Laporan Praktikum
Integrasi Numerik suatu Fungsi dengan Menggunakan Metode Simpson dan Trapesium Diajukan untuk Memenuhi Laporan Kegiatan Praktikum Fisika Komputasi
Disusun oleh : Nama
: Zohan Syah Fatomi
NIM
: !"#$%&$"P'"() !"#$%&$"P'"()* *
+ari, Tanggal Tanggal Praktikum
: Kamis, ! 'pril %*$
'sisten Praktikum
: +a +amid +amadi : -inan 'hmad : Muhammad .gi
L'/01'T01I2M L'/01'T01I2M FISIK' K0MP2T'SI K0MP 2T'SI D.P'1T.M.N D.P'1T.M.N FISIK' FISIK ' F'K2LT'S M'T.M'TIK' D'N ILM2 P.N3.T'+2'N 'L'M 2NI4.1SIT'S 3'D-'+ M'D' 5035'K'1T' %*$
1. Pend Pendah ahul ulua uan n 1.1 Latar Be Belakang /agi /agi 6isi 6isika ka7a 7an n seti setiap ap peri perist sti7 i7aa 6isi 6isiss di 8umi 8umi ini ini dapa dapatt diga digam8 m8ar arka kan n sedemi sedemikia kian n rupa rupa dengan dengan perumus perumusan an matematik matematika9 a9 Misalny Misalnyaa mo8il mo8il yang 8ergerak, dapat digam8arkan dengan hu8ungan antara posisi, keepatan dan perepatannya9 +u8ungan antara perepatan menuju keepatan adalah se8uah anti anti turuna turunan n dimana dimana dalam dalam pendap pendapatan atanny nyaa dapat dapat menggu menggunak nakan an metode metode analisi analisis9 s9 Namun Namun pada pada suatu suatu 7aktu 7aktu metode metode analisi analisiss kurang kurang 8isa 8isa menap menapai ai maksima maksimall terle8i terle8ih h lagi lagi jika jika 6ungsi 6ungsi yang yang diari diari adalah adalah masalah masalah yang real kompleks kompleks dan non linear9 Maka disitulah letak 6ungsi 6ungsi metode metode numerik numerik dalam hal ini adalah integrasi numerik9
1.2
Tujuan a9 Menentukan Menentukan nilai nilai integrasi integrasi suatu 6ungsi 6ungsi dengan dengan menggunaka menggunakan n metode metode numerik : metode simpson 89 Menentukan nilai integrasi dengan 6ungsi menggunakan menggunakan metode numerik: metode trapesium
2. Dasa Dasarr Te Teori ori Dalam Menari nilai integrasi suatu 6ungsi seara numerik dapat menggunakan metode 8erikut ini :
2.1
Metode Si Simpson 'turan Simpson adalah suatu aturan yang digunakan untuk menghitung luas suatu kur;a polinom 8erderajat dua p %<=> atau 8erderajat tiga p#<=> dengan pendekatan yaitu pendekatan menggunakan menggunakan pastisi 8er8entuk para8ola9 Dalam Metode Simpson ada dua jenis yaitu Metode Simpson per # dan Metode Simpson # per )9 'turan Simpson per # ini mempartisi kur;a polinom 8erderajat dua p %<=> dengan # titik, ( titik, & titik dan seterusnya sedemikian sehingga ruang partisi
yang di8entuk 8erjumlah genap9
Persamaan Dasar Metode Simpson : X n
∫
I = f ( ( x x ) dx ≈ X 0
Dimana integral,
x 0
h 3
( N − 1)
N / 2
[ f + 4 ∑ f i− + 2
dan
0
2
i= 1
x N
f i ≡ f ( ( x i) , N
1
2
∑
I = 1
f 2i + f N ]
masing?masing adalah 8atas atas dan 8atas atas adalah aah inter;al dan h adalah langkah ukuran
atau le8ar inter;al yang di8erikan kaitan9 x
¿ ( ¿ N − x ¿ ¿ 0 )/ N ¿ h= ¿
N harus 8ilangan genap9
2.2
Metode Trapesiu sium
Suatu aturan integrasi dengan memakai kaidah seperti menghitung luas geometri pada trape@ium9
Dengan perumusan se8agai 8erikut :
I ≈ ( b −a )
( b ) f ( ( a ) + f ( 2
'gar intregasi hasilnya semakin 8agus 8agus maka kita 8isa mem8aginnya mem8aginnya dengan n9 x 0 = a , x 1 , x 2 , x 3 , … , x n= b ∆ x =( b −a )/ n
Maka hasilnya adalah jumlahan dari masing?masing integrasi trape@ium" x 2
xn
∫ f ( ( x ) dx +…+ ∫ f ( ( x ) dx
f ( ( x ) dx + ¿
x 1
x n−1 x1
∫
I = ¿ a
3. Metode Metode Eksper Eksperime imen n 3.1 Script o omputasi Metode Simpson PROGRAM integrasi IMPLICIT NONE REAL :: x0,xn, h, sum, x2il, x2i, integ x0 = 00 xn = !0 n = 20 h = "xn #x0$%n sum = &ung"x0$'&ung"xn$ (O i = !, "n%2$ )2i! = x0 ' "2*i+!$*h sum = sum ' 0*&ung"x2i!$ -rite"*,*$sum EN( (O (O i = !, ""n%2$+!$ )2i = x0'2*i*h .um = sum ' 20*&ung"x2i$ /rite"*,*$sum EN( (O Integ = h * sum % 0 /RITE"*,*$1Nilai integral numeri a3alah1, integ CONTAIN. 45NCTION &ung"x$ REAL :: &ung REAL, INTENT"in$ :: x &ung=0*x EN( 45NCTION &ung EN( PROGRAM integrasi
Metode Trapesium 6r7gram TRAPE.I5M IMPLICIT NONE
REAL::x0!, xn!, h!, sum, x2i!, integ! INTEGER::n!,i x0!=00 xn!=20 n!=20
h!="xn!+x0!$%n! sum= &ung"x0!$'&ung"xn!$
(O i=!, "n!+!$ x2i!=x0! 'i*h! sum=sum ' 20 *&ung"x2i!$ -rite"*,*$ sum EN( (O
integ!= h!*sum%20 /RITE "*,*$ 8Nilai integrasi numeri tra6eium atas a3alah = 8,integ!
CONTAIN. 45NCTION &ung"x$ REAL :: &ung REAL, INTENT "in$ :: x &ung=0%0 '!0*x%0 EN( 45NCTION &ung EN( PROGRAM TRAPE.I5M
3.2 3.2
!ungsi ngsi "ang Dig Digun una akan No9
f ( ( x )
n
9
#= 3 x
%* %
3 x
!*
3 x
41
9
%9
2
x + 2 x
%*
#9
−sin ( sin ( x x ) )
%*
3 x
%*
2
x + 2 x
%*
9
−sin ( sin ( x x ) )
%*
!9
2 x + 3 y =10
%*
x + y =2 y =− x +− 4 No. 3 menggunakan menggunakan metode trapezium dan yang lainnya lainnya menggunakan metode metode Simpson
3.3
#ra$ik 1. f ( ( x ) x =
2.
2
x
+2
f ( ( x x ) =−sin ( sin ( x x ) )
3.
f ( ( x x ) =− x +− 4
%
&. 'asi 'asill Ekspe Eksperi rime men n
2 x + 3 y =10
A
x + y =2
Setelah dilakukan pem8uatan listing program dan mengompilenya sehingga didapatkan hasil 8erikut ini : 9
f ( ( x )=3 x ,n , n =20 +asil iterasi ke adalah #9(BBBBBB +asil iterasi ke % adalah (9!***** C9 C9 +asil iterasi ke B adalah )!9(BBBB) +asil iterasi ke %* adalah B*9****** +asil integrasi 9(******
%9
f ( ( x x )= 3 x ,n =21 +asil iterasi ke adalah #9(&!%)( +asil iterasi ke % adalah (9%)(&! C9 C9 +asil iterasi ke %* adalah )*9&!%)& +asil iterasi ke % adalah )(9)(&!& +asil integrasi 9#$%)B 9#$%)B
#9
f ( ( x )= 3 x ,n =40 +asil iterasi ke adalah #9#****** +asil iterasi ke % adalah !9BBBBB) C9 C9 +asil iterasi ke #B adalah &!9#**** +asil iterasi ke !* adalah )*9***** +asil integrasi 9(******
!9
f ( ( x x )= 3 x ,n =41 +asil iterasi ke adalah #9%B%$)%B +asil iterasi ke % adalah !9&*&#( C9 C9 +asil iterasi ke !* adalah &*9%B$ +asil iterasi ke ! adalah &(9$)%B! +asil integrasi 1.4283165
(9
f ( ( x )= x
2
x , n= 20
+2
+asil iterasi ke +asil iterasi ke C9 C9 +asil iterasi ke +asil iterasi ke
adalah #9!**** % adalah !9&*****#
B adalah &!9&)***$ %* adalah )*9*****)
+asil integrasi 1.3333335 $9
f ( ( x x )=−sin ( sin ( x x ) ) , n=20 +asil iterasi ke adalah *9B!(!(&() +asil iterasi ke % adalah 9(!*B)&) C9 C9 +asil iterasi ke B adalah %!9!%(*)B +asil iterasi ke %* adalah %(9)#$#&* +asil integrasi 0.43060619
&9
f ( ( x x )= 3 x ,n =20 +asil iterasi ke adalah #9#****** +asil iterasi ke % adalah #9B***** C9 C9 +asil iterasi ke B adalah (!9#****# +asil iterasi ke %* adalah $*9*****! +asil integrasi 1.5000001
)9
f ( ( x )= x
2
x , n= 20
+2
+asil iterasi ke adalah #9%*!BBBB +asil iterasi ke % adalah #9$%(**** C9 C9 +asil iterasi ke B adalah !&9&!(**# +asil iterasi ke %* adalah (#9#(***% +asil integrasi 1.3337501
f ( ( x )= x + 2 x , n= 20 2
B9
+asil iterasi ke adalah 0.84554088 +asil iterasi ke % adalah 1.0448762 C9 C9 +asil iterasi ke B adalah 15.765635 +asil iterasi ke %* adalah 17.218910 +asil integrasi 0.43047276 *9
f ( ( x )=− x +− 4
%
2 x + 3 y =10
A
x + y =2, n=20
+asil iterasi ke adalah 6.0666666 +asil iterasi ke % adalah 8.8666668 C9 C9 +asil iterasi ke B adalah 62.733337 +asil iterasi ke %* adalah 66.666672 +asil integrasi 3.3333337
(. Pem) Pem)ah ahas asan an Pada praktikum metode ne7ton raphson yang menggunakan 8ahasa pemrograman 6ortran B*9 Kode?kode yang digunakan 8ertujuan untuk mem8uat suatu iterasi"pengulangan agar mendapatkan nilai integrasi dari suatu 6ungsi9 Dipero8aan diatas kita mem8andingkan % hal : a9 Nilai Nilai integr integrasi asi dari dari 6ungsi 6ungsi deng dengan an metode metode simps simpson on 89 Nilai integrasi dari 6ungsi dengan metode trapesium Dengan perhitungan program diatas didapatkan hasil se8agai 8erikut :
f ( ( x )
n
+asil
#=
%*
9(******
3 x
%
9#$%)B
3 x
!*
9(******
3 x
41
1.4283165
x + 2 x
%*
1.3333335
−sin ( sin ( x x ))
%*
0.43060619
3 x
%*
1.5000001
x + 2 x
%*
1.3337501
9
−sin ( sin ( x x ))
%*
0.43047276
!9
2 x + 3 y =10
%*
3.3333337
No9 9
9
2
%9
#9
2
x + y =2 y =− x +− 4 Pada no. 3 Metode yang digunakan adalah metode trapezium, yang lainnya menggunakan metode simpson -ika -ika kita kita lihat lihat ada nilai?nil nilai?nilai ai yang yang tidak tidak ook ook pada pada hasil hasil dari dari integra integrasi si metode metode simpson untuk 6ungsi yang nilai n nya adalah ganjil9 Seperti 9#$%)B dari
f ( ( x )=3 x , ini
dikarenakan pada nilai n digunakan se8agai 8atas perulangan iterasi dan pada prinsipnya meto metode de simps simpson on diha diharu rusk skan an untu untuk k mem8 mem8ag agii deng dengan an juml jumlah ah yang yang gena genap9 p9 Maka Maka jika jika
dipaksakan akan terjadi kesalahan dalam proses iterasi dan mem8uat nilai hasil integrasinya kaau9 -ika di8andingkan dengan metode trape@ium, metode simpson le8ih akurat dalam menghitung nilai integrasi suatu 6ungsi9 Semakin 8anyak nilai n hasilnya semakin halus atau 8aik9
*. e esi simp mpul ulan an 9 Nilai Nilai n pada pada meto metode de simps simpson on haru haruss genap genap %9 Dengan Dengan perhitung perhitungan an program program diatas diatas didapatk didapatkan an hasil hasil se8agai se8agai 8erikut 8erikut :
f ( ( x )
n
+asil
#=
%*
9(******
3 x
%
9#$%)B
3 x
!*
9(******
3 x
41
1.4283165
x + 2 x
%*
1.3333335
−sin ( sin ( x x ))
%*
0.43060619
3 x
%*
1.5000001
x + 2 x
%*
1.3337501
9
−sin ( sin ( x x ))
%*
0.43047276
!9
2 x + 3 y =10
%*
3.3333337
No9 9
9
2
%9
#9
2
x + y =2 y =− x +− 4 #9 Pada prinsip prinsipnya nya metode metode simpso simpson n le8ih 8agus dari pada pada metode metode trapesium trapesium
+. Da$t Da$tar ar Pus Pusta taka ka %**9 Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi, Komputasi, 2ni;er 1. Nur7antoro, Pekik 9 %**9 Petunjuk sitas 3adjah Mada:5ogyakarta9 Mada:5ogyakarta9
2. Nugroho, Fahrudin9 %*!9 %*!9 Pemrograman Pemrograman dan Metode Numerik ,2ni;ersitas ,2ni;ersitas 3adjah Mada:5ogyakarta9 Mada:5ogyakarta9 Newton-aphson !e"hni#ue !e"hni#ue diakses pada tanggal %B 'pril 3. Fujianto,%*(9 Newton-aphson %*$
,. Lem)a Lem)arr Penges Pengesaha ahan n 5ogyakarta, %* 'pril %*! 'sisten Praktikum
+amid +amadi
'sisten Praktikum
-inan 'hmad
'sisten Praktikum
Praktikan
Muhammad .gi
Zohan Syah Fatomi
-. Lamp Lampir ira an PROGRAM integrasi IMPLICIT NONE REAL :: x0,xn, h, sum, x2il, x2i, integ x0 = 00 xn = !0 n = 20 h = "xn #x0$%n sum = &ung"x0$'&ung"xn$ (O i = !, "n%2$ )2i! = x0 ' "2*i+!$*h sum = sum ' 0*&ung"x2i!$ -rite"*,*$sum EN( (O (O i = !, ""n%2$+!$ )2i = x0'2*i*h
.um = sum ' 20*&ung"x2i$ /rite"*,*$sum EN( (O Integ = h * sum % 0 /RITE"*,*$1Nilai integral numeri a3alah1, integ CONTAIN. 45NCTION &ung"x$ REAL :: &ung REAL, INTENT"in$ :: x &ung=0*x EN( 45NCTION &ung EN( PROGRAM integrasi
