Tugas Diketahui potensial Lennard-Jones VLJ = 4
σ 12 r
−
σ 6 r
Tentukan nilai rm saat VLJ bernilai minimum dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan metode Secant. Selesaikan dengan bantuan bahasa pemrograman.
Penyelesaian Untuk menyelesaian secara numerik, maka diperlukan beberapa asumsi. Pertama diambil contoh potensial Lennard-Jones untuk unsur gas argon cair. Dimana diketahui besar 1 = 125.7kB K dan σ = 0.3345 nm (kB = 1.38 × 10−23 J/K) . tersebut adalah kedalaman energi dari sumur potensial, σ adalah jarak berhingga yang mana potensial antar partikel bernilai nol. Kemudian untuk menghitung rm dengan metode Newton-Raphson diperlukan turunan analitik dari potensial Lennard-Jones sebagai berikut dVLJ dr σ 13 σ 7 24 = −2 + σ r r
V 0 (r) =
Lalu kita buat nilai V 0 (r) = 0 dan diselesaikan penyelesaian nilai r = rm . Apabila ditempuh metode Newton-Raphson diperlukan turunan satu kali lagi, yaitu V 00 (r) dimana nilainya, dV 0 (r) dr σ 14 σ 8 24 = 2 24 −7 σ r r
V 0 (r) =
didapatkan persamaan rekursi metode Newton Raphson ri+1 = ri −
V 0 (ri ) V 00 (ri )
dengan i = 0, 1, 2, · · · , N . Sedangkan untuk metode Secant persamaan rekursinya didapatkan dengan mengganti V 00 (rj ) ≈
V 0 (rj ) − V 0 (rj−1 ) rj − rj−1
maka rj+1
rj − rj−1 = rj − V (rj ) 0 V (rj ) − V 0 (rj−1 ) 0
dengan nilai j = 1, 2, 3, · · · , N . Nilai N pada metode Newton-Raphson dan Secant menunjukkan banyaknya iterasi. Pada metode Newton-Raphson diperlukan sebuah nilai awalan (r0 ) mendekati akar yang dicari, namun untuk metode Secant diperlukan dua nilai awalan (r0 dan r1 ). Untuk menentukan nilai awalan ini dilakukan dengan menggambarkan grafik V 0 (r) terhadap r, seperti yang terlihat pada Gbr. 1. 1
John A. White ”Lennard-Jones as a model for argon and test of extended renormalization group calculations”, Journal of Chemical Physics 111 pp. 9352-9356 (1999)
Hal. 1
2
·1053
1.5
dVLJ (K/nm) dr
1 0.5 0
−0.5 −1 −1.5
0
0.2
0.4 r (nm)
0.6
0.8
Gambar 1: Grafik pertama potensial Lennard-Jones, VLJ = turunan σ 12 σ 6 4 − terhadap r, dimana = 125.7kB K dan r r σ = 0.3345 nm (kB = 1.38 × 10−23 J/K). Terlihat nilai rm berada di sekitar r = 0.4 nm
Tabel 1: Perhitungan rm dengan metode Newton-Raphson dan Secant
Perulangan ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Newton-Raphson dV 0 (r) rm − dr 0.319854 0.01985 0.338993 0.01914 0.355866 0.01687 0.368216 0.01235 0.374217 6.00068 · 10−3 0.375421 1.20469 · 10−3 0.375464 4.21361 · 10−5 0.375464 4.97169 · 10−8
Secant rm 0.398538 0.337425 0.392759 0.388141 0.365785 0.378912 0.376322 0.375376 0.375466 0.375464
dV 0 (r) dr −1.46201 · 10−3 −0.06111 0.05533 −4.61805 · 10−3 −0.02236 0.01313 −2.59042 · 10−3 −9.45441 · 10−4 8.94520 · 10−5 −2.11058 · 10−6 −
Lalu kita ambil satu titik terdekat dengan titik minimum V (r) dalam metode Newton-Raphson. Namun dalam metode Secant, kita perlu mengambil dua titik yang mengapit titik minimum V 0 (r). Sehingga dengan menggunakan pemilihan r0 = 0.3 dan r1 = 0.4 didapatkan hasil perhitungan nilai rm untuk kedua metode seperti yang disajikan dalam Tbl. 1. Tbl. 1 diperoleh dengan bantuan bahasa pemrogram Python 2.7.3. Listing programnya disajikan pada bagian Lampiran. Dari tabel ini terlihat bahwa nilai rm = 0.37546 nm yang didapatkan hampir sama untuk ketelitian 5 angka di belakang koma (ketelitian 5 angka di belakang koma ini merupakan syarat henti perulangan dari program yang dibuat). Tetapi yang membedakan adalah dari segi kecepatan. Metode Newton-Raphson lebih unggul dalam hal jumlah perulangan dibandingkan dengan Hal. 2
metode Secant. Hanya dibutuhkan 7 perulangan untuk Metode Newton Rapshon dan 9 perulangan untuk metode Secant (pada tabel disajikan sampai perulangan 8 dan 10 untuk memastikan bahwa selisih antar perulangan adalah kurang dari 10−5 )
Lampiran Listing program
2
penyelesaian nilai rm saat potensial Lennard-Jones bernilai minimum
#!/usr/bin/python ## lennard-jones-potential from numpy import * import sys print ’===================================================’ print ’ Persamaan potensial Lennard-Jones: ’ print ’’ print ’ [ ( sigma )^(12) ( sigma )^(6) ]’ print ’V = epsilon * [( ------- ) -( ------- ) ]’ print ’ [ ( r ) ( r ) ]’ print ’’ print ’ # Perhitungan nilai r_min untuk gas argon cair ’ print ’ # Menggunakan metode Newton-Raphson dan Secant ’ print ’ # epsilon = 125.7 k_B dan sigma = 0.3345 nm ’ print ’ # batas ketelitian 10^(-5) ’ # Parameter-parameter potensial Lennard-Jones epsilon = 125.7 sigma = 0.3345 # Definisikan fungis turunan pertama dan # turunan kedua dari potensial Lennard-Jones # terhadap r def f(r): return 24.0*epsilon*(-2.0*(sigma/r)**13 + (sigma/r)**7)*(1.0/sigma) def df(r): return 24.0*epsilon*(26.0*(sigma/r)**14 - 7.0*(sigma/r)**8)*(1.0/sigma**2) # modul kesalahan untuk mengakhiri program def err(string): print string raw_input(’Tekan Enter untuk keluar’) sys.exit() # modul metode Newton-Raphson def newtonRaphson(r,tol=1.0e-5): for i in range(100): dr = -f(r)/df(r) r = r + dr 2
Pembuatannya menyadur dari: Jaan Kiusalaas, Numerical Methods in Engineering with Python, 2nd Ed., Chapter 4, Sec. 5 (New York: Cambridge University Press, 2010).
Hal. 3
print r,’\t’, dr if abs(dr) < tol: return r,i print ’Perulangan terlalu banyak\n’ # modul metode Secant def secant(r1,r2,tol=1.0e-5): for j in range(100): delta_r = -f(r2)*(r2-r1)/(f(r2)-f(r1)) r1 = r2 r2 = r2 + delta_r print r2,’\t’,delta_r if abs(delta_r) < tol: return r2,j print ’Perulangan terlalu banyak\n’ print ’===================================’ print ’ r_m \t\t f(r_m)/df(r_m)’ print ’===================================’ print ’ Newton-Raphson # nilai tebakan awal r_m untuk metode # Newton-Raphson, r = 0.3 akar_nr,jumPer_nr = newtonRaphson(0.3);
’
print ’’ print ’ Secant # nilai dua tebakan awal r_m untuk # metode Secant, r1 = 0.3, r2 = 0.4 akar_sec,jumPer_sec = secant(0.3,0.4)
’
print ’===================================’ print ’’ print ’’ print ’Akar = r_m = ’,akar_nr,’\t’,’(Newton-Raphson)’ print ’Jumlah perulangan =’,jumPer_nr print ’’ print ’Akar = r_m = ’,akar_sec,’\t’,’(Secant)’ print ’Jumlah perulangan =’,jumPer_sec print ’’ raw_input(’Tekan Enter untuk keluar’)
Hal. 4
