UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DINÁMICA APLICADA
GUÍA DE LABORATORIO No.3 MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA MASA RESORTE
1. Objetivos Generales 1.1. Desarrollar y analizar anal izar el modelo matemático ma temático de un sistema masa-resorte, m asa-resorte, de un grado de libertad, bajo vibración libre, sin amortiguamiento, con movimiento de traslación puro.
2. Objetivos Específicos 2.1. Obtener la ecuación de equilibrio estático de un sistema masa-resorte. 2.2. Determinar la deformación del resorte en equilibrio estático. 2.3. Determinar la ecuación diferencial de movimiento de un sistema sistem a masamasa resorte en función de la variable . es la posición de d e la masa con respecto a la posición de equilibrio estático. Identifique el tipo de ecuación diferencial que resulta. Defina las condiciones iniciales de movimiento. 2.4. Determinar la ecuación diferencial de movimiento de un sistema sistem a masamasa resorte en función de la variable . es la posición de la masa con respecto a la posición del resorte no deformado. Identifique el tipo de ecuación diferencial que resulta. Defina las condiciones iniciales de movimiento. 2.5. Encontrar la solución de la ecuación diferencial de movimiento desarrollada en el punto 2.3 para y . Obtenga expresiones para la posición la velocidad y la aceleración Grafique los resultados, utilice EXCELL. Para dos ciclos de movimiento. 2.6. Calcule la frecuencia f recuencia natural, natural , el periodo del movimiento movimien to y la frecuencia f recuencia natural angular de oscilación. 2.7. Encontrar la solución de la ecuación diferencial de movimiento desarrollada en el punto 2.3 para y . Obtenga expresiones para la posición la velocidad y la aceleración Grafique los resultados, utilice EXCELL. Para dos ciclos de movimiento. 2.8. Obtenga la solución de la ecuación diferencial, punto 2.5, mediante MatLab ó SciLab. Grafique la posición, velocidad y aceleración. Para dos ciclos de movimiento. 2.9. Desarrolle el diagrama de bloques correspondiente, punto 2.5, y obtenga la solución mediante SIMULINK ó XSICO. Grafique la posición, velocidad y aceleración. Para dos ciclos de movimiento.
( )
() ̇ ̇ () ()
̈ ()
( )
() ̇ ̇ () ()
̈ ()
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2.10. Analice la posición, velocidad y aceleración de la masa m. ¿Qué puede concluir respecto a la amplitud y ángulo de fase de cada movimiento? 3. Equipos y materiales a utilizar 3.1. Resorte de tensión 3.2. Discos 3.3. Marco para soporte 3.4. Base para los discos 3.5. Balanza 3.6. Cinta métrica
4. Metodología 4.1. Escoja el resorte con la menor constante y la masa correspondiente. Ver laboratorio No2. Obtener el modelo matemático del sistema masa-resorte de un grado de libertad construido. 4.2. Resolver la ecuación diferencial de movimiento para diferentes condiciones iniciales. 4.3. Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. 4.4. Graficar la posición, la velocidad y la aceleración. 4.5. Escoja un resorte con una constante mayor al anterior y la masa correspondiente. Ver laboratorio No2. Obtener el modelo matemático del sistema masa-resorte de un grado de libertad construido. 4.6. Resolver la ecuación diferencial de movimiento para diferentes condiciones iniciales. 4.7. Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. 4.8. Graficar la posición, la velocidad y la aceleración. 4.9. Comparar los resultados obtenidos en los puntos 4.3 y 4.7. Conclusiones. 4.10. Comparar los resultados obtenidos en los puntos 4.4 y 4.8. Conclusiones.
5. Procedimiento 5.1. Selecciones los parámetros (masa y constante de resorte) de dos de las experiencias realizadas en el laboratorio No.2. Para cada una de las dos experiencias. 5.2. Especifique las condiciones iniciales indicadas en los puntos 2.5 y 2.6 de los objetivos específicos. 5.3. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento en función de . Obtener la posición, velocidad y aceleración para: 5.3.1. y . Graficar utilizando: EXCELL, MatLab ó SciLab y SIMULINK ó XSICO. 5.3.2. y . Graficar utilizando EXCELL. 5.4. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento en función de . Obtener la posición, velocidad y aceleración para:
() ̇ () () ̇ ()
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() ̇ () () ̇ ()
5.4.1. y . Graficar utilizando: EXCELL, MatLab ó SciLab y SIMULINK ó XSICO. 5.4.1 y . Graficar utilizando EXCELL.
6. Preguntas 6.1. ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas Masaresorte estudiados? 6.2. ¿Qué importancia tiene la selección de la posición de referencia para medir y/o analizar el movimiento? 6.3. ¿Qué concluye respecto al ángulo de fase de la posición, velocidad y aceleración? 6.4. ¿Qué relación existe entre ellos?
7. Fundamentos Un sistema masa-resorte vibrará libremente al desplazarse de su posición de equilibrio estático y liberarse. El sistema es conservativo, no está sujeto a fuerzas no-conservativas ni a excitaciones externas. La ecuación gobernante del movimiento oscilatorio es una ecuación diferencial de segundo grado, homogénea con coeficientes constantes. La solución de dicha ecuación corresponde a la solución complementaria en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. Ecuación diferencial de movimiento: Puede obtenerse a partir de la energía total del sistema ó aplicando la segunda ley de Newton. (2.1)
̇ (̈)̇ ̈
(2.2) (2.3) (2.4) (2.5)
Utilizando la Segunda Ley de Newton:
∑̈ ( )̈ ̈ ̈
(2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10)
Asumimos la siguiente solución II Semestre 2012
̈ ( ) ( ) = √ ⁄ √ ⁄ ()
Las constantes
(2.11) (2.12) (2.13) (2.14) (2.15)
(2.16) (2.17)
y se determinan a partir de la condiciones iniciales () y ̇ ().
Remplazando
(2.18) y Resulta (2.19) () () ( ) (2.20) Donde la amplitud y el ángulo de fase se determinan a partir de las siguientes ecuaciones:
√
(2.21) (2.22)
8. Referencias: 8.1. Vibraciones Mecánicas. Singiresu S. Rao. Quinta edición. PEARSON EDUCATION, México, 2012.
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