico de la función cuadrática que han sido ampliamente descritas y corroboradas por Gómez (2007) en su tesis doctoral. Desde esta perspectiva, una aproximación al concepto de función cuadrática implica considerar integradamente: los aspectos de la variación, el proceso de modelización y los sistemas de representación. Estos tres elementos guardan estrecha relación con lo propuesto por Gómez (2007) en el análisis de contenido de objetos matemáticos, especícamente los sistemas representación y lalos fenomenología. A continuación la guracon 17 presenta una de versión inicial de mapa conceptual propuesta por Gómez y Carulla (2001) que relaciona e identica distintos sistemas de representación de la función cuadrática
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Figura 17. Mapa conceptual general para la función de segundo grado (Gómez y Carulla, 2001, p.40).
FENOMENOLOGÍA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
El análisis fenomenológico de los conceptos o estructuras matemáticas en la interpretación de Puig (1997) y en el marco del análisis didáctico, consiste en identicar y describir cuáles son los fenómenos para los que el objeto matemático es el medio de organización y qué relación tiene con esos fenómenos (p.63). Para este objeto matemático en particular hace referencia entonces a las diferentes situaciones en las cuales la función cuadrática es un modelo o medio de organización, debido a que presentan características en común a este tipo de variación asociado. Puig (1997) distingue varios tipos de fenomenología entre las que se encuentran: la fenomenología histórica, fenomenología matemática, fenomenología didáctica y, fenomenología genética. En la fenomenología matemática son considerados los fenómenos que están organizados en el interior de la matemática, en su estado y su uso actual. Si se consideran los fenómenos para los cuales se creó el concepto y como se extendió a otros fenómenos hacemos referencia a la fenomenología histórica. En la fenomenología didáctica se tienen en cuenta fenómenos que se proponen en la enseñanza, si los fenómenos que se consideran están relacionado con el desarrollo cognitivo de los estudiantes se trata de una fenomenología genética.
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FENOMENOLOGÍA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN LAS CIENCIAS
Un gran número de fenómenos físicos se adaptan a las formas de una parábola que es la representación gráca característica de la función cuadrática en el sistema coordenado cartesiano, como la trayectoria de una pelota lanzada al aire o la del chorro de agua de una fuente. A continuación se describen algunos fenómenos o situaciones de las ciencias, para los que el concepto de función cuadrática es el modelo matemático en tanto medio de organización. • Movimiento uniformemente acelerado: la distancia s recorrida en un movimiento donde su velocidad aumenta constantemente, en un tiempo determinado t, cada instante, la distancia recorrida responde a la expresión S= ½*at2 + v0t +s0 • Movimiento de caída libre: cualquier objeto que se lance hacia arriba o hacia abajo, verticalmente, experimentará que la altura Y, recorrida disminuye cada instante, según, Y= ±½*gt2 + v0t +Y 0, debido a la acción del campo gravitacional que actúa sobre el planeta, siendo g, la aceleración que experimentan los cuerpos en caída libre debido a este campo. • Movimiento parabólico: al lanzar un cuerpo con un ángulo θ, diferente de 90°, este cuerpo describirá una parábola debido a la composición de dos movimientos, uno rectilíneo uniforme y otro acelerado que se debe a la acción del campo gravitacional, lo cual hace que la altura varié en forma cuadrática. entonces la altura máxima (h) del proyectil se puede expresar por: h= (v0)2sen2θ0/2g. Referente a su representación geométrica, la trayectoria que describe este móvil es una parábola que se representa con Y= - ½ g (x/ v0 cos θ0)+ (tan θ0) x. FENOMENOLOGÍA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN LA COTIDIANIDAD Coronado y Montealegre (2007) plantean que esta fenomenología corresponde a la descripción de diferentes situaciones presentes en las prácticas sociales cercanas al entorno cotidiano de los estudiantes para las cuales la función cuadrática es el modelo que las organiza.
• Planes Turísticos: Una práctica social común a la hora de viajar es cotizar los planes turísticos que están asociados a variables como: costo total del viaje, descuento por grupo, cantidad de personas, días de estadía entre otros. Por lo general el objetivo del análisis de los planes es encontrar la relación más favorable entre costos y benecios. Una agencia de Viajes propone un plan turístico donde ofrece un descuento de a pesos por persona que depende de un número x de personas del grupo,este descuento se simboliza con w. Por otra parte el valor total del plan Vt depende 124
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
del valor del plan cuando viaja una persona V0 por el número x de personas, estableciendo el siguiente modelo algebraico:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Dado que los objetos matemáticos no son accesibles mediante la percepción,
como ocurre consistemas la mayoría de los objetos en disciplinas, se hace necesario usar diferentes de representación queotras organicen los símbolos mediante los que se hacen presentes los conceptos matemáticos; que aporten distintos signicados para cada concepto y, de lo cual, se deduce que un mismo concepto admite y necesita de varios sistemas de representación complementarios. Para la función cuadrática existen diversos sistemas de representación que ayudan a estructurar este concepto. Gómez (2007) menciona los siguientes: algebraico o Simbólico (S), Graco (GR), Geométrico (G), Numérico- Tabular (N), Verbal (V), entre otros. Para una compresión de la función cuadrática, Villa (2006) plantea que es necesario que los estudiantes logren identicar el tipo variación asociada a esta función en los diferentes registros de representación. Representación simbólica algebraica.
La gura 18 muestra en mayor detalle algunos aspectos de esta
representación simbólica.
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Figura 18. Mapa conceptual general de la representación simbólica de la función cuadrática (Gómez, 2007, p.48).
REPRESENTACIÓN NUMÉRICA TABULAR
Interesa aquí promover el reconocimiento de la variación asociada a la función cuadrática en su representación tabular y gráca, por consiguiente en la tabla 3 se muestra a continuación la representación tabular para el caso de la función Y= X2.
1
Y Razón de cambio 0 1 1
2
4
X
0
3 9 4 16 5 25 6 36
Variación de la razón de cambio
3 5
2 2
7
2
9
2
11
2
Tabla 3. Variación de la razón de cambio de la función cuadrática en el sistema de representación tabular.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La función cuadrática tiene como representación gráca una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo según los valores de su parámetro para el coeciente de la variable de grado dos, en la que se identica: eje de simetría, cortes con el eje X (si los hay), corte con el eje Y, vértice, concavidad, intervalos de crecimiento y de decrecimiento. La gura 19 a continuación, propuesta por Gómez (2007), muestra las conexiones entre los sistemas de representación gráco y simbólico de la función cuadrática y su fenomenología para el caso de las situaciones de maximización de áreas, analizado al interior del proceso de la modelización.
Figura 19. Conexiones entre sis temas de representación y fenomenologías de la función cuadrática en el proceso de modelización para la maximización de áreas (Gómez, 2007, p.49).
Gómez (2007), enfatiza en las múltiples conexiones que se pueden establecer entreconguran los sistemas representación y la fenomenología de establecen la función cuadrática, que sude estructura conceptual. Conexiones que relaciones entre diferentes elementos de su estructura matemática, como por ejemplo entre las diferentes formas de representación simbólica y sus parámetros. Conexiones que asocian diferentes representaciones de un mismo objeto matemático, como por ejemplo los parámetros de la representación simbólica de la función cuadrática en su forma multiplicativa y las raíces de la parábola que constituye representación gráca. Conexiones que evidencian transformaciones al interior de un 127
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mismo sistema de representación, como por ejemplo el procedimiento algebraico para pasar del sistema de representación simbólico en su forma estándar a la forma multiplicativa. Y conexiones que muestran las relaciones entre fenomenologías de la función cuadrática y sus representaciones como modelos con los que es posible su organización, como por ejemplo las relaciones entre las soluciones de problemas de optimización y las propiedades del vértice o de las propiedades del foco y los fenómenos ópticos (p.49). MODELO TEÓRICO A PRIORI DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MODELIZAR (CMM)
Para la caracterización de la CMM en el estudio de situaciones de variación cuadrática en noveno grado de la educación básica secundaria, se construye un modelo teórico a priori de esta competencia basado en los siguientes componentes: el conceptual –donde se encuentran los procesos matemáticos de las fases de modelización, las tareas matemáticas y los niveles de complejidad (Solar, 2009); el metacognitivo (MaaB, 2006) y el de interacción social (Burgos et al, 2007). Las tareas matemáticas y los niveles de complejidad como componentes estructurales del modelo, fueron usados para la construcción de tareas matemáticas de modelización (ver anexo 1) con diferentes niveles de complejidad en una situación del contexto cotidiano para un plan promocional de un paquete turístico en una agencia de viajes. Allí se relacionan los elementos de la estructura conceptual de la función cuadrática referidos al tipo de variación asociado, los sistemas de representación y la fenomenología. A continuación se describen cada uno de los componentes considerados en el modelo teórico propuesto de la CMM para su caracterización, en un estudio de caso con estudiantes de grado noveno de la educación básica secundaria. SUB-PROCESOS MATEMÁTICOS PRESENTES EN LAS FASES DE MODELIZACIÓN
Toda actividad matemática generada al abordarse una situación en el contexto matemático, de las ciencias o de la vida cotidiana que tiene como base el proceso de modelización matemática, se compone por al menos cinco fases asumidas desde lo expuesto por MaaB (2006). Estas fases del proceso son: simplicar, matematizar, trabajar con las matemáticas, interpretar y validar; se generan así sub-procesos matemáticos en cada fase, necesarios para caracterizar la CMM. Seguidamente la tabla 5 presenta algunos de estos sub-procesos correspondientes a las fases del proceso de modelización matemática en los planteamientos de Solar (2009) a partir de sus estudios sobre la interpretación de grácas funcionales. 128
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Procesos
Interpretar modelo
Descripción Identicar o describir las características de un modelo. Interpretar un modelo o su expresión (gráca, tabla, expresión verbal o algebraica).
Validar características Modelo
Aseveraciones que validan o refutan las descripciones de las características o interpretación del modelo.
Construir expresión del Modelo
Construir la expresión de modelo (sistema de referencia, gráca, tabla, etc.).
Aplicar el modelo
Aplicar el modelo y la expresión correspondiente.
Características del modelo
Validar el modelo Reexionar sobre la Modelización
Validar o refutar la representación y/o propiedades del modelo. Reexionar sobre el modelo, el proceso de modelización y su aplicación como solución a la situación problemática.
Tabla 5. Sub-Procesos en las fases de la modelización (Solar, 2009, p.207)
Cada uno de estos sub-procesos fue establecido a priori por el autor para ser confrontados posteriormente con los que emergieron en la actividad matemática del estudiante, con el objetivo de caracterizar este componente de la competencia matemática modelizar. En este caso, al considerar el proceso de la modelización como un componente estructural de un modelo de la CMM, se asumen por su profundidad y pertinencia los descriptores para las fases del proceso de modelización propuestos por Stillman et al. (2007), que se plantean resumidamente a continuación en la tabla 6. FASES
DESCRIPTORES
Del Problema del mundo real al planteamiento del modelo del mundo real. Simplicación o comprensión de la situación.
Claricación del contexto del problema Construir la simplicación de los supuestos (objetos de otras ciencias).
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Del Planteamiento del modelo del mun- Identicación de variables dependientes e indepen do real al modelo matemático dientes para la inclusión en el modelo algebraico Representación matemática de los elementos así Matematización. como las fórmulas que pueden ser aplicadas. Elegir la tecnología (representaciones)- tablas matemáticas para permitir el cálculo (representación tabular -objetos matemáticos como herramientas) importante para identicar el tipo de variación. Elegir la tecnología para la aplicación automática de fórmulas para múltiples casos. Elegir la tecnología para producir la representación gráca del modelo. Elegir la tecnología a usar para vericar la ecuación algebraica. Del Modelo Matemático- a la solución Matemática Trabajo matemático
Aplicación de las formulas simbólicas. Simplicación de los procesos algebraicos para producir funciones más sosticadas. Usar la tecnología elegida - tablas matemáticas para permitir el cálculo (representación tabular -objetos matemáticos). Usar la tecnología para la extensión automática de fórmulas para múltiples casos. Usar la tecnología para producir la representación gráca del modelo. Usar la tecnología para vericar la ecuación algebraica. Vericar el modelo algebraico usando tecnología.
De la solución Matemática – al signicado de la solución en el mundo real Interpretación
Comparar los resultados matemáticos con el mundo “real”. Contextualización interna de los resultados matemáticos nales en términos de la situación del mundo “real”. Integración de argumentos para la justicación de interpretaciones. Establecer las restricciones antes de producir los resultados necesarios paraapoyar una nueva interpretación. Involucrar conscientemente las matemáticas antes de abordar la interpretación de una cuestión.
Del signicado de la solución en el Conciliar resultados inesperados y parciales con la mundo real a revisar el modelo o aceptar situación “real”. la solución Considerar las implicaciones del mundo “real” desde los resultados matemáticos. Validación La conciliación delos aspectos matemáticos y del mundo “real” del problema. Tabla 6. Descriptores para las fases del proceso de modelización (Stillman et al., 2007, p.691).
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Estos descriptores para las fases del proceso de modelización como componente del modelo teórico de la CMM, permiten relacionar los sub-procesos matemáticos subyacentes en las fases de: simplicación, identicación de variables, identicación de relaciones entre variables y validación. Además de posibilitar una interpretación más especíca del proceso de modelización en su relación con la estructura conceptual de la función cuadrática como contenido matemático en juego y los demás componentes del modelo. TAREAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA
El componente de las tareas matemáticas juega un papel fundamental en el modelo teórico de la CMM porque permite integrar en su diseño, selección y análisis los otros componentes del modelo como son los procesos matemáticos en las fases de modelización matemática y los procesos metacognitivos que deben ser objeto de un análisis competencial para determinar diferentes niveles de complejidad. Con frecuencia se usan las nociones de tarea y actividad como sinónimos, sin embargo Lupiañez (2009), Gómez (2007), Marín (2005), Guerrero (2001) y, Goñi (2009), entre otros, plantean diferencias sustanciales entre estas. Por ejemplo, Gómez (2007) reconoce la complejidad conceptual de estas categorías, interpretando para el caso de la noción de tarea como las demandas estructuradas de actuación que el profesor da a los escolares (p.79). Para la noción de actividad, las interpreta como las acciones que tanto estudiantes como profesor desarrollan con el propósito de resolver una tarea o una secuencia de tareas. Esta distinción entre tareas matemáticas y actividad matemática es importante desde el enfoque por competencias, porque permite por un lado en la planeación docente diseñar, seleccionar y analizar tareas matemáticas de complejidad creciente con el objetivo de poder prever en la actividad matemática del estudiante diferentes acciones en las cuales se movilizan ciertas capacidades que contribuyen al desarrollo de la competencia matemática. Así mismo, la noción de tarea o tarea escolar es entendida por Marín (2005) como una propuesta de acción para el alumno que implica una actividad de él en relación con las matemáticas que el profesor planica como instrumento para el aprendizaje o de evaluación del aprendizaje (p.1). De lo anterior, se inere la estrecha relación entre tarea y actividad matemática; la primera situada en el papel del profesor y la segunda en el rol del estudiante. De los planteamientos anteriores se destaca una estrecha relación entre estas nociones, para Guerrero (2001) y Goñi (2009) esta relación se maniesta cuando se analiza el proceso comunicativo que se da en el aula entre profesor y el estudiante, el cual tienen como elemento central el binomio tarea-actividad.
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Frente a esto, el cambio fundamental en el enfoque curricular de las competencias matemáticas, de acuerdo con Goñi (2009) es el comprender que la tarea es el elemento que permite construir el nexo comunicativo entre los docentes y los estudiantes; es decir que el binomio tarea + actividad es el elemento por medio del cual se puede realizar la inducción del conocimiento (p.127). Planteamiento de singular importancia con el que nuevamente se resalta el papel fundamental del tipo de tareas que se presentan a los estudiantes y su contribución al proceso comunicativo y a la actividad matemática del estudiante. Esquemáticamente Goñi (2009) representa la organización de los tres elementos fundamentales que permiten establecer el nexo comunicativo en el aula de clase. En una gura triangular Goñi visibiliza la relación entre sus tres elementos fundamentales: el docente, el estudiante y como lo maniesta el autor el binomio (tarea + actividad). Lo importante es resaltar la función de las tareas matemáticas en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Especícamente dar cuenta del proceso comunicativo que se desarrolla en el aula entre el docente y el estudiante el cual es fundamental para el proceso de aprendizaje y el desarrollo de competencias matemáticas. En este sentido, para Goñi (2009) la tarea es la propuesta de trabajo que le hace, normalmente, un docente a un estudiante y la actividad es lo que hace el estudiante para responder a lo que él entiende que se le pide que haga (p.128). Por lo tanto la tarea se inscribe al proceso de enseñanza especícamente a la planeación que realiza el docente donde es importante el proceso de diseño, selección y análisis de tareas con diferentes niveles de complejidad cognitiva; en tanto la actividad matemática se suscribe al proceso de aprendizaje donde es el estudiante quien desarrolla una serie de acciones al abordar y desarrollar tareas planteadas. Teniendo en cuenta los planteamientos anteriores, se destaca las tareas en su relación con la actividad matemática como componente de un modelo de la CMM, en coherencia con lo planteado por Goñi (2009), donde las tareas se asocian al proceso de enseñanza y al trabajo del docente quien en la fase de planeación diseña, selecciona y analiza secuencia de tareas de acuerdo a unas expectativas de aprendizaje establecidas a corto, mediano y largo plazo. Por su parte, la actividad matemática se centra en el estudiante y en el proceso de aprendizaje; son en este sentido el conjunto de acciones que el estudiante realiza. Marín (2005) propone algunos criterios que se deben tener en cuenta para el diseño o selección de tareas en general y de modelización en particular, estos son: • Que las tareas sean compatibles con el contenido que se está trabajando. Las tareas, como propuestas de acción están vinculadas al análisis y selección que hace el profesor sobre los contenidos. • Que contribuyan a obtener las expectativas y/o a superar dicultades o errores previstos de acuerdo con grados de complejidad.
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• Que permitan incorporar recursos y materiales, que optimicen la adquisición de los objetivos de aprendizaje seleccionados. • Que constituyan un conjunto coherente en la planicación de las secuencias de aprendizaje. • Que sean compatibles con técnicas de gestión de la clase que optimicen la adquisición de los objetivos de aprendizaje seleccionados (p.1). De acuerdo con lo planteado, deben cumplir con las características de los componentes asumidos en el modelo por lo tanto las tareas matemáticas de modelización deben contribuir además de los anteriores al desarrollo de los procesos metacognitivos, deben facilitar el trabajo en equipo, la interacción entre estudiantes, el dialogo y la negociación de signicados matemáticos. Una propuesta de conjunto de tareas asociadas al estudio de situaciones de variación de un modelo cuadrático, implementada en este trabajo para un estudio de caso, se presenta en el anexo 1. NIVELES DE COMPLEJIDAD
Penalva y Llinares (2011), interpretan la demanda cognitiva de una tarea como la clase y nivel de pensamiento que su resolución exige (p. 31). De esta forma la atención se centra en los procesos que se esperan que el estudiante movilice en su actividad matemática. Por ejemplo, si el propósito es contribuir a que el estudiante resuelva problemas rutinarios, entonces pueden ser apropiadas las tareas centradas en el uso de procedimientos sin necesidad de poseer un sentido conceptual de los mismos (p. 31). Esta noción de demanda cognitiva para el análisis de las tareas constituye un aspecto fundamental de la competencia matemática, que se concreta en los niveles de complejidad como uno de los componentes estructurales de un modelo teórico de la CMM. En particular porque posibilita e integra los contenidos matemáticos a una secuencia de tareas en cada una de las fases del proceso de modelización. En este sentido, PISA (OCDE, 2003), De Lange (1995), Smiht y Stein (1998) y Solar (2009), proponen considerar distintos niveles de complejidad para el análisis de las tareas matemáticas en relación con las demandas cognitivas y las estructuras conceptuales de los objetos matemáticos involucrados. De Lange (1995) para el análisis de las tareas desde un enfoque evaluativo propone tres niveles: nivel 1 de reproducción, nivel 2 de conexión y nivel 3 de razonamiento y generalización. En el nivel de reproducción, la demanda cognitiva de la tarea se centra en procedimientos rutinarios y algorítmicos; el nivel de conexión, exige hacer conexiones entre los diferentes tópicos de las matemáticas;
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y, en el nivel de razonamiento y generalización se espera que los estudiantes matematicen situaciones y creen modelos propios. La propuesta de De Lang (1995) fue asumida por la OCDE (2003) para el estudio internacional PISA, donde establecen estos mismos tres niveles de complejidad para valorar los niveles de alfabetización matemática. Estos niveles describen lo siguiente: • Nivel 1 de reproducción, las tareas de este nivel requieren el uso de procedimientos rutinarios, aplicación de algoritmos, realización de operaciones sencillas en contextos familiares. • Nivel 2 de conexión, las tareas matemáticas de este nivel requieren del establecimiento de relaciones entre distintas representaciones de una misma situación y entre diferentes tópicos de la matemática en situaciones dadas en contexto menos familiares. • Nivel 3 de reexión, estas tareas requieren comprensión, reexión y creatividad para identicar conceptos y establecer relaciones con otros conceptos, así como la generalización y justicación resultados de situaciones en contextos nuevos. De otra parte, Smiht y Stein (1998) proponen cuatro niveles de complejidad para analizar la demanda cognitiva de las tareas. El nivel 1 corresponde a tareas de memorización tiene como características el reproducir formulas, reglas o deniciones previamente aprendidas. El nivel 2 tiene que ver con tareas de procedimiento sin conexión, busca el uso de procedimientos especícos sin conexión con los signicados que emergen del procedimiento. El nivel 3 se reere a procedimientos con conexión, en el que las tareas se caracterizan por centrarse en el signicado, la noción y procedimientos usando diferentes caminos para su resolución lo cual genera comprensión de los conceptos. El nivel 4 involucra tareas que requieren hacer matemáticas, exigen al estudiante explorar y comprender los conceptos, procesos y relaciones matemáticas. Henning y Keune (2006) y Solar (2009), proponen una clasicación distinta para los niveles de complejidad, asociados a tareas en relación con la competencia matemática modelizar, lo que es muy pertinente para nuestro propósito. Así entonces, Henning y Keune (2006), consideran los siguientes tres niveles: • Nivel 1: reconocer y comprender el proceso de modelización, para el cual propone tareas en contextos familiares para el estudiante. • Nivel 2: modelado Independiente, en este nivel se desarrollan estrategias para llevar a cabo el proceso de modelización al enfrentarse a tareas en contextos variados.
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• Nivel 3: meta-reexión sobre el proceso de modelización, aquí se sugiere el diseño de tareas que le propongan al estudiante analizar críticamente el proceso de modelización, caracterizar los criterios de evaluación del modelo, reexionar sobre la causa de la modelización, así como reexionar sobre la aplicación de los objetos matemáticos escogidos para la modelización. Solar (2009), retoma los desarrollos teóricos de De Lange (1995) y argumenta que los debates sobre los niveles de complejidad de las tareas matemáticas se han desarrollado principalmente desde un enfoque evaluativo de la competencia matemática, sin embargo propone una clasicación de los niveles de complejidad para el análisis de las tareas, asociados al desarrollo de las competencias matemáticas modelizar y argumentar. Para esta clasicación Solar asume la propuesta de PISA (2003) e integra un nuevo nivel denominado de generalización. Una breve descripción de los cuatro niveles de complejidad propuestos por Solar (2009) para su consideración es la siguiente: • Nivel 1 de reproducción, se logra con acciones de identicación, asociados tanto a tareas de identicar variables y sistemas de referencias, como a los procesos en torno a caracterizar el modelo. En las fases de modelización no se ha registrado ningún foco. • Nivel 2 de conexión, se logra con acciones de interpretar, traducir y construir, que se asocian a tareas de interpretar, traducir y construir grácas, construir sistemas de referencias, así como estudiar la dependencia entre variables; asimismo, estas acciones se asocian a procesos en torno a caracterizar interpretar el modelo, y construir la expresión del modelo. En las fases de modelización predomina el nivel de referencia. Es decir, surge el modelo de las estrategias de los estudiantes. • Nivel 3 de generalización, también se asocia con acciones de interpretar y traducir, en que desarrollan las mismas tareas, pero los procesos cambian a identicar las propiedades del modelo y aplicar el modelo. En las fases de modelización predomina el nivel general, es decir, se usa un modelo para abordar una situación. • Nivel 4 de reexión, las tareas no cambian, pero se desarrolla el proceso de reexionar sobre la modelización. En Las fases de modelización predomina un nivel formal del modelo (p. 234). Estos niveles de complejidad son asumidos por Solar en sus desarrollos investigativos, como un componente del modelo teórico de la CMM, que es usado para el diseño de las tareas matemáticas en relación con el contenido matemático y las fases y sub-procesos de la modelización.
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Mora y Rosich (2011), proponen para este análisis una herramienta que involucra dos elementos a saber, las competencias propuestas por Niss (2003) y los niveles de complejidad descritos en PISA (OCDE, 2003). Esta herramienta permite determinar cómo en una determinada situación y conjunto de tareas se promueve el desarrollo de diversas competencias y a su vez de diversos procesos en una red conceptual de objetos matemáticos interconectados, sin embargo para efectos de la investigación didáctica es pertinente precisar que el estudio puede ser focalizado en la caracterización de la competencia matemática modelizar desde los niveles de complejidad planteados por Solar (2009). En la tabla 7 se presenta a continuación, a modo de ejemplo para una de las tareas en una de las fases del proceso de modelización, los elementos que conforman la herramienta diseñada para el análisis de la demanda cognitiva de las tareas matemáticas propuestas. MATRIZ DE ANALISIS DE LAS TAREAS MATEMÁTICAS PREGUNTA ACTIVIDAD ESPEFases /PROCE- NIVEL DE COMPLERADA SO JIDAD ¿Cuáles son las cantiIdenticar variables Caracterizar el Reproducción dades que intervienen modelo (observación directa) en la situación? Estudiar dependencia Caracterizar el conexión entre variables. modelo Tabla 7. Matriz de análisis de las tareas matemáticas
Esta clasicación teórica a priori de las tareas matemáticas en los niveles de complejidad, permite determinar las acciones esperadas en la actividad matemática de los estudiantes, identicar cómo son las interacciones, las participaciones, la negociación de signicados matemáticos y a partir de esta información luego de su descripción una caracterización de la CMM. EL COMPONENTE METACOGNITIVO DE LA CMM
Diferentes investigaciones relacionan la metacognición con el proceso de resolución de problemas en matemáticas (Rodríguez, 2005); estas investigaciones concuerdan en que la metacognición implica por lo menos dos elementos: un conocimiento sobre la cognición y su regulación consciente. Silva (2006), argumenta que el conocimiento sobre la cognición hace referencia a lo que sabemos acerca de nuestro propio conocimiento y la regulación de la cognición hace referencia a los procesos de planicación, control y evaluación. Indudablemente, estos aspectos pueden ser evidenciados en la actividad matemática del estudiante cuando resuelve tareas matemáticas de modelización
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y reexiona sobre aspectos como por ejemplo: qué objetos matemáticos puede usar, qué tecnología debe usar para representar y comprobar el modelo; cómo controlar las estrategias asumidas para la modelización cuando se verica el uso de las fases del proceso de modelización o se revisa si se consideraron las variables adecuadas, si la dependencia entre esas variables es la que corresponde al fenómeno o situación modelada, si los objetos matemáticos fueron los adecuados, si se pueden considerar otros, si las herramientas tecnológicas elegidas para comprobar las representaciones contribuyeron a tal n, entre otros aspectos; y cuando el estudiante evalúa si la estrategia asumida fue pertinente o existen otras vías más plausibles. En el caso especíco de la CMM, Sjuts (citado por Maaß, 2006) identica la metacognición como una competencia básica para una variedad de competencias importantes como la resolución de problemas y la de modelizar. En este sentido se entiende la metacognición como el pensamiento sobre el propio pensamiento y el control de los propios procesos de pensamiento, que están diferenciadas en tres categorías: • Metacognición declarativa, contiene el conocimiento de diagnóstico acerca del propio pensamiento, el pensamiento para juzgar acerca de las tareas y el conocimiento estratégico sobre las formas de resolver un problema. • Metacognición procesal, controla la planicación para examinar y juzgar, lo que signica el control de las propias acciones. • Metacognición motivacional, contiene las condiciones necesarias para el uso de la metacognición, son la motivación y la fuerza de voluntad para hacerlo, la tendencia a la acción ( Maaß, 2006, p.118). Maaß (2006), señala que la clase debe estar sustentada y guiada en el discurso y el intercambio de percepciones individuales, así como también por la discusión sobre los diferentes argumentos. Señala que es necesario dar tiempo para que los estudiantes se familiaricen con tareas especícas de este tipo orientadas a favorecer la metacognición individual y grupal y para esto propone que el docente debe privilegiar en las tareas que plantea acciones como las siguientes: • Impartir metaconocimiento sobre los procesos de modelación, lo que signica la metacognición declarativa. • Promover las discusiones sobre las diferentes percepciones de estudiantes sobre los procesos de modelización en el aula. • Un trato productivo con los errores de los estudiantes y sus análisis. • Exigir la planicación, supervisión y validación de sus propias acciones frente al proceso de modelización. • Comparar y discutir diferentes soluciones y reexionar sobre las razones.
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En este sentido, considerar la metacognición como componente en un modelo de la CMM, hace referencia al aspecto dinámico de las competencias matemáticas en las ideas de lo expuesto por D´Amore, Godino y Fandiño (2008); quienes resaltan la importancia del querer entrar en acción al desarrollo de las tareas y el deseo de poner a prueba sus acciones. En otras palabras, el reexionar sobre su propio proceso de aprendizaje. Se reconoce entonces la importancia del componente metacognitivo en un modelo de la CMM para su caracterización, desde los aspectos relacionados con la metacognición declarativa y procedimental, dado que aporta a una visión holística e integral de la misma, en los términos de evidenciar los aspectos de esta competencia en las interacciones y participaciones de los estudiantes. COMPONENTE DE INTERACCIÓN SOCIAL
Este componente del modelo teórico de la CMM reeja un posicionamiento en relación con el aprendizaje de las matemáticas escolares desde el enfoque de las competencias matemáticas concebido desde una visión sociocultural, donde la construcción del conocimiento se piensa en la participación de diferentes situaciones especícas presentes en determinadas prácticas sociales de una comunidad. Valero (2006), al respecto maniesta que la interacción social es una actividad que se realiza colectivamente en tiempos y espacios determinados y que adquiere signicados en relación con los acuerdos tácitos o explícitos sobre las normas, valores y formas de actuar válidas, propios de esa actividad (p.4). Esto signica que el aprendizaje de las matemáticas se constituye en un proceso social en el cual juegan un papel importante las interacciones que se dan en el aula, la participación, el diálogo y la negociación de signicados matemáticos. Así mismo, esta autora maniesta que esta visión del aprendizaje, contrasta con enfoques donde se da prioridad exclusivamente a los procesos cognitivos individuales, desconociendo aspectos de orden afectivos y socioculturales que juegan un papel fundamental en el proceso de aprendizaje. En esta perspectiva teórica es importante resaltar los procesos de interacción social que se dan entre estudiantes y entre estos con el profesor, cuando se aborda el desarrollo de las tareas matemáticas, por lo tanto se hace necesario el diseño de situaciones que involucren tareas abiertas donde los estudiantes puedan tomar decisiones y exponer sus opiniones. Por lo anterior en el proceso de intervención en el aula, la gestión que realiza el docente es fundamental para que se desarrolle una actividad matemática en equipo que fomente, promueva y dinamice la interacción social estudiante-estudiante, estudiante-profesor, profesor-estudiante, el diálogo y la construcción y negociación de signicados matemáticos. 138
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En los procesos de interacción social que se dan en el aula es donde tiene lugar la participación matemática, la cual se asume desde la perspectiva social en los planteamientos de Burgos, Domínguez, Rojas, Planas, Vilella (2006). Para estos autores la interacción se convierte en una categoría de análisis fundamental para el desarrollo de la investigación didáctica y en particular para el desarrollo de la competencia matemática. De acuerdo con Carrillo, Climent, Gorgorió, Prat y Rojas (2008), la noción de participación es compleja teniendo en cuenta los múltiples signicados que presenta. Se propone así asumir la noción de participación matemática que se realiza en el aula en el sentido propuesto por Carrillo et al. (2008), entendida como las contribuciones que el alumno realiza cuando se propone una actividad, que se discute o resuelve colectivamente, en la búsqueda de signicados matemáticos; siempre que exista una implicación cognitiva del alumno en esa tarea matemática y una mínima capacidad comunicativa (p.68). De lo anterior se hace evidente como la participación matemática se da en la actividad matemáticas de los estudiantes cuando realizan contribuciones en discusiones colectivas en la búsqueda de soluciones plausibles a tareas matemáticas de modelización. Para el estudio de la partición matemática, Carrillo et al. (2008) propone considerar integradamente el triángulo de la participación, conformado por: la gestión (G), entendida como las formas en que el docente promueve la participación matemática; los modos (M) que hacen referencia a las vías por las cuales el estudiante participa; y, los contenidos (C) entendidos como las propuestas de solución a la tarea matemática. Esta propuesta se ilustra esquemáticamente a continuación en la gura 20.
Figura 20. Triangulo de Participación (TP) (Carrillo et al., 2008)
Los lados de este triángulo representan las relaciones (GC), (GM) y (CM) lo que en particular de estas tres relaciones interesa analizar la relación (MC) dada entre los contenidos de la participación matemática (C); es decir, las contribucio139
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nes que realizan los estudiantes en el desarrollo de las tareas matemáticas en su actividad matemática en equipo y los modos en que se genera esta participación (M). Sin desconocerse la importancia que tiene para el análisis de la participación las otras dos relaciones en donde se involucra la gestión de la participación que realiza el docente en el aula. Para el análisis de la relación (MC), se ha considerado una de las tres perspectivas propuestas por Burgos et al. (2006) de la perspectivas social; en que las contribuciones que realizan los estudiantes se dan a partir de las relaciones que logran establecer entre la situación problema que se propone con sus experiencias personales e intuiciones de su propio entorno. Este tipo de participación es importante en la fase de planeación, diseño, selección y análisis de situaciones problemicas relacionadas con el entorno sociocultural del estudiante, donde se desarrollan diferentes prácticas sociales en las cuales a diario se ven involucrados, esto permite despertar su interés y que tengan cierta familiaridad al abordar su desarrollo. En el proceso de negociación de signicados es importante analizar la validación del conocimiento lo cual permite determinar los niveles de pertinencia de los signicados matemáticos construidos por los estudiantes; especícamente interesa para este caso en el modelo de la CMM el proceso de validación que se da entre estudiantes, sin desconocer el rol fundamental que juega el docente en este proceso. PROPUESTA DE UN MODELO DE COMPETENCIA MATEMÁTICA MODELIZAR (MCMM)
De acuerdo con los referentes planteados sobre el proceso de modelización, las tareas matemáticas y los niveles de complejidad, los procesos metacognitivos y de interacción social se propone un modelo teórico a priori de la CMM como herramienta para su caracterización. Se considera este modelo una aproximación teórica, en el sentido que existen otros componentes, por lo cual es dinámico esto quiere decir, que puede ser objeto de modicaciones por otros investigadores dependiendo sus criterios y el propósito de sus investigaciones. La caracterización de la CMM se da a partir de la contrastación entre los descriptores de los componentes de este modelo y las acciones o especícamente las participaciones de los estudiantes en el desarrollo de las tareas matemáticas propuestas. El modelo diseñado se representa sintéticamente a continuación en la tabla 8.
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DIMENSIONES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
COMPONENTES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MODELIZAR
CATEGORIAS DE ANALISIS
CONCEPTUAL
MODELIZACIÓN Sub-procesos de las fases de la modelización
Fases de modelización
TAREAS
Niveles de complejidad Fases del proceso Aspecto metacognitivos Aspectos que permitan la participación
USO COMPETENCIA MATEMATICA MODELIZAR
NIVELES DE COMPLEJIDAD Reproducción Conexión Generalización Reexión METACOGNITIVO
METACOGNITIVO
Declarativa Procesal
INTERACCIONES SOCIALES
PARTICIPACIÓN
Social Disciplinar
Tabla 8. Modelo teórico a priori de la competencia matemática modelizar (MCMM)
La tabla 8 muestra la correspondencia entre los componentes de la competencia matemática asumidos en el apartado 2.2 y los componentes de competencia matemática modelizar descritos anteriormente. En este sentido, Blomhoj y Jensen (2003) plantean como la Mathematical modelling competence be reduced to thes six sub-competences, but they are necesary elements in the development of mathematical modelling competence” (p.1). Estos planteamientos sugieren la necesidad de investigar sobre diferentes aspectos que componen la competencia matemática modelizar, los cuales se relacionan con la noción de competencia matemática asumida en esta investigación. En resumen, con relación a la competencia matemática se han asumido inicialmente tres componentes: el componente conceptual, el de uso y el metacognitivo (D A´more et al.,2008) y un cuarto componente: el de interacción social (Valero,
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2006); el cual es propuesto teniendo en cuenta la importancia de los procesos de interacción social y participación en el proceso de aprendizaje y en el desarrollo de la competencia matemática. Y en especíco para la competencia matemática modelizar se plantean cinco componentes: los procesos matemáticos de las fases de modelización, las tareas matemáticas, los niveles de complejidad, los procesos metacognitivos y los procesos de participación. La dimensión conceptual de la competencia matemática está relacionada con el componente de los procesos matemáticos de la fase de modelización de la competencia modelizar, debido a que en esta dimensión se encuentran los procesos matemáticos y el conocimiento matemático. La dimensión de uso, se relaciona con los componentes tareas matemáticas y niveles de complejidad, teniendo en cuenta que las competencias matemáticas se activan y desarrollan mediante las acciones cognitivas y físicas frente a tareas con diferente nivel de complejidad. El componente metacognitivo hace referencia a las estrategias que diseñan y usan los estudiantes para regular y juzgar sus acciones frente al proceso de modelización. El componente de interacción social se hace visible en el modelo con el objetivo de resaltar la importancia de las interacciones en el desarrollo de la competencia matemática desde una perspectiva social-cultural del aprendizaje. RESULTADOS
La caracterización de la CMM con base en el modelo teórico previamente descrito en sus dimensiones, componentes y categorías, se corresponde con el estudio de una situación de variación en el contexto cotidiano denominada: Empresa de Viajes YAVO LTDA (ver anexo 1). Esta situación, diseñada con una secuencia de tareas progresivas en su nivel de complejidad, tiene como objetivo fundamental promover la actividad matemática del estudiante en el marco de un proceso de modelización y en el reconocimiento de la variación asociada a la función cuadrática y la representación de dicha variación a través de un modelo funcional. La situación propuesta que se corresponde en su fenomenología con una variación de un modelo polinómico cuadrático, se enmarca en un contexto de la vida diaria; especícamente relacionado con aspectos comerciales desarrollados en el sector turístico por las agencias de viajes. A partir de esta situación, se genera una secuencia de tareas representadas en preguntas abiertas, es decir preguntas que no tienen una respuesta única y directa; todos los datos necesarios para resolver el problema no se encuentran planteados explícitamente. EPISODIO 1
Este primer episodio corresponde a las participaciones de los estudiantes al resolver las tareas asociadas al primer momento de reconocimiento y descrip142
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ción de la variación. En él se espera que las acciones de los estudiantes estén focalizadas en identicar y seleccionar las magnitudes variables y constantes intervinientes, así como también el establecimiento de relaciones de dependencia e independencia entre variables, para lo cual el estudiante, a partir de la situación presentada en lenguaje natural, construya una representación tabular de la misma. Seguidamente la tabla 9 muestra los descriptores usados para la descripción y el análisis en la fase de simplicar del proceso de modelización matemática. DESCRIPTORES PARA LA FASE DE SIMPLIFICAR DEL PROCESO DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Código Descriptor FM1-S1 Claricación del contexto del problema FM1-S2 Construir la simplicación de los supuestos (objetos de otras ciencias) FM1-S3 Identicación de estrategias FM1-S4 Especicación correcta delos elementos de las estrategias FM1-S5 Identica las magnitudes que intervienen en la situación Tabla 9. Descriptores para la fase de simplicar del proceso de modelización.
En su desarrollo, en la tabla 10 se presenta las líneas textuales del grupo de estudio focalizado que son representativas de este proceso y que para este caso se identican en su fase uno: Línea 1 Diego: Va subiendo el doble [señala con el lápiz la columna del número de personas del grupo] 2 Diego F: Espere, espere, tienen que leer porque no nos están hablando del descuento, si no del costo del viaje. 3 Jhonatan: Va subiendo de seis en seis 4 Diego: Va subiendo el doble 5 Jhonatan: Va subiendo el doble multiplicado por dos, a medida que va subiendo las personas a si mismo va aumentando el descuento 6 Diego: El descuento de las 10 personas es de $20.000 7 Diego: Si 10 personas valen $ 3.480.000 Tabla 10. Episodio 1
Con relación al proceso de modelización en la fase de simplicar el estudiante logra identicar a partir de la representación tabular las variables (descriptor FMS5) que intervienen en la situación, por ejemplo: número de personas por grupo, valor del descuento por persona y el valor total del viaje por grupo. 143
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Así por ejemplo de la tabla 9 en la línea 5, Jhonatan establece verbalmente una relación de dependencia entre las variables número de personas del grupo y valor del descuento por persona, armando que a mayor cantidad de personas del grupo mayor es el descuento por persona, lo cual se corresponde con el descriptor de identicar las variables dependiente e independiente para la inclusión en el modelo (descriptor FMM1) en la fase de Matematizar. En esta fase del proceso de modelización matemática el establecimiento de relaciones de dependencia e independencia entre variables es considerado un momento previo a la construcción de la expresión del modelo. De otra parte y en esta misma dirección de la expuesta por Jonathan líneas arriba, aunque no en el cálculo esperado, Diego en la línea 6 propone un valor no esperado del descuento para un grupo de 10 personas consistente en $20.000 pesos, en términos de que ese valor corresponde al descuento del tiquete por persona, lo cual nos permite inferir que el proceso no es validado o comparado con la información dada, debido a que no se logra establecer relación con los datos establecidos en la representación tabular donde se establece para un grupo de tres personas un descuento de $ 6000 por persona. Lo anterior se deduce del procedimiento aritmético presentado a continuación en la gura 10, extraído del informe escrito de los estudiantes y en el cual se observa que para un grupo de 10 personas se ha tomado un mismo descuento para cada una de ellas por valor de $2.000 pesos, cuyo producto da un descuento total de $20.000 pesos lo que es matemáticamente correcto pero deja en evidencia que no se ha interpretado el tipo de variación presente en esta situación y se ha asimilado ingenuamente o mejor acríticamente a una variación directamente proporcional lo que no es coherente con la lógica de enunciación de la situación y los datos preliminares dados.
Figura 21. Identicación de variables.
En un análisis de este episodio para el componente metacognitivo se identica en la reexión de lo expuesto por Diego F en la línea dos, una mirada retrospectiva del proceso que invita a leer e interpretar adecuadamente la situación, esto indica que se hacen cuestionamientos sobre las variables que intervienen en el modelo y sus relaciones de dependencia. Desde la perspectiva disciplinar de la participación matemática se evidencia en las siete líneas de este episodio uno, la ausencia de diálogo con relación a la identicación de variables presentes en la situación y a las relaciones de dependencia entre ellas. Especícamente cuando 144
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Diego en sus intervenciones de las líneas seis y siete, establece el valor del descuento por persona y el costo total del viaje para un grupo de diez personas, frente a esta participación sus compañeros de equipo no reexionan sobre los resultados y los aceptan inicialmente como válidos. Más adelante en el episodio 2, el cual es analizado a continuación, se observa como mediante un proceso de reexión metacognitiva, los estudiantes identican nuevas relaciones entre las variables para replantear este modelo provisional. EPISODIO 2
El episodio dos corresponde a las participaciones de los estudiantes al resolver las tareas asociadas al reconocimiento y descripción de la variación al igual que el episodio 1. Este episodio comienza con la intervención de Diego en la línea 121 de la tabla 11 con una reexión de tipo metacognitivo al reconocer y cuestionar que los procesos o los resultados obtenidos hasta el momento no son válidos; de lo anterior se inere que el estudiante no logra conrmar que en los procesos se estén relacionando las variables adecuadas, lo anterior se asocia al descriptor “cuestiona si se está cumpliendo con los objetivos propuestos” (PMP-3). 121
Juan David: debe mermar porque si aquí da $ 32´000
122 Diego F: y$ realiza 326´000 $ 24.000 ¿Cuánto es? realiza la operación] 123 Diego: Toma la calculadora la mas operación [habla mientras 124 Diego F: Tiene que subir el costo, no ve que entre más personas es menos….. 125 Jhonatan: Por eso peroaquí van siendo menos persona [señala conel lápiz la columna] Diego F:Entretiene que… ya se merma, aquí [[ ya da $ 314.000 128 Diego: Mire sube, sube [señala con el lápiz] merma y merma. Tabla 11. Episodio 2
Estos procesos de reexión abren espacios de participación, dialogo e interacción entre los integrantes del equipo lo cual generó que se retomara la situación con un análisis en profundidad, produciéndose nuevos procesos relacionados con las fases de modelización, especícamente de matematización, con el establecimiento de relaciones de dependencia entre pares de cantidades de magnitud (el númeropor de personas el valor descuento por persona ésta condeelpersonas) valor del tiquete persona ycon el valor deldel tiquete por persona con elynúmero para encontrar el valor total del viaje por grupo. Lo descrito anteriormente, se asocia al descriptor (FMM1) que hace referencia a la identicación de variables dependientes e independientes para la inclusión en el modelo en la fase de matematización. Esto se constata en la participación de Juan David presente en la línea 132 y que se relaciona a continuación con lo expuesto en la gura 22 que corresponde a la producción escrita de los estudiantes. 145
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Figura 22. Establecimiento de relaciones entre variables.
Se conrma así depersonas la participación Juan David “entienda bien el problema entre más vayan el de descuento va aalserreferir: mayor” , estas variables son indispensables para realizar la tarea c (ver anexo 1) que consiste en completar los valores en el registro tabular, especícamente la columna valor del tiquete por persona. En la línea 113 y 114, de la tabla 12, expuestas seguidamente, se identican como los estudiantes han relacionado el descuento por persona con el valor del tiquete individual. 113 Diego F: $ 30.000 más $ 320.000 da $350.000 114 Diego F: $ 24´000 mas $ 326´000, pues da $ 350´000 Tabla 12. Episodio 2.
En estas líneas se identican cuestiones relevantes para describir el modelo en términos de una única variable independiente. Se destaca en este episodio que existe una negociación de signicados sobre la relación de dependencia entre el descuento por persona y la cantidad de personas por grupo, esto se identica con el descriptor que hace referencia a la discusión y consenso en torno a los signicados matemáticos (PS-1), cuando logran negociar que a mayor cantidad de personas en el grupo mayor descuento por persona. Esta negociación se da principalmente entre Diego y Juan David apoyados en la representación tabular de la situación. EPISODIO 3 La transcripción de este episodio corresponde a las participaciones de los estudiantes frente a la resolución de la tarea matemática que en su primer momento de reconocimiento y descripción de la variación especicamente en el literal c, donde se demanda completar los valores de correpondencia que componen el registro tabular.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE Línea
150 Jhonatan: ¡a! de 6 en 6 también 151 Diego F: a $ 6000 serian $ 344000 [registra los datos en la tabla] 152 Diego F: Aquí [señala con el lápiz] ya sería mayor el descuento, serian $ 314´000 153 Diego F: yo estoy seguro que es así. 154 Jhonatan: Porque están preguntando es cuanto 155 Diego F: ahora mire, mire lo que está diciendo acá, ahora el tiquete por persona, este vale el tiquete entonces $ 314´000 por 18, me tiene que dar este resultado [señala el lápiz] véalo si ve mismo resultado. 156 con Diego F: ahora mire estoque ya da estáelhecho 157 Diego F: preste y voy copiando la primera [se dirige a 4] Tabla 13. Episodio 3
En este episodio los estudiantes describen cualitativamente la relación entre las magnitudes, esto se evidencia en la participación de Diego F en la línea 151 de la tabla 13, donde se establece para un grupo de 3 personas el valor del descuento por persona en $ 6.000 y el valor del tiquete por persona en $ 344.000. En esta participación los estudiantes identican las magnitudes: valor del descuento por persona y el valor del tiquete por persona correspondientes al descriptor “Identica las magnitudes que intervienen en la situación” (FM-S5). Así mismo, en coherencia con lo anterior, establecen las relaciones de dependencia entre ellas, queDe corresponde al se descriptor (FMM1). la gura 23 arma que los estudiantes establecen que cada vez que el número de personas por grupo varía en intervalos de tres, el descuento por persona aumenta en $6000, este análisis es usado para crear un modelo aritmético que les permite encontrar el valor del tiquete por persona dependiendo del número de personas del grupo, el cual consiste en: restar de $350000 (el valor del tiquete por persona sin descuento) el descuento debido a un grupo de personas.
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Figura 23. Uso de la representación tabular en la aplicación del modelo matemático aritmético
Con este modelo los estudiantes evidencian una comprensión del fenómeno de variación subyacente, en el sentido que a mayor cantidad de personas, mayor es el descuento y usan este modelo para hallar el valor del tiquete por persona correspondiente a un grupo de 18 personas. Esto se arma y evidencia a partir de la participación de Diego F (línea 152 de la tabla 23) cuando argumenta “ Aquí (señala con el lápiz) ya sería mayor el descuento, serian $31.4000”, reriéndose a la última casilla de la columna número de personas la cual corresponde a un valor de 18. Lo que signica que para este valor el descuento por persona es mayor por lo cual el valor del tiquete por persona es menor y corresponde a $ 314.000. La aplicación del modelo aritmético anterior genera la participación de Diego F (línea 155 de la tabla 12), donde se construye un nuevo modelo aritmético usado como estrategia de resolución para hallar el valor total del viaje para un grupo de 18 personas que consiste en: multiplicar el valor del tiquete por persona hallado con el modelo anterior por la cantidad de personas. Estos resultados se validan con la información presentada en la gura 24, extraída de los datos en forma de tabla que organizan de la siguiente manera:
Figura 24. Desarrollo de la tarea c.
Comprendidos estos modelos e implementados en esta tarea c, los estudiantes deciden regresar a la tarea b donde se les demanda hallar el valor total del viaje para un grupo de 23 personas, para lo cual realizaron el proceso mostrado a continuación en la gura 25.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Figura 25. Aplicación del modelo matemático aritmético de la dependencia del costo total del viaje respecto al número de personas.
En el proceso anterior se evidencia que los estudiantes usan el modelo aritmético para establecer el costo total del viaje para un grupo de personas diferentes a los registrados en la tabla de datos, por lo cual estas acciones corresponden al nivel de complejidad generalización. Además en este proceso se observa como los estudiantes aplican la secuencia de modelos aritméticos en el siguiente orden: • Número de personas del grupo multiplicado por $2.000 = descuento por persona. • De $ 350.000 restar el descuento por persona = valor del tiquete por persona. • El valor del tiquete por persona multiplicado por el número de personas del grupo = valor total del viaje por grupo. De laalgebraico secuenciacorrespondiente anterior de modelos aritméticos un modelo al descriptor “Darlos el estudiantes modelo conproponen una variable independiente única (FMM2)”, presentado seguidamente en la gura 26.
Figura 26. Primera aproximación al modelo algebraico
En este modelo algebraico se deduce que los estudiantes plantean el modelo en términos de una única variable independiente A (número de personas del grupo), también identican las cantidades de magnitud constantes ($ 350000), las variables dependientes (C y D) y las variables independientes (B, C y A). De la aplicación de los modelos aritméticos de los estudiantes (gura 14 y línea 155) se identica lo que representa cada variable en la gura 15 de la si guiente forma: B corresponde al descuento por persona que depende del número de personas por grupo, C representa el valor del tiquete por persona, A representa el número de personas del grupo y D representa el valor total del viaje por grupo. Después de sugerir a los estudiantes un análisis del signicado de los signos aritméticos del modelo algebraico, especícamente el signo menos en la expresión algebraica C = B – 350000, dado que se espera que los estudiantes asocien 149
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este signo al descuento debido a la cantidad de personas del grupo, se observa que eligieron retomar el procedimiento algebraico usando las letras x, y, z para las nombrar las magnitudes identicadas. Al abordar de nuevo la traducción de su modelo matemático aritmético a un modelo algebraico se reescribieron las variables como se muestra a continuación en la gura 15.
Figura 27. Especicación de las variables involucradas en el modelo algebraico.
De la gura 27 se deduce cómo los estudiantes, fruto de una actividad matemática más reexiva en la fase de matematizar, muestran de forma explícita las variables que intervienen en el modelo matemático algebraico y las relaciones más relevantes para la construcción de un nuevo modelo que se presenta seguidamente en lafocalizado. gura 28 extraído textualmente de la actividad matemática del grupo de estudio
Figura 28. Modelo algebraico nal.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
En este modelo presentado en la gura 16 se evidencia diferentes sub-procesos pertenecientes a las fases de matematizar y trabajo matemático tales como la identicación de variables dependientes e independientes para la inclusión en el modelo algebraico, la construcción del modelo con una variable independiente única, la representación matemática de los elementos intervinientes así como las fórmulas que pueden ser aplicadas, aplicación de fórmulas simbólicas y simplicación de procesos algebraicos para producir funciones más elaboradas y sosticadas. En estos sub-procesos, adicionalmente se evidencian acciones relacionadas con los niveles de complejidad de conexión y generalización debido a que se construye el modelo matemático y se aplica para comparar los resultados obtenidos con los esperados en la situación inicial. Por otra parte, con relación a los procesos metacognitivos, en la participación de Diego F de las líneas mostradas en la tabla 14, se evidencia como se involucran procesos de reexión sobre los procedimientos y resultados obtenidos, sobre las estrategias y procedimientos utilizados para abordar la situación, esto hace referencia al descriptor: cuestionar si se está cumpliendo con los objetivos propuesto. Línea 153 Diego F: yo estoy seguro que es así 155 Diego F: ahora mire, mire lo que está diciendo acá, ahora el tiquete por persona, este vale el tiquete entonces $ 314´000 por 18, me tiene que dar este resultado [señala con el lápiz]véalo si ve que da el mismo resultado. 156 Diego F: ahora mire esto ya está hecho Tabla 14. Participación metacognitiva
Estos sub-procesos metacognitivos son de tipo declarativo porque el estudiante argumenta el conocimiento en construcción y lo confronta con la situación inicial, lo cual le permite validarlo con los compañeros. A continuación un sub-episodio del episodio 3, presentado seguidamente, en la tabla 15, el cual fue seleccionado teniendo en cuenta que se evidenciaban diferentes sub-procesos del componente de participación, permite detallar aspecto en lo particular de este componente.
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Línea 230 Diego F: se acuerda que nosotros restamos este [señala la hoja]con $ 350.000, para hallar este resultado que está acá [señala con el lápiz la hoja] ahora restamos este $ 46´000, lo restamos con 350 [se reere a $ 350000] da 304 [se reere a $304000] ese $304´000 lo multiplicamos por 23 y me da$ 6´992.000 231 Juan David: entonces el descuento va a ser mayor para ellos porque son más personas [hay reexión sobre el proceso y los resultados con relación al problema metacognitivos)] 232 (procesos Diego F: claro por qué son más gente 233 Jhonatan: hay claro 234 Diego: obvio, entonces como seria Tabla 15. Episodio de clase, subprocesos de la participación
En este sub-episodio, Diego F en la línea 230 de la tabla 14, comparte a sus compañeros la aplicación de la secuencia de los modelos matemáticos aritméticos usados para desarrollar la tarea c (completar el registro tabular), y de cómo estos son usados para resolver la tarea a que consiste en hallar el costo total del viaje para un grupo de 23 personas. Es decir, comunica y valida con sus compañeros cómo aplicar el modelo aritmético construido. En la participación de Diego F “ahora restamos este $46.000, lo restamos con 350 (se reere a $ 350.000),da 304 (se reere a $304.000), ese $304.000 lo multiplicamos por 23 (número de
personas del grupo) y me da $6’992.000 (valor total del viaje por grupo)”, se hace explicita la aplicación de la secuencia de los modelos aritméticos en los tres momentos planteados anteriormente. La contribuciones de Diego F a la solución de la tarea permite que se discuta y resuelva colectivamente. En este sentido, Juan David en la línea 231 de la tabla 15, reexiona sobre el proceso y comprende la relación de dependencia entre la variable número de personas del grupo y el valor del descuento por persona, al argumentar: “entonces el descuento va a ser mayor para ellos porque son más personas”. Frente a este argumento se genera un proceso de validación de la secuencia de modelos matemáticos por parte de los alumnos, evidenciado en los contenidos de la participación de los integrantes del equipo (líneas 232-233-234 de la 14) quienes lo admitenendejuego. manera consensuada dándose la negociación de lostabla signicados matemáticos Por último, en este sub episodio se evidencia el descriptor “Discusión y consenso en torno a los signicados matemáticos” (PS-1), debido a que los signicados surgieron del dialogo, se discutieron y fueron objeto de consenso para llegar a la negociación de signicados matemáticos alrededor de la relación de dependencia entre la variables número de personas del grupo y el valor del descuento por
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
persona; entendiendo que a mayor cantidad de personas mayor es el descuento para cada una de ellas.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES El análisis de las participaciones a través de los discursos y producciones escritas de los estudiantes queteórico fueronde confrontadas con los descriptores para los tres componentes del modelo la CMM asumidos para el análisis, permiten evidenciar los esquemas de los tres componentes. Para el componente de los procesos matemáticos de las fases de modelización se identican los siguientes descriptores, que son expuestos a continuación en la tabla 16. FasesDelProcesoDeModelización Descriptor Simplicar Identica las magnitudes que intervienen en la situación FMS-5 Matematizar Identicación de variables dependientese independientes parala inclusión en FMM-1 el modelo algebraico Construir el modelo con una variable independiente única FMM-2 Trabajo Matemático Aplicar formulas simbólicas Simplicar procesos algebraicos para producir funciones más sosticadas. Interpretar Comparar los resultados matemáticos con el mundo “real” o la situación inicial Validar
FMTM-1 FMTM-2 FMI-1
Tabla 16. Descriptores identicados para el componente fases del proceso de Modelización
La tabla 16 muestra las acciones de la actividad matemática del estudiante enfocado en tres fases del proceso de modelización: simplicar, matematizar e interpretar. En la fase de simplicar principalmente los estudiantes logran identicar las magnitudes que intervienen en la situación. Por otra parte, en la fase de matematizar la actividad del estudiante está orientada a identicar las relaciones entre variables dependientes e independientes para construir el modelo en términos de una única variable independiente. El proceso de construcción del modelo matemático inició con la formulación de modelos aritméticos para presentar posteriormente un modelo algebraico que 153
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recoge los modelos anteriores. En la fase Interpretar la actividad del estudiante se centró en comparar continuamente si los resultados obtenidos se ajustaban a la información de la situación lo que generó dialogo y nuevas interpretaciones necesarias para construir los modelos matemáticos que surgieron. Para el componente metacognitivo se asumió en coherencia con lo expuesto, la metacognición declarativa y procesal que hacen referencia al conocimiento de los propios conceptos aprendidos y a las formas de juzgar sobre la validez de sus procesos. En la tabla 17 se muestran a continuación, los descriptores hallados para este componente. ProcesoMetacognitivos Establece secuencias de procesos y procedimientos para abordar la situación Cuestiona si está cumpliendo con los objetivos propuestos Diseña estrategias p ara abordar problemas no rutinarios
Descriptores PMP-1 PMP-3 PMP-4
Tabla 17. Descriptores identicados para el componente metacognitivo.
Así mismo, en la tabla 18 se presentan los descriptores identicados para el componente de participación. Procesodeparticipación Discusión y consenso en torno a los signicados matemáticos
Descriptores PS-1
Tabla 18. Descriptores identicados para el componente de participación.
En el desarrollo de tareas, las diferentes acciones de la actividad matemática del estudiante donde se privilegia el trabajo colectivo permite identicar participaciones que genera discusión en torno a los signicados surgidos en el diálogo y posteriormente se llega al consenso y a una negociación de estos signicados matemáticos. En síntesis este análisis permite caracterizar la competencia matemática modelizar a partir de los sub-procesos movilizados en relación con los tres componentes considerados. En el componente procesos matemáticos de las fases de modelización se identicaron sub-procesos relacionados con las fases de simplicar, matematizar, trabajo matemático e interpretar, especícamente: • Identicar las magnitudes que intervienen en la situación • Construir el modelo con una variable independiente única • Identicación de variables dependientes e independientes para la inclusión en el modelo algebraico 154
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
• Aplicar formulas simbólicas • Simplicar procesos algebraicos para producir funciones más sosticadas. • Comparar los resultados matemáticos con la situación inicial En este proceso de modelización emergió la variación cuadrática como modelo matemático que estructura la situación, esta variación es representada en el sistema tabular, algebraico y verbal. Seguidamente los sub-procesos metacognitivos identicados hacen referencia a la metacognición declarativa y procesal, cuando el estudiante comunica a los compañeros sus conocimientos algebraicos y aritméticos que permiten construir y renar el modelo matemático planteado estos sub-procesos corresponden a: • Cuestiona si está cumpliendo con los objetivos propuestos • Diseña estrategias para abordar problemas no rutinarios • Establece y comunica secuencias de procesos y procedimientos para abordar la situación Estos sub-procesos metacognitivos muestran que el proceso de modelización no es lineal, por el contrario le permite al estudiante cuestionar si sus consideraciones y simplicaciones del contexto o las relaciones entre las variables consideradas son pertinentes, por otra parte permite involucrar sus conocimientos para la construcción de nuevos conceptos. Por último, involucrar situaciones del contexto cercano al estudiante genera interés en el estudiante por participar en la solución de tareas matemáticas, esto se evidencia cuando el estudiante en sus interacciones genera discusión para negociar el uso de diferentes representaciones y conceptos matemáticos en la construcción del modelo matemático.
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ANEXO 1
SITUACIÓN 1: EMPRESA JAVO
Empresa de viajes JAVO. L TDA En la empresa de viajes JAVO Ltda., están pensando en promover un plan turístico a cualquier destino regional. Con el ánimo de captar la atención de los viajeros se propone que el valor del paquete turístico por persona sea de $350.000. Sin embargo, si esta persona organiza un grupo se hace un descuento de $2.000 por cada persona, válido para cada uno de los miembros del grupo. Es decir, si viaja una pareja se hace un descuento de $4.000 a cada uno de ellos. De igual manera, si es un grupo de 5 personas se hace un descuento de $10.000 (5 veces $2.000) a cada uno de los viajeros. MOMENTO 1 – RECONOCIMIENTO Y DESCRIPCIÓN DE LA VARIACIÓN
Con base en la información anterior responda: a. ¿Cuál sería el costo del viaje para un grupo de 10 personas? ¿Y para un grupo de 23 personas? b. Si el costo para un grupo fuera de $9’800.000, ¿cuántas personas harían del grupo? c. parte Con base en esta información llene la siguiente tabla:
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Número de personas del grupo 3 6
Valor del descuento por persona ($) 6000
Valor del tiquete por persona ($)
Valor total del viaje por grupo ($)
18000 320000 5652000 Tabla 1
d. Según las condiciones de la situación, ¿cuáles cantidades permanecen constantes? e. Represente mediante símbolos cada una de las relaciones que resultan de la tabla. MOMENTO 2: CUANTIFICACIÓN DE LA VARIACIÓN
f. ¿Cuánto cambia el valor total del viaje por grupo cuando el número de personas cambia de 3 a 6, 6 a 9, 9 a 15? g. ¿Existe alguna regularidad en el cambio del valor total del viaje por persona? h. ¿Qué características tiene la gráca que representa esta variación? i. ¿Qué tipo de variación corresponde a la situación j. ¿Qué representa el punto más alto de la representación gráca? K. ¿En qué valor se incrementa el costo del viaje para el grupo cuando el número de viajeros aumenta de 12 a 15, de 15 a 18, de 18 a 21, de 42 a 45, 83 a 86, de 86 a 89 y de 89 a 91? Describa las regularidades que puede observar. L. A medida que el número de personas aumenta de 0 a 87, ¿cómo es el crecimiento en el valor del viaje para el grupo? ¿Cómo se puede observar esta forma de crecimiento en la gráca de la función? M. decrecimiento A medida que el de 88 en adelante, ¿cómoobseres el ennúmero el valorpersonas del viajeaumenta para el grupo? ¿Cómo se puede var esta forma de decrecimiento en la gráca de la función? N. ¿Para qué número de viajeros la empresa obtendría su máximo ingreso? ¿Cómo se puede observar este valor en la gráca de la función? O. Suponga que se tiene un grupo de 50 personas y otro de 125 personas. ¿Cuánto dinero recibiría la empresa por cada uno de estos grupos? ¿Cuál
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
de los dos grupos es más conveniente para la empresa? Argumente su respuesta. P. ¿Qué relación existe entre las cantidades número de viajeros y costo del tiquete por persona con la cantidad del costo total para el grupo? Q. ¿Cuál es la gráca que corresponde a cada una de las columnas de la tabla? R. ¿Qué relación se puede observar entre la gráca del costo del tiquete por persona, el eje x y la gráca del valor total del grupo?
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COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR: EL CASO DE LA RAZÓN Y LA PROPORCIÓN
LA COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR: EL CASO DE LA RAZÓN Y PROPORCIÓN
“Enseñar en competencias, para las competencias, por competencias,…preero decir: enseñar para el desarrollo de competencias” (Carlos Vasco, 2010)
El propósito de este apartado es presentar la caracterización de la competencia Pensar y Razonar en cinco apartados: el primero corresponde a la conceptualización de la competencia Pensar y Razonar; el segundo sobre la estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología del objeto matemático razón y proporción, esto permitirá la clasicación de tareas matemáticas en niveles de complejidad; el tercero la formulación de un Modelo de competencia Teórico A Priori (MTAP) para caracterizar la competencia en mención; el cuarto, la aplicación del MTAP y caracterización de la competencia Pensar y Razonar a partir de la actividad matemática de aprendizaje de los educandos del grado séptimo de la Ciudadela Siglo XXI, y el quinto, la formulación de unas primeras conclusiones del estudio llevado a cabo. COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR
La comunidad de educadores matemáticos ha venido reconociendo la importancia del pensamiento y razonamiento matemático en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. De hecho (y aproximadamente hace dos décadas), Rico (1995,
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p. 13-14), puso de maniesto en los nes en Educación Matemática, que es prioritario, entre otros aspectos, Desarrollar la capacidad de pensamiento del alumno, permitiéndole determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en denitiva,potenciar su razonamiento y su capacidad de acción. Desarrollar la capacidad para el razonamiento, el trabajo cientíco y la búsqueda, localización y resolución de problemas.
Fines que dejan entrever, que es un objetivo importante de la Educación Matemática el desarrollar en los educandos la habilidad para pensar y razonar matemáticamente y usar el pensamiento y razonamiento matemático en el planteamiento, resolución e interpretación de problemas en una variedad de situaciones o contextos. En este sentido, el pensamiento y razonamiento matemático es considerado como el soporte para la ciencia, la tecnología y el desarrollo económico y social de un país (Stacey, 2012). Se reconoce cada vez más que el bienestar de la economía en un país está apuntalado por lo que se ha denominado “alfabetismo matemático o alfabetización matemática” (entiéndase Competencia Matemática) en la población (OCDE, 2006).El alfabetismo matemático es la capacidad que tienen los individuos de usar las matemáticas para el diario vivir, para el trabajo, y para su formación como ciudadanos constructivos, comprometidos y reexivos. El marco teórico usado por PISA muestra que el alfabetismo matemático abarca muchos componentes del pensamiento matemático que incluyen razonamiento, modelación y conexión entre ideas. Luego, es claro que el pensamiento y razonamiento matemático es importante en gran medida porque equipa a los estudiantes con la habilidad para usar las matemáticas y por tanto es un resultado signicativo de la educación. Al tiempo que se enfatiza el aprendizaje de las matemáticas como algo útil, la educación necesita dar a los estudiantes una degustación de la aventura intelectual en la que las matemáticas se pueden convertir (Stacey, 2012). Pero, ¿Qué es el pensamiento matemático? O mejor, ¿Qué es pensar matemáticamente? y, ¿Qué es razonar matemáticamente? Sorprendentemente no se encuentran signicados bien denidos o explicaciones sobre estos dos procesos matemáticos en la literatura investigativa en Educación Matemática. Para el caso del pensamiento matemático, Lutyya (1998) señala que “El pensamiento matemático implica el uso matemáticamente rico de de pensamiento para entender ideas, descubrir relaciones entre las habilidades ideas, representar o apoyar condiciones sobre las ideas y sus relaciones y resolver los problemas que implica las ideas. “(p. 55). Obviamente las ideas a las que se reere Lutyya son los conceptos o conocimientos matemáticos. Por su parte, Schoenfeld (1992), propuso que hay cuatro aspectos importantes que involucra la cognición en las investigaciones del pensamiento matemático y
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
la resolución de problemas, a saber: (a) el conocimiento matemático y las habilidades de pensamiento que el estudiante usa en la resolución de los problemas, (b) las estrategias heurísticas que el estudiante puede usar en la resolución de problemas, (c) El seguimiento y control que el estudiante ejerce en el proceso de resolución de problemas para guiarlo a direcciones productivas; (d) las creencias y prácticas del estudiante sobre las matemáticas, las cuales facultan o inhabilitan los intentos de solución de problemas.(p.348)7. McLeod (1992) ha complementado esta mirada al plantear la importancia de la afectividad en la resolución de problemas matemáticos8 Para la OCDE (2000), pensamiento matemático se describe como un proceso que implica distintivo entre los diferentes tipos de declaraciones, como las deniciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, aserciones; planteamiento de problemas de orden superior, y respuestas lógica a la solución del problema. Alternativamente, Suzuki (1998) dene el pensamiento matemático como concepto global que incluyen todas las actividades matemáticas y formas tradicionales de resolución de problemas matemáticos rutinarios. Por su parte, Stacey (2012) señala que el pensamiento matemático es un proceso, y que el ser capaz de usar el pensamiento matemático en la resolución de problemas es uno de los nes más fundamentales de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas pero también uno de los más evasivos. Es un n primario de la enseñanza que los estudiantes sean capaces de conducir por ellos mismos investigaciones matemáticas y de identicar las situaciones reales en que son aplicables las matemáticas que han aprendido. Además, y fruto de sus investigaciones ha encontrado que es útil que los docentes consideren que la resolución de problemas que tienen que ver con matemáticas requiere de un amplio rango de destrezas y habilidades que incluyen: (a) Conocimiento matemático profundo, (b) Habilidades de razonamiento general,(c) Conocimiento de estrategias heurísticas, (d) Creencias y actitudes útiles (como la expectativa de que las matemáticas han de ser útiles), (e) atributos personales como conanza, persistencia y organización, y (f)destrezas para comunicar una solución. Destrezas y habilidades que están relacionadas con el pensamiento matemático. Es de anotar que Stacey (2012), introduce otras dos destrezas a las cuatro (4) ya establecidas por Schoenfeld (1992), las cuales complementan la promoción y desarrollo del pensamiento matemático del estudiante en el aula de clase. Es importante resaltar que estos tres últimos aspectos que plantea Schoenfeld (1992) hacen referencia a aspectos de la metacogniciòn, los cuales seexplicarán con mayor detalle más adelante. . 8 Hasta hace una década, en las investigaciones en Educación Matemática sobre aprendizaje, las funciones cognitivas eran tratadas independientemente de la dimensión afectiva, con el argumento de que se obtenía mayor ecacia en los resultados; sin embargo, se ha venido reconociendo por la comunidad de investigadores la gran inuencia que ejerce la dimensión afectiva en la construcción del conocimiento matemático de los y las estudiantes (Gómez, 2002). 7
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En cuanto al otro proceso, razonamiento matemático, investigadores como Balachelf (2000), Rico (1995) y Sierpinska (1994) han elaborado propuestas en torno a él; así mismo programas curriculares como los Estándares de la NCTM, lineamientos curriculares y Estándares , área de matemáticas del Ministerio de Educación Nacional (MEN); veamos: Balachef (2000), considera que el razonamiento es una actividad intelectual no completamente explicita que se ocupa de la manipulación de información dada o adquirida, para producir una nueva información. Claramente la manipulación de la información se da a través de la representación de ella, y de la posterior comunicación. Rico (1995) identica al razonamiento como la capacidad para establecer nuevas relaciones entre conceptos; para él, estas relaciones se expresan en argumentos. Argumentos de los que se requiere, entre otros aspectos, de la comunicación y representación. Sierpinska (1994) identica al razonamiento como una red que hace parte de los actos de comprensión9; cada uno de los actos de comprensión está acompañado del razonamiento. Los Principios y Estándares para la Educación Matemática NCTM (2000), proponen como uno de los estándares de proceso, al razonamiento matemático. De manera general, esta propuesta curricular orienta al profesor de matemáticas para desarrollar procesos de razonamiento matemático en los estudiantes a través de los espacios donde la explicación, la justicación y la conjetura sean las herramientas que posibiliten su desarrollo. Este proceso está asociado a la participación del estudiante en la construcción del signicado de conceptos y procedimientos matemáticos. De acuerdo a la propia Sierpinska (1991 citada en Sánchez et al., 1998, p. 75), “un acto de comprensión de un concepto es un fenómeno psíquico cuyo objetivo es apropiarse de los signicados relativos a elementos de aquél”. Además, “que algunos actos de comprensión, lo son de superación de obstáculos, por lo que la comprensión de un concepto matemático consistiría en la superación, a través de los actos de comprensión pertinentes, de un conjunto de obstáculos relativos al concepto que proporcionarían una amplia información sobre su signicado”. Los Principios y Estándares para la Educación Matemática NCTM (2000), señala que unos de los hallazgos más importantes de la investigación en Educación Matemática en las últimas décadas es que la comprensión conceptual es un componente fundamental de la competencia, junto con el conocimiento factual y la destreza con los procedimientos. Además, que los requisitos en la vida laboral y en la participación ciudadana enel mundo contemporáneo, incluyen la exibilidad para razonar sobre la información cuantitativa y para utilizarla. La comprensión conceptual es un componente esencial del conocimiento necesario para enfrentarse con nuevos problemas y contextos. Finalmente, que los alumnos pueden alcanzar la comprensión de ideas matemáticas, a lo largo de los años de escolarización si se les compromete activamente en tareas y experiencias diseñadas para profundizar y relacionar sus conocimientos. Y puede mejorarse mediante interacciones en el aula, cuando los estudiantes proponen ideas y conjeturas matemáticas, aprenden a evaluar su propio pensamiento matemático y el de los demás, y desarrollan destrezas de razonamiento (p.22). 9
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Por su parte en los Lineamientos Curriculares de matemáticas (MEN, 1998), al razonamiento matemático se le considera como un proceso general, asociado con la comunicación, modelación y procedimientos matemáticos. De manera general, se entiende como la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión, y enfatiza que debe estar presente en todo el trabajo matemático de los estudiantes y por tanto, es eje articulador con todas las actividades matemáticas. Razonar en matemáticas tiene que ver con: • Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones. • Justicar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas. • Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos. • Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente. • Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar (MEN, p.77). Los Estándares básicos de competencias en Matemáticas 10 (2005), de forma general orientan al profesor en la promoción y desarrollo del proceso de razonamiento matemático, a partir de la construcción de situaciones de aprendizaje signicativas en los aspecto espaciales, métricos y geométricos, el razonamiento numérico, y en particular, el razonamiento proporcional apoyado en el uso de grácas (p.54), es decir, de la representación matemática. Además, que las situaciones de aprendizaje pueden aprovecharse para reconocer y aplicar tanto el razonamiento inductivo, como el deductivo. La conclusión que se deriva de estas propuestas sobre el razonamiento matemático, permite indicar que éste es parte inherente de la comprensión de conceptos y procedimientos matemáticos, sujeto a situaciones signicativas de aprendizaje que impliquen procesos matemáticos de elaboración de conjeturas, de explicaciones, argumentaciones, resolución de problemas, etc., es decir, inmerso en procesos comunicativos y de representación. Finalmente, queremos resaltar que Hiebert y Carpenter (1992) señalan que “para pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas, necesitamos representarlas de algún modo”. La comunicación requiere que las representaciones externas, toEs importante poner de relieve que el lema de los Estándares básicos de competencias en Matemáticas es potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar!; sin embargo, no se encuentra en el documento un concepto en sí, de qué es pensamiento matemático. 10
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mando la forma de lenguaje oral, símbolos escritos, dibujos u objetos físicos (…) para pensar sobre ideas matemáticas necesitamos representarlas internamente, de manera que permita a la mente operar sobre ellas. De hecho, el conocimiento matemático es solamente accesible a partir de las representaciones externas, que son los elementos para este conocimiento. Aunque todas las descripciones anteriores no son totalmente similares, parece que resaltan cuatro componentes principales del pensamiento y razonamiento matemático: (a) contenido / conocimiento matemático, (b) las operaciones mentales, junto con el comunicar y representar c) el dominio afectivo y (d) la predisposición. El contenido o conocimiento matemático se reere al concepto o tema especíco de matemáticas, que para nuestro caso es el objeto matemático razón y proporción; mientras que las operaciones mentales pueden ser ilustradas como las actividades cognitivas que la mente tiene que realizar cuando se piensa (Beyer, 1988, citado por Chap, L y Tee, H (2012)); luego, lo que se piensa se comunica y se representa de algún modo u otro. El dominio afectivo entendido como un extenso rango de sentimientos y humores (estados de ánimo) son generalmente considerados como algo diferente de la pura cognición e incluye como descriptores especícos las creencias, actitudes y emociones (McLeod, 1989, citado por Gómez, (2002)). En cuanto a la predisposición, se reere a la tendencia a la acción o predilección para pensar de cierta manera bajo ciertas circunstancias (Siegel, 1999). Ejemplos de predisposición se incluye la razonabilidad, estado de alerta a pensar y amplitud de pensamiento, así como las creencias y afectos. En vista de lo anterior, consideramos que el pensamiento y razonamiento matemático involucra las siguientes características: • la manipulación de habilidades y estrategias mentales. • está muy inuenciado por las tendencias, creencias o actitudes del pensador y razonador. • muestra la conciencia y el control de su pensamiento, como la metacognición. • se trata de una actividad que depende del conocimiento matemático. • involucra destrezas comunicativas, y • sistemas de representación. Basándonos en estas características, nos gustaría concebir el pensamiento y razonamiento matemático como una operación mental, junto con la comunicación y representación y con el apoyo de los conocimientos matemáticos, del dominio afectivo y cierto tipo de predisposición, hacia el logro del planteamiento y solución de problemas en una variedad de situaciones o contextos. Las interrelaciones entre estas variables que constituyen el pensamiento y razonamiento matemático se muestran en la Figura 29.
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Figura 29: Marco conceptual del pensamiento y razonamiento matemático
Como se muestra en la Figura 29, cada dimensión del pensamiento y razonamiento matemático están interrelacionadas y complementadas entre sí. Por esta razón, cualquier acción efectiva sobre el pensamiento y razonamiento matemático implicará la orquestación de estos cuatro componentes. La apropiación de conocimiento es la base para participar en el pensamiento y razonamiento matemático. La comprensión de los conceptos apoyará y guiará para elegir una de las habilidades y estrategias cognitivas apropiadas de acuerdo a la situación del problema. Sin embargo, en la apropiación de conocimiento se requiere explorar, investigar, buscar claridad, tomar riesgos intelectuales y pensar de manera crítica e imaginativa (Tishman, Jay &Perkins, 1993). Por lo tanto, las actitudes correctas o disposiciones hacia el logro del conocimiento son muy importantes y sirve como fuerza terrestre para ejecutar las habilidades y estrategias cognitivas en matemáticas para resolver problemas. En síntesis, para promover y desarrollar el pensamiento y razonamiento matemático en nuestros educandos, se hace necesario poner énfasis en los cuatro componentes antes señalados: el conocimiento las habilidades y estrategias cognitivas junto la comunicación matemático, y representación, el dominio afectivo y la predisposición a lacon apropiación de conocimiento. Enseguida haremos una descripción de cada una de las componentes que constituyen el pensamiento y razonamiento matemático. Procesos mentales: Como lo habíamos señalado, para (Beyer, 1988, citado por Chap, L y Tee, H (2012)) las operaciones mentales pueden ser ilustradas
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como las actividades cognitivas que la mente tiene que realizar cuando se piensa. Otros investigadores, los conciben como un conjunto de acciones interiorizadas y coordinadas que permiten la construcción comprensiva de una nueva información, de un nuevo concepto. Además, que los procesos mentales interactúan en una experiencia de aprendizaje y no se presentan aisladamente. Para la matemática se han establecido, entre otros, los siguientes procesos mentales: Inferir, inducir, abstraer, diferenciar, identicar, relacionar, percibir, observar, interpre tar, analizar, asociar, clasicar, comparar, expresar, retener, sintetizar, deducir,
generalizar y aplicar. Para efectos del presente trabajo, se han tomado los procesos mentales: ob servar,identicar,relacionar,comparar,interpretar,expresar,evaluar; los cuales se conceptualizará más adelante. El proceso de comunicación: Es claro para la comunidad de educadores matemáticos que el desarrollo de la habilidad comunicativa en los estudiantes, permitirá la formación de ciudadanos competentes y reexivos. La tendencia mundial apunta a que cada vez serán más los trabajos que requieran la capacidad de comprender, comunicar, utilizar y explicarconceptos y procedimientos basados en el pensamiento y razonamiento matemático (OCDE, 2006). Es entonces, la comunicación una parte esencial de las matemáticas y de la educación matemática. Como lo señala Arévalo (2012), es un camino para compartir y aclarar ideas matemáticas. A través de la comunicación, los conceptos y procedimientos matemáticos llegan a ser objetos de reexión, perfeccionamiento, discusión y recticación. Los Principios y Estándares para la Educación Matemática NCTM (2000, citado por Arévalo, 2012), plantea cuatro (4) propósitos de la comunicación matemática que se debe promover en los estudiantes, todos ellos en relación con el pensamiento y razonamiento matemático. Los propósitos con su respectiva descripción, se detallan a continuación: (1) El estudiante organice y consolide su pensamiento matemático a través de la comunicación: Este propósito pone énfasis en que el proceso de comunicación ayude al estudiante a dar signicado y permanencia a las ideas y conceptos matemáticos y los haga públicos. El educando desarrollará perspicacia en su pensamiento matemático cuando presente sus métodos o procedimientos al plantear y resolver problemas, justique su razonamiento a un compañero o al profesor o cuando haga preguntas sobre algo que es extraño para él. La comunicación puede apoyar el aprendizaje de conceptos o procedimientos matemáticos nuevos, cuando esceniquen una situación, dibujen, den justicaciones o explicaciones verbalmente, utilicen diagramas, escriban y usen símbolos matemáticos. Los conceptos erróneos pueden identicarse y tratarse al comunicarlos. Se sugiere que a los jóvenes se les pida que “piensen en voz alta”, y mediten las preguntas propuestas por el profesor o un compañero, y de esta manera recon-
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sideren el razonamiento matemático planteado. Por último, se señala que con la experiencia, los estudiantes lograrán ser competentes para organizar y registrar su pensamiento; (2)El estudiante comunique su pensamiento matemático adecuadamente y con cierta claridad a los compañeros, profesores y otras personas:
Este propósito pone de relieve que cuando se estimula a los estudiantes a pensar y a razonar acerca de las matemáticas y a comunicar a otros los resultados de su pensamiento, oralmente o por escrito, aprenden a ser claros y convincentes. Escuchar las explicaciones de los demás les da oportunidades de desarrollar su comprensión. Las conversaciones en las que se exploran las ideas matemáticas desde diversas perspectivas, ayudan a los participantes a compartir lo que piensan y a hacer conexiones. Cuando las ideas se exponen públicamente, los alumnos pueden beneciarse de participar en la discusión y el profesor puede orientar su aprendizaje. Cuando los alumnos practican la comunicación deberían expresarse con más claridad y coherencia y, también, apropiar y reconocer los distintos estilos matemáticos de diálogo y argumentación. Cuando progresen conceptualmente, su comunicación debería reejar una creciente serie de formas de justicar sus procedimientos y resultados; (3) El estudiante analice y evalué las estrategias de pensamiento matemático de los demás compañeros: Los alumnos que se involucran en discusiones para justicar soluciones, especialmente cuando hay desacuerdo, llegarán a una mejor comprensión matemática a medida que intentan convencer a sus compañeros sobre los diferentes puntos de vista. El proceso de resolver problemas con otros alumnos es benecioso. Con frecuencia, un alumno que tiene una manera de ver un problema puede sacar provecho de los puntos de vista de otro, que puede revelar un aspecto diferente del problema. Un buen contexto en el que pueden compartir y analizar las estrategias propias y ajenas es el de la resolución de problemas aritméticos, donde las estrategias ideadas pueden llegar a ser objeto de discusión crítica. Los alumnos deberían propender por aprender a cuestionar y probar lo que piensan otros, para así claricar las ideas poco desarrolladas. Por otra parte, ya que no todos los métodos tienen igual valor, deberían procurar examinar los métodos e ideas de los demás para determinar su potencia y sus limitaciones. Escuchando atentamente las armaciones hechas por otros y pensando acerca de ellas, los estudiantes pueden aprender a ser pensadores críticos sobre las matemáticas; (4)El estudiante use el lenguaje matemático adecuadamente para expresar ideas matemáticas: Los alumnos que tienen oportunidades,
incentivo y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de matemáticas, se benecian doblemente: (a) comunican para aprender matemáticas y, (b) aprenden a comunicar matemáticamente , puesto que esta actividad contribuye al desarrollo de un lenguaje para expresar las ideas matemáticas y a apreciar la necesidad de este lenguaje.
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El proceso de representación: No cabe duda que la representación es un aspecto fundamental en los procesos de aprendizaje y en forma especial en el aprendizaje de las matemáticas; de hecho, es parte inherente del contenido matemático y de las cogniciones asociadas a la actividad matemática, permitiendo mostrar y avanzar en la comprensión del conocimiento, tal como lo señalan Janvier y Duval: Nos inclinamos a creer que la comprensión es un proceso acumulativo basado principalmente en la capacidad de hacer frente y “siempre - enriquecedor” conjunto de las representaciones (Janvier, 1987, p. 67). No hay conocimiento queun sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación (Duval, 1999, p. 25).
En matemáticas la representación se considera una herramienta fundamental para operar sus objetos; contar con esta herramienta ofrece la posibilidad de hacer un manejo operatorio del objeto independiente de su signicado para después hacer la interpretación y la relación de los resultados (Kaput, 1987). Los conceptos matemáticos adquieren sentido completo para los estudiantes, cuando logran pasar de la parte operatoria a la comprensión del signicado de los símbolos. Una idea ampliamente aceptada al interior de los grupos de investigación en Educación Matemática es que en el aprendizaje de las matemáticas debe promoverse la comprensión. Romero (1997) caracteriza el término comprensión, partiendo de la idea de que el conocimiento se representa internamente, y de que esas representaciones internas están estructuradas. Para Hieber y Carpenter (1992) Las matemáticas son comprendidas si su representación mental es parte de una red de representaciones. El grado de comprensión viene determinado por el número y la fuerza de las conexiones. Una idea, procedimiento o hecho matemático es comprendido a fondo si se liga a redes existentes con conexiones más numerosas o más fuertes (p.67). Según estos autores, es un papel esencial el que juega la representación en el aprendizaje de la matemática. Bajo éste término, tienen cabida dos ideas diferenciadas: la representación interna de ideas matemáticas, que resultan inobservables; y la representación externa, que tiene forma de lenguaje oral, símbolos escritos, dibujos u objetos. Cuando se hace uso de la representación en la enseñanza y aprendizaje de la matemática, se debe tener en cuenta que: (a) Los objetos matemáticos no deben confundirse con la representación que se hace de ellos. Aunque las representaciones son indispensables y no pueden suprimirse lo que importa conceptualmente es el objeto matemático (Duval, 1999); (b) Las representaciones de algo por algo no se presentan de forma aislada, sino que tienen un carácter sistémico (Gunttemplan, 1994, citado en Gairin, 2001). La noción de sistema de representación, en el caso de las matemáticas, se identica como un conjunto de símbolos evaluables semánticamente y dotados de unas normas sintácticas; (c) No hay representacio172
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nes de las ideas matemáticas que tengan carácter universal; cualquiera de ellas destaca algunos aspectos del concepto, mientras que oscurece otros (Ball, 1993, citado en Gairin, 2001); (d) Representaciones diferentes sustentan diferentes formas de pensar sobre los objetos matemáticos y de manipularlos (NCTM, 2000)11; (e) Los objetos matemáticos se dejan aprehender por medio de sus representaciones (MEN12, 1998); y (f) La comprensión de un concepto matemático conlleva el dominio coordinado de dos o más sistemas de representación (Duval, 1999); mientras que la falta de coordinación entre diferentes sistemas provoca dicultades de comprensión (Castro, 1994). En cuanto al contenido/ conocimiento matemático, enseguida presentamos un estudio del objeto matemático utilizado como medio para la caracterización de la competencia pensar y razonar: razón y proporción. OBJETO MATEMÁTICO RAZÓN Y PROPORCIÓN
Para acércanos y conocer mejor este objeto matemático nos apoyamos en el Análisis Didáctico (Gómez 2002) del cual retomamos el análisis de contenido, con el n de identicar, organizar y seleccionar los signicados del tópico razón y proporción dentro del contenido de las matemáticas escolares, analizándolo desde las tres dimensiones: estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología; tal como se observa en la gura 30.
Figura 30: Dimensiones que constituyen el signicado del objeto
matemático razón y proporción.
Básicamente las tres dimensiones, se caracterizan por: Estructura conceptual: Identica los conceptos y procedimientos que caracterizan la razón y la proporción y las relaciones entre ellos. NTCM: NATIONAL COUNCIL OF TEACHER OF MATHEMATICS, Estándares Curriculares de Evaluación para la Educación Matemática. 12 MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. 11
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Sistemas de representación: Establece los sistemas de representación asociados a la razón y la proporción y las relaciones entre ellos. Fenomenología: Identicar los fenómenos que dan sentido a la razón y la proporción y los contextos, las subestructuras y las situaciones que permiten organizan dichos fenómenos. En cuanto a la estructura conceptual, es de resaltar, que alrededor de un concepto matemático (como el de razón y proporción), se conguran conceptos matemáticos asociados. Esto se pone de maniesto en la gura 31
Figura 31: Conceptos asociados a la razón y proporción.
Los conceptos, son entidades matemáticas para las cuales se puede formular una denición más o menos formal, entre los cuales tenemos (y que son de utilidad en la presente investigación) • • • • • • • •
Razón y proporción. Magnitudes directamente proporcionales. Obtención de la relación de proporcionalidad entre segmentos. Aplicación del teorema de Tales en la resolución de distintos problemas geométricos y de la vida real. Utilización de los criterios de semejanza de triángulos en distintos contextos para resolver problemas. Razón de dos segmentos. Segmentos proporcionales. Teorema de Thales. Aplicaciones.
Los procedimientos, son Técnicas, operaciones y algoritmos. 174
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• Identicación de magnitudes directamente proporcionales. • Construcción de tablas de proporcionalidad directa EL CONCEPTO MATEMÁTICO DE RAZÓN
Una de las situaciones matemáticas más frecuente en todos los tiempos ha sido, sin duda, la de relacionar dos cantidades: lo hemos hecho al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y dividirlas. En particular, al relacionarlas mediante la resta y la división, estamos comparándolas. Hay, pues, dos tipos de comparaciones entre magnitudes: las que nos permiten averiguar cuál es la mayor calculando la diferencia existente entre ambas, o bien, calculando cuántas veces la mayor contiene a la menor. En la primera situación hablamos de comparaciones o relaciones aditivas y en la segunda, de relaciones multiplicativas. En el segundo se ubica la razón, ya que: Una razón es una relación multiplicativa entre dos magnitudes o cantidades de magnitud.
Pero ¿qué es una cantidad de magnitud y una magnitud? Godino, Batanero y Roa (2002) presentan las deniciones de cantidad de magnitud y magnitud dadas en el diccionario de M. Molinier: “Magnitud es cualquier aspecto de las cosas que puede expresarse cuantitativamente, la longitud, el se peso, la velocidad, luminosidad…cantidad de cosa magnitud es elcomo aspecto por el que diferencian entre la sí las porciones de la misma o los conjuntos de la misma clase de cosas, por el cual esas porciones o esos conjuntos se pueden medir o contar” (p.615).
Otra de las acepciones encontradas a cerca de magnitud las interpreta como “un conjunto sobre el cual se puede denir un álgebra. Esto es, una magnitud es un conjunto sobre el cual, a partir de una relación de equivalencia, se denen clases de equivalencia (cada clase de equivalencia es una cantidad de magnitud), y sobre estas clases de equivalencia se dene un orden y una ley de composición interna. Posteriormente, sobre la denición de una métrica (una función medida), se establece una ley de correspondencia que asigna a cada clase de equivalencia un único número real (bajo la respectiva función medida). Por su parte, el concepto de cantidad “se toma en un sentido más general que el de magnitud. Si se quiere, se un puede asumir con una respecto cantidad acomo unasepropiedad, característica, medible sobre fenómeno, la cual puede ordenar, contar o medir, y sobre la cual, en general, en el sentido, amplio, no se requiere el recurso a los números. En particular, los números y las magnitudes son cantidades” (Obando, et al., 2009, p. 10) Freudenthal, 1983, designa a las razones como entidades numéricas vinculadas a las proporciones y hace referencia al estatuto lógico de razón como una
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función de pares ordenados de números o valores de magnitud, marco en el que tienen una relación de equivalencia. Señala que en la enseñanza es preciso tomar en cuenta a las razones internas y a las razones externas, deniendo a las primeras como relaciones establecidas entre distintos valores de la misma magnitud y a las segundas, como relaciones entre valores de diferentes magnitudes. RAZONES O FRACCIONES
Siempre en las matemáticas escolares se ha tenido la confusión de si una fracción es una razón y/o si una razón pertenece a la estructura de los números racionales; los siguientes ejemplos, propuestos por Godino, J. D. y Batanero, C. (2003), aclaran estas dicultades.
El hecho de que en las razones se reeran a cantidades de magnitudes medibles, cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones: • Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3. Según esto la razón euros designar no es una fracción. • 3Lasjamones/145 razones se pueden mediante símbolos distintosde las fracciones. La razón 4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4/7. En estas magnitudes es posible distinguir entre magnitudes extensivas (Schwartz, 1988) y magnitudes intensivas. Las primeras son aquellas surgidas directamente de los procesos de medir o contar y poseen la característica de ser sumables, dicho en otras palabras, la cantidad de magnitud de un objeto compuesto de partes se obtiene agregando las cantidades de cada parte (Godino, et al., 2002). Las segundas son denidas, desde el punto de vista de la física, como aquellas cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema o como aquellas cuyo valor no cambia al subdividir el sistema inicial en varios subsistemas (partes), como porenejemplo la temperatura, la densidad o la presión de un sistema termodinámico equilibrio. En este caso, estas magnitudes poseen la cualidad adicional de no ser sumables, al menos en el sentido usual de los números enteros.
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SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
Los sistemas de representación de la razón y la proporción son los siguientes: Simbólico:
5:7
5/7
Verbal:
Cinco es a siete
Tabular
Gráco
FENOMENOLOGÍA DE LA RAZÓN Y PROPORCIÓN
El término fenomenología en el contexto de la didáctica de la matemática se hereda de la contraposición losóca de los términos “noúmeno” y “fenómeno”. Tal contraposición, propia de la reexión losóca, la establece Freudenthal en las matemáticas, entre los objetos matemáticos constituidos en conceptos que serían noúmenos y las situaciones que estos objetos matemáticos organizan , que serían los fenómenos (Puig, 1997). En este sentido, Puig interpretando el trabajo de Freudenthal, concibe que los objetos matemáticos son medios de organización de situaciones en diversos contextos y la relación que existe entre ellos, la denomina análisis fenomenológico. En igual sentido, arma que cuando se presta atención a la relación entre el objeto matemático y los fenómenos que tienen a este como medio de organi-
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zación en el proceso de enseñanza y aprendizaje se denomina fenomenología didáctica; es decir, cuando los fenómenos que se toman en consideración en la enseñanza y aprendizaje de un tópico matemático son los que están presentes en el mundo y contexto en que viven los alumnos del sistema escolar. Desde nuestro tópico matemático, una visión fenomenológica de la razón y proporción, desde el punto de vista didáctico, nos conduce a la diversidad de usos y signicados, tanto en el mundo escolar como en el mundo real, maniesta la potencialidad del concepto en diversos contextos y situaciones y, en consecuencia, nos conduce a las diferentes interpretaciones del objeto matemático analizado, como también, nos p ermite hacer hipótesis sobre determinados ob jetos mentales precursores en la constitución de la razón, proporción y proporcionalidad. De esta manera el análisis fenomenológico se convierte en una ayuda para la planicación, y organización de secuencias didácticas que conllevan a un aprendizaje signicativo. Desde esta perspectiva, la razón y proporción en su gran riqueza de uso presentan una multiplicidad de fenómenos para los cuales estos son el medio de organización y generalización. Para el caso especíco de esta investigación se tomara la fenomenología en la cotidianidad, y en la matemática misma; de una manera muy sucinta señalaremos algunos de estos fenómenos. EN LA COTIDIANIDAD
Corresponde a la descripción de los fenómenos de la cotidianidad, entendidos como actividades o prácticas sociales comunes y corrientes, para los que el concepto de razón es el medio de organización y generalización. Antonio M. Oller en un estudio de la proporcionalidad aritmética plantea que muestras de la gran importancia práctica cotidiana de la razón y proporción son los vestigios de su uso en los textos más antiguos matemáticos que presentan los siguientes problemas: problemas relacionados con intercambios (de mercancías, compra-ventas, y cambio de divisas), problemas relacionados con repartos, problemas relacionados con préstamos, problemas relacionados con mezclas y aleaciones. Por cuestiones de espacio solamente presentamos la rebaja de mercancías. Rebajas en mercancías: Los supermercados utilizan las promociones como estrategias de mercadeo, se presentan ofertas de tipo: pague dos y lleve tres, lo que nos muestra la razón entre el precio y cantidad.
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EN LA MATEMÁTICA Razón: El cociente indicado o comparación entre dos magnitudes. Ejemplo. Por cada 2 partidos que juega Falcao en la selección Colombia, mete 3 goles.
Proporción: Se denomina así, a la igualdad de dos razones. Con relación a la razón anterior podemos deducir que si Falcao conserva la misma razón entre el número de partidos jugados y el número de goles anotados, cuando haya jugado 12 partidos habrá anotado 18 goles.
TEOREMA DE THALES
La noción de proporción viene asociada desde la antigüedad con la idea de precisar cuantitativamente la noción de semejanza, la cual bajo la forma del teorema de Thales (636 a 546 a de C.) tiene sus antecedentes en la de comparar cosas de la misma especie, de hallar sus razones, es decir, de querer medir sus magnitudes. Las longitudes son magnitudes muy importantes, ya que dan un modelo para un tipo de magnitudes llamadas magnitudes lineales. La magnitud longitud viene determinada deniendo por superposición, sobre las clases de segmentos iguales, la suma y ordenación. El teorema de Thales nos permite demostrar que existe una correspondencia biunívoca que conserva la suma y el orden de dichas magnitudes (Fiol & Fortune, 1990). El teorema de Thales dice: si se traza un conjunto de rectas paralelas entre sí, a, b, c,…que cortan a otras dos rectas r y s, lo segmentos que se determinan sobre las rectas r y s son proporcionales.
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EL MODELO TEÓRICO A PRIORI
Concebimos el pensamiento y el razonamiento matemático (que constituye una competencia matemática) como una operación mental que, junto con la comunicación, la representación, el apoyo de los conocimientos matemáticos, del dominio afectivo y cierto tipo de predisposición, se constituyen en potentes apoyos para el planteamiento y solución de problemas en una variedad de situaciones o contextos. Se hacen estos planteamientos en el marco de la naturaleza de la competencia matemática que plantean D’Amore, Godino & Fandiño (2008), la competencia matemática es un concepto complejo y dinámico. Complejo porque involucra dos componentes interactuantes e inseparables como expresiones no únicas de la competencia: el uso (de naturaleza exógena) y el dominio (de naturaleza endógena) en la elaboración cognitiva, interpretativa y creativa de conocimientos matemáticos que relacionan contenidos diferentes. Dinámico, porque engloba no solo conocimientos matemáticos, sino también factores metacognitivos, afectivos, de motivación y volición que en la mayoría de veces, es el resultado de conocimientos diversos interconectados.
Es decir, en el desarrollo de competencias matemáticas por parte de los estudiantes intervienen tres aspectos: el Cognitivo: conocimiento de la disciplina (la matemática); el afectivo: disposición, voluntad, deseo de dar respuesta a un requerimiento (situación problemica, tarea o problema); y la tendencia de acción: persistencia, continuidad y dedicación (D’Amore, Godino & Fandiño, 2008, p.44); aspectos tratados en la conceptualización de pensamiento y razonamiento matemático, y que servirán de base para el diseño del Modelo Teórico A priori de la competencia matemática Pensar y razonar. En este sentido, en la gura 32 se presenta una conceptualización (establecida por parte de los autores de este trabajo), sobre la competencia matemática objeto 180
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de estudio: Pensar y Razonar, y sobre sus aspectos asociados desde la perspectiva de D’Amore, Godino & Fandiño (2008), en el marco del Modelo13 Teórico A Priori (MTAP).
Figura 32: Aspectos asociados a la competencia matemática en el MTAP
La anterior perspectiva, se complementa con Solar (2009), quien señala que una competencia matemática está compuesta por tareas, procesos matemáticos y niveles de complejidad. En tal sentido, nuestro Modelo Teórico A Priori, lo componen los siguientes elementos representativos: • Aspectos asociados a la competencia matemática a la Competencia Matemática Pensar y Razonar. • Los procesos matemáticos asociados a los aspectos de la Competencia Matemática Pensar y Razonar. • Tareas matemáticas que involucran aspectos del contenido matemático razón y proporción. • Niveles de complejidad de las tareas matemáticas, que involucran la razón y proporción. En cuanto al primer componente, la gura 32 resalta los aspectos asociados a la competencia matemática: cognitivo, afectivo y tendencia de acción; veamos una breve descripción de cada uno de ellos.
En el presente trabajo no se conceptualiza sobre el término modelo, dado que enapartados precedentes del libro ya se realizó. 13
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El aspecto cognitivo. En el aspecto cognitivo se pone de relieve el conocimiento del objeto matemático razón y proporción con sus tres componentes, que según Rico (2012) determinan el signicado de un concepto. Los sistemas de representación, denidos por los conjuntos de signos, grácos y reglas que hacen presente dicho concepto y lo relacionan con otros. La estructura conceptual, que comprende conceptos y propiedades, los argumentos y proposiciones que se derivan y sus criterios de veracidad. La fenomenología, que incluye aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que están en el origen del concepto y le dan sentido. (p. 52-53)
Los sistemas de representación, la estructura conceptual y fenomenología de la razón y proporción fueron descritos en el apartado anterior. EL ASPECTO AFECTIVO
El componente dinámico de la competencia pone de maniesto que la base de la competencia es disciplinar, pero sus contenidos no movilizan totalmente el desarrollo de la misma. De hecho, el carácter transversal de los contenidos matemáticos desborda la disciplina integrando factores metacognitivos, afectivos, de motivación y volición. No existe competencia matemática puramente disciplinaria (D’Amore, Godino & Fandiño, 2008). El factor afectivo es reconocido por la comunidad de educadores matemáticos como esencial en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; por ello, establecer una conceptualización sobre el afecto o el dominio afectivo ha sido un problema persistente en educación Matemática (Gómez, 1997). Para Krathwohl, Bloom y Masia (1964, citados en Gómez, 1997), el dominio afectivo incluye actitudes, creencias, apreciaciones, gusto y preferencias, emociones, sentimientos y valores. En esta misma línea, McLeod (1989, citado en Gómez, 1997) conceptualiza que el dominio afectivo es “un extenso rango de sentimientos y humores (estados de ánimo) que son generalmente considerados como algo diferente de la pura cognición “(p.44). Sin embargo, hay que resaltar que la tendencia en la investigaciones en Educación Matemática, es el no desligar la cognición de lo afectivo, tal como se pone de maniesto en la presente investigación. McLeod (1989, citado en Gómez, 1997), termina señalando que los indicadores especícos del aspecto afectivo son las creencias, actitudes y emociones. Finalmente, y en aportes teóricos más recientes, D´Amore, Fandiño y Díaz Godino (2008), al conceptualizar sobre el aspecto afectivo enfatizan en la disposición, la voluntad y el deseo que maniesta el estudiante a dar respuesta a solicitudes de conocimiento que pueden ser externas o internas. El MTAP para la competencia matemática Pensar y Razonar acoge el anterior concepto y focaliza su atención en la Predisposición, término el cual se precisará más adelante.
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LA TENDENCIA DE ACCIÓN
D´Amore, Fandiño y Godino (2008), maniestan que la tendencia de acción implica la necesidad del estudiante de involucrarse en la construcción de su propio conocimiento. De hecho, fuera de sentirse motivado a realizar las actividades, debe expresar voluntad para implicarse en ellas y mostrar sus conocimientos anteLanuevas situaciones. tendencia de acción se asume como: propensión, inclinación, preferencia, predilección, predisposición, querencia del ser humano de manera natural a realizar cualquier actividad; Idea u opinión que se orienta hacia una dirección determinada; Inclinación o disposición natural que una persona tiene hacia una cosa determinada. El sólo término tendencia es denido como la preferencia hacia el logro de determinados nes. Ahora bien, para la psicología la palabra tendencia es denida como la fenomenología del desear humano, es utilizada para describir el dinamismo que ofrece las motivaciones de base a la conducta humana y que son la manifestación dinámica de las inclinaciones naturales humanas a nivel de la actividad psicológica. Posee cuatro notas características: (1) Son un reejo psicológico de la ley vital de la comunicación entre la persona y el mundo y se maniesta como un décit acompañado de inquietud que deseamos superar a través de la acción; (2) Se experimentan como un movimiento que va desde el estado de necesidad del que se quiere salir hacia el estado de satisfacción;(3) La tendencia apunta hacia una meta. Si la tendencia se propone como un “buscar algo”, la meta es ese “algo” que se busca. Esa meta representa un valor, un bien en el sentido amplio del término, porque responde a una necesidad;(4) La tendencia tiene siempre el carácter de algo dado. Desde esta perspectiva, es claro que la tendencia, en su conjunto, propende por el desarrollo y la plena realización del hombre. PROCESOS ASOCIADOS A LOS ASPECTOS DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR
La gura 33, muestra los procesos matemáticos ligados a los aspectos de la competencia matemática Pensar y Razonar, denidos en el Modelo Teórico A Priori.
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Figura 33: Procesos asociados a los aspectos de la CMPR en el MTAP
PROCESOS ASOCIADOS AL ASPECTO COGNITIVO Procesos mentales: un proceso mental es una actividad cognitiva que la mente tiene que realizar cuando se piensa. En tal sentido, para el presente trabajo se han establecido los siguientes procesos mentales, con su respectiva descripción desde la mirada de la investigación en educación Matemática: Observar: Es tomar conciencia, prestar atención y vigilancia a un objeto movido por un propósito denido; Identicar: Reconocer las características propias de los objetos matemáticos; Relacionar: Es la acción de relacionar una cosa con otra, vincular conceptos, unir ideas entre sí; Comparar: Es establecer semejanzas, diferencias y relaciones en 184
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
dos series de datos, sacando conclusiones pertinentes; Interpretar: Es explicar el signicado de algo; Expresar: Es manifestar lo que se quiere dar a entender en forma clara y explícita; Aplicar: Hacer uso de una cosa o ponerla en práctica para conseguir un n determinado. Los otros dos procesos, representación y comunicación que hacen parte del aspecto cognitivo, ya fueron tratados en detalle en un apartado anterior. PROCESO ASOCIADO AL ASPECTO AFECTIVO Predisposición
Son escasas las investigaciones en la literatura investigativa sobre el aspecto afectivo y de la predisposición como proceso en el desarrollo de las competencias matemáticas. En un rastreo sobre su signicado se encuentra que: (a) es una inclinación o actitud que se tiene hacia la realización de algo; (b) es un concepto vinculado a predisponer, un verbo que reere a la disposición anticipada de alguna cosa; (c) es un concepto asociado a la intención o voluntad de un sujeto. La predisposición, por lo tanto, es el proceso y el resultado de predisponer.
PROCESO ASOCIADO A LA TENDENCIA DE ACCIÓN Persistencia
Con este proceso, se presenta una situación similar que el anterior, en cuanto a la escasa investigación en Didáctica de las Matemáticas; por tanto, según la Real Academia Española de la lengua, perseverar es de persistencia. Perseverar es: (a) Mantenerse constante en la prosecución de lo comenzado, en una actitud o en una opinión.; (b) durar permanentemente o por largo tiempo. Lo que signica entonces, que la persistencia hace alusión a mantener constancia al momento de llevar a cabo una actividad o un objetivo trazado. Siguiendo a García (2011), un estudiante se muestra perseverante cuando a pesar de los obstáculos y adversidades que encuentra en el camino continúa con sus proyectos. Desde esta el perspectiva, la persistencia como un adeproceso continuo que realiza estudiante concebimos en la resolución de una tarea, y que más no la abandona hasta encontrar una solución que considera correcta.
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DESCRIPTORES ASOCIADOS A LOS COMPONENTES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR
La gura 34, muestra los descriptores asociados a los componentes de la competencia matemática pensar y razonar. En el presente Modelo Teórico A Priori, los descriptores son concebidos como expresiones verbales escritas, relacionadas con la esencia del correspondiente proceso y que tiene como n contribuir a describir las actuaciones de los estudiantes en las diferentes tareas que se le proponen. Los descriptores han sido rotulados teniendo en cuenta su relación con el proceso y su ubicación numérica, por ejemplo (DM1), se lee como descriptor 1 asociado al proceso matemático mental. Por tanto, si emerge un nuevo descriptor durante la recolección de información, el rotulo tendrá en su inicio una DE.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Figura 34: Descriptores asociados a los procesos de la CMPR en el MTAP
TAREA Y ACTIVIDAD MATEMÀTICA
Las tareas matemáticas es una propuesta de acción que los maestros plantean a sus estudiantes para el aprendizaje de las matemáticas. Ellas dan información sobre el signicado de determinados conceptos y dirigen su atención hacia un dominio matemático particular. En este sentido, pretendemos que a partir de la construcción de tareas signicativas, se promueva procesos matemáticos y se
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desarrolle actividad matemática de aprendizaje para caracterizar la competencia Pensar y Razonar. Las tareas propuestas a los estudiantes, las ubicamos en los anexos 1,2 y 3. De acuerdo con Goñi (2009), la tarea es el elemento que permite construir el nexo comunicativo entre los docentes y los estudiantes, es decir, que el binomio tarea más actividad es el elemento por medio del cual se puede realizar la inducción del conocimiento matemático. Esto signica que la tarea es el proceso de interacción dialógica entre docente y estudiante, el docente planica la tarea y los estudiantes la transforman en las actividades allí propuestas. Sin embargo, para que el binomio tarea más actividad alcance procesos armónicos en el aprendizaje del objeto matemático razón y proporción se debe tener en cuenta las diferentes condiciones o situaciones que ofrece el contexto en el que se desarrollan los procesos de enseñanza y aprendizaje. Los investigadores en Educación Matemática recalcan la Importancia del Contexto en el aprendizaje de la Matemática. Según Solar (2009) por contexto nos referimos a la situación en que la actividad matemática es situada: El contexto atribuye signicado: desarrollar actividades en contexto permite a los estudiantes atribuir signicado a las nociones matemáticas en juego, de que estén cercanos a la realidad y que puedan resolver problemas, en los cuales puedan imaginar; es decir, atribuir signicado para desarrollar ideas, conceptos o situaciones a trabajar en un referente conocido. Por tanto la función de las actividades en contexto consiste en servir como referente. En este sentido, el contexto tiene una función de ser motivador para el aprendizaje (Solar, 2009).
El contexto es un aspecto importante para que las situaciones de enseñanza, diseñadas por parte del maestro a través de las tareas, y el aprendizaje, por parte de los estudiantes a partir de su actividad matemática, se desarrollen con mejores niveles de calidad. Por lo tanto, el entorno social y natural será un espacio ideal para que los estudiantes logren hacer todo tipo de representaciones: tabulares y grácas que les permita identicar, relacionar, comparar, interpretar, expresar, etc. De esta manera, de acuerdo con los Lineamientos curriculares de matemáticas, el contexto tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que les dan sentido a las matemáticas que aprende. Variables como las condiciones sociales y culturales tanto locales como internacionales, el tipo de interacciones, los intereses que se generan, las creencias, así como las condiciones económicas del grupo social en el que se concreta el acto educativo, deben tenerse en cuenta en el diseño y ejecución de experiencias didácticas. Como la tarea determina lo que los estudiantes pueden llegar a aprender, entonces el contexto debe ofrecer las condiciones sucientes para que ellos aprendan, como dice Goñi (2009): “si los conocimientos previos son los adecuados, 188
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
si la motivación es la debida, si la ayuda, los medios materiales, las condiciones ambientales son apropiadas, es de esperar que el aprendizaje se produzca y se induzca el conocimiento.” En la gura 35, se puede observar las tareas propuestas en el Modelo Teórico A Priori
Figura 35: Tareas propuestas a los estudiantes en el MTAP
COMPLEJIDAD EN LAS TAREAS MATEMÁTICAS
Para Goñi (2009), el creciente nivel de complejidad entre las tareas se relaciona de manera directa con exigencias cognitivas involucradas en aprendizaje del objeto matemático (en este caso razón y proporción), exigencias que aumentan en la medida que se avanza en su conocimiento.
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En el presente Modelo Teórico A Priori, y para el creciente nivel de complejidad en las tareas, se ha tomado los tres niveles de complejidad trabajados por el proyecto Pisa, que son: Primer nivel: Reproducción y procedimientos rutinarios. En este primer nivel de complejidad los alumnos saben responder a preguntas planteadas en contextos familiares, donde está presente toda la información pertinente y las preguntas están denidas claramente. Son de este nivel aquellos ejercicios que exigen básicamente la reiteración de los conocimientos practicados, como son las representaciones de hechos y problemas comunes, recuerdo de objetos y propiedades matemáticas familiares, reconocimiento de equivalencias, utilización de procesos rutinarios, aplicación de algoritmos, manejo de expresiones con símbolos y fórmulas familiares, o la realización de operaciones sencillas. Segundo nivel: Conexiones El nivel de conexiones permite resolver problemas que no son simplemente rutinarios, pero que están situados en contextos familiares o cercanos. Plantean mayores exigencias para su interpretación y requieren establecer relaciones entre distintas representaciones de una misma situación, o bien enlazar diferentes aspectos con el n de alcanzar una solución. Los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que sólo requieren una inferencia directa. Saben extraer información pertinente de una sola fuente y hacer uso de un único sistema de representación. Tercer nivel: Reexión En este último nivel de complejidad se movilizan competencias que requieren cierta comprensión, reexión y creatividad por parte del estudiante, para identicar conceptos o enlazar conocimientos de distintas procedencias. Las tareas de este nivel requieren competencias más complejas, implican un mayor número de elementos, exigen análisis de diferentes estrategias posibles, invención de sistemas de representación no usuales, generalización y explicación o justicación de los resultados. La gura 36, muestra los niveles de complejidad de las tareas matemáticas en el Modelo Teórico A Priori
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Figura 36: La complejidad de las tareas en el MTAP
APLICACIÓN DEL MODELO TEÓRICO A PRIORI Y CARACTERIZACIÓN DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR
El MTAP diseñado se implementó en una investigación cualitativa realizada por Bornachera y Torres (2013). En ella se adoptó el estudio de caso14como mé14 El estudio de caso es un método de investigación utilizado por las Ciencias sociales.Los investigadores señalan que sus raíces se encuentran en los estudios de campo de los etnógrafos y en los análisis históricos, y lo denen como como una forma de organización que emerge de la investiga ción misma, o, un derivado de los constructos teóricos, ideas y conceptos que emergen del estudio de instancias o acontecimientos similares. 191
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todo de investigación, y se jó como objetivo diseñar e implementar un Modelo teórico A Priori para lograr una caracterización de la competencia matemática Pensar y razonar asociada al objeto matemático razón y proporción. El MTAP fue puesto en marcha con cuatro estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Ciudadela Siglo XXI, de la ciudad de Florencia, Caquetá. La población estudiantil de esta institución es considerada población vulnerable, dado que son familias desplazadas por la violencia, con un nivel educativo bajo y su sustento económico se basa en el “rebusque diario”. La recolección de la información sobre las actuaciones de los estudiantes en sus aspectos cognitivos, afectivos y de tendencia de acción en actividad matemática de aprendizaje en torno a la razón y proporción se hizo en sesiones de clases; en este sentido, – y al asumir los estudiantes las tres tareas propuestas- dicha información se obtuvo de observaciones directas en el aula de matemáticas, notas de campo (cuaderno y hojas de trabajo de los estudiantes; agenda de los docentes) y videograbaciones. Cabe resaltar, que los datos producidos, su interpretación y análisis, de acuerdo con los referentes teóricos y conceptuales asumidos, se constituyen en el principal soporte para la caracterización de la competencia matemática Pensar y Razonar. Los resultados obtenidos se presentan a continuación. SESIÓN 1 Y TAREA MATEMÁTICA 1A
Esta primera sesión corresponde a las participaciones de los cuatro (4) estudiantes al resolver las tareas o situaciones problema: los tarros de pintura (T1A) y la altura del árbol (T1B), correspondiente al nivel de complejidad 1: reproducción, en el cual se ponen en juego sus habilidades de pensamiento para la comprensión y aplicación de conocimientos practicados, reconocimiento de equivalencias, utilización de procesos rutinarios, aplicación de algoritmos y la realización de operaciones sencillas. La gráca 1, muestra el proceder del estudiante uno (E1), con respecto a la tarea ((T1A)
Gráca 1. Procedimiento realizado por el E1 en la T1A. Tomado de Bornachera y
Torres (2013)
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
La T1A, plantea que Juanito con 15 tarros pequeños de pintura, pintó 18 sillas del salón de clase de su colegio.; sin embargo, tiene escrito 5 tarros y 6 sillas. Profesor: ¿Por qué escribes 5 tarros y 6 sillas? ¿De dónde sacas esos valores? E1: Profe... Si con 15 pintó 18, entonces con 5 pinta 6 Profesor: Ahhh… Explícanos un poco mejor eso E1: 15 dividido 3 da 5; 18 dividido 3 da 6… con 5 tarros se pintan 6 sillas; multiplico 5 por 5 y me da 25, y 6 por 5 y me da 30. Profesor: ¿Entonces? E1: pinta 30 sillas Profesor: ¿quién? E1: Juanito
E1, además de identicar las magnitudes que intervienen en la tarea (tarros y sillas), de relacionarlas matemáticamente y compararlas, ha hecho uso de un proceso que no fue contemplado en el MTAP: simplicar, es decir, un proceso emergente producto de su actividad matemática de aprendizaje. E1 a la razón 15 es a 18, la ha simplicado, obteniendo por medio de la división 5 es a 6, siendo probable optar por esta relación porque es más fácil, calcular la cantidad de sillas que pinta Juanito con los 25 tarros. La representación utilizada por E1, y la forma de expresarse le ayudó a dar signicado y permanencia a su idea de proporcionalidad, de tal manera que los hizo públicos ante su grupo de compañeros. Profesor: Veo que has utilizado otro procedimiento para solucionar la tarea. E1: si profe… Profesor: cuéntanos… E1: Ehh… realizado una proporción Profesor: Explícanos que quieres decir con he realizado una proporción. E1: Si una proporción… E1: multiplique los extremos y los medios… dividí… y me dio treinta.
Gráco 2. Segundo Procedimiento realizado por el E1 en la solución de la T1A.
Tomado de Bornachera y Torres (2013).
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E1, recurre a aplicar el algoritmo para solucionar proporciones, cuando hace falta uno de los términos; sin embargo, no es claro el por qué plantea la proporción. El procedimiento uno utilizado por el E1, también fue utilizado por el estudiante cuatro (E4). Dicho procedimiento se muestra en el siguiente gráco.
Gráco 3. Procedimiento realizado por el E4 en la T1A. Tomado de Bornachera y
Torres (2013)
Sin embargo, en el segundo procedimiento, omite la escritura de la proporción.
Gráco 4. Segundo Procedimiento realizado por el E4 en la solución de la T1A. Toma-
do de Bornachera y Torres (2013).
El estudiante dos (E2), resuelve la T1A de dos formas, la primera de la misma manera que los estudiantes E1 y E4; no obstante, el segundo procedimiento diere de los estudiantes señalados.
Gráco 5. Procedimiento realizado por el E2 en la T1A.
Tomado de Bornachera y Torres (2013) Profesor: Veo que has utilizado un segundo procedimiento (diferente a las de tus compañeros) en la solución de la tarea. Cuéntanos.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
E2: Como con 5 tarros se pintan 6 sillas, con 10 se pintan12, con 15 se pintan 18… con… Profesor: Entonces, con 25 tarros, ¿Cuántas sillas pinta? E2: 30 tarros, profe…
Gráco 6. Segundo Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T1A. Toma-
do de Bornachera y Torres (2013).
El procedimiento de E2, se basa en construir equivalencias entre razones la cual se obtiene amplicando la razón 5 es a 6, por 2; luego por 3; después por 4, y así sucesivamente…El proceso de amplicar tampoco fue contemplado en los procesos inherentes a la competencia Pensar y Razonar, se constituye en un proceso emergente. Es de resaltar que E2 utiliza una tabla (representación tabular) para presentar información relacionada con la proporcionalidad entre la cantidad de tarros de pintura y la cantidad de sillas, y expresa dicha proporcionalidad de forma verbal y por escrito. El estudiante hace uso de de sillas. la representación tabular, relacionando la cantidadtres de (E3), tarros,también con la cantidad El proceso utilizado por E3 se observa en el siguiente gráco.
Gráco 7. Procedimiento realizado por el E3 en la solución de la T1A.
Tomado de Bornachera y Torres (2013).
SESIÓN 1 Y TAREA MATEMÁTICA 1B
La graca 8, muestra el proceder del estudiante uno (E1), con respecto a la tarea ((T1B)
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Gráco 8. Procedimiento realizado por el E1 en la solución de la T1B.
Tomado de Bornachera y Torres (2013). Profesor: ¿Qué observas en el dibujo que realizó Sebastián? E1: Un pino (de altura que no sabe Sebastián), el cual da una sombra, más lejos una vara que da una sombra de 2m Profesor: Entonces, de acuerdo a los que me acabas de decir, escribes altura del árbol es a su sombra como… E1: si profe... Interviene E2 E2: el pone eso, pero tiene que decir que es proporcional Profesor: ¿Qué es proporcional, E2? E2: La altura del árbol con su sombra… la altura del pino es a la sombray la altura de la vara¿Estás es a lade sombra de la Profesor: acuerdo convara lo acaba de expresar tu compañero? E1: Ehh…si Profesor: ¿Por qué? E1: si... profe E1: no se conoce la altura del árbol, coloco x que signica incógnita, la pongo sobre la sombra que es 10; multiplico x por 2 y 10 por 3 que da 30; utilizamos la ecuación multiplicativa para hallar a la incógnita y utilizamos la ley de los extremos igual al producto de los medios para todo.
A pesar que E1 posee errores en el proceso algorítmico, es de destacar que expresa sus ideas (pensamiento) y razonamientos de manera clara y organizada; así mismo identica y relaciona matemáticamente las magnitudes que se involucran en la tarea, de acuerdo con el modo como el comprende la proporcionalidad. E2, nuevamente interviene y plantea una forma más sencilla y corta de solucionar la tarea: Dicho proceso se muestra en la gráca 9.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Gráco 9. Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T1B. Tomado de
Bornachera y Torres (2013). Profesor: Explícanos tu procedimiento E2: Profe…Por cada 3m de alto hay dos de sombra, entonces... (Procede a realizar una tabla). Profesor: Disculpa… que te lleva a armar lo que acabas de decir. E2: por lo que mide la vara y la sombra… Profesor: ¿sombra de la Vara? E2: si profe… (Contesta mientras llena la tabla) E2: (luego de llenar la tabla) divido 15 en 5,3; 10 en 5, 2 Profesor: Entonces, el árbol mide 15m E2: si, profe
Para E2, su punto de partida para establecer la proporcionalidad entre las magnitudes es la longitud de la vara y la sombra que reeja. Esto lo apoya, con la representación tabular. El estudiante tres (E3), expresa de forma verbal y escrita, el proceso matemático llevado a cabo para colaborarle a Sebastián a encontrar la altura del árbol, tal como se observa en el gráco 10
Gráco 10. Procedimiento realizado por el E3 en la solución de la T1B.
Tomado de Bornachera y Torres (2013).
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El estudiante cuatro (E4), hace uso de la representación tabular, relacionando las magnitudes altura y base, lo que da a entender que los dos grácos (el A) y el B) los relaciona con dos triángulos rectángulos, y que entre sus alturas y su bases se establece una equivalencia. El proceso utilizado por E3 se observa en el siguiente gráco.
Gráco 11. Procedimiento realizado por el E4 en la solución de la T1B. Tomado de
Bornachera y Torres (2013).
SESIÒN 2 Y TAREA MATEMÁTICA 2
Esta segunda sesión corresponde a las actuaciones de los cuatro (4) estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Ciudadela Siglo XXI al resolver la tarea: Las frutas (T2), correspondiente al nivel de complejidad 2: conexión, en el cual se requiere un poco de mayor exigencia para su interpretación; demanda que los estudiantes establezcan relaciones entre distintas representaciones de una misma situación, o bien, relacionar diferentes aspectos con el n de alcanzar una solución. Los cuatro estudiantes (E1, E2, E3 y E4) utilizaron la representación tabular y gráca con dos propósitos: (1) presentar información relacionada con la proporcionalidad entre la cantidad de naranjas y manzanas; y la cantidad de manzanas y mangos; (2) establecer relaciones entre distintas representaciones pertenecientes a una misma problemática. El procedimiento realizado por los estudiantes se presenta en los siguientes grácos. Observemos la explicación que da uno de ellos a dicho proceso
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Gráco 12. Procedimiento realizado por el E1 en la solución de la T2. Tomado de
Bornachera y Torres (2013). Profesor: Según el enunciado de la tarea, ¿Qué frutas hay en el recipiente de María? E1: Naranjas, manzanas y mangos. Profesor: Entonces, por eso tu tabla tiene tres columnas. E1: Si, profesor Profesor: Por qué, si en el graco tienes dibujado y escrito por cada 5 manzanas hay 2 mangos, en la tabla tienes en la primera la 10 manzanas y 4 mangos E1: Como hay 5 manzanas por 2 mangos, entonces habrá 10 manzanas por 4 mangos… 5x2=10; 2x2=4 Profesor: Ahhh… ¿Obtienes una razón equivalente? E1: si profe… Profesor: ¿y para qué? E1: Para que las naranjas aumenten de 5 en 5, las manzanas de 10 en 10 y los mangos de 2 en 2.
En general, fue el mismo proceder de los restantes estudiantes
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Gráco 13. Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T2. Tomado de
Bornachera y Torres (2013).
Gráco 14. Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T2. Tomado de
Bornachera y Torres (2013).
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Gráco 15. Procedimiento realizado por el E1 en la solución de la T2. Tomado de
Bornachera y Torres (2013).
SESIÒN 3 Y TAREA MATEMÁTICA 3
Esta tercera sesión corresponde a las actuaciones de los cuatro (4) estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Ciudadela Siglo XXI al resolver la tarea: Los contes (T3), correspondiente al nivel de complejidad 3: reexión, en el cual se requiere la reexión por parte del estudiante, así como creatividad a la hora de identicar los elementos matemáticos que se involucran en la tarea y establecer interrelaciones. El procedimiento realizado por E1, se observa en el siguiente gráco.
Gráco 16. Procedimiento realizado por el E1 en la solución de la T3.
Tomado de Bornachera y Torres (2013).
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Profesor: ¿por qué en tu tabla, aparecen solamente contes vendidos y utilidad? E1: profe…en el enunciado yavemos que se gana un conte, $125 Profesor: Pero en la tabla escribiste 3, no uno; además, de dónde salen los $125. E1: 500 dividido 4 Profesor: Ahhh… los 4 que compra. E1: sí Profesor: Entonces, cada conte sale a $125, o me equivoco. E1: no se equivoca Profesor: volviendo a la tabla, porque tienes 3 al comienzo y no 1. E1: porque cuando vende 3, ya se está ganando $125, y en 30, $1250, y así…
Interviene E2, Profe, yo quiero explicar cómo lo hice. E2: Compra 4 por $500, y escribe la razón 4/500; vende 3 en $500, y escribe la razón 3/500 E2: si... Profesor: si… prosiga E2: si con doce contes que compra al venderlos obtiene una ganancia de 500 con 24 gana 10.000… (Seguidamente escribe la proporción yelabora una tabla)
Es interesante la estrategia utilizada por E1, y del cómo su representación tabular muestra su predisposición a utilizar estrategias creativas en la solución de la tarea que involucra una relación multiplicativa
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Gráco 17. Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T2. Tomado de
Bornachera y Torres (2013).
Las grácas 18 y 19muestran el proceso llevado a cabo por estudiantes E3 y E4
Gráco 18. Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T2. Tomado de
Bornachera y Torres (2013).
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Gráco 19. Procedimiento realizado por el E2 en la solución de la T2.
Tomado de Bornachera y Torres (2013).
PRIMERAS CONCLUSIONES
1. La actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes del grado séptimo durante el proceso, permitió caracterizar la competencia matemática Pensar y Razonar en los siguientes términos: • Aspecto cognitivo: En los procesos mentales los estudiantes en cada una de las tareas que resolvieron, identicaron y relacionaron matemáticamente las magnitudes que se involucraron en las situaciones, así mismo, explicaron, argumentaron y comunicaron en lenguaje matemático a su profesor y compañeros el procedimiento que utilizaron para dar respuesta a los interrogantes que se planteaban. La comprensión que poseen del concepto de razón y proporción, les permitió aplicar sus conocimientos a situaciones provenientes de otros campos del conocimiento y de la vida cotidiana. En el proceso de la representación, expresaron de manera verbal y por escrito ideas matemáticas relacionadas con el objeto matemático utilizado como medio para la caracterización de la competencia; así mismo, fue preponderante el uso de las tablas y grácas en la representación de la información. • Aspecto afectivo: Los estudiantes siempre estuvieron predispuestos a dar respuesta a las solicitudes o requerimientos planteados en las tareas matemáticas, a actuar por voluntad propia. En términos de D´Amore, Fandiño y Godino (2008), el carácter transversal del contenido matemático, en este caso el de razón y proporción, integró factores afectivos, particularmente la predisposición del educando. 204
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
• Aspecto tendencia de acción: El no abandono de las tareas propuestas, sin la consideración del tiempo hasta encontrar la respuesta a los interrogantes planteados fue una constante presente durante todo el proceso en los estudiantes. 2. La carencia de investigaciones y experiencias didácticas sobre el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes, dio srcen a la construcción del Modelo Teórico a partir de los aportes de investigadores en el campo de la Educación Matemática: D´Amore, Fandiño y Godino (2008), contribuyeron con los aspectos del desarrollo humano presentes en las competencias matemáticas; Solar (2009), con su Modelo de Competencia Matemática (MCM); además, se complementó con investigaciones en el pensamiento y razonamiento matemático y propuestas curriculares para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (NCTM, 2000; MEN, 1998) ya citados en este apartado. 3. El Modelo Teórico a priori propuesto, lo constituyen varios aspectos: (i) El contenido matemático en términos de tareas asociadas al objeto matemático razón y proporción; (ii) Procesos cognitivos, afectivos y tendencia de acción presentes en el desarrollo integral del estudiante. En los procesos cognitivos se tomaron los procesos mentales (entendidos como actividades cognitivas que la mente tiene que realizar cuando se piensa), el proceso de representación y la comunicación: En el aspecto afectivo, se tomó la predisposición del estudiante a realizar actividad matemática y, en tendencia de acción la persistencia, aspecto que se maniesta en el estudiante cuando no se da por rendido ante cualquier reto o desafío que se le proponga; y (iii) el progreso en el desarrollo de la competencia en términos de los niveles de complejidad creciente de las tareas que el estudiante enfrenta. 4. El Modelo Teórico se aplicó en un estudio de caso con estudiantes del grado séptimo, se propusieron y desarrollaron tareas matemáticas contextualizadas o signicativas con el propósito de promover procesos matemáticos que están en la base de la competencia matemática Pensar y Razonar del estudiante. 5. Estos resultados de investigación representan una contribución, tanto desde la investigación como de la innovación, porque constituye un Modelo Teórico de competencia matemática focalizado en el aprendizaje que se ha diseñado desde la investigación con una función didáctica: aportar a la comunidad de educación matemática del Caquetá y Colombia desarrollos conceptuales, metodológicos y didácticos para la promoción y desarrollo de competencias matemáticas en el aula de clase.
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ANEXO 1 SECRETARÌA DE EDUCACIÓN DE FLORENCIA INSITUCIÒN EDUCATIVA CIUDADELA SIGLO XXI TAREA 1
Los tarros de pintura Juanito con 15 tarros pequeños de pintura, pintó 18 sillas del salón de clase de su colegio. ¿Cuántas sillas puede pintar con 25 tarros? La altura del árbol Sebastián sale a pasear por el campo en un día soleado, y observa que un árbol (el cual le llamo bastante la atención) proyecta una bonita sombra. Inquieto se interroga, ¿cuál será la altura de este árbol? Inmediatamente se acuerda de una lectura que realizo, en la cual un matemático egipcio desarrollo un procedimiento para calcular la altura de las pirámides de Egipto; entusiasmado decide realizar dicho procedimiento y a determinada distancia de la sombra del árbol (la cual previamente midió) clava una vara de 3m de longitud, la cual le proyectó una sombra de 2m de longitud. Un dibujo de lo realizado por Sebastián se presenta a continuación
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¿Podrían ustedes colaborarle a Sebastián a encontrar la altura del árbol? Escriban en su hoja de trabajo el proceso que tuvieron en cuenta para ayudarle a Sebastián, para que después lo sustenten ante sus compañeros.
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ANEXO 2 SECRETARÌA DE EDUCACIÓN DE FLORENCIA INSITUCIÒN EDUCATIVA CIUDADELA SIGLO XXI TAREA 2
Las frutas En un recipiente, María tiene 152 frutas y se sabe que por cada 5 naranjas hay 10 manzanas; por cada 5 manzanas hay 2 mangos, ¿Cuántas manzanas hay en el recipiente de María?
Escriban todo el procedimiento utilizado para dar respuesta al interrogante,
ANEXO 3 SECRETARÌA DE EDUCACIÓN DE FLORENCIA INSITUCIÒN EDUCATIVA CIUDADELA SIGLO XXI TAREA 3
Para ayudar a resolver la difícil situación económica que se está presentando en su casa, Sara decide comprar y vender contes en su colegio. La forma como compra y vende contes se presenta a continuación: Compra 4 contes por $500 y los vende a una razón de 3 por $500. ¿Cuántos contes debe comprar y en consecuencia vender Sara, para obtener de esta forma una utilidad de $10.000?
COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS: EL CASO DE LA MEDIANA
COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS Y EL APRENDIZAJE DEL OBJETO MATEMÁTICO LA MEDIANA
“Las competencias son actuaciones integrales ante actividades y problemas del contexto, con idoneidad y compromiso ético.” (Sergio Tobón, 2010)
En la investigación matemática es objeto de investigación, tanto a nivel nacional como internacional, el proceso matemático resolución de problemas; generalmente, esta investigación se relaciona con los diseños curriculares, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Hoy, este proceso se considera como una competencia matemática a desarrollar en los estudiantes. Según Polya (1965) y PISA (OCDE, 2003), además de resolver problemas, se debe tener en cuenta el planteamiento de los mismos, aspecto que se comparte. El propósito de este apartado es exponer la caracterización de la Competencia Matemática Plantear y Resolver Problemas, a partir de la formulación de un modelo teórico a priori focalizado en la actividad matemática de aprendizaje del objeto matemático la mediana a partir de secuencias didácticas, las cuales han sido planicadas por el profesor y desarrolladas por los estudiantes para su respectiva valoración y caracterización de sus competencias en los diferentes niveles de dominio desde lo cognitivo, afectivo, volitivo y metacognitivo. Lo anterior permite aportar al docente herramientas didácticas y curriculares para el desarrollo de la competencia matemática Plantear y Resolver problemas mediante la resolución de tareas y el desarrollo de procesos matemáticos de complejidad creciente
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COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS
Polya (1965) en su libro “¿Cómo plantear y resolver problemas?”expresa la importancia para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, de cambiar los algoritmos y ejercicios repetitivos propuestos para los estudiantes, donde se aplican procedimientos rutinarios, por problemas para resolver; actividad que les permite hacerse una idea de lo que es “hacer matemáticas”, es decir, al resolver problemas, además de encontrar una solución , debe ser capaz de justicarla, argumentarla o demostrarla. Para resolver cualquier tipo de problema Polya generalizó su método en cuatro pasos: • • • •
Comprensión del problema Concepción de un plan Ejecución del plan Visión retrospectiva.
El método se enfoca en la solución de problemas matemáticos en un ámbito donde el estudiante piensa, reexiona y recorre el camino utilizado muchas veces, antes de dar una posible solución. Según Polya (1965), cuando se resuelven problemas, a la vez se están creando habilidades posteriores para enfrentar y resolver cualquier tipo de problema matemático. A continuación se presenta un resumen de cada uno de los pasos del método de Polya, los cuales están acompañados de un listado de herramientas heurísticas apropiadas para la resolución de problemas: Paso 1: Comprensión del problema. El estudiante debe comprender el problema y desear resolverlo, para ello debe leer, explorar el texto y entender cada una de las relaciones expuestas en la información proporcionada para separar las partes principales del problema: la incógnita, los datos y la condición. En este sentido, es útil plantearle al estudiante algunas preguntas, que al responderlas le permitan comprender el problema. • ¿Entiendes todo lo que dice? • ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? • ¿Cuál es la incógnita? • ¿Distingues cuáles son los datos? • ¿Cuál es la condición? • ¿Sabes a qué quieres llegar? • ¿Hay suciente información? • ¿Hay información extraña? • ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Paso 2: Concepción de un Plan. De la comprensión del problema a la concepción del plan el camino puede ser largo, puede el estudiante hacer varios ensayos para concebir un plan, es tarea del profesor conducirlo a obtener “ideas brillantes” que le permitan solucionar el problema a partir de experiencias pasadas y de los conocimientos previos. Una vez el estudiante ha comprendido el problema es necesario utilizar diversas estrategias para encontrar la respuesta. Se busca relacionar y encontrar conexiones entre cada uno de los datos del problema y la incógnita. Se elabora un plan o estrategia para resolver el problema, elige las operaciones e indica el orden en que se deben realizar y muestra la respuesta. Para lo cual el estudiante responde a la pregunta: ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se dene como un articio ingenioso que conduce a un nal).
•
• •
• •
• • • • • •
Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura); podemos proponer planes para resolver el problema, y al probarlos, podemos comprobar si son válidos o no. Consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible. Después de los primeros ensayos ya no se eligen al azar sino tomando en consideración los ensayos ya realizados. Usar una variable. Buscar un Patrón: la mayoría de los problemas siguen un patrón, pero no siempre es fácil verlo. Se empieza por considerar algunos casos particulares o iniciales y a partir de ellos, buscar una solución general para todos los casos. Hacer una lista. Resolver un problema similar más simple: a veces puede resultar más fácil entender un problema si lo simplicamos. Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datos más sencillos y a continuación aplicar el mismo método en la solución del problema planteado más complejo. Hacer una gura. Hacer un diagrama; los componentes grácos son más sencillos de comprender que varias ideas, palabras, números o símbolos en un texto. Usar razonamiento directo de cómo resolverías el problema Usar razonamiento indirecto de cómo piensas que podría resolverse el problema Usar las propiedades de los números. Resolver un problema equivalente: los problemas similares entre sí pueden resolverse de una misma manera 217
VARIOS AUTORES
• Trabajar hacia atrás: si comenzamos buscando por el nal, también se pueden encontrar planes de trabajo válidos. • Usar casos: la imaginación nos puede ayudar a resolver casos derivados • Resolver una ecuación • Buscar una fórmula • Usar un modelo: podemos buscar ideas ya inventadas. • Usar análisis dimensional • Identicar sub-metas: ¿existe algo adicional al objetivo principal? • Usar coordenadas. • Usar simetría. Paso 3: Ejecución de un Plan. El estudiante ejecuta el plan elaborado resuelve las operaciones en el orden establecido, verica los pasos y los resultados. Aplica las estrategias propuestas completando grácas, tablas, diagramas, entre otros, para obtener varias formas de resolver el problema. En caso de no llegar al resultado correcto se vuelve a empezar con iguales o nuevas estrategias que conduzcan a la resolución del problema con éxito; la habilidad del estudiante está en ejecutar en plan propuesto y el profesor debe insistirle en vericar cada uno de los pasos de manera paciente, evitando reducir todo el proceso a simples cálculos matemáticos, para lo cual Polya propone:
•
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. • Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!). • No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. Paso 4: Visión retrospectiva- Mirar hacia atrás. Es el paso de revisión y vericación de los resultados obtenidos como solución del problema por parte del estudiante, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la seguida para llegar
ahacer la solución. Verica ladelrespuesta del problema srcinalaypartir puedede la generalización problemaenoellacontexto formulación de otros nuevos él con lo cual desarrolla su aptitud en la resolución de problemas. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son: •
¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? • ¿Adviertes una solución más sencilla? 218
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
•
¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? (Polya, 1965, p.10)
La propuesta de Polya (1965) de aprender matemáticas a partir de la resolución de problemas ha estado presente en el ámbito educativo, se han identicado posiciones diversas acerca de su signicado y esto ha permito la producción de diversas manifestaciones en el currículo matemático escolar. Sus ideas han jugado un papel importante en la propuesta del NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), el cual recomienda la resolución de problemas como base para el aprendizaje de las matemáticas (NCTM, 2000, p: 55). En el documento del NCTM, se destacan los estándares de contenido (números y operaciones, geometría y sentido espacial; patrones, relaciones y algebra; medición, análisis de datos y probabilidad) y los estándares de procesos del pensamiento matemático (resolución de Problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y representaciones); esta propuesta curricular ha sido marco de referencia en los diseños curriculares de países como Estados Unidos, Alemania, Portugal, México entre otros; especícamente el estándar resolución de problemas arma: Los programas de enseñanza de todas las etapas debería capacitar a todos los estudiantes para: • • • •
Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas; Resolver problemas que surjan de las matemáticas y de otros contextos; Aplicar y adaptar diversas estrategias para resolver problemas; Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y reexionar sobre él” (NCTM, 2000, p; 55).
Estos planteamientos maniestan la importancia de permitir a los estudiantes formular problemas complejos que requieran esfuerzo, enfrentarse a ellos, resolverlos y estimularlos a reexionar sobre su pensamiento matemático. Los estudiantes para aprender la resolución de problemas en matemáticas requieren, no sólo de sus conocimientos en esta disciplina, sino del desarrollo de capacidades, habilidades, de formasadquirir de pensar, hábitos de perseverancia, y conanza que les permitirán nociones matemáticas nuevas curiosidad y les servirán para su diario vivir, en contextos escolares o del mundo en general. De igual manera, el proyecto PISA ha sido inuenciado por los planteamientos de Polya en lo relacionado a la actividad matemática propuesta en las evaluaciones fundamentadas en el proceso de resolución de problemas, al cual han llamado matematización y han caracterizado esta actividad de hacer matemáticas mediante cinco fases (Rico y Lupiáñez, 2008): 219
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• Comenzar un problema situado en la realidad. • Organizarlo de acuerdo con conceptos matemáticos. • Despegarse progresivamente de la realidad mediante procesos tales como hacer suposiciones sobre los datos del problema, generalizar y formalizar. • Resolver el problema. Proporcionar sentido a la solución, en términos de la situación inicial, (p. 234) La primera fase implica traducir problemas extraídos de un contexto del mundo real al mundo matemático, proceso que se denomina matematización horizontal y se sustenta sobre las siguientes capacidades: • • • • • • • • •
Identicar matemáticas relevantes en un contexto general. Plantear interrogantes. Enunciar problemas. Representar el problema de un modo diferente. Comprender la relación entre lenguaje natural, lenguaje simbólico y formal. Encontrar regularidades, relaciones y patrones. Reconocer isomorsmos con problemas ya conocidos. Traducir el problema a un modelo matemático. Utilizar herramientas y recursos adecuados.
En esta segunda fase, una vez traducido el problema a una expresión matemática, continúa ahora el proceso de matematización vertical, en el cual el estudiante puede plantearse cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas matemáticas e incluye las siguientes capacidades: • • • • •
Usar diferentes representaciones. Usar el lenguaje simbólico, formal y técnico y sus operaciones. Renar y ajustar los modelos matemáticos; combinar e integrar modelos. Argumentar. Generalizar.
En la tercera fase de la resolución de un problema, se presenta una etapa de reexión sobre el proceso completo de matematización y sus resultados, lo cual implica la interpretación y validación de los resultados, con actitud crítica por parte de los estudiantes. Al respecto Polya (1965) arma “sería un error el creer que la solución de un problema es un “asunto puramente intelectual”; la determinación, las emociones juegan un papel importante” (pp. 80-81). Algunas capacidades de este proceso de validación y reexión son:
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• Entender la extensión y límites de los conceptos matemáticos. • Reexionar sobre los argumentos matemáticos, explicar y justicar los resultados. • Comunicar el proceso y la solución. • Criticar el modelo y sus límites. La gura 36 ilustra la conexión entre las fases horizontal y vertical de la matematización:
Figura 36: Proceso de matematización
El estudio PISA, en cada una de estas fases prioriza el desarrollo de procesos cognitivos y capacidades de los estudiantes para la resolución de problemas matemáticos en diferentes situaciones, es decir, deben mostrar niveles de dominio en un conjunto de competencias matemáticas al resolver o formular problemas en una variedad de contextos intra y extramatemáticos. En este sentido , el proyecto OCDE/PISA, caracteriza ocho competencias matemáticas, producto de la adaptación de la propuesta de Niss (1999) para el currículo danés, relacionadas a continuación: • Pensar y razonar, Argumentar, Comunicar, Modelizar, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones, y Emplear soportes y herramientas tecnológicas La competencia matemática Plantear y Resolver problemas de acuerdo con Rico y Lupiáñez (2008), es cognitiva, instrumental, de carácter básico y transversal, y según el proyecto PISA, permite que los estudiantes enuncien y planteen problemas en diferentes contextos y con diferentes criterios enunciándola cómo: “Plantear, formular, resolver e interpretar problemas (puros, aplicados, de res221
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puesta abierta, cerrados) a través de las matemáticas en diferentes situaciones y contextos”(OCDE/PISA, 2003. p:29) ; cada uno de estos procesos cognitivos se pueden hacer por distintas vías y obtener de los estudiantes respuestas con diferentes niveles de complejidad considerados en el proyecto: reproducción, conexión y reexión. Para esta investigación, centrada en las actividad matemática de aprendizaje, se asumieron los procesos matemáticos movilizados por los estudiantes en su actividad matemática a partir de la propuesta de Polya (1965): entender el problema, congurar un plan, ejecutar el plan y visión retrospectiva, en complementariedad con lo propuesto por Espinoza et al 2009, quienes identican y describen cada uno de los procesos (ver Gráco 19) que integran la competencia resolución de problemas:
Gráco 19. Competencias Organizadoras del Currículo
En esta propuesta de Espinoza et al. (2009), algunos de los subprocesos de Polya aparecen como procesos principales que se consideran deben movilizar los estudiantes en una actividad amatemática concreta de resolver y plantear problemas, los cuales se describen continuación. • Entender el problema y modelarlo: En esta etapa el estudiante no solo debe entender el signicado del enunciado, sino identicar que efectivamente es un problema que está contextualizado, debe ser capaz de crear y construir un modelo y reexionar sobre él.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
• Desarrollar, adoptar y aplicar estrategias para su solución: Se espera que una vez construido el modelo del problema, continúe el proceso de actuación y para ello es necesario la elaboración y aplicación de estrategias que permitan encontrar la solución. • Interpretar la respuesta en el contexto del problema: En esta etapa el estudiante reexiona sobre el resultado obtenido en relación con la pregunta planteada y si la respuesta cubre todos los aspectos del enunciado de la pregunta y del contexto del problema. Es aquí donde el estudiante recurre a sus conocimientos de los sistemas de representación. • Formular problemas: Se espera que el estudiante genere nuevas propuestas de como plantear nuevos problemas a partir de uno dado, o que sea capaz de formular problemas de acuerdo a un contexto y condiciones especícas, para ello debe modelarlo en su mente recurriendo a los pasos anteriormente dados. En esta etapa el planteamiento de problemas nos permite observar en el estudiante no solo la comprensión y capacidad matemática, si no la disposición que se tiene hacia ella. Cada uno de estos procesos mencionados, están presentes en el aprendizaje de las matemáticas, por tanto, es necesario promover el desarrollo de competencias en el estudiante a través de situaciones problema cercanas a su realidad, que le permitan movilizar todos los aspectos de la competencia tales como recursos cognitivos, aptitudes, destrezas y valores, para alcanzar expectativas de aprendizaje en el corto plazo (objetivos especícos), mediano y largo plazo (competencias) (Rico y Lupiáñez, 2008). En el desarrollo de la competencia matemática Plantear y Resolver problemas, además de movilizar en los estudiantes procesos matemáticos referidos al uso y dominio de unos conocimientos, también debe hacerlo respecto a sus actitudes, donde los estudiantes muestren la disponibilidad, el deseo, la voluntad y el gusto por hacer uso de la competencia; pero estas actuaciones de los sujetos en todas las dimensiones (saber ser; saber hacer y saber conocer) para resolver problemas del contexto, según Tobón (2010), deben ser con responsabilidad, ética e idoneidad (se reere a indicadores de desempeño de la persona que debe tener para resolver actividades o problemas encontrados). Desde la perspectiva de Tobón (2010), las competencias deben ser actuaciones integrales, para identicar, analizar y resolver problemas del contexto, en distintos escenarios, integrando: El saber conocer (conceptos y teorías – o lo cognitivo desde D’amore) El saber hacer (habilidades procedimentales y técnicas – o la tendencia a la acción desde D’amore). El saber ser (actitudes y valores – o lo afectivo desde D’amore)
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De acuerdo con Tobón, en el presente estudio para caracterizar las actuaciones integrales, los niveles de dominio de los procesos matemáticos de la competencia Plantear y Resolver Problemas, se realizaron análisis a los desempeños de los estudiantes de grado noveno focalizados en la investigación, al desarrollar las actividades matemáticas de aprendizaje sobre el objeto matemático la mediana, propuestas por el profesor en las secuencias didácticas (VER ANEXO 1), las cuales hacen referencia a “conjuntos articulados de actividades de aprendizaje y evaluación que, con la mediación de un docente, buscan el logro de determinadas metas educativas, considerando una serie de recursos” (Tobón, 2010,p.20). Para el diseño de las actividades de aprendizaje en las secuencias didácticas por proyectos contextualizados con el objeto matemático la mediana, se identicó primero la situación problema del contexto inmediato de los estudiantes (¿El uso del Internet en el tiempo libre favorece mi desempeño académico?, pertinente con la competencia matemática a caracterizar y con su interés por estudiar ,es decir, las actividades de aprendizaje diseñadas por el profesor involucran la matematización (vertical y horizontal) que consiste en extraer problemas del entorno en lenguaje natural y llevarlo al lenguaje matemático para ser resueltos (Rico y Lupiáñez, 2008); por tanto, la actividad- problema propuesta es una situación didáctica que pone a los estudiantes ante situaciones que movilicen todos los procesos de la competencia Plantear y Resolver Problemas y les permite alcanzar las expectativas de aprendizaje que se le han propuesto, a corto, mediano y largo plazo; cada uno de los procesos que involucra esta competencia, en la investigación se analizan a partir de tres momentos : Actividades matemáticas - Niveles de complejidad - Procesos Requeridos. Las actividades matemáticas de aprendizaje de complejidad creciente, planteadas en secuencias didácticas con el objeto matemático la mediana, son diseñadas por el profesor para caracterizar las actuaciones de los estudiantes de grado noveno en un nivel de dominio especíco, en el que se estima la relación de los contenidos y los procesos matemáticos que deben movilizarse, reejados en los tres saberes de la competencia: El saber conocer: se basa en procesos cognoscitivos, conceptos y teorías del objeto matemático la mediana, su estructura matemática, sus representaciones, y sus fenómenos aplicados en las matemáticas, la estadística y otras ciencias, para resolver los actividades matemáticas propuestas en las secuencias didácticas. El saber ser: aborda los procesos afectivo – motivacionales de las competencias, cuyos componentes son las actitudes y los valores; las actitudes son disposiciones al resolver los problemas expuestos en las secuencias didácticas y al plantear otros anes con su entorno, teniendo en cuenta el deseo y la voluntad por dar solución a las situaciones problema planteadas, constituyéndose a su vez una puesta en práctica de los valores al actuar de una manera determinada.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
El saber hacer: se reere a los procesos del hacer, como el desempeño con base en procedimientos, cuyos componentes son las habilidades técnicas y procedimentales, para resolver los problemas relacionados con la mediana. De esta manera, el modelo general de competencias de Tobón (2010), inuenciado por el enfoque socioformativo, el cual concibe la formación de las competencias como parte de la formación humana integral, a partir del proyecto ético de vida de cada persona, dentro de escenarios educativos colaborativos y articulados con lo social, lo económico, lo político, lo cultural, el arte, la ciencia y la tecnología” (p.8), además, trabaja con los saberes esenciales (saber conocer, saber ser y saber hacer), como conceptos integradores que se inscriben en los diferentes contextos en los que se desempeñan las personas en sociedad con idoneidad y ética, teniendo en cuenta a su vez, los procesos metacognitivos los cuales orientan a los estudiantes a reexionar y autorregular (mejorar) sus desempeños, con el objetivo de realizar un aprendizaje signicativo, es decir, se toma conciencia de las actuaciones, se corrigen los errores y se generan las acciones concretas para el cambio. Esta investigación para el diseño de las secuencias didácticas asume los niveles de dominio propuestos por Tobón et al (2010), como una forma de reconocer los avances en la competencia matemática presentada por los estudiantes durante una actividad matemática concreta. Este avance se ve reejado cuando se alcanzan los objetivos propuestos, es decir, se desarrollan capacidades que a lo largo de un ciclo educativo se ven como competencias. Para cada uno de los niveles de dominio, se asocian características, criterios y evidencias desde las actuaciones de los estudiantes al desarrollar las actividades matemáticas de aprendizaje, las cuales permiten identicar sus desempeños y actuaciones, y se describen a continuación: Nivel inicial-receptivo: en este nivel el estudiante comprende el problema, tiene nociones sobre el tema a tratar, su desempeño es básico en lo operativo y conceptual, requiere apoyo continuo debido a su baja autonomía. Entiende que en las actividades matemáticas de aprendizaje la información contenida, representa un problema asociado a su vida cotidiana. Nivel básico: tiene algunos conceptos esenciales del tema tratado, presenta actitudes y desempeños básicos en la competencia matemática y puede resolver problemas sencillos del contexto, es capaz de idearse un método y puede colabo-
rar con sus compañeros en la solución de los mismos. Nivel autónomo: tiene mayor conciencia de su desarrollo formativo, resuelve con criterio y autonomía, argumenta los procesos mediante análisis e indagación, utiliza un leguaje matemático avanzado, resuelve problemas complejos utilizando un plan organizado y coherente con los elementos necesarios. Nivel estratégico: analiza sistémicamente las situaciones en los diferentes contextos, considera el pasado y el futuro. Presenta creatividad e innovación re-
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formulando problemas con análisis prospectivo e histórico, utiliza un lenguaje matemático avanzado y hace planteamientos de nuevos problemas a partir de los interrogantes dados, en otras realidades con alta visión retrospectiva. Por tanto, con las actividades matemáticas, los saberes de la competencia y los niveles de dominio de la misma, para caracterizar la competencia matemática se propondrá un Modelo Teórico a Priori ( MTAP) que permita describir y explicar las actuaciones de los estudiantes al abordar y resolver actividades matemáticas de aprendizaje de complejidad creciente en secuencias didácticas, en el marco del desarrollo de procesos matemáticos asociados a la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas. En Colombia, los Lineamientos curriculares (MEN, 1978) para matemáticas, hacen énfasis en la resolución de problemas como proceso presente en toda actividad matemática y al respecto plantea: La actividad de resolver problemas ha sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del conocimiento matemático. En diferentes propuestas curriculares recientes se arma que la resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática. Pero esto no signica que se constituya en un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos. En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando conanza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de elemento pensamiento de más altodenivel. La actividad de resolver problemas ha sido considerada como un importante en el desarrollo de las matemáticas, y en el estudio del conocimiento matemático (p.52).
En este mismo sentido, los estándares básicos de competencias (2006), hacen énfasis en la resolución de problemas como proceso presente en toda actividad matemática “que explicita lo que signica ser matemáticamente competente” y al respecto plantea: Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Ello requiere analizar la situación; identicar lo relevante en ella; establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. Este proceso requierelas delideas uso exible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajesgeneral para expresar matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. Estas actividades también integran el razonamiento, en tanto exigen formular argumentos que justiquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas.
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La formulación, el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva, desplegar una serie de estrategias para resolverlos, encontrar resultados, vericar e interpretar lo razonable de ellos, modicar condiciones y srcinar otros problemas en sus diversas formas. (p. 52) Esta visión exige que se propongan situaciones problema de contextos diferentes y signicativos, en las que los estudiantes puedan explorar problemas, plantear preguntas y reexionar sobre modelos. OBJETO MATEMÁTICO LA MEDIANA
La mediana es un estadístico que se reere al valor central de un conjunto de datos ordenados (Batanero y Cobo, 2000) y para utilizar este concepto matemático, se debe tener en cuenta las formas en las que se establecen relaciones con otros conceptos de la matemática, las diferentes formas de representar estas relaciones y los fenómenos que dan sentido al concepto en diferentes contextos o situaciones problema. Desde esta perspectiva, el signicado de un concepto en la matemática escolar, según Gómez (2007) atiende a tres dimensiones que denomina: la estructura conceptual, los sistemas de representación y la fenomenología: • La estructura conceptual, que comprende conceptos y propiedades, los argumentos y proposiciones que se derivan y sus criterios de veracidad. • Los sistemas de representación, denidos por los conjuntos de signos, grácos y reglas que hacen presente dicho concepto y lo relacionan con otros. • La fenomenología, que incluye aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que están en el srcen del concepto y le dan sentido (p.27). En este estudio se abordaron los signicados del concepto matemático la mediana, desde la perspectiva de su estructura conceptual, sus representaciones, y su fenomenología, lo cual implicó identicar y organizar los elementos (objeto, concepto y estructura matemática), las relaciones (horizontales y verticales) y los fenómenos en los que el concepto de mediana toma sentido. La estructura conceptual (EC) de la mediana forma parte del análisis de contenido que congura el objeto matemático, su concepto y cómo forma parte de otro concepto mayor, es utilizada en esta investigación para conocer cada uno de los objetos matemáticos de la que hace parte y de los que ayuda a congurar; describe las relaciones existentes entre hechos, conceptos, estructuras conceptuales, destrezas, razonamientos y estrategias, las cuales se pueden agrupar en dos categorías denominadas por Gómez (2007) como relaciones verticales y relaciones horizontales. Las relaciones verticales se reeren a las relaciones entre los tres tipos de elementos: Objeto ↔ Concepto ↔ Estructura matemática. Por 227
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otra parte, las relaciones horizontales se reeren a las relaciones entre los signos en sus diferentes sistemas de representación (relaciones entre representaciones) (p.46). En la Figura 37 se presentan los mapas de la EC de la mediana (Floriano & Floriano, 2013, p.43), para el grado noveno, los cuales permiten visualizar de forma general las relaciones horizontales y verticales de este objeto en estudio con otras estructuras matemáticas.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Figura 37. Mapa conceptual de la mediana (Floriano & Floriano,2013)
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Los sistemas de representación (SR) de la mediana: son las diferentes maneras con las que se puede representar este objeto matemático, sus relaciones con otros conceptos y entre los diferentes sistemas de representación, la estructura conceptual debe representar una estructura matemática en todos sus posibles SR. Cada uno de estos sistemas aporta un signicado de la estructura matemática desde la perspectiva de la matemática escolar. Según Duval (2004), la enseñanza y el aprendizaje de la matemática hacen que estas actividades cognitivas requieran de la utilización de distintos registros de representación y de expresión, además del lenguaje natural (representaciones semióticas) o el de las imágenes (representaciones mentales). En matemáticas, las representaciones semióticas (enunciado en lenguaje natural, fórmula algebraica, gráco, gura geométrica…) son importantes tanto para los nes de comunicación como para el desarrollo de la actividad misma. El tratamiento sobre los objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico utilizado, el estudio de los objetos matemáticos no se puede llevar a cabo prescindiendo de un sistema semiótico de representación, es decir, no hay adquisición conceptual de un objeto sin un SR que permita interactuar con ese concepto. Este conjunto de sistema o representaciones son los que permiten exteriorizar representaciones internas, así mismo poderlas manipular con el propósito de ampliar los conceptos sobre el objeto matemático. Para este estudio se entiende por representaciones externas, las que comunican con facilidad los estudiantes a otras personas, en este caso escribiendo en papel; y por representaciones internas, las imágenes mentales creadas por los individuos, para representar procesos matemáticos al Plantear y Resolver Problemas con la mediana, las cuales son difíciles de describir por no ser observables directamente. En este trabajo se tienen en cuenta estas representaciones debido a que se trabaja con lo que los estudiantes escriben en el papel al resolver las actividades matemáticas propuestas en las secuencias didácticas, exteriorizando así lo creado por sus procesos cognitivos. Para el interés de esta investigación, se abordó solamente el sistema de representación numérico o algebraico del objeto matemático la mediana, el cual permitió a los estudiantes acercarse al conocimiento de ese concepto, para ello se recurrió a la teoría de Duval (1993) y dentro de ella particularmente tres tipos de representación: registro del lenguaje natural o verbal, registro algebraico y registro tablas de datos, cada uno con sus propias reglas y signicación. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN NUMÉRICO Y ALGEBRAICO. La mediana es un objeto matemático escolar complejo, por estar relacionado con el razonamiento proporcional, las ideas de orden y distribución, y por sus diferentes deniciones, propiedades, algoritmos y métodos de cálculo, lo cual genera en los estudiantes dicultades para su aprendizaje y apropiación. La
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representación numérica de la mediana se presenta cuando el valor obtenido al calcularla se considera como un número, que está entre el valor mínimo y el valor máximo de un conjunto de datos, este valor numérico puede no coincidir con ninguno de los datos, además no contempla todos los valores dados y es invariable al disminuir un dato inferior a la mediana obtenida o al aumentar uno superior a la misma; mientras que la representación algebraicacorresponde al considerarse la mediana como una operación. Estos sistemas de representación de la mediana se visualizan cuando se utilizan cada una de las siguientes formulas para hallarla: Fórmula general para datos agrupados
Donde:
Otra manera de calcular la mediana para el mismo tipo de datos, es
Donde:
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VARIOS AUTORES
Otras formas de representar la mediana para el mismo tipo de datos, se presentan a continuación, indicando que en esencia las variables son las mismas.
decir presenta un fenómeno convergencia entre dos registros algebraicosEs (Md, Me) que representan a la de mediana. Fórmula para datos sin agrupar Sean X1, X2, X3,…,Xn los datos de una muestra ordenada en forma creciente o decreciente y simbolizando la mediana como , se tienen dos casos: 1) Cuando n es impar, la mediana es el valor central que ocupa la posición n +1
[ 2 ] donde n es el número total de los datos, ordenados en orden creciente o decreciente, los estudiantes al resolver los problemas planteados en las secuencias didácticas, deben ser capaces de ordenar los datos y hallar su valor central, es decir:
2) Cuando n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales que ocupan las posiciones
n 2
n
y
2
Xn
+ 1 , de los datos ordenados, es decir:
+
2
Xn 2
2 232
1
+
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Donde n es el número total de datos. Lo anterior representa dicultad para los estudiantes porque existen ahora dos valores que cumplen la denición de la mediana, para lo cual deben hallar el valor medio de los dos valores, para obtener la mediana y puede darse el caso de que el valor hallado no coincida con ninguno los datos proporcionados en la situación problema. Otra forma de representar la fórmula, es:
donde,
Como se observa, el algoritmo para calcular la mediana no es uno solo, depende del tipo de datos (cualitativos o cuantitativos), de la forma de presentación (datos agrupados o no agrupados) de los mismos, y del número de ellos (par o impar). Los alumnos deben aprender diversos algoritmos y cuándo aplicarlos, el valor obtenido de la mediana no siempre es único, lo que provoca problemas de comprensión a los estudiantes. Sin embargo, el proceso de enseñanza y aprendizaje de las medidas de tendencia central y en este caso de la mediana, no debe basarse en actividades matemáticas exclusivamente con algoritmos y cálculos de un valor numérico, de un conjunto de datos sin contexto, porque esto no facilitaría la comprensión del concepto de una manera integral (Batanero y Cobo, 2000). La fenomenología de la mediana: consiste en la descripción de aquellos fenómenos, contextos, situaciones o problemas que pueden dar sentido a este concepto, para este trabajo se ha tenido en cuenta los fenómenos presentes en contextos de la realidad de los estudiantes, expuestos en las actividades matemáticas diseñadas en las secuencias didácticas. Una de las tareas de la fenomenología es indagar y analizar conceptos matemáticos, para Freudenthal (citado por Puig, 1997), describir un concepto u objeto matemático en su relación con aquello para lo que es un medio de organización, es hacer análisis fenomenológico. Freudenthal, en su expresión constitución de objetos mentales versus adquisición de conceptos, considera que con respecto a la naturaleza del conocimiento matemático, estos son los objetivos que hay que perseguir en la enseñanza de las matemáticas (adquisición de conceptos y objetos mentales). Sin embargo, realizar un análisis fenomenológico no es el interés del 233
VARIOS AUTORES
presente estudio; para el estudio de la fenomenología de la mediana se abordará la fenomenología en otras ciencias, como una manera de ayudar a construir en distintos contextos el signicado del objeto matemático en estudio. Debido a la importancia que ha cobrado la estadística en los últimos tiempos y a la necesidad creciente de analizar, no solo datos cuantitativos si no cualitativos, sumado a la gran cantidad de información a analizar, se hace necesario determinar la medida de tendencia central que mejor se adapte a la interpretación de los datos, cuando se trata de buscar valores medios. Comprender, entonces, la mediana como representación de un conjunto de datos asimétricos, asignando diversos signicados, ayuda a entender otros conceptos estadísticos como: la desviación estándar, la esperanza de x, valor esperado de x, la interpretación de datos de frecuencia, entre otros; todos ellos útiles para el manejo, interpretación de información y toma de decisiones. En este sentido, la mediana se muestra como una medida de centralización que extiende los datos de una ubicación conocida (estadística) a otra posición cuyos valores son desconocidos, en este caso, a disciplinas como las matemáticas, veterinaria, medicina, psicología, sociología, demografía, entre otras, y propicia un nuevo uso e interpretación de sus signicados. Medicina y Veterinaria: todo estudio estadístico pretende inferir comportamientos poblacionales a partir de una muestra extraída de una población objeto de análisis, para el caso de estas dos áreas del conocimiento, se involucran variables cuantitativas y cualitativas a estudiar, como edad, sexo, peso, talla, tensión arterial sistólica, crecimiento, entre otras, que permiten tomar acciones respecto a los resultados obtenidos. Ingeniería de sistemas: tiene variadas aplicaciones; entre ellas se encuentran: • • • • •
Sistemas de predicción o sistemas con base en datos estadísticos. Estimaciones de esfuerzo, tiempo y costo. Programas de representación gráca con polígonos. Sistemas de soporte y toma de decisiones. Métricas y control estadístico de proyectos de desarrollo de sistemas.
Geometría: la mediana como segmento de línea del vértice de un triángulo al punto medio del lado opuesto.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Figura 38. Aplicaciones de la Mediana
Desde esta fenomenología, en el trabajo de investigación se diseñó una actividad qué matemática aprendizaje llamada: problema2)del Biología: ¿Por las ratasderoen a toda hora? (VERElANEXO , enprofesor la cual sedeinvolucran las pulsaciones por minuto de una muestra de animales a los cuales se les quiere describir su comportamiento, los estudiantes entonces debían efectuar los cálculos de las medidas de centralización y desde sus características, identicar cuál de ellas representaba mejor la solución a la situación problémica planteada, reconociendo en ella la importancia de uso de la mediana en contextos extra matemáticos. MODELO TEÓRICO A PRIORI DE LA INVESTIGACIÓN
Teniendo en cuenta los aportes teóricos sobre modelos matemáticos, esta investigación identicó la necesidad de construir un Modelo Teórico a Priori (MTAP) paraendescribir explicar la actividad matemáticaprocesos de aprendizaje de los estudiantes, el marcoy de resolver tareas y desarrollar matemáticos asociados a la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas en secuencias didácticas concatenadas con el objeto matemático la mediana. El modelo permite presentar un esquema teórico de una realidad compleja, que facilita la explicación de un sistema o sistemas de forma detallada, para este caso, corresponde a la construcción de un modelo que ayude a organizar, evaluar y examinar la validez de conceptos expuestos con anterioridad de la competencia 235
VARIOS AUTORES
matemática Plantear y Resolver Problemas. En la Figura 39 se presenta el Modelo Teórico A Priori construido para la caracterización de la competencia matemática en mención, con cada uno de sus componentes.
Figura 39. Modelo Teórico A Priori (Floriano & Floriano, 2013)
El MTAP propuesto en la anterior gura, inicia con la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, acompañada por cada uno de sus componentes en los que se apoya el modelo para su caracterización: • La actividad del profesor se centra en una práctica de enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas y como orientador del proceso se hace cargo de planicar, organizar, controlar, orientar el aprendizaje del estudiante al desarrollar actividades matemáticas propuestas por docente, para lo cual necesita estar en constante comunicación e interacción con sus estudiantes reconociendo el contexto social donde se desarrolla la actividad de aprendizaje. Por tanto, la actividad de aprendizaje diseñada por el docente hace referencia a la formulación de actividades planteadas en secuencias didácticas para ser desarrolladas en el aula o fuera de ella (Tobon,2008), entendida estas actividades matemáticas para algunos autores como tareas, Lupiañez & Rico (2009). El profesor debe entender la transformación del conocimiento no solo como el desarrollo de conceptos que se van acumulando en la mente de los 236
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
estudiantes, sino, especialmente, que ellos con su mediación, construyen y reconstruyen su propio conocimiento, aptitudes y valores en consonancia con el medio social y cultural donde viven y se desarrollan, Sfard (1998). • La actividad del estudiante, asumida como actividad matemática de aprendizaje en el contexto de Plantear y Resolver Problemas con el objeto matemático la mediana. Respecto a la actividad del estudiante Lupiáñez (2009) arma: “Las actividades son las diversas respuestas de los escolares ante las demandas planteadas; nos referimos a su actividad en términos de actuaciones que se derivan de la realización de tareas”. (p. 62) Se destaca que estas actividades realizadas por los estudiantes al desarrollar las secuencias didácticas, no siempre están acompañadas por el profesor y en muchas de ellas, estos deben actuar de forma autónoma, por lo que deben responder ante ambientes complejos de la vida real, que los convierte en sujetos activos de aprendizaje; por tanto, estas actividades permiten identicar en sus actuaciones criterios y evidencias sobre la competencia matemática en estudio. En este sentido, el proceso de metacognición (Tobón et al ,2010), permite a los estudiantes la toma de conciencia sobre su nivel de actuación y desempeño en una actividad matemática de aprendizaje, así mismo, el estudiante dispone de herramientas para corregir los errores presentados durante su desempeño, identicar las necesidades de mejora mediante acciones concretas y establecer los logros alcanzados, para efectivamente evidenciar el cambio y por tanto ser considerada la metacognición, la cual según Tobón “es la esencia de la evaluación de las competencias, porque es la clave para que no se quede en un proceso de vericación de logros y aspectos a mejorar, sino que sirve como instrumento de mejora en sí mismo” (p.82); en este sentido, este proceso metacognitivo debe realizarse de manera continua para mejorar los desempeños de los estudiantes, en su trabajo individual y colaborativo, con base en preguntas orientadoras por parte del profesor. SECUENCIAS DIDÁCTICAS
Diversos investigadores han encontrado en las secuencias didácticas una herramienta pertinente en la articulación de actividades de aprendizaje, entre ellos Noverraz & Schneuwly (2001), los cuales conciben la secuencia didáctica como un conjunto de actividades escolares organizadas, su uso lo asociaron al área de lengua castellana; de igual forma, Dolz (1995), en la elaboración y el uso de secuencias didácticas para evaluar los efectos de la enseñanza sobre la capacidad
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VARIOS AUTORES
de los aprendices, generó la puesta en marcha de un análisis de los efectos de su implementación en el aprendizaje de los estudiantes. Tobón et al (2010), encuentra en las secuencias didácticas herramientas exibles que permiten el desarrollo de unidades didácticas mediante las cuales se lleva a cabo el proceso de enseñanza y aprendizaje. Para ello, la secuencia didáctica se vale de una planicación premeditada y ordenada de actividades secuenciales en espacios temporales y contextualizados que permiten el desarrollo práctico de los contenidos por parte de los estudiantes. Así mismo, la secuencia didáctica debe propender por inculcar valores, actitudes, aptitudes, destrezas y habilidades que permitan a los estudiantes enfrentar los retos impuestos por la vida en sus diferentes aspectos. Esta investigación asume la propuesta de Tobón et al (2010) referente a las secuencias didácticas como metodología que permite valorar aspectos de la competencia (Tabla 19), según el autor se busca mejorar los procesos de formación, con una educación menos fragmentada y enfocada en una metas de aprendizaje. Las situaciones didácticas en donde se desarrollan actividades pertinentes y una evaluación formativa complementaria, permiten mediar el proceso de aprendizaje de los estudiantes y contribuir en una mejor adaptación al trabajo por competencias en la escuela, valorando todos los aspectos de la competencia, además del saber, la volición, la aptitud, el uso y la metacognición. Actividades
Evaluación
Actividades Criterios, Actividad de aprendizaje indicadores del docente autónomo y evidencias
o iv t p cee r l iac i n I
o ics á B
Metacognición
o m o n ó t u A
o ic ég atr st E
Autorregulación (planica, controla, evalúa), autoevaluación, co-evaluación, juicios de valor
Tabla 19. Secuencia didáctica desde el enfoque socio formativo
Las secuencias didácticas desde el enfoque socio formativo, se pueden diseñar para una unidad didáctica especíca de contenido, para este caso contenido matemático o para toda la asignatura, por medio de módulos temáticos que articulen al menos dos sesiones de aprendizaje con el docente, es decir, al menos dos actividades desarrolladas por los estudiantes. En esta perspectiva, para caracterizar los niveles de dominio de la competencia matemática plantear y resolver problemas se han propuesto 2 secuencias didácticas (VER ANEXOS 238
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
1 y 2), Secuencia didáctica 1: El uso del tiempo libre, ¿favorece mi desempeño académico? , Secuencia didáctica 2: El problema del profesor de Biología: ¿Por qué las ratas roen a toda hora?;cada una con 3 actividades a desarrollar por los estudiantes, apertura, desarrollo y cierre. Por tanto, como instrumento para diseñar unidades didácticas es posible hacerle adaptaciones, no como contenidos aislados, sino en forma de problemas signicativos y contextualizados para los estudiantes. En esta perspectiva, los descriptores y evidencias que se encuentran en el instrumento secuencias didácticas de Tobón et al (2009), están diseñados para competencias generales y no para una competencia especíca, en el caso de esta investigación, una competencia matemática, por tanto, existe la necesidad de complementar esta herramienta con otros elementos que permitan adaptar las secuencias didácticas, a las necesidades del presente estudio. Inicialmente se ha diseñado una rejilla general (Figura 40) donde se asocian los procesos de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas con los tres saberes de la competencia en los distintos niveles de dominio:
Niveles de dominio y sus momentos
Componentes de la competencia
Tobón et al; Polya
(Indicador)
Inicial receptivo Básico Autónomo Estratégico
Saber conocer (Cognitivo) Saber ser (Afectivo) Saber hacer (Tendencia a la acción )
Descriptores de la competencia ( Polya- PISA) 1
2
3
4
SCD1
SCD2
SCD3
SCD4
SSD1
SSD2
SSD3
SSD4
SHD1
SHD2
SHD3
SHD4
Figura 40. Estructura de los Descriptores
Esta rejilla permite describir las actuaciones, actitudes y desempeños de los estudiantes en una actividad matemática para un nivel especíco y para cada uno de los niveles se diseñaron rejillas con sus respectivos descriptores (Figura 6). • Los procesos matemáticos de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, a los cuales los estudiantes deben recurrir para resolver la actividad propuesta con el objeto matemático la mediana, comprenden: entender el problema y modelarlo; desarrollar, adoptar y aplicar estrategias
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VARIOS AUTORES
para su solución; interpretar la respuesta en el contexto del problema y formular problemas. En el campo del aprendizaje es necesaria la estimulación al desarrollo de competencias del estudiante, esto sucede cuando el sujeto se enfrenta a numerosas situaciones problémicas cada vez más complejas y realistas (contextualizadas) que lo llevan a movilizar no solo recursos cognitivos, sino aptitudes, destrezas y valores. En la competencia Plantear y Resolver Problemas los estudiantes deben comprender que la actividad propuesta debe ser cercana a su realidad, es decir, estar en su zona de dominio próximo, de esta manera debe tener un grado aproximado al campo conceptual que se quiere abordar, por eso la actividad - problema no es de cualquier tipo, debe ser una situación didáctica que ponga al estudiante ante situaciones en donde se movilicen todos los aspectos de la competencia y le permita alcanzar el logro de objetivos propuestos. • Los niveles de dominio en los cuales se proponen descriptores (Figura 41) para caracterizar la competencia Plantear y Resolver Problemas al trabajar con el objeto matemático la mediana en actividades matemáticas convenidas entre el profesor y los alumnos a través de secuencias didácticas estructuradas en matrices: Inicial Receptivo
Figura 41. Niveles de dominio
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Básico
Autónomo
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VARIOS AUTORES
Estratégico
Figura 41. Niveles de dominio (Floriano & Floriano, 2013)
En esta estructura tipo matrices, se describen las actividades, procesos a desarrollar por parte de los estudiantes y el nivel de dominio al cual deben llegar. Obtenidas las repuestas de los estudiantes, mediante la utilización de la rejilla complementaria de evaluación diseñada para esta investigación, en donde se detallan cada uno de los descriptores y evidencias esperados, se procede a la caracterización de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas a través de las actuaciones de los estudiantes en los tres saberes de la competencia: saber ser, saber conocer y saber hacer. Estas caracterizaciones se establecen en porcentajes dentro de unas matrices de comportamiento y se hace el análisis de los resultados obtenidos para cada una de las actividades, lo anterior permite identicar cuáles son los niveles de dominio que caracterizan la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas para cada actividad de aprendizaje de complejidad creciente que integran las secuencias didácticas. En la evaluación competencias la metacognición no se en la vericación de logrospor y objetivos, se convierte en instrumento dequeda mejorasólo personal al nal de una actividad matemática presentada en una secuencia didáctica, en tanto le permite al estudiante reexionar sobre la práctica realizada con base en una estructura matriz, la cual contiene preguntas orientadoras del docente, donde se abarca tanto el trabajo individual del estudiante como el colaborativo en el cual debe reexionar de forma autónoma y crítica (Tobón et al, 2010).
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
El anterior proceso asociado a la evaluación, se complementa mediante las dimensiones de autoevaluación, co-evaluación y heteroevaluación, descritas a continuación: Autoevaluación: los estudiantes participan de forma autocrítica en el proceso de valoración, esto les permite reexionar sobre su propia práctica al evaluar sus fortalezas y actitudes. Co-evaluación: consiste en una evaluación entre pares respecto a un grupo de evidencias y resultados en el proceso de aprendizaje, pero siempre sobre la base de argumentos que resalten los aspectos de mejora y con criterios acordados previamente. Hetero-evaluación: en este mecanismo de evaluación el docente lleva a cabo juicios de valor sobre las características del aprendizaje de los estudiantes, señalando fortalezas y aspectos a mejorar; tiene como base la observación general del desempeño en las sesiones de aprendizaje y evidencias especícas (Tobón, 2009). CARACTERIZACIÓN DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS
La caracterización de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas se realiza a través del modelo teórico propuesto, el nivel de dominio y la descripción los componentes de la competencia involucrados se denen de acuerdo con lasdeactuaciones, desempeños y aptitudes de los estudiantes al desarrollar las actividades matemáticas de aprendizaje propuestas en las secuencias didácticas. Para este ejercicio se ha diseñado la matriz de registro (Tabla 20), que desarrolla los elementos del modelo presentado en esta investigación, la cual facilita el análisis de los resultados de las actividades con el objeto matemático la mediana.
Secuencia Didáctica 1
Pregunta
Estudiante A1
Respuesta
Descriptores IRSCD2
A2 1 Actividad 1
A3 A4 A5 A6
Tabla 20. Matriz de registro y análisis de secuencia didáctica
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VARIOS AUTORES
A cada uno de los estudiantes focalizados en esta investigación, se le asignó un código: Estudiante: Ai, donde i corresponde a la cantidad de estudiantes desde 1 hasta 6 (A1, A2, A3, A4, A5, A6). Antes de iniciar el análisis de los resultados, es importante plantear la siguiente consideración útil para comprender la codicación: • La ubicación en la matriz se asocia a la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas así: IRSCD2 con IR: Corresponde al nivel de dominio inicial receptivo del estudiante, SC: A uno de los tres componentes de la competencia (saber conocer) y D2: Corresponde al descriptor en donde se ubica en la matriz de análisis el grado de competencia matemática. A partir de la información obtenida, el análisis de los resultados y las Tablas de análisis por niveles de desempeño y saberes, se determinaron cualidades y regularidades en torno a los niveles de dominio alcanzados por los estudiantes al abordar las actividades de aprendizaje frente a la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas utilizando como elemento movilizador la mediana, lo cual permitió la siguiente caracterización. Característica 1: los estudiantes movilizaron sus actuaciones dentro de los niveles de dominio Inicial Receptivo y Básico ubicándose en los componentes de la competencia saber ser, saber conocer y saber hacer, permitiéndoles identicar y reformular el problema desde la presentación y organización de los datos sin realizar inferencias sobre el problema propuesto. En la Figura 42, se observa cómo los estudiantes encontraron una dicultad
en la forma como se presentaron los datos, y una vez evaluada la situación proponen un reordenamiento de ellos para su mejor análisis.
Figura 42. Característica 1 244
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Característica 2: se movilizaron, capacidades entorno a la precisión en los cálculos realizados para cada medida y al determinar con claridad cuando era para datos no agrupados; Estas aptitudes y capacidades se reejan cuando algunos estudiantes justican a su manera ante el grupo la selección de la mediana para interpretar los datos; elementos que los ubican en los niveles inicial receptivo y básico, asociados a los descriptores para el saber conocer, el saber ser y el saber hacer. La Figura 43 muestra la precisión en los cálculos efectuados para cada me-
dida, por lo tanto, se inere el manejo correcto de los elementos conceptuales
básicos que les permiten determinar su valor numérico.
Figura 43. Característica 2 Característica 3: de acuerdo con los descriptores, los estudiantes movilizan la competencia matemática plantear y resolver problemas desde los componentes saber conocer, saber ser, en los niveles inicial receptivo y básico, efectúan cálculos mediante algoritmos válidos para cada variable y tipo de dato, pero no efectúan reexiones que permitan identicar en la medida seleccionada su uso y aportes a la información dada en el problema. Se observa en la Figura 44, cómo los estudiantes determinaron el valor numérico de la media aritmética y el dato que corresponde a la mediana, en el primer caso, no se interpreta el resultado como se le solicita y en el segundo donde se ubica la mediana, existen otros animales que tienen las mismas pulsaciones por minuto y no comentan en referencia a esta situación particular.
Figura 44. Característica 3 245
VARIOS AUTORES
Característica 4: los estudiantes identican las variables, el tipo de datos que intervienen en el problema, reconocen elementos conceptuales de la estadística descriptiva en cuanto a las medidas de tendencia central. Un ejemplo de esta situación es la que se observa en la Figura 45, donde reconocen las variables en el problema planteado e indican el tipo de dato con los cuales realizar los cálculos para las medidas de tendencia central.
Figura 45. Característica 4 Característica 5: el conocimiento objeto estadísticoque porles el uso de sus algoritmos sedeevidencia cálculo, expresiones sobre del el dato e inferencias permiten dar recomendaciones pero solo desde el punto de vista del dato numérico hallado. En la Figura 46, se evidencia cómo los algoritmos utilizados son correctos para el tipo de dato y variable, pero los estudiantes no reconocen la importancia y utilidad social del cálculo realizado en la solución del problema.
Figura 46. Característica 5
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Característica 6: los estudiantes movilizaron capacidades dentro de los niveles inicial, receptivo y básico, lo cual indica un progreso en sus actividades de aprendizaje, desde lo matemático justicaron el aporte de cada medida de tendencia central al análisis de la información y ahora sus argumentos se fundamentan desde las variables involucradas en el problema. Aunque los argumentos para la actividad sobre el profesor de Biología no son los mejores, en la Figura 47 se evidencia c ómo el estudiante trata de asociar el valor numérico hallado y la situación problema planteada, esto indica que efectivamente las secuencias de actividades de aprendizaje movilizan capacidades en
los estudiantes, siendo lo buscado para vericar la calidad de sus actuaciones en
actividades matemáticas de aprendizaje.
Figura 47. Característica 6
A continuación en la Tabla 22, se encuentran descritas las características de los componentes de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, los cuales se evidenciaron al efectuar el análisis de las actividades matemáticas de aprendizaje desarrolladas por lo estudiantes dentro de las secuencias didácticas. Para caracterizar este saber de la competencia es importante recordar que el saber ser corresponde a actitudes (forma de actuar) y valores (respeto, tolerancia, idoneidad) que los estudiantes muestran en sus actuaciones al resolver un problema planteado.
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CARACTERIZACION DEL COMPONENTE DE LA COMPETENCIA: SABER SER
• Los estudiantes mostraron disposición e interés en hallar la solución a la situación plan•
teada, en la medida que todos realizaron la actividad y dieron respuesta a todas las preguntas de forma diligente y oportuna. Ellos pueden comunicar de manera concreta el problema identicado, pero no logran sugerir las causas de este, a lo cual argumentan que el uso de internet deriva en pérdida de tiempo, y no lo relacionan como usar el internet solo para actividades de ocio.
• Al aumentar los niveles de complejidad en las actividades para el problema planteado, se evidencia en los estudiantes mayores dicultades al abordarlas, comprenderlas y resolverlas. • Se preocuparon por formular preguntas para variables cualitativas y cuantitativas, aunque solo se ocupan de vericar los tipos de consultas más utilizadas y el tiempo de permanencia en ellas, muestran interés en la problemática planteada. • Se identicó en algunas respuestas una mayor activación en las capacidades de los estudiantes, su interés se evidencia en la realización de cálculos de promedios y en la manifestación de algunos de tener en cuenta otras variables (idean un plan) para abordar mejor el problema. • La actividad matemática de aprendizaje se abordó con buena disposición, mostraron interés y deseo de solucionar el problema planteado. Participan activamente en la selección de la mediana como la medida que mejor representa los datos, sus argumentos son variados y se acercan un poco brinda la medida como un numérico. • valor Los estudiantes elaboraron recomendaciones al profesor de Biología sobre su situación
•
•
problema, lo hacen desde sus conocimientos previos en la aplicación de algoritmos de cálculo, teniendo en cuenta el valor de la mediana como un dato más. El proceso de reexión ante las preguntas formuladas en las actividades tienen un ele vado nivel de complejidad y observamos, cómo los estudiantes interpretan que hubo coincidencia en la selección de la mediana como la medida más representativa de los datos En las actividades de aprendizaje se observó cómo los estudiantes evidenciaron algunos avances en la interpretación de la información, efectuaron a través de la mediana diversas propuestas al profesor deBiología sobre la posible solución a su problema. Tabla 22. Caracterización Saber Ser
Característica general desde el saber ser:
las actividades de aprendizaje
propuestas en las secuencias didácticas permiten a los estudiantes participar activamente en la selección del problema objeto de estudio, comparan respuestas, reconocen variables y proponen alternativas de solución, esto indica activación de componentes en la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, elementos que DÁmore (2008) enuncia como un componente esencial en el desarrollo de competencias, la voluntad y el deseo evidente de identicar el problema, reconocer elementos que le permiten abordar mejor el problema, idear un plan de
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
acuerdo a sus conocimientos previos para tratar de resolverlo y hacer uso social de ellos. Su actividad matemática de aprendizaje se caracteriza dentro de los niveles Inicial Receptivo y básico, se considera un buen comienzo, ellos asocian la información presentada como una serie de datos de un contexto que requiere de su solución para la interpretación de una situación problema, estos elementos se encuentran en la actitud de los estudiantes y son básicos para una transición de lo estrictamente matemático a lo estadístico y para el desarrollo de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas. Al caracterizar este saber se espera que los estudiantes recurran a sus conceptos y teorías previas, aquí se debe evidenciar que el estudiante conoce de la disciplina.
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VARIOS AUTORES
CARACTERIZACION DEL COMPONENTE DE LA COMPETENCIA: SABER CONOCER • •
Los estudiantes identican como un problema el orden en que se presentan los datos y la inuencia de esta situación en el análisis e inferencia de los mismos, por lo que recurrie ron a ordenar los datos para realizar el cálculo solicitado. Los estudiantes presentan claridad para determinar respuestas asociadas al área de matemáticas, pero no corresponden al pensamiento estadístico, para ellos es sólo un dato, esto se evidencia en la correcta utilización de algoritmos más no en la interpretación y
asociación con(1965), la situación problema. De acuerdode coneste Polya lograron concebir un plan para abordar la situación planteada e identicaron inconvenientes iniciales en la presentación y organización de los datos, indica que conocen los elementos conceptuales involucrados en la solución del problema. • Los estudiantes identicanen la información el dato representante de la mediana sin relacionarlo con la estructura algorítmica presentada, debido a que solo indicaron la mediana como un dato sin indicar el análisis que tuvieron que hacer para su cálculo. • Los estudiantes reconocen claramente los tipos de variables que presentan la información, elementos básicos dela estadística descriptiva, lo cual es importante para efectuar los cálculos de las medidas de tendencia central. • Realizaron correctamente los cálculos de las medidas de tendencia central,de acuerdo al tipo de dato y tipo de variable. • Se evidencia que los estudiantes conocenel objeto matemático, realizancorrectamente el cálculo de las medidas teniendo en cuenta el tipo de dato y variable. • Se evidencia avances en la emisión de conceptos, en organización de los datos para su •
análisis y en la identicación de variables que se involucran en el problema. Los estudiantes muestranapropiación de elementos del pensamiento estadístico, comolo son el reconocimiento de variables y su incidencia en el análisis de los datos que presenta el problema e identican en ellos elementos para el cálculo de la mediana. • Los estudiantes ejercitan correctamente los algoritmos estadísticos para medidas de tendencia central, puesto que seleccionan correctamente la ecuación con la cual calcular cada medida. • Los estudiantes seleccionan la mediana como la medida indicada para una mejor observación de la información y una división de la misma en dos partes iguales. • Algunos estudiantes argumentaron por qué la media aritmética no es la medida mejor representante de los datos y lo justican correctamente indicando que con esta medida se estaría armando: todos los animales tienen la misma cantidad de pulsaciones por minuto. Con respecto a la moda los estudiantes en su gran mayoría la reconoce como el dato que más se repite, pero nocomo la representante mejor de losdatos analizados, sin justicar esta respuesta. Los estudiantes seleccionan la mediana como la medida indicada que ayuda a una mejor observación de la información y la identican como la que la divide en dos partes iguales. •
Tabla 23. Caracterización Saber Conocer
Característica general desde el saber conocer: los estudiantes identican las variables involucradas en los problemas planteados, efectúan cálculos utilizando correctamente los algoritmos de la estadística para el tipo de dato y 250
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
variable, identican patrones dentro de la información, reconocen plenamente las características que aportan numéricamente cada medida de tendencia central dentro de la información, siguen un orden que los acerca a los componentes de la competencia, identican el problema, proponen una ruta para resolver desde lo determinístico pero no establecen con el dato hallado una articulación entre el pensamiento matemático y estadístico ni generan espacios para la reexión sobre los cálculos realizados, estas características corresponden a los niveles inicial y básico de este componente saber conocer de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas. Una caracterización del saber hacer corresponde, a la observación de cómo los estudiantes se apoyan en habilidades y técnicas procedimentales al desarrollar actividades matemáticas de aprendizaje.
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VARIOS AUTORES
CARACTERIZACION DEL COMPONENTE DE LA COMPETENCIA: SABER HACER
• Los estudiantes establecieron relaciones entre los datos y realizan inferencias con ellos sin profundizar sobre éstos en la medida que los datos signicaban un tiempo dedicado a internet y los veían solo como un número sin sentido, de ellos establecieron una medida del tiempo usado por los estudiantes en acceder al internet relacionado con su tiempo libre. los cálculos efectuados ninguno de losdel estudiantes qué • Aunque contribución daba cada medida ason la correctos, identicación y solución problema,estableció como elemen to para un mejor análisis.
• Presentan claridad para los cálculos realizados, en la selección de la mediana como dato o medida, sin justicar su utilidad en la solución del problema planteado.
• En las actividades matemáticas de aprendizaje propuestas aunque se movilizaron dife-
• •
rentes capacidades en los estudiantes, no se evidenciaron progresos en cuanto a la separación entre el pensamiento matemático al solo limitarse al cálculo numérico, mientras que desde el pensamiento estadístico es necesario analizar el contexto donde se presentan los datos. Los estudiantes al desarrollar la presente actividad se alejan del problema planteado, en las preguntas formuladas indagan sobre el uso del internet en su tiempo libre, pero no analizan cuánto de este tiempo se utiliza en actividades académicas. En las respuestas dadas enla actividad establecen los problemas académicos en elmal uso del tiempo libre, pero en sus respuestas no observamos como correlacionan las varia-
que intervienen en la información. • bles Los estudiantes seleccionaron la mediana como la medida que mejor representa los datos,
• • • • • •
sin embargo no todos justican su respuesta para la interpretación del problemadado, solamente involucran lamedida por el resultado. En la actividad propuesta los estudiantes muestran apropiación de los conceptos estadísticos en los cálculos efectuados, pero no identican su uso en el análisis de la información presentada. No establecen la relación de las variables con la explicación del fenómeno presentado como un problema, solo se limitan a describir la información desde lo estrictamente cuantitativo. Los estudiantes no expresan, ni justican claramente lo quele aporta la mediana como medida seleccionada al análisis e interpretación del problema propuesto. No reconocen en las medidas de centralización estadística un elemento que le permite leer e interpretar datos presentados en situaciones cotidianas de aula. Limitaron la actividad al cálculo de un dato, a la aplicación de un algoritmo, sin evidenciar la utilidad construir sentido al problema a su proceso de soluciónque y a comprenden la utilidad social de sus para respuestas. En sus respuestas se evidenciaron niveles de progreso en la argumentación y asociación de los datos con el problema de los ratones y su alto nivel de pulsaciones, realizando comparaciones con las pulsaciones de otros animales, peroaún la mediana no se toma como eje en la solución al problema en mención. Tabla 24. Caracterización Saber Hacer
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Característica general desde el saber hacer: los estudiantes reconocen en los elementos conceptuales y algorítmicos de la mediana, su uso como un dato que signica la respuesta a un ejercicio dado; los valores hallados para ellas son tomados solamente desde lo determinístico, es decir, como un dato más y lo interpretan desde lo matemático, sin realizar el proceso de reexión o devolución con los valores numéricos hallados, lo que Polya llama visión retrospectiva o mirar atrás, entonces se presenta un desequilibrio en el componente saber hacer de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, al no identicar la importancia del dato calculado dentro de la solución de un problema; por tanto en el uso de los algoritmos, los procedimientos matemáticos y las técnicas desarrolladas para resolver problemas del contexto escolar y extraescolar con el objeto matemático mediana, se limitan al cálculo de un dato, a la aplicación de un algoritmo, sin evidenciar que comprenden su utilidad para construir sentido al problema, a su proceso de solución y a la utilidad social de sus respuestas, es decir, presentan fuertes limitaciones para comprender la utilidad social del objeto matemático.
CONCLUSIONES
• El proceso de Caracterizar la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas se instaló en dos perspectivas: la curricular y la didáctica. La primera implica considerar el dominio matemático como matriz de los contenidos y en función de los procesos matemáticos que reorganizan el currículo matemático escolar; la segunda, se fundamenta en referentes de investigación en didáctica de las matemáticas que postulan la enseñanza y el aprendizaje para el desarrollo de competencias matemáticas focalizadas en dos expectativas de aprendizaje: una de corto plazo relacionada con los objetivos especícos articulada a la segunda expectativa de largo plazo relacionada con las competencias. • La actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes evidenciada en la investigación permite caracterizar la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas de la siguiente manera: los estudiantes desarrollan procesos matemáticos, capacidades y aspectos afectivos y de tendencia de acción quey caracterizan su actuación en los de niveles de complejidad inicial receptivo básico. Movilizan componentes la competencia matemática Plantear y resolver problemas como identicar un problema, establecer un plan desde sus conocimientos previos y ejecutarlo ejercitando de manera correcta los algoritmos de cálculo; con respecto al proceso de metacognición, no se evidencian muchos progresos, esa reexión sobre el uso de los contenidos matemáticos en lo escolar y extraescolar, lo que se aprende y
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VARIOS AUTORES
para qué se aprende, no aparece como regularidad en ninguno de sus niveles. • Esta investigación considera que para evaluar el desarrollo de competencia matemática Plantear y Resolver Problemas, la clásica heteroevaluación no valora de forma integral las actuaciones de los estudiantes en las actividades matemáticas de aprendizaje. Por ello, la evaluación debe comprender procesos de autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación de los aspectos cognitivos, afectivos y de tendencia de acción de la competencia. • Uno de los elementos sustanciales que se encontró en la investigación es la importancia del uso y aplicación de las secuencias didácticas, las cuales aparecen como herramientas exibles permitiendo articular el proceso de enseñanza y aprendizaje. Se conciben como una metodología que permite valorar aspectos de la competencia desde el enfoque socio formativo, en su uso, se articulan el contenido matemático con procesos generales en situaciones de aula, esto permite valorar la actuación del estudiante desde diferentes dimensiones del desarrollo humano, posibilitan una planicación ordenada de actividades matemáticas de aprendizaje que ayudan a incluir en zonas de aprendizaje o zonas de dominio toda la heterogeneidad del proceso complejo de desarrollo de competencias matemáticas de los estudiantes. • Los modelos de competencia matemática propuesto por varios investigadores, entre ellos Tobón (2006), Tobón et al (2009-2010), Solar (2009), García et al. (2010) básicamente comparten los siguientes elementos: a) las tareas matemáticas como un aspecto relacionado con los contenidos matemáticos; b) los procesos matemáticos que constituyen las competencias matemáticas; c) Los niveles de complejidad de las tareas y los procesos en donde se indica el grado de movilización de la competencia y c) La actividad matemática de aprendizaje que indica la calidad del proceso de desarrollo de la competencia matemática del estudiante. Estos elementos fueron la base del modelo teórico a priori propuesto por esta investigación para caracterizar la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas articulando tres aspectos especícos del desarrollo humano: el saber ser, el saber conocer y el saber hacer. OTROS APORTES
En el desarrollo de esta investigación se encontraron algunos aspectos que se quieren resaltar respecto a los niveles de Dominio planteados inicialmente como aportes desde el punto de vista teórico y de procedimiento.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
DESDE LO TEÓRICO
El concepto Zonas de Aprendizaje o Zonas de Dominio se incluye en esta investigación como una forma de indicar que los estudiantes no movilizan sus actuaciones, aptitudes y desempeños de manera homogénea en un solo nivel de domino en una actividad matemática de aprendizaje, generalmente se mueven en dos niveles de dominio como máximo, es decir, para una actividad matemática de aprendizaje planeada en una secuencia didáctica, las actuaciones de los estudiantes en el saber conocer se encuentran en el nivel inicial receptivo; pero en el saber hacer y saber ser, sus actuaciones están en el nivel de dominio básico. Esto hace de la evaluación del desarrollo de competencias de los estudiantes, una actividad compleja e integral que no se agota en la valoración de los niveles de dominio (aspectos cognitivos), sino que involucra aspectos afectivos, metacognitivos y de pragmática de uso de la competencia. Así mismo, se ha comprobado que trabajar con un objeto matemático tan complejo para los alumnos como es la Mediana en actividades matemáticas de Plantear y Resolver Problemas, en problemas extraídos de su contexto, permite a los estudiantes construir y compartir signicados matemáticos, usar la competencia al resolver problemas del contexto y, por tanto, desarrollar proceso matemáticos de mayor nivel de complejidad. DESDE LO PROCEDIMENTAL
En el desarrollo de la investigación se necesitó diseñar matrices de desempeño, lo que facilitó una mejor caracterización de la actividad matemática de aprendizaje de los alumnos, permitió confrontar los procesos competenciales en los diferentes niveles de dominio esperados con los alcanzados por los estudiantes en su actividad matemática de aprendizaje. Si bien es cierto, estas matrices podrían generar para los maestros complejidades de adaptación a su contexto socio cultural de aula, esta investigación considera que al articularlas con herramientas informáticas como las hojas de cálculo, son una herramienta poderosa para planicar la enseñanza y el aprendizaje para el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes. REALIDADES FUTURAS DE ESTA INVESTIGACIÓN
Toda investigación cientíca tiene por objeto establecer pautas generadoras de nuevos caminos que buscan validar, refutar o ampliar los resultados obtenidos. Como uno de los principales objetivos de esta investigación es la de presentar innovaciones desde el punto de vista experimental en el aula de clase en el campo de la educación matemática basada en competencias, es inevitable que se 255
VARIOS AUTORES
convierta en precursora de nuevos procesos investigativos en este campo de la didáctica. Las realidades futuras de esta investigación generan expectativas desde los diferentes enfoques, pero considerar modelos matemáticos como herramientas en los procesos de aprendizaje por competencia quizá sea a donde mejor se dirija, sin embargo se destacan otros ámbitos generales donde se pueden desarrollar nuevos campos de investigación. • El modelo teórico presentado en esta investigación debe ser validado en las instituciones educativas de forma más amplia y extensa de tal forma que permita ser vericado en diferentes contextos, por diferentes actores y en diferentes niveles. • Ampliación de los estudios en donde se permitan caracterizar la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas a otros niveles de dominio matemático, mediante la utilización de las TIC´S. Esto implica un trabajo muy centrado en los sistemas de representación e interpretación que los estudiantes utilizan en el desarrollo de actividades matemáticas, para ello la participación de los estudiantes es fundamental debido al alto nivel de abstracción al que se debe recurrir. • Si bien este estudio se centró en un modelo matemático que permite relacionar las actividades, procesos, saberes de la competencia matemática plantear y resolver problemas en todos los niveles de dominio y para ellos se diseñaron secuencias didácticas desde el enfoque socio formativo en donde los resultados fueron comparados con rejillas y descriptores, no se visualizaron niveles de dominio autónomo y estratégico, lo que crea la necesidad de diseñar nuevas estrategias investigativas en donde los estudiantes alcances dichos niveles. • Uno de los objetivos de este trabajo, es contribuir con la línea de investigación en competencia matemática desde el enfoque socio formativo propuesto por Tobón et al (2010), mediante la utilización de secuencias didácticas como herramientas que facilitan el diseño de actividades matemáticas de aprendizaje de complejidad creciente, fortaleciendo los procesos competenciales en los estudiantes. Esto contribuye a abrir un campo de acción relacionado con las competencias, derivado de cómo las secuencias didácticas coadyuvan a la transversalización de los saberes en otras áreas del conocimiento y en competencias matemáticas de forma general. • Ampliar esta investigación contribuye a indagar problemas concretos sobre la competencia matemática en el aula de clase, esto se da en la medida que otras investigaciones confronten los resultados aquí obtenidos; posibilitando de esta manera contribuir a un currículo que promueva la educación por competencias, en especial las competencias matemáticas. En este sentido,
256
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
la educación por competencias debe ir más allá de un discurso pedagógico que pretende ser la solución ideal al problema educativo, las competencias emergen como un elemento integrado entre lo curricular, lo didáctico y el contexto, rearmando lo indicado por Tobón (2008), en cuanto a que los estudiantes deben tener un proyecto ético de vida, en donde se focalicen aspectos conceptuales y metodológicos de la educación, construidos de forma participativa en los PEI de las instituciones.
257
ANEXO 1 SECUENCIAS DIDACTICAS
Investigadores : Edgar Floriano Quintero
Actividad : 1
Luis Germán Floriano Quintero Nombre Actividad: Exploración de datos
Fecha: _________
Hoja: 1
de 3
Con el objetivo de indagar sobre diversos aspectos que afectan el rendimiento académico de los estudiantes del grado 9° en el área de matemáticas, se realizó una encuesta para determinar las actividades realizadas por los estudiantes en su tiempo libre y así planear acciones que permitan mejorar su rendimiento académic o. En la siguiente tabla se condensa la información recogida respecto al número de horas que los estudiantes le dedican al uso del Internet. Estudiante
Tiempo(h/Sem)
Brandon
15
Diego
8
Lina María
10
Jennifer
22
Cristofer
16
Brayan
20
Stella
6
Jefferson
4
Yeison
24
Yuliana
14
Vanesa
10
Paola
8
Angie
12
Natalia
7
D.Fernando
2
Mayerli
18
Jhonatan
16
Leidy V
9
Dayron
12
Franklin
18
1-¿Cuál es el estudiante que mayor tiempo utiliza el internet? 2-¿Cuál es el estudiante que menor tiempo utiliza el internet? 3-Para una mejor observación de los datos, ¿Cómo debería el profesor organizar la información para responder de manera conveniente? 4-Una vez organizada la información (de acuerdo a tu propuesta) describe la información de manera detallada. 5-Seleccione el estudiante que de acuerdo al tiempo que utiliza en internet distribuya en igual cantidad el número de estudiantes por debajo y por arriba de este tiempo. 6-¿Cuál es el tiempo utilizado en internet que distribuye en igual cantidad el número de estudiantes por debajo y por arriba de este? 7-¿Tuvo algún inconveniente al responder las preguntas 5 y 6? ¿Cuál de las dos le causó mayor problema al responder? ¿A qué atribuye este problema? 8-La coordinadora académica me solicita un informe inicial sobre el análisis de los datos de la tabla, con base a las respuestas anteriores, ayúdame a realizar el informe.
VARIOS AUTORES
Trabajo de Investigación: La Competencia Matemática Plantear y resolver problemas, el caso de la mediana Secuencia didáctica: El uso del tiempo libre, ¿Favorece mi desempeño académico? Investigadores : Edgar Floriano Quintero Actividad :2 Luis Germán Floriano Quintero Actividad de desarrollo
Fecha: ___ ___ ___
Hoja: 2
de 3
En la actividad anterior, con tu ayuda pudimos interpretar los datos generados por tus compañeros, ahora quisiera que me ayudes a hacer objetiva la interpretación anterior efectuando algunos cálculos, y así identificar su comportamiento real. Estudiante
Tiempo(h/Sem)
Brandon
15
Diego
8
Lina María
10
Jennifer
22
Cristofer
16
Brayan
20
Stella
6
Jefferson
4
Yeison
24
Yuliana
14
Vanesa
10
Paola
8
Angie
12
Natalia
7
D.Fernando Mayerli
2 18
Jhonatan
16
Leidy V
9
Dayron
12
Franklin
18
1-
¿Los datos a analizar corresponden a variables cualitativas o cuantitativas? Justifica tu respuesta
2-
¿A qué tipo de variables corresponden? ¿Continuas o discretas? Justifica tu respuesta.
3-
Para calcular las tres medidas de tendencia central, media, mediana y moda, indique si lo debe hacer para datos agrupados o no agrupados, justifica tu respuesta.
4-
Calcule las tres medidas de tendencia central, para los datos consignados en la tabla.
5-
¿Hay diferencias significativas entre los resultados de la media, la mediana y la moda?
6-
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para cada medida ¿cuál elegirías como la medida de tendencia central más representativa para el conjunto de datos? Justifica tu respuesta.
7-
Discute con tus compañeros, con tu profesor y registra por que la medida que seleccionaste es la más adecuada para representar el conjunto de datos.
8-
Puedes argumentar por qué en algunas ocasiones una medida de tendencia central es más adecuada para interpretar un tipo de datos.
9-
¿Qué cambios en los datos harías para que la mediana fuese la medida de tendencia central más representativa?
260
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE Trabajo de Investigación: La Competencia Matemática Plantear y resolver problemas, el caso de la mediana Secuencia didáctica: El uso del tiempo libre, ¿Favorece mi desempeño académico? Investigadores : Edgar Floriano Quintero
Actividad :3
Luis Germán Floriano Quintero Actividad de cierre
Fecha: ___ ___ ___
Hoja: 3 de 3
En las últimas clases hemos venido analizando el uso de tu tiempo libre. Dentro de la encuesta que se te aplicó en clase de matemáticas se determinó que el uso de internet era la actividad a la que le dedicaban mayor tiempo. En las actividades 1 y 2 , analizaste y verificaste algunas afirmaciones que surgieron de la observación de las respuestas que tú y tus compañeros plantearon. Plantea una pregunta relacionada con el tema de trabajo “Uso del internet como recurso de utilización del tiempo libre”.
1.
Pregunta: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________
2.
Socializa y justifica con tus compañeros la pregunta que planteaste. De todas las preguntas, el grupo debe seleccionar una pregunta cuya respuesta sea una palabra y otra donde la respuesta sea un número. Pregunta seleccionada 1:_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Pregunta seleccionada 2:_______________________________________________________________ _______________________________________________________________
3.
Reúne todas las respuestas en las siguientes tablas:
Estudiante
Respuesta 1
Estudiante
Respuesta 2
4.
Calcula la mediana de cada grupo de datos. Mediana 1.
5.
Interpreta el resultado obtenido en la pregunta anterior. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ¿Qué problemas encontraste en el cálculo de la mediana para cada tipo de datos, es decir en la respuesta 1 y 2? ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ¿A qué atribuyes dichos problemas? ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ¿Qué propones para solucionar dichos problemas? Verifica tu propuesta haciendo los respectivos cálculos.
6.
7.
8.
Mediana 2.
261
ANEXO 2 Trabajo de Investigación: La Competencia Matemática Plantear y Resolver problemas, el caso de la mediana Secuencia didáctica 2: ¿Cómo ayudar a mi profesor de Biología? Investigadores :
Actividad : 1
Edgar Floriano Quintero Luis Germán Floriano Quintero Actividad de exploración
Fecha: __ __ ___
Hoja: 1
de 3
El profesor de biología está preocupado por un incremento en la población de ratas en el colegio; últimamente han estado dañando todo lo que tiene papel y el archivo central de la institución está en peligro. En profesor desea crear conciencia en los estudiantes para prevenir la reproducción de ratas. Él necesita saber por qué las ratas tienen ese comportamiento y por qué tienen que estar royendo constantemente, para ello debe determinar una medida comparativa que permita concluir sobre el comportamiento fisiológico de éstas. El profesor inicia su indagación con el ritmo cardiaco (pulsaciones por minuto) de cuarenta animales, incluyendo las ratas. Los datos son entregados por el profesor en la siguiente tabla: Animal
Pulsaciones/Minuto
Elefante Merluza Murciélago Ardilla Cuervo Vaca Ratón Oso Camello Trucha Burro Foca Codorniz Tiburón Jirafa Halcón Águila Puercoespín Salmón Dorada
30 35 588 390 378 55 600 55 25 35 40 44 312 29 66 342 301 300 38 38
Animal
Paloma Hombre Conejo Trucha Ballena Gato Delfín León Oveja Cerdo Pavo Zorro Caimán Gaviota Cocodrilo Caballo Avestruz Buitre Comadreja Pollo
Pulsaciones/Minuto
170 70 150 35 16 130 110 42 75 70 211 240 47 401 48 35 70 347 388 320
1-
¿Qué elementos se deben tener en cuenta para empezar el estudio?
2-
¿Cuántas variables representan los datos entregados por el profesor de Biología?
3-
¿Cuáles son?
4-
¿Cómo organizarías los datos para hacer un mejor análisis de la situación propuesta por tu profesor de biología?
5-
Comparte tu propuesta de organización de los datos con tus compañeros y selecciona la que el grupo considere la mejor para ayudar al profesor, indica cual y justifica el porqué.
6-
Con base en tu organización de los datos ¿qué le puedes responder inicialmente al profesor?
VARIOS AUTORES
Trabajo de Investigación: La Competencia Matemática Plantear y resolver problemas, el caso de la mediana Secuencia didáctica 2: ¿Cómo ayudar a mí profesor de Biología? Investigadores : Edgar Floriano Quintero
Actividad : 2
Luis Germán Floriano Quintero Actividad de Desarrollo
Fecha: ___ ___ _____
Hoja: 2
de 3
El profesor de biología está preocupado por un incremento en la población de ratas en el colegio; últimamente han estado dañando todo lo que tiene papel y el archivo central de la institución está en peligro. En profesor desea crear conciencia en los estudiantes para prevenir la reproducción de ratas. Él necesita saber por qué las ratas tienen ese comportamiento y por qué tienen que estar royendo constantemente, para ello debe determinar una medida comparativa que permita concluir sobre el comportamiento fisiológico de éstas. El profesor inicia su indagación con el ritmo cardiaco (pulsaciones por minuto) de cuarenta animales, incluyendo las ratas. Los datos son entregados por el profesor en la siguiente tabla: Animal
Pulsaciones/Minuto
Animal
Pulsaciones/Minuto
Elefante Merluza Murciélago Ardilla Cuervo Vaca Ratón
30 35 588 390 378 55 600
Paloma Hombre Conejo Trucha Ballena Gato Delfín
170 70 150 35 16 130 110
Oso Camello Trucha Burro Foca Codorniz Tiburón Jirafa Halcón Águila Puercoespín Salmón Dorada
55 25 35 40 44 312 29 66 342 301 300 38 38
León Oveja Cerdo Pavo Zorro Caimán Gaviota Cocodrilo Caballo Avestruz Buitre Comadreja Pollo
42 75 70 211 240 47 401 48 35 70 347 388 320
1-
Calcula la media aritmética, e interpreta el resultado obtenido.
2-
Calcula la mediana e interpreta el resultado obtenido.
3-
Calcula la moda e interpreta el resultado obtenido.
45-
¿Cuál de ellas es la que mejor ayuda a la indagación del profesor? Compara con tus compañeros los resultados obtenidos y justifica el por qué seleccionaste esta medida.
6-
Determina con tu profesor si la medida de tendencia central escogida por ti, es la que mejor representa el grupo de datos para el análisis.
7-
Selecciona con tu profesor la medida que mejor representa el grupo de datos
8-
¿Cómo puedes responder al profesor sobre el comportamiento de las ratas de acuerdo a la medida que seleccionada?
264
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE Trabajo de Investigación: La Competencia Matemática Plantear y Resolver problemas, el caso de la mediana Secuencia didáctica 2: ¿Cómo ayudar a mi profesor de Biología? Investigadores : Edgar Floriano Quintero
Actividad : 3
Luis Germán Floriano Quintero Actividad de Cierre
Fecha: ___ ___ _____
Hoja: 3 de 3
El profesor de biología está preocupado por un incremento en la población de ratas en el colegio; últimamente han estado dañando todo lo que tiene papel y el archivo central de la institución está en peligro. En profesor desea crear conciencia en los estudiantes para prevenir la reproducción de ratas. Él necesita saber por qué las ratas tienen ese comportamiento y por qué tienen que estar royendo constantemente, para ello debe determinar una medida comparativa que permita concluir sobre el comportamiento fisiológico de éstas. El profesor inicia su indagación con el ritmo cardiaco (pulsaciones por minuto) de cuarenta animales, incluyendo las ratas. Los datos son entregados por el profesor en la siguiente tabla: Animal
Pulsaciones/Minuto
Elefante
30
Paloma
Animal
170
Pulsaciones/Minuto
Merluza
35
Hombre
70
Murciélago
588
Conejo
150
Ardilla
390
Trucha
35
Cuervo
378
Ballena
16
Vaca
55
Gato
130
Ratón Oso
600 55
Delfín León
110 42
Camello
25
Oveja
75
Trucha
35
Cerdo
70
Burro
40
Pavo
211
Foca
44
Zorro
240
Codorniz
312
Caimán
47
Tiburón
29
Gaviota
401
Jirafa
66
Cocodrilo
48
Halcón
342
Caballo
35
Águila
301
Avestruz
70
Puercoespín
300
Buitre
347
Salmon
38
Comadreja
388
Dorada
38
Pollo
320
123456-
En la actividad anterior seleccionaste inicialmente una medida de tendencia central ¿Coincidió con la de tus compañeros? Si ____ No______ ¿Coincidió con la de tu profesor? Si_____ No_____ Independien temente de tus respuestas, reflexiona sobre la coincidencia o no de éstas y justifíquelas. ¿Por qué la media aritmética no te sirve como la mejor medida de análisis para el grupo de datos? ¿Por qué la moda no te sirve como la mejor medida de análisis para el grupo de datos? ¿Qué aspectos de análisis te brinda la mediana para determinarla como la medida que mejor interpreta el conjunto de datos? Plantee una respuesta al problema planteado por el profesor de Biología, de acuerdo al resultado obtenido con el cálculo de la mediana.
265
COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR Y APRENDIZAJE DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS TRIÁNGULO Y CIRCUNFERENCIA
CARACTERIZACIÓN DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR: EL CASO DEL TRIÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
“Llegar a ser un participante en el discurso matemático es equivalente a aprender a pensar en una forma matemática”. Sfard (2008)
En este apartado se presentan los resultados de la investigación desarrollada con estudiantes de la Institución Educativa Agroecológico Buinaima (IEAB) en el municipio de Florencia y con estudiantes de la Institución Educativa Dante Alighieri (IEDA) en San Vicente del Caguán , en torno a los siguientes problemas de indagación: “¿Cómo caracterizar la competencia matemática comunicar en estudiantes de grado séptimo a partir del aprendizaje del objeto matemático triángulo?” y “¿Cómo caracterizar la competencia matemática comunicar en estudiantes de grado noveno a partir del aprendizaje del objeto matemático circunferencia?” respectivamente. Se asume una concepción de la competencia matemática Comunicar, se conceptualiza sobre cada uno de los aspectos asociados a la competencia: Cognitivo, afectivo y tendencia de acción. Los procesos matemáticos asociados a dichos aspectos que, en conjunto con las tareas que diseña el profesor, promueven la actividad matemática de aprendizaje del estudiante para caracterizar esta competencia. En relación con el aspecto cognitivo, el proceso de caracterización se focaliza en el aprendizaje de los objetos matemáticos triángulo y circunferencia, en los sistemas semióticos de representación, la estructura conceptual y su fenomenología. Del aspecto afectivo se conceptualiza acerca de la disposición, la motivación, es decir, la voluntad o el deseo del estudiante de responder a una determinada
VARIOS AUTORES
orientación relacionada con su proceso de aprendizaje; con respecto a la tendencia de acción, se asumen la dedicación, continuidad y persistencia con sus incidencias en el desarrollo de las actividades matemáticas de aprendizaje. Posteriormente se plantea el modelo teórico a priori (MTAP), cómo se debe comprender e interpretar para llegar a establecer las variables para caracterizar la competencia: objetivos, indicadores, capacidades, descriptores y las actuaciones de los estudiantes. Luego del análisis de los resultados se plantea la caracterización de la competencia matemática comunicar y las conclusiones. CONCEPCIÓN DE COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR (CMC)
Se asume como el conjunto de capacidades, habilidades y cualidades que tiene la persona para comprender e interpretar contenidos matemáticos expresados en forma oral o escrita, haciendo uso del lenguaje propio de la comunidad matemática en la que participa de los procesos de construcción y negociación de signicados, con base en un discurso de calidad y de normas de comporta miento, para convertirse en un miembro activo de la comunidad de aprendizaje, siendo capaz de solucionar problemas del contexto, usando la matemática como herramienta. La investigación comparte quecompetencias los aspectos matemáticas, cognitivo, afectivo y de los tendencia de acción, están presentes en las por tanto, asume asociados a la competencia matemática Comunicar (D’Amore, Godino y Fandiño, 2008). PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO: Aspecto Cognivo: Conocimiento de la disciplina matemática, en este caso, de la geometría plana y de esta, lo inherente al triángulo: criterio de trazabilidad, su clasicación según la longitud de los lados y la medida (de la amplitud) de los ángulos internos. Para aprender matemáticas los estudiantes han integrado pequeñas comunidades de aprendizaje al interior del aula de clase, esto implica
él debe habilidad el lenguajeydeconstrucción esta comunidad: oral -que escrito y detener interactuar ende loscomunicarse procesos deen negociación de signicados matemáticos, para que cuando participe en los procesos de socialización y validación de los conocimientos ante la totalidad de la clase, pueda compartir y negociar el signicado matemático. Estructura Conceptual del Objeto matemático Triángulo
270
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Triángulo: si A, B, C, son tres puntos cualesquiera, coplanares, no alineados tales que los segmentos se intersecan únicamente en sus extremos, entonces la reunión de los tres segmentos es un triángulo. Un triángulo se nombra como cualquier polígono, mencionando sucesivamente sus vértices, sin importar el orden en que sean tomados, teniendo en cuenta que el nombramiento que se haga debe hacer un recorrido sobre el perímetro del triángulo. Los lados de un triángulo se denotan, por lo general, por las letras correspondientes a los extremos del segmento que hacen sus veces: Para nombrar la longitud de un lado, normalmente se usa la letra del vértice del lado opuesto, convertido a minúscula: a para BC; b para CA y c para AB. La notación general para nombrar el ángulo entre dos segmentos , que comparten el extremo A es
a; a+c > b; a+b > c. TRIANGULO ABC (∆ ABC) es construible
si
con
a+b>c a+c>b b+c>a
HERRAMIENTAS CONVENCIONALES
SOFTWARE DE GEOMETRIA DINAMICA
Mapa1. Criterio de trazabilidad de triángulos. Fuente: Cruz (2013)
Clasicación de triángulos: A partir de la longitud de los lados, los triángulos se clasican en: Escaleno, Isósceles y Equilatero. Un triángulo es Escaleno: cuando la medida de la longitud de dos lados cualesquiera son desiguales; esto trae como consecuencia que las medidas de los tres ángulos internos sean desiguales entre sí. Usualmente se arma que un triángulo es escaleno cuando sus tres lados son desiguales. 271
VARIOS AUTORES
Triángulo Isósceles: Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados de igual medida; el otro lado se reconoce como base del triángulo; trae como consecuencia que los ángulos opuestos a dichos lados son agudos y congruentes. Triángulo Equilátero: un triángulo es equilátero cuando tiene sus tres lados de igual medida; trae como consecuencia que los tres ángulos internos son congruentes; es decir el triángulo es equiángulo; cada ángulo interno mide exactamente 60°. De acuerdo a la medida de la amplitud de los ángulos internos del triángulo, éstos se clasican en: Obtusángulo, Rectángulo y Acutángulo. Triángulo Obtusángulo: un triángulo es obtusángulo cuando tiene un ángulo obtuso; por consiguiente, los otros dos ángulos son agudos. Triángulo Rectángulo: Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto; al igual que en el obtusángulo, también tiene los otros dos ángulos agudos. Triángulo Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. A constinuación, con base en el mapa se ilustra la esctructura conceptual del objeto matemático triángulo TRIANGULOS se pueden CLASIFICAR según la medida de
ANGULOS
LADOS
ISOSCELES que tienen
2 LADOS DE IGUAL MEDIDA
ESCALENO que tienen
3 LADOS DE DISTINTAS MEDIDAS
EQUILATERO
ACUTANGULO
OBTUSANGULO
RECTANGULO
que tienen
que tienen
que tienen
que tienen
3 LADOS DE IGUAL MEDIDA
3 ANGULOS AGUDOS
1 ANGULO OBTUSO
1 ANGULO RECTO
Mapa 2. Estructura conceptual: Clasicación de triángulos. Fuente: Cruz (2013)
Se pueden combinar las dos clasicaciones para construir triángulos con características especícas, como por ejemplos: triángulo escaleno obtusángulo, escaleno rectángulo, escaleno acutángulo; Isósceles obtusángulo, Isósceles acutángulo, Isósceles rectángulo, como se muestra a continuación.
272
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Triángulo Escaleno - rectángulo
triángulo Escaleno - Obtusángulo
triángulo Escaleno - acutángulo triángulo Isósceles - obtusángulo
triángulo Isósceles - acutángulo triángulo Isósceles - rectángulo
Figura 47. Combinación de las dos clasicaciones del triángulo
Sistemas de Representación: Apoyados en Duval, se trata de asociar dichos conceptos registro de losfuncionará sistemas de representación de los triángulos. Para un sujeto una al representación como tal solo si cumple: • Disponer mínimo de dos sistemas semióticos diversos de representación. • Espontáneamente puede convertir de un sistema al otro, casi sin darse cuenta.
273
VARIOS AUTORES
• Las representaciones externas son, por naturaleza, representaciones semióticas. Para el caso de los triángulos es notoria la existencia de dos sistemas semióticos de representación: El teórico, en el que el triángulo se nombra usando el símbolo –ícono – ∆ al que se le unen los vértices del mismo, designados con letras mayúsculas y el gráco; en el que se consideran dos posibilidades: que el triángulo se ubique en el espacio (en este caso a cada vértice se le asigna una letra mayúscula) y el caso de los triángulos ubicados en el plano cartesiano, en él se marcan los vértices asignándoles las coordenadas de los tres puntos correspondientes. SISTEMAS DE REPRESENTACION
VERBAL
GRAFICA
LIBRE
ENPLANOCARTESIANO
Mapa 3. Sistemas de representación de los triángulos. Fuente: Cruz (2013)
REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA GRÁFICA
Por ubicación libre y en el espacio: Se traza el triángulo y los vértices se denominan con letras mayúsculas; se puede hacer su representación usando la notación: ΔABC. Igualmente es posible denotarlo como: ΔACB; ΔCBA; ΔCAB; ΔBAC; ΔBCA; que representan el mismo objeto, aunque parten de distintos vértices, lo que podría señalarse como “tratamiento”, habida cuenta que esta transformación genera otra representación en el mismo registro.
Figura 48. Representación semiótica gráca por ubicación libre y en el espacio
Figura 49: Representación semiótica gráca usando el sistema de coordenadas del plano Cartesiano.
274
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Por ubicación en el plano cartesiano: El triángulo se traza en el plano cartesiano, a los vértices de los ángulos le corresponden parejas ordenadas de números reales. Este tratamiento permite una aproximación al triángulo desde la Geometría analítica En el caso del triángulo representado en la gura 49 se puede nombrar usando los vértices que corresponden a los puntos donde se ubican estos; para este caso se expresa ∆ (3,4) ;(-5,-2) ;(4,-3), aunque cualquier orden al nombrar los vértices señalará el mismo triángulo (tratamiento). Podría nalmente señalarse que se da la “conversión”, dado que la transformación que se hace al pasar de la notación gráca a la notación nombrando los vértices genera una representación distinta a la inicial. Fenomenología: La fenomenología de este objeto matemático permite que se trate desde la relación que tiene con: Otros Objetos Matemáticos Círculo, circunferencia, Ángulos, Línea recta En Relación con las Matemáticas Geometría, Trigonometría, Algebra vectorial, Sistemas numéricos, cálculo Desde la Relación con otras Ciencias Pintura, Geodesia, Agrimensura, Astronomía, Física, Óptica, Cartografía, Náutica, Telecomunicaciones En la Cotidianidad Construcción, Deportes, Arquitectura moderna, Diseño, Medios de comunicación
275
VARIOS AUTORES
D A D I N IA D I T O C A L N E
N IO C C U R T S N O C
S E T R O P E D
A R U T C E T I U Q R A
O E IS D
N IO C A IC N U M O C E D S IO D E M
O L U G N A I R T
IA G O L O N E M O N E F
n o c o d a n o i c a l re
S IA C N E I C S A R T O N O C
S A C I T A M E T A M S A L N O C
S O C I T A M E T A M S O T E J B O S O R T O
A R U T IN P
A I S E D O E G
A R U S N E M I R G A
IA R T E M O N O IG R T
A I R T E M O E G
L IA R O T C E V A R B E G L A
A T C E R A E N I L
IA C N E R E F N U C IR C
S O L U G N A
276
IA M O N O R T S A
S O IC R E M U N S A M E T S I S
A IC S I F
A IC T P O
IA F A R G O T R A C
A IC T U A N
S E N IO C A C I N U M O C E L E T
) 3 1 0 2 ( z u r C :e t n e u F .
o l u g n riá t le d ía g o l o n e m o n e F . 4 a p a M
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Teniendo en cuenta que las tareas diseñadas se orientan hacia tratamientos relativos al entorno de los estudiantes o que sean representativos para los mismos y que para la investigación los aspectos que se tienen en cuenta se sintetizan en aplicaciones concretas, la fenomenología para el tratamiento de las tareas planeadas se restringen a La agrimensura: La Agrimensura estudia la medición y división de supercies de terrenos. En este caso se utiliza para la medición de un terreno de cultivo, situación inherente a la fundamentación conceptual de geometría. Las supercies encerradas dentro de los polígonos pueden calcularse: • Por Triangulación del polígono. • Por coordenadas • Mecánicamente (con planímetro) El procedimiento de triangular el polígono sólo se emplea para trabajos de dimensiones reducidas y donde se pueden medir las distancias y formar los triángulos, como en los levantamientos con cinta, exclusivamente. Para el caso del trabajo con los estudiantes de modalidad agroecológica en el manejo de cultivos agrícolas propios de la Amazonía, dos de las tareas planeadas para investigar la caracterización de la competencia matemática comunicar en relación con los triángulos están relacionadas con la medición de un terreno por el denominado modelo de triangulación del polígono irregular. En los Deportes: En los deportes de conjunto, tales como el fútbol y el baloncesto, los diseños estratégicos de ofensiva y defensiva se basan en la ubicación de tres jugadores, los cuales deben desplazarse siguiendo una gura triangular para desarrollar sus objetivos defensivos o de ataque. Una forma estratégica de mantener la posesión del balón, radica en posicionar los jugadores en forma triangular y jugar la esférica rotándosela perimetralmente triangular, teniendo en cuenta que los tres jugadores no siempre son los mismos y que los triángulos se conforman de acuerdo a las posiciones estratégicas que los deportistas mantienen en su sistema de juego y teniendo presente el sitio establecido para mantener la bola. En Baloncesto, la posición de ataque que mantiene el jugador denominado “armador” y los dos “postes” del equipo, siempre debe ser la de un triángulo; entre el armador, que es el vértice más lejano del aro que atacan y los “postes” ocupan las posiciones denominadas poste alto (lejano del aro) y el poste “bajo”, los otros dos vértices. Una posición diferente para estos tres jugadores, en ataque, son expresión de debilidad y un bajo nivel de formación táctica del equipo. Una situación de ataque en superioridad numérica 3 contra 2, los jugadores atacantes se deben colocar en posición de triángulo, con vértice lejano en el armador, para aproximar la superbola al aro contrario. Si uno de los defensas, o
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los dos, se decide por una marcación individual, inmediatamente el balón le es entregado al jugador libre quien debe terminar con un ataque de corta distancia. Otra aplicación de los triángulos, que se encuentra en los deportes está en la forma que tienen las pistas sobre las cuales se llevan a cabo las competencias. Para trabajar con los estudiantes se planeó una tarea relativa a una competencia de barcos de vela que deben hacer un recorrido en una pista de forma triangular. Este tipo de pistas se diseña sobre regiones oceánicas en las que los vértices del triángulo se representan con boyas y se obliga a los deportistas a realizar su competencia con vientos en tres direcciones distintas actuando sobre el barco de vela lo que pone en funcionamiento toda la experiencia y conocimiento de los deportistas. Para el control de la prueba los jueces se ubican en sitios estratégicos desde los cuales vigilan el desarrollo de la competencia, dado que al desplazarse en embarcaciones motorizadas generan oleaje que modica las condiciones de la “pista”. ASPECTO AFECTIVO:
Se consideran la disposición, voluntad, el deseo de responder a una determinada solicitud (externa o interna); en este aspecto se asume el deseo del estudiante de ser parte activa al interior de su comunidad matemática de aprendizaje y desde ésta, adelantar procesos de negociación para desarrollar el signicado matemático compartido a partir de cada una de las actividades matemáticas. ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN
Persistencia, continuidad, dedicación; el estudiante es persistente cuando se mantiene en el desarrollo de los procesos de la actividad matemática a pesar de las dicultades para lograr los resultados esperados, cuando replantea procesos. Hay continuidad cuando ante una dicultad o por cualquier otra situación, el estudiante reanuda el trabajo e interactúa con el grupo y con el profesor para llegar nalmente a unos resultados. El estudiante y su grupo de trabajo son dedicados cuando concentran su atención al desarrollo de la actividad. PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA:
Aspecto cognitivo: La circunferencia en el análisis de contenido busca identicar y describir el signicado del objeto matemático en las matemáticas escolares. A su vez, en el análisis de contenido se tienen en cuenta tres tipos de signicados: la estructura conceptual, los sistemas de representación y los modelos (análisis fenomenológico). Para este caso, se asumieron en el aspecto cogniti-
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vo, la estructura conceptual y el análisis fenomenológico de la circunferencia, tal como se ve más adelante. Para el desarrollo de la tarea se asumieron unos focos conceptuales, relacionados en la estructura conceptual del objeto matemático circunferencia, esos focos especícos a nivel curricular se adaptan y son propuestos en los contenidos del grado noveno tal como se muestran en las siguientes guras: OBJETO MATEMÁTICO
ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS RELACIONADAS
RELACIONES DE REPRESENTACION
RELACIONES CONCEPTUALES
Mapa 5. Elementos claves de la estructura conceptual
Elementos
Puntos y líneas
Circunferencias relacionadas
Rectas relacionadas
Mapa 6. Elementos de la circunferencia
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Ángulos
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Mapa 7. Deniciones de la circunferencia como línea
En el análisis fenomenológico y para la investigación se utilizó los dos últimos contextos que se representan en la gura 7.
Mapa 8. Análisis fenomenológico
La Fenomenología de la circunferencia en la cotidianidad, corresponde a las actividades, prácticas y situaciones del día a día donde la circunferencia generaliza y describe el funcionamiento de estos fenómenos y sus aplicaciones entre otras, en sectores música, el transporte, sistema horario, los deportes, entrecomo: otros. La Para el casolas dearmas, la investigación, loselestudiantes vivenciaron en la actividad matemática en la parte en que la tarea alcanzaba el nivel de complejidad de reproducción, la identicación de algunos elementos y conceptos relacionados con la circunferencia en la ruedas de los automóviles estacionados en el parqueadero de la Institución, tales como observar el radio, el diámetro y recta tangente en llantas de bicicletas y carros.
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La Fenomenología matemática de la circunferencia. Hace referencia a los elementos matemáticos que organiza la circunferencia, así como los objetos matemáticos para los cuales el concepto es el medio de organización y se muestra la relación con dichos objetos. Tales como, la relación de los elementos de la circunferencia. Diámetro, radio, cuerdas, arco, polígonos inscritos, entre otros. En el caso de la investigación, los conceptos que intervinieron en el aspecto cognitivo corresponde a: La relación de los elementos de la circunferencia,
Figura 40. Relación de los elementos de la circunferencia
Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. Tangente: Recta que interseca en un punto a la circunferencia. Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. ASPECTO AFECTIVO
En elimplica aspectotambién afectivo: un se considera que paraun desarrollar competencias matemáticas “desear conocer”, “desear hacer”, una manifestación afectiva expresada como volición y actitud. Como lo plantea D`amore: “¿Qué sería una competencia sin el deseo, la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella? (2008, p.21) D´Amore, Diaz y Fandiño (2008), en el aspecto afectivo enfatizan en la disposición, la voluntad y el deseo que maniesta el estudiante a dar respuesta a
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solicitudes de conocimiento que pueden ser externas o internas, inclinación favorable del estudiante para comunicar en su actividad matemática de aprendizaje. De acuerdo con Gómez y Figueiral (2007), las emociones se caracterizan como episodios en los que coactúan los sistemas de valoración, afectivo y de comportamiento (acción). Emergen a través de las interacciones entre lo cognitivo, afectivo y conativo (motor y motivacional). Por tanto, las emociones no son respuestas automáticas biológicamente dadas, son un producto de la interacción social, en particular de cómo el sujeto evalúa y maneja sus respuestas emocionales, a partir de las ideologías y normas que posee. Este manejo no se limita a la expresión, sino que se extiende a la vivencia emocional misma. Las emociones son el producto de las evaluaciones y reevaluaciones que las personas realizan a partir de su experiencia, de sus formas de soporte y de enfrentamiento social ante estímulos dados El proceso seleccionado asociado al aspecto afectivo fue la motivación. Como lo plantea D`amore, Díaz & Fandiño (2008, p. 24): el profesor puede hacer mucho para favorecer una correcta motivación, pero de manera pertinente entra en juego la correspondiente volición por parte del estudiante. Los mismos autores plantean la motivación entendida como componente esencial para que la competencia: Sea vista como algo que permite mejorar la calidad de vida de la sociedad. Como valoración especíca del sery humano persona. Seaadquiridos la expresión de la propensión al conocimiento al uso decomo los conocimientos paramisma proceder en la misma dirección, hacia nuevos conocimientos (p.40, 41).
ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN:
El aspecto de tendencia de acción: tiene que ver con la persistencia, continuidad o dedicación seguida por el participante en el desarrollo de la actividad matemática. En este sentido, se valora la pragmática de uso, aplicación o uso social de la competencia matemática cuando el estudiante resuelve problemas contextualizados, es decir, siente necesidad de ser partícipe de su propio conocimiento, siente motivación y un deseo y voluntad para involucrarse en las actividades y hacer uso del conocimiento en situaciones contextualizadas. En este aspecto se seleccionó el proceso de la dedicación entendida como el esfuerzo o el empeño puesto en marcha por el estudiante al enfrentarse a la solución de la problemática presentada en una situación matemática durante su actividad de aprendizaje.
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PROCESOS MATEMÁTICOS ASOCIADOS AL ASPECTO COGNITIVO DE LA CMC PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO: Se comparte con Rico & Lupiañez (2008. p.247) lo que se entiende por procesos de la CMC; es decir, se espera que los estudiantes, con respecto a lo cognitivo de la competencia matemática comunicar, para el estudio del triángulo, movilicen los siguientes procesos matemáticos:
• Expresar de forma oral o escrita su discurso acerca de las matemáticas, y • Comprender e interpretar matemáticamente los correspondientes enunciados orales o escritos de otras personas La persona comunica en forma oral o por escrito los resultados de los procesos que desarrolla cuando resuelve situaciones – problemáticas o de aprendizaje –relacionadas con sus conocimientos matemáticos del contexto. En la investigación se consideró que comunicarse matemáticamente de manera oral y en forma escrita, constituye un aprendizaje al interior de la institución escolar; en él se pone en pleno funcionamiento el compartir y negociar el signicado matemático. El desarrollo de este proceso complejo permite caracterizar la competencia matemática Comunicar a partir de valorar la actividad matemática de aprendizaje en términos de desarrollo de conceptos acerca del triángulo y su clasicación; para ello, cada alumno desde su equipo de trabajo, hace su aporte de concepciones, de clasicaciones, de representación simbólica y gráca, contribuye con estructuras de relación, comparación, analogías y generalizaciones; da ejemplos, para ir conformando su argumentación. La competencia matemática comunicar también se desarrolla en la medida que se logra comprender e interpretar desde las matemáticas, los enunciados orales o escritos de otras personas; con base en la entonación, el estudiante se da cuenta cuándo uno de sus compañeros o el profesor le está ordenando o pidiendo algo o está compartiendo signicados del objeto matemático, de esta forma, desarrolla procesos de compartir y desarrollar el signicado matemático. PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA
De acuerdo con Solar, Rojas y Ortiz (2011), cada competencia matemática se compone de procesos matemáticos, que se presentan de manera transversal a los contenidos matemáticos y se desarrollan a largo plazo. Estos procesos se articulan a cada uno de los aspectos asociados a la CMC mediante acciones que determinan actuaciones de los participantes durante la actividad matemática en función del trato del objeto matemático circunferencia, promueven el desarrollo cognitivo, afectivo o de tendencia de acción de los estudiantes y por ende, el de 283
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la CMC. Los procesos matemáticos asociados a los aspectos seleccionados para caracterizar la CMC se muestran en la siguiente gura.
Figura 51. Procesos matemáticos asociados a los aspectos de la competencia matemática comunicar
Procesos asociados al aspecto cognitivo: Los procesos considerados en este aspecto son: La participación, la negociación y la actividad discursiva. La participación: En el contexto sociocultural del estudiante, la participación es primordial para formar una comunidad de aprendizaje. El carácter social en la participación se entiende como procesos de negociación de signicados, surgida de la interacción explicita (cara a cara) tal como lo enuncia Rogoff: El rápido desarrollo del niño hacia formas más hábiles de participación en la sociedad se lleva a cabo a través de la participación guiada del niño, de una forma rutinaria menudo tácita, en el personas curso de actividades decir, los niños observan yyaparticipan con otras en culturas culturales; totalmente es establecidas.(Rogoff, 1993, p. 38)
Apoyados en Gorgorio y Prat (Citado por Rojas, 2009) se asume la participación como la contribución a la discusión matemática que tiene lugar cuando se propone un problema, se discute o resuelve colectivamente en busca de dar signicado a un determinado contenido matemático. 284
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Para Rojas (2009), la participación es el proceso de argumentar públicamente las ideas matemáticas que el alumno desarrolla en la discusión colectiva de la práctica matemática de aula. En Sfard (2008), caracterizar los términos discurso y comunicación en el contexto de la práctica del aula, signica que el estudiante se debe ver como una persona interesada en la participación. Ahora, aprender matemáticas, bajo la metáfora de la participación de Sfard, indica el proceso por el cual un estudiante - participante de la clase se convierta en miembro de una comunidad matemática. Es por medio de la participación, que el estudiante demuestra habilidad para comunicarse en el lenguaje propio de esta comunidad y actuar según sus normas particulares y negociadas en el proceso de consolidar la comunidad. En el proceso de participación no sólo se comparte y negocia la asignación de signicados a los objetos matemáticos discutidos, sino que es esencial tener en cuenta las normas con las que se desarrolla la actividad matemática. En otro sentido, claramente se ve que en la comunicación del estudiante, por medio de la argumentación y la justicación de sus ideas, este se convierte en un participante constructor de signicados matemáticos.´ En el aprendizaje desde la metáfora de la participación, es prerrequisito el deseo del estudiante de ser parte de una cierta comunidad y poner de maniesto las habilidades cognitivas como cualidades sociales más que intelectuales que Sfard enuncia, “ser capaz de negociar normas de comportamiento y luego seguirlas, ser capaz de desarrollar una buena comunicación con otros miembros del grupo, tener una buena inuencia sobre otros y, preferiblemente, cualidades de liderazgo.” (p. 34)
Otro cambio en la visión de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, dirigida desde una nueva práctica democrática, inducida por la participación, también lo expresa la misma autora, y es el, . . . hecho de que no se habla más de la permanencia-permanencia de las posesiones humanas o de los rasgos humanos. La nueva metáfora promueve un interés centrado en la gente en acción más que en la gente como tal, y ve la realidad como algo en constante ujo.” (Sfard, 2008, p. 34).
La negociación: Según Bishop (2005) En este aparte se considera importante tomar la idea del aspecto de la negociación, como proceso matemático componente de la CMC. Al aceptar que la comunicación tiene que ver con compartir signicados, se considera entonces que la negociación gira en torno al desarrollo de signicados, por ende, la negociación para Bishop. “una interacción dirigida por metas, en la que los participantes buscan alcanzar sus respectivas metas”(p.25). 285
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Por lo general, el profesor pretende que se alcancen todas las metas jadas en la tarea, pero con frecuencia eso no ocurre. Es en este momento que la autoridad y el poder del profesor no deben imponerse, en cambio, reconocer la asimetría en la relación de conocimiento con el estudiante en el desarrollo del signicado compartido. El proceso matemático de la negociación anima a los estudiantes a jugar un mejor papel en el desarrollo de sus propios signicados matemáticos compartidos al interactuar entre los participantes de la clase de matemáticas. La actividad Discursiva: Como se ha argumentado, el discurso juega un papel fundamental en el desarrollo de la interacción en el aula para contribuir a la comprensión de los procesos de participación y negociación para compartir y desarrollar signicados matemáticos. Asumiremos que para denir la actividad discursiva como proceso matemático, se tendrá en cuenta la actividad en la que se desarrolla el discurso, concepto que además de caracterizarse por ser extraordinariamente polisémico (Iñiguez, 2006a, p.104, citado por Rojas, 2009), es un fenómeno relativamente nuevo en la atención de los investigadores por atender las regularidades surgidas de la interacción en el aula durante las acciones comunicativas presentes, ya sea a nivel de matemáticas o en cualquier otro campo disciplinar. Algunas concepciones de discurso son presentadas por este autor, y se presentan porque se consideran que hacen parte del constructo del proceso matemático de la actividad discursiva que se pretende conceptualizar. • discurso como enunciado o conjunto de enunciados dicho/s efectivamente por un/a hablante. • discurso como conjunto de enunciados que construyen un objeto. • discurso como conjunto de enunciados dichos en un contexto de interacción en esta concepción se resalta el poder de la acción del discurso sobre otra u otras personas, el tipo de contexto (sujeto que habla, momento y espacio, historia, etc.). • discurso como conjunto de enunciados en un contexto conversacional (y por tanto normativo). • discurso como conjunto de constricciones que explican la producción de un conjunto de enunciados a partir de una posición social o ideológica par• ticular. discurso como conjunto de enunciados para los que se pueden denir sus condiciones de producción (Rojas, 2009, p. 56) Planas (2001, 2005) aporta una noción de discurso del aula matemática basada en explicar las diferentes interpretaciones de las normas, o las diferentes inter-
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pretaciones de las tareas matemáticas para las cuales comúnmente se supone una única interpretación posible. Al respecto, El Discurso en un aula de matemáticas, por ejemplo, es el conjunto de signicados legitimados que delimitan la cultura del aula: qué se acepta como demostración matemática, a qué criterios se da prioridad en el proceso de resolución de un problema, qué papel se otorga al profesor, etcétera […]. El discurso en un aula de matemáticas consiste en todas las formas de usar el lenguaje, creer, valorar y actuar coexistentes, incluyendo las no aceptadas dentro del aula.(Planas, 2005, p. 21)
El concepto de discurso que adoptamos para permitir el análisis comunicacional de los participantes del aula de matemáticas es: El vocablo discurso supone tanto las ideas como la forma en que se presentan las ideas (reglas del nivel de los objetos y reglas metadiscursivas) y abarca cualquier forma de comunicación, bien sea escrita, oral, gestual e incluso mental, en el caso de la comunicación de una persona consigo misma. Sfard (2008, p.17)
De acuerdo con Sfard (2008), aprender matemáticas en este contexto signica desarrollar un discurso de complejidad y de calidad creciente, de tal manera que se llegue a pensar que cambie no sólo la manera como se enseña matemáticas sino también la manera sobre lo que se ha aprendido. Para la autora, el aprendizaje desde este punto de vista se dene como: “el proceso de cambiar de cierta manera, bien denida, las formas discursivas pro pias.” (p.44)
En este mismo sentido, el lenguaje como elemento constitutivo de la perspectiva de la comunicación y teniendo en cuenta que en el discurso como lenguaje en acto, toma relevancia el papel y la importancia que juega la voz individual (Bakhtin, 1981, citado por Rojas, 2009) como ente conformador que incide en el desarrollo de las relaciones sociales y prácticas sociales conjuntas y construidas colectivamente, como manera de analizar la contribución del profesor y estudiantes en el dialogo y ver la forma en que éste posibilita generar espacios de participación. El discurso matemático dota de un lenguaje académico propio utilizado por el profesor y sus estudiantes para participar en la actividad matemática y lograr construir signicados matemáticos. PROCESO ASOCIADO AL ASPECTO AFECTIVO
La motivación: El Diccionario de la real academia española (DRAE) plantea que:
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La motivación, es un estímulo que anima a una persona a mostrar interés por una cosa determinada, o, la causa o razón que hace que una persona actúe de una manera determinada.
Para Nuttin (1980, citado por Belaustegui, 2005) ¨la motivación concierne a la dirección activa de la conducta hacia categorías preferenciales de situaciones o de objetos¨. En este sentido, se presta atención a los objetos hacia los cuales se dirige (el contenido) y por otro, a los procesos que intervienen en el funcionamiento de la motivación (los mecanismos). Este carácter muestra la motivación como manera de organización para la acción al integrar los aspectos cognitivos conuna los emocionales. PROCESO ASOCIADO AL ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN
La dedicación: Según el diccionario de la real academia, este proceso signica: Acción y efecto de dedicar, lo cual corresponde a una entrega intensa a una actividad determinada o n al que se destina una cosa. Para el caso de esta investigación, la dedicación está relacionada con el esfuerzo con que los estudiantes desarrollaron las actividades planteadas en la tarea matemática. Esta actitud tiene que ver con la rmeza del estudiante para alcanzar el objetivo quelasseactividades propone enque la tarea o el interés que presenta en lohacer de la mejor manera se realizan. En momentos que se proponen los estudiantes llegan a un nal denido por ellos mismos, es querer algo que se propusieron. Así esta virtud conocida también como la perseverancia permite llevar a satisfacción, en nuestro caso, tuvo que ver con acciones durante todo el proceso de la actividad matemática de aprendizaje en contextos escolares y extraescolares. Otros conceptos que se asocian a la CMC en el estudio del objeto matemático circunferencia y que tienen que ver con la actividad de aprendizaje del estudiante son: CAPACIDADES ASOCIADAS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR
Es inherente al signicado de proceso matemático hablar de capacidad por estar relacionado también al desarrollo de contenidos, Como lo arma Rico y Lupiañez (2006), en las relaciones de la noción de capacidad (ver gura 8) se muestra que capacidad, es un elemento que relaciona los aspectos cognitivos (un individuo desarrolla una capacidad), de contenido (es especíca a un tema concreto) y de instrucción (se reere a tipos de tareas o problemas).
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Figura 52. Aspectos, procesos matemáticos y capacidades asociadas a la competencia matemática comunicar.
Las capacidades se reeren a la actuación de los participantes en el esfuerzo de realizar cierto tipo de tarea, es decir, capacidad es la expresión externa especíca de carácter activo de la competencia individual (D’amore, Godino y Fandiño, 2008). Lo anterior es evidente cuando el estudiante desarrolla y moviliza capacidades por medio de las actuaciones, es decir, cuando se enfrentan a la resolución de tareas los participantes se van haciendo más competentes en matemáticas.
Figura 53. Relaciones de la noción de capacidad (Gómez y Lupiáñez, 2007)
Las capacidades que se describen en el MTAP tienen que ver con el desarrollo del constructo de la comunicación que se generan en la interacción social en el aula de matemáticas, tal como se presentan a continuación: En el aspecto cognitivo y los procesos matemáticos de la Participación, negociación y Actividad discursiva: • comprender y describir • Expresarse en publico • comunicarse en forma textual y graca
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• argumentar En el aspecto de la afectividad y de la tendencia de acción, se involucran iguales capacidades articuladas con el aspecto cognitivo y los procesos matemáticos de participación, negociación y actividad discursiva: • participar de la actividad matemática • compartir y negociar los signicados matemáticos • discutir con argumentos situados en la construcción de signicados matemáticos DESCRIPTORES Y ACTUACIONES ASOCIADAS A LA COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR
Un descriptor de carácter académico enuncia genéricamente las expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivo) respecto a las capacidades y habilidades relacionados con las cualicaciones que subyacen a la actuación del estudiante durante la actividad matemática, especialmente para este caso, las que se promueven de la manifestación de las distintas formas de comunicación en la interacción social en el aula de matemáticas. Los descriptores deben interpretarse dentro del contexto y del uso del lenguaje puesto en marcha a través de tareas matemáticas; las actuaciones los estudiantes se asumen la manera de proceder ejecutar o llevarde a cabo la consecución de cadacomo descriptor, la acción propia epara individual del estudiante. TAREAS, SITUACIONES MATEMÁTICAS Y NIVELES DE COMPLEJIDAD
El diseño de tareas y las actividades matemáticas es asumido por Goñi (2009), para manifestar una didáctica para el desarrollo de la competencia matemática, o sea una didáctica que considere la comunicación como el eje del trabajo organizado del profesor, debe partir del doble concepto de tarea-actividad, como medio para establecer el nexo comunicativo que se busca como fundamento y explicación de la didáctica de la matemática. Para el diseño de tareas matemáticas se tuvo en cuenta lo expuesto por Rico Lupiañez en estructurar tarea como expectativa de aprendizaje ay corto plazo(2008), fundamentada en la una consecución deuna objetivos especícos que irán a encaminarse a conseguir a largo plazo desarrollar la competencia matemática. Según este autor, las tareas, son parte fundamental del trabajo matemático a realizar en el aula de clase, por ello, al diseñar y seleccionar una tarea se debe tener en cuenta algunos criterios: Que sean compatibles con el análisis y la selección del contenido matemático que se está trabajando; que contribuya a lograr los objetivos especícos seleccio290
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nados y a superar dicultades o errores de los estudiantes; que permitan incorporar recursos y materiales que optimicen el logro de los objetivos de aprendizaje; que sean compatibles con técnicas de gestión de la clase; que contribuyan en la planicación de las secuencias de aprendizaje. Algunos de los criterios planteados anteriormente en el diseño de la tarea matemática aparecen a continuación. TAREA MATEMÁTICA Situación matemática 1 Situación matemática 2 Situación matemática 3 Identicación y descripAnálisis de la información reco- Simulación realizada por los ción de elementos de la gida sobre las mediciones realiza- estudiantes sobre elementos Circunferencia. Actividad das en la cancha de microfútbol y propiedades de la circunrealizada con las ruedas de la Institución contando vueltas ferencia mediante el uso de de las bicicletas, motos con la rueda metro. un software de geometría y carros estacionados dinámica. en el parqueadero de la Institución. Tabla25. Descripción de las situaciones matemáticas presentes en la tarea
Para el desarrollo de las tareas bajo esta visión, es necesario tener en cuenta en su estructura unos focos conceptuales (como los expuestos anteriormente), relacionados en la estructura conceptual objeto matemático circunferencia, focos especícos a nivel curricular sondel propuestos y se adaptan por los temasesos del grado noveno de secundaría. Un ejemplo de tarea matemática con la que se intervino en el aula de matemáticas, se puede observar en el anexo 1. De otro lado, la situación matemática aunque no se asume como un componente de la competencia, si es un concepto fundamental articulado a las tareas que el profesor diseña y propone a los estudiantes, por ello se aborda su conceptualización a continuación. SITUACIÓN MATEMÁTICA
El concepto de situación matemática se introduce en los aspectos relacionados con el análisis de los episodios de clase registrados durante la actividad matemática desarrollada los estudiantes el aula y que propician el desempeño y las actuaciones de lospor participantes en elendesarrollo de las capacidades. Para Cerda (2011), las situaciones matemáticas, en el dominio de la didáctica, son modelos de situaciones bajo el cual los estudiantes producen y aprenden los conocimientos que se reconocen como matemáticos. Una situación matemática tiene por objeto representar el mínimo de condiciones necesarias para explicar o
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justicar la puesta en obra de un enunciado matemático sin intervención didáctica exterior. Una situación didáctica puede involucrar una situación matemática. Entonces, toda actividad matemática se desarrolla bajo condiciones especícas de un conocimiento preciso, es decir, una situación matemática hace parte de la actividad matemática que realiza el estudiante en el desarrollo de tareas, puesto que las actividades están fundamentadas en problemas, como forma básica usada en una situación matemática para los procesos de enseñanza - aprendizaje. En este mismo marco de ideas, una situación matemática coincide con una aproximación conceptual de situación problema, por su estructura y puesta en marcha en el desarrollo de las tareas seguidas por los estudiantes participantes de esta investigación, y según lo expuesto por Obando y Muñera (2002), quienes arman que Una situación problema se puede interpretar como un contexto de participación colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos mismos, y con el profesor, a través del objeto de conocimiento, dinamizan su actividad matemática, generando procesos conducentes a la construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir la acción, la exploración, lasistematización, la confrontación, el debate, la evaluación, la autoevaluación, la heteroevaluación (p. 1).
Respecto al concepto situación problema, Moreno y Waldegg (citados por Obando y Muñera (2002),deplantean: [...] La situación problema es eldetonador de la actividad cognitiva, para que esto suceda debe tener las siguientes características: •Debe involucrar implícitamente los conceptos que se van a aprender. •Debe representar un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, debe ser accesible a él. • Debe permitir al alumno utilizar conocimientos anteriores [...] (2002,56).
MODELO TEÓRICO A PRIORI (MTAP)
El MTAP que se asumió para caracterizar la CMC, presenta en su estructura los siguientes componentes. PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO:
Según García Ruiz, J (2013, p. 2,3) “El modelo es una reproducción simplicada de la realidad, que cumple una función heurística, ya que permite descubrir y estudiar nuevas relaciones y cualidades del objeto de estudio” en nuestro caso, la caracterización de la CMC.
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“El modelo teórico (también denominado por algunos autores, analítico) utiliza símbolos para designar las propiedades del sistema real que se desea estudiar. Tiene la capacidad de representar las características y relaciones fundamentales del fenómeno, proporcionar explicaciones y sirve como guía para generar hipótesis teóricas”.
Según Solar (2009, p.55-57), el Modelo de Competencia Matemática permite interpretar el currículo articulando las competencias; considera cinco elementos en su propuesta de modelo: La cultura matemática, las competencias matemáticas, los procesos matemáticos, las tareas y los niveles de complejidad. Para la construcción de nuestro modelo teórico a priori consideramos tres de éstos: La Competencia matemática, los procesos matemáticos y los niveles de complejidad. En el capítulo anterior se conceptualizó sobre ellos, por tanto, solo se argumentará lo especíco de la CMC y los objetos matemáticos triángulo y circunferencia Procesos matemáticos: los contenidos matemáticos se estructuran en tareas matemáticas; en los procesos de aprendizaje del triángulo se tomaron tres aspectos: la trazabilidad del triángulo o aplicación de la desigualdad triangular; la clasicación del triángulo a partir de la medida de la longitud de los lados y una tercera tarea relacionada con el aprendizaje de la clasicación de los triángulos a partir de la medida de la amplitud de sus ángulos internos. En desarrollo de la actividad matemática de aprendizaje, los alumnos llevan a cabo procesos matemáticos con los cuales se enfrentan a la exploración y estudio de la tarea, mediante la interacción con sus compañeros y el profesor se desarrolla el proceso de compartir y desarrollar signicado matemático, se valoran las acciones realizadas frente al problema en estudio. De acuerdo con Rico & Lupiáñez (2008, p.246-247), los procesos cognitivos inherentes a la competencia matemática comunicar “tienen que ver con que los estudiantes: se expresen de manera oral o escrita acerca de las matemáticas, y, comprendan e interpreten los enunciados orales o escritos de otras personas”. • Niveles de complejidad cognitiva: para la caracterización de la competencia matemática Comunicar se asumen tres niveles de complejidad organizados en función de las tareas y los procesos que conforman la competencia, a saber: niveles de reproducción, conexión, reexión. Las tareas se diseñaron e implementaron para caracterizar el nivel de complejidad de la CMC, en los aspectos cognitivos, afectivos y de tendencia de acción. Rico & Lupiáñez (2008, p.258), establecen y denen como clases de complejidad para las tareas, las siguientes: “Primera clase: Reproducción y procedimientos rutinarios. Segunda clase: conexiones e integración para resolver problemas estándar.
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Tercera clase: Razonamiento, argumentación, intuición y generalización para resolver problemas srcinales”.
En las tres tareas se propusieron procesos que permitieron establecer cada uno de los niveles de complejidad; por ejemplo, en la actividad uno para el nivel de reproducción se pide que a partir del dibujo construido (Ver Tarea 1) exprese el nombre genérico de ciertos polígonos como triángulos, cuadriláteros o polígonos de cinco lados – no pentágonos – utilizando las letras correspondientes a los vértices, denote cuadriláteros, triángulos y clasiquelos a partir de las medidas de lados; mida los ángulos internos. En la misma tarea, para caracterizar el nivel de conexión se le dan las formas geométricas del polígono a construir; se pide que con base en las medidas de las longitudes de los lados reconstruyan la forma del terreno de cultivo; se induzcan en el enunciado de la desigualdad triangular y la aplicación del criterio de trazabilidad, generalicen la clase de los ángulos internos a partir del triángulo rectángulo; midan los ángulos internos del triángulo y con base en éstas clasicarlo. Para el nivel de Reexión en la misma tarea, debe construir y expresar en forma general el enunciado del criterio de trazabilidad del triángulo; habiendo clasicado un triángulo de acuerdo a la longitud de los lados inferir la relación entre los ángulos internos del mismo; elaborar una clasicación de triángulos que relacione clase de ángulos y clasicación de triángulos. Aunque Rico & Lupiañez (2008, p.260) maniestan que la competencia de los estudiantes se reere a las capacidades individualmente desarrolladas y se ponen de maniesto por el tipo de tareas abordadas con éxito, en el grupo de trabajo cada alumno sigue sus propios procesos de solución; sin embargo, se pretende que todos en su condición de miembros de la comunidad matemática de aprendizaje, lleguen a construir un discurso matemático con niveles de complejidad progresiva; es decir, la Comunicación en la clase se desarrolla fundamentalmente para compartir, negociar signicados y conexiones de índole matemática, logrando las expectativas básicas de aprendizaje a corto plazo propuestas en las tres tareas que el profesor planteó, enfatizando en la participación de los estudiantes. La estrategia didáctica permite a cada uno alcanzar el nivel de profundización y formalización al establecer las conexiones entre la nueva idea o concepto y sus conocimientos previos, de acuerdo al nivel de complejidad de la Competencia que se está movilizando para su caracterización. Parafraseando a Rico &Lupiáñez (2008, p. 263) y considerando los tres niveles de complejidad, las expectativas de aprendizaje para la competencia matemática Comunicar tiene los siguientes indicadores: Grupo de reproducción: Comprender y saber expresarse oralmente y por escrito sobre cuestiones matemáticas sencillas, tales como reproducir el proceso para calcular el perímetro del triángulo, vericar la denición de perímetro cuando el triángulo es escaleno o isósceles; dibujar los triángulos dadas las medidas 294
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
de los lados, medir los ángulos en los triángulos construidos; diligenciamiento de tabla de datos con base en las medidas de los triángulos dibujados previamente. Grupo de Conexión: Comprende y sabe expresarse oralmente y por escrito sobre la clasicación del triángulo como escaleno o isósceles relacionando la medida de los lados y el criterio de trazabilidad; justica en forma oral o por escrito por qué se puede o no dibujar el triángulo con las medidas pedidas para que éste se pueda clasicar como escaleno o isósceles; medir los ángulos de los triángulos que les fue posible trazar y con base en éstas hacer la clasicación correspondiente. En este nivel de complejidad, también se puede corroborar la capacidad que tiene el estudiante para entender las armaciones orales o escritas hechas por los compañeros de otros equipos de trabajo o por el profesor en relación con el triángulo como objeto de estudio. Grupo de reexión: Comprender y saber expresarse oralmente y por escrito sobre cuestiones matemáticas que tienen que ver con: justicar por qué, con base en las medidas de los lados y el criterio de trazabilidad se puede construir el triángulo y clasicarlo como escaleno o isósceles; deducir la propiedad de que a mayor lado se opone mayor ángulo; inferir la clasicación de los ángulos internos del triángulo a partir de la clasicación de acuerdo a la longitud de los lados. Establecer relaciones de clasicación de triángulos a partir de la medida de los lados y la clasicación de acuerdo a la medida de los ángulos internos. Planeación de tareas: Siguiendo a Rico & Lupiáñez (2008, p. 289 - 311) para el caso del estudio del objeto geométrico triángulo, la tarea planeada comprende los tópicos o elementos que se explicaron previamente y que listamos a continuación: • • • •
Focos conceptuales prioritarios y desglose de focos Mapas conceptuales por focos Construcción de triángulos Clasicación de los triángulos * Figura 53 • Sistemas de representación • Mapas conceptuales de sistemas de representación • Análisis fenomenológico • • • • • • •
Situaciones Mapa conceptual de situaciones Denición de prioridades Objetivos especícos por temas Relación de objetivos especícos con competencias Actividades de intervención en el aula Evaluación de la competencia matemática comunicar
295
VARIOS AUTORES
Focos conceptuales prioritarios y desglose de focos: CONSTRUCCION DE TRIANGULOS
CLASIFICACION
AREA Y PERIMETRO
LINEAS Y PUNTOS NOTABLES
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
Desigualdad triangular
De acuerdo a medida de lados - Escalenos
Determinación del perímetro.
Altura Mediana Mediatriz
Criterios de congruencia LAL
Gráco de triángulos escalenos
- Isósceles - Equiláteros De acuerdo a medida de los ángulos - Obtusángulo - Rectángulo - Acutángulo
Determinación de área a partir de medidas de base y altura.
Bisectriz Ortocentro Baricentro Circuncentro Incentro
ALA LLL
Gráco de triángulos isósceles Gráco de triángulos equiláteros
Determinación de área a partir de la medida de los lados
Tabla 26. Focos conceptuales prioritarios y desglose de focos. Adecuación de Rico y Lupiáñez. (2008)
Los mapas conceptuales por focos relacionados con la construcción y clasicación de triángulos y lo correspondiente a los sistemas de representación: Oral - Escrita: Nombrando los vértices del triángulo “∆ABC” • Gráca: Dibujando el triángulo - En el plano Cartesiano - En el espacio y el relacionado con la fenomenología del objeto matemático presentados previamente. Situaciones: Al realizar el análisis fenomenológico de una estructura matemática, en primer lugar se deben delimitar algunas situaciones donde los conceptos matemáticos tienen uso y muestran su funcionalidad. Toda tarea matemática se asocia con una situación que se considera como aquella parte del mundo real en que se sitúa la tarea para el individuo. Las situaciones que se consideran son: Personales: Se reere a cómo los estudiantes aplican sus conocimientos sobre triángulos en situaciones laborales en sus ncas o sitios donde llevan a cabo sus cultivos. Educativas, ocupacionales o laborales: Se aplica a situaciones de tipo académico que el estudiante encuentra en el desarrollo del área de Proyectos Productivos Agrícolas o en su área de preparación técnica. Públicas: En las que el estudiante encuentra que sus conocimientos pueden aplicarse en un entorno social más amplio y en el cual como ciudadano puede
296
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
interpretar, analizar y evaluar información relativa a los triángulos, que aparece en los medios de comunicación. Mapa conceptual de las situaciones: En el mapa conceptual que se expone a continuación, se establece la interrelación entre las situaciones donde los conceptos matemáticos relacionados con el triángulo tienen uso y muestran su funcionalidad. TRIANGULO aplicado en estas situaciones SITUACIONES
PERSONALES
EDUCATIVAS
relativasa
PUBLICAS
realtivasa
ACTIVIDAD DIARIA
relativas a
QUEHACER ACADEMICO
INFORMACION
TECNICA
P. P. A.
dada en MEDIOS DE COMUNICACION
del
del relacionados con ALUMNO
del
ENTORNO SOCIAL
para INTERPRETAR
ANALIZAR
EVALUAR
Mapa 10. Clasicación de las situaciones. Fuente: Cruz (2013)
Denición de prioridades: A partir del desglose, análisis y organización de los contenidos se deben denir prioridades para el aprendizaje de los contenidos en este tema. Rico & Lupiáñez (2008. p. 304). Esta investigación prioriza a partir de la propuesta de los Estándares de calidad de matemáticas (MEN, 2003) y la propuesta del plan de área de matemáticas vigente en la IEAB. CONSTRUCCIONDETRIANGULOS
CLASIFICACION
Desigualdad triangular Gráco de triángulos escalenos Gráco de triángulos isósceles Gráco de triángulos equiláteros
De acuerdo a medida de los lados Escalenos Isósceles Equiláteros De acuerdo a medida de los ángulos Obtusángulo Rectángulo Acutángulo
Tabla 27. Denición de prioridades. Fuente: Israel Cruz Perdomo 297
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Objetivos especícos por temas:Cuando se planearon y construyeron las tres tareas matemáticas, se hizo con la perspectiva de considerarlas como expectativas de aprendizaje a corto plazo (objetivos), que junto con las implementadas previamente a la investigación y las posteriores a éstas, contribuyen al logro de las expectativas de aprendizaje a largo plazo (competencias) para los estudiantes; a la vez, con el propósito de desarrollar la investigación tendiente a la caracterización de la competencia matemática Comunicar, se pensó en objetivos relacionados con la construcción del triángulo, usando las herramientas convencionales: regla, escuadra, el transportador, el compás y lo inherente a la clasicación de éstos con base en la medida de las longitudes de los lados y de los ángulos; estos los registramos en la siguiente tabla.
No. 1
2 3
4
Objetivos especícos por temas en CONSTRUCCION DE TRIANGULOS Acordar la aplicación de criterios para la construcción de triángulos teniendo en cuenta la desigualdad triangular Concluir sobre l os procesos para construir triángulos equiláteros
Objetivos especícos por temas en CLASIFICACION DE TRIANGULOS
Explicar los procesos para construir triángulos escalenos Establecer los procesos para construir triángulos isósceles
Determinar las características que
5 6
Sustentar los criterios que denen un triángulo escaleno Argumentar los criterios para determinar triángulos isósceles denen un triángulo equilátero
Explicar y aplicar los criterios que denen un triángulo obtusángulo Argumentar los criterios para determinar triángulos rectángulo Conceptualizar las características que denen un triángulo acutángulo
Tabla 28. Objetivos especícos por temas en construcción de triángulos.
Relación de objetivos especícos con competencias: Rico & Lupiáñez (2008. p. 268) consideran que algunos temas contribuyen mejor al desarrollo de algunas competencias, por lo que en el desarrollo de la investigación sobre la caracterización de la CMC, se PR: consideraron como las más favorecidasC:lasComunicar que se referencian a continuación: Pensar y razonar A: Argumenta, M: Modelar, R: Representar
298
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
CONSTRUCCIONDETRIANGULOS PR 1
2 3 4
Acordar la aplicación de criterios para la construcción de triángulos teniendo en cuenta la desigualdad triangular Concluir sobre los procesos para construirtriángulos equiláteros Explicar lo s procesos para construir triángulos escalenos Determinar los procesos para construir triángulos Isósceles
COMPETENCIAS A C M x x
R x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tabla 29. Relación de objetivos especícos con competencias
CLASIFICACION DETRIANGULOS PR 1 2
3 4 5 6
Sustentar los criterios que denen un triángulo escaleno Argumentar los criterios para determinar triángulos isósceles Determinar las características que denen un triángulo equilátero Explicar y aplicar los criterios que denen un triángulo obtusángulo Argumentar los criterios para determinar triángulos rectángulo Conceptualizar las características que denen un triángulo acutángulo
COMPETENCIAS A C M x x
R x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tabla 30. Relación de objetivos especícos con competencias
ACTIVIDADES DE INTERVENCIÓN EN EL AULA
Para la implementación de la investigación se diseñaron tres tareas que fueron aplicadas en tres sesiones en equipos de trabajo de cuatro estudiantes. A cada grupo le fue tomada una grabación de audio y un video, además se les recoge un documento en el que muestran sus resultados escritos como los soportes con los cuales se hace el análisis de la información.
299
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TAREA 1: TRAZADO Y CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS
En el terreno tomado para un cultivo se hace una serie de mediciones, las cuales se presentan y se representan grácamente a continuación:
Ubica las medidas en losΔAEB, correspondientes lados de de acuerdo la guraa la medida de sus Clasique los triángulos ΔACB y ΔBEF lados y justique dicha clasicación. NOTA 1: En todo triángulo se cumple que la suma de las medidas de dos lados cualesquiera es mayor que la medida del otro lado. Dibuje por separado cada uno de los triángulos que se muestran en el gráco, sin importar la orientación que los mismos tengan
• Sume por pares los lados de cada triángulo, compare con la otra medida y registre sus comparaciones en el cuaderno. • Dibuje un triángulo de medidas 4m, 6m y 12 m. • ¿Encuentra alguna dicultad para hacerlo? Justique su respuesta y continúe con el desarrollo de la actividad. Sume por pares los lados de este triángulo y compare con el otro lado. ¿Encuentras alguna diferencia respecto de los lados medidos en los triángulos en los puntos 3 y las comparaciones hechas en el punto 4? 300
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Enuncie una armación que relacione la medida de los lados de un triángulo y la posibilidad de su trazado NOTA 2: En cualquier triángulo, la suma de la medida de los ángulos internos, es igual a 180. • El triángulo ΔAEB es un triángulo rectángulo. ¿Cómo se justica esta armación? Escriba por lo menos dos justicaciones. • (Complete) En el ΔAEB el
¿Es posible que haya triángulo rectángulo equilátero? Complete y justique las siguientes armaciones Cuando el triángulo es isósceles y el ángulo mayor es obtuso entonces . . . Cuando el triángulo es isósceles y el ángulo mayor es agudo … Si un triángulo es escaleno y su ángulo mayor es agudo . . . Cuando un triángulo es escaleno y su ángulo mayor es recto . . .
301
VARIOS AUTORES
Una vez que la totalidad de la actividad sea desarrollada, socialicen las respuestas dadas por cada uno de los integrantes del grupo y en la guía del equipo elaboren un informe en el que se recojan los acuerdos obtenidos. TAREA 2: TRAZADO Y CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS
En la clase de Proyectos Productivos Agrícolas, el docente del área asigna a un grupo de estudiantes zonaasignado de cultivo un terreno que tiene forma triangular. El docente sabe que como el terreno tiene un perímetro de 60 metros y así lo hace saber a sus estudiantes. Viendo que la situación le permite probar el conocimiento que tienen los estudiantes sobre la construcción y clasicación de triángulos (de acuerdo a la medida de sus lados y la medida de sus ángulos) decide plantear la siguiente situación a todos los estudiantes del curso • Determinar las posibles medidas de los lados del triángulo si quiere que este sea escaleno y uno de sus lados mide 18 metros. Los estudiantes se reúnen y de las respuestas presentadas se han escogido 3 que se consideran representativas del trabajo de los estudiantes: * G: 1: 18m, 20m, 22m * G. 2: 18m, 21m, 21m * G. 3: 18m, 30m, 12m • Justique si cada una de las respuestas anteriores en válida (si es correcta) • Explique por qué la condición de triángulo escaleno lo cumple o no cada uno de los grupos en su respuesta • Mediante un gráco determine la solución que cada grupo plantea y muestre lo armado en a. La actividad propuesta por el docente continúo así: • Determine las posibles medidas del triángulo si se quiere que este sea isósceles. Los estudiantes presentaron las siguientes soluciones: * G. 1: 30 m, 15 m, 15 m * G. 2: 40 m, 10 m, 10 m * G. 3: 16 m, 22 m, 22 m Para cada una de las soluciones presentadas • Justique porqué la respuesta es correcta o no • Cada una de las respuestas es posible de construir? Determínelo mediante un gráco de la situación
302
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
• Si se cumple con las condiciones de triángulo isósceles la solución planteada no es posible de gracar ¿cuál sería la conjetura a la que se puede llegar? • El docente termina su actividad planteando la siguiente situación Determinar las posibles medidas de los lados si se quiere que el triángulo sea equilátero Las respuestas de los estudiantes fueron: * G. 1: 20 m, 20 m, 20 m * G. 2: 20 m, 20 m, 20 m * G. 3: 20 m, 20 m, 20 m * • ¿Existen otras posibles respuestas para la situación planteada? Justique • Graque la situación dada. Con las soluciones gracables en las situaciones 1, 2 y 3 complete la siguiente tabla, para lo cual debe llevar a cabo la medición de los ángulos interiores Medida Triángulo
Lado AB
Lado BC
Lado CA Angulo A Angulo B Angulo C
Isósceles Escaleno Equilátero
Elabore conclusiones que relacionen las medidas de los ángulos con la medida de los lados del triángulo. • Qué relaciones pueden encontrar entre la clasicación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados con la clasicación de acuerdo a la medida de sus ángulos. Una vez que la totalidad de la actividad sea desarrollada, socialicen las respuestas dadas por cada uno de los integrantes del grupo y en la guía de grupo elaboren un informe en el que se recojan los acuerdos obtenidos. TAREA 3: CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS
En los Juegos Olímpicos el recorrido de una de las regatas tiene forma de triángulo con el ángulo mayor en A. Las longitudes de los lados medidas kilómetros, son: AB=2,4; AC=3,2; BC=4,8. En cada vértice está situada una boya
303
VARIOS AUTORES
• Elabore un dibujo de la situación. • ¿Cómo clasicaría el triángulo formado: * De acuerdo a la medida de los lados. Justique su armación * De acuerdo a la medida de sus ángulos. Justique su armación • Calcule la medida del perímetro de la pista en que se lleva a cabo la competencia de regata • Si se hiciera necesario que el triángulo sea equilátero: * ¿Qué condiciones deben modicarse en la pista si se desea que el perímetro se mantenga? * Dibuje la nueva situación * ¿La situación que soluciona esta parte del problema es única? Justique su respuesta. • Si la necesidad obligara a restringir la pista a una supercie con forma de triángulo Isósceles: * ¿Qué condiciones deben modicarse en la pista si se deja como lado del nuevo triángulo el mayor que se tiene en la situación inicial y se desea que el perímetro sea 3 km mayor? * Represente grácamente la situación. * ¿La solución que se obtendría en este caso será única? Argumente su respuesta • Con base en los dibujos de las situaciones gracadas en los puntos 1, 4 y 5 resuelva las siguientes cuestiones * Argumente la relación encontrada entre la medida de los lados y la medida de los ángulos cuando el triángulo es escaleno * Exprese la relación hallada entre la medida de los lados y la medida de los ángulos cuando el triángulo es isósceles * Justique la relación dada entre la medida de los lados y la medida de los ángulos cuando el triángulo es equilátero • Elaboren un texto (escrito) con base en la actividad desarrollada, teniendo en cuenta: * Los apropiados y aplicados ,requeridos para solucionar laconocimientos tarea * Los instrumentos indispensables para desarrollar la tarea y la justicación de uso. * Los acuerdos, desacuerdos y dicultades de conocimiento que se evidenciaron al desarrollar la actividad.
304
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
DESCRIPTORES DE LOS ASPECTOS AFECTIVOS Y TENDENCIA DE ACCION DE LA CMC
Este proceso se hace a partir de la interpretación de los registros en video que se obtienen clase por clase. Para esta se plantean los siguientes indicadores: S= siempre CS = Casi siempre; AV =Algunas veces PV= Pocas veces N = nunca
CRITERIOSDEDESEMPEÑO
S
Es puntual al ingresar y asiste a todas las actividades.
CS 75
AV
PV
N
25
Atiende y participa activamente en desarrollo dela actividad
75
Muestra interés porque su discurso oral sea el mejor
50
50
Se preocupa porque su discurso escrito –respuestas a las preguntas – sea de mejor calidad
50
50
Escucha y respeta el uso de la palabra
75
25
Demuestra su aprendizaje a través de la participación dinámica y efectiva en el equipo
75
25
Se comporta adecuadamente sin necesidad de ser supervisado.
50
50
Dispone de los recursos necesarios para trabajar en clase.
75
25
75
25
Toma los apuntes necesarios y hace óptimo aprovechamiento de ellos. Reconoce las dicultades en eldesarrollo de la actividad y elabora las consultas pertinentes
25
50
25
25
Las correcciones hechas a la actividad las asume con atención 50 y se dispone a hacer las correcciones
25
25
Tabla 31. Indicadores de desempeño en Aspectos Afectivo y Tendencia de Acción.
PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA:
El MTAP que se asumió para caracterizar la CMC, objeto matemático circunferencia, presenta los siguientes componentes.
305
VARIOS AUTORES
Concepto de CMC
Aspectos asociados a la CMC
Procesos matemáticos Asociados a los aspectos
Capacidades asociadas a los procesos matemáticos
Descriptores asociados a la capacidades
Actuaciones asociadas a los descriptores
Tareas matemáticas
SM1
SM 2
SM 3
Tabla 32. Componentes del modelo teórico a priori-competencia matemática Comunicar
El modelo teórico se considera a priori porque en su composición los elementos presentes articulan integradamente procesos que permiten describir y caracterizar la competencia. El MTAP que se usa para caracterizar la competencia matemática comunicar apunta, más allá del aprendizaje de contenidos, a una propuesta didáctica que también promueve la formación de ciudadanos constructivos, comprometidos socialmente y reexivos culturalmente en el rigor exigido para comprender las matemáticas, desde el desarrollo de procesos comunicativos que se dan en el aula de matemáticas para construir el signicado matemático usando el objeto matemático circunferencia, para ser comunicados, compartidos y desarrollados en un contexto socialmente útil. APLICACIÓN DEL MODELO TEÓRICO A PRIORI (MTAP) Y CARACTERIZACIÓN DE LA CMC PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO: Para el proceso de aplicación del Modelo Teórico a priori, se seleccionaron, construyeron e implementaron tres tareas; en cada una se establecieron ítem, preguntas, procesos que permiten evidenciar la presencia de tres aspectos: el cognitivo, el afectivo y el de tendencia de acción, estas se plantean como perspectivas de aprendizaje a corto plazo, con base en las cuales los estudiantes desarrollan procesos matemáticos con niveles de complejidad creciente hasta llegar a producir en su comunidad de aprendizaje discurso matemático. Al iniciar el desarrollo de cada actividad, los estudiantes deben resolver en
forma individual dos ítem relacionados con el reconocimiento de los recursos materiales, los conceptos y conocimientos previos que son necesarios para adelantar los procesos correspondientes; posteriormente, en grupos llevan a cabo el trabajo colectivo; de cada sesión el investigador hace una grabación en audio - video, otra de solo audio, recoge la producción escrita que corresponde a la sustentación del trabajo y respuestas a preguntas, estos son los insumos que posteriormente se utilizarán para la caracterización de la Competencia matemática Comunicar.
306
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
A continuación se presenta el consolidado de la información obtenida a partir de los procesos de sistematización enunciados en párrafos anteriores. Para efectos del análisis que se adelantará, se entenderá un desempeño superior cuando los estudiantes usan para el desarrollo de los procesos comunicativos de argumentación, sustentación, socialización y validación de los conocimientos matemáticos el lenguaje oral o escrito que responde a las características del lenguaje matemático apropiado; un desempeño alto cuando el lenguaje usado tiene una parte matemática y otra de lenguaje natural – cotidiano; un desempeño básico cuando el lenguaje usado es únicamente el natural - cotidiano y un desempeño bajo cuando el lenguaje usado no es apropiado ni desde lo matemático ni desde lo cotidiano. Cuando expresamos que el estudiante o su equipo de trabajo se comunica en forma correcta, utilizando un lenguaje matemático apropiado a los requerimientos del problema, estamos armando que éstos evidencian las componentes denidas por Murillo & Marcos (2009, p…8-9): • Coherencia (componente relativa a la competencia discursiva): para analizar la capacidad de elaborar discursos coherentes en los que no aparezcan contradicciones. Las partes del discurso deben estar conexionadas dando lugar a un mensaje claro, con sentido y completo. • Cortesía y adecuación (componente relativa a la competencia socio-comunicativa): para analizar el conocimiento de las reglas socioculturales de uso necesarias para llevar a cabo cualquier acto comunicativo. Con adecuación, hacemos referencia al uso del texto en un contexto concreto de comunicación, contexto que incluye las circunstancias de lugar y tiempo, las características de los destinatarios, su edad, sus caracteres, la relación que se mantiene con ellos, etc. Las normas de adecuación se reeren a la utilización de un discurso adecuado al contexto especíco. • Ortografía y vocabulario (componente relativa a la competencia lingüística): para analizar el código lingüístico propiamente dicho. Con ortografía, hacemos referencia al uso correcto de las palabras y signos auxiliares; con vocabulario, al uso correcto del vocabulario general y especíco, tanto por su riqueza (cantidad y valoración de palabras que no son usuales en el lenguaje del alumno) como por su precisión (utilización adecuada de esas palabras, oportunidad de su empleo en el desarrollo de la idea). • Creatividad y solución de problemas comunicativos…En el caso del análisis de las producciones escritas de los alumnos, entendidas como parte de la resolución de problemas geométricos, también consideramos importante el desarrollo de la creatividad comunicativa, entendida ésta como srcinalidad de ideas, como capacidad de resolución de problemas comunicativos.
307
VARIOS AUTORES
Se trata de determinar cuándo un alumno es capaz de resolver situaciones a pesar del desconocimiento de un término especíco o el olvido de una denición, proponiendo caminos alternativos y superando ese escollo comunicativo. DESCRIPTORES PARA EVALUAR EL NIVEL DE COMPLEJIDAD DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR: ORAL – ESCRITA Actividad 1. Trazado y clasificación de triángulos
Para esta evaluación se construyeron los descriptores que registramos en la tabla siguiente, los números registrados en las columnas de los desempeños corresponden a los porcentajes logrados por el curso: DS=Desempeño Superior; DA= Desempeño Alto; DBS = Desempeño Básico; DB= Desempeño Bajo.
308
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
ASPECTO ORAL
DS
1 A partir de las argumentaciones dadas en las discusiones del equipo, construye el polígono esperado
4 Enuncia la condición de trazabilidad de los triángulos
25
50
8 Sustenta verbalmente por lo menos 3 relaciones de clasicación entre longitud de los lados y amplitud de los ángulos del triángulo
el polígono esperado 2 En la gura ubica la longitud de los lados correspondientes
25
25
DS
DA
25
75
50
50
DBS DB
3 Comprende el signicado de la suma de dos lados del triángulo, por eso participa de la discusión y orienta a los compañeros acerca del registro escrito.
100
4 Enuncia por escrito la condición de trazabilidad de los triángulos
25
50
100
5 Justica por escrito la clasicación de los triángulos con base en la longitud de los lados.
75
25
50
50
6 Describe por escrito los criterios que tuvo en cuenta para clasicar por simple inspección los ángulos internos de los triángulos de la gura
25
25
50
25
7 Sustenta por escrito la clasicación de los triángulos a partir de los ángulos internos
75
8 Justica por escrito por lo menos 3 relaciones de clasicación entre longitud de los lados y amplitud de los ángulos del triángulo
25
50
6 Clasica por simple inspección cada uno de los ángulos internos de los triángulos de la gura
ESCRITO 1 a partir de las longitudes de los segmentos dados traza en el cuaderno haciendo uso de la regla y de medidas de los lados,
100
5 Justica verbalmente ante su grupo la clasicación de los triángulos con base en la longitud de los lados.
7 Sustenta en forma oral la clasicación de los triángulos a partir de los ángulos internos
COGNITIVO
DBS DB
100
2 Argumenta en forma oral la ubicación en la gura de la longitud de los lados correspondientes 3 Comprende el signicado de la suma de dos lados del triángulo, por eso participa de la discusión y orienta a los compañeros.
DA
50
25
Tabla 33. Porcentajes de indicadores de elementos cognitivos, orales y escritos, en actividad
309
25
50
50
25
25
75
VARIOS AUTORES
ANÁLISIS DE INFORMACIÓN
Actividad 1. Trazado y clasicación de triángulos. Tratamiento oral Las preguntas 1 y 2 corresponden al grupo de reproducción. Sobre la ubicación de las medidas de los lados en la gura dada y el trazado de los triángulos los estudiantes no presentan dicultades. El item 3 corresponde al grupo de conexión, busca que los estudiantes establezcan las comparaciones entre la suma de la medida de dos de los lados y el tercero, el cual debe ser menor para que el triángulo sea trazable. Los estudiantes responden acertadamente aunque uno de los grupos se queda en un nivel de lenguaje cotidiano y solo elabora el gráco. A continuación se ilustra la situación mediante la transcripción de un episodio de la actividad en la que los estudiantes deben determinar la trazabilidad del triángulo cuyos lados miden 18 m, 12 m, 30 m. Los estudiantes del equipo de trabajo del que se toma la interacción corresponden a los nombres de Alejandra , Danny, Felipe , Luis . Estudiante
Intervención
Observación
Alejandra
Sumando estos dos… la respuesta no es mayor que 30. La respuesta no es
(se reere a los lados 18 m y 12 m)
Danny Alejandra
Si, pero…correcta. ¿como escribimos? No es correcta porque la suma de dos lados no es mayor que el otro
Se reere a la posibilidad de trazar el gráco del triángulo dado.
El item 4 corresponde al grupo de conexión y busca determinar la capacidad de los estudiantes para generalizar la condición de trazabilidad de los triángulos a partir del principio de la desigualdad triangular. Si bien todos los estudiantes llegan a encontrar la condición, el 50% del grupo utiliza un lenguaje natural – cotidiano sin conectarlo con la información que está registrada en su cuaderno de apuntes al cual tienen acceso. El siguiente episodio muestra los resultados sobre la intervención del grupo de María, Yurani y Nírida.
310
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Estudiante Nírida
Intervención
Observación
Lo que vamos a decir es que en el punto 3…
Se reere a los triángulos
posibles de construir Yurani Nírida María Yurani Nírida María
Bueno… yo no se Si… que en el punto 3… que en el punto 3 Que siempre al sumarlos daba mayor y si se podían trazar los triángulos ¿Qué al sumarlos?
No,no,no… que al sumar dos lados daba mayor que el otro lado…
Se reere al caso del triángulo
de lados de medida 18m,12m y 30 m
Y en el cuarto punto nos daba que… en el cuarto punto… que no se podía trazar porque… que no se podía trazar el triángulo porque… ¿porqué?... porque acá era qué?... daba menor
El ítem 5 corresponde al grupo de reproducción. Los estudiantes en su totalidad llegan a la clasicación de los triángulos de acuerdo a la medida de la longitud de sus lados y lo comunican usando un lenguaje cotidiano, en un caso confunden los nombres de la clasicación por longitud de los lados con la clasicación por medida de ángulos. El ítem 6 pertenece al grupo de conexión y los estudiantes presentan dicultades para determinar la clasicación de los triángulos a partir de la simple inspección de las medidas de los ángulos internos. Los que lo logran, lo hacen usando el transportador para medir la amplitud de los ángulos. El ítem 7 pertenece al grupo de reproducción. Los estudiantes presentan dicultades para medir los ángulos usando el transportador y establecer la clasicación de los triángulos de acuerdo a la medida de los ángulos. Solamente un grupo lo logra resultados; es decir: puedenlosmedir clasicar triángulos con basecon en labuenos medida de los ángulos internos, otrosyequipos de los trabajo saben clasicar los triángulos, pero se les diculta la manipulación del transportador. El ítem 8 corresponde al grupo de reexión y busca que los estudiantes relacionen las clasicaciones de los triángulos por medida de los lados y por la medida de la amplitud de los ángulos. El 75% de los alumnos no lo logra y solamente un grupo lo hace con nivel de desempeño alto.
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VARIOS AUTORES
ACTIVIDAD 1. TRAZADO Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS. TRATAMIENTO ESCRITO
Los item 1 y 2 corresponden a procesos en el nivel de complejidad de reproducción. En lo que se reere a la ubicación de las medidas de los lados en la gura dada y el trazado de los triángulos los estudiantes no presentan dicultades. el item se ubican en el nivel de complejidad dellas grupo de conexión,entre con él seEnbusca que3 los estudiantes, por escrito, establezcan comparaciones la suma de la medida de dos de los lados y el tercero, el cual debe ser menor para que el triángulo sea trazable. Los estudiantes responden acertadamente, situación que se muestra en los grácos realizados. El item 4 corresponde a procesos desarrollados en el grupo de conexión y busca determinar la capacidad de los estudiantes para generalizar, por escrito, lacondición de trazabilidad de los triángulos a partir del principio de la desigualdad triangular. El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño básico; los estudiantes escriben usando lenguaje cotidiano. Un equipo lo hace con una redacción apropiada y otro grupo no logra una redacción aceptable. A continuación se muestran los resultados obtenidos por el grupo de estudiantes que corresponden a los nombres de Alejandra, Danny, Felipe y Luis.
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
El ítem 5 corresponde al grupo de reproducción. El 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño alto; los estudiantes reproducen por escrito la clasicación de los triángulos de acuerdo a la medida de la longitud de los lados pero lo hacen de manera confusa y sin usar el lenguaje matemático apropiado. En el numeral 6 se desarrollan procesos en el grupo de conexión. El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño bajo; los estudiantes presentan dicultades para redactar la determinación por simple inspección de la clasicación de los triángulos a partir de las medidas de los ángulos. Un grupo lo logra con lenguaje aceptable y solamente uno lo hace con un lenguaje más apropiado; se considera que en términos generales el curso está pasando por una transición entre el nivel de complejidad de reproducción y el de conexión. El ítem 7 corresponde a procesos en el grupo de reproducción. Un 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño que oscila mayoritariamente entre Alto y Superior; el uso del lenguaje es apropiado para clasicar los triángulos de acuerdo a la medida de los ángulos internos. Uno de los equipos se caracterizó por tener desempeño bajo al no lograr redactar esta clasicación; es decir: la competencia matemática comunicar por escrito, en este item se categoriza en un 75% en el nivel de complejidad de conexión y el 25% faltante se ubica en el nivel de reproducción. El ítem 8 corresponde al grupo de reexión y busca que los estudiantes relacionen por escrito las clasicaciones de los triángulos de acuerdo a longitud de los lados y a la medida de los ángulos. El 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño bajo; los equipos de estudiantes no lo logran y solamente un grupo lo hace con nivel de desempeño alto. En comparación con el item anterior, la competencia matemática Comunicar escrita se caracteriza en un 75% en el nivel de complejidad de reproducción y el 25% faltante se ubica en el nivel de conexión; no porque los estudiantes no lo logren escribir, sino porque el nivel de desarrollo cognitivo no les permite lograr ese nivel inferencial. Haciendo una síntesis de la actividad, en cuanto a los elementos cognitivos, los estudiantes no presentan problemas en el nivel de complejidad reproducción pues hacen un buen manejo de los procesos de conversión (pasar del lenguaje verbal escrito al lenguaje icónico - matematización horizontal), además pueden clasicar los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados aunque lo hacen usando, tanto en forma verbal como escrita, un lenguaje cotidiano, proceso que no hacen al clasicar los triángulos de acuerdo a la medida de los ángulos. En el nivel de complejidad conexión cuando los estudiantes deben aplicar el criterio de desigualdad triangular para el trazado de triángulos, logran determinar cuáles triángulos son trazables pero se quedan en el trazado de los grácos y no generalizan el criterio, situación que para el nivel académico de los estudiantes los colocaría en el nivel de reexión. El lenguaje usado es cotidiano, dejando en
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VARIOS AUTORES
claro que el lenguaje matemático a utilizar tan poco es que sea excesivo o de complejidad elevada, no obstante, en algunos casos se presenta confusión conceptual; por ejemplo , sinonimizan lado y medida del lado, proponen sumar – numéricamente – lados y no la medida de los lados, como aspectos más notorios. En el campo del nivel de la reexión, cuando los estudiantes deben relacionar las clasicaciones de los triángulos, de acuerdo a la medida de los lados y la medida de los ángulos, un porcentaje signicativo de los estudiantes no alcanza el logro propuesto dado que no pueden establecer la relación buscada.. En lo referente al aspecto Afectivo: la Disposición y la Voluntad de los estudiantes es altamente positiva hacia el desarrollo de la tarea. Asumen los procesos correspondientes a la actividad con interés maniesto y ante las dicultades llevan a cabo las consultas pertinentes sin renunciar cuando el trabajo propuesto parece rebasar sus conocimentos. En el aspecto de Tendencia de Acción, la Persistencia se maniesta en el alto grado de insistencia del estudiante para mantenerse en actividad matemática de aprendizaje cuando la tarea es de difícil comprensión; el empeño con que abordan la tarea se evidencia en no querer aceptar que hay situaciones de la actividad que no pueden asumir dado el nivel de dicultad presente para resolverla; esta armación se puede corroborar observando los registros en la tabla No. 7. Es necesario señalar que las dicultades del trabajo realizado están más en la parte de la competencia que se relaciona con los contenidos – aspecto cognitivo – y no en el campo de lo afectivo y la tendencia de acción. ACTIVIDAD 2. TRAZADO Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Para la evaluación de los elementos cognitivos de esta actividad se asumen los siguientes niveles de desempeño: DS=Desempeño Superior; DA= Desempeño Alto; DBS = Desempeño Básico; DB= Desempeño Bajo; los resultados se registraron en valores porcentuales y se consignaron en la tabla 34. Tabla 10. Porcentualización de indicadores de elementos cognitivos, orales y escritos, en actividad 2
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE ASPECTOS COGNITIVOS ORAL
DS
DA
DBS DB
1 Menciona los conocimiento necesarios para solucionar la actividad
100
2 Nombra los materiales necesarios para abordar la actividad
100
3 Expresa oralmente en su grupo la relación entre perímetro y la longitud de los lados.
67
4 Justica verbalmente las características para que un triángulo sea escaleno
100
5 Sustenta oralmente ante el equipo las condiciones de triángulo isósceles
33
6 Menciona verbalmente las condiciones de triángulo equilátero 7 Describe oralmente, la relación entre triángulo isósceles y los ángulos internos 8 Sustenta verbalmente la
67
33
33
33
33
100
67
33
clasicación de triángulos
DS
DA
DBS DB
100
100
33
33
33
67
33
67
33
67
33
33
67
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33
67
33
66
la clasicación de los
por ángulos y por medida de los lados. 9 Describe verbalmente la relación entre el triángulo equilátero y los ángulos internos 10 Describe oralmente la relación entre triángulos escaleno y los ángulos internos.
ESCRITO
1 Construye el listado de conocimientos necesarios para solucionar la actividad 2 Elabora un listado de materiales necesarios para abordar la solución de la actividad 3 Establece en forma escrita la relación entre perímetro y longitud de los lados 4 Relata por escrito las características para que un triángulo sea escaleno 5 Escribe las condiciones para que un triángulo sea isósceles 6 Describe por escrito las condiciones del triángulo equilátero. 7 Relata por escrito la relación entre triángulo isósceles y los ángulos internos 8 Sustenta por escrito
33
triángulos por medida de la amplitud de los ángulos y por medida de los lados. 100 9 Establece por escrito la relación entre el triángulo equilátero y los ángulos internos 67 10 Describe en el cuaderno de apuntes la relación entre triángulos escaleno y los ángulos internos.
Tabla 34. Porcentaje de indicadores de elementos cognitivos, orales y escritos, en actividad 2
Se hace la representación gráca de este registro, con éstos y el sistema de representación gráco se procedió a hacer el análisis y caracterización de la competencia matemática comunicar.
315
VARIOS AUTORES
ACTIVIDAD 2. TRAZADO Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS. TRATAMIENTO ORAL
Los ítems 1 y 2 corresponden al nivel de conexión. Se reeren a la parte individual del trabajo de los estudiantes, se pretende que determinen previamente los conocimientos necesarios para abordar la actividad matemática y los materiales requeridos para el mismo. De acuerdo a los registros de audio y video, los estudiantes trabajo en cuentaalelnivel desarrollo de estos procesos. Los inician procesosel del ítemsin3 tener corresponden de conexión. El 67% de los estudiantes establecen y sustentan oralmente la relación de dependencia del perímetro y las medidas de los lados del triángulo. Ítem 4. Hace alusión al desarrollo de procesos en el nivel de Reproducción. Los estudiantes en su totalidad justican o sustentan en forma oral las condiciones que cumplen los triángulos escalenos respecto de las medidas de sus lados. En el Ítem 5, también se desarrollan procesos en el grupo de reproducción. La tercera parte del curso identica y expresa oralmente las características de los triángulos isósceles, otra tercera parte lo hace con un nivel de desempeño básico, no obstante, logra comunicarlo y el resto de los estudiantes no logra identicar las condiciones para que un triángulo sea clasicado como isósceles, razón por la cual el nivel de desempeño en este descriptor es bajo. Ítem 6, los estudiantes adelantan procesos de comunicación oral en el nivel de complejidad reproducción. El 67% de las respuestas orales se caracterizan por un Desempeño Alto; los estudiantes identican las características de los triángulos equiláteros. En el 33% de las respuestas orales, restantes, el nivel de desempeño es bajo, porque no identican o no establecen las características de triángulo equilátero. El ítem 7. Se reere a procesos desarrollados en el grupo de conexión. El 100% de las respuestas de sustentación oral se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Bajo; los estudiantes no encuentran la relación existente entre la medida de los lados del triángulo isósceles y los ángulos internos del triángulo. A continuación se presenta un episodio de clase en el que intervienen el profesor, Danny, Felipe y Luis
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Estudiante
Intervención
Observación
Profesor
Aquí hay tres lados de medidas diferentes ¿Cuántos ángulos iguales hay? Ninguno Entonces ¿Cómo es la relación? ¿Cómo la entienden ustedes?
Señalando el triángulo escaleno
Danny Profesor Danny
O sea… si hay dos lados iguales son dos ángulos iguales y si hay tres ángulos iguales entonces…
Profesor
Entonces, en todo triángulos isósceles ¿qué pasa?
Danny
¿Hay dos ángulos iguales?
Profesor
Entonces todos los triángulos isósceles quetienen? ¿Qué y qué?
Danny Tienen dos ángulos iguales y dos lados iguales Profesor
Escríbalo
Felipe
Profe… ¿Cómo era?
Profesor
Escriban eso en lo que nos pusimos de acuerdo. En los triángu-
Danny Profesor Danny Danny Luis
los escalenos ¿qué se cumple? Que todas sus medidas son desiguales ¿Y? Y sus ángulos desiguales Que en todo triángulo escaleno las medidas de sus lados son desiguales e igual sus ángulos. Que en todo triángulo isósceles…. Ajjjj….Dejemos así
Dictando
Renuncian y pasan a la siguiente pregunta
El Ítem 8 es del nivel de conexión, el 67% de las respuestas de socialización y sustentación oral se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Básico; los estudiantes justican la clasicación de los triángulos respecto de la longitud de los lados y de la medida de los ángulos pero lo hacen confundiéndolas. En el 33% las respuestas no logransus la clasicación da; nodeobstante, hacen restantes, el esfuerzolosdeestudiantes sustentar oralmente respuestas asíbuscaestas no correspondan al nivel cognitivo deseado. Ítem 9, del Grupo de reexión, el 100% de las armaciones se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Bajo; los estudiantes no establecen la relación existente entre la medida de los lados del triángulo equilátero y los ángulos internos, sin embargo, socializan y sustentan en forma oral, los resultados de sus apreciaciones y conclusiones. 317
VARIOS AUTORES
En el Ítem 10, del Grupo de reexión, el 67% de las aseveraciones orales se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Bajo al determinar la relación entre los ángulos internos de un triángulo escaleno y la medida de sus lados; el 33% restante, se caracteriza por reejar un nivel de Desempeño Básico, en ambos casos el estudiante expresa oralmente lo que considera que es correcto; el lenguaje oral utilizado se ajusta a los requerimientos matemáticos expresados. ACTIVIDAD 2. TRAZADO TRATAMIENTO ESCRITOY CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.
A continuación se hace la interpretación y la clasicación del nivel de complejidad de los resultados del tratamiento escrito dado por los estudiantes como respuestas a los diez ítem que se registraron en la actividad dos. De acuerdo a los registros de video, a lo consignado en el cuaderno y en la hoja de respuestas, los estudiantes inician el trabajo sin tener en cuenta el abordar los procesos correspondientes, hizo falta que el profesor vericara el cumplimiento de esos dos ítem de la tarea antes de continuar avanzando en la actividad prevista; esta situación se ratica porque cuando se le pide a los alumnos que sustenten oralmente acerca de las respuestas a las preguntas uno y dos de la actividad, éstos vacilan, dudan y no tienen claro que deben responder. En elestablecen Ítem 3 se lacorresponde el nivel deentre conexión. El 100% los estudiantes relación decon dependencia el perímetro del de triángulo y las medidas de los lados, aunque de manera diferenciada dado que el 33% de los estudiantes lo hacen con un lenguaje matemático claro, otra tercera parte lo hace con un nivel de desempeño alto, en tanto que la tercera parte restante lo logra con un nivel desempeño básico. En el ítem 4 se desarrollan procesos en el nivel de complejidad Reproducción. Los estudiantes en su totalidad justican por escrito las condiciones que cumplen los triángulos escalenos respecto de las medidas de sus lados y la medida de la amplitud de sus ángulos. Un equipo lo hace usando un lenguaje matemático escrito excelente, el 67% de los estudiantes también logra sustentar y comunicar en forma escrita sus conclusiones, con un nivel de desempeño alto. En el ítem 5 se propone el desarrollo de la actividad matemática en el nivel de reproducción. La tercera parte del grupo establece por escrito las características de los triángulos isósceles, otra tercera parte lo hace con un lenguaje matemático elemental y la otra parte del curso no logra redactarlas con un lenguaje matemático apropiado, esto último debido a que no han construido el conocimiento matemático necesario para alcanzar a producir los resultados deseados. En el ítem 6 se desarrollan procesos en el nivel de complejidad de reproducción. El 67% de los estudiantes escribe con un lenguaje apropiado las caracterís-
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
ticas de los triángulos equiláteros; el 33% restante no logra establecer deducir o comprenderlas, en consecuencia no pudieron hacer el registro escrito esperado. En el ítem 7 los procesos adelantados se asocian al nivel de complejidad de conexión. El 67% de los estudiantes tienen un desempeño bajo al establecer la relación existente entre la medida de los lados del triángulo isósceles y los ángulos internos; no obstante ellos redactan, sustentan y argumentan por escrito lo que consideran que es la relación esperada; en tanto que el 33% redacta y argumenta en forma escrita la relación entre la longitud de los lados del triángulo isósceles y la medida de los ángulos opuestos a dichos lados, con un nivel de desempeño alto, utilizando un lenguaje matemáticamente apropiado, resultado contrastable con lo expresado en forma oral, respecto a los mismos conocimientos. Se muestra el resultado escrito del equipo de Surly, Karina y Kennedy cuando tratan de establecer la relación que se señala.
Los estudiantes consideran que si el triángulo es isósceles se pueden medir los lados de los ángulos; armación que es incorrecta porque los lados de los trián gulos determinan ángulos y los lados de los ángulos son inmedibles porque estos son rayos o semirrectas, es decir se conoce su srcen pero no donde terminan. En el Ítem 8 se propone el desarrollo de la actividad matemática en el nivel de complejidad del grupo de reproducción. El 33% de las respuestas permiten evidenciar un nivel de desempeño alto, los estudiantes redactan y justican por escrito la clasicación de los triángulos respecto de las medidas de los lados y de la medida de los ángulos usando un lenguaje mediado entre lo matemático y lo cotidiano. El 67% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño bajo; los estudiantes no llegan a escribir apropiadamente sus hallazgos, porque no lograron establecer la relación de clasicación. En el Ítem 9 se desarrollan procesos en el nivel de complejidad del grupo de reexión. El 67% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño bajo; como no logran relacionar geométricamente la longitud de los lados y la medida de los ángulos internos del triángulo equilátero - equiángulo, los estudiantes no la registran adecuadamente por escrito, en tanto que el 33% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño alto; los estudiantes se expresan usando un lenguaje matemático apropiado. En el Ítem 10 se propone el desarrollo de la actividad matemática en el nivel de complejidad del grupo de reexión. El 67% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de desempeño bajo; los estudiantes tienen dicultades al determinar la relación entre los ángulos internos de un triángulo escaleno y la
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VARIOS AUTORES
medida de sus lados. El 33% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes comunican y sustentan por escrito usando un lenguaje adecuado. Habiéndose diseñado una tarea enmarcada en una situación educativa y laboral de los estudiantes, de acuerdo a la modalidad de formación de la institución educativa, en el nivel de Reproducción identican las condiciones que cumplen los triángulos en la clasicación de acuerdo a las medidas de los lados pero lo hacen usando un lenguaje oral, natural – cotidiano, lo que llama la atención dado que en los procesos de negociación para desarrollar los signicados matemáticos compartidos en la clase oralmente, no necesariamente corresponde con la descripción y los registros escritos de los procesos desarrollados, los logros y resultados alcanzados. En el nivel de complejidad conexión los estudiantes asumen la actividad sin haber hecho una lectura de la misma, con lo que se pretende que se hagan a una idea de los contenidos que abordarán y los materiales necesarios para asumir el trabajo. En el desarrollo de la actividad matemática presentan dicultades para establecer la relación entre las clasicaciones de los triángulos de acuerdo a la medida de los ángulos y la medida de los lados resultándoles imposible hacer el paso del lenguaje icónico al lenguaje verbal escrito. En el nivel de complejidad de reexión los estudiantes no logran establecer la relación entre la medida de los lados de los triángulos y sus ángulos internos. En cuanto al aspecto afectivo y de tendencia de acción en los estudiantes, se encuentra una disposición e interés elevados para asumir el desarrollo de la actividad. En el equipo de trabajo en los procesos de negociación y construcción de signicado matemático llevan a cabo discusiones serias y argumentadas sobre los temas que les generan conicto cognitivo, así lo hagan usando un lenguaje cotidiano y poco matemático. En las consultas hechas al profesor participan de manera efectiva planteando sus dudas, apreciaciones, interpretaciones y puntos de vista. ACTIVIDAD 3. TRAZADO Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Para la evaluación de los elementos cognitivos de esta actividad se asumen los siguientes niveles de desempeño: DS=Desempeño Superior; DA= Desempeño Alto; DBS = Desempeño Básico; DB= Desempeño Bajo; los resultados se registraron en valores porcentuales y se consignaron en la tabla No.35.
320
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
ELEMENTOS COGNITIVOS ORAL
DS
DA
DBS
DB
ESCRITO
DS
DA
DBS DB
1. Menciona los conocimiento necesarios para solucionar la actividad
100
1. Escribe los conocimiento necesarios para solucionar la actividad
75
25
2. Nombra los materiales necesarios para abordar la actividad
100
2. Escribe adecuadamente los materiales necesarios para abordar la actividad
75
25
3. Describe, de forma oral, las condición necesaria para trazar un triángulo dados tres segmentos
50
50
4. Expresa a su grupo la relación entre perímetro y la longitud de
50
25
25
3. Describe de forma escrita las condición necesaria para trazar un triángulo dados tres segmentos
50
4. Expresa por escrito la relación entre perímetro y
75
50
25
la longitud de los lados.
los lados.
5. Justica las 25 75 características para que un triángulo sea escaleno 6. Sustenta en el equi75
25
po las condiciones de triángulo isósceles 7. Menciona las condiciones de triángulo equilátero
50
50
8. Describe la
50
25
25
relación entre triángulo isósceles y los ángulos internos
5. Justica por escrito las características para que un triángulo sea escaleno
100
6. Escribe las condiciones de triángulo isósceles 7. Menciona de manera escrita las condiciones de triángulo equilátero
75
25
50
25
8. Describe de
50
forma escrita la relación entre triángulo isósceles y los ángulos internos
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25
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9. Relaciona las medidas de los lados y los ángulos en los triángulos
25
10. Sustenta la relación entre la clasicación por ángulos y por medida de los lados.
25
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50
75
9. Relaciona por escrito las medidas de los lados y los ángulos en los triángulos 10. Sustenta, de forma escrita, la clasicación de triángulos por ángulos y por medida de los lados
25
25
25
50
75
Tabla 35. Indicadores de desempeño en actividad 3 trazado y clasicación de triángulos. Resultados en términos porcentuales.
Con base en los registros de la tabla anterior, que se sustenta en las grabaciones de audio – video y en la producción escrita de los estudiantes se procedió a hacer el análisis y caracterización de la competencia matemática comunicar. ACTIVIDAD 3. TRAZADO Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS. TRATAMIENTO ORAL
En los Ítem 1 y 2 se desarrollan procesos en el Grupo de conexión. Se ree ren a la parte individual del trabajo de los estudiantes y pretendía que listaran en forma oral los recursos físicos, los materiales didácticos y los conocimientos necesarios para abordar la actividad. Los estudiantes inician el trabajo sin darle importancia a este aspecto; hizo falta que el profesor vericara al azar el cumplimiento de tales requisitos. El Ítem 3 es del nivel de complejidad del Grupo de reproducción. El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican apropiadamente al referirse al criterio de desigualdad triangular para el trazado de triángulos en tanto que el 50% restante lo hace usando un lenguaje natural – cotidiano, sin prestarle atención a la diferencia de signicados entre segmentos y rectas o líneas; entre longitud y medida; por eso se considera que su nivel de desempeño es básico. En el Ítem 4 se desarrollan procesos en el nivel de complejidad del Grupo de reproducción. El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican utilizando un lenguaje verbal apropiado para relacionar la dependencia del perímetro de un triángulo y la medida de sus lados. Un 25% de las respuestas se caracterizan por que en ellas se expresa un Nivel de Desempeño Básico, que se hace usando lenguaje natural
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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
- cotidiano en tanto que el 25% restante corresponde a un Nivel de Desempeño Bajo porque no relaciona la dependencia del perímetro y la medida de los lados. El Ítem 5 se propone el nivel de complejidad del Grupo de reproducción. El 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican y justican sus respuestas usando un lenguaje verbal apropiado para referirse a las características de un triángulo escaleno en tanto que el 25% de las respuestas restantes corresponden a un Nivel de Desempeño Superior, se obtiene usando un lenguaje matemático verbal excelente. En el Ítem 6 se desarrollan procesos del Grupo de reproducción. El 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican utilizando lenguaje verbal apropiado para referirse a las características de un triángulo isósceles en tanto que el 25% restante corresponde a un Nivel de Desempeño Básico. En el Ítem 7 se propone el desarrollo de la actividad matemática en el nivel de complejidad del grupo de reproducción; El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes comunican sustentan y validan verbalmente las condiciones de triángulo equilátero usando un lenguaje matemático apropiado en tanto que el 50% de las respuestas restantes corresponde a un Nivel de Desempeño Básico, se hace por medio de un lenguaje verbal natural - cotidiano. En el Ítem 8, Grupo de conexión, el 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes justican, argumentan y comunican en forma oral los resultados de los procesos de negociación y construcción de signicado matemático usando un lenguaje verbal apropiado para relacionar el triángulo isósceles con sus ángulos internos, el 25% de las respuestas se asocia con un nivel de Desempeño Básico, los estudiantes lo hacen usando lenguaje natural - cotidiano en tanto que para el 25% restante el Nivel de Desempeño es Bajo, no se establece la relación buscada, de ahí que la sustentación y argumentación oral no correspondan al nivel de complejidad deseado. En el Ítem 9, en el nivel de complejidad del Grupo de conexión, el 25% de las respuestas se caracterizan por un Desempeño Alto, los estudiantes comunican verbalmente los resultados de los procesos de negociación y construcción de signicados matemáticos, en este caso estableciendo relaciones entre la longitud de los lados y la medida de los ángulos, usando un lenguaje matemático apropiado; otro 25% de las soluciones alcanzan un nivel de desempeño básico, el proceso de comunicación oral lo hicieron usando un lenguaje cotidiano; en tanto que el 50% de las respuestas restantes, se caracteriza por corresponder a un nivel de Desempeño Bajo porque no tuvieron éxito al establecer la mencionada relación, de allí la dicultad para comunicarse oralmente de manera coherente. A continuación se transcribe el episodio de clase en el que Emerson, Danny y Felipe, tratan de establecer la relación mencionada.
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VARIOS AUTORES
Estudiante Emerson Danny Danny Felipe
Intervención
Observación
Que la medida de los tres lados y los tres Tratan de establecer la relación ángulos miden iguales. Son iguales existente entre los lados y los Miden no… son iguales. Son iguales? ángulos en el triángulo equilátero No, no, no… Que la medida de los tres lados y los tres ángulos miden… Cuántos son kilómetros y 60 grados y son de igual medida. De igual medida y de igual ángulo
En el 10° ejercicio se desarrollan procesos en el nivel de complejidad del Grupo de Conexión. El 25% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes comunican, argumentan y sustentan verbalmente la relación que se puede establecer entre la clasicación de los triángulos con base en la medida de los lados y la medida de los ángulos usando un lenguaje verbal apropiado. El 75% de las respuestas reejan un nivel de Desempeño Bajo, los estudiantes tienen dicultad para establecer dicha relación; de allí que la comunicación oral no alcance el nivel de uidez y argumentación deseado. ACTIVIDAD 3. TRAZADO Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS. TRATAMIENTO ESCRITO
En los Ítem 1 y 2, del Grupo de conexión, se reeren a la parte del trabajo individual y en éstos se pretende que se establezca y registre por escrito los recursos físicos y los conocimientos que consideran necesarios para abordar el desarrollo la actividad matemática. Los estudiantes elaboran el trabajo dado que la última pregunta de la tarea se lo solicita. En los dos casos el 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Básico, los estudiantes se comunican por escrito usando un lenguaje cotidiano, en tanto que, en los dos casos, el mismo grupo no registran por escrito la respuesta a la pregunta. En el Ítem 3 se desarrollan procesos en el nivel de complejidad del Grupo de reproducción. El 50% de las respuestas de sustentación y argumentación escrita se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican adecuadamente en forma escrita, para establecer la desigualdad triangular en el trazado de triángulos en tanto que el 50% de las soluciones caracteriza un Desempeño Básico, se maniesta por medio de un lenguaje escrito natural – cotidiano, debido a que tienen dicultad para reconocer e implementar la aplicación de la desigualdad triangular. En el 4° punto se propone el desarrollo de la actividad matemática en el nivel de complejidad del Grupo de Reproducción; para establecer la relación de 324
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
dependencia entre el perímetro y la medida de los lados del triángulo, El 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes argumentan, sustentan y se comunican usando un lenguaje escrito apropiado; para el 25% de las respuestas restante hubo dicultad al establecer la mencionada relación, el desempeño se evalúa como bajo. En el Ítem 5, del nivel de complejidad de reproducción, el 100% de las respuestas se destacan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes argumentan y justican los procesos de caracterización del triángulo escaleno usando un lenguaje natural y matemático escrito apropiado. En el ítem 6, se propone escribir las condiciones del triángulo isósceles, consideramos que este proceso corresponde al nivel de complejidad del grupo de reproducción. El 75% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican utilizando un lenguaje escrito apropiado; en tanto que el 25% restante corresponde a un nivel de Desempeño Básico. La dicultad para argumentar, justicar y comunicarse por escrito obedece a que los estudiantes no logran establecer las características, propiedades y relaciones en los triángulos isósceles. En el Ítem 7 se desarrollan procesos al establecer las condiciones para que un triángulo sea equilátero, estos se categorizaron en el nivel de complejidad del Grupo de reproducción. El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes escriben los resultados de sus procesos de negociación y construcción de signicados usando un lenguaje matemático apropiado, un 25% de las soluciones se evalúan con un nivel de desempeño Básico porque que la sustentación la hacen por escrito utilizando un lenguaje natural – cotidiano, en tanto que el resto de las respuestas del grupo no logra lo propuesto, la dicultad obedece a que los estudiantes tienen inconvenientes para establecer características que relacionen la igualdad de la longitud de los lados con la igualdad de la medida de los ángulos en los triángulos equiláteros. En el numeral 8 de la actividad matemática se propone el desarrollo de procesos correspondientes al grupo de conexión. El 50% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes argumentan, justican y se comunican usando un lenguaje escrito apropiado para relacionar la igualdad de las longitudes de dos de los lados del triángulo isósceles con los ángulos internos opuestos a dichos lados, en tanto que para el otro 50% de las respuestas el desempeño es Bajo, los alumnos tienen dicultades para establecer dicha relación. En el ítem 9 se desarrollan procesos en el nivel de complejidad del Grupo de conexión. El 25% de las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Alto, los estudiantes se comunican usando un lenguaje escrito apropiado para relacionar los ángulos internos con las medidas de los lados del triángulo, otro 25%de las soluciones se evalúan como de Desempeño Básico, se
325
VARIOS AUTORES
hace usando un lenguaje natural - cotidiano en tanto que el 50% de las respuestas de los estudiantes permite establecer un Nivel de Desempeño Bajo; no se logra establecer la relación entre las longitudes de los lados del triángulo y la medida de la amplitud de los ángulos internos. A continuación se muestran los resultados obtenidos por el grupo de Alejandra, Yurani y Nírida cuando tratan de establecer la relación mencionada
En el numeral 10 de la actividad matemática se propone el desarrollo de procesos en el nivel de complejidad del grupo de conexión, para llegar a sustentar la combinación entre la clasicación de los triángulos con base en la medida de los ángulos y la medida de los lados; el 25% las respuestas se caracterizan por reejar un nivel de Desempeño Básico, losdeestudiantes argumentan, justican y se comunican usando un lenguaje escrito apropiado, en tanto que el 75% de las respuestas permite caracterizar un nivel de desempeño Bajo, los equipos de trabajo tuvieron dicultades para establecer la combinación de clasicaciones. Habiéndose abordado una tarea con un nivel de complejidad mayor, en una situación relacionada con los deportes, en el nivel de reproducción, los estudiantes muestran en su actividad buenos niveles de desarrollo dado que identican los casos en que los triángulos son trazables, establecen la relación entre el perímetro y los lados de los triángulos, construyen los triángulos usando escalas apropiadas (aunque se presentan problemas con el algoritmo de división y consideran que los triángulos a trazar deben tener medidas enteras) y nombran adecuadamente los triángulos. Cuando en la tarea matemática se pasa del nivel de complejidad Reproducción al de Conexión, los estudiantes presentan dicultades dado que a partir de las construcciones elaboradas se les diculta determinar las relaciones entre las distintas clases de triángulos y sus ángulos internos; existen inconvenientes para establecer relaciones entre la clasicación de los triángulos de acuerdo a la medida de los lados y la medida de sus ángulos internos. En lo relacionado con lo afectivo y la tendencia de acción de los estudiantes, se nota una gran disposición al iniciar el desarrollo de la actividad matemática. 326
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Las dicultades las abordan consultando al docente en múltiples ocasiones al igual que en sus apuntes y les es muy difícil reconocer que hay preguntas para las cuales no tienen respuestas adecuadas porque los conocimientos les resultan de complejidad elevada o porque no pueden establecer las relaciones entre los elementos que tienen a su disposición. DESCRIPTORES DE LOS ASPECTOS AFECTIVOS Y TENDENCIA A LA ACCIÓN DE LA CMC PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA: El MTAP asumido para caracterizar la CMC con el objeto matemático circunferencia, permite la articulación de los componentes de la CMC a partir de la actividad matemática de aprendizaje. Se analizaron seis (6) episodios de clase de los doce (12) seleccionados de las transcripciones. Para su análisis se tuvo en cuenta la interacción de los participantes durante las tres situaciones matemáticas planeadas en la tarea. Se hizo la triangulación de la información obtenida entre la producción escrita de los estudiantes en sus diarios de campo, videos grabados en la intervención en el aula y que permiten abordar e interpretar información no reejada en sus diarios, como gestos, señas y diferentes formas de comunicación utilizadas por
los estudiantes y los apuntes en episodios los diariosdederelevancia campo de de loslainvestigadores los cuales se describieron algunos intervención en y que sirven en el momento de caracterizar la CMC. El siguiente es el MTAP que permite caracterizar la CMC después del desarrollo de la actividad de aprendizaje realizado por los estudiantes.
327
VARIOS AUTORES
3 e e MC d R S N
A E R A T
X
2 C MC e S N d 1 R MC e S N d
X
X
X
X
S E N
D O C
S E D A ID C A P A C
e d to p e c n o c l e e d n e r p m o C
ia c n e r fe n u c ir c
1 A
s e n o i c a m ir f a s la e d n e r p m o C
s o r t o r o p s a d a s e r p x e
2 A
s la li c n e s s e n o i c a c li p x e a z il a e R
a d a z li a e r d a d i v it c a a l e d a c r e c a
3 A
e d s o t n e m e l e s lo a s e r p x e y a ci ift n e d I
a ic n e r e f n u c icr a l
4 A
X
X
X
X s o s d s a o a e lt d e n l u s a t p io e r r n ms e a o c E rp c y x li n p e e x E
s s s la e d a ta a a d z r d o iv il p i a e tc e R a r
IO C A U T C A
S E R O T P I R C S E D
X
X
X
y s e n o i c ia c e r p a s u s n o c e t n e r e h o c s E
s e n io c la e r e c e l b a ts e y zia l a tu p e c n o C
s e n io c a c il p x e
5 A
e d o c il b ú p n e e s r a s e r p x E
la e d s o t n e m le e s o l e rt n e
a ci n e r fe n u cr ic
6 A
N IO C A P I IC T R A P
R O P
O IV T I N G O C
O T C E P S A
328
d a d i v i ct a la a
7 A
a it r c s e y l a r o a r e n a m
O S E C
s e t n e r e f e r s a e d i a ci l p x e y e d n e r p m o C
ra a p s a ic f á r g
e s r lo s ta r o t n c a e e i n s fi t m e r n e p e le e r id a r e n a m e d s a e id a s e r p x e y a c if it n e d I
a ic f á r g
8 A
e d s o d a lt u s e r y s o l u c l á c s o l a ic l p x E
a lli c n e s a r e n a m
9 A
r a s e r p x e e b a s y e d n e r p m o C
e d e d s a c it á m e t a m s e n o i c a u ti s
0 1 A
a d a c fii t s ju a r e n a m
a c i n u m o C
n o c s e n o i s lu c n o c
s á m n e s o d a tl u s e r y s lo u lc cá a ci l p x E
s to n e m u g r a n o c y ra e n a m a n u e d 1 1 A
n ó is c e r p
s o d il ó s
s a l a c i g ó l a r e n a m e d a r t s e u m e D
s lo e d s e d a d ie p o r p y s e n o i c la e r
2 1 A
a i c n e r fe n u c ir c a l e d s to n e m e l e
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
X
X
X
X
X
s á m e d s o l e d
1 B
X
X
X s u s l s e o n o r d o e t a c e r fic a o c ñ a p i ti p n mg á o is m m o e C t c a m
o d n n e ta a r s tú p c o e a a a d r o i te ic l n I b ú p s a e id s a l ta n e u c n e e n e it y a t e p s e R
X
X
a s e r p x e s a l y s a d u d a t s e if i n a M
te n e m a t r e i b a
r a ic n u m o c e d s a rm o f s a sr e iv d a z il it U
2 B
l e la l o r r a s e d y te r a p m o C
s a e d i s u s e d si s li á n a l e
a l e d o t p e c n o c l e a ci l p x E
3 B
n o c o c it á m te a m o d a c fii n ig s
l a r o a m r o f e d s o r e ñ a p m o c s u s
ia c n e r fe n u cr ic
4 B
s u s n e s o d r e u c a y s o i b m a c e ti m r e P
a l s o d a n io c la e r ta s i v e d s to n u p
n o c o j a b a r t y n ió c a z il a tu p e c n o c
5 B
la e d s e d a d ie p o r p o / y s to n e m e l e
a i c n e r fe n u c ir c
s o l e d n ió s n e r p m o c la a t n e m u g r A
l e a ll o r r a s e D
s o d i n e t b o s o d a tl u s e r
s lo o d n á s e r p x e s o i c n u n a e t r a p m o C
7 B
6 B
ta i r c s e y
N IO C A I C O G E N
T
329
te n e m a c if á r g
s e n o i c a l e r s a l o c il b ú p n e a s e r p x E
la e d s o t n e m le e s o l e tr n e s ja e l p m o c
8 B
a i c n e r fe n u c ir c
s e n o i c a l e r s a l o c il b ú p n e a s e r p x E
s u s o n d o a c o fic i i c n tá g i m s e t a m
s e d a d e i p o r p s a l e d s ja e l p m o c
9 B
a i c n e r fe n u c ir c a l e d s a d ia d u t s e
s o r e ñ a p m o c
l e r a ll o r r a s e d a a d u y A
s u s n o c o c it á m e t a m o d a ic fi n ig s
0 1 B
s o r e ñ a p m o c
VARIOS AUTORES
X
X
X
X
X
X
a c e t ti n á a m e t e n ta e mm n a i ó i r c to a c u fa it s is t o a s a t e n d u n g o e p r s p e a R n u 1 C
te r o p e r l e te n e m a d la l ta e d a ci n u m o C
m co a z li a e R
2 C e t s r u a s p a m ti o r c c s y e e t o l u a c r s i o d a , a m s r e o r f p x e E d
s o d a c fii n ig s y s a e d i
s a s le u s d n n ó o c ic e t a n iz e n ma g e t r n o e l r a e n h e o c so a r g e o l ñ a a i p D m o c
s e n io c a r a p
s e d a d i iv tc a s u s e d
4 C
3 C
X
s a e d i
e d n e fi e d o l y a t is v
s o t n e i m a n io t s R e u Y c s u s
o a i a t d c n n n a tr e r e s s e h e r o o mc p e
X
X
a d a ll a t e d a r s e a n s a re mv i e d d o a d ic n a n z u li m ti o u C y
5 C
e d e tr o p e r l e s e n io c a t n e s e r p e r
a c fi á r g a rm o f n e
s e d a d i iv t c a s u s
n o c a cip it r a P
la a t is v e d s o t n u p s u s n o c a r e n e G
o p u r g l e n o c a v it c le o c n ó i s u c is d
6 C
s o v e u n o d n ia ic p o r p s a e d i s u s a c li p x E
s o t n e i m a n io t s e u c
s u s e d s a e d i e s e t r o p a s lo a n o it s e u C
7 C
s o r e ñ a p m o c
8 C
s o c it á m e t a m
D A ID V I T C A
X
X e d o t n u p u s a s e r p x E
s u s a o ip d s tic n a d s e r a e i a r P p x e
X
X
A V I S R U C S I D
330
e u q s e n o i c a r a p m o c a z il a e R
e d o t n e i m i c e l b a t s e l a e y u b i r t n o c
9 C
a l n e s o te n m u rg a
s e n o i c a l e r
l e d o o n d cit ó i a c á cu if m te rt n s ig a n s m o c
a l a ti il c fa s a e id s u s e d e t r o p a l E
o d a c if i n g i s l e d n ó i c c u r t s n o c
1 0 C
o c ti á m e t a m
s lo e r b o s e t n e m a t n u j n o c a n o i x le f e R
a n u r e lv o s e r a r a p s o d ta l u s e r
1 C
. a c it á m le b o r p
a a e id s u s n o c e t n e m a v it r e s a ta r o p A
o d a ci if n g is l e r la l ro r a s e d y ri tr a p m o c 1 2 C
o ci t á m e t a m
te n e m a d a ci fi ts u j ta e r rp e t in e e t cu si D 1 3 C
s e rt o p a s u s
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
X
X
X
X
a a v ti o m e S
a l e d r a p ic it r a p
r a ip ict r a p r o p s é r e t in ta s e if i n a M
d a d i v it c a la e d e t n e m a d a v it o m
X
e d d a d i v tic a
r o p y e jz a i d n e r p a
a ict á m e t a m
s su e d s e rt o p a s o l a t e p s e r y a h c u cs E
1 D
a ip ic t r a p y e d n ie t A
X
n u r ta n e s re p
s o r e ñ a p m o c
2 D o ll o r r a s e d l e n e e t n e m a v it c a
X
X
d a d il a c e d o sr u cs i d o sr cu si d n u r ra ts o m r o p a p u c o e r p e S
d a d il a c e d
3 D
la e d e t n e m a iv tc a a ip ci tr a P
o d a c fi i n g is l e d n ó cic u rt s n o c
4 D
o ict á m e t a m
n u a ra e n a m r o j e m a l e d e d n o p s e R 1 E
to n e i m a n o tis e u c
n e s o i b m a c r a tu c e f e a r a p a ñ e p m e e S
s a e d i s u s e d n ió s cu si d a l
2 E
n ió c a u ti s a l e d s o d i n e t b o s o d a lt u s re 3 E
a ic t á m te a m d a d i v it c a a l e d
y s é r e t in n o c a c i d e d e S
N Ó I C A A L V I T O M
O IV T C E F A
s o l e r b o s a n o i x e lf e r te n e m e t n e u c e r F
la e d lo l o r r a s e d l a o z r e fu s e
a ic t á m te a m d a d i v it c a
N Ó I C A A L IC D E D
IA N C N E IÓ E D C D C N A E T
331
a ict á m e t a m
n ió c ca i d e d a rt s e u m te n e m e t n a ts n o C
a l o sr u cs i d u s n o c r e v o m ro p r o p
4 E
o d a ci fi n g is l e d n ó cic u rt s n o c
o ict á m e t a m
r a c iu n m o c a ci t á m et a m a ic n et e p m o c a l e d n ó cia zi re tc a r a c a l et i m re p e u q P A T M . 8 3 a l b a T
VARIOS AUTORES
A manera de ejemplo y para mostrar el proceso seguido para la caracterización de la CMC al aplicar el MTAP, se muestra el episodio correspondiente a la situación matemática: Medición de la cancha de microfútbol contando vueltas con la rueda metro. Se escogió este episodio porque registra el mayor número de aparición de regularidades de descriptores asociados a las capacidades que promueven la presencia de gran actividad en el desarrollo de aspectos del constructo comunicacional sucedido de la actividad de aprendizaje. PARTICIPANTE Gerson Sandro Gerson Sandro Gerson Sandro Gerson
Sandro Gerson Sandro Gerson Sandro Gerson Sandro Gerson Sandro Gerson
TRANSCRIPCIONVERBAL YESCRITA DESCRIPTOR ¿Quién tiene el metro? (necesario para medir el B2 radio) Gerson cuánto miden esas? (Gerson ya realizó las B2, medidas previamente) Estatiene8,esta12yesatiene24. A4,C1,D1,E1 ¿Dediámetrooderadio? B2,C8 No, de radio… A4, C1, E1 24 de radio, listo, ya tomé nota, ahora empecemos a D1 medir Gerson. ¿Cómo hago? Me parece que debo empezar en la B2, C7, D1, línea amarilla. Si eso. Pero espere, acomodemos la líneaguía de la rueda metro para que inicie en cero, y comen- B1, A2, C1, A3, C4, A5, D1, A7, cemos a avanzar y a contar el número de vueltas, E1 arranco 1, 2 …56 y medio. Y ahora¿cuánto es? B2 Entonces 2 pi por radio, espere hago el cálculo en la A1, A3, A4, A9, calculadora, según esto mide2 por pi por el radio B3, B10, C1, C7, que es 8, esto da 50.2 centímetros de longitud del C10, D1, D4, E1 diámetro. ¿Longitud de diámetro o la longitud de la rueda? B2, C8 Eso, la longitud de la rueda, entonces es 50 centí- B2, C1, C7, D2, metros por ¿cuánto? E2, Por 56 y medio que son el número de vueltas que A5, A9, B1, C1, contamos con la rueda. E1 Si multiplico en la calculadora, ¿cómo coloco el A2, B2, medio? A2, A5, A9, A11, Pues la mitad de 1 es 0,5 entonces coloque 56 punto B3, B6, B10, C1, y luego cinco C10, D4 Siii…¿seráquesiesasí? B2,C4 Si, seguro, así l o hacíamos en las clases. B6, C1, C4,
332
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
Sandro
Gerson Sandro Gerson
Maestra
Gerson
Listo entonces nos da 2.800 metros, ummm, algo así, no puede ser revisemos, son 56 vueltas por la A3, A6, A9, B2, longitud que es de 50.2 cm, entonces esto da 2.800, B10, E2, E3 venga ¿ cómo hacemos dividimos esto, porque eso es mucho? Eso debe ser 28 metros, porque 2 metros, es muy A5, B2, B6, C3, poquito son dos pasos míos ¿cómo será eso? C6, D2, E3 Eso da 2.81 pero qué es eso, metros o centímetros o B2, C6, C7, D4, ¿será que nos quedó mal? ¿Maestra no sabemos qué hacer acá, eso da un número todo raro? Pilas con las unidades, si yo trabajo cm, lo que puedo esperar al obtener un resultado es que sea cm también, entonces para que la respuesta les quede en metros ¿cómo creen que hacemos? ¿Convertimos a metros?, porque estos resultados están es en cm, o que piensan…
Maestra
Y cuál es el procedimiento para la conversión.
Sandro
dividir por… 100 no por 1000, porque vamos a convertir es a metros
Maestra
eso es entonces háganlo y tomen nota por favor
Sandro Sandro Gerson Sandro Gerson Sandro
Gerson
Sandro Gerson
E2 B2, C7, D1, E2, no pertenece al análisis A10, B2, B10, C11, D1, no pertenece al análisis A2, A9, C1, C12, E1 no pertenece al análisis
Ok, profe, voy a tomar nota de los cálculos en el B3, B7 cuaderno. Continúan en la actividad pero ahora cambian de rueda. Préstenme la otra, y la mido para saber el radio. A4, D1 A1, A3, A6, A9, Esta…se midió, es de 12 centímetros de radio, por A12, C4, C13, lo tanto tiene 24 centímetros de diámetro. D4 Arranque que yo le cuento el número de vueltas, A10, B3, D1 1,2,3… 37 vueltas, espere anoto. Pilas que esta mide 37 y un pedacito, y acuérdese A3, A5, C3, C9, que tiene de radio 12, venga miro la tabla. D3 Vamos bien, ahora 2 por 12 por pi, da 75,36 esto lo A1, A2, A5, A7, multiplico por ¿cuantas vueltas? B2, B4, C2, D1 Tenemos 37 vueltaspunto y un 2, poquito queahí no37.2 es nipor, la mitad; coloquemos coloque 75.36, como está en la tabla. 2,803 esto es centímetros Después hacemos la operación, para pasarla a metros.
333
A3, A5,A11, A8, C1, A9, A10, C4, C12, C13, D3, E1 A2, B1, C4, C10, D2, B5
VARIOS AUTORES
Sandro ya terminamos pasemos a la última rueda metro D1 Ubican la rueda metro igual que las anteriores y cuentan el número de vueltas Gerson 28vueltas,estesimidecasiexacto A7,A9,C3, bueno para este el radio es 16 por 2 por Pi, por 28 A1, A5, C2, C10, Sandro vueltas, da 2.813 D1 Gerson Bien acabamos, ahora revisemos y llenemos la tabla. A8, D4, E3
A análisis continuación se proceso describen las principales características queafectivo se registran en el de cada asociado a los aspectos cognitivos, y de tendencia de acción. PROCESOS ASOCIADOS AL ASPECTO COGNITIVO
En el proceso de la Parcipación se observa como principal característica la ocurrencia de todos los descriptores que se asocian a la actuación “Reporta las actividades realizadas” y que tienen que ver con el desarrollo de la capacidad “Expresarse en público de manera oral y escrita”. Esto indica que Sandro y Gerson, estudiantes analizados en el estudio de caso y que desarrollan este episodio de la clase durante la actividad correspondiente a hacer mediciones con la rueda metro en la cancha de microfútbol ( situación matemática 2), participan frecuentemente y con el mayor número de eventualidades en la regularidad de los descriptores (tal como se aprecia en la tabla 3, con 22 actuaciones de las 40 sucedidas) posicionando la tarea matemática en un nivel de complejidad de reproducción. Para este caso se asocia con un grado elemental de la actividad, y hace alusión a expresar solo resultados, describir el trabajo realizado, es decir, que estas características permiten declarar la actividad en el grado más elemental de la competencia matemática comunicar. En cuanto a los descriptores que se asocian al nivel de complejidad de la tarea de conexión, el que más toma importancia en las actuaciones de los estudiantes es “Explica los cálculos y resultados de manera sencilla”, puesto que para ello los estudiantes logran comprender el concepto y las relaciones entre los elementos de la circunferencia estudiados y tiene en cuenta los cálculos obtenidos. Con menos signicancia para el análisis y por la cantidad de las regularidades, están los descriptores del nivel de complejidad de reexión. Con una participación de tan solo dos actuaciones se presenta el descriptor “Explica cálculos y resultados con más de una manera y con argumentos sólidos”. Otros aspectos que caracterizan la CMC en este proceso son: En cuanto al objeto matemático circunferencia, los estudiantes participan con mayor intensidad en lo que se reere a la comprensión del concepto, comprensión de las ideas que expresan los demás compañeros del grupo y, sobre todo, en la realización de explicaciones sencillas acerca del trabajo de medición en la cancha 334
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
de microfútbol. Todos ellos asociados a los procesos comunicativos inherentes a la interacción tanto verbal como escrita en el aula de matemáticas. La siguiente es una muestra de dicha interacción escrita. Aspecto Proceso Código del descriptor
Cognitivo LaParticipación A1 A2 A3
Número de veces: Regularidad, descriptor 4 más desarrollado TOTAL
5
5
A4
A5
A6 A7 A8 A9 A10
35
22
2
3
2
14
7
A11
A12
2
1
1
4
40
Tabla 37. Resumen de las actuaciones de los estudiantes
Aspecto Proceso Códigodeldescriptor Número de veces: Regularidad, descriptor más desarrollado TOTAL
Cognitivo LaNegociación B1
B2
21
B3 4
16
3
B4
B6
1
3 8
B7
B10
1
3 3
27
Tabla 38. Resumen de las actuaciones de los estudiantes durante el proceso cognitivo
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VARIOS AUTORES
En el caso del desarrollo del proceso de Negociación ocurren los dos descriptores que se tuvieron en cuenta para su análisis: • Respeta y tiene en cuenta las ideas de los demás • Maniesta dudas y las expresa abiertamente Ambos relacionados con el desarrollo de la capacidad de “Comparte y desarrolla el signicado matemático con sus compañeros de forma oral y escrita”. Tienen un desarrollo satisfactorio en lo correspondiente a manifestar dudas de manera abierta, es decir, cuando mínimamente hacen alusión al compartir lo que se está describiendo de la actividad. Nuevamente ubican la CMC en un nivel de complejidad de reproducción por su carácter elemental en el desarrollo de la actividad matemática. Además, y como se observa en la tabla resumen posee una ocurrencia de 16 actuaciones en este nivel de un total de 27 que se registraron durante el desarrollo de todo el proceso de negociación. Aspecto Proceso Código del descriptor Número de veces: Regularidad, descriptor más desarrollado TOTAL
Cognitivo LaActividadDiscursiva C1
C2
10
23
21
C3
C4
C6
C7
C9
C10
C11
C12
C13
6
1
4
1
4
1
2
2
6
9
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Tabla 39. Resumen de las actuaciones de los estudiantes durante el proceso de la actividad discursiva
Se aprecia en la tabla la ocurrencia de las actuaciones asociadas tanto al nivel de conexión como a las del nivel de reexión, estas actuaciones poseen una regularidad de eventualidad muy baja durante este proceso matemático. Las actuaciones de los estudiantes en este proceso, están articuladas con los descriptores desarrollados en el proceso de la participación y que hacen que la CMC se ubique en el nivel de complejidad de reproducción. Los estudiantes realizan la descripción de los resultados encontrados, pero también tienen en cuenta
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en ello, el respeto por las ideas de los demás cuando maniestan sus dudas y las expresan abiertamente. Para el proceso matemático Actividad discursiva, se observa en la tabla que la mayoría de la participación de las actuaciones ocurre cuando los estudiantes desarrollan actividades correspondientes al nivel de complejidad reproducción. De las 36 regularidades encontradas en el episodio, 21 corresponden a descripciones que tienen que ver con este nivel de complejidad. Entre las que sobresalen en participación: “Responde satisfactoriamente ante una pregunta o situación matemática” y “Dialoga coherentemente con sus compañeros en la organización de las ideas”, las cuales están estrechamente relacionadas con las actuaciones desarrolladas en los dos anteriores procesos que muestran características elementales de complejidad de la CMC. Los procesos comunicacionales giran en torno a la uidez verbal y escrita en la actividad de aprendizaje y al desarrollar la capacidad “Expresa, discute y comparte de forma oral o escrita sus ideas y signicados matemáticos”. Es la participación la que permite que se produzca la negociación de signicados matemáticos, que se discuta sobre la construcción de conceptos para compartir y desarrollar el signicado matemático, situación que en este episodio no ocurre. Para el caso de las actuaciones correspondientes al desarrollo de actividades propias a los niveles de complejidad de conexión y de reexión, solo toma importancia cuando los estudiantes explican sus ideas propiciando nuevos cuestionamientos, para el caso del nivel de conexión y, el de aportar con sus ideas a facilitar la construcción del signicado matemático, caso para el nivel de reexión. Aunque en este episodio de clase se presenta la ocurrencia de todos los descriptores, la cantidad de actuaciones se hace de manera esporádica y sin ninguna trascendencia para el aporte a la caracterización de la CMC debido a la falta de argumentos para justicar sus ideas y en los cálculos obtenidos. PROCESOS ASOCIADOS AL ASPECTO AFECTIVO Y TENDENCIA DE ACCIÓN
En el análisis de los descriptores asociados a los procesos matemáticos de la Afectividad y la Tendencia de acción, se obtuvieron los siguientes resultados: Para el caso de lo afecvo, se presentaron todos los descriptores asociados a este proceso. De ellos toma mayor relevancia para la actividad de aprendizaje de los estudiantes el que dice: “Maniesta interés por participar motivadamente de la actividad matemática” y en menos ocurrencia: “Participa activamente de la construcción del signicado matemático”. Los cuales aportan articuladamente al desarrollo de los procesos cognitivos, y en especial, al proceso de la participación, proceso que presenta la mayor cantidad de regularidades en las actuaciones durante la actividad de aprendizaje realizada por Sandro y Gerson. 337
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La movación que muestran los estudiantes juega papel importante en el desarrollo de la actividad de aprendizaje en el momento que el profesor favorece mediante la tarea una adecuada estimulación y que de manera permanente se desarrolle una correspondiente volición por parte del estudiante (D’amore et al., 2008). Lo anterior toma fuerza al comparar en la tabla 6 el rendimiento en el número de las actuaciones, por ejemplo, las que tienen que ver con la motivación registran 14 de un total de 27 durante el proceso. La anterior característica afectiva muestra coherencia con la dedicación con que los estudiantes responden de la mejor manera a los diversos cuestionamientos (E1). En conjunto estos procesos de manera integrada favorecieron al desarrollo de los procesos cognitivos. La anterior armación se evidencia en el número de regularidades que casi de manera pareja se dan en el momento en que los estudiantes enfrentaron la tarea. De manera contraria se evidencia que los descriptores que aportaban en la motivación para pasar de un nivel de complejidad de la tarea a otro mayor, no mostraron los resultados esperados. Su aparición fue escaza dado el poco interés y esfuerzo ( ver tabla resumen) por alcanzar mediante la participación de un mayor grado de calidad del discurso matemático y el desarrollo de unos sólidos argumentos para promover la construcción del signicado matemático debido a un adecuado desarrollo del mismo. Lo anterior es coherente con lo registrado en los niveles de conexión y de reexión. De manera general se puede caracterizar la CMC mediante el siguiente esquema que, de acuerdo con Sfard (2008) y Bishop (2205), en él se organizan los diversos aspectos presentes en los procesos comunicativos planteados por estos autores, los cuales son inherentes a la interacción social en el aula durante la actividad de aprendizaje del estudiante.
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Figura 54. Organización del proceso comunicativo en el aula de matemática
El MTAP como alternativa didáctica permite articular las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje a partir de asumir la mediación de la comunicación. Los procesos comunicativos surgen de la interacción entre los miembros de la clase. Como se aprecia en esta organización del proceso comunicativo en el aula, se pone en práctica la metáfora de la participación (Sfard, 2008) que postula al estudiante como un participante que aprende matemáticas al convertirse en miembro de una comunidad matemática, comunicándose en el lenguaje de esta comunidad, para compartir sus reglas de integración y ser un participante activo de la misma y al mismo tiempo, desarrollar capacidades comunicativas, compartir el signicado matemático y negociar su desarrollo desde la interacción en el aula (Bishop, 2005). Finalizados los procesos de intervención en aula, sistematizada y analizada la información correspondiente al estudio de la geometría, se establecen las siguientes conclusiones para el caso de la circunferencia:
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BALANCE DE LOS PROCESOS AFECTIVOS Y DE TENDENCIA DE ACCIÓN
En los procesos afectivos y de tendencia de acción mostrados por los estudiantes en el desarrollo de las tareas, se han alcanzado resultados altamente positivos, dado que se muestra signicativo grado de disponibilidad para el abordaje de las actividades, se maniesta gran disposición para el desarrollo de los trabajos encomendados y se actúa de manera voluntaria para el desarrollo de los mismos. Respecto de la persistencia, los estudiantes muestran alto grado de empeño al abordar las actividades y se esfuerzan por desarrollar las actividades matemáticas aun cuando los procesos impliquen altos grados de complejidad que desborden los conocimientos construidos hasta ese momento, razón por la que eventualmente presentan respuestas desenfocadas y fuera de contexto. BALANCE GENERAL DEL PROCESO Y RESULTADOS DE LA INTERVENCION EN EL AULA
El proceso de investigación sobre la caracterización de la competencia matemática comunicar asociada al aprendizaje de los objetos matemáticos Triángulo y circunferencia, ha permitido llegar a los siguientes resultados: Las tareas propuestas para contribuir a la caracterización de la competencia matemática Comunicar y laa actividad matemática de aprendizaje del estudiante en los procesos inherentes la parte oral, consideraron el 42.9% para caracterizar el nivel de complejidad Reproducción; 46.4% para el de Conexión y 10.7% para describir el nivel de complejidad Reexión. Este proceso arroja el siguiente balance: • Evaluados los procesos desarrollados por los estudiantes al compartir y desarrollar el signicado matemático desde la comunicación y la negociación, se determina que para el nivel de reproducción, el 35,7% se carac teriza por obtener desempeños entre Básico y Alto. Para determinar el nivel de complejidad Conexión se encontró que el 17,9% obtuvo niveles de desempeño que uctuaron entre el Básico y el Superior. De los procesos implementados para determinar el nivel de complejidad Reexión el 3,6% logró desempeño básico; es decir, la Competencia Matemática Comunicar, desde la comunicación oral, se caracteriza por tener el 57,2% de complejidad variando entre el nivel de Reproducción y el de Reexión con desempeños entre Básico y Superior. Las tareas propuestas para caracterizar la comunicación escrita en matemáticas consideraron el 46.4% para caracterizar el nivel de complejidad Reproduc-
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ción; el 42.9% para el nivel de Conexión y el 10.7% para caracterizar el nivel de complejidad Reexión. • Evaluados los desempeños cognitivos de los estudiantes, se establece que su actividad matemática de aprendizaje permite caracterizar el nivel de complejidad de la CMC, nivel Reproducción, el 39,29% presentan desempeños entre Básico y Superior; en el nivel de complejidad Conexión el 14,29% uctuaron entre Básico y Alto; en el nivel de complejidad Reexión el 3,57% del total, logró desempeño básico. Signica que: la Competencia Matemática Comunicar, desde la comunicación escrita, se caracteriza por tener el 57,15% de complejidad variando entre el nivel de Reproducción y el de Reexión con desempeños entre Básico y Superior. • En general, en cuanto a comunicar en forma oral o escrita su discurso acerca de las matemáticas, la actividad matemática de aprendizaje de los estudiantes presenta las siguientes características: en el 37,5% de las tareas la CMC se caracteriza por alcanzar el nivel de complejidad reproducción; el 16% se caracteriza por corresponder al nivel de complejidad Conexión y el 3,57% permiten caracterizar la competencia en el nivel de complejidad Reexión. Se puede aseverar que en el proceso de compartir y desarrollar signicados con el apoyo de los apuntes, la consulta de textos, notas y otros recursos bibliográcos relacionados con los objetos matemáticos triángulo y circunferencia, el 57,07% varían entre Reproducción y Reexión, con desempeños que van desde lo Básico hasta el nivel Superior; el 42,93% restante de los procesos cognitivos desarrollados se caracterizan por tener desempeño bajo y por eso no se consideran entre los niveles de complejidad de la competencia. • En el aspecto afectivo, de las dos componentes seleccionadas - voluntad y disposición - un 79,17% alcanzan niveles de complejidad que oscilan entre Casi Siempre y Siempre, los cuales equiparamos a desempeños Alto y Superior; mientras que el aspecto de tendencia de acción, en las componentes - persistencia y dedicación – el 78,34% se caracterizan porque los niveles de complejidad varían entre A Veces y Siempre, los cuales homologamos a los niveles de desempeño Básico hasta Superior. • La competencia matemática Comunicar en su caracterización presenta dos perspectivas: La curricular, que asume los procesos matemáticos que están en la base de la competencia, como organizadores del currículo y, por tanto, trasciende el clásico enfoque de desarrollo de contenidos. La segunda es la didáctica, asumida en dos expectativas de aprendizaje: una a corto plazo, la establecida para los objetivos de las tareas que se implementaron; y las expectativas de aprendizaje a largo plazo que se relacionan con el desarrollo de la competencia Comunicar. El docente debe articular estas dos expectativas de aprendizaje como una premisa para orientar una
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•
•
•
•
enseñanza para el desarrollo de la competencia matemática Comunicar del estudiante. En la medida que la investigación fue avanzando, el estudiante comprendía que para aprender la geometría era necesario convertirse en miembro de una comunidad de aprendizaje (la clase), ser reconocido como un participante interesado en compartir sus conocimientos previos, capaz de compartir y negociar signicados matemáticos y, por tanto, competente para desarrollar buena comunicación oral y escrita con otros miembros de esa comunidad de aprendizaje. Los componentes del aspecto afectivo y de tendencia de acción de la competencia, le permitieron interactuar en la clase con el propósito de desarrollar una actividad matemática de aprendizaje que promoviera su capacidad discursiva. La investigación permite aseverar que para obtener una aproximación a la evaluación integral de los niveles de complejidad de la competencia matemática comunicar, es necesario valorar los tres aspectos asumidos de la competencia matemática: el cognitivo, el afectivo y la tendencia de acción ya que la valoración cualitativa de éstos permite establecer que el estudiante al progresar en los procesos de compartir el signicado matemático con el apoyo en diferentes recursos como los bibliográcos, puede luego participar en la negociación del desarrollo del signicado matemático compartido, logrando que su discurso matemático oral y escrito asuma niveles de complejidad creciente. El trabajo con el objeto geométrico triángulo a partir del desarrollo de actividades matemáticas inherentes a la fenomenología correspondiente al sector agrícola, en particular con la agrimensura o con el uso en el diseño de escenarios deportivos, favorece en los estudiantes el adelanto de procesos individuales complejos de interrelación entre conceptos, símbolos, mediciones, cálculos y clasicaciones de un objeto real del contexto; como miembro de su propia comunidad de aprendizaje va desarrollando la comunicación oral utilizando explicaciones, justicaciones o argumentaciones verbales, o a partir de sus registros, notaciones y representaciones en los cuadernos de apuntes, para la formulación y expresión de las ideas, ésta se hace cada vez más clara, precisa, coherente y uida. El lenguaje matemático, el geométrico en particular, lo consideramos como un sistema complejo porque incluye el lenguaje natural y el simbólico especíco que están en permanente interacción; también contiene registros semióticos como los grácos: guras, representaciones geométricas; esto hace que la competencia matemática comunicar a partir del lenguaje se convierta en un medio para la comunicación, interpretación, análisis y negociación de ideas para desarrollar el signicado matemático compartido, que se caracteriza por la precisión de los términos y por su capacidad para
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informar o conjeturar, la construcción de argumentos y justicaciones de carácter sintáctico, simbólico y abstracto; ello incide en el proceso de aprendizaje y es una de las razones por las que en ocasiones los estudiantes no logran sobrepasar el nivel de complejidad de reproducción o el de conexión. • El estudiante logró movilizar procesos comunicacionales referentes a ubicar la CMC en un nivel de complejidad de reproducción. Lo anterior se evidencia en el desarrollo de las capacidades de: Expresarse en público de manera oral y escrita, Comparte y desarrolla el signicado matemático
con sus compañeros de forma oral y escrita, expresa, discute y comparte de forma oral o escrita sus ideas y signicados matemáticos, todas ellas relacionadas con las actuaciones de los estudiantes que tienen que ver con el aspecto cognitivo. El desarrollo de capacidades tendientes a promover lo afectivo y la tendencia de acción se evidenciaron con este nivel de complejidad cuando el estudiante: Atiende y participa activamente en el desarrollo de la actividad matemática y Se dedica con interés y esfuerzo al desarrollo de la actividad matemática.
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RECONOCIMIENTO ESPECIAL
El grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado”, hace un reconocimiento especial a los estudiantes de la primera cohorte de la Maestría en Ciencias de la Educación, Énfasis en Didáctica de las Matemáticas; sus tesis de maestría se articularon al macroproyecto de investigación “Desarrollo de Competencias Matemáticas en estudiantes de educación básica y media del departamento del Caquetá” (primera fase), que soporta, y direcciona la actividad investigativa de la Maestría. La caracterización realizada de algunas competencias matemáticas asociadas a diferentes objetos matemáticos, constituye un aporte signicativo que contribuye a consolidar la naciente línea de investigación internacional Competencias Matemáticas; a dinamizar la actividad investigativa de la Maestría y de la Universidad de la Amazonia y, a la comprensión de un tema de actualidad y de obligatorio conocimiento como son las competencias matemáticas. Por ello, queremos presentar a nuestros estudiantes y a las instituciones educativas (IE) donde ejercen como profesores de matemáticas y desarrollaron su proceso de investigación: • Pompilio Sánchez Artunduaga y Miller Ángel Martínez M: desarrollaron la tesis “Una caracterización de la competencia matemática Representar. El caso de la función lineal” en la IE. La Esmeralda, Municipio de Puerto Rico (Caquetá). • César Augusto Olmos R. y Dermin Rogelio Sarmiento R: desarrollaron la tesis “Caracterización de la competencia matemática Modelizar” en las IE. Juan Bautista La Salle”, Florencia, y la IE. Parroquial, San José del Fragua, (Caquetá). • César Augusto Bornachera Yanguas y Jesús Torres Castro: desarrollaron la tesis “Caracterización de la competencia matemática Pensar y Razonar. El
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caso de la razón y la proporción” en la IE. Ciudadela Siglo XXI. Florencia (Caquetá). • Edgar Floriano Quintero y Luis Germán Floriano Q: “Caracterización de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas. El caso de la Mediana” la IE. Jorge Eliécer Gaitán, Florencia (Caquetá). • Israel Cruz Perdomo: desarrolló la tesis “Caracterización de la competencia matemática Comunicar: el caso del triángulo” en la IE. Buinaima, Florencia (Caquetá). • Doris Loaiza Ferla y Luis Emiro Ramírez G: desarrollaron la tesis “Caracterización de la competencia matemática Comunicar: el caso de la circunferencia” en la IE. Dante Alighieri, San Vicente del Caguán (Caquetá). Destacamos su compromiso académico para asumir el rol de maestros – investigadores, concebir la clase de matemáticas como una comunidad de aprendizaje y a sus estudiantes como participantes de esta comunidad. Sin este compromiso y disciplina de trabajo, esta obra no hubiese sido posible. Nos sentimos orgullosos de haber contribuido a su vinculación a la comunidad nacional de educación matemática.
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SOBRE LOS AUTORES
BERNARDO GARCÍA QUIROGA Doctor en Ciencias Pedagógicas, Instituto Central de Ciencias Pedagógicas de la Habana, Cuba; Magister en Educación con énfasis en Evaluación y desarrollo Educativo Regional, Universidad Pedagógica Nacional; Licenciado en Ciencias de la Educación, con especialidad en Matemáticas y Física, Universidad Surcolombiana, Regional Florencia (Caquetá), Profesor Titular de la Universidad de la Amazonia, director del grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado”. Par evaluador de Colciencias. Autor y coautor de artículos publicados en revistas indexadas, de libros y capítulos de libros, conferencista y ponente en eventos cientícos nacionales e internacionales. Vicerrector Académico de la Universidad de la Amazonia. Secretario de Educación y Cultura del Departamento del Caquetá. Profesor investigador de la maestría en Ciencias de la Educación, Énfasis en Didáctica de las Matemáticas, Universidad de la Amazonia.
ARNULFO CORONADO Magíster en Docencia de la matemática, Universidad Pedagógica Nacional, UPN; Especialista en Educación Matemática, Universidad del Tolima; Especialista en Matemáticas Avanzadas, Universidad Nacional de Colombia; Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de la Amazonia. Profesor asociado de la Universidad de la Amazonia, miembro del grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado”. Autor de varios artículos publicados en revistas nacionales y/o regionales y ponentes en eventos cientícos
VARIOS AUTORES
nacionales. Coordinador de la Licenciatura en Matemáticas y Física y Decano de la Facultad Ciencias de la Educación en la Universidad de la Amazonia. En la actualidad, Coordinador y profesor investigador del Énfasis en Didáctica de las Matemáticas de la Maestría Ciencias de la de la Universidad de la Amazonia.
BLANCA ADRIANA TOVAR PIZA Magíster en Docencia de las Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (2007). Especialista en Educación Matemática de la Universidad del Tolima (1997). Licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad de la Amazonía (1992). Profesora de educación básica y media desde el año 1993. En la actualidad labora en la Institución Educativa Jorge Eliécer Gaitán de Florencia Caquetá. Docente catedrática desde el año 2000 hasta el presente en la Universidad de la Amazonia, miembro del grupo de Investigación Desarrollo Institucional Integrado de la misma Universidad y profesora de la Maestría en Ciencias de la Educación, Énfasis en Didáctica de las Matemáticas.
SAMUEL MORALES PARRA Magister en Docencia de las Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional; Especialista en Biomatemáticas, Universidad de la Amazonia; Licenciado en Matemáticas y Física Universidad de la Amazonia. Profesor Asistente Universidad de la Amazonia, miembro del grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado”. Autor de publicaciones en las revistas Maestros y Pedagogía, Facultad de Educación y Revista Apuntes de Matemáticas y Física del programa de Licenciatura. Profesor de Planta de la Institución Educativa Escuela Normal Superior de Florencia en el área de Matemáticas en los ciclos de Básica Secundaria, Media y Programa de Formación Complementaria. Profesor investigador de la maestría en Ciencias de la Educación, Énfasis en Didáctica de las Matemáticas, Universidad de la Amazonia. AWSON
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IDIER
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Magister en Didáctica de la Matemática, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá D.C; Especialista en Biomatemáticas, Universidad de la Amazonia, Florencia (Caquetá); Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de la Amazonia; Profesor Catedrático del Programa de Matemáticas y Física, Universidad de la Amazonia, miembro del grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado”. Profesor investigador de la maestría en Ciencias de la Educación, Én358
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE
fasis en Didáctica de las Matemáticas, Universidad de la Amazonia; Profesor de Planta de la Secretaria Municipal de Florencia, área de Matemáticas Institución Educativa La Salle.
ALBEIRO GIRALDO OSPINA Magister en Docencia de la Matemática, Universidad Pedagógica Nacional; Especialista en Docencia la Matemática, del Tolima; Licenciado en Matemáticas y Física, de Universidad de la Universidad Amazonia, Florencia, Caquetá. Docente de Básica Primaria entre 1988 y 1993, y de Secundaria y Media Técnica hasta la fecha. Coautor del libro “Situación y Perspectivas de la Educación Matemática: Nivel de Educación Media en el Departamento del Caquetá”. Profesor Catedrático de la Universidad de la Amazonia, desde 1996; miembro del grupo de investigación “Desarrollo Institucional Integrado”. Profesor investigador de la maestría en Ciencias de la Educación, Énfasis en Didáctica de las Matemáticas, Universidad de la Amazonia.
LEONARDO MONTEALEGRE QUINTANA Magister en Docencia de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional, Universitaria de ylaProcesos Universidad El Bosque, ciónEspecialista Matemática en de Docencia la Universidad del Tolima Pedagógicos de Educala Universidad de la Amazonia, Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad de la Amazonia. Catedrático en Didáctica, Historia y Filosofía de la Matemática, en los programas de Licenciatura en Matemáticas y Física y Maestría en Ciencias de la Educación con énfasis en Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de la Amazonía. Profesor de matemáticas de la educación básica secundaria y media, miembro de los Grupos de Investigación Desarrollo Institucional Integrado y Ciencia y Tecnología, reconocidos por Colciencias ScienTi.
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