Libro-3ro-Matemáticas

MATEMÁTICAS 3

Fortino Escareño Olga Leticia López

Fortino Escareño Olga Leticia López

La presentación y disposición de MATEMÁTICAS 3 son propiedad del editor. Ninguna parte de la obra puede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor. Derechos reservados © 2008, Editorial Trillas, S.A. de C.V. División Administrativa Av. Río Churubusco 385 Col. Pedro María Anaya, C.P. 03340 México, D.F. Tel 56884233 FAX: 56041364 División Comercial Calzada de la Viga 1132 C.P. 09439 México, D.F. Tel. 56330995 FAX: 56330870 www.trillas.com.mx _____________________ Primera edición, agosto 2008 ISBN 978-968-24-8332-5 ______________________

Prólogo

El libro que ahora presentamos a la consideración de docentes y alumnos, ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas. En cuanto a la metodología didáctica que se utiliza en el texto, es la que, de hecho, conforma el planteamiento central de este enfoque, y consiste en proponer en el aula actividades de estudio que “despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas y a formular los argumentos que validen sus resultados”. Con este fin, la estructura del libro está diseñada de modo que maestros y maestras inicien las sesiones de clase con el planteamiento de situaciones problemáticas, para introducir y desarrollar los conocimientos y habilidades propuestos para este nivel. Se ha procurado, en lo posible, que la situación problemática inicial provoque en los alumnos un conflicto cognitivo que los mueva a buscar la colaboración de sus compañeros. Después de la situación problemática se propone una sección de exploración y discusión, en la cual se orienta la búsqueda de procedimientos formales de solución mediante algunas preguntas. La manera en que se plantean estas preguntas invita a los alumnos y las alumnas a interactuar organizados en parejas; ocasionalmente, la interacción será en sesión plenaria, en la que se discutirán las aportaciones que el maestro juzgue de interés para el grupo. De hecho, algunas actividades en que se hacen necesarios el trabajo grupal y la construcción colectiva del conocimiento, en el texto están señaladas con el icono . Cuando los conocimientos y habilidades que se están estudiando requieren el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser inferidos por los alumnos, se incluyen algunas notas matemáticas. Esto permitirá



continuar con la exploración y discusión utilizando la terminología y el simbolismo formales introducidos en la nota matemática. Como colofón de las actividades de exploración y discusión, al margen se incluye una nota denominada No olvides que…, en la cual se resumen los conceptos y procedimientos que se estudian en la lección. Cada lección cierra con la sección Actividades adicionales, cuyo propósito es que los alumnos apliquen lo aprendido en otros contextos y lo vinculen con situaciones de la vida cotidiana, de otras disciplinas o de la propia Matemática. Por otra parte, en cada lección se han seleccionado (y señalado con el símbolo ✓ ) algunas actividades adicionales, con la intención de que el docente conforme con ellas instrumentos de evaluación. Para que los alumnos, padres y maestros se enteren de los conocimientos matemáticos que deberán saber los alumnos y en qué medida, cada bloque inicia con la presentación de los aprendizajes esperados. Asimismo, en cada bloque se destina un espacio para proponer el desarrollo de proyectos educativos, con cuya realización los alumnos podrán relacionar los conocimientos matemáticos con los de otras asignaturas. Por otra parte, al inicio del estudio de la mayoría de los temas se sugiere la consulta de lecturas específicas relacionadas con el tema en cuestión. La lectura de estos materiales ayudará a los alumnos y alumnas a profundizar y ampliar su aprendizaje. Con objeto de familiarizar a los y las estudiantes en el uso de la tecnología computacional para aprender Matemáticas, en el texto se incluyen algunas actividades que pueden realizarse con calculadora, en caso de contar con ella. Estas actividades están señaladas con el símbolo . C

CE

7

8

%

±

9

÷

6

×

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

Al final de la obra se encuentra el Apéndice Construcciones geométricas con la ayuda de la computadora, cuya consulta permitirá que los alumnos y las alumnas cuenten con un recurso más para la resolución de problemas matemáticos. Los maestros y las maestras que utilicen esta obra encontrarán en ella un intento por satisfacer sus inquietudes relacionadas con el cumplimiento de la aplicación del enfoque, el logro de los aprendizajes esperados y el desarrollo de las competencias. Sus sugerencias serán bien recibidas y tomadas en cuenta en futuras ediciones, porque creemos que sólo alcanzaremos mejores resultados si todos los que intervenimos en el proceso educativo trabajamos de manera conjunta. Los



autores

Índice de contenido

Prólogo

5

Bloque 1

9

Tema Tema Tema Tema Tema Tema Tema

1. Productos notables y factorización 2. Propiedades de los paralelogramos 3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia, y entre circunferencias 4. Ángulos inscritos en la circunferencia 5. Medición de figuras circulares 6. Razón de cambio 7. Diseño de un estudio o experimento estadístico

Bloque 2 Tema Tema Tema Tema Tema Tema

8. Ecuaciones no lineales 9. Ecuaciones no cuadráticas 10. Figuras semejantes 11. Triángulos semejantes 12. Interpretación y construcción de índices 13. Simulación

14. 15. 16. 17.

46 51 55 61 73 79

Bloque 3 Tema Tema Tema Tema

11 33

81 84 87 94 100 105 109

Relaciones funcionales La fórmula cuadrática Teorema de Tales Homotecia

111 114 124 131



Tema 18. Gráficas de funciones lineales y no lineales Tema 19. Relación entre la fórmula de una función y su representación gráfica Tema 20. Interpretación de gráficas formadas por secciones rectas y curvas Bloque 4 Tema Tema Tema Tema Tema

21. El método de diferencias en la resolución de problemas de sucesiones 22. El teorema de Pitágoras 23. Razones trigonométricas 24. Funciones de crecimiento exponencial 25. Análisis estadístico de fenómenos

26. 27. 28. 29. 30.

158

165 176 181 196 203 205

Resolución de problemas con ecuaciones Sólidos con superficies curvas Fórmulas del volumen de cilindros y conos Cálculo del volumen de cilindros y conos Gráfica de caja-brazos

Apéndice 1. Construcciones geométricas con la ayuda de la computadora 2. Tabla de razones trigonométricas Bibliografía recomendada



141

163

Bloque 5 Tema Tema Tema Tema Tema

135

207 213 222 225 230 241 241 249 251

BLOQUE 1 s o d ra

e p s se

e

j a z di

cas i a br : e s n g o al uar n re s m e p u n ect l A o a i s s e al ef o cia r l n p e e x s ru e Qu n e ente g e n co ón d s. rm ival o e f u d aci ica s eq n s a o r ras ri stific métr T e . t t 1 i o s. u geo ican ales r j c n l e lculo n los en la uras imp centr á e s e g c pliqu ngulo de fi as qu tos y i 2. Ae triá ades oblem inscr an c i d l r d opie an p gulos cia. imp io, r v e n b n p esuel ar á fere as qu cam n n e 3. R lacio circu oblem ón d nte y e z e r e una an pr na ra icam nte. v a u e d esuel inar gebr cam l fi 4. Retermarla a a grá l dxpres ntar e e pres e r 

BLOQUE

1

¿Qué hace un algebrista? El diccionario de la Real Academia Española dice que un algebrista es la persona que estudia, profesa o sabe álgebra, y que también es algebrista el cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos. Aunque actualmente resulta extraño designar con ese nombre a un traumatólogo, no lo era en los tiempos de Miguel de Cervantes, hace más de 400 años. En ese entonces era común que los barberos se anunciaran con el letrero de “algebrista y sangrador”, porque administraban diversos tratamientos curativos: sangrías, sacar muelas y restaurar huesos rotos. Un testimonio de este hecho lo encontramos en un pasaje de El Quijote de Cervantes: “Llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista con quien se curó el Sansón desgraciado.” La palabra Álgebra es de origen árabe y proviene de un libro escrito alrededor del año 830 por el astrónomo Mohamed Ibn Musa Al-Juarizmi, quien vivía en Bagdad. El título de esa obra es Al-jabr w´al muqábala. La palabra jabr significa “restauración”, en el sentido de restaurar el equilibrio de una ecuación. Por ejemplo, si al primer miembro de la ecuación 3x + 5x – 4 = 36, se suma 4 y se obtiene 3x + 5x = 36; para “restaurar el equilibrio” de la ecuación, se suma también 4 al segundo miembro: 3x + 5x = 36 + 4.

Muqábala significa “simplificación”; en el mismo ejemplo, 3x + 5x = 8x, con lo que obtiene 8x = 40.

Hoy los algebristas se encuentran en las universidades, donde enseñan o investigan en una de las áreas más bellas de las Matemáticas: el Álgebra. Ya han abandonado el arte de curar.

P 10

Proyecto Forma un equipo de tres compañeros e inventen algunos acertijos numéricos que no sean fáciles de resolver con la aritmética, pero sí con el Álgebra.

Bloque 1 4%-!

1

Productos notables y factorización

Te sugerimos leer:

¿Cuánto es 97 3 103? ¿Por qué el resultado de esta operación es el mismo que el de (100 3 100) 2 9, o bien, 1002 2 32? Planteado de otra manera: ¿por qué estas expresiones son equivalentes? En las siguientes lecciones aprenderás a identificar y desarrollar productos que tienen características especiales, y que son llamados productos notables.

“En ayuda de la aritmética”, en Perelman, Y., Álgebra recreativa, pp. 69-72.

1.1. Cuadrado de un binomio En una exposición de Matemáticas presentaron un curioso aparato cuadrado, como el que se muestra enseguida. C 1 A

C

C

B O

3

B

A

B

O

A

9 7

1

9 D

4

O

6

7

3 D

6

4 D

Al deslizar el punto O a lo largo de la diagonal, los segmentos perpendiculares AB y CD dividen sucesivamente al cuadrado en cuatro regiones. Dos de esas regiones son siempre cuadrados (marcados en color verde en la figura); las otras dos regiones son rectángulos (de color amarillo). La medida del lado del primer cuadrado es (9 1 1), por lo que su área se calcula elevando al cuadrado esa medida: (9 1 1)2. ¿Es equivalente el valor de (9 1 1)2 a la suma de las áreas de las cuatro regiones? ¿Sucede lo mismo con los otros cuadrados?

Exploración y discusión a) La figura de la derecha muestra uno de los cuadrados dividido en cuatro regiones. ¿Cuál es el área de cada región? ¿Cuánto suman las áreas de las cuatro regiones?

3

7

7

3

11

Tema 1 b)

El área de todo el cuadrado es 102 5 100, aunque también puede indicarse con cualquiera de las siguientes expresiones: (7 1 3)2

72 1 7 3 3 1 7 3 3 1 32

¿Son equivalentes estas dos expresiones? ¿Qué representa cada una? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera. c) La medida del lado de otro de los cuadrados se expresa como (6 1 4). Calculen y comparen el valor de (6 1 4)2 con la suma de las áreas de las cuatro regiones en que está dividido ese cuadrado. ¿Esos valores son iguales o diferentes? d) La medida del lado del siguiente cuadrado es (x 1 a), y su área se calcula elevando al cuadrado esa medida, es decir, multiplicando (x 1 a)(x 1 a).

a

x

x

a

Comparen este producto con la suma de las áreas de las cuatro regiones en que se halla dividido el cuadrado. ¿Son iguales o diferentes? Supongamos que el lado del cuadrado mide (x 1 7). Para hallar su área, multiplicamos lado por lado: (x 1 7)(x 1 7) y obtenemos x2 1 14x 1 49. x+7 x+7 x2 + 7x 7x + 49 x2 + 14x + 49

(x)2 + 2(7x) + (7)2

Actividades adicionales 1. Calcula mentalmente 5002 y aplica el cuadrado del binomio para calcular: a) 5012

12

b) 5022

c) 5032

d) 5082

e) 5092

4

6 6

4

Bloque 1 2. Piensa en un procedimiento similar que utilice el valor de 5002 para hallar el valor de las siguientes expresiones: a) 4902

c) 4922

b) 4912

d) 4972

e) 4992

3. Carmela tiene dos terrenos de forma cuadrada. Uno mide 3 m más por lado que el otro. El área del terreno pequeño es x2. Terreno pequeño

x2

Dimensiones y áreas de las partes de los terrenos 1 1 x2

Terreno grande

x

x

x

x

1

x + 3 x

x

2

x + 3

a) ¿Cuánto mide por lado el terreno pequeño? ¿Y el grande? b) ¿Cuál es el área del terreno grande? ¿Qué tanto más grande es éste que el pequeño? c) Si el terreno grande, en vez de medir (x + 3) por lado, midiera (x + a), ¿qué tanto más grande sería respecto del pequeño? 4. Si haces una plantilla como la de la figura de la izquierda y recortas las esquinas por las líneas punteadas, puede armarse una caja como la que se muestra a la derecha. 2 cm

En general, a un trinomio que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio se le llama trinomio cuadrado perfe cto. el cuadrado de un binomio

(a + b)2 = a2+ 2ab + b2 el cuadrado el doble del el cuadrado del primer primer término por el del segundo término segundo término

2 cm

• Ejemplo 1:

x

2 x–4 x

x–4

a) ¿Qué área tiene la base de la caja? b) ✓ ¿Qué volumen tiene esa caja?

(3x + 5)2 = (3x)2 + 2(3x )(5) + 52 = 9x2 + 30x + 2 5 • Ejemplo 2: (5x - 3y)2 = (5x)2 + 2(5x )(–3y) + (–3y)2 = 25x2 – 30xy + 9y2

13

Tema 1 c) Si x = 30 cm, ¿qué área tiene la base de la caja? d) Si x = 30 cm, ¿qué volumen tiene la caja? e) ¿Cuál es la capacidad de la caja? 5. En la tabla siguiente se muestra un patrón para multiplicar dos binomios iguales. Complétala. Binomio

Operación

Desarrollo

x+3

(x + 3)(x + 3)

x2 + 2(x)(3) + (3)2

x–4

(x – 4)(x – 4)

x – 2(x)(4) + (4)

m+5

(m + 5) (m + 5)

2

Resultado 2

m–6 x+y m–n

6. Aplica la regla para obtener el cuadrado de los siguientes binomios. a) (m + 5)2

g) (2.3z + 5.1y)2

b) (2a + 1)2

h) (5.6m + 7.4n)2 2 2 1 x+ i) 3 2

c) (5m + 2)2 d) (y – 10)2 e) (2a – 3b)2

j)

f) ✓ (0.5x – 3.2)2

4 5

2

m −2 n

1.2. Producto de dos binomios conjugados Carlos va a comprar un terreno. La inmobiliaria sólo dispone de terrenos cuadrados de 20 m por lado, pero él quiere uno rectangular. Carlos sugiere que le aumenten 3 m al frente del terreno y le quiten 3 m al fondo, pues considera que así se compensan las cantidades; es decir, que el área de este terreno será igual a la del terreno original. ¿Es correcto el razonamiento de Carlos?

20 m 20 m

14

Fondo Frente

x2 + 6x + 9

Bloque 1 Exploración y discusión a) Si se aumentan 3 m al frente y se quitan 3 m al fondo, ¿cuáles serían las dimensiones del terreno resultante? ¿Cuál es el área del terreno original y cuál la del terreno modificado? Comenta tus respuestas con un compañero o compañera. b) ¿Cuántos metros cuadrados ganaría o perdería con esta modificación? Para justificar sus afirmaciones, hagan un esquema del terreno cuadrado y otro del rectangular. c) Si el terreno que le ofrecieron a Carlos midiera 30 m por lado y él insistiera en que le agregaran 3 m a un lado y se los quitaran al otro, ¿cuántos metros cuadrados ganaría o perdería? Justifiquen sus respuestas mediante un esquema del terreno cuadrado y otro del rectangular. d) Si representamos con la letra x la medida del lado del terreno cuadrado, el frente del rectangular será (x 1 3) y el fondo será (x 2 3). ¿Qué operación realizarías para obtener el área del terreno?

x – 3 x + 3

e)

¿Cuál es el área del terreno original? ¿Cuál es el área del rectangular? ¿Son iguales las dos áreas? ¿Cuál es la diferencia? ¿Es correcto el razonamiento de Carlos? Comenten las conclusiones del equipo con los compañeros del grupo.

Supongamos que las dimensiones del terreno rectangular que quiere Carlos son (x 1 7) y (x 2 7). Hallamos su área multiplicando largo por ancho. Observa: Los binomios (x + 7) y (x – 7) se llaman binomios conjugados. La única diferencia entre los dos es un signo.

x+7 x–7 x2 + 7x – 7x – 49 x2

– 49

f ) ¿Qué es mayor: x2 o (x 1 7)(x 2 7)? ¿Carlos ganaría o perdería si al terreno cuadrado le aumentaran 7 m de un lado y le disminuyeran 7 m del otro? ¿Qué tanto ganaría o perdería?

15

Tema 1 Actividades adicionales 1. Una forma sencilla de multiplicar pares de factores, como 103 3 97, consiste en transformarlos en un producto de dos binomios conjugados. Observa: 103 3 97 5 (100 1 3)(100 2 3) 5 1002 2 32 5 10 000 2 9 5 9991 Usa este procedimiento para hallar los siguientes productos: a) 72 3 68

d) 210 3 190

b) 81 3 79

e) 5100 3 4900

c) 105 3 95 2. Aplica la regla del producto de dos binomios conjugados para realizar los siguientes cálculos: a) (x 1 4)(x 2 4)

g) ✓ (2ab 1 c)(2ab 2 c)

b) (y 2 3)(y 1 3)

h) (3m2 1 2n)(3m2 2 2n)

c) (x 1 y)(x 2 y)

i)

d) (x 1 1.5)(x 2 1.5)

f ) (2a 1 3b)(2a 2 3b) 3. Completa las siguientes expresiones: 1 10)(

b) (4x 1 c) (

d) (5b 1 e) (

)( )(

1

1

) = 25b2 2 c2

2

11

3

a+

+

2 5

b

En general, el producto de dos binomios conjugados es igual a un a diferencia de cuadrados . Simbólicamente se representa así: Binomios conjugados

(x 1 a)(x 2 a) = x2 2 a2 Diferencia de cuadrados

• Ejemplo: (2x 1 5)(2x 2 5)5

)2 = a2 1 2ab 1 )2 =

1

) = a2 2 4b2

)2 = 9x2 1 30x 1

h) (5b 1

16

) = 16x 2 25 2

1 1)2 = x2 +

f) (3x 1 g) (

2 10) = x2 2 100

)(4x 2 2

2 a− b 3 5

2 2 j) 3 x − z 3 x + z 3 3

e) (3m 1 4)(3m 2 4)

a) (

1

1 c2

5 (2x)2 2 52 5 5 4x2 2 25

Bloque 1 1.3. Producto de dos binomios con un término común Ramón corta láminas cuadradas que miden x centímetros por lado. Le pidieron que cortara láminas rectangulares que midieran 3 cm más de un lado y 2 cm más del otro lado, respecto al lado x del cuadrado. ¿Cómo calcularías el área de la nueva lámina? ¿Cuál es su área?

3

x2

x

x

x2

x

2

x

Exploración y discusión a) ¿Cuánto aumentó el área de la lámina rectangular con respecto de la cuadrada? b) De acuerdo con la ilustración anterior, el área de la lámina es x2 1 5x 1 6. ¿De qué color está pintada la región cuya área es x2? ¿Y la región 5x? ¿Y la región cuya área es 6? c) ¿Qué operación te permite obtener x2 1 5x 1 6 a partir de las dimensiones de la lámina rectangular? ¿Cuáles son las dimensiones de esa lámina? d) Si los lados de la lámina midieran (x 1 a) y (x 1 b), se obtendría un rectángulo formado por cuatro regiones. ¿Cuál es el área de cada una? ¿Cuál es el área de todo el rectángulo?

x

x

a

b

e) La expresión x2 1 9x 1 20, que representa el área de la lámina cuyas dimensiones son (x 1 5) y (x 1 4), está formada por tres términos. ¿También puede expresarse con tres términos el área de la lámina de dimensiones (x 1 a) y (x 1 b)? ¿Cuáles son tales términos?

17

Tema 1 Observa que los binomios (x 1 5)(x 1 4) que multiplicamos tienen un término común (x) y términos no comunes (5 y 4), y que el producto es un trinomio formado por: • El cuadrado del término común: x2 • La suma de los términos no comunes por el común: (5 1 4)x 5 9x • El producto de los términos no comunes: 5 3 4 5 20 f )

¿Se cumple este hecho en el producto de (x 1 a)(x 1 b)? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y luego presenten al grupo las conclusiones del equipo.

Actividades adicionales 1. Aplica la regla del producto de dos binomios con un término común, para hallar los siguientes productos aritméticos. Analiza el ejemplo resuelto: 73 3 82 5 (80 2 7)(80 1 2) 5 6400 1 (27 + 2)(80) 1 (27)(2) 5 6400 1 (25)(80) 1 (214) 5 6400 2 400 2 14 = 5986 a) 42 3 43 b) 51 3 54 c) 38 3 41 d) 79 3 84 2. Supón que Ramón amplió 5 cm un lado de la lámina y redujo 2 cm el otro. ¿Cuál sería el área de la nueva lámina? 3. Utiliza el siguiente diagrama para mostrar que: (x 1 2y)(x 1 y) 2 (x 2 y)2 5 5xy 1 y2. y

x

y y

x–y

x x–y

18

Recuerda que el área de una superficie rectangular se halla multiplicando la medida de la base por la medida de la altura.

Bloque 1 4. Evalúa las expresiones (x 1 5)(x 2 2) y x2 1 3x 2 10, para los valores de la literal que se dan en la siguiente tabla. ¿Son equivalentes las dos expresiones? Valores de la literal x

En general, el producto de dos binomios con un término común se obtie ne de la siguiente manera:

Valores de las expresiones algebraicas (x 1 5)(x 2 2)

x2 1 3x 2 10

10 15 20

5. Aplica la regla anterior para obtener los siguientes productos de dos binomios con término común: a) (x 1 5)(x 1 3)

g) ✓ b +

b) (x 1 7)(x 1 13) c) (y 1 1)(y 1 9) d) (y 2 3)(y 1 2) e) (2x 1 6)(2x 2 4)

h) c +

1 3

1 4

b +

c+

3 4

2 3

i) (x 2 0.3)(x 1 0.7)

f ) ✓ (3a 2 5) (3a 2 6)

(x 1 a) Producto de dos binomio con un (x 1 b) término scom ún (x)2 1 ax 1 bx 1 ab (x)2 1 (a1b)x 1 ab El cuadrado del término común

El producto de los términos no comunes

El producto del término común por la suma de los términos no comune s

• Ejemplo 1: (2x 1 3)(2x 1 5) 5 5(2x)21(315)2x1(335) 5 5 4x2 1 16x 1 15 • Ejemplo 2: (x 2 2)(x 1 5) 5 5(x)21(2215)x1(22)(5)5 5 x2 1 3x 2 10

6. Realiza los siguientes cálculos aplicando los productos notables que has aprendido hasta aquí. a) 3x2 1 (2x 1 1)2 b) (2x 1 3)2 2 (x 1 1)2 c) 5x2 2 (2x 2 3)(2x 1 3) d) (3x 1 5)(3x 2 5) 2 (3x 1 1)2 e) (5x 2 7)2 2 (5x 1 7)(5x 2 7)

19

Tema 1

1.4. Factor común de un polinomio Lucía ha formado un rectángulo con las piezas que se muestran a la izquierda que mide 2a de altura y (3b 1 6c) de base. ¿Qué otros rectángulos puede formar juntando las 18 piezas, de modo que los rectángulos rojos vayan a la derecha de los azules? ¿Cuáles son las dimensiones y el área de cada uno? Piezas

Rectángulo

a b

2a

a 3b + 6c c

Exploración y discusión a) ¿Cómo se expresa algebraicamente el área de un rectángulo azul? ¿Y el de uno rojo? b) ¿Cuál es el área total de los 18 rectángulos? c) Si con las 18 piezas formas un rectángulo de a unidades de altura, ¿cuánto medirá su base? (Recorta en cartoncillo los 18 rectángulos o usa papel cuadriculado para construirlo.) d) Si con las 18 piezas formas un rectángulo que mide (b + 2c) unidades de base, ¿cuánto medirá su altura? e) ¿Puede medir 3a la altura de uno de los rectángulos construidos con las 18 piezas? ¿Qué otra medida puede tener la altura? f ) Haz una lista de las posibles medidas que pueden tener los rectángulos y compárala con la que obtuvo un compañero o compañera. g) Supón que las áreas de las regiones rectangulares azul y roja fueran 24ab y 80ac, respectivamente. Si a, b y c son enteros positivos diferentes, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener la altura? ¿Cuánto mediría su base?

24ab

20

80ac

Bloque 1 Seguramente habrás observado que en la resolución de los dos problemas anteriores se utiliza la noción de divisor común. Es posible que en el segundo hayas probado los valores a, 2a, 4a y 8a como medidas de las alturas de los rectángulos. Los valores a, 2a, 4a y 8a son divisores comunes de 24ab y 80ac, y el máximo común divisor (MCD) de ellos es 8a. h) ¿Cuál es el máximo común divisor de 6ab y 12ac en el primer problema? i) La suma (24ab 1 80ac) es equivalente al producto 8a(3b 1 10c). ¿A qué otros productos es equivalente (24ab 1 80ac)?

Actividades adicionales 1. ✓ En la escuela de Andrés están haciendo carteles de forma cuadrada con un círculo inscrito.

2r r

a) Si sólo se colorean las partes del cuadrado que no cubre el círculo, ¿cuál es el área coloreada? ¿De qué manera se puede escribir esta área como un producto? b) Si el radio del círculo midiera 1.2 m, ¿cuál sería el área coloreada? c) Supón que la medida del lado del cuadrado es l. ¿Cuál es el área de este cuadrado? ¿Y la del círculo inscrito en él? ¿Cuál es la diferencia de las áreas? ¿Cómo se expresa esta diferencia como un producto? 2. ¿Cuál de las dos superficies de color tiene mayor área? (Ayuda: el x radio de cada círculo de la figura de la derecha mide .) 12

x

x

El concepto de máximo común divisor se puede extender a monomios, pa ra decir, por ejemplo, que el máximo común divisor de 10mn y 20m es 10m. Otro ejemplo: hallar el MCD de 20x3y2 y 45x2y4 z. El MCD de monomios se halla de la siguiente mane ra: • Se halla el MCD de los coeficientes; en este caso, el MCD de 20 y 45 es 5. • De las variables comunes que aparecen en los monomios, se eligen las que están elevadas al menor exponente; en este caso, x2 y y2. • El MCD de 20x3y2 y 45x2y4z es 5x2y2.

El MCD de un polinomio nos sirve para factorizar el polinomio como el producto de su MCD y otro polinomio. Así, la factorización de 20x3y2 – 45x2y4z es: 20x3y2 2 45x2y4z 5 5 5x2y2(4x 2 9y2z)

x

x

21

Tema 1 3. La familia de Luis tiene gallinas y conejos. Luis va a hacer dos corrales rectangulares con un lado común. El corral de las gallinas tendrá un área de 75xy unidades de largo por 50xz unidades de ancho. Si x, y y z son enteros positivos, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener el lado común? 4. Si c representa el costo de una camisa, p el de un pantalón y f el de una falda, el costo de 8 camisas, 4 pantalones y 12 faldas lo representamos así: 8c 1 4p 1 12f. Escribe esta expresión en forma factorizada. 5. Factoriza los siguientes polinomios usando el máximo común divisor: a) ✓ 3x 1 3y

g) 2x2 1 3x2y2

b) 4m 2 2

h) 8n 2 24

c) 3b2 2 4b

i) 8a2b2 2 ab2

d) 15xy2 2 3y2

j) 6mn2 2 3m2n

e) 3ab 2 6ac

k) 3x2 2 6xy 1 9y

f ) r2 2 r

l) ✓ 2xy 1 6x2y 24xy

1.5. Factorización de trinomios de la forma x 2 + bx + c ¿Cuánta cartulina se necesita para elaborar el siguiente modelo geométrico? ¿Qué tendrías que hacer para saber la cantidad de cartulina que se necesita? Coméntalo con un compañero o compañera.

7 cm

7 cm 1 cm 7 cm

22

1 cm

1 cm

Bloque 1 Exploración y discusión a) Escriban debajo de cada figura o grupo de figuras la operación que deben efectuar para calcular su área. 1 cm

7 cm

7 cm 1 cm 1 cm 7 cm

b) ¿Qué cantidad de cartulina se necesita? c) Las piezas de cartulina se acomodan de modo que forman el siguiente rectángulo:

7+1

7+3

¿Cómo se calcula el área de este rectángulo? ¿Cuál es su área? Intenten formar con ellas un rectángulo con dimensiones diferentes. No deben faltar ni sobrar piezas. ¿Alguien pudo construirlo? d) Utilicen el modelo geométrico que se muestra en la ilustración para construir tres rectángulos cuyas áreas sean x2 1 5x 1 6, x2 1 7x 1 10 y x2 1 4x 1 3, respectivamente. En cada caso, expresen el área como un producto. 1 x2

x

x

x

1

1

Observa que en cada caso se manifiesta la regularidad que se muestra en la siguiente tabla: Trinomio

Coeficientes del término de primer grado

Constantes

Factorización

x 1 5x 1 6

55312

65332

(x 1 3)(x 1 2)

x2 1 7x 1 10

75512

10 5 5 3 2

(x 1 5)(x 1 2)

x 1 4x 1 3

45311

35331

(x 13)(x 1 1)

2

2

23

Tema 1 Es decir, para factorizar un trinomio como x2 1 5x 1 6, se buscan dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6: 31255 x2 1 5x + 6 5 (x 1 3)(x 1 2) 33256

f ) Factoriza el trinomio x2 1 9x 1 8 usando la regla anterior. Luego, construye el modelo geométrico correspondiente para verificar el resultado.

Actividades adicionales 1. Completa la siguiente tabla de valores para verificar que x 1 5x 1 6 5 (x 1 3)(x 1 2). 2

Valores de x 4

x

8

10

100

x13

x2 1

bx 1 c 5 5 x2 1 (m + n)x 1 mn 5 5 (x 1 m)(x 1 n)

x12 (x 1 3)(x 1 2) x2 5x x2 1 5x 1 6

2. ✓ Escribe el área de cada una de las superficies rectangulares que se muestran enseguida. Escribe también los factores binomios que representan las dimensiones de esas figuras. 3x x

2

24

12 x

3

x2

3x

4x x2

2x

• Un trinomio de la forma x2 1 bx 1 c puede factorizarse si se encuentran dos números m y n, tales que m 1 n 5 b y mn 5 c.

8

4x

• La factorización es única, aunque los factores pueden ordenarse así: (x + m)(x + n), o bien, así: (x 1 n)(x 1 m). • Hay polinomios que no pueden factorizarse de este modo; por ejemplo: x2 + 3x + 1.

Bloque 1 3. Encuentra el área y las dimensiones de cada una de las superficies rectangulares del problema anterior, para x = 10. 4. Factoriza los siguientes trinomios: a) x2 1 6x 1 8

f ) x2 2 2x 2 15

b) x2 1 3x 1 2

g) y2 2 4y 2 32

c) x2 1 5x 1 4

h) a2 2 3a 1 2

d) m2 1 10m 1 21

i) b2 2 7b 1 12

e) x2 1 7x 2 8

j) 3 2 4x 1 x2

Recuerda que a los polinomios de la forma: x2 + 2ax + a2 se llaman trinomios cuadrados perfectos. Un trinomio es cuadrado perfecto si cumple las siguientes condiciones: Dos términos son cuadrados de monomios

x2 + 2ax + a2 El otro término es el doble producto de esos monomios

1.6. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Patricia formó una superficie cuadrada con el modelo geométrico de x2 1 6x 1 9, y con estos mismos elementos quiere armar una superficie rectangular, no cuadrada. ¿Será posible hacerlo?

x2

x

x x + 3

1 x

1

1

x2

x + 3

Exploración y discusión a) ¿Cuánto mide por lado el cuadrado que armó Patricia? b) Otra figura rectangular que se puede formar es la siguiente (que también es un cuadrado): ¿Cuánto mide por lado este cuadrado? c) ¿Encontraste otro arreglo rectangular que no fuera cuadrado? d) ¿Cuánto miden por lado los cuadrados que pudiste formar? e) ¿Podrías construir otro cuadrado cuyos lados sean diferentes de (x 1 3)?

x2

x + 3

x + 3

25

Tema 1 Actividades adicionales 1.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, realizamos lo siguiente:

Evalúa el polinomio x 1 6x 1 9, para x 5 5. 2

a) ¿El valor que encontraste es el cuadrado de un número entero? ¿De cuál? ¿Cuántas unidades mayor que 5 es este número entero? b) Si asignas a la letra x el valor 8, ¿el valor de x2 1 6x 1 9 es el cuadrado de un número entero? ¿De cuál? ¿Cuántas unidades mayor que 8 es este número entero? c) Si asignas a la x cualquier valor entero, ¿el valor de x2 1 6x 1 9 es el cuadrado de otro número entero? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

• Extraemos la raíz cuadrada a los términos que son cuadrados. • Se escriben estos dos resultados como elementos de un binomio. Entre ellos se coloca el signo que tiene el término que es el doble producto de dichos términos. • Se indica el cuadrado de ese binomio.

2. ✓ De los polinomios x2 1 14x 1 49 y x2 1 10x 1 40, ¿cuál es un trinomio cuadrado perfecto? ¿Cómo pueden averiguarlo? Comenten su respuesta con otros equipos del grupo. 3. Calcula las áreas de las siguientes regiones cuadradas, para el valor de la literal que se indica en cada caso. a) x 5 5 x

b) x 5 6

c) x 5 7

x

1

x

1

x

1

x

factorizar 4x2 2 20x 1

x2 x

2

Ejemplo:

x

x x x

x2

x

• Se extraen la raíces cuadradas de 4x2 y 25, que son, respectivamente, 2x y 5. • Se escribe un binomio con estos términos. Entre ellos se coloca el signo que tiene el término que es el doble producto de ellos: (2x 2 5). • Se indica el cuadrado del binomio: (2x 2 5)2.

x

4. Los siguientes números son cuadrados perfectos. Expresa cada uno como trinomio cuadrado perfecto y como cuadrado de un binomio. Analiza el ejemplo resuelto. 169 5 132 5 (10 1 3)2 5 102 1 2(10)(3) 1 32 5 100 1 60 1 9 100 1 60 1 9 es trinomio cuadrado perfecto y (10 1 3)2 es cuadrado de un binomio. a) 144

b) 225

c) 400

d) 625

5. Subraya los trinomios que sean cuadrados perfectos. a) a2 1 2a 1 1 b) x2 2 2xy 1 y2 c) 4x2 1 12xy 1 9y2

26

d) 9m2 1 6m 1 16 e) 4x2 2 4xy 1 y2

25.

Por tanto, 4x 220x1255(2x25)2 . Observa que este trinomio también es igual a (5 2 2x)2. ¿Por qué? 2

Bloque 1 6. Factoriza los siguientes polinomios en tu cuaderno: a) ✓ x2 1 8x 1 16

f ) x2 2 16x 1 64

b) m2 1 10m 1 25

g) 49n2 2 84n 1 36

c) 9m2 1 24m 1 16

h) 1 2 8x 1 16x2

d) 4a2 1 12ab 1 9b2

i) 1 1 6x 19x2

e) n2 2 10n 1 25

j) 1 2 6y 1 9y2

1.7. Factorización de una diferencia de cuadrados

5 5

80

En la colonia de Lolita, el parque tiene la forma de un cuadrado de 80 m por lado. En una de sus esquinas, un monumento ocupa una región cuadrada de 5 m por lado. El resto del parque es una zona arbolada y su área se halla restando las áreas de los dos cuadrados: 802 2 52 5 6375. ¿Qué longitud tendría una región rectangular con esta misma área, pero de (80 2 5) metros de ancho?

80

Exploración y discusión a) Si conoces el área de la región rectangular y la medida de su anchura, ¿cómo hallas su longitud? b) Haz un croquis del parque en un papel cuadriculado y recorta la parte que representa la zona arbolada, que es un hexágono irregular. ¿Cómo descompondrías el hexágono para construir con las partes un rectángulo de (80 2 5) metros de ancho? ¿Qué longitud tendría el rectángulo? c) Una forma de descomponer el hexágono irregular para construir con las partes un rectángulo de (80 2 5) metros de ancho, es la que se muestra enseguida. ¿Cuál es la longitud del rectángulo que se forma? 80

80 – 5

80 – 5

80

5 80 – 5

?

5

27

Tema 1 d) ¿De qué otra forma descompondrías el hexágono irregular, para construir con las partes un rectángulo de (80 2 5) metros de ancho? ¿Cuál sería su longitud? e) Supón que las medidas del parque fueran las que se muestran enseguida. ¿Cuál es el área de la zona arbolada? ¿Qué longitud tendría una región rectangular con esta misma área, pero de (x 2 y) metros de ancho? x

x – y

x – y

x

?

y x – y

y

Actividades adicionales 1. Una forma de recordar que una diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados, consiste en considerar ejemplos aritméticos como 52 2 22. La siguiente figura, en que 22 se quita de 52, aclara esta idea: 2 Se quita 22

5–2

5

Lo que queda puede acomodarse en un arreglo rectangular de 3 × 7:

5–2 5

2 5+2

28

Bloque 1 Un lado del arreglo rectangular es 7, o sea, 5 1 2; el otro lado es 3, es decir, 5 2 2. Por tanto, 52 2 22 5 (5 1 2)(5 2 2). Haz algunos dibujos que muestren que: 82 2 12 5 (8 1 1)(8 2 1) 82 2 22 5 (8 1 2)(8 2 2) 82 2 32 5 (8 1 3)(8 2 3) 82 2 42 5 (8 1 4)(8 2 4) 82 2 52 5 (8 1 5)(8 2 5)

2. Un jardín tiene la forma de una corona circular. Su área se calcula restando el área del círculo menor del área del mayor, es decir, aplicando la fórmula πR2 2 πr2. Escribe la expresión factorizada equivalente a esta fórmula.

Sabemos que el producto de dos binomios conjugados es igual a un a diferencia de cuadrados . Para factorizar una diferencia de cuadrados , seguimos el procedimien to inverso: • Escribimos el binomio como una diferencia de cuadrados: a2 2 b2 5 (a)2 2 (b)2 . • Expresamos el binomio como el producto de una suma por una diferencia: a2 2 b2 5 (a + b)(a 2

b)

Veamos un ejemplo: factorizar el binomio 25 2 x 2 36y2. 25x2 5 (5x)2 36y2 5 (6y)2

r R

3. ✓ Una placa metálica circular tiene cuatro perforaciones circulares iguales (como se muestra en la figura). Escribe la fórmula para calcular el área de la superficie metálica restante. Exprésala en forma factorizada.

r r

r r

• Escribimos el binomio como una diferencia de cuadrados: 25x2 2 36y2 5 (5x)2 2 (6y)2 • Expresamos el binomio como el producto de una suma por una diferencia: 25x2 2 36y2 5 (5x + 6y)(5x 2 6y)

R

29

Tema 1 4. Los siguientes binomios son diferencias de cuadrados. Factorízalos. a) ✓ x2 2 4

f ) 225 1 4x2

b) y2 2 9

g) a2b2 2 c2

c) 4a2 2 16

h) 1 2 9x2

d) 9x2 2 25

i) 81a2 2 100b2

e) 16x2 2 36

j) 2100 1 100x2

5. Completa las siguientes expresiones: a) ✓ 9m2 – 25n2 = (3m 1 b) 25x 1 2

)(3m 2

1 4 = (5x 1

)

c) 9m2 + 21mn 1 10n2 = (3m 1 d) 25b 2 2

1 c = (5b 2 2

e) 18abc2 2 24a2b2c =

)

2

)(3m 1 )

)

2

(3c 2 4ab)

1.8. Actividades sobre factorización de polinomios 1.

¿Puede factorizarse el trinomio 4x2 1 8xy 1 3y2? Reúnete con varios compañeros y elaboren un modelo geométrico que corresponda a esta expresión, como se hizo en lecciones anteriores, y traten de armar un rectángulo con las 15 piezas, sin que falte ni sobre ninguna. En este caso el modelo constaría de: • 4 cuadrados de lado x • 8 rectángulos de x por y • 3 cuadrados de lado y • El valor de x debe ser mayor que el de y. x

x y x

y

30

y

Bloque 1 a) Comparen las formas en que armaron el rectángulo con las 15 piezas. ¿Cuántas formas diferentes encontraron? b) ¿En cuáles rectángulos se armonizaron mejor los colores? c) ¿Cuál es la factorización del trinomio 4x2 1 8xy 1 3y2? 2. ¿Puede factorizarse la expresión 6x2 1 11xy 1 3y2? Se trata ahora de armar varios rectángulos con 20 piezas del modelo geométrico. Nuevamente, el valor de x debe ser mayor que el de y. Un rectángulo que puede formarse es el siguiente:

a) ¿Qué expresiones algebraicas representan las medidas de los lados de este rectángulo? b) ¿Cuál es la factorización de 6x2 1 11xy 1 3y2? c) Reúnete con un compañero o compañera y armen otro rectángulo visualmente distinto del anterior, de modo que parezca el parquet del piso de una sala. ¿Cuáles son sus medidas? d) De acuerdo con el modelo que armó tu equipo, ¿cuál es la factorización de 6x2 1 11xy 1 3y2? 3. Un equipo armó su rectángulo de la siguiente manera:

¿Se habrán equivocado? No. Lo que ocurre es que ellos asignaron a x un valor menor que el de y. a) En la figura anterior, anoten la medida de la base del rectángulo y la de cada sección que forma esa base; hagan lo mismo para la altura.

31

Tema 1 b) En cada una de las 20 regiones que forman el rectángulo, anoten el área que le corresponde. c) ¿Cuál es el área total del rectángulo? ¿Cuáles son sus dimensiones? d) De acuerdo con el modelo anterior, ¿cuál es la factorización de 6x2 1 11xy 1 3y2? 4. Imaginen que poco a poco los valores de x y y se van acercando entre sí; es decir, las piezas grandes se van achicando y las chicas se van agrandando. Seguramente habrá un momento de equilibrio en que los valores de x y y sean iguales. El modelo rectangular correspondiente al polinomio 6x2 1 11xy 1 3y2 sería el siguiente:

a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo anterior, donde x 5 y? b) ¿Cuál es el área de este rectángulo? c) Si x 5 y, ¿cómo puede expresarse 6x2 1 11xy 1 3y2? d) ¿Cuál sería una de las factorizaciones de 6x2 1 11xy 1 3y2 si x 5y? 5.

¿Qué polinomio representa el área de cada uno de los siguientes diseños rectangulares? ¿Qué factorización o factorizaciones tiene cada polinomio?

a)

b)

d) c)

32

Bloque 1 4%-!

2

Propiedades de los paralelogramos

Te sugerimos leer:

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Este tipo de cuadriláteros posee propiedades especiales, algunas de las cuales descubrirás basándote en los conocimientos que tienes sobre triángulos congruentes y rectas paralelas.

“Criterios de congruencia de triángulos”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 28-29.

2.1. Triángulos congruentes Una ingeniera está construyendo un hotel y va a utilizar dos enormes triángulos metálicos para sostener el techo de la cafetería exterior. Antes de instalarlos, debe verificar que las dos piezas triangulares son idénticas o congruentes; es decir, los tres lados y los tres ángulos de una de ellas deben coincidir con los tres lados y los tres ángulos de la otra. B

A

B‘

C

A‘

C‘

¿Significa esto que la ingeniera tiene que medir y comparar esas seis partes de los triángulos o será suficiente con que mida y compare sólo algunas de esas partes? Si es así, ¿cuáles son esas partes?

Exploración y discusión a) Supón que la ingeniera decide medir sólo tres elementos de uno de los triángulos y compararlos con los correspondientes del otro. Si encontrara, por ejemplo, que los tres ángulos del triángulo ABC son iguales a los correspondientes del triángulo A’B’C’, ¿podría asegurar que los triángulos son congruentes? ¿Por qué?

33

Tema 2 b)

Las siguientes tablas indican los elementos del ∆ABC que son iguales a los correspondientes del ∆A’B’C’ ¿En qué casos puede asegurarse que los triángulos son congruentes? Para realizar la investigación, dividan el grupo en equipos; unos serán los equipos A y otros los B.

Equipos A

Equipos B

∠A 5 ∠A’ 5 76° ∠C 5 ∠C’ 5 87° AC 5 A’C’ 5 0.74 m

AB 5 A’B’ 5 2.50 m BC 5 B’C’ 5 2.44 AC 5 A’C’ 5 0.74 m

AB 5 A’B’ 5 2.50 m BC 5 B’C’ 5 2.44 ∠C 5 ∠C’ 5 87°

BC 5 B’C’ 5 2.44 AC 5 A’C’ 5 0.74 m ∠A 5 ∠A’ 5 76°

AB 5 A’B’ 5 2.50 m BC 5 B’C’ 5 2.44 m ∠B 5 ∠B’ 5 17°

AB 5 A’B’ 5 2.50 m ∠A 5 ∠A’ 5 76° ∠B 5 ∠B’ 5 17°

c) ¿Será cierto que siempre que tres elementos de un triángulo sean iguales a los correspondientes de otro triángulo, estos triángulos son congruentes? d) Hay seis posibles combinaciones de tres elementos y seguramente no todas servirán para determinar si dos triángulos son congruentes. ¿Cuáles de ellas sí permiten hacerlo? Lado – lado – lado (LLL)

Ángulo – lado – ángulo (ALA)

Lado – ángulo – lado (LAL)

34

Lado – lado – ángulo (LLA)

Lado – ángulo – ángulo (LAA)

Ángulo – ángulo – ángulo (AAA)

Bloque 1 Actividades adicionales Enseguida te proponemos investigar sólo tres (LLL, LAL y LLA) de las seis posibles combinaciones de tres partes de un triángulo. Las indicaciones que se dan pueden tomarse como guía para investigar las tres restantes. Como un auxiliar, puedes emplear un programa computacional de geometría dinámica para efectuar tus investigaciones, como el Cabri Géomètre. (Consulta el Apéndice, al final del libro.) a)

Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, ¿ambos triángulos son congruentes? Para averiguarlo, toma una hoja de papel, una regla y el compás y construye uno con los siguientes segmentos. A

C

B

C

A

B

• Paso 1. Usa las medidas de los tres segmentos de la derecha para construir un triángulo en la hoja. • Paso 2. Compara tu triángulo con el triángulo ABC que aparece enseguida. Coloca tu triángulo sobre el del libro para ver si coinciden todas sus partes. C

A

B

• Paso 3. Ahora compara tu triángulo con el de un compañero o compañera y luego con los que hicieron otros equipos. • Paso 4. Si todos los triángulos que construyeron son congruentes (o si no lo son), pueden establecer la conclusión que corresponde. b) Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

35

Tema 2 de otro triángulo, ¿los triángulos son congruentes? Toma otra hoja de papel, la regla y el compás y con los dos segmentos y el ángulo siguientes constrúyelo. N

Dos figuras son congruentes si todas sus partes correspondientes son congruentes. En el caso de los triángulos, hay tres criter ios para determinar si dos de ellos son congruentes:

B

N

C

• Paso 1. Toma las medidas de los dos segmentos y del ángulo para construir un triángulo, de modo que el ángulo quede entre esos segmentos. • Paso 2. Compara tu triángulo con el triángulo NBC y también con los que construyeron otros compañeros del grupo. ¿Hubo al menos uno que fuera diferente de los demás? B

C

N

• Criterio LLL. Los tres lados de un triángulo so n congruentes con los del otro.

• Criterio LAL. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con los correspondientes del otro.

• Paso 3. Si todos los triángulos que construyeron son congruentes (o si no lo son), pueden establecer la conclusión correspondiente. c)

Si dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos de otro triángulo, ¿los triángulos son congruentes? Para investigarlo, nuevamente tomen una hoja de papel, la regla y el compás y constrúyanlo. H

B B

O H

36

• Criterio ALA. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos de un triángulo, son congruentes con los correspondientes del otro.

Bloque 1 • Paso 1. Toma las medidas de los dos segmentos y del ángulo para construir un triángulo, de modo que el ángulo no quede entre esos segmentos. • Paso 2. Compara tu triángulo con el triángulo XYZ y también con los que construyeron otros compañeros del grupo. ¿Hubo al menos uno que fuera diferente de los demás? • Paso 3. Si todos los triángulos que construyeron son congruentes (o si no lo son), pueden establecer la conclusión respectiva.

La notación ∆ABC ≅ ∆D EF se utiliza para señalar la congruencia de los trián gulos y de las partes correspondie ntes. B A

2.2. Actividades sobre congruencia de triángulos

C E F

1. Con la información que se proporciona en cada caso, ¿qué criterio permite asegurar que ambos triángulos son congruentes? L

D

Z

65°

Los lados correspondientes son:

D

AB ≅ DE BC ≅ EF AC ≅ DF

E

U

a)

65°

A

I

C

b)

E

C

V

Los ángulos correspondientes son:

A

∠BAC ≅ ∠EDF ∠ABC ≅ ∠DEF ∠ACB ≅ ∠DFE

R

A

B

N

C

c) d)

A

D

2. ¿Son congruentes los siguientes pares de triángulos? Si con los datos que se dan en cada caso no es posible asegurar que son congruentes, escribe: “No puede ser determinado”, y con base en los mismos datos construye los triángulos para verificar que no son congruentes. No su-

37

Tema 2 pongas que dos triángulos son congruentes porque parece que lo son; para afirmarlo, tienes que basarte en la información que se da. T

N L

T R

A

A

B

I

G E

F

a) ¿∆ANT ≅ ∆FLE?

N

E

b) ¿∆GIT ≅ ∆AIN?

T

L

c) ¿∆RED ≅ ∆BUL?

C

T

M

A W

U E

L

d) U es el punto medio de FE y LT . ¿∆FLU ≅ ∆TEU?

E

A

I

O

f ) AM es mediana. ¿∆CAM ≅ ∆PAM?

S

R

g) ¿∆ARE ≅ ∆ARC? ¿Por qué?

P

e) BW ≅ ET, OW ≅ IT, ¿∆BOW ≅ ∆EIT?

H

C

O

S

A

F

I

h) ¿∆FSH ≅ ∆FSI? ¿Por qué?

3. ✓ Contesta las siguientes cuestiones. Luego, comenta tus respuestas con un compañero o compañera, y finalmente, con otros equipos del grupo. • Si dos triángulos no son congruentes, ¿pueden tener la misma área?

38

U

E

B

F

D

T

i) ¿∆SAT ≅ ∆SAO? ¿Por qué?

Bloque 1 • Si dos triángulos no son congruentes, ¿pueden tener el mismo perímetro? • Si dos triángulos no son congruentes, ¿pueden tener la misma área y el mismo perímetro?

2.3. ¿Qué propiedades tienen los paralelogramos? Observa los siguientes paralelogramos. H D A

D

I

E

B

C

G

F

K

J

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas con respecto a cada paralelogramo?: • Sus lados son iguales. • La suma de cada par de ángulos adyacentes es 180°. • Las diagonales se cortan mutuamente por la mitad.

Exploración y discusión a) Mide con el transportador todos los ángulos de los paralelogramos. En el caso del paralelogramo ABCD, ¿qué relación encuentras entre las medidas de los ángulos opuestos DAB y BCD? ¿Y entre las de los ángulos opuestos ABC y CDA? b) Compara las medidas de los ángulos opuestos de los otros paralelogramos. ¿Se conserva la relación que encontraste en el paralelogramo ABCD? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera y escriban en sus cuadernos la relación que encontraron entre los ángulos opuestos de un paralelogramo. c) Sumen las medidas de ángulos adyacentes (por ejemplo, las de los ángulos ABC y BCD). Ahora sumen las medidas de los ángulos adyacentes BCD y CDA. Continúen sumando las medidas de pares de ángulos adyacentes en los otros paralelogramos. ¿Qué encontraron? Escriban en sus cuadernos sus hallazgos sobre los ángulos adyacentes de un paralelogramo. d) Usen su compás para comparar las longitudes de los lados opues-

39

Tema 2 tos de cada paralelogramo. ¿Qué relaciones encuentran entre sus medidas? Escriban en sus cuadernos sus hallazgos sobre los lados opuestos de un paralelogramo. e) Tracen las diagonales de los paralelogramos. Marquen con la letra O el punto en que se cortan las diagonales. ¿AO ≅ CO? ¿ DO≅ BO? ¿El punto O es el punto medio de AC ? ¿Es también el punto medio de BD ? ¿Qué sucede con las diagonales de los otros paralelogramos? Escriban en sus cuadernos sus hallazgos sobre las diagonales del paralelogramo. Las cuatro conclusiones que obtuvieron son conjeturas acerca de relaciones entre las medidas de ángulos y lados de un paralelogramo. En las siguientes actividades tratarán de demostrarlas aplicando sus conocimientos sobre triángulos y rectas paralelas.

Actividades adicionales 1.

Observen los triángulos que se forman al trazar la diagonal AC del paralelogramo ABCD. A

D

B

C

a) ¿Son congruentes los triángulos DAC y CBA? ¿Por qué? ¿Qué ángulos del ∆DAC son correspondientes con los del ∆CBA? ¿Qué lados son correspondientes? b) ¿Son iguales los lados opuestos de un paralelogramo? ¿Son iguales los ángulos opuestos de un paralelogramo? ¿Por qué? c) En el paralelogramo ABCD hay cuatro pares de ángulos adyacentes: ABC y BCD; BCD y CDA; CDA y DAB; DAB y ABC. A

D

B

C

¿Cada par de ángulos adyacentes suman 180°? ¿Por qué? d) ✓ Al trazar las diagonales DB y AC del paralelogramo ABCD se han formado los triángulos AOB y DOC. ¿Son congruentes estos

40

Bloque 1 triángulos? ¿Por qué? ¿Qué pares de ángulos de estos triángulos son correspondientes? ¿Qué pares de lados son correspondientes? A

B

O D

C

e) ¿Son iguales los segmentos AO y CO ? ¿Y los segmentos DO y BO? ¿Las diagonales de un paralelogramo se cortan mutuamente por la mitad? ¿Por qué? ¿Sucede lo mismo con las diagonales de los otros paralelogramos? 2. Cada una de las siguientes figuras es un paralelogramo. Aplica las propiedades de esta figura para resolver los problemas que se plantean. 34 cm d

27 cm

b a

48°

c

a) ¿Cuánto miden los ángulos a y b?

b) ¿Cuánto miden los lados c y d?

R

x+3 e

U h

f

g x–3

63°

M

17 F

78°

c) ¿Cuánto miden los ángulos e y f?

E

d) ¿Cuál es el perímetro de este paralelogramo?

O

e) ¿Cuánto miden los segmentos g y h?

M

V

16 cm

14 cm

A(b, c)

N F

I

f ) ✓ VF = 36 m; EF = 24 m; EI = 42 m; ¿Cuál es el perímetro del ∆NVI?

P

R(a, 0)

g) ✓ ¿Cuáles son las coordenadas del punto M del paralelogramo PRAM?

41

Tema 2

2.4. Algunas propiedades de paralelogramos especiales En tu cuaderno, construye dos paralelogramos como el A y el B usando los bordes paralelos de dos reglas de distinto ancho, y otros dos como el C y el D, con una misma regla.

A

B

C

¿Qué relaciones encuentras entre las medidas de los lados de estos paralelogramos? Traza las diagonales de las cuatro figuras. ¿Qué relaciones encuentras entre las diagonales de cada una de ellas?

Exploración y discusión La figuras que construiste son paralelogramos. ¿Qué razones darías para asegurarlo? Coméntalas con un compañero o compañera. b) Midan los lados de cada paralelogramo y comparen sus longitudes. ¿Qué relación encuentran entre sus medidas? c) ¿Qué tienen en común estos paralelogramos en cuanto a la medida de sus lados? ¿En qué se diferencian? d) ¿Cuáles de estos paralelogramos son equiláteros (sus lados tienen la misma longitud)? ¿Cuáles son equiángulos (sus ángulos tienen la misma medida)? e) Midan las diagonales de cada paralelogramo y comparen sus longitudes. ¿Qué paralelogramos tienen diagonales iguales? ¿Qué criterio de congruencia de triángulos permite afirmarlo? f) Coloquen el ángulo recto de una escuadra en cada uno de los ángulos formados por la intersección de las dos diagonales de estos paralelogramos. ¿Qué clase de ángulos se forman en cada uno de ellos? a)

42

D

Bloque 1 g) Al trazar las diagonales de un rombo se forman cuatro triángulos congruentes. ¿Qué criterio de congruencia permite asegurarlo? h) ¿Por qué los ángulos a y b del rombo anterior son congruentes? ¿Por qué esos ángulos son rectos? i) Las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto (son perpendiculares). ¿En algún otro paralelogramo las diagonales son también perpendiculares?

a b

Actividades adicionales 1. Encuentren las medidas de las partes que se indican de los siguientes paralelogramos. a) ✓ ABCD es un rombo; a =



b=



c=

B 5 4

A

3

b

a

C c

D

b) PQRS es un rectángulo. ¿Cuánto mide la diagonal SQ ? P

Q

10 S

R

c) XYWZ es un romboide. ¿Cuánto mide el ángulo y? X

Y

48°

y

Z

95° W

d) ✓ CUAD es un cuadrado. ¿Cuánto miden los ángulos x y y? C

U

y x D

• Los rombos, rectángu los y cuadrados son paralelogramos especiales. • El rombo es un paralelogramo equilátero (o de lados iguales o congruentes). • El rectángulo es un paralelogramo equiángulo (o de ángulos iguales o congruentes). • En particular, el cuadrad o es un rombo equiángulo y es también un rectángulo equilátero. • Las diagonales del rom bo son perpendiculares. • Las diagonales del rectángulo son iguales. • Las diagonales del cuadrado son perpendiculares e iguale s.

A

43

Tema 2 2.

Identifiquen cada uno de los siguientes enunciados como falso o verdadero. Para cada afirmación falsa, den una razón que justifique su falsedad o dibujen una figura que lo muestre. a) Las diagonales de un rombo tienen la misma medida. b) Los ángulos adyacentes de un rectángulo tienen la misma medida. c) Las diagonales de un rectángulo se cortan mutuamente por la mitad. d) Las diagonales de un rectángulo son bisectrices de los ángulos. e) Las diagonales de un cuadrado son mediatrices una de otra. f ) Todos los rombos son cuadrados. g) Todos los cuadrados son rectángulos. h) Una diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósceles. i) Una diagonal de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles.

2.5. Actividades sobre propiedades de los paralelogramos 1.

En la siguiente tabla, marquen con una ✓ en los espacios que corresponda. Propiedad Sus lados opuestos son paralelos. Sus lados opuestos son congruentes. Sus ángulos opuestos son congruentes. Sus ángulos adyacentes son suplementarios. Sus diagonales lo dividen en triángulos congruentes. Sus diagonales se cortan mutuamente por la mitad. Sus diagonales son congruentes. Sus diagonales son perpendiculares. Una diagonal es bisectriz de dos ángulos. Todos los ángulos son rectos. Todos los lados son congruentes.

44

Romboide

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

Bloque 1 2. Las reglas paralelas, que se usan para trazar rectas paralelas, están formadas por dos tiras de madera tipo regla, AB y CD, iguales y unidas por dos travesaños iguales con pivotes E, F, G y H, que permiten la movilidad de la estructura. Las longitudes de HG, EF, son iguales, lo mismo que las de HE y GF. Si AB se mantiene fija, y CD se mueve, las reglas AB y CD siempre se mantendrán paralelas, de modo que se puede usar el borde de CD para trazar rectas paralelas. C

D

G

H

A

B E

F

a) Si deseas trazar dos paralelas lo más separadas que sea posible, ¿qué tipo de cuadrilátero deben formar las reglas paralelas y los travesaños? b) En cualquier otro caso, ¿qué tipo de cuadrilátero forman? 3. ✓ Algunos objetos de uso cotidiano que cambian su forma se construyen tomando como base el rombo. Un ejemplo es el gato mecánico.

C

A

B

D

a) Cuando se aumenta o se disminuye la longitud de la diagonal horizontal AB del rombo (gato), ¿cambian las longitudes de los lados? ¿Cambian las medidas de los ángulos? b) Compara las medidas de los ángulos ACB y BDA. ¿Son iguales o diferentes? ¿Los ángulos ABC y ABD son iguales o diferentes? ¿Y los ángulos BAC y BAD? c) Al cambiar la longitud de la diagonal horizontal AB, ¿cambian las relaciones entre esos ángulos? d) Al cambiar la longitud de esa diagonal, los vértices opuestos A y B del rombo siguen la dirección de la línea que contiene a esa diagonal. ¿Sucede lo mismo con los vértices opuestos C y D con respecto a la diagonal vertical CD? (Traza la diagonal CD.)

45

Tema 3 e) La diagonal horizontal AB corta a la diagonal vertical CD formando ángulos rectos. ¿Cambia esta relación al cambiar la longitud de la diagonal horizontal? f) ¿Son simétricos los triángulos ABC y ABD con respecto a la diagonal horizontal AB del rombo? g) ¿Qué clase de triángulos son ABC y ABD?

4%-!

3

Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia, y entre circunferencias

La figura que aparece a continuación muestra un conjunto de tubos circulares que tienen radios y grosores iguales. Los extremos de los tubos ilustran lo que geométricamente son las circunferencias tangentes exteriores. ¿Qué posiciones relativas pueden tener dos circunferencias? ¿Y una recta y una circunferencia? Sobre estos asuntos tratará la siguiente lección.

3.1. Tangentes y secantes La figura muestra una circunferencia con centro en O. En ella se ha marcado uno de sus puntos (el punto T). ¿Cómo puedes trazar una recta que toque a la circunferencia sólo en ese punto? T

O

46

Te sugerimos leer: “La distancia al horizonte”, en Ruiz, C. et al., Crónicas geométricas, pp. 16-17.

Bloque 1 Exploración y discusión a) Traza en tu cuaderno una circunferencia con centro O. b) Marca un punto T de la circunferencia. c) Usa una regla para trazar una recta m que parezca que toca a la circunferencia sólo en el punto T. d) Traza el radio OT. e) Compara tu construcción con la de otro compañero o compañera. f ) Usen un transportador para medir los ángulos que la recta m y el radio OT forman en el punto T. ¿Serán perpendiculares la recta m y el radio OT? g) La recta tangente a una circunferencia tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que termina en el punto de contacto. Consulta la nota que aparece a la derecha para trazar con regla y compás una circunferencia con centro en O y su tangente en un punto T. h) Observa las siguientes construcciones. ¿Hay alguna que sea igual a la que tú construiste? Distínguela anotando una marca en el recuadro de la esquina superior izquierda.

m

m

m

T

T

T O

O

m

O

O

T

Instrucciones para trazar una recta tangente a una circunferencia en un punto T de ésta: 1. Dibuja una circunferencia y llama O a su centro. 2. Elige un punto en la circunferencia y llámalo T. 3. Traza un arco con centro en T y radio OT que corte a la circunferencia. Llama A a una de las intersecciones. 4. Traza una circunferencia con centro en A y radio OT. 5. Traza el segmento OA y prolóngalo hasta que corte a la circunferencia trazada en el paso 4. Llama B al punto de corte. 6. Traza la recta TB. Esta última es la recta tangente deseada. Es perpendicular al radio OT.

i) ¿Por qué las otras construcciones no son correctas?

B

Actividades adicionales

A

1. A continuación se enlistan algunos puntos, rectas y segmentos de la circunferencia. Anota sobre las rayas la letra o letras con que se identifican.

T

O

a) Centro b) Diámetro

A

B

c) Secantes d) Radios e) Cuerdas

E

D

O

C

f ) Tangentes

47

Tema 3 2.

ST es un diámetro de la circunferencia. Las rectas SR y TQ se cortan en U. ¿Es posible que las rectas SR y TQ sean tangentes a la circunferencia O en los puntos S y T, respectivamente? ¿Por qué? S Q U

R

T

3. ✓ Los rayos m y n son tangentes a la circunferencia. ¿Cuál es el valor del ángulo w? m

P 130°

w

n

4. El rayo k es una tangente. ¿Cuál es el valor del ángulo y?

y

R

120°

k

5. Los rayos r y s son tangentes. ¿Cuál es el valor del ángulo x? r

72°

Q

x

s

48

Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Bloque 1 6. Construye una circunferencia de radio t. Elige tres puntos de la circunferencia y llámalos X, Y y Z (observa la siguiente figura). Construye un triángulo cuyos lados sean tangentes a la circunferencia en los puntos X, Y y Z. Z

T

X

Y

3.2. Actividades sobre posiciones relativas entre una recta y una circunferencia, y entre circunferencias 1.

Las posiciones relativas entre dos circunferencias pueden ser diversas. En la columna de la izquierda se describe cada una de ellas y en la de la derecha se muestran, en desorden, las figuras que las ilustran. Relaciona ambas columnas anotando en los recuadros de las figuras la letra que corresponde.

a) Exteriores, cuando los puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra. b) Tangentes exteriores, cuando tienen un solo punto común y los demás puntos de cada una son exteriores a la otra. c) Secantes, cuando tienen dos puntos comunes. d) Tangentes interiores, cuando tienen un solo punto común y una es interior a la otra. e) Interiores, cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra. f ) Concéntricas, cuando tienen el mismo centro y radios desiguales.

49

Tema 3 2. Si tienes acceso al programa Cabri Géomètre, utilízalo para construir dos circunferencias en las seis posiciones indicadas en la actividad anterior. (Consulta el Apéndice, al final del libro.) 3. La recta t es tangente a las dos circunferencias. ¿Cuál es el valor del ángulo z?

t 75°

z

M S

4. ✓ ¿Cuál es el error en la siguiente figura? Los rayos TA y TB son tangentes a la circunferencia O. (Recuerda que los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.) A

T

36°

148° O

B

5. ¿De cuántas maneras pueden ser tangentes tres circunferencias? Enseguida te damos tres ejemplos.

50

Bloque 1 4%-!

Ángulos inscritos en la circunferencia

4

La figura de la derecha muestra una porción circular de una cancha de futbol. Por las posiciones en que están, los jugadores A, B y O no tienen la misma posibilidad de anotar gol, pero ¿existe alguna relación entre las medidas de los ángulos de tiro ∠DAC, ∠DBC y ∠DOC? Sobre estas cuestiones geométricas tratará la presente lección.

D

C

O A

B

4.1. Arcos y ángulos En la circunferencia con centro en O se han trazado el ángulo central BOA y los ángulos inscritos BRA, BQA y BPA. Los cuatro ángulos intersecan el mismo arco AB. ¿Qué relación existe entre las medidas de estos ángulos inscritos, y entre éstos y el ángulo central?

A

P O

Q

B

R

Exploración y discusión a) Mide con tu transportador los ángulos inscritos. b) Mide ahora el ángulo central BOC y compara su medida con las de los ángulos inscritos. ¿Qué relación encuentras entre la medida de los ángulos inscritos y la del ángulo central? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera. c) En tu cuaderno, traza una circunferencia grande y dos ángulos inscritos, de modo que los tres intersequen un mismo arco. Traza el ángulo central que corresponde a ese arco. d) Mide los ángulos inscritos y compara sus medidas. ¿Qué relación encuentras entre sus medidas? e) Mide ahora el ángulo central y compara su medida con las de los ángulos inscritos. ¿Qué relación encuentras entre sus medidas?

51

Tema 4 Seguramente encontraron que los dos ángulos inscritos tienen la misma medida y que esta medida es la mitad de la del ángulo central. De hecho, la medida de todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la del ángulo central correspondiente. Para probar esta relación, es necesario recordar los siguientes resultados de la geometría que ya conocemos: • La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. • Dos ángulos suplementarios suman 180°. • En un triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales. Probaremos esta relación para el caso en que el centro de la circunferencia se encuentra sobre uno de los lados del ángulo inscrito. AB es el lado que contiene al centro O. Unimos O con C, y así queda formado el triángulo isósceles ACO, con lados AO y OC iguales, porque son radios del círculo. C

A

O

Afirmaciones ∠BAC + ∠ACO + ∠AOC = 180°

Razones Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

∠BOC + ∠AOC = 180°

Forman ángulos complementarios.

∠BAC + ∠ACO + ∠AOC = ∠BOC + ∠AOC

Ambas sumas son iguales a 180°.

∠BAC + ∠ACO = ∠BOC

Restamos ∠AOC de ambos miembros.

∠BAC = ∠ACO

Son ángulos opuestos a lados iguales de un triángulo.

2∠BAC = ∠BOC

Sustituimos ∠ACO por ∠BAC.

∠ BAC =

52

B

∠ BOC 2

Dividimos ambos miembros entre 2.

Bloque 1 Actividades adicionales 1. Realiza la siguiente investigación sobre ángulos inscritos en un semicírculo:

a) En tu cuaderno, traza una circunferencia grande y uno de sus diámetros. Traza también tres ángulos inscritos en el mismo semicírculo. b) Mide cada uno de estos ángulos con tu transportador y compara sus medidas. ¿Qué relación encuentras entre las medidas de los ángulos inscritos en un semicírculo? c) ¿Cuánto mide el arco que intersecan los tres ángulos inscritos en un semicírculo? d) ¿Qué relación encuentras entre la medida de los tres ángulos inscritos en un semicírculo y la medida del arco que intersecan? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera. e) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos centrales BOC y COD? ¿Por qué?

Dos tipos de ángulos qu e se forman en la circunferencia son los siguientes: • Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma circunfe rencia. • Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferen cia y sus lados son cuerdas de la circunferencia. Un ángulo central es corre spondiente a un ángulo inscrito si am bos abarcan un mismo arco. A

B AOB es un ángulo central

B El ángulo APB es inscrito

A

P

B

P

O

∠BOC + ∠COD =

A

A

O B

O

D

C

f) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos inscritos BAC y CAD? ¿Por qué?

AOB es el ángulo central correspondiente al ángulo APB

Entre estos dos ángulos existe la siguiente relación: la medid a de todo ángulo inscrito en una cir cunferencia es igual a la mitad de la medida del ángulo central correspondiente.

∠BAC + ∠CAD =

53

Tema 4 2.

¿Cómo usarías el resultado anterior para probar la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central correspondiente, para el caso en el que el centro de la circunferencia está dentro del ángulo inscrito? A

O

C

B

D

3. ¿Y cómo lo usarías para el caso en que el centro de la circunferencia está fuera del ángulo inscrito? C A

B O

4.

D

La siguiente secuencia de figuras ilustra un procedimiento para construir la tangente a una circunferencia de centro O que pasa por un punto P exterior a la circunferencia. (En la segunda figura, M es el punto medio del segmento OP.)

O

P

O

M

P

Q

O

Q

M

P

Q'

a) Describe en tu cuaderno los pasos que se siguieron para realizar esta construcción. b) ¿Qué argumentos darías a tus compañeros para convencerlos de que la recta PQ es tangente al círculo O en el punto Q? c) ¿Hay otra tangente al círculo de centro O que pasa por el punto P? ¿Cuál es?

54

O

M Q'

P

Bloque 1 4%-!

Medición de figuras circulares

5

Para resolver los problemas que se plantean en las siguientes lecciones, llevarás a la práctica una propiedad geométrica que ya conoces: la relación que existe entre la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia y la del ángulo central correspondiente al mismo arco. Asimismo, aplicarás algunas fórmulas para encontrar el área de porciones del círculo.

Te sugerimos leer: “Áreas de sectores circulares” y otros temas, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 16-17.

5.1. Cálculo de la medida de ángulos y arcos 1. La figura de abajo muestra una estrella de cinco puntas. ¿Cuál es la suma de las medidas de sus ángulos a, b, c, d y e? ¿Qué procedimiento puedes utilizar para saberlo? Explica en qué consiste ese procedimiento y por qué crees que funciona.

a e b

d

c

Exploración y discusión a) Utiliza tu transportador para hallar la medida de cada uno de los ángulos. ¿Cuánto mide cada uno de ellos? b) ¿De qué otra manera puedes hallar sus medidas? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera. c) ¿Qué relación hay entre cada ángulo y el arco que interseca? ¿Qué tipo de ángulo es cada uno?

55

Tema 5 d) ¿Cuál es la medida de un arco comprendido entre cualquier par de puntos consecutivos? e) ¿Cómo puedes conocer la medida del ∠a, a partir del arco que interseca? ¿Cuánto mide el ángulo a? f) ¿Cuánto miden los ángulos b, c, d y e? ¿Cuánto suman los cinco ángulos?

Actividades adicionales 1. En cada caso, halla la medida de los ángulos inscritos BAC, dada la medida del ángulo central correspondiente. a)

b)

B

B

c) A

A

A O

50°

O

C

130°

C

B

O

C

2. Explica, paso a paso, los procedimientos para resolver los siguientes problemas. a) En el círculo siguiente, construye un ∠ABC igual a la mitad del ∠AOC. ¿Cuántos se pueden construir?

A O C A

b) Construye en el círculo siguiente un ∠ADC igual al doble del ∠ABC. B ¿Cuántos se pueden construir?

56

C

La medida de un ángulo inscrito puede hallarse de dos maneras: • Midiéndolos con el transportador. • A partir la medida del arco que intersecan los lados del ángulo. Aunque ambas formas se complementan, tratarem os de utilizar la segunda, porque su validez se sustenta en una propieda d geométrica: la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del ángulo centr al correspondiente.

Bloque 1 3. Halla las medidas de los ángulos de las siguientes figuras. a)

b)

C

B

B A

A C

c)

B

A

e)

d)

C

B

C

A

D

D

A

f)

C

B

B

A

C

D

D

4. ✓ En cada caso, halla las medidas de los arcos y de los ángulos que se indican. g e

f

75°

20°

110°

a) f =

;

d

b) d =

g =

k

96°

;

e =

38° n

c) k =

e) n =

57

Tema 5

II

R=1.5 m

R=1.5 m

r=0.5 m

r=0.5 m

En cada una de ellas hay una superficie pintada de rojo. Calcula el área de esas superficies.

Exploración y discusión a) Utiliza un trozo de hilo como radio y un gis o un lápiz para dibujar en el piso estas figuras, con las medidas que se indican. Haz una estimación del área de la superficie que se pintará de rojo. b) ¿Cuál es el área de la superficie del círculo exterior? ¿Cuál es el área de la superficie del círculo interior? c) Considera la figura de la izquierda. ¿Cómo calculas el área de su superficie que se pintará de rojo? ¿Cuál es el área? d) Veamos la figura II de la siguiente manera: A C

O

D

B

¿Qué parte del círculo mayor ocupa la porción AOB? ¿Cuál es su área? e) En la misma figura, ¿qué parte del círculo menor ocupa la porción COD? ¿Cuál es su área?

58

a

ú Per México

ia

STOP

ol om b

Ur

I

r in u gua nt y Arge

¿Conoces un juego que se llama “Stop”? Para jugarlo, los niños dibujan figuras como la siguiente, si son seis los participantes. En una escuela, la comisión de juegos quiere dibujar en el patio dos de estas figuras, con las dimensiones que se indican enseguida.

Brasil

5.2. Cálculo de la medida de sectores y coronas circulares

C

Bloque 1 Actividades adicionales 1. Halla el área de cada región sombreada. (Todas las medidas están dadas en centímetros.) 60°

Si del interior de un círculo se recorta otro más pequeño concéntrico , queda una figura que se llama corona circular. Su área será, pues, igual a la diferencia entre las áreas del círculo exterior e interior.

240°

r

a) ✓ r = 10

b) r = 9

R

Área de la corona circular : πR2 – πr2 = π(R2 – r2) R

c) r = 12

d) r = 3

r

– r =

Un sector circular es la parte del círculo que corresponde a un ángulo central determinado. Su área es igual a la fracción n 360 del área del círculo, en donde n es el número de grados del ángulo central.

R

e) ✓ r = 6

f ) R = 7; r = 4

r n°

10

Área del sector circular: n × π r 2 360

r 60°

g) r = 2.5

n 360 ?

r

=

h) ✓ R = 10; r = 8

59

Tema 5

120°

2. Halla las medidas de los radios. r

a) El área del sector circular es 12π cm2.

b) El área de la corona circular es 32π cm2.

18

r

3. En cada caso, halla la medida del ángulo ABC. a) El área del sector circular es 60π cm2; r = 20 cm.

B A C

B

b) El área sombreada es de 37.68 cm2; R = 10 cm; r = 8 cm. A

C

4. El área de una corona circular es de 52π cm2, y la diferencia de los radios es de 2 cm. Calcula los radios de las dos circunferencias. 5. ✓ El área de color del siguiente círculo de la derecha se llama segmento circular. ¿Cuál es su área?

8 dm

6. Luis dibujó en su cuaderno, a una escala de 1:100, las dos figuras que se hicieron en el patio de la escuela y usó los mismos colores para iluminarlas. ¿Cuál es el área de las partes que pintó de rojo?

60

Bloque 1 4%-!

Razón de cambio Te sugerimos leer:

6

Hay muchos fenómenos o situaciones cuyo comportamiento se comprende mejor si se usa un concepto matemático llamado razón de cambio. Por ejemplo, si nos interesa saber cómo ha crecido la población en México en los últimos cinco años, calculamos la razón de cambio entre dos magnitudes: dividimos el crecimiento de la población en ese periodo entre el número de años (5). En las siguientes sesiones aprenderás a interpretar gráficas que describen los cambios que se dan en diversos fenómenos, aplicando el concepto de razón de cambio.

“Caída libre” y otros temas, en Noreña, F. et al., El movimiento, pp. 28-29.

6.1. ¿Cómo cambian las cosas?

Exploración y discusión a) De acuerdo con esta gráfica, el registro de la temperatura (T) se empezó a llevar a cabo cuando ésta era de 5 °C. ¿Qué valor se le asigna a h (tiempo en horas) en ese momento? b) ¿Cuál era la temperatura una hora después de que empezó a hacerse el registro? ¿De qué manera cambió en ese lapso: aumentó o disminuyó? ¿Qué tanto? c) ¿Qué tanto cambió la temperatura entre la tercera y la segunda horas? ¿Aumentó o disminuyó? d) ¿Durante cuánto tiempo se llevó a cabo el registro de la temperatura? ¿Qué tanto cambió ésta? e) ¿Cuánto cambió la temperatura cada hora? ¿Fue constante o variable ese cambio?

Temperatura (en °C)

La gráfica de la derecha representa los cambios que se registraron en la temperatura en una población, a partir de un momento en que la temperatura era de 5 °C? ¿De qué manera cambió la temperatura cada hora en el periodo de tiempo en que se hizo el registro? ¿De qué otras maneras puede representarse esta situación?

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 0

1 2 3 4 Tiempo (horas)

61

Tema 6 f ) El fenómeno que se dio en esa población se ha representado mediante una gráfica. También puede representarse en una tabla como la siguiente. Complétala. Tiempo, h (en horas)

Temperatura, T (en °C)

0

5

1

7

2 3 4

g) Si se mantiene la misma tendencia en la temperatura después de la cuarta hora, ¿qué cálculos habría que hacer para saber qué temperatura se tendrá entre la sexta y la quinta horas? Observa que en el fenómeno que estamos analizando hay una relación entre dos variables (o magnitudes): la temperatura y el tiempo.

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Temperatura (en °C)

Cambio de temperatura = 13 – 9 = 4 = 2 Cambio del tiempo 4–2 2

0

Cambio de temperatura = 11 – 5 = 6 = 2 Cambio del tiempo 3–0 3

Tiempo (horas) 1 2 3 4

Razón de cambio =

62

Cambio de la temperatura Cambio del tiempo

Bloque 1 Al cambio relativo de una de las variables con respecto de la otra se le llama razón de cambio. Por ejemplo, entre la cuarta y la tercera horas, la razón de cambio es: 2 Razón de cambio = 13 − 11 = = 2 4−3 1 La razón de cambio de estas variables es un aumento de 2 °C por hora. h) En la situación que estamos analizando, ¿hay algún periodo de tiempo en el que la razón de cambio de estas variables es diferente? i) ¿Qué significaría el hecho de que la pendiente de la recta fuera diferente a partir de la cuarta hora? j) ¿Qué significaría que, a partir de la cuarta hora, la gráfica de la situación no fuera una recta?

Actividades adicionales 1. Observa con cuidado las siguientes tablas, en las que se relacionan valores del tiempo con los correspondientes valores de la temperatura de la situación con que empezamos esta lección. Complétalas. Tabla A Tiempo, h (en horas)

Temperatura, T (en °C)

0.0

5

0.5

6

1.0 1.5 2.0 2.5

Tabla B Tiempo, h (en horas)

Temperatura, T (en °C)

0.00

5.00

0.25

5.50

0.50 0.75 1.00 1.25

a) La construcción de estas tablas empieza con h = 0, instante al que le corresponde la temperatura inicial de 5 °C. ¿A qué ritmo aumenta el valor del tiempo en la tabla A? ¿Y en la tabla B? b) Hemos visto que, en la situación que analizamos, la ra-

Si dos variables (magnit udes) están ligadas mediante un a relación funcional, se pu ede analizar el cambio relativo de una de las variables con respecto de la otra mediante el sig uiente cociente: cambio de una magnitud cambio de la otra magnitu d

A este cociente se le llam a razón de cambio. Por ejemplo, un automóv il transita por una carretera recta. Cuando empezamos a me dir el tiempo, el automóvil ya ha avanzado 50 m. En la sig uiente tabla se muestran los cam bios de posición del automóvil co nforme transcurre el tiempo: Tiempo, t (en segundos) 0

Distancia, d (en metros) 50

1

80

2

110

3

140

4 5

170 200

63

Tema 6 zón de cambio ha sido constante: la temperatura ha aumentado 2 °C cada hora. De acuerdo con esto, ¿cuánto aumenta la temperatura media hora después de haber empezado el registro? ¿Por qué? c) Según la tabla A, ¿cuál fue la temperatura en la población 2.5 horas después de haber empezado el registro de temperaturas? d) ¿Cuánto aumenta la temperatura un cuarto de hora después de haber empezado el registro? ¿Por qué? e) De acuerdo con la tabla B, ¿cuál es la temperatura de la población 1 hora y cuarto después de haber iniciado el registro de temperaturas? ¿Por qué? f) Las tablas anteriores se ven diferentes entre sí y con respecto a la tabla de la situación con que empezó esta lección. ¿Representan las tres la misma situación? ¿En qué basas tu respuesta? Coméntalo con un compañero o compañera. 2. Las siguientes tablas se refieren a la situación planteada al inicio de la lección:

A la razón de cambio de la posición de un objeto con respecto al tiempo se le llama velocidad, y se calcula co n el cociente: cambio de posición cambio del tiempo

En este caso, la razón de cambio (o velocidad) es la misma (es constante), y es igual a 30 m/s, lo cual puede ver ificarse mediante los siguientes cálculos: • Entre los tiempos t = 5y t = 3, la razón de cambio es:

Tabla A Tiempo, h (en horas)

(Continuación.)

Temperatura, T (en °C)

200 140 5 3

0.0 0.5

2.0 3.5

5 + 1.5 × 2 = 8

Tabla B Tiempo, h (en horas)

Temperatura, T (en °C)

0.00 0.25

5 + 0.25 × 2 = 5.5

0.75

5 + 0.75 × 2 = 6.5

1.50

a) Calcula la razón de cambio (cambio de temperatura entre cambio del tiempo) con los dos datos que se dan en la tabla A. b) Haz lo mismo con los datos que se dan en la tabla B. c) ¿Representan estas dos tablas la misma situación? ¿Por qué? d) Completa las tablas anteriores y traza las gráficas que corresponden a cada tabla. ¿Son diferentes las gráficas o son iguales?

64

60 2

 30

• Entre los tiempos t = 2y t = 1, la razón de cambio es:

5 + 0.5 × 2 = 6

1.0 1.5



110 − 80 30 = = 30 2 −1 1

Bloque 1 e) Compara la siguiente gráfica con la que se presentó en la situación inicial. ¿Son iguales o diferentes? t 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

h

6.2. Los fenómenos se comparan con razones Las siguientes gráficas muestran la forma en que se van llenando dos tinacos de 600 litros de capacidad, al recibir agua de sus respectivas llaves de alimentación.

Tinaco A

500 400 300 200 100

0

600 Cantidad de agua (litros)

Cantidad de agua (litros)

600

Tinaco B

500 400 300 200 100

10 20 30 40 50 60 Tiempo (min)

0

10 20 30 40 50 60 Tiempo (min)

¿Cuántos litros de agua por minuto recibe cada tinaco. ¿Se llena? uno antes que el otro? ¿Por qué?

65

Tema 6 Exploración y discusión a) ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco A al abrir la llave? ¿Cuál era su volumen 60 minutos después? b) ¿Cuántos litros de agua por minuto recibió el tinaco A? ¿Cuál es la razón de cambio de volumen de agua del tinaco A? c) ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco B al abrir la llave? ¿Cuál era su volumen 60 minutos después? d) ¿Cuántos litros de agua por minuto recibió el tinaco B? ¿Cuál es la razón de cambio de volumen de agua del tinaco B? e) ¿Alguno de los dos tinacos recibió más agua por minuto que el otro? f) La siguiente ilustración muestra, en un mismo plano cartesiano, la manera en que se llenan ambos tinacos. Junto a cada recta, anota “Tinaco A” o “Tinaco B”, según corresponda.

Cantidad de agua (litros)

600 500

Tinaco A Tinaco B

400 300 200 100

0

10 20 30 40 50 60 Tiempo (min)

¿Qué significa el hecho de que la gráfica del llenado de agua de los dos tinacos, sean dos rectas paralelas? h) ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco A después de 20 minutos de haber abierto la llave? ¿Cuál era el volumen de agua del tinaco B? i) ¿A los cuántos minutos de haber abierto la llave, uno de los tinacos tenía dos veces más agua que el otro? j) ¿Se llenó alguno de los dos tinacos antes que el otro? ¿Por qué? g)

66

Bloque 1 Actividades adicionales 1. ✓ Las gráficas que aparecen acontinuación muestran el movimiento de dos vehículos en una carretera recta.

Vehículo A

Distancia (km)

42 36 30

=

24 18 12 6

Tiempo (min)

Vehículo B

42

4 8 12 16 20 24

Distancia (km)

0

48

36 30

=

24 18 12 6 0

D

4 8 12 16 20 24

Tiempo (min)

Distancia (km)

48

Si en una función, a incrementos iguales en un a variable le corresponden incrementos iguales en la otra, se dice que la razón de cambio de la función es constante. La representación gráfica de la función es una línea recta. Por ejemplo, la razón de cambio de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es constante si se desplaza a una velocidad constante (o uniforme). La gráfica de este tipo de movimiento es una recta. La siguiente gráfica representa el movimiento de dos vehículos que via jan a distintas velocidades, pero la velocidad de cada uno es uniforme.

Tiempo (min)

t

Ambas rectas “suben” po r la derecha. La que a) ¿Qué distancia había recorrido el vehículo A al empezar el su be más rápidamente registro de los movimientos de los dos vehículos? ¿Qué disindica que la razón de tancia recorrió en los primeros 15 minutos? b) ¿Cuántos kilómetros por minuto viajó el vehículo A? O, di- cambio del movimiento de ese vehículo es mayo cho de otra manera, cuál es su velocidad por minuto? r qu e la del otro; en otras c) ¿Cuál es la razón de cambio de posición en la carretera del palabras: ese vehículo via vehículo A? ja d) ¿Qué distancia había recorrido el vehículo B al empezar más velozmente que el otro. Si las rectas fueran el registro del movimiento de los dos vehículos? ¿Cuántos pa ralelas, las razones de kilómetros más viajó después de 20 minutos? e) ¿Cuántos kilómetros por minuto viajó el vehículo B o cuál cambio serían iguales. es su velocidad por minuto? f) ¿Son distintas las velocidades de los dos vehículos? ¿Cuál de los dos viaja con mayor velocidad?

67

Tema 6 g) La siguiente ilustración muestra, en un mismo plano cartesiano, la manera en que se desplazan ambos vehículos. Junto a cada recta, anota “Vehículo A” o “Vehículo B”, según corresponda.

48

Distancia recorrida (km)

42 36 30 24 18 12 6 0

4

8

12 16 20 24 Tiempo (min)

h) ¿Cómo se distingue en la gráfica que un vehículo va a mayor velocidad que el otro? i) ¿Qué representa el punto de intersección de las dos rectas? j) ¿Qué significa el hecho de que la gráfica del movimiento de los dos vehículos, sean dos rectas que no son paralelas? El fenómeno físico considerado en la actividad 1 es el movimiento en línea recta con velocidad constante, el cual es conocido como movimiento rectilíneo uniforme. Una de sus características es que a incrementos iguales en el tiempo, le corresponden incrementos iguales en la posición, sin importar qué tan pequeños sean los incrementos considerados. 2.

Observa con cuidado la gráfica de la derecha para contestar las preguntas que se plantean. a) ¿Qué representaría la gráfica anterior si se refiriera al llenado de cuatro tinacos? b) ¿Qué representaría si se refiriera al movimiento de cuatro vehículos en una carretera recta? c) ¿Qué representaría si se refiriera al costo del viaje en taxi por kilómetro recorrido en cuatro ciudades diferentes? d) ¿Qué otra situación podría representar la gráfica anterior? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

68

Bloque 1 3.

Observen con cuidado la gráfica de la derecha para contestar las preguntas que se plantean. a) ¿Qué representaría la gráfica anterior si se refiriera al llenado de cuatro tinacos? b) ¿Qué representaría si se refiriera al movimiento de cuatro vehículos en una carretera recta? c) ¿Qué representaría si se refiriera al costo del viaje en taxi por kilómetro recorrido en cuatro ciudades diferentes? d) ¿Qué otra situación podría representar la gráfica anterior? Comenten su respuesta a los demás equipos del grupo.

6.3. ¿Cuál de los dos cambia más rápidamente? Una taza de café y una de atole se calientan en un horno de microondas. Luego, se sacan del horno y se exponen a la temperatura ambiente, que es de 15 °C. Supongamos que, en los primeros 12 minutos, las temperaturas de ambos líquidos disminuyen uniformemente conforme transcurre el tiempo. La siguiente gráfica representa una aproximación de los cambios de temperatura de ambas tazas durante los primeros 12 minutos a partir del momento en que se sacaron del horno.

Velocidad de enfriamiento de los líquidos

Temperatura (en °C)

90 80 70 60 50

Atole Café

40 30 20 10 0

2

4

6

8

10

12

Tiempo (min)

¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura (o velocidad de enfriamiento) de los dos líquidos? ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el café y el atole tengan la misma temperatura?

69

Tema 6 Exploración y discusión a) ¿Qué temperatura alcanzó la taza de café en el horno de microondas? b) ¿Qué temperatura alcanzó el atole? c) ¿Cuál es la temperatura del café 10 minutos después de que se sacó del horno? ¿Cuál es la temperatura del atole en ese momento? d) ¿Cuántos grados por minuto disminuyó la temperatura del café? e) ¿Cuántos grados por minuto disminuyó la temperatura del atole? f ) Completa la siguiente tabla, que representa los cambios de las temperaturas del café y del atole. Tiempo (en minutos)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Temperatura del café (en °C) Temperatura del atole (en °C)

g)

Para calcular la razón de cambio de la temperatura del café, se toman dos datos cualesquiera de la tabla o de la gráfica. Tomemos, por ejemplo, aquellos en que t = 10 y t = 0; se realiza el cociente:

Temperatura (en °C)

50 – 90 – 40 = = –4 10 – 0 10

50 − 90 −40 = − 4. ¿Qué significa 10 − 0 10 este resultado negativo en térmi-

0

nos de la situación?

h) ¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura del atole? Escríbela en el recuadro de la gráfica. ¿También es negativa? ¿Por qué?

90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Temperatura (en °C)

=

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

70

Tiempo (min)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tiempo (min)

Bloque 1 i) En el caso de estas gráficas, ¿de qué manera se manifiesta que la razón de cambio de las temperaturas de los líquidos es negativa? j) ¿Cuánto tiempo trascurrió para que las temperaturas de los dos líquidos fueran iguales? k) ¿Cómo serían las gráficas de las temperaturas de estos líquidos, si en vez de enfriarse en un ambiente fresco, se calentaran en un horno, suponiendo que en los primeros 60 segundos el aumento de las temperaturas de ambos líquidos fuera uniforme conforme transcurre ese tiempo?

1. ✓ Al empezar la semana, Alicia compró 5 kg de alimento para sus 2 gallinas. Cada mañana les da de kg de alimento. 3 a) Completa la siguiente tabla, que representa los cambios en la cantidad de alimento conforme pasan los días. Tiempo (en días)

0

1

2

3

4

5

6

7

Cantidad de alimento (en kg)

b) ¿Para cuántos días le alcanza el alimento? c) ¿Cuál es la razón de cambio en la cantidad de alimento? ¿Es positiva o negativa esta razón de cambio? d) Usa el siguiente plano cartesiano para trazar la gráfica de esta situación.

• Ejemplo 1. Razón de cambio negativa.

600 Volumen de agua (litros)

Actividades adicionales

Si, en una situación o fenómeno, a incrementos iguales en una magnitud le corresponden decremento s iguales en la otra, la razón de cambio es constante y negativa. La representación gráfica de la situación es una línea recta que “baja” por la derecha. Observen los siguientes ejemplos que muestran la razón de cambio en el volumen de agua que ha y en dos tinacos.

0

Tiempo (en horas)

6

La gráfica indica que el tinaco se vacía a razón de

Cantidad de alimento (en kg)

100 litros por hora

− ( 600 = − 100 ); es 6

decir, la razón de cambio del volumen de agua es negativa.

5 4 3 2 1 0

1 2

3

4 5 6

7

Tiempo (en días)

71

Tema 6 Tomás cría gallinas, cerdos y conejos. Al empezar la semana, compra alimentos distintos para cada tipo de animal. En la siguiente gráfica se muestra la cantidad que compra de cada tipo de alimento y cómo se consume cada uno. Obsérvala con cuidado y contesta las preguntas que se plantean.

15

Cantidad de alimento (en kg)

cerdos conejos

1 2

3

4 5 6 7 Tiempo (en días)

a) ¿Qué cantidad de alimento compra Tomás por semana para cada tipo de animal? b) ¿Qué cantidad de alimento por día consume cada tipo de animal? c) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de alimento de cada tipo? d) ¿Qué animales consumen más rápidamente su alimento? ¿De qué manera se percibe este hecho en la gráfica? Pedro también cría gallinas, cerdos y conejos, y, al igual que Tomás, al empezar la semana compra alimentos distintos para cada tipo de animal. En la siguiente gráfica se muestra la cantidad que compra de cada tipo de alimento y cómo se consume cada uno. Analízala y contesta las preguntas que se plantean.

Cantidad de alimento (en kg)

gallinas cerdos

20

conejos

15 10 5 0

1 2

3

4 5 6 7 Tiempo (en días)

a) ¿Qué cantidad de alimento compra Pedro por semana para cada tipo de animal? b) ¿Qué cantidad de alimento consume diariamente cada tipo de animal? c) ¿Cuál es la razón de cambio de la cantidad de alimento de cada tipo? d) ¿Qué animales consumen más rápidamente ese alimento? ¿De qué manera se percibe este hecho en la gráfica?

72

• Ejemplo 2. Razón de cambio positiva.

gallinas

0

3.

(Continuación.)

600 Volumen de agua (litros)

2.

0

Tiempo (en horas)

5

La gráfica indica que el volumen de agua del tin aco aumenta a razón de 120 litros por hora (o bien, 600 = 120 ), po r lo 5 que la razón de cambio es positiva.

Bloque 1 4%-!

7

Diseño de un estudio o experimento estadístico

Te sugerimos leer:

El uso de la estadística es fundamental en la investigación en ciencias naturales y sociales. Se aplica principalmente en el diseño de estudios y experimentos sobre situaciones o fenómenos de interés. Para la realización de estos estudios se recopilan datos, los cuales, una vez organizados, analizados y representados, sirven como base para tomar decisiones. En estas lecciones realizarás algunos estudios y experimentos estadísticos sencillos.

“¿Qué es la estadística?”, en De la Peña, J. A., Matemáticas y vida cotidiana, pp. 26-27.

7.1. Diseño de un estudio estadístico La alimentación, el deporte y el descanso adecuados son la base de una vida sana. ¿Sabes cuáles son los alimentos que más consumen los adolescentes en México? María y Toño realizaron una campaña de salud en su escuela, para resaltar la importancia de consumir alimentos nutritivos. Ellos piensan que es importante conocer los hábitos alimenticios de sus compañeros. María entrevistó a los alumnos de primer grado, y Toño, a los de segundo. Enseguida se representan los cuestionarios que aplicaron, y más abajo, los resultados que obtuvieron en una de las preguntas que hicieron. Encuesta de María 1. Edad:

__________

Encuesta de Toño

2. Sexo:

Mujer

1. Edad:

__________

2. Sexo:

Hombre 3. Si hoy al llegar a casa comieras un filete con papas, un plato de macarrones y agua, ¿como postre te gustaría más una fruta que un pastel? Sí ¿O prefieres un helado?

Sí 24 No 20 Un helado 16

Mujer Hombre

3. Si hoy al llegar a casa comieras un filete con papas, un plato de macarrones y agua, ¿cuál crees que sería el mejor postre para acompañar tu comida? No

__________

una fruta

un pastel

un helado

Una fruta 15 Un pastel 10 Un helado 5

¿Qué tipo de gráfica es más conveniente construir para mostrar los resultados de la pregunta 3 de cada encuesta? Si tuvieras disponibles los resultados de las preguntas 1 y 2, ¿qué tipos de gráficas son más convenientes para mostrar los resultados de cada pregunta? ¿Qué otros datos habría que recabar de los entrevistados para conocer el tipo de alimentos que consumen?

73

Tema 7 Exploración y discusión En equipos de cuatro integrantes, discutan y decidan qué tipo de gráfica es más conveniente para mostrar los resultados de la pregunta 3 de cada encuesta y constrúyanla. a) De acuerdo con la gráfica que construyeron, ¿con cuál de las dos preguntas (la de la encuesta I o la de la encuesta II), se ha dado lugar a que se prefiera la fruta como postre? b) ¿Con cuál de las dos preguntas se ha preferido un pastel como postre? c) ¿Crees que la manera en qué está redactada la pregunta 3 de cada encuesta influye en las respuestas? d) ¿Cuántos alumnos entrevistó María? ¿Cuántos entrevistó Toño? e) Completa la tabla y la gráfica siguientes: C

CE

7

8

%

±

9

÷

6

×

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

Postres Postre

Resultados de María Frecuencia

%

Resultados de Toño Frecuencia

Fruta

24

15

Pastel

20

10

Helado

16

5

Totales

60

Alumnos (porcentaje)

60

100

30

%

100

Postres que prefieren tomar dos grupos de adolescentes. Resultados de María. Resultados de Toño.

50 40 30 20 10 0

fruta

pastel

helado

f) Comparen las dos gráficas, la que construyeron y la que completaron. Si María y Toño quieren argumentar que los alumnos entrevistados prefieren como postre una fruta, ¿cuál de las dos gráficas conviene utilizar? Justifiquen su respuesta. g) Elijan una de las dos encuestas (la de María o la de Toño), y aplí-

74

Bloque 1 quenla entre todos sus compañeros de grupo. Clasifiquen las respuestas y registren sus resultados en una tabla. Para ello deberán acordar cuántas columnas y cuántos renglones deberá tener la tabla, y cuáles son los encabezados y títulos adecuados. h) Discutan y decidan qué tipos de gráficas conviene utilizar para mostrar los resultados de las preguntas 1 y 2 de las encuestas. ¿Cuáles son los ejes y cuál es el título más apropiado para cada gráfica? Constrúyanlas y preséntenlas al grupo. i) Con base en los datos que obtuvieron en las encuestas I y II, ¿cuál es el postre que prefiere el grupo? j) Escriban en su cuaderno una conclusión sobre los resultados que obtuvieron en sus encuestas sobre el postre que prefieren sus compañeros.

Actividades adicionales 1. Con los resultados que obtuvieron al aplicar la encuesta en el grupo, realicen las siguientes clasificaciones:

Una manera de obtener datos estadísticos es po r a) De acuerdo con la edad, ¿quiénes prefieren tomar un helado medio de encuestas. En muchos casos se buscan como postre? datos de grupos con un b) Según el sexo, ¿quiénes prefieren comer un pastel como postre: gran número de elemento los hombres o las mujeres? s c) Con base en la edad, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres se (empresas, votantes, amas de casa, productos, entrevistaron? d) Anoten otra clasificación que se podría realizar con los datos clientes). Debido al tiempo que obtuvieron. Organicen los datos de acuerdo a esa nueva y a otras consideraciones, las encuestas se aplican clasificación y preséntenla al grupo. a sólo una pequeña parte del 2. ✓ A continuación les sugerimos otros temas relacionados con la grupo. Al grupo completo salud. de elementos se le llama población, y al subgrupo • Deportes que practican en que se aplican las • Hábitos de descanso encuestas se le llama • Enfermedades que han padecido muestra. Por ejemplo, • Antecedentes clínicos de familiares directos si se quiere conocer los antecedentes clínicos de Seleccionen uno de ellos y elaboren una encuesta para obtelos alumnos de tu escue ner los datos. la, al encuestar a todos se está considerando a tod a) Comenten qué preguntas podrían plantear en la encuesta. a la población, pero si sólo se b) ¿Cómo clasificarán y organizarán los datos que obtengan? toman en cuenta los datos c) ¿Qué representaciones gráficas utilizarán? ¿Por qué? de los alumnos de tu gru po, los datos recopilados pueden ser una muestra.

75

Tema 7 d) Elaboren sus conclusiones y relacionen los resultados de este nuevo estudio con los que obtuvieron otros compañeros y con los resultados de la investigación que realizaron anteriormente. e) Investiguen en diversas fuentes (Internet, anuarios, publicaciones oficiales, etc.) cuáles son las estadísticas nacionales referidas al aspecto que seleccionaron.

7.2. Experimento estadístico: un juego con aviones de papel Seguramente alguna vez has construido un avión de papel y lo has lanzado, pero, ¿has medido la distancia que recorrió? Los aviones pueden construirse con una o con dos hojas de papel. ¿Cuál de los dos aviones crees que, al ser lanzado, llegue más lejos? ¿Por qué?

Avión hecho con una sola hoja

Avión hecho con dos hojas

Formen equipos de tres o cuatro integrantes para construir dos aviones. Usen una hoja para hacer el primero y empalmen dos hojas para hacer el segundo. Señalen la línea de salida y lancen los dos aviones al mismo tiempo. Midan y registren la distancia que recorra cada avión. Realicen 20 lanzamientos con cada uno.

Exploración y discusión a) Al realizar este experimento, ¿qué tipo de datos obtendrán en cada lanzamiento: cualitativos o cuantitativos? Justifiquen su respuesta. b) ¿Qué tipo de tabla conviene utilizar para registrar los datos que se obtengan? ¿Cuántas columnas y renglones deberá tener? Elabórenla y registren sus resultados.

76

(Continuación.) Los datos estadísticos son las observaciones recolectadas; por ejemp lo, las respuestas obtenidas en una encuesta. Los datos de una encuesta pueden ser números (estaturas, edad es, pesos), y se les llama da tos cuantitativos. A los datos que no son numéricos, como el tipo de alimentos que prefiere una persona , se les denomina datos cualitativos.

Bloque 1 c) De acuerdo con los resultados que presenta su tabla, ¿cuál es la mayor distancia que recorrió el avión construido con una sola hoja? ¿Cuál es la mayor distancia que recorrió el otro avión? d) Para el caso del primer avión, ¿cuál es el valor de la distancia que se registró con mayor frecuencia? e) En el caso del segundo avión, ¿cuál es el valor de la distancia que se registró con mayor frecuencia? f ) ¿Cuál es la distancia promedio que recorre cada tipo de avión? g) Si quisieras comparar las diferentes distancias que alcanzó el primer avión con las que alcanzó el segundo, ¿qué tipo de gráfica describe mejor estos datos? Justifica tu respuesta. h) ¿Cuáles deben ser los ejes? ¿Qué escala se debe utilizar en cada eje? ¿Cuál es el título más apropiado para la gráfica? i) Después de realizar el experimento y de haber analizado los resultados obtenidos, ¿consideras que el material con el cual está construido el avión, influye para lograr que recorra una distancia mayor? j) Compara tus conclusiones y representaciones estadísticas (tablas y gráficas) con las de otros equipos.

Actividades adicionales 1. ✓ Un equipo realizó el experimento anterior y presentó sus resultados mediante una gráfica como la siguiente.

Distancias recorridas por dos aviones 440 420

Distancia recorrida (en cm)

400 380 360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Número de lanzamientos Avión 1

En un experimento, si los datos que se obtiene n son el resultado de contar o medir, son datos cuantitativos. Los datos cuantitativos se clasifica n, a su vez, de la siguiente manera: • Datos discretos. Se obtienen mediante un conteo; sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3, etcétera. • Datos continuos. Se obtienen al realizar una medición; por ejemplo, estaturas, pesos, distancias, áreas, volúmenes, etcétera.

En los estudios estadísticos es importante considerar el tipo de información que interesa contar o medir, para determinar el procedimiento y las herramientas estadística s (tablas, gráficas, medidas de tendencia central, etc.) que se utilizarán. Po r ejemplo, si se pregunta a los integrantes de un equipo deportivo cuál es el número que aparece en su playera, no tiene sentido calcular la media o la mediana de esos datos , porque esos números se usan como identificación y no representan una medición ni un conteo.

Avión 2

77

Tema 7 a) De acuerdo con la gráfica, ¿cuál es el avión que vuela distancias más largas: el 1 o el 2? ¿Por qué? b) ¿Cuál de los dos aviones voló más veces distancias mayores a 350 cm? c) ¿Cuál de las tablas siguientes es más conveniente utilizar para presentar los datos de la gráfica anterior? ¿Por qué? d) ¿Cuál fue la distancia que más veces recorrió el avión 1? ¿Cuál fue la distancia que más veces recorrió el avión 2? e) Si se utiliza el valor de la distancia media o promedio que recorrió cada avión, ¿cuál de las dos fue mayor? f) ¿Cuál de las dos medidas de tendencia central (la moda o la media) utilizarían para argumentar que tanto el avión 1 como el avión 2 recorren, en promedio, las mismas distancias? g) Obtengan la mediana de las distancias recorridas por cada avión y comparen estos valores con los de la distancia media y la moda. ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central podrían utilizar para argumentar que el avión 2 realiza recorridos más largos con respecto al avión 1? Justifiquen su respuesta. h) Con base en la información que han manejado en este experimento, ¿consideran que, al lanzar un avión de papel, el número de hojas de papel que lo componen influye para obtener recorridos más largos? Justifiquen su respuesta. Reúnete con dos o tres compañeros. Consigan 12 popotes. Corten cuatro de ellos por la mitad; otros cuatro, en cuartos, y dejen sin cortar los cuatro restantes. Ahora tienen 28 popotes de diferentes longitudes. Colóquenlos en una bolsa que no sea transparente y revuélvanlos. Luego, seleccionen uno al azar, registren su longitud y regrésenlo a la bolsa. Repitan el proceso hasta realizar 20 extracciones. 2.

a) En este experimento, ¿qué tipo de datos cuantitativos obtendrán en cada extracción: discretos o continuos? Justifiquen su respuesta. b) ¿Qué tipo de tabla conviene utilizar para registrar la medida de cada popote que se extraiga? ¿Cuántas columnas y renglones debería tener? Elabórenla y registren los resultados que obtengan. c) De acuerdo con los resultados que registraron en su tabla, ¿cuál es la longitud del popote que se registró con mayor frecuencia? d) ¿Cuál es la media y la mediana de las longitudes de la muestra de 20 popotes? ¿Qué significado tiene la media en esta situación? ¿Y la mediana? e) Ahora saquen todos los popotes y calculen la media y la mediana de los 28 popotes (esto es, de la población). ¿Cuáles son los valores de estas medidas? f) ¿La muestra compuesta por las 20 extracciones dio un promedio (media) cercano al promedio (media) de la población? ¿Qué sucedió al comparar el valor de la mediana de las 20 extracciones y el valor respectivo de los 28 popotes? g) Obtengan conclusiones respecto a trabajar con una muestra y con una población. Presenten su trabajo ante el grupo.

78

Tabla 1 Distancia recorrida (en cm) Número de lanzamiento

Avión 1

Avión 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

Tabla 2 Distancia recorrida (en cm)

…

Número de lanzamiento

…

Número de aviones

…

BLOQUE 2 s o d ra

e p s se

e

j a z di

el n e : iqu do, s l n o p n im gra erse re m e p lu qu undo solv o A a s s a lo m seg n re ales e e l e Qu rob es de pued erson p van acion stas tos p l e en nza su ecu ue é ien u e q li eja r p 1. R o de do q cedim s ien ro e imla sem lquie u u p q a sumante as s de n cu a m edi os. le ade al, e b o c r ad d m nóni an pr opiedgene i l a elv bi . r en c a p b s esu la o ción , r y p r s de imula 2. R iliza gulo s t n ma la s e u triá l b izar n a. o e r gur an p util v n fiesuel lique p 3. R e im u q

79

BLOQUE

2

¿Quiénes utilizan los índices o indicadores? Los índices o indicadores son números que utilizan principalmente los sectores productivos y las dependencias gubernamentales. Estos índices los vemos cotidianamente en la prensa económica y financiera o los escuchamos en las declaraciones o informes de los funcionarios gubernamentales que explican, por ejemplo, las variaciones de los índices de edificación y vivienda o en salud y educación, y que sirven para reorientar las acciones del gobierno. Uno de los índices más importantes en la economía del hogar, y de la población en general, es el índice de precios, el cual sirve para medir el cambio de valor de un artículo o un conjunto de artículos a través del tiempo. Por ejemplo, supóngase que se define como canasta básica a los cuatro artículos con sus respectivos precios que se enlistan en la siguiente tabla. Artículo

Unidad

$ de 2001

$ de 2007

Cociente

Índice

Leche

1 litro

7.00

10.50

10.50/7.00 = 1.5

150

Bolillo

1 pieza

0.70

1.50

1.50/0.70 = 2.143

214.3

Tortillas

1 kg

4.50

8.50

8.50/4.50= 1.889

188.9

Aceite

1 litro

10.00

20.00

20.00/10.00 = 2.00

200

22.20

40.50

7.532

753.2

Totales

Si se considera el precio de la canasta básica de 2001 como base de comparación, un índice de precios (no el único) para esta canasta se calcula de la siguiente manera: 7.532 3 100 5 188.3 4 Esto significa que la despensa subió de precio 88.3 % con respecto al valor que tenía en el año base (2001). Entre los números índices que son más mencionados por la prensa figuran el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), el Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (IPC) y el Índice Mexicano de la Calidad del Aire (IMECA).

P 80

Proyecto Investiga los precios actuales de los cuatro artículos enlistados en la tabla y calcula el índice de aumento del precio de la canasta básica del año actual con respecto del precio que tenía en 2001.

Bloque 2 4%-!

8

Ecuaciones no lineales Hay situaciones que se resuelven mediante ecuaciones cuya incógnita tiene exponente escrito, como x2 + 20x + 15 = 315, x3 + 7 = 15. A estas ecuaciones se les llama ecuaciones no lineales. En la siguiente lección analizarás algunas situaciones que se resuelven mediante este tipo de ecuaciones.

8.1. Resolución informal de ecuaciones no lineales El área de la superficie total de una caja de cartón abierta es de 380 cm2. Mide 4 cm más de largo que de ancho, y su altura es de 5 cm. ¿Cuánto mide de largo y de ancho?

5 cm

5 cm

5 cm

?

?

Exploración y discusión a) Si el ancho de la caja midiera 7 cm, ¿cuánto mediría de largo? ¿Cuál sería el área de la base? ¿Cuál sería el área de cada una de las cuatro caras? ¿La suma de las áreas de las cinco regiones es 380 cm2? b) Una manera de resolver el problema por tanteo, consiste en elaborar una tabla como la de la siguiente página; en ella se asignan valores al ancho de la caja para calcular el largo y el área total de la caja. Complétala. c) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que su área total sea de 380 cm2? d) Si designas con la letra x el ancho de la caja, ¿cómo se representa el largo? ¿Y el área de la base? ¿Y el área de cada una de las cuatro

81

Tema 8 caras? Anota toda esta información en la plantilla de la caja que se muestra a continuación. 5 cm

5 cm

Dimensiones de la caja

Áreas de las caras y la base

Ancho

Largo

Altura

Cara 1

Cara 2

Cara 3

Cara 4

Base

Área total

6

10

5

30

30

50

50

60

220

7 8 9 10 11

e) Enseguida se muestra la plantilla de otra caja, que llamaremos B. En ella, el largo mide 3 cm más que el ancho, su altura es de 4 cm y su área total es también de 380 cm2. La ecuación que permite hallar las medidas de su ancho y largo es x2 + 19x + 24 = 380. ¿Cómo se obtuvo esta ecuación?

4 cm

4 cm

4 cm x�3

x�3

x x

f ) Para encontrar por tanteo las dimensiones de la caja B, asignamos valores a la letra x y evaluamos la expresión hasta que su valor sea 380. Por ejemplo, para x = 10:

82

x2 + 19x + 24 = 380 ¿(10) + 19(10) + 24 = 380? 100 + 190 + 24 = 314 ≠ 380 El ancho no mide 10 cm 2

Bloque 2 A las ecuaciones como las anteriores, cuyas literales tienen exponente escrito, se les llama ecuaciones no lineales. Otros ejemplos de ecuaciones no lineales son: x2 – 5 = 86, x3 + 1 = 7. En particular, a la primera de ellas se le llama ecuación cuadrática, y a la segunda, ecuación cúbica. g) ¿Qué ecuación permite hallar las medidas de la caja del problema inicial? h) ¿Cuál es la solución de esa ecuación? i) En el contexto de la situación que se plantea, ¿qué representa la solución de esta ecuación?

Actividades adicionales 1. Escribe una ecuación que represente cada una de las siguientes situaciones. Resuélvelas por tanteos. a) El área de un tarjetón cuadrado es 144 cm2. ¿Cuánto mide por lado? b) El volumen de un cubo es 8 cm3. ¿Cuánto mide de arista? c) Tengo x bolsas con x canicas cada una. Voy a regalar 36 canicas y me van a quedar 364. ¿Cuántas bolsas tengo y cuántas canicas tiene cada una? d) Juan tiene un terreno cuadrado dividido en dos franjas rectangulares. Una de ellas mide 20 m de ancho y la usa como estacionamiento público. En la otra franja está construyendo unos departamentos. Si el área destinada a los departamentos mide 3500 m2, ¿cuánto mide por lado su terreno? e) Si un número lo elevo al cuadrado y al resultado le resto 6, obtengo 30. ¿Cuál es el número? f ) Al cubo de un número le sumo 7 y obtengo 15. ¿Cuál es el número? C

CE

7

8

%

±

9

÷

6

×

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

2. Plantea una ecuación que represente cada una de las siguientes situaciones. Resuélvelas. Utiliza una calculadora para realizar las operaciones.

A � 204 cm2

x 8 cm

x�5 x x

V � 200 cm3

83

Tema 9 3. Halla el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones: a) 2x3 = 54

d) x2 – 14 = 22

b) 3x2 = 128

e) x3 – 10 = 115

c) x2 + 17 = 42

f ) ✓ x3 + 22 = 86

4%-!

Ecuaciones no cuadráticas

9

¿Qué número elevado al cuadrado da 144 como resultado? ¿Sólo es el 12? No, también es el –12. ¿Por qué? Una manera de entenderlo consiste en plantear una ecuación para representar esta situación. En este caso, la ecuación es x2 – 144 = 0, que, como verás en esta lección, tiene dos soluciones: 12 y –12.

9.1. Resolución por factorización Una fotografía mide 10 cm de ancho y 12 cm de largo. Calcula la anchura (x) del marco si su área es de 104 cm2. x

x 10 cm 12 cm

x

x

Exploración y discusión a) El marco está formado por ocho piezas. ¿Cuál es la longitud de cada una? b) Si la anchura de todas las piezas es x, ¿cuál es el área de cada una? x 10

84

10

8

8

x

x

Bloque 2 c) ¿Cuánto suman las áreas de las ocho partes? d) Con esta información, ¿qué ecuación cuadrática puede plantearse para resolver el problema? Resuelve esa ecuación y comenta con un compañero o compañera el procedimiento que seguiste para hacerlo y las soluciones que encontraste. Supón que las medidas de la fotografía fueran las mismas (10 cm de ancho por 12 cm de largo), y que el área del marco fuera 168 cm2. Entonces la suma de las áreas de las ocho piezas se expresaría mediante la siguiente ecuación:

4x2

�

2(10x)

2(12x)

�

�

168

Para hallar la anchura x, resolvemos la ecuación cuadrática:

4x2 + 2(10x) + 2(12x) = 168 4x2 + 20x + 24x = 168 Escribimos la ecuación en la forma ax2+ bx + c = 0. Dividimos ambos miembros entre 4. Factorizamos el primer miembro de la ecuación.

4x2 + 44x – 168 = 0 x2 + 11x – 42 = 0 (x + 14)(x – 3) = 0 x + 14 = 0

x = –14

x–3=0

Si el producto de dos números es cero, uno de esos factores es cero. Resolvemos las ecuaciones.

x=3

Descartamos la solución negativa, porque no hay dimensiones negativas. Por tanto, la anchura del marco sería: x = 3 cm. Comprobemos la solución:

4(3)2

�

2(10)(3)

�

2(12)(3)

�

168

36

�

60

�

72

�

168

85

Tema 9 e) Utiliza el método anterior (llamado método de factorización) para resolver la ecuación del problema inicial (el área del marco es 104 cm2) y comenta con un compañero o compañera las soluciones que hallaste. f ) ¿Cuánto mide el ancho del marco de la fotografía?

Actividades adicionales 1. En el problema inicial, el área de todo el rectángulo formado por la foto y su marco es (2x + 10)(2x + 12) = 104 + 120.

10 cm 12 cm

2x � 12

(2x � 10)(2x � 12) � 104 � 120

2x � 10

a) Resuelve esta ecuación para hallar la anchura del marco. b) ¿Las soluciones de esta ecuación y la del problema inicial son iguales o diferentes? ¿Por qué? 2.

a) Pedro tiene un taller instalado en un terreno cuadrado. Lo amplíar aumenta 5 m a un lado y 2 m al otro. Si el área del terreno rectangular formado es 117 m2, ¿cuánto mide el lado del cuadrado inicial?

x

x�2

x�5

b) Halla dos enteros consecutivos cuya suma de sus cuadrados sea 61. c) Un número es 6 unidades mayor que otro. La suma de sus cuadrados es 146. ¿Cuáles son los números? d) Encuentra una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0, cuyas soluciones sean –1 y –2.

86

• Si se factoriza como (x + m)(x + n), la solución es x = –m, o bien, x = –n, ya que (x + m)(x + n) = 0 implica que x + m = 0, o bien, que x + n = 0. • Si se factoriza como trinomio cuadrado perfecto, es decir, (x + m)2 = 0, la ecuación sólo tendrá una solución: x = –m, porque el cuadrado de un número es cero si el número es cero. Veamos unos ejemplos:

Resuelve los siguientes problemas:

x

Si el primer miembro de una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 se pued e factorizar, la ecuación se resuelve de la siguiente manera:

• Si es el producto de dos binomios con un término común (como x2 – 5x + 6 = 0), la ecuación tiene dos soluciones diferentes: (x – 2)(x – 3) = 0 x – 2 = 0, x = 2 1 x – 3 = 0, x = 3 2 • Si el primer miembro es trinomio cuadrado perfecto (como x2 + 6x + 9 = 0), sólo hay una solución: (x + 3)2 = 0 x+3=0 x1 = x2 = –3

Bloque 2 3. ✓ El perímetro de un terreno rectangular es de 48 m. a) ¿Cuáles son algunas de las posibles medidas de sus lados? Anótalas en la siguiente tabla. Largo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ancho

b) Si el área de uno de esos rectángulos es 108 m2, ¿cuáles son sus dimensiones? Resuelve el problema mediante una ecuación cuadrática. Utiliza la tabla anterior para verificar tu respuesta. 4. Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas. Comprueba por sustitución. a) ✓ x2 + 5x + 6 = 0

g) x2 – 5x + 4 = 0

b) x2 + 4x + 3 = 0

h) x2 + 6x = –8

c) x2 – 4x + 3 = 0

i) x2 – 3x – 10 = 0

d) x2 + 2x = 3

j) x2 + 4x – 21 = 0

e) x2 + 7x + 12 = 0

k) x2 – 10x + 16 = 0

f) x2 – 2x – 8= 0

l) ✓ x2 + x – 90 = 0

4%-!

10

Figuras semejantes

Elena fue a la “Casa de los espejos” y se vio reflejada en imágenes cómicas en varios de ellos. ¿Esas imágenes son semejantes a la verdadera apariencia de Elena? Aunque muchas de sus características físicas se ven también en los espejos, las imágenes no son semejantes con el original, en un sentido matemático. ¿Qué hace que dos figuras sean semejantes? Éste es el tema de las siguientes lecciones.

Te sugerimos leer: “Figuras semejantes”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 30-31.

87

Tema 10

10.1. ¿Cuándo dos figuras son semejantes? Las siguientes dos figuras representan la reducción y la ampliación de una caja de cerillos. ¿En qué se parecen estas figuras? ¿En qué se diferencian? ¿Qué relación hay entre los ángulos y los lados homólogos de estas figuras? P A

Q

B

C D

R S

Exploración y discusión a) Usa papel transparente para comparar todos sus ángulos homólogos. ¿Son iguales los ángulos ABC y PQR? ¿Y los ángulos BCD y QRS? b) ¿Qué otros ángulos homólogos pueden compararse? ¿Qué relación hay entre los ángulos homólogos de estas figuras? c) Mide con una regla graduada cada uno de los segmentos que forman las figuras anteriores y anota junto a cada segmento la medida de su longitud. d) ¿Cuál es la razón de las longitudes de los segmentos homólogos AB y PQ? ¿Y la de los lados homólogos BC y QR? e) ¿Qué otros lados homólogos pueden compararse? Halla las razones de las longitudes de los segmentos homólogos. ¿Son iguales o diferentes estas razones? f ) Consulta la sección No olvides que… para determinar si las figuras anteriores son semejantes. g) En hojas cuadriculadas, dibuja los polígonos que sean semejantes al siguiente, de modo que la razón entre las longitudes de sus lados homólogos (es decir, la razón de semejanza) sea 1 . 3

88

Recuerda que una razón es la expresión que compara dos cantidades mediante una división. Por ejemplo, la razón de 8 8 a 12 es , o bien, 12 2 . Cuando se tienen 3 dos razones iguales se forma una proporción. La expresión 8 = 2 12 3 es una proporción. Una proporción es la expresión de la igualdad entre dos razones.

Bloque 2 h) ¿Cuál es la razón de semejanza de las figuras del problema inicial? Compara tu respuesta con las obtenidas por otros compañeros.

Actividades adicionales Dos polígonos son semejantes si tienen sus 1. Los siguientes cuadriláteros de la derecha son congruentes. ¿Son ángulos homólogos iguale s también semejantes? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un comy sus lados homólogos pañero o compañera. proporcionales. El orden en que se escriben las letras indica los segmentos y los ángulos de los polígonos que se corresponden.

2. ✓ ¿Son semejantes los siguientes polígonos? ¿Por qué? D

C D

R

C

S

B

10

R

B

A

S

5 A 5

Q

P 15

Por ejemplo, los cuadriláteros ABCD y PQ RS son semejantes porque:

Si ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R y ∠D = ∠S Pero,

5 5 ≠ 10 15

AB = BC CD DA = = PQ QR RS SP

3. Los siguientes cuadriláteros son un cuadrado y un rombo, respectivamente. ¿Son semejantes estas figuras? ¿Por qué? D

C

Z

Y

y además ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R y ∠D = ∠S

12 12 = 15 15

12 A

B 12

Pero ∠A ≠ ∠W

15 W

X 15

89

Tema 10 4. Los siguientes polígonos son semejantes. ¿Cuál es la razón de semejanza? Y S

Z

T

X

R

P

Q

V

W

20

32

5. ¿Son semejantes los siguientes polígonos? Justifica tus respuestas

15

16 12

45

13

50 65

35 18

19

14

15

130

26 52

b)

Comenta con un compañero o compañera si las siguientes parejas de polígonos son siempre, algunas veces o nunca semejantes: a) Dos triángulos equiláteros b) Dos triángulos rectángulos c) Dos cuadrados d) Dos rectángulos e) Dos rombos f) Dos hexágonos regulares g) Un triángulo isósceles y un triángulo escaleno

10.2. Problemas sobre polígonos semejantes Una fotografía de 7 cm de ancho y 10.5 cm de largo se amplificó de modo que el lado homólogo del lado de 7 cm mide 8 cm. ¿Cuánto debe medir el otro lado?

?

10.5 cm

7 cm

90

18

14

a)

6.

20

8 cm

Bloque 2 Exploración y discusión El ancho de la fotografía ampliada aumenta 1 cm con respecto de la original. ¿El largo debe aumentar también 1 cm? ¿Por qué? Comenta las razones de tu respuesta con un compañero o compañera. b) Si una de las fotografías rectangulares es ampliación de la otra, los rectángulos deben ser semejantes. ¿Cuál es la razón de semejanza? c) Como los rectángulos son semejantes, las razones de las longitudes a)

de los lados homólogos deben ser iguales, es decir, BC = BC . ¿Qué PQ QR ecuación puede plantearse a partir de esta igualdad para conocer la longitud de la fotografía ampliada? d) ¿Cuánto mide de largo la fotografía ampliada? e) En papel o cartoncillo, recorta los rectángulos correspondientes a la fotografía original y a la copia ampliada. ¿Se parecen los rectángulos, es decir, el segundo no se ve desproporcionado con respecto del primero?

Actividades adicionales 1.

Los cuadriláteros ABCD y A’B’C’D’ son semejantes. Contesta las preguntas que se plantean acerca de ellos. C

CE

7

8

%

±

9

÷

6

×

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

8

D

D'

C

25.5

135°

A

14

B

C' 7.5

A'

B' 17.5

a) ¿Cuál es la razón de semejanza? b) ¿Qué tipo de cuadrilátero debe ser A’B’C’D’? c) ¿Cuál es la medida del ∠D? ¿Y la del ∠A? d) ¿Cuál es la longitud del lado BC? ¿Y la del lado C’D’? ¿Y la del lado DA? e) ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCD? ¿Y la del cuadrilátero A’B’C’D’? f ) ¿Cuál es la razón de los perímetros de estas figuras?

91

Tema 10 2. En cada caso, los polígonos son semejantes. Halla los valores de x, y y z. b) a)

x 7

5

y

36

y

20

12

z

6

30

z

9

Si se tienen dos polígonos semejantes y se desconocen algunas medid as (de ángulos o lados) de uno de ellos, para hallarlas se aplica la definición de polígonos semejantes. Por ejemplo, encontrar la longitud del lado marcado con la letra x y la medid a del ángulo marcado con la letra y de los siguiente s polígonos semejantes. (La s medidas de los lados est án dadas en centímetros.)

10 x

24

c)

18 z

9 y

6

10 x

8

42 D

3. Observa la siguiente ilustración, que muestra dos rectángulos trazados sobre un plano cartesiano.

36 78° A

x

C N 83° B

48

y K

y 6 F

E

C

Como las razones de las longitudes de los lados homólogos son iguales, puede escribirse la ecuaci ón:

B

1 O

1

A

D

9

x



a) ¿Son semejantes los rectángulos OABC y ODEF? ¿Cuál es la razón de semejanza de estos rectángulos? b) Multiplica por 3 las coordenadas de los vértices del rectángulo OABC, localiza las nuevas coordenadas y traza el cuadrilátero correspondiente, que llamaremos OGHI. c) ¿El cuadrilátero OGHI es un rectángulo? ¿Es semejante al rectángulo OABC? ¿Cuál es la razón de semejanza de estas figuras? d) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos O, B, E y H? ¿Están alineados estos puntos?

92



M

36 = 42 48 X 3 = 42 4 X 3x = 4 x 42 x = 56

Por tanto, la medida del lado x es 56 cm. Además, como ∠B = ∠L , la medida del ∠y es 83°.

Bloque 2 4.

Observa la siguiente ilustración, que muestra un cuadrilátero construido sobre un plano cartesiano.

y 10 9 8

D

7 6 5 4

C

3 2 1 –7 A –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8 B 10

x

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD? b) Multiplica las coordenadas de los vértices por

2 , localiza las 3

nuevas coordenadas y traza el cuadrilátero correspondiente. c) ¿Qué fracción de las longitudes de los lados del cuadrilátero original son las longitudes de los lados del nuevo cuadrilátero? d) Multiplica ahora las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD por

4 , localiza las nuevas coordenadas y traza el cuadrilá3

tero correspondiente. e) ¿Qué fracción de las longitudes de los lados del cuadrilátero original son las longitudes de los lados del nuevo cuadrilátero? f ) Compara tus resultados con los que obtuvieron otros compañeros. Discutan: ¿son semejantes estos tres cuadriláteros? ¿Por qué? 5. Utiliza el álgebra para resolver las siguientes ecuaciones de proporcionalidad: a) Si 20 = 26 , ¿cuál es el valor de a? a + 3 2a – 1 b) Si 2b – 6 = 6 , ¿cuál es el valor de b? 3b – 4 8 c) Si c – 11 = 3 , ¿cuál es el valor de c? 24 4

93

Tema 11

4%-!

Te sugerimos leer:

Triángulos semejantes

11

Como recordarás, en el tema 2 encontramos tres formas breves para determinar si dos triángulos son congruentes: LLL, LAL, ALA, a las que llamamos criterios de congruencia. ¿Habrá también criterios similares para determinar si dos triángulos son semejantes? Acerca de esta cuestión tratarán las siguientes lecciones.

11.1. Criterios de semejanza de triángulos Los siguientes dos triángulos presentan dos pares de lados proporcionales y claramente se ve que no son semejantes.

35 cm

30 cm

70 cm

60 cm

¿Qué condiciones mínimas deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes? Por ejemplo: ¿es suficiente con que los tres pares de lados homólogos sean proporcionales?; o bien, ¿es suficiente con que los tres pares de ángulos homólogos sean iguales?

Exploración y discusión Veamos en primer lugar si dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de uno son proporcionales a los tres lados del otro. a) Traza un triángulo ABC en tu cuaderno. C

A

94

B

“Triángulos semejantes. Medición de alturas”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 32-33.

Bloque 2 b) Con regla y compás, construye un segundo triángulo DEF, cuyas longitudes de los lados sean un múltiplo de las del triángulo original. (Los tres lados del segundo triángulo pueden medir dos, tres o cuatro veces lo que miden los lados del triángulo original.) c) Mide con el transportador los ángulos homólogos de los dos triángulos. ¿Son iguales o diferentes? Compara tus resultados con los obtenidos por un compañero o compañera. d) Construyeron dos triángulos cuyos tres pares de lados son proporcionales. ¿Son semejantes estos dos triángulos? Escriban la conclusión correspondiente a los resultados de la investigación que realizaron. Veamos ahora si dos triángulos son semejantes cuando los tres ángulos de uno son iguales a los homólogos del otro. a) Traza un triángulo ABC. b) Construye un segundo triángulo DEF, con ∠A = ∠D y ∠B = ∠E. C

A

B

D

E

¿Son iguales el tercer par de ángulos? ¿Por qué? c) Mide con cuidado las longitudes de los lados de los dos triángulos y, con la ayuda de una calculadora, encuentra y compara las razones de las longitudes de los lados homólogos:

AB = DE

BC = EF

AC = DF

¿Son iguales estas razones? ¿Las longitudes de los tres pares de lados son proporcionales? Compara tus resultados con los obtenidos por otros compañeros o compañeras. d) Construyeron dos triángulos cuyos tres pares de ángulos son iguales. ¿Son semejantes los triángulos ABC y DEF? Escriban la conclusión acerca de los resultados de la investigación que realizaron.

95

Tema 11 Actividades adicionales 1. En la sección Exploración y discusión encontraste dos criterios de semejanza triángulos (LLL y AAA). ¿Por qué puede asegurarse que ALA, AAL y AA son también criterios de semejanza de triángulos? 2. ¿Es LAL un criterio de semejanza? Para averiguarlo, trata de construir un ∆XYZ que no sea semejante al ∆PQR, de modo que los lados que forman el ángulo de 60° sean proporcionales a los correspondientes del ∆PQR.

R 2 cm P

60°

Q

X

60°

3.5 cm

3.

¿Son semejantes dos triángulos rectángulos que tienen los catetos proporcionales? ¿Por qué?

4. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Construye dos triángulos isósceles que no sean semejantes. 5. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles cuyos ángulos de la base miden 40°? Trata de construir un triángulo que cumpla esta condición y que no sea semejante al ∆ABC. C

A

96

40°

40°

B

40°

40°

Bloque 2 6. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo que mide 30°. ¿Son semejantes? ¿Por qué?

30°

Dos triángulos son semeja ntes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homó logos son proporcionales. Como en el caso de la co ngruencia de triángulos, existen cri terios que permiten reducir las cond iciones para garantizar la semejanza de triángulos. Tales criterios son:

30°

7. Determina si las siguientes parejas de triángulos son semejantes. En caso afirmativo, escribe el criterio de semejanza que lo justifique. a)

12

6

• Criterio AAA. Dos trián gulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos iguale s.

3 8

6

• Criterio LLL. Dos trián gulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales (k ≠ 0).

4

b) a

6

3

100° 10

2

70° 8

kb kc

• Criterio LAL. Dos trián gulos son semejantes si tienen un án gulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionale s (k ≠ 0).

70° 4

12

8

ka

a

d) ✓

b 4

15

8

kb

5

f) ✓

e) 6

ka

c

100° 5

c) ✓ 3

b

12

7

4

8 9

4 8 3.5

2

97

Tema 11

11.2. Problemas sobre triángulos semejantes

B

Sonia va a estimar la altura de la astabandera de su escuela de la siguiente manera: coloca un espejo en el piso y se retira de él hasta el punto en que pueda ver, reflejada en el espejo, la parte más alta de la astabandera, como se muestra en la figura. La estatura de Sonia es de 1.69 m, pero sus ojos están 9 cm abajo de la parte superior de su cabeza. La distancia entre ella y el espejo (SE ) es de 1.20 m, y del pie de la astabandera al espejo ( AE ) es de 4.5 m. Por la Física sabemos que ∠1 = ∠2. ¿Qué altura tiene la astabandera?

x Espejo

1 S

2 E

Exploración y discusión a) ¿Por qué los triángulos SEO y AEB son semejantes? ¿Qué criterio de semejanza lo justifica? b) ¿Cuáles son los tres pares de lados homólogos de los triángulos SEO y AEB? ¿Cuáles de ellos son de interés para resolver el problema? c) Escribe una expresión de proporcionalidad para hallar una aproximación a la altura de la astabandera. d) ¿Cuál es la altura? Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera y luego con las de los demás compañeros del grupo.

Actividades adicionales 1. Luis midió, de modo indirecto, la anchura de un río basándose en criterios de semejanza de triángulos. El siguiente esquema resume el procedimiento que siguió:

B

? 20 m A

50 m

C 13 m D

98

A

Bloque 2 a) Explica el procedimiento que utilizó para hacerlo. b) ¿Qué criterio de semejanza aplicó? c) ¿Cuánto mide el ancho del río? Si se tienen dos triángulos semejantes y se descono ce la medida de un lado o un ángulo de uno de ellos, para ha llarla se aplica un criterio de seme janza. Así, es posible medir, de manera indirecta, la altura de un edificio, de un árbol, etc., en un día soleado: todos los segm entos verticales y sus sombras horizontales son catetos de triángulos rectángulos se mejantes, por tener un mismo ángu lo agudo; por tanto, dichos catetos son proporcionales.

2. Si Lourdes mide 1.50 m de estatura y proyecta una sombra de 2.5 m, ¿cuál es la estatura de su amigo Mario, si la sombra que proyecta a la misma hora es medio metro más larga? 3. Un día nublado, Alicia quería saber a qué altura estaba una ventana de un edificio. Como no había sombras, decidió usar el método del espejo. Lo colocó en el suelo, entre ella y el edificio, y sin dejar de verlo, se alejó hasta que vio reflejada en él la ventana. En ese momento, Alicia estaba a 1.27 m del espejo y a 7.45 m de la base del edificio. Si los ojos de Alicia están a 1.60 m del piso, ¿a qué altura del edificio está la ventana? 4. Las siguientes figuras muestran triángulos rectángulos formados por un objeto y su sombra. Cada pareja está formada por triángulos semejantes. Halla la longitud n, redondeada a décimos de metro.

a)

x

n

6m 4m

6m

b)

3m 5m

n

De esta manera, por ejemp lo, si la sombra de un edificio mide 5 m y, a la misma hora, la de un poste de 3 m de altura es de 0.7 5 m, la altura del edificio se calcu la así:

2m

c)

3m

1m

n 8.6 m 5m



d)

8.2 m

n 0.6 m 8.2 m

0.75 m

x = 3 5 0 .7 5

0.75x = 3 x 5 0.75x = 15 75x = 1500 x = 20

Por tanto, la altura del ed ificio es de 20 m.

0.5 m

99

Tema 12

4%-!

Interpretación y construcción de índices

12

Con frecuencia leemos en el periódico o escuchamos en la radio o la televisión el término índice; por ejemplo, Índice Metropolitano de la Calidad del Aire (IMECA), Índice de Precios y Cotizaciones (IPC) de la Bolsa Mexicana de Valores, entre otros muchos. ¿Qué son los índices? Después de estudiar la siguiente lección, podrás responder a esta pregunta.

12.1. ¿Qué son los números índice? La tabla de la derecha muestra los precios (pesos por litro) de la gasolina “Pemex Magna” en años consecutivos. ¿Cómo podemos comparar y valorar los cambios que se han dado en los precios de la gasolina en el transcurso de los años?

Año

Precio ($)

2000

5.27

2001

5.61

2002

5.86

2003

6.04

2004

6.21

2005

6.47

2006

6.74

2007

7.01

Fuente: Petróleos Mexicanos, Indicadores petroleros.

Exploración y discusión ¿En qué año fue mayor el aumento en el precio de la gasolina con respecto al año anterior? ¿En qué año fue menor? Puedes usar una calculadora para realizar las operaciones. b) Si tomamos como referencia un año cualquiera (por ejemplo, 2001), a)

C

CE

7

8

%

±

9

÷

6

×

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

100

Te sugerimos leer: “Eficiencia y ahorro de energía”, en Noreña, F. et al., La energía, pp. 22-23.

Bloque 2 ¿qué tanto más o qué tanto menos costaba en los demás años? Registra tus resultados en la siguiente tabla:

Año

Precio ($)

2000

5.27

2001

5.61

2002

5.86

2003

6.04

2004

6.21

2005

6.47

2006

6.74

2007

7.01

Diferencia en $ 0

c) Observa en la tabla que el año 2001, que es el año base, muestra un valor de 0. ¿Por qué? d)

Si de nuevo se toma como referencia el año 2001, ¿qué porcentaje representan los precios de la gasolina en los demás años con respecto del precio de 2001? Registra tus respuestas en la siguiente tabla; compáralas con las de un compañero o compañera. C

CE

%

±

9

÷

6

×

7

8

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

Año

Precio ($)

2000

5.27

2001

5.61

2002

5.86

2003

6.04

2004

6.21

2005

6.47

2006

6.74

2007

7.01

Porcentaje 100.00

124.95

e) Observen en la tabla que el año base muestra un porcentaje de 100.00. ¿Por qué? f ) Observen que el año 2007 muestra un porcentaje de 124.95. ¿Qué significa ese valor? g) ¿En algún año el porcentaje es menor que 100? ¿Por qué? En la actividad anterior han calculado el porcentaje de una cantidad con respecto de otra. Por ejemplo, $ 7.01 es el 124.95 % con respecto

101

Tema 12 de $ 5.61. Los valores que encontraron reciben en nombre de índices. En este caso, son los índices de precios para la “Gasolina Magna”, tomando 2001 como año base. Un índice es un número que resulta de la comparación de do s cantidades del mismo tipo, pero medid as en distintos momentos, lugares o cir cunstancias. De Actividades adicionales este modo pueden comp ararse precios (de zapatos, del transpo rte, etc.) y cantidades (número de automóviles, nú mero de alumnos, etc.). 1. Las siguientes tablas muestran el número de biblioGeneralmente, tecas públicas en operación en la República Mexicana, los índices se expresan como el Distrito Federal y el estado de Sinaloa, en años con- porcentajes. Los índices (o números secutivos. índice) se construyen en referencia a un valor de comparación, llamado ba se. Bibliotecas públicas en la Los índices se usan princ ipalmente República Mexicana en economía y finanzas; sin embargo, también se les encuentra Año Número de bibliotecas Índice en otras áreas. Por ejemplo, la Secretaría 2003 6610 100 de Educación Pública maneja diversos índ ices, entre 2004 6810 ellos, el de alumnos inscri tos en las escuelas secundarias. 2005 7010 Supongamos que se quier 2006 7210 e analizar la cantidad de alumnos que ingresan a secundaria, según los da tos presentados en la tabla: Bibliotecas públicas en el Distrito Federal Periodo Número de alumnos Año Número de bibliotecas Índice 2000-2001 5 349 660 2003 395 100 2004-2005 5 894 400 2004 406 2005 406 Fuente: SEP, Estadísticas básicas. C

CE

%

±

9

÷

6

×

7

8

4

5

1

2

3

–

0

.

=

+

2006

406

Bibliotecas públicas en Sinaloa Año

Número de bibliotecas

2003

144

2004

155

2005

169

2006

179

Índice 100

Fuente: Sexto Informe de Gobierno 2006. Anexo estadístico.

102

Para valorar la inscripción del ciclo escolar 2004-2005 con respecto de la del ciclo 2000-2001 (q ue se toma como base), se calcula el índice de ingreso a la secundaria de la siguiente manera: 5 894 660 5 349 400 × 100 = 110 . 19

Esto significa que, en el ciclo 2004-2005, la inscripción se incrementó 10.19 % con respecto de la del ciclo 2000-2001.

Bloque 2 a) Toma como base el año 2003 para hallar el índice de crecimiento en el número de bibliotecas públicas en cada caso. Registra los resultados en las tablas. b) ¿En cuál de los tres casos fue mayor el índice de crecimiento en el número de bibliotecas públicas? c) Considera la información que muestra la siguiente tabla para contestar: ¿cuántos habitantes por biblioteca hubo en 2005 en cada caso? Población en 2005 República Mexicana

Distrito Federal

Sinaloa

103 263 388

8 605 239

2 536 844

Fuente: II Conteo de Población y Vivienda 2005.

2.

C 7 4 1 0

¿Quiénes utilizan más la computadora: los hombres o las mujeres? La siguiente tabla muestra el número de usuarios de computadora por sexo: CE 8 5

%

±

9

÷

6

×

2

3

–

.

=

+

Usuarios de computadora por sexo Año

Hombres

Mujeres

2001

7 944 491

6 905 592

2002

10 199 197

9 868 340

2004

11 832 159

10 990 779

2005

13 869 108

14 237 903

2006

12 724 298

14 410 156

Índice hombres

Índice mujeres

100

100

Fuente: INEGI, Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la Información en los Hogares, 2006.

a) Toma como base el año 2001 para hallar los índices de crecimiento. Registra tus resultados en la tabla. b) ¿Qué usuarios (los hombres o las mujeres) alcanzaron un mayor índice de crecimiento en el uso de computadoras en 2006 con respecto de 2001? c) ¿Cuántos usuarios (hombres y mujeres) supones que hay actualmente en México? 3.

El Índice de Masa Corporal (IMC) se utiliza para determinar el riesgo de enfermedades cardiacas, diabetes y presión arterial alta.

103

Tema 12 Se obtiene con la fórmula IMC=

P , donde P representa el peso en E2

kilogramos, y E, la estatura en metros. La siguiente tabla muestra la relación del IMC con el riesgo.

IMC

Riesgo de enfermedades cardiacas, diabetes y presión arterial alta

25 o menos

Riesgo muy bajo a bajo

25 a 30

Riesgo bajo a moderado

30 o más

Riesgo de moderado a muy alto

Calcula tu índice de masa corporal y el de tus compañeros. ¿Tú o algunos de tus compañeros tienen un alto IMP? ¿Qué medidas deben tomar para evitar estos riesgos? 4. Observa el mapa, en el que se muestran los índices de crecimiento de población en el mundo.

Porcentaje anual de crecimiento

Menos de 1.0

2.0 a 2.9

1.0 a 1.9

3.0 o más

Océano Ártico

Océano Ártico

Océano Atlántico Océano Pacífico

Océano Pacífico Océano Índico

Fuente: www.worldbank.org/depweb/spanish/modules/social/pgr/map1.html. fecha de consulta 8 octubre 2007.

a) ¿Qué regiones del mundo tienen mayores índices de crecimiento de población? ¿Cuáles tienen un índice bajo?

104

Bloque 2 b) La siguiente tabla muestra algunos índices de crecimiento de la población de México. ¿A qué crees que se deba que el índice haya disminuido en los últimos años? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera. Periodo

Índice

1950-1960

3.0

1960-1970

3.4

1970-1990

2.6

1990-2000

1.8

2000-2005

1.0

Fuente: INEGI, Censos de Población y Vivienda de 1950 a 2000 y II Conteo de Población y Vivienda 2005.

c) Si México tenía 103 263 388 habitantes en 2005, ¿cuántos habrá tenido en 2006?

4%-!

Simulación

13

En ocasiones es difícil estimar la probabilidad de que un fenómeno ocurra, porque, o los cálculos son complicados o el fenómeno en sí es difícil de observar. En esos casos conviene aplicar un recurso importante de la teoría de la probabilidad, llamado simulación, y que consiste en sustituir el fenómeno original por uno más sencillo, en el que intervienen las mismas probabilidades básicas. Acerca de esto trata la siguiente lección.

Te sugerimos leer: “Simulación”, en Bosch, C. et al., Una ventana a la incertidumbre, pp. 46-47.

13.1. Actividades de simulación Sabemos que, en los nacimientos humanos, son igualmente probables, en esencia, los niños y las niñas. Ocurre lo mismo en los volados: lo mismo puede caer “águila” que “sol”. Por esta razón, un nacimiento individual puede simularse con sólo lanzar una moneda y asociar, por ejemplo, “águila” (A) con niño (H) y “sol” (S) con niña (M).

105

Tema 13 Realiza el siguiente experimento de azar: arroja al aire una moneda 50 veces y utiliza los resultados para aproximar la probabilidad de que, en dos nacimientos sucesivos, ambos sean mujeres.

Exploración y discusión a)

Hemos realizado 10 lanzamientos de la moneda y los resultados que obtuvimos fueron los siguientes:

Número de lanzamiento

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Cara que muestra la moneda al caer

S

A

S

A

S

S

S

A

S

S

Sexo del recién nacido

M

H

M

H

M

M

M

H

M

M

Pares:

MH

HM

MH

HM MM

MM

MH

HM MM

Anota en la siguiente tabla los resultados que obtuviste al realizar los 50 lanzamientos.

Número de lanzamiento

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Cara que muestra la moneda al caer Sexo del recién nacido

Número de lanzamiento Cara que muestra la moneda al caer Sexo del recién nacido

Número de lanzamiento Cara que muestra la moneda al caer Sexo del recién nacido

106

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Recuerda que la probabilidad frecuencial se basa en los resultados de un experimento. Es la razón entre dos cantidades: el número de veces que sale un resultado esperado entre el número de veces que se realiza el experimento.

Bloque 2 Número de lanzamiento

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Cara que muestra la moneda al caer Sexo del recién nacido

Número de lanzamiento Cara que muestra la moneda al caer Sexo del recién nacido

b) En nuestro experimento, si empezamos con el par 1-2, hay nueve pares de nacimientos sucesivos, tres de los cuales consisten en el par mujermujer (M-M). En tu experimento, ¿cuántos pares de dos nacimientos sucesivos hay? ¿Cuántos de ellos consisten en un par M-M? c) Con base en la simulación que has realizado, ¿cuál es la probabilidad frecuencial de que en dos nacimientos sucesivos ambos sean mujeres?

Actividades adicionales Realiza en equipo las siguientes actividades de simulación. Usa el material que sugieren las ilustraciones (canicas marcadas y una bolsa) o alguno similar. En cada caso, haz una predicción de los resultados. a) Juan presentó una prueba de opción múltiple, con cuatro opciones de respuesta para cada pregunta. La prueba consta de 20 preguntas. Juan está seguro de haber contestado 10 de ellas correctamente; las demás las contestó al azar. ¿Qué calificación puede esperar Juan, en términos de probabilidad? Usa cuatro canicas del mismo tamaño, marcadas con las letras A, B, C y D, y una bolsa no transparente para hacer las 10 extracciones. Supón que las respuestas correctas a las 10 preguntas que Juan contestó al azar son las siguientes:

A

B

C

D

1. B; 2. A; 3. B; 4. D; 5. C; 6. A; 7. D; 8. C; 9. D; 10. A b) ✓ Un examen consta de 15 preguntas de falso y verdadero. ¿Qué calificación podría esperar un alumno que contestó al azar las 15

107

Tema 13 preguntas? Para realizar esta simulación, ¿cuántas canicas debes usar? ¿Cuántas extracciones debes hacer? Cuando un fenómeno es complicado y se desea calcular (o aproximar) su probabilidad de ocurren cia, puede utilizarse un proces o de simulación, que cons iste en imitar el fenómeno F V original por uno más sen cillo que incluya las mismas probabilidades básicas. c) Una pareja planea tener tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de En el experimento de aza que dos de los tres hijos sean niñas? Realiza la simulación con r planteado en la lección, es tres canicas marcadas con las letras H, M y M para estimar esta más fácil lanzar monedas probabilidad. Repite el experimento 50 veces. que ir a un sanatorio mé dico y recabar información sobre 10 o 50 nacimien tos sucesivos de niños. En el ejemplo, se tuvieron nueve pares de nacimien tos sucesivos y en tres de ello s se obtuvo el par M-M. Po r tanto, en este experimento , M M H la probabilidad frecuencia l A, obtenida mediante una simulación (que en nueve d) La probabilidad de que una persona se recupere de una enfer- pares de nacimien tos medad poco estudiada, es 0.4. Si se sabe que 15 personas han sucesivos haya tres que contraído esa enfermedad, ¿cuántas personas se espera que consistan en el par M-M) es: sobrevivan? Realiza la simulación de esta situación. (Ayuda: en la figura de la derecha, las canicas blancas representan Número la proporción de personas que logran sobrevivir.) de

pares M-M

3 1 P(A) = = = Número de 9 3

108

pares de nacimientos sucesivos