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lENGUAJES,GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS . UN ENFOQUE PRÁCTICO

~

I

LENGUAJES, GRAMÁTICAS " y AUTOMATAS UN ENFOQUE PRÁCTICO

Pedro Isasi Viñuela Paloma Martínez Fernández Daniel Borrajo Millán Universidad Carlos III de Madrid

.

TT ADDISON-WESLEY Harlow, Inglaterra • Reading, Massachusetts • Menlo Park. Californ ia • Nueva Yo Don Mills, Ontario • Amsterdam • Bonn • Sydney • Singapur Tokio • Madrid • San Juan • Milán • México • Seúl • Taipei

[lustración de la cubierta: Wassily Kandinsky, 1929. Pisos.

© 1997, por Addison·Wesley Iberoamericana España, S.A. Reservados todos los derechos.

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyrighl. ADDISON·WESLEY IBEROAMERICANA Malabia 2362-2.° G, Buenos Aires, Argentina. Cruz 1469-dpto. 21, Independencias, Santiago de Chile. Apartado aéreo 241-943, Bogotá, Colombia. Espalter 3,28014 Madrid, España. I Jacob Way, Reading, Massachusetts 01867, E.U.A. Apartado postal 22-012, México DF, México. Jr. San Antonio Este, n.O 658. dpto. D, Urb. Ventura Rossi. 25 Lima, Perú. El Monte Mall, 2.° piso, oficina 19-B. Ave. Muñoz Rivera. HalO Rey. 009 I 8 Puerto Rico. Apartado Postal 5 I 454. Caracas 1050 A. Venezuela.

Impreso en España. ¡'rin/eel ill S/will. ISBN : 0-201 -65323-0 ISBN: 84-7829-014-1

Depósito legal: M. 36.039-1997 I 2 3 4 5 6 78 9 O - CO - 01 00 99 98 97

A Ana, Juan Miguel y a Isabel

-

--

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Agradecimientos Los autores agradecen a .-\raceli anchis las correcciones realizadas a versiones anteriores del libro. a Julio García del Real por su valiosa ayuda en la preparación y ~ truc ' uración de la asignatura . as í como a los revisores del libro por sus coment~ios .

- _-.

Prefacio Los fundamentos teóricos de la informática, que han dado en llamarse Informática Teórica, provienen de diferentes ramas del conocimiento. Este aspecto, unido a la fuerte componente teórica que esta disciplina requiere, como no podría ser de otra forma, hace que a menudo los textos de Informática Teórica sean difíciles de leer. Sin embargo, detrás de toda esta componente teórica se esconde una disciplina amena, muy instructiva y con grandes posibilidades de aplicación. Todo esto queda a menudo oculto entre definiciones, teoremas y demostraciones. Este libro pretende ser una manera de superar este escollo. No pretende ser una sustitución de otros textos con mayor contenido teórico, sino más bien un complemento a los mismos. Todos los temas han sido tratados con el rigor exigible, aún cuando no aparezca una fuerte carga de teoremas y demostraciones. De esta forma, puede constituir un libro ideal para iniciarse en los temas tratados, o una guia rápida de consulta de los diferentes contenidos. En cualquier caso, se trata de un texto autocontenido y que no exige de conocimientos previos por parte del lector para su comprensión. Por otra parte, tiene un alto contenido práctico, entendido como un gran número de ejercicios, en los que reflejar y complementar los contenidos teóricos. Creemos, desde nuestra perspectiva de la docencia de la asignatura que abarca estos temas en la universidad, que la mejor forma de comprender y asentar los conocimientos es con la práctica. Afortunadamente, las materias de la Informática Teórica son muy versátiles a la hora del planteamiento de ejercicios, y estos sirven de apoyo fundamental e imprescindible al texto. Es por esto que hemos querido que en el título apareciera explícitamente "un enfoque práctico", para resaltar el hecho de que se trata de un libro con dos partes diferenciadas; por un lado se trata de un libro de teoría autocontenido, y, por otro, un libro de ejercicios completo. Esto queda remarcado por el hecho de que los ejercicios aparecen todos juntos al final de cada capítulo, como si de otro capítulo independiente se

tratase. Por último, hemos querido añadir un capítulo de aplicaciones, para mostrar algunos de los numerosos campos en 1 que se pueden utilizar estos conceptos.

Pedro

.. Paloma :\lartínez. y Daniel Borrajo

~an '

. Sept iembre de 1997

,

Indice General

1

2

3

Introducción 1.1 Lenguajes, Gramáticas y Autómatas 1.2 Estructura del libro . 1.3 Notaciones

1

Lenguajes y Gramáticas Formales 2.1 Lenguajes .. 2.1.1 Definiciones básicas 2.1.2 Operaciones con palabras 2.1.3 Operaciones con lenguajes . 2.1.4 Otras definiciones 2.2 Gramáticas formales 2.2.1 Definiciones . 2.2.2 Tipos de Gramáticas 2.2.3 Árboles de derivación 2.2.4 Ambigüedad 2.2.5 Recursividad 2.2.6 Factorización a izquierdas Ejercicios

7

Gramáticas Regulares y Autómatas Finitos Gramáticas regulares. Máquinas Secuenciales 3.2.1 Definición . 3.2.2 Representación 3.2.3 Extensión a palabras de la entrada y salida 3.2.4 Equivalencia de Máquinas Secuenciales.

3.1 3.2

1 5 6 7 7 8

9 11

13 13 16 19 20 21 25 27 43

43 46 46 49 51 55 ·

.\

3.2.5

Equivalencia de Máquina de Mealy y Máquina de Moore 3.3 Autómatas Finitos Deterministas (AFD) 3.3.1 Definición . 3.3.2 Representación de un AFD 3.3.3 Conceptos relativos a AFDs 3.3.4 Equivalencia de AFD 3.4 Autómatas Finitos No Det ermi nistas (AFND) 3.4.1 Definición 3.4.2 Representación 3.4.3 Conceptos asociados a AF NDs 3.4.4 Autómata Finito asociado a una G 3 3.5 Expresiones regulares (ER) 3.5.1 Definiciones . 3.5.2 Teoremas de Kleene 3.6 Autómatas de Células de McCulloch-Pitts 3.6.1 Definición 3.6.2 Representación 3.6 .3 Construcción de un AF equIvalente . 3.6.4 Construcción de un Autómata de Células equivalente a un AF . 3.7 Autómatas probabilísticos 3.7.1 Definición 3.7.2 Matrices de probabilidad de transición 3.7.3 Vectores de estados. 3.7.4 Lenguaje aceptado por un AFP . 3.7.5 AF como AFP Ejercicios

_" 4

61 63 63 65 66 68 75 75 76 77 81 83 83 85 97 97 98 101 106 107 108 108 109 111 113 115

Gramáticas Independientes del Contexto y Autómatas a Pila 237 4.1 Gramáticas Independientes del Contexto . 237 4.1.1 Definiciones. .. . . . . . . . . .. 237 242 4.1.2 Forma Normal de Chomsky (FNC) , 4.1.3 Forma Normal de Greibach (FNG) 246 . 4.2 Autómatas a Pila (AP ) 248 4.2.1 Definición...... . . 248 4.2.2 Movimientos .. . . . . 251 4.2.3 Descripción instantánea 254

4.2.4 Autómatas a Pila Deterministas . . . . . 4.2.5 Lenguaje aceptado por un AP . . . . . . 4.2.6 Autómatas a Pila y Gramáticas de tipo 2 Ejercicios

255 256 257 263

5

Gramáticas y autómatas generales 5.1 Máquinas de Turing 5.1.1 Definición . . . . . . . . . . 5.1.2 Movimiento. .. . . . . . . 5.1.3 Lenguaje reconocido por una Máquina de Turing 5.1.4 Variantes de las Máquinas de Turing . 5.1.5 Máquina de Turing Universal (MTU) 5.1.6 Máquinas de Turing y computación 5.2 Autómatas Linealmente Acotados. Ejercicios ..

321 321 321 323 326 326 327 329 330 331

6

Aplicaciones 6.1 Construcción de compiladores 6.1.1 Analizador Léxico .. ~ 6.1.2 Analizador Sintáctico 6.2 Análisis del lenguaje natural. 6.3 Aplicaciones de Control 6.4 Más aplicaciones . . . . . . .

343 343 346 351 357 368 372

Capítulo

1

INTRODUCCIÓN

Puesto que este libro abarca la Teoría de Gramáticas, Lenguajes y Máquinas Abstractas (Autómatas) , en esta introducción se comenzará aclarando el significado de cada uno de los conceptos y la relación existente entre ellos. A continuación, se describirá la estructura del libro y algunas aclaraciones sobre la notación empleada a lo largo del texto.

1.1

Lenguajes, Gramáticas y Autómatas

Toda comunicación involucra la utilización de un lenguaje. Así, por ejemplo, las personas se comunican con el resto en los diferentes idiomas (lenguajes naturales) o con las máquinas (lenguajes artificiales) a través de conjuntos de símbolos. Se define lenguaje como un conjunto de palabras, también llamadas cadenas o sentencias, que están formadas por símbolos de un alfabeto. Así, por ejemplo, el idioma español está formado por un conjunto de palabras compuestas por letras (símbolos) del alfabeto español. Una gramática da cuenta de la estructura de un lenguaje, es decir, de las sentencias que lo forman , proporcionando las formas válidas en que se pueden combinar los símbolos del alfabeto. En el caso del español, las oraciones deben ajustarse a una gramática. Una consideración importante es la distinción entre lenguajes formales, que son los que se tratarán en este libro, y lenguajes naturales (inglés, español, etc.). Se puede decir que la diferencia estriba en que los lenguajes formales (como pueden ser los lenguajes de 1

programación) obedecen a reglas prees a b ellas , no evolucionan y han sido cread go, los lenguajes naturales (utilizad las reglas gramaticales que rigen su """-mm .,...,, posterioridad para explicar e ta úl ÍI!la.

T

recibir y transmitir información. nas de símbolos que se le p o cadenas de símbolos a ~ contienen la información naresane entrada, cuál será el ~""''"'-U-'1U~1I conexión que e. e e sobre gramá ieas y m<>.ql~~ a.b~U1~a" """...L.>oOo-

genera

describe

genera CLenguaE) Figura 1.1: autómata.

Conexiones entre los conceptos de lenguaje. !!TaIIlá:

y

El concepto de gramática procede de los estudios de Cho IT búsqueda de una descripción formalizada de las oraciones de un le turaL Chomsky clasificó las gramáticas en cuatro grandes grup G2, G3) cada uno de los cuales incluye a los siguientes ( G3~ G2~G 1 = GO . Las gramáticas Tipo Ü se denominan gramáticas sin restriccion o máticas de estructura de frases; las gramáticas Tipo 1 se denominan _ , ibIes al contexto; las gramáticas Tipo 2 se conocen como gramáti cas in pendientes del contexto y, por último, las gramáticas Tipo 3 denominan gramáticas regulares. Cada tipo añade restricciones al tip o inmedia¡ame te superior y la jerarquía va desde la más general a la más restricti\a . Cada una de estas gramáticas es capaz de generar un tipo de lenguaje. e n 1 nguaje L se llama del tipo i (i=ü, 1, 2, 3) si existe una gramática G del ipo i capaz de generar o describir ese lenguaje. Estos estudios previos sobre teorías de gramáticas formales y le ~j ::.

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFOQUE PRÁCTICO

3

crearon las bases de la lingüística matemática, la cual tendría aplicación no solo al estudio del lenguaje natural sino también a los lenguajes formales. Así, los lingüistas distinguen entre gramática particular (propiedades de lenguajes concretos o artificiales) y gramática universal (propiedades generales que pueden aplicarse a cualquier lenguaje humano). La teoría de los autómatas proviene del campo de la ingeniería eléctrica. Shannon publicó varios trabajos donde demostraba la aplicación de la lógica matemática a los circuitos combinatorios y secuenciales. Posteriormente, sus ideas se desarrollaron para dar lugar a la Teoría de Autómatas. Moore publicó el primer estudio riguroso sobre autómatas y, a finales de los años 50, se comenzó a ver la utilidad de los autómatas en relación con los lenguajes. La teoría de lenguajes y gramáticas formales tiene una relación directa con la teoría de máquinas abstractas, siendo posible establecer entre ambas un isomorfismo. Dado que las gramáticas proporcionan las reglas utilizadas en la generación de las cadenas de un lenguaje, se puede establecer una conexión entre la clase de lenguajes generados por ciertos tipos de gramáticas y la clase de lenguajes reconocibles por ciertas máquinas. Así, se pueden identificar los lenguajes del tipo O con la clase de lenguajes reconocidos por una Máquina de Turing; los lenguajes del tipo 1 con los Autómatas Linealmente Acotados; los lenguajes de tipo 2 con los Autómatas a Pila y, por último, los lenguajes de tipo 3 con los Autómatas Finitos, los Autómatas Probablísticos y los Autómatas de Células de McCulloch-Pitts. Al igual que ocurría con las gramáticas, cada tipo de máquina abstracta añade restricciones al tipo de máquina del nivel superior. Todas poseen una cinta de donde leen los símbolos de entrada, un conjunto de estados que representan diferentes fases del análisis de las palabras de entrada, un lugar donde generar la salida, y, en algunos casos, cuentan con dispositivos auxiliares de memoria. Las diferencias entre ellas estriban en la capacidad para escribir en la cinta de entrada, en los distintos tipos de movimientos que pueden realizar sobre la cinta, si tienen o no memoria auxiliar, etc. Establecidas las reglas de una gramática, una cadena de símbolos pertenecerá al correspondiente lenguaje si tal cadena se ha formado obedeciendo esas reglas. A partir de una gramática se puede construir una máquina reconocedora o aceptadora del lenguaje generado por esa gramática, de tal forma que cuando reciba a su entrada una determinada cadena de símbolos indicará si dicha cadena pertenece o no al lenguaje. Una máquina reconoce un lenguaje L si es capaz de reconocer todas las sentencias pertenecientes a L y de no reconocer ninguna sentencia que no pertenezca a L. La figura 1.1

4

CAP '

o .

muestra la relación existente entre los que una gramática describe formalmeme un ~.7""'r,:I¡. puede ser reconocido o aceptado por una OOiamJc:Jaca o autómata, entonces es posible establecerabstractas y gramáticas tal y como ~

j€ r:lCSIq:::IDa G.lS~n:a

Gramática Tipo O: Gramática

sin Restricciones Tipo 1: Gramática Sensible al Contexto Tipo 2: Gramática de Conte:\,o Libre

Tipo 3: Gramá ¡ca R~ar

Regular

Autómata Linealm Acotado (ALA Autómata a P ila (AP ) Autómata F ini o (AF )

€

Tabla 1.1: Relación entre lenguaje, gramática y autómata. La teoría de gramáticas y máquinas teóricas tiene múltiples aplicaciones en diversas áreas de conocimiento. Algunos ejemplos de las aplicaciones de los lenguajes regulares y los autómatas finitos son los analizador léxicos que se utilizan en los compiladores de lenguajes de programació . Normalmente, un analizador léxico es un autómata que se utiliza para el reconocimiento de las palabras empleadas en un lenguaje de programación (variables, palabras reservadas, números, etc.). También se ut ilizan en 1 editores de texto para buscar y reemplazar palabras que se equiparan con una expresión regular. La sintaxis de los lenguajes de programación (Pascal, C. etc. ) está d crita mediante gramáticas de Tipo 2 (independientes del contexto) aunque también pueden contener algunos aspectos que requieran de una gramá ica sensible al contexto. En cuanto a las Máquinas de Turing, se corresponden con las gramá icas sin restricciones. La peculiaridad de este tipo de gramáticas es que puede describir cualquier suceso computable. Un suceso computable es aquél que mediante un procedimiento es capaz de transformar unas determinadas entradas en las salidas requeridas. Ésta es precisamente la capacidad que ~ necesita en un computador; el poder describir un procedimiento (pro!mUll.a l que, a partir de unas entradas, sea capaz de producir una salida . í pues, existe una asociación entre las Máquinas de Turing y los fenómen computables, de forma que se dice que un suceso es computable i ~. e

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

5

una Máquina de Thring capaz de describirlo.

1.2

Estructura del libro

El texto del libro trata de seguir esta misma estructura, y así está dividido en los siguientes capítulos:

Capítulo 2 Se tratan los conceptos fundamentales que serán empleados a lo largo del resto del texto como son los lenguajes y las gramáticas.

Capítulo 3 Siguiendo la división de Chomsky, se tratan los temas relacionados con las gramáticas tipo 3 y las máquinas reconocedoras de los lenguajes tipo 3, autómatas finitos , tanto en su versión determinista, como no determinista. Se tratan, también, las máquinas secuenciales que permiten, no sólo reconocer, sino generar una salida correspondiente a una determinada entrada. También se describen las expresiones regulares, que permiten representar de forma sencilla y compacta los lenguajes regulares. Por último, se incluyen varios tipos de autómatas finitos, como son los autómatas probabilísticos y los autómatas de células de McCulloch-Pitts.

Capítulo 4 Se dedica a las gramáticas de tipo 2, independientes del contexto, y las máquinas reconocedoras de los lenguajes de este tipo de gramáticas, los autómatas a pila. La importancia que tienen estos lenguajes es que son los más utilizados para describir los lenguajes de programación de alto nivel.

Capítulo 5 Se presentan las gramáticas de tipo O y 1 y las máquinas de Thring como dispositivos de cómputo universal y reconocedoras de lenguajes de gramáticas sin restricciones.

Capítulo 6 En este capítulo se realiza una breve descripción de algunas de las diferentes líneas de aplicación de los conceptos tratados en el libro. Así, se presentan ejemplos de sistemas reales cuyo diseño fundamental está completamente ligado a los conceptos teóricos descritos en el libro.

6

1.3

Notaciones

El libro asume el conocimiento, por part e del básica matemática. En un breve resumen . ciones: • Conjunto: {xl ... }, significa el conj unto e • Pertenencia: x E

~,

significa que el eleme o ::

-=>,....;.-,-.:!:--. .~c::::I~r::::::;;b

~.

• Inclusión: G ~ G', significa que el conjun o G' . • Cardinalidad:

IGI, representa

e

el número de clem!E::~

G. • Unión de conjuntos: G U G' , significa la unión de los conjuntos G' .

e

y

• Intesección de conjuntos: G n G' , significa la intersección de los conjuntos G y G' . • Simplificación de notación de elementos de conjunto: a .. z ó a, . ... z . significa todas las letras entre a y z. • Aplicación entre conjuntos: f : El X E 2 X . .. x En ~ SI X S2 X ... X Sm· significa que la función f (aplicación) está definida entre los conjuntos Ei y los conjuntos Sj. También se puede entender desde el punto de vista computacional como que recibe a la entrada un elemento de cada uno de los conjuntos Ei y genera como salida un elemento de cada uno de los conjuntos Sj. • Definición: Concepto , notación: . . . , significa que la definición del concepto cuya notación aparece después de la coma es lo que aparece después de los dos puntos.

•

Capítulo

2

LENGUAJES y GRAMÁTICAS FORMALES

Este capítulo describe los elementos básicos de la Informática Teórica: los lenguajes y gramáticas formales. Dentro de las gramáticas, se estudia la . clasificación más clásica de gramáticas, que sirve de hilo conductor para el resto de capítulos.

2.1

Lenguajes

En esta sección se tratarán los temas relacionados con lenguajes formales. Se verán algunas definiciones y operaciones que se pueden realizar con las palabras de un lenguaje, así como con los propios lenguajes.

2.1.1

Definiciones básicas

• Alfabeto, ~: conjunto no vacío finito de símbolos (letras, números, combinaciones de letras y números , ... ) Ejemplos:

el alfabeto español, el inglés, el alfabeto de los números, el alfabeto formado por todos los símbolos del teclado de un ordenador, el alfabeto formado por los cuatro símbolos {na,pa,la, bra}

7

8

CAPÍTULO

• Palabra

2.

LENG UAJES y

° cadena: secuencia finita de

G

SJ u 'u nOO!(jE

Ejemplos:

"palabra", "word", "1234", "alfa-?23!", "napa-

• Longitud de una palabra, Ixl: dada una palabra I símbolos de un alfabeto ~, su longitud es el número de alfabeto que la forman.

C: ~ ]l'C:ec:a

. 1

Ejemplos: Ipalabral=7 en el caso de que los símbolos sean los del alfabe

Si ~l = {na,pa,la,bra}, la longitud de la palabra palabra seria 3_

• Palabra vacía, A: palabra de longitud O contiene ningún símbolo

(IAI =

O); es decir. _

I

• Universo de un alfabeto, W(~): todas las palabras que se puro formar con símbolos del alfabeto~ . Contiene un número infini o dE' elementos (palabras). La palabra vacía pertenece a todos los unÍ n:'rsos. Ejemplo: W (~d = {A, na,pa,la, bra, nana, napa, nala, nabra .. . . }

• Lenguaje sobre un alfabeto, L(~): es todo subconjunto de W ( ~ ) . Como el universo asociado a un alfabeto es infinito, hay infinitos lenguajes asociados a un alfabeto. Ejemplos:

Dos posibles lenguajes de

~l

serían:

Ll (~d = {nana,napa,lana}, y L2(~1) = {A,nana,pana,palabra,papa,pala} .

2.1.2

Operaciones con palabras

• Concatenación: si x e y son palabras, la concatenación. x · y . una palabra formada por los símbolos de x seguidos de los símbolos de y . Muchas veces, se representará simplemente como xy. Ejemplo:

En

~l,

si x =pa e y =labra, x . y =palabra


.

• Potencia: la potencia i-ésima de una palabra concatenación i veces de X; xi = 1 . x .,: ... :z;,.

9

.

x, x\ se forma por la

Por definición, para toda palabra x, se cumple: xO = A Ejemplo: En I: I , si x = pala, x2 =palapala Si I:2 = {O, 1} Y x = 01, x 3 = 010101

• Reflexión: si la palabra x está formada por los símbolos Al, A 2, .. . , A n , entonces la palabra inversa de x, x- 1 , se forma invirtiendo el orden de los símbolos en la palabra; x- 1 = An ...A2Al' Ejemplo: En I: 1 , si x = pala, x- 1 =lapa En I: 2 , si x = 01 , x- l = 10

2.1.3

Operaciones con lenguajes

• Unión: si LI y L 2 son lenguajes, su unión, LI U L 2 , contendrá todas las palabras que pertenezcan a cualquiera de los dos lenguajes;

Ejemplo: Si LI (I: I ) = {nana, napa, lana}, y L 2 (I: I ) = {A,nana,pana,palabra,papa,pala} , Ll (I: I )UL 2 (I:¡) = {A ,nana,napa,lana,pana,palabra,papa,pala}

• Intersección: si Ll y L 2 son lenguajes, su intersección, LI n L 2 , contendrá todas las palabras que pertenezcan a los dos lenguajes;

Ejemplo: Si LI(I: I ) = {nana,napa,lana} , y L 2 (I: 1) = {A , nana,pana,palabra,papa,pala} , L¡(I: I ) n L 2 (I: I ) = {nana}

10

CAPÍTULO

2. LENGUAJES y GRA MÁTICAS F O ru.L

-~ '.

• Resta: si Ll y L 2 son lenguajes, la resta de L l y 0 - L : - L·2 · contendrá todas las palabras que pertenezcan a Ll y no pen ezca..n a L2;

Ejemplo: Si L1(¿;1) = {nana,napa,lana}, y L 2 (¿;l) = {A, nana,pana,palabra,papa,pala} , L1(¿;1) - L 2 (¿;1) = {napa,lana} , y Ld¿;l) - L1(¿;d = {A,pana,palabra,papa,pala}.

• Concatenación: dados dos lenguajes Ll y L 2 , su concatenación . Ll . L 2 , contendrá todas las palabras que se pueden formar por la contenación de una palabra de Ll y otra de L 2 ;

Ejemplo: Dados Ll (¿;l) y L 2 (¿;t}, Ll (¿;t}·L 2(¿;1) = {nana,napa,lana,nananana,napana na .. . . }

• Potencia: la potencia i-ésima de un lenguaje corresponde a la concatenación i veces del lenguaje con él mismo;

Por definición, para todo lenguaje L i , se cumple: L?

=

{A}

Ejemplo: Si Ll (¿;2) = {O, 1}, entonces Lr(¿;2) = {00, 01. 10. 11}

• Clausura positiva: La clausura positiva de un lenguaje L se forma por la Uillon de todas las potencias del lenguaje, excluyendo la potencia O: L+ = U~ l L i

, LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

11

Ejemplo: Si Ll(~2) = {O, 1} , entonces Ll (~2)+ = {O, 1,00, 01 , 10, 11,000,001 , ... }

La clausura positiva de cualquier alfabeto (considerado como el lenguaje formado por todos sus símbolos) corresponde al universo del alfabeto excluyendo la palabra vacía (potencia O de un alfabeto); ~+ = W(~) -

{A}

• Iteración, cierre o clausura: El cierre de un lenguaje L se forma por la unión de la palabra vacía a la clausura positiva del lenguaje; 00

L * =L+U {A}=UL i i=O

~ * = W(~)

Ejemplo: Si Ll (~2) = {O, 1}, entonces Ll (~2)* = {A, 0, 1, 00 , 01 , 10, 11 , 000, 001 , ... }

• Reflexión: la reflexión de un lenguaje L está formada por la aplicación de la reflexión a cada una de las palabras del lenguaje;

Ejemplo: Si L2( ~ 2 ) = {O, 1, 00, lO} , entonces L2(~2) - 1 =

2.1.4

{O, 1, 00, 01}

Otras definiciones

• Producción o regla, (x ::= y): es un par ordenado de palabras (x, y) , x, y E ~*. Tiene el significado, que se matizará posteriormente, de que si se encuentra x como parte de cualquier palabra v, se puede sustituir x por y en v, lo que permite transformar palabras en otras.

12

CAPÍTULO

2. LENGUAJES y GRAMÁTICAS F OruLUES

Ejemplo: En E 2 , se podrían tener las producciones (000 ::= 010) ó (10 ::= 01)

• Derivación directa, v -+ w: aplicación de una producción (x ::= y) a una palabra v para convertirla en otra palabra tL' donde v = z . x . u, w = z . y. u (v, w, z, u E E*). Se cumple que, para cada producción (x ::= y), existe una derivación directa de x a y : x -+ y, lo que se deduce de lo anterior, sin más que hacer z = u = A. Ejemplo: Con las producciones PI = (000 ::= 010) y P2 = (10 ::= 01), y la palabra 1000, se pueden hacer la.s siguientes derivaciones directas:

1000 ~ 1010, 1010 ~ 0110, 0110 ~ 0101, Y 0101 ~ 0011

• Derivación, v -+* w: aplicación de una secuencia de produccion una palabra.

a

Ejemplo: En el ejemplo anterior, la ejecución continuada de las derivaciones directas, proporciona una derivación de la palabra 1000 a la palabra 0011:

1000 ~ 1010 ~ 0110 ~ 0101 ~ 0011 Otra posible derivación sería pasar de la palabra 1000 a la palabra 0110.

• Derivación más a la izquierda: si se utiliza en cada derivación directa la producción aplicada a los símbolos más a la izquierda de la palabra. Ejemplo: En el ejemplo anterior de derivación, la derivación más a la izquierda sería:

1000 ~ 0100 ~ 0010 ~ 0001 ~ 0101 ~ 0011

'.

l ,

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

13

• Derivación más a la derecha: si se utiliza en cada derivación directa la producción aplicada a los símbolos más a la derecha de la palabra. Ejemplo: En el ejemplo anterior de derivación, la derivación más a la derecha sería:

1000 ~ 1010

2.2

!4 1001 !4 0101 !4 0011

Gramáticas formales

Las gramáticas formales son descripciones estructurales de las sentencias de los lenguajes, tanto formales (lenguajes de programación), como naturales (humanos). Las definiciones proporcionadas en la sección anterior de los lenguajes son extensionales; es decir, para describir el lenguaje se enumeran todas las palabras que lo forman. Las gramáticas permiten describir de forma intensional a los lenguajes; se describirán los lenguajes mediante: el alfabeto sobre el que se construirán sus palabras; un símbolo inicial del que partirá la obtención de cualquiera de las palabras del lenguaje, denominado axioma; un conjunto de símbolos especiales denominados no terminales que permiten representar subconjuntos del lenguaje o estados intermedios de la generación de las palabras del lenguaje; y un conjunto de producciones, que permitirán realizar las transformaciones desde los símbolos no terminales a las palabras del lenguaje. Por lo anterior, pese a que normalmente se dice que una gramática genera un lenguaje, en este libro también se dirá que una gramática describe un lenguaje.

2.2.1

Definiciones

• Gramática formal, G: se define como una cuádrupla

donde -

~T

es el alfabeto de los denominados símbolos terminales

/" .....

14

CAPÍTULO

2.

LENGUAJES y GRAMÁTICAS F ORMAL ES

- L, N es el alfabeto de los denominados símbolos no terminales.

cumpliéndose: y

L,T

n L,N = 0

8 es un símbolo no terminal especial (8 E L,N), denominado el axioma de la gramática

- P es un conjunto finito de reglas (o producciones) que tienen como única restricción que en la parte izquierda de las producciones debe haber al menos un símbolo no terminal. Es decir. P = {(u ::= v)lu = xAy,u E L,+,v,x,y E L,*,A E L,N}

Ejemplo:

G l = ({O,l},{A,B},A,P)

donde P = {(A ::= lBl), (A ::= OBO), (B ::= A), (B ::= 1),

(B ::= O), (B ::= A)} Una simplificación usual al describir las reglas de una gramá.tica es agrupar todas las producciones de cada símbolo no terminal y separar las partes derechas por el símbolo l. Ejemplo: Las producciones del ejemplo anterior se podrían describir como: A ::= lBl lOBO

B

::=

A 11 1O 1A

• Forma sentencial: x es forma sentencial si existe una derivación desde el axioma hasta esa palabra; es decir, 8 -+* x Ejemplo: Dada la gramática definida anteriormente, G l. las siguientes son formas sentenciales: - 010: A -+ OBO -+ 010

,

-,


15

lAl: A -+ lBl -+ lAl 1001: A -+ lBl -+ lAl -+ lOBOl -+ 1001 • Sentencia: x es sentencia si es forma sentencial y todos sus símbolos pertenecen al alfabeto de símbolos terminales; es decir, S -+* x, y x E L:Y. Ejemplo: En el ejemplo anterior, 010 y 1001 son sentencias, mientras que lAl no lo es.

• Lenguaje generado por una gramática, L(G): es el conjunto de todas las sentencias de la gramática; es decir, todas las palabras que se pueden obtener a partir del axioma de la gramática por la aplicación de derivaciones: L(G) = {xlS -+* x,x E L: y }

Ejemplo: El lenguaje generado por la gramática G 1 sería: Lal

= {11,101, 111,00,000,010, 1001, 1111,0000,0110, ... }

Como se puede observar, el lenguaje obtenido es el de las palabras binarias simétricas o palíndromas

(L

=

{xix

= x- 1 }).

• Equivalencia de gramáticas: dos gramáticas G 1 y G 2 son equivalentes, denotado G 1 EG 2, si L(G¡) = L(G 2 ); es decir, si generan el mismo lenguaje. Ejemplo: Dada la G 1 definida anteriormente y la G2 definida como:

G2 = ({O , l} , {A , B ,C, D} , A , P) donde

......

16

CAPÍTULO

2. LENGUAJES

y GRAMÁTICAS F ORMALES

P = {(A ::= 1B1), (A ::= OCO), (B ::= D ), (D ::= A ). (D ::= 1), (D ::= O), (D ::= A) , (C :: = D )} G I y G 2 son equivalentes ya que L(G¡)

= L (G2 ).

• Regla compresora: aquélla cuya parte derecha está formada por menos símbolos que la parte izquierda (al ::= a 2, la21< 101). en ejemplo de este tipo de reglas son las reglas en las que la palabra nl.CÍa es la parte derecha de la regla: x ::= A. Se denominan así porque transforman una palabra en otra de menor longitud. Ejemplo:

2.2.2

oeo ::= 1 y A ::= A son reglas compresoras.

Tipos de Gramáticas

Noah Chomsky definió cuatro tipos de gramáticas formales , que se diferencian en los tipos de producciones de la gramática. Esta clasificación describe las gramáticas desde los tipos más generales a los más específicos. dependiendo de la forma de las reglas de la gramática. Esta clasificación permite introducir, al mismo tiempo, una clasificación en los lenguajes que las gramáticas generan, y, también, una clasificación en los autómatas que reconocen los lenguajes generados por las gramáticas .

• Tipo O (sin restricciones): en la parte izquierda tiene que haber al menos un símbolo no terminal. Respecto a las partes derechas de sus producciones no hay ningún tipo de restricción; P = {u ::= vlu = xAy,u E 1:;+,v, x, y E 1:;*, A E 1:;N}

Ejemplo: Una posible gramática de tipo Osería la siguiente:

G3 = ({O , l} , {A , B , S} , S, P) donde

P = {(S ::= AO), (AO ::= 1B1), (lA ::= OBO), (B ::= A), (B ::= 1), (B ::= O)}


.

17

El lenguaje generado por esta gramática es: LC3

= {11,lOl,11l}

• Tipo 1 (dependientes del contexto o sensibles al contexto): las partes izquierdas y derecha tienen que tener una parte común y sólo se admite como regla compresora la regla S ::= >.. P = {(S ::= >') ó (x Ay ::= xvy)lx,y E I:*,A E I:N,v E I:+}

Se denominan dependientes del contexto porque se tiene en cuenta lo que viene antes y después del símbolo que se sustituye. Así, en la fórmula anterior, x e y son el contexto de la transformación de A en v. La peculiaridad de estas gramáticas consiste en que las derivaciones producidas por aplicación de sus reglas cumplen que las palabras siempre tienen longitud mayor o igual que las anteriores en la derivación.

Ejemplo: La gramática G 3 no es de tipo 1, ya que hay una regla compresora cuya parte izquierda no es el axioma (B ::= >.). Una gramática de tipo 1 sería la siguiente:

G 4 = ({O,l},{A,B},A,P)

donde

P = {{(A ::= lBl), (A ::= 11), (lBl ::= 101), (lBl ::= 11l)}. Esta gramática es equivalente a la anterior, ya que generan el mismo lenguaje: LC4

= LC3 = {11, 101, l11}

.......

18

CAPÍTULO

2.

LENGUAJES y GRAMÁTICAS F ORM ALES

• Tipo 2 (independientes del contexto): en estas gramát icas. la parte izquierda de las producciones sólo puede tener un símbolo no terminal: p = {(S ::= >') ó (A ::= v)IA E ~N,V E ~+}

Estas gramáticas se denominan de contexto libre, porque a la hora de transformar una palabra en otra, el símbolo no terminal que se transforma no depende de los que estén a la izquierda o derecha. Así. cuando se realicen derivaciones en las que se transforme el símbolo .--1 de la fórmula anterior, no hace falta saber qué hay alrededor de él.

Ejemplo: La gramática G4 no es de tipo 2, ya que varias reglas tienen en la parte izquierda más de un símbolo no terminal. Un ejemplo de gramática de tipo 2 equivalente a las anteriores sería la siguiente: G5 = ({O,l},{A,B},A,P)

donde P = {(A ::= 1B1), (A ::= 11), (B ::= 1), (B ::= O)}.

Esta gramática es equivalente a la anterior, ya que generan el mismo lenguaje: LC5 = LC4 =

{11, 101, 111}

• Tipo 3 (regulares o lineales) Estas gramáticas, las más restrictivas, pueden ser de dos tipos: Lineales por la izquierda: P = {(S ::= >') ó (A ::= Ba) ó (A ::= a)IA, B E ~ N , a E Er}

Lineales por la derecha: P = {(S ::= >') ó (A ::= aB) ó (A ::= a)IA,B E ~ N , a E Er}


19

Ejemplo: La gramática G s no es de tipo 3, ya que las dos primeras reglas tienen partes derechas que no se ajustan a ninguna de las dos categorías de gramáticas regulares. Un ejemplo de gramática de tipo 3 lineal derecha equivalente a las anteriores sería la siguiente:

G6 = ({O,l},{A,B},A,P) donde P = {(A ::= lB), (B ::= 1), (B ::= OC) , (B ::= lC), (C ::= l)}.

Esta gramática es equivalente a la anterior, ya que generan el mismo lenguaje: LG6

= LG5 = {11, 101, l1l}

• Existe, además, una jerarquía entre los tipos de gramáticas tal que las gramáticas del tipo i son más generales que las de tipo i + 1. Formalmente, G 3 ~ G 2 ~ G I ~ G o

2.2.3

Árboles de derivación

Son una forma de representar las derivaciones, siendo utilizados, por ejemplo, en la construcción de compiladores para representar el análisis sintáctico de los programas fuente y sirviendo de base para la generación de código. Sólo se pueden definir árboles de derivación para gramáticas de tipo 1 o más restrictivas (tipos 2 y 3). En los árboles de derivación: • el axioma se representa en la raíz del árbol; • los nodos hojas del árbol son símbolos terminales de la gramática; • los nodos intermedios son símbolos no terminales de la gramática; y • las derivaciones se representan creando tantos sucesores del símbolo no terminal de la izquierda de las producciones como símbolos (terminales y no terminales) aparezcan en la parte derecha de las producciones.

20

2.

CAPÍTULO

LENGUAJES y G RAc\1ÁTICAS F O ruLU ES

Ejemplo: Supóngase la siguiente gramática:

G7 = ({O,l,[,J,+,*},{E},E,P) P = {(E ::= [EE+]), (E ::= [EE*]), (E ::= O) , (E ::= I n La figura 2.1 muestra un posible árbol de derivación para ob ener la palabra [O[OhJ+]). E

E

E

+

I O

E

I

O

E

*

1

Figura 2.1: Ejemplo de árbol de derivación de la palabra [0[01*J+J.

2.2.4

Ambigüedad

El concepto de ambigüedad en la teoría de lenguajes y gramáticas es similar al empleado en el lenguaje coloquial; existe más de una forma de generar una palabra a partir del axioma de una gramática. La ambigüedad puede surgir a varios niveles: en sentencias, lenguajes, y gramáticas. A la hora de utilizar eficientemente los lenguajes y gramáticas, es conveniente que no exista ambigüedad, pues provoca que el análisis de las sentencias no sea determinista .

• Sentencia: una sentencia es ambigua si tiene más de una derivación o árbol de derivación. Ejemplo: En el caso de la gramática

Gs = ({l} , {A,B} , A, {(A ::= 1B) , (A ::= l1) , (B ::= 1)} ) la sentencia 11 puede ser obtenida por las dos derivaciones siguientes: A -+ lB -+ 11 Y A -+ 11.


21

• Gramática: una gramática es ambigua si tiene al menos una sentencia ambigua. Ejemplo: La gramática G s es ambigua, ya que 11 es una sentencia y es ambigua.

• Lenguaje: un lenguaje es ambiguo si existe una gramática ambigua que lo genera. Ejemplo: El lenguaje Ls = {11} es ambiguo ya que la gramática G 8 lo genera y es ambigua.

si todas las gramáticas que generan un lenguaje son ambiguas, el lenguaje es inherentemente ambiguo. Ejemplo: El lenguaje Ls no es inherentemente ambiguo ya que la siguiente gramática lo genera y no es ambigua.

G 9 = ({l},{A},A,{(A ::= 11)})

2.2.5

Recursividad

El concepto de recursividad en lenguajes y gramáticas también es análogo al utilizado en otras ramas de la computación; la definición de un concepto utiliza a ese mismo concepto en la definición. Existen varios niveles de recursividad:

• Producción recursiva: si el mismo símbolo no terminal aparece en los dos lados de la producción; es decir, existe un A E ¿'N tal que (A ::= xAy) E P , (x , y E ¿,*) Ejemplo: Las siguientes producciones son recursivas: A ::= OAO, B ::= BlO, C ::= 111C

/

J.

22

CAPÍTULO

2. LENGUAJES

y GRAMÁTICAS F o ~ L~LES

• Gramática recursiva: si existe al menos una producción recursiva en su conjunto de producciones. • Recursividad por la izquierda: si el símbolo no terrrúnal aparece el primero de la parte derecha; es decir, A ::= Ay. (A E ~ _ -.y E ~ ' ) . Ejemplo: En el ejemplo anterior, B ::= BlO es recursi -a por la izquierda.

• Recursividad por la derecha: si el símbolo no terminal a parece el último en la parte de la derecha; es decir, A :: = x A , (A E E s . .r e ~') . Ejemplo: En el ejemplo anterior, C ::= 111C es rec por la derecha.

:I\-a

• Recursividad por la izquierda en más de un paso : si ~ iene una regla no recursiva por la izquierda A ::= B x , A f:- B . 1--1. B E 'E N, X E E*), pero desde B hay una derivación del tipo B ---' . A. y. (y E 'E*), entonces existe recursividad por la izquierda en más de un paso con respecto al símbolo no terminal A , ya que exis e una derivación desde él de la siguiente forma: A -+* Ayx . Ejemplo: En las siguientes producciones hay recursi\idad por la izquierda en más de un paso.

E ..= T .. = ya que E -+ T

T + E IT E I (E)

+E

-+ E

* E I variable I número

+ E.

Normalmente, cuando se utilizan las gramáticas, como en el caso de la construcción de compiladores de lenguajes de alto nivel, se necesita que las gramáticas no sean recursivas (especialmente la recursividad por la izquierda). Para eliminar la recursividad se recurre al siguiente procedimiento, dividido en dos pasos. • Primer paso. Eliminación de recursividad por la izquierda en las producciones de un mismo símbolo no terminal.

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

23

Para cada A E ~N Si las producciones de A son: p = (A ::= A· allA· a21·· ·IA· a n l,8ll,821·· ·1,8m)

donde ,8i no comienzan por A Entonces Se crea un nuevo símbolo no terminal A'; ~N = ~N U

{A'};

P := (p- P) U {A ::=,81· A' I,82· A'I·· .1,8m· A' , A' ::= al . A'la2 . A'I·· .Ian . A'I),}

Como muchas veces no se desean las producciones del tipo (A ::= ),) cuando A no es el axioma, otra variante equivalente del procedimiento anterior consiste en modificar el conjunto de producciones resultante, sustituyendo el nuevo símbolo no terminal A' en cada parte derecha de producción por )" de la siguiente forma:

P := (p- P)

U

{A ::=,81· A' 1,82 . A'I · · ·1,8m· A' I,8ll,821·· ·1,8m, A' ::= al· A'la2 . A'I· · ·Ia n . A' la lla21·· .Ian }

Ejemplo: Supóngase las siguientes producciones de una gramática que genera expresiones aritméticas:

P = {(E ::= E + E), (E ::= E (E ::= número)}

* E), (E ::= variable),

Para eliminar la recursividad por la izquierda de las dos primeras producciones, se crea un nuevo símbolo no terminal E' , se eliminan todas las producciones en P del conjunto de producciones de la gramática y se crean las siguientes nuevas producciones:

p' = {(E ::= variable E'), (E ::= número E'), (E' ::= +EE' ), (E' ::= *EE' ), (E' ::= ),)}

24

CAPÍTULO

2.

LENGUAJES y GRA~Ü nC ..\S F OruLUES

o bien:

p" = {(E ::= variable E'), (E ::= número E/ ). (E ::= variable ), (E ::= número ), (E' ::= +EE/ ), (E' ::= *EE / ), (El :: = + E ). (E

:: =

%E )}

• Segundo paso. Eliminación de recursividad por la izquierda en más de un paso. Aún cuando se elimine la recursividad por la izquierda de las p uchaya ciones de todos los símbolos no terminales, no se asegura que eliminado de todas las producciones de la gramática. ya que puede estar oculta por producirse en más de un paso. El algori tmo para la eliminación de la recursividad por la izquierda en más de un ras es el siguiente: 1. Disponer los símbolos no terminales en algún orden A l ,A2 ... A n 2. For i:=1 to n For j:=1 to n 2.1 Si i i- j, reemplazar cada producción A i ::= A j . ') por: Ai ::= (h .1'162 ·1'1 · . ·16k . l' donde Aj ::= 61 162 1... 16k son todas las reglas de A) 2.2 Eliminar la recursividad por la izquierda de las A ,

Ejemplo: En el ejemplo de la gramática de expresion aritméticas, se enumerarían primero los símbolos no terminales, como, por ejemplo, Al = E, A 2 = T. A continuación, se realizan los bucles como sigue:

•

i=1 (Al = E), j=1 (Al = E). Se reemplazarían las producciones E ::= Ea por las que se obtendrían de sustituir la E de la parte derecha por todas las producciones a las que lleva E. Como no hay ninguna producción de ese tipo, no se hace nada. El paso 2.1 del algoritmo eliminaría la posible recursión izquierda en Al = E. Como no hay, se sigue con la siguiente iteración del bucle interno.

L EN GUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

25

• i=l (Al = E), j=2 (A 2 = T). Se reemplazan todas las producciones E ::= Ta. Esto daría lugar al nuevo conjunto de producciones:

E .. = T .. =

E + E I E * E I (E) variable I número E I (E)

+ E I (E) * E I

y se elimina la recursión en E , quedando:

E ··= E'··= T··=

(E) + EE' I (E) * EE' número E' +EE' I *EE' 1). E I (E)

I variable E' I

• i=2 (A 2 = T) , j=l (Al = E) . Se reemplazan las producciones T ::= Ea , dando lugar a:

E ··= E'··= T· ·=

(E) + EE' I (E) * EE' número E' +EE' I *EE' I ). (E) + EE' I (E) * EE' número E' I (E)

I variable E' I I variable E' I

y se eliminaría la recursión en T si la hubiera.

• i=2 (A 2 = T) , j=2 (A 2 = T). Se reemplazan las producciones T ::= Ta. Como no hay ese tipo de producciones, no se producen cambios y el conjunto de producciones en el que se ha eliminado la recursión es:

E··= E'··= T··=

2.2.6

(E) + EE' I (E) * EE' número E' +EE' I *EE' I ). (E) + EE' I (E) * EE' número E' I (E)

I variable E' I I variable E' I

Factorización a izquierdas

Otro problema común cuando se diseña una gramática es el hecho de que aparezcan producciones de un mismo símbolo no terminal en cuya parte derecha, la primera parte sea común. Por ejemplo, las siguientes producciones

26

CAPÍTULO

2.

LENGUAJES y GRA MÁT ICAS F OR~L-\LES

pueden estar tomadas de una gramática de un lenguaje de programación de alto nivel.

s .. =

e

e

If Then S Else S I If Then S I Repeat S U ntil I Repeat S Forever

e

donde ~T = {If,Then,Else,Repeat ,Until,Forever} y ~ N = { S. e } . Este problema presenta dificultades a la realización de compiladores para un lenguaje definido con esa gramática. El proceso que eli mina ese problema se denomina factori zación a izquierdas, cuyo algoritmo se detalla a continuación: Por cada A E ~N Si A ::= (3. all(3· a2 Entonces cambiar esas producciones por: A ::= (3. A' A' ::= alla2

Ejemplo: En el ejemplo anterior, la aplicación de la factorización a izquierdas crearía dos nuevos símbolos no terminales, A' y S' . y generaría las siguientes producciones.

S"=

A'··= S" '=

e

If Then S A' I Repeat S S' Else S I ,\ U ntil I Forever

e

LENGU AJES , GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

27

EJERCICIOS

Ejercicio

12.11

Dados los siguientes alfabetos: •

~¡

•

~2 = {a,b,c,d, e,j,g,h}

= {1 , 2, 3,4, 5, 6,7,8}

Y

y los lenguajes:

• •

L¡(~¡) =

~l} Y

L2(~2)

~2},

{xi x E = {xi x E

Definir los lenguajes Ll U L 2, L l . L2 Y (L 1 . L 2)2.

{xix E ~l ó x E ~2} = {1,2,3,4 , 5, 6, 7,8 ,a, b,c,d,e, j , g, h} {xylx E ~l e Y E ~2} = {la, 2a , . .. , 8a , lb, ... , 8b, ... , lh, ... , 8h} . En este caso, una numeración muy utilizada para los tableros de ajedrez es numerar las filas del 1 al 8 y las columnas de la a a la h, con lo que el lenguaje resultante de Ll . L 2 representaría todas las casillas del ajedrez .

• (L 1 • L 2)2

= =

{x2 = X • xix E (L¡ . L2)} = {lala , . .. , la8a , lalb, . .. , la8b, . .. , lbla , . . . , 8h8h}.

El número de palabras del lenguaje resultante sería I(L¡ . L2)21 = 84 .

c1

28

Ejercicio

CAPÍTULO

2.

LENGUAJES y GRAMÁTICAS F OrulALES

12.21

Supóngase que la Dirección General de Tráfico desea construir u sistema que sea capaz de determinar si una secuencia de símbolos forma una ma ríc ula española válida. Se pide diseñar el lenguaje que serviría de base para dicho sistema.

Se va a construir el lenguaje final en función de lenguajes más senc illos. Así, primero se definirá el lenguaje de los símbolos que representan a las provincias españolas: Lp = {A, AB, AL, ... , ZA}. Luego se define el lenguaje formado por los dígitos:

LD = {a, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8, 9} Otro lenguaje será el formado por las letras del alfabeto, exceptuando la Ñ, Q, R y las letras compuestas: LL = {A, B, C, ... , Z}. Como último lenguaje simple, se partirá del lenguaje formado por el guión: L e = { - } . A partir de estos lenguajes simples, se pueden ir realizando operaóones sobre lenguajes para formar el lenguaje final. Así, las matrículas antiguas, como, por ejemplo, M - 624945, se pueden definir como:

Las matrículas nuevas, como, por ejemplo, TE - 4123 - A ó SG - 2334 - LG se pueden definir como:

Habría que hacer una salvedad con algunas matrículas no permit idas, como, por ejemplo, las que tienen una combinación de dos letras finales con una A como letra final (BA , CA, .. . ). Si se denomina Lp al lenguaje formado por las combinaciones de dos letras no permitidas en las matrículas, el lenguaje que describe a las matrículas sería:

LENGUAJ ES, G RAM ÁTICAS y A UTÓ MATAS : UN E NFOQUE PRÁCTICO

Ejercicio

29

12.31

Supóngase que el Ministerio de Economía y Hacienda ha decidido aceptar las declaraciones de la renta interactivamente por Web. Para ello, el usuario de be rellenar los datos relativos a la declaración utilizando un interface que de be detectar errores en la entrada de datos. ¿Qué lenguajes describen los siguientes campos? 1. Los nombres y apellidos pueden ocupar un maxlmo de 40 caracteres, que podrán ser letras o guiones y pueden estar separados por blancos (nombres compuestos) .

2. La casilla correspondiente al DNI ,l puede rellenarse con el DNI o con el NIF. El DNI es una secuencia de, como máximo, ocho dígitos y el NIF se forma con el DNI seguido de una letra. 3. La dirección postal debe estar precedida de el si es una calle, Pza. si es una plaza, Avda. si es una avenida , o R. (resto) si no es ninguna de estas tres cosas, pudiendo aparecer en minúsculas o mayúsculas. A continuación debe estar el nombre de la calle , que debe ocupar un máximo de 50 caracteres en los que sólo pueden aparecer letras, espacios en blanco, o gUiones. 4. El número de la dirección postal debe ser una secuencia de, como máximo, cuatro dígitos. 5. El código postal está compuesto de cinco dígitos.

Se definen los siguientes alfabetos básicos y los lenguajes formados sólo por los símbolos de los alfab etos: • L: D =

{a, 1,2,3,4,5,6, 7,8, 9}

= LD

• L:L = {a, b,c, ... , z, A, B ,C, ... , Z}=LL

1

Documento N aciona! de Identidad

-

.....

,...,

30

CAPÍTULO

2. LENGUAJES y GRAMÁTICAS FO~~A LES

• L;e = { - } = Le • L;s = {/} = Ls • L;p={.}=Lp donde # representa al espacio en blanco. A partir de estos lenruajes, se van a formar los lenguajes pedidos: 1. LN = [LL U LB U Le]40 Si se quisiera evitar que aparecieran determinadas combinaciones no deseadas, como, por ejemplo, dos guiones seguidos o un guión seguido de un blanco, habría que cambiar la unión de los lenguajes por otra fórmula más específica. Por ejemplo, si se quieren evitar dos guiones seguidos, se podría poner:

L N= (LL U L B )40 U [(LLLLLL U LLLLLB U LLLLLe U LLL BLL U ULLLBL B U LLLBLe U LLLeLL U LLLe L BU ULBLLLL U LBLLLB U LBLLLe U LBL BLL U ULBLBL B U LBLBLe U LBLeLL U LBLCLB)13. ·(LL U LB)] = = (LL U LB)40 U [((LL U L B )3 U (LL U LB)Le(LL U LB )U U(LL U L B )2 Le)13 . (LL U LB)] Si se hace (LL U LB) = LLB, se tendría:

Lo que se ha hecho es enumerar las posibles combinaciones de los lenguajes LL , LB Y Le, que son los que pueden aparecer. evitando aquellas combinaciones en las que haya dos guiones juntos. Para ello, también hay que evitar que puedan aparecer al final de una combinación y al principio de otra, ya que, como se repiten 13 \'eces estas combinaciones de tres elementos (13 x 3 + 1 = 40). podrían aparecer dos guiones juntos de dos pasos consecutivos. 8

.

2. LD NI=[Ui=lLb]·(LLU{A}) Es decir, son todos los posibles números entre O y 99999999 seguidos . o no, de una letra.

.i


31

3. Como en el caso de la dirección, se marca cuáles serán los comienzos de los códigos ("el", "Pza.", "Avda." o "R."), el lenguaje se podría formar uniendo esos prefijos a un conjunto de letras, blancos y guiones cuya cardinalidad será 50 menos lo que ocupen cada uno de esos prefijos. Podría ser:

LDP =[( {e} U {e}) . Ls' (LL U LB U LC)48]U [({p} U {P})· ({z} U {Z})· ({a} U {A})· Lp' (LL U LB U LC)46]U [({a} U {A})· ({v} U {V})· ({d} U {D})· ({a} U {A})· Lp' (LL U LB U LC)45]U [({r} U {R})· Lp' (LL U LB U LC)48] 4. En el caso del número de la dirección, puede ser cualquier número entre O y 9999:

5. Por último, el código postal estaría formado por cinco dígitos obligatoriamente, pudiendo definirse como:

Realmente, habría que comprobar que el código postal es uno de los válidos. Para ello se podrían enumerar todos los elementos válidos del lenguaje Lc p y formar con esos un nuevo lenguaje L c pv. En los siguientes capítulos se estudiarán los autómatas, que son sistemas que permiten, dado un lenguaje y una palabra, decidir si la palabra pertenece o no al lenguaje. Esto permitiría, fácilmente , construir un autómata para cada uno de estos lenguajes y que se encargara de la labor de comprobación de que se han introducido los datos correctamente.

32

2.

CAPÍTULO

LENGUAJES y GRA~L\ nCAS F O RliU- ES

12.41

Ejercicio

Obtener derivaciones de las palabras 002 y 0001 a pa rtir de la . gramática:

G = ({O, 1, 2} , {A , B}, A, {(A

::=

OE) , (A ::= 2) , (E ::= OA ). (B

:: =

iente

)})

Describir el árbol de derivación y obtener el lenguaje que ge era .

Las palabras se pueden obtener por las siguientes derivacion • 002: A

--t

• 0001: A

OE

--t

--t

OB

OOA

--t

--t

OOA

002

--t

OOOE

--t

0001

Los árboles de derivación aparecen la figura adjunta.

A ° A

A

A

0)\

°

°A

A

I

°

2

B

I

Para obtener el lenguaje, habrá que analizar qué palabras pueden derivarse desde el axioma. ASÍ, se pueden obtener las siguientes derivaciones:

.A--t2 • A

--t

OB

--t

01

• A

--t

OB

--t

OOA

--t

002

• A

--t

OE

--t

OOA

--t

OOOB

--t

0001

• A

--t

OE

--t

OOA

--t

OOOE

--t

OOOOA

--t

00002

LENGUAJES , GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁ CTICO

33

Por tanto, puede aparecer un 2 precedido de un número par de Os ó un 1 precedido de un número impar de ls. Si se define un lenguaje Ll como:

y un lenguaje L2 como:

Entonces, el lenguaje generado por la gramática se puede definir como Le = Ll U L 2 , o, lo que es lo mismo:

Ejercicio

12.51

Dada la siguiente gramática, realizar factorización a izquierdas y eliminación de recursividad por la izquierda . G = ({ or,and,not,=,(.),id} , {C} , C, P) donde

P = {(C::= C and C), (C::= C or C), (C::= not C),

(C::= ( C

=C

)),

(C::= id)}

Para factorizar a izquierdas se reemplazan las dos primeras producciones por: G::=CG' G'::= or G I and C

A continuación, se elimina la recursividad por la izquierda de la producción (C :: =C C') creando un nuevo símbolo no terminal Gil y cambiando el conjunto de producciones P por:

...

34

CAPÍTULO

e::= not e e" I ( e

e'::= or e I and e

=

20 LENGUAJES

y GRA. L.\T1CA5 F Oru L-\ LES

e ) e" I id e"

e"::= e' e" I .\

Ejercicio

12.61

Dada la siguiente gramática, que utiliza la notación pola ca i ersa ( odos los operandos de las operaciones se colocan antes de los operadores), aa m ar a izquierdas y eliminar la recursividad por la izquierdao

G = ({id, num, fune , +, *, j, - , (,), o,;, <, >, =} , {S, N , M , 0 0R }o oP ) donde

P = {(S ::= S; S), (S :: = So), (S ::= (NNR)), (S ::= (idN = )) 0 (N ::= M NON), (N ::= M NO), (N ::= id), (N ::= num)o (M ::= N), (M ::= fune(N)) , (M ::= fune(M)) , (O ::= +), (O ::= *), (O :: = -), (O ::= j), (R ::= <), (R :: =», (R ::==)} Mostrar dos sentencias del lenguaje generado por la gramática . La factorización a izquierdas influye en las producciones:

(S ::= S; S) , (S ::= So), (S ::= (NNR)), (S ::= (idN =)) , (N ::= MNON), (N ::= MNO) , (M ::= fune(N)) , (M :: = func (.U )) Aplicando el algoritmo, quedarían como:

(S .. - SS') , (S' .. - , S) , (S' .. -., (S ::= (S") , (S" ::= NNR)) , (S" ::= idN =)) , (N ::= MNON ' ), (N' ::= N), (N' ::= .\), (M ::= fune(M / ), (M' ::= N)), (M' ::= M)) 00-

00 _

0

00-

)

La gramática modificada, quedaría: G' = (~~, ~~, S, PI)


35

donde

E!z, = ET = {id, num, fune,

+, *, /, -, (,),.,; ,<, >, =}

E~ = {S,S',S",N,N',M,M',O,R} p' = {(S ::= SS'), (S ::= (S"), -. S) , (S' .... -., - ) (S ' .... -, (S" ::= NNR)), (S" ::= idN =)),

(N ::= M NON') , (N ::= id), (N ::= num), (N' ::= N), (N' ::= .\), (M ::= N), (M ::= fune(M'), (M' ::= N)), (M' ::= M))} (O ::= +),(0 ::= *),(0 ::= -),(0 ::= /), (R ::=<), (R ::=», (R ::==)}

La recursividad por la izquierda aparece en las producciones correspondientes a 5, N Y M. Estas dos últimas en más de un paso. Para eliminar la recursividad por la izquierda en más de un paso, se recurre al algoritmo, ordenando los símbolos no terminales por el mismo orden en que aparecen en el conjunto E~, por ejemplo; Al = S, A 2 = S', ... , A g = R. Luego, se realizan bucles en los que se reemplazan las primeras apariciones de los símbolos no terminales en las partes derechas de las producciones por las partes derechas de las producciones de esos símbolos no terminales y se elimina la recursividad por la izquierda. • i = 1, j = 1 (S, S). Como i = j, no se hace nada en el primer paso, y

luego se elimina la recursividad por la izquierda de las producciones de S, generando un nuevo símbolo no terminal S"I , quedando sus producciones como: (S ::= (S" SIII) , (SIII ::= S' SIII) , (SIII ::= .\) • i = 1,j = 2 (S, S'). No hay producciones del tipo S ::= S' y ya se ha eliminado la recursividad por la izquierda de S, con lo que no se hace

nada en este punto. • Lo mismo pasa con i = 1 y j = 3.. 9, i = 2 Y j = 1..9, e z j = 1..3.

3,Y

• i = 3, j = 4 (S", N). En este caso, se sustituye la primera aparición del símbolo no terminal N en la producción (S" :: = N N R)) por to-

das sus producciones, transformando dicha producción en el siguiente conjunto:

.-

36

CAPÍTULO

2.

LENGUAJES y

GRA

{ÁnCAS f OR.).H L ES

(S" ::= MNON'NR)), (S" ::= idNR)) , (S" :: = n

-R

Como no hay recursividad por la izquierda en las prod se termina este paso.

e S" ,

• Para i = 3 y j = 5 no hay cambios, pero sí en el i = 3. = 6 (S", M) debido a los cambios producidos en S" en el pas enor. Es necesario cambiar la M que aparece como primer ' parte derecha de la producción (S" ::= MNON'NR )) por ~ partes derechas de sus producciones. Quedarían las nuevas prod uccion ~ de S" como: (S" ::= NNON'NR)), (S" ::= func(M'NON'NR ))

que se unirían a las anteriores producciones suyas. Como no hay recursividad por la izquierda, no hay más cambios. • Para i = 3 y j = 7.. 9 no hay cambios, así como para i = 4 Y j = 1.. 5. • i = 4,j = 6 (N, M). Se sustituye la M de la producción

(N ::= M NON') por sus producciones , quedando: (N ::= N NON') , (N ::= func(M' NON')

A continuación, se elimina la recursividad por la izquierda de _V . quedando sus producciones: (N ::= func(M' NON' N"), (N ::= idN") , (N ::= numN" ). (N" ::= NON' N"), (N" ::= >..)

• Para i

= 4, j

= 7 .. 9 e i = 5, j

= 1..3 no hay cambios.

• i = 5,j = 4 (N', N). Se realizan los mismos pasos anteriores . que-

dando las producciones de N' como: (N' ::= func(M'NON'N") , (N' ::= idN") , (N' ::= numN" ). (_ ' ::= >..)

• En los siguientes pasos, no hay más cambios hasta i = 6. j = 4 (M , N) , donde se sustituye la N en la producción (M ::= ) por sus producciones, quedando las producciones de M como:


37

(M ::= func(M' NON' N"), (M ::= idN") , (M ::= numN"), (M ::= func(M')

Como no hay recursividad por la izquierda, se termina al paso, no habiendo más cambios hasta i = 7,j = 4 (M', N), donde se sustituye la N en la producción (M' ::= N)) por sus producciones, quedando las producciones de M' como: (M' ::= fune(M' NON'N")), (M' ::= idN")), (M' ::= numN")) ,

(M'

::=

M))

No hay recursividad por la izquierda, con lo que se siguen los pasos hasta i = 7,j = 6. • i = 7, j = 6 (M' , M). Se sustituye la producción (M' ::= M)) por:

(M' ::= fune(M' NON' N")), (M' ::= idN")) , (M' ::= numN")) , (M' ::= fune(M'))

que no tiene recursividad. Como ya no hay ningún problema de recursividad, se terminaría el algoritmo de eliminación de la recursividad por la izquierda, quedando la siguiente gramática:

G" = (E"T' E"N' S , P") donde

E!f = ~~ = {id, num, fune , +, *, /, -, (,),., ; , <, >, =} E" = {S S' S" S'" N N' N" M M' O R} N " " " " " P' = {(S ::= (S"S"'), - ), (S' .... -_., S) , (S' .... -. (S" ::= NNON'NR)) , (S" ::= fune(M'NON'NR)) , (S" ::= idNR)) , (S" ::= numNR)) , (S" ::= idN =)) , (S'" ::= S' S"') , (S'" ::= ,\) (N ::= fune(M' NON' N"), (N ::= idN") , (N ::= numN") , (N' ::= fune(M'NON'N"), (N' ::= idN") , (N' ::= numN") , (N' ::= ,\),

I

38

CAPÍTULO

2. LENGUAJES

y

GRAMÁTICAS FORMALES

(N" ::= NON' N"), (N" ::= A) (M ::= func(M' NON' N") , (M ::= idN") , (M :: = numN" ). (M ::= func(M') (M' ::= func(M' NON' N")) , (M' ::= idN")) , (M' ::= numN")) , (M' ::= func(M')) (O ::= +) , (O ::= *), (O ::= -) , (O ::= j) , (R ::=<), (R ::=», (R ::==)}

Para obtener sentencias del lenguaje, no hay más que derivar desde el axioma, utilizando las producciones de la gramática. Si se utiliza la gramática primitiva (sería equivalente hacerlo con la nueva), y deriyando por la izquierda, se podrían obtener, por ejemplo, las siguientes dos sentencias:

.S -+ -+ -+ -+ -+

• S -+

S; S -+ (NNR) ; S -+ (id NR); S -+ (id MNOR) ; S-+ (id NNOR); S -+ (id num NOR); S -+ (id num num OR ): S -+ (id num num * R); S -+ (id num num * < ); S -+

* < ); S. -+ (id num num * < ); (id N (id num num * <); (id id =). (id num num

= ). -+

S . -+ (NNR). -+ (num NR). -+ (num num R). -+ (num num = ) .

Ejercicio

12.71

Dada la gramática G = {~T,~N,E,P}, donde ~T {E , T , F}, E es el axioma y Pes:

{a . - . x. ). 0,

~N =

E T F

E+ T I (E) I a

T*FI (E) I a (E) I a

Eliminar la recursividad por la izquierda y construir el árbol de de rivació n para las sentencias: a+a+a+a+a ya+(a+a).

Se eliminará primero la recursividad por la izquierda de la producción E::= E+T. Para ello, se añadirá un nuevo símbolo no terminal A y se sustituirá la producción por las siguientes producciones.


E

A

.. 00-

aA I a I (E)A +TA I +T

39

I (E)

El nuevo conjunto de producciones es: E A T F

0000

0000

00 00

0000

aA I a I (E)A +TA I +T T *F I (E) l a (E) I a

I (E)

Se eliminirá ahora la recursividad por la izquierda de la producción T : : = T * F introduciendo un nuevo símbolo no terminal B. Las nuevas producciones son:

T B

0000

0000

(E)B I aB *FB I *F

I (E) I a

El conj unto final de producciones es: E A T B F

0000

00 00

0000

0000

00 00

aA I a I (E)A I (E) +TA I +T (E)B I aB I (E) I a *FB I *F (E) I a

Las figura 2.2 muestra el árbol de derivación de la primera sentencia y la figura 2.3 el á.rbol de derivación de la segunda.

40

CAPÍTULO

2. LENGUAJES

+

y GRA ~L~TI C.\.S f O IDL\L ES

T

A

1\

a

+

a

+a+a

Figura 2.2: Arbol de derivación para la sentencia a

- a - a.

T

+

(

E

)

/\ a

A

1\T

+

I a Figura 2.3: Arbol de derivación para la sentencia a

+

(a

+ a).


Ejercicio

41

12.81

Dados los siguientes lenguajes:

• Ll = {raíces de los verbos regulares de la primera congujación} • L 2 = {terminaciones de presente de indicativo de la primera congujación} • L3 = {raíces de adjetivos calificativos que admiten desinencia de género}

• L4 = {morfemas de género}

• L5 = {morfemas de número} Definir los lenguajes de las formas verbales regulares de presente de indicativo y de los adjetivos calificativos masculinos y femeninos tanto singulares como plurales. Simplificando estos lenguajes pueden ser:

• Ll = {cant, am, salt, ... } • L2

= {o, as, a, amos, ais, an }

• L3 = {bonit, ric, guap, amarill, ... }

• L4 = {o, a }

• L5

=

{A, s }

Así, L 1 ·L 2 define el lenguaje de las formas verbales regulares de presente de indicativo de la primera conjugación: Ll . L 2 = {canto, cantas, ... , ama, amamos, . .. , saltais, saltan, ... } Para los adjetivos, L3 . L4 incluye los adjetivos masculinos y femeninos : L3 . L4 = {bonito, bonita, amarillo, amarilla, ... } Por último, el lenguaje L 3·L 4·L 5 incluye también los adjetivos singulares y plurales, pues: L3 . L4 . L 5 = {bonito, bonita, bonitos, bonitas, amarillo, amarilla, .. . }

...

Capítulo

3

GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓMATAS FINITOS

En este capítulo se van a estudiar las gramáticas regulares, de tipo 3 según la clasificación de Chomsky. A continuación, se tratarán los autómatas que reconocen el lenguaje generado por una gramática de ese tipo: las Máquinas Secuenciales; los Autómatas Finitos Deterministas, No Deterministas, y Probabilísticos; y los autómatas de Células de McCulloch-Pitts. También se estudiarán las Expresiones Regulares que permiten describir de forma concisa el lenguaje generado por una gramática de tipo 3 (Lenguajes Regulares) y, por tanto, aceptado por un autómata de los tipos enunciados anteriormente.

3.1

Gramáticas regulares

Las Gramáticas Regulares son el tipo más específico de gramática según la jerarquía de Chomsky. Como se ha visto, las producciones pueden ser de dos tipos, según sea regular (lineal) por la derecha o por la izquierda: • Lineales por la izquierda:

p

=

{(S

::=

A) ó (A

::=

Ba) ó (A

::=

a)IA, BE ¿'N, a E ¿'T}

• Lineales por la derecha: p = {(S ::= A) ó (A ::= aB) ó (A ::= a)IA,B E ¿'N,a E ¿'T}

43

44

CAPÍTULO

3.

GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓMATAS FI ITOS

A continuación, se estudiará la equivalencia entre ambas representaciones, ya que, para cada Gramática Lineal derecha existe una Gramática Lineal izquierda equivalente y viceversa. El algoritmo para convertir una gramática lineal derecha en otra equivalente lineal izquierda tiene cuatro pasos: 1. Se transforma la gramática de forma que no haya ninguna regla en cuya parte derecha esté el axioma de la gramática (cuando esto ocurre se denomina axioma inducido) . Para ello, se aplica el si!!UÍente proceso: • Se crea un nuevo símbolo no terminal S'. • Por cada regla de la forma S ::= x, donde S es el axioma. y x E ~*, se crea una nueva regla S' ::= x. • Cada regla de la forma A transforma en A ::= xS'y.

xSy (A E

~ N,

x, Y E L' ). se

2. Se crea un grafo G dirigido: • Para cada A E

~N

U {A} se crea un nodo.

• Para cada producción (A ::= aB) E P (A, B E ~ N, a E LT ). se crea un arco etiquetado con a que va del nodo A al nodo B. • Para cada producción (A ::= a) E P (a E ~T) , se crea un arco etiquetado con a que va del nodo A al nodo A. • Si existe una regla S ::= A, se crea un arco sin etiqueta de de el nodo del axioma al nodo A. 3. Se crea otro grafo G' a partir de G: • Se intercambian las etiquetas del axioma, S, y A. • Se invierte la dirección de todos los arcos. 4. Se transforma en un conjunto de reglas: • Para cada nodo, se crea un símbolo no terminal de la gramática, excepto para el etiquetado como A. • Para cada arco etiquetado con a E ~T que va del nodo A E al nodo B E ~N U {A} , se crea una producción A ::= B a.

~N

• Si existe un arco del nodo del axioma al nodo de A, se crea una regla S ::= A.


El algoritmo para realizar el paso inverso es similar al descrito. Ejemplo: Supóngase la siguiente Gramática Lineal derecha.

G IO = ({O,l},{A , B},A,P) P = {(A ::= lB), (A ::= A) , (B ::= OA), (B ::=

On

La Gramática Lineal izquierda equivalente se formará en los siguientes cuatro pasos: 1. Se transforma la gramática de forma que no aparezca la A en la parte derecha de la producción B ::= OA. • Se crea un nuevo símbolo A' • Se crean las reglas A' ::= lB y A' ::= A • Se crea la regla B ::= OA' • Se borra la regla B ::= OA. La gramática queda como: GlOl

= ({O,l},{A,B , A'} , A,P)

P = {(A ::= lB), (A ::= A), (A' ::= lB), (A' ::= A), (B ::= OA' ), (B ::=

On

Como la gramática, por definición, no puede tener la regla A' ::= A, ya que A' no es el axioma, se elimina dicha regla y se sustituye la A' en todas las producciones en las que aparezca en la parte derecha, quedando la gramática como: = {{O, l} , {A, B, A'}, A, P) P = {(A ::= lB), (A ::= A), (A' ::= lB), (B ::= OA' ), (B ::= O)} GlOlI

2. Se crea un grafo que representa las transiciones de esta gramática (figura 3.1). 3. Se invierte el grafo, tal como se muestra en la figura 3.2. 4. Se transforma el grafo en la siguiente gramática: GlOlIl = ({O , l} , {A,B,A'} , A,P) P = {(A ::= BO), (A ::= A), (A' ::= BO) , (B ::= A'l), (B ::=

In

45

46

CAPÍTULO

3.

GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓ MATAS FINITOS

Figura 3.1: Grafo construido a partir de la gramática G lO

Figura 3.2: Grafo construido a partir invertir el grafo en la fi!!UIa3. l.

3.2

Máquinas Secuenciales

Las Máquinas Secuenciales representan un tipo de autómata que es capaz de, dada una palabra de entrada, generar otra palabra de salida. Para ello, se definen un conjunto de estados, que "memorizan" la parte de la palabra de entrada leída en cada momento y generan, al mismo tiempo que transitan entre los estados, una salida. Se pueden ver como un autómata que tiene dos cintas asociadas: una por la que va leyendo las palabras de entrada, y otra de salida, en la que va generando la salida. En es a sección se tratarán los aspectos básicos de este tipo de autómatas.

3.2.1

Definición

• Máquina finita de Mealy: es una quíntupla definida como

donde


~E

es el alfabeto de símbolos de entrada

~s

es el alfabeto de símbolos de salida

Q es el conjunto finito no vacío de estados

f es la función de transición definida como: f :Q

x

~E

---+ Q

- 9 es la función de salida, definida como:

9 :Q

X ~E

---+

~s

Ejemplo: Supóngase la siguiente Máquina Secuencial, que genera como salida una p en el instante t si hasta ese instante de tiempo ha recibido en la entrada un número par de unos (considerando la entrada que no contiene ningún 1 como número par de unos), y genera una i en la salida si hasta ese instante ha recibido un número impar de unos en la entrada.

Af1

= ({O,I},{p,i},{qO,ql},f,g)

donde

f(qo, O) f(qo , 1) f(ql, O) f(ql, 1)

= qo = ql = ql = qo

g(qO, O) g(qO , 1) g(ql , O) g(ql , 1)

= p = i = i

= P

47

48

CAPÍTULO

3.


El comportamiento de las Máquinas Secuenciales es el siguiente: la máquina dispone de un conjunto de estados que modelizan los diferentes momentos en los que puede estar a la hora de resolver un problema. En este caso, hay dos estados, qo, que simboliza el estado en el que, hasta ese instante, se han leído un número par de unos en la entrada . y qI, que representa el hecho de que se han leído un número impar de unos en la entrada. La función ¡ permite transitar de un estado a otro en cuanto lee un 1 en la entrada (porque hay cambio de par a impar o viceversa), y transita al mismo estado en el que se encuentre (no cambia de estado ) si se lee un 0, ya que no cambia la salida (de par a impar o viceversa). La función g genera la salida correspondiente a ese instante. En este caso, si está en el estado qo y lee un o. sigue habiendo leído un número par de unos en la entrada. con lo que generará una p en la salida. Esto es debido a que, si está en el estado qo es porque hasta el momento de leer el siguiente dígito de la entrada, había leído un número par de unos, y si ahora lee un 0, el número de unos leídos en la entrada no cambia y, por tanto, seguirá siendo par. Así se razona con el resto de las salidas que genera la función g . • Máquina finita de Moore: es una definición alternativa de Máquina Secuencial en la que la función g sólo depende del estado en el que se esté. La definición será:

MO = CEE, L.S, Q, ¡, g) donde la única diferencia con respecto a la definición de Mealy es que la función de salida g se define como: g :

Q -+ L.s

Ejemplo: Una Máquina de Moore que realiza la misma labor que la MI definida anteriormente, sería:

M2 donde

=

({O,l},{p,i},{qO,ql},¡,g)

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

f(qo , O) = qo f(qo, 1) = qi f(qi, O) = qi f(qi , 1) = qo

g(qo)

49

=P

g(qd = i

En el caso de las Máquinas de Moore, generan en la salida el correspondiente símbolo del estado en el que estén después de realizar cada tansición. Siempre que esté en el estado qo genera una p en la salida, y siempre que esté en el estado qi genera una i en la salida. La diferencia fundamental entre los dos tipos de Máquinas Secuenciales es que las ~áq~!!l_as_Q~Mealy suponen velocidad de proceso infinita, ya que estas máquinas generan una salida inmediatamente después de recibir la entrada, y, p-or" erconfiari¿~' las ' cleMoore suponen v~íocida,d finiÍa; que la respuesta sólo dep~n:Qe~I~.~g.dQ en el que se encu~J1t.r~J-ª- má
una

3.2.2

ya,

Representación

Existen tres formas equivalentes de representar una Máquina Secuencial:

IQI x I~ E I elementos para representar la función f y una matriz de IQI x I~ E I elementos (ó IQI para las Máquinas de Moore) para representar la g, tal como se muestra en la figura 3.3. Los estados aparecen en las filas de todas las tablas, mientras que los símbolos del alfabeto de entrada aparecen en todas las tablas, menos en las tablas de la función de salida de las Máquinas de Moore.

• Tablas de transición y de salida: se crea una matriz de

En el caso de las tablas que representan la función f, la posición (qi, ej) está ocupada por el estado qk al que se transita en el caso de que se esté en el estado qi y se lea en la entrada el símbolo ej. En las tablas que representan la función de salida, la posición (qi, ej ) (o qi si es de Moore) está ocupada por el símbolo Sk que se genera en la salida al estar en el estado qi y recibir en la entrada el símbolo ej (o simplemente haber transitado al estado qi en las Máquinas de Moore) . Ejemplo: Las máquinas Mi y M 2 definidas anteriormente se representarían como:

50

3.

CAPÍTULO


~E

~E

Q ql

I el I ... I em I ... qj qi

ql

Si

. ..

Sj

Sk

. ..

Sl

(b)

gME

.. .

.. . qn

Q I el I ... I em I

... (a) f

qk

qn

ql

Figura 3.3: Ejemplos genéricos de tablas que representan la fun ción de transición f de una Máquina Secuencial (a), la función de salida 9 _\f E de una Máquina de Mealy (b) o la función de salida gMO de una Máquina de Moore (c), donde ei E ~E, qi E Q y sr E ~s · ~E

Q qo

qo

ql

ql

ql

qo

lO

1

1

I

~ ~ gMl

• Tabla única de transición y de salida: las dos funciones se pueden representar en una sóla tabla, en la que, en las Máquinas de :\ Iealy, en cada posición (qi, ej) aparecerá el estado al que se t rans ita y la salida correspondiente, si, estando en el estado qi se lee de la ent rada el símbolo ej. En el caso de las Máquinas de Moore, las filas están etiquetadas como Q /~ s y el significado de las posiciones es el mismo que en las tablas anteriores. La figura 3.4 muestra la representación genérica. • Diagramas de transición: son representaciones gráficas de las Máquinas Secuenciales. Mealy: se crea un grafo dirigido en el que

* *

para cada estado qi E Q se crea un nodo, y para cada transición f(qi,ej) = qk Y g(qi ,ej) = un arco de qi a qk etiquetado con ej / SI

SI .

se crea

Moore: se crea un grafo dirigido en el que

*

para cada estado qi E Q, si etiquetado qd S j, y

g(qd = Sj ,

se crea un nodo

51


~E

Q

I

ql

el qi/sp

l··· I ...

em qj/Sr

.. . qk/Ss ... qt!St (a) f/gME

qn

qn/Sr qk (b) f /gMO

q¡

...J

Figura 3.4: Ejemplos genéricos de tablas únicas que representan la función de transición y la de salida de una Máquina Secuencial de Mealy (a) , y de una Máquina de Moore (b), donde ei E ~E , qi E Q y Si E ~s.

*

para cada transición f (% ej) = qk, se crea un arco de qi a qk etiquetado con ej.

Ejemplo: Las figuras 3.5(a) y 3.5(b) muestran la representación de las máquinas MI y M 2 utilizando diagramas de transición. l/í

O/p

~

C6J

Olí

@~

~ l/p

(a)

(b)

Figura 3.5: Diagramas de transición de la Máquina de Mealy MI (a) y la de Moare M 2 (b)

3.2.3

Extensión a palabras de la entrada y salida

En lugar de tratar uno a uno los símbolos de la entrada y generar uno a uno los símbolos de salida, se va a estudiar cómo se puede tratar una secuencia seguida de entradas y generar la salida correspondiente por medio de una extensión de las definiciones anteriores.

52

CAPÍTULO

3.


Extensión de Mealy La función de transición

f se redefine como: f: Q x ~E -+ Q

Además,

f(q , ax) = f(J(q, a), x) para cada q E Q, a E f(q, >') = q para cada q E Q

~E ,

x E

~E

donde >. es la palabra vacía. Es decir, para una palabra formada por varios símbolos, el estado al que transita la Máquina Secuencial es el correspondiente a transitar con cada uno de los símbolos. La función de salida, g, se redefine como:

g: Q x ~E -+ ~s y, a las salidas anteriores, se les añaden las siguientes salidas correspondientes a palabras de longitud cero o mayor que uno:

g(q, ax) = g(q, a) . g(J(q, a) , x) para cada q E Q, a E g{q, >') = >. para cada q E Q

~E , X E ~E

La salida que se genera es la correspondiente a concatenar la salida producida con cada uno de los símbolos de la entrada y sus transiciones.

Ejemplo: Si la palabra de entrada es 01001 y la máquina MI comienza en el estado qo , MI generaría el siguiente comportamiento en cuanto a transiciones y salida: f(qo, 0100) =

=

f(J(qo, 0),100) = f(qo, 100) = f(J(qo, 1) , 00) = f(qI, 00) = f(J(qI, O), O) = f(qI, O) = f(f(qI,O),>.) = f(qI,>') = qI

y, al mismo tiempo:

g(qO , 0100) =

g(qO , O)g(J(qO, 0) , 100) = pg(qO , 100) = pg(qO, 1)g(f(qo , 1) ,00) = pig(qI, 00) = pig(qI, O)g(J(qI , O), O) = piig(qI , O) = piig(qI, O)g(J(qI, O), >') = piiig(qI, >') = piii


53

Extensión de Moore Se redefinen

f y 9 de la misma forma que para las Máquinas de Mealy.

• f: Q x ~E -+ Q

• g: Q -+ ~s Pero se añade una nueva función de salida de palabras g' definida como: g' : Q x ~E -+ ~s

También se cumplen las siguientes igualdades:

• f(q, ax) = f(J(q, a), x) (Vq E Q, a E ~E, • f(q, A)

= q (Vq

• g'(q , ax)

E

X E ~E)'

Q)

= g(q) . g'(J(q, a) , x), (Vq

E

Q, a E ~E,

X E ~E)

• g'(q, A) = A (Vq E Q) donde, a la hora de calcular la función de salida, g', de una palabra se utiliza la función de salida, g, de un único símbolo. Hay que tener en cuenta que a la hora de calcular la función salida, hay que realizar primero la transición. Así, la primera salida será la correspondiente al estado al que se llega desde el estado inicial y el primer símbolo de la entrada. Ejemplo: Si la máquina M 2 recibe como entrada la palabra 01001 y comienza en el estado qo , generaría el siguiente comportamiento en cuanto a transiciones y salida:

f(qo,0100)

=

f(f(qo,0),100) = f(qo,100) = f(f(qo,l),OO) = f(qI,OO) = f(J(qI, O), O) = f(qI, O) = f(f(qI,O),A) = f(qI,A) = qI

y, al mismo tiempo:

g'(qo,0100)

=

g(qo)g'(J(qO, 0),100) = pg'(qO, 100) = pg(qI)g'(J(qO , 1),00) = pig'(qI, 00) = pig(qdg'(J(qI , O), O) = piig'(qI, O) piig(q¡)g'(f(qI, O), A) = piiig'(qI , A) = piii

=

54

CAPÍTULO

3.


Función respuesta de una Máquina Secuencial A partir de las funciones de salida y con el objetivo de unificar los dos tipos de Máquinas Secuenciales, se define una función respuesta, h, de la siguiente forma: Vq E Q, x E

~E, h(q, x) =

{

g~(q, x)) g q,x

si es de Mealy si es de Moore

Dada esa nueva función, en cada Máquina Secuencial se cumplen los siguientes teoremas: • Vq E Q, x E ~E' Ih(q, x)1 =

Ixl

• Vq E Q, x, y E ~E' f(q, xy) = f(f(q, x), y) • Vq E Q, x, y E ~E' h(q, xy) = h(q, x) . h(f(q, x), y)

Ejemplo: Dada la máquina MI , se define la h(q, x) = g(q , x) Vx E {O, 1} * ,q E {qo, ql}. Entonces, se cumplen, entre otras , las siguientes igualdades (provenientes de los teoremas):

• Ih(qo, 0100)1

= 101001 = 4,

lo cual se cumple al ser

h(qo, 0100) = g(qO , 0100) = piii • f(qo, 0100) = f(f(qo, 01) , 00) Por una parte, f(qo,0100) = ql como se ha mostrado en ejemplos anteriores. Por otra parte, f(f(qo,Ol),OO) =

f(f(f(qo,O), 1),00) = f(f(qo , 1) , 00) = f(ql , 00) = f(f(ql , O) , O) = f(ql , O) = f(f(ql,O) , A) = f(ql,A) = ql

• h(qo , 0100) = h(qo, 01)f(f(qo, 01), 00) Por una parte, h(qo , 0100) = piii como se ha mostrado en ejemplos anteriores. Por otra parte,

L ENGUAJES , GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

h(qo,OI)h(f(qo,OI),OO) =

3.2.4

55

h(qo ,O)h(f(qo , O) , I)h(f(qo , OI) , OO) = ph(qo, l)h(ql,OO) = pih(ql,O)h(f(ql,O),O) = piih(ql , O) = piih(ql, O)h(f(ql , O) , >.) = piiih(ql, >.) = piii c.q.d.

Equivalencia de Máquinas Secuenciales

Dadas dos Máquinas Secuenciales es importante saber si, dadas las mismas palabras de entrada generan la misma salida; es decir, si son equivalentes. Para poder analizar cuándo dos máquinas son equivalentes, se van a definir primero unos conceptos básicos. Definiciones • Equivalencia de estados: dos estadosql, q2 E Q son equivalentes, qlEq2 , si para cada palabra x E ¿:E se cumple que la salida generada comenzando por ql y recibiendo x como entrada, genera la misma salida que comenzando por q2 y recibiendo x como entrada:

h(ql ,X )

= h(q2,X )

Ejemplo: Dada la siguiente Máquina Secuencial: A/3 = ({0 , 1} , {p ,i }, {qO , ql , q2} , f , g)

donde

f

y 9 serán:

f(qo, O) f(qo , 1) f(ql , O) f(ql, 1) f(q2 , O) f(q2 , 1)

= q2 = ql = ql = qo = qo = ql

g(qO, O) g(qo, 1) g(ql, O) g(ql, 1) g(q2 , O) g(q2 , 1)

= p = i = i = P = P = i

....

56

CAPÍTULO

3. GRAMÁTICAS REGULARES

y AUTÓMATAS FINITOS

Los estados qo y q2 son equivalentes (q OEq2)' Pese a que no se va a demostrar formalmente, esto es debido a que, para cualquier palabra formada con los símbolos del alfabeto de entrada, la salida es la misma empezando en cualquiera de los dos estados . Así, por ejemplo: h(qo, 011) = =

h(qo, O)h(f(qo, O), 11) = ph(q2 , 11) = ph(q2, 1)h(f(q2, 1), 1) = pih(ql , 1) = pip

y

h(q2,011) =

h(q2, 0)h(f(q2, 0),11) = ph(qo, 11) = ph(qo, l)h(f(qo, 1), 1) = pih(ql , 1) = pip

Lemas

• Lema 1: Si Vql , q2 E Q, x E ¿,'E, q1 Eq2 entonces f(ql , x)Ef(q2, x) • Lema 2: Para cada estado q E Q, qEq

Ejemplo: En el ejemplo anterior, para comprobar si se cumple el lema 1 para los estados qo y q2, a partir de que qOEq2, se va a estudiar si se cumple que f(qo, x)Ef(q2 , x) para una palabra x concreta. Así, si x = 011 , f(qo , 011) = qo y f(q2,011) = qo. Como, por el segundo lema, qoEqo , se demuestra que f(qo, 011)Ef(q2, 011) .

• Equivalencia de longitud n: dos estados ql, q2 E Q son equivalentes de longitud n, q1 E n q2 , si son equivalentes (h(ql , x) = h(q2, ~)) cuando la palabra de entrada x E ¿,'E es de longitud n (Ixl = n). Ejemplo: En la máquina M4 definida como:

M4 = ({0,1},{p,i},{qO,ql,q2,q3},f,g)

donde

f

y 9 serán:

57

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS : UN ENFOQUE PRÁCTICO

f(qo , O) f(qo, 1) f(ql, O) f(ql , 1) f(q2, O) f(q2, 1) f(q3 , O) f(q3, 1)

= q2 = qo = q3 = ql = qo = ql = qo = ql

g(qo, O) g(qO, 1) g(ql, O) g(ql, 1) g(q2, O) g(q2, 1) g(q3, O) g(q3 , 1)

=P =i =P =i =P =i =i =P

1 1i

e

CJo

~@

)",

O/p

01, (

)

IIp

6) ___________ @0 1 1i

I1 i

En este caso, qOE 1 ql, ya que, para cualquier palabra x de longitud 1, se cumple que h(qo, x) = h(ql, x) . Sin embargo, para palabras de longitud 2, ya no se cumple, dado que, por ejemplo, si x = 00:

h(qo,OO)

= h(qo, O)h(J(qo, O), O) = ph(q2, O) = pp

h(ql , OO) = h(ql,O)h(J(ql,O),O) =ph(q3,0) = pi

• Equivalencia entre estados de Máquinas Secuenciales diferentes Si se tienen dos Máquinas Secuenciales MI y M 2 definidas como: MI = ('EE, 'Es, Ql, h, gd M 2 = ('EE, 'Es, Q2, 12, g2)

Dos estados p E Ql Y q E Q2, son equivalentes, pEq, si y sólo si

h 1 (p , x) = h2(q , X) ,Vx E

'EE

• Equivalencia de Máquinas Secuenciales Dos Máquinas Secuenciales MI y M 2 son equivalentes, MI EM2 , si y sólo si para cada estado pE Ql, existe un estado q E Q2 tal que pEq y, además, para cada estado q E Q2, existe otro estado p E Ql tal que pEq.

58

CAPÍTULO



Cálculo del conjunto cociente La relación de equivalencia entre estados definida anteriormente particiona el conjunto de estados en subconjuntos (clases de equivalencia) en los que los estados pertenecientes a una misma clase son todos equivalentes entre sí. Esta partición se denomina conjunto cociente, Q/ E , generado por la relación de equivalencia E. El procedimiento para su cálculo se muestra en la figura 3.6. En cada iteración, el procedimiento calcula las part iciones de equivalencia con las relaciones sucesivas de longitud i. Así, se comienza calculando el conjunto cociente de la relación de equivalencia de longitud 1, Q/ El, Y se continua hasta que dos conjuntos cociente seguidos son iguales, Q / Ei = Q / E i+l ' En este caso, se habrá encontrado el conjunto cociente de la relación de equivalencia, Q/ E.

Función Conjunto-Cociente (M): QE M: entrada a la función, Máquina Secuencial definida por (~E, ~s , Q, f, g) QE: salida de la función , conjunto cociente de la Máquina Secuencial

Para todos los estados p, q E Q Si Va E L, E se cumple h(p, a) = h(q, a) Entonces p y q estarán en la misma clase ci E Q/ El ; i:=l; Repetir Para todos los estados p, q E Q Si p, q E Cj E Q/ Ei y Va E L,E, f(p , a) E cm, f(q , a) E Cm, Cm E Q/ Ei Entonces p y q seguirán estando en la misma clase i:=i+1 Hasta que Q/ Ei-l = Q/ E i ; Devolver Q/E = Q/Ei

Cj E

Q / E i+ 1 ;

Figura 3.6: Procedimiento de cálculo del conjunto cociente de una Máquina Secuencial.

59

LE" GUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

Ejemplo: Supóngase la siguiente Máquina Secuencial:

donde

f y 9 serán:

f(qo, O) f(qo , 1) f(ql, O) f(ql, 1) f(q2, O) f(q2, 1) f(q3, O) f(q3, 1)

= q3 = q2 = q3 = ql = qo = ql = qo = q2

g(qo, O) g(qO, 1) g(ql, O) g(ql,1) g(q2, O) g(q2, 1) g(q3, O) g(q3, 1)

=a =b =a =b =b =a =a =b

O/a

!Jo

~@

)0"

1/ b

I/b

) o,.

6)~@;) l/a

I/b

En el conjunto cociente inicial, Q/ El, estarán en la misma clase los estados tales que la salida con cada símbolo de entrada sea la misma, o, lo que es lo mismo, que sean equivalentes de longitud 1 (pE l q). Así, qo y q3 estarán en la misma clase, ya que

h(qo, O) = a h(qo, 1) = b

h(q3, O) = a h(q3, 1) = b

Sin embargo, qo y q2 no estarán en la misma clase, ya que

h(qo, O)

=a

h(q2, O)

=b

El conjunto cociente inicial quedará como:

En el siguiente conjunto cociente, Q/E2, dos estados estarán en la misma clase si estaban ya en la misma clase en Q/ El Y para cada símbolo de entrada las transiciones respectivas desde cada estado con cada símbolo llevan a estados que estuvieran en la misma clase en el conjunto cociente anterior. En este caso, qo Y q3 seguirán en la misma clase de equivalencia ya que pertenecían a la misma en Q/ El y, además:

60

CAPÍTULO

3.


j(qO, O) = q3 j(qO , 1) = q2

j(q3 , O) = qo j(q3 , 1) = q2

y q3 Y qo estaban en la misma clase de equivalencia en Q/ El , al igual que, trivialmente, q2 y q2. Por tanto, Q/ E 2 será:

Como Q/ E 2 =F Q/ El, se continua con el algoritmo, formando Q/ E 3. Ahora se puede comprobar que:

Por tanto, el algoritmo termina y el conjunto cociente será:

Minimización de Máquinas Secuenciales U na vez definido el conjunto cociente, se puede calcular la Máquina Secuencial mínima equivalente a otra. Es decir, una Máquina Secuencial con el mismo comportamiento, pero con el menor número de estados. Si M = (L.E, L.s, Q, j, g)

se define la Máquina Secuencial mínima como: M' = (L.E , L.S, Q',1', g')

donde • Q' = Q / E; es decir, los estados de la máquina mínima son las clases de equivalencia del conjunto cociente

• j'(e, a) = e' si (Vq E e,j(q,a) E e') donde e,e' E Q/E • h'(e,a ) = h(q,a), (Vq E e) donde e E Q/E • g' es la función salida correspondiente a h'

1

61


Ejemplo: Dada la Máquina Secuencial M5 definida en el ejercicio anterior, su Máquina Secuencial mínima equivalente sería: M~ = ({0,1},{a,b,c},{CO,Cl,C2},!"g')

donde

ca = {qO , q3}, Cl = {qt} y C2 = {q2} Y l' y g'

¡'(ca, O)

= Co ¡'(co, 1) = C2 ¡'(Cl , O) = Co ¡'(Cl, 1) = Cl j'(C2, O) = Co j'(C2 , 1) = Cl

g'(Co , O) g'(co , l) g'(Cl , O) g'(Cl , 1) g'(C2, O) g'(C2, 1)

serán:

= a = b = a

= b = b = a l/a

3.2.5

l/b

Equivalencia de Máquina de Mealy y Máquina de Moore

Toda Máquina de Mealy se puede transformar en una equivalente de Moore :' viceversa. A continuación, se presentan cuáles son los procedimientos a seguir en cada caso . • Mealy -+ Moore: dada la Máquina de Mealy, M E = (~E , ~s , Q, ¡, g), se construye una Máquina de Moore de la siguiente forma: MO = (~E , ~s , Q' , !"g')

donde, por cada transición y salida que cumplan

¡(q, a)

=

p, g(q, a)

= b, (q ,p E

Q, a E

~ E, b E ~ s)

se crea: - Un estado pb E Q' en el que su función de salida será g'(pb) = b, y

62

CAPÍTULO

3.

GRAMÁTICAS REGULARES y A UT ÓMATAS FINITOS

- U na transición

f' (qS , a)

= pb para cada estado qS. s E

L: s.

Si a un determinado estado q E Q no llega ninguna transición, se crea un nodo etiquetado con qA. Ejemplo: Dada la Máquina de Mealy M~ definida anteriormente, minimización de la M 5 , se define la Máquina de Moore equivalente como:

M6 = ({O,l},{a,b,c},Q',j',g') donde:

f(co, O) = Co, g(co, O) cg E Q',g'(cg) = f(co , 1) = C2, g(co, 1) c~ E Q', g'(c~) = f(Cl , O) = cO , g(Cl , O) cg E Q',g'(cg) = f(Cl,l) = cl,g(Cl , 1) c~ E Q', g' (C~) = f(C2,0) = cO,g(C2,0)

a Entonces a,j'(cg,O) = cg y f'(c~,O) = cg = b Entonces b, f'(cg, 1) = c~ y f'(c~, 1) = ~ = a Entonces =

a,f'(c~,O) = cg y f'(c~,O) = cg

= b Entonces b, f' (c~ , 1) = c~ y f' (c~, 1) = c~

= b Entonces

c~ E Q',g'(c~) = b,f'(c~,O) = c~ y f'(c~,O) = c~

f(C2, 1) = Cl, g(C2, 1) = a Entonces c~ E Q' , g'(c~) = a, f'(c~, 1) = c~ y f'(c~, 1) = c~ Por tanto, Q' = {cg , c~ , c~ , c~ , c~}, ya que el estado c~ no se ha creado. También se eliminarían las transiciones correspondientes a dicho estado . • Moore -t Mealy: dada la Máquina de Moore, MO = (L:E, L:s , Q, f,g), se construye una Máquina de Mealy de la siguiente forma M E = (L:E, L:s , Q, f , g') donde, por cada transición y salida en el que se cumpla

f(q, a) = p, g(q) = b, (q,p E Q, a E L:E , bE L:s) se define g'(q, a) = b.

LENGUAJES, GRAMÁTIC AS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

63

Ejemplo: Dada la Máquina Secuencial de Moore M 2 , definida al principio del tema de Máquinas Secuenciales, se crearía la de Mealy equivalente como: M~ = ({O , l} , {p,i} , {qo,qd , f ,g')

donde

f(qo , O) f(qo , 1) f(qI,O) f(ql , 1)

3.3

= = = =

qO ,g(qo) ql,g(ql) ql, g(qd qo,g(qo)

= P Entonces g'(qO , O) = P = i Entonces g'(qO, 1) = i = i Entonces g'(ql,O) = i = P Entonces g'(ql, 1) = P

Autómatas Finitos Deterministas (AFD)

Se pueden considerar a los Autómatas Finitos como una subclase de las Máquinas Secuenciales. La principal diferencia está en que la salida, en cada momento, está liml§.Q-ª-ª..Q.Q_~U~:<:l:!or_es : aceptada la palabra de entrad~¡ !l-"!:.
3.3.1

Definición

Se define un Autómata Finito Determinista como la tupla:

AF D = ('r" Q, f , qo, F) donde •

~

es el alfabeto de símbolos de entrada

• Q es el conjunto de estados

64

CAPÍTULO

3.


• qo E Q es el estado inicial • F

~

Q es el conjunto de estados finales

• f es la función de transición entre estados, definida como f:Qx'L.-tQ

Como se ha comentado, un AF genera un sólo tipo de salida: aceptación, si están en un estado del conjunto F; o no aceptación si no están en un estado de F. El comportamiento es similar al de las Máquinas Secuenciales: comienzan en el estado inicial, y según se van recibiendo los símbolos de la entrada transita entre los estados, de acuerdo a la función de transición f. Si en un determinado momento se encuentra en un estado de aceptación, reconoce como válida la palabra formada por los símbolos de entrada leídos hasta ese momento. Si no, no es aceptada. Ejemplo: El siguiente autómata acepta, como se estudiará más adelante, un número par de unos en la entrada y no acepta un número impar.

donde

f se define como: f(qo , O) = qo f(qo, 1) = ql f(ql, O) = ql f(ql , 1) = qo

Si la palabra de entrada es 0110, el autómata irá transitando entre los estados:

65

LE:\GU AJES , GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

3.3.2

Representación de un AFD

A.l igual que las Máquinas Secuenciales, las dos representaciones más utilizadas para describir un Autómata Finito son las siguientes:

• Tabla de transiciones • En las filas estarán los estados q E Q • El estado inicial se precederá del símbolo -+

L!.'Ca,d

eªt~do)ln.aI sfE0éede~~]ler~~~~]

• En las columnas estarán los símbolos de entrada a E • En la posición (q, a), estará el estado que determine

~

f (q, a)

Ejemplo: El autómata Al se representaría como:

f -+ *qo ql

O qo ql

1 ql qo

• Diagrama de transiciones • En los nodos estarán los estados • El estado inicial tendrá un arco entrante no etiquetado • Los estados finales estarán rodeados de doble círculo • Habrá un arco etiquetado con a entre el nodo qi y el nodo qj si ¡(qi , a) = qj Ejemplo: En el ejemplo anterior, el diagrama de transiciones sería el representado en la figura 3.7.

1

Figura 3.7: Diagrama de transiciones para el autómata Al.

66

CAPÍTULO

3.

3.3.3

Conceptos relativos a AFDs

GRAMÁTICAS REGULARES y A UTÓ MATAS FINITOS

En esta sección se definirán algunos conceptos relativos a los Autómatas Finitos Deterministas. • Extensión a palabras: dado que la j sólo transita cuando recibe un símbolo de entrada, se puede generalizar para cuando se recibe una palabra formada por más de un símbolo o por la palabra vacía. En este caso, se define la función de transición f' como j' : Q x ¿;* --7 Q, donde

j'(q, ax) = f'(f(q, a), x) j'(q, >') = q y a E ¿;, x· E ¿;*, q E Q.

Ejemplo: En Al,

j'(qo,0110)

f' (f(qO, 0),110) = f' (qO, 110) =

l' (f (qO, 1),10) =

l' (ql, 10) = l' (f (ql, 1), O) = l' (qO , O) = l' (f (qo, O), >') = l' (qo, >') = qo • Aceptación de palabras: x E ¿;* es aceptada o reconocida por un AFD si f' (qO, x) E F. Es decir, si se parte del estado inicial y se recibe la palabra de entrada x, se transita a un estado que pertenece al conjunto de estados finales o de aceptación F. Ejemplo: En el ejemplo anterior, como 0110 transita desde el estado inicial al qo, que también es final, la palabra es aceptada por A l.

• Lenguaje reconocido por un AFD: es el conjunto de palabras aceptadas por un AFD .

LAFD = {xix

E ¿;* Y

1'(qO,x)

E

F}

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFOQ UE PRÁCTICO

67

Así se comprueba la relación que existe entre autómatas y lenguajes, de forma que cada autómata reconoce un determinado lenguaje (regular en el caso de los AF), generando como salida una aceptación si la palabra de entrada pertenece al lenguaje y una no aceptación si la palabra de entrada no pertenece al lenguaje. También existe la relación inversa que permite asegurar que, para cada lenguaje regular, hay un AF que reconoce palabras de ese lenguaje y no reconoce ninguna palabra que no pertenezca al lenguaje. Ejemplo: En el caso anterior, el lenguaje aceptado será aquél en el que se reciba número par de unos en la entrada.

• Accesibilidad entre estados: p E Q es accesible desde q E Q, pAq, si existe una palabra x E ~* tal que f'(q ,x) = p. A efectos de simplificar los autómatas, todos aquellos estados no accesibles desde ~m~ se ueden borra; a que no arécta;'á~~~ta~iento del autómata, al no poder nunca llegar a e os. .........

.....

iI

.,

Ejemplo: En el autómata Al , los dos estados son accesibles desde cualquiera. En el caso de que se tuviera el autómata A~ definido como:

donde

f

se define como:

f(qo, O) f(qo, 1) f(ql, O) f(ql , 1) f(q2 , O) f(q2, 1)

= qo

= ql = ql = qo

= q2 = ql

El estado q2 no sería accesible desde qo ni ql, por lo que se puede eliminar sin afectar al comportamiento del autómata.

68

CAPÍTULO

3.


• Autómatas conexos: un AFD es conexo si para cada estado q E Q, q es accesible desde qo. Ejemplo: En el ejemplo anterior, Al es conexo y es.

3.3.4

Ai

no lo

Equivalencia de AFD

Al igual que en el caso de las Máquinas Secuenciales, se puede definir la equivalencia de Autómatas Finitos. Se presentarán primero unas definiciones previas a la de equivalencia entre Autómatas Finitos Deterministas.

Equivalencia entre estados • Dos estados p, q E Q son equivalentes, pEq, si Vx E 'L.*, f'(p, x) E F {:} f'(q, x) E F

Si las transiciones ~esde p con la x llegan a un estado final , las de q con x también tienen que llegar, y si desde p con x no se llega a un estado final, desde q con x tampoco se puede llegar. Se puede demostrar fácilmente que para cada estado q E Q, qEq. Ejemplo: Dado el autómata A 2,

donde

f

se define como: f(qo, O) f(qo, 1) f(ql, O) f(ql, 1) f(q2, O) f(q2, 1) f(q3, O) f(q3, 1) f(q4, O) f(q4 , 1)

= qo = q4

=

ql

= q2 = q2 = q2

= q3 = q2 = qo = q2


69

El estado ql es equivalente al q3, !1lEq3, debido a que con -"-cualquier palabra de entrada transitan a un estado que o es final en los dos casos, o no lo es en los dos casos. Así, por ejemplo, cuando reciben una secuencia de ceros, cada uno transita a sí mismo, que no son estados finales, y cuando reciben un 1, transitan a q2, que es final. A partir de ese momento, cualquier símbolo que reciban va a transitar siempre a q2. Sin embargo, el qo y el ql no son equivalentes, ya que f'(qo, 1) = q4 F Y f'(ql, 1) = q2 E F .

rt

• Dos estados p"q E Q son equivalentes de longitud n , pEnq , si

"Ix E ~*, Ixl :s; n, !,(p,x)

E F {:}

f'(q, x)

E F

Esto restringe la longitud de las palabras de entrada a n .

!,(ql, O) = ql rt F f'(ql, 1) = q2 E F

rt

!,(q4, O) = qo F f'(q4, 1) = q2 E F

pero no son equivalentes de longitud 2, ya que:

• Dos estados p, q E Q son equivalentes de longitud n + 1, pEn+1q, si y sólo si son equivalentes de longitud n, pEnq , y Va E ~,f(p , a)Enf(q, a)

f'(ql, O) = ql , f'(q3 , O) = q3 Y q1E 1q3 !,(ql, 1) = q2, f'(q3, 1) = q2 y, obviamente, q2 E lq2

70

CAPÍTULO

3. GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓMATAS FINITOS

Cálculo de clases de equivalencia Al igual que en Máquinas Secuenciales, las relaciones de equivalencia definidas anteriormente particionan el conjunto de estados en clases, definiendo el conjunto cociente, Q / E. Para calcular dicho conjunto, se comienza con el conjunto cociente de la relación de equivalencia de longitud 0, que está formado por dos clases: el conjunto de los estados finales (F) ; Y el resto de los estados (F). Después, en cada iteración, se utiliza la definición de equivalencia de longitud i + 1 para calcular el conjunto cociente Q/ Ei+l a partir del conjunto cociente Q/ E i de acuerdo a la definición anterior. Un posible algoritmo se muestra en la figura 3.8. Función Conjunto-Cociente (A): QE A: entrada a la función, AF definido por (~, Q, j , qo , F ) QE: salida de la función, conjunto cociente del AF

Q/Eo := {F, F} ; i:=-l; Repetir i:=i+l; Si pEiq y Va E E, f(p , a) E q , f(q , a) E Entonces pEi+l q Hasta que Q/ Ei-l = Q/ Ei Devolver Q/E = Q/Ei

Ck, (Ck

E

Q/ E i )

Figura 3.8: Procedimiento de cálculo del conjunto cociente de un AF.

Ejemplo: Dado el autómata A 2 , se calcularía el conjunto cociente Q/ E en los siguientes pasos:

L EN G UAJES, GRAMÁTICAS y A UT Ó MATAS: UN E NFOQ UE PRÁCTI CO

qOEOql qOEOq3 qOEOq4 ql E oq3 ql E oq4

f(qo , O) f (qO , 1) f(qo , O) f(qo , 1) f(qo , O) f(qo , 1) f(ql , O) f(ql, 1) f(ql , O) j(ql, 1)

= qo E el , = q4 E el, = qo E el , = q4 E el , = qo E el , = q4 E el , = ql E el, = q2 E eo, = ql E el, = q2 E eo,

f(ql, O) f (ql, 1) f(q3 , O) f(q3 , 1) f(q4 , 0) f(q4 , 1) f(q3 , O) f(q3 , 1) f(q4, O) f(q4, 1)

= ql E el = q2 E eo = q3 E el = q2 E eo = qo E el = q2 E eo = q3 E el = q2 E eo = qo E el = q2 E eo

no qOElql no qOE l q3 no qOE l q4 ql E l q3 ql E l q4

Por tanto, Q/E I = [eo = {q2} , el = {qo} , e2 = {ql , q3, q4}] 3. Q/E2 :

ql E l q3 ql E l q4

f(ql , O) = ql E e2, f(q3 , O) = q3 E e2 f(ql, 1) = q2 E eo, f(q3, 1) = q2 E eo f(ql, O) = ql E e2 , f(q4, O) = qo E el

ql E 2q3 no ql E 2q4

f(q l, O) = ql E e2, f(q3 , O) = q3 E e2 f(ql, 1) = q2 E eo , f(q3, 1) = q2 E eo

ql E 3q3

Por tanto,

4. Q/E3: ql E l q3

Como

el conjunto cociente será Q/E

=

Q/E2 = Q/E3.

71

72

CAPÍTULO

3.


Equivalencia de autómatas Dados dos autómatas Al = (~, Ql, JI, qOl, F l ) Y A 2 = (L Q2 , 12 , q02, F 2 ), el estado p E Ql y el q E Q2 son equivalentes, pEq, si y sólo si para cada palabra x E ~*, f{(p,x) E Fl si y sólo si fHq ,x) E F 2.

Ejemplo: Supóngase que se tienen los autómatas A 2, definido anteriormente, y A 3 , definido como:

donde

f

se define como:

f(qo, f(qo, f(ql, f(ql, f(q2, f(q2,

O) = qo 1)

=

q2

O) = ql 1) = ql

O) = q2 1)

= ql

En este caso, qOA2 EqOA 3 ' ya que, para cada posible palabra. si sólo está formada por ceros, se quedan en estados no fin ales: si aparece un 1, los dos transitan también a estados no fin ales (si después del 1 reciben una sentencia de ceros, transitan a estados no finales); y si reciben dos unos o más , transitan a estados finales y se quedan en ellos. También ocurre que q24. 2 Eql4. 3 Y q4A 2 E q2A 3 • A partir de la definición de estados equivalentes de autómatas diferentes, se puede decir que dos autómatas, Al y A 2, son equivalentes. A IEA2, si y sólo si los estados iniciales son ~quivalentes; o, lo que es lo mismo: Vx E ~*, f{(qOl, x) E Fl si Y sólo si f~(q02, x) E F 2 De esto se deduce que dos autómatas son equivalentes si y sólo si aceptan el mismo lenguaje.

Ejemplo: Los autómatas A 2 y A3 son equivalentes, ya que sus estados iniciales lo son.


73

Minimización de AFD Como resultado de las anteriores definiciones de equivalencia de autómatas, una de las aplicaciones más interesantes consiste en diseñar el autómata equivalente a uno dado que contenga el mínimo número de estados. Se puede demostrar que, para cada AFD, existe un AFDm mínimo equivalente. La construcción del AFD mínimo se realiza en los pasos especificados en la figura 3.9. El algoritmo primero calcula el autómata conexo, eliminando todos aquellos estados no accesibles desde el inicial. Después, calcula el conjunto cociente, que determina el mínimo número de estados con significado diferente. Estos estados serán las clases de equivalencia del conjunto cociente y formarán el conjunto de estados, Q', del autómata mínimo. Función Autómata-Mínimo (A): AF Dm A : entrada a la función, AF definido por (~ , Q, j, qo , F) AFDm : salida de la función, autómata mínimo equivalente a .4.

Eliminar de A todos los estados inaccesibles desde qo ; Construir el AFDm = ('L.,Q',j',qb,F') donde Q' =Conjunto-Cociente(A); . Q' ; qo, = eo SI qo E eo, eo E F' = {el:Jq E e,q E F}; Y Va E 'L., j'(Ci, a) = ej si :Jp E ej, q E eilf(q, a) = P

Figura 3.9: Procedimiento de cálculo del autómata mínimo de un AF . El resto de los elementos del autómata se calculan en función de esos estados. ASÍ, el estado inicial del autómata mínimo será la clase de equivalencia donde esté el estado inicial del autómata de partida. Las transiciones de los nuevos estados (clases de equivalencia) se realizarán en función de las t ransiciones de los estados que los forman. Como los estados del autómata de partida que pertenezcan a la misma clase de equivalencia son equivalentes (generan la misma aceptación o no dada la misma palabra de entrada) , da igual cuál se considere a la hora de fijar las transiciones desde el nuevo estado que los representa en el autómata mínimo. El conjunto de los nuevos estados finales serán las clases de equivalencia donde aparezcan estados finales del autómata de partida.

74

CAPÍTULO

3.


Ejemplo: Sea el siguiente autómata:

donde

f

se define como:

f(qo, O) f(qo, 1) f(ql, O) f(ql, 1) f(q2, O) f(q2, 1) f((13 , O) f(q3, 1) f(q4, O) f(q4, 1)

= = = = = = = = = =

q3 q2 q4 ql qo q3 qo q2 q4

f qo *ql *q2 q3 q4

-1-

1

O q3 q4 qo qo q4

q2 ql q3 q2 ql

ql

Para calcular el autómata mínimo equivalente a A 4 , se siguen los pasos del algoritmo: 1. Se calcula el autómata conexo. En este caso, se puede comprobar que los estados ql y q4 no son accesibles desde

qo, con lo que se pueden eliminar, quedando:

2. Se obtiene el Q / E de A~. • Q / Eo = [{ q2}, {qo, q3} 1 • Q / E = Q / Eo = Q / El = [co = {q2} , Cl = {qO, q3} 1 3. El autómata mínimo equivalente a A~ será: A~

donde

f

= ({0,1},{co,cd,f,Cl,{CO})

se define como:

f(co, f(co, f(Cl, f(Cl,

O) =

Co

1) =

Cl

O) =

Co

1) =

Co

f *CO

O

1

Co

Cl

-1- Cl

Co

Co


3.4

75

Autómatas Finitos No Deterministas (AFND)

Un segundo tipo de Autómata Finito son los No Deterministas, en los que puede existir más de una transición por cada par (estado,entrada) o ninguna transición por cada par, de forma que, en cada momento, el autómata puede realizar varias transiciones diferentes entre las que deberá optar o no poder realizar ninguna. Otro rasgo que les diferencia de los deterministas, es que pueden realizar transiciones de un estado a otro sin leer ningún símbolo de entrada, mediante las denominadas transiciones-A.

3.4.1

Definición

Un Autómata Finito No Determinista es una tupla con los mismos componentes que la de los AFD en la que la principal diferencia con los deterministas consiste en la función de transición f , que se define como: f: Q x (~U{A}) -+P (Q)

donde P (Q) es el conjunto de las partes de Q (conjunto de todos los sub conjuntos que se pueden formar con elementos de Q). En la entrada se permite la palabra vacía (se permite transitar entre estados sin leer nada de la entrada), y se permite transitar a más de un estado (conjunto de estados) desde el mismo estado. Ejemplo: El siguiente autómata es finito no determinista.

donde

f se define como: f(qo, O) f (qO, 1) f (qo , A) f (ql, O) f(ql , 1) f(ql , A)

= (/) = {ql, q2} = {q2}

= {qo} = {qO, qd = (/)

f (q2, O) f(q2 , 1) f(q2 , A) f(q3, O) f(q3 , 1) f(q3, A)

= = = = = =

{q2} (/)

{q3} (/) (/) (/)

donde (/) es el conjunto vacío, y f(qo , l) = {ql,q2} representa el hecho de que desde el estado qo se puede transitar al estado ql Ó al q2 al leer un 1 en la entrada.

¡

76

CAPÍTULO

3.4.2

Representación


Al igual que los anteriores, hay dos formas de representar los Autómatas Finitos No Deterministas.

• Tabla de transiciones En las filas estarán los estados q E Q El estado inicial se precederá del símbolo --+ Cada estado final se precederá del símbolo En las columnas estarán los símbolos a E

*

~U

En la posición (q, a), estarán los estados en

{A}

f (q , a)

Ejemplo: El autómata A5 se representaría como:

f

O

--+ qo *ql q2 q3

qo q2

1

{ql, q2} {qO, qt}

-X q2 q3

• Diagrama de transiciones En los nodos estarán los estados El estado inicial tendrá un arco entrante no etiquetado - Los estados finales estarán rodeados de doble círculo - Habrá un arco etiquetado con a E nodo qj si qj E !(qi, a)

(~

U -X) entre el nodo qi y el

Ejemplo: La figura 3.10 muestra el diagrama de transiciones para el autómata A5.

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS : UN ENFOQUE PRÁCTICO

77

1

~

6)

0r:J

1

~ 0,1

A,1

Figura 3.10: Diagrama de transiciones para el autómata A5.

3.4.3

Conceptos asociados a AFNDs

Los conceptos asociados a AFDs se generalizan para AFNDs .

• Relación de transición-A, T: es la relación que se establece entre pares de estados entre los que existe una transición-A. Esta relación es reflexix a., es decir, se establece entre los estados con ellos mismos, ya que se cumple que, :e..ar~ cruiª....fS.tQ1i..Q.a.E-..Q....exi.s.te,•.lUlª".t.ta~ik.i,Qll:. 1.'!;QJ!",U.i§mQ1J.,l~1.~ Normalmente, T se representa por un conjunto denominado T que contiene todos los pares de estados que cumplen la relación.

---

Ejemplo: En el autómata A 5 , el conjunto T será:

• Cierre transitivo de la relación T , T*: se calcula aplicando la propiedad transitiva de la relación T , por la que si pTq y qTr , entonces pTr. Esta aplicación de la propiedad transitiva se repite hasta que no haya nuevos pares de estados que cumplan la relación. Ejemplo: En el conjunto T anterior, se observa que qOTq2 y q2Tq3. Por tanto, se puede añadir qOTq3 al conjunto T* . Como ya no se puede aplicar más la propiedad transitiva entre pares de estados, el conjunto T* quedaría como:

J

78

CAPÍTULO

3.


• Extensión a palabras: se define una nueva función te forma: 1" : Q x ~* -+ P (Q)

1" de la siguien-

en la que la entrada no es un único símbolo, sino palabras formadas por los símbolos del alfabeto. Se cumple entonces que:

f

11

(q,x) =

{

pIX=al·a2· ... · anyq

'x*oal°'x*oa2o oo'x"oa n °'x"

~

p

}

,x*

!,,(q, A) = {plq -+ p} Como en los AFND se pueden producir transiciones entre estados sin leer nada de la entrada (mediante las transiciones-A), entre cada dos símbolos de la entrada, habrá que considerar todas las p2sjl>les trªIt:;;iciones-A que se puedaúproCIüéíi; -árrgiíal que antes de leer el Pril!l~;;~I~b~io °de 'laentrada; 'y " despué~ - del último sÍmbolo~
que no es más que el conjunto de los estados relacionados con qo a través de la relación T*. Ahora, desde cada uno de ellos, con el 1 se puede transitar al conjunto de estados:

f (qo, 1)

=

{ql, q2}

f(q2, 1) = 0 f(q3, 1) = 0


79

Por tanto,

A continuación, se tiene que estudiar dónde se puede transitar con A desde cada uno de ellos, que resulta ser q3 , además de los estados en f" (qo, A . 1) , con lo que:

Ahora, se estudia dónde se transita desde cada uno de esos estados con el 1, que da como resultado:

!,,(qo , A ·1· A ·1) = {qO , qt} Con las siguientes transiciones A, se llega a:

Con el O, se transita a:

f" (qo , A . 1 . A . 1 . A . O)

= {qO, q2 }

Por último, al hacer las transiciones A, quedará:

• Lenguaje aceptado por un AFND: será el conjunto de palabras que le hacen transitar desde el estado inicial a algún estado final , utilizando la función f". LAFND =

{xix E E* Y !,,(qO, x) n F:I 0}

80

CAPÍTULO

3.


Ejemplo: En el ejemplo anterior, 110 no es reconocida por A 5 , ya que ninguno de los estados a los que transita desde el inicial está en F. Intuitivamente, el lenguaje aceptado por este autómata será el conjunto de palabras que finalicen en el estado ql. Como ni desde el estado q2 ni desde el estado q3 se puede transitar al ql, las palabras aceptadas por el autómata serán las que comiencen por 1, continuen por una secuencia indefinida de unos, seguido, o no, por un O ó un 1, seguidos de un 1 y una secuencia de unos , todo esto repetido n veces. Más adelante, en la sección dedicada a las Expresiones Regulares, se tratarán procedimientos formales de obtención del lenguaje que acepta un autómata.

• Equivalencia de AFDs y AFNDs: para cada AFD existe un AFND equivalente y viceversa. - AFD--+AFND: los AFDs son un caso particular de los AFNDs, teniendo en cuenta que Vp E Q,a E ~, Ij(p, a) 1 = 1 Y no hay transicioneS-A (Vq E Q, 1"(q, A) = 0). - AFND--+AFD: se puede construir un AFD=(~ , Q' , 1', qb, F') a partir de un AFND=(~, Q, j, qo, F) con el siguiente algoritmo:

* Q' =

P (Q)

* qb = 1" (qo, A) *

F' = {ele E Q', 3q E e y q E F}

*

j'(e, a) = {e' le' = UqEc 1"(q, a)} Lo que se suele hacer es ir construyendo los estados de P (Q) según se van necesitando para Q'. Ejemplo: A partir del Autómata Finito No Determinista A5 se puede construir el AFD equivalente, A~, de la siguiente forma:

donde eo es el estado inicial del autómata y se calcula como eo = 1"(qo,A) = {qO,q2,q3}. El resto de los estados se calcula de la forma especificada anteriormente y, renombrándoles como:

81

LENGUA J ES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁ CTICO

co

= {qO, q2, q3}

Cl

= {q2, q3}

C2

= {ql, q2, q3}

C3

= (/)

C4 =

{qO , ql , q2 , q3}

y fes:

f(co, O) = f(co, 1) = f(Cl, O) =

Cl

f(Cl, 1) = f(C2, O) = f(C2, 1) =

C3

C2

f(C3 , O) f(C3 , 1) f(C4, O) f(C4, 1)

=

f

O

1

-+ Co

Cl

C2

C3

= C3 = Co = C4

Cl

Cl

C3

*C2

Co

C4

Co

C3

C3

C3

C4

*C4

Co

C4

Cl

Se deja al lector la minimización de este autómata.

3.4.4

Autómata Finito asociado a una G 3

Una de las aplicaciones más importantes de los Autómatas Finitos consiste en la aceptación de lenguajes generados por gramáticas de tipo 3 o regulares. Para ser útil, hace falta demostrar que, a partir de una gramática regular, se puede generar un Autómata Finito que reconozca las palabras del lenguaje generado por la gramática. También es útil conocer la gramática que genera el lenguaje aceptado por un determinado Autómata Finito. Estas dos construcciones se hacen de la siguiente forma: • AFDj AFND a G 3 : si el autómata es AFND, primero se pasa a AFD . Una vez se tenga un AFD como A = (~, Q, f, qo, F), se construye la gramática equivalente lineal por la derecha G 3 = (l:, Q, qo, P) en la que P: • Si f(q , a) = p entonces q ::= ap, (a E l:, q,p E Q) •

Si f(q , a) = p y P E F , entonces q ::= a, (a E l:, q,p E Q)

• Si qo E F entonces qo

::=

A

82

CAPÍTULO 3. GRAMÁTICAS REGULARES

Ejemplo: A partir del autómata gramática:

A~ ,

y

AUTÓMATAS FINITOS

se genera la siguiente

donde Pes:

Cl ::=

OCl

C2 ::=

Oca

I lC2 I 1 I l C3 I l C4 I 1

C3 ::=

OC3

I

C4 ::=

Oca I 1c4 I 1

ca ::=

OCl

1C3

• G3 a AFD / AFND: dada la gramática lineal por la derecha G3 = (~T, ~N, 8, P), se construye el autómata equivalente

donde F r:f.

~N

es un nuevo símbolo no terminal, y

f

se construye:

- Si A ::= aB entonces f(A, a) = B - Si A

::=

a entonces f(A , a)

=

F

- Si 8 ::= >. entonces f(8, >.) = F

Ejemplo: Dada la gramática:

G = ({O, l}, {A, B, e}, A, P) P = {(A ::= OB) , (A ::= >.), (B (C ::= OB)})

::=

le), (B

::=

1) ,

El autómata que reconoce el lenguaje generado por dicha gramática será:

Ac y f:

= [{O, 1}, {A , B, e, F}, f, A, {F}]


f(A , O) = f(A, >.) = f(C,O) = f(B, 1) = f(B, 1) =

B F B C F

f

1

° {C,F}

-+A B

B

C F

B

83

>. F

Como se puede comprobar, es un Autómata Finito No Determinista, pero, como se ha visto, se puede pasar a uno determinista, siguiendo el algoritmo correspondiente, dejando dicho paso como ejercicio al lector.

3.5

Expresiones regulares (ER)

Las Expresiones Regulares permiten representar concisamente Lenguajes Regulares, de forma que resumen la descripción exhaustiva de un lenguaje. Como se ha estudiado en este capítulo, existe una equivalencia entre Gramáticas y Lenguajes Regulares y autómatas. En este apartado, se comprobará que las Expresiones Regulares permiten definir el lenguaje aceptado por un Autómata Finito, y se puede extraer el Lenguaje Regular aceptado por un Autómata Finito generando su Expresión Regular.

3.5.1

Definiciones

• Expresión Regular sobre un alfabeto ~: sólo son Expresiones Regulares aquéllas que se obtienen aplicando un número finito de veces las siguientes reglas:

oes una ER >. es una ER Para cada a E

~ ,a

es una ER

Si o y j3 son Expresiones Regulares, o

+ j3 es

una ER

Si o y j3 son Expresiones Regulares, o . j3 es una ER (o simplemente oj3) Si o es una ER,

0*

es una ER

Si o es una ER, (o) es una ER

e

84

CAPÍTULO

3.


Ejemplo: Las siguientes son Expresiones Regulares: - 01*: representa al lenguaje formado por palabras que empiezan en seguido de ningún, uno o más unos.

°

- (0+ 1)*: representa una palabra formada por cero, uno o más dígitos que pueden ser ó 1.

°

• Lenguaje representado por una ER: cada Expresión Regular a define recursivamente un lenguaje L , utilizando las siguientes reglas de cálculo: - Si a - Si a

= 0, entonces L(a) = 0 = A, entonces L(a) = {A}

- Si a = a, a E~, entonces L(a) = {a}

13 son ER, entonces L(a + 13) = L(a) U L(f3) y 13 son ER, entonces L(a . 13) = L(a) . L(f3)

- Si a y - Si a

- Si a es ER, entonces L(a*) = L(a)* - Si a es ER, entonces L((a)) = L(a)

Ejemplo: Dadas las siguientes Expresiones Regulares, sus Lenguajes Regulares asociados serían: - 01*: 00

L(OI*)

L(O)L(I*) = {O}L(I)* = {O} U{1}i = i=O

{O}{A,I,II,III , . . . } = {0, 01 , 011 , 0111 , ... } - (O + 1)*: L((O + 1)*)

L((O + 1))*

= [L(O + 1)] * = 00

[L(O) +L(I)]* = [{0,1}] * = U{O,I}i = i=O

{A,0,1,00,01,10,11, ... }

L EN GUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

85

• Propiedades: existen muchas propiedades asociadas a las Expresiones Regulares. Algunas de ellas, se muestran a continuación:

3.5.2

= >. + a . a* (a* . (3*) * = (a + (3) * = (a* . (3) * Si a = (3* . , entonces a = (3 . a + ,

>. *

= >. o.a = a . 0 = 0 0* = >.

a*

a* . a* = a*

a· a* = a* . a

Teoremas de Kleene

Kleene enunció unos teoremas que permiten demostrar la equivalencia entre Expresiones Regulares y Autómatas Finitos, en cuanto a que los dos representan, de una u otra forma, Lenguajes Regulares. Los dos teoremas son los siguientes: • Teorema de Análisis: todo lenguaje aceptado por un Autómata Finito es regular. • Teorema de Síntesis: todo Lenguaje Regular es aceptado por un Autómata Finito. A continuación, se estudiará cada uno de los teoremas con más detalle. Solución al problema de análisis Para demostrar que a partir de un AF se puede obtener el lenguaje que éste acepta y que es regular, primero se va a definir el concepto de ecuación característica o fundamental. Esto se va a hacer en varios pasos: 1. Se define Xi como el conjunto de palabras que permiten pasar desde el estado qi a un estado final. 2. Si qi E F , entonces>. E Xi, ya que Vq E Q, q E f(q, >.). También, si qi f/. F , entonces>. no tiene por qué estar en Xi· 3. Si f(qi, a) = qj E F, entonces el símbolo a debe pertenecer a Xi según la definición 1. 4. Además, si f(qi , a) = qj , entonces la concatenación en la entrada del símbolo a y Xj (conjunto de cadenas que permiten pasar desde qj a un estado final) debe estar en Xi (conjunto de cadenas que permiten transitar desde qi a un estado final). ASÍ, aXj ~ Xi.

86

CAPÍTULO



5. Para cada estado qi se puede definir el denominado sistema de ecuaciones de conjunto lineales por la derecha, que se calcula como:

IQI

Xi

= Ci U

U

DijXj

j=1

donde (según 2) (según 4) 6. Una forma alternativa de definir este sistema de ecuaciones consiste en utilizar las definiciones 3 y 4, donde sólo se cambia el conjunto Ci de la siguiente manera: si i = O Y qo E F en caso contrario 7. Una vez que se obtienen los sistemas de ecuaciones para cada estado, se deben intentar resolver las ecuaciones de cada estado, de manera que tengan la forma Xi = AXi + B donde A rt A , Xi rt B, que es a lo que se denomina ecuaciones características. Para cada estado en el que se tenga despejado Xi así, la solución es: Xi = A * . B. Al efecto de que se cumpla que A rt A, lo más sencillo es eliminar las A-transiciones del autómata, cuando sea no determinista. 8. Cuando se calcule el valor de Xo (ecuación característica del estado inicial), esta Expresión Regular es la que describe el lenguaje aceptado por el autómata, dado que es el conjunto de cadenas que permiten pasar desde el estado inicial a un estado final, y esto, por definición, es el lenguaje aceptado por un autómata.

Ejemplo: Supóngase el autómata siguiente:

donde

f

se define como:

LENG UAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

f(qo, O) f (qa, 1) f (ql , O) f(ql, 1) f (q2 , O) f(q2, 1)

= {q¡}

= {qo} = {q2}

= {qO,ql} = {qo}

= 0

En este caso, las ecuaciones características de los estados serían, utilizando la primera caracterización de las mismas:

Xo = 1xo Xl = 1XI X2 = OXO

+ OXI + 1xO + OX2 +A

A partir de aquí, se pueden resolver las ecuaciones utilizando la solución de las ecuaciones características vista anteriormente y la resolución matemática de ecuaciones. Así, utilizando la solución de la primera ecuación, se tiene:

Xo = 1xo -+ OXI = 1*OXI Si se sustituye en la tercera ecuación, se tiene:

X2 = Oxo

+ A=

01 *OXI

+A

Sustituyendo en la segunda ecuación, se tiene:

Xl = 1XI + 1xo + OX2 = 1XI + l1*OXI + 001*OXI + 0= = (1 + 11*0 + 001*0)XI + 0= (1 + 11*0 + 001*0)*0 Si se sustituye en la ecuación característica de qo , queda la Xo como:

Xo = 1*OXI = 1*0(1

+ 11 *0 + 001 *0)*0

87

88

CAPÍTULO

3.


Siendo ésta la ecuación característica del estado inicial, su solución es la Expresión Regular que describe el lenguaje aceptado por este autómata. Si se utilizara la segunda caracterización de las ecuaciones características, éstas quedarían como: Xo = 1xo = 1x1 X2 = OXO

Xl

+ OXI + 1xO + OX2 + O

Resolviéndolas, se llegaría al mismo resultado que antes.

Solución al problema de síntesis Existen dos algoritmos para pasar de una Expresión Regular, que representa a un Lenguaje Regular, a un autómata que reconozca dicho lenguaje. El primero es un algoritmo que asocia a cada regla de descripción de una Expresión Regular un autómata que la reconoce. El problema es que se generan autómatas muy grandes y es necesario luego minimizarlos para poder trabajar con ellos. El segundo algoritmo está basado en el concepto de derivada, que se definirá más adelante. Algoritmo recursivo El algoritmo recursivo asocia a cada Expresión Regular, un autómata que reconoce el lenguaje descrito por dicha Expresión Regular . • a = 0: crear un nodo p inicial y otro q final y no conectarlos (figura 3.11).

Figura 3.11: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular 0. • a = A: crear un nodo p inicial y otro q final y conectarlos con un arco etiquetado con A (figura 3.12).

LEN GUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

89

Figura 3.12: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular A.

Figura 3.13: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular a E ~.

a, a E ~: crear un nodo P inicial y otro q final y conectarlos con un arco etiquetado con a (figura 3.13).

• a =

• a = (3 + O' se parte de dos grafos (uno que representa a (3 y otro a 0') , uno que tiene como nodo inicial a Pi, nodo final a qi y están unidos por un grafo que representa a (3, y otro que tiene como nodo inicial a P2 , nodo final a q2 y están unidos por un grafo que representa a 0': crear un nodo inicial p, unido por un arco etiquetado con A a Pi y otro arco etiquetado con A a P2, y un nodo final q al que llegan arcos etiquetados con A desde qi y q2 , que dejan de ser nodos finales (figura 3.14).

~G - - - ~->~

~G ---~-> 0J Figura 3.14: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular (3 + 0'.

90

CAPÍTULO

3.


• a = (3 . a y, al igual que antes, se parte de dos grafos, uno que tiene como nodo inicial a PI , nodo final a ql y están unidos por un grafo que representa a (3, y otro que tiene como nodo inicial a P2 , nodo final a q2 y están unidos por un grafo que representa a a: crear un arco etiquetado con A desde ql (que deja de ser nodo final del nuevo grafo) a P2, y poner como nodo final del nuevo grafo a q2 (figura 3.15).

~G--- ~->~ ~G - - -~ ->~

=>

~ G - --~ ->

G ~G- - -~ -> ~

Figura 3.15: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular (3 . a. • a = (3* y se parte de un grafo formado por un nodo inicial etiquetado con PI conectado con un grafo que representa a (3 al nodo final ql : crear un arco etiquetado con A de PI a ql y otro igual de ql a PI (figura 3.16).

Figura 3.16: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular (3*.

Ejemplo: Si se tiene la Expresión Regular 1(0 + 1)* , las figuras 3.17, 3.18, 3.19, y 3.20 representan las diferentes fases de construcción del autómata que la reconoce. Como se puede comprobar, el autómata no es mínimo, pero se puede utilizar el algoritmo de construcción del autómata mínimo descrito en el apartado de AFDs para minimizarlo.


~G

~G ~G

>-

o

;:.

91

G

G

1>Q)

Figura 3.17: Autómatas que reconocen los lenguajes descritos por las Expresiones Regulares 1, O Y 1.

Figura 3.18: Autómatas que reconocen los lenguajes descritos por las Expresiones Regulares 1 y O + 1.

92

CAPÍTULO

3.


~G

I>G A

·8 ~GY/'" ~G P3

o

>

>

Q"{

G 8~

A Figura 3.19: Autómatas que reconocen los lenguajes descritos por las Expresiones Regulares 1 y (O + 1) * .

Figura 3.20: Autómata que reconoce el lenguaje descrito por la Expresión Regular 1 (O + 1) * .

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS : UN ENFOQUE PRÁCTICO

93

Derivadas La definición de derivada va a permitir resolver el problema de síntesis, generando el autómata mínimo que acepta el lenguaje descrito por cualquier Expresión Regular. El cálculo se realiza en tres fases : primero se calculan las derivadas de la Expresión Regular de acuerdo a la definición que se va a presentar. A continuación, se obtiene la gramática que genera el lenguaje representado por la Expresión Regular, y, por último, se transforma la gramática de tipo 3 obtenida al Autómata Finito que reconoce las palabras que ésta gen~ra . • Definición: derivada de una ER a respecto a un símbolo a E I;, se define como Da(a) = {xla·x E a} . Es decir, del conjunto de palabras x que aparecen en a, se seleccionan aquéllas que comienzan por el símbolo respecto al que se deriva, a, y la derivada será el conjunto de los restos de esas palabras . • Cálculo: para cada a E I;, cada Expresión Regular tiene asociada una forma de calcular su derivada:

DaU/J) = 0

Da (>\) = 0 Da(a) = A - Da(b) = 0, "lb E I;,b

i= a

- Da(a + (3) = Da(a)

+ Da(f3)

- Da(a· (3) = Da(a) . (3 + o(a) . Da({3) donde A AEa

o(a) = { 0 A ~ a - Da(a*) = Da(a) . a*

Para calcular las derivadas y simplificarlas, conviene tener en cuenta algunas de las propiedades de las ER descritas anteriormente. Ejemplo: Si se tiene la Expresión Regular 1*(0 + 1)* , se calculan sus derivadas respecto a O y a 1 de la siguiente manera:

94

CAPÍTULO

3.


.Do(1*(0 + 1)*) = = D o(1*)(0 + 1)* + 6(1*)D o((0 + 1)*) = = D o(1)1*(0 + 1)* + >'Do((O + 1)*) = = 01*(0 + 1)* + Do(O + 1)(0 + 1)* = = 0 + [Do (O) + D o(1)](0 + 1)* = [>' + 0](0 + 1)* = = >'(0 + 1)* = (O + 1)* .D1(1*(0 + 1)*) = = D 1(1 *)(0 + 1)* + 6(1 *)Dd(O + 1)*) = = D 1(1)1*(0 + 1)* + >'D1(0 + 1)(0 + 1)* = = >'1*(0 + 1)* + [D1(0) + Dd1)](0 + 1)* = = 1*(0 + 1)* + [>' + 0](0 + 1)* = (1* + >')(0 + 1)* = =1*(0+1)* En el último paso, se ha utilizado la igualdad a* + >. = a* , ya que >. E a*. • Composición de derivadas: se puede realizar la composición de derivadas de la siguiente forma: Dab(a) = Db(Da(a)) Ejemplo: En el ejemplo anterior,

D lO (1*(O+l)*) = D o(D 1(1*(0+1)*)) = D o(1 * (0+1)*) = (0+1) * • Creación de la gramática: a partir de una Expresión Regular que define un Lenguaje Regular, se puede construir la gramática que genera dicho lenguaje. Esta gramática tendrá la estructura:

donde ao es la Expresión Regular de la que se parte, Di son todas las Expresiones Regulares distintas que se obtienen por derivación compuesta con respecto a todos los símbolos de entrada, y P : - Si Da(a) = {3, {3 -::f

>., {3 -::f 0: crear una regla a

- Si>' E Da(a): crear una regla a - Si

>.

E ao: crear una regla

::= a

ao ::= >.

::= a{3


95

- Si Da(a) = 0: no crear ninguna regla de los tipos a ::= {3a y a ::= a{3, donde {3 E ~ U {A} Ejemplo: Dada la Expresión Regular anterior, ao = 1*(0 + 1)*,

se obtiene la gramática que genera el lenguaje asociado, calculando todas las derivadas distintas posibles. Se tienen ya calculadas Do(ao) = (0+1)* = al Y Dl(ao) = ao . A partir de éstas, se siguen derivando las expresiones obtenidas que sean distintas de las anteriores. Por tanto,

Doo(ao) = Do((O + 1)*) = Do(O + 1)(0 + 1)* = ). . (O + 1)*

eDdad

= (O +

1)*

= al

= Dol(ao) = Dd(O + 1)*)

=

DdO + 1)(0 + 1)* =

). . (O + 1)* = (O + 1)* = al

Esto da lugar a la gramática:

G= ({O,l},{ao , ad,ao , P) yP:

ao ::= ). I Oal I O I 1ao al ::= Oal I O I 1al I 1

I1

Intuitivamente, se puede observar que existe una gramática equivalente más sencilla, que sería:

G'

=

({O,l},{ao},ao , P)

donde P sería: ao ::= ).IOaol1ao

Esto es debido a que la Expresión Regular de la que se ha partido, ao = 1* (O + 1) *, es equivalente a otra ER más sencilla a~ = (O + 1)*.

96

CAPÍTULO



• Obtención del AF: a partir de esta gramática se puede obtener el AF que reconoce el lenguaje que la gramática genera, por medio del procedimiento visto anteriormente. También se puede obtener el autómata directamente desde las derivadas. Para ello, si ao es la ER de la que se parte y Di son todas las Expresiones Regulares distintas que se obtienen por derivación compuesta con respecto a todos los símbolos de entrada, el AF se puede definir como:

AF = donde

(~,

Di

U

{F}, f,ao, {F})

f se forma:

Si Da(a) = (3, (3 -:j:: >.., (3 -:j::

0: (3 E f(a, a)

Si >.. E Da(a): FE f(a, a) Si>" E ao: FE f(ao,>") Si Da(a)

= 0: f(a, a) = 0

Ejemplo: A partir de las derivadas calculadas anteriormente, se puede generar el siguiente AF que reconoce el lenguaje que representa ao.

A = ({O,l},{ao,F},f,ao,{F}) donde

f sería: f -+ qo *F

°

{qO, F}

1

>..

{qO, F}

{F}

Este autómata es no determinista. A partir de él, se puede generar, como se ha estudiado, el AFD equivalente. Se deja dicho paso como ejercicio para el lector.

Con los algoritmos de equivalencia entre Autómatas Finitos y Gramáticas de tipo 3 de la sección 3.4.4 y los algoritmos de Kleene, se demuestra que un Lenguaje Regular se puede definir como:


97

• el lenguaje generado por una Gramática Regular; • el lenguaje aceptado por un Autómata Finito; ó • el lenguaje representado por una Expresión Regular.

3.6

Autómatas de Células de McCulloch-Pitts

Este tipo de autómatas proviene del estudio de la estructura de las neuronas humanas y sus conexiones, y constituyeron el primer paso para lo que hoy se denominan Redes de Neuronas Artificiales. Debido a esta analogía, a los estados de este tipo de automátas se les denomina células o neuronas.

3.6.1

Definición

Los Autómatas de Células de McCulloch-Pitts están constituidos por un conjunto de células interconexionadas entre sÍ. Las células presentan las siguientes propiedades: • Pueden estar en dos estados: activo (1) o inactivo (O). • Pueden recibir dos tipos de señales a partir de otras células o como entrada del autómata: positivas (1) o negativas (O). • Pueden tener una o varias entradas (ei) de dos tipos: excitadoras (---+) o inhi bidoras (-{)). • Tienen una salida o respuesta, r(t), que será 1 si el estado de la célula es activo ó O si el estado es inactivo. • Su salida puede ir a una o varias células (incluida ella misma). • Su estado en el tiempo t + 1 depende sólo de la entrada que reciban en el tiempo t, pero no del estado en el tiempo t. • Disponen de una función de transición, g, que permite transitar entre estados a partir de las entradas a una célula. • Tienen un umbral u E Z, que, como se verá más adelante, permite definir las diferentes funciones de transición.

98

CAPÍTULO

3.6.2

Representación

3.


Se puede ver gráficamente una célula tal y como se muestra en la figura 3.21, donde e(t) = [el (t), e2(t), ... ,en(t)] es el vector de las entradas de la célula en el instante t, u es el umbral, e es el nombre de la célula, y r(t) es la salida en el instante t. Al estado en el que se encuentra en un determinado instante, se le denominará q(t) .

Figura 3.21: Representación gráfica de una célula de McCulloch-Pitts. Se cumple, además: 1. r(t) = q(t) , con lo que la salida en un determinado instante t depende sólo del estado en ese instante;

+ 1 sólo es entrada en el instante t y es calculado por la función de función de la transición 9 a partir de las entradas en el instante previo t; y

2. q(t

+ 1)

=

g(e(t)), con lo que el estado en el instante t

3. r(t + 1) J: q(t + 1) J: g(e(t)) , con lo que la salida en el instante t + 1 sólo depende del estado al que transicione la célula a partir de las entradas en el instante previo t. De acuerdo a todo esto, su comportamiento es análogo al de una Máquina Secuencial de Moore. Variando la función de transición g, se obtienen diferentes tipos de células. Por ejemplo, se puede definir una 9 de la siguiente forma:

donde n es el número de entradas de una célula, y

e,(t)

~

1 si la entrada es excitadora y la señal es 1 -1 si la entrada es inhibidora y la señal es 1 { O en otro caso

99

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCT ICO

Es decir, las células se activarán si la suma de la señales que recibe en las entradas es mayor o igual que el umbral.

Ejemplo: Dado el Autómata de Células de la figura 3.22, la tabla de la figura refleja las transiciones definidas por la anterior función de transición g(t).

el ~ e

2

1 el o~

~

e3~

el (t)

ei(t) e2(t)

e3(t)

O O O O 1 1 1 1

O O 1 1 O O 1 1

O 1 O 1 O 1 O 1

q(t + 1)

= r(t + 1) O 1 1 1 O O O 1

Figura 3.22: Ejemplo de célula de McCulloch-Pitts y su tabla de transición

Por ejemplo, en el caso de la entrada 101 , la salida será O, ya que la entrada el es inhibidora y por ser su valor 1, cuenta como -1 para la función g.

100

CAPÍTULO

ei(t) e2(t) O O O O O O O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O

el (t)

1 1 1 1

1 1 1 1

3.


ri(t) r2(t) O O O 1 1 O

rl (t)

1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1

1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1

rl (t

+ 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 (i)

1 O 1 O 1 O 1

r( t + 1) = r2 (t + 1) O O 1 1 1 1 1 1 O O 1 1 1 1 1 1

Tabla 3.1: Tabla de transición para el autómata de la figura 3.23. Si se dispone del autómata de la figura 3.23, la tabla de transición será la especificada por la tabla 3.1. En este caso, el autómata recibe dos entradas externas, el Y e2 Y la salida de una célula va a la otra: rl va a C2 Y r2 va a Cl . Además, la salida del autómata, r , es la salida de la célula C2 (r = r2). En la tabla aparecen por una parte el valor de las entradas y de las salidas de las dos células en el instante t, y, por otra parte, las salidas de las células (y del autómata) en el instante t + 1.

l---'-----::~

r

Figura 3.23: Ejemplo de Autómata de Células de McCulloch-Pitts. U n análisis de la tabla de transición muestra que, desde un punto de vista booleano, las funciones lógicas que representan a las dos salidas del Autómata de Células, rl Y r2 = r , serían:


101

rl =el Vr2 r = r2 = rl Ve2

Otra posible función de transición, g' (t), podría ser:

'(t) 9

= {1

si L:i=Oei(t) >.u y Vj ,ej (t) O en caso contrano

=O

donde x es el número de entradas excitadoras de una célula, ei(t ) son las entradas excitadoras, y ej (t) son las entradas inhibidoras. Las células se activarán si la suma de la señales excitadoras que reciben en las entradas es mayor que el umbral y no hay ninguna señal inhibidora.

3.6.3

Construcción de un AF equivalente

Para cada Autómata de Células de McCulloch-Pitts hay un AF equivalente. Para construirlo, se distinguen dos casos: Activación única De todas las entradas, sólo puede haber una activa en cada instante t. Ejemplo: En el caso del autómata de la figura 3.23, sólo habría dos posibilidades: (el = 1, e2 = O) Ó (el = O, e2 = 1).

El AF equivalente sería: AF = (L. , Q, ¡, qo, F)

donde • L. = e, es decir, los símbolos de entrada son las entradas del Autómata de Células. Ejemplo: En el caso del autómata de la figura 3.23, el alfabeto de entrada sería L. = {el, e2 }. El símbolo el del alfabeto de entrada es equivalente a la entrada (el = 1, e2 = O) del Autómata de Células, y el símbolo e2 es equivalente a la entrada (el = O, e2 = 1).

102

CAPÍTULO

3.


• Q es el conjunto de todas las posibles combinaciones de valores de las salidas de las células. Así, si se tienen m células, habría 2m estados en el AF equivalente. Ejemplo: Para el autómata de la figura 3.23, como son dos células, habría cuatro posibles estados, dependiendo de los posibles valores de las salidas de las células:

Q = {(1"1 = 0, 1"2 = O) , (1"1 = 0,1"2 = 1) , (1"1 = 1, 1"2 = O), (1"1 = 1, 1"2 = 1)} Por simplicidad, se representarán dichos estados como:

• El estado inicial del AF , qo, es el estado cuando el Autómata de Células está inactivo. Es decir, todas sus células están inactivas. Ejemplo: Para el autómata de la figura 3.23, qo = qoo

• El conjunto F estará formado por aquellos estados en los que la salida del Autómata de Células esté activa. Cuando el AF esté en alguno de estos estados, la salida del AF deberá ser 1 (aceptación) , y cuando no esté en un estado final , la salida deberá ser O (no aceptación), a efectos de compatibilidad con el Autómata de Células. Ejemplo: En el autómata de la figura 3.23, F = {q01 , qll} , ya que la salida del autómata era la salida de la célula C2, la salida de la célula C2 es igual al estado de dicha célula, y éste está representado por el segundo dígito de los estados del AF.

• La función de transición f se calcula a partir de un estado del AF (combinación de valores de salidas de las células) y una entrada (activación de una entrada determinada del Autómata de Células) , observando qué salida se genera en cada célula.

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQU E PRÁCTICO

103

Ejemplo: La figura 3.24a muestra la tabla de transición para el autómata de la figura 3.23, y la figura 3.24b muestra el diagrama de transición de dicho AF.

f

el

e2

qoo *qOI qlO *qll

qoo qlO qOI qll

qll qll qll qll

--T

a

b

Figura 3.24: Tabla (a) y diagrama (b) de transición del AF equivalente del autómata de la figura 3.23.

Como se puede observar, el Autómata Finito conexo equivalente se calcula eliminando los estados no alcanzables desde el estado inicial, qOI Y qlO· El lenguaje aceptado por los dos autómatas (salida activa en el caso del Autómata de Células y estado final en el AF) sería: l

Activación múltiple En el segundo caso, para pasar de un Autómata de Células a un AF, puede haber varias entradas activas al mismo tiempo o no haber ninguna activa. Ejemplo: En el caso del autómata de la figura 3.23, habría cuatro posibilidades: ¡Ha sido obtenido de manera informal , pero utilizando las expresiones regulares y el teorema de análisis de Kleene vistos en el anterior tema, se puede calcular fácilmente. Se deja como ejercicio al lector.

104

CAPÍTULO


(el (el


= O, e2 = O) , (el = O, e2 = 1) , = 1, e2 = O) , (el = 1, e2 = 1)

El AF equivalente sería: AF = ('L., Q, j , qo, F)

donde • El alfabeto de entrada estará formado por todas las combinaciones posibles de valores para las entradas. Por tanto, si hay n entradas del Autómata de Células, I'L.I = 2n . Ejemplo: En el caso del autómata de la figura 3.23, el alfabeto 'L. = {OO, 01 , 1O, 11} , donde, por ejemplo, el símbolo de entrada 01 del AF se corresponde con los valores de las entradas del Autómata de Células: el = 0, e2 = 1.

• Q se construye de la misma forma que para el caso anterior; es el conjunto de todas las posibles combinaciones de valores de las salidas de las células. Si se tienen m células, habría 2m estados en el AF equivalente. Ejemplo: Para el autómata de la figura 3.23 habría cuatro posibles estados, como se vio anteriormente: Q

=

{(rl = 0, r2 = O) , (rl (rl=1,r2=1)}

= 0 , r2 = 1), (rl =

1,r2

= O),

Por simplicidad, se representarán dichos estados como:

• El estado inicial del AF, qo, es el estado cuando el Autómata de Células está inactivo. Es decir, todas sus células están inactivas. Ejemplo: Para el autómata de la figura 3.23, qo = qoo

105


• El conjunto F estará formado por aquellos estados en los que la salida del Autómata de Células esté activa. Cuando el AF esté en alguno de estos estados, la salida del AF deberá ser de aceptación, y cuando no esté en un estado final, la salida deberá ser de no aceptación, a efectos de compatibilidad con el Autómata de Células.

Ejemplo: En el autómata de la figura 3.23, F = {qOl, qll} , por las mismas razones que en el caso anterior.

• La función de transición f se calcula a partir de cada estado del AF (combinación de valores de salidas de las células) y cada entrada (combinación de valores de las entradas del Autómata de Células) , observando qué salida se genera en cada célula.

Ejemplo: La figura 3.25a muestra la tabla de transición para el autómata de la figura 3.23, y la figura 3.25b muestra el diagrama de transición en dicho AF .

f ---+ qoo *Qol

qlO *qll

00 qlO qlO qll qll

01 qll qll qll qll

a

10 Qoo

qlO qOl qll

11 qOl qll qOl qll

01 ,11

b

Figura 3.25: Tabla (a) y diagrama (b) de transición del AF equivalente del autómata de la figura 3.23.

106

CAPÍTULO

3.

3.6.4

Construcción de un Autómata de Células equivalente a un AF


Para cada AF hay un Autómata de Células de McCulloch-Pitts equivalente. Si el AF = (L:, Q, j, qo, F) , se construye el Autómata de Células de la siguiente forma: ' Cada símbolo de entrada a E L: será una entrada del Autómata de Células.

/

¡1Para cada estado q

E Q y símbolo de entrada a E L:, se crea una célula de nombre qa con umbral u = 2, que recibirá una entrada excitadora

/

desde la entrada a.

,/

/ Para cada transición j (p, a) ~ q y símbolo b E L: se crea un arco excitador desde la célula Pa a cada célula qb. • Se crea una célula de nombre o: con umbral u = 1, que recibe como entrada el símbolo inicial de la cadena, f-. Este símbolo servirá para comenzar el funcionamiento del Autómata de Células.

I ¡

Para cada a E L:, se crea un arco excitador desde la célula .las células qOa·

o:

a todas

Se crea una célula F con umbral u = 2 que recibe una entrada excitadora del símbolo de final de cadena -1. Este símbolo servirá para terminar el proceso de reconocimiento de las palabras de entrada.

• Para cada transición j (p, a) = q tal que q E F , se crea un arco excitador desde Pa a la célula F.

Ejemplo: Dado el autómata A6 cuya tabla de transición aparece en la figura 3.26, el Autómata de Células equivalente se muestra en la misma figura.

Para que el Autómata de Células reconozca las mismas palabras de entrada que el AF se precede la palabra de entrada del símbolo f- y se añade al final de la palabra de entrada el símbolo -l . El Autómata de Células reconoce una palabra cuando la salida de la célula denominada F está activa (genera un 1) .

L ENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

f -tq r

*p

1-

107

O 1 q p r p p r

~

~Cili)

I

~w

4G:G>-

o

4GJY ~

~@-

~~ ~,

F igura 3.26: Autómata de Células correspondiente al AF A6.

3.7

Autómatas probabilísticos

Los Autómatas Finitos Probabilísticos (AFP ) permiten introducir la idea de que las transiciones entre estados a partir de símbolos de entrada pueden no producirse de forma segura (probabilidad igual a 1) sino que existe una determinada probabilidad asociada a que se produzca la transición. Por tanto, no se puede hablar del estado en el que está el autómata en un determinado instante, sino que se habla de la probabilidad de que se encuentre en cada uno de los estados del autómata. Muchas aplicaciones reales se basan en este tipo de comportamiento probabilístico de transición, como, por ejemplo, los movimientos de los robots, el reconocimiento de voz , el entendimiento del lenguaje natural, etc. Algunos ejemplos se verán en el capít ulo 6.

108

CAPÍTULO

3.7.1

Definición


Los Autómatas Probabilísticos se pueden definir de la siguiente forma:

AFP = (E , Q,M, P(O),F) donde • E es el alfabeto de los símbolos de entrada

• Q es el conjunto de estados • M es el conjunto de matrices de probabilidad de transición entre estados, M = {M(a)la E E}

• P(O) es el vector de estado inicial • F

~

Q es el conjunto de estados finales

Existen dos conceptos nuevos con respecto a los AF estudiados hasta ahora y son los que permiten trabajar con las probabilidades: las matrices de probabilidades de transición, que reemplazan a las funciones de transición; y los vectores de estado, que definen la probabilidad de que el autómata se encuentre en cada estado. Estos dos conceptos se analizan en detalle en las siguientes secciones.

3.7.2

Matrices de probabilidad de transición

Por cada símbolo a del alfabeto de entrada E, existe una matriz de probabilidad de transición, M(a), que define la probabilidad de dado que el autómata se encuentre en un determinado estado y reciba el símbolo de entrada a, transite a cada uno de los demás estados. Formalmente, se pueden expresar las matrices como: Pll

M(a) =

(

~~~ Pnl

P12·· ·Pln ) P22·· ·P2n Pn2·· ·Pnn

donde:

• n es el número de estados, n

= IQI;

L Di GUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

109

es la probabilidad de que estando en el estado i y recibiendo una a como entrada, transite al estado j;

• Pij

• para cada Pij, se cumple O ::; Pij • para cada estado i,

'Lj=l Pij

::;

1; Y

= 1.

Ejemplo: Se define el siguiente Autómata Probabilístico:

donde M = {M(O), M(l)} y

M(O) =

1/3 1/3 1/3 ) 1~2

(

O 1

1/2 O

y

M(l) = (

1/2 1/3

1/2 O) 2/3 O

O

O 1

En este autómata, M(O) y M(l) definen las probabilidades de transición para los símbolos de entrada O y 1, respectivamente. ASÍ, la probabilidad de que, al estar en el estado q2 y recibir un O en la entrada, transite al estado ql es M 21 (O) = 1/2, y, si recibe un 1, la probabilidad de esa transición es M 21 (1) = 1/3. El vector inicial de probabilidad define que los tres estados son equiprobables para comenzar en ellos las transiciones, como se trata en la siguiente sección.

3.7.3

Vectores de estados

El vector de estados en un instante de tiempo t, P(t), tiene una componente por cada estado del autómata, y, el contenido de cada posición i del vector, Pi (t), se corresponde a la probabilidad de que en ese instante t el autómata se encuentre en el estado i. Se puede definir como:

110

CAPÍTULO



Se debe cumplir que ¿:i=1 Pi(t) = 1 para cada instante t. Supóngase que se desea calcular la probabilidad de estar en el estado i en el instante t + 1 si en la entrada aparece el símbolo a. Por una parte, el vector de estados proporciona la probabilidad de que en el instante t se encuentre en cada uno de los estados j, a través de sus componentes Pj (t) . Por otra parte, la matriz de probabilidades de transición M (a) proporciona la probabilidad de transitar desde un estado a otro al recibir la entrada a. Por tanto, la probabilidad buscada, Pi (t + 1), se podrá calcular como la probabilidad de estar en el estado 1 en el instante t multiplicado por la probabilidad de transitar desde el estado 1 al i al recibir una a en la entrada, más la probabilidad de estar en el estado 2 en el instante t multiplicado por la probabilidad de transitar desde el estado 2 al i al recibir una a en la entrada, y, así sucesivamente para todos los estados del autómata. La fórmula resultante será: n

Pi(t + 1) =

L Pj(t)Mji(a) j=1

y la fórmula de cálculo para el vector completo será:

P(t + 1) = P(t) x M(a)

Ejemplo: Dado el autómata AF PI, si el vector de estados es el inicial, P(O) = (1/3 1/3 1/3), y se recibe un O, las componentes del vector de estados serán:

3

PI (1)

L

Pj (0)Mj1 (O) = 1/3 x 1/3 + 1/3 x 1/2 + 1/3 x 0=5/18

j=1 3

P2(1)

L

Pj(0)Mj2 (0) = 1/3 x 1/3 + 1/3 x 0+ 1/3 x 1 = 4/9

j=1 3

P3(1)

L j=1

Pj (0)Mj3 (0) = 1/3 x 1/3 + 1/3 x 1/2 + 1/3 x 0=5/18

111


y P(l) sería: P(l) = (5/18 4/9 5/18) y, por tanto, sería más probable encontrarse en el estado Q2 . Si recibiera como entrada un 1, las componentes del vector de estados en el momento t = 1 serían:

3

PI (1)

L Pj(O)Mjl (1) = 1/3 x 1/2 + 1/3 x 1/3 + 1/3 x 0=5/18 j=1 3

P2 (1)

L Pj (O)Mj2 (1) = 1/3 x 1/2 + 1/3 x 2/3 + 1/3 x O = 7/18 j=1 3

P3 (1)

L Pj (O)Mj3 (1) = 1/3 x 0+ 1/3 x 0+ 1/3 x 1 = 1/3 j=1

y P(l) sería: P(l) = (5/18

3.7.4

7/18

1/3).

Lenguaje aceptado por un AFP

Como se ha visto en la sección anterior, si se recibe como entrada el símbolo a E ~, se puede calcular el vector de estados en el instante 1, P(l), a partir del vector de estados inicial P(O) y de la matriz de probabilidad de transición M (a) como: P(l) = P(O) x M(a)

(3.1)

Si en ese instante 1 se recibe el símbolo b E ~, el vector de estados en el instante 2, se puede calcular análogamente con el P(l) y M(b) como: P(2) = P(l) x M(b)

Sustituyendo 3.1 en 3.2 daría: P(2) = P(O) x M(a) x M(b)

Si se generaliza, cuando en la entrada se recibe la palabra x = aIa2 . .. ap , el vector de estados en el instante p será:

(3.2)

112

CAPÍTULO



rr p

P(p) = P(O)

X

M(ad

X

M(a2)

X ... X

M(a p ) = P(O)

X

M(ad

(3.3)

i=1

Por simplicidad, se utilizará la notación P(x) para referirse al vector de estados resultante de transitar desde el estado inicial al recibir la palabra

x. Ejemplo: En el AFPI, el vector de estados (del instante 2) después de recibir la palabra de entrada x = 01 será:

P(Ol)

P(O)

X

M(O)

X

M(l) =

= (1/3 1/3 1/3)

X

(5(18 4(9 5(18) =

( x

1/3 1/3 1/3) 1/2 O 1/2 O

1

O

X

(1/2 1/3 O

(:~i ;~i ~)

(31/108 47/108 5/18)

A partir de estas definiciones, se puede calcular la probabilidad de que un determinado estado i sea accesible desde el estado inicial al recibir una determinada palabra de entrada x E E*. Para ello, se calcula la probabilidad de que, desde el estado inicial se llegue al estado i al realizar transiciones con dicha palabra, por la fórmula 3.3 y se selecciona la posición i, Pi(x). Ahora, se puede calcular la probabilidad de que, al recibir en la entrada la palabra x, se llegue a un estado final, PF(x), sin más que sumar las Pi(X) de los estados i E F:

PF(X) =

L Pi(X) iEF

Ejemplo: En el AF PI , la probabilidad de que el autómata transite a un estado final desde el inicial al recibir la palabra 01 será 5/18, ya que sólo hay un estado final, Q3, y P3 (01) = 5/18.


113

Muchas veces, sólo es necesario saber la probabilidad de estar en algún e tado final. En estos casos, lo visto anteriormente es suficiente para calcular dicho valor. Sin embargo, otras veces se desea saber si el autómata ha aceptado o no una determinada palabra. Para ello, se recurre a un artificio consistente en definir un umbral e que cumpla O ::; e ::; 1. A partir de su definición, un autómata aceptará una palabra x si PF(X) ~ e. Obviamente, cuanto mayor sea el umbral, más restrictivo será el AFP, ya que se aceptarán menos palabras. Formalmente, se amplia la definición de AFP, vista al comienzo del tema, con e: AFP

= (E,Q,M,P(O),F, e)

El lenguaje aceptado por dicho AFP serán todas las palabras cuyas transiciones lleven a algún estado final con una probabilidad mayor o igual que el umbral. Es decir,

LAFP = { XIPF(X) ~

e ,x E E*}

Ejemplo: En el AFP1 , si se define el umbral e = 1/2, la palabra 01 no sería aceptada por el autómata, ya que

PF(Ol) = 5/18 < 1/2 Si el umbral fuera

3.7.5

e=

1/4, sí sería aceptada.

AF como AFP

Los Autómatas Finitos Deterministas y No Deterministas son un caso part icular de AFP, en el que las probabilidades son O ó 1. Si se tiene un A F D = (E , Q , J, qo , F), se puede obtener el AFP equivalente: AFP donde

= (E , Q,M,P(O),F,e)

114

CAPÍTULO

3.


• el vector inicial debe reflejar la idea de que sólo se está inicialmente en un estado, qo, yen ninguno más. Por tanto,

Pi(O) = {1 si i = qo

O en caso contrario

• todas las transiciones permitidas por la función de transición f tienen probabilidad igual a 1, mientras que las que no se producen, tienen probabilidad igual a O. Por tanto, para cada símbolo a E ~,

Mi. a = J( )

{1

si f(i, a) = j O en caso contrario

• el umbral debe ser mayor que cero, siendo válido cualquier valor. Ejemplo: Dado el autómata A6 descrito en el tema de células de McCulloch-Pitts, y cuya tabla de transición se muestra a continuación:

f -+q r

*p

O 1 q P r p p r

el AFP equivalente sería, por ejemplo:

AF P = ({O, 1}, {q, r,p}, M , P(O), {p}, 0.5) donde P(O)

= (1

O O) Y

M(O) =

M(!) =

(~O O~ ~) 1

O~ n


115

EJERCICIOS

Los ejercicios del capítulo 3 constituyen gran parte de los ejercicios del libro, debido, fundamentalmente, al gran desarrollo teórico efectuado en este tema, así como la gran cantidad de aplicaciones que se basan en ellos. Ejemplos de algunas de estas aplicaciones se analizan en el capítulo dedicado a las mismas. Para facilitar la labor al lector, se han dividido en los grupos temáticos, que corresponden a las secciones en las que está dividido el capítulo. Así, conforme se van leyendo las diferentes secciones, el lector puede ir reforzando la teoría con los ejercicios correspondientes a las secciones. • Ejercicios del 3.1 al 3.3: relativos a gramáticas de tipo 3 • Ejercicios del 3.4 al 3.10: relativos a Máquinas Secuenciales • Ejercicios del 3.11 al 3.26: relativos a Autómatas Finitos Deterministas y No Deterministas y Expresiones Regulares • Ejercicios del 3.27 al 3.30: relativos a Autómatas de Células de McCulloch - Pitts • Ejercicios 3.31 y 3.32: relativos a Autómatas Probablísticos • Ejercicios del 3.33 al 3.42: más complejos, que resumen diferentes apartados El objetivo de este último tipo de ejercicios es mostrar cómo los diferenes conceptos descritos en el capítulo, como son las Gramáticas, Lenguajes :- Expresiones Regulares, así como los Autómatas Finitos y equivalentes, tán todos relacionados, y se pueden transformar unos en otros, por medio e los algoritmos estudiados en la componente teórica del capítulo.

116

CAPÍTULO

Ejercicio

30

GRAMÁTICAS REGULARES

y

AUTÓMATAS FINITOS

13.11

Con el alfabeto ~ = {O, 1,2,3,4,5, 6,7,8, 9} encontrar una gramática regular que genere números múltiplos de 3 de cualquier número de cifras o

Para que un número sea múltiplo de 3, la suma de sus cifras debe ser divisible por 30 8i se dividen los dígitos del O al 9 en tres grupos tales como P= {O, 3, 6, 9}, Q= {2, 5, 8} Y R= {1, 4, 7} se puede afirmar que: • Los números creados por combinación de los dígitos de P son múltiplos de 3 (por ejemplo, los números 663009 y 360) • Los números formados por combinación de los dígitos de Q y R en la misma proporción son múltiplos de 3 (por ejemplo los números 1125 y 4287) • Los números formados por combinación de los dígitos de Q y R en la misma proporción y con cualquier número de dígitos de P son múltiplos de 3 (por ejemplo, los números 3021 y 21567) Así, se puede definir la gramática que genera este lenguaje (y que además es regular) G = (~T, ~N, S, P) , donde ~T = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ~N = {S, D , U} , 8 es el axioma y Pes: 8 D U

0000 00000000

O I 3 I 6 I 9 I 08 I 38 I 68 I 98 I ID I 4D I 7D I 2U I 5U I 8U 2 I 5 I 8 I 28 158 188 1 1U I 4U I 7U I OD I 3D I 6D I 9D 1 I 4 I 7 I 18 I 48 I 78 I 2D I 5D I 8D I OU I 3U I 6U I 9U


Ejercicio

117

13.21

Obtener el lenguaje que genera la siguiente gramática regular: G

donde ~T

= {O, 1}.

~N

= (~T, ~N, S, P)

= {S}.

S es el axioma y Pes:

S ::= OS 11S I A

La gramática G es una gramática regular lineal por la derecha. La producción S ::= OS permite introducir cualquier número de símbolos O y la aplicación de la producción S ::= lS permite introducir también cualquier número de símbolos 1. Esto significa que las palabras generadas por G constan de cualquier número de O y 1 en cualquier posición, es decir:

L={(O+l)*} Algunos ejemplos de palabras son:

O 1

000010010101 0000000001111111

Ejercicio

13.31

Definir una gramática regular que dado el alfabeto ~T = {a, b, e, d}. genere cadenas que no contengan la secuencia "bc"

Este lenguaje se puede generar con una gramática regular lineal por la derecha. Para ello sólo se necesitan dos símbolos no terminales S y A. Considerando S como el axioma se tiene el siguiente conjunto de producciones:

...

118


CAPÍTULO

aS I dS I cS I bA I a I d I c bA I aS I dS I b I a I d

S A Con las producciones:

S

aS

I dS I cS I a I d I c

se introduce en la cadena cualquier número de símbolos a, d, c. Con la producción:

S

bA

se controla que cuando se introduzca un símbolo b, sólo puedan aplicarse las producciones:

A

bA I aS

I dS I b I a I d

que no permiten que aparezca un símbolo c a continuación del símbolo

b.

Ejercicio

[3.41

Se desea regular el tráfico de un cruce de cuatro calles con un semáforo en la confluencia de cada calle con el cruce. Las reglas que regirán estos semáforos son las siguientes: • Un semáforo no podrá estar en rojo si no existe tráfico en ninguna de las calles perpendiculares a la que regula dicho semáforo • Habrá que respetar la regla de "el que viene por la derecha tiene prioridad", pero sólo si hay el mismo número de calles ocupadas en una dirección que en otra. • Tendrá prioridad la dirección que tenga más calles ocupadas con tráfico


119

B Figura 3.27: Los tramos A y B pertenecen a la primera dirección, y los tramos C y D pertenecen a la segunda dirección. Los semáforos de una misma dirección tienen el mismo comportamiento Diseñar una Máquina Secuencial que modelice el funcionamiento de los semáforos del problema (figura 3.27).

Un cruze tiene dos calles, la primera formada por la dirección A-B (tramo A de la primera calle, tramo B de la primera calle), y la segunda por la dirección C-D (tramo C de la segunda calle, tramo D de la segunda calle). Cada calle está regulada por dos semáforos, aunque los dos semáforos que pertenecen a la misma dirección tienen idéntico comportamiento. Por lo tanto la máquina secuencial a diseñar deberá tener presente solo dos semáforos , uno por dirección. Cada uno de los tramos de las calles puede tener tráfico o no. Para diseñar la MS hay que identificar en primer lugar las entradas. Para ello se puede elegir, en lugar de si un tramo de una calle tiene o no tráfico, el hecho de si ha cambiado de estado, en este caso hay 8 entradas de la siguiente manera:

A - > El tramo A pasa de no tener tráfico a tener tráfico A - > El tramo A pasa de tener tráfico a no tener tráfico

120

CAPÍTULO

-> B -> e -> e -> D -> D -> B



El tramo B pasa de no tener tráfico a tener tráfico El tramo B pasa de tener tráfico a no tener tráfico El tramo C pasa de no tener tráfico a tener tráfico El tramo C pasa de tener tráfico a no tener tráfico El tramo D pasa de no tener tráfico a tener tráfico El tramo D pasa de tener tráfico a no tener tráfico

Una vez determinadas las entradas la salida será simplemente cuál de los dos semáforos estará en verde, sabiendo que cuando uno esté en verde el otro deberá estar en rojo. Si se denomina SA, SB, SC y SD a los semáforos de los tramos A, B, C y D respectivamente se tiene que: • Salida=1. Corresponde a la situación SA= Verde, SB= Verde, SC=Rojo y SD=Rojo • Salida=2. Corresponde a la situación SA=Rojo, SB=Rojo, SC= Verde y SD=Verde En cuanto a los estados, se corresponderán con todas las posibles situaciones "de existencia de tráfico en los diferentes tramos. Así se tendrá la siguiente tabla:

-> qo -> ql -> q2 -> q3 -> TO -> TI -> T2 -> T3 -> T4 -> T5 -> So -> p

No hay tráfico en ningún tramo Sólo hay tráfico en el tramo A Sólo hay tráfico en el tramo B Sólo hay tráfico en el tramo C Sólo hay tráfico en el tramo D Sólo hay tráfico en los tramos A y B Sólo hay tráfico en los tramos A y C Sólo hay tráfico en los tramos A y D Sólo hay tráfico en los tramos B y C Sólo hay tráfico en los tramos B y D Sólo hay tráfico en los tramos C y D Sólo hay tráfico en los tramos A, B y C


SI

-

S2

-

S3

-

> Sólo hay tráfico en los tramos A, B y D > Sólo hay tráfico en los tramos A, C y D > Sólo hay tráfico en los tramos B, C y D

t

-

> Hay tráfico en todos los tramos

121

Cada uno de los estados anteriores tiene una salida determinada, es decir, la salida no depende de la entrada, sino únicamente del estado. Así pues, la máquina que se ha diseñado es una máquina secuencial de Moore: MO=({A,B,C,D ,A , B , e, D},{1,2},Q,J,g) donde Q = {P, qO , ql , q2 , q3,rO , rl ,r2,r3,r4, r5,so,sl ,S2,s3,t}, f:

e

A qo qo

B ql

C q2

D q3

A

B

P

P

rl

r2

P P

P

ro

ro

ql

r3

r4

qo ql

rl

r3

q2

r5

qo ql q2

r2

r4

r5

q3

ro

ro

ro

So

SI

rl

rl

So

rl

S2

f p

qo ql q2 q3

r2

r2

SI

S2

r2

r3

So

r3

r3

S3

r4

SI

r4

S3

r4

qo ql p q2 q2 q3 q3 ql qo q2 rl q3 r2 q2 r3 r4 q3

r5

S2

S3

r5

r5

r5

r5

So

So

So

So

t

r3

SI

SI

SI

t

SI

r4

S2

S2

t

S2

S2

S3

t t

S3

S3

S3

t

t

t

S3

t

P

D

q3

P

ro

ro

qo

rl

r2

qo

ql

r3

r4

q3

ql q2

rl

ro

So

r2

SI

ro

r5

S2

r2

rl

S3

r5

r4

r3

S2

SI

So

y g:

d

122

CAPÍTULO

Ejercicio

3.


13.51

Determinar la Máquina Secuencial capaz de ir calculando la suma parcial de los números que va recibiendo y producir como salida el módulo 5 de dicha suma parcial. Por ejemplo, si se recibe la cadena 642531, la suma parcial sería 6, 10, 12, 17, 20 Y 21; Y la salida que deberá producir la máquina será: 102201

Para poder acumular las sumas parciales como estados en la MS a diseñar, se necesitarían infinitos estados, así pues no es posible hacerlo de esta forma. Hay que encontrar una sucesión que represente el problema y que permita hallar el siguiente término en función del anterior, de forma que se pueda recoger dicha sucesión en una MS con un número finito de estados. Para calcular el módulo de la suma parcial, no es necesario guardar las sumas parciales acumuladas, bastará con guardar el resultado del último módulo de la siguiente forma:

So = Eo Mod 5 Sl = ((Eo Mod 5) S2 = ((((Eo Mod 5)

+ Ed

+ El)

Mod 5) = (So

Mod 5)

+ E2 )

+ Ed

Mod 5

Mod 5 = (Sl

+ E2 )

Mod 5

donde Si es la suma parcial i-ésima, y Ei es la entrada i-ésima, que en este caso se corresponde con el dígito i-ésimo (empezando a contar de izquierda a derecha). Generalizando se puede deducir:

Que es la sucesión que se necesitaba. De esta forma, se puede diseñar una MS de Moore con tan sólo 5 estados que resuelva el problema. La entrada sería cada uno de los dígitos del O al 9, la salida el módulo resultado de O a 4, y los estados se corresponderían con cada uno de los módulos, p con O, q con 1, ... , t con 4:

L ENGUA J ES, GRAMÁTICAS y A UT ÓMATAS: UN E NFOQ UE PRÁCTICO

123

MO=( {0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9} ,{0,1,2,3,4 },{p,q,r,s,t },f,g) donde f:

f p q r s t

O 1 p q q r r s s t t P

2 r s t P q

3 s t p q r

4 t p q r s

5 p q r s t

6 q r s t p

7 r s t p q

8 s t p q r

9 t p q r s

siendo g:

~1~lil~I;I!1 El comportamiento con la entrada del ejempl o

t

Q(t)

to tI t2 t3 t4 ts t6

P q p' r r P q

E 6 4 2 5 3 1

S

Q(t+1 ) q

1 O 2 2 O 1

P r r

64~531 ,

sería:

P q

Se empieza en el est ado p , al est ar asociado a la salida O que es el elemento neutro de la suma. Se puede comprobar cómo la salida obtenida es la deseada, es decir: 102201

Ejercicio

13.61

Determinar la Máquina Secuencial capaz de ir calculando el producto parcial de los números que va recibiendo y producir como salida el módulo 4 de dicho producto parcial.

124

CAPÍTULO


Por ejemplo, si se recibe la cadena 372947 los productos parciales serían: 3, 21, 42, 378, 1512 Y 10584; Y la salida que deberá producir la máquina será: 312200

Para poder acumular los productos parciales como estados en la MS a diseñar, se necesitarían infinitos estados, así pues no es posible hacerlo de esta forma. Al igual que en el ejemplo anterior, habrá que encontrar una sucesión que represente el problema y que permita hallar el siguiente término en función del anterior de forma que se pueda recoger dicha sucesión en una MS con un número finito de estados. Para calcular el módulo del producto parcial no es necesario guardar los productos parciales acumulados, bastará con guardar el resultado del último módulo de la siguiente forma:

So = Eo Mod 4 SI = ((Eo Mod 4) x Ed Mod 4) = (So x Ed Mod 4 S2 = ((((Eo Mod 4) x Ed Mod 4) x E2) Mod 4 = (SI x E2) Mod 4 donde Si es el producto parcial i-ésimo, y Ei es la entrada i-ésima, que en este caso se corresponde con el dígito i-ésimo (empezando a contar de izquierda a derecha). Generalizando se puede deducir:

que es la sucesión que se necesitaba. De esta forma se puede diseñar una MS de Moore con tan sólo 4 estados que resuelva el problema. La entrada sería cada uno de los dígitos del al 9, la salida el módulo resultado de a 3, y los estados se corresponderían con cada uno de los módulos, p con 0, q con 1, r con 2 y s con 3:

°

°

MO=( {0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9},{0,1,2,3},{p,q,r,s },f,g) donde f:

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFO QUE PRÁCTICO

f p q r S

O p p p p

1 p q r S

2 p r p r

3 p

4

p p p p

S

r q

5 p q r S

6 p r p r

7 p S

r q

8 p p p p

125

9 p q r S

La interpretación de la tabla anterior podría Ser la siguiente: Si se está en el estado, por ejemplo, s, es decir el estado en que se ha producido un resultado de 3 en la última operación de módulo, y se recibe la entrada 7, se pasará al estado resultado de aplicar el módulo 4 al producto de 3 por 7, es decir 21 Mod 4 = 1, es decir se pasará al estado q. Lo mismo se aplicaría al resto de las casillas de la tabla anterior. La función g quedaría:

El comportamiento con la entrada del ejemplo 372947, sería:

t

to tI t2 t3 t4 t5 t6

Q(t) q S

q r r P P

E 3 7 2 9 4 7

S

Q(t+l ) S

3 1 2 2 O O

q r r P P

Se empieza en el estado p, al estar asociado a la salida 1 que es el elemento neutro del producto. Se puede comprobar cómo la salida que produce es 312200, que es la correcta.

126

CAPÍTULO

Ejercicio

3.


13.71

Diseñar una Máquina Secuencial que modelice el comportamiento de la máquina de refrescos descrita a continuación: se dispone de una máquina expendedora de tres productos distintos: PI, P2 Y P3. El precio del primero es de 20 pesetas, el del segundo de 15 y el del tercero de 40. La máquina admite monedas de 5, 10 Y 25 pesetas, y tiene cuatro botones uno para cada uno de los productos que provee, y otro para que devuelva el dinero introducido en caso de arrepentimiento a la hora de seleccionar el producto. Se considerarán las siguientes restricciones: • La máquina no podrá memorizar una cantidad de dinero que sobrepase la cantidad del producto más caro • Si se selecciona un producto para el que no se ha introducido el dinero suficiente, la máquina devolverá todo el dinero introducido y no dará el producto • Si se selecciona un producto para el cual se ha introducido dinero de sobra , dará el producto y se quedará con el dinero para que se pueda realizar una nueva selección o introducir más dinero

La Máquina Secuencial que resuelve este problema será la siguiente: • Como entradas se tiene la moneda de 25 pesetas, la de 10 y la de 5, los botones de los productos uno, dos y tres, y el botón de devolución de monedas • Como salida se tienen todas las posibilidades de cambio que permite el problema: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. También serán posibles salidas cada uno de los tres productos • Habrá un estado por cada una de las cantidades de dinero que la máquina puede almacenar: 0, 5, 10, 15, 20, 25 , 30, 35, 40 Con esta descripción, las funciones de transición y salida de la máquina serían las que aparecen en las siguientes tablas:

L ENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

f qo q5 qlO qI5 q20 q25 q30 q35 q40

g qo q5 QlO QI5 Q20 Q25 Q30 Q35 Q40

Ejercicio

5

10

25

q5 qlO qI5 q20 q25 Q30 q35 q40 q40

qlO qI5 q20 q25 q30 q35 q40 q40 q40

q25 q30 q35 q40 q40 q40 q40 q40 q40

5

10

25

o o o o o o

o o o o o o

PI

P2

P3

O O

O

5 10

PI PI PI PI PI

P2 P2 P2 P2 P2

20 25 30 35

5

5 10 15 20 25

PI P2 P3 qo qo qo qo qo qo qo qo qo qo qo qo qo q5 qo q5 qlO qo qlO qI5 qo qI5 q20 qo q20 q25 qo

127

e qo qo qo qo qo qo qo qo

qo

e o o o o o o 5 5 5 5 o 10 10 10 10 o 15 P2 15 15 20 25 30 35 P3 40

13.81

Se pretende diseñar una Máquina Secuencial (de Mealy o Moore) que resuelva el siguiente problema : sea una máquina que se mueve a través de un tablero bidimensional de 15 x 15 casillas. La máquina sólo puede realizar tres operaciones: girar a la izquierda, girar a la derecha y avanzar a la casilla siguiente. La máquina está orientada en una determinada dirección: Norte, Sur, Este u Oeste. Al avanzar irá a la casilla contigua a la que se encuentra en la dirección en la que está orientada . Al girar a la derecha cambiará su orientación de forma que si miraba al este mirará al sur, etc ... De la misma forma , si gira a la izquierda y estaba mirando al este pasará a mirar al norte etc. ..

128

CAPÍTULO


Las casillas pueden estar vacías o tener comida (una unidad de comida como máximo por casilla) siguiendo un camino determinado. Si la máquina avanza accediendo a una casilla en la que había comida, esta desaparece y la máquina se come la comida. El objetivo de la máquina será el de comer el mayor número de comida en el menor tiempo posible, este parámetro sirve para evaluar la eficacia de la máquina diseñada. Como se ha especificado, la comida seguirá un camino prefijado. Dicho camino podrá tener agujeros (casillas sin comida) en cualquier posición, pero nunca mayor de la unidad. Un ejemplo de caminos diferentes pueden ser los recogidos en la figura 3.28. La máquina partirá siempre de la casilla superior izquierda (la 1-1), y estará orientada hacia el este, tal y como se aprecia en la figura 3.28. La máquina no deberá hacer ningún movimiento que la situe fuera de los márgenes del tablero.

• •• ••

••

•

••

• • •• •• •• •• •• • •• • •• • ••• •• •• ••

•• •• •• • •

••• ••• •• •• •• •

•• • • • • •• •• •• •• • •• • •• • ••

Figura 3.28: Ejemplo de caminos del problema

Si se supone que sólo existirá un hueco entre cada unidad de comida, para resolver el problema, la MS deberá ser capaz de mirar en todas las posiciones contiguas a una dada hasta que encuentre comida. Esta será la solución que aquí se describe. El alfabeto de entrada es: Comida, Vacío o Muro. Esta última opción se introduce para evitar que la máquina se salga de los bordes del tablero. Así pues:


I;E

129

= {V, e, M}

donde V es Vacío, C es Comida, y M es Muro. La salida de la máquina será el movimiento a realizar: 1 giro a la izquierda, D giro a la derecha y A avanzar una casilla. La definición formal completa de la máquina será:

MS = {{V, e, M} , {I, D, A}, {p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, j, g} donde la tabla de transición viene dada por: j p q r s t u v

V q r s t u v

C p p p

w

w

w

x y

p p p p P

t

C

M

A A A A A A A A A A A

D D D D D D D D

x y

z

z t

P P P

M q r s t t v x y y

y la de salida por: g p q r

s t u v w x

Y z

V D D D D

A D D D

1 A 1

1 D

1

I

l'

130

CAPÍTULO

3.


Cada estado se refiere a una de las orientaciones que la máquina ha examinado sin haber encontrado comida, de forma que si la encuentra (entrada 1) pasa a la situación inicial (estado p), y si no la encuentra realiza el giro o el avance correspondiente para examinar las situaciones que aún le quedan por mirar en los alrededores.

Ejercicio

13.91

Diseñar formalmente (indicando alfabeto de entrada, alfabeto de salida, conjunto de estados y funciones de transición y salida en forma de tablas) una Máquina Secuencial que resuelva el siguiente problema : Un ascensor se mueve entre tres pisos. En cada piso existe un botón para solicitar el ascensor, y en el interior hay 3 botones, uno para cada piso, con los cuales se indica el piso al que se desea ir. El ascensor tiene capacidad para una sola persona. Se trata de que el sistema que gobierne el comportamineto del ascensor sea lo más eficaz posible. Como es lógico el ascensor puede estar vacío, lleno, parado o en movimiento.

La Máquina Secuencial tendrá las siguientes entradas: • V.- No se ha apretado ningun botón • Pl.- Se ha apretado el botón del piso 1 • P2.- Se ha apretado el botón del piso 2 • P3.- Se ha apretado el botón del piso 3 • P12.- Se han apretado los botones de los pisos 1 y 2 • P13.- Se han apretado los botones de los pisos 1 y 3 • P23.- Se han apretado los botones de los pisos 2 y 3 • P123.- Se han apretado los botones de los pisos 1, 2 Y 3 • Al.- Se ha apretado el botón 1


131

• A2.- Se ha apretado el botón 2 • A3.- Se ha apretado el botón 3 En cuanto a los estados, el ascensor puede estar parado, en movimiento, lleno o vacío. El objetivo es que si el ascensor está moviéndose en una determinada dirección, no cambie el sentido hasta que no haya cumplido el objetivo del movimiento que lleva (dejar el ocupante, recoger un nuevo ocupante). En este caso, cuando el ascensor está en movimiento, es indiferente si lo está para recoger a un ocupante o para dejarle. Por lo tanto, se derán considerar las siguientes situaciones: • Si el ascensor está vacío y parado, en qué piso está (3 estados. VI, V2, V3) • Si el ascensor está lleno y parado, en qué piso se encuentra (3 estados. L1, L2, L3) • Si el ascensor está en movimiento, de qué piso a qué piso va (6 estados. M12, M13, M23, M32, M31, M21) Ahora sólo quedará rellenar las tablas de transición y de salida de la máquina.

VI V2 V3 L1 L2 L3 M12 M13 M21 M23 M31 M32

V VI V2 V3 L1 L2 L3 V2 V3 VI V3 VI V2

PI L1 L1 L1 L1 L1 L1 V2 V3 L1 V3 L1 V2

P2 L2 L2 L2 L2 L2 L2 L2 V3 VI V3 VI L2

P3 L3 L3 L3 L3 L3 L3 V2 L3 VI L3 VI V2

P12 L1 L2 L2 L1 L2 L2 L2 V3 L1 V3 L1 L2

P13 L1 L3 L3 L1 L3 L3 V2 L3 L1 L3 L1 V2

P23 L2 L2 L3 L2 L2 L3 L2 L3 VI L3 VI L2

P123 L1 L2 L3 L1 L2 L3 L2 L3 L1 L3 L1 L2

Al VI M21 M31 VI M21 M31 M12 M13 M12 M12 M12 M12

A2 M12 V2 M32 M12 V2 M32 M12 M13 M12 M12 M12 M12

A3 M13 M23 V3 M13 M23 V3 M12 M13 M12 M12 M12 M12

132

CAPÍTULO

3.


La función de salida podría ser cualquiera con un significado relevante. Por ejemplo, si el ascensor está ocupado o no, o si está en movimiento o no, una combinación de las anteriores, etc ...

Ejercicio 13.10 I Diseñar formalmente (indicando alfabeto de entrada, alfabeto de salida, conjunto de estados y funciones de transición y salida en forma de tablas) una Máquina Secuencial que resuelva el siguiente problema: Se desea regular el tráfico en un paso a nivel con barrera . Para ello se dispone de una señal que se acciona cuando un tren está cerca del paso a nivel. Se dispone, a su vez, de cuatro células fotoeléctricas (el a c4) capace5 de recoger la llegada de vehículos. Las células disponen de dos tipos de señal: una que determina que un vehículo ha pasado por delante, y otra que es capaz de determinar si un vehículo está parado frente a ella . Las células el y c2 estarán controlando a los vehículos que se dirigen al paso a nivel en cada uno de los sentidos. Las células c3 y c4 a los que acaban de salir del mismo . Se trata de, automáticamente, determinar cuándo los semaforos que controlan el paso a nivel deben estar rojo o verde . Hay que tener en cuenta las siguientes restricciones: • El tren no deberá pararse bajo ninguna circunstancia • No deben producirse colisiones • Si la carretera está atascada a la salida del paso a nivel, no permitir que los vehículos entren en el paso a nivel, aunque no venga ningún tren

El paso a nivel estará regulado por dos semáforos, uno para cada dirección de la carretera. Las salidas se corresponderán a cada semáforo y serán:


133

N

NV NR SV SR

---+ ---+ ---+ ---+

Semáforo Semáforo Semáforo Semáforo

norte verde norte rojo sur verde sur rojo

Para regular los semáforos sólo se necesitan las células fotoeléctricas a la salida del cruce, ya que a la entrada da igual que se produzcan atascos. Sin embargo, un atasco a la salida puede hacer que los coches se coloquen encima de la vía del tren y le obliguen a pararse, cosa que no debe estar permitida. Así pues las entradas serán:

CNl CN2 CSl CS2 TL TS

---+ ---+ ---+ ---+ ---+ ---+

Célula norte de paso de vehículo Célula norte de vehículo parado Célula sur de paso de vehículo Célula sur de vehículo parado Tren que llega al paso a nivel Tren que ha pasado el paso a nivel

Con estas entradas y salidas, los diferentes estados en que podrá encontrarse el sistema serán los siguientes:

134

CAPÍTULO

v R N S RN RS SN RSN

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

3.


Paso sin atascos ni tren Paso del tren Atasco en el norte Atasco en el sur Paso del tren y norte atascado Paso del tren y sur atascado Atascos en norte y sur Paso del tren y atascos en norte y sur

Con esto la tabla de la Máquina Secuencial quedará:

V j(NV,SV) Rj(NR,SR) Nj(NV,SR) Sj(NR,SV) RNj(NR,SR) RSj(NR,SR) SNj(NR,SR) RSNj(NR,SR)

CN2 N RN N SN RN RSN SN RSN

CS2 S RS SN S RSN RS SN RSN

TL R R RN RS RN RS RSN RSN

TS V V N S N S S SN

CNl V R V S R RS S RS

CSl V R N V RN R N RN

Un ejemplo del significado de la tabla podría ser, para la fila 3, columna 3, el siguiente: Si está atascado el cruce en la parte norte (N), ponemos el semáforo del sur en rojo (SR) para que no se sigan acumulando coches en el atasco, el semáforo del norte podrá estar en verde (NV). Si se recibe la señal de que llega un tren se pasa al estado de paso de tren y norte atascado (RN) , para el cual se pondrán en rojo ambos semáforos (NR,SR) . Esta es una posible solución al problema. Otra podría ser colocando dos Máquinas Secuenciales, una para cada semáforo. Esta solución se deja como ejercicio al lector.

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQU E PRÁCTICO

135

Ejercicio [3.111 Comprobar si los siguientes Autómatas Finitos Deterministas son equivalentes: AFD1={ {a,b,c },{p,q,r,s,t,u,v },h ,p,{ s,t,u,v}) "'V'''''

,0fY1b o\h

-----v----

J-tl

J;~(i.A¡l

h -+p q r *8

*t *u

*v

a r q p q t t u

Cjtu \.,~ 0.\-Q '~o--. ~ 0"'\w.. b ~ e \ t q v p u r t u v u t v u t

AFD2={ {a,b,c },{p,q,r,s,t },12 ,p,{ r,s,t})

12 r*

a s t q

8*

S

t*

t

-+p q

b q

P

P t t s

q s s s

e

En primer lugar, se halla para cada uno de ellos su autómata mínimo Si ambos son isomorfos, querrá decir que los autómatas origi.::...:..:. .. : son equivalentes. ~~-li \-alente.

_- li D!

Se elimina en primer lugar el estado 8 al ser un estado inaccesible. A se determina el conjunto cociente de AF DI:

~o nt inuación

Q/Eo = {{p ,q,r},{u,v,t}} Q/E = Q/Eo

=

{{p,q,r}, {u ,v, t}}

136

CAPÍTULO

3.


Haciendo A = {p , q, r} y B = {u, v, t} el autómata mínimo quedará: AFDMl={ {a,b,c},{A,B},jmI ,A,{B}} fmI

-tA *B

a A B

b B B

a,c~~~a,b,c

c A B

-~

0

AFD2 Se puede eliminar, en primer lugar, el estado r al ser un estado inaccesible. El cálculo del conjunto cociente sería:

Q/Eo

=

{{p,q},{s,t}}

Q/E = Q/Eo = {{p, q} , {s, t}} Haciendo A = {p , q} y B = {s ,t} el autómata mínimo quedará: AFDM2={ {a,b ,c},{A,B},jm2,A,{B}}

f m2 -tA *B

a B B

b A B

c A B

Si se comparan AFDMl y AFDM2 se comprueba que no son isomorfos. Por lo tanto, AFDl y AFD2 no son equivalentes. Una solución alternativa consistiría en calcular el lenguaje aceptado por cada uno de ellos, a través de las expresiones regulares, y comprobar si el resultado es idéntico. Se deja como ejercicio al lector.

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁ CTICO

137

Ejercicio [3.121 Indicar cuáles de los siguientes autómatas son equivalentes entre sí:

1. AF1={{a,b},{p,q,r,5,t ,u} , /l,p,{q,r}} /l -+p *q *r 5 t U

f

a q r q t 5 q

b

fz

P

-+p q r 5 t *u

5 t u U U

3. AF3={{a,b} ,{ p,q ,r,5,t,u}, h,p,{5,t,U}}

fa -+p q r *5 *t *u

a u t 5 t u 5

2. AF2={{a ,b} ,{ p,q,r,5,t, u}, h,p,{u}}

b q r r r q

P

a q r 5 r u U

b u t t t 5 q

4 . AF4={{a,b},{p,q ,r,5,t ,u} , f4,p,{r,5}}

14 -+p q *r *5 t u

a r r 5 r t u

b q q t t q p

5. AF5={{a,b},{p ,q,r,5,t} , /5,p,{r,5} } 15 a b -+p q r q q t r* 5 q s* r q t r q

Para resolver este ejercicio, se reducen todos los autómatas a sus respectivos autómatas mínimos equivalentes, y luego se comprueba si son isomorfos. En primer lugar, se calcula su conjunto cociente para luego poder reducirlos.

138

CAPÍTULO

3.


1.

Q/Eo Q/El Q/E

{{p,s,t,u},{q,r}} {{p,u},{s ,t} , {q,r}} Q/E2 = Q/El

=

Renombrando los estados de la forma siguiente:

A

~

B

~

C

~

{p,u} {s,t} {q,r}

El autómata mínimo quedará:

AFMl={ {a,b} ,{A,B,C} ,fI ,A,{C}}

fI -+A B *C

a C B C

b A A B

a 2.

Q/Eo Q/El Q/E

{{p , q, r,s, t ,u}, {u}} {{p},{q ,r,s},{t}{u}} Q/E2 = Q/El

= =


A

~

{p}


B

-t

{q , r,s}

e

-t

{t}

D

-t

{u}

El autómata mínimo quedará: AFM2={ {a,b},{A,B,C,D},h,A,{D}}

a

a

O

h -tA B

e *D

a B B D D

b D

b

e

b

G~

~

B B

U a

3.

Q/Eo

{{p,q , r},{s , t ,u}}

Q/E1

Q/E

=

Q/Eo


A -t {p,q,r} B

-t

El autómata mínimo quedará: AFM3={ {a,b },{A,B},h ,A,{B}}

h -tA *B

a B B

b A A

{s , t , u}

b

a

139

140

CAPÍTULO 3. GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓMATAS FINITOS

4.

Q/Eo Q/El Q/E

{{p ,q,t,u},{r,s}} {{p,q}, {t,U}, {r,s}} Q/E2 = Q/E1


A --+ {p , q} B --+ {t,u} C --+ {r,s} El autómata mínimo quedará:

AFM4={ {a,b},{A,B,C},J4 ,A,{C}}

14 --+A B *C

a C B C

b A A B

a 5.

Q/ Eo

{{p , q, t} , {r, s}} {{p}, {q}, {t}{r, s}} Q/E2 = Q/E1

Q/El Q/E


A

--+

{p}


B

-+ {q}

e

-+ {t} -+ {r, s}

D

141

El autómata mínimo quedará:

AFM5={ {a,b },{A,B,C,D},J5,A,{D}}

a

15 -+A B

e *D

a B B D D

b D

e B B

b b

~

U

a

O G)~ a

a

Existe una coincidencia total entre los autómatas mínimos 1 y 4, Y entre los 2 y 5. Así pues AF1 es equivalente a AF4 y AF2 es equivalente a AF5.

Ejercicio

13.131

Describir el Autómata Finito Determinista equivalente a la Gramática Regular G = (~T,~N,S,P). donde ~T = {a,b}, ~N = {S,A,B}, S es el axioma y Pes: S ::= bS I aA I A A := aA I bB B := bS I A

El primer paso consiste en limpiar la gramática eliminado la producción B :=A:

142

CAPÍTULO 3. GRAMÁTICAS REGULARES

y

AUTÓMATAS FINITOS

S ::= bS I aA I A A ::= aA I bB I b B ::= bS

S ::= bS I aA I A A ::= aA I bB ~ ::= bS lA

El AFND correspondiente a esta Gramática Lineal por la derecha se muestra en la siguiente tabla (se ha añadido el estado F como estado final):

-+

*S A

a A A

*F 0 B

0

b S B,F

0 S

El AFD correspondiente (y que además es mínimo) es:

-+

*S

A * {B, F}

a - b A S A {B,F} S 0

0 0

0

Renombrando los estados se obtiene el siguiente AFD:

-+ *qo -ql *q2 q3

a ql ql q3 q3

b qo q2 qo q3

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

Ejercicio

143

13.141

Obtener el Autómata Finito asociado a la siguiente gramática:

Rl

aRlla

La transformación de la gramática en autómata puede hacerse a partir de la Gramática Lineal por la derecha del enunciado o de su equivalente Gramática Lineal por la izquierda. En este caso se va a transformar en su equivalente lineal por la izquierda, para que sirva como jemplo de transformación de gramáticas de lineal por la derecha a lineal por la izquierda. El grafo correspondiente a la gramática lineal por la derecha sería la de la figura 3.29(a), que se convierte en el gráfico correspondiente a la gramática lineal por la izquierda de la figura 3.29(b).

a.b!

a

e

a

GJa

b

Q<

(a)

a

a (b)

Figura 3.29: Conversión de gramáticas lineales. A partir del (b) se construye la Gramática Lineal por la izquierda equivalente cuyas producciones serán:

144

CAPÍTULO

30 GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓMATAS FINITOS

Rl

00-

Rlalb

R2

00-

R2 C lc

Ahora se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la izquierda obtenida en el paso anterior, que será: AFND = ({a,b , c},{Ro,R1 ,R2,p,q},j,p,{Ro}) f -+p *Ro Rl R2 q

a Ro q Ro,Rl Ro q

b Ro,Rl q q q q

c R2 q q R2 q

Por último, se convierte el Autómata Finito No Determinista en otro equivalente determinista, quedando: AFD = ({a,b,c},{{Ro,Rd,Ro,R2,P,q},j,p,{{Ro,Rd,Ro}) f -+p *Ro *{Ro,Rd R2 q

a Ro q {Ro , Rd Ro q

b {Ro, Rd q q q q

c R2 q q R2 q

Renombrando los estados se obtiene: AFD = ({a,b,c},{p,q,r,s,0},j,p,{q,r}) f -+p *q *r s

a q

b r

c s

0 0 r 0 q 0 0 0 0

0 0 s

0

L ENGUA JES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCT ICO

Ejercicio

145

\3.15\

Sea el siguiente Autómata Finito No Determinista:

AFND = ({a , b} , {p , q, r,s }, j ,p, {s})

f ~p

a q,s

q r *s

s

b A q,r p q,y.. r p,s q q,r,s

b

Construir su Autómata Finito Determinista equivalente. Para ello habrá que hallar la clausura de la relación T (T*):

T T*

{(p, q),(p,r) , (q ,r), (r, q)} {(p , p) , (p, q) , (p, r), (q , q) , (q , r) , (r, r), (r,a ), (s, s)} -1

.

De esta forma, se puede eliminar la columna A quedando el autómata:

f ~p

a q,r,s

q r *s

s

b p,q,r,s p,q,r,s p ,q,r,s q,r,s

Se puede apreciar que los estados q y r son equivalentes, ya que con la misma entrada producen la misma salida, y aparecen en los mismos lugares en la parte derecha de la tabla. Así pues, se puede simplificar el autómata obteniendo:

146

CAPÍTULO

3.


f -+p q

*s

a q,s s

b p,q,s p ,q,s q S

Se convierte al autómata en determinista: f -+p

*{q,s} *{p, q, s} *s

a {q,s} s {q,s} s

b {p,q,s} {p,q,s} {p,q,s} {q,s}

A continuación, se halla el autómata mínimo de este último, para lo cual se halla en primer lugar su conjunto cociente (se han realizado los siguientes renombramientos):

A -+ {q , s} B -+ {p , q, s} El conjunto cociente queda:

Q/Eo Q/E

{{p}, {s, A, B}} Q/E1 = {{p},{s,A,B}}

El autómata quedará de la siguiente forma, después de simplificar y renombrar los estados:

-+ P *c

a c c

b c c

siendo e = {s, A , B}

a,b

~a,b

~~G

E:\ GU AJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

Ejercicio

147

13.161

Obtener la expresión regular del lenguaje reconocido por el autómata del ejercicio anterior: a

b

-t p

S

S

*8

S

S

a,b

~a,b

~~G

En primer lugar se hallan sus ecuaciones características:

Xo = Xl

aX I +bX I +a+b (a+b)XI+a+b

y se resuelven:

Xl

Xo Xo como a* a

+ A=

= = =

(a (a (a

+ b)*(a + b) + b)(a + b)*(a + b) + a + b + b)[(a + b)*(a + b) + Al

a*, entonces:

(a

+ b)*(a + b) + A = (a + b)*

y sustituyendo:

Xo =

(a+b)(a+b)*

IL(AFND) =

(a

+ b)(a + b)* I

148

CAPÍTULO

Ejercicio

3.


13.171

Dado el siguiente Autómata Finito No Determinista : AFND=( {a,b,c },{p,q,r,s,t,u,v},f,p,{ v} ) f(q,b)={r,s} f(s,a)={t,p} f(s,c)={u} f(t,b)={v} f(u,a)={s,q}

f(u,c)={v} f(p,q)=,x f(p,t)=,x f(q,r)=,x f(q,s)0:

f(r,q)=,x f(r,u)=rf(t,q)=,x f(u,s)=,x f(v,r)=,x

Hallar: 1.

(a) f"(p,bbcc) (b) f" (p,acbcac) (c) f" (p,bcacaa) (d) f" (p,caa) (e) f" (p,abac)

2. El Autómata Finito Determinista mínimo equivalente 3. Comprobar que las palabras que anteriormente habían sido aceptadas, de las del apartado 1, ahora también lo son y viceversa 4. Determinar el lenguaje aceptado por el autómata

1. En primer lugar, se convierte la definición del enunciado de la función de transición a su forma de tabla:


f --+p q r s t u

b

a

c

r,s t ,p

149

A q, t r, s q, u

i

u v

I

q

s,q

v

S

r

*v

A continuación se determina, en función de la tabla anterior, la relación T: T={ (p,q), (p,t) ,( q,r), (q,s) ,(r ,q), (r, u) ,( t,q) ,( u,s) ,( v ,r) }

I

y por último se halla la clausura de la relación T :

T*=

(p,p) (p, q) (q,q) (q, r) (r,r) (r,q) (s ,s ) (t, t) (t, q) (u,u) (u, s) (v, v) (v, r)

(p, t) (q , s) (r, u)

(p, s) (q, u) (r,s)

(p , r)

(t ,r)

(t, s)

(t , u)

(v, q)

(v, u)

(v,s)

1

:

(p, u)

Se calcula, a continuación, la respuesta de la función f para cada una de las palabras del ejercicio. Se parte del estado inicial, y se calculan todos los estados a los que se puede ir mediante transiciones A. Este conjunto se halla sin más que incluir en él a todos los estados que tengan relación T* con el inicial; es decir:

I 1I

I 1: ,

{qlpT*q} A continuación, para cada uno de los estados de este conjunto se calcula el conjunto de estados a los que se puede llegar mediante la primera letra de la palabra, se unen todos estos conjuntos y se realizan sucesivamente estas operaciones para el resto de las letras de la palabra. El conjunto final obtenido será la f" de la palabra. Si en dicho conjunto final existe algún elemento del conjunto de estados finales, entonces la palabra es aceptada por el autómata. Como ejemplo se muestra cómo sería para la primera palabra f" (p,bbcc) . El resto se hace de la misma forma, pero sólo se incluirá un resumen de la gráfica.

d

150

CAPÍTULO

3.


b

P~

,\

r~

b

b

q~

r~

r4

v~(*.-l)

e {

u~(* . -2)

U~ S~

q~

s ~ {

,\

,\

S

b

U~
b

p~

s~
s~ {

S

b V~
t~

V~

r q

u S

b r~

v4

e

u~

v~

V r q

U s

S4{U~{S (* . - 2)

~{ ~

LEN GUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

151

En la gráfica, aquellos estados que no tienen flecha es porque a su mismo nivel están repetidos, y se pueden eliminar, basta con ver sus derivaciones una sola vez. El resultado final es el que queda en el último nivel, que en este caso es: f" (p,bbcc)={ v,r,q,u,s}. Si se hace:

j"(p, bbcc) nF = {v}

i- fjJ

se comprueba que la palabra bbcc es aceptada por el autómata. Se hará lo mismo para las demás palabras: f " (p,acbcac):

{p} ~ {p ,q,r, s,t,u} ~ {t,p,s,q} ~ {p,q,r,s,t ,u} ~ {u ,v} ~ {u , v,s,r,q} ~ {r,s} ~ {r, q, u, s} ~ {u,v} ~ {u , v , s, r, q} ~ {t,p,s,q} ~ {p,q,t,s,r,u} ~ {u,v} ~ {u,v,s,r,q} Luego If" (p,acbcac)={ u,v,s,r,q} Ique es aceptada por el autómata. f" (p,bcacaa):

{p} ~ {p,q,r, s,t,u} ~ {r,s,v} ~ {r,q,u,s , v} ~ {u,v} ~ {u,v , s,r,q} ~ {t,p , s,q} ~ {p,q,t,s,r,u} ~ {u,v} ~ {u,v,s,r,q} ~ {t ,p, s,q} ~ {p , q, t,s , r, u} ~ {t ,p, s, q} ~ {p ,q,t, s,r,u}

I

I

Luego f" (p,bcacaa)={p,q,t ,s,r,u} que no es aceptada por el autómata. f" (p,caa):

{p} ~ {p,q,r,s , t,u} ~ {u,v} -~ {u,v,s,r,q} ~ {t,p,s , q} ~ {p,q,t,s,r,u} ~ {t,p,s,q} ~ {p,q,t,s , r,u} Luego If' (p,caa)={p,q,t,s,r,u} Ique no es aceptada por el autómata. f" (p,abac) :

{p} ~ {p,q , r,s,t,u} ~ {t,p,s,q} ~ {p,q,r,s,t,u} ~ {r, s, v} ~ {r, q, u, s, v} ~ {t,p,s,q} ~ {p, q, r, s,t,u} ~ {u,v} ~ {u ,v,s, r, q}

I

I

Luego f' (p,abac)={ u,v,s,r,q} que es aceptada por el autómata.

152

CAPÍTULO


2. Ahora se resuelve el segundo apartado, en el que se trata de obtener el Autómata Finito Determinista mínimo equivalente. A partir de T* se puede eliminar la columna>. del autómata original obteniéndose:

AFND = ({a,b,c},{p,q,r,s,t,u,v},¡,p,{v})

f -tp q r s t u

a p,q,r,s,t,u p,q,r,s,t ,u p,q,r,s,t,u p,q,r,s,t,u p,q,r,s,t,u p,q,r,s,t,u p,q,r,s,t,u

*v

c q,r,s,u,v q,r,s,u,v q,r,s,u,v u,s q,r,s,u,v q,r,s,u,v q,r,s,u,v

b q,r,s,u,v q,r,s,u q,r,s,u q,r,s,u,v q,r,s,u

Se puede apreciar cómo los estados q y r son equivalentes, y también los estados p y t. Así pues, se pueden eliminar los estados r y t, sin más que sustituir las apariciones de r en la tabla por q y las de t por p. De esta forma se obtendría:

AFND = ({a, b, e}, {p,q, s, u, v}, ¡,p, {v}) f -tp q s u *v

a p,q,s,u p,q,s,u p,q,s,u p,q,s,u p,q,s,u

b q,s,u,v q,s,u

q,s,u

c q,s,u,v q,s,u,v u,s q,s,u,v q,s,u,v

A continuación, se convierte el Autómata Finito No Determinista en otro equivalente determinista:

AF D = ({a, b, e}, {p, {p , q, s, u}, {q, s, u, v}, {q, s, u} }, ¡, p, {{q, s, u, v} }) f -tp {p,q,s,u} *{q,s,u,v} {q,s,u}

a {p,q,s,u} {p,q,s,u} {p,q,s,u} {p,q,s,u}

b {q,s,u,v} {q,s,u,v} {q,s,u} {q,s,u}

c {q,s,u,v} {q,s,u,v} {q,s,u,v} {q,s,u,v}


153

A partir de este último se reduce a su autómata mínimo equivalente. Para ello, primero se calcula el conjunto cociente. Se han renombrado los estados de la siguiente manera:

t : :- q _~f ::; r

~2-;:S

{q , s,u} -t {p,q,s,U} -t {q , s , u ,V} -t

{{p , q,r},{s}} {{p,r}, {q}, {S}}

Q/Eo

Q/El Q/E

Q/E2 = Q/El

Volviendo a renombrar los estados de la forma siguiente:

P -t {p,r} El Autómata Finito Determinista mínimo quedará:

AFDM = ({a,b,c},{p,q,s},f,p,{s}) f -tp q *s

3. El resultado de aplicar

f

a p p p

b s q q

c s s s

a las palabras del ejercicio sería:

f(p, bbcc)

s Aceptada I

f (p, acbcac)

s Aceptada I

f(p, bcacaa)

p No aceptada I

f(p, caa)

p No aceptada I

f(p, abac)

s Aceptada I

Se comprueba que, como en el caso anterior, las palabras aceptadas son la a, b y e.

-

154

CAPÍTULO

3.


4. Para hallar el lenguaje del autómata habrá que determinar y resolver las ecuaciones fundamentales:

+ (b + c)X2 + b + e

Xo

aXo

Xl

aXo+bXI+cX2+C

=

X2

aXO +bXI +cX2 +C

Resolviendo en X 2 queda: X2 =

c*(aXo + bX I

+ e)

Sustituyendo X 2 en Xl, resolviendo y simplificando las expresiones resultantes se obtiene Xl

+ bXI + cc*(aXo + bXI + e) + e = (a + cc*a)Xo + (b + cc*b)X I + cc*c + e =

=

aXo

Teniendo en cuenta que cc* Xl

+e=

c(c*c + ),) = cc*,

=

c*aXo + c*bX I

+ c*c = (c*b)*(c*aXo + c*c)

=

I(c* b)* c*aXo + (c*b)*c*c I

Sustituyendo de nuevo en X 2 , resolviendo y simplificando todas las expresiones: c*aXo + c*b(c*b)*c*aXo + c*b(c*b)*c*c + c*c (c*a + c*b(c*b)*c*a)Xo + c*b(c*b)*c*c + c*c =

X2 X2

= (e + b)*aXo + (b + c)*bc*c + c*c = (e + b)*aXo + (b + c)*c Sustituyendo ahora en X o y resolviendo se obtiene: Xo Xo Xo

+ (b + c)(b + c)*aXo + (b + c)(b + c)*c + b + c~: (b + c)*aXo + (b + c)*c + b [(b + c)*a]*[(b + c)*c + b]

aXo

Luego:

IL(AFND) = [(b + c)*a]*[(b + c)*c + b]1

LENGUAJES , GRA MÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFOQUE PRÁCTICO

Ejercicio

155

13.181

Obtener los lenguajes aceptados por cada uno de los siguientes autómatas: 1. AF1={{a,b},{p,q,r,s,t,u}, 2. AF2={{a,b},{p,q,r,s,t,u}, f¡,p,{q,r}} h,p,{u}}

f¡ -+p *q *r

s t u

a q r q t s q

b P s t u u u

3. AF3={{a ,b},{p,q,r,s,t,u}, h,p,{s,t,u} }

h

a

-+p q r

U

*8

t u s

*t *u

t S

b q r r r q p

h -+p q r s t *u

a q r s r u u

b u t t t s q

4. AF4={{ a ,b},{p,q,r,s,t,u}, h,p,{r,s} }

14

a

-+p q

r r

*r *8

S

t u

r t u

b q q t t q p

5. AF5={{ a,b} ,{p,q,r,s,t} /5,p,{r,s}}

15 -+p q *r *8

t

a q q s r r

b r t q q q

La primera parte de este ejercicio está resuelta en un ejercicio anterior. AqUÍ se parte de los Autómatas Finitos Deterministas mínimos obtenidos y se procede a calcular y resolver, para cada uno de ellos (no equivalentes) , sus ecuaciones fundamentales.

156

CAPÍTULO



1. Para el primer autómata las ecuaciones fundamentales serán:

.Ko = aX2 + bXo + a Xl X2

+ bXo aX2 + bXI + a

= =

aX I

Resolviendo en X 2 Y Xl :

Xl X2

=

a*bXo a*(bX I +a)

Sustituyendo Xl y X2 en las expresiones en que aparecen:

X2 Xo Xo = Xo =

a*(ba*bXo + a) aa*(ba*bXo + a) + bXo + a (aa*ba*b + b)Xo + aa* + a (aa*ba*b + b)Xo + aa*

Por último, resolviendo para X o:

(aa*ba*b + b)*aa*

Xo =

ISolución:

(aa*ba*b + b)*aa*

I

2. Para 1:)1 segundo autómata las ecuaciones fundamentales serán:

Xo = Xl X2 = X3

aX I + bX3+ b aXI + bX2 aX3 +bX I +a aX3 +bX I +a

Resolvemos en X 3 y sustituimos su valor en X 2 :

X3

a*(bX I +a)

X2

aa*bXI + aa*a + bX I + a = (aa*b + b)XI + aa*a + a = a*bX I

+ aa*

LENG UAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

157

Sustituyendo X 2 en Xl y resolviendo Xl obtendremos:

+ ba*bX I + baa* (a + ba*b)X I + baa* (a + ba*b)*baa*

Xl

aX I

Xl

=

Xl

=

Sustituyendo Xl en X o y X3 y sustituyendo a su vez X 3 en X o y simplificando se obtiene: Xo =

a(a

+ ba*b)*baa* + ba*bX I + ba*a + b

Por último, resolviendo para X o: Xo =

a(a

+ ba*b)*baa* + ba*b(a + ba*b)*baa* + ba*

Solución: a(a + ba*b)*baa*

+ ba*b(a + ba*b)*baa* + ba*

3. Para el tercer autómata las ecuaciones fundamentales serán: Xo

aXI+bXo+a

Xl

aXI+bXo+a

Resolviendo Xl, sustituyendo su valor en X o, y simplificando: Xl

=

aa*(bXo + a)

Xo Xo Xo Xo

a*(bXo + a)

=

+ bXo + a aa*bXo + aa*a + bXo + a (aa*b + b)Xo + aa*a + a a*bXo + aa*

Por último resolviendo para X o: Xo

=

(a*b)*aa*

I Solución: (a*b)*aa* I

«

158

CAPÍTULO

Ejercicio

3.


\3.19\

Determinar si las expresiones regulares siguientes son equivalentes:

1. [b

+ (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a*

2. b*(c + a)[(b + c)b*(c + a)]*, 3. b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* 4. b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*

El proceso de comprobación formal de la equivalencia de las expresiones sería el siguiente: • Derivar las expresiones de forma sucesiva hasta obtener las reglas que conforman las gramáticas tipo 3 lineales por la derecha equivalentes a dichas expresiones • Obtener los Autómatas Finitos No Deterministas (en el caso más general) equivalentes a las Gramáticas Lineales por la derecha obtenidas en el paso anterior • Obtener los Autómatas Finitos Deterministas equivalentes a los construidos en el paso anterior • Comprobar si estos Autómatas Finitos Deterministas son isomorfos . Si lo son, las expresiones originales son equivalentes Expresión 1 En primer lugar se deriva la primera expresión de forma sucesiva obteniéndose:

+ (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a* Da[(b + (e + a)a*(b + c))*](c + a)a* + Da[(c + a)a* ] [b

159


Para simplificar se redenomina:

R6

(b + (e + a)a*(b + c))*

Se deriva la expresión anterior por partes. En primer lugar RÓ:

Da[b + (e + a)a*(b + c)](b + (e + a)a*(b + c))*

Llamando:

R5

b+(c+a)a*(b+c)

Se deriva esta última y se sustituyen en las expresiones anteriores:

a*(b + e) a*(b + c)(b + (e + a)a*(b + c))*

Llamando:

R5

(e + a)a*

Se deriva esta última y se sustituyen a su vez en las expresiones antenores:

a* a*(b + c)(b + (e + a)a*(b + c))*(c + a)a*

Se hace lo mismo derivando respecto de b:

+ a*

=

Rl

160

CAPÍTULO

3.


= = = = Db(Ro) =

Db(Ro) Db(RÓ) D b(R5) Db(Rg)

Db(RÓ)(c + a)a* + Db(Rg) Db(R5)(b + (e + a)a*(b + c))* )..+
y lo mismo respecto de c:

Dc(Ro) Dc(RÓ) Dc(R5) Dc(Rg) Dc(Ro)

= = = = =

Dc(RÓ)(c + a)a* + Dc(Rg) Dc(R5)(b + (e + a)a*(b + c))* a*(b + e) a* a*(b + c)(b + (e + a)a*(b + c))*(c + a)a*

+ a* = Rl

Ahora se deriva la expresión R 1 :

Da(Rl)

= Da(a*)(b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a* + +Da((b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a*)

Db(R 1 )

+ Da(a*)

=

= a*(b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a* + a* = Rl = Db(a*)(b + c)[b + (e + a)a*(b + c) ]*(c + a)a* + +Db((b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a*) + Db(a*) = = Db((b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a*) = = [b + (e + a)a* (b + c)]* (e + a)a* = Ro

Dc(Rd

= Dc(a*)(b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a* + +Dc((b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a*) + Dc(a*) = = Dc((b + c)[b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a*) = = [b + (e + a)a*(b + c)]*(c + a)a* = Ro


161

Se han derivado todas las expresiones que han ido apareciendo al derivar de forma sucesiva, respecto de todos los símbolos del alfabeto, hasta que ya no han aparecido expresiones nuevas, sino alguna de las ya existentes. A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro:

Ro Rl

aRllbRolcRllalc aRllbRolcRola

Ahora se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la derecha obtenida en el paso anterior, que será:

AFND = ({a,b,c},{Ro,R1,F},j,Ro , {F}) f

-+ Ro Rl

a

b

c

Rl,F Rl,F

Ro Ro

Rl,F Ro

*F

El autómata que se ha obtenido es no determinista, por lo tanto habrá que convertirlo en su equivalente determinista:

AFND = ({a,b,c}, {Ro,{R1,F}},j,Ro, {{Rl,F}})

f

-+ Ro *{Rl, F}

a

b

c

{Rl,F} {Rl,F}

Ro Ro

{Rl,F} Ro

sr@a ~

b,c

Este autómata con solo dos estados ya no puede ser reducido; se trata del Autómata Finito Determinsta mínimo equivalente a la primera expresión.

Expresión 2 Realizando idéntico proceso con la segunda expresión regular, en primer lugar se deriva de forma sucesiva obteniéndose: =

b*(c+a)[(b+c)b*(c+a)J* Da(b*)(c + a)[(b + c)b*(c + a)J* Da((c + a)[(b + c)b*(c + a)J*)

+ Da((c + a)[(b + c)b*(c + a)J*)

162

CAPÍTULO

3.


Da(Rt}

+ c)b* (e + a)]* = Rl Db(b*)(c + a)[(b + c)b*(c + a)]* + Db((C+ a)[(b + c)b*(c + a)]*) b*(c + a)[(b + c)b*(c + a)]* = Ro Dc(b*)(c + a)[(b + c)b*(c + a)]* + Dc((c + a)[(b + c)b*(c + a)]*) Dc((c + a)[(b + c)b*(c + a)]*) [(b + c)b* (e + a) ]* = Rl Da([(b + c)b*(c + a)]*)

Db(R 1 )

Da((b+c)b*(c+a))fÍ(b+c)b*(c+a)]* = cp Db((b + c)b*(c + a)) ~ (b + c)b*(c + a)]*

Dc(Rt}

b*(c + a)[(b + c)b*(c + a)]* = Ro Dc((b + c)b*(c + a))[a*(b + c)b*(c + a)]*

[(b

Db(Ro) Dc(Ro)

b*(c + a)[(b + c)b*(c + a)]* = Ro

Se han derivado todas las expresiones que han ido apareciendo al derivar, respecto de todos los símbolos del alfabeto, hasta que ya no han aparecido expresiones nuevas, sino alguna de las ya existentes. A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro.

Ro Rl

=

aRllbRolcRllalc bRolcRo

Ahora se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la derecha obtenida en el paso anterior, que será: AFND = ({a,b,c},{Ro,R1,F},f,Ro,{F}) f -t

Ro Rl

a Rl,F

b

c

Ro Ro

Rl , F Ro

*F

El autómata que se ha obtenido es no determinista, por lo tanto habrá que convertirlo en su equivalente determinista: AFND = ({a,b,c},{Ro,{R1,F},cp},f,Ro,{{R1,F}})


f ---+ Ro *{Rl, J}
b

a {Rl,F}

Ro

c {Rl,F}

Ro

Ro

163

a

El autómata obtenido no se puede reducir, por lo que es el Autómata Finito Determinista mínimo equivalente a la segunda expresión regular. Expresión 3

= = = = Db(Ro) = = Dc(Ro) = = = Da(R¡} = =

Ro Da(Ro)

= Db(R¡) = = = = Dc(R¡) = =

Se hace exactamente lo mismo para la tercera:

b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* Da(b*)(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*

+ Da((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*)

Da((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*) [a*(b + c)b*(c + a)]* = Rl Db(b*)(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*

+ Db((C + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*)

b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* = Ro Dc(b*)(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* + Dc((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*) Dc((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*)

+ c)b*(c + a)]* = Rl Da([a*(b + c)b*(c + a)]*) Da(a*(b + c)b*(c + a))[a*(b + c)b*(c + a)]* [Da(a*)(b + c)b*(c + a) + Da((b + c)b*(c + a))][a*(b + c)b*(c + a)]* a*(b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* = R 2 Db([a*(b + c)b*(c + a)]*) Db(a*(b + c)b*(c + a))[a*(b + c)b*(c + a)]* [Db(a*)(b + c)b*(c + a) + Db((b + c)b*(c + a))][a*(b + c)b*(c + a)]* b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a) ]* = Ro Dc([a*(b + c)b*(c + a)]*) Dc(a*(b + c)b*(c + a))[a*(b + c)b*(c + a)]* [a*(b

164

CAPÍTULO

3.


[Dc(a*)(b + c)b*(c + a)

+ Dc((b + c)b*(c + a))][a*(b + c)b*(c + a)J* b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J* = Ro Da(a*)(b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* + +Da((b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J*) a*(b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J* = R2 Db(a*)(b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J* + +Db((b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J*) b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J* = Ro Dc(a*)(b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J* + +Dc((b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J*) b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)J* = Ro Se han derivado todas las expresiones que han ido apareciendo al derivar, respecto de todos los símbolos del alfabeto, hasta que ya no han aparecido expresiones nuevas, sino alguna de las ya existentes. A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro:

Ro Rl

aRllbRolcRllalc aR21bRol cRo

R2

aR21bRo IeRo

Ahora se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la derecha obtenida en el paso anterior, que será: AFND = ({a,b,c},{Ro,R 1 ,R2,F},j,Ro,{F}) f -t

Ro Rl R2

a Rl,F R2 R2

b

c

Ro Ro Ro

Rl , F Ro Ro

*F

El autómata que se ha obtenido es no determinista, por lo tanto habrá que convertirlo en su equivalente determinista: AFD = ({a,b,c},{p,{q,s},r},j,p,{{q,s}})

165


f --+p * {q,s} r

a {q,s} r r

b

P p p

c {q,s} p p

a b,c

a

Los estados p y r pertenecen a clases de equivalencia diferentes, por lo tanto este autómata ya no puede ser reducido. Por tanto, es el Autómata Finito Determinsta mínimo equivalente a la tercera expresión. Expresión 4

Ro Da(Ro)

Y, por último, el mismo proceso para la cuarta expresión:

b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a* Da(b*)(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*

+ Da((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*)a*

= Da ((e + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*) [a*(b + c)b*(c + a)]*a* = Rl Db(Ro) Dc(Ro)

= Db(b*)(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a* + Db((C + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*) = b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a* = Ro Dc(b*)(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*

+ Dc((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*)

Dc((c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a*)

+ c)b*(c + a)]*a* = Rl Da([a*(b + c)b*(c + a)]*)a* + Da(a*) Da(a*(b + c)b*(c + a))[a*(b + c)b*(c + a)]*a* + a* [Da(a*)(b + c)b*(c + a) + Da((b + c)b*(c + a))][a*(b + c)b*(c + a)]*a* + a* a*(b + c)b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]*a* + a* = R2 = Db([a*(b + c)b*(c + a)]*)a* + Db(a*) = Db(a*(b + c)b*(c + a))[a*(b + c)b*(c + a)]*a* [Db(a*)(b + c)b*(c + a) + Db((b + c)b*(c + a))][a*(b + c)b*(c + a)]* = b*(c + a)[a*(b + c)b*(c + a)]* = Ro [a*(b

Da(Rl)

Db(Rl)

166 Dc(Rt)

CAPÍTULO

3.


Dc([a*(b + e)b*(e + a)]*) Dc(a*(b + e)b*(e + a))[a*(b + e)b*(e + a)]* [Dc(a*)(b + e)b*(e + a) + Dc((b + e)b*(e + a))][a*(b + e)b*(c + a)]* b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]* = Ro

Da(R2)

Da(a*)(b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]* + +Da((b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]*) a*(b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]* = R2

Db(R2)

Db(a*)(b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]* + +Db((b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]*) b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]* = Ro

D c(R2)

Dc(a*)(b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]* + +Dc((b + e)b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]*) b*(e + a)[a*(b + e)b*(e + a)]*

= Ro

Se han derivado todas las expresiones que han ido apareciendo al derivar, respecto de todos los símbolos del alfabeto, hasta que ya no han aparecido expresiones nuevas, sino alguna de las ya existentes. A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro:

Ro

aRllbRoleRllale

Rl

aR21bRoleRola

R2

aR21bRoleRola

Ahora se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la derecha obtenida en el paso anterior, que será: AFND = ({a, b, e}, {Ro, R 1, R2, F}, ¡, Ro , {F}) f

---+ Ro Rl R2 *F

a R1,F R 2,F R2,F

b Ro Ro Ro

c

R1 , F Ro Ro

El autómata que se ha obtenido es no determinista, por lo tanto habrá que convertirlo en su equivalente determinista:


167

AF D = ({a , b, e}, {Ro, {R¡ , F} , {R2 , F}} , j , Ro , {{R¡, F} , {R2 , F}}) f

-+ Ro *{R¡,F} *{ R2, F}

a

b

c

{R¡ , F} {R2,F} {R2 , F}

Ro Ro

{R¡ , F} Ro Ro

Ro

En este caso el autómata aún puede ser redu<:ido. Eliminando el último estado, y renombrando los estados se obtiene:

AFD = ({a , b, e} , {p , q} , j ,p, {q})

f

-+p q

a q q

b P p

c q p b,c

Se puede apreciar cómo este autómata es idéntico al Autómata Finito Determinista simplificado de la primera expresión regular. Por lo tanto, al tener ambas expresiones los mismos autómatas asociados (y por lo tanto isomorfos) éstas serán equivalentes; es decir, representan el mismo lenguaje. ~o

Ejercicio

13.201

Describir el lenguaje reconocido por el autómata AF = (L:, Q, j, go, F) donde L: = {a, ba}, Q = {qo , q¡ , q2 , q3} Y f está representada por la tabla:

a -+ * qo q¡ q¡ q¡ q2 q3 q3 q3

b

qo q2 qo q3

A partir de las ecuaciones características del autómata se obtendrá la expresión regular aceptada por él. Las ecuaciones características del autómata · (eliminando el estado q3 que es el estado vacio) son:

168

3.

CAPÍTULO


+ aXI + >. aXI + bX2 + b bxO + b

Xo

bxo

xl

X2

Resolviendo las ecuaciones:

y sustituyendo X2 se obtiene:

a*(b(bxo

Xl

Sustituyendo

Xl

+ b) + b) =

a*b(bxo

+ b + >')

en Xo se obtiene:

Xo

bxo

+ a(a*b(bxo + b + >')) + >.

y resolviendo esta ecuación se obtiene la expresión final:

IXo =

(b + aa*bb)*(aa*b(b + >')

+ >') I

correspondiente a la expresión regular aceptada por el autómata.

Ejercicio

13.211

Diseñar un Autómata Finito Determinista para cada una de las siguientes expresiones, de forma que el lenguaje de la expresión sea reconocido por su correspondiente autómata: 1. ab*c 2. a(bc)*bc


169

3. a*b(c*a)*

+ aa* b(a + b)* + cb*

4. cb* 5.

6. a+ac(a+b)*+c(a+b+c)*

Se va solucionar el problema de dos formas distintas: intuitivamente, y siguiendo un procedimiento de resolución sistemático. Este procedimiento consta de las siguientes fases: • Derivar las expresiones regulares • Obtener la gramática a partir de las derivaciones anteriores • Obtener el autómata equivalente a la gramática anterior • Convertir el autómata a su equivalente determinista • Minimizar dicho autómata (opcional)

1. De forma intuitiva

JI --+p q *r
a q

b

AFl=( {a,b,c },{p,q,r,
c

La primera expresión la componen todas aquellas palabras que tengan una a, luego un número arbitrario de bes (o ninguna), y acaban con una c. Por lo tanto se puede resolver el problema con un autómata con cuatro estados:

J

170

CAPÍTULO

3.


• El estado p inicial que recogerá la situación de que se empiece con una a. Para ello se pasa a un estado de rechazo si no se produce dicha entrada • El estado q, que recoge la situación de introducir un número arbitrario de bes, de forma que si se recibe una b se mantiene en el estado q (de recibir bes), y si se recibe una c se pasa al estado final. Para recoger perfectamente la situación que describe este estado es necesario introducir una transición con la a al estado de rechazo • El estado r es el estado final, al que se llega al introducirse una entrada aceptada por el autómata. En este caso si se siguen introduciendo entradas se pasa a una situación de rechazo, ~ • El estado de rechazo 1;, que es al que se llega cuando se ha producido una secuencia de entrada incorrecta. Este estado es un estado absorvente del que no se puede salir De forma sistemática

Se deriva la expresión:

Ro

ab*c

Derivando en Ro:

b*c

= Rl

Dc{Ro) = 1;

Derivando en R 1 :

Da{Rd Db{Rl) Dc{Rd


171

La Gramática Lineal por la derecha correspondiente a las derivadas anteriores sería:

Ro .. -

A partir de esta graática se construye el Autómata equivalente:

f --7

Ro Rl

*F c/J

a Rl c/J c/J c/J

b c/J

c c/J

Rl

F

c/J c/J

c/J c/J


h -+p q r *8

c/J

a q c/J c/J c/J c/J

b

c

c/J r

c/J c/J s

c/J r c/J

AF2=( {a,b,c },{p,q,r,s },h,p,{ s})

c/J c/J

En este caso se necesitarán 5 estados. Las palabras del lenguaj e empiezan todas por la letra a, y luego tiene que haber una b. Además. han de acabar en c. Por lo tanto, se introduce un estado para la a, otro para la b, y otro final para el hecho de acabar en c. También se introduce un bucle entre r y s con la combinación b y c, para recoger la expresión (bc)*. Estos tres, junto con el inicial y el de rechazo, forman el autómata.

172

CAPÍTULO

3.


De forma sistemática Se deriva la expresión:

Ro

a(be)*be

Derivando en RQ:

(be)*be = Rl Dc(Ro) =

Derivando en R 1 :

Dc(Rd =

Derivando en R2 :

D b (R2) =
(be)* be + >. = R3

Derivando en R3:

Dc(R3) =



Ro Rl R2 R3

0000

00

0

-

0-

00

0000

173

aRl bR2 cR3ic bR2

A partir de esta gramática se construye el Autómata equivalente:

---+

f

a

Ro Rl R2 R3

b

c

Rl

R2

R3,F

R2

*F

Reduciendo a su autómata determinista mínimo equivalente, y renombrando queda: f ---+p q r *s

a q

b

c

r

s

r

30 De forma intuitiva

13

a

-+p

r

P q q

r r

*q

b q

c
AF3=( {a,b,c },{p,q,r},13,p,{r})

174

CAPÍTULO

3.


Para la tercera expresión se necesitarán 4 estados. El primero es el estado inicial y el que se encarga de recoger la expresión a*, mediante un bucle con la etiqueta a. Se pasará con la entrada b a otro estado, que es final, pues el resto de la expresión contiene a >.. Para recoger el bucle (c*a)*, se necesita un nuevo estado al que se pasará con la entrada c, y en el que se permanece con la entrada c (esto recoge la primera parte c*) , y, por último, se volverá a pasar al estado anterior con la entrada a , para recoger el que se pueda repetir la expresión varias veces.


Derivando en

Ro

a*b{c*a)*

Da{Ro) Db{Ro) Dc{Ro)

a*b{c*a)*

Ro:

(c*a)*

= Ro

= Rl

cp

Derivando en R 1 :

Da{Rl) Db(R 1 ) Dc{Rl)

(c*a)*

= Rl

cp A[c*a](c*a)*

= R2

Derivando en R2:

Da{R2) D b {R2) Dc{R2)

(c*a)*

= Rl

cp c*a{c*a)*

= R2

LENGUAJES, GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

175


Ro

.. -

aRolbR1lb

Rl

.. -

R2

.. -

aR 1 lcR21a aR1lcR21a


----7

a

f Ro Rl R2

Ro Rl,F Rl ,F

*F
b Rl,F

c

R2 R2

Reduciendo a su autómata determinista mínimo equivalente, y renombrando queda:

f ----7p

a

b q

c

r

P q q

r r

*q


AF4=( {a,b,c },{p,q,r },J4,p,{ q})

176

CAPÍTULO

f4 -+p *r *q

cp

3.

a

b

r

cp cp

r

cp cp


"CQ

~¿( ~,

c q

cp cp cp

q

cp

-

p

~ b

aQ

o~

a,b,eC~

Al ser la expresión el resultado de la suma de dos expresiones, se realiza un autómata para cada una de ellas, y se unen en un único autómata. Para ello solo hay que hacerles compartir el mismo estado inicial y de rechazo. Para el primer caso, expresión cb*, se hace simplemente con un estado inicial y una transición, etiquetada con la entrada c, al estado final, en el que se permanece con la entrada b (figura 3.30(a)). El segundo caso es idéntico, pero la etiqueta del bucle del estado final es una a, en vez de una b (figura 3.30(b)).

aCQ

bCQ /

~G

a,e

------ p

/ ------~.

b,c

b,~

a,b

G

a,b,cC

a,b,cC

(b)

(a)

Figura 3.30: Autómatas que representan a ER.

De forma sistemática


Ro

cb*

+ aa*


177

Derivando en Ro:

Da(Ro) Db(Ro) Dc(Ro)

o b*

= R2

Derivando en R 1 :

Derivando en R2:


Rl

.. .. .... -

aR11 cR21alc aR11 a

R2

..-

bR21b

Ro

A partir de esta gramática se construye el Autómata equivalente: f

----+Ro Rl R2 *F

0

a Rl ,F Rl ,F

b

0 0 0

R2,F

0 0 0 0

c R2,F

0 0 0 0

Reduciendo a su autómata determinista mínimo equivalente. y renombrando queda:

178

CAPÍTULO

f

--+p

*q *r (/)

a q q (/) (/)

3.


b

c r

(/) (/)

r (/)

bCQ ~'"

~p ~r-:ca

(/) (/) (/)

,.b,CG~


15

a

-+p *q *r

(/)

(/)

q (/) (/)

b q q r (/)

'(

AF5=( {a,b,c },{p,q,r },!5,p,{ q,r})

c r (/) (/) (/)

Igual que en el caso anterior, la expresión resultante se compone de dos expresiones correspondientes a dos autómatas. Una de ellas, cb*, es idéntica a una de las del caso anterior. La otra, b(a + b)*, consta de dos estados uno inicial, y otro final, al que se pasa con la entrada b, y en el que se permanece con a y con b (lo que supone un bucle que representa la expresión (a + b)*):

a,b~

Y --0:

Q

~~

8

a,b,cC

e


179


b(a + b)*

Ro

+ cb*

Derivando en Ro:


= 0 = (a+b)*=Rl b* = R2

Da(Rl) Db(Rl) Dc(Rl)

= (a+b)*=Rl = (a+b)*=Rl = 0

Derivando en R 1 :

Derivando en R 2:

D a(R2) Db(R2)

=

D c(R2) = 0 b* = R2


Ro Rl R2

00-

00-

00-

bRllcR21blc aRllbRl lalb bR21b


180

3.

CAPÍTULO


f

a

b

c

--t Ro Rl R2

0

Rl ,F Rl,F R2,F

R 2,F

*F

0

Rl ,F

0 0 0

0 0

0 0 0 0

Reduciendo a su Autómata Finito Determinista mínimo equivalente, y renombrando queda:

a,b~

f

a

b

o ~

c

0 q r *q q q 0 *r 0 r 0 0 0 0 0

--tp

e

b

· o-:P

a,b,eC~ 6. De forma intuitiva

AF6=( {a,b,c },{p,q,r,s },J6,P,{ q,r,s})

. b.,CQ 16 --+p *q *r

a r q

b

0 q

0 0

c q q s

0 0 0 0 0

*8

S

S

/

--~~

;q,

b~ ~b.'C8~ t eQ O

a,b

En este caso la expresión resultante se compone de tres expresiones: (a) a.- Es simplemete un estado inicial del cual se transita a uno final con la entrada a:


181

o

/1

----~ b~

a,b,c

G

a,b,cC

(b) ac(ab)*.- Desde el estado final se pasa a uno intermedio con la entrada a, y al estado final desde el intermedio con la entrada c. El bucle consiste en una transición de permanencia en el estado final con las entradas a y b:

/~Q ~b Q b,c

/ .

a.b.cC8 e (c) c(a + b + c)* .- Dos estados, el inicial y el final al que se accede con la entrada c. El bucle se realiza permaneciendo en el estado final con las entradas a, b y c, similar a como se ha realizado en apartados anteriores de este mismo ejercicio:

'b'O

---r;l/;/. a,b ~

~a,b,cC~

De forma sistemática


182

CAPÍTULO


Ro

Derivando en

a + ac(a + b)*

+ c(a + b + c)*

Ro:


>. + c(a + b)* = Rl

o (a

+ b + e) * = R2

Derivando en R 1 :

Da(Rt} Dc(Rt}

=

Db(Rt} = 0 (a + b)* = R3

Derivando en R2:

(a + b + c)* = R2 (a+b+c)*=R2 (a + b + c)* = R2

Da(R2) Db(R2) = D c(R 2)

Derivando en R 3 :

Da(R3) D b(R3)

Dc (R 3 )

= =

(a (a

0

+ b)* = R3 + b)* = R3

183

L ENGUAJES, GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO


Ro Rl R2 R3

.. -

.... .. .. -

aRllcR21alc CR31c aR21bR21cR2lalblc aR31bR31alb


*F

o

0 0

0 0

0 0

Reduciendo a su autómata determinista mínimo equivalente, y renombrando queda:

f ---+p *q *r *s

a q

b

r s

r s

0 0 0

c r s r

0 0 0 0 0

a

GJ ',b"CG~ Q b

O

a,b

l

184

CAPÍTULO

Ejercicio

3.


13.221

Dado el siguiente Autómata Finito Determinista: AFD={ {a,b },{p,q,r},f,p,{ q})

f -tp

*q r

a q p p

b r r r

Determinar formalmente el lenguaje aceptado por dicho autómata.

En primer lugar se hallan las ecuaciones fundamentales del autómata:

aX I + bX2+ a aXo + bX2 aXo + bX2

Xo Xl X2

Se obtiene la solución para X 2 :

X2

=

b*(aXo)

Sustituyendo X 2 en las ecuaciones anteriores se obtendría:

Xo Xl

aXI aXo

+ bb*aXo + a + bb*aXo

Como en esta última ecuación de Xl no aparece este mismo término a la derecha de la misma, se puede sustituir en la ecuación de X o, quedando:

Xo

=

a(aXo

+ bb*aXo) + bb*aXo + a


185

Despejando, se obtiene:

Xo = Xo =

(aa + abb*a + bb*a)Xo + a (ab*a + bb*a)Xo + a

Resolviendo esta última ecuación, quedará:

Xo

=

(ab*a

+ bb*a)*a

que será la expresión equivalente al lenguaje aceptado por el autómata del problema:

IL(AF D) =

- Ejercicio

(ab*a

+ bb*a)*a I

13.231

Dados los siguientes Autómatas Finitos Deterministas: AFD1={ {a,b,c},{ A,B},fmI,A,{B})

fmI -tA *B

a A B

b c B A B B AFD2={ {a,b,c},{A,B},fm2,A,{B})

f m2 -tA *B

a b c B A A B B B

Determinar el lenguaje aceptado por cada uno de ellos

En primer lugar habrá que hallar y resolver las ecuaciones fundamentales de cada uno de los autómatas mínimos:

186

CAPÍTULO

3.


AFDl Xo

Xl

=

(a+c)XO+bXI+b (a+b+c)X I +a+b+c

Resolviendo Xl:

Xl = (a+b+c)*(a+b+c) Sustituyendo en X o quedará: X o = (a

+ c)Xo + b(a + b + c)*(a + b + c) + b

y resolviendo esta última ecuación se obtendrá:

X o = (a

+ c) * (b( a + b + c) * (a + b + c) + b)

Simplificando: X o = (a

Como se sabe a* a tiene como resultado:

+ c) *b[ (a + b + c) * (a + b + c) + Al

+A=

a*, simplificando mediante esta regla se ob-

IL(AFDI) =

(a

+ c)*b(a + b + c)* I

AFD2 Las ecuaciones fundamentales del segundo autómata son:

Xo =

Xl

=

aX I + (b + c)Xo + a (a+b+c)XI+a+b+c

Resolviendo la última se obtendrá:

Xl = (a+b+c)*(a+b+c) Sustituyendo en Xo:


X o = (b + c)Xo + a(a + b + c)*(a + b + c)

187

+a

Que al resolverse se obtendrá la solución final:

X o = (b+c)*(a(a+b+c)*(a+b+c) +a) Que simplificado quedará:

X o = (b + c)*a(a + b + c)* Luego:

IL(AFD2) = (b + c)*a(a + b + c)* I

Ejercicio

13.241

Dadas las expresiones regulares siguientes:

+ c*(a + b) ba* + c*(a + b)

1. baa* 2.

Obtener la gramática regular que las genera

Se realizan los mismos pasos que en el ejercicio anterior. Para la primera expresión las derivadas son:

=

baa* + c*(a + b) A aa* + A = a* = Rl c*(a + b) = R2

=

a*

=

0 0

Ro Da(Ro) Db(Ro) Dc(Ro) Da(Rd Db(Rd Dc(Rd D a (R2) D b (R2)

=

D c (R 2 )

=

=

= Rl

A A c*(a + b) = R 2

188

CAPÍTULO



A partir de las derivadas se obtendrá la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión:

Ro Rl = R2 =

bR¡jcR2lalb aR1la cR21a

Se realiza el mismo proceso para la segunda expresión:

Ro

=

Da(Ro) Db(Ro) = Dc(Ro) = Da(R¡) = Db(R¡) = Dc(R¡) = Da(R2) = Db(R2) = Dc( R2) =

00*

+ c*(a + b)

A

a* = Rl c*(a + b) = R2 a* = Rl

0 0 A A

c*(a + b)

= R2

Se puede apreciar cómo se han obtenido idénticos resultados de derivadas que en la expresión anterior. Así pues, si se sigue el proceso, éste será en todo igual al de la primera expresión, lo cual demuestra que ambas expresiones son equivalentes, y son generadas por la misma gramática.


Ejercicio

189

13.251

Sea el siguiente Autómata Finito Determinista: AFD = ({a,b},{p,q,r,s,t,u,v},¡,p,{r,t}) f -+p

q

b r

q

s

v

*r

v

s

s

t

q

*t

q

u

u

r u

v

v

a

q

Determinar el lenguaje aceptado por dicho autómata.

En primer lugar se hallará el autómata mínimo equivalente. Para ello, se determina, en primer lugar, el conjunto cociente:

Q/Eo = Q/EI = Q/E =

{{p,q,s,u,v},{r,t}} {{p},{q,v},{s,u},{r,t}} Q/EI

Si se redenomina p -+ p , {q,v} -+ q, {s,u} -+ r y {r,t} -+ s, el autómata mínimo equivalente quedará:

AFDM f -+p q r

*s

=

({a,b},{p,q,r,s},j,p,{s}) a q

b

r

q q r

s q

--'r~'

S

~ b,c

A partir de este autómata se hallan sus ecuaciones fundamentales:

Xo

=

aX I +bX3 +b

190

CAPÍTULO

3.


X2

aX2 + bXI aX3 +bXI +a

X3

aX I

Xl

+ bX2

Resolviéndolas quedaría:

X2 X2 Xl Xl Xl

+ abX2 + bXI + a (ab)*(aaXI + bX I + a) a(ab)*(aaXI + bX I + a) + bX I a(ab)*aaXI + a(ab)*bX I + a(ab)*a + bX1 (a(ab)*aa + a(ab)*b + b)X I + a(ab)*a (a(ab)*aa + a(ab)*b + b)*a(ab)*a

aaXI

=

Xl

Sustituyendo las expresiones correspondientes en X o y resolviéndolo quedaría:

+ baXI + bbX2 + b = (a + ba)X I + bbX2 + b (a + ba)XI + bb(ab)*(aaX I + bXI + a) + b (a + ba)X I + bb(ab)*aaX I + bb(ab)*bX I + bb(ab)*a + b (a + b(ba) *a + bb(ab)*b)XI + bb(ab)*a + b

Xo

aX I

Xo Xo Xo

Sustituyendo en X o el valor de Xl se obtendría: Xo =

+ b(ba)*a + bb(ab)*b][(a(ab)*aa + a(ab)*b + b)*a(ab)*a] + +bb(ab) *a + b [a

Que será el resultado final y la expresión del lenguaje aceptado por el autómata. Se deja como ejercicio comprobar cómo las siguientes las palabras de dicho lenguaje son aceptadas por el autómata: • bbabbbbaaaaa • bbabbaabababbbaaaaababa • babaa


191

• aaaaaa • bba

o que las siguientes, que no pertenecen al lenguaje, no son aceptadas por el autómata • Cualquier palabra que acabe en b excepto la palabra b • bbabbbbaaa • baaba • abbbbababababaaa

Ejercicio

13.261'

Indicar cuáles son los lenguajes aceptados por cada uno de los siguientes autómatas: AF1={ {a,b },{ A,B,C}.J¡.A,{C})

JI ---tA B

a

e B

*e e

b A A B

a

b

AF2={ {a,b },{A,B,C,D},12.A,{D})

12

a

---tA B

B B

e D *o o

b O

e B B

192

CAPÍTULO

3.


AF3=( {a,b},{A,B},h,A,{B})

_ a ... O .~8 ________ b

h ~A

*B

a B B

b A A

GD·

b

Se hallan y se resuelven las ecuaciones fundamentales de los autómatas: 1. Para el primer autómata las ecuaciones fundamentales serán:

Xo =

aX2 +bXo +a aXI + bXo aX2 + bX I + a

Xl X2 Se resuelve en X 2 y Xl:

Xl X2 =

a*bXo a*(bX I

+ a)

Se sustituyen Xl y X 2 en las expresiones en que aparecen:

X2

a*(ba*bXo + a)

Xo

aa*(ba*bXo + a) + bXo + a (aa*ba*b + b)Xo + aa* + a (aa*ba*b + b)Xo + aa*

Xo = Xo


(aa*ba*b + b)*aa*

Xo =

ISolución:

(aa*ba*b + b)*aa*

I


193

2. Para el segundo autómata las ecuaciones fundamentales serán: Xo =

aX I

=

aX I

Xl

+ bX3 + b + bX2

X2 =

aX3 +bX I +a

X3

aX3 +bX I +a

Se resuelve en X 3 y se sustituye su valor en X 2 : X3 X2

a*(bX I

+ a)

+ aa*a + bX I + a = (aa*b + b)XI + aa*a + a = a*bX I + aa*

=

aa*bX I

Sustituyendo X 2 en Xl y resolviendo Xl se obtendrá:

+ ba*bXI + baa* (a + ba*b)X I + baa* (a + ba*b)*baa*

Xl

aX I

Xl

Xl

Sustituyendo Xl en X o y X 3 , sustituyendo a su vez X 3 en X o y simplificando se obtendrá: Xo =

a(a

+ ba*b)*baa* + ba*bX I + ba*a + b

Por último, resolviendo para Xo: Xo =

ISolución:

a(a

a(a

+ ba*b)*baa* + ba*b(a + ba*b)*baa* + ba*

+ ba*b)*baa* + ba*b(a + ba*b)*baa* + ba* I

3. Para el tercer autómata las ecuaciones fundamentales serán: Xo

aX I

Xl

aX l

+ bXo + a + bXo + a

194

CAPÍTULO

3.


Se resuelve en Xl, se sustituye su valor en X o y se simplifica:

Xl Xo Xo

a*(bXo + a) aa*bXo + a*a + bXo + a (b + aa*b)Xo + aa*


(b + aa* b)* aa* = (a* b)* aa*

Xo

ISolución:

(a*b)*aa*

I

Otra forma de solucionar esta última expresión sería sustituyendo en Xo , Xl por Xo , ya que, como se puede apreciar, Xo = Xl. De esta forma quedaría la expresión:

Xo Xo =

aXo + bXo + a (a + b)Xo + a

y resolviendo queda:

Xo

ISolución:

(a

(a+b)*a

+ b)*a I

Se estudiará a continuación por qué las dos expresiones anteriores son equivalentes. Se sabe que (a* {3)* = (a + ¡J)*. Por lo tanto, la primera expresión podría reescribirse como (a + b)*aa*. Esta expresión es equivalente a la anterior, ya que es la expresión de todas aquellas palabras compuestas por a y b de forma arbitraria, pero con la única restricción de que acaben en a, que es exactamente lo mismo que recoge la expresión anterior.


Ejercicio

195

13.271

Construir el Autómata Finito equivalente al dispositivo de McCulloch-Pitts de la figura 3.31 y obtener el lenguaje que reconoce.

Figura 3.31: Dispositivo de McCulloch-Pitts.

Se supone que sólo una una de las posibles entradas (a, b) estará activa en un momento dado. Como existen dos células se tienen 4 posibles estados (2 2 ). A continuación se muestra la tabla de transición del dispositivo (se han eliminado aquellos estados que son inaccesibles):

f 00 01 10

a 10 10 10

b 00 10 01

Renombrando los estados (qO = 00, ql = 01 , q2 = 10) Y sabiendo que el estado q2 es el estado final se obtiene el autómata de la figura 3.32.

Figura 3.32: Autómata correspondiente Para obtener el lenguaje que reconoce se utilizarán las ecuaciones características del autómata, las cuales son:

196

CAPÍTULO


Xo

=

Xl

X2

Sustituyendo

Xl

=

+ aX2 + a aX2 + bX2 + a + b aX2 + bx¡ + a bxo

en la ecuación de X2 se obtiene: X2 = (a

+ b(a + b))*(b(a + b)a)

y sustituyendo X2 en Xo se obtiene la expresión final: Xo = b*(a(a

+ b(a + b))*(b(a + b)a) + a)

IXo = b*(a(a + b(a + b))*(b(a + b)a) + a) I Ejercicio 13.281 Construir el Autómata Finito equivalente al dispositivo de McCulloch-Pitts de la figura 3.33 y el lenguaje que acepta. a

b

C'-----8_A_I ~ I 1

r

Figura 3.33: Dispositivo de McCulloch-Pitts

Se tienen dos células las cuales dan lugar a 4 estados posibles en el autómata. La tabla de transición del dispositivo es:

f 00 10 11

a 10 10

b

00

11 1<11 11


191

a

Figura 3.34: Autómata equivalente Renombrando los estados (qO = 00, ql = 10, q2 = 11) se obtiene el autómata de la figura 3.34. A partir de las ecuaciones características del automáta se obtiene el lenguaje que reconoce:

Xo

=

Xl

=

X2

+ bxo aXI + bX2 + b bX2 + aXI + b aXI

Resolviendo X2 se obtiene:

y sustituyendo X2 en

Xl:

Por último, sustituyendo

Xl

IXo

en Xo:

= b*(a(b*a)*bb*)

I

198

CAPÍTULO

Ejercicio

3.


13.291

Obtener la expresión regular que reconoce el dispositivo de McCulloch-Pitts de la figura 3.35.

a

~I Figura 3.35: Dispositivo de McCulloch-Pitts.

Puesto que existen cuatro células intermedias , se tienen 16 posibles estados en el autómata. A continuación, se muestra la tabla de transición con los estados inaccesibles eliminados (el orden para la construcción de los estados es ACBDE).

f

a

b

00000 11000 10110 10111 11001

11000 11000 11000 11001 11000

00000 10110 10111 10111 10110

Renombrando los estados:

qo

= OOOOO ,ql = 11000,q2 = 10110, q3 = 10111 , Q4 = 11001

se obtiene el autómata de la figura 3.36.


199

A partir de las ecuaciones características del automáta se obtiene el lenguaje que reconoce: Xo

+ bxO aXI + bX2 aXI + bX3 + b bX3 + aX4 + a + b aX2 + aXI aXI

=

Xl

X2 X3 X4

Figura 3.36: Autómata equivalente. Sustituyendo X4 en X3:

Resolviendo X2 se tiene:

Sustituyendo X2 en Xl

= (a

Xl

se obtiene:

+ b(bb*aa)*a + b(bb*aa) * bb*aa)*b(bb*aa)*(bb*a + bb*)

Resolviendo Xo: Xo=bxo + a(a + b(bb*aa)*a + b(bb*aa) * bb*aa)*b(bb*aa)*(bb*a + bb*) =b*a(a + b(bb*aa)*a + b(bb*aa) * bb*aa)*b(bb*aa)*(bb*a + bb*) y por último, se obtiene la expresión resultado:

I Xo = b*a(a + b(bb*aa)*a + b(bb*aa) * bb*aa)*b(bb*aa)*(bb*a + bb*) I

200

CAPÍTULO

Ejercicio


13.301

\

Dado el Autómata representado por el diagrama de la figura 3.37 construir el dispositivo de McCulloch-Pitts equivalente.

a

Figura 3.37: Autómata a transformar. Como se tienen cuatro estados y el alfabeto contiene dos símbolos, se tendrían las siguientes células intermedias: Pa,Pb, qa, qb, Ta , Tb, Sa, Sb. El dispositivo de McCulloch-Pitts se muestra en la figura 3.38. a

=W

Figura 3.38: Dispositivo de McCulloch-Pitts.

Ejercicio

13.311

Un robot se encuentra en una casa con tres habitaciones interconectadas entre sí. Dispone de dos operaciones: moverse a la habitación de la izquierda (J), y moverse a la habitación de la derecha (D) . Estas dos operaciones no son exactas, con lo que al estar en una habitación h i y realizar la misma operación, no siempre llega a la misma habitación hj. El robot termina su recorrido con éxito si termina en la habitación h3 al recibir una secuencia de órdenes, que pueden ser 1 ó D. El recorrido aleatorio que ha efectuado hasta el momento ha sido el siguiente:


201

Se pide: 1. Describir el autómata probabilístico que modeliza el comportamiento de dicho entorno.

2. Si empieza en la habitación h 2 , y efectúa dos movimientos a la derecha, ¿tendría éxito? 3. Si empieza en la habitación h1 Ó en la h3 de forma equiprobable, y efectúa un movimiento a la derecha seguido de otro a la izquierda, ¿dónde terminaría?

1. Para modelizarlo por un autómata probabilístico, se puede definir

como: (~ ,

AF P =

Q, M, P(O) , F)

donde • ~ =

{I , D} , ya que las entradas que recibe el robot es moverse a la derecha (D) o a la izquierda (1).

• Q = {h 1 , h2 , h3}, debido a que los estados posibles son las habitaciones donde puede estar en un determinado momento.

• M

= {M(I) ,M(D)},

donde

M(1)

=

e/

3 1/3 O ~

1

y)

Y

M(D)

~ ~

O O ( 1/2 O

It)

202

CAPÍTULO

3.


Estas matrices de probabilidades de transición se obtienen haciendo un estudio de frecuencias de las transiciones. Por ejemplo, M l l (1) = 1/3 debido a que después de estar tres veces en el estado h 1 y recibir la misma entrada (operación moverse a la izquierda), ha llegado sólo una vez a la misma habitación h 1 .

• P(O) será un vector de tres componentes que especificará la(s) habitación(es) de la(s) que parte . • F = {h3}, ya que la habitación h3 se considera éxito.

2. Si empieza en la habitación h 2 , el vector de estados inicial será:

(O 1 O)

P(O) =

ya que la probabilidad de que esté inicialmente en las habitaciones h 1 y h3 es nula y hay una probabilidad igual a 1 de que esté en la habitación h 2 . En ese caso, las transiciones con la entrada DD, serán:

P(DD)

P(O) x M(D) x M(D) = (O 1 O) x

( 1 O O) x

( (

O O 1 1 O O 1/2 O 1/2 O O 1 1 O O 1/2 O 1/2

) ( J2) ) x

O O 1 O 1/2 O

(O O 1) Como la probabilidad de estar en el estado h3 es 1, al final seguro que se encuentra en esa habitación, con lo que tiene éxito. 3. Si empieza en la habitación h 1 Ó h 3 , el vector de estados inicial será: P(O) = (1/2 O 1/2), ya que la probabilidad de que esté inicialmente en las habitaciones h 1 y h3 es igual y hay una probabilidad nula de que esté en la habitación h 2 . En ese caso, las transiciones con la entrada DI, serán:

203


P(O) x M(D) x M(I) =

P(DI) =

(1/2 O 1/2)

~

x (

1/3 O

1/2

1

3 =

(1/4 O 3/4)

x (

=

(1/12

1/12)

10/12

li

En este caso, tendría mucha probabilidad (10/12) de estar en la habitación h 2 , aunque no es seguro.

Ejercicio

13.321

Dado el AFND de la figura adjunta. se pide pasarlo al autómata probabilístico equivalente.

Primero se debe pasar a AFD , con lo que quedaría el siguiente AFD:

204


~

a

f *{qO,q¡} *{ql, q2}

{qO, ql} {qO, ql} {qO, ql}

*{ql}

0 0

{q2}

0 Renombrando con Qo q4 = 0, quedaría como:

{ql, q2}

2 {q¡} {q¡} {q¡} {q¡}

0

0

1 {ql, q2} {ql, q2}

{q2}

= {qO,q¡}, ql = {ql}, q2 = {q2}, q3 = {ql,q2},

AFD = ({a,1,2},{qo,ql,q2,q3,qÜ,f,Qo,{qO,ql,q3}) donde f:

~

f *qo *ql

q2 *q3 q4

a qo qo q4 qo q4

1 q3 q2 q3 q3 q4

2 ql ql ql ql q4

A continuación, el AFP se definirá como:

AF P

=

({a, 1, 2}, {qO, ql, q2, q3, q4}, M, p(a), {qO, ql, q3})

donde

1 a a a a) • M = {M(a), M(1), M(2)}, • p(a) = (

donde

M(a) =

1 a a a a 1 a a a a a a a o 1 1 o a a a a a a o 1 a a a

M(l) =

1

a

o o 1 o o o a a 1 a o o a 1 o

a a a a

1

y

I

205


y

M(2) =

Ejercicio

O O O O O

1 1 1 1 O

O O O O O

O O O O O

O O O O 1

13.331

Dadas las expresiones regulares siguientes:

1. a(ba)*

+ c(a* + b)*

2. c(a*b)*a*

+ (ab)*a

Comprobar formalmente si son equivalentes.

Apartado 1 En primer lugar se deriva la primera expresión de forma sucesiva obteniéndose: a(ba)*

+ c(a* + b)*

Ro Da(Ro)

=

(ba)* = Rl

Db(Ro)

=

0

Dc(Ro)

=

(a*

Da(Rd

=

0

+ b)*

= R2

Db(Rd Dc(R 1 )

a(ba)* = R3

D a(R2) D b(R2)

+ b)(a* + b)* a*(a* + b)* = R4 (a* + b)* = R2

D c(R2)

0

0 Da(a*

=

Da(R3) D b(R3)

=

(ba)* = Rl

=

0

= (Da(a*)

+ Da(b))(a* + b)*

=

1

206


CAPÍTULO

Dc(R3) D a (R4) Db(R4) Dc( R4)

0

= a*(a* + b)* + a*(a* + b)* = R4 = Db(R2) = R2 = 0

Se han ido derivando todas las expresiones que han ido apareciendo en cada derivación sucesiva, respecto de todos los símbolos del alfabeto, hasta que ya no han aparecido expresiones nuevas, sino alguna de las ya existentes. A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro:

= = = = =

Ro Rl R2 R3 R4

aRllcR21alc bR3 aR41bR21alb aR1la aR41bR21alb

A continuación se transforma la Gramática Lineal por la derecha obtenida anteriormente en una Gramática Lineal por la izquierda. Para ello, se construye en primer lugar el grafo relativo a la Gramática Lineal por la derecha: a

~G~:rb(

a,~ ¡',b (\ ~ b-----=--~ ~

a

a

A partir de este último grafo se obtiene uno nuevo intercambiando los nodos de Ro y A, y cambiando el sentido de todas las flechas, generando el grafo de la figura 3.39. A partir de este nuevo grafo se puede construir la Gramática Lineal por la izquierda obteniéndose:


207

a

(0--

~4,b

~

e

Rl

a

b

RO~ Figura 3039: Grafo que representa a una Gramática Lineal.

Ro Rl R2 R3 R4

00-

00-

0

0-

0

0-

00

0

0-

0 0

R3 a lR 2alR2blR4alR4blalc R3 a la R2 blR 4blc R1b R4 a lR 2a

A continuación, se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la izquierda obtenida en el paso anterior, que será:

AFND = ({a,b,c},{Ro,R 1,R2,R3 ,R4,p,q},j,p,{Ro}) f --tp

*Ro Rl R2 R3 R4 q

a

{Ro,Rt} q q

R o,R4 Ro,R 1 Ro,R4 q

b q q

R3 Ro,R2 q

Ro,R2 q

c

Ro,R2 q q q q q q

Se puede apreciar cómo los estados R2 y R4 son equivalentes así pues para simplificar se puede eliminar el estado R4 sustituyéndolo en todas partes donde aparezca por R20 Por último se convierte el Autómata Finito No Determinista en otro equivalente determinista, quedándo:

208

CAPÍTULO


/

f -+p *{Ro,Rd *{Ro, R2} R3

a {Ro,Rd

b

q

R3 {Ro , R2}

{Ro,R2} {Ro,Rd

q

q

q

c {Ro,R2}

q q

q q q q

Apartado 2 Se realiza idéntico proceso con la segunda expresión regular. En primer lugar, se deriva de forma sucesiva obteniéndose:

c(a*b)*a* + (ab)*a

Ro

Da[(ab)*]a + Da(a) + 0 = b(ab)*a +,x = (ba)* = Rl

Da(Ro) Db(Ro) Dc(Ro) Da(R¡) Db(R¡) Dc(R¡)

=

Db[(ab)*]a + 0 + 0 = 0 (a*b)*a* = R2

= 0 = a(ba)* = R3 = 0

D a(R2)

Da[(a*b)*]a* + Da[a*] = Da[a*b](a*b)*a* + a* a*b(a*b)*a* + a* = 2(a*b)*a* = R2

D b(R2)

Db[(a*b)*]a* + 0 = Db[a*b](a*b)*a* 'x(a*b)*a*

D c(R2)

0

Da(R3) D b(R3)

(ba)*

= 0

Dc(R3)

0

= R2

= Rl

=

=


209

Igual que en el apartado anterior, se obtiene la gramática correspondiente:

Ro .. -

aRllcR21alc bR3

.. .. -

Rl R2 R3

aR21bR21alb aRlla

.... -

A continuación, se transforma la Gramática Lineal por la derecha obtenida anteriormente en la Gramática Lineal por la izquierda siguiente:

Ro Rl R2 R3

.. -

R3 a lR 2alR2blalc R3 a la R 2alR2blc R1b

.. .... .. -

Seguidamente, se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la izquierda obtenida en el paso anterior, que será:

AFND = ({a,b,c},{Ro,Rl,R2,R3 , p,q},!,p,{Ro})

f -+p

*Ro Rl R2 R3 q

a

Ro,R 1 q q

Ro,R2 Ro,Rl q

b q q

R3 Ro,R2 q q

c

Ro , R 2 q q q q q

Se puede apreciar cómo este autómata es idéntico al Autómata Finito No Determinista simplificado de la primera expresión regular. Por lo tanto, al tener ambas expresiones los mismos autómatas asociados, éstas serán equivalentes; es decir, representan el mismo lenguaje.

.J~

210

CAPÍTULO


Para comprobar la validez de ambos métodos, se va a solucionar el ejercicio sin convertir las gramáticas, obteniendo el autómata a partir de la Gramática Lineal por la izquierda anterior. Dicho autómata será:

AFND

=

({a, b,e}, {Ro, R 1, R2, R3, F}, j, Ro , {F}) .. f

a

-+ Ro

R1 , F

Rl R2 R3 *F

R2 , F R1,F

b

c

R2 , F R3 R 2,F

Se convierte en Autómata Finito Determinista:

AFD

=

({a , b, e}, {Ro , {Rl, F} , {R2, F} , R3, 0} , j, Ro , {{R 1, F} , {R2 , F}})

f

-+ Ro

a

{R 1, F} {R2,f} {R2,F} R3 {R1 , F}

0

b

{Rl,F}

0

c

{R2, F} R3 {R 2, F}

0

0

Se puede comprobar que este autómata es isomorfo al del primer apartado.

Ejercicio 13.341 Demostrar formalmente si la expresión regular Ro = 11*(10)*0 describe el lenguaje aceptado por el autómata de la figura 3.40.

Puede haber varias formas de realizar la demostración. Dos posibles formas de hacerlo son:


211

Figura 3.40: Autómata Finito. 1. Obtener el autómata mínimo que reconoce el lenguaje descrito por la

expresión regular, obtener el autómata mínimo del autómata dado en la figura, y luego demostrar que son equivalentes. 2. Obtener la expresión regular del autómata dado en la figura y demostrar que es la misma expresión regular que la dada como entrada. Se va a desarrollar la segunda forma, aunque cualquiera de ellas sería válida. Para ello, lo primero que hay que hacer es eliminar las transiciones,x, ya que, si no, la fórmula de obtención de la expresión regular, X = A * . B , no es aplicable. Por tanto, al transformar el Autómata Finito No Determinista en el determinista equivalente, quedará la función de transición f como:

f

O

{qO ,q6}

0 0

0 {ql ,q5} * {q2} {Ql,Q3 ,q5} * {Q2,Q4,Q5} {Q3} {Q4,Q5}

1 {ql,q5}

0

{q2}

{ql,q3 ,q5}

0

0

{Q2,Q4 ,Q5} {Q2} {Q4,Q5} {Q2}

{Ql ,Q3 ,Q5} {Q3}

0 {Q3}

Renombrando:

. J,_

212

CAPÍTULO

3.


f

O

qo ql q2 * q3 q4 * q5 q6 q7

ql ql q3 ql q5 q3 q7 q3

1 q2 ql q4 ql q4 q6 ql q6

A continuación, se escriben las ecuaciones características:

Xo = OXI +lx2 Xl = OXI + 1XI X2 = OX3+ 1x 4+ 0 X3 = OXI +IXI X4 = OX5+1x4+0 X5 = OX3+ 1x6+ 0 X6 = OX7+ 1x I X7 = OX3+ 1x6+ 0

Resolviendo las ecuaciones:

Xl

Xo X3 X2 X6 X7 X6 X5 X4 X2

= = = = =

= = = = = = Xo =

(O+I)XI +0=(0+1)*0=0 1X2

0 1x4+0 OX7 lx6+0=lOx7+0=(1O)*0 0(10)*0 1x6+0=1O(10)*0+0=[10(10)*+.x]0=(1O)*0 0(1O)*0+lx4+0=1*[0(1O)*0+0] 11*[0(10)*0+0]+0=11*0(10)*0+11*0+0=11*0(10)*0+[11 *+.x]o= 11*0(10)*0+1*0=1* 10(10)*0+ 1*0=1 *[10(10)* +.x]0=1 *(10)*0 11*(10)*0 e.q.d.

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFO QUE PRÁCTICO

Ejercicio

213

13.351

Dado el siguiente Autómata Finito No Determinista :

f (qo , a) = {qO , q3} f(qo , b) = {q2} f (qo , e) = {q5} f(ql, a) = {q3} f (ql , b) = {q2 , q5} f (ql , e) = {q2} f(q2 , a) = {q2} f(q2 , b) = {ql , q4} f(q2 ,C) = {q4} f (q3, a) = {qo} f (q3, b) = {q5} f (q3, e) = {q2 , q5} f(Q4 , e) = {Qd f (Q5, a) = {Q2} f(Q5, b) = {Q4} f (Q5, e) = {Ql , Q4}

Hallar formalmente el Autómata Finito Determinista mínimo equivalente al anterior.

Se convierte el AFND a AFD. Como no hay transiciones-A, se agrupan los estados que sean accesibles, quedando:

214


a {qO, q3} {qO,q3} q2 Q3 Q2 q2 Qo

b q2 {q2,q5} {ql , q4} {Q2,Q5} {Ql , q4} Q4 q5

0 0

0 0

f -+ Jo {qO , q3} *{q2 , q5} {Ql, Q4} *Q2 *q5 q3 q4

0

e q5 {ql, q2} {ql , q4} {Q2, Q5} q4 {Ql, Q4} {q2 , q5} q5

0

Renombrando los estados de la siguiente manera:

A -+ qo B -+ C -+ D -+ E -+ F -+ G -+ H -+

{qO , Q3} {q2,q5} {ql , q4} q2 q5 q3 q4

En cuyo caso el autómata sería:

f -+A B *C D *E *F G H

0

a B B E

G E E A

b E C D C D H F

0 0

0 0

e F C D C H D C F

0

Ahora habrá que reducir el autómata anterior para obtener el AFD mínimo para lo cual se hallan las clases de equivalencia de la siguiente manera:

LEN GU AJES , GRA MÁTICA S y A UTÓMATAS: UN E NFOQ UE PRÁCTI CO

215

QjEo={{A,B ,D, G,H ,0} , {e,E ,F}} QjE1 ={ {A, B , D, G}, {H}, {0}, {e, E, F}} QjE2 ={{A,B , D ,G} , {H} , {0} , {e} , {E} , {F}} QjE3 ={{A}, {B,D} , {G}, {H} , {0} , {e} , {E} , {F}} Qj E4={ {A} , {B} , {D} , {G} , {H} , {0} , {e} , {E}, {F}} Se puede apreciar cómo no existe ningún estado que sea equivalente a otro. Por lo tanto, la tabla anterior ya constituirá el ADF mínimo solución al problema.

Ejercicio

13.361

Indicar cuáles de los siguientes lenguajes que aparecen a continuación son equivalentes.

1. b*(a + c)*a 2. b*a(a + c)*a

+a 3. b*a(a + c)*a + b*c*a

1. En primer lugar, se deriva la primera expresión de forma sucesiva hasta que no aparezca ninguna ER nueva, obteniéndose:

Ro Da(Ro) Db(Ro) Dc(Ro) Da(Rt} Db(Rt} Dc(Rt} Da(R2) D b(R2) Dc(R2)

=

b*(a + c)*a (a+c)*a+>.=R l b*(a + c)*a = Ro (a + c)*a = R 2 (a+c)*a+>.=Rl

=

0

= =

(a + c)*a = R2 (a+c) *a+>.=Rl

=

0

= =

(a

+ c)*a = R2

216

CAPÍTULO


A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro:

Ro Rl

.. .. -

R2

.. -

aRllbRoleR21a aRlleR21a aR1leR21a

A continuación, se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a la Gramática Lineal por la derecha obtenida en el paso anterior, que será:

AFND = ({a, b, e}, {Ro, R 1 , R 2, F} , Ro, f, {F}) f

--+ Ro Rl R2 *F

a Rl,F Rl,F Rl , F

b

c R2 R2 R2

Ro

Por último, se convierte el Autómata Finito No Determinista en otro equivalente determinista, quedando:

AFD = ({a , b,e}, {R o,{R 1 , F} , R2, 0} , f , Ro , {{R 1 , F}}) f

a

--+ Ro {Rl , F} *{R 1 , F} {Rl , F} R 2 Rl,F

0

0

b

c

Ro

R2 R2 R2

0 0 0

0

Este es, además, el autómata mínimo. 2. Se realizan las mismas operaciones para la segunda expresión, obteniéndose:

Ro Da(Ro) Db(Ro) Dc(Ro)

b*a(a + e)*a + a (a + e)*a +.A = Rl b*a(a + e)*a = R2

o

L ENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

Da(Rd Db(Rd Dc(Rd Da(R 2) Db(R2) Dc(R 2)

=

Da(R3) Db(R 3) Dc(R3)

217

(a+e)*a+A=Rl

0 (a + e)*a = R3 (a + e)*a = R3 b*a(a + e)*a = R2

0 (a+e)*a+A

= Rl

0 (a

+ e)*a = R3

A partir de las derivaciones anteriores se obtiene la Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro:

Ro , , Rl .. R2 .. R3 .. -

aRllbR21a aRlleR31a aR31bR2 aR 1 leR31a

y se obtiene el Autómata Finito No Determinista correspondiente a

la Gramática Lineal por la derecha:

AFND = ({a,b,e},{Ro,Rl , R2,R3,F},Ro,¡, {F}) f -+ Ro

a

Rl,F Rl Rl,F R2 R3 *F

b

c

R2 R3 R2

Por último, se convierte el Autómata Finito No Determinista en su equivalente determinista, quedando:

AF D = ({a, b, e}, {Ro, {Rl , F}, R 2, R 3 , 0}, ¡, Ro, {{Rl , F}})

218

CAPÍTULO

3.


f

-+ Ro *{R 1, F} R2 R3

0

a

b

c

{R1,F} {R1,F} R3 {Rl,F}

R2

0

0

0

R3

R2

0

0 0

R3

0

Se puede apreciar cómo este autómata no es isomorfo respecto al del apartado 1, por lo que las dos Expresiones Regulares no son equivalentes. 3. Por último, se repite todo el proceso para la tercera expresión, obteniéndose:

Ro Da(Ro) Db(Ro) Dc(Ro) Da(R¡) Db(R 1) Dc(R 1) Da(R2) D b(R2) Dc( R2) Da(R3) D b(R3) Dc(R3)

b*a(a + c)*a + b*c*a = (a+c)*a+A=Rl b*a(a + c)*a + b*c*a = Ro c*a = R2 (a+c)*a+A=Rl

= = = =

0 (a

+ c)*a = R3

A

0 c*a = R2 (a+c)*a+A=Rl

= 0 = (a + c)*a = R3

La Gramática Lineal por la derecha correspondiente a la expresión original Ro será:

Ro .. Rl .. -

aRllbRolcR21a aRllcR31a


R2 .. R3 .. -

219

cR21a aR1lcR31a

y el Autómata Finito No Determinista correspondiente será:

AFND = ({a , b, c} , {R o, R 1, R2 , R 3, F} , Ro , ¡ , {F}) f ---t

Ro Rl R2 R3 *F

a

b

c

Rl , F Rl,F

Ro

R2 R3 R2 R3

F

Rl,F

Por último, el Autómata Finito Determinista es:

AFD = ({a , b, c} , {Ro , {Rl , F}, R 2, R 3, F, 0} , ¡ , Ro , {{Rl , F}, F}) f

a

---t Ro {Rl, F} *{Rl,F} {Rl,F} F R2 R3 {Rl, F} 0 *F

0

0

b Ro

0 0 0 0 0

c

R2 R3 R2 R3

0 0

Se puede apreciar cómo este autómata no es isomorfo respecto al del apartado 1, ni al del apartado 2, por lo que ninguna de las tres Expresiones Regulares del problema son equivalentes.

Ejercicio

13.371

Obtener el lenguaje reconocido por el siguiente Autómata Finito No Determinista:

AFND = ({a,b, c}, {p,q , r} ,p,¡, {q ,r})

220

CAPÍTULO

3.


Figura 3.41 : Autómata Finito No Determinista de partida. donde j viene determinada por el diagrama de transición de la figura 3.41.

Lo primero que hay que hacer es convertir el autómata en determinista:

AFD = ({a , b,c},{p, q,0} , p,j, {q}) f

a P q

b q

c

0 q 0 *q 0 0 0 0

-'tp

Las ecuaciones fundamentales del autómata determinista son:

X o =aXO +bX I +cX2 +b Xl = (a + c)XI + bX2 + a + c X 2 = (a + b + c)X2 Resolviendo la última, se obtendrá:

Sustituyendo en X o y Xl, Y resolviendo en esta última:

Xl = (a+c)*(a+c)


221

Sustituyendo en Xo:

X o = aXo

+ b(a + c)*(a + e) + b =

aXo

+ b(a + c)*

Resolviendo esta última ecuación:

Xo=a*b(c+a)* Luego:

IL(AFND) = a * b(c + a)* I

Ejercicio

13.381

Obtener formalmente el lenguaje reconocido por el siguiente Autómata Finito No Determinista: AFND=( {a,b },{p,q,r,s,t,u,v },p,f,{ v}) y

f

viene determinada por la siguiente tabla de transición:

f ---+p q r s t u *v

a q,r r,q

b p s,t,u p,v

u,r t,s U,s,t

v v

Primero, se convierte el AFND en su equivalente determinista. La tabla de transición quedará:

f ---+p {q,r} {q,r,s,t,u} * {p,v} * {p,s,t,u,v}

a {q,r} {q,r} {q,r,s,t,u} {q,r,s,t,u} {q,r,s,t,u}

b p {p,s,t,u,v} {p,s,t,u,v} {p,v} {p,v}

222

CAPÍTULO

3.


Si se renombran los estados de la siguiente manera: p {q,r} {q,r,s,t,u} {p,v} {p,s,t,u,v}

-+ -+ -+ -+ -+

A B D E F

El autómata determinista quedaría ahora:

f -+ A B D

*E *F

a B B D D D

b A F F E E

Para hallar el lenguaje de este autómata se reduce a su Autómata Finito Determinista mínimo equivalente: {{A,B,D},{E,F} } {{A},{B,D},{E,F} } {{A},{B,D},{E,F} }

Q/Eo

Q/El Q/E2

Por lo tanto el autómata mínimo quedará:

f -+A B *F

a B B B

b A F F

Cuyas ecuaciones fundamentales son:

Xl

bXo + aX l aX l +bX2 +b

X2

aX l

Xo

Resolviéndolas quedará:

+ bX2 + b


223

+ b)

X2

b*(aX I

Xl Xl Xl Xl Xl

+ bb*(aX I + b) + b aX I + bb*aX2 + bb*b + b (a + bb*a)X I + b*b

Xo Xo

bXO

aX I

b*aXI +bb* (b*a)*bb*

+ a(b*a)*bb*

b*a(b*a)*bb*

Luego el lenguaje generado por la gramática es: IL(AFND) = b*a(b*a)*bb*

Ejercicio

I

13.391

Dada la siguiente gramática, construir formalmente, a partir de la expresión regular del lenguaje generado por ella , la Gramática Regular equivalente. G = ({a,b,c},{S,A,B,C,D},S,P) donde P: S ::=ABCD A:: =aA lA B::=cB lA C::=a I b D::=cbD lA

La expresión regular correspondiente al lenguaje generado por la gramática del ejercicio, vendrá dada por: Ro = a*c*(a + b)(cb)*

Esta Expresión Regular se puede obtener sin más que analizar qué genera la gramática. Como se puede observar, a partir del axioma se genera una expresión que concatena lo que generen los símbolos no terminales A, B, C y D, respectivamente. A genera a*, B genera c*, C genera (a + b) , Y D genera (cb)*.

-

224

CAPÍTULO

3.


Para obtener la gramática regular que genera la expresión regular Ro , se puede derivar la expresión, y dará (se omiten los pasos intermedios):

Da(Ro) = a*c*(a + b)(cb)* + (cb)* = Rl Db(Ro) = (cb)* = R2 Dc(Ro) = c* (a + b)(cb)* = R3 Da(Rd = Rl Db(R1 ) = R2 Dc(R 1 ) = c*(a + b)(cb)* + b(cb)* = R3 D a (R2) = 0 D b (R2) = 0 D c(R2) = b(cb)* = R4 Da(R3) = R2 Db(R3) = R 2 D c(R3) = R3 Da(R4) = 0 D b(R4) = R2 Dc(R4) = 0 Por tanto, la gramática regular será: G 2 = ({a,b,c},{R o,R1 ,R2,R3,R4},Ro,P) donde P:

Ro::= aR llbR2I cR3Ialb Rl::= aR llbR2I cR3Ialb

R2::=cR4 R3::=aR2IbR2I cR3Ialb R4::= bR2Ib

Ejercicio

13.401

Sean los Autómatas Finitos Deterministas Al A2 Y A3 de fa figura 3.42 que reconocen los lenguajes Ll, L2 Y L3 respectivamente. Construir los AFD que reconocen los siguientes lenguajes:

1. Ll U L2 2. LlnL2


225

3. Ll - L2 4. Ll UL3 5. L3 - L2

Al

A2

°

0,1

r 0

A3 0,1

0,1

Figura 3.42: Autómatas Al , A2 y A3.

Puesto que los AF reconocen expresiones regulares, se pueden obtener las expresiones regulares Rl, R2 y R3 correspondientes a Al, A2 y A3 respectivamente, por ejemplo, por el método de ecuaciones características. Puesto que la unión y concatenación de expresiones regulares también son expresiones regulares se tiene que al lenguaje Ll U L2 le corresponde la expresión regular Rl + R2. ASÍ, se puede construir un AF para esta expresión (obteniendo por derivadas sucesivas la gramática y a partir de ella el AF). La segunda solución que se empleará para resolver el resto de apartados de este ejercicio, consiste en construir un AF a partir de los autómatas cuyos lenguajes aparecen en la expresion. Se comenzará con Ll n L2.

226

CAPÍTULO


1. A partir de los autómatas:

donde ~ = {a,l}, P = {A,B,C}, A es el estado inicial, función de transición y Fl = {C}.

h

es la

donde ~ = {a,l}, P = {X, Y, Z}, X es el estado inicial, 12 es la función de transición y F2 = {Z}. Se construye

A=

(~,R , ro,

j, F)

donde ~ = {a, l}, ro = AX , R

=P

x Q

= {AX,AY,AZ,BX,BY,BZ,CX,CY,CZ}

y j es la función de transición definida de la siguiente forma:

j((pq) ,a) = (h(p,a)12(q,a)) En esta fórmula, p E P, q E Q y a E ~ . F = {AZ, BZ, CX, CY, CZ} es el conjunto de estados finales (pq) donde p E FI Ó q E F 2 puesto que para que la expresión sea aceptada debe pertenecer a Ll ó a L2 (definición de Ll U L2). La función de transición se define de esta forma porque el autómata necesita mantener la pista de Al y de A2 simultáneamente. Por ello, se construyen estados formados por los pares obtenidos de P x Q (un estado de cada autómata). Se construye el autómata A a partir de AX (estado inicial) según la definición de función de transición j (de esta forma se eliminan los estados inaccesibles) . Algunas de estas transiciones son:

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

227

Figura 3.43: Autómata reconocedor de L1 U L2

f(AX , O) f(AX,l) f(BX,O) f(BX , l)

= = = =

(fI (A , O) , h(X, O)) (fI(A , 1), h(X, 1)) (fI(B, O), h(X, O)) (fI (B, 1), h(X, 1))

=

BX AY BX

CY

y así sucesivamente hasta obtener el autómata de la figura 3.43: 2. Para L1 n L2 se tiene el mismo autómata definido en el apartado anterior. La única diferencia estriba en el conjunto de estados finales del autómata resultado. En este caso

F = (pq) donde p E F¡ Y q E F 2 Es decir, F = {C Z} puesto que las palabras de L 1 n L2 son palabras aceptadas por el autómata Al y por el A2. 3. En este caso, el autómata también es el mismo, aunque F es distinto.

F = (pq) donde p E F¡ Y q rf- F2 Es decir, F = {CY, CX} ya que las palabras pertenecientes a Ll- L2 son palabras aceptadas por el autómata Al que no son aceptadas por el autómata A2.

;""e

228

CAPÍTULO

3.


4. Para construir el autómata que reconoce LlUL3 se sigue el mismo procedimiento seguido en el primer apartado pero con los autómatas Al y A3. ElconjuntoF = (pq) dondep E Fl óq E F3 = {AW,CW,BW,CV}. El autómata que se obtiene se muestra en la figura 3.44.

BV2E)

Figura 3.44: Autómata reconocedor de Ll

n L2

5. Para L3-L2 también se sigue el mismo procedimiento pero se utilizan A3 y A2. F = (pq) donde pE F3 Y q rt F2 . El autómata resultado se muestra en la figura 3.45.

o

Figura 3.45: Autómata reconocedor de L3 - L2.

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTICO

Ejercicio

229

13.411

Dados los Autómatas Al y A2 de la figura 3.46 que reconocen los lenguajes L1 y L2 respectivamente, contruir un autómata que reconozca los siguientes lenguajes.

a) LI·L2 b) LI *

c) L2*uLI Al

o

A2

Figura 3.46: Autómatas Al y A2

Si se obtienen las Expresiones Regulares RI y R2 de Al y A2, respectivamente, entonces LI . L2 estará representado por RI . R2 , LI * estará representado por RI *, y L2* U LI estará representado por R2* + Rl. De manera formal se pueden construir los autómatas equivalentes a partir de la Expresiones Regulares. Comenzando por el autómata Al , sus ecuaciones características son: Xo

=

OXo

+ IXI

230

CAPÍTULO

3. GRAMÁTICAS REGULARES y AUTÓMATAS FINITOS 1XI + OX2 + O

Xl

X2

=

OXO + 1XI

Sustituyendo X2 en Xl y resolviendo Xl: Xl = 1*(Oxo

+ O)

Sustituyendo en Xo: Xo

= Oxo + 11* (Oxo +0) = (O + 11*O)xo + 11*0 = (A + 11*)Oxo + = 1*Oxo + 11 *0 = (1 *0)* 11 *0 = (1 *0)* 1*10 = (1 + 0)* 10

IXo =

Rl

= (1

11*0

=

+ 0)*10 I

Para el autómata A2: Xo

=

+O 1x3 + 1

Oxo

Xl

X2 X3

OXI + 1x2 + A

=

1x2

Sustituyendo X3 en X2 Y resolviendo X2: X2 = 11X2 + 1 = (11)*1 Sustituyendo Xl Y X2 en Xo se tiene: Xo

= OXI +

1x2 + A = OOxo + 00 + 1(11)*1 + A = (00)*(00 + 1(11)*1 + A) = (00)* (00 + 1(11)* 1) + (00)* Haciendo a = 00 y f3 = 11, se obtiene: Xo

= a*(a + f3f3*) + a* = aa* + a* f3f3* + = a* + a*f3f3* = a*(A + f3f3*) = a*f3*

a*

=

luego:

IXo =

R2 = (00)*(11)*

I

Ahora que ya se tienen las Expresiones Regulares reconocidas por los autómatas Al y A2, las expresiones de cada uno de los lenguajes del enunciado son:

=


L1· L2 L1* L2* U Ll

estará representado por estará representado por estará representado por

231

R1R2 = (1 + 0)* 10(00)* (11)* R1 * = (( 1 + O) * 1O) * R2* + Rl = ((00)*(11)*)* + (1 + 0)*10

Por último, hay que obtener la gramática generadora de cada una de estas expresiones, aunque para Rl* = ((1 + 0)*10)* se puede construir directamente el AFND como muestra la figura 3.47 (se deja como ejercicio el paso a AFD y su posible minimización). 0,1

o

Figura 3.47: Autómata reconocedor de L1 *. También se puede construir informalmente el AFND para la expresión R1 . R2 = (1 + 0)*10(00)*(11)* como muestra la figura 3.48 (se deja como ejercicio el paso a AFD y su posible minimización). 0, 1

Figura 3.48: Autómata reconocedor de L1 . L2. Para la última expresión, R2* + R1 = ((00)*(11)*)* + (1 + 0)*10 (00+ 11)* + (1 +0)* 10 se aplicará el teorema de síntesis de Kleene obteniendo el AFND de la figura 3.49. Se deja como ejercicio su paso a AFD y su minimización.

232

CAPÍTULO 30 GRAMÁTICAS REG ULARES y AUTÓMATAS FINITOS

Figura 30 4 9: Autómata reconocedor de L2* U Ll.

Ejercicio

13.421

Dada la gramática G = (¿'T, ¿'N, S, P), donde ¿'N = {S, A, B , D , E}, S es el axioma y Pes: S A B D E F

00

-

00

0000

00

-

00

00

-

00

0000

0000

¿'T =

{a , b},

aA bB I aD aE I bS I a bD aS I aC ba

a) Obtener el lenguaje que genera b) Obtener el Autómata de Células de McCulloch-Pitts equivalente

Para obtener el lenguaje generado por la gramática, se construirá el Autómata Finito Determinista y por el método de ecuaciones características se obtendrá la Expresión Regular que reconoceo

LENG UAJES , GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

233

En primer lugar, se limpiará la gramática puesto que contiene dos símbolo superfluos y un símbolo inaccesible. El símbolo D no conduce a ningún símbolo o cadena terminal, al igual que el símbolo e y el símbolo F es inaccesible desde el axioma de la gramática. Esto significa que es posible eliminar sus producciones asociadas así como aquellas producciones de otros símbolos en las que aparezcan. Las producciones de la gramática limpia serían:

s A B E

,,"

,,"

,, "

,,"

aA bB aE I bS aS

Ia

El AFND correspondiente a esta Gramática Lineal por la derecha se muestra en la siguiente tabla (se ha añadido el estado F como estado final):

f --+S A B E *F

a A

b

(/)

B S

(/)

E,F S

(/) (/)

(/)

El AFD correspondiente, que se comprueba fácilment e que es mínimo, es:

f --+S A B * {E,F}

a A

b

(/)

B S

(/)

{E,F} S (/)

(/)

(/)

(/)

Renombrando los estados se obtiene el siguiente AFD:

f

a

--+ qo

ql

ql

q4 q3 qo q4

q2 *q3 q4

b q4 q2 qo q4 q4

234

CAPÍTULO

3.


Las ecuaciones características del autómata son:

Xo

aXI

Xl

bX2

X2

bxo

+ aX3 + a

Sustituyendo X3 en X2: X2 = bxo

+ aaxo + a =

(b

+ aa)xo + a

Sustituyendo X2 en Xl: Xl = b(b + aa)xo

+ ba

Sustituyendo Xl en Xo y resolviendo: Xo

= ab(b + aa)xo + aba

I Xo

= (ab(b

+ aa))*aba I

A partir del autómata se obtiene el Autómata de Células de McCullochPitts que se muestra en la figura 3.50, renombrando los estados de la forma qo como p, ql como q, q2 como r Y q3 como s. Con cuatro estados se tienen ocho células intermedias. b

~

~ ~

1

Figura 3.50: Autómata de Células de McCulloch-Pitts. En la figura 3.50 se observa que las células qa Y Pb no proporcionan ninguna salida a las otras células, por lo que se pueden eliminar. El Autómata de Células final se muestra en la figura 3.51.


a

a

r

-~

=@

~2rb

- ([B

f--~ I L / b

a

ra

-2

-¡¡-

235

]

b

Figura 3.51: Autómata de Células de McCulloch-Pitts simplificado.

Capítulo

4

GRAMÁTICAS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO y AUTÓMATAS A PILA

En este capítulo se estudiarán las Gramáticas Independientes del Contexto, de tipo 2, y los autómatas que reconocen los lenguajes generados por ellas, los Autómatas a Pila. Este tipo de gramáticas y autómatas son importantes desde el punto de vista de la Informática, debido a que permiten la descripción de la mayoría de los lenguajes de programación, por lo que permiten la construcción de compiladores.

4.1

Gramáticas Independientes del Contexto

En este tema se van a estudiar técnicas para preparar una gramática a efectos de ser tratada eficientemente por un autómata que reconozca el lenguaje generado por la gramática. Se verán los conceptos de gramáticas limpias, bien formadas y las Formas Normales de Chomsky y Greibach.

4.1.1

Definiciones

Dada una gramática de tipo 2 (independiente del contexto) se definen: • Reglas innecesarias: son las que tienen la forma A ::= A (A E EN)' Estas reglas se deben eliminar de las gramáticas, ya que no generan derivaciones útiles. 237

238

CAPÍTULO

4. GRAMÁTICAS TIPO 2

y AUTÓMATAS A PILA

• Símbolos inaccesibles: aquellos símbolos no terminales A E EN que no pueden ser alcanzados por derivaciones desde el axioma de la gramática, S. Es decir, no hay una derivación S ---t* xAy. Ejemplo: Dada la siguiente gramática: G n = ({0,1,2,3},{A,B,C,D,E},A,P) P = {(A ::= DO), (A ::= E10), (A ::= A), (B ::= 1C3), (C ::= C), (D ::= lA), (E ::= lE)})

los símbolos B y C son inaccesibles, y la regla (C ::= C) es innecesaria. Por tanto, la gramática G n , es equivalente a la GIl eliminando dichos símbolos (y sus reglas asociadas) y la regla innecesaria.

Gn , P =

({O, 1, 2, 3}, {A, D, E}, A , P) {(A ::= DO), (A ::= ElO), (A ::= A), (D

=

::= lA),

(E ::= lE)})

• Símbolos superfluos: su definición depende del conjunto al que pertenezcan. ASÍ, - Símbolo no terminal superfluo, A: es aquél del que sólo se pueden derivar palabras en las que existe al menos un símbolo no terminal, o, lo que es lo mismo, A 1+* x(x E ET). - Símbolo terminal superfluo, a: es aquél que no puede ser alcanzado por derivación desde el axioma; es decir, no existe ninguna producción (A ::= aa(3) E P). Ejemplo: En la gramática G n , los símbolos E, 2 y 3 son superfluos. Para eliminar los símbolos superfluos, se puede utilizar el algoritmo de la figura 4.1. Este procedimiento marca todos aquellos símbolos no terminales que no tengan alguna producción en la que se llegue a símbolos terminales o a símbolos no terminales marcados. Cuando se termina el bucle, se eliminan las producciones de los símbolos no marcados, esos símbolos no terminales, y los símbolos terminales que no aparezcan en la parte derecha de ninguna producción.


239

Función Eli~inar-SÍmbolos-Superfluos (G) : G' G: entrada a la función, gramática definida por

(~T , ~N ,

S, P)

G' : salida de la función, gramática sin símbolos superfluos

L:Nmarcados:=0; Repetir Si A E L: N Y A ti L: Nmarcados y (A ::= x) E P, x E (L: T U L:Ñmarcados) Entonces L: Nmarcados: = L: NmarcadosU { A } Hasta que (L:N = L:Nmarcados) Ó no se marque ningún símbolo nuevo Si todos los A E L:N están marcados (* L: N = L:Nmarcados *) Entonces Devolver G' = G Si no L:~ := L:Nmarcados; p' := P; L:~ := L:T; Para cada A ti L: Nmarcados Borrar todas las producciónes de p' en las que aparezca A; Para cada a E L:T Borrar a de L:~ si no existe en p' una regla (A :: = aa(3) Devolver G' = (L:~, L:~, S, P')

Figura 4.1: Procedimiento de eliminación de los símbolos superfluos de una gramática. Ejemplo: En la gramática GU" primero se marcan todos los símbolos no terminales que estén en la parte izquierda de una producción y en cuya parte derecha sólo aparezcan símbolos terminales ó A. Por tanto, se marcaría el símbolo A. Sucesivamente, se van marcando los símbolos no terminales que aparezcan en la parte izquierda de producciones en las que sólo haya combinaciones de símbolos terminales, A, ó símbolos no terminales marcados. En la siguiente iteración se marcaría el símbolo D. Como ya no se puede marcar ningún otro símbolo no terminal, los únicos símbolos no terminales no superfluos son A y D. A continuación, se eliminan el resto (sólo E), y, por último, se eliminan aquellos símbolos terminales que no aparezcan en la parte derecha de ninguna regla (2 y 3) . La nueva gramática equivalente será:

¡

240

CAPÍTULO

Gu "

=

4. GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

({O, l}, {A, D}, A, {(A

::= DO), (A ::=

A), (D

::= lA)})

• Gramática limpia: Se dice que una gramática está limpia si no tiene reglas innecesarias, símbolos inaccesibles, ni símbolos superfluos. Ejemplo: La gramática G u " está limpia.

• Reglas no generativas: una regla es no generativa cuando A ::= A, A i- S. Para eliminar dichas reglas, se puede seguir el algoritmo que aparece en la figura 4.2. Función Eliminar-Reglas-no-Generativas (G): G ' G: entrada a la función, gramática definida por (~T, ~N, 5, P) G' : salida de la función, gramática sin reglas no generativas

\

p/:=p; Repetir Para cada P = (A ::= A) E p' Y (A i- S) P/:= P'- {P}; Para cada p' = (B ::= xAy) E p' (x, y E I;*) p' := P/U {(B ::= xy)} - {E'} Hasta que todas las reglas sean generativas; Devolver G' = (I;T, I;N, S, PI)

Figura 4.2: Procedimiento de eliminación de las reglas no generativas de una gramática.


241

Ejemplo: Dada la siguiente gramática: G 12 = ({O},{A,B,e},A,p) P = {(A ::= eOB), (A ::= A), (B ::= Be), (B ::= A), (e ::= OB), (e ::= A)})

al aplicarle el algoritmo de eliminación de reglas no generativas, daría lugar a las siguientes conversiones de las reglas: - Eliminación de la regla B ::= A:

P={(A ::= eOB), (A ::= eo), (A ::= A), (B ::= Be), (B ::= e), (e ::= OB), (e ::= O), (e ::= A)} - Eliminación de la regla

e ::= A:

P={(A ::= eOB), (A ::= OB), (A ::= eo), (A ::= O), (A ::= A), (B ::= Be), (B ::= e), (B ::= A), (e ::= OB), (e ::= O)} En este paso, se habría generado la regla B ::= B al reemplazar e en la regla B ::= Be por A. Esta regla, al ser innecesaria, se elimina. - Eliminación de la regla B ::= A, que ha aparecido nuevamente:

P={(A ::= eOB), (A ::= OB), (A ::= eo), (A ::= O), (A ::= A), (B ::= Be), (B ::= e), (e ::= OB), (e ::= O)} La gramática quedaría como:

G 12, = ({O},{A,B,e},A,p) P = {(A ::= eOB), (A ::= OB), (A ::= eo), (A ::= O), (A ::= A) , (B ::= Be), (B ::= e), (e ::= OB), (e ::= O)})

• Reglas de redenominación: una regla es de redenominación cuando A ::= B con A, B E ~N. Para eliminarlas, se borra esa regla y se genera una nueva producción A ::= x por cada regla B ::= x , con x E ~*.

242

CAPÍTULO


Ejemplo: En la gramática G 12" la regla B ::= e es de redenominación. Al eliminar la regla y reemplazar e por las partes derechas de sus producciones, se convierte la gramática en: G 12" = ({O} , {A , B ,e},A, p) P = {(A :: = eOB) , (A ::= OB) , (A ::= eO) , (A ::= O) , (A ::= >') , (B ::= Be) , (B ::= OB) , (B ::= O) , (e :: = OB) , (e ::= O)}

• Gramáticas bien formadas: una gramática está bien formada si está limpia, no tiene reglas no generativas y no tiene reglas de redenominación.

Ejemplo: La gramática G 12" está bien formada.

4.1.2

Forma Normal de Chomsky (FNC)

Las gramáticas de tipo 2 (independientes del contexto), se.pueden transformar en gramáticas equivalentes expresadas en la Forma Normal de Chomsky. En esta forma de representar las gramáticas, las producciones pueden tener las siguientes formas: ' P = {(A ::= BC) ó (8 ::= >') Ó (A ::= a)IA, B , CE L.N, a E L.T}

Como se puede observar, los árboles de derivación, salvo en las derivaciones correspondientes a las hojas, son binarios. Lo más común es partir de una gramática limpia. El algoritmo para transformar una gramática en su Forma Normal de Chomsky equivalente para cada producción P de la gramática, reasigna el nuevo valor del conjunto de producciones P a lo que devuelve la función FNC que aparece en la figura 4.3. Esta función trata de convertir todas las producciones que no están en el formato de FNC a dicho formato. Los casos que se pueden presentar son los siguientes: • La producción ya está en FNC. No se hace nada.


243

• La parte derecha de la producción comienza por un símbolo terminal a. Lo que se hace es buscar si existe una producción de un símbolo no terminal que sólo vaya al símbolo a (C ::= a); es decir, que no haya más producciones en las que aparezca en la parte izquierda de la producción. En ese caso, se puede sustituir en la producción inicial el símbolo a por el C y seguir tratando el resto de la producción. Si no se encuentra ningún C que cumpla esto, se crea un nuevo símbolo N, se crea una nueva regla N ::= a, se sustituye a por N en la producción original, y se sigue tratando el resto por medio de la función FNC-auxiliar .

• La parte derecha de la producción comienza por un símbolo no terminal B , pero tiene más de dos símbolos (supóngase que es By). Por medio de la función FNC-auxiliar, puede haber dos casos: y E ~T Ó Y E ~N. En el primer caso, se sustituye y por un símbolo no terminal que sólo vaya a y (existente o nuevo) en esa producción. En el segundo caso, se crea un nuevo símbolo no terminal N' , se crea una nueva regla que tenga en la parte izquierda a N' y en la parte derecha a y, se sustituye a y por N' en la producción original, y se vuelve a tratar la nueva regla formada N ::= y.

Ejemplo: Dada la gramática G 13 , se va a calcular la gramática equivalente en Forma Normal de Chomsky. Para ello, se tratarán sucesivamente las reglas aplicándoles el procedimiento anterior.

G 13 = ({O , 1,2} , {A , B , C} , A, P) P = {(A ::= CB2), (A ::= lB) , (A ::= ,\) , (B ::= BC) , (B ::= 1), (C ::= 2)}

244

CAPÍTULO


y AUTÓMATAS A PILA

Función FNC (P, G) : p' P: entrada a la función, producción de la forma A :: = x G: entrada a la función , gramática definida por (~T, ~N , 5, P) P': salida de la función, conjunto de producciones en las que P está en FNC

pl:=p; Si x E ~T Ó X = Be (B ,e E ~ N ) Entonces Devolver p' Sino Si x = ay (a E ~T ,y E ~+) Entonces Si 3(e ::= a) E P y jl(e ::= x) E P , x "1 a Entonces N := e Sino N :=nuevo-~N; p' := p' U{(N ::= a)}; Si y E ~ N Entonces Devolver p' U{(A :: = Ny)} - {P} Sino Devolver FNC-auxiliar(A, N, y, G , PI) Sino (* x = By (B E ~N , y E ~ +) *) Devolver FNC-auxiliar(A, B, y, G, PI)

Figura 4.3: Procedimiento de conversión de una producción a Forma Normal de Chomsky. • A ::= eB2. Como no está en FNC , ni e E ~T , se llama a la función FNC-auxiliar con argumentos (A, e, B2, G 13 , P). Ahora B2 ti. ~T, por lo que se crea un nuevo símbolo no terminal D , se crea una nueva regla D ::= B2, se elimina la regla A ::= eB2 y se crea una nueva regla A ::= eD. Esta última ya está en FNC , mientras que la primera (D :: = B2) hay que volverla a tratar. Al llamar recursivamente al procedimiento FNC, por las mismas razones que antes, llamará al procedimiento FNC-auxiliar con ar&.umentos (D, B , 2, G 13 , P). En este caso, 2 E ~T , y, además, se da cuenta de que existe un símbolo no terminal, e, que lleva a 2 y a ninguna otra parte derecha, por lo que borra la regla D ::= B2 y añade la regla D ::= Be.


Función FNC-auxiliar (A, N,

245

y, e, P) : p'

A: símbolo no terminal a la izquierda de la producción inicial N: símbolo no terminal primero de la derecha de la nueva producción y: resto de símbolos en la parte derecha de la nueva producción P: conjunto de producciones G: gramática definida por (~T , ~N , S, P) P': nuevo conjunto de producciones

Si y E ¿;T Entonces Si 3(B ::= y) E P y Jj(B ::= z) E P, z =1= y Entonces Devolver p' = P u{A ::= NB)} - P; Sino N' :=nuevo- ¿;N; Devolver p' = P U{(N' ::= y) , (A ::= NN ' )} - P; Sino N' :=nuevo-¿;N; p' := (N' ::= y); P ' := P U{PI, (A ::= NN' )} - P ; Devolver FNC(PI , e) donde Pg es p'

Figura 4.4: Procedimiento auxiliar de conversión de producciones a FNC.

• A ::= lB. Como no está en FNC, 1 E ¿;T, Y no hay un símbolo no terminal que sólo vaya a 1, se crea uno nuevo, E, una nueva producción, E ::= 1, y dado que B E ¿;N, elimina la regla A ::= lB y añade la regla A ::= EB.

• A ::= A. Ya está en FNC . • B ::= BC. Ya está en FNC. • B ::= 1. Ya está en FNC.

• C ::= 2. Ya está en FNC. Por tanto, la gramática final quedaría:

e

13 , = ({O,1,2},{A,B,C,D,E},A,P) P = {(A ::= CD), (A ::= EB), (A ::= A), (B ::= BC) , (B ::= 1), (C ::= 2), (D ::=BC), (E ::= l)}

246

4.1.3

CAPÍTULO


y AUTÓMATAS A PILA

Forma Normal de Greibach (FNG)

Otra forma de representar las gramáticas de tipo 2 es por medio de la Forma Normal de Greibach. Como se verá más adelante en el apartado de Autómatas a Pila, esta representación será útil para construir el Autómata a Pila equivalente a una gramática de tipo 2. En este caso, las producciones son de las siguientes formas:

P = {(A ::= aX) ó (8 ::= .x)IA E ~N,X E ~N,a E ~T} Para pasarlas a FNG, se realizan los siguientes pasos: 1. Se convierte la gramática a su equivalente gramática limpia.

Ejemplo: La gramática G l3 está limpia.

2. Se elimina la recursividad por la izquierda. Ejemplo: La regla B ::= BC sería recursiva por la izquierda, con lo que se borrarían las reglas del símbolo B y se añadirían:

B

::=

lB', B'

::=

CB', y B'

::=

.x

o bien, para no tener reglas no generativas:

B

::=

lB', B

::= 1, B' ::=

CB',

y B' ::= e

Eliminando la regla de redenominación, B' ::= la regla B' ::= 2.

e, se añade

3. Como no puede haber reglas en las que sus partes derechas comiencen por un símbolo no terminal, se deben sustituir esas reglas por otras. Para ello, se establece un determinado orden en los símbolos no terminales, Al, A 2 , ,,,_ , An. y se dividen las reglas en tres grupos: • Grupo 1. Ai ::= ax, (a E

~T, X E ~*)


• Grupo 2. Ai ::= Ajx, (A i , Aj E ~N, i • Grupo 3. Ai ::= Ajx, (A i , Aj E ~N, i

< j, x > j, x

247

E ~*) "

E ~*)

El objetivo es conseguir que todas las reglas sean del Grupo 1. Para ello, se seleccionan primero las reglas del Grupo 3 cuyo i sea mínimo en la ordenación, y se sustituyen estas reglas por las obtenidas al sustituir Aj por todas las partes derechas de sus producciones. Este proceso se aplica iterativamente en orden creciente de i hasta alcanzar el objetivo. Después, se realiza el mismo proceso con las del Grupo 2. Ejemplo: En la gramática G i 3 después de eliminar la recursividad por la izquierda y limpiarla, se establece, por ejemplo, el orden A , B , B' , C en los símbolos no terminales. Con este orden, no hay ninguna regla del Grupo 3, por lo que se tratan las reglas del Grupo 2. Se sustituyen las apariciones como primer símbolo de la parte derecha de C en las producciones de B , B' y A, las apariciones de B' en B y A, y las de B en A. ASÍ, la regla A ::= CB2, generaría la regla A ::= 2B2 y se borraría la regla A ::= CB2. La regla. B' ::= CB' se elimina y se sustituye por B' ::= 2B'. Por tanto, tras esta primera fase , las producciones serían:

p'

=

{(A ::= 2B2), (A ::= lB), (A ::= A), (B ::= lB'), (B ::= 1) , (B' ::= 2B'), (B' ::= 2) , (C ::= 2)}

4. En este momento, todas las partes derechas de las reglas empiezan por un símbolo terminal (a excepción de la regla A ::= A). Si todas las reglas son de alguno de los tres tipos permitidos en FNG, no se hace nada. Para cada regla del tipo:

A ::= aX,A E

~N,X E ~*,a E ~T

donde existen símbolos terminales b en X, entonces por cada símbolo b, se sustituye s~ aparición en esa producción por un símbolo no terminal N (nuevo si hace falta) que sólo tenga una producción que sea N ::= b.

248

CAPÍTULO 4. GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

Ejemplo: Supóngase la gramática anterior G 13 en la que ya se han obtenido las reglas del ejemplo anterior. Sólo hay una regla que no esté en FNG, A ::= 2B2, ya que tiene el símbolo terminal 2 al final de la parte derecha de la regla. Se puede sustituir por el símbolo no terminal C, ya que C sólo tiene una producción, y ésta lleva sólo al símbolo terminal 2. En el caso de que C llevase a otros símbolos, entonces habría que: crear un nuevo símbolo no terminal N; crear una nueva producción N ::= 2; y sustituir N por 2 en la regla, quedando A ::= 2BN. Por tanto, la gramática G~3 siguiente está en FNG:

G 13" = ({O,1,2},{A,B,B',C},A,P) P' = {(A ::= 2BC), (A ::= lB), (A ::= A), (B ::= lB') , (B ::= 1), (B' ::= 2B'), (B' ::= 2), (C ::= 2)}

4.2

Autómatas a Pila (AP)

Los Autómatas a Pila permiten analizar palabras para reconocer si pertenecen o no a lenguajes de tipo 2, independientes del contexto. Tienen la misma estructura que los Autómatas Finitos, pero se les añade una pila (memoria auxiliar) para poder guardar información que podrá ser útil en momentos posteriores del análisis. Por ejemplo, en el caso de muchas gramáticas de lenguajes de programación de alto nivel o en gramáticas de lenguajes naturales, existe la posibilidad de utilizar paréntesis y estos deben estar balanceados (por cada paréntesis de apertura debe existir posteriormente un paréntesis de cierre). Este aspecto es imposible de controlar con una Gramática Regular (de tipo 3) debido a que, como no se conoce el número de paréntesis "a priori", se necesitarían infinitos estados para llevar la cuenta de los paréntesis de apertura que se han leído para poder saber luego si se han cerrado o no todos. Los Autómatas a Pila, al disponer de la memoria auxiliar (pila), pueden introducir en ella un elemento en la pila por cada paréntesis de apertura leído, e ir eliminando de la pila un elemento por cada paréntesis de cierre leído, y, por tanto, llevar el control de si se han cerrado todos o no.

4.2.1

I

Definición

Se definen los Autómatas a Pila como:


AP

249

= (~, r, Q, A o, qo,f, F)

donde •

~ es el alfabeto de símbolos de entrada, que pueden aparecer en la cinta de entrada.

•r

es el alfabeto de símbolos de pila, que pueden aparecer en la pila. Este alfabeto puede tener símbolos en común con el alfabeto de entrada.

• Q es el conjunto de estados, equivalente al del resto de los autómatas ya estudiados.

• Ao E • qo E

• F

~

r

es el símbolo inicial de pila, que aparece en la base de la pila.

Q es el estado inicial. Q es el conjunto de estados finales.

• f es la función de transición entre estados, que se define como: f : Q x (~U {A}) x r -+ P (Q x r*) Es decir, por cada estado, símbolo de entrada o palabra vacía (A), y símbolo en la cima de la pila, determina la transición a otro estado y decide qué se debe escribir en la pila. Más adelante se comenta con más detalle cómo funciona. En la figura 4.5 se muestra la arquitectura de este tipo de autómatas. Se dispone como entrada de una cinta con los símbolos que forman la palabra de entrada que hay que aceptar o no (ai E ~). El autómata tiene una cabeza lectora posicionada en cada momento en un símbolo de entrada. Esta cabeza lectora sólo puede moverse hacia la derecha y termina de moverse cuando llega al final de la cinta. También puede quedarse parada durante un tiempo a mitad de cinta, que corresponde a realizar las transiciones con la palabra vacía, A. Además, este tipo de autómatas, como todos los anteriores, lleva el control del estado en el que está (qi E Q) donde los estados marcados con un * son estados finales (pertenecen a F), y puede leer y escribir en la pila los símbolos Ai E r. El control del autómata lo lleva la función de transición f que, en cada momento, a partir del estado actual, el símbolo actu~ de la entrada y el símbolo de la cima de la pila, determina el siguiente estado y la siguiente configuración de la pila, como ya se detallará más adelante.

250

CAPÍTULO


Cinta de entrada

AP

---------------------1

Control

Aceptada! No Aceptada

Figura 4.5: Arquitectura de un Autómata a Pila.

Ejemplo: El siguiente Autómata a Pila reconoce el lenguaje formado por n unos seguidos de n ceros, donde n ~ 1.

AP1 = ({ 0, 1}, {A, 1, O} , {qo , qd, A, qo , f, 0)

donde

f

se define como:

f(qo, 1, A) = {(qo, lA)} f(qo, 1, 1) = {(qO, ll)} f(qo,O, l) = {(ql,A)}

f(ql, 0,1) = {(ql, A)} f(ql, A, A) = {(ql, A)}

251


El funcionamiento intuitivo de este autómata es que cuando recibe un 1 en la entrada y está en el estado qo, mete el 1 en la pila, para memorizar cuántos ha leído. Cuando lee un O, transita al estado q1 que se dedica a eliminar un 1 de la pila por cada O que lee. ASÍ, si la pila se queda vacía (ha reconocido la palabra, como se estudiará más adelante) es porque ha leído el mismo número de unos que de ceros.

4.2.2

Movimientos

El Autómata a Pila tiene dos tipos de transiciones: • Cuando lee un símbolo de la entrada, a E :E, si está en el estado q E Q, hay un símbolo en la cima de la pila Z E r, y la función de transición para esa terna, es:

entonces transita a uno de los estados qi17=1 (no determinista), se quita de la pila el símbolo Z, se introducen en la cima de la pila los símbolos que formen parte del Zi correspondiente, y se situa la cabeza de lectura en el siguiente símbolo de la entrada. La introducción de la palabra Zi = ZlZ2 ... Zn (Zi E r) correspondiente se realiza de forma que primero se introduce el símbolo Zn, a continuación el Zn-1, y así sucesivamente hasta el Zl. • Cuando no se lee ningún símbolo de la entrada, si está en el estado q E Q, hay un símbolo en la cima de la pila Z E r, y la función de transición para la terna es:

f(q , A, Z) = {(ql , zt) , (q2 , Z2 ), ... , (qn , zn)} , qi E Q, Zi E

r* ,

entohces transita a uno de los estados qi 17=1 (no determinista) , se quita de la pila el símbolo Z , se introducen en la cima de la pila los símbolos que formen parte del Zi correspondiente, y no se mueve la cabeza de lectura de la entrada.

252

CAPÍTULO

4 . GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

Ejemplo: En el Autómata a Pila definido anteriormente, se podrían realizar los siguientes movimientos dada la palabra de entrada 1100. Se comienza en el estado qo y en la pila sólo está el símbolo A (figura 4.6(a)). Como el primer símbolo de la entrada es un 1, está en la cima de la pila el símbolo A , y la función de transición para esos tres elementos es f(qo , 1, A) = {(qO , lA)} , se transita al estado qo , se elimina de la pila A , y se añade lA , poniendo el 1 en la cima de la pila, dejando la situación de la figura 4.6(b) . Cinta de entrada

Cinta de entrada AP

AP -- -- --- - -----1 I I I

Pila

-- ---- - -- - ---- - - --- - ---------1

I I I I I I I I I I I

Qi Q: I

Estados

Estados - - - - - - - ___ ___ 1

Pila I

I

--- - - - -- - -- -- - --

___ _

__ 1

No Aceptada

No Aceptada

(a)

---- -- -

(b)

Figura 4.6: Situación inicial de funcionamiento del autómata AP¡ para la palabra de entrada 1100 (a) y configuración después de leer el primer 1 de la entrada (b) .

/

Se lee el siguiente símbolo de la entrada (1) y, con la cima de la pila (1), la función de transición es f(qo , 1, 1) = {(qo, 11)}. Por tanto, se transita al estado qo, se elimina el 1 de la cima de la pila y se añaden dos unos, con lo que queda llA (figura 4.7(a)). Al leer el siguiente O de la entrada, se aplica la función de transición f(qo , 0, 1) = {(q¡ , A)} , que transita al estado q¡ , elimina el primer 1 de la pila y no añade nada a la pila, con lo que queda lA , tal como se muestra en la figura 4.7(b) . A continuación, se lee el último O y con la función de transición, f (q¡, O, 1) = {( q¡, A)} , se sigue en el estado q¡, se elimina el 1 de la cima de la pila, que queda sólo con A , y no se añade nada nuevo a la pila (figura 4.8(a)). Por último, sin leer nada de la

253


entrada, estando en el estado ql, Y en la cima de la pila A, se transita con f (ql, A, A) = {( ql, A)} al estado ql, se elimina la A de la pila, quedándose la pila vacía como se muestra en la figura 4.8(b). Como se verá más adelante, ésta es una forma de aceptar la palabra de entrada. Es decir, pertenece al lenguaje aceptado por el autómata. Cinta de entrada Cinta de entrada

AP -- ---- --- -- --- - -

I I

: §

-- -- ---- -- --- ,

AP

I

l

A

Estados

I

tE

: I I

I I

Estados

I

-- ---- -

_

Pila I ___ __ 1

Pila

:

_ __ __ _ _ _ _ _ ___ J

No Aceptada

No Aceptada

(a)

(b)

Figura 4.7: Configuración del autómata AP1 después de leer el segundo 1 de la entrada (a) y después de leer el primer O de la entrada (b) .

Cinta de entrada

Cinta de entrada l

I

I

I

O

I

O

I

AP - - - ------ ---- --- - - - --- --- - - --

~~

Q Pila

Estados

Estados

Aceptada

No Aceptada

(a)

(b)

Figura 4.8: Configuración del autómata AP1 después de leer el segundo O de la entrada (a) y después de realizar una transición A (b).

254

CAPÍTULO

4.2.3


Descripción instantánea

El concepto de descripción instantánea permite describir sencillamente la configuración del autómata en cada momento .

• Representación: es una terna (q ,x,z), q E Q,x E E*,z E f*. Contiene el estado actual, el resto de la palabra de entrada que queda por leer, y la situación de la pila en ese instante. El primer símbolo de la palabra de entrada representa el puntero de lectura de la cinta de entrada, y el primer símbolo de la pila representa la cima de la pila. Ejemplo: En el ejemplo anterior, el momento inicial se puede describir como (qO , 1100, A). El siguiente momento se representaría como (qO, 100, lA). El momento final se representaría como (ql , A, A).

• Movimientos: si (p, x) E f (q, a, Z) , con p, q E Q, a E E U {A} , Z E f, x E f* entonces, de la descripción instantánea (q , ay, ZX) , se puede pasar a la descripción instantánea (p , y , xX), representándose como

(q, ay, ZX) f- (p , y , xX) Como se puede observar, se ha desplazado el puntero de lectura de la cinta de entrada al siguiente símbolo de la cinta, se ha eliminado el símbolo en la cima de la pila (Z), y se han introducido los símbolos en la pila que señale la función de transición (x). Ejemplo: En el ejemplo anterior, se producirían los siguientes movimientos:

(qO , 1100, A)f- (qO , 100, lA) f- (qO, 00, 11A) f- (ql, O, lA) ff- (ql, A,A) f- (ql,A,A)


255

• Sucesión de movimientos: para representar el hecho de que se puede alcanzar la descripción instantánea d2 a partir de la dI , se utilizará una notación similar a las derivaciones de los Autómatas Finitos: dI r * d2 . Ejemplo: En el ejemplo anterior, se puede decir que se puede obtener la descripción (ql, A, A) a partir de (qO, 1100, A) y se representa como:

4.2.4

Autómatas a Pila Deterministas

Al igual que los Autómatas Finitos, los Autómatas a Pila pueden ser deterministas o no deterministas. Hasta ahora, se ha descrito el tipo más general, que son los no deterministas. Se dice que un Autómata a Pila es determinista cuando: • Vq E Q, A E

r , si If(q , A,A)I > O entonces

Va E ~ , f(q , a, A) = O; y

• Vq E Q,A E r,a E ~ U {A}, If(q,a,A)1 < 2 Es decir, si hay alguna transición A dados un estado q y un símbolo de pila A, entonces no puede haber transición con ningún símbolo de entrada, y, además, no puede haber más de una transición dados el mismo estado q y símbolo de pila en la cima de la pila A, incluyendo las transiciones A. Ejemplo: El autómata anterior API es determinista, ya que cumple con las restricciones impuestas. Un Autómata a Pila No Determinista sería el siguiente:

AP2 = ({0,1},{A,1,0},{qo,qd,A,qo,f,0) donde

f

se define como:

256


f(qo, 0, A) = {(qo, OA)} f(qo, 1, A) = {(qO, lA)} f(qo,O,O) = {(qO,OO),(ql,A)} f(qo, 0, 1) = {(qo,Ol)} f(qo, 1, O) = {(qo, lO)} f (qo, 1, 1) = {( qo, 11), (ql, 1), (ql, A)} f(ql,O,O) = {(ql,A)} f (ql, 1, 1) = {( ql , A)} f (ql, A, A) = {( ql, A)} Es no determinista debido a que, para las transiciones con (qO, 0, O) Y (qO, 1, 1), hay más de una posible transición.

4.2.5

Lenguaje aceptado por un AP

Hay dos formas equivalentes de caracterizar el lenguaje aceptado por un Autómata a Pila:

• Por vaciado de pila: el lenguaje aceptado es el conjunto de palabras que permiten transitar desde el estado inicial hasta una descripción instantánea en la que tanto la entrada como la pila estén vacías. LVAP = {xl(qo,x,A o) f-* (p,A,A) y pE Q,x E ~*}

Ejemplo: Los autómatas AP1 y AP2 aceptan el lenguaje por vaciado de pila. El lenguaje aceptado por AP2 sería:

Intuitivamente, el autómata acepta ceros y unos en la entrada, que va introduciendo en la pila por medio del estado qo. En cualquier momento, puede seguir leyendo la palabra x, o empezar a leer la misma palabra de entrada, pero al revés (su inversa x- 1 ), y transitar al estado ql, que se encargará de comprobar que se lee bien la inversa.


257

• Por estado final: el lenguaje aceptado por estado final es el equivalente al de los Autómatas Finitos: todas las palabras que permiten transitar desde el estado inicial a uno final. Se aceptarán todas las palabras que permitan pasar de la configuración inicial a una en la que se haya leído toda la palabra de entrada y el autómata esté en uno de los estados finales, independientemente del contenido de la pila.

LFAP

=

{xl(qo,x,A o) r* (p,A,X) y p E F,x

E ~* , X E r*}

Ejemplo: Un autómata equivalente al AP1 que acepte por estado final sería:

donde

f

se define como:

f(qo,1,A) = {(qo,1A)} f(qo, 1,1) = {(qo,11)} f(qo,O,1) = {(ql ,A)} f(ql,O ,1) = {(ql,A)} f (ql, A, A) = {( q2, A)} Los autómatas por vacíado de pila y por estado final son equivalentes, y siempre es posible obtener un AP que reconozca por vaciado de pila a partir de un AP que reconozca por estado final y viceversa.

4.2.6

Autómatas a Pila y Gramáticas de tipo 2

Dado que los Autómatas a Pila pueden reconocer lenguajes generados por Gramáticas Independientes del Contexto, de tipo 2, en este apartado se describirá cómo obtener el autómata correspondiente a una gramática y viceversa.

AP asociado a una gramática Por cada gramática G de tipo 2 existe un Autómata a Pila AP que reconoce el lenguaje generado por ésta. Se estudiarán dos formas de construirlo: definiendo un AP que reconozca por vaciado de pila; o definiendo un AP que reconozca por estado final. Ninguna de estas formas asegura que se pueda obtener un APD.

258


• AP que reconoce por vaciado de pila el lenguaje generado por una gramática de tipo 2. La forma de construirlo es la siguiente: si la gramática G = (I: T , I:N, S, P) está en Forma Normal de Greibach, se construye un Autómata a Pila No Determinista:

donde la función de transición

f

se define como sigue:

- Si A ::= aZ E P, (a E I:T,A E I:N,Z E I:Ñ), entonces (q, Z) E f(q, a, A). - Si S ::= A E P, entonces (q, A) E f(q, A, S). \ Se cumple que si S ---+* xX, x E I: X E I:Ñ mediante una derivación izquierda, entonces (q, x, S) 1-* (q, A, X). Es decir, si la gramática puede generar la forma sentencial xX, el autómata va a poder pasar desde la situación inicial a una en la que X esté en la pila y haya leído la palabra x. Si X = A, el autómata habrá reconocido x como palabra válida del lenguaje por vaciado de pila.

r,

Ejemplo: Si se tiene la gramática:

G 13" = ({O,1,2},{A,B,B',C},A,P} P = {(A ::= 2BC), (A ::= lB), (A ::= A), (B (B ::= 1C), (B ::= 1), (B' ::= 2B'), (B'

::= ::=

lB'), 2C), (C

El autómata equivalente sería:

AP

=

({O, 1, 2}, {A, B, B', C}, {q},A, q, f, 0)

donde f:

f(q,2,A) = {(q,BCn f(q, 1, A) = {(q, Bn f(q,A,A) = {(q,An f(q,l,B) = {(q,B'),(q,C),(q,An f(q,2,B') = {(q,B'),(q,Cn f(q, 2, C) = {(q, An

::=

2n


259

Además, se cumple que:

s -+ lB -+ 11C -+ 112 y

(q, 112, A)

r (q, 12, B) r (q, 2, C) r (q, A, A)

Como es no determinista, desde la descripción instantánea (q, 12, B) también se podría haber transitado a (q, 2, B') ó a (q, 2, A).

• AP que reconoce por estado final el lenguaje generado por una gramática de tipo 2. La forma de construirlo es la siguiente: dada la gramática G = (~T, ~N, S, P), se construye un Autómata a Pila No Determinista:

donde

- r

= ~T U ~N U {Ao}, de forma que

Ao

~ ¿;T

U ¿;N

- Q = {qO,ql,q2} donde qo es el estado inicial, ql es el estado por el que se realizan las transiciones, y q2 es el estado final. - la función de transición

* * * *

f

se define como sigue:

f (qO, A, Ao) = {ql, SAo} donde S es el axioma de la gramática; Para cada A E ~N, si A ::= a E P, (a E ~*), entonces (ql, a) E f(ql, A, A); Para cada a E ~T, (ql, A) E f(ql, a, a); f(ql,A , A o) = {q2 , A o}

Ejemplo: Dada la gramática del ejercicio anterior, G~3 ' el Autómata a Pila que reconoce por estado final será:

AP = ({a, 1, 2}, {a, 1,2, A, B, B ' , e, D}, {qo , ql , q2} , D , qo , f , {qú) donde f:

260

CAPÍTULO


f(qo, A, D) = {ql, AD} f(ql, A, A) = {(ql, 2BC), (ql, lB), (ql, f(ql, A, B) = {(ql, lB'), (ql, lC), (ql, In f(ql,A,B') = {(ql,2B'),(ql,2Cn f(ql, A, C) = {(ql, 2n f(ql,O,O) = {(ql,A)}

An

f(ql,l,l)

= {(ql,A)} f(ql,2,2) = {(ql,A)} f (ql, A, D) = {q2, D}

Gramática asociada a un AP A partir de cualquier Autómata a Pila AP, se puede construir una gramática de tipo 2 que genera el lenguaje aceptado por el autómata. Si el autómata es AP = (~, r, Q, A o, qo, f, F), se construye una gramática de tipo 2 en Forma Normal de Greibach G = (~ , ~N, 8, P) donde •

~N =

{8} U {(p,A,q)!p,q E Q,A E r}

• P: - Para cada estado q E Q se crea una regla 8

::=

(qO, A o, q)

- Para cada a E ~ U {A}, p, q E Q, A, B, Bi E r, si (q,B· Bl· B 2 · ... · Bn) E f(p,a,A) entonces para todas las combinaciones de estados qi E Q se crea una regla

(p, A, qn)

a· (q, B, ql) . (ql, B l , q2) ..... (qn - l, B n , qn) - Para cada a E ~ U {A}, A E r, si (q, A) E f(p, a, A), entonces se crea una regla (p, A, q) ::= a ::=

Se cumple, entonces, que si desde la descripción instantánea inicial

(qo,x,Ao),x

E ~*,A E

r,p,q,E Q

se puede transitar en n pasos a (q,A,A), (qo,x,A o) f-* (q,A,A), o, lo que es lo mismo, el AP acepta la palabra x por vacíado de pila, entonces desde el axioma de la gramática 8, se puede derivar x en n pasos (8 ---+* x). La gramática de salida normalmente no está limpia y se pueden eliminar símbolos superfluos.

LENGUAJES , GRA MÁTICAS y A UTÓMATAS: UN E NFOQ UE PRÁCTI CO

261

Ejemplo: Dado el Autómata a Pila AP{ , se puede crear la gramática que genera el lenguaje que reconoce el autómata de la siguiente forma:

G I4 = ({O , l} , L;N,S,P)

donde

• P: S··= (qO , A, qo) ::= (qo , A , qo) ::= (qO, A , q¡) ::= (qO, A , q¡) ::= (qO , 1, qo) ::= (qo , 1, qo) ::= (qO , 1, q¡) ::= (qO , 1, q¡) ::= (qO , 1, q¡) ::= (ql , 1, q¡) ::= (ql , A, ql) ::=

(qO , A , qo)l(qo , A , q¡) l(qo , 1, qo)(qO, A , qo) 1(qo , 1, ql) (ql , A , qo) 1 (qO, 1, qo) (qO , A , ql) l(qo , 1, ql)(ql , A , q¡) l(qo , l , qo)(qo , l , qo) l(qo , l , ql)(ql , l , qo) l(qo , 1, qo)(qO , 1, ql ) l(qo , l , ql)(ql , l , ql)

°° A

• L;N = {S, (qO, A , qo) , (qO , 1, qo), (qO, A , q¡), (qO, 1, ql) , (ql , A , qo), (ql , 1, qo), (ql , A , ql) , (ql , 1,ql)} Para mostrar un ejemplo de reconocimiento de palabras en el autómata que son generadas por la gramática, a continuación se exponen las transiciones del autómata con la palabra 1100 y cómo se generaría esa palabra a partir de la gramática.

(qO , 1100, A)

(qO , 100, lA) f- (qO , 00, 11A) f- (ql , 0, lA) ff- (ql , A, A) f- (ql , A, A) f-

Por otro lado,

s

---+ (qO , A , q¡) ---+ l(qo , l , ql )(ql, A , q¡)---+ ---+ 11 (qO , 1, ql)( ql, 1, ql )( ql , A, q¡) ---+ ---+ 110(QI,1,QI)(ql,A,q¡) ---+ 1100(QI,A,Q¡) ---+ 1100


263

EJERCICIOS

Los ejercicios del capítulo 4, están divididos en ejercicios relativos a Gramáticas Independientes del Contexto (del 4.1 al 4.8) y ejercicios relativos a la obtención de Autómatas a Pila que reconozcan las palabras del lenguaje generado por gramáticas de tipo 2 (del 4.9 al final). Algunos de estos ejercicios incorporan algoritmos que no se han descrito en la parte teórica, de forma que el lector tenga un mayor abanico de posibilidades a la hora de resolver este tipo de problemas.

Ejercicio

14.11

Definir una Gramática Independiente del Contexto para el lenguaje

Con el alfabeto ~T = {x, y} , se definirán primero las producciones necesarias para generar cadenas con el mismo número de x que de y, es decir, cadenas que cumplan la condición m=n, teniendo en cuenta que las x apareceen primero.

S A

xAy xAy

I ,\ I ,\

Ahora se añaden las producciones necesarias para generar cadenas que cumplan la condición m=2n. Se consigue haciendo que por cada x que se introduce en la cadena se introducen dos y.

S B

xByy xByy

I ,\ I ,\

Combinando ambos conjuntos de producciones se consigue la gramática G = (~T , ~N, S, P), donde ~T = {x, y}, ~N = {S, A , B} , S es el axioma y Pes:

264

CAPÍTULO


S

A B

y AUTÓMATAS A PILA

xAy I xByy I A xAy I A xByy I A

Eliminado las reglas no generativas se obtienen las siguientes producciones:

S A

xAy I xByy I xy I xyy I A xAy I xy xByy I xyy

B

Ejercicio

14.21

Encontrar una Gramática Independiente del Contexto que con el alfabeto ~ = {O, l} reconozca aquellas cadenas que cumplan N(O) = N(l) + l donde N(O) es el número de apariciones de Oy N(l) es el número de apariciones de 1.

La gramática tiene que generar cadenas donde los O's y los 1's puedan aparecer en cualquier posición, pero cumpliendo la condición de que siempre el número de O's sea superior en una unidad al número de 1's. Las producciones de la gramática pueden ser:

s C B

CB I BC OCl IlCO I O OBl lIBO I A

Eliminando las reglas no generativas, la gramática resultante se puede definir como G = (~T, ~N, S, P), donde ~T = {O, l}, ~N = {S, B, e}, S es el axioma y Pes:

s C B

CB I BC I C OCl IlCO I O OBl lIBO I 01 I 10

Eliminando las reglas de redenominación:

s C B

CB I BC I OCl IlCO I O OCI IlCO I O OBl lIBO I 01 I 10


Ejercicio

265

14.31

Encontrar una Gramática Independiente del Contexto para L, = {a, b} que reconozca cadenas en las cuales la relación entre el número de aes y el número de bes sea de 2 a 1.

La gramática debe reconocer cadenas en las que por cada b que aparece en la cadena debe haber dos símbolos as, sin importar la posición en la que aparecen. Hay que buscar producciones que inserten dos símbolos a por cada símbolo b que se introduzca. De esta forma , una posible solución es el conjunto de producciones P:

s "=

aabS I baaS I abaS I aaSb l baSa I abSa I aSab I bSaa I aSba I Saab I Sbaa I Saba I A La gramática resultado es G = (L,T , L,N , S, P), donde L,T = {a, b} , L,N = {S} y S es el axioma.

Ejercicio

14.41


Se trata de generar cadenas donde el número de O's siempre tiene que ser mayor que el de 1's y no importa en cuantas unidades. Por ello hay que tener producciones que permitan insertar cualquier número de O's por la izquierda asegurando que cada vez que se inserte un 1, también hay que insertar un O. Una posible solución podría ser:

S A B

OA110 OA110B OB I A

266

CAPÍTULO

40 GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

Eliminando las reglas no generativas, se obtendría la siguiente gramática G = (L:T, L:N, S, P), donde L: T = {O, l}, L:N = {S, A , B}, S es el axioma y

Pes: S

OAllO OAl I OB OB 10

A B

Ejercicio

10

14.51


L

= {umv n ju, v E Z+,

n

= múltiplo de

2y m

i-

múltiplo de 2 ó viceversa}

Teniendo en cuenta que m, n ~ O, se van a definir primero las producciones para la primera condición en la que n debe ser par y m impar. uuBv Bvv I uuB

S B

IA

En cuanto a las producciones necesarias para la segunda condición en la que n debe ser impar y m debe ser par, se tiene:

s A

0000-

uAvv uuA I Avv I A

Combinando ambos conjuntos, eliminando las reglas no generativas y teniendo en cuenta que las producciones de A y de B son las mismas, la gramática resultado se puede definir como G = (L:T, L:N, S, P), donde L:T = {u,v}, L: N = {S,A}, S es el axioma y Pes:

S A

uAvv I uuAv I uvv I uuv uuA I Avv I uu I vv

267


Ejercicio

14.61

Construir una Gramática Independiente del Contexto para el lenguaje

Para conseguir cadenas pertenecientes a este lenguaje que cumplan la condición de que la suma del número de símbolos w e y sea igual a la suma del número de símbolos x y z es necesario considerar algunos aspectos Cada vez que se introduce una wo una y, es necesario introducir una x o una Zo Además, por cada x ó Z introducida es necesario introducir una wo una yo Las cadenas más cortas que se pueden generar son A, xy, yz, wz, wx puesto que r, s, t, y u son enteros positivos mayores o iguales que 00 o

Una posible solución es G = CE'T, l'.N, S, P) , donde l'.T l'.N = {S, A, B , e, D} , S es el axioma y Pes:

s A B C D

0000

0000

0000

0000

0000

= {x, y, z, w},

wBz I ADC I A wAxlA wBzlD yCzl A xDy I A

Esta gramática contiene reglas de redenominación y no generativas Se deja como ejercicio la limpieza de G o

o

Ejercicio

14.71

Dada la siguiente gramática G = {l'.T, l'.N , S, P}, donde l'.T l'.N = {S,A,B,e,D,E,F}, S es el axioma y Pes:

{O, l} ,

268

CAPÍTULO 40 GRAMÁTICAS TIPO 2

s

0

A B D E F

0-

0

0

0

0-

00

0

0-

0

0

0

0-

0

0

0

0-

00

0000

y

AUTÓMATAS A PILA

AB 1 A 1 eS1 1OE OAS 1 ,\ 1 AO 1 e B1 11 B1 1 ,\ 1 1F El OD

depurarla hasta conseguir una gramática bien formadao

Se van a seguir los pasos necesarios para conseguir una gramática limpiao 1. Símbolos inaccesibles. Se trata de eliminar aquellos símbolos que no son accesibles desde el axioma o Para ello, se construirá una matriz en la que las filas y las columnas estén etiquetadas con los símbolos no terminales de la gramáticao Se escribe un 1 en aquellas celdas (X ,Y) para las que exista una regla que contenga X (siempre y cuando se pueda obtener a partir del axioma) en la parte izquierda e Y en la parte derecha o Se realiza el cierre transitivo de la matriz y aquellos simbolos que contengan su fila y su columna vacías son símbolos inaccesibles o La matriz es:

S A B C D E F

S 1 1

A 1 1

B 1

C 1 1

D

E 1

F

1

1

ASÍ, se eliminan los símbolos D y F Y sus producciones asociadas o Las producciones ahora son:

S A B E

0

0-

00

000

0

0

0-

00

0

0-

0

0

AB 1 A 1 CS1 lOE OAS 1 ,\ 1 AO 1 C B1 11 El

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTI CO

269

2. Símbolos superfluos. Se trata de eliminar aquellos símbolos no terminales a partir de los cuales nunca se llegará a cadenas que sólo tengan símbolos terminales. Para ello se seguirá el procedimiento explicado en la parte teórica. En éste caso, E y e son símbolos superfluos. El conjunto de producciones quedaría: S

AB 1 A OAS 1 A 1 AO B1 11

A B

3. Reglas innecesarias.

No hay.

3. Símbolos y reglas no generativas. En éste caso sólo se tiene que eliminar la regla A -T A. Las producciones quedarían:

S

ABIAIBIA OAS 1OS 1O 1 AO B1 11

A B

4. Reglas de redenominación. S S

Existen dos reglas de redenominación: A B

Eliminándolas, la gramática quedaría:

S A B

Ejercicio

ABIOASIOSIAOIB1 10111~ OAS 1OS 1 AO 1O B1 11

14.81

Diseñar una gramática que genere los números romanos válidos dado el alfabeto L: = {I , V, X, L , D, M}.

Recordando un poco las normas que rigen los números romanos se tiene:

270


• El significado de la siglas es: 1 (1), V (5) , X (10) , L (50), D (500) Y M (1000) • No puede haber más tres símbolos iguales seguidos, por ejemplo, III (3) Y IV (4) XXX (30) Y XL (40) • Los símbolos V, L Y D no se pueden repetir • Con el alfabeto dado

~

sólo es posible generar desde el 1 hasta el 3999

La gramática que se obtendrá no es recursiva debido a la condición antes expuesta sobre la repetición de símbolos y al carácter finito del lenguaje. Los símbolos terminales de la gramática son: ~T = {I , V, X, L, D, M}. • Se construirán primero las reglas que generan del 1 al 9:

I

Del 1 a13

A B

,,,,-

E

,,-

G

,,-

lB IE I A

1IA

I

5 Y 10

V

F

,,- X I Del 6 al 8 H ,,- VA K ::= IG I IF Números del 1 al 9 S ,,- Al H I G I K

I

• Reglas para 10, 20 Y 30:

O

,,-

V

-

W

" "

,,-

"

XV XW lA X lA

• Reglas para 100, 200 Y 300: (3

n A

,,,,-

"

-

cn CAlA CIA

I


271

• Reglas para 1000, 2000 Y 3000: Z

MN MIA M IA

0000

N

000

0

0000

• Reglas para los números del 1 al 39:

os I O I S

P


Q

LPIXLSILIXLIXCSIXC

• Reglas para los números del 1 al 99: T

PI Q

00-


R

::=

f3T I f3 I T


CDTIDRICMTIDICDICM • Reglas para los números del 1000 al 3999: y

00-

ZR

I Z1: I Z

• Reglas para todos los números del 1 al 3999:

rr A continuación se muestran algunas derivaciones para algunas cadenas del lenguaje:

272

.

CAPÍTULO 40 GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

1997 = MCMXCVII II -+ y -+ Z~ -+ MÑ~ -+ M~ -+ MCMT -+ MCMQ -+ MCMXCS -+ -+ MCMXCH -+ MCMXCVA -+ MCMXCVIB -+ MCMXCVIIE-+ -+ MCMXCVII 3405 = MMMCDV II -+ y -+ Z~ -+ MÑ~ -+ MMI: -+ MMM~ -+ MMMCDT -+ -+ MMMCDP -+ MMMCDS -+ MMMCDG -+ MMMCDV 2001= MMI II -+ y -+ ZR -+ MNR -+ MM R -+ MMR -+ MMT -+ MMP -+ -+ MMS -+ MMA -+ MMIB -+ MMI 27 = XXVII II -+ R -+ T -+ P -+ OS -+ XUS -+ XXWS -+ XXS -+ XXH -+ -+ XXVA -+ XXVIB -+ XXVIIE -+ XXVII Se deja como ejercicio al lector la limpieza de esta gramática y la transformación a una gramática regular o

Ejercicio

14.91

Obtener el Autómata a Pila equivalente a la gramática G = donde ~T = {x, y}, ~N = {S, A, B}, S es el axioma y Pes:

s A B

000000_

(~T, ~N ,

S, P),

xAy I xByy I xy I xyy I A xAy I xy xByy I xyy

Para definir el Autómata a Pila correspondiente se tienen dos posibilidades:

LENGUAJ ES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

1. Autómata a pila de estado final. donde:

Q r

=

F

=

273

Sea AP = (2;, r, Q, F, Aa, qa, j, F)

{qO,ql,q2} {Aa} , Aa {q2}estado final 2; N U 2;T U

ct 2; N U 2;T

y los movimientos se reflejan en la tabla siguiente:

Q

2;

r

qa ql ql ql ql ql ql

,\

Aa S A B X Y Aa

,\ ,\ ,\

X Y ,\

Movimiento (ql , SAa) (ql, xAy)(ql, xByy)(ql, xyy)(ql, Xy)(ql,'\) (ql, XAy)(ql, xy) (ql, XByy)(ql, xyy) (ql, ,\) (ql, ,\) (q2, Aa)

2. Autómata a pila que reconoce por vaciado de pila. Para construir este autómata se transformará primero la gramática anterior a la Forma Normal de Greibach. Como no existe recursividad por la izquierda y todas las partes derechas de las reglas comiellzan por un símbolo terminal sólo hay que sustituir los símbolos terminales que no están situados en la cabeza de una parte derecha. Para ello, se añade una nueva producción: (C::=y) , realizando las sustituciones pertinentes:

S A B

xAClxBCClxClxCCI,\ xAC I xC xBCC I xCC

El Autómata a Pila que reconoce por vaciado de pila el lenguaje descrito por esta gramática es el siguiente:

y j viene definida por:

274

CAPÍTULO 4. GRAMÁTICAS TIPO 2

f(q, f(q, f(q, f(q, f(q,

Ejercicio

x, S)

y

AUTÓMATAS A PILA

{(q, AC), (q, BCC) , (q, C) , (q, CC) }

A, S) x, A) x, B) y, C)

=

= =

{(q, A)} {(q, AC), (q, C)} {(q, BCC) , (q, CC)} {(q, A)}

14.101

Definir un Autómata a Pila para la gramática G = (L.T, L.N, S, P), donde L.T = {O,l}, L.N = {S,B,C}, S es el axioma y Pes:

s .. C .. B .. -

CB I BC I OC1 I 1CO I O 00 I 1CO I O OB1 lIBO I 01 I 10

Se definirán dos autómatas a pila, uno que reconozca el lenguaje generado por la gramática por estado final y otro que reconozca por vaciado de pila. 1. Autómata a pila de estado final. donde:

Q

Sea AP = (L. , r , Q, F, A o, qo , j , F)

{qO , q1 , q2}

r

=

L. N U L.T U {Ao} , Ao

rt L. N U L.T

{q2}

F

y los movimientos que AP puede hacer se reflejan en la siguiente tabla:

r

Q

L.

qo q¡ q¡ ql ql ql q1

A Ao A S A C A B

° 1

O 1

A Ao

Movimiento

(q¡, SAo) (q¡ , CB)(q¡ , BC)(q¡ , OC1)(q¡, 1CO)(q¡ , O) (q¡ , OC1)(q¡ , 1CO)(ql , O) (ql , OB1)(ql , 1BO)(ql , 01)(ql , 10) (ql , A) (ql, A) (q2, Ao)


275

2. Autómata a Pila que reconoce por vaciado de pila. Se transformará la gramática a Forma Normal de Greibach. Como no existe recursividad por la izquierda, se toma la ordenación de símbolos S, C y B. Se sustituyen C y B en las producciones S::= CB I BC por sus respectivas producciones con lo que se obtiene la gramática:

S

.. -

C B

.. -

OQIB 11COB~ 1 OB I OC1I 1CO I OB~C 11BOC I ORC I lOe 10 OC 1 I 1CO I O '( OB1 lIBO I 01 110

Se añaden dos nuevas producciones D ::= O y E ::= 1 y la gramática queda: S C B E D

.. .. .. -

...... -

OCEB 11CDB I OB I OCE 11CD I O OCE 11CD 10 OBE I 1BD I OE I ID 1 O


y J viene definida por:

J(q, Q, S) J(q, I,'S) J(q , O, C) f(q, 1, C) J(q , 1, B) f(q, 1, E)

Ejercicio ¿'T

= = = = =

{(q, CEB), (q, B), (q, CE), (q, >.)j (q, BEC), (q, EC)} {(q , CDB) , (q, CD)j(q, BqC) , (q, DC)} {(q, CE) , (q, >')} {(q, CD) }/J(q, O, B) = {(q, BE) , (q, E)} {(q , BD) , (q, D)}j(q , O, D) = {(q, >')} {(q , >.)}

14.111

Definir un Autómata a Pila para la gramática G = {a, b}, ¿'N = {S}, S es el axioma y Pes:

= (¿'T, ¿'N, S, P),

donde

276

CAPÍTULO

S

::=

~ ::=


y AUTÓMATAS A PILA

aabS I baaS I abaS I aaSbl baSa I abSa I aSab I bSaa laSba I Saab I Sbaa I Saba I >.

Se definirán dos Autómatas a Pila, uno que reconozca el lenguaje generado por la gramática por estado final y otro que reconozca por vaciado de pila. 1. Autómata a pila de estado final. donde:

Q

{qO,ql ,q2}

f

~ N U ~T U

F

=

Sea AP =

{Ao}, Ao {q2 }estado final

tt ~ N

(~ ,

f , Q, F, A o, qo, ¡ , F)

U ~T

y los movimientos que AP puede hacer son:

f,

Movimiento

>.

Ao

ql

>.

S

ql ql ql

a b

a b Ao

(ql , SAo) (ql, aabS) (ql, baaS) (ql , abaS) (ql, aaSb) (ql , baSa) (ql , abSa)(ql, aSab)(ql, bSaa) (ql, aSba)(ql , Saab)(ql , Sbaa)(ql , Saba)(ql , >.) (ql, >.) (ql, >.) (q2 , Aa)

Q

~

qo

>.

2. Autómata a pila que reconoce por vaciado de pila. Se transforma la gramática a Forma Normal de Greibach. Primero, se elimina la recursividad por la izquierda: S := Saab

I Sbaa I Saba

Para ello se añade un nuevo símbolo A y aplicando la regla de eliminación de recursividad por la izquierda se tiene:

277


S

aabSA I baaSA I abaSA I aaSbA I baSaA I abSaA bSaaA I aSbaA I A ::= aabA I baaA I abaA I aab I baa I aba ::=

I aSabA I

:: =

A

Se elimina la regla de redenominación S ::= A y la gramática completa es: S

aabSA I baaSA I abaSA I aaSbA I baSaA I abSaA I aSabA bSaaA I aSbaA I aabA I baaA I abaA I aab I baa I aba ::= aabA I baaA I abaA I aab I baa I aba

::=

I

::=

A

Como todas las partes derechas de las reglas comienzan por un símbolo terminal sólo queda añadir dos nuevas producciones B ::= a y C ::= b: S

aBCSA I bBBSA I aCBSA I aBSCA I bBSBA I aCSBA aSBCA I bSBBA I aSCBA I aBCA I bBBA I aCBA I ::= aBC I bBB I aCB ::= aBCA I bBBA I aCBA I aBC I bBB I aCB ::= a ::= b ::=

I

::=

A

B C


y

f viene definida por:

f(q,a,S) f(q, b, S) f(q, a, A) f(q, b, A) f(q , a, B) f(q,b,C)

Ejercicio

=

= = = =

{(q, BCSA), (q, CBSA), (q, BSCA), (q, CSBA) , (q , SBCA)(q, SCBA) , (q , BCA) , (q , CBA) , (q , B C) , (q, CB)} {(q, BBSA) , (q, BSBA), (q, SBBA) , (q, BBA) , (q, BB)} {(q, BCA), (q, CBA) , (q, BC), (q, CB)} {(q,BBA), (q,BB)}

{(q,A)} {(q , A)}

14.121

Definir un Autómata a Pila para la gramática G = {O, 1}, ~N = {S, A, B}, S es el axioma y Pes:

~T =

(~T, ~N,

S, P), donde

278

CAPÍTULO


s ,,A ,,B ,,-

y AUTÓMATAS A PILA

OA1 10 OA1 I OB I O OB I O

Se definirán dos Autómatas a Pila, uno que reconozca el lenguaje generado por la gramática por estado final y otro que reconozca por vaciado de pila. 1. Autómata a pila de estado final.

Sea AP =

(~,

r, Q, F, A o, qo, ¡, F)

donde:

Q =

{qO , q1,q2}

r

=

F

=

{Ao}, Ao f/. {q2}estado final ~ N U ~T U

~ N U ~T


Q

~

qo ql ql ql ql ql ql

,X

r

Ao S ,X A ,X B O O 1 1 ,X Ao X

Movimiento (ql , SAo) (ql, OA1) (ql, O) (ql , OA1)(ql , OB)(ql , O) (ql, O)(ql, OB) (ql, ,X) (ql, ,X) (q2, Ao)

Por ejemplo, la secuencia de movimientos para la aceptación de la palabra 00011 sería:

(qO, 00011, AO) -t (q1, 00011, SAO) -t (q1 , 00011 , OA1AO) -t (q1, 0011, A1AO) -t (q1 , 0011 , OAllAO) -t (q1, 0011, 0011AO) -t (q1, 011, 011AO) -t (q1, 11, llAO) -t (q1, 1, 1AO) -t (q1, *, AO) -t (q2, *, AO)


279

2. Autómata a pila que reconoce por vaciado de pila. Se transforma la gramática a Forma Normal de Greibacho Como todas las partes derechas de las reglas comienzan por un símbolo terminal sólo queda añadir una nueva producción C ::=1 y cambiar 1 por C en las producciones o S A B C

0000

0000

0000

0000

OAC I O OAC¡ OB OB I O 1

10


y f viene definida por:

f(q, f(q, f(q, f(q,

Ejercicio

{(q, AC), (q, A)}

O, S) O, A) O, B)

=

{(q, AC), (q, B) , (q, A)} {(q, B), (q, A)}

1, C)

=

{(q, A)}

14.131

Definir un Autómata a Pila para la gramática G = {u,v}, ~N = {S, A}, S es el axioma y Pes:

(~T, ~N,

S, P), donde

~T =

S A

uAvv I uuAv I uvv I uuv uuA I Avv I uu I vv

Se definirán dos Autómatas a Pila, uno que reconozca el lenguaje generado por la gramática por estado final y otro que reconozca por vaciado de pilao

280

CAPÍTULO 40 GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

1. Autómata a Pila de estado final. donde:

SeaAP

=

(1:,r,Q,F,A o,qo,¡,F)

r

{qO, ql, q2} 1: N U 1:T U {Ao}, Ao rf. 1:N U 1:T

F

{q2}

Q


Q

1:

r

Mov imiento

qo

>. >. >.

Ao

(ql, SAo) (ql, UAVV)(ql, UU AV)(ql, UVV)(ql, UUV) (ql, UUA)(ql, Avv )(ql, UU)(ql, vv) (ql, >') (ql, A)

ql ql ql ql ql

s

A U V Ao

U V

>.

2. Autómata a Pila que reconoce por vaciado de pila.

Se transforma la gramática a Forma Normal de Greib acho Eliminando la recursividad por la izquierda: 11, '

A::=Avv Para ello se añade un nuevo símbolo B y aplicando la regla de eliminación de recursividad por la izquierda se tie ne:

S A

0000

00

B

-

0000

uAvv I uuAv luv v luuv uuAB I uuB I vv B I uu I vv vvB I vv

I uuA

Como todas las partes derechas de las reglas comienzan por un símbolo terminal sólo queda añadir dos nuevas pro ducciones C ::= u y D ::= v S A B

00-

0000

0000

uADD I uCAD luD D luCD uCAB I uCB I vD B I uC I vD vDB I vD

1I

I uCA

:i !

i¡ I!! 1: :1

:::

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

281


y

f viene definida por: f(q,u, S) f(q , u , A) f(q , v , A) f(q , v , B) f(q, u, C) f(q, v, D)

Ejercicio

=

{(q, ADD), (q , CAD) , (q , DD) , (q , CD)} {(q , CAB), (q , CB) , (q , C) , (q , CA)} {(q,DB), (q,D)} {(q, DB) , (q , D)} {(q, A)} {(q , A)}

14.141

Encontrar una Gramática Independiente del Contexto y su correspondiente Autómata a Pila que reconozca expresiones aritméticas en notación polaca inversa construidas con el alfabeto ~ = {n, +, -, *,: }. Una expresión en notación polaca inversa lleva los operadores siempre detrás de los operandos a los que se aplica. Por ejemplo, la expresión aritmética en notación infija

(a

+ b) * (b - e * (a -

b))

se escribiría de la siguiente forma

ab + bcab -

*- *

Nótese que en esta notación no se utilizan paréntesis puesto que son innecesarios (la propia notación establece las prioridades).

Puesto que los operadores sólo se pueden aplicar a dos operandos y además el operador siempre aparece detrás de los operandos, una solución puede ser:

s A O

.. .. .. -

AAO AAO

.. -

+ 1-1 * I :

In

282

CAPÍTULO


y AUTÓMATAS A PILA

La gramática resultado es G = (1:T, 1:N, S, P), donde 1:T = {n , +, -, *,: }, 1:N = {S, A, O}, S es el axioma y Pes:

S A O

AAO AAO

In + 1- I * I :

Se construirá un autómata que reconozca por vaciado de pila. Para ello, se transforma la gramática a Forma Normal de Greibach. El primer paso es eliminar la recursividad por la izquierda: A ::= AAO Para ello se añade un nuevo símbolo B y aplicando la regla de eliminación de recursividad por la izquierda se tiene: S A B O

.... .... .... -

AAO nB I n AOB I AO

.. -

+ 1- I * I :

Se establece el orden S, B, A, O Y sólo hay que sustituir aquellas partes derechas de las reglas que comiencen por un símbolo no terminal. S A B O

.. .... .... .... -

nBAO nB I n nBOB

I nBO + 1-1 * I :

Ahora todas las partes derechas de las reglas comienzan por un símbolo terminal y el resto son símbolos no terminales con lo que la gramática ya está en FNG. El Autómata a Pila que reconoce por vaciado de pila el lenguaje descrito por esta gramática es el siguiente:

y f viene definida por:

f(q, n, S) f(q, n, A) f(q, n, B) f(q, +, O) f(q, -, O) f(q, *, O) f(q,:, O)

{(q, BAO)} {(q,B),(q,A)} {(q, BOB), (q, BO)}

{(q,*)} {(q,*)} {(q, *)} {(q, *)}


Ejercicio

283

14.151

Definir una gramática independiente del contexto para el lenguaje

Construir el Autómata a Pila reconocedor del lenguaje.

Las cadenas pertenecientes a este lenguaje deben cumplir la condición de que el número de símbolos z debe ser igual a la suma de símbolos x e y. Esto significa que por cada x que se introduzca por la izquierda se tiene que introducir también una z por la derecha. De igual forma, por cada y que se introduzca también se introducirá una z. En caso de que se introduzcan tanto una x como una y, entonces habrá que colocar dos z más. El conjunto de producciones que genere estas cadenas puede ser: S

A B

xAzlyBz I A xAz I B I A yBzlA

Eliminando las reglas de redenominación A::=B y las reglas no generativas, se obtiene: xAz I yBz I xz I yz A xAz I yBz I yz I xz yBz I yz

S A B

Como S y A tienen las mismas producciones exceptuando la producción S::= A, la gramática se puede simplificar obteniendo G = (L.T , L.N , S, P) , donde L.T = {x,y,z}, L.N = {S,A,B}, S es el axioma y Pes: S B

xSz I yBz yBz I yz

I yz

A

284


CAPÍTULO

1. Autómata a pila de estado final.

Sea AP = (L:, r, Q, F, A o, qo, f, F)

donde:

Q = {qO, ql, q2}

r

= L: N U L: T U

AO, Ao ti- L: N U L:T

F = {q2}

Q qo ql ql ql ql ql ql

L: A A A

X Y Z A

r

Movimiento

Ao S B X Y Z Ao

(ql, SAo) (ql, XSZ)(ql, yBz )(ql, yz) (ql, A) (ql, yBZ)(ql, yz) (ql, A) (ql, A) (ql, A) (q2, Ao)

2. Autómata a pila que reconoce por vaciado de pila. Se transforma la gramática a Forma Normal de Greibach. Como todas las partes derechas de las reglas comienzan por un símbolo terminal sólo queda añadir una nueva producción C ::= z y sustituir los símbolos terminales intermedios de las producciones: xSC I yBC I yC I A yBC I yC

S B


AP = (L: T , L:N, q, S, f, 0) y f viene definida por:

f(q, x, S) f(q, y, S) f(q,*,S) f(q, y, B) f(q,y,B)

{(q,SC)} {(q,BC),(q,C)} {(q, A)} {(q,BC),(q,C)}

{(q,A)}

LENG UAJ ES, GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS; UN ENFOQUE PRÁCTICO

285

Ejercicio 14.161 Con el alfabeto ¿: = {O, 1, 2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9} construir una gramática que genere números, de cualquier número de cifras, que sean múltiplos de 4. Definir también un Autómata que reconozca este lenguaje .

Son múltiplos de cuatro aquellas cadenas que cumplen las siguientes condiciones: 1. De 1 cifra: 4, 8. 2. De 2 cifras: un dígito par seguido de O, de 4 ó de 8. 3. Un dígito impar seguido de 2 ó de 6. 4. De 3 ó más cifras: cualquier combinación de dígitos seguida de dos cifras que cumplan la condición anterior o seguida de OO. La gramática que genera estas cadenas es G = (¿:T, ¿:N , 5, P), donde ¿:T = {O, 1, 2, 3,4,5, 6, 7,8, 9} , ¿:N = {5,A, B , C, P,I, D} , 5 es el axioma y P es: S A A B C P I D

.... .. .. .... .... .... .... .... .... -

418 1 A 1 B PO 1 P4 1 P8 I2 1 I6 CA 1 COO CD 1 CO 1 D 2 1416 18 113151719 11 2 131 4 1516171819

Se construirá un Autómata a Pila que reconozca por vaciado de pila puesto que la gramática es independiente del contexto. Primero, se limpia G eliminando las reglas de redenominación (S::=B , S::=A, C::=D). La gramática limpia se muestra a continuación:

286


s ..A

.... -

B

.. .. .. .. .... -

C P 1 D

y

AUTÓMATAS A PILA

4 1 8 1 PO 1 P4 1 P8 112 116 1 CA 1 COO PO 1 P4 1 P8 112 1 16 CA 1 COO CD 1 CO 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 21 4 1618 113151719 11213141516171819

A continuación, se escribe la gramática en FNG. Para ello, es necesario eliminar la recursividad por la izquierda de la producción C ::= CD 1 CO. Se añade un nuevo símbolo M y la gramática resultante es: S A

.. .... -

B

.. -

C

.. -

M P 1 D

.. .... -

.." ..-

4 1 8 1 PO 1 P4 1 PS 1 12 116 1 CA 1 COO PO 1 P4 1 P8 112 116 CA 1 COO 1M 1 2M 1 3M 1 4M 1 5M 1 6M 1 7M 1 8M 1 9M 1 1 1 2 1 3 1 4 1 516171819 DM 1 OM 1 DIO 2 14 16 1 8 113151719 11 2 131 4 1516171819

Como vuelve a surgir una regla de redenominación (M::=D) , después de eliminarla se obtiene:

s .. B

.. .... -

C

.... -

M P 1 D

.. .... .... -

A

.. .. -

4 1 8 1 PO 1 P4 1 PS 112 116 1 CA 1 COO PO 1 P4 1 P8 112 116 CA 1 COO 1M 1 2M 1 3M 1 4M 1 5M 1 6M 1 7M 1 8M 1 9M 1 1 1 2 1 3 1 4 1 516171819 DM 1 OM 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 91 O 21 4 1618 113151719 112131 4 1516171819

Estableciendo el orden de símbolos no terminales S, A, B, C, P, 1, M, D todas las producciones cumplen los requisitos de preferencia entre símbolos. El siguiente paso es sustituir aquellas partes derechas de las producciones que comiencen por un símbolo no terminal:

LENGUAJES , GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

8

..-

A

.. =

B

..=

e

..-

M

.. -

P

.. -

1 D

.. ..=

287

4 1 8 1 20 1 40 1 60 1 80 1 24 1 44 1 64 1 84 1 28 1 48 1 68 1 88 1 12 1 32 1 52 1 72 1 92 1 16 1 36 1 56 1 76 1 96 lIMA 1 2MA 1 3MA 1 4MA 1 5MA 1 6MA 1 7MA 1 8MA 1 9MA 1 lMOO 1 2MOO 1 3MOO 1 4MOO 1 5MOO 1 6MOO 1 7MOO 1 8MOO 1 9MOO 20 1 40 1 60 1 801 24 1 44 1 64 1 84 1 28 1 48 1 68 1 88 112 1 32 1 52 1 72 1 92 1 16 1 36 1 56 1 76 1 96 lMA 1 2MA 1 3MA 1 4MA 1 5MA 1 6MA 1 7MA 1 8MA 1 9MA 1 lMOO 1 2MOO 1 3MOO 1 4MOO 1 5MOO 1 6MOO 1 7MOO 18MOO 1 9MOO 1M 1 2M 1 3M 14M 1 5M 1 6M 1 7M 1 8M 1 9M 1M 1 2M 1 3M 1 4M 1 5M 1 6M 1 7M 1 8M 1 9M 1 OM 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 18 1 91 o 2 1416 18 1 13 15 17 19 1 1 2 13 14 1 5 16 17 18 1 9

8e añaden cuatro nuevas producciones X::=O, T::=2, R::=6 y W::=4. Realizando la sustitución se obtiene la gramática en FNG: 8

..-

A

.. -

B

..-

e M

.. ..-

P

.. -

1

.. .. -

D

X T R W

4 1 8 1 2X 1 4X 1 6X 1 8X 1 2W 1 4W 1 6W 1 8W 1 28 1 48 1 68 1 88 lIT 1 3T 1 5T 1 7T 1 9T 1 IR 1 3R 1 5R 1 7R 1 9R lIMA 1 2MA 1 3MA 1 4MA 1 5MA 1 6MA 1 7MA 1 8MA 1 9MA 1 lMXX 1 2MXX 1 3MXX 1 4MXX 1 5MXX 1 6MXX 17MXX 18MXX 19MXX 2X 1 4X 1 6X 18XI 2W 1 4W 1 6W 1 8W 1 28 148 1 68 188 1 1T 1 3T 1 5T 1 7T 1 9T 1 IR 1 3R 1 5R 1 7R 1 9R lMA 1 2MA 1 3MA 1 4MA 1 5MA 1 6MA 1 7MA 1 8MA 1 9MA 1 lMXX 12MXX 13MXX 14MXX 15MXX 16MXX 17MXX 1 8MXX 19MXX 1M 1 2M 1 3M 1 4M 1 5M 1 6M 1 7M 1 8M 1 9M 1M 1 2M 1 3M 1 4M 1 5M 1 6M 1 7M 1 8M 1 9M 1 OM 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 91 o 2141618 113151719 11 2 13141516171819

..-

o

.... -

2 6 4

.. -

288



AP = y

¡

(~T, ~N , q,

S, ¡ , 0)

viene definida por:

f(q, 4, f(q, 8, f(q, 2, f(q, 6, f(q, 1, f(q, 3, f(q , 5, f(q , 7, f(q, 9, f(q, 4, f( q, 8, f(q, 2, f(q, 6, f(q, 1, f(q, 3, f(q , 5, f(q , 7, f(q , 9, f(q , 4, f(q , 8, f(q , 2, f(q, 6, f(q, 1, f(q, 3, f(q, 5, f(q, 7, f(q , 9, f(q, 4, f(q, 8, f(q , 2, f(q , 6, f(q, 1, f(q, 3,

S) S) S) S) S) S) S) S) S) A) A) A) A) A) A) A) A) A) B) B) B) B) B) B) B) B) B) C) C) C) C) C) C)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

{(q, A) , (q, X), (q, S) , (q, W), (q, MA), (q, MXX)} {(q, A) , (q, X) , (q, S) , (q, W) (q, MA), (q, MXX)} {(q, X) , (q, S) , (q, W) (q, MA) , (q, MXX)} {(q, X) , (q, S) , (q, W) (q, MA) , (q, MXX)} {(q, T) , (q, R) , (q, MA), (q, MXX)} {(q, T), (q, R), (q, MA) , (q, MXX)} {(q, T) , (q, R) , (q, MA) , (q, MXX)} {(q, T) , (q, R) , (q, MA) , (q, MXX)} {(q, T) , (q, R) , (q, MA) , (q, MXX)} {(q, X), (q, S) , (q, W)} {(q, X) , (q, S) , (q, W) } {(q, X) , (q, S) , (q, W) } {(q, X) , (q, S) , (q, W) } {(q, T) , (q, R)} {(q, T), (q, R)} {(q, T) , (q, R)} {(q, T) , (q, R)} {(q, T) , (q, R)} {(q, MA), (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, MA), (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, MA) , (q, MXX)} {(q, M) , (q, A)} {(q, M), (q, A)} {(q, M) , (q, A)} { (q, M) , (q, A)} {(q, M), (q, A)} {(q, M), (q, A)}

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQU E PRÁCTICO

f(q, 5, C) f(q, 7, C) f(q, 9, C) f(q, 4, M) f(q, 8, M) f(q, 2, M) f(q, 6, M) f(q, 1, M) f(q, 3, M) f(q , 5, M) f(q, 7, M) f(q, 9, M) f(q, O, M) f(q, 2, P) f(q, 4, P) f(q, 6, P) f(q, 8, P) f(q, 1,1) f(q, 3, 1) f(q, 5,1) f(q, 7, 1) f(q, 9, 1) f(q, 1, D) f(q, 2, D) f(q, 3, D) f(q, 4, D) f(q , 5, D) f(q, 6, D) f(q, 7, D) f(q, 8, D) f(q, 9, D)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

{(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q, {(q,

M), M), M) , M), M), M), M), M) , M) , M) , M) , M) , M), A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)}

(q, (q, (q, (q, (q, (q, (q, (q, (q, (q, (q, (q, (q,

A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)} A)}

289

290


Ejercicio

y

AUTÓMATAS A PILA

14.171

Encontrar una gramática que reconozca las cadenas pertenecientes al lenguaje

L = {xmyn In y m son enteros no negativos y m :::;

n :::; 2m}

Construir un Autómata a Pila reconocedor del lenguaje .

Las cadenas pertenecientes a este lenguaje cumplen dos condiciones: m:::; n y n:::; 2m es decir, fijado un m, se pueden obtener m para m=4 se tienen las siguientes cadenas:

+ 1 cadenas.

Por ejemplo,

xxxxyyyy xxxxyyyyy xxxxyyyyyy xxxxyyyyyyy xxxxyyyyyyyy Hay que tener en cuenta, a la hora de definir las producciones, que para un determinado número m de símbolos x, es posible introducir desde m hasta 2m símbolos y. Una posible gramática generadora del lenguaje L es G = (E T , EN, S, P), donde ET = {x, y}, EN = {S, A, e}, S es el axioma y Pes:

S

ACy I A A ::= xACy I x C ::= y lA ::=

Por ejemplo, para generar la cadena "xxxxyyyyyyyy" se tiene la siguiente derivación:

s

-+ ACy -+ xACyCy -+ xxACyCyCy -+ -+ xxxACyCyCyCy -+ xxxxCyCyCyCy -+ xxxxyyCyCyCy -+ -+ xxxxyyyyCyCy -+ xxxxyyyyyyCy -+ xxxxyyyyyyyy


291

La gramática limpia sería: S

ACy I Ay I ,X xACyI xAyIx

A C

.. -

y

1. Autómata a Pila de estado final. donde:

Q = {Qo , ql, q2} r = E N U ET U {Ao}, Ao F = {q2}

Q E qo ql ql ql ql ql ql

r

,X ,X ,X ,X X

Ao S A C

Y ,X

Y Ao

X

Sea AP = (E, r , Q, F , A o, qo , j, F)

\t' E N U ET Movimiento (ql, SAo) (ql , ACy)(ql , Ay)(ql , 'x) (ql, xACy)(ql, XAy)(ql, x ) (ql, y) (ql , ,X) (ql, ,X) (q2, Ao)

2. Autómata a Pila que reconoce por vaciado de pila. Se transforma la gramática a Forma Normal de Greibach. Estableciendo el orden S, A, C , todas las reglas cumplen la propiedad de precedencia. Sustituyendo aquellas reglas cuyas partes derechas comienzan por un símbolo no terminal se obtiene:

S

xACyCy I xAyCy IxCy ! xACyy ! xAyy ! xy ! ,X xACy!xAylx

A C

y

Como todas las partes derechas de las reglas comienzan por un símbolo terminal sólo queda sustituir los símbolos terminales intermedios de las producciones. S

A

xACCCClxACCC lxCC l xACClxCI,X xACC I xAC Ix

C

y

292


y

AUTÓMATAS A PILA


AP = (L: T ,L: N ,{q},S,j,0) y f viene definida por:

f(q, f(q , f(q, f(q,

x, S)

A, S) x, A) y, C)

Ejercicio

{(q, {(q, {(q, {(q,

ACCCC) , (q, ACCC) , (q, CC) , (q, ACC), (q, e)}

A)} ACC) , (q, AC), (q, A)}

A)}

14.181

La gramática G = (L: T , L:N, S, P), donde S es el axioma, L:T = {a, b}, L:N = {S, A, B}, Y Pes:

S A

B

AabB aA I bA I A Bab I Bb I ab

Ib

aunque no es regular genera un Lenguaje Regular. Encontrar la Expresión Regular correspondiente al lenguaje y encontrar una Gramática Regular que genere el lenguaje .

Informalmente, se podría obtener la expresión regular generada por la gramática para, a continuación, obtener la gramática regular correspondiente por derivadas sucesivas. Las producciones asociadas al símbolo no terminal A generan la expresión:

(a

+ b)*

Las producciones asociadas al símbolo no terminal B generan la expresión:

(ab + b)(ab + b) * Relacionando las dos expresiones anteriores con la producción correspondiente al axioma S se tiene:

LEN GUAJ ES, GRAMÁTI CAS y A UTÓMATAS : UN E NFOQUE PRÁCTI CO

IR = (a

293

+ b)*ab(ab + b)(ab + b)* I

Por derivadas sucesivas, se obtiene la Gramática Regular que genera la expresión anterior.

R = Da(R)

= = =

= =

Db(R)

=

+ b) *ab(ab + b)(ab + b)*) = + b)*)ab(ab + b)(ab + b)* + Db(ab(ab + b)(ab + b)*) = Db((a + b))(a + b) *ab(ab + b)(ab + b)* + +Db(a)b(ab + b)(ab + b) * = (a + b) *ab(ab + b)(ab + b)* = R

=

Da([(a

= = =

Da(RO)

=

=

Da([(a

= = = = =

Da(Rl)

Db((a Db((a

+ b)*a + >']b(ab + b)(ab + b)*) = Da([(a + b) *a + >'])b(ab + b)(ab + b)* + +Da(b(ab + b)(ab + b) * ) = (Da((a + b) * a) + Da (>') )b(ab + b) (ab + b)*) = (Da((a + b) * )a + Da(a))b(ab + b)(ab + b) * = [(a + b) *a + >']b(ab + b)(ab + b) * = RO Db([(a + b) *a + >.]b(ab + b)(ab + b)*) = Db([(a + b) * a + >'])b(ab + b)(ab + b)* + +Db(b(ab + b)(ab + b) * ) = [(a + b) *ab + >.](ab + b)(ab + b)* = Rl

=

Db(RO)

+ b) *ab(ab + b)(ab + b)* Da((a + b)*ab(ab + b)(ab + b)*) = Da((a + b)*)ab(ab + b)(ab + b) * + Da(ab(ab + b)(ab + b)*) = Da( (a + b))(a + b)*ab(ab + b)(ab + b)* + +Da(a)b(ab + b)(ab + b)* = (a + b) *ab(ab + b)(ab + b)* + b(ab + b)(ab + b) * = [(a + b)*a + >.]b(ab + b)(ab + b) * = RO (a

=

+ b) *ab + >.](ab + b)(ab + b)*) = Da([(a + b) *ab + >'])b(ab + b)(ab + b) * +

294

CAPÍTULO


y AUTÓMATAS A PILA

+Da((ab + b)(ab + b)*) =

=

+ b)*)ab + Da (ab)](ab + b)(ab + b)* + +Da(ab + b)(ab + b)* = [(a + b)*a + >']b(ab + b)(ab + b)* + b(ab + b)*

=

Db([(a

=

Db(Rl)

=

+ b)*ab + >.](ab + b)(ab + b)*) = [Db((a + b)*)ab + Db(ab)](ab + b)(ab + b)* + +Db(ab + b)(ab + b)* = [(a + b)*ab(ab + b) + >.](ab + b)* = R3

=

Da([[(a

=

Da(R2)

=

=

Db([[(a

=

=

+ b)*a + >.]b(ab + b) + b](ab + b)*) = Db([(a + b)*a + >']b(ab + b) + b)(ab + b)* = [Db([(a + b)*a + >.])b(ab + b) + Db(b(ab + b)) + >.](ab + b)* = [(a + b)*ab(ab + b) + (ab + b) + >.](ab + b)* = R4

=

Da([(a

= =

Da(R3)

= R2

+ b)*a + >.]b(ab + b) + b](ab + b)*) = Da([(a + b)*a + >.]b(ab + b) + b)(ab + b)* = [Da ([(a + b)*a + >.])b(ab + b) + Da(b(ab + b))](ab + b)* = Da((a + b)*a)b(ab + b)(ab + b)* = [(a + b)*a + >']b(ab + b)(ab + b)* = RO

=

Db(R2)

[Da((a

=

+ b)*ab(ab + b) + >.](ab + b)*) = Da([(a + b)*ab(ab + b) + >.])(ab + b)* + Da((ab + b)*) = [Da((a + b)*)ab(ab + b) + Da(ab(ab + b))](ab + b)* + +Da(ab + b)(ab + b)* = [(a + b)*ab(ab + b) + b(ab + b)](ab + b)* + b(ab + b)* = [(a + b)*a + >']b(ab + b)(ab + b)* + b(ab + b)* = R2 Db([(a + b)*ab(ab + b)

Db(R3) = =

+ >.](ab + b)*) = Db([(a + b)*ab(ab + b) + >.])(ab + b)* + Db((ab + b)*) = (a + b)*ab(ab + b)(ab + b)* + (ab + b)* = [(a + b)*ab(ab + b) + >.](ab + b)* = R3


+ b)*ab(ab + b) + (ab + b) + .\](ab + b)*) = [Da((a + b)*ab(ab + b)) + b](ab + b)* + Da((ab + b)*) = [(a + b)*ab(ab + b) + b(ab + b) + b](ab + b)* + b(ab + b)* = [(a + b)*a + .\Jb(ab + b)(ab + b)* + b(ab + b)* = R2

Da (R4)

= = = =

Da([(a

D b(R4)

= =

Db([(a + b)*ab(ab + b) + (ab + b) [Db([(a + b)*ab(ab + b)]) +

+ .\](ab + b)*) =

+Db((ab + b))](ab + b)* Db((ab + b)*)

= =

295

=

[Db((a + b)*)ab(ab + b) + .\](ab + b)* + (ab + b)* [(a + b)*ab(ab + b) + .\](ab + b)* = R3

=

En este momento, ya es posible extraer la gramática generadora de la Expresión Regular anterior, que queda: R RO Rl R2 R3 R4

.. -

.. .. .... -

aROlbR aRO I bRl aR21bR31b aROlbR41b aR21bR31b aR21bR31b

Si se renombran los símbolos no terminales, se obtendría la gramática G = CL'T , L,N, S, P) , donde L,T = {a , b} , L,N = {S, A,B , C, D,E} , S es el axioma y Pes: S A B C D E

..-

.. .... -

.. ..-

aA aA aC aA aC aC

I bS I bB I bD I b I bE I b I bD I b I bD lb

296

CAPÍTULO 4 . GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

Ejercicio 14.191 • Obtener el Autómata a Pila que reconoce el lenguaje:

• ¿Cuáles serían las transiciones efectuadas si las palabras de entrada son: aabbbcaaaabb y aaabbaabb? • ¿Qué modificaciones habría que realizar al autómata para que reconociera el lenguaje: L = {a n . bm . ¿p. a q . bT • c8 1Q = p

+ m, 2n = r + s, n, m 2

1,p 2 O}?

1. En el ejercicio, se pide guardar primero las a's, para luego sacarlas cuando aparezcan las b's , y guardar las b's y c's para recuperarlas

cuando aparezcan las segundas a's. Por tanto, un posible Autómata a Pila que reconoc~ría el lenguaje, por vaciado de pila, sería: AP=( {a,b ,c },{A,a,b ,c },{qo ,q¡} ,A,qo'¡ ,0) donde f: f(qo ,a,A)={ (qo ,aA)} f( qo ,b,a)={ (qo,ba)} f( qo ,c,b )={ (qo,cb)} f( qo ,a,c)={ (ql ,A)} f( ql ,a,c) ={ (ql ,A)} f( ql ,b,a) ={ (ql ,A)}

f( qo ,a,a)={ (qo ,aa)} f( qo ,b,b )={ (qo ,bb)} f( qO,c,c)={ (qO ,ce)} f( qo ,a,b )={ (ql ,A)} f( ql ,a,b )={ (ql ,A)} f( ql ,A,A)={ (ql ,A)}

2. Las transiciones se describen por secuencias de descripciones tantáneas, por lo que las transiciones pedidas serían:

InS-


297

• (qo,aabbbcaaaabb,A)I-(qo,abbbcaaaabb,aA)11- (qo,bbbcaaaabb,aaA)1- (qo ,bbcaaaabb,baaA)11- (qO, bcaaaabb, bbaaA) 1- (qO ,caaaabb, bbbaaA)11-( qo,aaaabb,cbbbaaA)1-( q¡ ,aaabb,bbbaaA)11-( q¡ ,aabb, bbaaA)1-( q¡ ,abb,baaA)I-( q¡ ,bb,aaA)1- (q¡ ,b,aA)11- (q¡ ).,A)I- (q¡ ,A,A) Reconoce la palabra • (qo,aaabbaabb,A)I-(qo,aabbaabb,aA)I-(qo,abbaabb,aaA)11- (qO, bbaabb,aaaA)1- (qO, baabb, baaaA) 1- (qO ,aabb,bbaaaA) 11-( q¡ ,abb,baaaA)1-( qo ,bb,aaaA)11-( q¡ ,b,aaA)I-( q¡ ,A,aA) No reconoce la palabra por no haber más transiciones posibles y no haber ningún camino alternativo que considerar, por ser

determinista 3. Como ahora el autómata tiene al final que recuperar una b o una e por cada dos a's, entonces habrá que introducir dos a's al principio en la pila. El autómata quedará como: AP= ({ a, b,c}, {A,a, b,c}, {qo ,q¡ ,q2} ,A,qo,J ,0) donde f: f(qo ,a,A)={ (qo ,aaA)} f( qo,b,a)={ (qo,ba)} f( qo ,c,b )={ (qo ,cb)} f( qo ,a,c) ={ (q¡).)} f( q¡ ,a,c)={ (q¡).)} f( q¡ ,b ,a) ={ (q¡).)} f( q2,c,a)={ (q2 ,A)}

f( qO ,a,a)={ (qO ,aaa)} f(qo,b ,b)={ (qo,bb)} f( qO ,c,c)={ (qo ,cc)} f( qo ,a,b )={ (ql).)} f( ql ,a,b )={ (ql ,A)} f( q¡ ,c,a) ={ (q2 ,A)} f( q2,A,A)={ (q2,A)}

298

CAPÍTULO

Ejercicio

4.

GRAMÁTICAS TIPO

2

y AUTÓMATAS A PILA

14.201

Demostrar formalmente si las palabras abbaabbbba, abaaba, y bababbab pertenecen al lenguaje aceptado por el autómata que reconoce al lenguaje:

Hay varias formas de realizar el ejercicio, entre las que se van a destacar dos y se comentará sólo una. 1. Construir una gramática de tipo 2 que genere el lenguaje y, a partir de ella, construir el Autómata a Pila que puede reconocer las palabras del lenguaje. Una posible gramática que generaría el lenguaje sería: G 2 = ({a , b} , {S, A} , S, P) donde P :

S::=a . S· alb· S· bla· A . bla . b A::=a . A . bla . b El Autómata a Pila correspondiente sería: AP=( {a, b}, {S, A, a, b, Ao} , {qo, ql, qd, A o, qo, f, {q2}) donde f:

f(qo, >., Ao) = {(ql, SAo)} f (ql, >., S) = {(ql, aSa), (ql, bSb), (ql, aAb), (ql, ab)} f(ql,>.,A) = {(ql , aAb),(ql,ab)} f(ql,a,a) = {(ql,>')} f(ql,b,b) = {(ql,>')} f (ql , A, Ao) = {( q2 , Ao)} A partir de aquÍ, utilizando las descripciones instantáneas y las derivaciones, se puede demostrar si una palabra pertenece o no al lenguaje. ASÍ:


299

• (qO, abbaabbbba, Ao) 1- (ql, abbaabbbba, SAo) 11- (ql , abbaabbbba, aSaAo) 1- (ql, bbaabbbba, SaAo) 11- (ql, bbaabbbba, bSbaAo) 1- (ql, baabbbba, SbaAo) 11- (ql , baabbbba, bSbbaAo) 1- (ql, aabbbba, SbbaAo) 11- (ql, aabbbba, aAbbbaAo) 1- (ql, abbbba, AbbbaAo) 11- (ql , abbbba, abbbbaAo) 1- (ql, bbbba, bbbbaAo) 11- (ql, bbba, bbbaA o) 1- (ql, bba, bbaAo) 1- (ql, ba, baAo) 11- (ql , a, aAo) 1- (ql, A, Ao) 1- (q2, A, Ao) Acepta la palabra por estado final (q2).

• abaaba: Se haría igual que la anterior, salvo que, en este caso, la palabra no es aceptada. Para demostrar formalmente que no es aceptada habría que considerar todas las posibles derivaciones a partir de cualquier descripción instantánea. Así, si se tiene en la cima de la pila el símbolo A, habría que considerar los dos movimientos especificados en la tabla de transiciones. • bababbab: De igual forma a las dos palabras anteriores, se demuestra que esta palabra es aceptada por el autómata. Se deja esta demostración como ejercicio al lector.

2. Construir directamente el Autómata a Pila a partir del lenguaje. En este caso, habría que analizar qué transiciones habría que tener en cuenta para que funcionara el autómata correctamente. Informalmente, se podría tener en cuenta lo siguiente: como los símbolos de la palabra w deben aparecer en orden inverso en w- 1 , habría que meter en la pila las aes y bes para luego sacarlas. Por cada b que se meta cuando hay una a encima de la pila, se puede transitar a otro estado en el que se empiecen a quitar las aes acumuladas con las bes que aparezcan, para poder reconocer la parte central (a r . br ). Por tanto, podría quedar el Autómata a Pila No Determinista de la forma siguiente: AP=( {a,

donde j:

b} , {A, a, b} , {qO, ql, q2}, A, qo, j, 0)

300

CAPÍTULO


f(qo , a, A) = {(go , aA)} f(qo ,a, a) = {(qo,aa)} f(go, a, b) = {(qO, ab)} f(qo, b, A) = {(qO , bA)} f(qo , b, a) = {(qO, ba) , (ql , A)} f(go,b , b) = {(qo , bb)} j(ql , b,a) = {(ql,A)} j(ql , a,a) = {(q2,A)} j(ql , b,b) = {(q2,A)} f(ql , A, A) = {(q2 , A)} j(q2 , a, a) = {(q2,A)} j(q2,b,b) = {(q2,A)} f (q2, .x, A) = {( q2 , A)} Para demostrar si una palabra pertenece o no al lenguaje, se haría de la misma forma que la solución anterior.

Ejercicio

14.211

Sea la siguiente gramática de contexto libre: G=( {a,b,c,d,e,O,1 },{S ,A,B},S,P) Donde P viene definido por: S A B C

"" "-

"

.." ,, ..

AaB 1AaC AblAclblc BdCIO CeB 11

Construir un Autómata a Pila que acepte por estado final que reconozca el mismo lenguaje que el descrito por la gramática. Lo primero que hay que hacer es pasar la gramática a su Forma Normal de Greibach. Para ello se elimina, en primer lugar, la recursividad por la izquierda. Las reglas de producción de la gramática equivalente sin recursividad serán:

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁ CTICO

s A D B E C F

.... .. -

.. .. .. .... .. -

301

AaB I AaC bD I cD lb I c bD cD b c OEIO dCE 1dC lF 11 eBF I eB

Al pasar esta última a Forma Normal de Greibach quedará:

s

.. -

G H A D B E C F

.. .. .. .. .... .... .... .. .... -

.. -

bDG 1cDG I bDH I cDH I bG I cG I bH I cH aB aC bD IcD lb Ic bD cD b c

°

OE I dCE I dC lF 11 eBF 1eB

A continuación, se calcula el Autómata a Pila que reconoce el mismo lenguaje que el de la gramática anterior. Dicho autómata será: APV=( {a,b,c,d ,e,O,1},{S,A,B,C,D,F ,G,H} ,{q} ,S,q,f,0) donde f se define como: f( q,b,S)={ (q,DG) ,(q,DH),( q,G) ,(q,H)} f( q,c,S)={ (q,DG) ,(q,DH),( q,G) ,(q,H)} f(q,c ,A)={ (q,D) ,(q,A)} f(q,a,G)={(q,B)} f( q,I,C)={ (q,F),( q,A)} f( q,c,D)={ (q,D) ,(q,A)}

f(q,b ,A)={ (q,D),(q,A)} f( q,O,B)={ (q,E) ,(q,A)} f(q,d,E)={ (q,CE),(q,C)} f( q,a,H)={ (q,C)} f(q,b,D)={ (q,D),(q,A)} f(q,e ,F)={ (q,BF) ,(q,B)}

Por último habrá que convertir este último autómata en su equivalente que acepte por estado final. El resultado final será: APF= ({a, b,c,d,e,O, 1}, {S,A,B,C,D,F ,G ,H,I}, {p,q,r } ,I,p,f, {r } ) donde f queda definida por:

302

CAPÍTULO


f(p,A,I)={ (q,IA)} f(q,b,A)={ (q,D),(q,A)} f( q,c,S)={ (q,DG),( q,DH),(q,G),( q,H)} f(q,d,E)={ (q,CE),(q,C)} f( q,a,H)={ (q,C)} f(q,b,D)={ (q,D),(q,A)} f( q,e,F) = { (q,BF), (q,B) }

Ejercicio

f( q,b,S)={ (q,DG),( q,DH) ,(q,G),( q,H f( q,O,B)={ (q,E),( q,A)} f(q,c,A)={ (q,D),(q,A)} f(q,a,G)={ (q,B)} f( q,1,C)={ (q,F) ,(q,A)} f(q,c ,D)={ (q,D),(q,A)} f( q,A,I)={ (r,A)}

14.221

Sea la siguiente gramática de contexto libre:

donde:

~T

= {0 .... 9.x.sin.cos.(.).d.D.+.-.a.k.t,J}

~N

= {Prob.Exp.Term.Power.Trig.Const.Var.lnt}

y P viene definido por: Prob Exp Term Power Trig Const Var Int

.... .. -

.. .. .. -

.. .. -

J Exp d Var 1 D Exp Var Term 1 Term + Exp 1 Term - Exp Const 1 Var 1 (-Term) 1 Trig 1 Power 1 Prob 1 (Exp) (Var t Term) (sin Var) 1 (cos Var) Int 1 a 1 k x 0111213141516171819

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFO QUE PRÁCTICO

303

Realizar un Autómata a Pila que reconozca por estado final el mismo lenguaje que el descrito por la gramática Indicar también tres sentencias del lenguaje de longitud superior a 50 o

En primer lugar, se ordenan los símbolos no terminales para clasificar las reglas en los tres grupos descritos en la teroía, y después pasarlo a FNGo La ordenación elegida es: (Exp,Term,P-term,Power,Trig,Const,Var,Int,Prob) o La categoría de cada regla se muestra en la siguiente tabla:

Prob Exp Term Term Power Trig Const Var Int

0000 0000 0000 0000 0000 000000000000 0000

f Exp d Var 1 D Exp Var Term 1Term + Exp 1Term - Exp Const 1 Var 1 (-Term) Trig 1 Power 1 Prob 1 (Exp) (Var t Term) (sin Var) 1 (cos Var) Int 1a 1 k x 0111 2 13141516171819

(1)(1) (2)(2)(2) (2)(2)(1) (2)(2)(2)(1) (1) (1)(1) (2)(1)(1) (1) (1)000(1)

Para pasarlo a FNG, al no haber reglas recursivas por la izquierda, ni reglas del Grupo 3, bastará con introducir los siguientes símbolos no terminales con sus respectivas reglas:

A B C D E F G

0000 00 000000 0000 0000 0000

d

)

t sin cos

+

Haciendo las sustituciones oportunas, las producciones de la gramática en FNG quedarán:

304

CAPÍTULO

Prob Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp

.. .... .. -

.... .. .. -

.. .. .. .. -

.... -


y AUTÓMATAS A PILA

J Exp A Var 1D Exp Var ( B Term C alklx

1(Exp C

0111213141516171819 (F Var e 1(E Var e

(var D Term e J Exp A Var 1D Exp Var ( B Term e G Exp 1(Exp e G Exp a G Exp 1k G Exp 1x G Exp O G Exp 11 G Exp 12 G Exp 13 G Exp 14 G Exp 5 G Exp 16 G Exp 17 G Exp 18 G Exp 19 G Exp (F Var e G Exp 1(E Var e G Exp (var D Term e G Exp J Exp A Var G Exp 1D Exp Var G Exp

LENG UA JES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Term Term Term Term Term Term Power Trig Const Const Var Int A B C D E F G

000

0

0

0

-

00

0000

000

0

000

0

00-

00-

00-

0

0-

00-

0000

00-

00-

00-

0

0

0

0

-

0

0-

00-

0000

305

( B Term C B Exp 1 (Exp C B Exp a B Exp 1 k B Exp 1 x B Exp O B Exp 1 1 B Exp 1 2 B Exp 1 3 B Exp 1 4 B Exp 5 B Exp 1 6 B Exp 1 7 B Exp 1 8 B Exp 1 9 B Exp (F Var C B Exp 1 (E Var C B Exp (var D Term C B Exp J Exp A Var B Exp 1 D Exp Var B Exp ( B Term C 1 {Exp C alklx 0111 2 131 4 1516171819 (F Var C 1 (E Var C (var D Term C J Exp A Var 1 D Exp Var {var D Term C {F Var C 1 (E Var C alk 0111 2 131 4 1516171819 x 0111213141516171819 d

000

0

0

0

-

00

000

0

00-

00 -

00 -

) t sin cos +

y se pasa la gramática anterior a Autómata a Pila por vaciado de pilao AP=(~T,~N ,{ q},Prob,q,f,0)

donde: ~T =

{0, oo,9,x,sin,cos,{,),d,D,+ ,-,a,k,t,J}

~N =

{Prob,Exp,Term,Power,Trig,Const,Var,Int,A,B,C,D,E,F,G,H,I}

y f viene definido por:

306

CAPÍTULO

f( q,J ,Prob) f(q,D,Prob) f(q,(,Exp) f(q,(,Exp) f(q,a,Exp) f(q,k,Exp) f(q,x,Exp) f(q,cos,F) f(q,+,G)


(q,Exp a Var) (q,Exp Var) (q,B Term C) (q,Exp C) (q,A) (q,A) (q,A) (q,A) (q,A)

=

Las sentencias podrían ser: D a - (sin x)+(x

Ejercicio

t k) , I (sin x) (cos x) d x, I 3 x d x

14.231

Dada la siguiente gramática de tipo 2, que forma parte de una gramática de un lenguaje de alto nivel, se pide obtener el Autómata a Pila que reconoce las palabras que genera dicha gramática.

G

= ({[ , ],and, or, not, =, >, <, id, num} , {8, e, V} , 8, P)

donde Pes:

P

=

{(8 ::= [e and eJ), (8 ::= [e or eJ), (8 ::= [ not eJ), (e ::= [V = vJ) , (e ::= [v> vJ), (e ::= [V < vJ), (V::= id), (V ::= num)}

También se pide comprobar si reconoce la palabra:

[[ id = num

1or [num >

id

II


307

Utilizando el método de conversión de una gramática de tipo 2 a un AP, primero se debe comprobar que la gramática está en FNG. Como no lo está, se emplea el método de conversión de una gramática a FNG descrito en este capítulo. Para ello, se sustituyen los símbolos terminales que no aparecen como primeros símbolos de las partes derechas de las reglas por símbolos no terminales que sólo lleven a esos símbolos terminales. Así, se convierte la gramática a:

G' = ({[,], and,or,not, =, >, <, id,num} , {8, C, V, D, E , F, G, H , I , J} , 8, P) p' = {(8 ::= [CDCE), (8 ::= [CFCE), (8 ::= [GCE), (C ::= [VHVE), (C ::= [VIVE) , (C ::= [V JVE), (V::= id) , (V ::= num), (D ::= and), (E ::=]), (F ::= or), (G ::= not), (H ::==), (I ::=», (J ::=<)} Ahora, se puede obtener el AP que reconoce las palabras que genera dicha gramática:

AP =

(~,

f, {q}, 8, q, f, 0)

donde:

•

~

= {[,], and,or,not, =, >, <, id,num}j

• f = {8,C, V,D,E,F,G,H,I, J}j y

• f:

f(q, [,8) = {(q, CDCE), (q, CFCE), (q , GCE)} f(q , [, C) = {(q, V HV E), (q, V IV E), (q, V JV E)} f(q, id , V) = {(q, A)} f(q, num , V) = {(q , A)} f(q, and ,D) = {(q, A)} f (q, ], E) = {( q, A)} f(q, or ,F) = {(q, A)} f(q , not , G) = {(q , A)} f(q , =, H) = {(q , A)} f(q, >,1) = {(q, A)} f(q, <, J) = {(q, A)}

308

CAPÍTULO


Para saber si reconoce la palabra de entrada, se parte de la descripción instantánea inicial y se va transitando de acuerdo a la función f hasta que la pila y la entrada estén vacías, en cuyo caso, ha reconocido la palabra. Si no, no la habrá reconocido. En este caso, existe un conjunto de movimientos que permite pasar desde la descripción inicial hasta la descripción (q , A, A) , por lo que acepta la palabra.

(q, [[ id = num] or [num > id ]] , S) ff- (q, [id = num] or [num > id]J , CFCE) ff- (q, id = num] or [num > id ]] , V HV EFCE) f(q, = num] or [num > id ]] , HV EFCE) ff- (q , num] or [num > id ]], V EFCE) f(q,] or [num > id ]] , EFCE) ff- (q, or [ num > id]J, F CE) f- (q, [num > id]J, CE) f(q , num > id]J, V IV EE) ff- (q, > id]J, IV EE) f- (q, id]J, V EE) f- (q,]J, EE) f- (q , J, E) ff- (q,A,A)

Este Autómata a Pila podría reconocer palabras de este lenguaje, por lo que podría ser la parte del compilador de ese lenguaje que se encarga de realizar el denominado análisis sintáctico o comprobación de que las palabras de entrada cumplen con las reglas de la gramática del lenguaje.

Ejercicio

14.241

Dada la gramática siguiente perteneciente a una parte del lenguaje COMMONLISP, obtener el Autómata a Pila que reconozca sentencias válidas.

G = ({ (,do,) ,id,num,and,or ,not ,print ,cdr ,length, +} , {S,A,C, E,ME , V,N, VN},S, P)

donde

P:


309

e

:: = ( do ( A ) ( E ) M E ) :: = ( V E E ) A I ( V E E ) e :: = (and E E ) I (or E E ) I ( not E ) E ::= (print V) I (cdr V) I (length V) I ( ME ::= E ME I A V ::= id N ::= num VN ::= V IN S A

+ VN

VN ) IVI N

Primero, hay que convertir la gramática a otra equivalente en FNG . Para ello, se sustituyen los símbolos terminales que no aparezcan en la primera posición de la parte derecha de las producciones por símbolos no terminales que sólo lleven a dichos símbolos terminales. ASÍ, la regla: S::= ( do (A) ( C E ) ME ) se transforma en: S ::= (D P A P ' P CE P ' ME P ' D ::= do P :: = (

P ' ::=) Las reglas: A::= ( V E E ) A

I(V E

E )

A :: = ( V E E P ' A

I(V E

E P'

se transforman en:

Las reglas: C::= ( and E E ) se transforman en:

I(

C ::= ( Y E E P ' Y ::= and 0::= or T ::= not

or E E )

I(O

E E P'

I (not I(T

E)

E P'

Las reglas: E::= (print V) I ( cdr V) I ( length V) I ( + VN VN ) IVI N se transforman en:

310


E ::= ( R V P' R ::= print L ::= cdr G ::= length M::=+

I(L

V P'

I(G V

P'

I(M

VN VN P'

I id I num

Aquí, las reglas E::=V y E::=N se han transformado en FNG sin más que sustituir todas las producciones de V y N, respectivamente, por las partes derechas de sus producciones. Las reglas: ME::= E ME I A se convierten a FNG eliminando la regla no generativa y sustituyenla E por todas las partes derechas de sus producciones, quedando las do producciones: ME ::= ( R V P ' I ( L V P ' I ( G V P ' I ( M VN VN P ' ( R V P ' ME I ( L V P ' ME I ( G V P ' ME I ( M VN VN P ' ME I id ME I num ME

I id I num I

Por último, las reglas VN::= V

IN

se convierten en: VN ::= id

I num

Por tanto, la gramática equivalente en FNG sería:

donde

~~

{(, da , ), id, num, and, or, not , print , cdr, length, +} ,

~~

{S, A , C, E , Q, V, N , W , D , P, P' , Y , O,T , R , L , G, M}

y p' será:

LEN GUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

S D P P'

D P A P P' ::= do ::= (

311

e E P' Q P'

::= (

:: =)

I ( V E E P' I ( o E E P' I ( T

A ::= ( V E E P' A

e

Y

::= ( Y E ::= and

E P'

E P'

o

:: = or T ::= not

E R L G M Q

v

::= ( R V ::= print ::=

P'

I ( L V P' I ( G V P' I ( M W

W P'

I id I num

cdr

::= length

::=+ R V P' I ( L V P' I ( G V P' I ( M W W P' I id I num I ( R V P ' Q I ( L V P ' Q I ( G V P ' Q I ( M W W P' Q I id Q I num Q

::= (

::= id

N ::= num W ::= id I num Se han sustituido los símbolos no terminales ME y VN por Q y W, respectivamente, para evitar confusiones con las secuencias de símbolos no terminales M y E , Y V Y N. A partir de esta gramática se puede construir el Autómata a Pila que reconoce el lenguaje generado por esta gramática; es decir, las sentencias COMMON-LISP que se pueden formar con estas producciones. Este autómata se puede construir de forma que reconozca por estado final o por vaciado de pila. Se construirá de las dos formas. • AP que reconoce por vaciado de pila. Se define de la siguiente forma:

APv = (~~, ~~, {q}, S, j , 0) donde ~~ y ~~ se han definido anteriormente, S es el axioma de la gramática, y j será:

j(q, (,S) = {(q , DPAPP'CEP'QP')} j(q , do, D) = {(q, A)}

312

CAPÍTULO


f(q , (,P) = {(q , A)} f(q,) , P') = {(q, A)} f(q, (,A) = {(q, VEEP'A) , (q, VEEP')} f(q, (, C) = {(q , y EEP') , (q , OEEP') , (q , TEP')} f(q, and, Y) = {(q, A)} f(q,or,O) = {(q,A)} f(q, not, T) = {(q , A)} f(q,( , E) = {(q , RVP') , (q,LVP') , (q,GVP'),(q,MWWP')} f(q, id, E) = {(q, A)} f(q ,nurn, E) = {(q , A)} f(q,print,R) = {(q , A)} f(q, cdr, L) = {(q , A)} f(q , length, G) = {(q , A)} f(q, +, M) = {(q, A)} f(q, (, Q) = {(q, RV P') , (q, LV P'), (q, GV PI), (q, MWW PI), (q , RV P'Q), (q, LV P'Q) , (q , GV P'Q) , (q,MWWP'Q)} f(q,id,Q) = {(q,A)} f(q , nurn, Q) = {(q , A)} f(q, id, V) = {(q, A)} f(q, nurn, N) = {(q, A)} f(q, id, W) = {(q , A)} f(q,nurn, W) = {(q,A)} • AP que reconoce por estado final. forma:

Se define de la siguiente

donde - ~ = 1:~ U ~~;

- r

= ~~ U ~~ U

{Ao} ; y

- f:

f(qo , A, A o) = {ql , SA o} f(ql , A, S) = {(ql, (DPAPP'CEP'qP')) f(ql, A, D) = {(ql, do)}

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS : UN E NFO QUE PRÁCTICO

313

f(ql , A, P) = {(ql , O} f(ql, A, P') = {(ql,))} f(ql,A , A) = {(ql, (VEEP'A), (ql, (VEEP')} f(ql , A, C) = {(ql , (Y EEP') , (ql , (OEEP') , (ql , (TEP')) f(ql , A, Y) = {(ql, and)} f(ql, A, O) = {(ql, or)} f(ql , A,T) = {(ql , not)} f(ql , A, E) = {(ql , (RV P'), (ql , (LV P'), (ql, (GV P') , (ql, (MWW P'), (ql , id), (ql , num)} f(ql , A, R) = {(ql , print)} f(ql , A, L) = {(ql, cdr)} f(Ql , A, G) = {(Ql, length)} f(Ql , A, M) = {(Ql , +)} f(Ql, A, Q) = {(Ql, (RV P'), (Ql, (LV P'), (Ql , (GV P') , (Ql, (MWW P'), (Ql, (RV P'Q), (Ql, (LV P'Q), (Ql , (GV P'Q) , (Ql , (MWW P'Q) , (Ql , id), (Ql,num)} f(Ql, A, V) = {(Ql, id)} f(Ql , A, N) = {(Ql , num)} f(Ql , A, W) = {(Ql, id) , (Ql , num)} f(Ql , (, O = {(Ql , A)} f(Ql , do, do) = {(Ql , A)} f( Ql , ), )) = {( Ql , A)} f (Ql, id, id) = {( Ql , A)} f(Ql , num, num) = {(Ql , A)} f(Ql, and, and) = {(Ql, A)} f(Ql,or , or) = {(Ql,A)} f(Ql , not, not) = {(Ql , A)} f(Ql,print,print) = {(Ql , A)} f(Ql ,cdr,cdr) = {(Ql,A)} f(Ql , length , length) = {(Ql , A)} f(Ql , +, +) = {(Ql, A)} f (Ql, A, Ao }) = {( Q2, Ao)}

314

CAPÍTULO


Una cuestión que tienen en común ambos métodos es que no aseguran la obtención de AP Deterministas. De hecho en los dos casos se han obtenido APND. Esto causa que el análisis que se debe realizar en los compiladores para saber si una sentencia pertenece al lenguaje o no, denominado análisis sintáctico, sea complejo, debido a que, dado un símbolo de entrada y una descripción del autómata (estado y situación de la pila) no es capaz de saber cuál de las posibles transiciones se debe realizar. Una de las soluciones que hay para resolver este no determinismo consiste en relajar la restricción de que la gramática esté en FNG , permitiendo reglas no generativas, a cambio de que para cada símbolo no terminal, cada una de sus producciones comience por un símbolo terminal distinto. Es decir, no puede haber un A E ~N tal que haya dos producciones A ::= aX y A ::= aY donde X , Y E ~* Y X =1 y. l Así, para convertir la gramática anterior a una gramática equivalente que pudiera dar lugar a un APD, habrá que transformar todas las producciones que cumplan lo anterior. Para ello, se puede factorizar a izquierdas, utilizando el método descrito en el capítulo 2. Por ejemplo, las producciones: A::= ( V E E P ' A I ( V E E P ' se pueden transformar en:

A ::= ( V E E P ' A' A' ::= A

IA

Como la producción A'::=A no está en FNG , se convierte, sustituyendo A por sus partes derechas, quedando:

A ::= ( V E E P' A' A' ::= ( V E E P ' A' I A Estas producciones ya están en FNG. Si se repite el proceso para aquellas producciones de un símbolo no terminal que comiencen por el mismo símbolo terminal, se obtendría sI siguiente conjunto de producciones P": lExiste otra restricción más que no se estudiará por salirse de la intención del libro.

L ENGUAJ ES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFOQUE PRÁCTICO

S D P P' A A' C C' E E' Q Q' Q" V N W

315

D P A P P' C E P' Q P' ::= do

::= ( ::= (

::=) V E E P ' A' ( V E E P ' A' I A (C' and E E P ' I or E E P ' I not E P ' ( E' I id I num print V P ' I cdr V P ' Ilength V P ' I + W W P ' ( Q' I id I num I id Q I num Q print V P ' Q" I cdr V P ' Q" Ilength V P ' Q" I + W W P ' Q" print V P ' Q" I cdr V P ' Q" I length V P ' Q" I + W W P ' Q" I A id num id I num

::= (

::= ::= ::= ::=

::= ::= ::= ::= ::= ::= ::=

Las producciones correspondientes a Y, 0 , T , R , L, G, y M se han eliminado, ya que, al sustituirlos en las producciones de C', Q' y E ' serían símbolos no terminales inaccesibles. Como se puede comprobar, todas las partes derechas de las producciones de cada símbolo no terminal comienzan por símbolos terminales distintos o por A.

Ejercicio

14.251

Supóngase un lenguaje de programación en el que existe una sentencia for que permite que, en cada ciclo, se actualicen varias variables en un solo paso. La sintaxis de este for se puede resumir de la siguiente forma : for A [{as A}* and A] do {S;}* S Donde la notación [xl significa que x puede aparecer o no . A puede tomar las siguientes formas: • variable from expresión1 to expresión2 • variable from expresión1 downto expresión2 by expresión3 • variable from expresión1 upto expresión2 by expresión3

316

CAPÍTULO


• variable = expresión1 then expresión2 S son sentencias de asignación con la siguiente sintaxis: variable : =

expresión donde las expresiones pueden ser: • expresión1 + expresión2 • expresión1 * expresión2 • (expresión) • variable • número Un ejemplo de sentencia válida sería: for i from (x*x) downto x by 2 as j from x to x+x and k = 2 then (j+1) do y : =k*(i+j) Se pide definir la gramática G que generaría sentencias válidas del for y el Autómata a Pila que permitiera realizar el análisis sintáctico de las sentencias de entrada; es decir, que permitiera reconocer o no sentencias que pertenezcan al lenguaje generado por la gramática . ¿Se podría haber utilizado una gramática regular para describir este lenguaje?

U na posible gramática sería:

donde .~T =

{for,do,as,and,id,from,to,downto,by,upto,=,then,

.~ N =

;,: = ,+ ,* ,(,),num} {F,A, H , S , I , E}

.P:


317

F :: = for A do S A ::= H as A I H and H I H H ::= id from E to E I id from E downto E by E id from E upto E by E I id = E then E S ::= 1 j Sil 1 ::= id := E E ::= E + E I E * E I ( E ) I id I num Debido a que existen aspectos que no pueden tratar las gramáticas regulares, la gramática debe ser de tipo 2 o menor. Un ejemplo de aspecto que no puede controlar las gramáticas de tipo 3 es que el número de paréntesis de apertura concuerde con el número de paréntesis de cierre. Esta gramática no está en FNG, por lo que hay que transformarla antes para poder construir el Autómata a Pila que reconozca el lenguaje. En el caso de la primera regla, habría que sustituir los símbolos terminales que no sean los primeros de la parte derecha (en este caso el do) por símbolos no terminales que sólo lleven a dichos símbolos terminales. ASÍ, se transformaría en las reglas:

F

::=

D ::=

for A D S do

En el caso de las producciones del símbolo A, sus partes derechas comienzan por un símbolo no terminal H, con lo que hay que sustituirlo por las producciones de H. Quedarían las reglas:

A

::=

id id id id id id

from from from from from from

E E E E E E

to E upto to E upto to E upto

as A I id from E downto E by E as A E by E as A I id = E then E as A and A I id from E downto E by E and A E by E and A I id = E then E and A I id from E downto E by E E by E I id = E then E

Ahora hay que sustituir los símbolos terminales de la derecha que no sean los primeros, por lo que quedarían:

318


RE RE RE RE R ::= froro T ::= to G .. - A' ::= as N ::= and O ::= downto U ::= upto A ::= id id id id

I id R E O E B E A' A U E B E A' A I id G E T' E A' A I id R E T E N A O E B E N A I id R E U E B E N A I id G E T' E N

T E A' A

A

T E I id R E O E B E I id R E U E B E I id G E T' E

B ::= by T' ::= then

De forma similar, las producciones de H se transformarían en: H

::= id

R E T E lid R E O E BE lid R E U E BE lid G E T' E

En el caso de las producciones de S, hay que sustituir las producciones de 1 y sustituir los símbolos terminales j y : =, generando las producciones:

S ::= id P E C S I id P E P ..= :=

e :: =

j

La producción de 1 necesita sustituir el símbolo : = por P, quedando:

1 ::= id PE Las producciones de E presentan recursividad por la izquierda, por lo que primero hay que eliminarla. Se generarían las siguientes producciones: E :: = ( E ) E' I id E' I num E' E' :: = + E E ' I * E E ' I A Si se sustituye el símbolo terminal ), quedarián: E ::= ( E P' E' I id E' I num E' E' ::= + E E' I * E E' I A

P'

::= )


319

Por último, se puede eliminar la regla no generativa E::=>., quedando: E ::= ( E P' E' I id E' I num E' I E' ::= + E E' I * E E' 1+ E 1* E P ' ::=)

( E P' I id I num

Por tanto, la gramática equivalente en FNG , sería:

donde ~~ = {F, D , A, R , T , G, A' , N, 0, U, B, T', H , S , P, e, 1, E, E', PI} yPl:

F ::= for A D S D :: = do A ::= id R E T E A' A I id R E o E B E A' A id R E U E B E A' A I id G E T' E A' A I id R E T E N A id R E o E B E N A I id R E U E B E N A I id G E T ' E N A I id R E T E I id R E o E B E I id R E U E B E I id G E T ' E R ::= from T ::= to G ..

A' ::= N ::= O ::= U ::= B ::= T ' ::=

as and

downto upto by then H ::= id R E T E I id R E O E BE lid R E U E B E id G E T ' E S ::= id P E S I id P E P ::= :=

e

e .. -, 1 ::= id PE E :: = ( E P ' E' I id E' I num E' I E' ::= + E E' I * E E' I + E I * E

P'

::=)

( E P ' I id I num

I

320

CAPÍTULO 4 . GRAMÁTICAS TIPO 2 y AUTÓMATAS A PILA

partir de esta gramática, se puede construir el AP que reconozca o no las palabras de este lenguaje; es decir, la parte de los compiladores denominada análisis sintáctico. Se va a generar un AP que reconozca por vaciado de pila, aunque sería equivalente el realizarlo por estado final. A

APv = (~~ , ~~ , {q} , F , f , 0) donde ~~ y ~~ se han definido anteriormente, F es el axioma de la gramática, y f será:

f(q, (, F) = {(q , forADS)} f(q, do, D) = {(q , A)} f(q, id, A) = {(q , RETEA'A) , (q, REOEBEA' A) , (q , REUEBEA'A), (q , GET' EA' A) , (q , RETEN A) , (q , REOEBEN A) , (q , REU EBEN A), (q , G ET' EN A) , (q , RETE) , (q , REOEBE) , (q , REUEBE) , (q , GET' E)} f(q , from , R) = {(q , A)} f(q , to ,T) = {(q , A)} f(q , = , G) = {(q , A)} f(q , as,A') = {(q , A)} f(q , and, N) = {(q , A)} f(q,downto , O) = {(q , A)} f(q ,upto,U) = {(q , A)} f(q , by, B) = {(q , A)} f(q , then, T') = {(q , A)} f(q , id, H) = {(q , RETE), (q , REOEBE) , (q , R EUEBE) , (q , GET' E)} f(q , id, S) = {(q , PEC S) , (q , PE)} f(q , :=, P) = {(q , A)} f(q ,;, C) = {(q , A)} f(q,id,I) = {(q , PE)} f(q, (, E) = {(q , EP' E') , (q , EP')} f(q , id, E) = {(q , E') , (q , A)} f(q ,num, E) = {(q , E') , (q , A)} f(q , +, E') = {(q , EE') , (q , E)} f(q , *, E') = {(q , EE') , (q , E)} f(q , ), P') = {(q , A)}

Capítulo

5

GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS GENERALES

Este capítulo estudiará los autómatas que reconocen lenguajes generados por las gramáticas más generales que hay, de tipo O y 1: Autómatas Linealmente Acotados y Máquinas de Thring. Estos dos tipos de autómatas son menos restrictivos que los anteriores, al permitir mover la cabeza de lectura en las dos direcciones (derecha e izquierda), además de permitir escribir, al mismo tiempo, en la cinta de entrada (que ahora será de entrada/salida). La principal diferencia entre estos dos tipos de autómatas está en la longitud de la cinta. Mientras que las Máquinas de Thring disponen de una cinta teóricamente infinita, los Autómatas Linealmente Acotados disponen de una cinta acotada a ambos lados.

5.1

Máquinas de Turing

Las Máquinas de Thring son el autómata más general, capaz de reconocer los lenguajes generados por las gramáticas menos restrictivas, las de tipo O. La figura 5.1 muestra un gráfico de la arquitectura de una Máquina de Thring, con los elementos que se estudiarán a continuación.

5.1.1

Definición

Una Máquina de Thring se define por la siguiente tupla:

321

322

CAPÍTULO

5.


Cinta

Estados

5J

~~ <:- -

Control

Movimiento - -

3>

Figura 5.1: Arquitectura de una Máquina de Turing.

MT

=

(r,~, b,

Q, qo, J, F)

donde

• r: •

es el alfabeto de símbolos de cinta

~ e r: es el alfabeto de símbolos de entrada. Como la Máquina de Turing puede escribir en la cinta, es diferente el alfabeto de los símbolos que, inicialmente pueden aparecer en la cinta (~) del alfabeto de los símbolos que, en algún momento, pueden aparecer en la cinta (r)

• b E r, b tj ~: es un símbolo de la cinta de entrada especial que representa el espacio en blanco

• Q: es el conjunto de estados • qo E Q: es el estado inicial

• J :Q x r

-+ Q x r x {J, D, P}: es la función de transición, donde J es izquierda, D es derecha, y P es parada

• F ~ Q: es el conjunto de estados finales

323

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCT ICO

Características • La cinta es infinita, por lo que a los dos lados de la información que aparezca en la entrada, habrá espacios en blanco representados por b. • Inicialmente contiene un número finito de símbolos de y seguidos de infinitos blancos (símbolo especial b).

~

precedidos

• Al igual que el resto de los autómatas, se representan por la tabla de transición en la que en las filas están los estados, en las columnas los símbolos de r, y en la posición (q, a) aparece j (q, a) .

Ejemplo: Se puede definir la siguiente Máquina de Thring: AfT1

= ({O , l,b},{l},b,{p,q,r,s} ,p,j,{s})

donde j se define por la siguiente tabla de transición:

j p q r s

1

qOD qlD

O pOI qOD rlD

b rbD pOI sbP

Esta máquina convierte un número n de unos en la cinta de entrada en un número 2n de unos, como se describirá en el siguiente apartado.

5.1.2

Movimiento

Si la Máquina de Thring está en un estado q E Q, lee a E r de la cinta de entrada (el puntero de lectura de la cinta de entrada está sobre el símbolo a), y la función de transición para esa pareja estado-símbolo es:

j(q,a) = (p,x,m) ó pxm donde pE Q,x E r,m E {I,D,P} entonces la Máquina de Thring:

324

CAPÍTULO

5.


1. transita al estado p ;

2. imprime el símbolo x en la cinta en donde estaba el a; y 3. mueve la cabeza lectora de la cinta de entrada/salida hacia la izquierda (m = 1), derecha (m = D) o se para (m = P).

Ejemplo: Para analizar el funcionamiento de la máquina MT1 , se va a describir en cada momento: en qué est ado está la máquina; en qué posición de la cinta de entrada está situado el puntero de lectura; y qué contiene la cinta de entrada en ese momento. Así, supóngase que inicialmente la máquina está en el estado inicial (p), el puntero de lectura está situado en el primer símbolo de entrada (el primer 1) Y la cinta contiene los siguientes símbolos:

b

1

1

b

p

Como la función de transición para p y 1 es f(p,l) = (q, O, D) , la máquina transita al estado q, escribe un O en la posición del 1, Y se mueve un símbolo a la derecha, quedando la situación como:

bOl q

b

A continuación, vuelve a mirar la función de transición con el estado q y el símbolo 1, que es: f(q,l) = (q , 1, D). Por tanto, pasará a la siguiente configuración:

bOl

b q

325

LENGUAJES , GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS : UN E NFOQ UE PRÁCTICO

Si se sigue el comportamiento de la máquina, realizará las siguientes transiciones.

blOI 1 Iblbl b

blOI 1 10lblb

q

bl O O 1 O 1 b 1 b q

p

bl O 1 O 1 O 1 b lb

blOIOI O 1 O 1 b

q

bl O O O O b p

p

b 1 O 1 O lO 1 O b p

bl 1

O 10 1O b r

bl 1

1

O O b r

bl 1

1

bl 1

1

1

1

1

bl O 1 0 1 0 1 0 1 b

p

b r

1

b s

b

O lO 1 O O b r

bl 1

1

1

O b r

Parar

Para entender el comportamiento de una MT, es útil describir qué realiza cada estado. En el caso de MT1 , los estados llevan a cabo las siguientes tareas: • p: busca el siguiente 1 para copiarlo. Para ello, va leyendo ceros y moviéndose hacia la izquierda hasta que lee un 1. En ese momento, transita al estado q después de cambiar el 1 por O. Si se encuentra con un blanco, ha terminado la labor de copia de la cadena de unos y transita al estado r.

• q: copia el 1 en la siguiente posición libre. Para ello, se desplaza hasta la derecha hasta que lee un blanco, en cuyo caso escribe un O, y transita al estado p para buscar el siguiente 1 para copiarlo. • r: después de copiar todos los unos, ha ido marcando cada 1 con un O para saber que lo había copiado ya. El estado r

se encarga de convertir los ceros en unos, desplanzándose hacia la derecha hasta que se encuentra con un blanco, en cuyo caso, transita al estado s y se para, porque ha terminado su ejecución. es un estado ficticio que sólo sirve para mostrar que ha terminado la ejecución de la MT.

• s:

326

CAPÍTULO

5.1.3

5.


Lenguaje reconocido por una Máquina de Turing

Una palabra es reconocida por una Máquina de Turing, si, dispuesta inicialmente en la cinta de entrada, con la cabeza de lectura en el primer símbolo de la palabra y la MT en el estado inicial, la máquina es capaz de transitar a un estado final y pararse. Por tanto, el lenguaje aceptado por una MT es el conjunto de palabras que son reconocidas, según la definición anterior.

Ejemplo: La siguiente MT, MT2 , acepta el lenguaje L = {O*1}. MT2 = ({O,1,b},{O,1},b , {p , q} , p,j,{q}) donde j se define por la siguiente tabla de transición: j p q

1 q1D p1P

O pOD p1P

b pbP qbP

En este caso, el estado q es final y MT2 sólo aceptará las palabras de entrada cuando estando en ese estado se encuentre con un blanco, ya que le hará parar en q. Si se encuentra en ese estado y hay un 1 ó un O en la entrada, parará, pero terminará en el estado p, con lo que no aceptaría la palabra.

5.1.4

Variantes de las Máquinas de Turing

Existen numerosas variantes del concepto de Máquina de Turing que se pueden formar restringiendo algún aspecto de las mismas, como la representación de la cinta de entrada, los símbolos de entrada, etc. Como ejemplo, se comenta el caso de las MT con alfabeto binario. Si la máquina sólo trabaja con alfabeto binario, r = {O, 1, b}, y se tienen entradas con m símbolos diferentes, cada símbolo de entrada se puede codificar (representar en la cinta) con n bits tal que 2n - 1 :::; m :::; 2n . A partir de ahí, cada vez que se haga una lectura o escritura en la cinta, hay que tener en cuenta que hay que leer/escribir n bits seguidos. Otros ejemplos son MT: con cinta limitada por un extremo; que no pueden escribir y cambiar de estado simultáneamente; o que sólo pueden realizar una tarea en cada paso.


5.1.5

327

Máquina de Turing Universal (MTU)

Es una máquina que recibe en la cinta una descripción de otra MT, Y el contenido de la cinta de esta MT, y produce, como resultado de su ejecución, el mismo resultado que produciría la MT sobre su cinta. Recibe el nombre de universal, porque es capaz de simular el comportamiento de cualquier Máquina de Turing. Se convierte, de esta forma, en un dispositivo análogo a una computadora, capaz de realizar cualquier cómputo. En este apartado se describirá en qué consiste la codificación de la cinta de la MTU, y se comentará su funcionamiento. Sin perder generalidad, se puede reducir el número de MT que una MTU es capaz de simular, a ls máquinas binarias con cinta limitada a la derecha (MTBD). La cinta de una MTU es infinita en ambos sentidos, y se divide en dos partes, separadas por un símbolo identificativo (por ejemplo $). A la derecha de $ se codifica la MTBD, y, a la izquierda, se codifica su cinta (CMTBD). El resultado de la ejecución de la MTU consistirá en dejar la parte derecha de la cinta (la que describe la MTBD) intacta, y, en la izquierda, la misma información que habría dejado en su cinta la MTBD. Para que la MTU realice su labor, simulando a otra MT , se debe codificar la MT y su cinta de entrada en la cinta de entrada de la MTU. La codificación de la CMTBD transcribe la cinta tal cual, exceptuando la posición que ocupa la cabeza lectora, en la cual se coloca otro símbolo identificativo de cabeza lectora (por ejemplo *). El bit que había en dicha posición, se transcribe justo a la derecha del $. Para codificar la MTBD , en primer lugar se codifican los estados en binario. Así, si se tienen seis estados, se necesitarán 3 bits para su codificación. La parte derecha de la cinta se divide en tantos registros como entradas tenga la tabla de movimientos de la MTBD. Cada registro está separado por un caracter especial (por ejemplo #) y contiene, en binario, la codificación de cada movimiento, de la siguiente manera: • el estado en que está (codificado en binario) • el bit a leer (O ó 1) • el estado al que va (codificado en binario) • el bit a escribir (O ó 1) • el movimiento a realizar (codificado en binario, por ejemplo O derecha, 1 izquierda)

328

CAPÍTULO

5.


Entre el símbolo $ y el primer registro, denotado por # está el estado en que está la máquina y el bit que lee en ese momento la cabeza lectora.

Ejemplo: Un ejemplo de esta codificación sería el siguiente. Supóngase que se tiene la Máquina de Turing MT B 2 : MTB 2 = ({0 , 1} , 0, {p , q,r},p,j, 0)

j P

q r

O qOD p 1I q1D

1 p 1I rO D pOI

y la cinta CMTB2 contiene la siguiente secuencia binaria, donde el puntero de lectura estaría en el tercer uno. C MTB2

= ... 101101]

Entonces, • Se calcula el número de bits necesarios para representar los estados. En este caso, 1 = E(log23) = 3, donde E(n) es la función que calcula el número entero justo por encima del n. Por tanto, se necesitan 2 bits para codificar los estados . Al codificar los estados en binario, quedaría, por ejemplo: p ~ 00, q ~ 01 , r ~ 10 • El número de bits necesarios para codificar las entradas es 1. En este caso, la codificación es inmediata: el O para representar a la entrada O y el 1 para la entrada 1 • En el caso del movimiento, se codifica con un bit para los dos posibles movimientos (O para la D y 1 para la I) • ASÍ, la cinta de MTU sería: ... 101 *01$001#0000100#0010011#0100011#0111000# 1000110# 1010001 J

donde, por ejemplo, el contenido del primer registro, 0000100, estará formado por la primera transición: 00 (estado p) , O (entrada 0),01 (transita al estado q), O (escribe un O) , y O (se mueve a la derecha).

LENGUAJES , GRAMÁTI CAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQ UE PRÁCTI CO

329

Con esta codificación, el funcionamiento de la MTU sería el siguiente: • localizar en alguno de los registros la cadena que aparece entre los símbolos $ y # (llamémoslo registro O) ; • leer y memorizar uno a uno los símbolos que restan del registro encontrado, excepto el último (que se corresponde con el movimiento a realizar); • para cada una de los símbolos memorizados con anterioridad, colocarlos en la parte correspondiente del registro O; • el penúltimo bit del registro localizado (que se corresponde con el bit a escribir), se escribe en el lugar que ocupa el *; • se localiza y memoriza el último bit del regis tro encontrado anteriormente (que se corresponde con el movimiento) , para desplazar la cabeza lectora correctamente y colocar el * en el lugar adecuado; • el contenido que había en la posición donde se escribe el * ha de ser memorizado y escrito en la última posición del registro O, para, de esta forma, recoger lo que lee la cabeza lectora y poder preparar todo el sistema para una nueva lectura .

5.1.6

Máquinas de Turing y computación

Debido a que, a nivel abstracto, las Máquinas de Turing reciben una entrada codificada en la cinta, y generan una salida, codificada en la cinta al final de la ejecución de la Máquina de Turing, se puede realizar una analogía entre una Máquina de Turing y un programa. En los dos casos existe: una entrada (si hay varias, se puede codificar como si fuera una única, sin más que tomar como entrada la cadena de entradas) , una salida (si hay varias, se toma de la misma forma que las entradas) , y un proceso que permite generar la salida correspondiente a cada entrada. Esta analogía ha llevado a realizar numerosos estudios teóricos sobre la computación, permitiendo asignar la etiqueta "computable" a cualquier proceso que pueda representarse mediante una Máquina de Turing. Además, debido a que se puede definir una MT universal que es capaz de ejecutar/simular cualquier MT, y las MT son análogas a los programas, se puede establecer otra analogía entre la MT universal y las computadoras.

330

5.2

CAPÍTULO

5.


Autómatas Linealmente Acotados

Este tipo de autómata es una particularización de las Máquinas de Turing en los que la cinta es finita y está acotada por los dos lados. Para ello, definen dos símbolos de cinta especiales que delimitan el principio y final de cinta. Además, la cabeza lectora no podrá ir más a la izquierda del símbolo que delimita a la izquierda, ni más a la derecha del símbolo que delimita a la derecha. Sirven para reconocer lenguajes generados por gramáticas de tipo 1, dependientes de contexto.


331

EJERCICIOS

Ejercicio

15.11

Obtener una gramática que genere el lenguaje L = {Oi1 i 2i /i ~ 1} .

Las cadenas pertenecientes a L contienen el mismo número de ocurrencias de los símbolos O, 1 Y 2. Una gramática que genera e lenguaje L es G = (~T , ~N,S, P), donde ~T = {x, y} , ~N = {S,A,B} , S es el axioma y Pes: S S BO B1

.. .... .. .... -

OBS2 012 OB 11

La gramática G no es de Tipo 1 (sensible al contexto) pues las producciones S ::= OBS2 y BO ::= OB , no cumplen la propiedad que deben cumplir las producciones de una gramática de Tipo 1. Sin embargo, todas las producciones cumplen la propiedad de no decrecimiento y por tanto, es posible transformar G en una gramática sensible al contexto. A continuación, se estudiará cómo genera G las cadenas del lenguaje L. La producción S :: = OBS2 se aplica i-l veces, de tal forma que se obtiene:

OB ...OBS2 .. 2 donde OB Y 2 aparecen i-l veces. Aplicando la producción S ::= 012 se obtiene:

OB ... OB0122 .. 2 La producción BO ::= OB se emplea para desplazar todos los símbolos O a la izquierda y los símbolos B a la derecha, con lo que se genera:

00 ... OB ... B122 .. 2

332

5 G RAMÁ TICAS

CAPÍTULO

o

y AUTÓMATAS GENERALES

Finalmente, la producción B1 ::= 11 se encarga de reducir los símbolos B, introduciendo los símbolos 1 necesarios o Enumerando las reglas de G como p1 , p2, p3 Y p4 respectivamente, se muestra a continuación la derivación de la cadena 000011112222: S

-t -t -t -t -t -t

OBS2 (p1) OBOBOBS222 (p1) 00BBOB012222 (p3) 000BBOB12222 (p3) 0000BBB12222 (p3) 0000Bl112222 (p4)

Ejercicio

OBOBS22 (p1) OBOBOB012222 (p2) 00BOBOB12222 (p3) 000BOBB12222 (p3) 0000BB112222 (p4) 000011112222 (p4)

-t -t -t -t -t -t

-t -t -t -t -t

Palabra de L

15.21

Obtener el lenguaje que genera la siguiente gramática G = (~T, donde ~T = {O, 1}, ~N = {S, A, B, C}, S es el axioma y Pes:

S

BA CA CB A B

0

0

-

00

0000

000

0

0000

0000

0000

~N ,

S, P),

BAB BC AAC AAB O 1

Aunque la gramática G no es de Tipo 1, sus producciones cumplen la propiedad de no decrecimiento, luego es posible transformarla en una Gramática Sensible al Contextoo Se denominarán p1 , p2, p3, p4, p5 Y p6 respectivamente a las reglas de G o Se verá cómo son las cadenas generadas por G mediante algunos ejemplos (se indican entre paréntesis las producciones aplicadas durante la derivación) • S -t BAB (p1) -t 101 (p5 Y p6) palabra • S -t BAB (p1) -t BCB (p2) -t BAAB (p4) -t 1001 (p5 Y p6) palabra • S -t BAB (p1) -tBCB (p2) -t BAAB (p4) -t BCAB (p2) -t BAACB (p3) -t BAAAAB (p4) -t 100001 (p5 Y p6) palabra

LENGUAJES, GRAMÁTICAS

• S ~ ~ ~

y

AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

333

~

BAB (pI) ~BCB (p2) ~ BAAB (p4) ~ BCAB (p2) ~ BAACB (p3) ~BCACB (p2) ~ BAACCB (p3) ~ BAACAAB (p4) ~ BAAAACAB (p3)~ BAAAAAACB (p3) BAAAAAAAAB (p4) ~ 1000000001 (p5 Y p6) palabra

~

Se observa que, una vez aplicada la producción pI (S ::= BAB) , se emplea la producción p2 ( BA ::= BC) para introducir un símbolo C que se va desplazando hacia la derecha con la producción p3 (CA :: = AAC), introduciendo dos símbolos A por cada símbolo Ao Finalmente, mediante la producción p4 (CB ::= AAB) se reduce la e, introduciendo dos símbolos Ao En este momento, sólo quedan los símbolos A y B en la cadena que, mediante las producciones p5 (A::=O) y p6 (B::=I), se transforman en los símbolos O y 1. Por tanto, el lenguaje generado por la gramática G es:

Ejercicio

15.31

Obtener el lenguaje que genera la siguiente gramática G = CE T , 'EN, S , P). donde 'ET = {a,b}. 'EN = {S,A,B,C}. S es el axioma y P es:

S AB AC BC BA CA CB A

B C

00-

0

0

-

00-

00-

00-

00-

0

0

0

0

-

-

0000

00-

ABCS I ABC BA CA CB AB AC BC a b

e

Observando las producciones de G, todas ellas cumplen la propiedad de no decrecimiento, luego esta gramática se podría trasformar en una gramática Tipo 1, cuyas producciones fueran sensibles al contextoo

334

CAPÍTULO

5.


Enumerando las producciones de G como pI , p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, plO Y pll respectivamente, se mostrarán a continuación algunas derivaciones que obtienen palabras generadas por G. • S ~ ABC (p2) ~ abc (p9, plO, pll) palabra • S

~

ABCS (pI)

~

ABCABC (p2)

~

abcabc (p9, pIO, pll) palabra

• S ~ ABCS (pI) ~ABCABC (p2) ~ BACABC (p3) ~ ~ bacabc (p9, pIO, pll) palabra • S ~ ABCS (pI) ~ ABCABC (p2) ~ACBABC (p5) ~ ~ acbabc (p9, plO, pll) palabra • S ~ ABCS (pI) ~ABCABC (p2) ~ ABCACB (p5) ~ ~ abcacb (p9, plO, pll) palabra Aplicando la producción S: :=ABCS sucesivas veces, se introduce la secuencia de símbolos ABC. Todos los símbolos de la cadena pueden permutarse mediante las producciones p3, p4, p5, p6 , p7 Y p8 para finalmente reemplazar los símbolos A, B Y C mediante las producciones p9, plO Y pll. Así, el lenguaje generado por G es: L={palabras con el mismo número de símbolos a, b y c}

Ejercicio

15.41

Obtener el lenguaje que genera la siguiente gramática G = donde ~T = {a}, ~ N = {S, L , D , R}, S es el axioma y Pes: S: :=LaR Da::=aaD

(~T, ~ N,

S, P),

L::=LD I A DR::=R

R::=A

La gramática G no es de Tipo I pues sus producciones no son sensibles al contexto, ni cumplen la propiedad de no decrecimiento, con lo que sólo es posible clasificar G como Tipo O. Se verán algunas derivaciones que obtienen cadenas generadas por G. Para ello, se enumeran las producciones de G como pI, p2, p3, p4, p5 Y p6 , respectivamente.


335

• S -+ LaR (pI)-+ a (p3 y p6) palabra • S -+ LaR (pI) -+ LDaR (p2)-+ LaaDR (p4)-+ LaaR (p5)-+ -+ aa (p3 y p6) palabra • S -+LaR (pI) -+ LDaR (p2) -+LDDaR (p2)-+ LDaaDR (p4)-+ -+ LDaaR (p5) -+ LaaDaR (p4)-+ LaaaaDR (p4)-+ LaaaaR (p5)-+ -+ aaaa (p3 y p6) palabra • S -+LaR (pI) -+ LDaR (p2) -+LDDaR (p2) -+LDDDaR (p2)-+ -+ LDDaaDR (p4)-+ LDDaaR (p5)-+ LDaaDaR (p4)-+ -+ LDaaaaDR (p4)-+ LDaaaaR (p5)-+ LaaDaaaR (p4) -+ -+ LaaaaDaaR (p4) -+ LaaaaaaDaR (p4) -+ LaaaaaaaaDR (p4)-+ -+ LaaaaaaaaR (p5) -+ aaaaaaaa (p3 y p6) palabra Se observa que, una vez aplicada la producción pI (S ::= LaR) , la producción p2 (L ::= LD) se emplea para introducir varias veces el símbolo D en la cadena. Los símbolos D se desplazan hacia la derecha empleando la regla p4 (Da :: = aaD) , a la vez que, por cada símbolo a, se introducen dos símbolos a. Los símbolos D se reducen mediante p5 (DR :: = R). Por último, los símbolos L y R se reducen con p3 (L ::= ).) y p5 (R ::= ).). ASÍ, el lenguaje generado por G es:

Ejercicio

15.51

Se dispone de una cinta en la que hay un número m de 1s seguido de un número n 2: m de As. Se desea definir una Máquina de Turing que cambie las primeras m As por Ss. Se supone que la cabeza de la cinta inicialmente está en el 1 más a la izquierda. Se puede definir la Máquina de Thring de la siguiente forma: MT = ({b, 1, A, B}, {b, 1, A}, b, {qO , ql, q2}, qo, ¡, {qo})

donde

336

CAPÍTULO

f qo ql q2

5.

1 ql bD qtlD q2 1I


A q2 B1

B qoBP ql BD q2 B1

b

qobD

El estado qo se encarga de cambiar un 1 por un blanco, para llevar la cuenta de las As que cambia, y transitar al estado ql. Si se encuentra con una B, es que ha cambiado m As ya, con lo que termina. El estado ql busca la primera A y la cambia por B, pasando al estado q2. El estado q2 se encarga de buscar el primer 1 (a la derecha del primer blanco), y pasar al estado qo.

Ejercicio

15.61

Dado el AFD de la figura adjunta, obtener el Autómata de Células de McCulloch-Pitts equivalente, el lenguaje aceptado y la Máquina de Turing que reconoce el mismo lenguaje.

El Autómata de Células de McCulloch-Pitts, se obtiene en tres pasos. En el primero, se crean las células intermedias y se unen las entradas con ellas. En el segundo paso, se unen las células entre sí de acuerdo a las transiciones del AFD. En el último paso, se crean las células inicial y final y se unen al resto. Esto se muestra en las figuras 5.2, 5.3, y 5.4. Para obtener el lenguaje aceptado por el AFD, se definen las ecuaciones características y se resuelven.


337

@

--89 @

a

®

b

@ ~@ Figura 5.2: Paso inicial de construcción del Autómatas de Células.

Xo

=

Xl

=

X2 Como Xo

= Xl = X2, Xo = bxo

+ b + aX2 bXI + b + aX2 bXI + b + aX2 bXI

se obtiene

+ b + axo =

(a

+ b)xo + b =

(a

+ b)*b

que es la expresión regular del lenguaje aceptado por el autómata. Por último, la Máquina de Thring que acepta este lenguaje se puede construir de la siguiente forma, donde se cambia la b de entrada por una B para diferenciarla del símbolo b que representa al blanco de la cinta.

MT = ({b, a, B}, {a, B}, b, {qO,ql}, qo, ¡, {qt}) donde

¡

a

B

qo ql

qoaD qoaD

qlBD qlBD

b qobP qlbP

338

a

CAPÍTULO

5. GRAMÁTICAS

y AUTÓMATAS GENERALES

-----------------.-----1-+~

b------------+-~~=========H~

Figura 5.3: Paso intermedio de construcción del Autómatas de Células.


@J ~I

a

a

~I

2

'lo

2

qJ b

:®-

b

~

~@~

1

~ ~

2

q2

~,

Figura 5.4: Autómatas de Células final.

339

340

CAPÍTULO

5.


Esta Máquina de Thring sólo aceptará la palabra de entrada si termina en el estado ql , que es el correspondiente a haber leído una B como último símbolo.

Ejercicio

15.71

Construir una Máquina de T uring que compruebe si dos palabras de entrada del lenguaje formado por el alfabeto ~ = {O, 1, 2} son iguales. Las dos palabras estarán separadas por el símbolo #. Así, una posible cinta de entrada sería:

··· l bI211101#121110Ibl···

Se va a suponer que la cabeza de lectura comienza en el símbolo más a la izquierda de la palabra más a la izquierda. Una posible Máquina de Thring que realiza esta tarea sería: MT = ({O, 1,2, *, b, #} , {O, 1,2, #}, b, {p , q, r, s, t, u, v, x, a, n} , p, j, {a}) donde j será: j

p q

r s t u v x a n

O q*D qOD rOD sOD x*I nOP nOP xOI

1

r *D qlD rlD slD nlP x*I n1P xlI

2 s *D q2D r2D s2D n2P n2P x*I x2I

#

*

a#P t#D u#D v#D

p*D

x#I

hD u*D v *D x*I

b

nbP nbP nbP pbD

Se ha incluido el símbolo de cinta * para marcar aquellos símbolos de entrada que ya se han leído. El significado de los estados es el siguiente:

LENG UAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁ CTICO

341

• p: busca el primer símbolo de la primera palabra que todavía no ha sido equiparado con la segunda palabra. Si es un O, lo marca (escribe un * en lugar del O) y transita al estado q. Si es un 1, hace lo mismo y transita al estado r , y si es un 2, hace lo mismo y transita al estado s. Si se encuentra con el símbolo de separación de las dos palabras de entrada, # , significa que las dos palabras son iguales, con lo que transita al estado de aceptación a y se para. • q: se mueve hacia la derecha hasta encontrar el símbolo que delimita las dos palabras, #. Entonces, transita al estado t. • r y s: hacen lo mismo que q, pero teniendo en cuenta que tienen que encontrar un 1 (ó un 2) , y transitan a los estados u y v, respectivamente. • t : comprueba si el primer símbolo de la segunda palabra que todavía no se ha equiparado es un O. Si es así, lo cambia por un * y transita

al estado x. • u y v: realizan la misma labor que el t , pero para los símbolos 1 y 2 respectivamente. • x: busca el primer blanco hacia la izquierda y transita al estado

busca del siguiente símbolo a equiparar. • a: estado de aceptación

• n: estado de no aceptación

p en

Capítulo

6

APLICACIONES

En este capítulo se van a estudiar algunas aplicaciones de la teoría de lenguajes, gramáticas y autómatas a la resolución de problemas desde un punto de vista informático. Así, se estudiarán ejemplos de utilización en la construcción de compiladores y de analizadores del lenguaje natural.

6.1

Construcción de compiladores

La construcción de compiladores de lenguajes de programación de alto nivel se suele realizar utilizando tanto Autómatas a Pila como Autómatas Finitos. Las fases y etapas más usuales que conforman un compilador son:

• Análisis: esta fase realiza una comprobación de si el programa fuente, cumple con las reglas de la gramática del lenguaje de programación. Normalmente, se suele dividir en tres etapas: A nálisis léxico: lee el fichero fuente e identifica cuáles son los elementos básicos del análisis, denominados tokens, como, por ejemplo, los identificadores, los símbolos de puntuación, las palabras reservadas, los números, etc. Esta etapa se suele realizar por medio de un Autómata Finito, ya que el lenguaje que describe a los elementos básicos se puede reducir a un Lenguaje Regular.

343

344

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Análisis sintáctico: toma como entrada los tokens y comprueba que la secuencia completa de todos los tokens como palabra forma parte del lenguaje de la gramática que describe al lenguaje de programación. A tales efectos, a los tokens se les considera los símbolos terminales de la gramática, y a la secuencia de tokens la palabra de entrada. Este tipo de análisis se realiza por medio de Autómatas a Pila, debido a que la gramática suele ser de contexto libre. Análisis semántico: se encarga de comprobar que el programa fuente, además de cumplir con las reglas sintácticas de la gramática, también cumple las reglas semánticas. Por ejemplo, si una variable ya ha sido declarada cuando se utiliza, o si en una operación numérica todos los operandos son de tipo numérico. Debido a que este tipo de análisis necesita tener en cuenta al contexto, no es posible realizar el análisis con gramáticas de tipo 2 ó 3, por lo que hay que utilizar gramáticas menos restrictivas.

• Generación de código: una vez que el análisis ha sido correcto, los compiladores deben generar código en el lenguaje destino. Para ello, se recurre a las estructuras generadas durante la fase de análisis, como, por ejemplo, los árboles de derivación, para generar el código. A continuación, se describirá un ejemplo de análisis léxico y sintáctico para una sentencia while de un imaginario lenguaje de programación, análoga a la que aparece en muchos lenguajes de programación. Esta sentencia consta de tres partes, con la siguiente sintaxis: while definición de variables condición de fin cuerpo

• Definición de variables: será una lista que contendrá una sublista por cada tipo para el que existan variables. Sólo se tratarán aquí los tipos entero y booleano. La sintaxis será (m ::; 2): ( (tipol variablel variable2 (tipo2 variablel variable2

variablen ) variable¡)

(tipom variablel variable2 ... variablek))


345

• Condición de fin: se podrán utilizar las conectivas and, or y not o Las dos primeras conectivas podrán unir varias condiciones. La sintaxis será: (condición! and condición2 and ... and condiciónn ) (condición! or condición2 or ... or condiciónn) (not condición)

Las condiciones podrán ser: otras condiciones unidas por and, or y not; variables de tipo booleano; o expresiones de comparación numérica. Las expresiones de comparación podrán ser, donde operador podrá ser <, > ó =: (expresión! operador expresión2)

Las expresiones podrán ser: la suma (+) o multiplicación (*) de dos expresiones; una variable entera; o un número entero .

• Cuerpo: estará formado por una sentencia cif (sentencia con estructura de case). Esta sentencia toma una expresión (que podrá ser booleana o numérica) y, dependiendo del resultado, tendrá dos formas: Si es booleana: la condición tendrá la misma sintaxis que las condiciones del while definidas anteriormente. La sintaxis será: cif condición

(true asignaciones) (f al se asignaciones)

Si es numérica: si el número resultado de la ejecución de la expresión coincide con el primer elemento de alguna de las listas, se ejecutarán las asignaciones que vengan a continuación de ese número en la lista. Si no coincide con ningún número, se ejecutarán las asignaciones que aparezcan en el elemento denominado sino, que siempre tiene que aparecer. La sintaxis será: cif expresión

(número : asignacion es)* (sino: asignaciones)

346

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Las asignaciones tendrán la siguiente sintaxis, donde asignación podrá ser numérica o booleana (ambas con sintaxis definidas anteriormente): (variable := asignación)+

U n ejemplo de esta sentencia while será la siguiente expresión El: while «entero i j k) (booleano exito)) «i > j * 3) or (not exito) or (exito and (k + 1 cif i + j

i

*

j)))

(2 (j : = i*2))

(O (i := i +1) (exito:= (i (sino (j := i*k))

j)))

A continuación, se describirá un analizador léxico que reconozca los elementos básicos del lenguaje fuente, tokens, y un analizador sintáctico que permite comprobar si el programa fuente cumple con las reglas de la gramática.

6 .1.1

Analizador Léxico

Para la construcción del analizador léxico hay que describir cuáles serán los elementos básicos que pueden aparecer como símbolos terminales de la gramática del lenguaje. Se pueden identificar los siguientes tipos de elementos, por ejemplo: • Palabras reservadas del lenguaje: while, booleano, entero, and, or, not, cif, true, false, y sino • Operadores numéricos: + y • Operadores de comparación:

* <, > y

=

• Signos de puntuación: ( y ) • Otros: identificadores (id), números (num), y asignación (:=).


347

Estos elementos serán la salida del analizador léxico. Como los Autómatas Finitos no generan una salida (más que un sí/no se reconoce la palabra de entrada), se tienen que modificar para que, una vez reconozcan uno de estos elementos, generen en la salida el elemento que han reconocido. Así, si reconocen el nombre de un identificador, generen una salida que informe que se ha reconocido un identificador junto al nombre del identificador reconocido. Es por ello, que habrá un estado final por cada tipo de elemento. En cuanto a la entrada al Autómata Finito será el fichero que contiene el programa fuente, con lo que hay que tener en cuenta todos los caracteres (que serán los símbolos terminales de la Gramática Regular) que pueden aparecer en ficheros de ese lenguaje de programación. Para simplificar el ejemplo, no se considerarán otros caracteres a los que ya han aparecido, como, por ejemplo, comentarios, otros signos de puntuación (.,;, ... ), etc. También se supondrá que los identificadores deben comenzar por una letra y contener dígitos, letras o guiones, y que los números sólo serán los naturales. Teniendo en cuenta lo anterior, una posible gramática para el Autómata Finito podría ser:

donde

ET = {a .. z , A•• Z , O•. 9, ( , ) , <, >, =, +, * , : , =, - , #} (# representa al espacio en blanco) vi E N = {R" W W' B B' "W" W"' " , B" , B"' , Biv , BV , B "E E' , E" , E"' , Eiv "A A' , O,N,N',C,C',T,T',T" ,F,F',F" ,F"' ,8,8',8" ,I,M,D} yP:

°

Ib B Ie E Ia A Io In N Ic C It T If F Is 8 I+ I ~ I < I > I = I ( I ) I al I ... I z 1 I Al I ... I Z 1 10M l··· 19M I al· .. I z I Al· .. I Z I 01 ... I 9 I : D

R

::= w W

W W' W" W'"

::=hW' ::=iW" ::=IW'" ::= e

348

CAPÍTULO

B B' B" B'" B iv BV B vi

.. - O B ' .. - O B" .. - 1 B'" ::= e B iv ::= a B V

E'" Eiv A

::= r

A' O N N' C

:: = d ::= r

6.

APLICACIONES

::= n B vi

::= o E ::= nE' E' ::= t E" E" ::= e E'"

C' T T' T" F F'

F"

::= o ::=

::=

nA'

oN'

::= t ::= i C' ::= f ::= r

::= ::= ::= ::= ::=

F'" ::=

S

Eiv

::=

S' ::= S" ::= 1 ::=

T'

u T" e a F' 1 F" s F'" e i S' n S" o a 1 I b 1 I ...

I z 1 I A 1 I ... I Z 1 I O1 I 11 I ... I 9 1 I a I b I .. . I z I AI .. ·IZIOI11 .. ·19 M ::= OMil MI ... 19M I OI 1 I ... I 9 D

.. _-


349

Como se puede observar, la gramática es grande, pese a que sólo contempla una pequeña parte de un lenguaje de programación. U na solución que se suele tomar para compactar esta gramática consiste en introducir el reconocimiento de las palabras reservadas como identificadores y, una vez leído cada identificador, comprobar si es una palabra reservada. Así se ahorran muchas producciones y símbolos no terminales.

A continuación, se podría pasar de la gramática lineal por la derecha al autómata que la reconoce, utilizando los algoritmos estudiados en el capítulo 3. Así, el autómata sería:

donde Zi ti. ¿; N son nuevos estados que representan el reconocimiento de los distintos elementos. En esto difiere del procedimiento estudiado en el capítulo 3, ya que anteriormente sólo se generaba un nuevo estado. Ahora, como es necesario distinguir los diferentes elementos, para su tratamiento separado, hay que crear tantos estados finales como elementos pueda haber. Así, por ejemplo, Zl es el estado que reconoce el operador numérico +, Z2 reconoce el operador numérico *, Z8 reconoce los identificadores, Zg los números, Y ZlQ la palabra reservada vhile .

En cuanto a fes:

r

350

CAPÍTULO

f(R,w) = W f(R, b) = B f(R,e) = E f(R,a) = A f(R,o) = O f(R,n) = N f(R,c) = G f(R, t) = T f(R,f) = F f(R,s) = S f(R,+)=Zl f(R, *) = Z2 f(R, <) = Z3 f(R,»=Z4 f(R, =) = Z5 f(R,O = Z6 f(R , )) = Z7 f(R,a) = 1 f(R,z) = 1 f(R,A) = 1 f(R,Z)=1

f(R,9) = Zg f(R,:) = D f(W,h) = W' f(W', i) = W" f (W", l) = W'" f(W"', e) = ZlO f(B,o) = B' f(B', o) = B" f(B", l) = B'"

f(B Vi , o) = Zn f(E,n) = E' f(E', t) = E" f(E", e) = E'" f(E''', r) = Eiv f(E iv , o) = Z12 f(A,n) = A' f(A', d) = Z13 f(O , r) = Z14 f(N,o) = N' f(N', t) = Z15 f(G,i) = G' f(G', f) = Z16 f(T,r) = T' f(T', u) = T" f(T", e) = Z17 f(F, a) = F' f(F', l) = F" f(F", s) = F'" f(F"', e) = ZlB

f(B"', e) = B iv f(B iv , a) = B V f(BV, n) = B vi

f(S, i) = S' f(S', n) = S" f(S", o) = Z19

f(R,O) = M f(R,9) = M f(R,a) = ZB f(R,z) = ZB f(R, A) = ZB f(R, Z) = ZB f(R , O) = Zg

6.

APLICACIONES

f(1,a) = 1 f(1,z) = 1 f(1,A) = 1 f(I, Z) = 1 f(I,O) = 1 f(1,9) = 1 f(I, a) = ZB f(I, z) = ZB f(I,A) = ZB f(I, Z) = ZB f(I, O) = ZB f(I,9) = ZB f(M,O) = M

f(M,9) = M f(M, O) = Zg f(M , 9) = Zg f(D , =) = Zg

El autómata resultante es no determinista, ya que, por ejemplo, para el estado R (estado inicial) y la entrada w, transita a dos estados diferentes: W , para reconocer la palabra while; e 1, para reconocer identificadores que comienzan por la letra w. Por los algoritmos estudiados anteriormente se puede pasar fácilmente de este AFND a su AFD equivalente. Esto se deja como ejercicio para el lector.

LENGUAJES, GRA MÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFOQUE PRÁCTICO

6.1.2

351

Analizador Sintáctico

Una vez construido el analizador léxico 1 , se va a estudiar cómo se puede construir un analizador sintáctico. Al igual que antes, se va a utilizar la teoría de lenguajes, gramáticas y autómatas, esta vez empleando las gramáticas de tipo 2 y sus autómatas equivalentes: los Autómatas a Pila. Una posible gramática sería:

donde ~T

= {while, (,) , id, booleano ,entero ,and,or ,not, <, >, =, +, * ,num, eif,true,false,:=,sino} , que corresponden a los elementos que reconoce el analizador léxico

~N

= {W,V,V',V" ,T,e,e',e" ,R ,E ,B ,A , A ', N}

y P:

W ::= while V V ::= (V' )

eB

T V" ) V' I >.

V'

::= (

V"

::=

T

::=

e e' e"

::= ::=

id V" I id booleano I entero ( e and e' ) I ( e or e" ) e and e' I e e or e" I e

R E B A A' N

::=

< I> I=

::=

E+E

::=

I E * E I id I num

I(

::= eif e ( true A ) ( false A ) ::= ( id := A' ) A id := A' )

I(

le

::= E ::= ( num A ) N

I(

not e )

I eif

I id I ( E RE)

E N

sino A )

1 Para construir compiladores más eficientes, normalmente se suelen realizar las dos etapas en paralelo, de forma que cuando el analizador sintáctico necesita el siguiente símbolo de entrada (los tokens que reconoce el analizador léxico), le pide al léxico cuál es, y el léxico le devuelve el siguiente que pueda reconocer.

352

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Esta gramática hay que ponerla en FNG para poder construir un AP por vaciado de pila a partir de ella. Por cada producción que no esté en FNG, es necesario convertirla a este formato. Así, la primera producción está en FNG, pero la segunda no, ya que el símbolo ) está en una posición que no es la primera de la parte derecha. Para resolver dicho problema, se genera un nuevo símbolo no terminal, P, se sustituye por el paréntesis de cierre en dicha producción, y se genera una nueva producción, quedando: V ::= (V' P P ::=)

Además, como V' lleva a A, es necesario eliminar dicha regla no generativa, quedando: V ::= ( V ' P

P

I(P

::= )

Los mismos pasos habría que efectuar en las producciones de V', generando:

V'

::= (

T V" P V'

I(T

V" P

Las producciones de V" y T están en FNG, por lo que no es necesario convertirlas. Las de e no lo están, por lo que, al transformarlas, quedarán: C ::= ( C D D ::= and 0::= or G ::= not

e' P I ( e o e"

P

I ( G epI

id

I(E

RE P

Ni las producciones de e' ni las de e" están en FNG , debido a que tienen símbolos terminales que no están en la primera posición, y, además, no comienzan por símbolos terminales. Sustituyendo e y los símbolos terminales, quedaría:

e' ,,- ( e D e' e"

P D e' I ( e o e" P D e' I ( G e P D e' I id D e' ( E R E P D e' I ( e D e' P I ( e o e" P I ( G epI id (EREP :: = ( e D e' P o e" I ( e o e" P o e" I ( G e P o e" I id o e" ( E R E P o e" I ( e D e' P I ( e o e" P I ( G epI id (EREP

353


Las producciones de R están en FNG , pero las de E son recursivas por la izquierda, con lo que habría que eliminar la recursividad y convertirlas a FNG. Al eliminar la recursividad, quedarían: E ::= id E ' I num E' E' ::= + E E' I * E E'

I );

Se puede eliminar la regla no generativa E::=A, quedando: E ::= id E' I num E' I id I num E' ::= + E E' I * E E' I + E I * E En las producciones de B, A, Y N habría que eliminar los símbolos terminales en posiciones que no sean la primera, generando: B ::= eif e P' U ::= true P' ::= (

u A P P' F A P I eif E N

F ::= false

A ::= ( 1 S A' P A 1

I ( 1 S A'

P

::= id

S ::= := N ::= ( M A P N M ::= num H ::= sino

I(H

A P

En el caso de la producción de A', hay que sustituir E y respectivas producciones, quedando:

A' ::= id E'

I num E' I ( e D e'

P

I(e

° e" P I ( G epI

e

id

por sus

I(E

RE P

Por lo tanto, la gramática equivalente en FNG sería:

donde

L.N =

{W,V,P,V',V" ,T,e,D,O,G,e',C" ,R,E,E',B,U,P',F,A,I,S,N,M,H,A'}

yP':

354

W V P V'

CAPÍTULO 6. APLICACIONES

::= while ::= ( V ' P ::=) ::= (

T V" P V'

V " ::= id V "

T

VCB I(P

I(T

V" P

I id I entero C' P I ( C O C"

::= booleano

C ::= ( C D D

::= and

O G C'

::= or

R

::= < I > 1=

P

I ( G C P I id I ( E R E P

::= not

C D C' P D C' I ( C O C" P D C' I ( G C P D C' I id D C' ( E R E P D e' I ( C D C' P I ( e O C" P I ( G epI id (E RE P C" ::= ( C D C' P O C" I ( C O C" PO C" I ( G C PO C" I id O e" ( E R E P O C" I ( C D C' P I ( C O C" P I ( G C P I id (EREP ::= (

E ::= id E' I mm E' I id I num E' ::= + E E' I * E E' I + E I * E B ::= cif C P ' U A P P ' F A P I cif E N U ::= true P ' ::= ( F ::= false A ::= ( 1 S A' P A I ( 1 S A' P 1 ::= id S .. .N ::= ( M A P N I ( H A P M ::= num H ::= sino A' ::= id E' I num E' I ( C D C' P -

I ( C O C"

P

I ( G C P I id I ( E R E P

A continuación, se define el Autómata a Pila que reconoce el lenguaje generado por la gramática. Se va a construir por estado final.

donde


•r=

I;T U I;~ U

{Ao};

355

y

• f:

f (qO , A, Ao) = {ql, W Ao} f(ql , A,W) = {(ql ,vhile V C B)} f(ql , A,V) = {(ql,( V' P),(ql,( P)} f(ql,A ,P) = {(ql,))} f(ql , A,V' ) = {(ql ,( T V" P V'),(ql , ( T V" P)} f(ql , A,V") = {(ql,id V"),(ql,id)} f(q¡, A,T) = {(ql ,booleano) , (q¡,entero)} f(q¡,A,C) = {(ql,( C D C' P) ,(ql,( C O C" P),(ql,( G C P), (ql,id),(ql,( E R E P)} f(q¡, A,D) = {(q¡ ,and)} f(q¡, A,O) = {(q¡ ,or)} f(q¡, A,G) = {(q¡ ,not)} f(ql , A,C') = {(q¡ ,( C D C' P D C'),(ql,( C O C" P D C') , (ql , ( G C P D C'),(ql,id D C'),(ql, ( E R E P D C'), (ql ,( C D C' P),(ql,( C O C" P) ,(ql ,( G C P), (ql ,id) ,(ql,( E R E P)} f(ql,A,C") = {(ql,( C D C' P O C"),(ql,( C O C" PO C"), (ql ,( G C P O C") ,(ql ,id O C" ),(ql ,( E R E PO C" ), (ql,( C D C' P),(ql,( C O C" P),(ql,( G C P), (ql ,id) ,(ql ,( E RE P)} f(ql,A ,R) = {(ql,<) , (ql ,», (ql,=)} f(ql, \E) = {(ql,id E') ,(ql,num E') ,(ql ,id) ,(ql ,num)} f(ql, A,E') = {(ql,+ E E'),(ql,* E E' ),(ql,+ E) ,(ql,* E)} f(ql , A,B) = {(ql ,cif C P' U A P P' F A P),(ql ,cif E N)} f(ql , A,U) = {(ql,true)} f(ql, A,P') = {(ql,()} f(ql , A,F) = {(ql ,false)} f(ql, A,A) = {(ql,( 1 S A' P A),(ql,( 1 S A' P)} f(ql , \1) = {(ql ,and)} f(ql, A,S) = {(ql ,and)} f(ql , A,N) = {(ql,( M A P N) ,(ql ,( H A P)} f(ql, A,M) = {(ql,num)} f(ql , A,H) = {(ql ,sino)} f(ql, A,A' ) = {(ql,id E'), (ql ,num E'),(ql ,( C D C' P) , (ql ,( C O C" P),(ql,( G C P),(ql,id),(ql,( E R E P)}

sd

356

CAPÍTULO 6. APLICACIONES

f(ql,vhile, vhile) = {(ql , A)} f(ql, (, O = {(ql, A)} f(ql,),)) = {(ql, A)} f(ql, id, id) = {(ql,A)} f(ql , booleano, booleano) = {(ql, A)} f (ql, entero, entero) = {( ql , A)} f(ql, and, and) = {(ql, A)} f(ql,or,or) = {(ql,A)} f(ql, not, not) = {(ql, A)} f(ql, <, <) = {(ql, A)} f (ql, >, » = {( ql, A)} f(ql, =, =) = {(ql, A)} f (ql, l,]) = {( ql , A)} f(ql , *,*) = {(ql,A)} f(ql,num,num) = {(ql,A)} f(ql, cif, cif) = {(ql, A)} f(ql, true, true) = {(ql, A)} f(ql, false, false) = {(ql , A)} f(ql , :=, :=) = {(ql , A)} f(ql, sino, sino) = {(ql, A)} f(ql,A,A o}) = {(q2,A o)}

Este es un Autómata a Pila No Determinista, lo que significa que el análisis de las palabras de entrada (sentencias vhile del lenguaje de programación) no tiene por qué seguir un único camino de análisis. Así, si se está en la descripción instantánea: (ql, (. .. ), V C B Ao) el autómata podría realizar dos movimientos:

• (ql,(. . . ),V C BAo) f- (ql,(. .. ),T V" P V' C BAo)

• (ql, (. .. ) ,V C B Ao) f- (ql, (. .. ), T V" P C B Ao)


357

Por esto, como se comentó en los ejercIcIOs del capítulo 4, se suele sacrificar el hecho de que la gramática esté en FNG por que se pueda realizar un análisis determinista de las palabras de entrada. Para ello, no se permite que las partes derechas de dos producciones del mismo símbolo no terminal comiencen por el mismo símbolo terminal. 2 Así, el problema anterior de no determinismo de las transiciones del símbolo V son debidas a que se tienen las dos producciones:

V::= ( V' P

I(P

que comienzan por el mismo símbolo terminal, (. Para resolver este problema se recurre a la factorización a izquierdas, estudiada en el capítulo 2. Este algoritmo tranforma las reglas anteriores en: V ::= (VI VI ::= V' PI P

Este proceso debería realizarse para todas las producciones en las que ocurra lo mismo. El precio que se paga es que pueden aparecer reglas no generativas, (A -+ A, A E ~N, A no es el axioma), pero eso no presenta dificultades para la contrucción de determinados analizadores sintácticos.

6.2

Análisis del lenguaje natural

La tecnología de los Autómatas Finitos se aplica con éxito en la resolución de algunas tareas de un sistema de procesamiento del lenguaje natural. U na de estas tareas es la desambiguación morfológica consistente en averiguar cuál es la categoría gramatical (nombre, verbo, adjetivo, etc.) de una palabra en una oración. U na misma palabra puede tener varias categorías gramaticales y por ello es necesario un proceso de desambiguación el cual puede llevarse a cabo utilizando reglas sintácticas, semánticas, o conocimiento estadístico. Ejemplos en castellano de palabras ambiguas son: como (verbo y adverbio), vino (verbo y nombre), sobre (nombre y preposición), ante (nombre y preposición), viaje (verbo y nombre). A continuación se estudiará de manera muy simplificada cómo es posible resolver con un gran grado de satisfacción este problema utilizando Autómatas Finitos Probabilísticos. 2Existe otra restricción que no se estudiará aquí y que se puede consultar en cualquier libro que explique cómo construir compiladores.

358

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Supóngase el siguiente conjunto de categorias gramaticales: determinante, nombre, verbo, pronombre y preposición. La siguiente tabla muestra las probabilidades de transición entre estas categorías, es decir, las probabilidades de que las categorías sigan a otras en la oración.

determinante nombre verbo pronombre preposición

determinante

nombre

verbo

pronombre

preposición

0.1 0.1 0.3 0.1 0.2

0.6 0.1 0.2 0.1 0.3

0.1 0.4 0.1 0.4 0.2

0.1 0.1 0.1 0.1 0.2

0.1 0.3 0.3 0.3 0.1

Por ejemplo, la probabilidad de que, dada la categoría determinante, la siguiente categoría en la oración sea un nombre es:

P(nombreldeterminante) = 0.6 Estas probabilidades definen un Modelo de Markov equivalente a un Autómata Finito Probabilístico No Determinista, donde los estados del autómata están representados por las categorías gramaticales. También son necesarias las probabilidades de que las palabras tengan una determinada categoría. Por ejemplo, la palabra "pregunta" puede ser nombre o verbo y sus probabilidades extraídas de textos previamente analizados son:

P("pregunta"lnombre) = 0.4 P( "pregunta" lverbo) = 0.6 Y O para el resto de las categorías gramaticales. Del mismo modo, se requiere también la probabilidad de que una determinada categoría sea el comienzo de una oración. Por ejemplo, la probabilidad de que la oración esté encabezada por un determinante es

P(determinante) = 0.4 La siguiente formula es una aproximación del Teorema de Bayes que combina la información contextual de las categorías gramaticales (transición entre categorías) y la frecuencia de aparición de las palabras con determinadas categorias. Si se tiene en la entrada una oración 7r = P1 P2 ... Pn , formada por las palabras Pi , se puede definir la probabilidad de encontrarse ante la secuencia de categorías gramaticales dada esa oración de entrada, como:

LENGUA J ES, GRAMÁTICAS y A UTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁ CTICO

359

donde E es la secuencia de categorías gramaticales que representa a la oración, ei son las categorías gramaticales, y n es el número de palabras de la oración. Para resolver el problema, hay que buscar la secuencia de categorías que maximice la fórmula anterior. Este proceso se puede resolver utilizando un esquema de programación dinámica. A continuación se verá el proceso de desambiguación para la oración "el profesor pregunta a una alumna" dadas la probabilidades de transición de la tabla anterior así como las siguientes probabilidades: P ( "el" Ideterminante) = 1 P ( "profesor" Inombre) = 1 P ("pregunta" Inombre) =0.4 P ( "pregunta" Iver bo ) =0.6 P ( " a" Ipreposición) = 1 P ( "una" Ideterminante) =0 .6 P( "una" Ipronombre) =0.4 P( "alumna" Inombre)=l P (determinante) =0.3 P(nombre)=0.2 P(verbo)=O.l P (preposición) =0.2 P (pronombre) =0.2 La asignación de categorías a las palabras de la oración es: el determinante

profesor nombre

pregunta nombre verbo

a preposición

una determinante pronombre

alumna nombre

Debido a que las palabras "pregunta" y "una" son ambiguas, existen cuatro posibles combinaciones de etiquetas. La secuencia más probable de etiquetas para esta oración será la que maximice la formula anterior.

sd

360

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

• Primera posibilidad.- Determinante nombre nombre preposición determinante nombre

P(EIP)

P(determinante) xP( "el" Ideterminante) x x P (nombre Ideterminante) x P ( "profesor" Inombre) x x P (nombre Inombre) x P ( "pregunta" Inombre) x x P (preposición Inombre) xP( "a" Ipreposición) x x P (determinante Ipreposición) x x P ( "una" Ideterminante) x P (nombre Ideterminante) x x P("alumna" Inombre) = 0.3 x 1 x 0.5 x 1 x 0.1 x 0.4 x 0.3 x 1 x 0.3 x x 0.6 x 0.5 x 1= 0.000162

• Segunda posibilidad.- Determinante nombre verbo preposición determinante nombre

P(EIP)

P(determinante) xP("el" Ideterminante) x x P (nombre Ideterminante) x P ( "profesor" Inombre) x x P (ver bo Inombre) x P ( "pregunta" Iver bo ) x x P(preposiciónlverbo) xP( "a" Ipreposición) x x P(determinantelpreposición) x x P ( "una" Ideterminante) x P (nombre Ideterminante) x x P ("alumna" Inombre ) = 0.3 x 1 x 0.5 x 1 x 0.4 x 0.6 x 0.3 x 1 x 0.3 x x 0.6 x 0.5 x 1= 0.000972


361

• Tercera posibilidad.- Determinante nombre nombre preposición pronombre nombre

P(EIP)

P (determinante) x P ( "el" Ideterminante) x x P (nombre Ideterminante) x P ( "profesor" Inombre) x x P (nombre Inombre) x P ( "pregunta" Inombre) x x P (preposiciónl nombre) x P ( "a" Ipreposición) x x P (pronombre Ipreposición) x P ( "una" Ipronombre ) x x P(nombrelpronombre) xP("alumna" Inombre) = 0.3 x 1 x 0.5 x 1 x 0.1 x 0.4 x 0.3 x 1 x 0.2 x x 0.4 x 0.1 x 1= 0.0000144

• Cuarta posibilidad.- Determinante nombre verbo preposición pronombre nombre

P(EIP)

P (determinante) x P ( "el" Ideterminante) x x P (nombre Ideterminante) x P ( "profesor" Inombre) x x P(verbolnombre) xP( "pregunta" Iverbo) x x P (preposición Iver bo ) x P ( "a" Ipreposición) x x P (pronombre Ipreposición) x P ( "una" Ipronombre) x x P (nombre Ipronombre) xP("alumna" Inombre)= 0.3 x 1 x 0.5 x 1 x 0.4 x 0.6 x 0.3 x 1 x 0.2 x x 0.4 x 0.1 x 1= 0.0000864

De las cuatro posibilidades, es la segunda la que tiene la probabilidad mayor (0.000972) luego esa es la combinación de etiquetas que se asigna a la oración. Otra de las aplicaciones más interesantes de los Autómatas Finitos al tratamiento automático del lenguaje la constituyen los analizadores sintácticos parciales utilizados en la extracción de información a partir de grandes volúmenes de textos. Su importancia estriba en el hecho de que, en muchos casos, es suficiente detectar determinados segmentos en el texto para localizar información prometedora. A continuación se expondrá un Autómata Finito capaz de reconocer sintagmas nominales simples a partir de una secuencia de etiquetas o categorías morfológicas, similares a las utilizadas en el ejemplo anterior.

362

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Se denominará sintagma nominal simple a aquél que no incluye otro tipo de sintagmas. Por ejemplo, "la niña" es un sintagma nominal simple mientras que "la niña de la casa" es una sintama nominal que incluye un sintagma preposicional. Sólo se tratarán en este ejercicio un subconjunto de los sintagmas del primer tipo. Para simplificar el problema, no se tendrá en cuenta la comprobación de la concordancia de género y número entre los constituyentes de un sintagma. El alfabeto de entrada del autómata lo forman las categorías: determinante, nombre, posesivo, adjetivo, cuantificador _todo, cuantificador _pronominal, cuantificador _nopronominal, pronombre_personal, demostrativo y ordinal. Algunas palabras correspondientes a estas categorías son: determinante (la, los, las, el, un, una) nombre (profesor, alumno, clase, ... ) posesivo (su, sus, tu, tus, mi, mis) adjetivo (alto, bajo, grande, ... ) cuantificador _todo (todo, toda, todas, todos) cuantificadoLpronominal (alguno, algunas, muchos, pocas, otros, ...) cuantificador Jlopronominal (ciertas, distintas, poco, poca, varias, ... ) pronombre_personal (yo, tu, el, nosotros, ... ) demostrativo (este, esta, esa, ... ) ordinal (primer, tercer, ... ) cardinal (uno, dos, tres, ... ) Algunos ejemplos de secuencias que debe ser capaz de reconocer son: pronombre_personal determinante nombre cuantificador Jlopronominal nombre cuantificador _pronominal cuantificadoLtodo posesivo nombre nombre adjetivo determinante nombre adjetivo posesivo nombre demostrativo ordinal nombre demostrativo cardinal nombre La siguiente Gramática Regular G = (~T, ~N, S, P) describe un subconjunto de los sintagmas nominales simples, donde:


~T

=

363

{determinante, nombre, posesivo, adjetivo, cuantificadoLtodo, cuantificador _pronominal, cuantificador _nopronominal, pronombre_personal, demostrativo, ordinal, cardinal}

~N =

{S, A, B, C, D, F}

Y el conjunto de producciones P:

S··= demostrativoA I posesivoA I determinanteA I cuantificador_todoB I nombreF I cuantificador_todo I cuantificador_pronominal I cuantificador_nopronominalC pronombre_personal B··= posesivoA I determinanteA demostrativoA demostrativoC I posesivoC determinanteC A··= ordinalC I cardinalC C··= adjetivoD I nombreF I nombre D··= nombre F··= adjetivo El autómata finito equivalente se muestra en la figura 6.1 Por ejemplo, sintagmas reconocidos por el autómata anterior son: todos los alumnos::::} cuantificadoLtodo determinante nombre algunas casas bajas::::} cuantificadoLnopronomiI).al nombre adjetivo las primeras personas ::::} determinante ordinal nombre todas sus segundas opciones::::} cuantificadoLtodo posesivo ordinal nombre aquellas clases interesantes ::::} demostrativo nombre adjetivo nosotros ::::} pronombre_personal varios pedidos voluminosos::::} cuantificadoLnopronominal nombre adjetivo varios ::::} cuantificador _pronominal unas grandes ideas::::} determinante adjetivo nombre estas tres casas::::} demostrativo cardinal nombre Continuando en la misma línea del ejemplo anterior, se trata ahora de construir un autómata que reconozca sintagmas preposicionales simples. Este tipo de sintagma está formado por una preposición más un sintagma nominal. No hay que olvidar que en castellano existen las palabras "pormanteaux" (al y del) que son contracción de las preposiciones "a" y "de" con el artículo "el". Ahora se reutilizará el autómata de los sintagmas nominales, añadiendo tres símbolos terminales nuevos (preposición, palabra_al, palabra_del) .

364

CAPÍTULO

determ~i..............""m!!'ostratlvo.

6.

APLICACIONES

posesIvo

determinante, demostrativo, posesivo

cuantificador_no_pronominal

nombre pronombre_personal , cuantificadoctodo cuantificador_pronomin

Figura 6.1: Autómata reconocedor de sintagmas nominales simples. Palabras correspondientes a estas tres nuevas categorías son: preposición (a, en, de, sobre, ante, cabo, para, sin, sobre, ... ) palabra_al (al) palabra_del (del) La gramática regular G=(L":T, L":N, S', P) que describe este tipo de sintagmas es la siguiente. L":T= {determinante, nombre, posesivo, adjetivo, cuantificadoLtodo, cuantificador _pronominal, cuantificador ~opronominal , pronombre_personal, demostrativo, ordinal, cardinal, preposicion, palabra_del, palabra_al} L":N= {S', S, A, B, C, D, F} y el conjunto de producciones P será:


365

S'::= preposicionS I palabra_delA I palabra_delC palabra_alA I palabra_alC S"= demostrativoA I posesivoA I determinanteA I cuantificador_todoB I nombreF I cuantificador_todo I cuantificador_pronominal I cuantificador_nopronominalC pronombre_personal demostrativoA B"= posesivoA I determinanteA demostrativoC I posesivoC determinanteC A"= ordinalC I cardinalC C"= adjetivoD I nombreF I nombre D"= nombre F"= adjetivo El autómata que reconoce sintagmas de este tipo se muestra en la figura 6.2.

detenninante, demostrativo

sesivo

determinante, demostrativo, posesivo

cuantificador_no_pronominal

nombre

pronombre_personal, cuantificador_todo cuantificadocprono

Figura 6.2: Autómata reconocedor de sintagmas preposicionales. Por ejemplo, sintagmas reconocidos por el autómata anterior son:

366

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

a todos los alumnos::::} preposicion cuantificadoLtodo determinante nombre sobre algunas casas bajas::::} preposicion cuantificadorJlopronominal nombre adjetivo para las primeras personas ::::} preposicion determinante ordinal nombre en todas sus segundas opciones ::::} preposicion cuantificador _todo posesivo ordinal nombre sin nosotros ::::} preposicion pronombre_personal al profesor ::::} palabra_al nombre del mundo exterior::::} palabra_del nombre adjetivo Ya se han visto anteriormente los autómatas capaces de reconocer un subconjunto de sintagmas nominales y preposicionales simples. Ahora se verá cómo reconocer grupos verbales a partir de una secuencia de categorías verbales (verbo modal, auxiliar, léxico, etc.). Se llamará grupo verbal a aquel segmento de una oración que contiene las formas verbales simples, compuestas o perifrásticas. Ejemplos de grupos verbales de una oración son los siguientes: pueden estar , hemos ido, se encuentra, están situadas, pueden estar compartidas, existe, se puede encontrar alquilado, tener, estando, ... En este caso, se utilizarán las siguientes categorías: modal, gerundio, infinitivo, participio, auxiliar, se y léxico. El significado de estas categorías es el siguiente: • modal: verbos "poder" y "deber" en forma personal, (puede, debe, deban, ... ) • gerundio: cualquier verbo en gerundio, (situando, comiendo, ... ) • infinitivo: cualquier verbo en infinitivo, (situar, comer, ... ) • participio: cualquier verbo en participio, (situado, comido, ... ) • auxiliar: verbos "haber" " "estar" "ser" en forma personal , (he , es, estamos, ... ) • se: palabra "se" • léxico: cualquier verbo en forma personal, (voy, comparte, ... ) Una gramática G = (~T, ~N , S" , P) que describe grupos verbales simplificados se muestra a continuación.

LENGUAJES, GRAMÁTICAS y AUTÓMATAS: UN E NFO QUE PRÁCTICO

367

~T={ modal,

~N={S",

gerundio, infinitivo, participio, auxiliar, se, léxico} H, 1, J, K, L, N}

y el conjunto de producciones Pes:

S"

0

0-

00

H

00-

1 J

0000

000

K L N

0

00-

0000

00-

léxico L I modal H I gerundio H I auxiliar N I se J infinitivo infinitivo 1 participio I lambda modal H I léxico K I auxiliar N participio I lambda participio I infinitivo 1 I lambda participio

I gerundio I

Eliminando las reglas no generativas, las producciones resultantes son:

S"

00

H

-

0000

1 J

0000

0000

K L N

000

0

0000

0

0-

0

0

léxico L I modal H I gerundio H I auxiliar N I se J infinitivo I léxico infinitivo 1 I infinitivo participio modal H I léxico K I auxiliar N I léxico participio participio I infinitivo 1 I infinitivo participio

I gerundio I

El autómata equivalente a la gramática anterior se muestra en la figura Algunas secuencias reconocidas por el autómata son: 6

0

3

0

pueden estar =} modal infinitivo están situadas =} auxiliar participio pueden estar compartidos =} modal infinitivo participio se agrupan =} se léxico tiene =} léxico se encuentran divididas =} se léxico participio interesa saber =} léxico infinitivo

368

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

lexico

-------

lexico

infinitivo

se

lexico

lexic

participio

auxiliar

gerundio, infinitivo

Figura 6.3: Autómata reconocedor de grupos verbales.

6.3

Aplicaciones de Control

Los Autómatas Finitos, y las Máquinas Secuenciales, tienen una gran variedad de aplicaciones en el mundo industrial. Un gran número de sistemas de control en el campo de la industria, tienen como modelo de diseño a un Autómata Finito o a una Máquina Secuencial. Desde maquinaria industrial en cadenas de montaje o fabricación, pasando por sistemas de robótica, hasta sistemas de control de electrodomésticos, máquinas de video, etc... A continuación, se va a plantear cómo podría diseñarse uno de estos sistemas mediante una Máquina Secuencial, empleando los conceptos tratados en este libro.


369

Supóngase que se tiene una máquina tragaperras con tres botones, de los cuales se sabe que: uno siempre da premio, otro nunca da premio y el último da premio únicamente si la última vez no se consiguió premio. Se desconoce el significado de cada uno de los botones en particular, pero se conoce si la máquina dio o no premio la última vez que se pulsó algún botón. Cada tirada cuesta una cantidad de dinero y da la oportunidad de jugar tres veces, al cabo de las cuales hay que depositar una nueva moneda y el significado de los botones cambia de forma aleatoria y desconocida. Cuando se acierta con el botón de premio la máquina da al jugador 100 pesetas. U n empresario de este tipo de máquinas deseará diseñar un sistema que obtenga beneficios a la larga. Por lo tanto, habrá que diseñar un sistema para el funcionamiento de la máquina, y determinar la cantidad que debe costar la tirada para obtener beneficios. Lo primero que hay que hacer es determinar el modelo teórico de la máquina tragaperras. Existe una entrada que viene dada por la tecla a elegir, y, además, produce una salida que será si da o no premio. Por lo tanto, se puede modelizar el sistema mediante una Máquina Secuencial. La MS tendrá dos estados, el de dar premio y el de no dar premio, que coinciden con las salidas. Por lo tanto, a cada estado le corresponde siempre la misma salida. Esto quiere decir que la máquina será una Máquina Secuencial de Moore. Llamando G a la tecla de ganar, P a la de perder y C a la restante (la que puede ser de ganar o de perder) ; qo al estado de perder y ql al estado de ganar; y como salida O a la salida perdedora y 1 a la ganadora, la Máquina de Moore correspondiente a la tragaperras sería:

MO = ({G, P, e}, {O, 1}, {qo, qI}, j, g) donde j:

G P

siendo g:

giS I

~

=:ilTI

C

370

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Ahora, se tienen que determinar los movimientos que habría que realizar, en el mejor de los casos, para ganar la mayor cantidad de dinero posible, y, de esta forma, suponiendo que todo el mundo puede realizar estos movimientos, asignar un valor a la tirada que permita obtener beneficios. En primer lugar la MS puede partir del estado qo Ó qI.

En el caso de que se esté inicialmente en el estado qo , es decir que en la última jugada se perdió, se elige una tecla, llamémosla TI' En este caso pueden pasar dos cosas: • Que no se obtenga premio al pulsar TI. De la tabla f se puede deducir que esto sólo podrá pasar si TI = P, en cuyo caso la siguiente vez se ha de elegir una tecla diferente T2 , ya que TI es la que siempre pierde. En esta segunda elección, sea cual sea la tecla elegida, se ganará ya que si T 2 = G se gana, y si T 2 = e también, puesto que esta tecla da premio si la vez anterior no se obtuvo premio, que es precisamente el caso en que se encuentra. Para la tercera opción no existe ninguna elección ganadora así que habrá de hacerse al azar; es decir, la mitad de las veces elegir T 2 y la otra mitad T3. Por lo tanto, como conclusión se puede afirmar que: La manera más inteligente de jugar estando en el estado qo y habiendo elegido una tecla al azar TI que ha hecho no ganar será con la secuencia TI , T2, T 2 Ó la secuencia TI, T2 , T3. En este caso, existe una probabilidad de 0,5 de ganar dos veces, y una probabilidad de 0,5 de ganar una sola vez. • Que se obtenga premio al pulsar TI En este caso, lo único que se sabe es que TI f- P. Si se vuelve a elegir TI, hay un 50% de probabilidades de que la máquina dé premio y otro 50% de que no lo dé. Si al elegir TI y TI se obtiene: Premio.- Será porque TI = G y, por tanto, lo mejor es volver a elegir TI. En este caso, se habrá ganado las tres veces.


371

e

No premio.- Será porque TI = y, en este caso, al volver a elegir TI se obtendría premio de nuevo. En este caso se habría ganado dos veces. Así pues: La manera más inteligente de jugar estando en el estado qo y habiendo elegido una tecla al azar TI que ha hecho ganar, será con la secuencia TI, TI, TI. En este caso, existirá una probabilidad de 0,5 de ganar dos veces, y una probabilidad de 0,5 de ganar las tres veces.

En caso de estar inicialmente en el estado ql, es decir que la última jugada realizada fuera perdedora, se elige una tecla al azar, TI , por ejemplo. En este caso pueden pasar dos cosas: • Que se obtenga premio al pulsar TI. En este caso, se puede afirmar que TI = G, en cuyo caso para ganar siempre hay que elegir la secuencia TI, TI , TI. • Que no se obtenga premio al pulsar TI. En este caso, se puede afirmar que TI no es la tecla de ganar. Por lo tanto, la siguiente vez hay que elegir otra diferente T2, con lo cual puede pasar: Que se obtenga premio.- En este caso no se puede deducir nada, ya que T2 puede ser igual a e ó aG. En cuyo caso, tanto si se vuelve a elegir T 2 , como otra T 3 , existen las mismas posibilidades de ganar. Y se habrá ganado una o dos veces. Que no se obtenga premio.- En este caso, es seguro que TI = e y que T2 = P. Por lo tanto, eligiendo tanto TI, como T3 se vuelve a ganar, y en este caso se habrá ganado una vez. Así pues:

372

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

La manera más inteligente de jugar estando en el estado qi y habiendo elegido una tecla al azar Ti que ha hecho no ganar, será con la secuencia Ti, T 2 , T 3 . En este caso, existe una probabilidad de 0,25 de ganar dos veces, y una probabilidad de 0,75 de ganar tan solo una vez. Si se parte de la suposición de que existe la misma probabilidad de estar en el estado qo que en el qi, la esperanza matemática del número de premios ganados en cada jugada será:

~ + ~ + ~ +! +3+ ~ +i

= 2 0625 4 ' Para que la máquina sea rentable, el valor de la tirada deberá ser mayor que el valor del premio multiplicado por el resultado anterior de la esperanza matemática: Precio> 2,0625 * 100 = 206,25

Es decir, el precio de la tirada deberá ser superior a las 206,25 pesetas.

6.4

Más aplicaciones

Otras aplicaciones de la teoría de lenguajes, gramáticas y autómatas son las siguientes: • Sistemas Operativos. Los Lenguajes Regulares suelen utilizarse a menudo para especificar argumentos a comandos de sistemas operativos o funciones de otras aplicaciones para describir, por ejemplo, qué se está buscando, por qué se debe reemplazar, comodines en la especificación de ficheros , etc. Así, si existiera un comando busca que buscara todas las apariciones de una determinada cadena en un fichero, 3 se podrían describir las expresiones a buscar y los nombres de los ficheros con sendas expresiones regulares. Por ejemplo, busca "[a - t][O - 8] " * I[ABC] - 3" i*.tex podría decir que se quieren encontrar las apariciones de o bien una palabra que comienza por una letra entre la a y la t, seguida de cualquier secuencia de dígitos entre el O y el 8, o bien de una palabra que comienza por la A, la B, ó la C, seguida de un guión, y terminada por un 3. Estas apariciones deben buscarse en los ficheros cuyo nombre comience por una i y que tengan extensión tex . 3En Unix, por ejemplo, equivalente al comando gr ep.


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• Lenguajes de Programación. Debido a que las Expresiones Regulares, son formas concisas de describir Lenguajes Regulares, se suelen utilizar mucho sus variantes para describir lenguajes de programación, como, por ejemplo, la notación denominada BNF (de, en inglés, Bachus Normal Form). Esta notación permite representar cómodamente las expresiones válidas de cualquier lenguaje de programación. Así, por ejemplo, para describir los identificadores en los lenguajes más comunes, se podría utilizar la notación: [a - zA - Z][a - zA - ZO - 9 \ - \ _]*

donde se acepta como identificador válido aquél que comienza por una letra, seguida por ninguna, una o varias apariciones de letras, dígitos, guiones o subrayados. Para representar la sintaxis de las funciones en PASCAL, se podría utilizar la expresión: function((id: tipo)*) : tipo ;

• Reconocimiento de Voz. Donde una persona dice algo a un micrófono y el sistema computacional genera como salida la secuencia de palabras dichas por la persona, se han utilizado comúnmente variaciones de los Autómatas Probabilísticos, denominadas cadenas de Markov. Por ejemplo, si después de una e hay, entre otras probabilidades, un 10% de probabilidad de que aparezca una m , un 15% de que aparezca una f y un 12% de que sea una l, se puede construir un Autómata Probabilístico de forma que desde el estado al que se haya llegado después de oir una e, se transite con esas probabilidades a estados en los que se ha oido esas otras letras. • Robótica. Cuando se da la orden a un robot de que avance en alguna dirección, o que perciba lo que le rodea, debido a que se pueden producir errores por el rozamiento de las ruedas con el suelo o por los sensores, es posible que el robot no pueda resolver todas la tareas

satisfactoriamente. Una forma de llevar a cabo las tareas, pese al no determinismo asociado a tales errores, consiste en utilizar Autómatas Probabilísticos para modelar las transiciones entre un estado y otro al aplicar una determinada acción, modificando las probabilidades a medida que va observando las consecuencias de las acciones en el entorno.

374

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

Supóngase, por ejemplo, que un pequeño robot puede realizar dos acciones: avanzar, que le permite recorrer lOcm; y girar, que le permite cambiar la orientación en 45° a la izquierda. Este robot se mueve en un entorno formado por un espacio de un metro por un metro, que se puede subdividir en parcelas de 10 centímetros por 10 centímetros, de forma que, cada vez que avanza, se mueve de una parcela a otra. Se puede construir un AFP que modele su comportamiento, teniendo la siguiente forma:

AFP =

(~,Q,M,P(O),F)

donde

~ es el conjunto de las posibles entradas que puede tener. Como tiene dos posibles acciones, se puede hacer ~ = {A, G}, donde A representa el hecho de avanzar y G el hecho de girar.

Q es el conjunto de posibles estados, para los que hay que tener en cuenta, por una parte, la fila y la columna de la parcela en la que está situado, y, por otra, la orientación que tiene. Como hay 10 filas, 10 columnas y ocho orientaciones posibles, habría 10 x 10 x 8 = 800 estados. Se podrían numerar con qi,j,k, donde i es la fila, j es la columna, y k es la orientación.

LENGUAJ ES, GRAMÁTI CAS y AUTÓMATAS: UN ENFOQUE PRÁCTICO

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- M es el conjunto de las matrices de probabilidad de transición entre los estados. Al principio, se puede hacer que todas las transiciones sean equiprobables, asignando un valor de = 860 a todas las posiciones de todas las matrices (una por cada una de las entradas). Conforme el robot se va moviendo y actuando en este espacio, se pueden ir modificando las probabilidades que aparecen en las matrices, debido a que, como se ha dicho antes, si dado el mismo estado (situación y orientación) ejecuta la misma acción, no tiene por qué llegar al mismo estado. Esto puede suceder bien porque tenga errores al moverse y llegue a diferentes parcelas, bien porque los sensores le den mediciones erróneas y le digan que está en diferentes parcelas, cuando realmente está en la misma. Así, por ejemplo, si estando en la parcela de posición (i,j) y orientación k, efectua la acción de avanzar, y percibe que se encuentra en la parcela de posición (i' , j') y orientación k' , el sistema de control debería incrementar el valor de la posición de la matriz M(ijk,i1j1kl) (A) en una pequeña cantidad e, decrementando proporcionalmente en la cantidad IQf- l = 7~9 todos los valores de las posiciones de la fila ijk de la matriz M(A). Este decremento es necesario para que la suma de los valores de las posiciones en la fila, siga sumando 1. De esta forma , el robot irá modificando paulatinamente sus predicciones respecto a qué situaciones resultarán de ejecutar determinadas acciones en el entorno.

rbr

P(O) será un vector de IQI = 800 componentes, que inicialmente puede tener un 1 en la posición donde esté inicialmente el robot, que normalmente se conoce con exactitud, y un O en las demás posiciones. F será el conjunto de las posiciones a las que se desee que el robot vaya. Si, por ejemplo, se desea que llegue a la posición (10, 10) , sin importar la orientación, se haría:

F =

{qlO,lO ,O, qlO ,10,45, ... , qlO ,10 ,315}

y tendría tantos estados como posibles orientaciones haya.

376

CAPÍTULO

6.

APLICACIONES

El problema con esta solución es que el número de estados puede llegar a ser muy elevado, por lo que puede llegar a ser ineficiente con niveles de detalle más elevados (parcelas de lcm u orientaciones de 10°) ° entornos más grandes (espacios de 30x30 metros cuadrados). Una solución consiste en una variante de este tipo de autómatas, en los que no se supone conectividad completa (no se puede transitar de cualquier estado a cualquier otro), sino que, por cada estado, se guarda la lista de los estados a los que se ha llegado alguna vez, junto a las probabilidades de transición. En este caso, hay que realizar modificaciones al cálculo de las "probabilidades", ya que, normalmente, se pierde el concepto de probabilidad por conceptos menos estrictos.

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